Redes de Distribuição

Série Rádio Cangália

Objetivos 1. Mostrar uma aplicação de função de

potência fracionária; 2. Mostrar relações entre área e volume

de uma esfera.

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Redes de Distribuição

Série Rádio Cangália

Conteúdos Funcão potência; Números binários, Geometria esférica.

Duração Aprox. 10 minutos.

Objetivos 1. Mostrar uma aplicação de

função de potência fracionária;

2. Mostrar relações entre área e volume de uma esfera.

Sinopse Durante sua programação, a rádio Cangália discute sobre redes de distribuição, faz uma piada que envolve o conceito de números binários e trata de uma frase de efeito que envolve álgebra e amor.

Material relacionado Experimentos: Quanto você tem de pele, Variáveis antropométricas, Cilindro=Cone+Esfera/2; Vídeo: 3, 2, 1 – mistério; Áudios: Esferas, Esfera com cabelo e nanotecnologia.

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Introdução

Sobre a série

A série Rádio Cangália, apresenta programas de variedades descontraídos que usualmente abordam uma informação ou notícia de conhecimentos gerais com comentários de um professor de matemática. No segundo bloco é apresentado um resultado, um teorema ou uma curiosidade matemática com algumas ideias de demonstração. O programa pode ter também tem uma piada e uma frase célebre, sem preocupação de coerência e sim para ter motivos de discussão e reforçar a descontração.

Sobre o programa

O programa discute sobre as redes de distribuição e as suas funções matemáticas.

Um exemplo aplicável a esse tipo de estudo é a relação entre o consumo de energia de um ser vivo e sua massa. O programa sugere o uso de uma função de potência fracionária, com o expoente podendo ser 2/3 ou 3/4.

Supondo que o corpo do ser vivo seja uma esfera de raio r, podemos expressar a sua área externa e seu volume da seguinte forma:

𝐴 = 4𝜋𝑟!    e    𝑉 =4𝜋3 𝑟!

Da segunda equação, podemos expressar o raio em termos do

volume, 𝑟 = !!!𝑉

!/!, e então substituir na primeira equação para obter

𝐴 = 4𝜋34𝜋 𝑉

!/!

= 𝐶𝑉! !

onde a constante 𝐶 = 36𝜋 !/!.

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Logo, podemos estabelecer que a área de uma esfera depende da potência 2/3 do seu volume.

As principais características de quase todos organismos vivos são tamanho, temperatura e composição química. As relações entre estas grandezas têm sido amplamente investigadas, desde o século XIX, no contexto do que se conhece hoje como a teoria metabólica da ecologia.

Não é fácil medir ou dar precisão à taxa de metabolismo de um ser vivo, mas entendemos que a principal reação química envolvida é:

CH2O + O

2 -> energia + CO

2 + H

2O

Nos anos 1940s Max Kleiber enunciou a lei da potência 3/4 do metabolismo da grande maioria dos animais. Os dados que justificariam suas conclusões estão no gráfico abaixo:

O gráfico tem escalas logarítmicas e a reta tem inclinação aproximada de 3/4 de forma que o a taxa de metabolismo diária seria da forma

𝑀!! onde M é a massa característica do ser vivo. Em 2004 BROWN ET

AL publicaram uma compilação de medidas e produziram o gráfico impressionante abaixo. Observe que a escala de massa varia de 10 a menos 30 até 10 a mais 20, em gramas, isto é, 50 ordem de potências

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de 10. A inclinação aproximada de 0.76, o que corroboraria a lei de Kleiber de ¾ dentro das margens de erro.

Taxas de metabolismo de seres vivos O interessante é que este comportamento da potência não era o esperado pois a massa de um objeto (uniformizado) é proporcional ao volume enquanto o contato com o meio externo se dá pela superfície do objeto. O volume V depende do cubo e a superfície A do quadrado de um comprimento característico L.

V ~ L(3) ; A~L(2) => A~V(2/3)

Assim, se o metabolismo fosse diretamente proporcional à massa (volume), a potência seria 1 e se dependesse da área, seria 2/3~0,66666. O observado é algo intermediário, isto é, a potência três quartos, 3/4=0,75.

Há uma interpretação que invoca fractais, mas isto é um pouco polêmico (e muito interessante).

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Não é apenas o metabolismo que tem uma potência característica da vida e independente do ser vivo. Veja alguns exemplos abaixo:

Variável fisiológica

Expoente da massa

Batimentos cardíacos

-1/4

Expectativa de vida¶

1/4

Diâmetro dos troncos de árvores

3/4

Diâmetro das Aortas

3/4

Massa do cérebro

3/4

Taxa metabólica

3/4

Taxa metabólica*

1

Tabela de Leis de Potência de 1/4

Estes dados empíricos são fascinantes, talvez uma mera coincidência, talvez não.

A piada digital Já na parte da piada, os alunos devem perceber que o algarismo 10 em números binários é equivalente a:

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( ) ( )10012 22*02*110 =+=

o que explica o sentido da piada.

Sugestões de atividades

Antes da execução

O professor pode revisar conceitos básicos de potenciação e radiciação.

Desafio Mostre, sem usar uma calculadora que:

7777 4/13/12/1 <++

4444 4/13/12/1 >++

Solução  O professor deve incentivar o uso sistemático de aproximações e desigualdades. A solução apresentada abaixo é muito simples, mas o mais importante não é o resultado e sim o procedimento para atingi-lo.

O número 7 pode ser decomposto na seguinte soma trivial:

4/13/12/14/13/12/1 77716892237 ++>++=++=

Igualmente para o número 4:

4/13/12/14/13/12/1 4441141124 ++<++=++=

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Problema de gráfico Com a ajuda de um programa de computador como o Geogebra (http://www.geogebra.org/cms/), fazer o gráfico da função:

4/13/12/1)( xxxxf ++=

E discutir as desigualdades do Desafio acima com a comparação dos gráficos y=f(x) e y=x.

Com base no esboço do gráfico concluímos que

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xxxxxxxxxx

≤⇔≤++

≤≤⇔≥++

660

4/13/12/1

4/13/12/1

Durante a execução

Anotar as informações e os dados numéricos que são apresentados no programa. Se o professor preferir, pode pausar o áudio para promover alguma discussão ou tirar dúvidas do conteúdo apresentado.

Depois da execução

O professor pode promover uma medida experimental com os alunos da turma: medir a pulsação (frequência cardíaca) de repouso de todos os alunos que concordarem e conhecerem o seu peso. Fazer então uma tabela que relacione a pulsação e o peso e depois, fazer um gráfico dos valores obtidos.

As variações de massa (peso) e pulsação dificilmente irão fornecer um padrão muito característico, pois a amostragem dos alunos é muito pequena enquanto que os trabalhos de pesquisas mencionados no programa comparam valores médios entre espécies diferentes. O objetivo da atividade é mostrar um exemplo simples de experimento, coleta e análise de dados.

Em outra oportunidade o professor pode desenvolver os experimentos Quanto você tem de pele e Variáveis antropométricas da coleção M3 Matemática Multimídia.

Sugestões de leitura

COOK, John D. Metabolism and power laws — The Endeavour. Página http://tinyurl.com/7cruhs7 visitada em 14/Nov/2011. POMPEO, José Nicolau; DOLCE, Osvaldo; Fundamentos de Matemática elementar. Geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual Editora. 1993.

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Ficha técnica

Autor Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira