formulação empírica para distorções residuais de chapas de...
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Formulação Empírica para Distorções Residuais de Chapas de Aço com
Linhas de Calor
Pedro Galvão Pellegrino
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Naval e Oceânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador(es): Murilo Augusto Vaz
Julio Cesar Ramalho Cyrino
Rio de Janeiro
Abril de 2016
Formulação Empírica para Distorções Residuais de Chapas de Aço com
Linhas de Calor
Pedro Galvão Pellegrino
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DA ESCOLA
POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO
PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A CONCLUSÃO DO CURSO
DE ENGENHARIA – HABILITAÇÃO NAVAL E OCEÂNICA.
Banca Examinadora:
_______________________________________________
Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D.
_______________________________________________
Prof. Julio Cesar Ramalho Cyrino, D.Sc
_______________________________________________
Prof. Marcelo Igor Lourenço de Souza, D.Sc.
_______________________________________________
Eng. Marcelo Caire, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
Abril DE 2016
III
Pellegrino, Pedro Galvão
Formulação Empírica para Distorções Residuais de Chapas de Aço
com Linhas de Calor / Pedro Galvão Pellegrino – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.
XI, 45 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Murilo Augusto Vaz e Julio Cesar Ramalho
Cyrino
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Naval e Oceânica, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 44
1. Predição de Deformações Residuais 2. Linhas de Calor 3.
Elementos Finitos .I. Cyrino, Julio Cesar II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval
e Oceânica. III. Título.
IV
Dedicatória
Ao meus pais e avós, em especial Eduardo e Lucia,
pelos inestimáveis conselhos e ensinamentos.
A minha família e amigos, pelo apoio.
V
AGRADECIMENTOS
A Deus, porque sem Ele nada pode ser feito.
Aos Professores Murilo Augusto Vaz e Julio César Ramalho Cyrino pela sua valiosa
orientação, paciência e colaboração para o desenvolvimento do presente trabalho.
A coordenação do PRH03, através do patrocínio da ANP – Petrobrás, pela confiança e
suporte financeiro durante o desenvolvimento do meu projeto de final de curso.
Ao CNPq pelo suporte financeiro durante meu período de intercâmbio na Universidade
Newcastle a qual me deu uma maturidade fundamental para evolução do presente trabalho.
Aos meus avós, pais e a todos que tenho a sorte de poder chamar de familia pelo
incentivo e apoio incondicional ao longo de minha vida.
Aos amigos e funcionários do Núcleo de Estruturas Oceânicas (NEO), em especial o
Victor Torres, por compartilhar seus conhecimentos e os valiosos aportes a meu trabalho.
A todos os meus amigos que me apoiaram, alentaram e acompanharam durante todo o
meu processo de formação.
VI
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.
Formulação Empírica para Distorções Residuais de Chapas de Aço com
Linhas de Calor
Pedro Galvão Pellegrino
Abril/2016
Orientador: Murilo Augusto Vaz e Julio Cesar Ramalho Cyrino
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Atualmente, somente os soldadores experientes são capazes de realizar a arte da
linha de calor, pois a quantidade de calor e o posicionamento das linhas, por exemplo,
são baseados inteiramente na experiência. Como esse conhecimento é muito difícil de
categorizar para conseguir ser documentado, o treinamento para um soldador capaz de
realizar esta tarefa, com uma qualidade mínima, leva muitos anos. Isto gera um gargalo
na produção limitando o aumento da capacidade de aplicação do método.
Portanto, um método prático para a determinação dos principais parâmetros
baseado na deformação desejada seria de muita valia. Isto poderá possibilitar com que o
soldador receba instruções muito mais claras de execução, além de que o tempo de
treinamento e qualificação exigida seja reduzido drasticamente. Futuramente, isto
possibilitaria uma automação completa do processo.
Palavras-chave: Linha de Calor, Processo de Dobramento de Chapas
VII
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Engineer.
Empirical Formulation for Residual Distortion of Steel Plates with Line
Heating
Pedro Galvão Pellegrino
2016
Advisor: Murilo Augusto Vaz and Julio Cesar Ramalho Cyrino
Course: Marine Engineering, Naval Architecture and Ocean Engineer
Presently, only experinced welders are capable to perform the line heating process
because the aumount of heat and the positioning of the heating lines, for example, are based
entirely on experience. Because this knowledge is very hard to categorize to be documented, it
takes many years to train a new welder to be able to peform this task with a minimum quality.
This generates a bottleneck in the production line limiting the aplicability of the method.
Therefore, a pratical method to determine the basic parameters based on the desired
deformation would be of much value. This could make possible that werlders receive clear
process instructions and minimize the erros. Also, the training time necessary for the welders to
become able to performe the line heating could be drastically minimized. Furthermore, it would
allow a possible automation of the whole process.
Keywords: Line Heating, Steel Plates Bending Process
VIII
ÍNDICE
1 Introdução.................................................................................................................. 1
2 Objetvo ...................................................................................................................... 1
3 Revisão Teórica e Conceitos Básicos........................................................................ 2
3.1 Propriedades físicas do Material ........................................................................ 3
3.2 Tipos de fontes de calor ..................................................................................... 5
3.2.1 Modelo de Fonte de Calor Gaussiana bidimensional ................................. 7
3.2.2 Modelo de Fonte de Calor Gaussiana tridimensional (elipsoidal dupla) ... 8
3.3 Campo de Temperatura ...................................................................................... 8
3.4 Tensões Residuais ............................................................................................ 13
3.4.1 Conceito .................................................................................................... 14
3.4.2 Ocorrência de Tensões Residuais ............................................................. 16
4 Metodologia Elaborada ........................................................................................... 16
4.1 Material Utilizado ............................................................................................ 16
4.2 Modelo Numérico ............................................................................................ 17
4.2.1 Elementos utilizados nas análises térmica e estrutural ............................. 17
4.2.2 Malha ........................................................................................................ 18
4.2.3 Fluxograma do processo de Análise Termomecânico .............................. 19
4.3 Modelo de Fonte de Calor ............................................................................... 20
IX
4.4 Equação Analítica ............................................................................................ 21
4.4.1 Parâmetros Físicos Envolvidos no Processo de Linha de Calor ............... 22
4.4.2 Análise Dimensional utilizando o método de Mandal.............................. 24
5 Análise de Resultado ............................................................................................... 27
5.1 Modelos Numéricos ......................................................................................... 28
5.2 Método Analítico Mandal ................................................................................ 30
5.3 Desenvolvimento da Equação Analítica .......................................................... 35
5.3.1. Primeira tentativa na obtenção de parâmetros .......................................... 36
5.3.2. Segunda tentativa na obtenção de parâmetros .......................................... 37
5.3.3. Equação Analítica Final............................................................................ 38
5.4 Comparação entre os Métodos ......................................................................... 40
6 Conclusão ................................................................................................................ 43
7 Referências .............................................................................................................. 44
X
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Etapas do Processo de deformação por aplicação de calor. (http:// ihea.org) .. 2
Figura 2- Tocha de Oxi-acetileno. (http:// http://www.ure.es/). ....................................... 6
Figura 3- Indução de calor por alta frequência. (http://ecvv.com) ................................... 6
Figura 4-Aplicação de Laser. FMA – (http:// fmanet.org). .............................................. 7
Figura 5- Representação esquemática de uma fonte de calor pontual se movimentando
em uma chapa. .................................................................................................................. 9
Figura 6- Distribuição de temperatura de acordo com as formulações de Rosenthal e
Maekawa et al. [3] .......................................................................................................... 13
Figura 7- Tensões resisduais em várias escalas [4]. ....................................................... 15
Figura 8– Elementos contínuos de oito nós de primeira ordem. ANSYS [9] ................ 18
Figura 9- Malha refinada na zona térmicamente mais afetada pela linha de calor. ....... 19
Figura 10 – Fluxograma do processo de análise termomecânico utilizando elementos
finitos .............................................................................................................................. 20
Figura 11- Distribuição de Gauss do fluxo de calor fornecido. Hemmati e Shin [11]. .. 21
Figura 12 – Procedimento seguido no estudo desenvolvido. ......................................... 28
Figura 13 – Multiplas regressões lineares utilizando a ferramente de Regressão do
Excel. .............................................................................................................................. 30
Figura 14 – Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm. ........................... 31
Figura 15 – Pontos onde foram analisados as deformações residuais ............................ 33
Figura 16 – Deformação residual para Amostra 01 ........................................................ 34
Figura 17 - Deformação residual para Amostra 02 ........................................................ 34
XI
Figura 18 - Deformação residual para Amostra 03 ........................................................ 35
Figura 19 - Deformação residual para Amostra 04 ........................................................ 35
Figura 20 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm. ............................ 37
Figura 21 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm. ............................ 38
Figura 22 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm para equação final.
........................................................................................................................................ 39
Figura 23 – Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente. .................................................................................................. 41
Figura 24 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente. .................................................................................................. 42
Figura 25 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente. .................................................................................................. 42
Figura 26 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numéricamente. .................................................................................................. 43
1
1 Introdução
Um grande problema enfrentado atualmente nos estaleiros brasileiros é o de falta
de produtividade. Esse problema é causado por diversos motivos, sendo um deles o da
falta de automação de processos.
Uma grande parte do tempo da construção de um navio é gasto no processo de
formação de chapas curvas. Perde-se muito tempo na correção de imperfeições causadas
por soldagem ou por métodos tradicionais de curvatura de chapas. Muito das vezes,
estas correções são feitas manualmente, contando apenas com a experiência dos
trabalhadores, através de uma técnica chamada linha de calor.
A linha de calor é normalmente utilizada ainda como complemento de processos
como a calandra e o forjamento, a fim de prover curvatura dupla. Para fins de melhoria
no processo, o ideal seria que a linha de calor fosse uma única etapa automatizada.
O presente trabalho se propõe a desenvolver relações paramétricas através do
desenvolvimento de uma equação analítica que preveja as deformações residuais do
processo, utilizando como ferramenta de apoio fundamental modelos numéricos
desenvolvidos no software ANSYS.
Com a possibilidade de prever as deformações na chapa de aço com dimensões
padrões utilizando apenas equações analíticas, evitando assim análises demoradas em
elementos finitos, o método de linhas de calor poderia se tornar um método
automatizado e eficiente.
2 Objetvo
No presente trabalho, os mecanismos do processo denominado linhas de calor
serão estudados. Um estudo de regressão para achar coeficientes da equação proposta
por Mandal, et al. [1], desenvolvida através de um estudo dimensional, será conduzido
para se analisar a aplicabilidade da mesma em casos práticos. A primeira fase consiste
em desenvolver um modelo numérico e conduzir diversas análises onde três parâmetros
serão variados: velocidade da chama, fluxo de calor e espessura da chapa.
2
A segunda etapa da pesquisa consiste em conseguir desenvolver uma equação
analítica própria que apresente resultados iguais ou melhores que os obtidos na primeira
fase. Com isso, seria possível a documentação dos parâmetros nas unidades de produção
para determinada deformação e assim diminuir o tempo de treinamento dos operários e
os erros causados. O benefício, caso o resultado esperado seja alcançado, é enorme,
possibilitando até uma futura automação deste processo.
O estudo não possui a pretensão de desenvolver um método aplicável de
imediato, mas sim uma primeira fase de pequisa que necessitaria de desenvolvimento
posterior. Cabe ressaltar que a vantagem da equação em relação ao método numérico é
no tempo de processamento, sendo muito inferior.
3 Revisão Teórica e Conceitos Básicos
A submissão de uma superfície metálica a um aquecimento local leva o material
a entrar em processo de expansão. O local onde a superfície é aquecida diretamente fica
com uma temperatura superior ao do restante do corpo. Com isso, na fase de
resfriamento, o local possui uma contração do material superior ao do resto do corpo,
gerando uma deformação plástica. A Figura 1 ilustra este processo.
Figura 1- Etapas do Processo de deformação por aplicação de calor. (http:// ihea.org)
Explicando de uma maneira um pouco mais técnica, onde as tensões causadas
pelo campo térmico, após a passagem da tocha, são superiores a tensão de escoamento
do material, o material se plastifica. Este é o princípio do procedimento denominando
linha de calor, que nada mais é do que o dobramento de chapas de aço utilizando uma
fonte de calor.
3
Apesar de o procedimento ser algo simples a primeira vista, existem diversas
dificuldades técnicas que o colocam na mira de diversos pesquisadores. Podemos citar
os três abaixo como sendo os principais:
I) Descobrir como parâmetros da fonte de calor (potência, velocidade e distância
da superfície) influenciam o produto final e como manipulá-los para obter a curvatura
desejada.
II) Saber em que regiões da placa devem ser aplicadas as linhas de calor e qual
trajetória devem ser percorridas para obter-se o dobramento exato.
III) Descobrir como relacionar os itens I) e II) para se obter resultados
satisfatórios com o método.
Este capítulo tem como objetivo apresentar as propriedades que afetam o
processo, fazer uma breve descrição do modelo de fonte de calor mais comum em
estaleiros, explicar os tipos de distorções decorrentes do processo e dar exemplos de
alguns modos de aplicação e seus respectivos efeitos sobre uma placa plana de aço.
3.1 Propriedades físicas do Material
As propriedades do material exercem uma forte influência no resultado do
dobramento por linhas de calor. Portanto, é fundamental conhece-los um pouco mais a
fundo para se desenvolver um estudo bem fundamentado.
As propriedades com maior relevância para o procedimento de linhas de calor
são:
• Condutividade térmica;
• Calor específico;
• Densidade;
• Módulo de elasticidade;
• Coeficiente de expansão térmica;
• Coeficiente de filme
• Tensão limite de escoamento;
• Módulo tangente;
4
A seguir é apresentado uma breve explicação de cada propriedade.
I) Condutividade Térmica
A condutividade Térmica (k) é uma propriedade que caracteriza a capacidade do
material de conduzir calor, tendo sua unidade expressa no sistema internacional em
Watt por metro por Kelvin. Um valor alto dessa propriedade significa que o material
possui uma alta capacidade de conduzir calor.
II) Calor específico
Calor específico é uma grandeza física que define a variação térmica de certa
substância após receber uma determinada quantidade de calor. Essa propriedade
também é conhecida como capacidade térmica mássica e sua unidade no sistema
internacional é expressa em Joule por Quilogramas por Kelvin [J/(Kg.K)].
III) Densidade
A densidade, também conhecida como massa específica, é o quociente entre a
massa de um corpo e seu volume, ou seja, é uma propriedade que mede a concentração
mássica em certo volume. A sua unidade no sistema internacional é expressa em
quilogramas por metro cúbico [Kg/m³]
IV) Módulo de elasticidade
O módolo de elasticidade, também chamado de módulo de Young (E), é um
parâmetro que mede a rigidez de um material sólido. Ela é obtida através do quociente
entre a tensão aplicada e a deformação unitária sofrida pelo material. No sistema
internacional, a sua unidade é expressa em Pascal [Pa].
V) Coeficiente de expansão térmica
O coeficiente de expansão térmica (α 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑡𝑎çã𝑜), também conhecido como
coeficiente de dilatação, quantifica a mudanças de dimensões de um corpo ao sofrer um
gradiente de temperatura. No sistema internacional, sua unidade é expressa em [𝑘−1].
5
VI) Coeficiente de filme
O coeficiente de filme, também nominado de coeficiente de convecção (h), é
uma propriedade que depende dos seguintes parâmetros: gradiente de temperatura,
forma, fluido e etc. No sistema internacional, sua unidade é expressa em Watts por
metro quadrado por kelvin [𝑊 𝑚2𝐾⁄ ].
VII) Tensão limite de escoamento
Tensão limite de escoamento (𝜎𝑦) é a máxima tensão que o material suporta sem
sofrer deformação plástica, a partir dessa tensão o material deixa de seguir a Lei de
Hooke, saindo do regime elástico. No sistema internacional, sua unidade é expressa em
Pascal [Pa].
VIII) Módulo tangente
Módulo tangente (𝐸𝑡) é a inclinação da curva de tensão deformação no regime
plástico. Sua unidade no sistema internacional é Pascal [Pa].
3.2 Tipos de fontes de calor
Esse tópico tem como objetivo apresentar os principais tipos de fontes de calor.
Os principais tipos são:
Tocha a Gás
Indução de calor por alta frequência
Aplicação de calor com Laser
A seguir é apresentado a explicação de cada tipo:
I) Tocha a Gás
Nesse tipo de tocha o combustível mais utilizado é o acetileno e a temperatura
da chama e a quantidade de calor gerado dependem da proporçãoo de oxigênio para o
acetileno usado. Esse tipo de tocha é a mais barata, porém é muito difíil de controlar o
fluxo aplicado. A Figura 2 apresenta uma representação dessa tocha.
6
Figura 2- Tocha de Oxi-acetileno. (http:// http://www.ure.es/).
A tocha de oxi-acetileno é o tipo fonte de calor mais utilizado em estaleiros no
Brasil, portanto, esse será o tipo de fonte utilizada nesse estudo. Sua representação
matemática será apresentada nos tópicos 3.2.1 e 3.2.2.
II) Indução de calor por alta frequência
Nesse tipo de fonte, o calor é gerado a partir de um campo eletromagnético,
permitindo dessa forma um maior controle de penetração do calor, entretanto, o
aparelho não é muito versátil para o uso em linhas de calor. A Figura 3 apresenta uma
ilustração dessa fonte.
Figura 3- Indução de calor por alta frequência. (http://ecvv.com)
7
III) Aplicação de calor com Laser
Esse tipo de fonte permite o controle do fluxo de calor e o equipamento é de
fácil uso na linha de calor, dessa forma, ele é considerado o melhor tipo de fonte de
calor. Porém, o seu custo elevado inviabiliza, em muitos casos, a sua utilização. A
Figura 4 apresenta uma ilustração dessa fonte.
Figura 4-Aplicação de Laser. FMA – (http:// fmanet.org).
Como citado anteriormente a fonte de calor utilizada nesse estudo será uma
tocha de oxi-acetileno. Esta fonte será representada matematicamente pela função de
Gauss. Bonifaz [2] faz uma comparação entre duas fontes de calor Gaussianas, como
demonstrado a seguir:
3.2.1 Modelo de Fonte de Calor Gaussiana bidimensional
𝑞(𝑥, 𝑧, 𝑡) =
3Q
π𝑐2 𝑒−3𝑥2
𝑐2 𝑒−3𝜉2
𝑐2
( 1 )
Onde:
Q= taxa de energia de entrada (W),c = raio característico da distribuição do fluxo (m)
𝜉 = transformação relativa ao sistema de coordenadas fixo e móvel = z+v(τ-t)
v= velocidade da linha de calor (m/s), τ =defasagem =c/v (s), t=tempo(s).
8
3.2.2 Modelo de Fonte de Calor Gaussiana tridimensional (elipsoidal dupla)
𝑞(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑓(𝑓, 𝑟)
6√3Q
abcπ√𝜋𝑒
−3𝑥2
𝑎2 𝑒−3𝑦2
𝑏2 𝑒−3[𝑧+𝑣(𝜏−𝑧)]2
𝑐2
( 2 )
Onde:
𝑓𝑓 𝑒 𝑓𝑟= frações do calor fornecido.
a,b,c = semieixos da elipsóide na direção x, y, ξ(m)
Ele conclui que ambas as fontes são sensíveis aos parâmetros de distribuição (a,
b, c nas equações) e recomenda a distribuição gaussiana bidimensional para predições
mais precisas para a simulação dos processos de linha de calor.
3.3 Campo de Temperatura
As deformações em chapas sob linha de aquecimento são produzidas como
resultado da deformação plástica, que é causada pela distribuição não-uniforme de
temperatura na peça de trabalho. O processo de aquecimento por linha é um problema
transiente termomecânico altamente complexo, logo é difícil determinar o tamanho e a
magnitude das deformações plásticas. Portanto, assume-se que as deformações plásticas
que ocorrem durante o processo de aquecimento por linha são geradas na região de
temperatura crítica.
A região de temperatura crítica pode ser considerada como a região de geração
de deformação plástica, já que, embora as deformações plásticas possam ser criadas
abaixo da temperatura crítica, a maioria delas é produzida acima da temperatura crítica.
Geralmente, as propriedades mecânicas e físicas do metal são dependentes da
temperatura.
Como a temperatura da área da linha de aquecimento aumenta, a tensão de
escoamento, módulo de elasticidade e condutividade térmica do aço decrescem,
enquanto o calor específico e o coeficiente de expansão térmica aumentam. Em
particular, a tensão de escoamento e o módulo de elasticidade, que expressam a
9
resistência do material à deformação por uma força externa, decrescem severamente
acima de temperatura crítica [3].
A Figura 5 representa esquematicamente o processo de aquecimento de uma
chapa quando uma superfície é aquecida a uma velocidade v.
Figura 5- Representação esquemática de uma fonte de calor pontual se
movimentando em uma chapa.
A equação fundamental da condução de calor num sólido é:
𝜌𝑐∂T
∂t= �̇�𝐺 +
∂
∂x(λ
∂T
∂x) +
∂
∂y(λ
∂T
∂y) +
∂
∂z(λ
∂T
∂z)
( 3 )
Onde:
x,y,z = sistema de coordenadas retangular;
ρ = massa específica do material;
c = calor específico;
T = Temperatura;
t = Tempo;
�̇�𝐺= Taxa de variação do calor gerado por volume;
10
λ= Condutivade térmica;
A Equação (3) pode ser escrita como:
𝜌𝑐∂T
∂t= �̇�𝐺 + λ (
∂2𝑇
∂2x+
∂2𝑇
∂2y+
∂2𝑇
∂2z ) +
∂λ
∂T[(
∂T
∂x)
2+ (
∂T
∂y)
2+ (
∂T
∂z)
2]
( 4 )
Se ∂k ∂T⁄ = 0 , ou seja, o valor da condutividade térmica não muda com a
temperatura, a Equação (4) pode ser reduzida à seguinte equação linear:
𝜌𝑐
∂T
∂t= �̇�𝐺 + k (
∂2𝑇
∂2x+
∂2𝑇
∂2y+
∂2𝑇
∂2z)
(5 )
Se não existe nenhum sumidouro ou fonte no elemento considerado, pode-se
fazer �̇�𝐺 = 0 e a é reduzida para:
𝜌𝑐
∂T
∂t= k (
∂2𝑇
∂2x+
∂2𝑇
∂2y+
∂2𝑇
∂2z)
(6)
onde k= λ/𝜌𝑐 é a difusividade térmica.
Usando um sistema de coordenadas (w,y,z) que se move na mesma velocidade
que a fonte de calor, como mostrado na Figura 5:
𝑤 = 𝑥 − 𝑣𝑡
( 7 )
A temperatura não se altera no novo sistema de coordenadas em movimento,
logo a Equação é expressa como:
(
∂2𝑇
∂2x+
∂2𝑇
∂2y+
∂2𝑇
∂2z) = −
𝑣
𝑘(
∂T
∂w)
( 8 )
A Equação (8) se torna mais facilmente manipulável ao substituí-la pela seguinte
expressão:
11
𝑇 = 𝑇0 + 𝑒−(𝑣 2𝑘⁄ )𝑤ϕ(𝑤, 𝑦, 𝑧)
( 9 )
Onde:
𝑇0=temperatura inicial
ϕ(𝑤, 𝑦, 𝑧)=função a ser determinada
Substituindo a Equação (9) na equação (8) e fazendo os cálculos, encontra-se:
∂2ϕ
∂2w+
∂2ϕ
∂2y+
∂2ϕ
∂2z− (
𝑣
2𝑘)
2ϕ = 0
( 10 )
Como a fonte é um ponto, o fluxo de calor através da superfície do hemisfério
formado em torno da fonte tende ao valor do calor total, Qp, fornecido à placa, então o
raio da esfera tende a zero. Matematicamente falando, se R é o raio da esfera, temos
que:
lim𝑅→0 −2𝑅2𝑘∂T
∂R= 𝑄𝑃
( 11 )
Desprezando a radiação e convecção na superfície, a distribuição de temperatura
numa chapa com espessura finita h pode ser obtida por:
∂T
∂z= 0 para z = 0 e z = h
( 12 )
A solução para uma fonte de calor pontual que se move na placa com espessura
finita e comprimento e larguras infinitas, conhecida como Solução de Rosenthal é
obtida pela seguinte Equação:
12
T − T0 =Q
2πλe−(v 2k⁄ )w [
e−(v 2k⁄ )R
R+ ∑ (
e−(v 2k⁄ )Rn
Rn+
e−(v 2k⁄ )R´n
R´n
)∞n=1 ]
( 13 )
Onde;
T = Temperatura da chapa;
T0 = Temperatura inicial da chapa;
Q = Quantidade de calor fornecida;
λ = Condutividade de calor;
v = velocidade da tocha;
k = Difusividade térmica;
R = √w2 + y2 + z2;
R´n = √w2 + y2 + (2nh − z)2;
w=x-vt
x=Coordenada na direção da linha de aquecimento;
y=Coordenada na direção perpendicular à linha de aquecimento;
z=Coordenada na direção da espessura;
t = tempo;
h = Espessura da chapa;
A solução de Rosenthal apresentada acima parte das hipóteses de fonte de calor
pontual e perda de calor desprezível. Maekawa et al [4] modificam o modelo proposto
por Rosenthal, incorporando os efeitos de perda de calor na superfície e substituindo a
fonte de calor pontual por uma fonte de calor distribuída triangularmente ao longo da
espessura, de modo que o fluxo ao longo da espessura decresce linearmente do valor
13
máximo na superfície superior a um valor nulo a uma determinada profundidade. O
gráfico apresentado na Figura 6 fornece uma comparação da distribuição de temperatura
numa chapa de dimensões 304x304x mm, velocidade da fonte de 20 cm/min e potência
2,6 kW.
Figura 6- Distribuição de temperatura de acordo com as formulações
de Rosenthal e Maekawa et al. [4]
A temperatura analisada na Figura 6 foi obtida no ponto central da chapa,
superfície inferior. As propriedades utilizadas são referentes à temperatura de 538 °C,
onde Cp = 535J/Kg.K, λ = 17,5 W/m.K e k = 4,16E-06 m²/s.
Pelo gráfico acima é possível concluir que as temperaturas no modelo proposto
por Rosenthal superam a do modelo de Maekawa et al [4], o que se justifica pelo fato de
que, no último, existe o efeito da perda de calor na superfície, o que diminui a
temperatura de resfriamento. Além disso, existe a influência da distribuição do fluxo de
calor, já que Maekawa et al distribuem o calor ao longo da espessura, ao passo que
Rosenthal concentrou todo o calor pontualmente, resultando em magnitudes de
aquecimento superiores.
3.4 Tensões Residuais
Esse tópico tem como objetivo apresenta o conteito de tensões residuais e
apresentar as situações que elas ocorrem.
14
3.4.1 Conceito
É conhecido que em qualquer conformação de metal serão impostas a ele
tensões residuais. A falha de um componete é normalmente, se não diretamente,
induzida por tensões residuais. Essas tensões ocorrem em materiais que exibem
comportamento plástico e elas aparecem quando determinada carga externa aplicada
desaparece. Uma das causas das tensões residuais é um diferencial de temperatura no
material, tendo a temperatura nos pontos da chapa próximos à fonte de calor
substancialmente maiores que as temperaturas dos pontos mais afastadosda fonte de
calor. Essas tensões são normalmente chamadas de tensões térmicas. Acredita-se que as
deflexões resultantes do aquecimento por linhas sejam causadas por uma combinação de
comportamentos plástico e elástico. Como as tensões residuais são limitadas pela tensão
de escoamento do material, a medição das tensões residuais numa forma composta
deveria indicar a contribuição da deformação elástica na deflexão total. Além disso,
para componentes críticos onde a falha causaria a perda do sistema, a minimização ou a
remoção das tensões residuais é de grande ajuda. Um exemplo em que essa linha de
raciocíonio é aplicada é em formas compostas que são soldadas.
As áreas de ocorrência de tensões residuais podem variar, em escala, de grande
porções da estrutura metálica até áreas mensuráveis apenas em escala atômica. A
Figura 7 apresenta tensões resisduais macroscópicas em várias escalas. Quando uma
estrutura é aquecida por radiação solar em um lado, distorções e tensões térmicas são
produzidas na estrutura inteira, como mostrado na Figura 7(a).
15
Figura 7- Tensões resisduais em várias escalas [5].
De acordo condição de Equilíbrio de Tensões Residuais, se as tensões residuais
existem sem forças externas, a força e o momento resultantes produzidos por tensões
residuais devem satisfazer as seguintes condições:
∫ 𝜎𝑑𝐴 = 0, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑠𝑒çã𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎
( 14 )
E:
∫ 𝑑𝑀 = 0
( 15 )
Vale ressaltar que é importante verificar se os dados registrados sobre tensões
residuais satisfazem as condições acima.
16
3.4.2 Ocorrência de Tensões Residuais
As tensões residuais em estruturas metálicas pode ocorrer devido a inúmeras
razões durante o processo de fabricação. A seguir são citados algumas razões:
Em vários materiais, incluindo chapas, barras, e secções durante o rolamento,
fundição, forjamento, etc.
Durante a conformação de partes de metal por processos como cisalhamento,
curvatura, usinagem e jateamento;
Durante processos de fabricação, como soldagem.
Os tratamentos térmicos durante a fabricação também influenciam as tensões
residuais. Por exemplo, a têmpera produz tensões residuais enquanto os tratamentos
térmicos para aliviar tensões reduzem as tensões residuais.
4 Metodologia Elaborada
4.1 Material Utilizado
O material utilizado no presente trabalho foi o Aço C-Mn. As propriedades
mecânicas e térmicas e composição do aço C – Mn estão apresentadas na Tabela 1,
Tabela 2 e Tabela 3 respectivamente.
Tabela 1- Propriedade mecânicas do aço C – Mn. Clausen [6]
17
Tabela 2- Propriedades Térmicas do aço C-Mn. Clausen, [6].
Tabela 3 - Composição do aço C – Mn. Legg, R. B. [7].
4.2 Modelo Numérico
Optou-se por utilizar, no presente trabalho, o método dos elementos finitos para
predizer, de maneira aproximada, as deformações elásticas e plásticas em uma chapa de
aço submetida a uma fonte de calor em movimento. Este método é uma ferramenta
amplamente utilizada na resolução de problemas e previsão de fenômenos térmicos e
físicos complexos, é o caso do processo de linha de calor.
Segundo o estudo realizado por Mahapatrav et al. [8], uma aproximação
bidimensional de um problema tridimensional não é adequada para se realizar a
predição das distorções sofridas pela chapa de aço devido ao processo de linha de calor.
Portanto, um modelo tridimensional foi desenvolvido utilizando programa
computacional de elementos finitos ANSYS para se realizar uma análise termomecânica
desacoplada.
4.2.1 Elementos utilizados nas análises térmica e estrutural
Para o modelo tridimensional desacoplado adotado para o processo de linha de
calor, serão utilizados elementos contínuos de oito nós de primeira ordem, pois
apresentam uma boa aproximação com menor tempo computacional.
18
Para a análise térmica serão utilizados elementos do tipo SOLID70, que possui
uma capacidade de condução térmica 3-D. O elemento tem apenas um único grau de
liberdade (temperatura) em cada nó. O elemento é aplicável a uma análise térmica 3-D
de estado estacionário ou transiente.
Para a análise mecânica serão utilizados elementos do tipo SOLID185 que são
usados para a modelação de estruturas sólidas 3-D. O elemento possui três graus de
liberdade em cada nó: translações nodais nas direções x, y, e z. O elemento tem
capacidade para plasticidade, hiperelasticidade, isto é, não linearidade do material e
grandes deflexões, grandes deformações, ou seja, não linearidade geométrica. (ANSYS
[9]).
Figura 8– Elementos contínuos de oito nós de primeira ordem. ANSYS [9]
4.2.2 Malha
É conhecido que quanto maior a quantidade de elementos da malha (maior
densidade), o resutado tenderá a ser mais próximo da solução exata. Porém, como
consequência do aumento de elementos da malha, o tempo computacional para se
realizar a análise aumenta significativamente.
A análise de sensibilidade da malha realizada por Pilipenko [10] para uma chapa
submetida a forças concentradas de flexão demonstra que elementos cubicos alongados
trabalham bem na direção curta do elemento, mas são mais rígidos na direção longa.
No processo de linha de calor, as regiões próximas à aplicação da tocha são as
que apresentam os maiores gradientes de temperatura. Portanto, para diminuir o tempo
computacional requerido, a malha possuirá uma variação, perpendicular ao passe da
19
linha de calor, de sua densidade conforme ilustrado na Figura 9. A malha será a mesma
tanto para a análise térmica quanto para a mecânica, salvo o tipo de elemento, que será
SOLID70 na a térmica e SOLID185 na mecânica.
Figura 9- Malha refinada na zona térmicamente mais afetada pela linha de calor.
4.2.3 Fluxograma do processo de Análise Termomecânico
Neste estudo, o modelo utilizado para se fazer à análise termomecânica é
desacopalado, ou seja, consiste em se realizar duas análises sequenciais, uma térmica e
outra mecânica respectivamente. Na análise a térmica se obtém o campo de
temperaturas, que será utilizado na segunda análise, para determinação do campo de
deformações. Este procedimento deve ser desenvolvido para cada instante de tempo. O
Fluxograma apresentado abaixo descreve de forma sucinta o processo.
20
Figura 10 – Fluxograma do processo de análise termomecânico utilizando elementos
finitos
4.3 Modelo de Fonte de Calor
Como já dito anteriormente neste relatório, será utilizado a tocha com
distribuição gaussiana do fluxo térmico neste estudo desenvolvida em [3]. A
distribuição gaussiana, segundo Clausen [6], é o tipo de distribuição que melhor
representa a realidade.
Esta distribuição é representada pela Equação (16):
𝑞" = 𝑞"𝑚𝑎𝑥 × 𝑒−𝛾.𝑟²
( 16 )
Onde o fluxo de calor (𝑞"), aplicado nos pontos da placa, é expresso em função
do fluxo de calor máximo (𝑞"𝑚𝑎𝑥), um fator de tocha (γ) e o quadrado da distância até o
centro (r²). A potência total é calculada como a integral da distribuição:
21
𝑄𝑇𝑜𝑡 = ∬ 𝑞". 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃2𝜋 ∞
0 0=
𝜋.𝑄𝑚𝑎𝑥
𝛾
( 17 )
Para fazer uma melhor escolha da largura do maçarico e entender melhor o
parâmetro γ, um “raio de tocha” (𝑟𝑡𝑜𝑐ℎ𝑎) é definido onde 𝑞", Equação (18), é um por
cento de 𝑞"𝑚𝑎𝑥.
𝑞"𝑚𝑎𝑥 × 𝑒−𝛾.𝑟² = 0,01 × 𝑞"𝑚𝑎𝑥
( 18 )
Onde:
𝛾 =𝑙𝑛100
𝑟²𝑡𝑜𝑐ℎ𝑎
( 19 )
Figura 11- Distribuição de Gauss do fluxo de calor fornecido. Hemmati e Shin [11].
4.4 Equação Analítica
Se o número de variáveis envolvidas em um fenômeno físico é conhecido, então
a relação entre as variáveis pode ser determinada através do método de Reiyleigh [12].
Através dele, é possível se descobrir as correlações entre os parâmetros de entrada e os
de saída.
Neste estudo, o método é utilizado para determinar a expressão para uma
variável a qual depende de otras variáveis. Em outras palavras, se X é uma variável que
22
depende de X1, X2,..., Xn então, de acordo com Reiyleigh, X é uma função de X1, X2,...,
Xn e pode ser expresso matematicamente, sendo escrito como 𝑋 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).
Isto pode ser reescrito como 𝑋 = 𝐾. 𝑋1𝑎. 𝑋2
𝑏 … 𝑋𝑛𝑚, onde K é uma constante e a,b,...,m
são potências aleatórias. Os valores de a,b,..,m são obtidos através da comparação das
potências das dimensões fundamentais em cada lado. Portanto a expressão é obtida para
a variável dependente.
No processo de linha de calor existem muitos fatores que podem afetar a
deformação final da placa. Alguns exemplos seriam a velocidade da tocha, a sua altura
com relação a superfície da placa, a quantidade de fluxo de calor, o número de passes,
as propriedades do material, o local de aquecimento e resfriamento, dimensões da placa
e imperfeições da placa. Fatores humanos e ambientais como humidade do ar, vento e a
habilidade do colaborador também devem ser levados em conta.
Um método de análise dimensional foi empregado para se deduzir a maioria dos
parâmetros em uma forma adimensional. O método dissolve a complexidade do
fenômeno num estagio inicia de investigação. Se as variáveis forem escolhidas
corretamente, os parâmetros podem ser utilizados para se fazer alumas deduções lógicas
sobre o fenômeno.
4.4.1 Parâmetros Físicos Envolvidos no Processo de Linha de Calor
Em termos dimensionais, todos os parâmetros podem ser expressos em termos
de quatro quantitativos fundamentais: Força [F], comprimento [L], tempo [S] e
temperatura []. A tabela 4 mostra as dimensões de todos os parâmetros que serão
utilizados no presente estudo.
23
Tabela 4- Lista de parâmetros e suas respectivas dimensões.
Variável Dimensão Descrição
T [] Temperatura;
Q = 𝑸𝜸
𝝅 [FLS
-1] Quantidade de Calor;
qmax [FL-1
S-1
] Quantidade de Calor Máxima sobre a Superfície;
v [LS-1
] Velocidade da Tocha;
δ [L] Deformação Residual;
k [FS-1
-1] Condutividade Térmica;
C = Ccpρ [FL-2
-1] Capacidade Térmica por unidade de volume;
Ccp [L2S
-2
-1] Capácidade térmica;
ρ [FL-4
S2] Densidade;
E [FL-2
] Módulo de Young;
W [L] Largura;
t [L] Espessura;
h [L] Altura da Tocha com relação a superfície.
24
4.4.2 Análise Dimensional utilizando o método de Mandal
Mandal, et al. [1] desenvolvem um método analítico para predição das
deformações residuais geradas pelo processo de linha de calor através de análises
dimensionais. Para isto, a análise dimensional foi dividida em duas etapas, assim como
é feito numericamente, em uma regressão para análise térmica e outra para análise
mecânica.
a. Análise Dimensional da Deformação Residual
Segundo Mandal et al. [1], a distribuição da temperatura em uma placa durante o
processo de linha de calor depende de k, C, h, Q, v, t e a temperatura máxima na
superfície Tmax. Considerado o método de Reiyleigh, a relação entre os parâmetros pode
ser expressa em uma forma exponencial:
[𝑇] = 𝑓[𝑘, 𝐶, ℎ, 𝑄, 𝑡, 𝑣, 𝑇𝑚𝑎𝑥]
( 20 )
Ou como:
𝑇 = 𝐾. 𝑘𝑎. 𝐶𝑏 . ℎ𝑐. 𝑄𝑑. 𝑡𝑒 . 𝑣𝑓 . 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑔
( 21 )
Sendo K uma constante e “a,b,c,d,e,f,g” potências arbitrárias. Os valores dos
expoentes devem ser ajustados para tornar a Equação (21) acima dimensionalmente
homogênia em ambos os lados:
[𝜃] = 𝐾[(𝐹𝑆−1𝜃−1)𝑎. (𝐹𝐿−2𝜃−1)𝑏 . (𝐿)𝑐 . (𝐹𝐿𝑆−1)𝑑 . (𝐿)𝑒 . (𝐿𝑆−1)𝑓 . (𝜃)𝑔
( 22 )
Aplicando o método para adimensionalizar a equação 22, chegamos na seguinte
equação:
25
𝑇 = 𝐾. 𝑘𝑎. 𝐶𝑏 . ℎ𝑐. 𝑄−(𝑎+𝑏). 𝑡(𝑎+2𝑏−𝑐). 𝑣𝑏 . 𝑇𝑚𝑎𝑥(1+𝑎+𝑏)
𝑇
𝑇𝑚𝑎𝑥= 𝐾[(
𝑘𝑡𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑄)
𝑎
. (𝐶𝑡2𝑣𝑇𝑚𝑎𝑥
𝑄)
𝑏
. (ℎ
𝑡)
𝑐
]
( 23 )
( 24 )
A Equação (24) mostra parâmetros não dimensionais para a distribuição de
temperatura devido ao processo de linha de calor. Geralmente a deformação residual
devido ao processo em questão depende na quantidade de calor aplicada e a temperatura
de pico máxima resultante.
Mantendo constante a altura da tocha em relação a superfície da placa e
considerando que as propriedades térmicas de um determinado material sob uma
temperatura máxima prescrita, a Equação (24) fornece os seguintes parâmetros:
(𝑡
𝑄) (
𝑡²𝑣
𝑄) (
1
𝑡)
( 25 )
b. Análise Dimensional da Deformação Residual
Continuando o que foi desenvolvido por Mandal et al. [1], é razoável tratar
deformações dentro do plano e dobramento separadamente. Para um dado material, as
deformações são afetadas pelas dimensões da placa assim como as condições de
aquecimento.
𝛿 = 𝑓(𝑄0𝑙, 𝐷, 𝑊)
( 26 )
Onde 𝐷 = 𝐸𝑡³ 12(1 − 𝑉2)⁄ é a rigidez de dobramento da placa, V é o coeficiente de
Poisson e Q0 é a quantidade de calor por unidade de comprimento. Substituindo a
fórmula dimensional por variáveis:
26
[𝐿] = [(𝐹𝐿)𝑎(𝐹𝐿)𝑏(𝐿)𝑐]
( 27 )
Seguindo o mesmo raciocínio demonstrado anteriormente chega-se na seguinte
equação:
𝛿 = 𝑓 (𝑄𝑜𝑊𝑙
𝐷) = 𝑓 (
𝑄𝑊𝑙
𝐸𝑣𝑡³ 12(1−𝑉2)⁄)
( 28 )
Considerando a unidade de comprimento para um determinado material:
𝛿
𝑊= 𝑓 (
𝑄
𝑣𝑡³)
( 29 )
Onde 𝐷𝑐 = 𝐸𝑡 12(1 − 𝑉2)⁄ representa a rigidez no plano da placa. A
deformação dentro do plano é medido por unidade de comprimento e não possui relação
com a largura da placa. Através da análise dimensional, chega-se na segunte relação:
𝛿𝑐 = 𝑓 (𝑄0
𝐷𝑐) = 𝑓 (
𝑄
𝑣𝑡)
( 30 )
c. Relação Fundamental das Deformações Residuais
Das Equações (25), (29) e (30) as variáveis que determinam a distribuição de
temperatura e a deformação residual são:
𝑋𝑖 = {𝑡
𝑄,
𝑡²𝑣
𝑄,
1
𝑡,
𝑄
𝑣𝑡³,
𝑄
𝑣𝑡} (𝑖 = 1,2, … ,5)
( 31 )
Portanto a relação funcional desejada pode ser pode ser expressa na seguinte
forma:
27
𝛿𝑖𝑅𝑒𝑠 = 𝑓(𝑋𝑖)
( 32 )
Onde a forma específica de cada função fi pode ser determinada a partir dos
resultados numéricos obtidos através de simulações e múltiplas regressões lineares,
como apresentado abaixo:
𝛿𝑖𝑅𝑒𝑠 = 𝑎𝑖0 + ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗
( 33 )
Aplicando os parâmetros achados através das relações apresentada acima:
𝛿𝑦 = 𝑎𝑦0 + 𝑎𝑦1 (𝑡
𝑄) + 𝑎𝑦2
𝑡²𝑣
𝑄+ 𝑎𝑦3
1
𝑡+ 𝑎𝑦4
𝑡²𝑣
𝑄+ 𝑎𝑦5
𝑄
𝑣𝑡
( 34 )
Os coeficientes para diferentes deformações podem ser determinados através de
múltiplas regressões lineares. A Equação (34) será chamada neste estudo por questão de
conveniência como a equação de Mandal.
5 Análise de Resultado
A simulação de linhas de calor realizada nos diversos softwares de elementos
finitos, existentes atualmente, já vem apresentando resultados muito próximos à
realidade. O problema do método numérico é que o tempo computacional exigido ainda
é muito grande, tornando-o, pelo menos no presente tempo, inviável para ser utilizado
nos estaleiros do país.
O presente estudo tem como objetivo a proposição de um método que seja mais
eficiente, em termos de tempo computacional exigido, e que apresente resultados
satisfatórios. Conforme apresesentado anteriormente, o desenvolvimento de uma
equação analítica foi feito por Mandal et al. [1] através de análise dimensional e
utilizando o método de Rayleigh que, apesar de servir para uma limitada quantidade de
casos, é altamente eficiente e possui resultados aceitáveis. Portanto, a equação analítica
citada foi desenvolvida para uma nova faixa de aplicação, através de dados coletados
28
em análises numéricas aqui desenvolvidas e, em seguida, uma nova equação utilizando
um método semelhante foi desenvolvida.
A Figura 12 ilustra de maneira sucinta o procedimento conduzido nesta pesquisa e
detalhado posteriormente.
Figura 12 – Procedimento seguido no estudo desenvolvido.
5.1 Modelos Numéricos
Conforme mencionado anteriormente, um modelo numérico de uma chapa de
aço com dimensões 300x260 foi desenvolvido em ANSYS e validado [3]. Este modelo
foi utilizado para coletar os dados necessários à elaboração das equações através de
múltiplas regressões lineares. Para isto, foram feitas 18 simulações variandos os
parâmetros Q, v e t. A Tabela 5 resume os inputs utilizados para as simulações.
Tabela 5 – Inputs utilizados nos modelos numéricos utilizados para obter os
coeficientes das equações analíticas.
Q [W] V [m/min] t [mm]
4900 0,35 8
29
6000 0,35 8
7400 0,35 8
4900 0,40 8
6000 0,40 8
7400 0,40 8
4900 0,35 10
6000 0,35 10
7400 0,35 10
4900 0,40 10
6000 0,40 10
7400 0,40 10
4900 0,35 12
6000 0,35 12
7400 0,35 12
4900 0,40 12
6000 0,40 12
7400 0,40 12
30
Um programa foi desenvolvido utilizando o VBA Excel para extrair os dados
destas simulações e transferi-los em formato padrão para realização das regressões.
5.2 Método Analítico Mandal
Através desta extensa geração de dados coletados dos modelos de elementos
finitos, foi feito uma regressão linear para cada ponto utilizando a ferramenta
“Regressão” do Excel conforme mostrado na Figura 13.
Figura 13 – Multiplas regressões lineares utilizando a ferramente de Regressão do
Excel.
O intervalo Y de entrada é onde colocamos todas as deformações coletadas
referentes a um ponto específico analisado. No intervalo X de entrada, colocamos as
variáveis da equação de Madal (𝑡
𝑄,
𝑡²𝑣
𝑄,
1
𝑡,
𝑄
𝑣𝑡³,
𝑄
𝑣𝑡) . Neste estudo, seguindo o exemplo de
inúmeros estudos probabilísticos, foi considerado um nível de confiança de 95%.
Para exemplificar o processo, vamos utilizar o exemplo da Figura 13. O ponto
analisado é o y= 26, ou seja, é um ponto localizado na metade do comprimento da placa
(x=150mm), que fica a 26mm, na direção perpendicular, da linha de calor. Os
coeficientes da equação (34) para este ponto são apresentados na Figura 14.
31
Figura 14 – Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm.
Existem alguns dados que precisam ser analisados antes de se olhar para os
coeficientes em si. O R-quadrado ajustado representa o quanto a curva se aproxima dos
pontos de input para a regressão e, como pode se ver na figura 14, a curva está bem
ajustada (93,53%). O valor- P, também conhecido como nível descritivo, mostra o
quanto o coeficiente impacta diretamente na equação, sendo que só é considerado como
realmente influente valores-P menores que 5%. Neste exemplo específico, nenhum
coeficiente é muito impactante no resultado da equação, o que demonstra que as
variáveis da equação provavelmente não foram muito bem escolhidas.
Substituindo os valores dos coeficientes na equação (34), é possível reescrever a
equação para o ponto y= 26 da seguinte maneira:
𝛿26 = −0,402 − 59,395 (𝑡
𝑄) + 1,085
𝑡2𝑣
𝑄+ 2,448
1
𝑡− 0,067
𝑡2𝑣
𝑄+ 0,003
𝑄
𝑣𝑡
( 35 )
O primeiro passo para testar se a equação é capaz de fato de predizer a
deformação residual, de maneira minimamente satisfatória, devido a linha de calor é
comparar a deformação encontrada através da equação analítica com o resultado
numérico achado nas simulações.
32
Tabela 6 – Comparação de resulados entre os dados obtidos numericamente e com a
utilização das equações analíticas para o ponto y = 26.
Deformação [mm]
Q [W] t [mm] v[mm/s] Def. Equação [mm]
Diferença Erro
0,01792 4900 12 6,666666667 0,02518991 0,00726991 40,57%
0,02462 4900 12 5,833333333 0,02088853 0,00373147 15,16%
0,04228 6000 12 6,666666667 0,047881839 0,005601839 13,25%
0,04254 4900 10 5,833333333 0,04759468 0,00505468 11,88%
0,05437 6000 12 5,833333333 0,053452597 0,000917403 1,69%
0,06172 4900 8 6,666666667 0,082280287 0,020560287 33,31%
0,07205 6000 10 6,666666667 0,07525406 0,00320406 4,45%
0,07607 7400 12 6,666666667 0,082055005 0,005985005 7,87%
0,07607 4900 10 6,666666667 0,041463822 0,034606178 45,49%
0,08625 4900 8 5,833333333 0,096271117 0,010021117 11,62%
0,09127 7400 12 5,833333333 0,098095454 0,006825454 7,48%
0,09319 6000 10 5,833333333 0,090287451 0,002902549 3,11%
0,12581 7400 10 6,666666667 0,120342649 0,005467351 4,35%
0,12926 6000 8 6,666666667 0,123281368 0,005978632 4,63%
0,14559 7400 10 5,833333333 0,145251781 0,000338219 0,23%
0,15187 6000 8 5,833333333 0,145229776 0,006640224 4,37%
0,184761 7400 8 6,666666667 0,175268742 0,009492258 5,14%
0,200862 7400 8 5,833333333 0,206413933 0,005551933 2,76%
Analisando os resultados da Tabela 6, é possível se verificar que a equação
apresenta um erro considerável, mas o autor deste estudo considera os resultados
obtidos mínimamente satisfatório. Uma segunda rodada de testes foi feita. A partir de
simulações utilizando o mesmo modelo em ANSYS, porém com dados de entrada
diferentes, são geradas amostras validadas por experimentos (Clausen [6]) que servirão
como confirmação que a equação analítica de Mandal está representando de forma
satisfatória a realidade.
Tabela 7 – Comparação dos resultados obtidos nas amostras numéricas e os
resultados utilizando a equação analítica.
Deformação [mm]
Q [W] t [mm] v[mm/s] Def. Equação [mm]
Diferença Erro
0,14019 6200 8 6,67 0,130641878 0,009548122 6,81%
0,08692 4910 8 5 0,119407173 0,032487173 37,38%
0,0587 5850 10 7 0,0669381 0,0082381 14,03%
0,08013 7335 12 5 0,122672744 0,042542744 53,09%
33
É possível perceber que, em alguns casos, o erro entra o resultado numérico e o
analítico chega a cerca de 50%. Porém, como o número de análises numéricas
realizadas para fazer a regressão não foi elevado, boa parte do erro pode ser atribuído a
este fato.
A Figura 15 demonstra os pontos analisados neste estudo que, neste tópico, estão
sendo analisados em termos da deformação residual pelas equações (35), (36), 37), (38)
e (39). Todos os pontos foram analisados na superfície da chapa.
Figura 15 – Pontos onde foram analisados as deformações residuais
As equações abaixo (pontos y= 52, 78, 104 e 130) foram obtidas da mesma
maneira que o exemplo acima. A Figura 16, Figura 17, Figura 18 e Figura 19
demonstram graficamente as diferenças entre as amostras e os resultados obtidos
utilizando as equações analíticas de Mandal.
𝛿52 = −1,095 − 147,763 (𝑡
𝑄) + 2,907
𝑡2𝑣
𝑄+ 6,418
1
𝑡− 0,199
𝑡2𝑣
𝑄+ 0,008
𝑄
𝑣𝑡
( 36 )
𝛿78 = −1,791 − 232,543 (𝑡
𝑄) + 4,738
𝑡2𝑣
𝑄+ 10,282
1
𝑡− 0,325
𝑡2𝑣
𝑄+ 0,013
𝑄
𝑣𝑡
( 37 )
𝛿104 = −2,501 − 315,410 (𝑡
𝑄) + 6,597
𝑡2𝑣
𝑄+ 14,154
1
𝑡− 0,449
𝑡2𝑣
𝑄+ 0,019
𝑄
𝑣𝑡
( 38 )
34
𝛿130 = −3,228 − 397,389 (𝑡
𝑄) + 8,487
𝑡2𝑣
𝑄+ 18,084
1
𝑡− 0,573
𝑡2𝑣
𝑄+ 0,024
𝑄
𝑣𝑡
( 39 )
Figura 16 – Deformação residual para Amostra 01
Figura 17 - Deformação residual para Amostra 02
35
Figura 18 - Deformação residual para Amostra 03
Figura 19 - Deformação residual para Amostra 04
5.3 Desenvolvimento da Equação Analítica
Os resultados obtidos através das equações de Mandel et al., apesar de
minimamente aceitáveis, ficaram longe da excelência. Portanto, foi desenvolvido neste
estudo, através de novas análise dimensionais seguindo a metodologia apresentada no
tópico 4.4, parâmetros que influenciem com mais intensidade a deformação residual da
chapa de aço no processo de linha de calor.
O autor utlizou os parâmetros que considerou mais influentes baseado em
extensa pesquisa no tema foco deste estudo (linhas de calor). A seguir é demonstrado,
de maneira sucinta, o raciocínio e algumas tentativas realizadas pelo autor.
36
5.3.1. Primeira tentativa na obtenção de parâmetros
Na primeira tentativa bem sucedida o autor considerou que os parâmetros que
mais influenciavam na deformação residual devido a linha de calor eram v, Q, t, qmax,
Cp e k. Aplicando o método de Reiyleigh, chegamos à equação (40):
𝛿 = 𝐾. 𝑄𝑎. 𝑣𝑏 . 𝑡𝑐 . 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑑 . 𝐶𝑝
𝑒 . 𝑘𝑓
( 40 )
Realizando uma análise dimensional semelhante à realizada anteriormente,
obtemos:
𝛿 = 𝐾. 𝑄𝑎. 𝑣−2(𝑎+𝑑). 𝑡(1+𝑑−𝑎). 𝑞𝑚𝑎𝑥𝑑 . 𝐶𝑝
(𝑎+𝑑). 𝑘𝑓−(𝑎+𝑑)
( 41 )
Ou
𝛿
𝑡= 𝐾. [(
𝑄𝐶𝑝
𝑣²𝑡𝑘)
𝑎
. (𝑡𝑞𝑚𝑎𝑥𝐶𝑝
𝑣²𝑘)
𝑑
]
( 42 )
Considerando que alguns parâmetros são constantes nos inputs das regressões e
aplicando a relação fundamental discutida anteriormente, chegamos a equação abaixo:
𝛿𝑦 = 𝑎𝑦1 + 𝑎𝑦2. (𝑄
𝑣²𝑡) + 𝑎𝑦3. (
𝑡𝑄
𝑣²)
( 43 )
Aplicando o método das múltiplas regressões, obtem-se o coeficente da equação
43. A partir da Figura 20 é possível analisar os resultados obtidos em termos precisão e
variáveis impactantes. O R-quadrado foi de aproximadamente 83%. Ao fazer a análise
dos valores-P, se percebe que apenas a variável 𝑄
𝑣²𝑡 tem impacto significativo na equação
gerada.
37
Figura 20 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm.
A análise foi repetida para todos os cinco pontos subsequentes e chegou-se a
uma conclusão semelhante em todos os casos.
5.3.2. Segunda tentativa na obtenção de parâmetros
Na Segunda tentativa bem sucedida o autor considerou que os parâmetros que
mais influenciavam na deformação residual devido a linha de calor eram v, Q, t, qmax,
Tmax, C, k e D. Aplicando o método de Reiyleigh, chegamos à equação (44):
𝛿 = 𝐾. 𝑄𝑎. 𝑣𝑏 . 𝑡𝑐 . 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑑 . 𝑞𝑚𝑎𝑥
𝑒 . 𝐶𝑓 . 𝑘𝑔. 𝐷ℎ
( 44 )
Realizando uma análise dimensional semelhante à realizada anteriormente
obtemos:
𝛿 = 𝐾. 𝑄𝑎. 𝑣𝑏 . 𝑡𝑐 . 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑑 . 𝑞𝑚𝑎𝑥
(−𝑎−𝑏−𝑑−𝑓). 𝐶𝑓 . 𝑘(𝑑−𝑓). 𝐷(𝑏−𝑓)
( 45 )
Ou
𝛿
𝑡= 𝐾. (
𝑄
𝑡²𝑞𝑚𝑎𝑥)
𝑎
. (𝑣𝐷
𝑡³𝑞𝑚𝑎𝑥)
𝑏
. (𝑇𝑚𝑎𝑥𝑘
𝑡𝑞𝑚𝑎𝑥)
𝑑
. (𝑡4𝑞𝑚𝑎𝑥𝐶
𝑘𝐷)
𝑓
( 46 )
38
Considerando que alguns parâmetros são constantes nos inputs das regressões e
aplicando a relação fundamental discutida anteriormente, chegamos a equação abaixo:
𝛿𝑦 = 𝑎𝑦1 + 𝑎𝑦2. (1
𝑡²) + 𝑎𝑦3. (
𝑣
𝑄) + 𝑎𝑦4. (
1
𝑡𝑄) + 𝑎𝑦5. (𝑡𝑄)
( 47 )
Novamente aplicando o método das multiplas regressões, obtem-se os
coeficentes das equaçãoes acima. A partir da Figura 21 é possível analisar os resultados
obtidos em termos precisão e variáveis impactantes. O R-quadrado foi de
aproximadamente 90,15%, uma maior precisão quando comparado a equação anterior.
Ao fazer a análise dos valores-P, se percebe que somente as variáveis 1
𝑡² e
1
𝑡𝑄 tem
impacto significativo na equação gerada.
Figura 21 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm.
A mesma análise foi fetia para os demais pontos e chegou-se a mesma
conclusão em todos os casos.
5.3.3. Equação Analítica Final
Após ter se desenvolvido as duas equações anteriores do zero, o autor deste
estudo ainda não estava satisfeito com os resutados obtidos. Apesar de ambas as
equações serem capazes de dar uma predição razoável da deformação residual, elas
ainda não estavam conseguindo superar o resultado obtido pelas equações de Mandal.
Como uma terceira tentativa, ao invés de fazer uma nova análise dimensional e
repetir o processo de novo, o autor resolveu juntar as variáveis impactantes em uma
39
equação só. Matematicamente esta estratégia é totalmente viável, uma vez que os
números eram adimensionais. Fisicamente também fazia sentido, pois os parâmetros
estavam relacionados ao mesmo problema.
Portanto, a equação final obtida nesta manipulação foi:
𝛿𝑦 = 𝑎𝑦1 + 𝑎𝑦2. (1
𝑡²) + 𝑎𝑦3. (
1
𝑡𝑄) + 𝑎𝑦4. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 48 )
Pegando-se novamente o ponto y= 26 mm como exemplo, aplicamos as múltiplas
regressões lineares e obtemos os seguintes resultados:
Figura 22 - Resulado das multiplas regressões no ponto y = 26 mm para equação
final.
Analisando a Figura 22, percebe-se que o R-quadrado foi de aproximadamente
93%, demonstrando uma precisão muito boa. Ao fazer a análise dos valores-P, se
percebe que todas as variáveis, como já era esperado, são altamente impactantes no
resultado da equação.
Repetiu-se a analise para os pontos subsequentes e a conclusão foi igual em
todos os casos.
Os resultados encontrados nos testes desta equação serão apresentados
posteriormente.
40
5.4 Comparação entre os Métodos
Os resultados obtidos utilizando a equação final, descrita no tópico 5.3.3, será
demonstrado neste tópico e comparado aos resultados encontrados utilizando a equação
desenvolvida por Mandal et al. [1] .
As cinco equações, uma para cada ponto (26, 52, 78, 104, 130), estão
explicitadas abaixo:
𝛿26 = 0,0390 + 14,055. (1
𝑡²) − 8927,403. (
1
𝑡𝑄) + 0,003. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 49 )
𝛿52 = 0,113 + 32,453. (1
𝑡²) − 22306,967. (
1
𝑡𝑄) + 0,009. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 50 )
𝛿78 = 0,1800 + 50,383. (1
𝑡²) − 35337,417. (
1
𝑡𝑄) + 0,015. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 51 )
𝛿104 = 0,241 + 68,170. (1
𝑡²) − 48209,517. (
1
𝑡𝑄) + 0,021. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 52 )
𝛿130 = 0,299 + 85,990. (1
𝑡²) − 61031,901. (
1
𝑡𝑄) + 0,027. (
𝑄
𝑣²𝑡)
( 53 )
Abaixo estão os resultados obtidos aplicando as equações acima. Estas
deformações são comparadas com as obtidas utilizando as equações de Mandal e os
obtidos numericamente (amostras 1, 2, 3 e 4).
41
Tabela 8 – Comparação entre os resultados obtidos para as deformações residuais em
termos percentuais.
Figura 23 – Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente.
Tabela 9 - Comparação entre os resultados obtidos para as deformações residuais em
termos percentuais
Distância Q t v Amostra 1 Equação Erro Eq Mandal Erro Mandal
0 6200 8 6,67 0,00000 0 0,00000 0 0
26 6200 8 6,67 0,14019 0,138890523 0,927% 0,130641878 6,811%
52 6200 8 6,67 0,33216 0,334344547 0,659% 0,314033234 5,456%
78 6200 8 6,67 0,51489 0,521021128 1,191% 0,488844064 5,059%
104 6200 8 6,67 0,69235 0,702569646 1,476% 0,658513217 4,887%
130 6200 8 6,67 0,86730 0,881587419 1,647% 0,82614401 4,745%
Distância Q t v Amostra 2 Equação Erro Eq Equação Mandal Erro Mandal
0 4910 8 5 0 0 0,00000 0 0
26 4910 8 5 0,08692 0,100279033 15,369% 0,119407173 37,376%
52 4910 8 5 2,04E-01 0,235099464 15,403% 0,28697092 40,865%
78 4910 8 5 3,13E-01 0,372412154 18,983% 0,447223738 42,884%
104 4910 8 5 0,4176 0,527260914 26,260% 0,603098846 44,420%
130 4910 8 5 0,51971 0,699182462 34,533% 0,756793281 45,618%
42
Figura 24 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente.
Tabela 10 - Comparação entre os resultados obtidos para as deformações residuais
em termos percentuais.
Figura 25 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numericamente.
Distância Q t v Amostra 3 Equação Erro Eq Equação Mandal Erro Mandal
0 5850 10 7 0 0 0,00000 0 0
26 5850 10 7 0,0587 0,068244455 16,260% 0,0669381 14,034%
52 5850 10 7 0,14309 0,155486879 8,664% 0,165312392 15,530%
78 5850 10 7 0,221213 0,242067 9,427% 0,256247699 15,838%
104 5850 10 7 0,2946706 0,328277479 11,405% 0,341986599 16,057%
130 5850 10 7 0,365074 0,405955265 11,198% 0,424472083 16,270%
43
Tabela 11 - Comparação entre os resultados obtidos para as deformações residuais
em termos percentuais.
Figura 26 - Resultados das deformações residuais utilizando as equações analíticas e
obtidos numéricamente.
Analisando os dados obtidos, é possível se perceber através dos percentuais de
erro e dos gráficos que a equação analítica final desenvolvida neste estudo apresentou
resutados satisfatórios e melhores que o da equação de Mandal em todas as amostras.
6 Conclusão
O objetivo deste trabalho era o de desenvolver uma equação analítica que fosse
capaz de prever as deformações residuais em uma chapa de aço. Para isto foi feito uma
pesquisa bibliográfica com o objetivo de descobrir métodos para se fazer isto. Após
analisar diversos papers, que mostraram conceitos interessantes, o trabalho
desenvolvido em Mandal et al. [1] foi escolhido como base.
Foram feitas 18 simulações numéricas de deformação pelo método de linha de
calor variando-se a velocidade, a espessura da chapa de aço e a quantidade de calor
aplicada pela fonte de calor gaussiana para a geração de dados necessários a regressão.
Além disso, mais 4 modelos foram simulados para serem utilizados como parâmetro de
comparção de resultados. Através de métodos de análise dimensional, foram
Distância Q t v Amostra 4 Equação Erro Eq Equação Mandal Erro Mandal
0 7335 12 5 0 0 0,00000 0 0
26 7335 12 5 0,08013 0,109780978 37,004% 0,122672744 53,092%
52 7335 12 5 0,2125 0,274915142 29,372% 0,323425752 52,200%
78 7335 12 5 0,336756 0,461689188 37,099% 0,514728503 52,849%
104 7335 12 5 0,45531 0,648018102 42,325% 0,699988084 53,739%
130 7335 12 5 0,5702 0,841159352 47,520% 0,881778598 54,644%
44
desenvolvidas duas equações até se obter o que foi chamado neste trabalho de equação
final. Os dados coletados foram utilizados para a aplicação do método de múltiplas
regressões lineares com o objetivo de se obter os coeficientes de cada equação
desenvolvida.
Foi feita uma comparação ao final deste relatório dos resultados obtidos pela
equação final, equação de Mandal, et al. [1] e numericamente através das amostras 1, 2,
3 e 4. A equação final mostrou-se mais eficiente quando comparada a de Mandal, et al
[1], uma vez que obteve uma margem de erro inferior em todos os casos. Porém,
quando comparado aos resultados obtidos nas amostras através das simulações
numéricas, em alguns casos, o erro apresentado foi maior do que o esperado mesmo
estando dentro da margem considerada aceitável por este autor.
Com isso, pode se concluir atravé deste estudo que a predição utilizando uma
equação analítica, semelhate a desenvolvida no presente trabalho, consegue apresentar
um resultado satisfatório com um tempo computacional extremamente baixo. Técnicas
mais avançadas de regressão, algorítimos genéticos ou redes neurais são possíveis
métodos a serem utilizados na tentativa de se desenvolver uma equação que obtenha
resultados ainda mais expressivos. Outra oportunidade de melhoria seria de tentar
expandir a utilização da equação aqui apresentada, fazendo com que ela seja capaz de
prever dois passos de linha de calor.
Contudo o presente estudo contribui para o avanço desta linha de pesquisa que, no
futuro, poderá ser aplicado em casos reais em estaleiros de todo país. Os benefícios da
aplicação do método aperfeiçoado na prática são inúmeros, diminuindo o número de
erros e o tempo gasto no processo.
7 Referências
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Line Heating Residual Deformations,” J. Marine. Sci. Appl., pp. 14-21, 2010.
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[11] B. R. K, “Fluid mechanics and hydraulic machines,” Laxmi Publications (P) Ltd.,
2007.