UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO

VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS

FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO

Niterói, RJ

2016

VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS

FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E

PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao Curso de Engenharia de

Petróleo da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial para a

obtenção do grau de Bacharel em

Engenharia de Petróleo.

Orientador:

Prof. Roger Matsumoto Moreira, Ph.D.

Niterói, RJ

2016

VINÍCIUS ANTÔNIO MESSIAS MARTINS

FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL APLICADA À GERAÇÃO E PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM UM RESERVATÓRIO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia de Petróleo da Escola de Engenharia da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do Grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo

Aprovado em 07 de Julho de 2016.

BANCA EXAMINADORA

__________________________________________________ Prof. Roger Matsumoto Moreira, Ph.D. - UFF

Orientador

__________________________________________________ Prof. Fernando Cunha Peixoto, D.Sc. - UFF

__________________________________________________ Eng. Raphael David Bacchi - ESSS

NITERÓI, RJ

2016

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeço aos meus pais, Rosângela e Gaspar, que são dois gigantes

que sempre estiveram ao meu lado, que sempre me deram o apoio e carinho para que a

caminhada fosse possível. Agradeço também à minha filha Alice, que é a luz da minha vida e

me dá forças para seguir em frente; aos meus padrinhos, Roberto, Sônia e Rosália, que sempre

me deram o amor da forma mais leve e bonita possível; a todo o restante da minha família por

serem parte essencial da minha existência. Um abraço carinhoso aos meus amigos tanto de

faculdade como os que fiz por toda a minha vida. Um agradecimento enorme à todos os

professores que fizeram parte da minha formação, em especial ao meu orientador Roger, por

toda a ajuda, pela oportunidade e pela confiança dada à mim.

"I learned that courage was not the

absence of fear, but the triumph over it. I

felt fear myself more times than I can

remember, but I hid it behind a mask of

boldness. The brave man is not he who

does not feel afraid, but he who conquers

that fear."

Nelson Mandela

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo modelar numericamente a geração e propagação de ondas em

contêineres parcialmente cheios de fluidos. As equações da continuidade e de Navier-Stokes

são resolvidas via método dos volumes finitos com um modelo homogêneo multifásico para

geometrias 2D e 3D. A ideia central do projeto envolve a análise da interação de ondas não-

lineares de diferentes fluidos newtonianos com as paredes de um tanque. Tal projeto poderia

ser considerado como uma representação simplificada das ondas geradas e propagadas em um

reservatório de uma plataforma de petróleo, por exemplo. Neste caso, parâmetros como

pressão, fração de volumes, perda de carga, esforços nos equipamentos e estruturas, e

propriedades dos fluidos, podem ser analisados. Essa simulação é comparada e validada com

experimentos de artigos publicados. Uma boa concordância é encontrada entre os resultados

numéricos e experimentais. Dependendo do fluido empregado, diferentes picos de pressão são

encontrados nas paredes do reservatório.

Palavras-chave: sloshing, interação fluido-estrutura, fluidodinâmica computacional,

método dos volumes finitos.

ABSTRACT

This work aims to model numerically the generation and propagation of free surface waves in

walled containers partially filled with different fluids. Therefore, continuity and Navier-

Stokes equations are solved via a finite volume method with a homogeneous multiphase

condition for 2D and 3D geometries. The central idea of the present work involves the

analysis of the interaction of nonlinear waves of different Newtonian fluids with the walls of a

tank. Such a design could be considered a simplified representation of the waves generated in

a reservoir of an oilrig, for example. In this case, parameters such as pressure, volume

fraction, pressure drop, stresses in equipment and structures, and fluid properties can be

studied. This simulation is compared and validated with results of published articles. A good

agreement is found when comparing the numerical results with experiments. Depending on

the fluid used, different pressure peaks at the walls of the reservoir are found.

Keywords: sloshing, fluid-structure interaction, computational fluid dynamics, finite

volume method.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Movimentos translacionais de uma estrutura flutuante. .......................................... 17

Figura 2 - Movimentos rotacionais de uma estrutura flutuante. ............................................... 17

Figura 3 – Deslocamento horizontal do sinal tipo “H”. ........................................................... 18

Figura 4 – Deslocamentos do sinal tipo “V”. ........................................................................... 19

Figura 5 - As ciências envolvidas em CFD .............................................................................. 22

Figura 6 - Tensão de cisalhamento em uma artéria do corpo humano. .................................... 23

Figura 7 - Projeto de um trocador casco-tubo. ......................................................................... 24

Figura 8 – Interpolação temporal pelos diferentes metodos. .................................................... 29

Figura 9 - Fluxo laminar e fluxo turbulento. ............................................................................ 31

Figura 10 - Funcionamento dos programas de CFD. ............................................................... 35

Figura 11 - Método de refino do grid. ...................................................................................... 39

Figura 12 - Erros de discretização e Erros de arredondamento. ............................................... 41

Figura 13 – Malha computacional do arquivo semente. ........................................................... 43

Figura 14 – Geometria gerada para a simulação em 3D........................................................... 45

Figura 15 – Comparação das simulações de 2D e 3D com o experimento real. ...................... 47

Figura 16 – Fenômeno ocorrido durante o run-up. ................................................................... 49

Figura 17 – Gráfico da pressão vs. tempo para o experimento H10. ....................................... 50

Figura 18 – Gráfico de pressões para os diferentes fluidos. ..................................................... 52

Figura 19 – Comparação das ondas geradas pelos fluidos. ...................................................... 53

Figura 20 – Movimentos acendente e decendente de ondas tipo table-top. ............................. 55

Figura 21 – Ondas geradas durante o experimento V21. ......................................................... 56

Figura 22 – Malhas dos tipos 1 e 2. .......................................................................................... 58

Figura 23 – Comparação entre os cenários 1 e 7. ..................................................................... 60

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Características dos sinais gerados. .......................................................................... 19

Tabela 2 - Modificações a serem feitas na equação da continuidade. ...................................... 28

Tabela 3 - Propriedades dos fluidos utilizadas no experimento H10 ....................................... 44

Tabela 4 – Comparação das propriedades dos novos fluidos. .................................................. 51

Tabela 5 – Configurações dos diferentes cenários. .................................................................. 57

LISTA DE ABREVIAÇÕES

CFD Fluidodinâmica Computacional

ENE Equações de Navier-Stokes

SST Shear Stress Transport

PDE Equação Diferencial Parcial

TDMA Algoritmo da Matriz Tri-Diagonal

MGS Método de Gauss-Seidel

MCN Método de Crank-Nicolson

GCI Índice de Convergência do Grid

LISTA DE SIMBOLOS

Φ Termo de transporte

u Velocidade na direção do eixo x

v Velocidade na direção do eixo y

w Velocidade na direção do eixo z

Г Coeficiente de difusão

S Termo fonte

t Tempo

µt

Viscosidade de turbulência

K Energia cinética turbulenta

ε Taxa de dissipação de turbulência

k-ε Modelo Kappa-Epsilon

k-ω Modelo Kappa-Ômega

p Ordem de convergência

SUMÁRIO

1 Introdução .............................................................................................................................. 15

2 Fluidodinâmica Computacional ............................................................................................. 21

2.1 Introdução ao CFD .......................................................................................................... 21

2.2 Aplicações Práticas da Técnica CFD .......................................................................... 22

2.2.1 Utilização nas Diversas Industrias ........................................................................... 22

2.2.2 Utilização na Industria do Petróleo .......................................................................... 23

2.3 Equações de Conservação ............................................................................................... 24

2.3.2 Equações da Conservação de Momentum ................................................................ 25

2.3.3 Equação da Continuidade ......................................................................................... 26

3.3.4 Equação da Energia .................................................................................................. 27

2.3.5 Equações de Turbulência ......................................................................................... 27

2.4 Métodos Numéricos ........................................................................................................ 29

2.4.1 Métodos Implícito, Semi-Implícito E Explicito ....................................................... 29

2.4.1.1 Método de Adams-Bashford (Explicito) ........................................................... 29

2.4.1.2 Método de Crank-Nicolson (Semi-Implícito): .................................................. 30

2.5 Tipos de Escoamentos .................................................................................................... 30

2.5.1 Fluxos Laminares e Turbulentos .............................................................................. 31

2.5.2 Modelos de Turbulência em CFD ............................................................................ 32

2.6 O Programa ANSYS CFX .............................................................................................. 34

2.6.1 Estrutura do Programa .............................................................................................. 34

2.7 Geração da Malha Computacional .................................................................................. 35

2.7.1 Malhas Estruturadas ................................................................................................. 36

2.7.2 Malhas não Estruturadas .......................................................................................... 36

2.8 Condições de Contorno ................................................................................................... 36

2.9 Procedimentos para Soluções Computacionais .............................................................. 37

2.10 Validação e Verificação de Resultados......................................................................... 37

2.10.1 Estudo da Convergência do Grid ........................................................................... 38

2.10.2 Comparação da Simulação com Dados Experimentais .......................................... 40

2.11 Principais Fontes de Erros em CFD .............................................................................. 40

3 Modelagem Numérica ........................................................................................................... 42

3.2.1 Simulações do Experimento H10 ............................................................................. 42

3.2.1.1 Análise do Fenômeno Ocorrido Durante o Run-Up .......................................... 48

3.2.1.2 Gráficos de Pressão da Parede Lateral do Tanque ............................................ 50

3.2.1.3 Comparação Temporal das Ondas dos Diferentes Líquidos ............................. 52

3.2.2 Simulações do Experimento V21 ............................................................................. 54

4. Conclusão ............................................................................................................................. 61

Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 62

15

1 Introdução

A fluidodinâmica computacional ou Computational Fluid Dynamics (CFD) é um braço

da mecânica dos fluidos e da transferência de calor, que estuda os fluxos de fluidos usando

análise numérica e sofisticados algoritmos. Desenvolvida inicialmente nas áreas de alta

tecnologia como aeronáutica e astronáutica, atualmente vem sendo utilizada largamente em

outros campos da engenharia. A simulação e otimização de peças, equipamentos e estruturas

complexas resulta no aumento da eficiência dos projetos modernos e redução de custos. A

técnica de CFD ainda tem sido subutilizada em aplicações na área de petróleo. As

possibilidades de aplicações na área aparentam ser vastas, podendo partir da otimização do

design de brocas de perfuração, passando pelo dimensionamento de chokes, até o projeto de

trocadores de calor. Essa técnica de computação também se faz importante na medida que em

sua aplicação em várias industrias, proporciona uma boa estimativa dos fenômenos físicos

através da simulação numérica, evitando o gasto desnecessário de tempo e recursos

financeiros.

Quando um reservatório parcialmente cheio quando submetido à forças externas, o

fenômeno conhecido como sloshing de onda pode ocorrer, causando grandes impactos de

onda nas paredes deste recipiente. As cargas produzidas pelo movimento das ondas tem o

potencial para causar danos estruturais, ou ainda afetar a estabilidade de vasos. Ondas do tipo

sloshing estão associadas à uma grande variedade de problemas de engenharia, incluindo o

movimento do combustível líquido, em aeronaves, o transporte de fluidos em contêineres e a

circulação de óleo no interior dos tanques de carga de uma FPSO.

Neste trabalho um referencial Euleriano é empregado para estudar o movimento das

ondas dentro de um reservatório parcialmente preenchido que oscila em um movimento

instável. O código de CFD comercial ANSYS-CFX é usado para simular os experimentos

H10 e V21 propostos por Bredmose et al. (2003), e estabelecer um comparação entre as ondas

de superfície livre geradas e o perfil do pico de pressões ocorrido nas paredes do reservatório,

e ainda checar a formação de ondas do tipo table-top. Para o experimento H10, ou seja, o

décimo experimento com o sinal do tipo “H”, a coluna de líquido tinha uma altura de 155 mm

em ralação ao fundo do reservatório. A relativa pequena coluna de fluido foi crucial para que

16

os resultados obtidos pelas câmeras fossem de alta visibilidade e que não houvesse

transbordamento de líquido, nem de geração gotas ou sprays, que poderiam provocar uma

perturbação na superfície livre do líquido. No experimento V21, a coluna de fluido foi de 302

mm.

O sloshing de onda é um problema clássico de fluxo com superfície livre. No passado,

cientistas como Poisson, Rayleigh e Kirchhoff investigaram este tipo de fenômeno. Mais

recentemente, diversos livros sobre este assunto foram publicados (Faltinsen e Timokha 2009,

Ibrahim 2005). Referências recentes incluem Jiang et al. (2014), que analisou

experimentalmente a hidrodinâmica e as características estruturais dos chamados sloshing

violentos em tanques elásticos; Moreira et al. (2012) e Chen et al. (2008), que avaliaram

numericamente a influência da frequência, nível de enchimento, o deslocamento e excitação

do recipiente sobre a dinâmica da onda; Godderidge et al. (2009), que estudou fluxos com

sloshing ressonantes em um tanque retangular utilizando um código comercial de

Fluidodinâmica Computacional (CFD); Nicolato e Moreira (2009), implementaram

geometrias de reservatórios otimizadas para reduzir o impacto desse tipo de onda; Bredmose

et al. (2003), que analisa experimentalmente e numericamente a geração de ondas não lineares

em um reservatório retangular. Bredmose et al. (2003) realizaram vários experimentos

considerando movimentos verticais e horizontais de um reservatório contendo diferentes

níveis de preenchimento de água. Neste estudo soluções numéricas obtidas através das

equações de Boussinesq foram comparadas com os resultados experimentais, mostrando em

geral uma boa concordância entre eles.

O reservatório empregado no presente trabalho possui a mesma forma do equipamento

utilizado por Bredmose et al. (2003). Este tanque tem a forma de um prisma com dimensões

1480 x 400 x 750 mm3 (comprimento x profundidade x altura). No experimento esse tanque

foi colocado sobre um equipamento capaz de gerar movimentos com seis graus de liberdade,

porém somente movimentos translacionais na vertical e horizontal foram realizados.

Uma das finalidades do presente estudo é fazer uma investigação das pressões e

esforços gerados dentro do tanque de estocagem de uma plataforma de petróleo, por exemplo.

Estruturas como essas são expostas a movimentos de translação - avanço (surge), deriva

(sway) e afundamento (heave) - exemplificados na figura 1; e de rotação - jogo (roll), guinada

(yaw) e arfagem (pitch) - ilustrados na figura 2.

17

Figura 1 - Movimentos translacionais de uma estrutura flutuante. Fonte: Costa, 2011.

Figura 2 - Movimentos rotacionais de uma estrutura flutuante. Fonte: Costa, 2011.

No experimento realizado por Bredmose et al. (2003) somente os movimentos de

avanço e afundamento foram estudados. Para análise dos experimentos, foram utilizadas duas

câmeras, uma normal e outra de alta velocidade, que foram capazes de capturar as ondas

18

dentro do contêiner em vários instantes distintos. Sensores de pressão também foram

instalados ao longo das paredes do tanque com a finalidade de mensurar o impacto dos

sloshings e a interação das mesmas com as paredes da estrutura. Dentre os transmissores de

pressão instalados somente um transmissor, instalado no canto inferior esquerdo do

reservatório, foi capaz de gerar resultados confiáveis. Além destes equipamentos, um

computador foi utilizado para programar os sinais reproduzidos na mesa móvel.

Neste experimento quatro tipos diferentes de sinais foram gerados, produzindo

diferentes formatos e padrões de ondas. Dentre estes, um sinal foi chamado de sinal tipo “H”,

o qual gerava somente movimentos horizontais (figura 3); os outros três sinais gerados foram

variações do tipo “V”, o qual apresenta um movimento horizontal seguido por um movimento

vertical (figura 4). No presente trabalho, no entanto, somente dois tipos de sinal foram

reproduzidos no programa ANSYS-CFX, o sinal dos experimentos H10 e V21.

Figura 3 – Deslocamento horizontal do sinal tipo “H”. Fonte: Bredmose et al., 2003.

19

Figura 4 – Deslocamentos do sinal tipo “V”. Fonte: Bredmose et al., 2003.

O sinal do tipo “H” é um movimento horizontal na direção do eixo x, do tipo senoidal.

Do instante inicial até t1, a amplitude da onda senoidal sai de zero até atingir seu valor

máximo. Do instante t1 até o instante t2 a oscilação segue o comportamento de uma senoide

comum. De t2 em diante, o tanque é movido através de um decaimento exponencial com

escala de tempo Δt para a posição Rfact, onde permanece em repouso até o final do

experimento. Esse tipo de movimento tem por finalidade gerar um impacto violento nas

paredes laterais do tanque, choque esse que é provocado principalmente pelo movimento que

ocorre a partir de t2. Os valores das variáveis citadas acima podem ser encontrados na tabela

1.

Já o sinal do tipo “V” apresenta uma combinação de deslocamento horizontal seguido

por um deslocamento vertical. Do instante inicial até t1, ocorre apenas o deslocamento

horizontal no tanque; de t1 em diante não existe mais deslocamento nesta direção.

Posteriormente a agitação vertical é iniciada indo de t2 até t3, onde ocorre um sinal também

senoidal, com frequência duas vezes superior à frequência do sinal horizontal. De t3 até tend, a

amplitude do sinal é reduzida linearmente até zero, e depois disso o tanque é mantido

estacionário até o final do experimento. A tabela 1 apresenta os valores de parâmetros

empregados nesses sinais.O movimento horizontal tem por finalidade gerar uma perturbação

inicial na superfície plana do líquido, servindo como uma semente a ser amplificada pelo

movimento vertical. Este tipo de oscilação é capaz de gerar ondas do tipo Faraday. Foram

20

estudadas no experimento as ondas do tipo table-top, ou seja, ondas que se quebram em

formato de “mesa” em sua parte superior. Este comportamento de onda era esperado para os

experimentos do tipo “V”.

Tabela 1 – Características dos sinais gerados. Fonte: Bredmose et al., 2003.

De acordo com Rajchenbach e Clamond (2015) as ondas de Faraday são uma tentativa

de descrição de fenômenos que ocorrem na superfície livre de um fluido dentro de um

recipiente que é submetido a oscilações verticais periódicas. O que chama a tenção nesta

configuração, é que ela dá origem à formação de diversos padrões de onda. De acordo com a

amplitude, frequência e viscosidade do fluido, a superfície livre pode exibir ondas solitárias

estagnadas ou padrões de simetria diferentes, tais como listras, quadrados, hexágonos, ondas

em forma de estrela, entre outros. A quebra de simetria resulta dos acoplamentos não lineares

entre ondas de superfície. Assim, o estudo de ondas de Faraday constitui uma maneira

vantajosa para explorar fenômenos não lineares complexos por meio de dispositivos

experimentais relativamente simples.

21

2 Fluidodinâmica Computacional

2.1 Introdução ao CFD

A fluidodinâmica computacional é uma ferramenta utilizada por cientistas,

profissionais da área e engenheiros na predição e simulação de fluxos de fluidos, transferência

de calor e massa, reações químicas e fenômenos correlatos. Esses problemas governados por

equações matemáticas são resolvidos por meio de métodos numéricos, geralmente utilizando-

se computadores (Tian 2015, p. 5). Como é exemplificado pela figura 5, a fluidodinâmica

computacional é formada pela junção de três disciplinas da ciência, a física (dinâmica dos

fluidos, transferência de calor, reações químicas, etc.), a matemática (resolução das equações

de governo e métodos numéricos) e a ciência da computação (programas e os códigos de

CFD). O método analítico é geralmente considerado a parte teórica, enquanto os termos

numéricos e computacionais são quase sinônimos. Em CFD, resolve-se numericamente as

equações, geralmente parciais diferenciais, que governam os fenômenos e processos (Tu,

Yeoh e Liu 2012, p. 2). A ideia do uso desse tipo de equações é bem antigo, data do início do

século passado, no entanto, só ouve uma revolução nessa área a partir da explosão

computacional dos anos 60 (Tannehill, Anderson e Pletcher 1997, pp. 3 e 4). O termo CFD foi

alcunhado no início dos anos 70. Uma das primeiras aplicações da CFD foi na simulação

aerodinâmica nas condições próximas à velocidade do som. No começo da década de 1980,

deu-se início ao emprego da técnica em problemas de duas e três dimensões. Nessa mesma

época, técnicas como multigrid abriram o leque de possibilidades de aplicação da técnica. Já

no final dos anos 1980, avanços como o esquema implícito, tornaram possíveis a resolução de

problemas de gases reais, por exemplo. Depois disso, o foco se voltou para melhora e

sofisticação da geração de grid, tendo como destaque o surgimento dos primeiros grids não

estruturados (Blazek 2001, p. 1 e 2). O objetivo final da fluidodinâmica computacional é o

entendimento dos eventos físicos do fluxo de fluidos internos ou externos à objetos,

equipamentos ou corpos. Esses eventos incluem fenômenos como dissipação, ondas de

choque, superfícies de deslizamento, difusão convecção, e turbulência (David W. Zingg 1999,

p. 1). Atualmente, devido a sua versatilidade e baixo custo, a técnica de CFD vem sendo

utilizada nas mais variadas disciplinas da engenharia, como será abordado na seção 2.2. De

22

acordo com Cebeci et al. (2005), apesar do grande desenvolvimento em CFD nos últimos

anos, a técnica ainda possui algumas imperfeições em função de ser um campo ainda muito

novo.

Figura 5 - As ciências envolvidas em CFD. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012, p. 2.

2.2 Aplicações Práticas da Técnica CFD

2.2.1 Utilização nas Diversas Industrias

A CFD pode ser empregada para o melhor entendimento processos e eventos físicos

dentro e fora de corpos. Estes fenômenos compreendem turbulência, difusão, convecção,

dissipação, camadas de contorno, fluxos incompressíveis e compressíveis, entre outros. As

aplicações dessa técnica vão da engenharia biomédica, metalurgia, automobilística,

aeroespacial, esportes, geração de energia, engenharia civil e ambiental até processos

químicos e minerais (Maliska 1995, p.8). A figura 6 é uma ilustração de uma aplicação bem

23

recente e promissora da CFD, que é na área de engenharia biomédica. Nesse caso, dentre os

benefícios da técnica estão a diminuição dos riscos em procedimentos cirúrgicos com o

desenvolvimento de equipamentos mais precisos e a melhora no design de equipamentos

artificiais que poderiam substituir órgãos em mal funcionamento. Na imagem 2 pode-se notar

que a região mais fechada da veia apresentaria as maiores tensões de cisalhamento, o que

demandaria maior atenção e cuidados dos especialistas médicos.

Figura 6 - Tensão de cisalhamento em uma artéria do corpo humano. Fonte: Tu, Yeoh

e Liu, 2012, p. 12.

2.2.2 Utilização na Industria do Petróleo

Aparentemente o potencial da técnica CFD ainda é pouco explorada na área de óleo e

gás. No entanto, já existem muitas pesquisas em áreas como fluxo multifásicos em

reservatórios e dutos, fluxo através de bombas, modelagem de trocadores de calor do tipo

casco tubo, design de aquecedor por combustão, estudo da coalescência de gotículas de água,

24

entre outros. A figura 7 demonstra um caso especifico do uso de CFD na modelagem de

permutadores de calor da indústria do petróleo. O princípio deste equipamento é bem simples,

um fluido passa pelos tubos e o outro pelo os cascos que os envolvem, e assim, devido à

diferença de temperatura entre eles, os fluidos trocam calor. A aplicação desta técnica pode

levar ao entendimento de parâmetros sofisticados, como corrosão, estresse térmico e

vibrações (comsol.com/conjugate-heat-transfer).

Figura 7 - Projeto de um trocador casco-tubo. Fonte: comsol.com/conjugate-heat-transfer.

2.3 Equações de Conservação

As equações de governo representam a face matemática da mecânica dos fluidos, sob

a qual as leis da física podem ser aplicadas. Parte significante do comportamento de fluidos

compressíveis e incompressíveis podem ser descritos por essas equações de conservação,

conhecidas como equações de Navier-Stokes. As equações de Navier-Stokes são baseadas na

conservação de massa, momentum e energia. Dependendo das condições de fluxo, se faz

necessária a simplificação dessas equações, o que não reduz a precisão dos resultados e

diminui o gasto computacional (Cebeci et al. al 2005, p. 41-42). Essas equações são

25

classificadas matematicamente como equações diferencias parciais, e na maioria dos casos os

coeficientes são constantes tanto no espaço como no tempo (David W Zingg 1999, p. 7). As

equações de Navier-Stokes podem ser aplicadas aos mais variados casos, tais como fluxo

permanente e transiente, compressível ou incompressível, laminar ou turbulento. Estas

equações também se aplicam às mais variadas condições de contorno, que podem ser do tipo

parede solida, periódicas, simétricas, abertas ou fechadas, por exemplo. A equação 1 é a

representação cartesiana generalista das equações de governo, da qual se pode obter as

equações de momentum, massa e energia, apenas fazendo-se os ajustes necessários. Na forma

diferencial temos:

(1)

Nessa equação, o termo de transporte Φ pode ser utilizado para o cálculo da

velocidade em x, y ou z, temperatura, concentração, etc., ρ indica a densidade, Г é o

coeficiente de difusão, S é o termo fonte e t é o tempo. Na forma vetorial temos:

(2)

A equação 2 é a representação da equação da conservação na forma vetorial, onde, da

esquerda para direita, temos o termo da aceleração local ou transiente, o termo convectivo,

termo difusivo e por último o termo fonte.

2.3.2 Equações da Conservação de Momentum

As equações de momentum, que são derivadas da segunda lei de Newton do

movimento, também são conhecidas como equações de Navier-Stokes. Segundo essa lei, a

soma das forças atuantes sobre uma partícula de fluido é igual ao produto da massa e da

26

aceleração desta partícula. Dentre as forças de corpo que podem alterar o momentum de um

fluido pode-se citar as forças gravitacionais, centrifugas, Coloris, e eletromagnéticas. Existem

também as chamada forças de superfície, que deformam o elemento de fluido. Estas forças

são causadas pelas tensões normais e tangenciais agindo na superfície do elemento de fluido.

As três equações gerais na forma cartesiana, para um fluido compressível em relação aos

eixos x, y e z, são representadas a seguir. A equação do momentum em relação ao eixo x é:

(3)

A formula geral do momentum em relação ao eixo y é:

(4)

Já a equação para o momentum em relação ao eixo z, pode ser representada da seguinte

forma:

(5)

2.3.3 Equação da Continuidade

A equação da conservação de massa estabelece que a variação temporal da massa por

unidade de volume, dentro do volume de controle infinitesimal, é igual a variação espacial do

fluxo de massa, por unidade de tempo, que cruza a superfície de controle. Se o fluxo for

instável, a taxa de aumento de massa dentro do elemento de fluido é igual à taxa liquida a qual

a massa entra no volume de controle, ou seja, entrada menos saída. A equação 6 representa a

forma diferencial parcial da equação da continuidade.

27

(6)

3.3.4 Equação da Energia

A equação para conservação de energia é derivada primeira lei da termodinâmica, onde

a taxa de variação energia é igual à soma da taxa liquida de calor adicionada ao sistema mais

taxa liquida de trabalho realizado pelo sistema dentro de um volume de controle. O trabalho

realizado no volume de controle é considerado como sendo o produto das forças de superfície

pelo componente de velocidade. Os fluxos de energia podem ser formulados aplicando-se a

lei de Fourier da condução de calor, que relaciona o fluxo de colar com o gradiente de

temperatura local. Os efeitos das tensões viscosas na equação da energia são representados

pela função dissipação (ψ), que representa uma fonte de energia causada pelo trabalho de

deformação no fluido. A energia de um fluido pode ser definida como a soma das energias

interna, cinética e potencial gravitacional. Seguindo a conservação de energia, obtemos a

equação 7 a partir da equação de Navier-Stokes.

(7)

2.3.5 Equações de Turbulência

Aqui temos representadas as equações do modelo de turbulência Kappa-Epsilon (k-ε), a

ser abordado em maiores detalhes na seção 2.5.2.

(8)

(9)

28

(10)

(11)

Em resumo, a tabela 2 apresenta todas as modificações e simplificações a serem feitas

na equação genérica das equações de governo afim de se obter as equações de momentum,

massa, energia e turbulência.

Tabela 2 - Modificações a serem feitas na equação da continuidade. Fonte: Tu, Yeoh e Liu,

2012, p. 107.

ϕ Гϕ Sϕ Equação

1 0 0 Massa

u

Momentum v

w

h

Energia

k

Turbulência

29

2.4 Métodos Numéricos

Nos problemas de engenharia, as equações apresentadas anteriormente são muito

difíceis de serem resolvidas analiticamente. Por tanto se faz necessário o uso de métodos

numéricos, que é linguagem utilizada nos computadores (Cebeci et al. al 2005, p. 43).

2.4.1 Métodos Implícito, Semi-Implícito E Explicito

Os modelos implícitos e explícitos são de primeira ordem em relação ao tempo. Com o

objetivo de reduzir os erros causados por problemas de segunda ordem, os esquemas de

Adams-Bashford (explicito) e Crank-Nicolson (semi-implícito), foram propostos. No método

explicito, apenas as variáveis já conhecidas são utilizadas para calcular as incógnitas do

próximo passo de tempo. Nos métodos implícito e semi-implícito variáveis desconhecidas

também são envolvidas neste cálculo, fazendo necessário o uso de um sistema de equações a

ser resolvido com a utilização de métodos numéricos. A figura 8 é uma representação das

variáveis envolvidas no cálculo de cada método.

Figura 8 – Interpolação temporal pelos diferentes metodos. Fonte: Nicolato, 2009.

2.4.1.1 Método de Adams-Bashford (Explicito)

Esse método é um mecanismo direto de resolução das equações, onde a variável

dependente (n+1) está sujeita aos valores já conhecidos previamente. Neste caso, cada

equação possui uma única incógnita, por isso pode ser resolvida de maneira simples, com um

sistema de equações.

30

(12)

2.4.1.2 Método de Crank-Nicolson (Semi-Implícito):

Diferentemente do que acontece no modelo explicito, as variáveis não podem ser

obtidas diretamente, por tanto deve haver um sistema de equações aplicado em todos os nós

do sistema para certo tempo. Dessa maneira, o método produz grandes sistemas de equações

algébricas a serem manipulados e resolvidas. Para a resolução destes problemas existem

alguns métodos iterativos clássicos que serão apresentados na seção 2.9.

(13)

2.5 Tipos de Escoamentos

Na mecânica dos fluidos existem basicamente dois tipos de escoamento, o laminar e o

turbulento. Existe também a transição entre os dois tipos de fluxo que é fonte de altas

imprecisões e erros, devido à falta de uma descrição precisa do fenômeno físico. A solução

das equações de Navier-Stokes geralmente não apresentam dificuldades fundamentais no caso

dos fluxos laminares. Contudo, a simulação de fluxos turbulentos apresenta diversos

problemas que precisam ser resolvidos através de equação mais sofisticadas como as

equações do tipo Reynolds-averaged Navier-Stokes, ou RANS (Blazek 2001), por exemplo.

31

2.5.1 Fluxos Laminares e Turbulentos

O fluxo laminar é caracterizado por ocorrer em camadas ou laminas, onde o fluido se

move de maneira ordenada, numa mesma direção e com velocidade constante. Nesse modelo

as partículas se movem de maneira suave, sem grande mistura de partículas dentro do fluido.

O fluxo laminar pode ser completamente descrito utilizando as equações da continuidade e

momentum. Em alguns casos mais simples os fluxos laminares podem até ser resolvidos

numericamente; em casos mais complexos os métodos numéricos se fazem necessários. A

figura 9 é uma representação dos dois tipos de fluido ao passar por uma asa. Antes do

obstáculo as linhas de fluxo estão alinhadas e ordenadas. Já na região influenciada pelo objeto

ocorre a formação de uma região caótica e turbulenta. O tipo de regime apresentado por um

fluido está intimamente liga à razão entre forças inerciais e viscosas, que são expressadas pelo

número de Reynolds. Em baixos números de Reynolds, as forças viscosas são proeminentes

sobre as forças inercias, ocorrendo então o fluxo laminar. Para números de Reynolds

suficientemente altos, as forças inercias ampliam as perturbação no fluido, provocando um

fluxo turbulento. Nestas condições o movimento se torna intrinsicamente instável mesmo

considerando-se condições de contorno constantes.

Figura 9 - Fluxo laminar e fluxo turbulento. Fonte: Tian, 2015, p. 385.

32

Em grande parte dos problemas relacionados à engenharia existe a predominância do

fluxo turbulento. No fluxo turbulento, as partículas de fluido seguem padrões desorganizados

e desordenados, onde as propriedades mudam constantemente ao longo do tempo. Em casos

como estes, uma perfeita descrição do fluxo requereria um tempo e custo computacional

quase proibitivos. Estes fluidos são causados por um complexa interação entre viscosidade e

inércia. Como a maioria dos fluxos em engenharia são turbulentos, com grandes variações de

temperatura, pressão e velocidades, a resolução direta das equações de Navier-Stokes se torna

muito complexa. Nesses casos, uma seria de modificações devem ser feitas, onde correlações

são adotadas e suposições são feitas.

2.5.2 Modelos de Turbulência em CFD

Como a complexidade dos fluxos com turbulência é muito alta, o uso de formulações

simples é quase sempre inviável. O modelo mais amplamente utilizado na indústria é o

Kappa-Epsilon (K- ε), que é baseado na aproximação de Boussinesq. Nessa teoria assume-se

que em fluxos isotérmicos e incompressíveis a turbulência diminui a não ser que exista um

cisalhamento. Além disso, viu-se que a taxa média de deformação segue o comportamento das

tensões turbulentas. Apesar de ser um método mais sofisticado e robusto, ele também é mais

custoso computacionalmente. Duas equações diferenciais parciais devem ser resolvidas, uma

para abranger a quantidade de energia cinética turbulenta “K”, e outras quantidades tais como

a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta “ε” (Versteeg e Malalasekera 1995, p. 64).

A partir dessa premissa foram então desenvolvidos uma serie de modelos de turbulência (Date

2005, p. 89). Na equação 14, temos a introdução do conceito de viscosidade eddy ou

viscosidade de turbulência (µt), dado por Boussinesq. Apesar de ser simples e eficiente, o

modelo apresenta alguns pontos fracos em situações com alta curvatura, jatos assimétricos,

fortes turbilhões e fluxos parcialmente laminares.

(14)

33

Onde, a viscosidade de turbulência é: (15)

A energia cinética turbulenta é: (16)

A taxa de dissipação de turbulência é: (17)

Modelo RNG K- ε

É um método similar ao modelo padrão porém com algumas modificações para

incluir a interação entre a dissipação turbulenta e a força cisalhante e os efeitos dos

redemoinhos, podendo prever com mais precisão fluidos de transição, altas curvaturas e

transporte de massa e calor nas paredes. No entanto o modelo ainda não consegue prever o

comportamento de jatos.

Modelo k-ω

Este modelo é aplicado em situações de altos valores do número de Reynolds,

onde o K- ε não responde bem. Este modelo é aplicado na subcamada da camada limite, e

assim garantir mais estabilidade em fluxos mais turbulentos. O k-ω também se mostra

superior sob condições adversas de pressão e fluxos compressíveis.

Modelo SST

O modelo conhecido como Shear Stess Transport é a combinação dos modelos K-

ε e k-ω, com a intenção de extrair o melhor dos dois mundos. Este modelo de capaz de

simular situações com fortes gradientes de pressão, pois inclui os efeitos de transporte na

formulação (Blazek 2001, p. 245).

Modelo SSG

O modelo SSG / LRR-ω é derivado da abordagem de Menter combinando a

equação “ε” na borda externa da camada limite com a equação “ω” de Wilcox nas

proximidades da parede, misturando os coeficientes. A assim chamada equação BSL-ω

34

tem sido muito bem sucedida em conjunto com o modelo SST de Menter (Cécora et al.

2012). Este modelo de turbulência foi o único capas de gerar resultados satisfatórios para

um dos experimentos reproduzidos neste trabalho.

2.6 O Programa ANSYS CFX

O ANSYS CFX é um software de alta performance em CFD, que produz resultados

precisos e confiáveis para uma ampla gama de aplicações de dinâmica do fluidos. Existem

vários outros pacotes comerciais, tais como COMSOL, PHOENICS, FLUENT, FLOW3D,

entre outros. A escolha do programa ANSYS-CFX se deu em função deste ser um dos

melhores softwares de CFD, e por ter sido o software que tive a oportunidade de apender

durante o meu intercâmbio.

2.6.1 Estrutura do Programa

Em termos gerais, o programa tenta resolver as equações diferenciais parciais (EDP)

por discretização, tendo como ponto de partida as condições de contorno. De onde se chegará

a um sistema de equações algébricas que poderão ser resolvidas por métodos numéricos. Os

métodos utilizados para resolução dessas equações são os de diferença finita e volume finitos.

Depois disso o computador será capaz de entregar resultados como velocidade, pressão,

temperatura, entre outros. A figura 10 apresenta um panorama geral do que acontece no

processo computacional de simulação em CFD.

35

Figura 10 - Funcionamento dos programas de CFD. Fonte: Tu, Yeoh e Liu, 2012.

2.7 Geração da Malha Computacional

A malha computacional ou mesh, representa a subdivisão do domínio computacional

em várias células de tamanho reduzido que são lidas pelo programa como pequenos volumes

de controle nos quais os problemas físicos podem ser resolvidos individualmente. O processo

de geração da malha é tão importante que muitas vezes acaba consumindo a maior parte do

tempo e esforços aplicados em simulações. Os meshs podem ser estruturadas e não

estruturadas, hexagonal, tetraédrica, e malha hibrida. A geração da malha é um processo bem

versátil que pode ser ajustado dependendo da demanda. Em áreas de turbulência, uma malha

mais refinada pode ser aplicada, enquanto em áreas de escoamentos menos severos, o mesh

pode ser mais grosseira, reduzindo o custo computacional.

36

2.7.1 Malhas Estruturadas

O mesh estruturado tem as vantagens de ser a mais simples e fácil de programar. Este

foi o primeiro sistema desenvolvido e é usualmente aplicado aos casos mais simples e

básicos. No entanto o método não trabalha bem com estruturas irregulares, pois provoca um

aumentando nas assimetrias. Para o caso do presente estudo, o uso do mesh estruturado foi

suficiente para atender a demanda dos problemas em questão. Como pode ser observado na

figura 13 da seção 3.2.1, a malha aqui utilizada é composta somente por elementos

hexaédricos.

2.7.2 Malhas não Estruturadas

O mesh não estruturado foi desenvolvida para sempre preencher volumes arbitrários.

A geração deste tipo de malha é bem direta e menos complicada. Pode ser combinada com

outras técnicas para refinamento nas proximidades de paredes ou zonas mais sensíveis. Este é

o método mais utilizado e está presente em todos os pacotes comerciais do mercado. Nessa

técnica, o número de elementos aumenta consideravelmente, em relação ao método

convencional. Além disso, as células dificilmente se alinharam ao fluxo, pois a estruturação é

não isotrópica.

2.8 Condições de Contorno

As condições de contorno adequadas são elementos primordiais na resolução das

equações de Navier-Stokes e da continuidade. Essas condições é que vão delimitar e

determinar o sentido do fluxo. As condições de contorno incluem também a determinação de

uma parede sólida ou elástica, se entrada ou sai de fluidos, a velocidade do fluido no contato

com a parede, se a parede é lisa ou áspera, se existem fronteiras livres, a pressão na entrada e

saída, as velocidades nesses pontos, o fluxo mássico, as densidades, as temperaturas e

37

pressões iniciais, se existe transferência de calor, entre outros. Também é preciso determinar

se o fluxo ocorre entre paredes, se é aberto e se existe simetria (Date 2005, p. 73). O usuário

deve incluir as condições o mais próximas possível do problema real, para que os resultados

sejam consistentes.

2.9 Procedimentos para Soluções Computacionais

Existem vários métodos utilizados por programadores na geração de códigos que

resolvam os problemas de CFD. Aqui citarei alguns, que são os mais básicos e podem ser

calculados analiticamente para casos simples. No entanto, para problemas multidimensionais

estes métodos podem gerar problemas ao serem resolvidos por métodos iterativos, já que o

número de iterações é muito alto, demorando para que se atinja uma convergência.

Entre os métodos mais simples utilizados existe o método de Jacobi que é um

algoritmo que pode ser usado para se chegar a uma solução por meio de tentativas e iterações.

O modelo para de realizar iterações assim que o critério de convergência é atingido.

Uma outra possibilidade é o método de Gauss-Siedel que segue o mesmo princípio do

de Jacobi com a diferença que o valor encontrado em um iteração é substituído imediatamente

na próxima. Sendo assim, esse método atinge a convergência mais rapidamente.

Além destes também pode-se citar o método Algoritmo da Matriz Tri-Diagonal

(TDMA) que é um método direto para resolução de problemas de uma dimensão que pode ser

aplicado iterativamente, linha por linha, para resolver problemas multidimensionais. Foi

criado por Thomas em 1949 e tem sido largamente utilizado em CFD. Para casos de uma

dimensão o método é bem similar à eliminação gaussiana.

2.10 Validação e Verificação de Resultados

A fase de validação e verificação representa uma das mais importantes etapas do

processo de modelagem numérica, já que é nessa etapa que se pode determinar se a simulação

38

feita tem qualidade ou não. Como os dados são obtidos por meio de simulação, os mesmos

devem ser comparados com dados reais para mensurar o quão fiel à realidade é o resultado.

Muitas vezes, especialmente nas primeiras simulações com malhas mais grosseira, os

resultados não reproduzem fielmente a realidade. A verificação é o processo que determina se

o modelo projetado é conceitualmente condizente com a teoria, fornecendo evidencias da

consistência da solução. Já a validação procura comparar e analisar os resultados obtidos em

simulação com dados reais ou modelos padrões. A seguir temos alguns exemplos de métodos

utilizados em validação e verificação.

2.10.1 Estudo da Convergência do Grid

Esse estudo se baseia no princípio de que a solução da discretização tende à solução

exata com a diminuição do espaço do grid, ou seja, o erro por aproximação é reduzido com a

redução dos elementos da malha computacional. Para este fim, o teste de independência do

grid poderá ser aplicado. Neste teste, o grid é refinado até que a solução para certo parâmetro

pare de variar significativamente. Para isso, pelo menos três resoluções do grid devem ser

utilizadas. Se as três soluções convergirem, o método de Richardson é utilizado para encontrar

o valor ideal da variável (com espaço do grid tendendo a zero ou o número de elementos

tendendo ao infinito). Essa extrapolação também fornece um estimativa do erro de

discretização. O método possibilita a análise do quanto a malha gerada é adequada ao

problema em questão. A figura 11 é um exemplo da aplicação de refinamento de mesh para a

obtenção da pressão ideal. Com a utilização da técnica de extrapolação de Richardson, fica

evidente que a partir de certo nível de refinamento a redução do tamanho dos blocos não

influencia tanto na qualidade dos resultados obtidos. Pode-se notar na figura 11 que o

resultado para o malha gerada grosseiramente fica bem distante do que é fornecido pela

extrapolação; com a posterior melhora e refino do mesh os valores obtidos por simulação se

aproximam do valores ideais calculados.

39

Figura 11 - Método de refino do grid. Fonte: Tian, 2015, p. 250.

Com os três resultados obtidos e sabendo a taxa de refino do grid, podemos calcular a

ordem de convergência do problema. Sabendo-se os resultados, o fator de segurança e o fator

de refinamento, o índice de convergência do grid, que é a medida em porcentagem da

distância entre o valor obtido em simulação e o valor assintótico, pode ser obtido a partir da

equação 18.

(18)

(19)

Geralmente existe um fator de segurança (Fs) que segue a norma de 1,25 para três ou

mais grids e 3 para dois grids. Para dos valores GCI, devemos utilizar a equação 20. Se o

valor obtido for próximo de significa que as soluções estão dentro da variação assintótica.

40

(20)

Onde a ordem de convergência é: (21)

2.10.2 Comparação da Simulação com Dados Experimentais

Essa é uma etapa muito importante do processo que se realizada com sucesso pode

pesar muito na qualidade da simulação, determinando sua consistência ou inconsistência.

Uma simulação que conta com os dados reais de um equipamento ou peça, por exemplo, pode

ser facilmente verificada. Essa comparação também pode ser feita com modelos já bem

estabelecidos ou trabalhos feitos por especialistas da área. Se os resultados de simulação

forem próximos o suficiente dos valores reais, a simulação em questão tem grandes chances

de ter uma alta qualidade. No presente estudo, a comparação com dados experimentais foi o

principal método de validação de resultados, pois as modelagens aqui presentes foram

baseadas nos experimentos realizados por Bredmose et al. (2003) em seu artigo.

2.11 Principais Fontes de Erros em CFD

As fontes de erros em CFD são variadas, sendo principalmente causadas por

limitações computacionais e falha humana. Estes erros incluem erros por discretização,

simplificações, falhas na modelagem, erros de convergência e falta de habilidade no manuseio

do programa. O erro de discretização ocorre na solução da equação parcial diferencial, onde

um problema continuo é substituído por um discreto. Este erro é a diferença entre as soluções

analíticas e numéricas. Na solução numérica ocorrem simplificações em equações que a

distanciam os valores obtidos da solução real. O erro de discretização depende principalmente

do tamanho, densidade e qualidade do grid. Além deste existe também o erro em função da

capacidade do computador que não é capaz de considerar todos os dígitos dos números, e

acaba arredondando parte deles. Como se pode perceber na figura 12, existe um trade-off

41

entre esses dois erros, onde o erro de discretização é proporcional ao tamanho da mesh,

enquanto o erro por arredondamento é inversamente proporcional. Isso ocorre porque com o

refino da malha, o número de elementos aumenta e o número de equações a serem realizadas

pelo computador também aumenta.

Figura 12 - Erros de discretização e Erros de arredondamento. Fonte: Tian, 2015, p. 265.

Além dos mencionados anteriormente, existem os erros provocados por falhas no

modelo físico. Em muitos casos, os modelos matemáticos não conseguem retratar

perfeitamente a realidade o que acaba por afastar os resultados computacionais dos reais.

Esses erros acontecem principalmente em modelagens complexas como em problemas

envolvendo turbulência, combustão e escoamentos multifásicos. A explicação para o alto

nível de incerteza em simulações envolvendo estes tipos de fenômenos se encontra na própria

falta de conhecimento do fenômeno, na deficiência de uma descrição precisa e consistente,

incertezas nos parâmetros a serem considerados, simplificações nos modelos e dificuldades de

confirmação experimental. Os erros causados por modelagem física não satisfatória são

considerados as maiores fontes de erro em CFD.

42

3 Modelagem Numérica

Como descrito no primeiro capítulo, este trabalho de conclusão apresenta os resultados

das simulações dos experimentos H10 e V21 desenvolvidos por Bredmose et al. (2003). Estes

experimentos tinham como principais objetivos o estudos dos fenômenos de sloshing e a

formação de table-tops em contêineres parcialmente cheios com água.

3.2.1 Simulações do Experimento H10

Tomando como base os trabalhos anteriores realizados no laboratório de fluido

dinâmica computacional, novas simulações do experimento H10 foram realizadas, cada

uma contendo pequenas alterações em relação ao original. Para este caso, um arquivo

contendo todas as configurações necessárias para a simulação deste experimento já estava

pronto; este arquivo semente já continha malha computacional, as definições necessárias e as

condições de contorno já estabelecidas este caso. A figura 13 mostra a malha contida no

arquivo semente. Esse mesh foi gerado de modo que as regiões críticas tiveram um refino

maior, ou seja, apresentaram um maior número elementos de modo a evitar instabilidade na

solução numérica. As regiões críticas foram determinadas com base dos dados experimentais

obtidos por Bredmose et al. (2003). Estas regiões são localizadas no entorno dos locais de

formação das cristas e vales das ondas e também nas paredes do reservatório (locais que

sofrem os fortes impactos dos sloshings). Para esse experimento, as paredes são

particularmente importantes pois nelas ocorrem os chamados run-ups da massa de água

quando as ondas se chocam violentamente com estas barreiras. O run-up é caracterizado pela

subida do fluido pela parede do reservatório formando uma camada cada vez mais fina a

medida que a massa de fluido se eleva. Este movimento é a principal fonte de analises do

experimento H10. Fora das regiões críticas, ou seja aquelas em que o movimento de fluidos é

reduzido, a malha pode ser mais grosseira, salvando processamento e tempo computacional.

Outra característica importante dessa simulação é que a esta é uma representação

bidimensional do reservatório como um todo, na maioria dos casos um simulação 3D não é

43

necessária. Como o reservatório apresenta um comportamento simétrico, simulações

bidimensionais podem ser feitas sem que ocorra perda de qualidade nos resultados, gerando

ainda uma redução de tempo de processamento, o que torna o modelo mais simples de ser

executado. Nessa simulação 2D o comprimento e a altura originais do contêiner foram

mantidos, e a profundidade do mesmo foi reduzida de 400 mm para 8 mm, tornando-se um

problema bidimensional.

Figura 13 – Malha computacional do arquivo semente.

As equações que descrevem o movimento de fluidos contidos em contêineres fechados

podem ser simplificadas a partir da consideração de impermeabilidade e rigidez das paredes.

Para a dedução da condição de contorno para a superfície livre, o fluido é assumido como

incompressível e, a princípio, sem apresentar rotação. Os efeitos de capilaridade foram

desprezados para esta aplicação. Foram realizadas simulações considerando e

desconsiderando a tensão superficial; nestes casos os resultados foram praticamente idênticos,

sendo que com inclusão da tensão superficial os run-ups nas paredes laterais foram um pouco

maiores. A oscilação de superfícies livres pode ser produzida a partir de impulsos iniciais, ou

de um distúrbio da condição de repouso desta superfície. Para este tipo de simulação é

conveniente referenciar o movimento do fluido a um sistema de coordenadas que se desloca

juntamente com o recipiente que nele está contido. O movimento deste recipiente foi descrito

para o eixo horizontal a partir da função deslocamento da figura 3 do capítulo 1. Esta função

foi inserida no programa ANSYS-CFX por meio de uma interpolação de pontos.

44

A malha gerada no arquivo semente (figura 13) possui 40 172 nós e 19 800 elementos

hexaédricos, com um volume total de 0,00888 m3. Como esse modelo é uma representação do

reservatório como um todo, as duas paredes laterais e o fundo foram mantidas como rígidas, a

parte superior foi mantida como superfície aberta, enquanto as paredes frontal e traseira foram

substituídas por simetrias. Na simetria, presume-se que em ambos os lados das fronteiras,

existem mesmos processos físicos. As variáveis têm o mesmo valor e gradientes à mesma

distância a partir do limite. Essa condição atua como um espelho que reflete toda a

distribuição do fluxo para o outro lado. No caso do experimento H10 simulações em 3D e 2D

foram criadas, rodadas e comparadas. O reservatório em questão foi preenchido por água até

certo nível e o restante do tanque é preenchido por ar atmosférico. As propriedades físico-

químicas dos fluidos (sob temperatura de 25 °C e pressão de 1 atm) podem ser vistos na

tabela 3.

Tabela 3 - Propriedades dos fluidos utilizadas no experimento H10.

Fluido Densidade

(kg/m3)

Massa molar

(kg/kmol)

Viscosidade

dinâmica

(kg/ms)

Coeficiente de

absorção (m-1)

Água 997,0 18,02 8,899E-4 1

Ar 1,185 28,96 1,831E-05 0,01

Ambas substâncias foram consideradas puras, o ar como um gás seco e a água um

líquido puro. A temperatura nas simulações são mantidas constantes, desprezando-se as trocas

térmicas e as características relacionadas à transferência de calor; dentre essas características

podem ser citadas as constantes de condutividade e expansividade térmicas e a capacidade

calorifica dos fluidos, todas eles foram desconsideradas na modelagem. Além das

configurações explicadas anteriormente, o modelo Kappa-Epsilon foi selecionado para como

o modelo de turbulência a ser utilizado. Tal modelo foi selecionado em função de sua

versatilidade e por ser um modelo amplamente utilizado nestes tipos de problemas.

Seguindo os mesmos princípios do arquivo semente, fui capaz de criar meus próprios

modelos e realizar simulações com cenários distintos entre si. Como o arquivo semente não

45

pode ser alterado, modelo em três dimensões teve que ser criado desde a geração da geometria

do tanque. Neste caso apenas metade do tanque teve que ser simulada, pois a outra metade

pode ser considerada uma simetria do que ocorre na primeira. A figura 14 demonstra o

modelo em três dimensões que contém uma parede lateral esquerda (sentido negativo do eixo

x), uma parede frontal (sentido positivo do eixo z), a parede lateral direita (sentido positivo do

eixo x), e a simetria que divide o tranque ao meio (sentido negativo do eixo z), o fundo rígido

do tanque (sentido negativo do eixo y) e ainda o topo do reservatório que é aberto ao fluxo de

fluidos (sentido positivo do eixo y). As paredes perpendiculares ao eixo z não sofrem impacto

das ondas pois são paralelas ao movimento de fluidos dentro do reservatório. Por outro lado,

as paredes perpendiculares ao eixo x (paredes laterais), são as paredes que recebem os fortes

impactos produzidos pelos sloshings.

Figura 14 – Geometria gerada para a simulação em 3D.

Para a simulação em três dimensões foi criada uma geometria com dimensões 1480 x

200 x 750 mm3, com três regiões distintas que receberam refinamentos de mesh distintos,

46

como observado na figura 14. Após essa etapa, a malha pôde ser gerada e então refinada, de

maneira que esta fique o mais próximo possível do mesh presente no arquivo semente (figura

13). Na geração do mesh foram utilizados os métodos de sweep e edge sizing combinado com

bias fator. Essa nova malha em 3D possui 195 321 nós e 182 000 elementos hexaédricos,

representando aumentos de 386,2% no número de nós e 809% no número de elementos. Com

esse aumento considerável no número de nós e elementos, tempo e gasto computacionais

também aumentaram consideravelmente. O tempo total de simulação saltou de 2 horas e 1

minuto no modelo 2D, para 12 horas e 15 minutos no modelo 3D.

Após a criação da geometria e da malha, foi necessário a introdução das condições de

contorno, definição do passo de tempo, seleção do melhor modelo de turbulência, introdução

do sinal que produzirá o movimento do tanque, seleção das propriedades físicas do líquido e

do ar, entre outros. Nesta etapa o regime foi estabelecido como transiente, já que as

propriedades dos fluidos no tanque variam de acordo com o tempo. O tempo inicial e final

foram determinados como 0 e 12 segundos, respectivamente, seguindo o que havia sido

estabelecido por Bredmose et al. (2003). Além disso, foi estipulado o tamanho do passo de

tempo como 0.01 segundos, tendo como base o número de Courant.

O número de Courant ou número de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) é, em muitos

casos, uma condição necessária para a convergência de problemas envolvendo a resolução de

alguns tipos de equações diferencias parciais. Esse fator depende, da velocidade do fluxo, do

tamanho das células e passo de tempo, e normalmente é calculado para cada situação de

acordo com a equação 22. A explicação física do número de Courant pode ser vista como uma

representação da maneira na qual o fluido se move através dos elementos computacionais. Se

o número de Courant for menor que 1, significa que as partículas de um fluido passam de uma

célula para outra dentro de, no máximo, um intervalo de tempo. Se esse valor for superior a 1,

significa que as partículas de fluido movem-se através de duas ou mais células a cada passo

de tempo e isto pode afetar negativamente a convergência do problema. Alguns sistemas mais

robustos podem lidar com altos valores dessa variável, mas em caso de divergência, este é um

bom ponto de partida para solucionar falhas e problemas relacionados à convergência que

podem afetar a precisão de uma simulação transiente. Problemas que apresentam a difusão

como característica dominante, geralmente devem ser executados com baixos valores para o

número de Courant.

47

(22)

Onde n é o número de dimensões do problema, xi é a magnitude da velocidade na dimensão n,

Δt é o passo de tempo e Δxi é o intervalo de comprimento desta dimensão.

A figura 15 é um comparativo dos resultados obtidos experimentalmente e

numericamente por Bredmose et al. (2003), e os resultados das simulações em duas e três

dimensões. Nestas imagens aparecem fotos tiradas dos experimento nos instantes 7.44, 7.52,

7.64, 7.80 e 8.04 segundos, começando de cima para baixo.

Figura 15 – Comparação das simulações de 2D e 3D com o experimento real.

De maneira geral, as formas e feições das ondas apresentadas na sequência de imagens

da figura 15 se assemelham bastante, tanto entre as simulações em 2D (coluna da esquerda) e

48

3D (coluna da direita), quanto entre as simulações e os resultados adquiridos

experimentalmente (ao centro) e por meio das Equações de Boussinesq (linha tracejada da

coluna central). Uma diferença marcante entre as simulações ocorre no segundo 7.52, no qual

a onda da simulação 3D aparenta estar um pouco atrasada em relação à simulação 2D e ao

próprio experimento. Tal ocorrido talvez seja parcialmente explicado pelo fato de o

refinamento da malha 3D ter sido inferior ao apresentado pela malha 2D. Outra diferença

ocorre no segundo 8.04, onde ocorre a descida da onda de água após o impacto na parede;

neste caso o vale formado pela descida da massa de água no modelo 2D é mais evidente tanto

se comparado à simulação 3D, quanto a imagem registrada pela câmera durante o

experimento real.

Os tempos escolhidos na figura 15 não foram escolhos ao acaso, eles demonstram o

período crítico do experimento, onde as pressões exercidas pela onda sobre a parede lateral

atingem seus valores máximos, o que será demonstrado nos gráficos de pressão da seção

3.2.1.2.

3.2.1.1 Análise do Fenômeno Ocorrido Durante o Run-Up

Na simulação em três dimensões foi possível observar um fenômeno peculiar ocorrido

durante a subida da onda de água pela parede lateral do tanque, fenômeno este que não pode

ser observado na simulação em 2D. A figura 16 mostra uma ampliação da vista frontal da

parede lateral; região sobre a qual esse fenômeno pode ser observado a partir da análise dos

resultados da simulação em 3D.

49

Figura 16 – Fenômeno ocorrido durante o run-up.

A figura 16 é uma imagem instantânea do run-up ocorrido na parede lateral do tanque

no instante 7.76s, o qual a lâmina de água atinge sua maior elevação. Observando-se a

ampliação desse ponto crítico, pode-se notar que neste ponto ocorre a formação de uma

superfície curva nas proximidades da junção entre as paredes lateral e frontal do tanque.

Infelizmente esse fenômeno não foi retratado no artigo de Bredmose et al. (2003),

impossibilitando uma validação do resultados. No entanto, existem possíveis explicações para

tal ocorrido. Como uma das condições de contorno do problema foi a de não deslizamento no

contato fluido-parede, possivelmente na junção das paredes o fluido sofre mais resistência ao

seu movimento ascendente, quando comparado ao restante da parede lateral, o que geraria

essa forma curva observada na figura 16. Esse mesmo fenômeno não ocorre na parte esquerda

desta figura, pois ali existe uma simetria, e não uma junção de paredes. Este é um caso que

pode ser objeto de futuros estudos para que se possa confirmar ou não a existência deste tipo

de fenômeno.

50

3.2.1.2 Gráficos de Pressão da Parede Lateral do Tanque

Como dito previamente no capítulo 1, no experimento realizado por Bredmose et al.

(2003), foram instalados transmissores de pressão ao longo do contêiner, mas somente um

deles gerou resultados satisfatórios e confiáveis. A figura 17 apresenta os dados de pressão

obtidos por este transmissor que foi instalado na posição central da parede lateral, a 26 mm do

chão do tanque.

Figura 17 – Gráfico da pressão versus tempo para o experimento H10. Fonte: Bredmose et al.,

2003.

Os tempos da imagens mostradas na figura 16 foram escolhidos com base neste gráfico,

que mostra que os momentos críticos ocorreram entre 7 e 8 segundos. É durante este intervalo

de tempo que a pressão sobre a parede atinge os seus valores mais elevados. De acordo com

Bredmose et al. (2003), o duplo pico é causado pela pressão gerada durante a ascensão da

massa de água sobre a parede lateral do recipiente e o subsequente movimento de descida

dessa mesmo massa de água.

Foi introduzido pelo presente trabalho uma análise dos os esforços que fluidos com

diferentes viscosidades e densidades produziriam na parede lateral do reservatório. Várias

simulações foram feitas com óleo de milho e também com glicerol. Estes dois fluidos são bem

51

mais viscosos que a água, e tem densidade inferior, no caso do óleo de milho, e superior no

caso do glicerol. As propriedades dos dois novos fluidos estudados podem ser vistas na tabela

4.

Tabela 4 – Comparação das propriedades dos novos fluidos.

Substância Densidade (kg/m3) Massa Molar

(kg/kmol)

Viscosidade

Dinâmica (Kg/ms)

Água 997 18.02 8.90E-04

Óleo de milho 918.8 873.4 7.20E-02

Glicerol 1262 92.09 1.50

A tabela 4 demonstra que a viscosidade dinâmica do óleo de milho é cerca de 80 vezes

superior a viscosidade da água, que por sua vez é 1680 vezes inferior à densidade da glicerina,

tomando-se como referencial a temperatura de 25 °C. Comparando estes três materiais será

possível determinar o impacto da viscosidade nas pressões e esforços exercidos pelos fluidos

sobre a parede lateral do contêiner.

Diferentemente do que ocorre no experimento de Bredmose et al. (2003), o gráfico da

pressão gerado no programa ANSYS, para os diferentes fluidos, pôde ser plotado do instante

inicial até o final. A figura 18 foi gerada a partir dos valores de pressão fornecidos pelo

programa, que foram divididos pelas pressões hidrostáticas dos respectivos fluidos; desta

maneira uma comparação entre os diferentes fluidos pode ser feita. Nesta figura, nota-se

diferenças marcantes entre os gráficos de pressões para estes diferentes fluidos. Como

esperado, o gráfico de simulação para a água gerou resultados praticamente idênticos aos

obtidos por Bredmose et al. (2003). A diferença de altura entre as curvas da figura 18 se

justifica pela diferenças de densidade entre eles. Com relação ao formato das curvas, pode-se

notar o efeito marcante da viscosidade. Entre os segundos 7 e 8, e posteriormente entre os

segundos 9 e 10, tanto a água (assim como o ocorrido no experimento de Bredmose et al.

(2003) quanto o óleo de milho apresentaram seus duplos picos de pressão.

52

Figura 18 – Gráfico de pressões para os diferentes fluidos.

Em função dos efeitos da viscosidade, o efeito de duplo pico no óleo de milho (curva

em amarelo) foi consideravelmente inferior ao demonstrado pela água (curva em azul). Este

fato provavelmente demonstra que esses tipos de esforços gerados em um contêiner seriam

maior intensidade para fluidos de menor viscosidade, pois estes apresentam uma maior

mobilidade. Já em relação ao glicerol, os duplos picos sequer aparecem. Além disso, o gráfico

de pressões do glicerol tem uma aparência muito mais suave se comparado aos outros dois

casos. Para este fluido os picos secundários, tais como o ocorrido por volta do décimo

primeiro segundo para a água e o óleo, sequer ocorrem.

3.2.1.3 Comparação Temporal das Ondas dos Diferentes Líquidos

Os mesmos resultados obtidos para água vistos na figura 16 (seção 3.2.1), também

foram obtidos para o óleo de milho e o glicerol. Tendo como base os mesmo tempos da figura

16 (7.44, 7.52, 7.64, 7.8 e 8.04 segundos), pode-se fazer um comparação entre os resultados

53

de simulação dos três fluidos em questão. Diferentemente do que ocorre com a água, as ondas

geradas no óleo de milho e com o glicerol apresentam amplitudes e run-ups bem menos

expressivos.

Figura 19 – Comparação das ondas geradas pelos fluidos.

No instante 7.44s, a onda do óleo de milho é bem reduzida se comparada à onda da

água, já a crista da onda de glicerol é praticamente imperceptível. No instante 7.64s a subida

de fluido pela parede lateral é máxima, no entanto ela é bem inferior no caso do óleo de

milho, e ainda menos aparente no caso do glicerol, o que evidencia a grande diferença de

viscosidades ente os casos. No instante final mostrado pela figura 19, diferentemente da água,

o óleo de milho e o glicerol apresentam uma descida de fluido bem mais suave e prolongada.

54

Apesar de os resultados apresentados nas seções 3.2.1.2 e 3.2.1.3 serem condizentes

com o que poderia ser esperado para essas situações, uma validação com experimentos ou

outros modelos matemáticos seria necessária para se avaliar a consistência dessas simulações.

3.2.2 Simulações do Experimento V21

Os experimentos do tipo “V” (ver figura 4 do capitulo 1), ou seja, aqueles compostos

por movimentos horizontais e verticais, foram produzidos com a intenção de criar ondas de

Faraday que apresentassem table-tops em determinados momentos. Como os modelos com

sinais do tipo “V” ainda não tinha sido simulados como sucesso pelos alunos do laboratório,

tive que trabalhar na simulação desde o seu início. Para isso tomei como base os arquivos do

experimento H10 e rodei diversos cenários variando configurações como a geração e

refinamento da malha, o modelo de turbulência e o passo de tempo. A figura 20 é uma

simulação que demonstra o que seria uma onda do tipo table-top, ou seja uma onda de crista

plana. Na parte (a) da figura 20 a onda atingiria um forma perfeitamente plana no topo,

mantendo as laterais da onda praticamente verticais. Se ocorrer uma elevação ainda maior

dessa onda, sua parte superior começa a ficar mais espessa que a parte inferior e as laterais

ficam paralelas. Na parte (b) da figura ocorre a representação do movimento descendente da

onda, onde deveria ocorrer um engrossamento ainda mais acentuado do topo, afinando as

laterais da onda.

55

Figura 20 – Movimentos acendente e decendente de ondas tipo table-top. Fonte: Bredmose et

al., 2003.

A figura 21 foi extraída do artigo de Bredmose et al. (2003) mostrando os resultados

numéricos e experimentais do experimento V21 em instantes específicos. Os resultados

numéricos para as superfícies livres estão representadas pelas linhas tracejadas e o tempo de

cada captura é mostrado na parte superior de cada imagem. Nas imagens da coluna da

esquerda, as cristas de formato pontiagudo das ondas ficam bem evidentes. Os picos de onda

ocorrem em duas regiões do tanque, um a cerca de 260 mm da parede lateral esquerda, e a

outra a cerca de 490 mm dessa mesma parede; o que pode ser observado comparando-se a

primeira e a segunda imagem da figura. Na coluna da direita da figura 21, as imagens

demonstram os table-tops gerados durante os experimentos do artigo. Neste caso tanto os

56

resultados experimentais quanto os resultados numéricos, apesar de consistentes entre si, não

conseguiram apresentar os formatos de table-top exatamente como previsto na figura 20.

Figura 21 – Ondas geradas durante o experimento V21. Fonte: Bredmose et al., 2003.

No processo de construção do modelo do experimento V21, tive que experimentar

vários modelos de malha, passos de tempos reduzidos e diferentes modelos de turbulência,

para que pudesse alcançar resultados minimamente satisfatórios. Comecei rodando

simulações com adaptações necessárias no próprio arquivo semente do experimento H10.

Esse caminho apresentava uma falha estrutural, pois apesar de bem estruturada e refinada,

essa malha era feita para uma coluna de água de 155 mm, e não 302 mm como ocorre no

experimento V21. Em função deste empecilho, a simulação produziu resultados de baixa

qualidade. Para contornar este problema decidi criar minha própria malha, assim como tinha

feito para o modelo 3D do experimente H10, de maneira que essa fosse mais adequada para os

formatos de onda previstos na figura 21. Durante os processos de simulação para o caso V21,

57

uma mensagem de erro foi recorrente nas tentativas iniciais. Na mensagem de erro lia-se:

“Floating point exception: Overflow”. A partir de uma análise detalhado do assunto, percebe-

se que este erro está relacionado a uma severa divergência no solver do programa, o que

significa que a estabilidade numérica deveria ser melhorada.

Para se resolver este problema de convergência, uma série de medidas poderiam ser

tomadas. Entre elas estão a alteração da qualidade da malha, a checagem da física do

problema, a consideração de uma melhor condição inicial, a utilização menores passos de

tempo, entre outros. Baseado nestes pontos resolvi alterar algumas destas variáveis e ver se os

resultados obtidos seriam melhores. Os fatores alterados nessas tentativas estão listados na

primeira linha da tabela 5, que também mostra os diferentes cenários gerados e seus

resultados.

Tabela 5 – Configurações dos diferentes cenários.

Cenário Tipo de

malha

Número

de

elementos

Modelo de

turbulência

Passo de

tempo

(s)

Altura da

coluna (mm) Resultado

1 1 90000 SSG 0.001 302 Convergiu

2 3 18000 K-e 0.01 302 Divergiu

3 2 108360 K-e 0.002 302 Divergiu

4 2 108360 SSG 0.001 302 Divergiu

5 1 90000 SST 0.001 302 Divergiu

6 2 8645 K-e 0.01 302 Divergiu

7 3 18000 K-e 0.01 200 Convergiu

Com a observação da tabela 5 nota-se que apenas dois casos, dos vários simulados,

convergiram. O cenário 1 foi feito na malha do tipo 1, com um passo de tempo bem reduzido

e o modelo de turbulência Speziale-Sarkar-Gatski ou SSG. A escolha do modelo SSG ocorreu

58

baseada uma pesquisa mais aprofundada sobre as soluções do recorrente problema de

convergência do modelo. Além do primeiro cenário o cenário 7 também atingiu a

convergência. No entanto, no último cenário a coluna de água foi reduzida (200 mm foi a

coluna máxima possível para que o programa atingisse convergência pra este tipo de malha).

Dentre os três tipos de malha citados anteriormente, temos a malha tipo 3, a mesma utilizada

no experimento H10 (figura 14), e as malhas dos tipos 1 e 2, que estão representadas na figura

22.

Figura 22 – Malhas dos tipos 1 e 2.

A malha do tipo 2 foi feita com a intenção de se ter um refino superior nas zonas mais

críticas do experimento, ou seja nas zonas de formação dos vales, cristas e table-tops, além

das proximidades das paredes laterais. Como os diferentes cenários com a malha 2 não

atingiram convergência, resolvi criar a malha 1, que contém apenas uma zona central

altamente refinada. As zonas com alta densidade de blocos estão localizadas entre as linhas

em vermelho.

A comparação dos resultados dos cenários 1 e 7 está na figura 23. Neles pode-se

observar que o resultados do cenário 1 se aproximaram bem mais das cristas e table-tops do

experimento real, se comparado ao cenário 7. Como descrito no por Bredmose et al. (2003),

as ondas geradas nos instantes iniciais do cenário 1 são ondas de Faraday como as

apresentadas na figura 21 (coluna esquerda). A partir do instante 9.8s, algo similar a um table-

top começa a se formar. Como descrito por Bredmose et al. (2003), a parte superior das ondas

começam a ficar planas e suas laterais estreitas. No instante 9.9s a onda está em seu

movimento descendente e o table-top aparente estar ainda maior que no instante anterior,

assim como previa a teoria. No instante 11.5s o table-top aparenta ficar bem evidente mais

começa a perder o seu formato. Nestes momentos finais a simulação já não aparentava ser

totalmente consistente, assumindo formatos cada vez mais distantes do esperado. Por outro

59

lado, o cenário 7 nestes casos sequer apresentou algo similar a um table-top, as ondas ali

apresentaram baixa amplitude. Este cenário não apresentou cristas de onda tão bem definidas

como no artigo e no cenário 1. Esse diferença entre os cenários possivelmente está

intimamente relacionada com a tamanho da coluna de fluido, que no cenário 7 teve que ser

reduzida para que a convergência pudesse ser atingida.

Fazendo uma comparação entre as simulações do experimentos H10 e V21, no cenário

1 o passo de tempo foi reduzido em 10 vezes e o número de elementos da malha foi

aumentado 5 vezes em relação ao arquivo semente do experimento H10. Em função da

alteração do passo de tempo o número total de iterações saltou de 1200 para 12000. Em

função dessas modificações o tempo total de simulação passou de 2 horas e 1 minuto, no

experimento H10, para 41h e 18 minutos, para o cenário 1 do experimento V21. Com uma

malha cada vez mais refinada e com passos de tempo tão pequenos se tornou cada vez mais

custoso e demorado rodar vários cenários diferentes afim de determinar qual seria o melhor.

Por fim, apesar de imperfeitos, os resultados obtidos para o experimento V21 aparentam ser

promissores e talvez mais conhecimento possa ser construído sobre do trabalho aqui iniciado.

60

Figura 23 – Comparação entre os cenários 1 e 7.

61

4. Conclusão

Os resultados de um experimento envolvendo a agitação de um recipiente parcialmente

cheio com água, que depois foi substituída por óleo de milho e glicerol, foram obtidos a partir

de modelagem numérica e comparados com resultados analíticos e experimentais. De forma

geral os resultados concordaram de forma consistente com a experiência real. Os dados

experimentais e analíticos foram fornecidos pelo artigo publicado por Bredmose et al. (2003),

enquanto os resultados numéricos foram gerados no programa ANSYS CFX. Para a água, os

resultados dos picos de pressão, ocorridos na parede lateral do reservatório, apresentados

estão de acordo com os resultados experimentais e com o comportamento de onda similares.

Ao se substituir a água por um fluidos com menores número Reynolds, resultados mais

suaves para os esforços foram encontrados. A implicação prática é que as mudanças na

viscosidade do líquido podem afetar as cargas de pressão sobre as paredes de um recipiente.

Outro ponto a ser destacado seria a necessidade de uma investigação mais aprofundada sobre

a ocorrência de uma borda curvilínea no topo do run-up de água, algo que pode ser

confirmado ou não a partir de dados experimentais. Com relação à simulação do experimento

envolvendo uma combinação movimentos horizontais e verticais, os resultados aparentam ser

satisfatórios. Ondas de Faraday que se assemelham ao formato do tipo table-top foram

formadas. Porém, os resultados apresentados não foram completamente estáveis, carecendo de

uma abordagem mais aprofundada.

62

Referências Bibliográficas

Batchelor, G.K., 2000, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Mathematical Library,

Cambridge University Press.

Blazek J., 2001, Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications, Elsevier

Science, Idlington, Oxford.

Bredmose, H., Brocchini, M., Peregrine, DH. e Thais, L., 2003. “Experimental investigation

and numerical modelling of steep forced water waves”. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 490,

pp. 217-249.

Cebeci, T., Shao, J.P., Kafyeke, F. e Laurendeau, E., 2005, Computational Fluid Dynamics

for Engineers, HORIZONS PUBLISHING.

Cécora, R.D., Radespiel, R., Eisfeld, B. e Probst., A., 2012, “Differential Reynolds Stress

Modeling for Aeronautics”, 50th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New

Horizons Forum and Aerospace Exposition 09 - 12 January 2012, Nashville, Tennessee.

Chen, Y.G., Djidjeli, K. e Price, W.G., 2008. “Numerical simulation of liquid sloshing

phenomena in partially filled containers”. Computers & Fluids, Vol. 38, pp. 830-842.

Chung T.J., 2002, Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press.

Costa, D.G., 2011, “Modelagem do Impacto de Ondas em Reservatórios”, Trabalho final de

conclusão de curso, Escola de Engenharia, Universidade Federal Fluminense, Brasil.

Date, A.W., 2005, Introduction to Computational Fluid Dynamics, Cambridge University

Press, Cambridge, UK.

63

Faltinsen, O.D. and Timokha, A.N., 2009. Sloshing, Cambridge University Press.

Godderidge, B., Turnock, S.R., Tan, M. e Earl, C., 2009. “An investigation of multiphase

CFD modelling of a lateral sloshing tank”. Computers & Fluids, Vol. 38, pp. 183-193.

Hirsch, C., 1988, Numerical Cornputation of Internal and External Flows, Volume 1:

Fundamentals of Numerical Discretization, Vrije Universiteit Brussel, Brussels, Belgium.

Ibrahim, R.A., 2005. Liquid Sloshing Dynamics: Theory and Applications. Cambridge

University Press.

Jiang, M.R., Ren, B., Wang, G.Y. and Wang, Y.X., 2014. “Laboratory study on the

hydrodynamic and structural characteristic of violent sloshing in elastic tanks”. In

Proceedings of the 7th International Conference on Thin-Walled Structures. Busan, Korea.

Paper no. ICTWS2014-0801.

Kim, Y., 2007. “Experimental and numerical analyses of sloshing flows”. Journal of

Engineering Mathematics, Vol. 58, No. 1, pp. 191-210.

Liu G.R. e Quek S. S., 2003, The Finite Element Method: A Practical Course, Butterworth-

Heinemann, Elsevier Science.

Moreira, R.M., Thorley, R.F.D., Costa, D.G., Nicolato, P.C., Bacchi, R.D.A. and Chacaltana,

J.T.A., 2012. “Modelling the dynamics of waves in reservoirs”. In Proceedings of the 7th

National Congress of Mechanical Engineering. São Luís, Brazil. Paper no. CONEM2012-

0927.

Nicolato, P.C. and Moreira, R.M., 2009. “Numerical modelling of water wave impact on

reservoirs”. In Proceedings of the 20th International Congress of Mechanical Engineering.

Gramado, Brazil. Paper no. COB09-0354.

64

Nicolato, P.C., “Modelagem Computacional da Dinâmica de Ondas Não-Lineares em um

Reservatório”, Trabalho final de conclusão de curso, Escola de engenharia, Universidade

Federal Fluminense, Brasil.

Patankar SV, 1980, Numerical heat transfer and fluid flow, CRC Press.

Rajchenbach, J. e Clamond, D., 2015, Faraday waves: their dispersion relation, nature of

bifurcation and wavenumber selection revisited, Journal of Fluid. Mech. 777, R2–1.

Tannehill J.C., Pletcher, R.H., Anderson, D., 1997, Computational Fluid mechanics and heat

transfer, CRC Press.

Tian, Z., 2015, “CFD for Engineering Applications Lecture Book”, School of Mechanical

Engineering, University of Adelaide, Australia.

Versteeg HK e W Malalasekera, 1995, An intoducion to computational Fluid Dynamics The

finite volume method, Longman Science & Technical, New York, NY.

Wu, W., 2007, Computational River Dynamics, CRC Press.

Zingg D.W., 1999, Fundamentals of Computational Fluid Dynamics, NASA Ames Research

Center, University of Toronto Institute for Aerospace Studies, Toronto, CN.