fisicai io impulsoe colisões cristiano notes · teorema trabalho ‐energia cinética mudanças na...
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04/10/2016
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Momento, impulso e colisões
Prof. Cristiano OliveiraEd. Basilio Jafet – sala 202
Fisica I ‐ IO
Um claro exemplo são colisões. Oque ocorre quando um carrocolide com outro? Em uma partidade bilhar, como decidir onde miraro taco na bola branca paraencaçapar a bola oito?
Existem diversos casos envolvendoforças que não podem serdiretamente estudados utilizando aSegunda Lei de Newton.
Quando um projétil incide sobreum alvo, como a energia cinética étransferida no processo?
Veremos como responder asquestões acima sem ter de sabernada sobre as forças envolvidas!
Definiremos momento linear edemonstraremos que, assim comoa energia, a quantidade demomento é conservada em umsistema!
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Momento e ImpulsoAnteriormente reinterpretamos a segunda lei de Newton para uma partícula em termos do teorema Trabalho‐Energia.
Vamos desenvolver outra relação bastante útil.
Segunda Lei de Newton em termos do momento
Considere inicialmente uma partícula com massa constante m. Depois lidaremos com massa variável.
Como podemos escrever a segunda Lei de Newton como :
Podemos colocar a massa dentro da derivada pois ela é constante.Denominaremos o par como momento, ou momento linear da particula. Denominando o momento como
Quanto maior a massa e a velocidade da partícula, maior será o momento mv.
Note que o momento é uma quantidade vetorial e destemodo podemos descrevê‐lo em termos de suas componentespx, py e pz:
Substituindo na equação inicial da segunda lei de Newton,
“A força resultante agindo sobre uma partícula é igual à taxa temporal de mudança demomento da partícula.”
Esta é a forma original com a qual Newton propôs sua Segunda Lei (ele chamava momento de“quantidade de movimento”.)
Esta equação indica que uma mudança rápida no momento requer uma grande forçaresultante, ao passo que uma mudança gradual requer menos força resultante.
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O momento da partícula é p = mv ao passo que sai energia cinética é K = ½mv2.Ambas dependem da massa e da velocidade. A diferença entre ambas vai muito alémdo fato do momento depender de “v” e a energia cinética de “v2”.
Teorema Impulso‐Momento
Vamos definir uma quantidade denominada impulso.
Seja uma partícula sujeita a uma força resultante constante durante um intervalode tempo de t1 a t2.
O impulso da força resultante , denominado de , é definido como o produto entrea força resultante e o intervalo de tempo,
O impulso é uma quantidade vetorial: sua direção é a mesma da força resultante. Suamagnitude é o produto da magnitude da força resultante e do intervalo de tempo queesta força age. No SI a unidade de impulso é o newton‐segundo (N.s)).
Como 1N = 1kg.m/s2, o impulso pode ser visto como kg.m/s, ou seja, a mesma unidade demomento!
Será isso só coincidência? ‐> NÃO!!!
Para ver a utilidade do impulso, voltemos à Segunda Lei de Newton em termos domomento. Se a força resultante é constante, então também é constante.
Neste caso é igual à mudança total no momento durante o intervalodividido pelo intervalo de tempo,
Multiplicando os dois lados por , temos
Com isso chegamos ao teorema impulso‐momento:
“A mudança no momento de uma partícula durante um intervalode tempo é igual ao impulso de uma força resultante agindosobre uma partícula durante este intervalo.”
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Caso a força resultante não seja constante, ainda assim o teorema é válido. Partimosda definição de força em termos do momento e fazemos a integração:
A integral do lado esquerdo é definida como impulso de uma força resultantedurante o intervalo da integral:
Ou seja, o teorema impulso‐movimento é valido mesmo para forçasvariáveis.
Quando a descrição da força resultante em função do tempo é complicada ou difícilde se determinar, pode‐se considerar uma força resultante média, de modo quemesmo que a força resultante instantânea não seja constante, podemos escrever:
Em um acidente de carro, o air bag devefornecer o mesmo impulso para frear omotorista. No entanto isso é feito de modosuave de modo a não machucar o motorista etambém diminuir os danos do impacto sobre ocorpo.
Quando assumimos a força média teremosacesso à quantidade de impulsonecessária sem nos atentarmos à forma daintegral.
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Impulso e momento são quantidades vetoriais e deste modo, seu cálculo envolveráequações vetoriais. Em diversos problemas poderemos trabalhar na forma decomponentes:
Momento e energia cinética
Teorema Momento‐Impulso
Mudanças no momento de uma partícula ocorrem devido ao impulso, que depende do tempo em que a força resultante age.
Teorema Trabalho‐Energia Cinética
Mudanças na energia cinética ocorrem quando trabalho é realizado na partícula. Otrabalho depende da distância na qual a força resultante atua
Vamos assumir uma partícula inicialmente no repouso,
Assim, e
Agora, uma força resultante age sobre o sistema entre os instantes de tempo t1 e t2.Durante este intervalo, a particula se moveu uma distância s na direção da força.
O momento da partícula no instante t2 é , com
Assim, o momento da partícula é igual ao impulso que a acelera do repouso até a velocidade atual.
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O momento da partícula no instante t2 é , com
“O momento da partícula é igual ao impulso que a acelera do repouso até a velocidade atual”.
Por outro lado, a energia cinética é
o trabalho total feito em uma partícula para a acelerar a partir do repouso, sendo estetrabalho total o produto entre a força resultante e a distância requerida para acelerar apartícula.
Sendo assim, o momento / impulso, contém informações sobre as forças do sistema e destemodo, permitem a correlação entre as informações dinâmicas e cinemáticas!
Suponha que você tenha de escolher entre apanhar uma bola de 0.5kg à 4m/s ou uma bola de 0.1kg à 20m/s. Qual seria mais fácil de apanhar?
Note que, propositalmente, ambas bolas possuem o mesmo momento linear:
Logo, do ponto de vista de impulso, ambas irão requerer o mesmo impulso de seu braço para serem paradas.
Mas e do ponto de vista energético??
Note agora que as bolas irão possuir diferentes valores de energia cinética
A bola grande, mais lenta, possui energia cinética de
A bola pequena, mais rápida, possui energia cinética de
Sendo assim, para parar a bola pequena, você deverá realizar 5x mais trabalho do que necessitaria para parar a bola grande!
Para uma dada força máxima que você pode realizar com sua mão/braço, você levaria o mesmo tempo para parar a bola (impulso) mas seu braço iria se descolar 5x mais para trás em um caso do que no outro. Logo, é mais fácil parar a bola mais pesada pois ela possui menos energia cinética!
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Os teoremas impulso‐momento e trabalho‐energia são relações entre força e momento e, logicamente, se fundamentam nas leis de Newton
No entanto eles são princípios integrais, relacionando omovimento em dois instantes de tempo diferentes, separados porum intervalo definido
por outro lado, a segunda lei de Newton, seja na forma
ou
é um princípio diferencial, relacionando as forças e a taxa de mudança de velocidade oumomento em cada instante.
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Conservação de Momento
O conceito de momento é particularmente útil para casos onde os corpos interagem.
Considere um sistema idealizado onde dois corposinteragem somente um com o outro e mais nada, porexemplo dois astronautas que se tocam quando estãoflutuando livremente na gravidade zero do espaço livre.
Cada partícula exerce uma força na outra, de acordocom a terceira Lei de Newton, com forças de igualmagnitude mas direção oposta. Deste modo o impulsoque age sobre estas duas partículas é igual e oposto, e asmudanças no momento das duas partículas são iguais eopostos.
Imaginemos os astronautas como partículas.
É conveniente fazer uso de uma nova terminologia. Paraqualquer sistema, as forças que as partículas do sistemaexercem uma sobre as outras são chamadas forçasinternas. Forças feitas em qualquer parte do sistemapor um objeto exterior são chamadas forças externas.Para o sistema em questão as forças FBonA e FAonB sãoforças internas e não existem forças externas agindo.sendo assim temos um sistema isolado
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A força resultante na partícula A é FBonA e a força resultante na partícula B FAonB. Logo,da definição de força em termos de momento, temos:
O momento de cada partícula muda, mas estas mudanças estão relacionadas umacom as outras pela terceira Lei de Newton: as duas forças FBonA e FAonB são sempre demesmo modulo e direção oposta.
→
Assim, temos:
A taxa de variação dos momentos são iguais e opostos. Logo, a taxa de variação dasoma dos momentos, é zero!
Vamos definir o momento total do sistema como sendo ,
A taxa temporal de mudança do momento total P é zero. Assim o momento total dosistema é constante, mesmo que os momentos individuais das partículas secompõem o sistema se alterem.
Se forças externas também estão presentes, devem serincluídas junto das forças internas. Neste caso omomento total pode não ser mais constante. No entanto,se a soma das foças externas é zero, como no caso aolado, então estas forças não afetam o sistema e assimdp/dt é zero novamente. com isso,
“Se a soma das forças externas em um sistema é zero, o momento total do sistema é constante.”
Esta é a forma mais simples do principio da conservaçãodo momento. Note que isso decorre diretamente daterceira Lei de Newton.
O que faz este principio útil é o fato de não depender danatureza detalhada das forças internas que agem sobreos componentes do sistema. Isto significa que podemosaplicar este principio de conservação do momentomesmo em casos onde muito pouco é sabido sobre asforças internas. Isso é quase sempre o caso!
Como tudo foi derivado a partir das leis de Newton, tudo isso é somente válido emreferenciais inerciais!
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Podemos generalizar este principio para um sistema que contem qualquer numero departiculas, A, B, C... interagindo uma com as outras. O momento total do sistema será:
Podemos fazer o mesmo argumento anterior: a taxa total do momento de um sistema devidoao principio da ação e reação das forças internas é zero. Assim, a taxa total de mudança domomento do sistema inteiro é zero sempre que a soma das forças externas agindo sobre osistema forem zero. As forças internas podem mudar o momento das partículas individuaisdo sistema mas nao o momento TOTAL do sistema.
Note que o momento é um VETOR. Logo, pode ser conveniente tratar as componentesindividualmente:
De certo modo, o principio da conservação do momento é mais geral que o principio daconservação da energia mecânica. A energia mecânica era conservada apenas se as forçasinternas eram conservativas (reversíveis).No entanto, o principio da conservação do momento é válido mesmo que as forças sejamnão conservativas.
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Conservação de Momento e Colisões
Utilizaremos o termo colisão como definindo qualquer interação forte entre doiscorpos que dura um intervalo de tempo relativamente curto
Com isso podemos incluir colisão entre veículos, bolascolidindo em uma mesa de bilhar, nêutrons atingindoum núcleo atômico em um reator nuclear, o impacto deum meteoro em um deserto, entre muitos outrosexemplos.
Se as forças entre os corpos são muito maiores do quequalquer força externa, como ocorre na maioria dascolisões, podemos desprezar inteiramente as forçasexternas e tratar os corpos como um sistema isolado.
Com isso o momento é conservado e o momento totaldo sistema é o mesmo antes e após a colisão
Colisões elásticas
Se as forças entre os corpos são conservativas, não há perdaou ganho de energia mecânica na colisão. Com isso a energiacinética do sistema é a mesma antes e após a colisão. Estetipo de colisão é denominado colisão elástica.
A colisão entre duas bolas de bilhar é quase completamenteelástica.
Um modelo para colisões elásticas é mostrado na figura aolado. Quando os dois carrinhos colidem as molas sãomomentaneamente comprimidas e parte da energia cinética émomentaneamente convertida em energia potencial elástica.
Quando os carrinhos são refletidos e se distanciam as molasexpandem e a energia potencial nelas é convertida emenergia cinética.
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Colisões inelásticas
Uma colisão na qual a energia cinética total depois da colisãoé menor do que antes da colisão é denominada decolisão inelástica.
Uma bola de massa de modelar caindo no chão ou uma balaentrando em um pedaço de madeira são exemplos deste tipode colisão
Uma colisão inelástica onde os corpos ficam unidos e semovem como um só após a colisão é denominada colisãocompletamente inelástica. Na figura abaixo as molas foramsubstituidas por velcro e os corpos ficam unidos apos acolisão.
Colisões Completamente inelásticas
Em uma colisão completamente inelástica entre dois corpos (A e B) os dois corpos ficamunidos após a colisão, com a mesma velocidade final v2:
A conservação do momento fornece:
Se forem conhecidos as velocidades iniciais e massas pode‐se calcular a velocidade final v2.
Suponha um corpo com massa mA e componente x da velocidade vA1x colidindoinelasticamente com um corpo com massa mB inicialmente em repouso (vB1x=0). Daequação anterior temos,
Olhando a energia cinética, notamos que o movimento ocorre puramente no eixo x, logo asenergias cinéticas K1 e K2, antes e após a colisão respectivamente, são:
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A razão entre as energias cinética final e inicial é:
Note que o lado direito é sempre menor que 1, indicando que a energia cinética final ésempre menor que a inicial.
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Classificando Colisões
Como mencionado antes, em muitos casos podemos utilizar o conceito de conservaçãodo momento mesmo quando temos forças externas agindo sobre o sistema. Isto épossível quando a força resultante externa agindo nos corpos colidentes é pequena emcomparação às forças internas que aparecem durante a colisão.
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Colisões Elásticas
Colisão elástica em um sistema isolado é aquela na qual a energia cinética (e o momento) éconservado. Colisões elásticas ocorrem quando as forças entre os corpos colidentes sãoconservativas.
Quando duas bolas de bilhar colidem (ou no pêndulo de Newton aolado), ocorre uma pequena deformação na superfície de contato.Esta deformação retorna à condição inicial. Quando isso ocorreparte da energia cinética é convertida em energia potencial, que édepois recuperada novamente em energia cinética.
Vamos pensar na colisão entre dois corpos, A e B. Iniciamos com uma colisão unidimensinalna qual as velocidades estão na mesma reta, a qual denominamos eixo x. Cada momento evelocidade então tem somente a componente x. Temos as componentes da velocidadeiniciais, antes da colisão, e finais, apos a colisão. Da conservação da energia cinética,
E da conservação do momento,
Temos seis possíveis variáveis (mA, mB, vA1x, vB1x, vA2x, vB2x) e duas equações. Se soubermosquatro variáveis, podemos utilizar estas equações para encontrar as outras duas.Em geral as massas e velocidades iniciais são conhecidas, de modo que pode‐sediretamente obter as velocidades finais.
Colisões Elásticas, um corpo inicialmente no repouso
A solução do caso geral é um pouco complicada pois pode envolver muitos parâmetros.
Vamos inicialmente nos concentrar no caso onde o corpo B está no repouso antes dacolisão (vB1x = 0). Com isso a conservação da energia cinética e momento fornecem,
Agora podemos resolver este sistema de equações para obter as velocidades finais doscorpos A e B.
Uma via de resolver é rearranjar as equações de modo que,
Dividindo uma equação pela outra, temos
(1)
(2)
(3)
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Substituindo vB2x na equação anterior do momento (1),
Finalmente, substituindo vB2x em (3),
(4)
(5)
É interessante interpretar estes resultados para casos particulares quando as massas sãoidênticas ou muito diferentes.
Suponha que o corpo B possua uma massa muito maior que A (por exemplo, uma bola deping‐pong para A e uma bola de boliche para B).
Intuitivamente esperaríamos que a bola de ping‐pong ricocheteasse e que a bola deboliche praticamente não se movesse.
Colisões Elásticas, um corpo inicialmente no repouso
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xB
xAxA
AB
v
vv
mmAs equações anteriores fornecem,
O que condiz com a expectativa inicial!
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Suponha o caso oposto, que o corpo A possua uma massa muito maior que B
Neste caso podemos esperar que a bola massiva colida com a bola de pequena massa eprossiga sem praticamente alterar sua velocidade, ao passo que a bola pequena se moverapidamente.
Colisões Elásticas, um corpo inicialmente no repouso
xAxB
xAxA
BA
vv
vv
mm
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As equações anteriores fornecem,
A bola de ping‐pong se desloca com o dobro davelocidade da bola de boliche!
Suponha o caso oposto, que o corpo A e o corpo B possuem massas iguais
Colisões Elásticas, um corpo inicialmente no repouso
xAxB
xA
BA
vv
v
mm
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As equações anteriores fornecem,
A bola que estava se movendo pára e transferetodo seu momento para o corpo que estavaparado
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Velocidade Relativa / colisão elástica
Das derivações anteriores, obtivemos que, em uma colisão elástica:
“A velocidade relativa antes da colisão é igual e contrária à velocidade relativa depois da colisão”
Em termos matemáticos, temos:
Demonstra‐se que uma equação vetorial semelhante a anterior é uma propriedade geral de todas as colisões elásticas. Assim,
“Em uma colisão elástica o modulo da velocidade relativa entre os dois corpos antes da colisão é igual ao módulo da velocidade relativa depois da colisão”
Este resultado permite decidir qual solução é a válida na solução da equação da equação do segundo grau que pode aparecer nos cálculos.
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Podemos utilizar o principio de conservação de momento de um modo util usando oconceito de centro de massa.
Centro de Massa
Suponha que se tenha varias partículas com massas m1, m2, ... Sejam as coordenadas de m1
como (x1,y1), m2 como (x2,y1), etc. Define‐se centro de massa como um ponto que temcoordenadas (xcm, ycm) dados por
O vetor posição do centro de massa pode ser expresso em termos dos vetores posição... das particulas,
cmr
..., 21 rr
Em linguagem estatística, o centro de massa é a média ponderada pela massa da posiçãodas partículas
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Para corpos sólidos nos quais temos (pelo menos do ponto de vista macroscópico) umadistribuição contínua de matéria, as somas anteriores são substituídas por integrais:
Centro de Massa / Corpos contínuos
Quando formos estudar rotação de corposrígidos este conceitos serão extremamentenecessários para a descrição do movimento.
Para ver a importância do centro de massa é necessário entender o que ocorre quando apartícula se move.
Movimento do centro de Massa
As componentes x e y da velocidade do centro de massa, vcm‐x e vcm‐y são as derivadastemporais de xcm e ycm. Alem disso, dxi/dt é a componente x da velocidade da partícula i,podendo ser aplicado para cada uma das partículas do sistema, logo,
Escrevendo a velocidade na forma vetorial, temos:
Note que a massa total (M) do sistema é a soma das massas individuais,M=m1+m2+...Assim podemos escrever:
O lado direito é o momento total P do sistema. Assim, demonstramos que o momento totalé igual à massa total do sistema vezes a velocidade do centro de massa.
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No exemplo abaixo, uma chave inglesa desliza sobre uma mesa horizontal. Apesar domovimento total parecer complicado, o centro de massa se move em linha reta.
Para um sistema de partículas sem a ação de forças externas a velocidade do centro de massatambém é constante.MPvcm /
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Quando a força resultante externa sob um sistema de partículas não é zero, o momentototal não é conservado e a velocidade do centro de massa muda.
Forças externas e o centro de Massa
Para o calculo da aceleração tomamos a derivada temporal da velocidade,
Assim,
...
...///
21
2211
mm
dtvdmdtvdmdtvda cmcm
m1a1 é igual à soma vetorial de todas as forças agindo sobre a primeira partícula, e assimsucessivamente. Assim, o lado direito da equação acima é igual À soma de todas as forçasagindo sobre todas as partículas.
Neste sistema de partículas teremos a ação desta força externa, bem como as forçasinternas que uma partícula faz sobre a outra
No entanto, pela terceira lei de Newton, todas as forças internas se cancelam aos pares eassim Logo, temos que somente a força externa gera aceleração:
Quando forças externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partículas, ocentro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesseponto e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuamsobre o sistema.
Este resultado é central na mecânica: é isso que nospermite descrever um corpo como uma partículapuntiforme quando aplicamos as leis de Newton!
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Esta propriedade é também importante quando analisamos o movimento de um corporígido. Como veremos, o movimento de um corpo rígido é descrito como uma combinaçãodo movimento de translação do centro de massa e um movimento de rotação em torno deum eixo passando pelo centro de massa.
Usando a relação, temos
Logo, Já vimos uma equação similar a esta, mas para uma únicaparticula. Esta relação descreve um sistema de partículas oucorpo rígido. Os momentos lineares das partículas podem serdiferentes, mas o momento total varia de acordo com a forçaexterna.
Propulsão de Foguetes
Vamos considerar um foguete no espaço, sem força gravitacional e resistência do ar. Seja mdenotando a massa do foguete, que irá mudar com o gasto de combustível. Escolhemoscomo eixo x a direção de direção do movimento.
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No instante t quando a massa é m temos uma velocidade v na direção x. A componente xdo momento total neste instante é P1=mv
Propulsão de Foguetes
Em um intervalo de tempo dt a massa do foguete muda de uma quantidade dm. Estaquantidade é negativa pois a massa do foguete decresce com tempo.
Durante dt a massa positiva ‐dm de combustível queimado é ejetado pelo foguete.
Seja vex a velocidade escalar de exaustão do material relativo ao foguete: o combustívelqueimado é ejetado na direção oposta à direção do movimento, então a componente x davelocidade relativa é ‐vex. A velocidade x vfuel do combustível queimado relativo ao sistemade coordenadas é,
a componente x do momento de massa ejetada (‐dm) é,
A velocidade x do foguete e combustível não queimado tem aumento para v+dv, e suamassa é decrescida param+dm (dm é negativo). O momento do foguete neste instante é,
Propulsão de Foguetes
A componente total do momento P2 do foguete + combustível ejetado no instante t+dt será,
Temos um sistema isolado, e sendo assim ocorre a conservação do momento entre osinstantes t e t+dt: P1=P2. Assim,
Isso se simplifica para,
Podemos desprezar o termo ‐ dm dv pois são duas quantidades pequenas e é muito menorque os outros termos. Dividindo tudo por dt e rearranjando, temos:
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Propulsão de Foguetes
Agora dv/dt é a aceleração do foguete, então o lado direito (MASSA x ACELERAÇÃO) é a forçaresultante F, ou força de propulsão do foguete,
A componente x da aceleração do foguete é,
A massa do foguete decresce continuamente enquanto o combustível é consumido. Se vex edm/dt são constantes, a aceleração aumenta até que todo o combustível acabe.
Propulsão de Foguetes
Se a velocidade de exaustão do combustível queimado vex é constante podemos integrar paraencontrar a relação entre a velocidade v e a massa restante m. No instante t=0 a massa é m0
e a velocidade v0, assim podemos escrever:
Mudamos v v´e m m´ e usamos como limites superiores v e m. Como vex é constanteele pode sair da integral:
a razão m0/m é a massa original dividida pela massa depois do combustível serconsumido. Na prática esta quantidade é a maior possível para maximizar o ganho develocidade, ou seja, a massa inicial do foguete é praticamente somente combustível.
A velocidade final do foguete é será maior que a velocidade relativa vex se ln(m0/m) > 1, ie, m0/m > e = 2.8182...
Em um caso real ainda é necessário levar em consideração a ação da força gravitacional.
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