1ªaula do cap. 07 energia cinética e...

• Introdução• Trabalho Mecânico e Produto Escalar• Energia Cinética• Teorema do Trabalho-Energia Cinética• Trabalho Realizado por força variável (Integral)

Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker,

Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 07 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC.

James Prescott Joule (1818 - 1889)

x

1ªAula do Cap. 07 Energia Cinética e Trabalho

As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essaanálise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do

movimento simplesmente inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso demontanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, mas

resolva o problema usando as leis de Newton.0=vv

?=vr

Energia

Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnicamuitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essa

maneira acabou sendo estendida a outras situações , tais como: reações químicas, processos geológicos e funções biológicas.

Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, queaparece em várias formas e tipos.

Energia: grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos.

Essa definição é muito vaga e para chegar a algum lugar vamosnos concentrar inicialmente em uma forma apenas de energia.

Energia

Relação entre forças agindo sobre um corpo e a energia cinética:

1) A abordagem a partir do conceito de energia representa um bom atalho para resolução de problemas,

2) A idéia de energia revelar-se-á de fato fundamental na Física.

Problema 1D: corpo sob ação de uma força resultante constante:

mF

a ∑= xm

Fxavv Δ=Δ=− ∑222

02

20

2

21

21 mvmvxF −=Δ∑

Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, estaestá relacionada com a variação de velocidade.

Energia Cinética

A energia cinética não pode assumir valoresnegativos e é uma grandeza escalar.

O trabalho também é uma grandeza escalar epode assumir valores negativos…

Energia cinética

20

2if mv

21mv

21kkK −=−=Δ

Unidades:

2

21 mvK =

K = 2,0.108 J

Trabalho: "É o produto da força ou componente da força na direção do deslocamento, pelo deslocamento".

Expressão: W = ⏐ F⏐.⏐d⏐ cosθ

Observe que o trabalho é uma grandeza escalar porque é decorrente do produto escalar de duas grandezas vetoriais

F e d.

Trabalho mecânico & produto escalar:

W = F.d cosθ

W + ou -

Trabalho mecânico & produto escalar:

W = F.d cosθ

Quando um corpo é deslocado horizontalmente sobre uma mesa plana, a força normal n e a força peso mg não realizam trabalho, θ = 90º.

WN ou WP = F.d cos90º = 0

Instalação de uma escultura de Henry Moore

kgm 2000=

my 5,1=Δ JWJgW

4100,35,12000

×≈

××=

Trabalho realizado pelo guindasteao erguer a escultura:

Para manter a escultura erguida oguindaste não realiza trabalho

Trabalho Mecânico

my 5,1=Δ

Trabalho MecânicoExemplo: Para empurrar um caixote de 25,0 kg, numa rampa que faz um ângulo de 25º, conforme figura abaixo, um operário exerce uma força de 209 N paralela a rampa. Se o caixote se desloca de 1,5 m. (despreze o atrito entre o caixote e a rampa)

Determine: a) O trabalho realizado pelo operário. b) O trabalho realizado pelo peso do caixote durante este deslocamento? c) O trabalho executado pela força normal. d) O trabalho total executado sobre o caixote?

25º

Kmv21mv

21WxF 2

02

Fres Δ=−==Δ∑O trabalho realizado pela resultante das forças FR para deslocar um corpo de um ponto A a um ponto B, é a

diferença de energia cinética do corpo nos pontos B e A.

Teorema Trabalho - Energia Cinética

O trabalho da força resultante é dado por: ∑ Δ= xFWFres

Em 1 dimensão: )(xFF ≡

=== ∫∫ dxdtdvmdx)x(FW

f

i

f

i

x

x

x

x

X

( ) Kvvm21vdvmW 2

i2f

v

vFR

f

i

Δ=−== ∫

ma

Demonstração do teoremaTrabalho – Energia cinética

Trabalho realizado pelo cão:

Modelo para resolver o problema:

mg

F

N

fa

Δx

xFWc

Trabalho realizado pela força de atrito:

Δ=

xmgxfW catratr Δ−=Δ= μ


Se o carrinho se desloca com velocidade constante:

0=ΔKConsistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:

0=+ atrc WWA força resultante é nula:

0=+=∑ afFF

…continuação do mesmo exemplo:

∑ Δ==−=Δ yFWKKK resif

mgF =0

000

<Δ<<>Δ

KWF

y

0000

>Δ><<Δ

KWF

y

Exemplo para o trabalho da força peso F = -mg


∑ Δ==−=Δ xFWKKK resif

Força peso: cálculo do trabalho de uma força constante em 1 dimensão

( ) )( if

y

y

yymgdygmWf

i

−−=−= ∫

JW 100=

kgm 2,10=


Trabalho devido a uma força Fem mais de uma dimensão:

θcosrFrFW Δ=Δ⋅=rr

rΔ

Fθ

Trabalho em 2 ou 3 dimensões(exemplo para uma força constante)

Uma força Fx varia co x conforme a figura abaixo. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de x = 0 até x = 6 m.

Exemplo:

W = área no gráfico

F(x) versus x

Trabalho Realizado por força variável

Uma força Fx varia co x conforme a figura abaixo. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de x = 0 até x = 6 m.


Em 1 dimensão F(x): Trabalho Realizado por força variável

O gráfico a seguir é uma reta e representa a variação da força resultante que atua em um corpo de 1,2 kg em função do deslocamento. Sabe-se que a velocidade na posição x = 2 m é de 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo na posição x = 4 m?

Exemplo:


m =1,2 kg , x = 2 m v = 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em x = 4 m?

2 4

4

8

Exemplo:

F = k Δx


m =1,2 kg , x = 2 m v = 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em x = 4 m?

2 4

4

8

8 J

4 J

W = 12 J =Δ K


A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos.

Δx

Fx


A área sob a curva entre os pontos x1 e x2, será dada pela soma das

áreas dos retângulos. ∑ ΔxF


A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δx, se torna um infinitésimo.

A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.

Conceito de integral

∫∑ =Δ= Δ

f

i

x

xx dx)x(FxFlimW

A área sob a curva entre os pontos xi e xf, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δx, se torna um infinitésimo. A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.

∫=f

i

x

x

dx)x(FWx

F(x)

∫∑ =Δ= Δ

f

i

x

xx dx)x(FxFlimW 0

x

F(x)xi xf

xi xf


1nx

x

x

n 1nf

i

dxx +

+=∫

∫∑ =Δ= →Δ

f

i

x

x0x dx)x(FxFlimW

3xdxx

3

12x2 12 == +

+

∫


1nxn 1ndxx +

+=∫

5xdxx

5

14x4 14

== +

+

∫

3x

5xdx)xx(

35

12x

14x24 1214

+=+=+ ++

++

∫

n = 4

Integral indefinidaIntegral indefinida


1nx

x

x

n 1nf

i

dxx +

+=∫

8,2422,024351

53

5xdxx

553

1

5

14x

3

1

4 14 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== +

+

∫

375,4125,05,425,0

23

2xdxx

223

5,0

2

11x

3

5,0

11 =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== +

+

∫

Limites da integração

Limite inicial

Limite Final

Integral definidaIntegral definida

Substituir o limite superior menos limite inferior

Exemplo:A única força atuante em um corpo de 2,0 kg enquanto ele se move ao longo do sentido positivo do eixo x édada por

F(x) = (2x + 3x2 ) N , onde x está em metros e F(x) em newtons a velocidade do corpo em x = 2,0 m é de 6 m/s. a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre x = 2 m e x = 4 m ? b) qual a velocidade do corpo em x = 4,0 m ?


Limites da integração

Substituir o limite superior “4” menos limite inferior “2”.

m = 2,0 kg , F(x) = (2x + 3x2 ) N , em x = 2,0 m é de 6 m/s.

a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre x = 2 m e x = 4 m ?

3x3

2x2dx)x3x2(

32

12x3

11x22 1211

+=+=+ ++

++

∫J68

3x3

2x2dx ) 3x (2x

4

2

34

2

24

2

2 =+==+∫

b) qual a velocidade do corpo em x = 4,0 m ? F(x) = (2x + 3x2 ) N , x = 2,0 m x = 4 m

J68W=

W = Kf – Ki = >>>>>>>>> v = 10,2 m/s

( ) Kvvm21W 2

i2f Δ=−=


Forças que variam com a posição:

Exemplo a ser estudado: trabalho da força elástica: kxF −=

Força para esticar uma mola

Força restauradora da mola

sF

x

F

xi xf

)(21

)(

22if

x

x

x

xmola

xxk

xdxk

dxxFW

f

i

f

i

−−

=−

==

∫

∫

Se |xi| < |xf| ⇒ W < 0O trabalho sobre a mola pelo agente externoé o valor obtido acima com sinal trocado

Trabalho realizado pela força da mola

Exemplo:Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma força dada pela lei de Hooke F = - kx, com k = 400 N/m e x em metros medidos a partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em x1 = - 5 cm. Calcular o trabalho feito pela mola sobe o corpo no deslocamento x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade do corpo em x2 =0.

m = 4 kg , k = 400 N/m x1 = - 5 cm. x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade em x2 =0.

)xx(k21xdxkdx)x(FW 2

i2f

x

x

x

xmola

f

i

f

i

−−=−== ∫∫

m = 4 kg , k = 400 N/m x1 = - 5 cm. x1 = - 5 cm até a posição de equilíbrio x2 = 0 e a velocidade em x2 =0.

vrsdr

cFr

0=⋅= sdFdW crr

Pelo teorema trabalho – energia cinética:

.ctev =r

0=Δ= KW

Ausência de trabalho no movimentocircular uniforme

Trabalho dWf de uma força F agindo ao longo de um deslocamento infinitesimal

Forças que variam tanto de módulo quanto de direção

Exemplo: jixF ˆ4ˆ3 +=r

jir

jirˆ0ˆ3

ˆ3ˆ2

2

1

+=

+=r

r

V aumenta ou diminui? diminui V 00 <Δ⇒< KW

1ªaula do cap. 07 energia cinética e...

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