fisica manual_vol 1

SUPLEMENTOPARA O PROFESSOR

Apresentação

O ensino de Física, além dos conhecimentos formais, deve levar em conta a vivência de alunos e professores em relação ao mundo que os cerca. Não é possível dar conta de todo o conhecimento produzido pelas ciências, em especial pela Física, acumulado ao longo da história da humanidade. Assim, a preocupação com o ensino da Física já sofre uma alteração de eixo norteador das discussões pedagógicas, saindo da discussão sobre “o que ensinar” nas aulas de Física para uma reflexão sobre “para que ensinar” Física.

Este é o desafio deste Suplemento para o Professor: justificar o ensino de Física como aquele que leva o aluno a pensar sobre seu mundo e nele atuar de modo crítico e consciente a partir da apropriação de conhecimentos da Física.

Esta coleção em três volumes para o Ensino Médio é uma oportunidade para que alunos e professores dialoguem, mediados pelo conhecimento da Física, atri-buindo-lhe significado. As aulas de Física são um espaço privilegiado de discussões, questionamentos e aplicações da Física na vida cotidiana, como um conhecimento formal que explica fenômenos e responde a anseios pessoais e sociais de cientistas de uma determinada época.

Nossa proposta de ensino pretende relacionar Ciência e vivência, teoria e vida prá-tica, conhecimento formal e reflexão, conhecimento científico e tecnologia, divulgação científica e construção de cultura, além de dar oportunidades para que o aluno perceba que há uma relação estreita entre concepção de mundo, Ciência e transformação social.

A obra contempla temas que julgamos fundamentais para o Ensino Médio: Mecânica Clássica, Termologia, Ondas, Óptica Geométrica e Fenômenos Eletromagnéticos. Traz ain-da alguns tópicos de Física Moderna (Relatividade, Física Quântica e Física Nuclear), suas principais teorias e mostra de que maneira os cientistas do século XX foram influenciados por essas novas teorias.

Este Suplemento para o Professor pretende apresentar possibilidades para o ensino de Física que levem alunos e professores a dialogarem com a Ciência e com o mundo. Com esse intuito, propomos uma reflexão didática sobre o ensino de Física e uma metodologia que visa contemplar a construção do conhecimento, promovendo um diálogo entre o conhecimento formal da própria Física e a compreensão dos fatos que nos cercam, a fim de gerar, em cada indivíduo, uma ação comprometida com a vida em sociedade.

As orientações apresentadas neste Suplemento são uma proposta que pode e deve ser aprimorada pelo professor, além de ser enriquecida pelo conhecimento que o profes-sor tem da comunidade escolar da qual participa.

Nosso desejo é contribuir para uma ação pedagógica que permita a professores e alu-nos uma aprendizagem significativa, que promova o crescimento individual e do grupo, de tal forma que ela se estenda para os demais grupos sociais nos quais estão inseridos.

Os Autores

Estrutura didática do Suplemento para o Professor

Característicasda coleção

Divisão da coleção: quadro com os títulos de

unidades e capítulos de cada volume.

Informações úteis para o professor Sugestões de locais que promovem cursos de

atualização para professores e de sítios da internet nos quais podem ser encontradas

informações sobre educação e ensino de Física.

Processo de avaliação Discussão sobre o eixo norteador das avaliações à luz dos PCNEM.

Atividades e seções da coleção Estrutura de cada capítulo. Quadro descrevendo cada uma das seções e seus principais objetivos e características.

BibliografiaObras que fundamentaram a execução desta

coleção que podem ser utilizadas pelos professores como referência em sua prática pedagógica e desenvolvimento profissional.

Para refletirTexto(s) para reflexão do professor sobre o papel do educador – Um pouco de pedagogia – é (são) apresentado(s) no final de cada unidade na Sugestão de leitura para o professor.

Parte geralA Parte geral deste Suplemento traz textos que apresentam a coleção e propõem uma discussão mais ampla sobre o ofício do educador.

A Física noEnsino Médio

Bases que regem o Ensino Médio no Brasil e reflexão sobre a relação entre a prática pedagógica e as exigências legais.

Sugestões para utilização da coleção Sugestões gerais de recursos didáticos para o ensino de Física que podem ser aplicadas à

coleção como um todo.

Estrutura didática do Suplemento para o Professor

Objetivos Resumo dos principais objetivos

pedagógicos do capítulo no que se refere à apreensão e aplicação de

conceitos por parte dos alunos.

Estratégias didáticasComentários item a item sobre o conteúdo e as seções do livro (Atividade em grupo, Proposta experimental, O que diz a mídia!, Aplicação Tecnológica, Navegue na Web, Você sabe por quê?) com sugestão de encaminhamento pedagógico. Sugestões de atividades complementares, tais como pesquisas, experimentos, debates, vídeos, simulações etc. Leituras adicionais para o professor a fim de dar suporte ao tratamento pedagógico dos temas.

Sugestão de leitura para o professor Sugestão de livros e artigos de revistas, jornais e sítios da internet para o aprofundamento do professor nos assuntos do capítulo, temas transversais e prática pedagógica.

Resolução de exercícios Resolução, com comentários, de todos

os exercícios propostos no livro.

Abordagem inicial Sugestão de primeira abordagem do conteúdo do capítulo visando despertar o interesse do aluno para o tema e verificar conhecimentos prévios.

Conceitos principaisApresentação dos conceitos que

serão trabalhados no capítulo.

Parte específicaA Parte específica deste

Suplemento traz comentários sobre cada unidade do livro,

capítulo a capítulo, item a item.

Sumário

Parte geral• I - A Física no Ensino Médio, 8

• II - Características da coleção, 10

• III - Atividades e seções da coleção, 12

• IV - Sugestões para utilização da coleção, 13

• V - Processo de avaliação, 14

• VI - Informações úteis para o professor, 15

• VII - Para refletir, 17

• VIII - Bibliografia, 18

Parte específica• Sugestões, comentários e orientações didático-pedagógicas, 21

Unidade I — Fundamentos da Ciência Física

Capítulo 1 — A natureza da Ciência, 21

Capítulo 2 — Os métodos da Ciência Física, 26

Unidade II — Força e energia

Capítulo 3 — Força e movimento, 33

Capítulo 4 — Hidrostática, 42

Capítulo 5 — Quantidade de movimento e impulso, 48

Capítulo 6 — Energia e trabalho, 54

Capítulo 7 — Gravitação universal, 60

Capítulo 8 — Máquinas simples, 64

• Resolução de exercícios, 73

8

Parte geral

I. A Física no Ensino MédioConsideramos importante trazer ao professor de Física as bases legais que fundamentam o

Ensino Médio para que possa refletir sobre a relação entre sua prática e as exigências legais que regem este nível de ensino no Brasil.

A Educação Básica no Brasil, segundo a lei federal no 9.394/96, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, é formada pela Educação Infantil, pelo Ensino Fundamental e pelo Ensino Médio, e essa última etapa tem como finalidades a consolidação e o aprofundamento de conhecimentos, a preparação básica para o trabalho e para a cidadania, a formação ética do edu-cando, o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico1.

Segundo a Resolução CNE 03/98, ao instituir as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensi-no Médio (DCNEM)2, a área das Ciências da Natureza e Matemática pressupõe a apropriação de conhecimentos da Física e “suas interações ou desdobramentos como formas indispensáveisde entender e significar o mundo de modo organizado e racional, e também de participar do en-cantamento que os mistérios da natureza exercem sobre o espírito que aprende a ser curioso, a indagar e descobrir”.

Com a apropriação do conhecimento por parte do aluno de Ensino Médio, torna-se consequen-te a atuação dos jovens diante das questões sociais para as quais as Ciências da Natureza contri-buem na busca de soluções. Ainda segundo essa Resolução, são finalidades do Ensino Médio:

o desenvolvimento da capacidade de aprender e continuar aprendendo, da autonomia intelectual • e do pensamento crítico;

a constituição de significados socialmente construídos sobre o mundo físico e natural, sobre a • realidade social e política;

a compreensão do significado das ciências, das letras e das artes e do processo de transformação • da sociedade e da cultura, em especial as do Brasil, de modo a possuir as competências e habilida-des necessárias ao exercício da cidadania e do trabalho;

o domínio dos princípios e fundamentos científico-tecnológicos de modo a ser capaz de relacio-• nar a teoria com a prática;

a competência no uso da língua portuguesa, das línguas estrangeiras e outras linguagens con-• temporâneas como instrumentos de comunicação e como processos de constituição de conheci-mento e de exercício de cidadania.

Neste cenário proposto para o Ensino Médio, cabe ao ensino de Física promover a integração da cultura e dos instrumentos tecnológicos da Ciência de modo que o aluno possa exercer sua cidadania, ou seja, possa atuar no mundo efetivamente, pois torna-se capaz de interpretar fatos, fenômenos e processos naturais, além de perceber-se como ser humano que interage com a Na-tureza e com outros grupos sociais.

Assim, mais do que conceitos, o ensino de Física tem como proposta principal levar o aluno a compreender a presença desta ciência em seu cotidiano, articulando sua concepção de mundo com a compreensão dinâmica do universo.

Relacionar conceitos da Física com a concepção de mundo do aluno exige uma superação do ensino tradicional e a incorporação de propostas claras a serem alcançadas. Tais propostas de ensino são norteadoras do planejamento das aulas de quaisquer disciplinas escolares, e não os conteúdos a serem ensinados. Por essa razão é que dissemos anteriormente que o eixo do ensino deixa de ser “o que ensinar” e passa a ser “para que ensinar”.

FÍSICA C&T — VOLUME 1 — 2a PROVA

1 Sobre o Ensino Médio na LDB (Lei 9.394/96), leia: artigos 21, 35 e 36. Disponível em: <http://www.planalto.gov.br/CCI VIL/LEIS/l9394.htm>. (Acesso em: 29 mar. 2010.)

2 Resolução CEB nº 3, de 26 de junho de 1998: institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf>. (Acesso em: 29 mar. 2010.)

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Neste “para que ensinar” é que estão inseridas as competências e habilidades a serem trabalha-das no Ensino Médio. As competências mais gerais do ensino são agrupadas, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), em três conjuntos: comunicar e representar; investigar e compreender; contextualizar social e historicamente. Essas competências mais gerais se desdobram em habilidades para o ensino de Física que são:

Representação e comunicaçãoReconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e escrita, símbolos, códigos e nomenclatura da •linguagem científica.

Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e representações: sentenças, •equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e representações geométricas.

Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de Ciência e Tecnologia veiculados por dife-•rentes meios.

Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e sistematizar eventos, fenômenos, expe-•rimentos, questões, entrevistas, visitas, correspondências.

Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas de Ciência e Tecnologia.•

Investigação e compreensão Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis relevantes e possíveis estratégias •para resolvê-la.

Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do conhecimento científico, estabele-•cer relações; identificar regularidades, invariantes e transformações.

Selecionar e utilizar instrumentos de medição e de cálculo, representar dados e utilizar escalas, fazer •estimativas, elaborar hipóteses e interpretar resultados.

Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenômenos ou sistemas naturais •ou tecnológicos.

Articular, integrar e sistematizar fenômenos e teorias dentro de uma ciência, entre as várias ciências e •áreas de conhecimento.

Contextualização sociocultural Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como resultados de uma construção •humana, inseridos em um processo histórico e social.

Compreender a Ciência e a Tecnologia como partes integrantes da cultura humana contemporânea.•

Reconhecer e avaliar o desenvolvimento tecnológico contemporâneo, suas relações com as ci-•ências, seu papel na vida humana, sua presença no mundo cotidiano e seus impactos na vida social.

Reconhecer e avaliar o caráter ético do conhecimento científico e tecnológico e utilizar esses •

conhecimentos no exercício da cidadania.

O Ensino Médio também tem como base da ação pedagógica a compreensão de que o conheci-mento específico, como o da área de Física, mantém um diálogo com os conhecimentos das outras áreas que se complementam, se contrapõem, se negam e se ampliam. Tal diálogo se dá na medida em que professores de diferentes áreas propõem atividades que sejam multidisciplinares ou interdiscipli-nares ou, ainda, quando o professor de Física traz para a sala de aula textos literários e jornalísticos, obras de arte e referências históricas e/ou filosóficas, proporcionando situações nas quais o aluno possa desenvolver as capacidades de analisar, explicar, prever e intervir no mundo social e natural por meio da mobilização de diferentes conhecimentos para solução de problemas, investigando e compreendendo os fenômenos da realidade que o cerca.

Segundo os PCNEM, “a Física deve apresentar-se como um conjunto de competências específicas que permitam perceber e lidar com os fenômenos naturais e tecnológicos, presentes tanto no cotidia-no mais imediato quanto na compreensão do universo distante, a partir de princípios, leis e modelos por ela construídos”. Isso exige que o ensino de Física seja contextualizado e promova uma transposi-

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ção didática do conhecimento formal, constituído, para a vivência do aluno, a fim de que tenha significado; é a relação entre teoria e prática que está presente no ideal de contextualização, tornando os conteúdos de Física mais concretos.

II. Características da coleção Esta coleção é constituída de três volumes. Cada volume, que corresponde a um ano do Ensino Médio, é constituído por

duas unidades, que são divididas em capítulos.

Volume Unidade Capítulo Descrição

1

I. Fundamentos da Ciência Física

1. A natureza da Ciência

Apresenta os campos de estudo da Física Clássica e da Física Moderna, explora a relação entre a Física e as outras ciências e inicia o estudo das propriedades físicas da matéria.

2. Os métodos da Ciência Física

Discute os passos do método científico e aborda os fundamentos do Sistema Internacional de Unidades, os prefixos utilizados nas ciências e a estimativa de valores pela ordem de grandeza.

II. Força e energia

3. Força e movimentoTrata da Cinemática Escalar, faz a distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais e discute as leis de Newton dos movimentos.

4. Hidrostática

Aborda os conceitos de densidade, pressão, empuxo e os princípios fundamentais para a compreensão do equilíbrio dos fluidos. Faz uma introdução ao estudo da Hidrodinâmica.

5. Quantidade de movimento e impulso

Introduz os conceitos de impulso e quantidade de movimento e discute o princípio da conservação da quantidade de movimento. Apresenta o conceito de centro de gravidade e o equilíbrio dos corpos apoiados. Faz considerações sobre o momento angular e sua conservação.

6. Energia e trabalho

Apresenta o conceito de trabalho, relacionando-o ao conceito de energia. Discute as transformações da energia durante um processo físico e introduz o princípio da conservação da energia.

7. Gravitação universal

Descreve a evolução dos modelos de nosso sistema solar, apresenta as leis de Kepler dos movimentos planetários e a lei da gravitação universal de Newton.

8. Máquinas simples

Define as máquinas simples (como alavancas, polias ou roldanas e plano inclinado) e analisa o equilíbrio de alavancas e a transmissão do movimento circular.

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2.

I. Termologia

1. Energia térmica e calor

Explora os conceitos de temperatura e calor, fazendo a distinção entre esses conceitos.Trabalha os conceitos fundamentais para a compreensão da Termometria, da dilatação térmica de sólidos e de líquidos, da Calorimetria

e dos gases perfeitos.

2. Termodinâmica — Conversão entre calor e trabalho

Explora as grandezas macroscópicas que explicam a conversão da energia térmica em trabalho mecânico e vice-versa. Apresenta as leis que regem a Termodinâmica.

II. Ondas — Som e luz

3. Ondas e somFaz um estudo genérico das características das ondas, dos fenômenos ondulatórios e, em particular, das ondas sonoras.

4. A luz

Explora o estudo da Óptica Geométrica, com ênfase nos fenômenos da reflexão (espelho plano e espelhos esféricos) e da refração (dioptros, lâmina de faces paralelas, prismas e lentes esféricas).

3.

I. Eletricidade e recursos energéticos

1. Eletricidade estática e corrente elétrica

Explora os conceitos básicos da eletricidade estática e suas aplicações, assim como analisa circuitos elétricos simples e seus componentes.

2. EletromagnetismoEstuda os campos magnéticos gerados por ímãs e correntes elétricas e suas aplicações práticas.

3. Ondas eletromagnéticas

Estuda as características das ondas que constituem o espectro eletromagnético, os fenômenos a elas relacionados e suas aplicações em diversas tecnologias.

4. Energia hoje e amanhã — Poluição

Retoma o estudo sobre energia num contexto ambientalista. Apresenta as possíveis fontes de energia renováveis e não renováveis, discute a poluição ambiental e a reciclagem.

II. Física Moderna

5. Relatividade especialExplora os fundamentos da teoria especial da relatividade e noções da teoria geral da relatividade e suas aplicações na Cosmologia.

6. Física Quântica

Apresenta os princípios fundamentais que regem o comportamento das partículas em escalas atômica e subatômica e suas aplicações científico- -tecnológicas.

7. Física Nuclear

Estuda a estrutura e as propriedades físicas do núcleo atômico, o aproveitamento da energia nos processos de fissão e fusão nucleares e suas implicações científico-sociais.

8. Tecnologias das comunicações

Apresenta uma evolução histórica das telecomunicações, do final do século XIX aos dias atuais: telégrafo, telefone, rádio, televisão, fax e internet.

Apêndice

Conceitos básicos da Análise Dimensional e algumas de suas aplicações em situações práticas.Apresenta uma dedução simples, mas precisa, da equação de equivalência massa-energia (E 5 m ? c2) proposta por Einstein na sua teoria especial da relatividade.

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A coleção como um todo é um apoio ao trabalho do professor, pois compreendemos que o livro didático complementa o trabalho pedagógico, que por sua vez está centrado no aluno e não no conteúdo da Física a ser desenvolvido. Assim, a função do livro didático é auxiliar o professor na organização de suas aulas e na manutenção de uma sequência de desenvolvimento de conteúdos. Também é função do livro didático auxiliar o aluno na organização do pensamento, que é construído no espaço dinâmico da sala de aula e no diálogo com o conhecimento científico institucionalizado.

Este Suplemento para o Professor procura explicitar em que medida a organização do Livro do Aluno permite contemplar as competências e habilidades mais amplas do ensino de Física, o que abrange:

1. O mundo vivencial: relacionar o conhecimento da Física com os objetos e os fenômenos presentes no universo de vivências do aluno. Para tanto, o professor deve lançar mão de notícias de jornal, livros de ficção científica, literatura, programas de televisão, vídeos; fazer uso do conhecimento de profissionais como eletricistas e mecânicos de automóveis; visitar museus de Ciência, exposições, usinas hidrelétri-cas, linhas de montagem de fábricas, frigoríficos, instituições sociais, proporcionando ao aluno a opor-tunidade de construir uma percepção significativa da realidade em que vive.

2. A concepção de mundo dos alunos: trazer para a sala de aula a bagagem dos alunos para dialogar com o conhecimento científico.

3. As formas de expressão do saber da Física: expressar conceitos por meio da solução de problemas e da escrita de argumentos a partir dos conhecimentos científicos trabalhados em sala de aula; utilizar diferentes textos e imagens para leitura e compreensão dos conhecimentos da Física expressos de maneira escrita, plástica, corporal, oral.

4. A resolução de problemas: desafiar o aluno para que ele utilize todos os seus conhecimentos de Física e de outras áreas na solução de problemas.

5. A Física como cultura: reconhecer, na vida prática, a presença de conceitos da Física e como eles se relacionam com a própria ciência, com as artes, com a vida em sociedade.

6. A responsabilidade social: estabelecer o conhecimento científico como estimulador para as transfor-mações sociais.

III. Atividades e seções da coleção Cada capítulo do livro apresenta, além de um corpo teórico e de leituras complementares, atividades que

visam permitir aos alunos a construção do conhecimento e a aplicação de conceitos que são desenvolvidos ao longo do trabalho pedagógico.

Os capítulos contêm seções cujos objetivos específicos são: motivar o aluno, relacionar conhecimento científico e vida prática, ampliar os conhecimentos, aplicar conceitos, realizar experimentação, trabalhar em grupo e individualmente mobilizando os conhecimentos para a solução de problemas, entre outros. Na tabela abaixo, o professor encontra a estrutura didática que se repete em todos os capítulos do livro.

Seções Objetivos de cada seção Observações

Corpo teórico Apresentação e discussão das teorias que permeiam a Física como conhecimento institucionalizado.

Exercícios resolvidos Exemplos de aplicação imediata da teoria.

Exercícios

Classificados em :• Exercícios fundamentais: tem como objetivo trazer

desafios para que o aluno resolva em classe, individualmente ou em grupo.

• Exercícios de fixação: são aqueles que pressupõem que o aluno já se apropriou do conhecimento e agora apenas vai verificar sua aplicação, tornando-os mais sedimentados.

Os exercícios fundamentais têm a numeração na cor vermelha e os exercícios de fixação, na cor azul.

Você sabe por quê?Questões que buscam estimular a curiosidade do aluno, associando o tema em estudo a fatos observados no cotidiano.

Estimula a curiosidade do aluno e a motivação para a pesquisa e para a investigação de diferentes fenômenos.

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O que diz a mídia! Textos de diferentes mídias que abordam aspectos do assunto em estudo.

Leva o aluno a refletir sobre a sistematização, a produção e a difusão dos conhecimentos científicos, permitindo-lhe também a aprendizagem sobre como selecionar as informações nas diferentes mídias e criticá-las. Aqui o aluno tem a oportunidade de aprimorar sua leitura, debater ideias e contextualizar seus conhecimentos.

Atividade em grupo

Temas de pesquisa e/ou discussão com ênfase nos impactos sociais e/ou ambientais provocados pelo desenvolvimento tecnológico.

Na medida do possível, estimula a interdisciplinaridade e a contextualização, privilegiando o desenvolvimento de habilidades ligadas à prática da leitura, do debate e da expressão oral e escrita.

Aplicação tecnológica

Textos com enfoque na importância das diversas tecnologias e a relação estabelecida entre elas e os conteúdos estudados.

Trabalha com objetos e situações do universo do aluno no sentido de atribuir significado para o uso consciente do conhecimento científico e das tecnologias.

Proposta experimental

Experimentos com a utilização de materiais simples para a comprovação de fenômenos expostos na teoria.

Por meio da observação e análise de fenômenos físicos, investiga situações que envolvem as grandezas físicas estudadas.

Biografia Informações a respeito do cientista biografado, que incluem suas pesquisas e descobertas.

Procura mostrar que a Ciência é feita por pessoas comuns e responde a anseios pessoais e sociais.

Navegue na Web

Sugestões de sítios da internet que se referem ao assunto em estudo e que podem facilitar e aprofundar o entendimento de conceitos fundamentais por meio de simulações, animações, jogos etc.

Sugestões de leitura

Sugestões de livros e textos, com breves resenhas, que tratam dos assuntos estudados.

Visa ampliar o conhecimento do aluno, além de estimular o hábito da leitura.

IV. Sugestões para utilização da coleção Ao longo deste Suplemento para o Professor serão apresentadas sugestões de encaminhamento

metodológico para cada capítulo. A seguir estão as sugestões mais gerais que podem ser aplicadas à coleção como um todo. O que entendemos por metodologia é o que fazer em aula, o como fazer, como conduzir a aula, quais as atividades dos alunos, quais os recursos utilizados.

Para começar o trabalho proposto em um capítulo, o professor pode, com a finalidade de despertar o interesse do aluno, fazer um experimento, levantar um questionamento a partir do universo viven-cial do aluno, apresentar texto literário, obra de arte, música, texto jornalístico, jogo, filme, documen-tário, dando início a uma discussão prévia. Dessa forma, é possível levantar as eventuais concepções preexistentes dos alunos sobre um determinado assunto, para que seja possível rumar em direção à consolidação de um saber mais científico, debatendo sobre mitos e verdades que permeiam nosso discurso, propondo questões que serão resolvidas ao longo do estudo do capítulo ou do tema da unidade. A partir deste recurso inicial, o professor começa o trabalho teórico propriamente dito, apre-sentando o corpo teórico que dá início ao capítulo a ser estudado.

Os tópicos a seguir sugerem uma abordagem possível de ser feita pelo professor, buscando minimizar as ações puramente expositivas que ainda envolvem a prática pedagógica no Ensino Médio, em geral.

1. A abordagem inicial pode ser realizada como descrita acima: com textos, experimentos, levanta-mento de questões e de conhecimentos prévios que já estão presentes na vivência do aluno, con-fronto do senso comum com o conhecimento científico, proposição de um problema, pesquisa.

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2. Os exemplos resolvidos podem ser usados para a discussão de soluções e para novos de-safios.

3. A aula propriamente dita não precisa ser centrada apenas na exposição teórica do pro-fessor; ele pode, sempre que possível, apresentar alguns modelos (teóricos e/ou experi-mentais), construídos pelos pesquisadores em Física ao longo do tempo, para que o aluno perceba que uma teoria também tem história e responde aos anseios pessoais e sociais dos pesquisadores. O aluno deve perceber que a Ciência é uma construção.

4. A resolução de exercícios é a oportunidade para solucionar dúvidas, explicitar questões, debater a aplicabilidade da teoria e pode ser feita em grupo ou individualmente. É mais interessante que o professor mescle os exercícios e proponha novos para que o aluno não os resolva mecanicamente baseando-se em um modelo fixo. A autonomia de pensamento é o fim último da educação escolar e deve ser estimulado em todos os momentos da ação pedagógica.

5. Indicações de endereços eletrônicos na seção Navegue na Web: atualmente vemos a neces-sidade crescente da introdução do processo de ensino na área computacional e a disciplina de Física permite isso com facilidade. Não se faz necessário nenhum desenvolvimento de programas de computadores, visto que existem muitos sítios que disponibilizam essas si-mulações gratuitamente na internet.

6. Conexão entre os assuntos do capítulo e a seção Aplicação tecnológica: a partir da leitura do capítulo, o professor pode conectar o assunto com o conteúdo da Aplicação tecnológica e fazer uma avaliação da aprendizagem junto com o aluno, procurando responder se o que foi trabalhado na aula permitirá ao aluno compreender a realidade na qual vive.

7. Debates a partir da seção O que diz a mídia!: o professor pode promover debates com base em assuntos elencados na seção O que diz a mídia!. Por exemplo, o professor pode escolher um assunto que permita uma dupla interpretação, propondo a realização de exercícios de questionamento de por que e como esse assunto, tal como foi exibido pela mídia, pode permitir uma interpretação “não exata” se, afinal, a Física é uma ciência tida como exata.

8. Ao final de cada capítulo, há sugestões de leitura que enriquecem o trabalho em sala de aula, pois estimulam o debate, a construção de conhecimento, a exposição de ideias e po-dem ir além da leitura pura e simples.

No decorrer deste Suplemento, o professor terá sugestões mais específicas e detalhadas so-bre como trabalhar os conteúdos de Física de maneira mais atraente e dinâmica, que permita ao aluno ler com compreensão, relacionar a teoria com sua vivência e com seu universo de conheci-mentos, de tal forma que se possa realizar uma relação interdisciplinar e contextualizada do co-nhecimento, tendo como meta principal que o aluno conquiste a autonomia de pensamento.

V. Processo de avaliaçãoAo centrarmos a ação pedagógica no aluno e estabelecermos que o conhecimento é uma

construção e que não está acabado, há uma mudança na relação entre ensino e aprendizagem, o que, consequentemente, modifica as possibilidades e exigências da avaliação.

A avaliação não pode ter como eixo norteador o conteúdo como um fim em si mesmo, mas como um substrato importante no desenvolvimento das habilidades e competências. Assim, ten-do como roteiro de trabalho o conteúdo presente na tradição histórica da construção da Ciência, direcionamos nosso olhar para os objetivos que queremos alcançar com o ensino de Física. O estabelecimento de objetivos é que vai determinar o que deve ser avaliado.

Segundo os PCNEM, “é imprópria a avaliação que só se realiza numa prova isolada, pois deve ser um processo contínuo que sirva à permanente orientação da prática docente. Como parte do processo de aprendizado, precisa incluir registros e comentários da produção cole-tiva e individual do conhecimento e, por isso mesmo, não deve ser um procedimento aplica-do nos alunos, mas um processo que conte com a participação deles. É pobre a avaliação que se constitua em cobrança da repetição do que foi ensinado, pois deveria apresentar situações

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em que os alunos utilizem e vejam que realmente podem utilizar os conhecimentos, valo-res e habilidades que desenvolveram.” Sendo assim, a avaliação tem uma dupla função: re-direcionar o trabalho do professor e tornar consciente, para o aluno, seu desenvolvimento. Portanto, “uma questão que deve ser discutida, quando se concebem transformações nas metas e nos métodos educativos, é a avaliação, em todos os seus sentidos — tanto a avaliação de desempenho dos alunos quanto a avaliação do processo de ensino. Frequentemente, a avaliação tem sido uma verificação de retenção de conhecimentos formais, entendidos ou não, que não especifica a habilidade para seu uso. Uma avaliação estruturada no contexto educacional da escola, que se proponha a aferir e desenvolver competências relacionadas a conhecimentos significativos, é uma das mais complexas tarefas do profes-sor. Essa avaliação deve ter um sentido formativo e ser parte permanente da interação entre professor e aluno3” (PCNEM).

A avaliação no ensino de Física não pode ter como centro a repetição de conceitos, a aplicação descontextualizada de fórmulas, a reprodução de modelos na solução de problemas. Deve, sim, as-sumir um caráter formativo, por meio do qual possamos perceber o desenvolvimento do aluno. É ter claro, tanto ao professor quanto aos alunos, o que o estudante sabia e o que ele sabe agora, como se deu a apropriação de conhecimentos, o que precisa ainda ser desenvolvido e quais habilidades domina.

A partir da definição dos objetivos a serem alcançados, o professor deve promover situações que permi-tam avaliar o processo de aprendizagem dos alunos, sua produção contínua e sua participação nas ativida-des propostas, e que também promovam oportunidades de autoavaliação por parte dos estudantes.

O professor deve observar o comportamento do aluno nas aulas e como se desenvolve no decor-rer do curso: se apresenta dificuldades e tenta superá-las; se passa do senso comum ao pensamento crítico; se se apropria do vocabulário técnico-científico; se procura solucionar suas dúvidas.

A avaliação também deve olhar para a produção escrita do aluno, para a resolução de exercícios, para a solução de problemas, para a investigação dos fenômenos físicos, para a pesquisa, para a elaboração de sínteses, para a construção de argumentos que envolvam a relação entre teoria e prática, entre outros aspectos. Avaliar não é abandonar a “prova escrita”, mas também não é centrar o processo de avaliação apenas nesse tipo de instrumento.

Nas orientações dos PCNEM, cabe ressaltar que “ao elaborar os instrumentos de avaliação, o pro-fessor deve considerar que o objetivo maior é o desenvolvimento de competências com as quais os alunos possam interpretar linguagens e se servir de conhecimentos adquiridos, para tomar decisões autônomas e relevantes. Algumas características dessas avaliações podem ser lembradas:

toda avaliação deve retratar o trabalho desenvolvido;•

os enunciados e os problemas devem incluir a capacidade de observar e interpretar situações dadas, •de realizar comparações, de estabelecer relações, de proceder registros ou de criar novas soluções com a utilização das mais diversas linguagens;

uma prova pode ser também um momento de aprendizagem, especialmente em relação ao desenvolvi-•mento das competências de leitura e interpretação de textos e enfrentamento de situações-problema;

devem ser privilegiadas questões que exijam reflexão, análise ou solução de um problema, aplicação •de um conceito aprendido em uma nova situação;

tanto os instrumentos de avaliação quanto os critérios que serão utilizados na correção devem ser •conhecidos pelos alunos;

deve ser considerada a oportunidade de os alunos tomarem parte, de diferentes maneiras, em sua •própria avaliação e na de seus colegas;

trabalhos coletivos são especialmente apropriados para a participação do aluno na avaliação, desen-•

volvendo uma competência essencial à vida que é a capacidade de avaliar e julgar.

VI. Informações úteis para o professorO objetivo deste Suplemento é auxiliar o professor na elaboração de suas aulas, mas é também dar suporte para sua formação continuada no sentido de manter-se atualizado em relação ao ensino da Física, além de propor reflexões sobre a educação e o ensino.

Seguem indicações de locais que promovem cursos de atualização para professores e de sítios da internet nos quais podem ser encontradas informações sobre educação e ensino de Física.

3 Todas as citações dos PCNEM podem ser encontradas no sítio do MEC: < http://portal.mec.gov.br/seb/ arquivos/ pdf/CienciasNatureza.pdf >. (Acesso em: 29 mar. 2010.)

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• Cecimig – Centro de Ensino de Ciências e Matemática —Faculdade de Educação da Universidade Federal de Minas GeraisAvenida Antônio Carlos, 6.227CEP 31270-010 – Belo Horizonte – MGTel.: (31) 3409-5337

• Cenp – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas — Secretaria da Educação do Estado de São PauloPraça da República, 53 – Térreo – Sala 63CEP 01045-903 – São Paulo – SPTel.: (11) 3237-2115

• DTPEN – Departamento de Teoria e Prática de Ensino —Setor de Educação — Universidade Federal do ParanáRua General Carneiro, 460 – 2o andar – Edifício D. Pedro ICEP 80060-150 – Curitiba – PRTel.: (41) 3264-3574

• Feusp – Faculdade de Educação da Universidade de São PauloAvenida da Universidade, 308 – Cidade Universitária Armando Salles de Oliveira

•Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada

CEP 05508-040 Tel.: (11)3091-3099

•Laboratório de Pesquisa e Ensino da Física

Bloco B – sala 3 A CEP 05508-900 Tel.: (11)3091-3139

• SEC – Secretaria da Educação do Estado da Bahia6a Avenida, CAB – Centro Administrativo, 600CEP 41745-000 – Salvador – BATels.: (71) 3115-1401 / 3115-9094

• SED – Secretaria de Estado de Educação de Mato Grosso do SulParque dos Poderes – Bloco 5CEP 79031-902 – Campo Grande – MSTel.: (67) 3318-2200

• Seduc-AM – Secretaria de Estado da Educação do AmazonasRua Waldomiro Lustoza, 350 - Japiim 2CEP 69076-830 – Manaus – AMTel.: (92) 3614-2200

• Seduc-MT – Secretaria de Estado de Educação de Mato GrossoRua Edgar Prado Arze, 215 – Centro Político AdministrativoCEP 78049-909 – Cuiabá – MTTel.: (65) 3613-6300

• Seduc-PE – Secretaria de Educação e Cultura de PernambucoRua Siqueira Campos, 304 – Santo AntônioCEP 50010-010 – Recife – PETel.: (81) 3182-2000

• Seduc-PI – Secretaria de Estado da Educação e Cultura do PiauíAvenida Pedro de Freitas, s/n – Centro Administrativo – Blocos D e FCEP 64018-900 – Teresina – PITels.: (86) 3216-3204/3216-3205/3216-3346

• www.mec.gov.brNo sítio do Ministério da Educação é possível entrar no Portal Domínio Público, que possibilita o acesso a obras, vídeos e sons por meio de consulta por categoria, autor, título e idioma. O objetivo do sítio é promover o acesso às obras literárias, artísticas e científicas já de domínio público ou que tenham sua divulgação devidamente autorizada, que constituem o patrimônio cultural brasileiro e universal.

17

• www.sbfisica.org.br/rbefO sítio traz todos os números da revista, desde 1979, e muitos dos artigos publicados desde en-tão podem ser baixados na íntegra, em formato pdf. A revista é uma publicação da Sociedade Brasileira de Física voltada à melhoria do ensino de Física, em todos os níveis de escolarização.

• www.sbfisica.org.br/fneA revista Física na escola é um suplemento semestral da Revista Brasileira de Ensino de Física destinada a apoiar as atividades de professores de Física do Ensino Fundamental e Médio. Em circulação desde 2000, a revista Física na escola traz artigos que podem ser baixados em pdf.

• www.fsc.ufsc.br/ccefO Caderno Brasileiro de Ensino de Física (CBEF), antigo Caderno Catarinense de Ensino de Física, publicado desde 1984, é um periódico quadrimestral, voltado prioritariamente para o profes-sor de Física do Ensino Médio e para os cursos de formação de professores. Tem como objetivo promover uma disseminação efetiva e permanente de experiências entre professores e pes-quisadores, visando elevar a qualidade do ensino de Física, tanto nas escolas da rede quanto nas instituições formadoras de novos professores. Muitos dos artigos, principalmente os mais recentes, podem ser baixados em pdf.

• www.bassalo.com.brO sítio do professor José Maria Filardo Bassalo traz dezenas de artigos sobre a história e a evo-lução dos conceitos de Física. Para acessá-los, clique no link Curiosidade da Física.

• www.seara.ufc.brO Seara da Ciência é um sítio ligado à Universidade Federal do Ceará, que tem por objetivo pro-porcionar, a professores e alunos, material para pesquisas e temas de Ciências e tecnologia com ênfase nos aspectos histórico e humano. As sugestões para Feiras de Ciências trazem inúmeras experiências, em todas as áreas da Física do Ensino Médio, todas utilizando material caseiro ou de fácil obtenção.

• www.cdcc.sc.usp.brNesse sítio pode ser encontrado o programa Experimentoteca, que traz dezenas de experimen-tos nas áreas de Biologia, Química e Física com roteiros e orientações aos professores.

• www.fc.unesp.br/experimentosdefisicaO sítio é mantido pelo Departamento de Física da Faculdade de Ciências, campus de Bauru, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), e apresenta inúmeros experimentos de Mecânica, Óptica, Eletricidade e Termologia destinados ao Ensino Médio e que, em sua maioria, podem ser realizados em casa.

• www.tvcultura.com.br/x-tudoO sítio do programa X-Tudo, da Rádio e Televisão Cultura (RTC) de São Paulo traz uma série de experimentos que surpreendem pela simplicidade. Tais experimentos, muito ilustrativos, podem ser usados pelos professores para reforçar conceitos fundamentais dados em sala de aula.

VII. Para refletirAo final de cada unidade deste Suplemento para o Professor apresentaremos um ou mais tex-

tos sobre educação – Um pouco de pedagogia – com o intuito de proporcionar ao professor um mo-mento de reflexão sobre seu papel como educador, como exemplo, propomos um trecho extraído do livro Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa, do pedagogo Paulo Freire (1921-1997).

Ensinar exige pesquisa“Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino4. Esses quefazeres se encon-

tram um no corpo do outro. Enquanto ensino, continuo buscando, reprocurando. En-sino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago. Pesquiso para cons-tatar, constatando, intervenho, intervindo educo e me educo. Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar ou anunciar a novidade.

4 Fala-se hoje, com insistência, no professor pesquisador. No meu entender o que há de pesquisador no professor não é uma qualidade ou uma forma de ser ou de atuar que se acrescente à de ensinar. Faz parte da natureza da prática do-cente a indagação, a busca, a pesquisa. O que se precisa é que, em sua formação permanente, o professor se perceba e se assuma, porque professor, como pesquisador. (Nota do autor)

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Pensar certo, em termos críticos, é uma exigência que os momentos do ciclo gnosiológico vão pondo à curiosidade que, tornando-se mais e mais metodica-mente rigorosa, transita da ingenuidade para o que venho chamando “curiosi-dade epistemológica”. A curiosidade ingênua, do que resulta indiscutivelmente um certo saber, não importa que metodicamente desrigoroso, é a que caracte-riza o senso comum. O saber de pura experiência feito. Pensar certo, do ponto de vista do professor, tanto implica o respeito ao senso comum no processo de sua necessária superação quanto o respeito e o estímulo à capacidade criadora do educando. Implica o compromisso da educadora e do educador com a cons-ciência crítica do educando cuja “promoção” da ingenuidade não se faz automa-ticamente.”

FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

VIII. Bibliografia

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Parte específica

ObjetivosEste capítulo é uma introdução ao estudo da Física. Seu objetivo

é dar ao aluno uma visão geral daquilo que será estudado no Ensi-no Médio e relacionar a Física com outras áreas do conhecimento.

Conceitos principaisCiência, Física, átomo (núcleo e eletrosfera), molécula, corpo, es-

tados físicos da matéria, propriedades físicas dos materiais.

Abordagem inicialAntes de iniciar o trabalho deste capítulo, propomos uma ativi-

dade que pode funcionar como o ponto inicial das discussões em sala de aula.

Divida a sala em sete grupos com, por exemplo, quatro alunos. Numere os elementos de cada grupo de 1 a 4. Entregue a cada gru-po um cartão contendo uma das seguintes frases* :

“A Física é feita por humanos e nesse sentido é uma ciência •humana.” Carlos Fiolhais.

“O fato mais incompreensível do Universo é que ele pode ser •compreendido.” Albert Einstein.

“A imaginação é mais importante do que o conhecimento.” •Albert Einstein.

“A Ciência pode parecer primitiva e infantil, mas é a coisa mais •preciosa que temos.” Albert Einstein.

“A música de Mozart é tão pura e bela que a vejo como um •reflexo da beleza interna do Universo.” Albert Einstein.

“Não tenho nenhum talento especial, sou apenas uma pes-•soa apaixonadamente curiosa.” Albert Einstein.

“O mais importante é não parar de fazer perguntas. A curiosi-•dade tem a sua própria razão de ser.” Albert Einstein.

Cada grupo deverá discutir a frase recebida entre seus componentes.

Reorganize a classe de modo que se formem novos grupos com um elemento de cada grupo original. Neste novo grupo, cada aluno fará uma breve exposição do que seu grupo original discutiu. Esta técnica é conhecida como painel integrado. O objetivo é integrar os alunos, permitindo que todos falem e troquem ideias sem atribui-ção de valor de certo ou errado.

Sugestões, comentários e orientações didático-pedagógicas

Capítulo 1 A natureza da Ciência

UNIDADE IFundamentos da Ciência Física

*As frases foram retiradas do artigo de Carlos Fiolhais, “Einstein e o prazer da Física: passados cem anos a Física continua divertida”, disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/Carlos-Fiolhais.pdf>. (Acesso em: 4 mar. 2010.)

Atividade em grupo

Peça aos alunos para analisar a atividade em casa e trazer sub-sídios para discussão em sala de aula. O objetivo desta atividade em grupo é levar o aluno a perceber que há um desenvolvimento da tecnologia que interfere diretamente em nossa vida cotidiana.

A escolha das frases tem como objetivo desconstruir o preconceito sobre o conhecimento científico como verdade absoluta e eterna, sobre a imutabilidade do conhecimento científico e sobre o cientista como alguém fora de um con-texto sócio-histórico.

Depois das discussões nos novos grupos, formem um grande círculo para a discussão das ideias que surgiram nos grupos menores. O(a) professor(a) será o mediador destas discussões no sentido de levar os alunos a responderem: o que é Ciência, qual é o papel de um cientista, o que é a Física e como ela se relaciona com a vida cotidiana.

Parece-nos claro que os alunos darão indícios de respos-tas, não sendo obrigatório que eles as respondam, pois se trata apenas de um caminho. O mais importante é que a classe perceba que o conhecimento científico é a resposta a uma busca de compreensão do mundo, construído por se-res humanos inseridos numa dada circunstância.

Estratégias didáticas

1 Introdução

Para iniciar, explicite as diferentes áreas da Física e o campo de estudo de cada uma delas, deixando claro que estas áreas se relacionam, isto é, não são independentes. Procure descobrir o que os alunos (recém-saídos do Ensino Fundamental) pensam estudar no curso. Provavelmente a maioria já teve algum conta-to anterior com a Física.

É importante saber o que eles pensam sobre a Física e a im-portância que dão a essa Ciência. Estas informações serão úteis para o(a) professor(a) fundamentar o seu trabalho no desenvol-vimento de suas aulas.

Apontar aspectos da Física presentes no cotidiano pode ser um bom começo para despertar-lhes a curiosidade. Falar sobre as aplicações da Física em outras áreas do conhecimento huma-no tem também essa finalidade.

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A leitura do diagrama (Fig. 1.2) pode ser acompanhada de pesquisa em dicionário sobre o significado de cada termo, elu-cidando sobre os campos da Física.

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Cada aluno pode entrevistar uma pessoa ou, então, pode-se convidar um(a) funcionário(a) ou um(a) outro(a) professor(a) da escola que seja mais idoso(a) para responder às questões dos alunos sobre o desenvolvimento tecnológico que observou ao longo de sua vida.

Esta atividade pode ser desenvolvida em, pelo menos, três frentes de pesquisa:

I. Conforto tecnológico.

II. Tecnologias para a saúde.

III. Profissões da época e atuais.

Divida a sala em grupos de três ou quatro alunos e peça a cada grupo que escolha um dos temas para pesquisar; verifique que os temas sejam escolhidos em quantidades mais ou menos iguais. Para as entrevistas, sugira aos alunos que elaborem per-guntas, contemplando o tema escolhido. Exemplos:

1) Quando você era criança, era fácil fazer uma ligação in-terurbana? Em média, quanto tempo demorava para se conseguir falar?

2) Era comum assistir “ao vivo”, pela TV, a uma partida de fu-tebol transmitida da Europa? Como era a qualidade das imagens? (Lembrar da Copa do Mundo de Futebol de 1970, do assassinato do presidente estadunidense John F. Kennedy em 1963 e do pouso da nave Apollo 11 na Lua em 1969.)

3) Ao chegar mais tarde em casa, era simples e rápido pre-parar o jantar? (Comparar com a facilidade de hoje, com o forno de micro-ondas.)

4) Qual era a expectativa de vida naquela época? (Compa-rar com a que temos hoje.) Os exames laboratoriais eram frequentes e confiáveis, como hoje? E com relação aos remédios, o que mudou?

5) Antes da existência dos atuais computadores, com seus poderosos editores de textos, o que era usado para se ge-rar um documento não manuscrito? Como se chamava o profissional especializado nessa atividade? Nessa época, a confecção de documentos, hoje chamada digitação, era rápida e fácil? E se houvesse algum erro no texto, como era feita a correção? De que maneira se fazia o intercâm-bio desses documentos pelas partes interessadas?

6) Quais eram as tecnologias usadas para efetuar cálculos nas instituições financeiras?

7) Hoje os arquitetos, designers e engenheiros de todas as áreas utilizam-se de sofisticados softwares para o desen-volvimento dos seus projetos. Como eram produzidos es-ses projetos cerca de 40 anos atrás? Quais os instrumen-tos e acessórios necessários para isso?

Algumas dessas questões, se não respondidas pelos entre-vistados, podem ser pesquisadas.

Marque uma data para que cada grupo apresente seus resul-tados, discutindo as informações e tirando conclusões.

Os alunos podem comparar as respostas das entrevistas realizadas em casa e na escola. Como síntese, sugira que componham um pequeno painel ou cartaz que apresente elementos tecnológicos e seu desenvolvimento.

2 A Física e suas relações com outras ciências

A Física é a mais fundamental e abrangente das ciências; teve e tem profundo efeito em todo o desenvolvimento científico e tecnológico. É um dos ramos da chamada Filosofia Natural, da qual nasceu a maior parte das ciências modernas. Estudantes e pesquisadores de diversas áreas do conhecimento estudam Física devido ao papel fundamental que ela tem em diversos fenômenos. Procuraremos neste texto mostrar como a Física colabora com outras ciências, tais como a Química, a Biologia e a Medicina e a Psicologia. Talvez surja a pergunta: e a Mate-mática? A Matemática é a linguagem que as ciências usam para exprimirem quantitativamente suas ideias e seus conceitos.

A partir destas considerações e das informações propostas nos textos a seguir, discuta com a classe sobre como a Física está presente na vida cotidiana. Conduza a discussão de modo a levar os alunos a reconhecer a inter-relação que há entre as diferentes áreas do conhecimento humano e que percebam que a Ciência, assim como a vida em sociedade, se constitui historicamente.

QuímicaHistoricamente, nos primórdios da Química, inúmeras análi-

ses foram necessárias para se chegar à descoberta de diversos elementos e suas inter-relações, ou seja, como eles formam os diversos compostos, tais como as rochas, a Terra, a água etc. En-tretanto, principalmente após a divulgação da tabela periódica de Mendeléev, a Química se serviu cada vez mais da Física, es-pecialmente da Mecânica Quântica.

A chamada Química Orgânica (nome que se deve à crença, de uma certa época, de que certas substâncias só poderiam ser sintetizadas pelos organismos vivos) é um vasto ramo da Quí-mica Moderna que se preocupa em analisar e sintetizar subs-tâncias encontradas em sistemas biológicos, ligando assim a Química à Biologia, à Bioquímica e à Biologia Molecular.

Biologia e Medicina Há uma interessante, antiga e estreita ligação entre a Física

e a Biologia. O estudo da relação entre as quantidades de calor absorvida e despendida por seres vivos levou o médico e físico Robert von Mayer à apresentação das ideias básicas do que é hoje conhecido como o Princípio da Conservação da Energia.

Nos processos vitais dos seres vivos há muita Física envol-vida: circulação do sangue (hidrodinâmica), coração (bomba hidráulica), pressão, temperatura etc.

Os impulsos que percorrem o corpo humano pelas ligações sinápticas são de natureza elétrica, ou seja, são fluxos de íons que entram e saem das membranas neuronais; esse fluxo de íons constitui uma espécie de corrente elétrica que é traduzida por regiões específicas do cérebro em sensações como calor, frio, dor etc. Essas correntes elétricas também podem movi-mentar o corpo humano ao estimular os músculos.

Os efeitos associados aos impulsos nervosos podem ser detectados e monitorados por instrumentos sensíveis a esses efeitos. Os tomógrafos, os eletrocardiógrafos, os eletroencefa-lógrafos e os aparelhos de ressonância magnética nuclear são exemplos da aplicação da Física nas atividades médicas.

Psicologia Alguns ramos da Psicologia, como, por exemplo, a Psicolo-

gia Sensorial, têm evoluído muito, principalmente no que se

23

refere ao entendimento do funcionamento interno do cérebro.Nesse ponto, a Física auxilia na elucidação dos mistérios da men-te humana. Os avanços da Ciência da Computação estão ajudan-do a “mapear” o cérebro humano, procurando decifrar o emara-nhado de ligações neurais (redes neurais) que o compõem.

Página 15

O desenvolvimento desta atividade pode ser dividido em al-gumas frentes de trabalho, atribuindo-se uma a cada grupo:

I. Relação da Física com a Química, na indústria de um modo geral.

II. Relação da Física com a Biologia, desde a invenção do mi-croscópio óptico até os modernos microscópios eletrôni-cos e os aparelhos de manipulação e armazenamento de material genético, no campo da Biotecnologia.

III. Relação da Física com a Medicina e a Psicologia, em espe-cial, com a Neuropsicologia, no diagnóstico e tratamento de patologias relativas aos distúrbios cerebrais, valendo-se de uma simples imagem de raios X ou de uma imagem por tomografia computadorizada ou ainda das imagens preci-sas de uma ressonância magnética.

IV. Relação da Física com a Engenharia.

V. Relação da Física com as comunicações: publicidade,marketing, telecomunicações via cabos elétricos, via cabos ópticos e via satélite; os antigos e os modernos meios de atingir o público.

VI. Relação da Física com os mecanismos que governam os mercados de capitais; processos estocásticos.

VII. Relação da Física com os esportes de alto rendimento.

Dependendo da disponibilidade de tempo, dada a relativa dificul-dade em se obter informações precisas em temas, selecione apenas alguns para pesquisa junto a profissionais ou instituições da área.

Em data marcada, cada grupo apresenta seus resultados.

Sugestão de atividade complementar

I. Role playUma forma inovadora de avaliação é o role play (RP), variante

do RPG (role play game). Trata-se de uma simulação na qual é criado um cenário, formam-se grupos com interesses distintos e uma decisão deve ser tomada. O(a) professor(a), desempenhan-do o papel de mestre (master), organiza os grupos, delega tare-fas, estabelece o problema a ser debatido e municia os grupos com argumentos e contra-argumentos para o embate final. Ao contrário dos RPG, no role play não há vencedores e perdedores; todos ganham com a socialização dos conhecimentos advindos da argumentação e da contra-argumentação.

Essa forma de avaliação pode ser desenvolvida em pratica-mente qualquer disciplina e mostra-se particularmente útil à in-terdisciplinaridade. Na área da Física, ela pode agregar conheci-mentos dos vários tópicos que serão debatidos e, muitas vezes, pode exigir pesquisas fora da sala de aula.

Para sua aplicação, que se desenvolve durante algumas au-las, estabeleça o problema a ser debatido e apresente as opções possíveis para a sua solução. Divida a sala em grupos e forneça a cada grupo alguns argumentos e contra-argumentos para sus-tentar sua oposição.

Atividade em grupo

Para se ter uma ideia mais clara da dinâmica de um role play, acompanhe o exemplo a seguir.

Um grande hospital público, com capacidade para 1.500 leitos, será construído na cidade para atender à população. A construção, aparelhamento e gerenciamento do complexo hospitalar serão de responsabilidade do governo estadual.

Para conforto dos usuários do hospital (pacientes, acompa-nhantes e funcionários), o sistema de aquecimento de água é um item importante.

O poder público abre, então, uma licitação pública para a esco-lha da melhor proposta.

As propostas finalistas apresentam formas diferenciadas para o aquecimento da água:

aquecimento a gás (natural ou GLP);•

aquecimento elétrico;•

aquecimento solar.•

Uma audiência pública é, então, marcada para discussão e defe-sa das propostas pelos proponentes.

Cada proponente terá 15 minutos para defender a sua proposta e debater com a população e com o poder público.

Ao final das defesas, o poder público e a população elegerão a melhor proposta.

Nesse caso, a sala pode ser dividida em 5 grupos: os que defen-dem o aquecimento a gás, os que defendem o aquecimento elé-trico, os que defendem o aquecedor solar, o grupo que representa o poder público e o grupo que representa a população que será atendida pelo hospital.

Observe que muitas variáveis estão envolvidas em cada esco-lha: o custo inicial dos equipamentos, o custo do gás ou da energia elétrica, o consumo de energia de cada equipamento, os impactos ambientais etc.

Durante algumas aulas, forneça dicas e dados isoladamente a cada grupo para argumentar a favor de seu sistema e contra-argu-mentar os outros.

O desfecho do role play se dá durante uma aula que simula uma audiência pública. Nessa audiência, o poder público e a população elegem democraticamente a melhor opção após ouvir os argu-mentos e contra-argumentos de cada grupo licitante.

Dependendo do tema, um role play pode gerar debates acalora-dos e contar com a participação direta de todos os alunos da sala.

II. Leitura de artigo científico e mesa redonda Leia em classe, com os alunos, o artigo “Física e cultura”, de João

Zanetic, disponível no endereço: <http://cienciaecultura.bvs.br/pdf/cic/v57n3/a14v57n3.pdf>. (Acesso em: 5 mar. 2010). O artigo versa sobre como a Física é tratada na escola e qual a relação da Física com a literatura.

É importante apontar para os alunos que a Física não é umaciência isolada; a fragmentação das ciências tem apenas uma fun-ção, dentro da escola, didática, e, fora dela, de especialização.

As ciências têm sua origem na Filosofia, com aqueles que estavam desejosos de explicar o mundo através da razão, uma vez que a mito-logia já tinha se encarregado de dar estas explicações pela via da fé.Os filósofos gregos buscavam o elemento primeiro que estivesse na base de todos os outros elementos presentes no mundo. Só muito mais tarde é que as ciências começam a se dividir e a se especializar, mas sempre buscando explicar os fenômenos que se apresentam ao ser humano, que aparecem como problemas em suas circunstâncias.

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Mesopotâmia, que corresponde ao atual Iraque e seus vizinhos. Outro grande evento que caracteriza esse milênio refere-se à invenção da roda.O bronze, uma liga de cobre e estanho, passou a ser usado em cerca de 3000 a.C., embora por volta do quinto milênio a.C., o [...] [ser humano] já estivesse familiarizado com o cobre, que costumava ser encon-trado na forma nativa.Obtido de seus óxidos minerais, o ferro é conheci-do desde o terceiro milênio a.C., mas só a partir de 1400 a.C. seu uso tornou-se frequente na confec-ção de inúmeros objetos. Esses feitos químicos são tão importantes que, até pouco tempo atrás, eram utilizados para classificar o desenvolvimento do [...] [ser humano] em três períodos: a Idade do Co-bre (anterior a 3000 a.C.), do Bronze (de 3000 a.C. a 1100 a.C.) e a do Ferro (de 1100 a.C. em diante). Modernamente, esse esquema de “idades” não é mais seguido, pois se verificou que o domínio da metalurgia e dos metais atingiu níveis variados em diferentes lugares do mundo, e, o que é mais im-portante, o desenvolvimento desse conhecimento foi mais complexo do que se supunha.[...]No período de 300 a 1400 d.C. floresceu a alquimia. Seus praticantes, os chamados alquimistas, eram homens que, em geral, tinham o domínio das técni-cas de metalurgia. Sabiam obter diferentes metais de seus minérios e colocá-los na forma final de utiliza-ção. O importante é que desenvolviam trabalhos em laboratório, executando experiências e acumulando observações.A alquimia se desenvolveu a partir do conhecimen-to prático existente e, fortemente influenciada por ideias místicas, procurou explicar, de forma racio-nal, como acontecem as transformações da maté-ria. Os alquimistas ficaram famosos pela busca da pedra filosofal e do elixir da longa vida. Essas subs-tâncias conseguiriam feitos notáveis, como a trans-formação de metais em ouro ou a imortalidade. Apesar desses sonhos inatingíveis — nenhum des-ses idealistas conseguiu a pedra ou o elixir — os al-quimistas foram muito mais importantes do que se imagina ou do que se fantasia. Graças às suas des-cobertas, muitas substâncias passaram a ser conhe-cidas, e procedimentos químicos artesanais foram aperfeiçoados. Além disso, eles contribuíram para que alguns remédios fossem desenvolvidos.Técnicas de purificação, comuns em laboratórios de pesquisa e em indústrias, como a destilação e a sublimação, foram aprimoradas pelos alquimis-tas. Devemos a eles a descoberta do ácido acético, obtido do vinagre, e do ácido clorídrico, produzido pela reação do ácido sulfúrico com o cloreto de só-dio, o tão conhecido sal de cozinha. [...]”

VANIN, J. A. Alquimistas e químicos: o passado, o presente e o futuro. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2005. p. 13; 21-22. (Coleção Polêmica)

As ciências são respostas aos anseios individuais e sociais da hu-manidade em uma determinada época.

É importante que o aluno perceba que a Física está inserida nos objetos de nosso cotidiano e nas diferentes concepções de ser hu-mano e de mundo (natural e social). É mais interessante apresentar exemplos de inter-relações da Física com as outras ciências do que apresentar uma e outra ciência separadamente.

Para ampliar esta discussão sugerimos que se organize com ou-tros professores de sua escola uma mesa de debates para que as diferentes áreas possam mostrar como se relacionam diretamente com a Física: a Arte, a Educação Física, a Química, a Biologia, a Ma-temática etc. O objetivo é levar o aluno a extrapolar essas relações que estão presentes em sua vida diária com elementos presentes na Medicina, na Engenharia, nos esportes etc.

Para ilustrar ainda mais o tema, recomendamos ao (à) professor(a) a leitura dos seguintes textos:

“Salvador Dalí e a Mecânica Quântica”, de Rodrigo Ronelli D. •da Costa, Robson de S. Nascimento e Marcelo Gomes Ger-mano. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol8/Num2/v08n02a06.pdf>. (Acesso em: 5 mar. 2010.)

“Ciência e arte: Vermeer, Huygens e Leeuwenhoek”, de M. •C. Barbosa, G. Queiroz e R. Santiago. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol8/Num2/v08n02a07.pdf>. (Aces-so em: 5 mar. 2010.)

“Conversando com Santos Dumont sobre a Física no cotidiano”, •de Alexandre Medeiros. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num1/v12a03.pdf.> (Acesso em: 5 mar. 2010.)

“Uma viagem pela Física e Astronomia através do teatro e •da dança”, de Sílvia Helena M. de Carvalho. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num1/v12a04.pdf>. (Acesso em: 5 mar. 2010.)

• Desvendando a Física do corpo humano: Biomecânica, de Emico Okuno e Luciano Fratin (São Paulo, Editora Manole).

3 O mundo que nos rodeia

Ao iniciar este assunto, o(a) professor(a) pode fazer alguns co-mentários sobre os primórdios da metalurgia e sobre a alquimia, preparando para a atividade em grupo deste item. Para isto, trans-crevemos trechos do livro de José Atílio Vanin.

Alquimistas e químicos: o passado, o presente e o futuro [texto citação]

“[...]A metalurgia é a atividade química que envolve a obtenção e a mistura de inúmeros metais, a partir de seus minérios, para a produção das chamadas ligas metálicas — e a sua posterior transformação em ferramentas, armas, etc. Curiosamente, opera-ções metalúrgicas antecederam a invenção da es-crita por cerca de 2 milênios, iniciando-se no sexto milênio a.C. O primeiro metal utilizado foi o ouro nativo, isto é, aquele encontrado quase puro, na forma de pepitas.O quarto milênio a.C. teve grande importância na história da humanidade. Um importante feito foi a invenção da escrita na Suméria. Os sumerianos precederam os assírios e babilônios, na região da

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Esta atividade demanda apenas uma pesquisa bibliográfica, de caráter histórico.

É uma boa oportunidade para sugerir aos alunos que consul-tem seu(sua) professor(a) de História e/ou de Química, para me-lhor embasar as informações, contemplando assim a interdisci-plinaridade e criando um cenário histórico-científico nas diversas épocas abordadas na pesquisa, aprofundando suas discussões.

Antes da pesquisa bibliográfica em si, pode-se sugerir aos alunos que assistam ao filme Harry Potter e a pedra filosofal(direção de Chris Columbus, Estados Unidos/Inglaterra, 2001) para iniciar a discussão sobre a alquimia e a figura de Flamel.

Se julgar conveniente, designe épocas diferentes a serem pesquisadas para grupos distintos, começando, por exemplo, com os hititas (1800 a.C.) (que já conheciam o aço!), passando pelas Idades do Ferro e do Bronze, a Idade Média e o Renasci-mento até chegar aos nossos dias. Esses assuntos são de fácil acesso aos alunos, via internet ou em boas enciclopédias.

Esta pesquisa bibliográfica já é um preparo para o capítulo seguinte, que irá abordar questões ligadas ao método científico. Ao iniciar a proposta de uma pesquisa bibliográfica, discuta com a classe sobre a importância de estabelecermos um método para a realização de uma pesquisa, seja qual for sua natureza.

Como esta atividade é a primeira com caráter de pesquisa bi-bliográfica, o(a) professor(a) deve estabelecer: o que pesquisar, como pesquisar, quais fontes utilizar, qual o formato de apresen-tação do trabalho e como organizá-lo. É importante que o aluno saiba o que se espera da pesquisa para que possa construí-la com segurança. Todo trabalho deve ter, pelo menos, apresenta-ção, introdução, desenvolvimento, conclusão e bibliografia.

Após receber os trabalhos escritos, faça a leitura, comente e, não tendo atingido os objetivos propostos, devolva-os com anotações para que o grupo possa refazer. Essa é uma aprendi-zagem importante: redirecionar a produção de um trabalho é o primeiro contato, em Física, com um processo mais organizado e metódico, que visa um determinado objetivo.

Ao final da pesquisa bibliográfica, sugira um debate sobre o que cada grupo pesquisou, fechando o trabalho com a amplia-ção e o aprofundamento de ideias.

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Atividade em grupo

Debata com a classe sobre a relação que há entre o artigo aqui apresentado e o conteúdo trabalhado até este momen-to, ressaltando a importância da Física como uma das ciências que está na base do desenvolvimento da tecnologia e como ela se relaciona com a nossa vida diária e com as outras áreas doconhecimento.

Comentário da questão: Nesta atividade o professor deve res-saltar que a busca por compreender os princípios naturais da ma-téria e sua manipulação há muito tempo é uma atividade humana.Nesse sentido, é necessário destacar as diferenças que caracte-rizam o trabalho científico e o realizado pelos alquimistas.

O que diz a mídia!

4 Propriedades físicas

Na aula que antecede este item, solicite aos alunos que pro-curem informações sobre o material utilizado nos cabos con-dutores das linhas de transmissão de energia elétrica. Não se trata de uma pesquisa formal, peça apenas que façam breves anotações em seus cadernos sobre o assunto para que possam trabalhar o tema em aula.

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O uso de alumínio nos cabos de transmissão de energia elé-trica, em lugar da prata, deve-se à sua menor densidade, que resulta em menor peso, e ao seu baixo custo.

Se julgar conveniente, proponha a discussão do tema utili-zando a técnica Phillips 66, que consiste em dividir a turma em grupos de seis elementos. Durante apenas seis minutos, os alu-nos trocarão informações sobre o tema pesquisado. Ao final do tempo, organize a classe em um círculo para debater sobre a resposta à questão levantada: por que são usados cabos con-dutores de alumínio e não de prata nas linhas mais longas de transmissão de energia elétrica?

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Você sabe por quê?

Esta “Proposta experimental ”deve ser realizada na escola para que o(a) professor(a) possa discutir brevemente sobre o método científico, antecipando o assunto de que tratará o capítulo 2.

Estabeleça com os alunos o porquê do experimento, ou seja, coloque-o no contexto da metodologia científica.

Esclareça o método de investigação adotado nesta simula-ção experimental, que é a reprodução do fenômeno em condi-ções semelhantes (repetir o experimento com garrafas de mes-mo volume, mesmo fabricante, soltas de uma mesma altura).

Este experimento pode ser realizado em grupos de três ou quatro alunos, para um melhor desenvolvimento. Peça aos alu-nos que construam uma tabela como a sugerida a seguir para registro dos resultados obtidos e posterior comparação com os resultados dos outros grupos.

Tabela sugerida:

Garrafa/altura 1,0 metro 1,5 metro 2,0 metros Observações

600 m (1)

quebrou/não quebrou



600 m (2)




1,5 (1) quebrou/não quebrou













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É interessante, também, repetir a experiência com recipien-tes diferentes, mas de mesma espécie: duas garrafas de refrige-rante de 600 m do mesmo fabricante, duas garrafas de 2 litros do mesmo fabricante etc.

Seria bom se grupos diferentes analisassem recipientes dife-rentes, para se obter um resultado mais abrangente.

Proponha a escrita de um relatório da experiência com, pelo menos, os seguintes itens: objetivo e/ou hipótese, metodologia e materiais, análise dos dados, resumo da experiência e conclusão.

O principal objetivo desta atividade não está somente na observação da resistência dos materiais, mas na condução e no registro de uma atividade experimental.

Sugestão de leitura para o professor“A história da ciência no processo ensino-aprendizagem”,

de João Ricardo Quintal e Andréia Guerra de Moraes.

O artigo discute sobre a importância da História da Ciência no aprendizado de Física através de uma abordagem histórico--filosófica que visa a despertar nos alunos um maior interesse pela ciência, assim como, estabelecer uma aprendizagem sig-nificativa. Disponível no endereço: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol10/Num1/a04.pdf >. (Acesso em: 5 mar. 2010.)

“Alquimia, uma ciência hermética”, Scientific American História vol. 1 – A Ciência na Idade Média, de Claus Priesner.

Nesse artigo, o professor de História das Ciências da Uni-versidade de Munique, Claus Priesner, relata que em 1980, na restauração do castelo de Oberstockstall, na Áustria, foram des-cobertos os restos de um laboratório alquímico, metalúrgico e farmacêutico do século XVI.

Capítulo 2 Os métodos da Ciência Física

ObjetivosNeste capítulo são apresentados os fundamentos do método

científico e a manipulação e operação de medidas quantitativas. Espera-se que o aluno aprenda a usar os prefixos do Sistema In-ternacional (SI) e a converter unidades de medidas. Ao final des-te estudo, o aluno deverá, também, estar capacitado a ler e inter-pretar os gráficos, como os apresentados em revistas e jornais.

Conceitos principaisMétodo científico (problema, observação, hipótese, experimen-

to, conclusão), modelo, teoria, lei, prefixos (potências de dez), uni-dades de base do SI, unidades de medidas de comprimento, massa e tempo, algarismos significativos, ordem de grandeza, gráficos.

Abordagem inicialDivida a classe em grupos e peça a cada grupo que procu-

re definir: método, hipótese, problema, lei, modelo e teoria. Os alunos podem utilizar dicionários, livros de Física, sítios de bus-ca da internet etc. Lembre-os de que estas definições devem estar relacionadas à Física. Cada grupo deve discutir sobre es-tas definições, anotar comentários. Depois desta atividade de aquecimento, peça aos alunos que se dividam em dois círculos concêntricos. Escolha, então, os alunos que ficarão em cada cír-culo, procurando misturar os grupos.

Vamos trabalhar com a dinâmica de grupo chamada GVGO.

O grupo do centro é o grupo de verbalização (GV) e o outro grupo, o de observação (GO). Cada aluno do GO deve acom-panhar o trabalho de um aluno do GV, inclusive fazendo ano-tações. Os alunos do grupo de verbalização comentam sobre suas anotações referentes às definições encontradas na ativida-de anterior, levantam semelhanças e diferenças, trocam infor-mações. O grupo de observação não interfere, apenas observa, assim como o(a) professor(a).

Quando perceber que a discussão sobre as definições está terminando, peça aos alunos que troquem de lugares — quem era do GV passa para o GO e vice-versa. Este novo GV tem como desafio organizar as discussões do grupo anterior e escolher apenas uma definição para cada termo.

Ao final do GVGO, discuta as definições com os alunos, le-vando-os a relacioná-las entre si. As definições destes termos estão nos itens 2, 3 e 4 do capítulo, mas não há necessidade de leitura prévia, uma vez que o exercício é uma preparação para o contato com essa terminologia.


1 Um registro histórico

O texto pode ser lido em classe para instigar os alunos a pensa-rem sobre os desafios de um cientista. Não dê a resposta à questão final do texto, pois ela guiará o aluno na leitura do texto seguinte.

2 O método científico

Faça, com a turma, uma leitura atenta e cuidadosa do texto, le-vantando vocabulário, questões, dúvidas e curiosidades.

Ao apresentar o diagrama que resume os passos do método científico, ressalte a importância da Ciência como a busca de res-postas a problemas práticos e que, nessa busca, muitas vezes, as respostas podem ser sintetizadas e expressas através do que comu-mente chamamos de “fórmulas”, que necessitam ser compreendi-das como uma relação de proporcionalidade entre grandezas físi-cas, podendo ou não haver o emprego de quantificação delas. Essa quantificação é feita através da medição das grandezas físicas (tam-bém objeto de estudo deste capítulo) utilizando-se escalas padro-nizadas internacionalmente, constituindo sistemas de unidades.

Apresente aos alunos as características do método científico de um caso real de pesquisa científica.

Ainda discutindo com os alunos sobre a Ciência como busca de soluções para problemas práticos e sobre como o método científico é importante para que o cientista encaminhe seu trabalho e chegue a uma resposta, se julgar pertinente, inclua nessa discussão como o cientista organiza seus resultados ou como elabora modelos.

Apresente artigos de jornais e revistas no sentido de demonstrar o uso de tabelas, gráficos, esquemas, fórmulas. A correta interpre-tação de gráficos é fundamental no estudo de Física por ter como função transmitir um grande número de informações de maneira clara e rápida. Peça aos alunos que pesquisem, em jornais, revistas e sítios de divulgação científica na internet, artigos que tragam ta-belas e gráficos para serem discutidos em sala de aula, pois é de fundamental importância que os alunos aprendam a ler gráfico e tabelas corretamente. Esse não é o momento de falar sobre fun-ções, de primeiro ou de segundo grau.

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Divida a classe em grupos de 3 ou 4 alunos e oriente-os a procurar profissionais que utilizam as ciências em suas áreas de atuação. Podem ser entrevistados, por exemplo, farmacêuticos que atuam em farmácias de manipulação, químicos que traba-lham em indústrias de alimentos, engenheiros que trabalham na indústria em geral, médicos etc.

A entrevista deverá pesquisar qual o papel das ciências e das evoluções científicas no seu dia a dia e como elas são utilizadas para melhorar os produtos e a vida das pessoas.

Um exemplo de questionário a ser aplicado aos profissionais pelos alunos é sugerido a seguir. Depois de agendado o encon-tro, o grupo deve ampliar este roteiro com perguntas ligadas à área específica de atuação do profissional.

Questionário1) Qual é a sua área de formação?

2) Há quanto tempo o(a) senhor(a) atua nessa área?

3) Como o(a) senhor(a) aplica os conhecimentos científicos em seu trabalho?

4) O(a) senhor(a) realiza algum tipo de pesquisa em seu tra-balho diário?

5) Desde que o(a) senhor(a) começou a trabalhar nessa área, houve algum avanço científico que foi incorporado à sua prática diária? Se sim, qual foi tal avanço científico?

6) Como a sua área de atuação em Ciências afeta a vida das pessoas?

7) O(a) senhor(a) espera algum avanço científico em sua área? Se sim, qual seria esse avanço?

De posse das respostas ao questionário, reúna os grupos para discutir e debater as diferentes respostas dadas pelos pro-fissionais a cada uma das perguntas.

O objetivo principal da atividade é mostrar aos alunos que as ciên-cias fazem parte de nosso cotidiano em aplicações frequentemente pouco visíveis e que a necessidade, muitas vezes, gera avanços.

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Atividade em grupo

Como sugestão, citamos:

falta de combustível;•

pane elétrica;•

fio solto;•

defeito no alternador;•

problema na bomba de combustível;•

problema na bateria;•

bobina superaquecida;•

ruptura da corrente dentada;•

tampa do distribuidor trincada;•

defeito na refrigeração;•

defeito no módulo da ignição eletrônica;•

defeito na bomba de óleo que lubrifica o motor.•

Uma vez detectada a possível causa, passamos a realizar ex-perimentos para testá-la.

Por exemplo, a falta de combustível. Após colocar alguns li-tros de combustível no tanque de gasolina, a partida deve ser dada novamente. Se perdurar o problema, passamos a avaliar outra hipótese.

As situações apresentadas envolvem um conhecimento da mecânica do automóvel que não deve ser exigido do aluno. A finalidade desta proposta experimental é mostrar que, sem ser intencional, o método científico é utilizado normalmente pelas pessoas em seu cotidiano.

Aqui se pode retomar a atividade experimental proposta no capítulo 1 como exemplo de aplicação do método científico. Lembre-se de exigir que os alunos estabeleçam o problema, as hipóteses, como será a verificação destas hipóteses e deem uma solução para o problema.

É importante propor a escrita de um relatório da experiência com, pelo menos, os seguintes itens: objetivo (problema), hi-pótese, metodologia e materiais, análise dos dados, resumo da experiência e conclusão.

3 Modelos, teorias, leis e princípios

Retome as discussões feitas na dinâmica GVGO e proponha aos alunos que comparem suas conclusões em termos de defini-ções com as propostas pelo texto apresentado nesse item. Pro-cure diferenciar os conceitos de modelo, teoria, lei e princípio.

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A proposta feita nesta atividade, é apenas uma sugestão. O(a) professor(a) poderá levantar outros temas a serem de-batidos: a Engenharia Genética e suas aplicações, o sequen-ciamento genético, a clonagem, o uso de células-tronco em pesquisas médicas etc.

O objetivo principal da atividade é colocar diferentes pontos de vista em confronto. Por exemplo, o uso de células-tronco na pesquisa da cura de diversas doenças é correto? O desenvolvi-mento de alimentos transgênicos é a saída para a fome mun-

Atividade em grupo

Inicialmente, recorde os passos do método científico:

observar o problema;•

enunciar uma hipótese;•

realizar experimentos;•

fazer observações;•

obter conclusões.•

Podemos usar os passos do método científico para resolver problemas que acontecem em nosso dia a dia. Uma situação que ocorre muitas vezes é a de constatar que o carro que estamos viajando começa a falhar e, de repente, o motor deixa de fun-cionar. Temos, assim, a observação de um problema. Imedia-tamente levantamos hipóteses que nos possam explicar o que foi observado. Neste momento, o(a) professor(a) pode pedir à classe que levante as possíveis causas que expliquem o ocorrido.


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dial? A descoberta de que todos os seres humanos possuem 99,8% de seu código genético similares entre si, abolindo o conceito de “raça”, mudou seu modo de encarar o mundo em que vive?

Dependendo do assunto abordado, o debate poderá ren-der excelentes discussões, mediadas pelo(a) professor(a).

É importante que o(a) professor(a) valorize as opiniões individuais e favoreça a argumentação de cada aluno na de-fesa de sua opinião.

Solicite que cada grupo escolha um coordenador e um relator. As discussões devem ser resumidas pelo relator em um pequeno texto. Após o tempo estabelecido para as discussões, abre-se um círculo e cada relator apresenta as ideias de seu grupo que subsidiarão o debate que se seguirá ao término da explanação de todos os grupos.

Alternativamente, o(a) professor(a) poderá propor outro tema controverso: “Existe vida extraterrestre?”

A fim de dar subsídios ao(à) professor(a), indicamos a lei-tura apresentada a seguir.

Tem alguém aí? O enorme aumento dos conhecimentos so-

bre o universo reavivou a antiga pergunta: há vida em outros planetas? Este artigo investiga se os 350 planetas extrassolares da Via Láctea estão em zonas habitáveis.

“Há quem diga que a maior descoberta científica de todos os tempos seria a resposta afirmativa ao quase eterno questionamento: ‘Há vida em outros planetas?’ A notável ex-pansão dos conhecimentos sobre o sistema solar reavivou essa pergunta: conhecem-se, hoje, mais de 350 planetas extrassolares na Via Láctea. Estariam eles em zonas habitá-veis? Ou a Terra é o único planeta com vida na galáxia? Nas próximas páginas, veremos o que a ciência tem a dizer sobre o tema.

Desde a descoberta de Plutão, em 1930, a concepção de sistema solar passou a incluir o Sol, nove planetas, dezenas de satélites e milhares de cometas e asteroides. Embora a ideia sobre o que é um ‘planeta’ pareça bem estabelecida, esse conceito não era definido. Em agosto de 2006, astrônomos reunidos na 26ª. Assembleia Geral da União Astronômica Internacional, em Praga (República Tcheca), votaram as ‘regras’ para definir se um corpo celeste é ou não um planeta e excluíram des-se grupo Plutão, que passou a ser denomina-do planeta-anão.

Para um corpo celeste ser denominado ‘pla-neta’, deve atender aos seguintes requisitos: i) orbitar em torno de uma estrela; ii) ter forma aproximadamente esférica; iii) ser grande o suficiente para dominar sua órbita, eliminan-do objetos menores de sua vizinhança.

O sistema solar foi o único sistema planetário conhecido por muito tempo. As descobertas dos primeiros planetas a orbitarem outras estrelas fo-ram anunciadas na década de 1990. Eram planetas gigantes, como Júpiter, com massas equivalentes ou superiores a 300 vezes a da Terra. O desenvol-vimento de instrumentos mais sensíveis, porém, permitiu detectar planetas menores, e, em 2006, foram descobertos planetas do tipo terrestre, ou seja, com massa inferior a oito vezes a da Terra.

Poderiam esses planetas oferecer condições favoráveis ao estabelecimento da vida, como a conhecemos?

Para estudar a possibilidade de vida em um exoplaneta (ou planeta extrassolar), a astrobiologia usa o conceito de zona habitável, definida como a região ao redor da estrela onde as condições físicas favorecem a existência de água no estado líquido na superfície do planeta.

A zona habitável depende do tipo de estrela e, portanto, de parâmetros estelares, como luminosi-dade e temperatura. Depende ainda das condições planetárias, dadas pela dinâmica do planeta, como taxas de intemperismo, concentração atmosférica de gás carbônico (CO2), bem como a razão entre a área continental e a área oceânica.

A recente descoberta de exoplanetas poten-cialmente habitáveis ao redor da estrela Gliese 581 produz futuros alvos para missões de detec-ção de sinais de vida fora da Terra e nos oferece um novo olhar sobre o nosso planeta.[...]”

REQUEIJO, F.; CARNEIRO, C. D. R. Ciência Hoje, n. 267, jan./fev. 2010. O artigo completo encontra-se disponível para download em:

<http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2010/267/tem-alguem-ai>. (Acesso em: 9 mar. 2010.)

4 Problemas e exercícios — estratégias de resolução

Comente com os alunos que a busca para soluções de dife-rentes problemas é o objetivo das diferentes áreas do conhe-cimento. Tanto é real esta afirmação que, em 1637, Descartes, filósofo francês, escreveu seu Discurso do método para bem conduzir a própria razão e procurar a verdade nas ciências. Nes-ta obra, Descartes apresenta a dúvida metódica que conduz à descoberta do método capaz de ordenar os pensamentos. Para a leitura de um resumo rápido desta obra sugerimos ao(à) professor(a) Dicionário de obras filosóficas, de Denis Huisman, publicado pela Editora Martins Fontes.

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No livro, foi apresentado como Eratóstenes determinou o raio da Terra. É bastante comum os alunos terem a curiosidade e per-guntarem: como se determinou o tamanho da Lua? E do Sol? E como se sabe a distância da Lua em relação à Terra ou da Terra em relação ao Sol?

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Procuramos mostrar aqui, de modo resumido, como foram determinadas tais medidas. Se julgar per-tinente, seria interessante que, ao apresentar a determinação da circunferência da Terra, fosse feita uma complementação da discussão, demonstrando como podemos aplicar o método científico para a solução de um problema, que, aqui, é: qual é o tamanho da Lua e a sua distância em relação à Terra?

Determinação do tamanho da Lua e de sua distância em relação à Terra

1) Qual é o problema?

A primeira determinação do tamanho da Lua e sua distância à Terra foi feita por Aristarco de Samos (310-230 a.C.), após estudar eclipses da Lua e do Sol. Aristarco foi o primeiro a propor que a Terra girava ao redor do Sol, antecipando a teoria de Copérnico em cerca de 2.000 anos. Também determinou a distância da Terra ao Sol.

2) Quais as informações existentes (condições iniciais do problema) e que puderam ser observadas?

A Terra, ao ser iluminada pelo Sol, projeta uma sombra. O eclipse lunar ocorre quando a Lua, em seu movimento ao redor do planeta, passa por esse cone de sombra.Aristarco observou que a largura do cone de sombra da Terra sobre a Lua correspondia a 2,5 vezes o diâmetro lunar.

3) Quais hipóteses podem ser elaboradas para a solução do problema?

Durante um eclipse do Sol, a Terra intercepta o cone de sombra da Lua em uma pequena região de sua superfície. Assim, o cone de sombra da Lua se estreita até quase se tornar um ponto, ou seja, o estreitamento do cone de sombra da Lua, desde sua órbita até a superfície da Terra, corresponde a um diâmetro lunar, o mesmo estreitamento sofrido pelo cone de sombra da Terra (ver figura a seguir).

4) Quais cálculos podem ser realizados com base nas observações, levando-se em conta as hipóteses elaboradas?

Levando-se em consideração o estreitamento do cone de sombra da Terra, Aristarco conclui que o diâmetro da Terra deveria ser 3,5 vezes o diâmetro da Lua (3,5 5 2,5 1 1). Em outras palavras, o diâmetro da Lua é 1 ___ 3,5 do diâmetro da Terra.

O valor calculado por Aristarco para o diâmetro da Lua resultou em uma diferença de menos de 5% do valor aceito atualmente, que é de 3.474 km.

5) Pode-se utilizar algum conhecimento estabelecido previamente para se elaborar um novo?

Conhecido o diâmetro da Lua, pode-se, por uma simples relação de semelhança de triângulos, obter sua distância à Terra.

6) Qual a metodologia empregada para a obtenção dos dados?

Fixe um pequeno disco de papel (0,5 cm de diâmetro) a uma janela de vidro e, com um dos olhos, mire a Lua de modo que o disco de papel a encubra totalmente. Medindo-se a distância entre o seu olho e o disco de papel, mais ou menos 55 cm (110 vezes maior que o diâmetro do disco de papel), é possível descobrir a distância da Terra à Lua.

2,5 diâmetroslunares

Estreitamento de1 diâmetro lunar

Lua duranteeclipse lunar

Lua duranteeclipse solar

Raios de luz vindos da borda superior do disco solar

Raios de luz vindos da borda inferior do disco solar

Órbita da Lua

Terra

Lua

d

x

Observador

Disco depapel

L

D

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

(Representação sem escala.)


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7) Cálculos.Pela figura acima:

diâmetro do disco ______________________ distância da Terra ao disco

5 diâmetro da Lua ____________________ distância da Terra à Lua

V d __ L 5 D __ x

8) Resultados.

Conhecidos o diâmetro do disco d e sua distância L ao olho do observador, obtemos:

diâmetro do disco ______________________ distância da Terra ao disco

5 d __ L 5 1 ____ 110

9) Conclusão.

Então, temos:

diâmetro da Lua ____________________ distância da Terra à Lua

5 D __ x 5 1 ____ 110

Logo, distância da Terra à Lua 5 110 ? diâmetro da Lua.

A título de curiosidade, apresentamos ao(à) professor(a) os métodos utili-zados para a determinação da distância do Sol à Terra e do diâmetro do Sol.

Distância do Sol em relação à Terra e o diâmetro do SolAristarco fez uma primeira estimativa da distância do Sol à Terra a partir

do seguinte raciocínio: no instante em que a Lua se encontra exatamente metade cheia e o Sol ainda está visível no horizonte, as linhas traçadas entre a Terra e a Lua, entre a Lua e o Sol e entre o Sol e a Terra formam um triângu-lo retângulo, conforme mostrado a seguir.

Como a distância da Terra à Lua, x, era conhecida, se o ângulo for corretamente medido, então, a partir da Trigonometria, podemos determinar a distância da Terra ao Sol (y):

cos 5 x __ y V y 5 x _____ cos

Aristarco não dispunha de instrumentos que permitissem uma medida precisa do ângulo , tal como um moderno teodolito. Ainda assim, ele chegou a um ângulo 5 87° e concluiu que o Sol estava a uma distân-cia da Terra de cerca de 20 vezes a distância da Terra à Lua. Esse resultado está bem distante do real.

Hoje sabemos que a distância da Terra ao Sol é cerca de 400 vezes a distância da Terra à Lua. Uma pro-vável fonte de erro em seus cálculos pode ter sido o valor do ângulo por ele encontrado. Na verdade o ângulo é de 89,86° e não 87°.

Como o Sol e a Lua aparentam ao olho serem do mesmo tamanho (ambos os astros são vistos sob ângu-lo visual de cerca de 0,5°), conclui-se que a relação entre o diâmetro do Sol e sua distância à Terra é igual à relação entre o diâmetro da Lua e sua distância à Terra, ou seja:

diâmetro do Sol _____________________ distância da Terra ao Sol

5 diâmetro da Lua ____________________ distância da Terra à Lua

5 1 ____ 110

Como a distância da Terra ao Sol era agora conhecida, podia-se determinar o diâmetro do Sol.

Então: diâmetro do Sol 1 1 ____ 110 ? distância ao Sol.

Página 31

O que diz a mídia!

Este artigo discute a importância do cientista na vida cotidiana das pessoas e mostra como a pesquisa influen-cia a opinião pública através do jornalista que divulga os trabalhos científicos. É interessante reafirmar a inter-relação entre as diferentes áreas do conhecimento.

Comentário da questão: Nesta etapa, aconselha-se que o professor encaminhe a discussão para a produção do conhecimento científico destacando as argumentações utilizadas na linha de pesquisa CTSA (Ciência, Tecnolo-gia, Sociedade e Ambiente) e que cada vez mais a sociedade está dependente dos avanços científicos e tecnológi-cos. Também se pode debater a importância da formação educacional para que uma pessoa não fique às margens da sociedade.

Mais informações: Sutil, N. et al. CTS e CTSA em periódicos nacionais em ensino de ciência/física (2000-2007): aspectos epistemológicos e sociológicos. XI Encontro de Pesquisa em Ensino de Física – Curitiba – 2008. Disponível em <http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/xi/sys/resumos/T0003-1.pdf> (Acesso em: 31 mar. 2010.)

Lua

Terra

Sol

x

θy

ad

ils

on

se

cc

o(Representação sem escala.)

31

Com relação às medidas de comprimento, massa, tempo é in-teressante apresentar aos alunos informações sobre o desenvolvi-mento dos aparelhos de medição. Por exemplo: os relógios de sol, as clepsidras, as ampulhetas, os relógios de pêndulos, os a quartzo e os atômicos.

Página 36

5 Os prefixos

Como a quantificação das grandezas físicas também é uma forma de representar a resolução de um problema, apresente a notação científica aos alunos e mostre a praticidade de re-presentar valores muito grandes ou valores muito pequenos em potências de 10. Ressalte aos alunos sobre a importância de utilizarmos prefixos como mega, quilo, centi, mili e apresen-tando exemplos do cotidiano: 91,1 megahertz, 5,3 quilogramas,34 centímetros, 250 mililitros.

6 O Sistema Internacional de Unidades (SI)

Apresente as unidades de medidas das grandezas compri-mento, massa e tempo do Sistema Internacional de Unidades (SI). Comente sobre os múltiplos e submúltiplos dessas unida-des. Destaque que o SI possui sete unidades básicas (ou funda-mentais), das quais derivam todas as demais unidades. É impor-tante realçar que qualquer grandeza medida deve sempre vir acompanhada de sua respectiva unidade.

Como atividade relativa a esse tema, sugerimos que desa-fie os alunos a confeccionarem “réguas” com diversas escalas (polegadas, pés, palitos de fósforos ou qualquer “outro padrão” que não os já conhecidos). Peça a eles que escolham diversos objetos, meçam as mesmas dimensões de cada um deles com essas diversas “réguas” e elaborem tabelas comparando essa di-mensão medida em escalas diferentes.

Em aulas anteriores, solicite aos alunos que façam uma bre-ve pesquisa sobre como as medidas polegadas, pés, jardas e palmos surgiram historicamente. Neste momento, não se trata de uma pesquisa bibliográfica com todo seu rigor, oriente-os apenas a trazerem anotações e curiosidades sobre o assunto, destacando as relações entre essas unidades e o centímetro.

Página 34

Atividade em grupo

O(A) professor(a) poderá dividir a turma em pequenos grupos, de três ou quatro alunos, e dar a cada grupo uma tarefa específica. Cada grupo deverá, então, fazer uma breve pesquisa relacionada ao seu tópico e às situações em que as medidas pesquisadas são usadas.

Tópicos sugeridos:

a polegada do Sistema Britânico de Unidades, muito usada •para medir diâmetro de tubulações;

o pé no Sistema Britânico de Unidades;•

a jarda no Sistema Britânico de Unidades;•

a milha;•

a libra (lb), unidade de massa de pugilistas e a libra-força (lbf);•

o psi (• pounds per square inch), usado para medir pressão;

o nó, medida de velocidade de navios;•

o grau Fahrenheit, unidade de medida de temperatura •usada em alguns países;

a onça (oz) e o quilate.•

Essa primeira pesquisa visa mostrar a diversidade de unidades utilizadas em nosso dia a dia.

A seguir, a discussão poderá ocorrer entre todos os grupos.Nessa oportunidade, cada grupo apresentará sua pesquisa e as consequências mais evidentes da falta de padronização daquela medida.

Aqui o(a) professor(a) pode ressaltar que os avanços tecnológico e científico estão intimamente relacionados, destacando que a pro-dução do conhecimento científico propicia o desenvolvimento de novas tecnologias, que por sua vez podem oferecer suporte para a produção desse conhecimento em diversas áreas. Um exemplo a ser utilizado está na astronomia, em que o uso de um artefato tec-nológico, como a luneta, permitiu uma maior precisão nas observa-ções astronômicas e teve grande influência nas cosmovisões.

7 A precisão das medidas

O trabalho a partir da seção O que diz a mídia! do item 6 permite fazer uma ligação direta com o tema apresentado nesse item. Discorra sobre algarismos significativos de uma medida e como apresentar os resultados que envolvem operações com algarismos significativos.

Página 38

Atividade em grupo

Ao se posicionar os marcos quilométricos ao longo de uma ro-dovia, a precisão exigida é muito diferente da exigida ao se demar-car, por exemplo, o percurso de uma maratona. Esta atividade tem por finalidade mostrar aos alunos que a precisão exigida em uma determinada medida depende, basicamente, do uso que se fará dessa medida.

Sugerimos que se divida a turma em duplas. Solicite a cada uma delas que procure um profissional para se informar sobre a precisão necessária em diferentes medidas por eles utilizadas ou que tente estimar por si próprio. Exemplos:

número de tijolos que um mestre de obras solicita para a cons-•trução de uma parede ou de uma casa;

número de azulejos que um azulejista solicita para revestir •uma cozinha espaçosa ou um pequeno lavabo;

comprimento total dos fios, usados por um eletricista, para •montar o circuito elétrico de uma casa ou para a instalação de um chuveiro;

quantidade de uma determinada substância utilizada por um •farmacêutico ao preparar um medicamento.

a temperatura ambiente numa estação meteorológica e a •temperatura do corpo humano (medida com um termô-metro clínico);

a medida de tempo em competições esportivas.•

O objetivo é fazer os alunos perceberem que uma medida corre-ta pode, muitas vezes, evitar desperdícios; e que, por outro lado, se as medidas não forem bastante precisas, como na dosagem de um medicamento, isso pode trazer consequências graves.

Página 39


O que diz a mídia!

O tempo de reação de um ser humano situa-se entre 0,1 s e 0,2 s. Dessa maneira, o acionamento do cronômetro por um ser humano introduziria um erro maior que o do instrumento.

32

É importante que os alunos reflitam sobre a presença da tecnologia nos eventos esportivos, principalmente porque em várias modalidades esportivas as frações de segundos podem representar novos recordes, além de registrar tempos individuais. Por isso a precisão de um sistema computadorizado deve ser preferível aos sistemas humanos.

Com a informação desta seção, o(a) professor(a) pode trabalhar o problema da medição num experimento científico no sentido de que se deve avaliar o quanto a reação humana a um estímulo externo in-terfere na precisão da medida a ser tomada por esta pessoa. Por exem-plo, num experimento físico real, não se mede com um cronômetro manual o tempo de queda de uma gota de óleo no vácuo (na verda-de, atualmente, nenhuma medição de tempo é feita manualmente).

Esta experiência tem por finalidade apresentar um método de determinação do número (pi). Se desejar, inicialmente, apresente aos alunos algumas curiosidades sobre o número .

Algumas curiosidades sobre o número Muitos poderiam pensar que, pelo fato de esse número ser re-

presentado por uma letra do alfabeto grego, teriam sido os antigos gregos os primeiros a utilizá-lo, mas não é o que a história diz.

Não se pode precisar a origem do valor dessa constante com tanta certeza quanto a que se tem em relação ao primeiro apareci-mento do “pi” representado pela letra , como símbolo matemático da razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. Foi em 1706, no livro do matemático inglês William Jones (1675-1749). Curiosamente, em 1647, o também matemático inglês William Ou-ghtred (1574-1660) usou a letra para representar o perímetro da circunferência, talvez por se tratar da primeira letra da palavra grega “periferia”, que significa perímetro, contorno, borda.

Quando o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) co-meçou a publicar mundialmente seus trabalhos, usando a letra para essa constante sem conhecer os trabalhos de Jones, a notação se firmou definitivamente.

A razão constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência já era conhecida desde cerca de 1.900 anos a.C, no

antigo Egito, que usava o com o valor 25 ___ 8 . Na Babilônia, era co-

nhecido com o valor 256 ____ 81 , e a Índia adotava 339 ____ 108 .

De acordo com uma interpretação do matemático russo G. Gléi-zer, em um texto bíblico hebraico dos séculos de X a V a.C., encon-tramos o com uma notável exatidão de cinco algarismos signifi-cativos: 3,1415094!

A tabela a seguir mostra um resumo dos valores aproxima-dos para o , adotados em diversas épocas e diversos lugares.

O número pelo mundo

Local e data Valor aproximado

Mesopotâmia – 1000 a.C. 3

Antigo Egito – 1000 a.C. 3,16

Antiga China – século XII a.C. 3Antiga Judeia – de X a V a.C. (hipótese de Gléizer) 3,1415094

Grécia (Arquimedes) – século III a.C. 22 ___ 7 3,1428...

China – século I a.C. 3,1547

Itália (Vitrivius) – 14 d.C. 3 1 __ 8 3,125

China – século V d.C. 3,1415929...

Índia (Brahmagupta) – 598 d.C. d XXX 10 3,162...


O número segundo Euler:

1 __ 12 1 __

22 1 __ 32 1 __

42 ... 2

___ 6

4 @ 1 __ 1 1 __ 3 1 __ 5 1 __ 7 ... #

O número na internet: <http://www.mathworld.wolfram.com>

(Acesso em: 10 mar. 2010.)

<http://www.astro.univie.ac.at/~wasi/PI> (Acesso em: 10 mar. 2010.)

Página 41


Antes de iniciar a leitura propriamente dita desta seção, o(a) professor(a) pode começar uma conversa sobre por que o ser huma-no precisa tanto de sistemas de orientação, já usamos as estrelas, já construímos a bússola, entre outras coisas e agora temos o GPS. O que a tecnologia tem a ver com essa necessidade humana que existe desde sempre? A discussão pode enveredar por caminhos filosóficos, econômicos, sociológicos, históricos, mas o(a) professor(a) amarra es-tas discussões esparsas ao propor a leitura do texto sobre GPS e finali-za fazendo uma relação entre a questão inicial e o que o texto traz.

Comentários da questão: A intenção desta atividade é promover a compreensão do aluno de que, apesar da aparente simplicidade do GPS, seu desenvolvimento e utilização acarretaram um grande acúmu-lo de conhecimento científico. Entre suas aplicações práticas podemos citar: pesquisas de campo em arqueologia; segurança na navegação aérea; segurança na navegação marítima; informações em tempo real sobre trânsito, nas grandes cidades etc.

8 Ordem de grandeza – estimativa de valoresO trabalho com este item tem seu início com as próprias questões

presentes no texto do livro e que pretende levar a classe a uma refle-xão sobre ordem de grandeza e estimativas de valores.

Ressalte a necessidade do uso de potências de dez para repre-sentar números muito grandes ou muito pequenos. Aproveite para utilizar a notação científica.

9 Representações gráficas

É comum em jornais e revistas a apresentação de gráficos que for-necem dados que relacionam diversas grandezas permitindo inter-pretar as informações que eles oferecem. Se julgar necessário, peça aos alunos que tragam de casa novos gráficos (de colunas, de setores etc) e tabelas, obtidos na mídia impressa para interpretá-los.

Navegue na Web

Professor(a), relacionamos a seguir alguns sítios em idioma estrangei-ro que abordam conteúdos trabalhados nesse capítulo. Se julgar que os alunos compreendem o idioma, indique os sítios para que eles possam ampliar seus conhecimentos sobre o assunto. Em muitos casos, é possível promover um trabalho interdisciplinar com o(a) professor(a) do idioma.

Nanoreisen <http://www.nanoreisen.de> (Acesso em: 12 jan. 2010.)O sítio multilíngue (alemão, inglês, francês e espanhol), com simu-

lações, é uma viagem virtual ao mundo do micro e do nanocosmo.Science, Optics & You <http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/

powersof10> (Acesso em: 12 jan. 2010)Essa página, mantida pela Universidade do Estado da Flórida, leva o

internauta a uma viagem desde o muito grande até o muito pequeno.

33

Abordagem inicialComo início da construção do conhecimento sobre o mun-

do real por um aluno da série inicial do Ensino Médio, o estudo da Mecânica pode ser um meio adequado para a compreensão sobre o mundo no sentido prático. O ideal é que esse processo se dê por meio de observações macroscópicas e com menor ne-cessidade da abstração, visto que essa abstração deve ser dada de forma progressiva ao longo do processo de aprendizagem.

Assim, a investigação da relação entre forças e movimentos, (analisando-se tanto o movimento em si quanto as causas de variação do próprio movimento), que é o conteúdo deste capí-tulo, serviria para a finalidade do aprendizado desejado.

Durante todo o trabalho com este capítulo, solicite aos alunos que deem exemplos de aplicação dos conceitos estu-dados em situações do cotidiano. Oriente-os sobre quais são essas situações, para que e como elas serão usadas nas aulas.Neste início do processo de aprendizado de Física, os alunos têm de ser orientados sobre a forma do estudo.


1 Introdução

Para apresentar o capítulo, discorra sobre a importância de estudar os movimentos e conhecer as leis que o regem.

Solicite que os alunos façam uma leitura prévia da Introdu-ção, a fim de que estabeleçam relações entre as informações do texto. Procure apresentar as contribuições de Aristóteles e sua explicação sobre o mundo e as influências do Renascimento, de Galileu Galilei e de Isaac Newton.

Página 55

Atividade em grupo

Sugestão de leitura para o professorConsideramos que discutir sobre método científico requer uma

atenção mais cuidadosa e acadêmica. Por essa razão, sugerimos algumas leituras.

“Problemas e problematizações”, de Demétrio Delizoicov. In: Ensino de Física: conteúdo, metodologia e epistemologia numa con-cepção integradora. Organização de Maurício Pietrocola. Florianó-polis, Editora da UFSC, 2001.

“Aprendendo Ciências através de modelos e modelagem”, de John K. Gilbert e Carolyn J. Boulter. In: Modelos e educação em Ciências. Organização de Dominique Colinvaux. Rio de Janeiro, Edi-tora Ravil, 1998.

“Construção e realidade: o realismo científico de Mário Bun-ge e o ensino de Ciências através de modelos”, de Maurício Pie-trocola. Revista Investigações em Ensino de Ciências, v. 4, p. 213-227, 1999. Publicação do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID54/v4_n3_a1999.pdf>. (Acesso em: 10 mar. 2010.)

Um pouco de pedagogia A cada final de unidade traremos sugestões de textos para a re-

flexão sobre aspectos educacionais, sobre a vida na escola e sobre o ensino das ciências.

Neste momento, sugerimos a leitura do artigo “Produção de co-nhecimento, ensino/aprendizagem e educação”, do Prof. Dr. Antô-nio Joaquim Severino, da Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, que aborda as relações entre o processo epistemoló-gico específico da produção do conhecimento, o processo propria-mente pedagógico ocorrente na situação de ensino/aprendizagem e o processo antropológico de formação do sujeito educando. O artigo está disponível no seguinte endereço: <http://www.scielo.br/pdf/icse/v2n3/02.pdf>. (Acesso em: 10 mar. 2010.)

ObjetivosNeste capítulo, são apresentados os conceitos fundamentais da

Cinemática, as funções horárias que regem o movimento uniforme e o movimento uniformemente variado, bem como os respectivos gráficos. Também se dá início ao estudo da Dinâmica explorando as leis de Newton dos movimentos.

Ao final desse estudo, o aluno deverá ser capaz de reconhecer e quantificar as grandezas físicas envolvidas em um dado movimen-to, assim como identificar as forças agentes em um corpo, ou em um sistema de corpos, estabelecer suas origens e relacionar quan-titativamente uma força, ou sistema de forças, e o estado de movi-mento do corpo em que ela age.

Conceitos principaisEspaço, variação de espaço (ou deslocamento escalar), in-

tervalo de tempo, velocidade escalar média e velocidade esca-lar instantânea, aceleração escalar média e aceleração escalar instantânea, movimentos uniforme e uniformemente variados, grandezas escalares e grandezas vetoriais, aceleração vetorial e velocidade vetorial, deslocamento vetorial, força, força resultan-te, massa, força resultante centrípeta e aceleração centrípeta.

Capítulo 3 Força e movimento

UNIDADE IIForça e energia Requisite ajuda do(a) colega professor(a) de História. Con-

verse com ele(a) sobre o que você espera mostrar a seus alunos: como a visão de mundo dos renascentistas influenciou a visão dos cientistas e artistas da época.

Uma excelente fonte de consulta sobre o assunto é a revis-ta A Ciência no Renascimento, n. 2, Coleção Scientific American História, da Duetto Editoral. Nessa edição são apresentados diversos artigos que mostram como a redescoberta de valores da Antiguidade aliada à explosão de pesquisas em várias áreas fincam as raízes do conhecimento moderno.

Outra proposta é solicitar a cada grupo que fez as pesquisas descritas acima que organize questões sobre o assunto.

Organize com os professores de Artes, de História e de Fi-losofia uma mesa de debates entre um físico (você) e seus colegas para que apresentem aspectos importantes sobre o Renascimento. Após a explanação de cada professor(a), a pla-teia (os alunos) encaminha algumas questões à mesa e dá-se um pequeno debate. Este trabalho interdisciplinar pode focar a História e a Filosofia da Ciência como balizadores para a com-preensão da construção histórica da ciência nessa época.

Como fechamento, peça que cada grupo realize a proposta dessa atividade, lembrando sempre que não se deve solicitar uma pesquisa aos alunos sem orientação sobre o que pesqui-sar, como realizar a pesquisa e mostrar o porquê da busca dessas informações.

34

2 Espaço, velocidade e aceleração

O foco de nosso trabalho está na compreensão dos movi-mentos (o que o caracteriza, como se percebe um movimen-to, exemplos do cotidiano). A formularização deve ser uma das etapas finais do processo de aprendizado.

Conceitue espaço, s, variação de espaço, s, e, a partir daí, defina velocidade escalar média, vm e conversão de uni-dades de km/h para m/s e vice-versa.

Trabalhe, então, quantitativamente esses conceitos. Acredi-tamos que a vivência dos alunos permitirá exemplificar usandosituações do cotidiano, notadamente aquelas ocorridas em viagens por rodovias nas quais a “quilometragem” é indica-da por placas.

O conceito de aceleração escalar será fundamental para o desenvolvimento de boa parte desse capítulo. O aluno deverá entender e saber interpretar o significado físico da grandeza.

Página 57

O tema Velocidade traz algumas situações com a aplicação do cálculo da velocidade escalar média. É interessante utilizar estas situações como desafio e transpô-las para situações con-cretas dos alunos.

Página 60

O que diz a mídia!

Comentário da questão: vm 5 s ___ t

5 3 m ____ 0,2 s 5 15 m/s 5 54 km/h

Página 65

Aceleração, para iniciar este tema, o(a) professor(a) poderá, após definir o conceito de aceleração escalar, pedir que os es-tudantes citem situações cotidianas nas quais cada um tenha se submetido a acelerações. As situações mais comumente apresentadas se referem a pessoas dentro de veículos (ônibus, carros, trens, metrôs), durante freadas ou durante arrancadas, em brinquedos de parques de diversão, principalmente mon-tanhas-russas, e em aviões, durante as decolagens e durante as aterrissagens.

É importante certificar-se que o estudante saiba interpretar corretamente a grandeza aceleração escalar: certa variação de velocidade em um determinado intervalo de tempo. Assim, por exemplo, uma aceleração de 5 m/s2 corresponde a uma varia-ção de velocidade de 5 m/s a cada 1 s.

3 A cinemática dos movimentos uniforme e uniformemente variado

O foco do estudo é o correto entendimento das característi-cas do movimento e não a simples memorização de “fórmulas”. A Matemática utilizada no estudo da Cinemática deve ser mos-trada como uma ferramenta.

Ao iniciar o estudo do movimento uniforme, busque, junto aos alunos, situações em que esse tipo de movimento esteja presente: esteiras transportadoras usadas nas indústrias, escadas rolantes, propagação da luz, propagação do som, movimento de um ponto da linha do Equador devido à rotação da Terra, etc.

Já no estudo do movimento uniformemente variado, dina-mize as explanações sobre o tema para que os alunos não se atenham à memorização de fórmulas.

A memória é uma capacidade fundamental na construção do conhecimento, mas não é esta capacidade o centro de um trabalho pedagógico. Toda ação pedagógica deve envolver in-teresse e esforço por parte do aluno com o objetivo último decompreensão. Como afirma Whitehead (filósofo britânico), “a edu-cação é útil porque a compreensão é útil”. O método de memori-zar e repetir está na base de uma educação muito tradicional.

A preocupação atual em educação é que o aluno vá além da repetição ou aplicação mecânica de fórmulas; ele precisa com-preender a extensão de um conceito, sua aplicabilidade e sua conexão com a realidade do mundo que o cerca.

A propriedade de a velocidade escalar média no MUV ser a média aritmética das velocidades escalares (inicial e final do tre-cho) deve ser utilizada sempre que possível.

Durante o desenvolvimento deste assunto, o(a) professor(a) pode trabalhar com a representação gráfica desses movimen-tos e fazer a ligação com os gráficos vistos na Matemática:

a) movimentos uniformes com equação do primeiro grau;

b) movimentos uniformemente variados com equação do segundo grau.

Ressalte a importância dos diagramas horários ao resolver problemas pelos dois processos: usando as funções horárias e as propriedades dos diagramas.


Atividade em grupo

Divida os alunos em pequenos grupos (3 ou 4 alunos) e peça a cada grupo que pesquise um dos temas a seguir:

- o comércio e suas consequências em um mundo globalizado;

- a disseminação da informação no mundo globalizado;

- perigo das pandemias que rapidamente podem se alastrar pelo mundo todo.

Após a pesquisa, proponha um debate conjunto entre os gru-pos durante o qual os aspectos positivos e/ou negativos de cada tema deverão ser destacados.

Página 62

Antes da leitura do texto “Semáforos sincronizados”, discuta com a turma sobre o porquê da necessidade do uso de semáfo-ros nas cidades. É importante sempre fazer relações entre o que a tecnologia traz e como a vida cotidiana se modifica a partir disto e, também, procurar mostrar que a tecnologia responde às necessidades sociais.

Comentário da questão: vm 5 36 km/h V 10 m/s

x 5 400 m

vm 5 x ___ t

V t 5 s ___ vm 5 400 m ______

10 m/s 5 40 s

Solicite aos alunos outros exemplos de esportes que exi-gem conhecimento de velocidade, trajetória e aceleração.Discuta com eles sobre a necessidade do conhecimento desses conceitos para a melhora na performance do atleta.

35

Página 73 Sugerimos que os grupos utilizem o mesmo tipo de fio e o mes-mo tipo de anel, arruela ou porca para evitar a influência de di-ferentes coeficientes de atrito no cálculo das acelerações.

Oriente os alunos do grupo com relação aos cuidados a se-rem tomados para que os dados obtidos sejam confiáveis:

esticar bem o fio e medir seu comprimento com a maior •precisão possível;

abandonar o corpo (arruela ou porca) no ponto • A a partir do repouso (vA 5 0);

repetir a tomada de tempo da descida pelo menos cinco •vezes e usar o valor médio das medidas para efetuar os cálculos.

Sugerimos ainda que o comprimento d do fio seja medido diretamente ou calculado a partir dos valores de h e , confor-me a figura a seguir.


d2 5 h2 1 2 V d 5 d XXXXXXX h2 1 2

A aceleração escalar poderá, então, ser obtida diretamente

da função horária do espaço: d 5 1 __ 2 ? ? t2médio , pois conhece-

mos d e tmédio.

Uma questão adicional poderá ser posta aos alunos: qual a velocidade da arruela ao chegar a B?

O aluno poderá calcular a velocidade escalar em B direta-mente a partir da função horária da velocidade, vB 5 ? tmédio, ou, lembrando que vA 5 0, usar a propriedade da velocidade

escalar média no MUV, vB 5 2 ? d ______ tmédio

.

Cada grupo poderá realizar o experimento para duas inclina-ções diferentes do fio esticado. Ao final, é interessante que o(a) professor(a) mostre aos alunos que, à medida que a inclinação do fio aumenta, a aceleração também aumenta, tendendo à acele-ração da gravidade g quando o fio estiver esticado verticalmente.

Como última sugestão para esta atividade, pode-se organi-zar uma tabela para os alunos anotarem os dados e resultados obtidos para cada uma das duas inclinações do fio. Use o mode-lo abaixo se achar conveniente.

Experimento MUV (inclinação menor)

h 5.................... m d 5 ...................... m

5 ...................... m

t1 5 .................. s tmédio 5 .................. s

t2 5 .................. s

t3 5 .................. s

t4 5 .................. s

t5 5 .................. s

vA 5 0 vB 5 .................. m/s


Atividade em grupo

Divida os alunos em grupos de acordo com o número de trilhos disponíveis.

O objetivo do experimento é mostrar aos alunos algumas ca-racterísticas de um movimento uniforme, dentre elas a de que, em qualquer intervalo de tempo, a velocidade escalar instantânea é constante e que o diagrama espaço × tempo é representado por uma reta inclinada.

Lembre-se de orientar os alunos a não curvar demais a extremi-dade do trilho para não dificultar as tomadas de tempo (o ponto de partida deve ficar de 2 cm a 5 cm acima do trecho horizontal).

Se preferir, proponha a atividade logo após definir o movimento uniforme e, nesse caso, inverta a ordem das perguntas sugeridas pedindo, ao final, que os alunos especulem sobre o gráfico que irão obter antes mesmo de traçá-lo.

Após o traçado do gráfico espaço tempo, peça aos alunos que prevejam como ficará o gráfico se o ponto A, o ponto de partida, es-tiver mais alto ou se o ponto A estiver mais baixo. Essa será uma óti-ma oportunidade para mostrar aos alunos que a inclinação da reta obtida está relacionada à velocidade da bolinha em movimento.

Página 74

Peça a cada aluno que pesquise individualmente a respeito das acelerações de diferentes modelos de carros e exponham os resul-tados de suas pesquisas. Seria interessante se a pesquisa abordasse, além da aceleração de carros, a aceleração de aviões de passagei-ros, aviões de caça, carros de corrida, lanchas de alto desempenho, arrancada de animais predadores e botes de cobras.

O objetivo é mostrar aos alunos a larga faixa de acelerações que alguns corpos podem desenvolver.

Sugerimos também uma reflexão conjunta, professor(a) e alu-nos, sobre as seguintes questões para o desenvolvimento desta atividade:

Qual o objetivo dessa pesquisa?•

Como e onde (fonte confiável) ele irá pesquisar sobre a acele-•ração de diferentes meios e animais como solicitado acima?

Caso o aluno não obtenha dados razoáveis, invalidará a pes-•quisa?

É bom para uma pesquisa científica não produzir resultados •considerados satisfatórios?

Assim, com base nessa reflexão, é possível questionar sobre o pa-pel imposto à ciência no que se refere a uma pesquisa científica que deve sempre obter resultados coerentes e nunca há problemas.

Esta é uma abordagem além do óbvio de comparar os diversos tipos e largas faixas de aceleração.

Página 81

Para essa atividade, obtêm-se melhores resultados com o uso de linha de pesca, feita de náilon, ou fio dental. O anel, confeccionado com arame, pode ser substituído por uma pequena arruela metálica ou por uma pequena porca.

dh

�

θ

A

C B

ad

ils

on

se

cc

o

36

......................................... m/s2

Experimento MUV (inclinação maior)

h 5 .................... m d 5 ...................... m

5 ...................... m

t1 5 .................. s tmédio 5 .................. s

t2 5 .................. s

t3 5 .................. s

t4 5 .................. s

t5 5 .................. s

vA 5 0 vB 5 .................. m/s

......................................... m/s2

Página 82

A distância entre duas marcas sucessivas, deixadas pelo pneu no asfalto, corresponde ao comprimento da banda de ro-dagem do pneu. Tal comprimento, dado por 2 ? r, permanece constante esteja o carro em movimento uniforme ou em movi-mento com aceleração.

Se achar conveniente, solicite que os alunos pensem na pergun-ta desafiadora lançada nesta seção como uma atividade para casa.

Na aula seguinte, os alunos se reúnem em grupos de 6 e dis-cutem as respostas encontradas durante 6 minutos (técnica de dinâmica de grupo: Philips 66). Após este tempo, a classe se or-ganiza em um círculo único para debater sobre as semelhanças e diferenças das respostas encontradas e, nesse momento, o(a) professor(a) pode realinhar os conceitos trabalhados até então.

É uma oportunidade para conversar com os alunos sobre em que medida os conceitos trabalhados nas aulas de Física auxi-liam na compreensão da realidade.

4 Grandezas escalares e grandezas vetoriais

Cite exemplos de grandezas que ficam perfeitamente ca-racterizadas quando delas se conhece o valor numérico e a correspondente unidade de medida. Mostre que existem grandezas que para serem caracterizadas deve se conhecer, além do valor numérico e da respectiva unidade de medida (in-tensidade ou módulo), sua direção e sentido. As primeiras gran-dezas são denominadas escalares e as outras, vetoriais. Certifi-que-se de que os alunos entenderam os conceitos de direção e de sentido de uma grandeza física vetorial.

Ressalte aos alunos que na linguagem comum ocorre roti-neiramente confusão entre os conceitos de direção e de senti-do. Obviamente, no linguajar científico essa confusão não pode acontecer. Mostre aos alunos que, numa dada direção, existem dois sentidos possíveis.


O(A) professor(a) poderá, após a distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais, utilizar o jogo descrito no arti-go que transcrevemos a seguir. O material a ser usado constará apenas de papel quadriculado e canetas ou lápis coloridos.


Corrida de vetores: vacina contra o raciocínio aristotélico

“As regras são baseadas na lei de Newton para acelerar, frear e realizar curvas. A direção da for-ça que a ‘pista’ exerce sobre o ‘carro’ é escolhida pelo piloto, mas o valor dessa força é limitado de forma que o piloto deva prever com antece-dência seus movimentos futuros para evitar ser jogado fora da pista. A Fig. 1 mostra uma possí-vel pista desenhada no papel quadriculado. Seu formato pode ser escolhido livremente. Nesse caso, há quatro carros posicionados na linha de partida, indicando quatro pilotos participantes.

Um deles, digamos o de cor azul-escura, co-meça o movimento até a posição imediatamen-te à direita, ou seja, anda uma unidade horizon-tal da grade, e marca essa nova posição com sua caneta azul-escura. Sua velocidade durante esse movimento é o vetor que liga sua antiga posição à nova, ou seja, o vetor que liga dois pontos azuis sucessivos. Esse vetor será decisivo na determi-nação do próximo movimento desse mesmo piloto, como veremos adiante. Antes, porém, os demais pilotos fazem seus movimentos em sequência, da mesma maneira. Nesse estágio, todos têm velocidades iguais.

Depois de todos os pilotos terem feito o pri-meiro movimento, é novamente a vez do pri-meiro piloto, o azul-escuro, movimentar-se. Sua aceleração é limitada, de forma que a nova velo-cidade que ligará sua atual posição à futura não pode ser muito diferente do vetor atual. A regra é: a nova velocidade é igual à anterior acresci-da ou diminuída de uma unidade horizontal e/ou vertical da grade. A Fig. 2 mostra as posições anterior e atual (círculos menores cheios) e as 9 opções que o piloto azul-escuro pode esco-lher para colocar sua terceira marca de caneta (círculos maiores abertos). A opção central, por exemplo, corresponde a manter a mesma velo-cidade anterior e aceleração nula (que também vale). Na verdade, dessas 9 opções, a posição mais abaixo à esquerda já estará ocupada pelo piloto verde no movimento anterior, portanto, o piloto azul-escuro não tem essa opção. De qual-quer maneira, o piloto azul-escuro não iria mes-mo escolhê-la porque estaria andando para o lado em vez de acelerar para frente. Com certeza ele escolherá uma das 3 opções mais à direita, que correspondem a acelerar o carro nesse iní-cio da corrida.

Depois que o piloto azul-escuro escolheu sua nova posição, os demais pilotos realizam seus respectivos movimentos na mesma sequência.

37

O que diz a mídia!

Também adotam a mesma regra: repetir a veloci-dade anterior e escolher um dos nove pontos da vizinhança, desde que não esteja ocupada por ou-tro piloto. A corrida continua na mesma sequência.O piloto afoito que acelerar demais poderá ser joga-do fora da pista ao contornar uma curva, caso todas as opções disponíveis naquela jogada estejam fora da pista. Nesse caso, o piloto afoito paga o preço de ficar uma rodada sem se mover. Na rodada seguin-te, ele parte do repouso na posição da borda da pis-ta onde foi obrigado a sair. O vencedor será aquele que ultrapassar primeiro a linha de chegada, que pode ser a mesma da partida. Divirtam-se.”

OLIVEIRA, P. M. C. Revista A Física na Escola, v. 10, n. 1, p. 40, maio 2009. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol10/Num1/

a08.pdf>. (Acesso em: 10 mar. 2010.)

5 Movimentos bidimensionais sob ação da gravidade

O estudo dos lançamentos é outro ponto que pode ser usado para mostrar aos alunos que basta o conhecimento das funções horárias do MU e do MUV para uma completa análise quantitativa desses movimentos.

Faz-se necessário evidenciar como podemos trazer um pou-co mais a realidade para perto dos conceitos teóricos físicos, discutindo em termos de modelos dos movimentos unidimen-sionais em comparação com modelos um pouco mais sofistica-dos como os dos movimentos bidimensionais, mais próximos dos movimentos da vida real.

Página 91

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Em classe, proponha uma breve apresentação das carac-terísticas de cada autódromo e procure estabelecer relações entre o desenho de cada um e o desenvolvimento das velo-cidades, acidentes e outras variáveis que possam relacionar diferentes conceitos de Física e uma corrida automobilística.

Comentário da questão: t (60 10 0,646) 70,64 s

x 4.309 m

vm x ___ t

4.309 _____ 70,64 61 m/s 220 km/h

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Solicite aos alunos que pesquisem sobre outros autódromos. É interessante fazer um levantamento dos mais importantes au-tódromos do mundo e encarregar pequenos grupos de breves pesquisas sobre estes autódromos para que haja uma varieda-de de informações em sala de aula.


Mais uma vez, proponha a discussão sobre a necessidade que deve ter dado origem ao que chamamos popularmente de lombada eletrônica. Este mecanismo redutor de velocidade está diretamente relacionado a uma necessidade social que, em muitos casos, é uma resposta ao alto índice de atropelamentos em determinados locais nos quais haja facilidade de um veículo atingir altas velocidades, seja pelo desenho ou pela topografia de uma via.

Antes de iniciar estas discussões, procure verificar nas pro-ximidades de sua escola se há este dispositivo. Em sala de aula, leve os alunos a pensarem por que um redutor de velocidade foi instalado naquele local. Assim, eles podem perceber que há uma razão prática para a tecnologia. Conclua o trabalho com a leitura do texto.

Comentário da questão: Ao analisar os dados fornecidos per-cebe-se que o sistema da lombada eletrônica utiliza a velocidade média, visto que a velocidade do veículo é obtida a partir do regis-tro do tempo gasto para percorrer uma distância de 4 metros.

6 O princípio da inércia

Antes de iniciar o conteúdo deste item pode-se surpre-ender os alunos com um experimento bem simples. Não é necessário dizer que se trata da 1a lei de Newton.

Coloque um copo de plástico com água (não precisa ser muito cheio) sobre uma folha de papel que deverá estar pró-xima à borda da mesa com parte dela para fora. Puxe rapi-damente a parte da folha que ficou para fora da mesa. Os alunos sempre acham que o copo d’água virá junto com a folha de papel, mas por conta da inércia isto não acontece.

Diga à turma que isto é um exemplo de inércia e que é uma das coisas que serão trabalhadas durante o estudo des-sa seção.

Uma introdução filosófica: Isaac Newton (1642-1727) escreveu os Principia mathematica (o título em português é Princípios matemáticos da Filosofia natural). Nessa obra, Newton unificou a Física terrestre e a Física celeste a par-tir da aplicação da Matemática ao conhecimento dos fe-nômenos naturais. Newton “colocou” o Sol e os planetas a uma distância tal que a gravidade não os precipita uns sobre os outros. A Mecânica newtoniana se impôs devido à força explicativa e pelas confirmações experimentais que recebia. Graças à teoria deste físico e pensador é que os iluministas construíram seus argumentos contra a Metafí-sica, o que acabou desembocando numa Teologia natural, fortalecendo os argumentos dos ateus. Sobre os Principia,sugerimos Estudos newtonianos, de Alexandre Koyré.

Figura 1 Exemplo de pista que pode ser construída pelo aluno

Figura 2 Posições anterior e atual do piloto azul-escuro, e as opções para o terceiro movimento.

(Representações sem escala.)

38

Ao iniciar o estudo da Dinâmica, apresente aos alunos o con-ceito físico de força e seus efeitos. Além disso, discorra sobre a experiência de Galileu e introduza o princípio da inércia, ou pri-meira lei de Newton. Dê exemplos do dia a dia dos alunos que envolvam esse princípio físico e comente sobre a experiência do copo d’água.

Essa é uma ótima oportunidade para discutir regras de segu-rança no trânsito e estabelecer, junto aos alunos, quais conheci-mentos intuitivos eles já dominam.

Mais uma vez lembramos que é importante solicitar ao alu-no que traga situações do cotidiano para serem tratadas sob o olhar da Física, dando dicas do que são essas tais “situações do cotidiano”, para que e como elas serão usadas nas aulas.

Indicamos para o(a) professor(a) a leitura do artigo “O enig-ma do movimento” disponível para download em: <http://cien ciahoje.uol.com.br/colunas/fisica-sem-misterio/o-enigma-do-movimento/?searchterm=movimento>. (Acesso em: 10 mar. 2010.)

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7 Efeitos da aceleração

Para conduzir o trabalho sobre o tema efeitos da acele-ração, discuta as sensações que sentimos quando estamos dentro de um elevador e ele acelera ou breca. Nos parques de diversões muitos brinquedos imprimem acelerações e de-sacelerações ao nosso corpo o que produz muitas emoções. Nossos órgãos mais sensíveis a variações de velocidade são o labirinto do ouvido, as vísceras abdominais e o cérebro. Ana-lise as expressões do coronel J.P. Stapp participando de um teste de aceleração, durante o programa de desenvolvimen-to do primeiro caça supersônico norte-americano. Se o(a) professor(a) quiser fazer uma preparação prévia a respeito da segunda lei de Newton, destacar que uma força, quando não equilibrada, produz num corpo variação de velocidade e, portanto, aceleração. Realçar que a “fórmula” F m a, que estudaremos no item 9, não é apenas uma expressão matemática, mas sim a maneira de interpretar essa relação da existência da força em virtude da aceleração (a força não pode ser percebida pelos sentidos humanos, mas podemos “sentir” a aceleração de um ônibus, por exemplo).

Essa forma de abordagem diminui a fragmentação do co-nhecimento (aceleração faz parte da tal “Cinemática” e for-ça é assunto da “Dinâmica” no ensino tradicional), além de mostrar a relação dos fenômenos físicos e suas explicações a partir das observações do cotidiano (quem, afinal, nunca “sentiu” uma freada ou arrancada dentro de um veículo, seja ônibus, carro, trem ou metrô?).

8 Forças

Ao iniciar a discussão sobre forças (Dinâmica), o(a) professor(a) não deve dar a ideia de que “Cinemática” e “Dinâmica” são duas subáreas totalmente distintas na Física. Este estudo inicial pode ser pensado em termos de movimentos macroscópicos que, a olho nu (sem o auxílio de aparelhos), podem ser observados e a causa primeira desses movimentos (a ação de forças atuando sobre os corpos).

A partir daí, o(a) colega poderá apresentar aos alunos as principais forças estudadas na Dinâmica: força elástica, peso, tração, reação normal e força de atrito.

Ao analisar a força de atrito, será importante destacar a dife-rença entre força de atrito estático e força de atrito dinâmico.

Página 104


Se julgar conveniente, em aulas anteriores, peça aos alu-nos que perguntem a um mecânico de automóveis de seu bairro qual a diferença entre freios ABS e freios convencio-nais e o que esses profissionais pensam sobre essa diferença em relação à segurança.

Em aula, inicie as discussões sobre as informações obti-das e sobre as opiniões dos alunos sobre o assunto.

Para finalizar leia o texto “Sistema de freios convencio-nais X sistema de freios ABS”, propondo que estabeleçam re-

Atividade em grupo

Sugerimos ao(à) professor(a) a leitura do artigo “Galileu: um cientista e várias versões” do professor Arden Zylbersztajn do Departamento de Física da Universidade Federal de Santa Ca-tarina e publicado no, então, Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, n. 5, p. 36-48, jun. 1988. O artigo está dispo-nível no sítio: <http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/10073/9298>. (Acesso em: 12 jan. 2010.)

Adicionalmente, o(a) colega poderá ler o artigo, O mensageiro das estrelas, publicado na revista Ciência Hoje, de Adílson de Olivei-ra, para poder mediar as apresentações das pesquisas dos alunos.O artigo está disponível no sítio:

<http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/fisica-sem-misterio/o-mensageiro-das-estrelas> (Acesso em: 11 mar. 2010.)

Página 96


Proponha aos alunos que observem o que acontece com os bloquinhos quando o skate anda em linha reta e peça para anotarem o observado. Coloque o skate com os bloquinhos em movimento em linha reta, agora, porém, com uma velocidade maior e peça para os alunos anotarem o observado. Repita no-vamente o procedimento, fazendo o skate se movimentar com uma velocidade ainda maior.

Agora, peça para os alunos que observem e anotem o que acontece quando o skate com os bloquinhos é colocado em mo-vimento, perfazendo uma curva. Repetir o procedimento com o skate fazendo uma curva no sentido oposto ao do primeiro caso.

Por fim, solicite que os alunos elaborem uma tabela com as diversas condições de movimento do skate e as respecti-vas observações. A partir da comparação dos dados anotados na tabela, peça que eles elaborem hipóteses que expliquem os fatos observados. Como teste da hipótese, peça que verifi-quem se é possível prever o que acontecerá se frearmos o skate (predição). Desta forma, o estudante poderá verificar ele mes-mo a “utilização” do método científico para a investigação doconceito de inércia.

39

lações entre o que ouviram dos mecânicos e as explicações que a Física proporciona.

Comentário da questão: Num sistema de freios, a força de atrito existente entre os pneus e o solo tem como objetivo dimi-nuir a velocidade do veículo. Desta forma, é interessante evitar o deslizamento entre os pneus e o solo, visto que o coeficiente de atrito estático é superior ao dinâmico. A principal função dos freios ABS é evitar este deslizamento e assim garantir que a for-ça de atrito existente seja a estática. Vale ressaltar que o sistema de freios ABS ao agir desta forma permite que o motorista man-tenha o controle do veículo durante toda a frenagem.

Página 105

O que diz a mídia!

A figura a seguir mostra como deve ser colocado o clipe e o elás-tico no retângulo de cartolina e esta sobre o material a ser testado.

Explique aos alunos que o objetivo principal do experimen-to é verificar como o atrito entre duas superfícies afeta o movi-mento de escorregamento entre elas.

Peça aos alunos que façam uma previsão a respeito do que es-peram que aconteça à medida que se testam as diferentes superfí-cies. Por exemplo, se compararmos o estiramento do elástico ao pu-xar a cartolina sobre o papel vegetal com o estiramento do mesmo elástico ao puxarmos a cartolina sobre a folha de lixa, o que se pode esperar e prever? Que relação podemos inferir que existe entre a distensão do elástico e o coeficiente de atrito entre as superfícies?

A resposta esperada será de que para materiais mais ásperos (com maiores coeficientes de atrito), a distensão do elástico e, consequentemente, a força aplicada para deslocar a folha de cartolina, será maior.

Ressaltamos que os resultados a serem obtidos são pura-mente qualitativos.

Página 106


Normalmente, adolescentes adoram carros. Pergunte a eles o que conhecem sobre a função de um aerofólio e por que nos carros de passeio sua aplicação tem mais um apelo esté-tico do que funcional, diferentemente dos carros de Fórmula 1.Por que este dispositivo é importante? Como a indústria auto-mobilística pode decidir por uma inovação tecnológica? Dis-cuta estas questões com a turma e proponha a leitura do texto “Túneis de vento” para relacionar a vida prática com a teoria.

Comentário da questão: Nesta atividade, devem ser destaca-dos os elementos que compõem o sistema físico (esquiador, vento e Terra) e como ocorre a interação entre eles. Dentre as forças rele-vantes, podem-se destacar: força gravitacional, força normal e força de resistência fluida.

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Material a ser testado

Corte Clipe

Corpo a ser transportado

Cartolina

Elástico

C

F


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ILS

ON

SE

CC

O

Solicite aos alunos que, após a leitura do texto “Céu em terra firme”, localizem os temas estudados até agora nas au-las de Física e façam uma discussão sobre a importância da aplicação dos conceitos físicos para a indústria, no caso a indústria de aviação.

Comentário da questão: As principais forças aplicadas no avião durante uma situação de voo são: arrasto, tração (con-trapõe a de arrasto), sustentação e peso. Informações com-plementares, como a figura com a representação dessas for-ças, podem ser obtidas no artigo A Física do Voo na Sala de Aula, publicado pela revista Física na Escola, v. 7, n. 2, 2006, disponível em <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num2/v13a07.pdf> (Acesso em: 31 mar. 2010.)

9 O princípio fundamental da Dinâmica

A esta altura, o aluno já está preparado para trabalhar com as forças estudadas até aqui. Apresente o princípio fun-damental da Dinâmica, ou segunda lei de Newton, desta-cando o caráter vetorial da equação.

É importante estabelecer, qualitativamente, as relações entre força resultante, massa e aceleração antes de aplicar a lei a problemas numéricos.

Página 110

Observando a foto do ônibus espacial, questione os alu-nos sobre o porquê de o ônibus espacial ser freado com a ajuda de um paraquedas. Ressaltando a importância da ima-ginação no levantamento de hipóteses, aqui procuramos mostrar que, mesmo a partir de conhecimentos ainda muito rudimentares, os alunos podem pensar em respostas físicas para situações cotidianas.

Página 112

O carro, quase sempre, sai na frente, pois tem inércia me-nor (menor massa). Assim, ele consegue variar sua velocida-de com mais facilidade, adquirindo uma aceleração maior.

Professor(a), se desejar proponha que a pergunta seja respondida em grupo. Reúna grupos de 6 alunos e desafie-os a responderem à questão desta seção em apenas 6 mi-nutos de discussões (técnica Philips 66). Faça um círculo de discussões, solicite que apresentem suas respostas e discu-ta qual resposta se aproximou mais da resposta científica e por que, apontando os conceitos já trabalhados até agora. Nessa atividade, os alunos farão uso da intuição e de seus conceitos prévios.


40

O que diz a mídia!

Página 112

Proponha um debate, a partir da leitura do texto “Mais leves, mais rápidos”, sobre o papel das ciências para a produção de bens de consumo. Aproveite para relacionar este texto ao anterior, “Céu em terra firme”, lembrando que esta última “invenção” está a servi-ço de órgãos públicos e os carros de alumínio estão na esfera da indústria privada.

Comentário da questão: A densidade do alumínio é cerca de 40% menor do que a do aço. Se a parte estrutural de um carro for construída em alumínio, podemos destacar as vantagens: menor peso da estrutura; menor consumo de combustível; desgaste por oxidação praticamente nulo.

10 O princípio da ação e reação

Apresente, após as aplicações numéricas da segunda lei de Newton, o princípio da ação e reação.

Explore outros exemplos, além dos citados no texto, e faça os alunos perceberem que as forças de ação e de reação sempre atu-am em corpos distintos; logo, não se equilibram.

Para reforçar esta ideia, as questões a seguir podem ser propos-tas aos alunos.

O cavalo e a carroçaUma questão que costuma causar certa confusão e que, por ve-

zes dificulta o entendimento da terceira lei de Newton é o problema do cavalo que puxa uma carroça e outros similares.

Se um cavalo puxa uma carroça com força de módulo F, pela ter-ceira lei de Newton, a carroça “reage” e “puxa” o cavalo com força de mesma intensidade F, mas de sentido contrário. Como essas forças têm mesma intensidade, como é possível a carroça se movimentar?



Os dois cavalosUm cavalo forte, amarrado a uma árvore por uma corda,

puxa esta corda até que ela fique na iminência de arrebentar, mas sem arrebentá-la.

Se dois cavalos idênticos ao primeiro forem atados, cada um às extremidades daquela mesma corda e puxarem-na simulta-neamente como o primeiro cavalo, a corda arrebentará?

Esta experiência, dada sua simplicidade, pode ser realizada pelo(a) professor(a), como demonstração em sala.

Caso haja tempo, repita a experiência duas ou três vezes e peça aos alunos que tentem perceber visualmente se a velo-cidade do carrinho é constante ou não. Com um pouco mais de cuidado, peça aos alunos que avaliem conceitualmente se a aceleração do carro é constante ou não.

Após a realização desta experiência, peça aos alunos que a relacionem com os sistemas de propulsão de veículos como os aerobarcos, os aviões de hélices, os aviões a jato, os foguetes e o ônibus espacial. Procure semelhanças e diferenças.

Página 116

F F

Forçade atrito

Força que o chãoexerce sobre o cavalo

Corda

Mesma corda

Após essa análise, proponha aos alunos a situação descrita a seguir.

O ponto que deve ser ressaltado aqui é que, ao analisar a ace-leração de qualquer corpo, devemos considerar a força resultante (soma vetorial de todas as forças) que atua sobre o corpo. Para a carroça, na direção horizontal, a força F exercida pelo cavalo, puxan-do a carroça para a frente, é maior que a força de atrito, que “puxa” a carroça para trás. Para o cavalo, também na direção horizontal, a força exercida pelo solo “para a frente” é maior que a força F, com que a carroça “puxa” o cavalo para trás.

AD

ILS

ON

SE

CC

OA

DIL

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N S

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AD

ILS

ON

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O

Argumente com os alunos que, no caso dos dois cavalos puxarem a corda ao mesmo tempo, um dos cavalos está de-sempenhando o mesmo papel da árvore na primeira situação. As duas situações apresentadas são, portanto, equivalentes e a corda não arrebentará.

Após a discussão e apresentação do princípio da ação e reação, pode-se, então, trabalhar com aplicações das três leis de Newton conjuntamente.

Página 116

Fat F’at

Movimento acelerado

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Movimento acelerado

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Movimento acelerado

a) b) c)

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41

Organize a turma em grupos para que respondam à questão proposta nesta seção, mas complemente a atividade solicitando que um relator do grupo redija o argumento que o grupo encon-trou para justificar sua resposta. Cada grupo apresenta para a classe seus argumentos e discutem sobre os erros e acertos, sobre a coe-rência deles ou não.

Aproveite esta oportunidade para propor uma pesquisa sobre sistemas propulsores de veículos. Além de direcionar o desenvolvi-mento da pesquisa, faça-os refletir sobre o porquê de se pesquisar esse tema específico, além da mera curiosidade.

11 A aceleração centrípeta

Ao apresentar o conceito de aceleração centrípeta, procure fazer o aluno perceber que, ao realizar uma curva, a velocidade do móvel varia (pelo menos, em direção). Assim, é necessária uma aceleração e, consequentemente, uma força resultante. Defina aceleração cen-trípeta e, após dar outros exemplos, forneça a expressão para seu cálculo em função da velocidade linear. Forneça, também, a relação entre a velocidade linear e a angular e apresente a aceleração cen-trípeta em função da velocidade angular .

Demonstramos a seguir, ao(à) colega professor(a), a expressão que permite calcular a aceleração centrípeta. Se achar conveniente, você poderá demonstrá-la aos alunos.

A aceleração centrípetaA figura a seguir mostra um corpo realizando um movimento

circular uniforme em uma trajetória de raio R em dois instantes t1 e t2. As velocidades

__ v 1 e

__ v 2 têm mesmo módulo v, pois o movimento

é uniforme.

Observe que o triângulo isósceles AOB é semelhante ao triân-

gulo definido pelos vetores __

v 1 ,

__ v 2 e

__ v , pois os vetores

__ v 1 e

__ v 2

têm mesmo módulo v.

Então, podemos escrever: v ___ v 5 L ___ R

V v 5 v ? L _____ R

.

Dividindo ambos os membros da igualdade por t vem:

v ___ t

5 v ? L ______ R ? t

.

Observe, porém, que à medida que o intervalo de tempot 5 t2 2 t1 diminui, tendendo a zero, a relação v ___

t tende à ace-

leração centrípeta ac e a corda de comprimento L tende ao arco de comprimento s.

Portanto: ac 5 v ? s _____ R ? t

V ac 5 v __ R

? v V ac 5 v2

__ R

Relacionamos a seguir alguns sítios em idioma estrangeiro que abordam conteúdos trabalhados nesse capítulo. Se julgar que os alunos compreendem o idioma, indique os sítios para que eles possam ampliar seus conhecimentos sobre o assunto. Em muitos casos, é possível promover um trabalho interdisciplinar com o(a) professor(a) do idioma.

Department of Physics at the National Taiwan Normal University

< h t t p : / / w w w. p hy. n t n u. e d u. t w / n t n u j av a / i n d e x .•php?topic=137> (Acesso em: 12 jan. 2010.)

No aplicativo, em inglês, existente nessa página pode-mos selecionar a velocidade de um carro (inicialmente esta-belecida em 72 km/h) e o coeficiente de atrito (inicialmen-te estabelecido em 0,8). O aplicativo mostra um semáforo aberto (verde) e a animação começa quando pressionamos o botão Start.

Pressione Start e fique de olho no semáforo. Quando o semáforo fechar (mudar para vermelho) você deverá, o mais rapidamente possível, frear o carro. Para isso, pressione o botão Brake.

A figura mostrará um gráfico que registra a velocidade do carro em função de sua posição e as distâncias percorridas pelo carro durante o tempo de reação e enquanto está sen-do efetivamente freado até parar. O campo Delay 1 Brake mostra o seu tempo de reação e o tempo de freada.

Para reiniciar o aplicativo clique o botão Reset.

< h t t p : / / w w w. p hy. n t n u. e d u. t w / n t n u j av a / i n d e x .•php?topic=6.0> (Acesso em: 12 jan. 2010.)

Neste aplicativo em Java, também em inglês, um corpo descreve um movimento circular sobre um plano horizontal e a força resultante centrípeta é desempenhada pela força de tração em um fio que passa pelo centro da trajetória e que sustenta um segundo corpo. Levantando ou baixando o corpo suspenso, você poderá mudar o raio da trajetória do corpo em movimento e verificar como isso se reflete no movimento do corpo.

Learn Physics using Java – C.K. Ng’s website

<http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/Kinema •tics.htm> (Acesso em: 12 jan. 2010.)

Neste aplicativo, em inglês, você pode analisar os gráfi-cos do espaço, da velocidade e da aceleração, em função do tempo, referentes a diversos tipos de movimentos: unifor-me, uniformemente acelerado e retardado, quedas e lança-mentos verticais.

<http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/ThrowA •Ball.htm> (Acesso em: 12 jan. 2010.)

Neste aplicativo, em inglês, você pode analisar os lança-mentos horizontal e oblíquo. É possível variar o módulo da velocidade de lançamento e o ângulo de lançamento, além de estudar o comportamento das componentes horizontal e vertical da velocidade.

Sugestão de leitura para o professorNewton: pai da Física Moderna, Coleção Gênios da Ciência,

v. 1, Scientific American Brasil Coleções.

Newton e suas grandes obras: o Principia e o Optica, de André Koch Torres Assis. Artigo publicado em Linguagens, Leituras e Ensino da Ciência, de M. J. P. M. de Almeida e H. C. da Silva (editores). Campinas: Mercado de Letras/Associação de Leitura do Brasil, 1998, p. 37-52.

Dos ‘Principia’ da Mecânica aos ‘Principia’ de Newton, de João Zanetic. Caderno Catarinense de Ensino de Física, Floria-nópolis, 5 (número especial), p. 23-35, jun. 1988.

v1

v2

∆v

v1

v2

t2

t1

A

B

∆L

R

R∆ϕ

∆ϕ

O

∆s

ad

ils

on

se

cc

o

Navegue na Web

42

Capítulo 4 Hidrostática

ObjetivosEste capítulo traz os conceitos fundamentais da Hidrostática —

densidade e pressão — e, a partir deles, apresenta o princípio de Ar-quimedes, o teorema de Stevin e o princípio de Pascal. O aluno de-verá, ao final do capítulo, compreender a relação entre uma força e a pressão exercida por ela. Deverá, também, ser capaz de analisar as diferentes forças atuantes em um corpo imerso em um fluido, suas origens e intensidades, e estabelecer a relação entre essas forças.

Conceitos principaisÁrea, volume, massa, densidade, pressão, aceleração gra-

vitacional e empuxo.

Abordagem inicialO quadro que está na página de abertura do capítulo

chama-se O sedutor. O autor, René Magritte (1898-1967) afirmava que sua pintura tinha como objetivo tornar visíveis seus pensamentos. Ele foi um artista de vanguarda e pode-mos dizer que pertenceu à escola surrealista, sofrendo gran-de influência das teorias de Sigmund Freud (1856-1939), o “pai” da Psicanálise.

Essa obra de Magritte merece uma atenção especial. Peça aos alunos que observem a representação da caravela constituída por água. É possível estabelecer relações entre o quanto o mar influencia a constituição do barco e o objetivo de navegação que é intrínseco à “natureza” do barco.

Trabalhe o texto da página de abertura do capítulo a fim de mobilizar as expectativas para uma aprendizagem significativa.


1 Conceito de fluido

Proponha o seguinte desafio: observe a imagem de uma pessoa lendo enquanto boia no Mar Morto (segunda foto do exercício 35, página 143). Por que ela não afunda?

A densidade da água do Mar Morto é muito maior que a de outros mares, em razão da quantidade de sal que apre-senta, cerca de 300 a 350 gramas de sal por litro. Por ter água tão densa, torna-se bastante difícil afundar no Mar Morto.

Inicie o trabalho com o conceito de fluido partindo desta relação entre a presença do sal na água e a dificuldade de se afundar por conta da densidade.

Ao final da apresentação do conceito moderno de fluido, apenas comente que, nos estudos iniciais, a eletricidade e o calor também foram considerados como “fluidos”, conti-dos nos corpos e que, eventualmente, se transferiam de uns para os outros. Dessa forma, pode-se mostrar a evolução na elaboração dos conceitos físicos, trazendo a discussão sobre o conceito de fluido para os dias atuais. Isso torna possível perceber as várias vias de construção do conhecimento cien-tífico (o que está de acordo com os propósitos do PCNEM).

2 O que diz a história - Arquimedes

Professor(a), atualmente os historiadores da Física ques-tionam veementemente a versão de Vitrúvio sobre o episó-dio da coroa do rei Hierão; a famosa história Eureka. Segun-do o historiador da ciência Roberto Martins, em seu artigo “Arquimedes e a coroa do rei: questões históricas”, muitos livros descrevem erroneamente o modo como Arquimedes fez o experimento, e isso virou uma lenda.

A seguir, reproduzimos um trecho desse artigo.

Arquimedes e a coroa do rei: questões históricas

“Muitos livros e enciclopédias repetem his-tórias desprovidas de qualquer fundamento, como a lenda sobre Arquimedes e a coroa do rei Hieron II de Siracusa. Costuma-se dizer que o famoso matemático estava tentando determi-nar se o ourives que a fabricou havia substituí-do uma parte do ouro por prata e que a solução surgiu durante um banho. A lenda afirma que Arquimedes teria notado que transbordava uma quantidade de água, correspondente ao seu próprio volume, quando entrava nela e que, uti-lizando método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com os volumes de iguais pe-sos de prata e de ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de água, e medir a quantidade do líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta, Arquimedes teria saído correndo, nu, pelas ruas, gritando eúreka! (em grego, ‘Evi-dentemente!’).

[...]Basta um pouco de bom senso para per-

ceber que esse método de medida do volume não pode funcionar. Suponhamos que a coroa do rei tivesse um diâmetro da ordem de 20 cm. Então, seria preciso utilizar um recipiente com raio superior a 10 cm, cheio de água, e medir a mudança de nível ou a quantidade de líquido derramado quando a coroa fosse colocada lá dentro. Suponhamos que a massa da coroa fos-se da ordem de 1 kg e que a sua densidade (por conta da falsificação) fosse de 15 g/cm3 (um va-lor intermediário entre a densidade do ouro e a densidade da prata). Seu volume seria, então, de67 cm3. Colocando essa coroa no recipiente cheio de água, cuja abertura teria uma área supe-rior a 300 cm2, o nível do líquido subiria cerca de2 milímetros. É pouco plausível fosse possível medir essa variação de nível ou medir a quan-tidade de líquido derramado com uma preci-são suficiente para permitir qualquer conclu-são, por causa da tensão superficial da água.

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Se o recipiente estivesse totalmente cheio, ao mer-gulhar a coroa dentro dele, poderia cair uma quan-tidade de líquido muito maior ou muito menor do que o volume da própria coroa (ou mesmo não cair nada). Portanto, é fisicamente pouco plausível que Arquimedes pudesse utilizar esse tipo de método.”

MARTINS, R. A. Caderno catarinense de ensino de Física, v. 17, n. 2, p. 115--121, ago. 2000. Disponível em: <http://www.periodicos.ufsc.br/index.php/

fisica/article/view/6769/6238>. (Acesso em: 15 mar. 2010.)

3 O conceito de densidade

Professor(a), antes de iniciar este tópico, é interessante rever as conversões de unidades de massa e volume: grama, quilogra-ma, litro ou dm3, cm3 ou ml e m3. Mostre como se chega à relação1g/cm3 5 103 kg/m3. Este assunto, hidrostática, é um “prato cheio” para se exercitar as habilidades de operar com os valores numéricos das grandezas físicas em diversas unidades e compará-los para que o aluno entenda a noção de proporção entre esses valores, dando significado às relações entre elas.

Professor(a), é importante deixar bem clara a distinção entre densidade de um corpo e massa específica de uma substância. Em alguns casos esses conceitos coincidem. Se tomarmos uma esfera maciça de vidro, por exemplo, sua densidade será numericamente igual à massa específica do material que a constitui, pois o material ocupa todo o volume da esfera. Se, por outro lado, a esfera for oca, sua densidade terá valor menor que o valor da massa específica da substância, pois o material ocupa um volume maior do que aque-le que ocuparia se não houvesse a cavidade. Por fim, se tomarmos uma esfera “um tanto diferente” digamos, uma metade dela é feita de vidro e a outra metade é feita de plástico, não poderemos falar em massa específica, mas sim em densidade média da esfera.

4 Uma força chamada empuxo

O conceito de empuxo pode ser estabelecido junto aos alunos considerando-se suas experiências vivenciais: Como um navio, que é feito de aço, pode flutuar na água? Por que nos sentimos mais leves ao entrarmos em uma piscina? O que impede o navio ou a pessoa de afundarem? O que sustenta o peso desses corpos?

Seria interessante iniciar esse tema com um experimento sim-ples para que os alunos percebam a existência do empuxo. Mer-gulhe uma pequena pedra, presa por um elástico, na água de um copo totalmente cheio e apoiado sobre um pires. Comente que o volume de líquido derramado é igual ao volume do bloco. Mostre que o elástico “relaxa” um pouco ao se introduzir a pedra na água. Pergunte: O que aconteceu? Por que o elástico ficou menos tenso?

Enfatize que o empuxo é uma força exercida pelos fluidos, na tentativa de expulsar o corpo do seu interior e reocupar o espaço agora ocupado por ele.

Página 132



1• a parte: injete o ar no balão e mantenha o tubo vedado por um tempo. A seguir, proponha a cada grupo (de três ou quatro alunos) que escreva em uma folha de papel a sua explicação para o resultado observado, sob dois pontos de vista:

a) usando o conceito de densidade;

b) usando o conceito de empuxo.

2• a parte: libere o ar do balão, mais ou menos lentamente, para que os alunos vejam o que ocorre. Peça que escrevam uma ex-plicação simples para o processo que está ocorrendo, usando o conceito de empuxo.

Para finalizar, proponha que cada grupo avalie se o que se obser-vou tem ou não alguma relação com os mecanismos de submersão e de emersão de um submarino e com mecanismo de ascensão e submersão dos peixes.

Saliente que, durante a experiência, a boca da garrafa deve fi-car sempre aberta, sem tampa!

Página 133

Esta atividade experimental pode ser realizada em sala, pelo(a) professor(a).

Para injetar o ar no balão, em vez de canudinhos de refresco, pode-se usar um tubo flexível contínuo.

Realize a demonstração em duas etapas:

Relembre o que é empuxo. Leia apenas o título da seção: “Iça-mento de objetos submersos” e solicite aos alunos que procurem uma relação entre a experiência realizada e a aplicação sugerida neste título. Proponha a leitura do texto e debata com a turma como a teoria está presente na prática.

Comentário da questão: Um processo é prender balões de gás ao casco da embarcação a ser içada, aumentando assim o empuxo sobre o sistema como um todo. Outro, não citado neste texto, seria expulsar a água de dentro do submarino, diminuindo seu peso e possibilitando, assim, o afloramento deste.

Página 136

Esta atividade experimental pode ser realizada em sala, pelo(a) professor(a). Embora seja simples, é bastante ilustrativa e esclarece-dora. Talvez ocupe quase todo o tempo de uma aula de 50 minutos.

Antes de mergulhar o corpo na água, solicite a dois ou três alu-nos que façam a leitura da indicação do dinamômetro e anotem o valor. A seguir, mergulhe o corpo e peça a eles que leiam e anotem a indicação final do dinamômetro. Aproveite para mostrar que essa indicação não muda com a profundidade do corpo se não houver contato deste com o fundo do vaso.

Registre no quadro os valores anotados pelos alunos e sugira que montem uma tabela conforme o modelo a seguir.

Leitura inicial

(L1)

Massa (gramas)

Leitura final (L2) L1 L2

Volume calculado

(cm3)

Densidade (g/cm3)

Proponha as seguintes questões, dê um tempo para os alunos pensarem e escreverem as suas respostas e, em seguida, comente com eles:

1) O que significa a leitura inicial do medidor? Que medidaé essa?

2) Que nome damos à indicação final do medidor?


44

Atividade em grupo

3) O que significa a diferença entre os valores inicial e finalmarcados no medidor? Qual o nome desta força?

4) A partir dessa diferença de valores e conhecendo-se a densidade da água (1,0 g/cm3) e o valor da aceleração da gravidade (10 m/s2), peça aos alunos para fazerem uma es-timativa do volume do corpo mergulhado, se necessário, com o uso de uma calculadora simples.

Se o recipiente usado for uma proveta (melhor) ou um bé-quer (menos preciso), podemos comparar a estimativa an-terior com a leitura direta do volume de água deslocado.

5) Por último, peça aos alunos que estimem, com cálculo, a densidade do material do corpo utilizado.

5 A flutuação dos corpos

Antes da explicação formal, trabalhe com os conceitos intuitivos que os alunos possam ter para explicar a estabilidade na flutuação do corpo. Desperte neles o interesse pelo assunto perguntando, por exemplo, por que um lápis colocado dentro da água, na posi-ção vertical, logo “cai” e assume posição horizontal para flutuar com maior estabilidade? Ou, por que uma garrafa vazia e vedada flutua “deitada” e, ao colocarmos dentro dela certa quantidade de água, ela passa a flutuar na posição vertical?

Página 139

Seria pedagogicamente interessante que, antes da leitura do texto “Marinha muda estratégia de resgate”, o grupo reali-zasse a Sugestão de atividade complementar a seguir.

Após a leitura do texto mencionado, realize a Atividade em grupo da página 140.

Comentário da questão: Retirando a água do interior do sub-marino, o valor do peso do conjunto fica menor que o valor do em-puxo, favorecendo assim o afloramento do submarino. A retirada da água pode ser feita injetando ar comprimido no interior do cas-co. Eventualmente este processo pode ocasionar o derramamento de óleo. Outro processo mais seguro seria aspirar a água do interior do submarino, descarregando-a em barcaças coletoras.


Estudo de caso: Resgate de submarinosOs alunos vão realizar um estudo de caso. Esse tipo de traba-

lho tem como objetivo encontrar uma solução para uma dada situação utilizando os conhecimentos adquiridos até então.

1) O(a) professor(a) anuncia o problema: o naufrágio de um submarino no cais do Rio de Janeiro e que está tombado. A Marinha precisa trazer o submarino de volta à superfície e recolocá-lo na sua posição normal de flutuação. Um dado importante: foram encontradas borras de óleo nos porões inundados. Portanto ele deve ser trazido à tona sem derramar óleo, evitando, assim, um problema ecológico.

2) Os alunos devem estar de posse das informações acima para propor uma solução adequada para o problema.


3) Os alunos se reúnem em pequenos grupos e debatem rapidamente sobre possíveis soluções. Após um curto espaço de tempo, apenas para aquecer a discussão, o(a) professor(a) organiza a classe num único círculo e dá iní-cio às discussões para a solução do problema, lembrando sempre que as soluções devem abranger os conceitos já trabalhados em aula. Os alunos se pronunciam, apresen-tando soluções e justificativas, e o(a) professor(a) corrige inadequações, aprofundando o próprio conteúdo.

4) Ao final de um tempo, se a turma não chegar a uma solu-ção, o(a) professor(a) apresenta a solução da Marinha, que se encontra no texto “Marinha muda estratégia de resga-te”. Se a classe chegar à mesma solução do texto, apresen-te-o como comprovação dos resultados. É importante que alunos e professor estabeleçam nesse texto os conceitos físicos presentes na ação da Marinha.

Página 140

O deslocamento de um maior volume de água pelo colete ou pelo bote garante um empuxo de maior intensidade, que faz o passageiro flutuar, em caso de necessidade. Podemos tam-bém responder a essa questão dizendo que a densidade média do conjunto pessoa + colete ou pessoa + barco tem densidade média menor que a densidade da água.

Página 145

Lembre-se de sempre organizar os trabalhos de pesquisa com relação ao que deve ser pesquisado, quais as fontes confiá-veis e quais as partes que compõem um trabalho escrito (apre-sentação, introdução, desenvolvimento, conclusão e bibliogra-fia). Seguindo estes passos há menos chances de ocorrer “copiar e colar” de textos de internet.

Em sala de aula, durante a apresentação destes trabalhos, é ne-cessário que os alunos estabeleçam ligações entre a pesquisa biblio-gráfica e os conceitos trabalhados em classe, nas aulas de Física.

Aproveite e relembre aos alunos a experiência em que fo-ram discutidos os processos de submersão e de emersão dos submarinos.

Outros pontos importantes a serem abordados na pesquisa são os tipos de submarinos que existem, seus diferentes modos de propulsão, seu modo peculiar de se orientar nas profunde-zas, sua autonomia de tempo e distâncias em missões, curiosi-dades sobre o dia a dia da tripulação etc.

Página 140

Estas experiências podem ser feitas em sala com a participa-ção dos alunos.

Na experiência 1, deve-se tomar certo cuidado para não en-cher muito o recipiente para não transbordar. Porém, é necessá-rio que a água “cubra” totalmente a garrafa, quando submergida.


O que diz a mídia!

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Outro cuidado é não usar vidros. Ao finalizar as três partes des-sa experiência, relembre aos alunos o princípio de submersão e emersão dos submarinos.

Observação: se o recipiente usado for relativamente profun-do (mais do que a altura da garrafa), pode-se colocar água na garrafa até um nível tal que ela fique equilibrada na vertical, com a sua “boca” bem no nível da água do recipiente. Nesta situação temos um sistema, garrafa 1 “água interna”, com den-sidade igual à da água (1,0 g/cm3). Se vedarmos a boca da gar-rafa pode-se mostrar que ela ficará em equilíbrio em qualquer profundidade, sem tocar o fundo do tanque.

Proponha aos alunos as seguintes questões:

1) Qual a densidade média do conjunto flutuante, garrafa + água?

2) Por que as superfícies livres da água, dentro e fora da gar-rafa, coincidem ou não?

A resposta a essa segunda questão depende da garrafa usada. Se for uma com paredes muito finas, as superfícies praticamente coincidirão; se for uma garrafa com paredes muito grossas, haverá um pequeno desnível entre elas. Po-de-se sugerir aos alunos que façam isso em casa, no tanque de lavar roupas, por exemplo.

Na experiência 2, no lugar da massa de modelar, podem--se usar duas folhas iguais de papel-alumínio, uma modelada em forma de barquinho e a outra bem amassada em forma de bola.

Apresente as seguintes questões:

1) Qual dos corpos tem maior peso?

2) Sobre qual dos corpos o empuxo tem maior intensidade?

3) O que se pode dizer sobre as densidades médias da bola e do barco comparadas com a densidade da água?

Na experiência 3, oriente os alunos a colocarem o ovo na água com cuidado, para que não quebre ao atingir o fundo.

Ao colocar o sal na água, teremos uma solução mais densa que a água pura. Portanto, a ascensão do ovo pode ser explica-da por diferença de densidades.

Por outro lado, como a densidade da solução água 1 sal é maior, o empuxo sobre o ovo passa a ter intensidade maior que o seu peso, provocando o afloramento.

Se julgar pertinente, sugira que se faça essa experiência também com água do mar, na medida do possível.

Página 147


Professor, proponha a questão dessa seção: “Compare, em termos dos conceitos de empuxo e densidade, o funciona-mento do dirigível, descrito nesse texto, com aquilo que foi explicado sobre içamento de objetos submersos, nos textos anteriores”. Este tipo de debate possibilita a reflexão sobre como a teoria está presente na vida cotidiana.

Comentário da questão: É importante destacar que o conceito de empuxo é aplicado para objetos imersos em fluidos, e, portanto, da mesma forma que um navio está imerso na água, um dirigível está imerso na camada de gases que compõem a atmosfera, e por-tanto os conceitos utilizados são os mesmos.

Página 148

Os pontos importantes a serem pesquisados nessa ativida-de são:

1) o processo de inflação do balão;

2) o porquê de se usar “ar quente” e não outro gás;

3) o princípio físico envolvido na ascensão;

4) a grandeza física que controla a altura do balão;

5) como se “manobra” o balão;

6) os riscos a que se expõe o praticante do balonismo.

Sugira à classe uma comparação entre esse meio de trans-porte e os modernos dirigíveis, como o que aparece em uma das fotos que acompanham o texto “Os dirigíveis” do quadro Aplicação tecnológica, da página anterior.

6 O conceito de pressão

Antes de iniciar o trabalho com o item, o(a) professor(a) pode realizar o experimento com a caneta, proposto nas ima-gens da página 148.

Apresente o conceito de pressão e mostre que o vocabu-lário científico “contamina”, por assim dizer, o senso comum e vice-versa.

Página 149

Atividade em grupo


Desafie os alunos a responderem a estas questões usando uma mescla de intuição e conceitos de Física. É muito inte-ressante quando os alunos se deparam com a apropriação do conhecimento. Realize a atividade em tom de brincadeira, como um jogo rápido. Depois, acerte as respostas mostrando onde está a relação dos conceitos de Física com os problemas apresentados.

Para uma mesma força (no caso, o peso da pessoa), maior •área determina menor pressão, impedindo que a pessoa afunde na neve.

O salto do sapato, sendo fino, tem uma área de contato mui-•to pequena, determinando valor elevado para a pressão.

Aumentando a área da base (os alicerces), diminui-se a •pressão exercida pela estrutura do edifício.

O peso do faquir se distribui pelas pontas dos pregos, di-•minuindo assim a pressão em cada ponto de apoio.

7 Pressão em um líquido em equilíbrio

No endereço: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12616> (Acesso em: 15 mar. 2010), encontra-se um laboratório virtual no qual o aluno pode, entre outras coi-sas, trabalhar com a construção de gráficos para estudar a pres-são em função da profundidade em que se está, por exemplo, um mergulhador. Há também experimentos que podem ser utilizados para a demonstração do teorema de Stevin.

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Página 153 Uma inferência direta, a partir dessas constatações, é enten-der a forma trapezoidal das barragens nas hidrelétricas. Peça para os alunos desenharem essa forma e, talvez, sugerirem pos-síveis outras, se houver.

8 A pressão atmosférica

Este item procura mostrar ao aluno que o ar atmosférico também exerce pressão, e muita, mesmo que pouquíssimas vezes, ou quase nunca, tomemos ciência disso. Aqui é tam-bém uma boa oportunidade para enfatizar que pressão é grandeza escalar. Não existe “pressão de baixo para cima”, “pressão da esquerda para a direita”, ou algo semelhante. Ao descrever a experiência de Torricelli, comente que o resul-tado seria o mesmo se a extremidade do tubo emborcada no mercúrio estivesse na horizontal, retorcida para cima ou para baixo. Veja as ilustrações:


Experimento: O peso da atmosferaProfessor(a), realize você mesmo este experimento, que

por envolver fonte de calor requer cuidado, pois pode provocar riscos para a integridade física dos alunos.

É necessário• Uma lata de refrigerante vazia (alumínio).• Uma fonte de calor (lâmpada de álcool, por

exemplo).• Um prato com água.• Algumas pinças ou um par de luvas isolantes

de cozinha.

MontagemPonha um pouco de água na lata, não mais

que 1 __ 4 da lata. Leve-a ao fogo e deixe ferver por

cerca de 30 segundos. Com ajuda das luvas, retire-a do fogo e imediatamente coloque-a de boca para baixo na água do prato. Observe o que acontece.

O que está acontecendo? Ao aquecer a lata se cria um vácuo e ao

colocá-la de boca para baixo impede-se a en-trada de ar. Então a pressão interna na lata diminui. A diferença criada entre a pressão atmosférica externa e a pressão interna a fará comprimir-se.

CASTELLÁ, A. L. Contribuição de LUZ, M. M. Disponível em:<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/13154>.

(Acesso em: 15 mar. 2010.)

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O principal ponto a ser analisado nesta atividade é a varia-ção da pressão hidrostática com a profundidade do tanque que contém a água.

Talvez fosse interessante tentar descobrir a profundidade e a capacidade de alguns aquários famosos do Brasil e do mun-do, assim como a espessura do vidro que serve de vitrine.

Para enriquecer esta atividade, sugerimos a aplicação da dinâmica “Grupos simples com funções diversificadas”. Neste caso, apresente a proposta dessa seção, mas atribua diferentes encaminhamentos para a investigação do tema. A classe pode ser dividida em 4 grupos:

Grupo • A. Reconhecimento: os alunos destacam pontos importantes presentes na questão proposta, além de es-tabelecerem as ideias principais e os argumentos que as fundamentam. Devem apresentar uma análise.

Grupo • B. Relacionamento: o grupo recebe o mesmo tema do grupo A, mas deve buscar como, o tema se relaciona com outras áreas do conhecimento, como, por exemplo, a Biologia e a Arte. O grupo pode também recolher relatos de pessoas que já vivenciaram a situação de ter um aquário.

Grupo • C. Enriquecimento: sobre o mesmo tema este gru-po deve propor caminhos para novas aprendizagens, por exemplo, a evolução tecnológica no cuidado com aquários.

Grupo • D. Julgamento e síntese: este grupo deve acompa-nhar os outros grupos para que possa realizar a síntese e propor um painel com o que julgar mais pertinente dentro do assunto, mais interessante, mais enriquecedor.

Agende dias diferentes para a apresentação dos trabalhos, começando com o grupo A, pois cada grupo subsequente com-plementa o trabalho do grupo anterior.


I. Experimento: Profundidade versus pressãoSe julgar pertinente, sugira aos alunos que verifiquem expe-

rimentalmente essa dependência, propondo o procedimento abaixo, a ser realizado em casa.

1) Faça dois furos em uma garrafa PET de 2 litros, um próxi-mo ao gargalo e o outro perto da base.

2) Tape os furos com rolhas de toalhas de papel.

3) Encha a garrafa com água, até a “boca”.

4) Tire a rolha de cima e observe a saída do jato de água; recoloque a rolha no orifício.

5) Encha novamente a garrafa até a boca, tire a rolha de baixo, e observe a saída do jato.

6) Compare qualitativamente as velocidades dos dois jatos.

7) Tire uma conclusão e comente com os colegas em sala.

Sugira que os alunos comparem os alcances dos jatos; se qui-ser, oriente-os a fazerem um furo na metade da altura da coluna de água e verificar que, nessa posição, o alcance será máximo (no início, pois conforme o nível de água vai baixando, o alcance vai tendendo a zero).

Atividade em grupo

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Atividade em grupo

À medida que se sobe na atmosfera, a pressão atmosféri-ca, dada por patm 5 dar ? g ? h, diminui. Isso acontece porque a altura h da coluna de ar e a densidade do ar dar diminuem, uma vez que o ar vai se tornando cada vez mais rarefeito.Assim, a coluna de mercúrio também deve diminuir.

Página 160

Atividade em grupo

Professor, convide um funcionário do posto de saúde para ir à escola e apresentar o esfigmomanômetro aos alunos, expli-cando seu funcionamento e comentando sobre a necessidade de aferição da pressão arterial. Debata com os alunos as rela-ções entre a explicação dada por este convidado e a teoria.

Comentário da questão:

cmHg N/m2 atm

8 1,06 104 1,05 1021

12 1,60 104 1,58 1021

9 O empuxo e a pressão

Apesar de esses conceitos estarem em “prateleiras” diferen-tes, o(a) professor(a) deve trabalhá-los em conjunto. Uma ideia de abordagem é partir de uma observação prática, por exemplo, a atividade sobre as características das paredes de um aquário (item 7), para se chegar ao conceito teórico de pressão (relação entre força e área pressionada).

10 O princípio de Pascal

Utilize ainda o exemplo da relação entre força e área pres-sionada em relação ao vidro do aquário para iniciar o trabalho sobre o princípio de Pascal. A experiência, a observação e o de-bate devem anteceder a teorização dos conceitos de Física.

Página 162


Os subsídios para essa atividade podem ser obtidos em tex-tos especializados sobre automobilismo em revistas, enciclopé-dias populares e internet.

Solicite aos grupos que façam uma comparação entre os dois sistemas de frenagem, o de lona e tambor, mais antigo, e o freio a disco, menos antigo.

A pesquisa deve mostrar como eles operam, explicar os princípios físicos envolvidos no seu funcionamento e comparar suas características de segurança e eficiência.

Se desejar, retome a Aplicação tecnológica da página 104 que faz um comparativo entre o sistema de freios convencionais e o sistema de freios ABS.

Página 163

Página 154



Como existem diversos tipos de barômetros, para diversas aplicações técnicas, seria interessante dividir a classe em gru-pos, de três ou quatro alunos cada, e cada grupo pesquisar um tipo de barômetro. A seguir, em data marcada, cada grupo apre-senta aos colegas de classe as informações compiladas.

Se julgar pertinente, desafie cada grupo a desenvolver um modelo ou um experimento que demonstre seu funcionamen-to. Dessa forma, a pesquisa teórica se transforma não num se-minário ou trabalho escrito, mas numa atividade prática que deve ser apresentada e explicada para a turma.

Nessa atividade, pode-se pedir ao grupo que pesquisou o barômetro de mercúrio que aborde também os efeitos nocivos desse metal na natureza, o que explica o porquê desse instru-mento estar em quase total desuso, nos hospitais.

Se desejar, indique um grupo para pesquisar o barógrafo, instrumento que registra graficamente as variações da pressão atmosférica.

Desafio aos alunos:

Enumere algumas dificuldades que teríamos para tomar •água de “canudinho”, se estivéssimos no quarto andar de um prédio (cerca de 12 m), e o copo no piso térreo.

Página 154Comentário da seção: Com o registro fechado, deslocando-se

o êmbolo menor para baixo, a válvula da esquerda se fecha e a da direira se abre e o êmbolo maior sobe, elevando o carro. Ao trazer o êmbolo menor de volta à posição inicial, a válvula da direita se fecha e a da esquerda se abre e o cilindro menor é preenchido com o óleo do reservatório. Para abaixar o carro, abre-se o registro, permitindo o retorno do óleo ao reservatório, e simultaneamente eleva-se o êmbolo menor.

No endereço eletrônico a seguir o(a) professor(a) encontra animações e explicações a respeito de um tipo de elevador hi-dráulico: <http://ciencia.hsw.uol.br/elevadores1.htm> (Acesso em: 6 abr. 2010.)

11 Fluidos não newtonianos

Na apresentação deste item, mostre que os modelos teóricos comumente apresentados podem ser aproximados da realidade.

Uma sugestão é não fazer essa distinção de forma muito mar-cante e, a cada conceito apresentado anteriormente, enfatizar a ideia de que a Ciência trata sempre de modelos de uma reali-dade, por mais que se queira aproximá-los dessa realidade.

Recomendamos que o(a) professor(a) retome as leituras su-geridas no capítulo 2.

Página 164

Além de discutir as aplicações práticas propostas nesta ati-vidade, os grupos podem ser desafiados a elaborarem uma de-monstração sobre as diferentes viscosidades de fluidos, como água, óleo, gordura mole etc.

Atividade em grupo

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Geralmente, os estudantes esquecem ou não sabem que o vidro é considerado um fluido. Assim, discuta os parâmetros para se considerar um material como fluido ou não, retomando o item 1 deste capítulo 4.

12 Líquidos em referenciais acelerados

Como prática da habilidade de abstração dos conceitos de direção e sentido, trabalhe as grandezas vetoriais remetendo os alunos aos conceitos iniciais abordados no capítulo 3.

13 Vazão e continuidade em regimes de fluxo constante

Como prática da habilidade de abstração, pode-se iniciar o trabalho com a noção de derivada, visto que se trata da relação entre duas variações, no caso, a relação entre a variação do vo-lume de um líquido com a variação do tempo.

Página 167

Capítulo 5 Quantidade de movimen-to e impulso

ObjetivosNeste capítulo são apresentadas as grandezas vetoriais

da quantidade de movimento e do impulso de uma for-ça, assim como a relação entre elas (teorema do impulso).

Após a apresentação dessa relação, o aluno deverá estar apto a perceber que ela nada mais é que a expressão, usando outras gran-dezas físicas, do princípio fundamental da Dinâmica, estudado no capítulo 3. Deverá, também, entender em que condições pode ser usado o princípio da conservação da quantidade de movimento. É interessante que o aluno perceba a conservação da quantidade de movimento como um caso particular do teorema do impulso.

O capítulo traz, ainda, o conceito de centro de gravidade e as condições para o equilíbrio de corpos apoiados. Explora, ao final, o conceito de momento angular e sua conservação.

Conceitos principaisMassa, velocidade, quantidade de movimento, força, inter-

valo de tempo, impulso, centro de gravidade, centro de massa, momento de inércia, velocidade angular e momento angular.

Os conceitos relacionados ao estudo do equilíbrio dos corpos e de momento angular devem ser explorados apenasqualitativamente.

Para iniciar o capítulo, discorra sobre o conceito de quantidade de movimento proposto por Descartes e mostre as situações, cita-das no livro, em que ele se conserva (choque frontal entre as bo-las de bilhar e o pêndulo múltiplo). Ressalte que a quantidade de movimento definida por Descartes não se mantém constante nos choques oblíquos, e apresente a definição de quantidade de movi-mento sugerida por Newton, salientando seu caráter vetorial.

Abordagem inicialEste capítulo deve ser explorado como uma continuação do

capítulo 3, pois se fará, agora, um aprofundamento do princípio fundamental da Dinâmica, usando os conceitos de impulso e de quantidade de movimento.

Sugerimos que o(a) professor(a) retome com frequência o capítulo 3, aproveitando a oportunidade para solucionar dúvi-das e revisar as características das grandezas físicas vetoriais.


1 Um pouco de história

Inicie este item descrevendo os choques frontais entre bolas de bilhar ou bolas de gude, por exemplo, destacando o caso em que uma das bolas está parada. Comente que a quantidade de movimento de uma bola é transferida para a outra. Se o profes-sor dispuser de um pêndulo múltiplo (também chamado “pên-dulo de Newton”) pode ilustrar sua aula, descrevendo as etapas sugeridas no livro, ou ainda, indicar aos alunos uma animação do “pêndulo de Newton”, disponível no endereço eletrônico: <http://www.walter-fendt.de/ph14pt/ncradle_pt.htm> (Aces-so em: 16 mar. 2010.).

Prosseguindo neste item introdutório, comente sobre os choques oblíquos e mostre a necessidade de se realçar o caráter vetorial da grandeza quantidade de movimento.

Os exemplos apresentados no livro, como o do canhão, da patinadora, do foguete etc, são muito ilustrativos.

Numa aula posterior, se possível, convide o(a) professor(a) de Filosofia para uma mesa de debates com o objetivo de apro-fundar um pouco mais as discussões a respeito das ideias de


Divida a classe em grupos para a leitura do artigo “A visão de um engenheiro aeronáutico acerca da sustentação, Bernoulli e Newton”, disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num2/v13a09.pdf>. Neste artigo, C. N. Eastlake defende que tanto as Leis de Newton quando o Princípio de Bernoulli podem ser corretamente utilizados para explicar a sustentação gerada pelas asas de um avião. Ele chama a atenção para algumas ideias errôneas (como a igualdade dos tempos de trânsito) e o perigo que corremos ao fazermos um número excessivo de simplifica-ções nos modelos teóricos. Com isto ele conclui que uma vez aplicados corretamente, a conveniência das duas abordagens depende apenas dos tipos de dados que se dispõe para fazer os cálculos. Discuta com a classe como o princípio de Bernoulli está presente na vida cotidiana.

Comentário da questão: Invertendo-se o sentido de rotação da bola, a pressão maior estará na parte de baixo da bola, gerando uma força resultante no sentido contrário ao que está indicado.

Sugestão de leitura para o professor“Por dentro de uma sala de aula de Física”, de Adelson Fer-

nandes Moreira e Oto Borges. Educação e Pesquisa. v. 32, n. 1,p. 157-174, jan./abr. 2006. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1517-97022006000100010 &lng=pt&nrm= iso>. (Acesso em: 15 mar. 2010.)

Neste artigo, o autor traz um trabalho sobre a sala de aula ca-racterizada como um local de ações simultâneas, que ocorrem para além do controle docente, discutindo a concepção expres-siva de objetivo e de atividade como referência para lidar com essa impossibilidade de controle.

49

Galileu Galilei, Newton e Descartes. Esse tipo de atividade favo-rece a interdisciplinaridade e permite que o aluno perceba que, de fato, não há fragmentação do conhecimento.

Página 174


Como o jovem e o barco estão inicialmente em repouso, a quantidade de movimento do sistema é nula. Quando o jovem caminha da popa à proa, o barco também se desloca, mas, em sentido contrário, afastando-se da margem, pois a quantidade de movimento do sistema deve manter-se nula. Observe que o sistema é considerado isolado, uma vez que o atrito entre as águas e o barco foi desprezado.

2 O princípio da conservação da quantidade de movimento

Comece este assunto com uma pergunta: o princípio da conservação da quantidade de movimento pode ser aplicado qualquer que seja a interação entre os corpos? Esclareça que só podemos aplicar a conservação da quantidade de movimen-to quando o sistema de corpos que interagem estiver isolado de forças externas. Mostre em que situações esta condição se verifica. A análise dos exemplos apresentados no livro ilustra algumas situações em que podemos aplicar este princípio. Co-mece analisando a desintegração de um núcleo radioativo, ini-cialmente em repouso. Passe, a seguir, a apresentar exemplos em que as grandezas vetoriais presentes têm todas a mesma di-reção, como é o caso das colisões frontais entre bolas de bilhar ou de gude. Por fim, discuta o caso em que as quantidades de movimento dos corpos do sistema têm direções diferentes.

Ao apresentar a teoria trabalhe com o apoio de objetos sim-ples como skate, carrinhos de brinquedo, bolinhas etc.

3 O impulso de uma força e a variação da quantidade de movimento

Ao definir a grandeza impulso de uma força, destaque os fatores que determinam sua intensidade (a intensidade da for-ça e o tempo de aplicação), usando situações observadas, por exemplo, na prática do caratê.

As colisões de um carro contra um muro e contra uma barrei-ra de pneus, com e sem air bag são, entre outros, exemplos mui-to elucidativos. Apresente aos alunos a definição de impulso de uma força constante e enuncie o teorema do impulso.

Mostre aos alunos que o teorema do impulso nada mais é que a segunda lei de Newton apresentada sob outra forma.

Comente que nos exemplos apresentados (colisão de um carro de corrida contra o muro de contenção, crash-test mos-trando o uso de air bag em colisão, lutador de caratê quebran-do tábua) a força de impacto não é constante. Conceitue, en-tão, força média como sendo a força constante que produz, num certo intervalo de tempo, o mesmo impulso que a forçavariável. Realce também a propriedade gráfica no diagramaF t. A apresentação dos exemplos deste item tornarão o con-teúdo bem interessante.

Solicite aos alunos uma breve pesquisa (levantamento de in-formações) sobre o que são as carrocerias deformáveis dos car-ros e por que a indústria automobilística faz uso deste recurso.

O que diz a mídia!

Em sala de aula, debata com a turma como a teoria da quan-tidade de movimento pode auxiliar a indústria para melhorar a segurança de usuários de veículos automotores.

Página 185


Nesta aplicação tecnológica, a título de ilustração, apresen-tamos as reações química que ocorrem quando o gás nitrogê-nio (N2) é liberado, inflando os air bags rápida e simultaneamen-te. Observe que 130 gramas de NaN3 (azida sódica) produzem67 litros de N2. Em uma colisão, um carro e as pessoas que ele transporta sofrem uma variação em suas quantidades de mo-vimento. O motorista e o passageiro que está ao seu lado, em vez de de colidirem com o volante e com o para-brisa, respec-tivamente, colidem com os air bags. Eles se deformam num in-tervalo de tempo relativamente grande e consequentemente diminui a intensidade da força média de impacto.

Comentário da questão: Nesta situação, é importante destacar a relação entre força, impulso e intervalo de tempo. Partindo do princípio de que quanto maior a força exercida sobre uma pessoa em um acidente, maiores são os danos causados, é importante encontrar mecanismos para reduzir esta força. Um bom mecanismo é o air bag que tem como princípio aumentar o intervalo de tempo em que o corpo de uma pessoa é freado durante a colisão e assim reduzir a força aplicada, já que o impulso permanece constante du-rante o impacto.

I 5 F ? t 5 Q

Página 185

Retome o trabalho realizado com o texto “Sistema de freios convencionais sistema de freios ABS (Anti-lock Braking Sys-tem)” da seção Aplicação tecnológica, do capítulo 3 (página 104), propondo agora uma ampliação da discussão, relacionando o uso de freios, de cinto de segurança e air bags com a teoria da Física e o uso desses dispositivos para a segurança.

Comentário da questão: Esta questão é complementar à an-terior e pretende destacar a importância da desaceleração con-trolada dos ocupantes de um veículo em caso de acidentes, tais como colisões frontais. Neste caso, o cinto de segurança provoca uma desaceleração prévia antes que o corpo da pessoa atinja o sis-tema de air bag com força de grande intensidade, além de mantê-la presa ao banco e, portanto, o mais afastada possível de uma colisão com outras partes do veículo.


Atividade prática: Construção de foguetes de água Uma atividade que envolve a aplicação de muitos conceitos

de Física, em particular a terceira lei de Newton e as noções de quantidade de movimento e impulso, é a construção de um fo-guete utilizando garrafas PET.

Realize a atividade tomando sempre o cuidado de referir-se à teoria, levantando os conceitos aqui presentes e que se rela-cionem com o que foi trabalhado em aula.

50

Os endereços eletrônicos abaixo apresentam indicações de como construir tais foguetes e suas bases de lançamento. Divida a classe em grupos e marque uma data para a apre-sentação e o lançamento dos foguetes, o que deve ser feito numa área bem aberta.

“Um foguete de garrafa PET”, de James Alves de Souza.•A Física na escola, v. 8, n. 2, p. 4, out. 2007. Disponí-vel em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol8/Num2/v08n02a02.pdf>. (Acesso em: 13 jan. 2010.)

“Foguetes de água”, do Clube de Ciências Quark. Dispo-•nível em: <http://www.clubequark.org.br/experiencias/foguetes_de_agua.htm> (Acesso em: 13 jan. 2010.)

“Foguetes de garrafas PET”, de Daniel Aparecido da Sil-•va, Adriel Fernandes Sartori e Eugenio Maria de França Ramos. Disponível: <http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/snef/xvii/sys/resumos/t0256-1.pdf>. (Acesso em: 13 jan. 2010.)

4 Coeficiente de restituição

Inicie este item comentando que nos choques é impor-tante levar em conta as propriedades elásticas dos materiais que constituem os corpos que colidem. Para isso, define-se a grandeza escalar adimensional denominada coeficiente de restituição. Apresente a definição numa dada situação de choque, realçando as situações imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. Comente também os ti-pos de choque: perfeitamente elástico, perfeitamente ine-lástico e parcialmente elástico.

Se julgar conveniente, proponha o “Jogo de bolinhas” dispo-nível em: <http://www.if.usp.br/profis/experimentando/diurno/jogo%20de%20bolinhas.pdf>. (Acesso em: 16 mar. 2010.)

Ao final do experimento, relacione o que foi trabalhado até aqui sobre movimento, colisão, velocidade e força e in-troduza as ideias relacionadas ao coeficiente de restituição.

Página 189


Pela definição de coeficiente de restituição, temos:

e 5 velocidade relativa de afastamento (depois do choque)

______________________________________________ velocidade relativa de aproximação (antes do choque)

V e 5 v’B 2 v’A ______ vA 2 vB

Lembrando que essas velocidades relativas são sempre con-sideradas em módulo.

Pela equação de Torricelli aplicada às situações inicial e final, vem:

vA 5 d XXXXX 2 gH e v’A 5 d XXXX 2 gh

E considerando que vB 5 v’B 5 0.

Resulta:

e 5 d XXXXX 2 gh

____ 2 gH V e 5 d XX h __ H

Ao realizar a experiência, o aluno poderá perceber que a si-tuação h 5 H é ideal, pois, na realidade, sempre ocorre perda de energia. O que de fato irá ocorrer é h , H, sendo h 5 0 no caso de se utilizar a esfera feita com massa de modelar ou de vidra-ceiro. Ao efetuar o experimento, proceda do seguinte modo:

Meça as alturas • H e h, dispondo a trena ou a fita métrica na vertical. Essas medidas podem ser efetuadas considerando--se a distância entre o solo e o ponto mais baixo da bola.

Para se obter um valor mais preciso do coeficiente de resti-•tuição repita a experiência pelo menos 5 vezes e partindo do mesmo valor de H. Tabele os correspondentes valores de h e obtenha a média aritmética desses valores. Calcule, a seguir, o valor do coeficiente de restituição e.

Dispondo de bolinhas feitas de outros materiais, como, por •exemplo, uma bolinha de pingue-pongue, o aluno poderá repetir a experiência e observar que o coeficiente de resti-tuição depende dos materiais que colidem.


I. Experimento: Simulação de pêndulo múltiploAinda dentro desse tema (colisões), pode ser feita uma ati-

vidade experimental que simule o pêndulo múltiplo para cons-tatar a troca de velocidade que ocorre nas colisões frontais e perfeitamente elásticas entre corpos de massas iguais (este ex-perimento é uma variante do “jogo de bolinhas”, sugerido ante-riormente, levantando, no entanto, outras questões).

Para isso, deve-se dispor de duas réguas de 30 cm cada, fita adesiva e cinco moedas iguais.

vA

v = 0

A

H

B

v’A

v = 0

A

h

B

ilu

str

aç

õe

s: a

dil

so

n s

ec

co

Promova a aula de modo que os alunos possam realizar a atividade em sala e, ao final, elaborem um relatório de ob-servação como já apresentado nos capítulos anteriores.

Esta proposta experimental visa analisar os três tipos de choques (perfeitamente elástico, parcialmente elástico e perfeitamente inelástico), considerando a colisão de uma bolinha de tênis com o solo, e também de uma bolinha de massa de modelar com o solo.

Preliminarmente, deduza a relação que eles irão usar para

o cálculo do coeficiente de restituição @ e 5 d XX h __ H # .Observe as figuras a seguir.

A primeira figura representa a bolinha A, imediatamente antes de atingir o solo (corpo B) com velocidade vA. Note que a bolinha foi abandonada (v 5 0) de uma altura H. A segun-da figura representa a bolinha A retornando com velocida-de v’A , imediatamente depois da colisão. A bolinha lançada com esta velocidade atinge a altura h.

51

Numa mesa, disponha as réguas e as moedas como indicado na figura a seguir.

Coloque quatro moedas entre as réguas (que formam um trilho) e lance a outra colidindo com a primeira das moedas em repouso. Descreva o que ocorre.

E se lançarmos duas moedas colidindo com as três em re-pouso?

Se optar por utilizar bolinhas de gude ou de aço, sobre um trilho de cortina ou uma calha, proceda da mesma forma.

Uma questão que pode ser levantada aos alunos:

Lançando-se duas moedas, cada uma de massa • m, e com velocidade v, a experiência realizada permite concluir que, das três moedas em repouso, partem as duas últimas com velocidade v (considerando-se os choques perfeitamen-te elásticos). Observe que há conservação da quantidade de movimento: imediatamente antes do choque temos Qa 5 2 ? m ? v e imediatamente depois, Qd 5 2 ? m ? v. Per-gunta-se: seria possível, imediatamente depois do choque, que a última moeda partisse com velocidade 2v?

Professor(a), nessa situação haveria conservação da quanti-dade de movimento, pois Qd 5 m ? 2 ? v 5 2 ? m ? v. Entretanto,

o coeficiente de restituição seria maior do que 1: e 5 2 v ___ v 5 2, o que não é possível.

II. Experimento: Colisão oblíqua e perfeitamente elástica

Para este experimento utilize um trilho de cortina recurvado, montado conforme a ilustração abaixo. Sobre a mesa coloque uma folha de papel e em cima dela uma folha de papel-carbono.

Desenhe os segmentos orientados _____

 OA e

_____  OB . Eles represen-

tam as quantidades de movimentos das esferas, imediatamente depois da colisão.

Avalie o ângulo entre esses segmentos orientados.•

Represente o vetor soma das componentes horizontais •obtidas. O que ele representa?

Esse vetor soma tem a mesma direção da velocidade da •esfera (2) no momento da colisão com a esfera (1)? Por que isto ocorre?

Notas: 1) O papel-carbono poderá ser substituído por uma caixa de areia (certifique-se de que a bolinha tem massa suficiente para marcar a areia ao cair).

2) O ângulo entre os vetores _____

 OA e

_____  OB , que represen-

tam as quantidades de movimento das esferas ime-diatamente depois da colisão, é igual a 90° no cho-que obliquo e perfeitamente elástico entre corpos de massa iguais, conforme demonstramos a seguir em Leitura adicional II.

Leitura adicional

I. A força vivaSegundo o matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Lei-

bniz (1646-1716) a grandeza calculada pelo produto da massa m de um corpo pelo quadrado de sua velocidade (m ? v2), a qual de-nominou de vis viva (força-viva), se conservaria em qualquer tipo de colisão. Na verdade, essa conservação ocorre apenas na colisão perfeitamente elástica, como veremos a seguir.

Considere a colisão frontal entre dois corpos, A e B, de massas mA e mB, respectivamente. Vamos representar os cor-pos imediatamente antes e imediatamente depois da colisão. Observe que, antes da colisão, A se aproxima de B e, depois da colisão, B se afasta de A.

Antes da colisão

vA

mA

vBA B

Depois da colisão

v’A

mAmB mB

v’BA B

Sejam vA e vB as velocidades dos corpos A e B antes da colisão e v’A e v’B as velocidades imediatamente depois da colisão.

Considerando o choque perfeitamente elástica (e 5 1), vamos provar que a grandeza dada pelo produto da massa (m) pelo quadrado da velocidade (m ? v2) conserva-se no choque, isto é:

mA ? vA2 1 mB ? v B

2 5 mA ? (v’A)2 1 mB ? (v’B)2

Aplicando a conservação da quantidade de movimento, ob-servando que os vetores têm a mesma direção, temos:

mA ? vA 1 mB ? vB 5 mA ? v’A 1 mB ? v’BPodemos escrever:

mA ? vA 2 mA ? v’A 5 mB ? v’B 2 mB ? vB V

V mA ? (vA 2 v’A) 5 mB ? (v’B 2 vB) (1)

Sendo o choque perfeitamente elástico, isto é, e 5 1, temos:

vA 2 vB 5 v’B 2 v’A V vA 1 v’A 5 v’B 1 vB (2)

Multiplicando membro a membro as equações (1) e (2), vem:

mA ? [v2A 2 (v’A)2] 5 mB ? [(v’B)2 2 v2

B] V

V mA ? v2A 2 mA ? (v’A)2 5 mB ? (v’B)2 2 mB ? v2

B V

V mA ? v2A 1 mB ? v2

B 5 mA ? (v’A)2 1 mB ? (v’B)2 (3)

Trilho

Papel carbono

Mesa

12

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

Uma pequena esfera de aço (1) é colocada em repouso no final do trilho, ligeiramente deslocada da trajetória definida pelo trilho.

Da extremidade superior do trilho, abandone outra esfera de aço (2) idêntica à primeira. Ocorrerá entre elas uma colisão praticamente elástica e oblíqua.

Ao atingirem a mesa, as esferas (1) e (2) deixam marcas que indicamos por A e B, respectivamente.

Seja O um ponto do papel situado na vertical que passa pelo local onde ocorreu a colisão.



52

Portanto, nos choques perfeitamente elásticos, há conserva-ção da força viva, conforme propôs Liebniz,

Dividindo por 2, ambos os membros da expressão (3), ob-temos:

mA ? v2

A ______ 2 1 mB ? v2

B ______ 2 5 mA ? (v’A)2

________ 2 1 mB ? (v’B)2

________ 2

No capítulo 6 veremos que m ? v2

_____ 2 é a energia cinética de

um corpo de massa m e velocidade v. Assim, podemos afirmar que, nos choques perfeitamente elásticos, a energia cinética se conserva.

II. Choque oblíquoNo choque oblíquo e perfeitamente elástico entre duas es-

feras (A e B) de massas iguais, estando uma delas inicialmente em repouso, após a colisão elas partem em direções perpendi-culares.

De fato, pela conservação da quantidade de movimento, temos:

m ? __

 v A 5 m ?

__  v ’A 1 m ?

__  v ’B V

__  v A 5

__  v ’A 1

__  v ’B

Essa igualdade vetorial é representada conforme indica o esquema abaixo:

É interessante que o(a) professor(a) comente sobre a posição de centro de gravidade de corpos homogêneos e que apresen-tam simetria e como se pode determinar o centro de gravidade de uma placa de forma irregular.

A seguir, o(a) professor(a) pode conceituar centro de massa e realçar em que condições o centro de gravidade e o centro de massa coincidem.

É interessante analisar o movimento do centro de massa de um atleta que pula de um trampolim. A trajetória do centro de massa é parabólica, mesmo que o atleta movimente, de modo aleatório, seus braços, pernas e cabeça. Uma análise interessan-te que o professor encontra no livro é o da altura que um joga-dor de vôlei atinge, quando salta verticalmente com um braço erguido ou com dois braços erguidos.


Uma questão de gravidadeNo endereço <http://www.labvirt.fe.usp.br/simulacoes/fisica/

sim_fis_questaogravidade.htm> (Acesso em: 16 mar. 2010.), o(a) professor(a) encontra uma animação de um astronauta na Lua que pode auxiliar a trabalhar a questão da gravidade.

Na sequência, o aluno pode calcular o peso do astronauta em relação à gravidade em outros planetas no sistema solar.

Observação: nessa animação, Plutão ainda aparece como planeta, é necessário corrigir essa afirmação.

6 Equilíbrio de corpos apoiados

A análise do equilíbrio de corpos apoiados vai permitir concluir que, “quando um corpo apoiado está em equilíbrio, a reta vertical traçada pelo centro de gravidade passa pela base de apoio”. Com isso o(a) professor(a) pode justificar os três experimentos realizados em sala de aula, quando do iní-cio do item Centro de gravidade.

Destaque deve ser dado para os três tipos de equilíbrio: es-tável, instável e indiferente. Peça aos alunos que tragam ou construam corpos que quando apoiados fiquem em equilíbrio estável. É o caso do João-teimoso, da rolha atravessada por um prego e com garfos espetados, ave apoiada pelo bico etc.

7 Momento angular

Inicie este item desafiando a reflexão dos alunos a partir do primeiro parágrafo. Só após terem chegado a uma resposta “in-tuitiva”, inicie a discussão mais teórica sobre o assunto.

Leitura adicional

A mudança na distribuição de massa altera a velocidade de rotação. A respeito deste fato reproduzimos uma notícia de jornal sobre o terremoto que ocorreu no Chile:

Terremoto no Chile teria provocado alteração na duração do dia

O dia teria perdido pouco além de um milionésimo de se-gundo de duração

α

v’A

v’B

vA

ad

ils

on

se

cc

o

Pela lei dos cossenos, podemos escrever:

v2A 5 (v’A)2 1 (v’B)2 1 2 ? v’A ? v’B ? cos a (1)

Pela conservação da energia cinética, resulta:

m ? v2

A ______ 2 5 m ? (v’A)2

_______ 2 1 m ? (v’B)2

_______ 2

v2A 5 (v’A)2 1 (v’B)2 (2)

De (1) e (2), vem: cos a 5 0 V a 5 90°.

5 Centro de gravidade

Inicie este item apresentando situações comuns do dia a dia, que envolvem o conceito de centro de gravidade, sem ainda ca-racterizá-lo. Realize em sala de aula alguns experimentos como os descritos abaixo:

a) Peça a um dos alunos que fique sentado numa cadeira, com o tronco e as tíbias na posição vertical e os pés no solo. Ele não conseguirá levantar-se, a não ser que incline o tronco para a frente.

b) Escolha outro aluno e peça para ficar de pé em frente a uma parede com os dedos dos pés voltados para a pa-rede. Em seguida, o aluno deve levantar os calcanhares. Observe que ele não consegue ficar em equilíbrio nas pontas dos pés.

c) Peça a um terceiro aluno para ficar em pé com um ombro encostado numa parede. A seguir o aluno deve levantar lateralmente a perna mais afastada da parede. Ele não consegue ficar em equilíbrio com a perna levantada.

Todas estas situações estão relacionadas com o conceito de centro de gravidade e com as condições para que um corpo apoiado esteja em equilíbrio estável.

53

O terremoto da madrugada de sábado teria provocado, além de muita devastação e pelo menos 796 mortes, uma al-teração na duração do dia. Entretanto, todos podem ficar tran-quilos. Essa mudança seria realmente mínima: 1,26 microsse-gundo, pouco além de um milionésimo de segundo. O cálculo foi feito por Richard Gross e seus colegas do Laboratório de Propulsão a Jato da Nasa, a agência espacial americana.

Um terremoto forte como o de sábado, com magnitude de 8,8 graus na escala Richter, pode deslocar uma enorme quantidade de rochas e alterar a distribuição de massa no planeta. Quando essa distribuição muda, também se altera a velocidade de rotação do planeta, que determina a duração de um dia. Também pode ocorrer de o dia tornar-se mais longo, caso um abalo sísmico redistribua a massa para longe do eixo do planeta, explicou Gross.

De acordo com ele, as alterações calculadas na duração do dia são permanentes. Com isso, uma série de terremotos pode fazer com que os dias fiquem ainda mais curtos. A diferença é mínima, considerando-se que um dia tem 86,4 mil segundos [...].

Na verdade, 1,26 microssegundo é tão pouco tempo que nem a Nasa consegue registrar esse tempo. Segundo o cien-tista, o tempo mínimo que se consegue medir é de cinco mi-lionésimos de segundo, cerca de quatro vezes mais do que a alteração que teria ocorrido. [...]

Página 195


Atividade em grupo

Se julgar que a turma já tem um bom conhecimento sobre vetores, peça aos alunos que indiquem em um boneco (ou em um colega sentado em um banquinho como se fosse uma bici-cleta) os vetores presentes no momento da curva (eles podem recortar setas em cartolinas para indicar os vetores).

A Atividade em grupo pode ser mais investigativa do que a de teoria, buscando dar a resposta a partir do que já foi trabalhado.

Esta Atividade em grupo visa fazer uma analogia com o pião, quando ele passa a executar o movimento de precessão. Ao in-clinar o corpo e a moto para a direita, isto é, para dentro da cur-va que pretende realizar, o peso

___  P da roda dianteira produz um

torque em relação ao ponto de contato O, fazendo a precessão da roda. Nessas condições, produz-se o efeito de girar para a direita. O torque

__  T do peso

___  P , em relação ao ponto de conta-

to O é um vetor cuja direção é perpendicular ao plano da figu-ra e o sentido é saindo do papel, isto é, do papel para o leitor.

O torque __

 T produz uma variação de momento angular

__  L , que

tem a mesma direção e o mesmo sentido de __

 T . Observe na figura

abaixo, que representa a moto vista de cima, o vetores __

 L 1,

__  T ,

__  L e __

 L 2 5

__  L 1 1

__  L . Este último vetor permite-nos visualizar a variação

da posição da roda na curva.


Uma questão que o(a) professor(a) pode levantar a seus alu-nos é a respeito da bicicleta. Ao efetuar uma curva não basta ao ciclista inclinar o corpo, ele deve também girar a direção. Isto ocorre porque o módulo do momento angular

__  L da roda da bici-

cleta é bem menor do que o da roda da moto.

Em relação às motocicletas algumas considerações podem ser feitas aos alunos:

Quando uma moto se desloca em linha reta, as rodas em ro-•tação tendem a conservar o momento angular, conferindo à moto estabilidade. É o chamado equilíbrio dinâmico das rotações, também conhecido como efeito giroscópico.

Quando se gira a roda dianteira, ela desalinha em relação à •roda traseira e sua tendência é esterçar em sentido contrá-rio, para restaurar o momento angular.

Num automóvel, a massa do motorista é muito menor do •que a do carro. Isto não acontece na moto. A massa do piloto é da ordem de um terço da massa total do piloto + moto. Por isso, a estabilidade de uma moto depende também do posi-cionamento do corpo do piloto. Moto com um passageiro na garupa tem maior dificuldade de manter a estabilidade. Ao efetuar uma curva, o passageiro instintivamente tende a se colocar na posição vertical, desequilibrando o conjunto.

Na edição de dezembro de 2009 da revista Scientific Ameri-can Brasil, encontra-se o artigo “Física sobre duas rodas”, com informações interessantes sobre o tema.

Página 198

L1

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L2

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Professor(a), antes de fazer a leitura da seção Você sabe por quê?, realize a proposta e peça aos alunos que expliquem o fe-nômeno que se apresenta fazendo uso dos conceitos já traba-lhados até o momento.

Quando os braços se fecham, diminui o momento de inércia J em relação ao eixo de rotação e aumenta a velocidade angular v, pois o produto J ? v é constante. Esse produto é o momento angular.

Utilizando-se um par de halteres, quando os braços se fe-cham, ocorre maior diminuição do momento de inércia J e con-sequentemente um maior aumento da velocidade angular v.

Página 197

Antes mesmo de iniciar a leitura do texto sobre o heli-cóptero, solicite aos alunos que justifiquem o uso da hélice superior e da hélice traseira, aplicando os conhecimentos já adquiridos em termos da conservação do momento angular. Com a leitura, leve-os a checar se o que eles deduziram cor-responde à teoria.

Comentário da questão: Segundo a figura, para que o veículo fique estável é necessário introduzir uma força F a partir de uma hé-lice instalada na parte traseira da aeronave, de maneira a produzir um torque T’ no corpo do helicóptero. A introdução deste torque anula o torque 2T, o que promove a estabilidade do veículo.


54

Página 199

Capítulo 6 Energia e trabalho

As hélices devem girar em sentidos opostos. Desse modo, os torques de reação no corpo do helicóptero têm sentidos opostos e se anulam. Assim, o corpo do helicóptero não gira quando há varia-ções nas velocidades angulares das hélices.

Aproveite a oportunidade para propor aos alunos que façam uma pequena pesquisa para explicar como um helicóptero sobe, desce, desloca-se para a frente, para trás e paira no ar.

Leitura adicional

O levitronO levitron é um sistema constituído de uma base e um pião,

que estão imantados. O pião levita sobre a base ao ser colocado em rotação, a uma pequena altura. Nesta posição, a força mag-nética resultante, com que a base age no pião, é equilibrada pelo peso do pião.

O momento angular do pião tem a direção do eixo de rotação e sua tendência é permanecer constante. Ele funciona como um pião comum. Entretanto, com a diminuição gradativa da velocidade de rotação, o pião passa a executar um movimento de precessão.

Veja detalhes no endereço eletrônico a seguir e assista ao vídeo: <http://www.pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/multimidia/videos/mecanica/levitron_video_e_explicacao>. (Acesso em: 13 jan. 2010.)

Sugestão de leitura para o professorColeção Explorando o Ensino da Física, p. 9-17, publicado

pelo MEC. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensfisica.pdf>. (Acesso em: 16 mar. 2010.)

Todas essas formas de energia contribuíram concretamente para a construção econômico-social das diversas comunidades presentes no planeta. Em contrapartida, a energia não é um ente material que podemos tocar.

Assim, para além do conceito físico, no processo de ensino/aprendizagem sobre a energia, o(a) professor(a) deve considerar o aspecto da evolução dinâmica do desenvolvimento do conceito de energia ao longo do tempo, mostrando suas origens e transforma-ções e revelando sua história. Essa abordagem pode ser feita tra-zendo também os aspectos sociais, políticos e econômicos, falando sobre as Revoluções Industriais que foram marcadas pelo desenvol-vimento das diversas formas de energia.

O(a) professor(a) deve, também, abordar os aspectos simultâ-neos nos processos de transformação de energia e examinar sua estrutura num determinado momento, como se fosse uma “foto-grafia”.


1 As várias formas de energia

Ao longo do estudo deste capítulo, enfatize, sempre que pos-sível, o princípio da conservação da energia e forneça exemplos, ligados ao cotidiano dos alunos, em que tal princípio fique mais evidenciado.

Em um carro, por exemplo, a energia química do combustí-vel é convertida em energia de movimento, ou em energia para o carro “ganhar altura” e subir uma rampa e, em calor, uma ou-tra forma de energia, que aquece o motor e é rejeitado para a atmosfera; a energia elétrica fornecida a um liquidificador, por exemplo, converte-se em energia de movimento, energia sono-ra e em calor, e assim por diante.

O(a) professor(a) poderá criar uma atividade na qual cada aluno deve citar cinco formas sob as quais a energia pode se apresentar e, para cada uma das formas, citar dois de seus usos.

O interessante é que, a partir desta atividade, pode-se dar início a uma discussão sobre o assunto, propondo que os alunos façam uso de suas “intuições” sobre o tema. Nesse caso, o seu papel é levá-los a selecionar as informações e consequentemente a superar as ideias que estão no campo do senso comum.

Página 203


Note que esse experimento é realizado antes mesmo de se estabelecerem as diferentes formas de energia mecânica a se-rem estudadas neste capítulo e tem por objetivo verificar os co-nhecimentos prévios dos alunos a respeito de energia e de suas formas. Sendo assim, mostre aos alunos a montagem passo a passo do experimento que será realizado.

Para verificar até que ponto os alunos entendem o princípio de funcionamento do “brinquedo”, elabore uma série de per-guntas que deverão ser respondidas por eles. Por exemplo:

O que acontece com o parafuso dentro da lata quando se •coloca a lata para rolar pelo chão?

O que acontece com o elástico preso ao parafuso enquan-•to a lata rola pelo chão?


ObjetivosNeste capítulo são apresentados os fundamentos da teoria so-

bre trabalho mecânico, energia e potência. Após esse estudo, o alu-no deverá estar familiarizado com a relação entre força e trabalho e entre este e a forma como a energia se apresenta em um sistema mecânico (cinética, potencial gravitacional ou potencial elástica).

Conceitos principaisForça, deslocamento, trabalho, energia cinética, energia poten-

cial gravitacional, energia potencial elástica, conservação de ener-gia, intervalo de tempo e potência.

Abordagem inicialA grandeza energia é um dos conceitos mais abstratos e, ao mes-

mo tempo, mais concretos construídos pela Física. Esse paradoxo pode ser mostrado ao aluno quando da abordagem sobre as fontes de energia que sustentaram e sustentam a nossa sociedade: a ener-gia proveniente do “esforço” humano e animal nos trabalhos agrícolas dos primórdios da civilização (e, em alguns lugares, mesmo nos dias atuais), a proveniente do vapor que impulsionou a primeira Revolução Industrial e a energia química proveniente dos combustíveis fósseis.

55

O que acontecerá com a lata quando ela parar? A lata per-•manecerá parada?

As respostas poderão orientá-lo(a) e mostrar até que ponto os alunos conhecem o conceito de energia e o princípio da con-servação da energia.

Página 203

Atividade em grupo

Estimule as respostas espontâneas e trabalhe a ideia de que é a energia do movimento (energia cinética) das mãos que se transforma em energia térmica pelo trabalho da força de atrito entre elas. Chegando a isto, será mais fácil os alunos encontra-rem outros exemplos, como no caso da broca de uma furadeira que se aquece devido ao atrito com o material que está sendo perfura-do ou o aquecimento de uma lixa de madeira durante o seu uso.

2 Trabalho de uma força

Todos os conceitos apresentados neste item são abstratos e fo-ram criados para explicar manifestações de fenômenos naturais.

Visando preparar o aluno para o correto entendimento da relação entre trabalho e energia, explique que, por meio de uma força, pode-se transferir energia a um sistema. Assim, a energia transferida pela força poderá, ao ser absorvida pelo sistema, apresentar-se sob diferentes formas: cinética (quando, por exemplo, o sistema em repouso entra em movimento), po-tencial gravitacional (quando o sistema muda sua posição em relação a um nível de referência), potencial elástica (quando o sistema, ou parte dele, sofre deformações) etc.

Dando continuidade ao estudo do trabalho de uma força, apresente aos alunos a definição de trabalho de uma força cons-tante e mostre o cálculo para algumas situações bem simples: força no mesmo sentido do movimento, força perpendicular à direção do movimento e força de sentido oposto ao do movi-mento. Os exemplos resolvidos, apresentados neste tópico, são bastante ilustrativos e o(a) professor(a) deve, sempre que pos-sível, ressaltar que um trabalho positivo corresponde a um for-necimento de energia ao sistema, enquanto que um trabalho negativo corresponde a uma retirada de energia do sistema.

Página 204

Uma excelente fonte de consulta sobre o assunto, e que pode servir como ponto de partida, é o artigo “Da máquina a vapor aos carros de luxo”, publicado na revista A Ciência na era dos inventores, n. 4, Coleção Scientific American História, da Duetto Editoral.

Uma proposta, para evitar que os alunos façam uma pesquisa bibliográfica que se limite a buscar na internet e ao uso dos recursos de “copiar e colar”, é que a pesquisa seja realizada sem muito rigor e, depois, em sala de aula, os alunos se reúnam em pequenos grupos apenas para trocar informações sobre o que encontraram. Após esta troca de informações, dê início à técnica de fórum.

Na atividade de fórum, parte da classe fará a discussão do tema e a outra parte comporá o auditório. Todos devem dominar o assun-to, pois os debatedores serão sorteados e a plateia deverá formu-lar questões que sejam pertinentes ao assunto, portanto, devem conhecê-lo minimamente.

Neste fórum, o(a) professor(a) desempenhará o papel de coordenador(a) que determinará o tempo de fala de cada expo-sitor, definirá a ordem das intervenções, organizará o direito de palavra dos expositores e dos membros da plateia, manterá o interesse em relação ao tema e apresentará, ao final, um resumo do que foi exposto.

Os expositores seguirão as orientações do coordenador. As apre-sentações devem ser objetivas, simples e ordenadas.

Sorteia-se um secretário que manterá a ordem e a disciplina, toma-rá notas do que for discutido e apresentará uma síntese do fórum.

Ao longo dos trabalhos, a plateia se manifesta fazendo pergun-tas ou rebatendo as ideias apresentadas. O coordenador deve de-cidir em que momento abrirá espaço para as questões e como se darão as réplicas.

Para finalizar o assunto, o(a) professor(a) pode apresentar o ví-deo que se encontra no endereço eletrônico <http://www.youtu-be.com/watch?v=_48lnNpLIQ0&feature=related> (Acesso em: 17 mar. 2010.) e que traz uma “vela a vapor”. Nesse vídeo, é apresenta-da uma construção simples com tubinho de metal e vela. O vapor produz o movimento da vela dentro de um recipiente com água. Solicite aos alunos que expliquem como a vela se movimenta.

3 Trabalho e energia

Ao iniciar esse tópico, o(a) professor(a) poderá discutir com os estudantes uma forma particular de energia, forma esta rela-cionada diretamente ao movimento, a energia cinética.

O(a) colega poderá questionar os alunos sobre quais gran-dezas físicas eles acreditam que devem ser levadas em conta quando esse tipo de energia precisa ser quantificada: a massa do corpo em movimento e sua velocidade.

Nesse sentido, a comparação entre veículos de mesma mas-sa e velocidades diferentes ou entre veículos com mesma velo-cidade e massas diferentes pode ser bastante útil. Mostre então que, por definição, a energia cinética de um corpo é dada pela

expressão: Ec 5 m ? v2

_____ 2 , em que m é a massa do corpo e v o

módulo de sua velocidade.

Voltando ao conceito de trabalho de uma força – quantidade de energia fornecida ou retirada de um sistema – mostre que o saldo líquido do trabalho de todas as forças que atuam em um corpo, o trabalho da força resultante, tem como consequência uma variação na energia cinética do corpo. Assim, se o trabalho resultante for positivo, a energia cinética do corpo aumenta e se o trabalho resultante for negativo, a energia cinética diminui.


Sugerimos que o(a) professor(a) procure se associar ao(à) colega da área de História para que a pesquisa dos alunos seja conduzida de modo interdisciplinar.

Ressalte aos alunos que o advento da máquina a vapor de Watt teve aplicações na emergente indústria têxtil da Inglaterra e foi usa-da também para o bombeamento de água das minas de carvão. Além dessas aplicações, a máquina a vapor foi usada como força motriz de embarcações para passageiros e mercadorias e, mais tar-de, em locomotivas.

Podemos destacar ainda o uso da máquina a vapor em automó-veis experimentais, ancestrais dos automóveis com motor a explosão.

A máquina a vapor, com o aumento da produção e da comercia-lização dos produtos gerados, revolucionou o transporte e a econo-mia do século XVIII.

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Leitura adicional

Teorema da energia cinética ou teorema trabalho--energia

Se dispuser de tempo e se achar conveniente, o(a) professor(a) poderá demonstrar aos alunos o teorema da energia cinética, usando conceitos estudados anteriormente. Apesar de a demonstração se limitar a um caso particular, ela poderá ser generalizada.

Usando o exemplo da bola, apresentado no livro, podemos calcular a aceleração que a bola de massa m adquire quando su-jeita à força constante de módulo F atuando no mesmo sentido de sua velocidade inicial v1.

Pela segunda lei de Newton: F 5 m ? a V a 5 F __ m

Como a força F é constante, a aceleração a da bola também será constante e, portanto, durante o deslocamento d ela des-creve um movimento uniformemente variado (MUV), adquirin-do a velocidade v2.

Pela equação de Torricelli, temos: (v2)2 5 (v1)2 1 2 ? a ? d

Então: (v2)2 5 (v1)2 1 2 ? F ___ m ? d V m ? (v2)2

_______ 2 2 m ? (v1)2

_______ 2 5 F ? d

Observe que as duas parcelas do primeiro membro da igual-dade correspondem, respectivamente, à energia cinética final e à energia cinética inicial da bola; o segundo membro da igual-dade corresponde ao trabalho da força aplicada à bola.

Então: TF 5 m ? (v2)2

_______ 2 2 m ? (v1)2

_______ 2

Página 212


Comentário da questão: O gás é expelido pela turbina com velocidade maior do que a do ar que é aspirado pelas hélices de entrada. Além disso, a massa de gás ejetado é maior do que a massa de ar aspirado, visto que é adicionada à massa do com-bustível que foi queimado. Dessa maneira o gás ejetado pela tur-bina tem maior energia cinética do que a do ar que foi aspirado.

Leitura adicional

I. Trabalho da força peso de um corpoO trabalho da força peso de um corpo, conforme mostrado

no livro, é dado por TP 5 m ? g ? h e esse trabalho não depen-de da trajetória seguida pelo ponto de aplicação da força peso. Vejamos como isso pode ser demonstrado.

Como a massa m do corpo é constante, podemos concluir que a força peso

___  P é um vetor, também, constante.

Consideremos um corpo de massa m que é deslocado desde um ponto A, a certa altura do solo, até um ponto B, situado a uma altura diferente, conforme mostrado a seguir.

Podemos imaginar que o caminho seguido pelo corpo, no deslocamento de A para B, é comparável a uma escada, na qual se pode descer ou subir. Perceba nas figuras a seguir que, à medida que aumentarmos o número de degraus dessa escada, mais e mais a escada se aproximará do caminho efetivamente seguido pelo corpo.

Ao deslocar o corpo por essa escada teremos um trabalho nulo (T 5 0) nos deslocamentos horizontais, pois

___  P será per-

pendicular ao deslocamento. Mas, nos deslocamentos verticais teremos um trabalho positivo (trabalho motor), TP 5 1P ? hi , se o corpo descer, ou um trabalho negativo (trabalho resistente), TP 5 2P ? hi , se o corpo subir.

Assim, o trabalho total da força peso ___

 P no deslocamento de

A para B será:

TP 5 P ? h1 P ? h2 P ? h3 ... P ? hn V

V TP 5 P ? (h1 h2 h3 ... hn)

Observe, porém, que a expressão entre parênteses corres-ponde ao desnível total h entre os pontos A e B: positivo (se o corpo for deslocado para baixo) ou negativo (se o corpo for deslocado para cima).

A

B

P

Ahi

B

P

A hi

B

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Nesta seção é apresentado como o teorema trabalho-energia é aplicado ao avião a jato, entretanto, o próprio título do texto pode suscitar uma curiosidade sobre como os aviões voam. Para essa dis-cussão, sugerimos ao(à) professor(a), se possível, que faça a leitura do artigo “Como os aviões voam: uma descrição física do voo”, de Da-vid Anderson e Scott Eberhardt, disponível em: <http://www.sbfisi ca.org.br/fne/Vol7/Num2/v13a08.pdf>. (Acesso em: 17 mar. 2010.)

Nessa mesma edição da revista Física na Escola, o(a) professor(a) também poderá ler o artigo “A visão de um Enge-nheiro Aeronáutico acerca da Sustentação, Bernoulli e Newton”, de Charles N. Eastlake, disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol7/Num2/v13a09.pdf>. (Acesso em: 20 mar. 2010.)

Com estas leituras complementares, o(a) professor(a) terá a oportunidade de retomar alguns conceitos trabalhados ante-riormente, como as leis de Newton.

Retomando a concepção de Ciência como uma construção só-cio-histórica, seria interessante discutir a frase de Santos-Dumont: “As invenções são, sobretudo, resultado de um trabalho teimoso”. A partir desse pensamento, converse com os alunos sobre o fato de os cientistas não serem neutros e realizarem suas pesquisas na busca de respostas aos anseios pessoais e sociais. Dessa for-ma, os alunos terão contato com a ideia de que as “invenções” não são resultados de insights, mas de trabalho árduo, contínuo, de estudo, de tentativas e erros.



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Então, o trabalho da força peso ___

 P do corpo no deslocamento

de A para B é dado por:

TP 5 P ? h ou TP 5 m ? g ? h

Nessa expressão, h é o desnível vertical entre os pontos A e B, como mostrado abaixo.

Observe que nos trechos em arco o trabalho da força F é nulo, pois a força é perpendicular ao deslocamento. Entretanto, nos trechos retilíneos o trabalho é não nulo e deve ser calculado a partir do gráfico F x, pois F é variável.

Ressalte aos alunos, mais uma vez, que o trabalho TP será po-sitivo (trabalho motor) se o corpo descer e negativo (trabalho resistente) se o corpo subir.

Observe que o trabalho da força peso não depende da par-ticular trajetória seguida pelo corpo ao se deslocar de A para B; depende apenas do desnível vertical entre esses dois pontos. Por esse motivo, a força peso é chamada força conservativa.

II. Trabalho da força elásticaConsideremos uma mola sobre uma mesa, presa por uma de

suas extremidades em O, inicialmente distendida de x1 por ação de uma força externa F1, e que é levada a uma nova situação, na qual a sua distensão passa a x2, agora submetida à força F2, con-forme mostrado na figura a seguir. A extremidade livre da mola segue a trajetória representada em linha tracejada.

De maneira análoga à usada para o cálculo do trabalho da força peso, podemos imaginar que a trajetória seguida pela extremidade livre da mola é constituída por uma sequência de arcos de circunfe-rência, com centro em O, que se alternam a deslocamentos retilíne-os, cujas direções passam por O, como mostrado a seguir.

Assim, o trabalho da força F ao esticarmos a mola e aumen-tarmos sua deformação de x1 a x2, é dado pela área sob o gráfico F x, conforme mostrado acima. Assim:

|TF(el)| 5 k ? x2

2

_____ 2 2 k ? x2

1 _____ 2 5 k __ 2 (x22 2 x1

2)

No caso particular em que x1 5 0 (a mola inicialmente não está deformada) e x2 5 x, a área corresponderá a um triângulo de base x e altura k ? x.

Então, teremos:

O trabalho da força elástica, conforme demonstrado, não depen-de da particular trajetória descrita pela extremidade livre da mola, depende apenas das deformações inicial e final. Portanto, a força elástica é uma força conservativa, assim como a força peso.

Observe também que, quando a força elástica restitui a mola à sua condição não deformada, o trabalho da força elástica é positivo (trabalho motor) e, quando a mola está sendo deformada (distendi-da ou comprimida), o trabalho é negativo (trabalho resistente).

Página 217

|TF(el)| 5 k ? x2

_____ 2


O acréscimo de energia potencial gravitacional, ao subir a ram-pa, é devido ao trabalho de força desenvolvida pelo ciclista. Assim, para um mesmo trabalho (mesmo acréscimo de energia poten-cial), a força será tanto menor quanto maior for o deslocamento.

4 A conservação da energia

O(a) professor(a) deve, neste ponto, retomar as considera-ções já apresentadas no início do capítulo, dada a importância que estes aspectos têm no estudo sobre energia. Relembre jun-to aos estudantes as diferentes formas que a energia pode assu-mir e as diferentes transformações pelas quais ela passa.

A

h

B

m

P

g

O x2

F2

F1

x1

O x2

F2

F1

x1

F

k • x2

k • x1

xx1 x20

�T�

F

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xx0

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O exemplo citado no livro, a pilha que aciona uma pequena lâm-pada, é bastante ilustrativo e pode ser usado para fazer uma quan-tificação da energia do sistema e de como ela se converte de uma forma para outra.

Mostre então que a quantidade total de energia do sistema per-manece constante.

Ao explorar um sistema físico, como o da pessoa que desce por um escorregador, apresentado no livro, relembre aos alunos que a força de atrito realiza um trabalho resistente (trabalho negativo) e que ela retira energia do sistema sob a forma de energia térmica. Retome a discussão feita anteriormente sobre as mãos, a broca e a lixa que se aquecem ao serem atritados. Assim, na presença de forças dissipativas, parte da energia do sistema será convertida em energia térmica, ou seja, os corpos em contato se aquecem.

O(a) colega poderá propor então a seguinte questão: e se o es-corregador fosse perfeitamente liso? Ocorreria aquecimento dos corpos? O que aconteceria com a energia do sistema?

Retome então, o exemplo do escorregador e mostre como a energia é, agora, transformada de uma forma para outra. Ressalte que, na ausência de atrito, a energia mecânica total, dada pela soma da energia cinética com a energia potencial, permanece constante.

Página 222


Estimule as respostas espontâneas, “intuitivas”, dos alunos. Mos-tre aos alunos que a energia cinética adquirida pelo balanço de-pois de algum tempo necessariamente adveio de outra forma de energia. Quem terá fornecido essa energia ao balanço? Os alunos devem compreender que o balanço pode atingir grandes amplitu-des quando a criança se movimenta periodicamente, para a frente e para trás, com frequência igual ao do movimento do balanço. Este fenômeno é conhecido como ressonância. A energia do balanço é obtida a partir da energia mecânica do movimento da própria criança, a qual, por sua vez, foi obtida a partir da energia química liberada durante as contrações musculares.

Página 223

O que diz a mídia!

Após a leitura do texto dessa seção, proponha aos alunos a se-guinte questão:

Se uma montanha-russa fosse levada da Terra para a Lua, será que ao usá-la na Lua teríamos as mesmas sensações que ao usá-la na Terra?

Peça aos alunos que se organizem em grupos e que listem o que mudaria de uma situação para a outra.

Comentário da questão: Nesta atividade é importante discutir com os alunos as sucessivas transformações de energia potencial gravitacional para cinética e vice-versa que são promovidas pelas subidas e descidas presentes no percurso da montanha-russa. No caso em questão, com a queda do carrinho, a energia potencial gra-vitacional se transforma gradativamente em cinética e energia tér-mica devido ao atrito. Na parte mais baixa do trilho toda a energia potencial gravitacional do carrinho se converte em energia cinética (máxima nesse ponto) e em energia térmica, além de, eventual-mente, energia sonora. Portanto, como houve dissipação de ener-gia mecânica, o carrinho não voltará espontaneamente ao seu pon-to de partida; ele deverá ser levado novamente até lá pelo sistema de correntes e engrenagens que existe para essa finalidade.

Página 223


Antes de soltar o objeto, explique aos alunos o que será feito (o objeto será solto, irá balançar e voltará algumas ve-zes até que permanecerá imóvel) e peça que eles tentem prever o que irá acontecer. Na volta, o objeto irá acertar seu queixo ou não? Peça a cada aluno que explique ou justifique sua resposta.

Desafie os alunos a repetirem o feito.


I. Experimento: Convertendo a energia potencial gravitacional em energia cinética

Nessa montagem, o(a) colega poderá mostrar e comprovar junto aos alunos que a energia potencial gravitacional pode ser convertida em energia cinética passível de uso prático.

O material necessário à construção de uma roda d’água sim-ples consta de:

uma rolha de cortiça;•

um tubo de plástico;•

um funil;•

uma garrafa PET de 600 m• ;

um prego;•

fita adesiva;•

dois palitos de dentes;•

tesoura;•

faca;•

uma tigela de vidro;•

uma jarra com água.•

Comece pela montagem da roda d’água. Faça quatro cor-tes igualmente espaçados ao redor da rolha de cortiça. Recor-te quatro pedaços de plástico plano para serem as pás e insira cada um deles em um dos cortes da rolha.

Com a faca, corte o fundo da garrafa e cer-tifique-se que ela se mantém em pé.

Usando o prego, faça dois furos, diame-tralmente opostos no meio da garrafa PET. Para encaixar o eixo da roda d’água nesses furos enfie um dos palitos de dente na ro-lha e coloque-a dentro da garrafa passando esse palito pelo furo na lateral da garrafa, use o outro palito de dente para comple-tar o eixo da roda d’água, passando-o pelo outro furo.

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Coloque o funil no tubo de plástico e fixe-o com fita adesiva. Para utilizar a roda d’água, coloque a garrafa com a roda dentro da tigela de vidro, passe o tubo de plástico pelo gargalo da gar-rafa e, a seguir, encha o funil com a água da jarra.

Pergunte aos alunos o que eles esperam que aconteça se o funil for colocado mais alto. Peça que expliquem os usos práti-cos que uma roda d’água desse tipo poderia ter (moagem de grãos, geração de energia elétrica etc.).

Para exemplificar o dispositivo construído, apresente como funcionam moinhos de água e turbinas de usinas hidrelétricas.

II. Experimento: Transformação de energiaCom essa montagem pode-se comprovar a transformação

da energia cinética do vento (energia eólica) em energia poten-cial gravitacional.

A ideia, basicamente, é construir um cata-vento, em cujo eixo deve-se amarrar uma linha ligada a um bloco. Quando o cata-vento girar sob a ação de um vento, a linha será enrolada em seu eixo e o bloco subirá. Quando o vento parar, o bloco irá descer e colocará em movimento o cata-vento.

Para a montagem serão necessários os seguintes materiais:

4 garrafas PET de 2 litros;•

1 cartolita (15 cm • 15 cm)

1 base de madeira (20 cm • 20 cm 1 cm);

1 bloquinho de isopor (8 cm • 10 cm 3 cm);

1 palito de churrasco para o eixo do cata-vento;•

linha de costura;•

tesoura;•

adesivo instantâneo;•

prego;•

martelo.•

Com a tesoura, corte as 4 garrafas PET, como mostrado abai-xo, para com elas montar uma torre. Ainda usando a tesoura, faça dois furos diametralmente opostos na garrafa 1 para passar o eixo. Cole a garrafa 4 na base de madeira.

Com a tesoura, corte a cartolina como indicado para construir o cata-vento, seguindo os passos a seguir.

Use o prego e o martelo para furar o centro do cata-vento e encaixar o palito de churrasco.

Após a montagem do cata-vento, passe seu eixo pelos furos feitos na garrafa 1 e amarre uma linha comprida no centro do eixo, dentro da garrafa. Na ponta dessa linha amarre o blo-quinho de isopor (teste antes a altura final da torre para obter o comprimento de linha a ser usado). Una a garrafa 1 às garrafas 2, 3 e 4.

Agora é esperar um vento, ou usar um ventilador ou secador de cabelos, e obser-var o bloco de isopor subir enquanto a linha é enrolada no eixo do cata-vento que gira.É a energia cinética sendo convertida em ener-gia potencial gravitacional.

Na ausência de vento, o bloco desce e obriga o eixo do cata-vento a girar. Agora é a energia potencial gravitacional que se converte em energia cinética.

Para exemplificar o dispositivo construído, apresente como funcionam os moinhos de farinha.

Página 228


Para refletir com o texto, novamente trazemos à tona a dis-cussão sobre como os conceitos da Física, e das ciências de modo geral, estão a serviço do homem que está inserido numa dada circunstância. A Física só tem sentido quando responde às necessidades do homem. Neste caso, a célula de sobrevivência, assim como os cintos de segurança, os air bags e as carrocerias deformáveis, atende à necessidade de segurança na utilização de veículos, sejam os de passeio, sejam os de corrida.

Além das fotos do acidente de Kubica que estão no livro, o(a) professor(a) pode apresentar o vídeo YouTube Robert Kubica Cana-dá 2007, disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=5-n_ZuI_67Q&feature=related>. (Acesso em: 17 mar. 2010.)

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(Representação sem escala.)(Representação sem escala.)


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Comentário da questão: Os veículos modernos têm uma nova concepção de segurança no que diz respeito às colisões: ”QUEBRAR PARA NÃO MACHUCAR!” À medida que a estrutura do veículo se desintegra nas colisões, os diversos impactos vão sendo atenuados, evitando, assim, danos mais sérios aos seus ocupantes.

5 Potência

Sugerimos que este item seja iniciado, como sugerido no li-vro, por uma discussão sobre o conceito de potência: a “rapidez” com que determinado trabalho é realizado ou a “rapidez” com que a energia é convertida de uma forma em outra.

Ressalte aos alunos que, para um dado trabalho ou uma dada quantidade de energia convertida, a potência é inversamente pro-porcional ao intervalo de tempo necessário. Assim, quanto menor o intervalo de tempo, maior será a potência desenvolvida.

Usando a conta de luz que aparece na página 235 do livro, ou a informação sobre o consumo de energia de algum aparelho do-méstico, esses conceitos podem ser trazidos para o cotidiano dos alunos, além das explicações teóricas, e abrir caminho para as aulas do 3o ano nas quais serão abordados os conceitos da Eletricidade.

Uma forma interessante de trabalhar a compreensão da po-tência elétrica (variação de energia por unidade de tempo) é comparar o gasto de um aparelho eletrônico (televisor) com um aparelho resistivo (chuveiro) e discutir por que alguns apare-lhos “gastam” mais energia do que outros e como “economizar” em seu uso. Lembramos que a informação sobre a potência dos aparelhos é obtida nas etiquetas ou nos manuais de instrução que os acompanham.

Uma continuação da proposta anterior é fazer os estudantes “economizarem” energia elétrica e depois comparar se houve di-ferença na conta de luz (isso requerirá a participação familiar).

Capítulo 7 Gravitação Universal

ObjetivosEste capítulo traz um histórico da evolução dos modelos cos-

mológicos desde a Antiguidade até os dias atuais, dando ênfase às leis de Kepler dos movimentos planetários e à lei da gravita-ção universal de Newton.

Ao final desse estudo, o aluno deverá ter compreendido a origem da força gravitacional e sua relação com as outras gran-dezas envolvidas na interação gravitacional. Deverá, também, compreender o efeito dessa força, a aceleração gravitacional, e sua importância sobre corpos em órbita.

Conceitos principaisPeríodo orbital, raio orbital, área, velocidade, massa, distân-

cia, força, aceleração gravitacional, aceleração centrípeta.

Abordagem inicialAo iniciar o estudo do capítulo, apresente aos alunos as an-

tigas ideias a respeito do Universo, com especial destaque para as teorias elaboradas por Aristóteles, Ptolomeu e Copérnico.

1 - O livro, Teogonia – A origem dos Deuses, traz a tradução integral da Teogonia de Hesíodo e do ensaio de Jaa Torrano. (Iluminuras, 2007)

Merecem ênfase especial as contribuições de Galileu Galilei para o entendimento dos fatos e dos fenômenos astronômicos.

Resgatando a discussão, feita no capítulo 1, a respeito da natureza da Ciência, sobre o fato de o conhecimento de algo natural ser construído a partir de observações e tentativas de explicação e que essas explicações podem se modificar quanto mais observações forem feitas sobre o fenômeno, trabalhe a teo-ria do Big Bang como uma das teorias aceitas para a explicação do “início” do Universo e não a teoria que explica o “início” do Universo.

Uma das possibilidades de trabalho é propor a leitura da Teo-gonia1 de Hesíodo (séc. VIII a.C.), poeta grego que explicou, pela mitologia, as relações de causa que deram origem ao Universo. É interessante mostrar para o aluno que o homem sempre pro-curou explicar a origem do Universo, seja pela mitologia, pela religião ou pela Ciência.

Para enriquecer este trabalho, se julgar pertinente, proponha uma mesa de debates interdisciplinar convidando os professo-res de Filosofia, História, Língua Portuguesa e Artes para discu-tirem sobre as diferentes maneiras de explicação para a origem do Universo.

Um dos focos deste capítulo está na evolução das diversas teorias oriundas das observações astronômicas, desde os chine-ses, passando pelos gregos e chegando à atualidade. Trabalhe o conceito de tecnologia como uma forma de produzir conheci-mento com melhor qualidade, desmistificando o senso comum de que tecnologia é apenas a construção de equipamentos, pois, embora os “antigos” não possuíssem instrumentos para as observações, a necessidade de observações mais acuradas estimulou e impulsionou o desenvolvimento do telescópio, por exemplo.

Dessa forma, as leis da Gravitação não serão apenas um con-junto de fórmulas que o estudante precisa memorizar para re-produzir numa prova: as “fórmulas” da Gravitação constituirão uma representação em linguagem matemática da compreen-são (em um determinado momento histórico-cultural) do que se observou (e se abstraiu) nos céus.

Nesse sentido é interessante abordar, de passagem, o mito de Ícaro, da mitologia grega, que, segundo João Lourenço de A. Fabiano, “tem muito a nos dizer a respeito dos novos paradig-mas advindos da relação do homem no mundo com o advento da tecnologia”. O artigo de João Lorenço chama-se “Um novo olhar para a Ciência”, foi publicado pela revista Filosofia Ciência & Vida, n. 34, e está disponível em: <http://psiquecienciaevida.uol.com.br/ESFI/Edicoes/43/capa-o-uso-da-ciencia-e-tecnolo gia-para-superar-as-162084-1.asp>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)


1 Uma breve visão do Universo

No endereço <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/6246> (Acesso em: 18 mar. 2010.), o(a) professor(a) tem acesso a uma animação que ilustra o Big Bang.

61

Página 241

O que diz a mídia!

Comentário da questão: Professor(a), há diversas divulga-ções a respeito desse assunto, dentre elas, sugerimos o artigo A escassez da antimatéria explicada?, disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/noticias/fisica/a-escassez-da-antimate-ria-explicada/?searchterm=Big%20Bang>. (Acesso em: 25 mar. 2010.) Experimento confirma fenômeno que pode justificar pre-domínio de matéria no universo pós Big Bang.

2 Um recuo no tempo


Dramatização: Retrospectiva históricaProfessor(a), se dispuser de tempo, proponha uma retros-

pectiva histórica das diversas visões de mundo de alguns filósofos gregos, elegendo representantes entre os alunos e fazendo-os “incorporar” esses pensadores, além de Hiparco de Niceia, Ptolomeu, Copérnico, Galileu Galilei e Kepler, de forma que cada um defenda o ponto de vista do filósofo ou cientista que representa.

Solicite a cada aluno que faça uma pesquisa prévia sobre todas as personagens e suas teorias para que possam formu-lar questões pertinentes.

Proponha a atividade como uma viagem no tempo quereúne pensadores de diferentes épocas numa mesa de de-bates. Cada um apresenta sua teoria e depois os alunos da plateia fazem as perguntas.

3 As leis de Kepler do movimento planetário

Trabalhe as leis de Kepler no sentido de mostrar ao aluno como a Matemática auxilia a Física na síntese das explicações feitas sobre os fenômenos observados.

Por exemplo, antes de enunciar a primeira lei (a trajetória descrita pelos planetas é elíptica e não circular), realize a pro-posta experimental da página 249. Mostre o que é uma elip-se, suas características geométricas, ressaltando o fato de que o Sol está em um dos focos dessa elipse, e não no centro.

A seguir, apresente as leis de Kepler, ressaltando seu inten-so trabalho matemático para chegar a elas, valendo-se dos precisos registros astronômicos de Tycho Brahe.

Isso colabora para o aluno se apropriar da ideia de que Ciência se faz em colaboração, compartilhando e utilizando conhecimentos já estabelecidos. Também é válido para des-mistificar a ideia de que a Ciência só avança com a ascensão da tecnologia. Não, Tycho Brahe dispunha apenas de um compasso e de um sextante.

Ao analisar a segunda lei de Kepler (lei das áreas), enfati-ze que ela decorre da conservação do momento angular. Se achar conveniente e oportuno, comente a conservação da energia mecânica na órbita, mostrando que quando o pla-neta se aproxima do Sol, sua velocidade aumenta, intensifi-cando, portanto, sua energia cinética e, consequentemente, diminuindo sua energia potencial gravitacional. Vale a an-tecipação de um assunto importante que será tratado logo a seguir.

Página 249


Esta atividade, por levar um certo tempo, pode ser realizada em grupos de três ou quatro alunos, sendo que cada grupo deve de-senhar uma elipse diferente, para posterior comparação. Designe um comprimento de fio e uma distância focal diferentes para cada grupo.

Além das tarefas que já estão no quadro da atividade, pode-se acrescentar mais uma, bem simples: o cálculo da excentricidade (e) da elipse. Para tanto, basta dividir a distância entre os focos (tachinhas), já conhecida, pelo comprimento do fio utilizado no traçado. Veja que a excentricidade já fica definida, quando da es-colha do fio e da distância entre tachinhas.

Nesta atividade, um ponto interessante que pode ser res-saltado pelo(a) professor(a) são as “propriedades físicas” dessa curva. Por exemplo:

Imagine uma tira espelhada, formando uma elipse. Se co-•locarmos uma fonte de luz em um dos seus focos, todos os raios de luz vão refletir na sua superfície e convergirão para o outro foco!

Se tivéssemos um anteparo de contorno elíptico (um longo •muro), uma pessoa situada em um dos focos seria ouvida com maior intensidade por outra que estivesse no outro foco.

Página 252


Pela maneira como se introduzem no sistema solar, os •cometas descrevem órbitas elípticas de grande excentri-cidade, isto é, “bem alongadas”. Por isso, no periélio, o co-meta está bem próximo do Sol, desenvolvendo velocidade maior e tendo uma cauda bem visível; no afélio, ele está muito afastado, desprovido de cauda, sendo quase sem-pre invisível, mesmo com poderosos telescópios.

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62

O período de um cometa é elevado, pois sua órbita é mui-•to alongada (raio médio muito grande) e, de acordo com a terceira lei de Kepler (T2 5 K ? r3) o período é tanto maior quanto maior foi o raio médio.

A cauda está sempre voltada para longe do Sol, efeitos do •campo magnético e do vento solar.

Para responder às questões desta seção, se desejar, sugira aos alunos uma breve pesquisa nos sítios:

<http://cdcc.sc.usp.br/cda/aprendendo-basico/sistema-•solar/cometas.html>

<http://www.if.ufrgs.br/ast/solar/portug/comet.htm>•

<http://www.observatorio.ufmg.br/pas56.htm>•

(Acessos em: 18 mar. 2010.)

Página 255

Atividade em grupo1) Oriente os alunos a consultarem dados recentes e confiá-

veis. Nos sítios: <http://www.on.br/glossario/alfabeto/p/plutao.html> e <http://astro.if.ufrgs.br/index.htm>. (Aces-sos em: 29 jan. 2010.) há informações atualizadas sobre Plu-tão e suas luas.

2) No sítio <http://astro.if.ufrgs.br/comast/comast.htm> (Acesso em: 29 jan. 2010.), o aluno encontrará suficien-tes informações sobre os cinturões e sobre a nuvem de Oort que, embora não seja citada no texto, pode ser incluída na atividade.

Esta atividade é uma excelente oportunidade para que o alu-no aprenda a pesquisar na internet de forma crítica, separando informações corretas de incorretas, classificando-as em princi-pais e assessórias e reconhecendo o que é científico e o que é senso comum.

Na 1a questão, resgate a discussão sobre a natureza da Ciência realizada no capítulo 1 e coloque em discussão como os cientistas podem classificar um astro como planeta e depois reclassificá-lo de outro modo, mostrando que a Ciência é “viva”, mutável e evo-lutiva. Novos conceitos aprimoram os antigos ou os substituem.

Na 2a questão, defina cinturão de fragmentos cósmicos como os anéis de Saturno. Procure semelhanças ou diferenças: aspec-tos físicos, origem dos fragmentos. Aqui, podem-se resgatar as informações do capítulo 2 sobre método científico.

Página 258

O que diz a mídia!

Para enriquecer a discussão do texto dessa seção, suge-rimos que a classe assista ao vídeo “Nós estamos aqui: o pá-lido ponto azul”, disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=EjpSa7umAd8>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)

Após o vídeo, proponha a leitura dos artigos:

“Tem alguém aí?”, de Flávia Requeijo e Celso Dal Ré Car-•neiro. Ciência Hoje, v. 47, n. 267, jan. /fev. 2010. O texto trata sobre a questão da possibilidade de vida em outros planetas mediante as descobertas de 350 planetas extras-solares da Via Láctea em zonas habitáveis. Disponível em:<http://cienciahoje.uol.com.br/revista-ch/2010/267/tem-alguem-ai/?searchterm=vida%20em%20outros%20

planetas>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)

“Tem mais alguém aí?”, de Jerry Borges. • Ciência HojeOn-line, 18 jun. 2007. O texto traz a discussão sobre a pos-sibilidade de haver vida extraterrestre capaz de se comu-nicar conosco. Disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/por-dentro-das-celulas/tem-mais-alguem-ai/?searchterm=vida%20em%20outros%20planetas>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)

Uma possibilidade para se trabalhar os textos é dividir a clas-se em três grupos. Cada grupo lê um dos artigos (os dois aqui sugeridos e o dessa seção). O debate se dá na busca do que há de semelhante e de divergente em cada um deles, sem neces-sidade de uma apresentação formal de cada texto, tornando o trabalho mais dinâmico.

Comentário da questão: É importante destacar que a procura por planetas similares à Terra é relativamente recente e, portanto, na época de Ptolomeu, Galileu e Kepler não se tinha esta preocupação, o que se procurava eram maneiras de descrever os mecanismos de movimento dos corpos celestes. Em uma análise menos rigorosa, pode-se sugerir que a visão heliocêntrica se aproximaria mais, pelo fato de que, ao se retirar a Terra da região central do universo, esta passaria a ter um status de importância igual aos outros planetas.

Leitura adicional

A terceira lei de Kepler em um sistema binário

Dois corpos, de massas m e M, gravitam em torno do cen-tro de massa comum C, como mostra a figura. Vamos calcular o período T de translação do sistema em função das massas dos corpos e da distância d entre eles.

A força de atração gravitacional entre os corpos, F 5 G Mm ____ d2 é

a resultante centrípeta do movimento circular de ambos. Como estamos interessados no período T comum aos movimentos, vamos escrever a resultante centrípeta em função da velocida-

de angular v do sistema, uma vez que v 5 2 ___ T .

Assim, para o corpo de massa M teremos:

G Mm ____ d2 5 Mv2r ou G m __

d2 5 v2r

1

ω

RC

d

rM

m

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cc

o


63

Para o corpo de massa m teremos:

G Mm ____ d2 5 mv2R ou G M __

d2 5 v2R

2

Somando as igualdades (1) e (2) teremos:

G __ d2 (m 1 M) 5 v2 (r 1 R) V G __

d2 (m 1 M) 5 v2d V

V G (m 1 M) ________ d3 5 42

____ T2

Assim temos T2 5 42

_________ G(m 1 M)

d2, que é a terceira lei de Ke-

pler para um sistema binário.

Esse resultado pode ser interpretado como se cada corpo gravitasse em torno do centro de massa comum, em órbita cir-cular de raio d, com período de translação T.

Observe que se m é muito menor que M a relação obtida se reduz a:

T2 5 42

____ GM

d3

Uma aplicação real. Se considerarmos o sistema Terra--Lua como um sistema binário, teremos: M = 5,98 ? 1024 kg,m = 7,38 ? 1022 kg e d = 3,844 ? 108 m, que substituídos na relação acima obtida nos dão T 5 2,356 ? 106 segundos 5 27,34 dias.

4 A Lei de Gravitação Universal

Ao apresentar a lei da Gravitação Universal, analise-a, inicial-mente, qualitativamente: dobrando-se o valor de uma das massas, a força gravitacional dobra; dobrando-se a distância entre as mas-sas, a força gravitacional se reduz a um quarto da original, e assim por diante. Apenas depois disso, explore-a quantitativamente.

Embora o trabalho de Isaac Newton já tenha sido destacado em capítulos anteriores, deve ser dada ênfase à atuação do cien-tista inglês no estabelecimento da lei da gravitação universal.

Página 260


A atração gravitacional exercida pelo Sol e, principalmente, a exercida pela Lua é que provocam a movimentação das águas oceânicas, originando as marés.


Leitura de artigoO tema deste capítulo, Gravitação Universal, nos leva para o

espaço e nos traz de volta à Terra numa viagem que exige refle-xão sobre nosso papel no planeta e no cosmo. Nos alerta sobre como conviver com a tecnologia sem levar-nos à “extinção”. Por essa razão, sugerimos um texto alegórico sobre a grande viagem que realizamos estando vivos na Terra. O texto sugerido é “A via-gem: e la nave va...”, de Dorotea Cuevas Fracalanza. Disponível em: <http://www.fe.unicamp.br/formar/revista/N000/pdf/Conv-com-Prof-E-la-nave-va-Dorotea.pdf>. (Acesso em: 17 mar. 2010.)

5 Satélites em órbita

Seria interessante retomar rapidamente as características da força resultante centrípeta e da aceleração centrípeta antes de analisar o movimento de satélites em órbita.

O(a) professor(a) pode iniciar este tópico indicando ou, se pos-sível, acessando o sítio indicado a seguir, que dá uma visão tridi-mensional, atual e em tempo real, dos satélites em órbita da Terra. <http://science.nasa.gov/RealTime/JTrack/3D/JTrack3D.html>. (Acesso em: 25 mar. 2010.)

Se não for possível, tente obter alguma foto ou ilustração pu-blicada na mídia na qual apareçam esses corpos. A partir dessa imagem, comente rapidamente a necessidade da existência desses artefatos “passando” sobre nossas cabeças, citando, por exemplo, a meteorologia, a segurança da navegação aérea, o mo-nitoramento ecológico (desmatamentos), monitoramento anti-terrorismo, localização terrestre (GPS), comunicações e outras.

6 Os satélites de comunicação

Neste item, é interessante mostrar aos alunos algumas apli-cações práticas que fazem uso dos satélites de comunicação, tentando extrair deles essas ideias. Seria oportuno também comentar que, em 2010, existiam cerca de 3.000 satélites em operação e mais ou menos umas 6.000 peças de sucata astro-náutica orbitavam a Terra.

Página 271


Proponha uma discussão sobre a importância do conhe-cimento das leis de Kepler e da gravitação de Newton para os avanços da astronáutica que estão presentes no texto desta seção.

Comentário da questão: Nesta etapa é importante des-tacar que o cálculo para o lançamento de sondas espaciais, que possui uma grande precisão, é possibilitado devido aos trabalhos desenvolvidos por Kepler e Newton, entre outros. Desta forma, a contribuição de Kepler, em especial com as três leis, e os trabalhos de Isaac Newton, com a lei da Gravi-tação Universal, criada a partir de uma sólida base científica, possibilitaram uma melhor compreensão de nosso universo.

7 A aceleração da gravidade

Professor(a), no sítio do Banco Internacional de Objetos Edu-cacionais, disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/>. (Acesso em: 18 mar. 2010), é possível encontrar vários expe-rimentos que podem ser utilizados em sala de aula, inclusive com permissão para reprodução.

Leitura adicional

Energia potencial gravitacionalA força de atração gravitacional, como todas as forças con-

servativas, está associada a uma energia potencial, à seme-lhança da força elástica. O trabalho de qualquer força conser-vativa em um deslocamento pode ser calculado pela diferença dos valores da energia potencial nas posições inicial e final do deslocamento do corpo:

Tforças conservativas 5 Epot(inicial) 2 Epot(final)

64

A energia potencial associada à força gravitacional é deno-minada energia potencial gravitacional, é considerada nula no “infinito”, isto é, num ponto muito distante do corpo que gera o campo gravitacional em estudo, e tem grande importância no estudo dos movimentos dos corpos que gravitam em órbita de outros, principalmente os satélites artificiais da Terra.

Inicialmente, vamos calcular o trabalho da força de atração gravi-tacional no deslocamento de um corpo de massa m entre dois pon-tos P0 e P, distantes d0 e d do centro da Terra (massa M). Veja a figura.

Vamos obter a expressão que calcula a energia potencial gravitacional a uma distância d do centro da Terra, usando o conceito de força média.

Para uma força que varia com o inverso do quadrado da distância, como a força de atração gravitacional, o valor médio da sua intensidade, considerado constante ao longo do deslo-camento, pode ser calculado pela média geométrica das suas intensidades nos pontos inicial e final. Assim, temos:

Intensidade média da força: •

Fmédia 5 d XXXXXX F0 F 5 d XXXXXXXXXXXXX GMm _____ d0

2 GMm _____ d2 V Fmédia 5 GMm ______

d0 d

Trabalho da força média: •

T 5 Fmédia (d0 2 d) 5 GMm ______ d0 d

(d0 2 d) V

V T 5 GMm @ 1 __ d

2 1 __ d0

# Se considerarmos o ponto inicial muito distante (d0 # )

teremos:

I) 1 __ d0

# 0 , portanto Finicial 5 0 e Epot(inicial) 5 0

II) T 5 Epot(inicial) 2 Epot(final) V

V T 5 0 2 Epot(final) 5 GMm @ 1 __ d

2 0 # V V Epot(final) 5 2 GMm _____

d

Portanto, o valor da energia potencial gravitacional de um corpo de massa m, em um ponto qualquer do campo gravita-cional da massa M é dado pela expressão:

Epot 5 2 G Mm ____ d

Conhecendo-se o cálculo da energia potencial gravitacional, podemos calcular as energias cinética e total nas órbitas, as velo-cidades de lançamento para um corpo atingir determinado pon-to a partir de outro conhecido etc., como exemplificado a seguir.

Exemplo:

a) A partir da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R, calcule a velocidade mínima necessária para um corpo de massa m atingir um ponto P a uma distância D do centro desse planeta, sem velocidade, isto é vP = 0.

b) Agora suponha D muito grande (D # ), e determine a ve-locidade para o corpo chegar ao “infinito”. Essa velocidade é denominada velocidade de escape.

c) Particularize o resultado do item b para a Terra.(M 5 6,0.1024 kg e R = 6.400 km.)

Solução:

a) Pela conservação da energia mecânica temos:

Emec(superfície) 5 Emec(em P) V

V 2G Mm ____ R

1 mv2

mín _____ 2 5 2 G Mm ____ D

1 mvP

2

____ 2 V

V mv2

mín _____ 2 5 G Mm ____ R

2 G Mm ____ D

1 m02

____ 2 V

V v2mín 5 2GM @ 1 __

R 2 1 __

D # ou vmín 5 d XXXXXXXXXXXX 2GM @ 1 __

R 2 1 __

D #

b) Se D for muito grande (D # ), 1 __ D

tenderá a zero @ 1 __ D

# 0 # e teremos:

vescape 5 d XXXXXXXXXXXX 2GM @ 1 __ R

2 0 # ou vescape 5 d XXXXX 2GM _____ R

c) Com os dados referentes à Terra temos:

vescape(Terra) 5 d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 2 ? 6,67 ? 10211 ? 6,0 ? 1024

_____________________ 6,4 ? 106

vescape(Terra) 11,18 km/s 40.250 km/h

Analogamente podemos calcular os valores das velocidades de escape na superfície de alguns corpos do sistema solar.

Algumas velocidades de escape

Astro ve (km/s)

Sol 617,5

Vênus 10,4

Terra 11,2

Lua 2,6

Marte 5,2

Júpiter 59,7

Os cálculos foram obtidos usando os dados da tabela da Natio-nal Aeronautics and Space Administration (NASA) disponíveis em: <http://solarsystem.nasa.gov/planets>. (Acesso em: jan. 2010.)

dd0

P0

P

Capítulo 8 Máquinas simples

ObjetivosNeste capítulo, os diferentes tipos de alavanca, as associa-

ções de polias e o plano inclinado são estudados como máqui-nas simples. Também são apresentados os conceitos relativos à transmissão de movimentos circulares. Após o estudo desse capítulo, o aluno deverá ser capaz de estabelecer as condições de equilíbrio de uma alavanca ou de uma associação de polias, assim como analisar a transmissão de movimentos circulares por engrenagens e correias.

Conceitos principaisForça, braço de alavanca, momento (torque), vantagem me-

cânica, conservação do trabalho, período, frequência, velocida-de angular.

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65

1 - DESCARTES, R. Meditações metafísicas. São Paulo: Martins Fontes, 2000. p. 41.

Abordagem inicialCom o intuito de que os alunos possam debater ideias e

construir a autonomia de pensamento, sugerimos que o(a) professor(a) os desafie com a seguinte frase do filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1595-1650):

“Arquimedes, para tirar o globo de sua posição e transportá--lo para outro lugar, nada pedia senão um ponto que fosse fixo e assegurado”1.

Aqui, Descartes refere-se à frase atribuída a Arquimedes: “Deem-me uma alavanca e um ponto de apoio e levantarei o mundo”. O debate proposto pelo(a) professor(a) deve conduzir os alunos à reflexão sobre o uso das alavancas, concluindo que uma força de pequena intensidade pode equilibrar, por meio de uma alavanca, outra força muito mais intensa.


1 Introdução

Ao iniciar este item o(a) professor(a) pode definir máquinas simples, e, a seguir, apresentar exemplos destes dispositivos que serão estudados no capítulo: alavancas, polias, planos inclinados e engrenagens. Comentar que as máquinas simples fazem parte de outras mais complexas, como máquinas de costuras, bicicletas, guindastes. Um exemplo interessante é a tecla de um piano: ao ser pressionada, uma alavanca aciona um martelo almofadado que bate em uma corda, que emite o som de determinada frequência.


Leitura de artigoNo endereço <http://www.seara.ufc.br/folclore/folclore231.

htm> (Acesso em: 26 mar. 2010.), o(a) professor(a) encontra o artigo do professor José Maria Filardo Bassalo: “Uma breve His-tória das Máquinas Simples”.

Leitura adicional

Arquimedes: uma alavanca para mover a Terra

Deem-me um ponto de apoio e uma alavanca e moverei a Terra

“A pretensão de Arquimedes era proporcional a sua descoberta. Ao desenvolver uma solução para lançar na água uma luxuosa nau de quatro mil toneladas construída pelos armadores do rei Hierão, ele inventou a alavanca e desenvolveu o conceito de centro de gravidade. Incapazes de lançar a gigantesca embarcação na água só restava aos seus construtores contarem com a genialidade de Arquimedes. E ele correspondeu às expectativas.

Provavelmente recorrendo a um sistema de roldanas e a partir de sua incrível descoberta sobre como a partir de um ponto de apoio bem

calculado é possível com uma pequena pressão erguer um peso bem maior, Arquimedes conse-guiu colocar a nau na água. Em sua obra ‘Sobre o equilíbrio dos planos’, ele mostrou como de-terminar o centro de gravidade de figuras bidi-mensionais e lançou alguns dos fundamentos da física teórica.

[...]Arquimedes parece ter vivido a maior parte

de sua vida de forma solitária, quieta e trivial. Mas no final do século 3 a.C., as disputas geopo-líticas no Mediterrâneo entre a Magna Grécia, o Império Romano e Cartago o forçaram a ocupar uma posição pública. Aos 70 anos de idade ele ficou encarregado da defesa de Siracusa. Cons-truiu catapultas, guindastes e um sistema de espelhos capaz de refletir o sol tão intensamen-te que podia incendiar navios, uma espécie de precursor rudimentar do raio laser. Após resis-tir bravamente à esquadra romana, Siracusa foi finalmente derrotada em 212 a.C. Um soldado que deveria levar o matemático ao comandante romano ficou impaciente com Arquimedes, que se recusava a sair antes de terminar seus cálcu-los, e o matou. Maior talento matemático até então, Arquimedes foi enterrado com honrarias pelos inimigos.”

Disponível em: <http://ciencia.hsw.uol.com.br/arquimedes2.htm>. (Acesso em: 27 jan. 2010.)

Outra indicação para leitura é o livro Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca de André Koch Torres Aguiar. O en-dereço eletrônico <http://pion.sbfisica.org.br/pdc/index.php/por/material_didatico/arquimedes_o_centro_de_gravidade_e_a_lei_da_alavanca> (Acesso em: 27 jan. 2010.) contém o link do arquivo digital desse livro.

2 Alavancas

A compreensão do princípio de funcionamento das alavan-cas baseia-se no entendimento da grandeza física chamada momento. Após definir momento de uma força (ou torque), interprete-o como uma medida da tendência de uma força em provocar a rotação de um corpo em torno de um eixo.

Assim, ao estabelecer as condições para o equilíbrio de rota-ção, devemos impor que a tendência de rotação em sentido horá-rio deve anular a tendência de rotação em sentido anti-horário.

A resolução dos exemplos apresentados no livro elucida a prin-cipal aplicação das alavancas, realçando o que já foi comentado na abordagem inicial: uma força de pequena intensidade pode equili-brar, por meio de uma alavanca, outra força muito mais intensa.

No endereço <http://www.walter-fendt.de/ph14br/lever_br.htm> (Acesso em: 19 mar. 2010.) há uma simulação sobre o equilíbrio de uma alavanca.

66


Experimento: Construindo uma alavancaCom uma tira de papelão ou uma haste de madeira, por

exemplo, podemos construir uma alavanca. Vamos graduá-la em 12 partes iguais e suspendê-la pelo ponto situado na mes-ma vertical que passa pelo centro de gravidade. Pegamos vá-rios clipes que servirão de “peso”. Analisemos em que situações a alavanca fica em equilíbrio na posição horizontal.

(As ilustrações desta seção estão representadas sem escala.)

Com um clipe de cada lado na posição 4, a alavanca fica •em equilíbrio.

Deslocando-se o clipe do lado esquerdo para a posição 2, •a alavanca se desequilibra.

Com dois clipes na posição 2, a alavanca volta ao equilíbrio •na posição horizontal.

Repare que na situação de equilíbrio, • é constante o pro-duto do peso total dos clipes de cada lado pelo número de divisões até o ponto de suspensão.

Agora um teste para os alunos resolverem:

Na posição 3 suspendemos quatro clipes. Em que ponto de-•vemos suspender mais dois clipes para equilibrar a alavanca?

O(a) professor(a) pode fazer a demonstração dessa ativida-de, ou solicitar que os alunos a façam, e depois associar com dispositivos da vida real, como, por exemplo, um cabide cuja roupa pendurada apressadamente o faz pender só de um lado.

Página 281


Este experimento tem por finalidade revisar os diversos tipos de alavancas e avaliar como varia a intensidade F da força po-tente aplicada em diversos pontos da alavanca, para uma dada força resistente. A força resistente é a força a ser vencida e cor-responde ao peso P do copinho plástico com areia ou moedas.

Na primeira situação proposta, o aluno deve aplicar uma for-ça perpendicular à régua nas marcas 20 cm, 15 cm, 10 cm e 7 cm e em cada caso manter a régua em equilíbrio na posição hori-zontal e constatar que: quanto mais distante do lápis (apoio) estiver o ponto de aplicação da força potente, menor é a sua intensidade.

Vamos agora confirmar o resultado experimental impondo a condição de equilíbrio. Para efeito de cálculo e para se ter ideia dos valores envolvidos no experimento, desprezamos o peso da régua.

Esquematizamos, na figura abaixo, a primeira parte da ex-periência. O copinho está disposto de modo que a reta vertical que passa pelo seu centro de gravidade intercepte a marca zero da régua. Observe que o apoio (lápis) está situado entre os pon-tos de aplicação das forças resistente e potente. Trata-se de uma alavanca interfixa.

Impondo o equilíbrio de rotação, temos:

FP ? bP 5 FR ? bR V F ? 15 5 P ? 5 V F 5 P __ 3

1 102 23 34 45 56 6

1 1022

33

44

5

5

6

6

1 102 23 34 45 56 6

1 102 23 34 45 56 6

3

1

31

3 � 1 = 1 � 3

1 102 23 34 45 56 6

3

1

62

3 � 2 = 1 � 6

1 102 23 34 45 56 6

?

O

FR = P

FP = F

bR = 5 cm bP = 15 cm

205

Apoio

ilu

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n s

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co

67

Ou seja, a força potente tem intensidade três vezes menor do que a força resistente.

Aplicando-se a força potente, respectivamente, nas marcas 15 cm, 10 cm e 7 cm, o valor do braço da força potente diminui para 10 cm, 5 cm e 2 cm. A força potente passa a ter intensida-

de P __ 2 , P e 2,5P, respectivamente.

A conclusão que tiramos é que, quanto maior for o braço da força potente, menor é a intensidade da força a ser aplicada para manter a alavanca em equilíbrio.

Na segunda parte da experiência, o ponto de aplicação da força resistente fica entre os pontos de apoio e de aplicação da força potente. Trata-se de uma alavanca inter-resistente.

Agora, o equilíbrio ocorre aplicando-se na régua uma força potente vertical e para cima. O aluno deve constatar experimen-talmente que, deslocando o copinho da marca 5 cm para 15 cm, a força potente (aplicada na marca 20 cm), passa ter maior in-tensidade, mas sempre é menor do que a intensidade da força resistente (que é o peso do copinho mais a sua carga).

Vamos também, neste caso, confirmar o resultado experi-mental, impondo a condição de equilíbrio. As duas situações estão esquematizadas abaixo.

Impondo o equilíbrio de rotação, temos:

FP ? bP 5 FR ? bR V F ? 20 5 P ? bR

Para bR 5 5 cm, resulta F 5 P __ 4 , e para bR 5 15 cm, vem F 5 3P ___ 4 .

É importante que o(a) professor(a) exemplifique dispositivos do cotidiano constituídos de alavancas: tesoura, alicate, abridor de garrafa, pegador de gelo etc. classificando o tipo de cada uma das alavancas.

Aproveitando o material utilizado neste experimento, podemos montar novamente uma alavanca interfixa, com o ponto de apoio na marca 10 cm e colocar dois copinhos plásticos, com mesma quantidade de água, nas marcas 0 e 20 cm, de modo que a régua fi-que em equilíbrio na posição horizontal. A seguir, solicite aos alunos que mergulhem um dedo na água existente no copinho da direita, sem tocar o fundo. A régua gira saindo da posição de equilíbrio ho-rizontal. Peça à turma para explicar por que isso acontece.

A explicação envolve capítulos anteriores, constituindo um bom momento para revisar alguns conceitos: a água exerce no dedo uma força vertical e para cima (empuxo). Pelo princípio da ação e reação o dedo exerce na água uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Assim, esta força para baixo altera o equilíbrio da régua.

É importante que o(a) professor(a) correlacione, sempre que possível, novos conceitos com outros vistos anteriormente, como o caso do equilíbrio de uma alavanca e a força empuxo, estudada no capítulo 4.

Página 281

Atividade em grupo

O(a) professor(a) poderá dividir a turma em pequenos grupos, de três ou quatro alunos, e cada grupo pesquisará quais utensílios domésticos são alavancas. Solicite que os grupos confeccionem cartazes ou painéis com ilustrações das alavancas. Para cada alavanca deverá ser indicada a força resistente, a força potente e o ponto de apoio, além de classificá-la em interfixa, interpotente e inter-resistente. Cada grupo deve relacionar alavancas de determinados usos diários: na cozinha, numa caixa de ferramentas, no material de jardim e de limpeza, em material esportivo etc. Como exemplo, para orientação, citamos:

Tesoura, quebra-nozes, pegador de gelo, abridor de garra-•fa, abridor de lata, espremedor de batata, talheres.

Martelo, alicate, pé de cabra, grifo, pinça, grampeador.•

Carrinho de mão, pá, vassoura, balança.•

Vara de pesca, remo, gangorra.•

Página 282

O que diz a mídia!

Esta seção pode se tornar uma aula interdisciplinar muito interessante envolvendo, se possível, além do pro-fessor de Física, os professores de História, Biologia e Edu-cação Física. Diversos temas podem ser abordados, como, por exemplo, a explicação encontrada na mitologia grega sobre o “Calcanhar de Aquiles”, o sistema de ossos, mús-culos e tendões do calcanhar humano, o tipo de alavanca formado quando uma pessoa fica na ponta do pé, identi-ficando as forças potente, resistente e o ponto de apoio, outras alavancas existentes no corpo humano e o usode todos esses conceitos na prática esportiva.

Comentário da questão: Os novos solados com sistemas de amortecimento diminuem o impacto dos pés contra o solo, au-mentando o tempo de “colisão” e diminuindo assim a intensidade das forças aplicadas nas articulações geradas nessa interação.

O

P

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bR = 5 cm

bP = 20 cm

205Apoio

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bR = 15 cm

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68

Página 282 com isso pessoalmente’, escreveram os autores — da mesma forma que andar 8 a 16 quilôme-tros por dia durante dez anos.

Isso não significa que pequenas melhoras são insignificantes — longe disso. Mas as pes-soas precisam ter uma visão realista do que são capazes de atingir.

‘Como profissionais de saúde, comemora-mos as pequenas mudanças porque elas com frequência levam a mudanças maiores’, diz o Dr. David Ludwig, diretor do programa Optimal Weight for Life no Hospital Infantil de Boston e coautor do estudo. ‘Um adolescente obeso que passar a assistir televisão por cinco horas em vez de seis a cada dia poderá então reduzir esse tempo ainda mais. Entretanto, seria totalmente irrealista pensar que só estas mudanças produ-zirão uma perda de peso significativa’.

Por que não? A resposta está na biologia.O peso de uma pessoa fica estável desde que o número de calorias consumido não exceda a quantidade de calorias que o corpo gasta, tan-to nos exercícios quanto nas funções básicas do corpo. Se o balanço de calorias que entram e saem muda, nós ganhamos ou perdemos peso.

Mas os corpos não ganham ou perdem peso indefinidamente. Em determinado momento, uma série de mudanças biológicas entra em ação para o corpo manter o novo peso. Como explica o artigo, uma pessoa que come um bis-coito extra por dia ganhará peso, mas com o tempo, uma proporção maior das calorias do biscoito também será usada para administrar o peso extra do corpo. Eventualmente, o corpo se ajuda e para de ganhar peso, mesmo que a pes-soa continue comendo aquele biscoito.

Fatores semelhantes entram em ação quando abrimos mão daquele biscoito extra. Podemos per-der um pouco de peso a princípio, mas logo o cor-po se ajusta ao novo peso e requer menos calorias.

Infelizmente, entretanto, o corpo resiste mais para perder peso do que para ganhar. Os hormô-nios e a química cerebral que regulam nossa von-tade inconsciente de comer e como o corpo res-ponde ao exercício podem tornar ainda mais difícil perder peso. Você pode deixar de comer o biscoi-to, mas, sem saber, compensar comendo um pão francês ou um prato a mais de macarrão no jantar.

‘Há um contexto muito mais amplo do que resumir tudo a um biscoito por dia [...]’, diz o Dr. Jeffrey M. Friedman, chefe do laboratório de genética molecular da Universidade Rockefel-ler, que foi o primeiro a identificar a leptina, um hormônio secretado pelas células de gordura do


Nesta seção trabalhamos sobre como funciona uma ba-lança de banheiro que nos remete a um problema de saúde pública: a obesidade. É importante abordar assuntos de saú-de, já que nos é solicitado tratar destes temas transversal-mente, para tanto sugerimos o artigo a seguir, originalmen-te publicado no jornal estadunidense The New York Times, em 7 de março de 2010.

Na epidemia de obesidade, um biscoito por dia não faz muita diferença

“A fórmula básica para ganhar e perder peso é bastante conhecida: 450 gramas de gordura equivalem a 3.500 calorias.

Essa equação simples alimentou a ideia am-plamente aceita de que a perda de peso não requer uma intimidante mudança de estilo de vida, mas ‘pequenas mudanças somadas’, como a primeira-dama, Michelle Obama, disse no mês passado ao anunciar um plano nacional para combater a obesidade infantil.

Segundo essa visão, cortar ou queimar ape-nas 100 calorias extras por dia — substituindo refrigerante por água, por exemplo, ou indo a pé para a escola — pode levar a uma perda de peso significativa com o tempo: 450 gramas a cada35 dias, ou mais de 4,5 quilogramas num ano.

Embora seja certamente uma mensagem espe-rançosa, também é equivocada. Inúmeros estudos científicos mostram que pequenas mudanças no consumo de calorias não têm quase nenhum efei-to sobre o peso. Quando deixamos de comer uma bolacha ou nos exercitamos um pouco mais, as adaptações biológicas e comportamentais do cor-po entram em ação, reduzindo significativamente os benefícios calóricos do nosso esforço.

Mas será que pequenas mudanças na dieta e exercícios conseguirão pelo menos evitar que as crianças ganhem peso? Enquanto alguns espe-cialistas acreditam que sim, modelos matemáti-cos sugerem que não.

Conforme um comentário recente no The Journal of the American Medical Association ob-servou, a teoria das ‘pequenas mudanças’ falha ao não levar em consideração os mecanismos de adaptação do corpo. O aumento da obesida-de infantil durante as últimas décadas não pode ser explicada por um refrigerante de 100 calo-rias extra todo dia, ou menos aulas de educação física. Deixar de comer um biscoito ou passar a ir a pé para a escola não afetam em quase nada o desequilíbrio calórico que vai ‘bem além da ca-pacidade da maioria dos indivíduos de lidarem

69

corpo que regula o consumo de alimentos e o gasto de energia. ‘Se você perguntar a qualquer pessoa na rua: ‘Por que as pessoas são obesas?’, elas responderão: ‘Porque elas comem muito’.

‘Isso é sem dúvida verdade, mas a questão por trás disso é: por que elas comem muito? Hoje está claro que há muitos motivos importantes para comer e que não se trata simplesmente de uma decisão cognitiva ou consciente.’

Isso não quer dizer que o incentivo para fa-zer pequenas mudanças diárias na alimenta-ção e exercícios é equivocado. James O. Hill, diretor do Centro de Nutrição Humana na Universidade do Col rado em Denver, diz que embora a perda de peso exija mudanças signifi-cativas no estilo de vida, tirar as calorias extras da dieta através de pequenos passos podem ajudar a desacelerar e evitar o ganho de peso.

Num estudo com 200 famílias, metade foi solicitada para substituir 100 calorias de açúcar por um adoçante não calórico e caminhar mais 2 mil passos por dia. As outras famílias passa-ram a usar pedômetros (aparelho que mede os passos) durante seus exercícios, mas não tive-ram que fazer nenhuma mudança de dieta.

Durante o estudo de seis meses, crianças de ambos os grupos mostraram quedas pequenas, porém estatisticamente significativas no índice de massa corporal; o grupo que cortou 100 ca-lorias teve mais crianças que mantiveram ou re-duziram a massa corporal e menos crianças que ganharam peso em excesso.

O estudo, publicado em 2007 na Pediatrics, não observou os benefícios a longo prazo. Mas Hill disse que ele sugere que pequenas mudan-ças podem evitar que crianças acima do peso ganhem mais peso ainda.

‘Uma vez que você está tentando perder peso, está fora do domínio das pequenas mudanças’, disse. ‘Mas a abordagem de dar pequenos pas-sos pode impedir o ganho de peso.’

Embora seja improvável que os pequenos passos resolvam a crise de obesidade do país, os médicos dizem que perder um pouco de peso, comendo alimentos mais saudáveis e aumentar os exercícios podem fazer uma grande diferença na saúde como um todo e nos riscos de ter do-enças cardíacas ou diabetes.

‘Não estou dizendo para desistir e esquecer tudo isso’, diz Friedman. ‘Em vez de pensar no peso ou na aparência, pensemos na saúde das pessoas. Há coisas que as pessoas podem fa-zer para melhor significativamente sua saúde e que não exigem a redução do peso.’

Ludwig ainda encoraja os indivíduos a fazerem pequenas mudanças, como assistir menos televisão ou comer mais verduras e legumes, porque essas mudanças podem ser o início de mudanças bem maiores no estilo de vida que poderão, por fim, levar à perda de peso. Mas ele e outros dizem que reverter a obesidade exige mudanças bem maiores — como regulamentar a propaganda de ali-mentos para crianças e eliminar os subsídios do governo que tornam a junk food barata e rentável.

‘Precisamos saber contra o que estamos lutando em termos de desafios biológicos básicos, e então planejar uma campanha que será de fato capaz de lidar com o problema em toda a sua magnitude’, diz Ludwig. ‘Se es-perarmos apenas que as crianças do centro da cidade exercitem o autocontrole e andem um pouco mais, então acho que vamos ficar muito frustrados com os resultados.’”

POPE, T. P. Trad. Eloise De Vylder.

Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/midiaglobal/nytimes/2010/03/07/na-epidemia-de-obesidade-um-biscoito-por-

dia-nao-faz-muita-diferenca.jhtm>. (Acesso em: 19 mar. 2010.)

Comentário da questão: Como destacado no texto, a balança do banheiro utiliza o princípio das alavancas. Ou-tros mecanismos que são usados para medir o peso não pre-cisam necessariamente utilizar o mesmo princípio, é o caso da balança de peixeiro, em que seu funcionamento pode ser explicado a partir da lei de Hooke.

Página 287


Nesta seção é necessário mostrar para os alunos que a porta está girando no sentido contrário de ser aberta, pois F2 ? d2 F1 ? d1.

3 Polias ou roldanas

O(a) professor(a) pode iniciar este item realçando que as polias ou roldanas são muito utilizadas em nossas atividades diárias. Pe-dir aos alunos que citem exemplos do uso de polias. Depois deste aquecimento inicial, analisar as polias fixa e móvel e as associações de polias, e apresentar a definição de vantagem mecânica. Outro tema interessante a ser abordado é a conservação do trabalho.A resolução do exemplo dado no livro elucida este item teórico.


No endereço eletrônico a seguir são sugeridas, para o(a) professor(a), várias montagens de polias, além de considerações teóricas sobre vantagem mecânica. <http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=pmd&cod=_pmd2005_i2102>. (Acesso em: 27 jan. 2010.)

70

Página 293

4 Plano inclinado

Ao iniciar este tema mostrar ao aluno que a intensidade da força necessária para manter um corpo em equilíbrio num pla-no inclinado é menor do que o peso do corpo. Daí o fato de considerarmos o plano inclinado como uma máquina simples.

Instigue os alunos a proporem situações de uso do plano inclinado, visando facilitar a realização de determinadas ta-refas. Por exemplo, o(a) professor(a) pode colocar a seguinte situação: um caminhão deve ser carregado com tambores. O que é mais fácil fazer: colocar os tambores diretamente na carroceria do caminhão ou rolá-los ao longo de um plano inclinado?

Recomendamos ao(à) professor(a) a resolução dos exem-plos a respeito do movimento de um corpo ao longo de um plano inclinado.


Animação: Forças no plano inclinadoNo endereço <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/

handle/mec/747> (Acesso em: 6 abr. 2010.) está disponível uma animação interativa que apresenta o sistema de forças que atuam no corpo em um plano inclinado, mapa conceitual e textos que instigam o aluno a formular conceitos.

É interessante apresentar a animação interativa e discutir as ideias “intuitivas” e espontâneas dos alunos sobre o assunto.

5 Transmissão de movimento circular. Engrenagens

Professor(a), comente como a transmissão de movimento circular pode ser feita de uma roda para outra. Ressalte que a velocidade linear dos pontos periféricos dos elementos é a mesma. Este fato implica na relação entre as velocidades angulares ou entre as frequências e os respectivos raios. Destas relações conclui-se que a roda de menor raio possui maior velocidade angular e gira com maior frequência. Um importante estudo, que certamente despertará o interesse dos alunos, é a respeito das marchas de uma bicicleta.


Professor(a), para ilustrar as aulas e complementar o es-tudo de alavancas e engrenagens, sugerimos a leitura dos textos a seguir, que foram extraídos da Enciclopédia do Estu-dante: Física Pura e Aplicada, v. 10. São Paulo: Moderna, 2008. A divulgação é da empresa O Estado de S. Paulo.

No sítio <http://www.enciclopediadoestudante.com.br/default2.asp?id_fasciculo=> (Acesso em: 18 mar. 2010.), o(a) professor(a) pode se cadastrar e navegar pelo conteúdo di-gital dos 20 volumes que constituem a enciclopédia.

I. A caixa de câmbio de um automóvelEm um automóvel, a força obtida do motor é transmiti-

da, por meio da rotação do virabrequim, à caixa de câmbio.A caixa de câmbio é formada por diversas engrenagens que se acoplam de diversas maneiras, conforme a marcha sele-cionada com a alavanca do câmbio.

Um eixo motor, o primário, proporciona o movimento •ao conjunto.

Um eixo de saída, o secundário, é ligado às rodas.•

Cada marcha faz com que gire uma das engrenagens do eixo secundário. Para inventer o sentido de rotação em mar-cha, utiliza-se um roda livre entre uma roda do eixo primário e uma outra do secundário.


Com um material simples, os alunos podem verificar as propriedades das polias fixa (que possui eixo fixo) e móvel (cujo eixo pode se deslocar). Os carretéis de linhas vazios fa-zem as vezes das polias. O corpo a ser mantido em equilíbrio é um bloco de madeira ou qualquer outra carga como, por exemplo, uma garrafa PET de 600 m. Dois alunos do gru-po sustentarão o cabo de vassoura na posição horizontal. Deve haver um rodízio entre os participantes do grupo na execução das tarefas para que todos participem de todas as etapas do experimento.

A primeira situação visa recordar as propriedades da polia fixa. Os alunos verificam que a intensidade da força aplicada no barbante é praticamente igual ao peso do bloco. De fato, a polia fixa é semelhante a uma alavanca interfixa. A força resistente

__  F R

é o peso do bloco. A força potente __

 F P é a força de tração no bar-

bante. Do equilíbrio do bloco resulta FP 5 FR , ou seja, T 5 P .

No enunciado da proposta experimental dissemos que a in-tensidade da força de tração é praticamente igual ao peso do blo-co, porque o barbante não se comporta como um fio ideal, e nem a polia é ideal. É importante também verificar que a polia fixa per-mite a aplicação de forças em direções e sentidos convenientes.

Na segunda parte da experiência temos a associação de uma polia fixa com outra móvel. Neste caso, os alunos devem constatar que a intensidade da força aplicada no barbante é menor do que o peso do bloco: FP , FR , ou seja, T , P. No caso em estudo, consi-

derando-se o fio e a polia ideais, temos FP 5 FR __ 2 . Esta conclusão se

obtém isolando-se a polia móvel e impondo seu equilíbrio.

Puxando-se o barbante lentamente (isto é, fazendo o bloco subir em movimento praticamente uniforme), para cada 20 cm de fio puxado, o bloco sobe 10 cm.

A demonstração deste fato pode ser feita pela conservação do trabalho, conforme indicado no livro. Outra maneira é considerar constante o comprimento do barbante. Isto é feito a seguir:

L1 L2 L3

L1 – x

L1 + L2 + L3 = L1 – x + L2 – x + L3 + y

s y = 2x

L2 – x

L3 + y

x

yA

B

B

A

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71

Segunda Terceira

Quarta Quinta

Marcha a ré Uma roda livre invertea rotação de saída

II. O parafuso sem-fimNos mecanismos estudados formados por duas ou mais rodas

denteadas, a transmissão do movimento se produz sempre entre eixos paralelos. Em muitos casos, porém, também é necessário transmitir um movimento de rotação entre eixos perpendiculares. Quando isso acontece, um dos mecanismos mais empregados é o parafuso sem-fim. É formado por duas partes: parafuso e coroa.

O parafuso é o elemento condutor. É acoplado ao eixo do •motor, que por sua vez pode ser acoplado a um motor elé-trico, a uma manivela ou a outro elemento capaz de pro-duzir movimento.

A coroa é uma roda denteada que gira à medida que gira o •eixo acoplado ao parafuso.

A relação de transmissão para a velocidade de rotação vem dada, nesse caso, pela seguinte expressão:

i 5 vcoroa __________ veixo do parafuso

5 Nparafuso

______ Ncoroa

Nessa expressão, Nparafuso é o número de entradas do parafuso (1, normalmente), e Ncoroa é o número de dentes da coroa. Como Nparafuso , Ncoroa, o parafuso sem-fim tem sempre uma relação de transmissão menor que 1, sendo, por isso, um mecanismo redutor de velocidade de rotação, isto é, a velocidade com que gira a roda é sempre menor que a velocidade de rotação do eixo do parafuso. (Para que a coroa dê uma volta completa, o parafuso deve dar o número de voltas igual ao número de dentes da coroa.) Na figura abaixo, observa-se que, enquanto o eixo do motor acoplado ao pa-rafuso girou algumas vezes, a coroa não girou uma volta completa.

30

Parafusosem-fim

Eixo domotor

Coroa

30

Esse mecanismo proporciona uma relação de transmissão muito reduzida. Por exemplo, se a roda tem 30 dentes e o parafu-so tem uma entrada, então a relação de transmissão será de 1 ___ 30 .

Isso quer dizer que a velocidade de rotação do eixo de saída será

trinta vezes menor que a velocidade de rotação do motor.

O sistema não funciona de maneira inversa, uma vez que a coroa não consegue mover o parafuso, pois sua rosca impede o movimento da coroa.

As aplicações do parafuso sem-fim são muito variadas: em mecanismos redutores de velocidade acoplados a motores elé-tricos, em cravelhas de violão e de outros instrumentos musi-cais, em sensores de rotação, entre outras.

III. O mecanismo biela-manivela No desenvolvimento e na fabricação de produtos com ele-

mentos móveis, frequentemente é necessário transformar um movimento retilíneo em um movimento de giro ou vice-versa. Para isso, emprega-se a união simples entre dois operadores, que constituem o sistema biela-manivela.

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Ponto morto

Engrenagens

Eixo motor

Eixo de saída

Primeira

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72

O giro produzido pode ser transmitido, diretamente ou por meio de engrenagens, a um eixo para produzir o movimento desejado na máquina. Por exemplo, nas locomotivas a vapor, o movimento comu-nicado pelo cilindro a uma biela serve para movimentar as rodas.

A • biela é uma peça cilíndrica larga. Por um de seus extremos, está conectada a um operador mecânico, que tem um movi-mento alternado de vaivém; pelo extremo oposto, está unida a outro operador: a manivela.

A • manivela atua como uma alavanca inter-resistente. A re-ação obtida é aplicada próxima do eixo de giro. Em muitas ocasiões, a roda desempenha o papel de manivela, como nas antigas locomotivas a vapor.

Essa união permite transformar o movimento alternado de vaivém em um movimento de rotação. É utilizado, por exemplo, nos motores dos automóveis para transformar o movimento li-near dos pistões em movimento de rotação.

Em seu movimento completo, um dos extremos da biela descre-ve um deslocamento (d) que depende da excentricidade do siste-ma (e), isto é, da distância que existe entre o ponto de união da biela com a roda e o eixo de rotação desta.

e

d = 2e

1

2

IV. Uma aplicação do mecanismo biela-manivela: o virabrequim

O sistema biela-manivela permite transformar um movimento retilíneo em um movimento circular. Isso ocorre no motor de um automóvel, que utiliza uma manivela múltipla: o virabrequim.

Em um virabrequim, existem várias bielas sobre um eixo co-mum. O movimento alternado dos pistões é comunicado às bielas, que o transmitem, por sua vez, ao virabrequim. Em um automóvel, esse movimento do virabrequim é transmitido às rodas para que o veículo se mova.

Sugestão de leitura para o professor“Quando a ciência omite as contradições”, de Maurício

Tuffani. Disponível em: <http://www.unesp.br/aci/revista/ed02/pdf/UC_02_Ponto.pdf>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)

“A modelagem científica de fenômenos físicos e o ensino de Física”, de Rafael V. Brandão, Ives S. Araújo e Eliane A. Veit. Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol9/Num1/modelagem.pdf>. (Acesso em: 18 mar. 2010.)

Um pouco de Pedagogia

A seguir, reproduzimos dois resumos de artigos (disponíveis na íntegra na internet) e que julgamos serem de interesse do(a) professor(a) em sua contínua formação profissional como educador.

Produção de conhecimento, ensino/aprendi-zagem e educação

Resumo“Este trabalho pretende debater, de uma pers-

pectiva filosófica, as relações entre o processo epistemológico específico da produção do conhe-cimento, o processo propriamente pedagógico ocorrente na situação de ensino/aprendizagem e o processo antropológico de formação do sujeito educando. Lida com a hipótese de que a educa-ção não se efetiva como construção do desenvol-vimento humano do educando apenas com base nos processos epistêmico-psíquico-pedagógicos tais como vêm sendo apresentados por vertentes contemporâneas do construtivismo. Defende en-tão a ideia de que os processos de construtividade presentes nas situações de produção do conheci-mento e de realização do ensino/aprendizagem só se legitimam como mediadores da educação quando marcados também pela historicidade tí-pica da prática real que constitui a substância do

1

Virabrequim

Eixo

Pistão

Biela

2

Esquema de um virabrequim

Virabrequim

Biela B

Biela A

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cc

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dil

so

n s

ec

co




73

Resolução de exercícios

UNIDADE IFundamentos da Ciência Física

Capítulo 1 A natureza da Ciência

1.A afirmação III está errada, pois a estimulação mag-nética transcraniana é controlada por um operador externo. A afirmação IV também está errada, pois na estimulação magnética transcraniana o paciente utiliza uma touca de borracha em que se assinala o local a ser estimulado. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

2.A resposta ao exercício é pessoal e pode variar de aluno para aluno. Aceita-se como resposta correta aquelas que citarem dentre as áreas envolvidas no desenvolvimento de próteses e ortóteses: a Mecânica, a Eletricidade e Magnetismo (para as baterias recarregáveis e motores elétricos) e a Física Quântica (no desenvolvimento de microssensores).

3.Observe que a alternativa a está errada, pois os países ricos não enviam matéria-prima reciclada aos países em desenvolvimento, mas “aparelhos recondicionados”. A alternativa b também é errada, pois não se trata de conquista de novos mercados, visto que os produtos re-ciclados são doados. Após uma análise crítica das demais alternativas propostas, observa-se que a mais coerente com o texto fornecido no enunciado é a alternativa c.

4.A leitura atenta da resposta do entrevistado deixa clara sua preocupação com a tomada de decisões erradas pelos robôs. Logo, a alternativa correta é a d.

5.O fato de as chaminés hidrotérmicas no fundo dos oceanos, jorrando água a 350 °C, sustentarem bactérias que transformam energia química em biológica ter sido descoberto em 1977 deixa claro que a Ciência ainda tem muito o que descobrir. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

6.A leitura do texto, associada aos conhecimentos prévios dos alunos, permite concluir que a alternativa correta é a alternativa e.

7.“A Física Médica é desenvolvida principalmente nas áreas de Radiologia Diagnóstica e Intervencionista, Medicina Nuclear, Radioterapia, Radiocirurgia [...]. Os profissionais de Física Médica são indispensáveis na utilização de tecnologias de ponta como aceleradores lineares clínicos, [...] tomógrafos de ressonância magné-tica, assim como na garantia da qualidade dos serviços de saúde prestados à sociedade.”

Associação Brasileira de Física Médica, texto na íntegra no sítio: <http://www.abfm.org.br/fm.asp> (Acesso em: fev. 2010.)

8.O exercício é bastante simples e visa apenas verificar se o aluno assimilou os conceitos enunciados no texto.

próprio existir concreto dos homens. De modo especial, a presente reflexão busca destacar as possíveis contribuições do pensamento de Vygotsky ao esclarecimento do sentido da educação em seu vínculo com processossocioculturais envolventes.”

SEVERINO, A. J. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1414-32831998000200002

&lng=pt&nrm=iso>. (Acesso em: 19 mar. 2010.)

Há uma discussão no meio acadêmico que divide pensa-dores e educadores: ainda estamos na modernidade ou já adentramos a pós-modernidade? Neste sentido, sugerimos a leitura do próximo artigo.

Modernidade/pós-modernidade: tensões e repercussões na produção de conhecimento em educação

Resumo“Discutem-se nesse artigo as repercussões

que o debate em torno de uma superação da modernidade e a suposta instauração de uma pós-modernidade traz para a Educação como campo de conhecimento, mais espe-cialmente para a pesquisa nesse campo. Dis-cute-se criticamente a tese de que viveríamos na pós-modernidade, dando ênfase a essa afirmação no âmbito do pensamento social, principalmente por compreender-se que essa expressão não tem a força e a intensidade de um conceito filosófico, acabando vazia de sentido. Ressalta-se que um de seus primei-ros usos no campo da filosofia, por Lyotard, deu-se como um adjetivo e não como um substantivo, o que faz significativa diferença. Para além do debate sobre o fim ou não da modernidade, opta-se pela noção de hiper-modernidade, proposta por Lipovetsky, como forma de caracterização do mundo contem-porâneo, buscando compreender suas impli-cações. Por outro lado, o autor reconhece as importantes contribuições da tese que afir-ma a pós-modernidade, principalmente em seus aspectos epistemológicos e políticos, na medida em que desloca o foco de análise. Caracteriza o presente debate como a tensão entre duas imagens do pensamento que não são absolutamente novas, mas que ganham especial destaque na contemporaneidade, defendendo que devemos tomar essa tensão naquilo que ela apresenta de possibilidade criativa, sem paralisar o pensamento.”

GALLO, S. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1517-97022006000300009

&lng=pt&nrm=iso>. (Acesso em: 19 mar. 2010.)

74

Se quiser sugira outras frases, embaralhando as letras de algumas palavras-chave.

a) Os antigos ALQUIMISTAS e os modernos QUÍMICOS têm um propósito comum: ENTENDER a natureza da MATÉRIA.

b) Os alquimistas buscavam uma MANEIRA de fabricar OURO; os químicos atuais buscam CRIAR novas MO-LÉCULAS.

c) Os avanços CIENTÍFICOS mostraram que a matéria é constituída por PARTÍCULAS chamadas ÁTOMOS. Os ÁTOMOS se agrupam e formam COMPOSTOS.

9.O ponto de fusão do ferro, mais alto que o do chumbo, poderia ser explicado considerando-se que os ganchos e engates dos átomos de ferro formariam ligações mais re-sistentes do que as formadas pelos átomos de chumbo.

10. Uma transformação química exige a presença de rea-gentes que acabam por gerar os produtos da reação. Um exemplo simples, e bastante comum, de transformação química é a combustão. Mostramos abaixo a reação de combustão completa do metano (CH4):

CH4 1 2 O2 # CO2 1 2 H2O

Observe que os reagentes (metano e oxigênio) con-vertem-se em outras substâncias (dióxido de carbono e água).

11. Com os dados da tabela podemos calcular a densidade d dos metais apresentados:

dsódio 5 100 g _________

103,3 cm3 V dsódio 5 0,968 g/cm3

dlítio 5 200 g _________

374,5 cm3 V dlítio 5 0,534 g/cm3

dalumínio 5 300 g _________

111,1 cm3 V dalumínio 5 2,700 g/cm3

Portanto, em ordem crescente de densidade, temos: lítio, sódio e alumínio.Dos metais apresentados, os menos densos do que a água (densidade igual a 1,0 g/cm3) são o lítio e o sódio.

12. Para a aroeira, temos:

daroeira 5 1.770 g

_________ 1.500 cm3 V daroeira 5 1,18 g/cm3

E, para o pau-ferro:

dpau-ferro 5 840 g ________

750 cm3 V dpau-ferro 5 1,12 g/cm3

13. O exercício explora a aplicação prática de diferentes ma-teriais levando-se em conta suas propriedades físicas.A. O fio elétrico de cobre explora a ductilidade e a

condutibilidade elétrica dos metais.B. Uma joia de ouro aproveita a maneabilidade e a

ductilidade do metal para montar intrincados or-namentos.

C. Uma broca de diamante explora a dureza dessa substân-cia para, com ela, riscar e perfurar outros materiais.

D. As cores e a transparência do vidro são as principais características que tornam esse material bastante usado na fabricação de enfeites.

E. Os adoçantes artificiais (a sacarina e o aspartame, dentre outros) apresentam grande solubilidade em líquidos, o que facilita sua utilização pela indústria alimentícia e em casa.

F. A borracha tem largo emprego nos dias atuais, seja por sua capacidade de ser facilmente moldada ou ainda por ser um bom isolante elétrico. No caso do balão de borracha, a propriedade física explorada é a sua elasticidade.

G. Nos óculos de sol exploramos as propriedades ópticas do vidro, ou dos acrílicos, que permitem a passagem de certas ondas luminosas através deles e impedem (por absorção) a transmissão de outras, ultravioleta por exemplo.

H. O perfume, por sua volatilidade, espalha-se pelo am-biente.

I. Um conduíte de plástico, usado para a passagem de fios elétricos dentro de paredes, faz uso de sua baixa conduti-vidade elétrica e sua grande impermeabilidade a líquidos, para tornar mais seguras as instalações elétricas.

J. Utilizamos o papel-alumínio por sua grande maleabi-lidade quando, por exemplo na cozinha, é usado para envolver e embalar alimentos.

K. Uma blusa de lã, devido à sua baixa condutibilidade térmica, reduz a perda de calor do corpo para o meio ambiente.

Se julgar interessante, cite uma determinada propriedade física e peça aos alunos que exemplifiquem seu uso em materiais e equipamentos do cotidiano.

14. Dentre outros materiais, Edison testou filamentos de carvão, de tecido, de bambu e muitos outros. A principal propriedade física que permite ao tungstênio ser usado como filamento de lâmpada incandescente é o seu elevado ponto de fusão (3.422 °C).

15. Você pode fornecer aos alunos uma noção qualitativa da viscosidade: quanto mais rapidamente um líquido for capaz de escorrer, menor é a sua viscosidade. Um pote de mel, guardado dentro da geladeira, torna-se tão viscoso que é difícil servir-se. Então, por comparação, se colocarmos cada líquido em uma colher, o que demorará mais para escorrer da colher será o mel. Portanto, o mel é o líquido mais viscoso dentre os apresentados.

16. Para resolver o teste, o aluno deverá perceber que, na lista fornecida, um determinado material pode riscar apenas os materiais que aparecem acima dele. Portanto, a afirmação III está errada e o número de afirmações corretas é 4 (alternativa d).

17. O vidro usado em panelas (vidro temperado) deve ter uma maior resistência a impactos e ao calor. Além disso, deve ser melhor condutor de calor que o vidro usado em vidraças.

18. A escolha do material mais indicado para a construção de um pequeno bote de pesca deverá levar em consideração os fatores custo, peso e facilidade de manipulação. Assim, ele poderá ser fabricado com madeira (mais barato), ou com alumínio (mais leve) ou com fibra de vidro (mais fácil de ser moldado).

19. Levando-se em consideração que o banco deve resistir às intempéries (chuva, sol, frio, calor etc.), ser resistente e barato, a melhor escolha é, muito provavelmente, o concreto.

75

Capítulo 2 Os métodos da Ciência Física

1.A resposta ao exercício consta do texto do capítulo.A aplicação do método científico exige, primeiramente, a definição e identificação do problema. A seguir deve-se enunciar uma hipótese.A realização de experimentos e a consequente obtenção de dados permite verificar a validade da hipótese enunciada no passo anterior e tirar as conclusões possíveis.Se necessário, pode-se revisar a hipótese e fazer outra, que esteja mais de acordo com os dados obtidos nos experimentos.

2.A resposta a esse exercício também consta do texto do capítulo.A hipótese é qualquer explicação razoável, ou mesmo uma resposta para um problema ou fenômeno observado.Se julgar conveniente, proponha aos alunos que estabele-çam hipóteses sobre fenômenos observados no dia a dia: a falta de chuvas em determinadas regiões ou a ocorrência de enchentes em outras, por exemplo.

3.A realização de experimentos visa obter dados e, a partir deles, verificar a validade de uma determinada hipótese. Muitas vezes a análise desses dados obriga o pesquisador a rever e reformular a hipótese feita inicialmente.

4.Se os dados obtidos experimentalmente confirmarem a hipótese, então novos experimentos deverão ser realiza-dos para comprovar a exatidão dos dados e da hipótese. Entretanto, se os dados não confirmarem a hipótese, ela deverá ser modificada ou, em um caso extremo, totalmente descartada, sendo substituída por outra mais adequada.

5.A hipótese é uma possível explicação para um fe-nômeno observado e que tenha sido comprovada experimentalmente.A teoria é a explicação concreta do fenômeno e é baseada em inúmeras experiências repetidas por diversas vezes.A lei, em muitas vezes, é uma descrição matemática dos fenômenos e pode ser escrita na forma de uma expressão matemática (uma fórmula).

6.O exercício exige que o aluno perceba a lei de formação de cada série.a) Os valores da série aumentam de 3 em 3. Assim, os 3

próximos valores serão: 12, 15 e 18.b) Observe que o n-ésimo termo da série é igual a 2n.

Portanto, os termos de ordem 4, 5 e 6 serão, respecti-vamente, 24 5 16, 25 5 32 e 26 5 64.

c) Note que, para a obtenção do segundo termo, adicionamos 1 ao primeiro termo da série; para a obtenção do terceiro termo, adicionamos 2 ao segundo termo. Assim, para a obtenção do quarto termo devemos adicionar 3 ao terceiro termo e assim por diante. Teremos, então: 13, 17, 22.

7.Na sequência de Fibonacci, a partir do terceiro termo, cada termo é a soma dos dois anteriores. Assim, tere-mos: 21 (dado por 8 1 13), 34 (dado por 21 1 13) e 55 (dado por 34 1 21).

8.Mostre aos alunos que, pelo exemplo dado no enunciado, a tendência é de simplificação do ideograma. Para o ideogra-ma de luta, devemos iniciar com um desenho que mostre uma luta entre duas pessoas. Dessa maneira, a alternativa que melhor representa a evolução do ideograma para luta é a alternativa b.

9.Esse exercício pode ser utilizado para mostrar que, muitas vezes, um problema admite mais de uma solução. Partindo da sentença inicial (9 2 3 5 6) e movendo apenas um palitinho, pode-se obter: 3 1 3 5 6 ou 8 2 3 5 5.Outros exercícios usando sentenças matemáticas podem ser avaliados no artigo “Uma proposta de utilização de jogos com interdisciplinaridade na perspectiva dos temas transversais: interdisciplinar para o ensino de matemática: Puzzles com fósforos”. O artigo está disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Comunicacao_Cientifica/Trabalhos/CC19453574449cT.rtf> (Acesso em: dez. 2010.).

10. Esse problema é um clássico dos jogos com palitinhos de fósforo. Uma das soluções possíveis é:

11. A resolução do problema exige que o aluno perceba uma certa simetria na figura do peixe. Uma das soluções possíveis é:

Note que também podemos tirar os três palitos da parte de cima do peixe e passá-los para baixo, obtendo:

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

o

76

12. O problema é difícil e a maioria dos alunos acredita que pode dividir a placa traçando três segmentos de reta. Mostre aos alunos que a placa tem uma área total de 3 m2. Assim, cada parte a ser obtida deverá ter uma área de 0,75 m2, ou seja, 3 __ 4 m2. Dividindo a placa em pequenos quadradinhos com lado de 0,5 m e área de 0,25 m2 cada um, obteremos 12 quadradinhos.

Dessa maneira, cada parte a ser obtida deverá ser cons-tituída por 3 quadradinhos dispostos de maneira a ter um mesmo formato, como mostrado abaixo:

1 m

1 m

1 m

1 m

2 m

2 m

13. Observe que o problema não pode ser resolvido usando-se um sistema de duas equações a duas incógnitas, pois não sabemos o número total de itens a serem comprados. Por-tanto, é recomendável montar uma tabela e por meio dela descobrir a compra que resulta em um gasto de exatamente R$ 5,00. A única possibilidade é comprar 4 lápis (R$ 1,40) e 6 canetas (R$ 3,60).

14. Para que um número N seja apresentado em notação científica devemos escrevê-lo na forma N 5 m ? 10n, com 1 < m , 10.Os valores apresentados em a, d, f, e h já estão escritos na forma de notação científica e nada temos para alte-rar. Os outros valores deverão ser reescritos como:b) 23,5 ? 1024 5 2,35 ? 101 ? 1024 5 2,35 ? 1023

c) 0,73 ? 103 5 7,3 ? 1021 ? 103 5 7,3 ? 102

e) 0,067 ? 1022 5 6,7 ? 1022 ? 1022 5 6,7 ? 1024

g) 1.560 ? 1023 5 1,560 ? 103 ? 1023 5 1,560 ? 100

15. Exercício semelhante ao anterior.a) 1.230 5 1,230 ? 103

b) 0,056 5 5,6 ? 1022

c) 14 ? 1023 5 1,4 ? 101 ? 1023 5 1,4 ? 1022

d) 0,88 ? 105 5 8,8 ? 1021 ? 105 5 8,8 ? 104

e) 65,4 ? 102 5 6,54 ? 101 ? 102 5 6,54 ? 103

f) 0,45 ? 108 5 4,5 ? 1021 ? 108 5 4,5 ? 107

g) 540 5 5,40 ? 102

h) 0,75 5 7,5 ? 1021

1 m

1 m

1 m

1 m

2 m

2 m

16. Os valores apresentados são: 800; 0,00006; 100; 50.000 e 0,02.Em ordem decrescente, temos: 50.000 . 800 . 100 . . 0,02 . 0,00006.

Ou seja, 5 ? 104 . 8 ? 102 . 102 . 2 ? 1022 . 6 ? 1025 (alternativa b).

17. No item a, lembre aos alunos que a ordem dos fatores não altera o produto.

a) F 5 (3,2 ? 103) ? (4,5 ? 1025) 5 (3,2 ? 4,5) ? (103 ? 1025) 5 5 14,4 ? 1022 5 1,44 ? 1021

b) d 5 9,9 ? 103

_________ 3,3 ? 1022 5 9,9 ___ 3,3 ? 103 ? 102 5 3,0 ? 105

18. O número n de balas vermelhas é 40%, ou seja, 0,40 do número total N de balas no recipiente. Assim:

n 5 0,40 ? N V n 5 0,40 ? 10.000 V n 5 4.000 V V n 5 4,0 ? 103

19. O problema explora a conversão da unidade de medida de comprimento metro (m) para centímetros (cm), milímetros (mm) e quilômetros (km).a) O prefixo centi (c) equivale a 1022. Devemos, então,

fazer surgir essa potência de dez na medida dada. As-sim, lembrando que 10n ? 102n 5 100 5 1, temos:1,83 m 5 1,83 ? 102 ? 1022 m 5 1,83 ? 102 cm

b) O prefixo mili (m) equivale a 1023. Então:1,83 m 5 1,83 ? 103 ? 1023 m 5 1,83 ? 103 mm

c) O prefixo quilo (k) equivale a 103. Portanto:1,83 m 5 1,83 ? 1023 ? 103 m 5 1,83 ? 1023 km

20. Outro exercício que explora a conversão de unidades de medidas de comprimento. Desta vez de pés para metros: 1 pé 5 0,3 m.De acordo com o enunciado, o raio da órbita segura (igual a 2,1 ? 105 m) foi interpretado como sendo dado em pés. Assim, a órbita que seria segura tornou-se fatídica com raio r igual a 2,1 ? 105 pés. Assim, a nova órbita tem raio r, em metros, igual a:r 5 2,1 ? 105 pés 5 2,1 ? 105 ? 0,30 m 5 5 0,63 ? 105 m 5 6,3 ? 104 m

21. Semelhante ao exercício 19 dessa mesma série. Desta vez, porém, a conversão ocorre entre unidades de medidas de massa.a) Lembrando que o prefixo quilo (k) equivale a 103,

temos:

2,5 kg 5 2,5 ? 103 g

b) Observe que 1 t 5 103 kg. Assim, devemos fazer surgir na medida a potência 103:

2,5 kg 5 2,5 ? 1023 ? 103 kg 5 2,5 ? 1023 t

22. Devemos agora fazer uma conversão entre unidades de medidas de tempo. Lembre aos alunos que 1 h 5 60 min e que 1 min 5 60 s.

a) 1 h 40 min 5 60 min 40 min 5 100 min 5 1 ? 102 minb) 1 h 40 min 5 60 min 40 min 5 100 min 5 100 ? 60 s 5

5 6.000 s 5 6 ? 103 s

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

77

23. a) Destaque aos alunos que a duração de um evento (ou seja, um determinado intervalo de tempo) é dada pela diferença entre o instante final e o instante inicial. No nosso caso: 11 h 50 min 20 s (instante final) e 10 h 05 min 30 s (instante inicial).A duração Dt da corrida é dada, portanto, pela diferença:

Dt 5 11 h 50 min 20 s 2 10 h 05 min 30 s VDt 5 11 h 49 min 80 s 2 10 h 05 min 30 s VV Dt 5 1 h 44 min 50 s

b) 1 h 44 min 50 s 5 60 min 1 44 min + 50 ___ 60 min 5 5 104,83 min

c) 1 h 44 min 50 s 5 3.600 s 1 44 ? 60 s 1 50 s 5 5 3.600 s 1 2.640 s 1 50 s 5 6.290 s

24. Lembre aos alunos que os zeros à esquerda não cons-tituem algarismos significativos.a) Temos 4 algarismos significativos: 3, 3 e 5 certos

e o último 5, duvidoso.b) Temos 2 algarismos significativos: o 2 é o certo

e o 3, duvidoso.c) Temos 3 algarismos significativos: o 1 e o 3 certos

e o 2, duvidoso.d) Temos 3 algarismos significativos: o 2 e o 4 certos

e o 7, duvidoso.e) Temos 4 algarismos significativos: 3, 0 e 0 certos

e o último 0 à direita, duvidoso.f) Temos 2 algarismos significativos: o 1 certo e o

6, duvidoso.

25. O volume V do reservatório é dado por:

V 5 2 ? 2 ? 0,80 V V 5 3,20 m3

Lembrando que 1 m3 equivale a 1.000 litros, concluímos que a capacidade do reservatório é de 3.200 litros.Contendo água apenas até a metade, o reservatório armazena 1.600 litros de água (alternativa d).

26. Observe que, com a régua calibrada em milímetros, apenas a casa dos décimos de milímetros constituem o algarismo duvidoso e, nesse caso, poderíamos escrever: 150,0 mm.Caso a resposta seja dada em centímetros, a primeira casa após a vírgula refere-se a milímetro (algarismo dado como certo) e a segunda casa após a vírgula será o algarismo duvidoso. Portanto a resposta correta é 15,00 cm (alternativa c).

27. A área deve ter um número de algarismos signifi-cativos igual ao do fator com o menor número de alguarismos significativos. Portanto, a área do quarto deve possuir dois algarismos significativos: 9,1 m2.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

28. As divisões das escalas de ambos os voltímetros são idênticas: de 0,2 V em 0,2 V.O valor exato da leitura do voltímetro A deve ficar entre 7,4 e 7,6. Podemos, com pequena margem de erro, considerar 7,5 e, como tal leitura deve ser mul-tiplicada por 10, podemos afirmar que o voltímetro A fornece uma leitura de 75 V.

O valor da leitura do voltímetro B situa-se entre 0,6 e 0,8 e podemos, com uma margem de erro maior que a anterior (pois essa leitura será multiplicada por 100), considerá-la igual a 0,7. Assim, a leitura do voltímetro B fornece o valor 70 V.Logo, o valor mais provável da voltagem é 75 V e a indicação do voltímetro A é a mais precisa (alternativa a).

29. A densidade volumétrica do corpo é dada por:

d 5 m __ V V d 5

0,56 kg _______

2,7 ,  V d 5 0,21 kg/,

Observe que o resultado da divisão foi representado com apenas 2 algarismos significativos.

30. Mais uma vez devemos seguir as regras gerais enunciadas no texto.Calculemos o volume V do corpo:V 5 S ? h V V 5 2,5 ? 3,5 V V 5 8,75 cm3

Apresentando esse resultado com 2 algarismos significati-vos fica 8,8 cm3 ou, em notação científica, 8,8 ? 100 cm3.

31. Aplicando a relação dada no enunciado e com os dados numéricos fornecidos, temos:

V 5S ? h V 9,6 5 3,2 ? h V h 5 9,6 ___ 3,2 V

V h 5 3,0 m V h 5 3,0 ? 100 m

32. Ao resolver este exercício, o aluno deve seguir as regras gerais enunciadas no texto.

a) A resposta ao cálculo deve ser dada com 2 algarismos significativos:A 5 0,36 ? 8,53 V A 5 3,0708 V A 5 3,1 ? 100

b) A resposta deve ser dada com 2 algarismos signi-ficativos:

B 5 3,60 ____ 1,2 V B 5 3,0 V B 5 3,0 ? 100

c) A resposta deve ser dada com 2 algarismos signi-ficativos:

C 5 (2,00 ? 1023) ? (2,5 ? 102) V C 5 5,0 ? 1021

d) A soma deve ser feita com as parcelas arredondadas (apenas uma casa após a vírgula):

D 5 21,4 1 0,46 1 2,312 VV D 5 21,4 1 0,5 1 2,3 V D 5 24,2 VV D 5 2,42 ? 101

e) A subtração deve ser feita com arredondamento dos termos para apenas uma casa após a vírgula:

E 5 12,58 2 6,3 V E 5 12,6 2 6,3 V E 5 6,3 VV E 5 6,3 ? 100

f) Mais uma vez devemos considerar os termos com apenas uma casa após a vírgula:F 5 123,875 1 25,7 2 0,67 VV F 5 123,9 1 25,7 2 0,7 V F 5 148,9 VV F 5 1,489 ? 102

33. Sendo M a massa do Sol e m a massa de um átomo de hidrogênio, podemos calcular o número n de átomos de hidrogênio no Sol por:M 5 n ? m V 1,99 ? 1030 5 n ? 1,67 ? 10227 V

V n 5 1,99 ? 1030

___________ 1,67 ? 10227 V n 5 1,2 ? 1057 átomos

A resposta correta encontra-se na alternativa b.

78

34. A área S do chip (quadradinho com 5 mm de lado) é dada por:S 5 (5 ? 1023)2 V S 5 25 ? 1026 m2

Sobre esta área distribuem-se n 5 107 transistores (ou seja, 10 milhões).Assim, a área s de cada transistor é calculada por:

S 5 n ? s V s 5 25 ? 1026

_________ 107 V s 5 2,5 ? 10212 m2

Portanto, a ordem de grandeza da área de cada transistor é de 10212 m2 (alternativa e).

35. A dimensão do átomo é da ordem de 1 ângström 5 5 10210 m.Para preencher um comprimento de 100 m, devemos ter um número n de átomos dados por:

n 5 100 _____ 10210 V n 5 102

_____ 10210 V n 5 1012 átomos

(alternativa d)

36. 1 mês 5 30 dias 5 30 ? 24 ? 3600 s 5 2,592 ? 106 sCom três algarismos significativos, temos:1 mês 5 2,59 ? 106 sSendo 2,59 , 3,16, concluímos que a ordem de gran-deza é 106 s.

37. Vamos supor que o coração bata 70 vezes por minuto.Seja 1 dia 5 24 h 5 24 ? 60 min 5 1.440 min.O número de batimentos num dia será:70 batimentos/minuto ? 1.440 minutos 5 100.800 batimentosEm notação científica e com três algarismos significa-tivos, temos: 1,00 ? 105 batimentosSendo 1,00 , 3,16, concluímos que a ordem de grandeza é 105 batimentos.

38. O disco gira a 33 1 __ 3 rpm, ou seja, aproximadamente 33,33 rotações por minuto. O número N de rotações em 5 minutos é dado por:

N 5 33,33 rotações

________ min

? 5 min V N 5 166,65 rotações V

V N 5 1,7 ? 102 rotações V N 5 102 rotações

39. Com uma régua comum podemos medir a espessura, por exemplo, de 300 páginas do livro, ou seja, 150 folhas. Encontramos para tal espessura o valor de aproxima-damente 15 mm. Assim, a espessura e de cada folha é aproximadamente igual a:

e 5 15 mm _________ 150 folha

V e 5 1021 mm _____ folha

40. Podemos resolver o problema considerando simples-mente que uma pessoa flutua em água com pratica-mente todo o corpo imerso. Assim, a densidade do corpo de uma pessoa é da ordem de 103 kg/m3 que é o valor da densidade da água.Outra resolução, mais trabalhosa, seria fazer uma esti-mativa da massa e do volume do corpo de uma pessoa. Como queremos uma estimativa, podemos considerar que o corpo da pessoa é constituído por um cubo (cabeça) e por 5 prismas (tronco, pernas e braços).

• Cabeça:cubocomdimensões2dm3 2 dm 3 2 dm e volume 8 dm3.

• Tronco:paralelepípedocomdimensões2dm3 4 dm 3 5 dm e volume 40 dm3.

• Braço:paralelepípedocomdimensões1dm3 1 dm 3 6 dm e volume 6 dm3.

• Perna:paralelepípedocomdimensões1dm3 1 dm 3 10 dm e volume 10 dm3.

Portanto, o volume total do corpo de uma pessoa é de aproximadamente 80 dm3, ou seja, 80 litros, ou ainda 0,080 m3.Estimando a massa do corpo de pessoa em 70 kg, teremos para sua densidade:

d 5 70 kg ________

0,080 m3 V d 5 875 kg

___ m3 V d 5 103

kg ___

m3

41. A população brasileira, por exemplo em 2004, era de cerca de 180 milhões de pessoas distribuídas em uma área de aproximadamente 8,5 milhões de km2.A densidade populacional D é dada por:

D 5 180 ? 106 habitantes __________________ 8,5 ? 106 km2 V D 5 21 habitantes __________

km2 V

V D 5 2,1 ? 101 habitantes __________ km2 V D 5 101 habitantes __________

km2

42. Inicialmente devemos fazer uma estimativa grosseira do volume V da lata de leite em pó e do volume v da bolinha de gude.Consideremos uma lata de leite cilíndrica com altura 15 cm e raio da base 7 cm e a bolinha de gude esférica com raio de 1 cm.Assim, temos: V 5 735 ? p cm3 e v 5 1,33 ? p cm3

O número n de bolinhas de gude que podem ser aco-modadas na lata é dado por:

n 5 735 ? p cm3

_______________ 1,33 ? p cm3

_______ bolinha

V n 5 552 bolinhas V

V n 5 5,52 ? 102 bolinhas V n 5 103 bolinhas

43. A cada volta do pneu o carro avança por uma distância igual a 2 ? p ? r (perímetro da circunferência do pneu). Assim, o número N de voltas ao percorrer uma distância D 5 500 km é dado por: D 5 N ? 2 ? p ? r.Devemos estimar o raio r do pneu do carro. Consideremos r 5 25 cm 5 0,25 m.Então:

500 ? 103 5 N ? 2 ? p ? 0,25 V N 5 5 ? 105

_______ 0,5 ? p V

V N 5 3,18 ? 105 voltas V N 5 106 voltas

Observe que uma ordem de grandeza de 105 voltas tam-bém seria plenamente aceitável, visto que o resultado obtido está muito próximo deste valor.

44. As dimensões de uma banheira de hidromassagem são, aproximadamente, iguais a 1 m 3 2 m 3 0,5 m. Portanto, o volume de uma banheira de hidromassagem é de cerca de 1 m3, ou seja, 1.000 litros.Cada litro corresponde a 1.000 cm3 e cada cm3 contém 20 gotas. Assim, cada litro de água corresponde a 20.000 gotas ou 2 ? 104 gotas.No volume de 1.000 litros da banheira teremos então 1.000 ? 2 ? 104 gotas ou 2 ? 107 gotas.Portanto, a ordem de grandeza do número de gotas para encher a banheira de hidromassagem é de 107 gotas.

79

45. As dimensões de uma lata de refrigerante são aproxi-madamente: 4 cm de raio da base e 12 cm de altura.Assim, a área da base de uma lata de refrigerante é cerca de 16 ? p cm2. Tal área corresponde, aproximadamente, a 5 ? 1023 m2.A área do Brasil pode ser estimada em cerca de 8,5 milhões de km2 ou 8,5 ? 1012 m2.Assim, para cobrir toda a área do Brasil com uma camada de N latinhas, colocadas em pé lado a lado, devemos ter:

N 5 8,5 ? 1012

_________ 5 ? 1023 V N 5 1,7 ? 1015 latinhas ________

camada

Com um mol de latinhas (6 ? 1023), podemos obter um número x de camadas dado por:

x 5 6 ? 1023

_________ 1,7 ? 1015 V x 5 3,5 ? 108 camadas

A altura total H dessa pilha de latas, considerando que cada camada tenha altura de 0,12 m, será:

H 5 3,5 ? 108 camadas ? 0,12 m _______ camada

V

V H 5 4,2 ? 107m V H 5 108 m

46. O exercício deve ser resolvido analisando-se uma a uma as alternativas e levando-se em conta as informações do gráfico.a) Errada, pois no período 1986-1988 a taxa de desem-

prego permaneceu praticamente constante (em torno de 9%) com queda em 1989 e aumento em 1990.

b) Errada, a menor taxa ocorreu em 1989 (cerca de 8,5%).

c) Errada, entre 1992 e 1995 a taxa de desemprego decresceu.

d) Errada, pois em nenhum momento a taxa de desem-prego atingiu 16%.

e) Certa.

47. O gráfico permite afirmar que o candidato A tem 200 pro-váveis eleitores; o B, 600 eleitores; o C, 1.000 eleitores; o D, 500 eleitores e que 100 eleitores não têm candidato.a) O número total de pessoas consultadas na pesquisa

é, portanto:N 5 200 1 600 1 1.000 1 500 1 100 V N 5 5 2.400 pessoas

b) A porcentagem de entrevistados que pretendem votar em C é:

pC 5 NC ___ N

V pC 5 1.000 ______ 2.400 V pC 5 0,4166 V

V pC 42%

48. O problema exige a construção de um gráfico e a reali-zação de muitos cálculos simples.a) A partir dos dados da tabela fornecida no enunciado,

podemos construir o gráfico a seguir:

Dez.Nov.Out.Set.Ago.Jul.Jun.Meses

MaioAbr.Mar.Fev.

Pre

ço d

o pr

odut

o (R

$)

Jan.130

150

140

160

180

170

190

b) A variação percentual x do preço p do produto em dado mês, tomando como base o preço praticado

em janeiro, é dada por: x 5 p 2 pjaneiro _________ pjaneiro

.

Obtemos, então, os valores tabelados abaixo:

Jan. 0

Fev. 2

Mar. 3,3

Abr. 6,7

Maio 9,3

Jun. 13,3

Jul. 14,7

Ago. 12

Set. 14,7

Out. 16,7

Nov. 20

Dez. 18,7

Com tais dados podemos construir o gráfico da va-riação percentual do preço em função do tempo.

c) O cálculo da variação percentual do preço de um período para outro, ao longo do ano, permite obter os valores da tabela abaixo.

Fev. - Jan. 2

Mar. - Fev. 1,3

Abr. - Mar. 3,2

Maio - Abr. 2,5

Jun. - Maio 3,6

Jul.- Jun. 1,1

Ago. - Jul. 22,3

Set. - Ago. 2,4

Out. - Set. 1,7

Nov.- Out. 2,6

Dez.- Nov. 21,1

Assim, a maior variação percentual de preço ocorreu de maio para junho (3,6%) e a menor de julho para agosto (22,3%).

49. a) O gráfico informa que 10 funcionários ganham entre 0 e R$ 500,00; 4 funcionários ganham entre R$ 500,00 e R$ 1.000,00 reais e que em cada uma das outras três faixas salariais existem 2 funcionários por faixa. Por-tanto, o número N de funcionários é igual a:

N 5 10 1 4 1 2 1 2 1 2 V N 5 20 funcionários

Dez.Nov.Out.Set.Ago.Jul.Jun.MaioAbr.Mar.Fev.Jan.0

5

10

15

20

25

Var

iaçã

o pe

rcen

tual

(%

)

Meses

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

80

b) Para o cáculo da média salarial usaremos o valor médio de cada faixa de salário.

A média é calculada por:

__ S 5 10 ? 250 1 4 ? 750 1 2 ? 1.250 1 2 ? 1.750 1 2 ? 2.250 ____________________________________________ 20

V __ S 5 2.500 1 3.000 1 2.500 1 3.500 1 4.500 _____________________________________ 20

V __ S 5 16.000 _______ 20 V

__ S 5 R$ 800,00

c) Os salários abaixo da média são de 10 funcionários que ganham na faixa de 0 a R$ 500,00. Portanto, 50% dos funcionários dessa empresa têm salário abaixo da média.

50. a) A partir dos dados da tabela podemos obter as vendas por trimestre e por região:V1T 5 20 1 30 1 46 V V1T 5 96V2T 5 27 1 39 1 47 V V2T 5 113V3T 5 90 1 35 1 45 V V3T 5 170V4T 5 20 1 32 1 44 V V4T 5 96VLeste 5 20 1 27 1 90 1 20 V VLeste 5 157VOeste 5 30 1 39 1 35 1 32 V VOeste 5 136VNorte 5 46 1 47 1 45 1 44 V VNorte 5 182

b) Os gráficos podem ser construídos a partir dos dados obtidos no item anterior.

Desempenho de vendas por trimestre

Desempenho de vendas por região

180

160

140

120

100

80

60

40

20

01º Trim. 2º Trim. 3º Trim. 4º Trim.

Ven

das

Trimestres

Ressalte aos alunos que o tipo de gráfico apresentado é denominado “gráfico de barras” e, geralmente, é usado em caso de valores discretos e descontínuos.

c) De acordo com os valores obtidos no item a, podemos afirmar que a região que apresentou o melhor de-sempenho foi a região Norte e que as vendas tiveram melhor resultado no 3o trimestre.

200

150

100

50

0Leste Oeste Norte

Ven

das

Regiões

51. a) A partir dos dados da tabela, fornecida no enunciado, podemos esboçar o gráfico a seguir:

b) Entre as 10 h 45 min e as 11 h 00 min, o automóvel permaneceu no marco 125 km da estrada. Podemos concluir que, nestes 15 minutos, o carro pode ter parado.

52. a) De acordo com as informações do gráfico, para cada xícara grande de café em pó forte que uma pessoa toma, ela estará consumindo cerca de 200 mg de cafeína.Assim, se uma pessoa toma 5 xícaras grandes de café em pó forte por dia, ela estará consumindo 1.000 mg de cafeína.

b) Se a pessoa substituir o café em pó forte por chá forte ela passará a consumir apenas 60 mg de cafeína por xícara.Mantendo-se a quantidade de cafeína ingerida durante o dia (1.000 mg), ela poderá ingerir uma quantidade maior de bebida. O novo número N de xícaras de chá forte que poderá ingerir é dado por:

N 5 1.000 mg

____________ 60 mg/xícara

V N 17 xícaras

53. Deve-se analisar cada uma das alternativas para chegar à correta.a) Errada, pois, de acordo com o gráfico, o maior des-

matamento ocorreu em 1995.b) Errada, pois, de acordo com o gráfico, a área desma-

tada foi menor em 2007 que em 1997.c) Errada, pois no período a área desmatada teve um

pequeno aumento.d) Correta. Observe que o aumento entre 1994 e 1995

foi maior que o aumento verificado entre 1997 e 1998.

e) Errada, pois se em cada um dos anos citados o desmatamento foi menor do que 20.000 km2, não poderíamos ter naqueles três anos um total de área desmatada maior que 60.000 km2.

54. Deve-se, mais uma vez, analisar com cuidado cada uma das alternativas.a) Errada. Em 2003, a produção foi de 2.000.000 de

toneladas de grãos.b) Errada. Observa-se que a produção de grãos oscilou

continuamente, para mais e para menos, de ano para ano.

c) Errada. De 2001 para 2003 houve um pequeno au-mento na área plantada.

d) Correta. Observe que as barras indicativas da pro-dução de grãos acompanham a curva de rendimento médio do plantio.

e) Errada. A área plantada em 2007 foi menor que a área plantada em 2001.

11:3011:00Tempo (h e min)

10:30

Pos

ição

(km

)

10:000

50

100

150

200

ILU

STR

Aç

õe

S: A

dIL

So

n S

ec

co

Ad

ILS

on

Se

cc

o

81

55. Entre 2001 e 2008, o rendimento teve uma oscilação em torno de 800 kg/ha e 1.000 kg/ha, com ligeiro aumen-to, para 1.250 kg/ha, em 2008. Entre 2008 e 2012, o rendimento deverá oscilar em torno de 1.000 kg/ha e 1.250 kg/ha. Em 2012, o rendimento, mantida a ten-dência, deverá ser de 1.250 kg/ha (alternativa e).

56. A observação do gráfico permite concluir que a mais rápida e significativa economia de energia ocorreu em 2000-2001. Em todos os outros períodos citados, houve um aumento de consumo de energia elétrica em todos os setores. Portanto, a resposta encontra-se na alternativa c.

57. Observe, pelo gráfico, que o consumo total de energia elétrica em 1975 foi de, aproximadamente, 70 GWh e que em 2005, tal consumo subiu para 375 GWh. Por-tanto, nesses 30 anos, o aumento de consumo foi de 305 GWh. Mantida essa tendência, em 2035, teremos um consumo total de (375 1 305) GWh, ou seja, de 680 GWh (alternativa c).

58. Para uma redução mais rápida da população de mosquitos deve-se escolher acabar com os focos que concentram as maiores populações. Pela tabela, observa-se que os maiores focos de população de mosquitos são os tambores, tanques e depósitos de barro (alternativa b).

59. Em 2001, a população era de 58.604 e em 2002 caiu para 38.962, o que corresponde a uma redução percentual de 33,5%. Mantida essa tendência, em 2003 deveríamos esperar uma população de mosquitos dada por: 38.962 2 33,5% ? 38.962 5 25.903. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

UNIDADE IIForça e energia

Capítulo 3 Força e movimento

1.• Umcarroélevadoporumguinchoemumaavenida.Em relação a um poste o carro está em movimento. Em relação ao guincho o carro está em repouso.

• Ao ler este livro estou sentado em uma carteira na sala de aula. Em relação à sala de aula estou em repouso, mas em relação ao Sol estou em movimento.

2.Inicialmente, o parafuso está se movimentando na horizon-tal com mesma velocidade que o barco. Ao se desprender do mastro, o parafuso inicia um movimento de queda na vertical. Assim, para o referencial X (observador dentro do barco) o parafuso apenas cai na direção vertical; para o referencial Y (observador na margem), o parafuso, além de cair na vertical, desloca-se horizontalmente para a direita da figura e esses dois movimentos simultâneos resultam em uma trajetória curva. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

3.Use o resultado do exercício anterior para mostrar aos alunos que a forma da trajetória depende do referencial adotado. A resposta, portanto, encontra-se na alternativa e.

4.Para podermos fazer uma comparação entre as velo-cidades dadas devemos, antes, convertê-las para uma mesma unidade de medida. Vamos, então, convertê-las para m/s. Teremos:

VH 5 3,6 km/h V VH 5 3,6 ___ 3,6 m/s V VH 5 1 m/s

VA 5 30 m/min V VA 5 30 ___ 60 m/s V VA 5 0,5 m/s

VI 5 60 cm/s V VI 5 0,60 m/sPortanto: VH . VI . VA.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

5.Esse também é um exercício que envolve uma conversão de unidade de medida.Devemos converter a velocidade de nó para km/h. Como 1 nó 5 1,8 km/h, então a velocidade média do navio, igual a 20 nós, equivale a 36 km/h.Em 5 horas de viagem, tal navio terá percorrido, por-tanto, uma distância dada por:

vm 5 Ds ___ Dt

V 36 km/h 5 Ds ____ 5 h

V Ds 5 180 km

A resposta encontra-se na alternativa d.

6.O problema explora a ordem de grandeza da distância percorrida por um carro em uma estrada em boas con-dições durante uma viagem de uma hora e meia.Deveremos fazer uma estimativa razoável para a veloci-dade do carro. Vamos considerar que a viagem seja feita com velocidade média de 100 km/h. Assim:

vm 5 Ds ___ Dt

V 100 km/h 5 Ds _____ 1,5 h

V

V Ds 5 150 km 5 1,5 ? 105 m V Ds 5 105 mA resposta encontra-se na alternativa c.

7.O problema envolve, mais uma vez, a aplicação do con-ceito de velocidade média e a conversão de unidades de medidas.A velocidade de 33 mm/s corresponde a 33 ? 10–3 m/s e o intervalo de tempo de 120 min corresponde a 120 ? 60 s. Então:

vm 5 Ds ___ Dt

V 33 ? 1023 m/s 5 Ds _________ 120 ? 60 s V

V Ds 240 m

A resposta ao teste está na alternativa d.

8.O aluno deverá saber que a duração de um jogo de futebol é de 1,5 h (dois tempos de 45 minutos cada). Assim, a velocidade escalar média do juiz de futebol será:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 5 15 km ______ 1,5 h

V vm 5 10 km/h

9.A pessoa caminha à razão de 1,5 passos/segundo, com passos que medem 70 cm. Portanto, a pessoa caminha com velocidade média de 105 cm/s ou 1,05 m/s.O tempo necessário para percorrer a distância de 21 m é dado por:

vm 5 Ds ___ Dt

V 1,05 m/s 5 21 m _____ Dt

V Dt 5 20 s

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

82

10. O teste exige, novamente, uma conversão de unidades de medidas.A pessoa executa uma marcha uniforme a 140 passos/minuto com passadas de 70 cm.Logo, a cada minuto, a pessoa percorre uma distância de (140 ? 0,7) m, ou seja, 98 m/min.Em uma hora (60 min), a distância percorrida pela pessoa será (98 ? 60) m, ou seja, 5.880 m. Portanto, a velocidade escalar média da pessoa é de, aproximada-mente, 5,9 km/h.Para percorrer uma distância de 6 km, o tempo gasto é calculado por:

vm 5 Ds ___ Dt

V 5,9 5 6 ___ Dt

V Dt 5 1,01 h 61 min

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

11. O exercício tem por finalidade mostrar ao aluno que a velocidade escalar média não é a média das velocidades escalares médias de cada trecho.

a) No primeiro trecho o móvel percorre 15 m em 2 s. Assim, a velocidade escalar média nesse trecho é de 7,5 m/s.

b) No segundo trecho o móvel percorre 15 m em 3 s. Nesse trecho a velocidade escalar média é de 5 m/s.

c) Durante o trajeto todo, o móvel percorre 30 m (15 m do primeiro trecho mais 15 m do segundo trecho) em um tempo total de 5 s (2 s gastos no trecho inicial mais 3 s gastos do trecho final). A velocidade escalar média do trajeto todo é de 6 m/s.

12. O exercício explora, basicamente, o cálculo da velocidade escalar média.Lembre aos alunos que, no cálculo da velocidade escalar média, o tempo durante o qual o móvel permanece parado deve ser considerado.No primeiro trecho (300 km), cumprido a 120 km/h, o tempo gasto é dado por:

vm 5 Ds ___ Dt

V 120 5 300 ____ Dt

V Dt 5 2,5 h

A viagem toda (600 km) é realizada, portanto, em 6 horas (2,5 h nos primeiros 300 km, mais 0,5 h na pa-rada, mais 3 h nos últimos 300 km). Logo, a velocidade escalar média na viagem toda foi de 100 km/h.

A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

13. Nesse exercício, a maior dificuldade será, provavelmente, a conversão do sistema sexagesimal para o decimal na medida do intervalo de tempo.Lembre aos alunos que 15 minutos correspondem a um quarto de hora (0,25 h). Portanto, a duração da corrida (1 h 15 min) equivale a 1,25 h.A distância percorrida nesse intervalo de tempo é dada por:

vm 5 Ds ___ Dt

V 180 5 Ds ____ 1,25 V Ds 5 225 km

Como a pista de corrida mede 4,5 km, o número N de voltas dadas durante a corrida é tal que:

225 5 N ? 4,5 V N 5 225 ____ 4,5 V N 5 50 voltas

14. Mais um exercício para reforçar o conceito de velocidade escalar média e mostrar que a velocidade escalar média não é a média das velocidades (um erro bastante comum).Consideremos que o percurso em cada metade da viagem seja igual a D. Então, o tempo gasto em cada trecho da viagem é dado por:

30 5 D ___ Dt1

V Dt1 5 D ___ 30

e

70 5 D ___ Dt2

V Dt2 5 D ___ 70

Considerando agora a viagem toda, temos para a sua velocidade escalar média:

vm 5 D 1 D ________ D ___ 30 1 D ___ 70

V vm 5 2 ? D _____________ 7 ? D 1 3 ? D ____________ 210

V

V vm 5 42 km/hEssa resposta encontra-se na alternativa c.

15. O problema é praticamente uma repetição do anterior.Dessa vez, temos, para cada metade da viagem:

50 5 D ___ Dt1

V Dt1 5 D ___ 50

e

75 5 D ___ Dt2

V Dt2 5 D ___ 75

E, para a viagem toda:

vm 5 D 1 D ________ D ___ 50 1 D ___ 75

V vm 5 2 ? D _____________ 3 ? D 1 2 ? D ____________ 150

V

V vm 5 60 km/h

16. Dessa vez o percurso da viagem toda é feito em quatro etapas, percorrendo-se em cada uma delas distâncias iguais a D. O tempo gasto em cada etapa é dado por:

Dt1 5 D ___ 20 , Dt2 5 D ___ 30 , Dt3 5 D ___ 40 e Dt4 5 D ___ 60

Na viagem toda, a velocidade escalar média é dada por:

vm 5 D 1 D 1 D 1 D ___________________ D ___ 20 1 D ___ 30 1 D ___ 40 1 D ___ 60

V

V vm 5 4 ? D ____________________________ 6 ? D 1 4 ? D 1 3 ? D 1 2 ? D __________________________ 120

V

V vm 5 32 km/h

Tal resposta encontra-se na alternativa e.

17. Durante uma caminhada uma pessoa desenvolve uma velocidade média da ordem de 4 km/h a 5 km/h. Por-tanto, o gráfico pode representar o deslocamento de um pessoa, durante uma caminhada, considerando que a escala de tempo esteja em horas.A resposta encontra-se na alternativa c.

18. O problema envolve uma análise qualitativa do gráfico da velocidade em função do tempo.Consideremos que a vazão de líquido injetada no reci-piente seja constante e igual a Z.

Então: Z 5 DV ___ Dt

V Z 5 p ? r 2 ? Dh __________ Dt

V Z 5 p ? r 2 ? vm

83

A relação obtida acima mostra-nos que a velocidade de subida é inversamente proporcional ao quadrado do raio da seção.Portanto, na região em que o raio do tubo aumenta, a velocidade de subida diminui e na região em que o raio diminui, a velocidade aumenta. Naturalmente, na região do recipiente tubular na qual o raio é constante, a velocidade de subida do nível da água também será constante.Portanto, no início, a velocidade de subida do nível é constante, passa a diminuir quando o nível atinge a região em que o recipiente se alarga, depois passa a au-mentar quando atinge a região em que ele se estreita e, no final, volta a ter um valor constante e igual ao inicial.Pela análise dos gráficos fornecidos, podemos concluir que a resposta encontra-se na alternativa c.

19. O exercício exige que se faça uma análise qualitativa de um gráfico. O aluno deverá analisar cuidadosamente cada uma das alternativas do teste e optar pela correta.a) Dizer que a espessura é diretamente proporcional à

idade equivale a dizer que tal espessura dobra quando a idade dobra, ou que a espessura triplica quando a idade triplica. Se a espessura, de fato, fosse diretamente proporcional à idade, então o gráfico deveria ser uma reta inclinada passando pela origem. A observação do gráfico dado mostra que essa afirmação está errada.

b) A afirmação está errada. Basta observar que a passagem de uma espessura de 7,5 mícrons (aos 20.000 anos) para 15 mícrons (aos 80.000 anos) demorou 60.000 anos.

c) A afirmação está correta, pois a curva do gráfico tem inclinação acentuadamente maior quando a pedra é jovem. Mostre aos alunos que a inclinação da reta tangente à curva dada indica a velocidade de crescimento da camada hidratada.

d) Quando a pedra é mais velha, a inclinação da curva é pequena, o que indica que a espessura da camada hidratada, praticamente, deixa de aumentar. Logo, a afirmação está errada.

e) A afirmação está errada. Observe que a espessura da camada tende sempre a aumentar. O que ocorre é que, a partir dos 100.000 anos de idade, tal aumento acontece em um ritmo muito lento.

20. Aplicação direta da definição de aceleração escalar média; o exercício explora dados reais obtidos em um teste patrocinado por jornal. a) A arrancada de 0 a 100 km/h (27,78 m/s) é feita

em 17,58 s. A aceleração escalar média é dada por:

m 5 Dv ___ Dt

V m 5 27,78 2 0 __________ 17,58 V m 5 1,58 m/s2

b) A retomada de velocidade de 40 km/h (11,11 m/s) a 60 km/h (16,67 m/s) é feita em 4,89 s. A aceleração escalar média, desta vez, é:

m 5 Dv ___ Dt

V m 5 16,67 2 11,11 _____________ 4,89 V

V m 5 1,14 m/s2

c) A passagem de 20 km/h (5,56 m/s) a 80 km/h (22,22 m/s), sob aceleração de 1,14 m/s2, demanda um intervalo de tempo dado por:

m 5 Dv ___ Dt

V 1,14 5 22,22 2 5,56 ____________ Dt

V

V Dt 5 14,62 s

21. O exercício explora os conceitos de velocidade escalar média e de aceleração escalar média com dados reais de um teste de carro motor 1.000.A arrancada de 0 a 100 km/h é realizada em 17,22 s e, nesse intervalo de tempo, o carro percorre 309 m.A velocidade escalar média no percurso é dada por:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 5 309 ______ 17,22 V

V vm 5 17,94 m/s 5 64,6 km/hA aceleração escalar média desenvolvida durante a arrancada é calculada por:

m 5 Dv ___ Dt

V m 5 100 km/h

_________ 17,22 s V

V m 5 5,8 km/h

______ s 5 1,6 m/s2

A resposta ao teste é a da alternativa d.

22. Exercício bastante simples que explora o conceito de aceleração média.O guepardo, partindo do repouso, atinge a velocidade de 72 km/h (20 m/s) em apenas 2 s. Ou seja, em 2 s, o animal sofre uma variação de velocidade de 20 m/s. Portanto, a aceleração média do guepardo é de 10 m/s2.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

23. O carro, durante o choque frontal contra a muralha, passa de uma velocidade de 108 km/h (30 m/s) ao repouso em um intervalo de tempo de 2 s. Portanto sua desaceleração, em módulo, é de 15 m/s2.Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, pode-se concluir que a relação entre a aceleração do carro e a aceleração da gravidade é igual a 1,5.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

24. Exercício bastante simples que explora o conceito de aceleração escalar média.A bola, inicialmente a 54 km/h (15 m/s), é imobilizada pelo goleiro em 0,5 s.Portanto a bola, em 0,5 s, passa por uma variação de velocidade, em módulo, de 15 m/s. Isso lhe confere uma aceleração escalar média, em módulo, de 30 m/s2.

25. Esse teste, assim como o seguinte, explora a inter-pretação de um gráfico da velocidade, em função do tempo, de um corredor padrão.A simples observação do gráfico permite concluir que a velocidade do atleta é aproximadamente constante (e igual a 11 m/s) no intervalo de 5 s a 8 s.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

26. Continuação do exercício anterior. Agora devemos definir, dado o gráfico da velocidade em função do tempo, o intervalo de tempo durante o qual o atleta apresentou maior aceleração.Aproveite o exercício para mostrar ao aluno que, no gráfico da velocidade em função do tempo, quanto maior a inclinação da curva, maior será a aceleração do movimento.Sendo assim, no gráfico dado e dentre os intervalos de tempo fornecidos nas alternativas, a aceleração é máxima entre 0 e 1 s, o que confere ao teste a resposta a.

84

27. a) Se em 20 s a pessoa caminha 20 m, sua velocidade é v 5 1 m/s. Se no instante t 5 0 a pessoa parte do número 75, então seu espaço inicial é s0 5 75 m.

b) No MU, a função horária do espaço é do tipo s 5 s0 1 v ?t.

Então, para o movimento da pessoa: s 5 75 1 t.

c) Para s 5 275 m, teremos: 275 5 75 1 t V t 5 200 s.

28. O velocímetro indica uma velocidade instantânea v 5 90 km/h. No intervalo de tempo

Dt 5 3 min 5 3 ___ 60 h 5 1 ___ 20 h, o deslocamento Ds será:

v 5 Ds ___ Dt

V 90 5 Ds ___ 1 ___ 20

V Ds 5 90 ? 1 ___ 20 V

V Ds 5 4,5 km

29. Dada a tabela com os espaços, em função do tempo, devemos obter a função horária do espaço e, com ela, o gráfico s 3 t.Devemos usar os dados da tabela para obter s0 e v.•Noinstantet 5 0, o espaço inicial é s0 5 20 m.•Noprimeiro segundodemovimento (Dt 5 1 s), a velocidade (constante) é dada por:

v 5 Ds ___ Dt

V v 5 16 2 20 ________ 1 2 0 V v 5 24 m/s

A função horária do movimento, portanto, é:s 5 s0 1 v ? t V s 5 20 2 4 ? t (SI)O gráfico s 3 t para esse movimento é uma reta. Portanto, devemos conhecer dois pontos da reta para poder traçá-la.Já sabemos que, para t 5 0, o espaço é s 5 s0 5 20 m.Para s 5 0, a função horária fornece o instante t 5 5 s.Assim, temos o gráfico:

s (m)

20

0 5 t (s)


30. Seja d a distância Terra-Lua. O intervalo de tempo de 2,56 s corresponde ao tempo para a luz percorrer uma distância igual a 2 ? d, com velocidade 3 ? 108 m/s.

Então: v 5 Ds ___ Dt

V 3 ? 108 5 2 ? d _____ 2,56 V

V d 5 3,84 ? 108 m 5 3,84 ? 105 kmA resposta encontra-se na alternativa d.

31. Lembre aos alunos que o som do trovão é produzido no mesmo instante em que a luz do relâmpago.No ar, a velocidade de propagação da luz do relâmpago é de 3·108 m/s, enquanto que o som do trovão se propaga a apenas 340 m/s.Assim, vemos primeiramente a luz do relâmpago e só algum tempo depois ouvimos o som do trovão.

32. Nesse exercício, dado o gráfico s 3 t, devemos obter a correspondente função horária.

Para o instante t 5 0, temos s 5 s0 5 200 km.Calculemos agora a velocidade do móvel no intervalo entre 0 e 4 h. Com os dados do gráfico, obtemos:

v 5 Ds ___ Dt

V v 5 0 2 200 ________ 4 2 0 V v 5 250 km/h

Portanto, a função horária do espaço é:s 5 s0 1 v ? t V s 5 200 2 50 ? t (s ∫ km; t ∫ h)A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

33. O exercício, simples, exige a análise de um gráfico s 3 t.No intervalo de 0 a 10 s temos um MU de velocidade:

v 5 Ds ___ Dt

V v 5 50 m 2 0 _________ 10 s 2 0 V v 5 5 m/s

No intervalo de 10 s a 20 s o móvel está em repouso, v 5 0. Ressalte aos alunos para o fato de que, nesse intervalo de tempo, o espaço s é constante e igual a 50 m.Finalmente, no intervalo de 20 s a 40 s temos outro MU de velocidade:

v 5 Ds ___ Dt

V v 5 0 2 50 m ___________ 40 s 2 20 s V v 5 22,5 m/s

No intervalo de 0 a 10 s o módulo da velocidade é maior.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

34. O exercício explora, de maneira bastante completa, dois movimentos uniformes de sentidos opostos.

a) A figura que acompanha o enunciado, reproduzida a se-guir, permite obter as constantes s0 e v de cada móvel.

Para o móvel A, temos: s0 5 0 e v 5 12 m/s. E, para o móvel B: s0 5 200 m e v 5 28 m/s. Podemos, então, escrever as funções horárias de A e de B:

s 5 s0 1 v ? tsA 5 12 ? t (SI)sB 5 200 2 8 ? t (SI)

b) No instante do encontro, os móveis A e B deverão estar no mesmo ponto da trajetória, ou seja, sA 5 sB. Então:

sA 5 sB V 12 ? t 5 200 2 8 ? t V t 5 10 s

c) Para o instante t 5 10 s, determinemos o espaço s do móvel A. Teremos:sA 5 12 ? t V sA 5 12 ? 10 V sA 5 120 m

Como o móvel A partiu da origem (s 5 0), podemos concluir que o encontro dos móveis ocorreu a 120 m da posição inicial de A.

d) O gráfico abaixo mostra o espaço s dos móveis, em função do tempo t.

A Bt = 0

0 s200 m

12 m/s 8 m/s

ad

ils

on

se

cc

o

s (m)

200

120

0 10 t (s)

Carro A

Carro B

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

85

35. Dessa vez foi dado o gráfico s 3 t de dois móveis que se deslocam em sentidos opostos.

Calculemos a velocidade escalar do ônibus B (que partiu de Caruaru para Recife). Pelo gráfico, temos:

v 5 Ds ___ Dt

V vB 5 0 2 210 km ___________ 3,0 h 2 0

V vB 5 2 70 km/h

A função horária do espaço para o ônibus B é (para s em km e t em h):

sB 5 210 – 70 ? t

O instante de encontro dos dois ônibus é t 5 2,0 h. Nesse instante, a posição do ônibus B, em relação a Recife (origem dos espaços) é:

sB 5 210 2 70 ? 2,0 V sB 5 210 2 140 VV sB 5 70 km


36. Exercício bastante original e com ênfase no cotidiano.

Chamemos de t o intervalo de tempo do corredor 1 nesses 100 m finais. As correspondentes velocidades dos competidores serão:

v1 5 100 ____ t , v2 5 96 ___ t e v3 5 90 ___ t

Seja t’ o tempo de chegada do corredor 2. Então:

96 ___ t 5 100 ____ t’ V t’ 5 100 ? t ______ 96

Nesse intervalo de tempo, t’, o corredor 3 terá sofrido um deslocamento Ds dado por:

90 ___ t 5 Ds ___ t’ V Ds 5 90 ___ t ? t’ V

V Ds 5 90 ___ t ? 100 ? t ______ 96 V Ds 5 93,75 m

Assim, quando da chegada do corredor 2, o corredor 3 terá percorrido 93,75 m e estará, portanto, a 6,25 m da linha de chegada (alternativa b).

37. O problema é simples e requer apenas atenção aos dados da figura. Todas as afirmativas são corretas com exceção da afirmativa I (alternativa e). Note que, nos últimos 40 m, a velocidade do atleta se reduz de 43 km/h para 40 km/h e, portanto, nesse trecho, o movimento é retardado.


38. A função horária do espaço da moto é: s 5 __ 2 ? t2.

Para t 5 1 s, a moto sofre deslocamento igual a d.

Então: d 5 __ 2 ? 12 V 5 2 ? d.

No instante t 5 2 s, o deslocamento será: s 5 2 ? d _____ 2 ? 22 V

V s 5 4 ? d.

39. O exercício explora as funções horárias de um móvel em MUV e os correspondentes gráficos.

a) Comparando a função horária da velocidade, na forma genérica, com a função horária dada, temos:

v 5 v0 1 ? t

v 5 1 1 2 ? t

Portanto: v0 5 1 m/s e 5 2 m/s2.

b) Considerando s0 5 0 e com os valores conhecidos de v0 e de , a função horária do espaço será:

s 5 s0 1 v0 ? t 1 __ 2 ? t2 V s 5 0 1 1 ? t 1 2 __ 2 ? t2 V

V s 5 t 1 t2 (SI)

c) Os gráficos da aceleração, da velocidade e do espaço, em função do tempo, são mostrados a seguir:

40. A função horária da velocidade foi dada: v 5 5,0 2 2,0 ? tObserve que a velocidade inicial é v0 5 5,0 m/s e o movimento é progressivo.Para t 5 4,0 s, teremos:v 5 5,0 2 2,0 ? 4,0 V v 5 5,0 2 8,0 VV v 5 23,0 m/sO sinal negativo dessa velocidade indica que o movi-mento, no instante t 5 4,0 s, é retrógrado. Portanto, em t 5 4,0 s, a velocidade tem sentido oposto ao do instante inicial (alternativa d).

41. Mais uma vez o exercício explora as funções horárias do MUV.

a) Comparando a função horária do espaço, na forma genérica, com a função horária dada, temos:s 5 s0 1 v0 ? t 1 __ 2 ? t2

s 5 10 2 5 ? t 1 5 ? t2

Portanto, dessa comparação, concluímos que:s0 5 10 m, v0 5 25 m/s e 5 10 m/s2.Com os valores de v0 e de , podemos escrever a função horária da velocidade:v 5 v0 1 ? t V v 5 25 1 10 ? t (SI)

b) No instante em que o móvel inverte o sentido do movimento, sua velocidade instantânea deve anular--se, ou seja, para inverter o sentido do movimento, o móvel deve, necessariamente, parar por um instante.

α (m/s2)

2

0 t (s)

v (m/s)

5

1

0 2 t (s)

s (m)

6

0 2 t (s)

^ ^ ^

^ ^

ilU

sTR

aç

õe

s: a

dil

so

n s

ec

co

86

Então:

v 5 0 V 25 1 10 ? t 5 0 V t 5 0,5 s

42. Exercício simples que explora as funções horárias da velocidade e do espaço de um MUV.Do enunciado, temos: v0 5 0 e 5 4,0 m/s2.O tempo T para que o avião atinja a velocidade de 160 m/s é obtido a partir da função horária da velocidade:v 5 v0 1 ? t V 160 5 0 1 4,0 ? T V T 5 40 sConsiderando que o avião partiu da origem dos espaços (s0 5 0), o espaço D, no instante da decolagem é obtido com a função horária do espaço:s 5 s0 1 v0 1 __ 2 ? t2 V D 5 0 1 0 1 4,0 ___ 2 ? (40)2 VV D 5 3.200 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

43. Exercício clássico sobre encontro de móveis: um deles em MU e o outro em MUV.Consideremos a origem dos espaços no ponto de partida do automóvel A. A figura abaixo ilustra a situação inicial dos dois automóveis.

As funções horárias do espaço, para os móveis A e B, podem ser escritas com as informações da figura.

sA 5 s0A 1 v0A ? t 1 A ___ 2 ? t2 V

V sA 5 0 1 0 1 2,0 ___ 2 ? t2 V sA 5 t2 (SI)

sB 5 s0B 1 v0B ? t V sB 5 0 1 20 ? t VV sB 5 20 ? t (SI)No instante do encontro, ambos os móveis deverão estar ocupando o mesmo espaço s na trajetória. Então:

sA 5 sB V t2 5 20 ? t V t2 2 20 ? t 5 0 t 5 0t 5 20 s

A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

44. O exercício é semelhante ao anterior.As funções horárias do espaço podem ser escritas com os dados do enunciado.MU da moto: smoto 5 30 ? t (SI)MUV da viatura: sviatura 5 t2 (SI)No instante do encontro, ambos os móveis devem estar no mesmo espaço s da trajetória. Então:

smoto 5 sviatura V 30 ? t 5 t2 V t2 2 30 ? t 5 0 t 5 0t 5 30 s

A posição de encontro é obtida substituindo-se o ins-tante do encontro em qualquer uma das duas funções horárias do espaço. Utilizando-se a função horária do espaço da moto, temos:smoto 5 30 ? 30 V smoto 5 900 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

A

B

v0 = 0

0 s (m)

20 m/s

2,0 m/s2

Observação: no instante do encontro, a viatura da Polícia Rodoviária Federal terá velocidade (dada pela função horária da velocidade v 5 2 · t) igual a 60 m/s ou 216 km/h.

45. Do gráfico, obtemos: v0 5 5 m/s e 5 3 2 5 ______ 2 m/s2 5 5 21 m/s2. Então: v 5 v0 1 ? t V v 5 5 2 tA resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

46. A velocidade será negativa a partir do instante em que se anular. Então, para v 5 0, teremos: 0 5 5 2 t V t 5 5 s A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

47. A função horária do espaço é do tipo:

x 5 x0 1 v0 ? t 1 1 __ 2 ? ? t2

Com os dados já obtidos e x0 5 0, vem:

x 5 5 ? t 2 t2

__ 2

A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

48. O deslocamento do objeto entre t 5 0 e t 5 5 s é dado pela área sob a curva, ou seja, a área de um triângulo de base 5 s e altura 5 m/s.Então:Ds 5 5 ? 5 _____ 2 V Ds 5 12,5 m A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

49. A figura abaixo mostra a altura (equivalente à área sob a curva correspondente) de cada uma das duas plantas, A e B.

Visualmente constatamos que a área DsB é maior do que a área DsA. Logo, a planta B atinge uma altura final maior que a atingida por A.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

50. O exercício exige a construção do gráfico v 3 t para um movimento que, de início, é uniformemente variado e, mais tarde, torna-se uniforme.a) Calculemos, inicialmente, a velocidade atingida pelo

atleta que, partindo do repouso, acelera a 5,0 m/s2, durante 2 s. Pela função horária da velocidade, temos:v 5 v0 1 ? t V v 5 0 1 5,0 ? 2,0 V v 5 10 m/sA figura abaixo mostra o gráfico da velocidade em função do tempo durante a corrida.

t (semana)t2t1t0

B

∆SB

∆SA

A

v(cm/semana)

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

v (m/s)

10

0 2 5 t (s)

ad

ils

on

se

cc

o

87

b) A distância total percorrida durante a corrida cor-responde ao deslocamento do atleta durante os 5 s de duração da corrida. Tal deslocamento é dado pela área entre 0 s e 5 s, portanto:Ds 5 área do trapézio V Ds 5 5,0 1 3,0 _________ 2 ? 10 VV Ds 5 40 m

51. O exercício é uma aplicação das propriedades do grá-fico v 3 t. Analisemos detalhadamente cada uma das alternativas do exercício.

a) No intervalo de 0 a 10 s, a aceleração escalar média pode ser calculada fazendo-se:

5 Dv ___ Dt

V 5 30 m/s 2 10

____________ 10 s 2 0 V 5 2 m/s2.

Portanto, essa alternativa está correta.

b) Observe que o movimento é, na verdade, constituído por dois MUV sucessivos. O primeiro deles no inter-valo de 0 a 10 s e o segundo no intervalo de 10 s a 40 s. Logo, essa alternativa está errada.

c) Para calcular a velocidade escalar média no intervalo de 0 a 40 s, devemos antes calcular o deslocamento total nesse intervalo de tempo. Tal deslocamento é dado pela área total abaixo da curva no diagrama v 3 t: a área de um trapézio (entre 0 e 10 s) mais a área de um triângulo (entre 10 s e 40 s).

Temos, então: Ds 5 Atrapézio 1 Atriângulo V

V Ds 5 30 1 10 ________ 2 ? 10 1 30 ? 30 _______ 2 V

V Ds 5 650 m A velocidade escalar média pode, agora, ser calcu-

lada. Obtemos:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 5 650 m ______ 40 s V vm 5 16,25 m/s.

Essa alternativa também está errada.

d) No intervalo de 10 s a 40 s, o deslocamento corres-ponde à área sob a curva naquele intervalo de tempo (a área de um triângulo). Temos, então:

Ds 5 Atriângulo V Ds 5 30 ? 30 _______ 2 V Ds 5 450 m.

A alternativa está errada.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

52. O exercício pode ser resolvido utilizando-se as funções horárias do espaço. Entretanto, pode ser mais rapidamente resolvido se usarmos as propriedades do gráfico v 3 t.Observe que Paula encontra Cláudia no instante t 5 7 s, pois de 0 a 7 s as áreas sob as retas são iguais.Calculando tal área obtemos: DsPaula 5 DsCláudia 5 10,5 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

53. O exercício é uma aplicação simples e imediata da equa-ção de Torricelli. Alerte os alunos para a necessidade de se converter a velocidade final de km/h para m/s.Do enunciado, temos: v0 5 0, v 5 54 km/h 5 15 m/s e Ds 5 75 mA equação de Torricelli fornece:v2 5 v2

0 1 2 ? ? Ds V 152 5 02 1 2 ? ? 75 VV 5 1,5 m/s2

54. a) O intervalo de tempo dado, 1 h 40 min, corresponde a:Dt 5 1 h 40 min 5 1 h 2 __ 3 h 5 5 __ 3 hEntão, a velocidade média será:

vm 5 400 ____ 5 __ 3

V vm 5 1.200 ______ 5 V vm 5 240 km/h

b) A equação de Torricelli fornece:02 5 v2

0 1 2 ? (20,06) ? 30.000 V v20 5 3.600 V

V v0 5 60 m/s 5 216 km/h

55. Temos: Ds 5 200 m, v0 5 25 m/s e v 5 5 m/s.Pela equação de Torricelli, temos:

v2 5 v20 1 2 ? ? Ds V 52 5 252 1 2 ? ? 200 V

V a 5 21,5 m/s2 V 5 1,5 m/s2

Observe que poderíamos ter resolvido esse exercício, assim como os dois anteriores, com a propriedade da velocidade escalar média no MUV.A velocidade escalar média durante a travessia do túnel é de 15 m/s (obtida pela média entre 25 m/s e 5 m/s). Com essa velocidade escalar média, o tempo

para percorrer 200 m é de 200 ____ 15 s.Conhecido o tempo, podemos calcular a aceleração:

5 Dv ___ Dt

V 5 220 _____ 200 ____ 15

V 5 21,5 m/s2


56. Podemos calcular os deslocamentos, do carro e do ca-minhão, com a equação de Torricelli.Para o carro:02 5 302 1 2 ? (23) ? Dscarro V Dscarro 5 900 ____ 6 VV Dscarro 5 150 mPara o caminhão:

02 5 302 1 2 ? (22) ? Dscaminhão V Dscaminhão 5 225 m

Logo, o caminhão, no início, deve manter uma dis-tância mínima de 75 m do carro que segue na frente (alternativa b).

57. O exercício explora a velocidade escalar média no MUV.

a) Com a função horária da velocidade, v 5 10 1 4 ? t (SI), podemos obter a velocidade instantânea em qualquer instante.Para t1 5 5 s: v1 5 10 1 4 ? 5 V v1 5 30 m/sPara t2 5 10 s: v2 5 10 1 4 ? 10 V v2 5 50 m/s

b) No MUV, a velocidade escalar média, em dado inter-valo de tempo, é igual à média aritmética entre as velocidades no início e no final do trecho. Então:

vm 5 v1 1 v2 _______ 2 V vm 5 30 1 50 ________ 2 V vm 5 40 m/s

Observe que, a partir da função horária da velocidade, poderíamos obter a aceleração para, com a equação de Torricelli, calcular Ds. Poderíamos, então, calcular a velocidade escalar média.

58. Vamos resolver esse exercício utilizando exclusivamente a propriedade da velocidade escalar média no MUV.O enunciado fornece: vA 5 5 m/s, vB 5 10 m/s e Dt 5 10 s.

88

Podemos obter o deslocamento Ds, fazendo:

vm 5 Ds ___ Dt

5 vA 1 vB _______ 2 V Ds ___ 10 5 5 1 10 _______ 2 V Ds 5 75 m

59. O exercício explora a função horária da velocidade (para o cálculo da aceleração) e a propriedade da velocidade escalar média (para o cálculo do deslocamento).Do enunciado, temos: v0 5 15 m/s, v 5 0 e Dt 5 10 s.A aceleração do trem pode ser obtida pela função horária da velocidade:v 5 v0 1 ? t V 0 5 15 1 ? 10 VV 5 21,5 m/s2 V 5 1,5 m/s2

Pela propriedade da velocidade escalar média no MUV temos:

Ds ___ Dt

5 v0 1 v

______ 2 V Ds ___ 10 5 15 1 0 _______ 2 V Ds 5 75 m


60. A pena e o martelo, partindo da mesma altura, atingiram o solo lunar ao mesmo tempo. Isto ocorre pois na Lua não há atmosfera e portanto ambos caíram com a mesma aceleração, que é a aceleração da gravidade lunar.A resposta a este teste encontra-se na alternativa c.

61. O exercício explora um movimento vertical nas pro-ximidades da superfície terrestre. Lembre aos alunos de fazer uma figura com os dados do enunciado, uma trajetória orientada e com uma origem.A bolinha é abandonada (v0 5 0) do alto do edifício e demora 3 s para atingir o solo.Adotaremos uma trajetória orientada para baixo, com origem no ponto de partida da bolinha (s0 5 0). A aceleração será 5 110 m/s2.A função horária do espaço é:

s 5 s0 1 v0 ? t 1 __ 2 ? t2 V s 5 0 1 0 1 10 ___ 2 ? t2 V

V s 5 5 ? t2 (SI)

Para t 5 3 s, vem:

s 5 5 ? 32 V s 5 45 m

Observe que poderíamos aplicar a propriedade da velo-cidade média do MUV para resolver o exercício. Partindo do repouso, 3 s mais tarde a bolinha terá velocidade de 30 m/s (pois a aceleração é de 10 m/s2). A veloci-dade média é, portanto, de 15 m/s (média aritmética entre 0 e 30 m/s). Com tal velocidade média, em 3 s, a bolinha percorre 45 m.

62. a) Pela equação de Torricelli, adotando-se a origem dos espa-ços no solo e orientando a trajetória para cima, temos:v 2 5 v 2

0 1 2 ? ? Ds V 0 5 v20 22 ? 10 ? 5 V

V v05 10 m/s

b) v 5 v0 1 ? t V 0 5 10 2 10 ? ts V ts 5 1 s

63. O exercício é bastante simples: uma queda livre vertical a partir do repouso.Orientando-se a trajetória vertical para baixo ( 5 110 m/s2), temos:v 5 v0 1 ? t V v 5 0 1 10 ? 4 V v 5 40 m/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

64. Seja h1 o deslocamento durante o movimento acelerado e h2 o deslocamento durante a frenagem. Então: h1 1 h2 5 h (I)Orientemos uma trajetória vertical para baixo e apliquemos a equação de Torricelli a cada etapa do movimento.Durante o movimento acelerado: v2 5 02 1 2 ? g ? h1 V v2 5 2 ? g ? h1

Durante o movimento retardado: 02 5 v2 1 2 ? (23 ? g) ? h2 V v2 5 6 ? g ? h2

Portanto:2 ? g ? h1 5 6 ? g ? h2 V h1 5 3 ? h2 (II)

De (I) e (II), obtemos: h1 5 3 ? h _____ 4 e h2 5 h __ 4

(alternativa d).

65. Frase correta: Feixes de prótons, deslocando-se em sentidos opostos, irão colidir no maior acelerador de partículas do mundo.

____

 v1 : direção vertical e sentido de baixo para cima.

____

 v2 : direção horizontal e sentido da direita para es-

querda.

66. O exercício é bastante simples e explora o uso das coordenadas cartesianas e o conceito de deslocamento vetorial. Na figura a seguir mostramos a solução dos dois primeiros itens do exercício e destacamos o triângulo retângulo usado na resolução do terceiro item, o cálculo do módulo do deslocamento total.

y (m)

x (m)

D

A

B

C

O módulo do deslocamento total AD corresponde à hi-potenusa do triângulo retângulo destacado na figura. Tal triângulo tem catetos com medidas 6 m (o cateto horizontal) e 8 m (o cateto vertical). Aplicando-se o teorema de Pitágoras obtemos para a hipotenusa o valor 10 m.

67a) A figura ao lado mos-tra os deslocamentos vetoriais AB e BC do homem e o desloca-mento total AC.

ad

ils

on

se

cc

o

1 km

1 km

A B

C

ad

ils

on

se

cc

o

89

b) A distância percorrida é dada pela soma das distân-cias percorridas em cada etapa. O homem percorreu 4 km na etapa AB e mais 3 km na etapa BC. Portanto, a distância total percorrida pelo homem foi de 7 km.O deslocamento vetorial do homem é representado pelo vetor AC na figura acima. O módulo deste vetor é igual à medida da hipotenusa do triângulo retângulo destacado. Tal triângulo possui catetos com medidas 4 km e 3 km. Portanto, sua hipotenusa, e o módulo do deslocamento vetorial do homem, mede 5 km.

c) O vetor velocidade média do homem tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento (o vetor AC da figura). Seu módulo é dado pela relação entre o módulo do deslocamento vetorial (5 km) e o intervalo de tempo correspondente (0,5 h). Assim, o módulo da velocidade vetorial média é de 10 km/h.

68. Observe inicialmente que cada quarteirão mede 100 m de comprimento e que o ônibus percorre um total de 11 quarteirões. Assim, durante o trajeto, o ônibus percorre 1.100 m ou 1,1 km.O deslocamento vetorial do ônibus corresponde a 3 quar-teirões (para baixo na figura) mais 4 quarteirões (para a direita na figura), equivalente a um deslocamento total cujo módulo é de 5 quarteirões, ou seja, 500 m ou 0,5 km.

Então: __  v m 5

D __  r ____

Dt V

__  v m 5 0,5 km _______

0,5 h V

V __  v m 5 1 km/h

Portanto, são corretas as afirmações I e III e a resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

69. Os deslocamentos em cada etapa da viagem são calcu-lados abaixo.

20 5 Ds1 ____ 180 V Ds1 5 3.600 m

25 5 Ds2 ____ 120 V Ds2 5 3.000 m

30 5 Ds3 ___ 60 V Ds3 5 1.800 m

3.600 m

Δr

3.000 m45°

1.800 ––– m22

1.800 ––– m22

d) O módulo da velocidade média é dado por:

__  v m 5

D __  r ____

Dt V

__  v m 5 4.864 ______ 360 V

__  v m 5 13,5 m/s

70. Primeiro exercício da série sobre lançamento horizontal. Ressalte aos alunos que o movimento é a composição de dois movimentos simultâneos e independentes um do outro: um MU na horizontal e um MUV vertical com aceleração igual à aceleração gravitacional.

a) Com os dados do enunciado podemos fazer a figura a seguir, com as trajetórias, vertical e horizontal, de-vidamente orientadas e com uma origem comum.

Na vertical (MUV), temos:svert 5 s0vert 1 v0vert ? t 1

g __ 2 ? t2 V

V svert 5 5 ? t2 VV H 5 5 ? (5)2 VV H 5 125 m

b) E, na horizontal (MU), temos:shoriz 5 s0horiz 1 vhoriz ? t VV shoriz 55? t VV A 5 5 ? 5 V A 5 25 m

71. Mais um exercício que explora o lançamento horizontal.A figura a seguir mostra os dados do enunciado.

0 5 m/s shoriz.

svert.

H

A

10 m/s2

0 shoriz.v0

svert.

80 m

40 m

10 m/s

ad

ils

on

se

cc

o

a) O deslocamento escalar é dado pela soma total dos deslocamentos parciais.Então: Ds 5 (3.600 1 3.000 1 1.800)m 5 5 8.400 m 5 8,4 km

b) O módulo do deslocamento vetorial, Dr, é obtido com o teorema de Pitágoras:

(Dr)2 5 (3.600 2 900 d XX 2 )2 1 (3.000 1 900 d XX 2 )2

(Dr)2 5 (2.327)2 1 (4.272)2

Dr 5 4.865 m 4,86 km

c) No tempo total de viagem, Dt 5 6 min 5 360 s, teremos:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 5 8.400 ______ 360 V vm 5 23,3 m/s

Podemos calcular o tempo de queda se analisarmos o movimento vertical da bolinha. Temos:svert 5 5 ? t2 V 80 5 5 ? t q

2 V tq 5 4 sA velocidade (horizontal) inicial do lançamento é calculada a partir do deslocamento horizontal sofrido pela bolinha. Temos:shoriz 5 v0 ? t V 40 5 v0 ? 4 V v0 5 10 m/s

72. O exercício é importante para mostrar aos alunos que os movimentos independentes que compõem o lançamento horizontal ocorrem simultaneamente.Os dois corpos atingem o solo ao mesmo tempo, pois o movimento vertical é igual para os dois corpos. Por-tanto, o tempo de queda é o mesmo.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

90

73. Exercício clássico sobre lançamento horizontal.Os pacotes, lançados do avião, deverão cair por 500 m, medidos na vertical. O tempo de queda é obtido analisando-se o movimento vertical do pacote. Na vertical, temos:svert 5 5 ? t2 V 500 5 5 ? t q

2 V tq 5 10 sNa horizontal, o pacote desloca-se com velocidade constante e igual à velocidade do avião, 360 km/h ou 100 m/s, e o movimento deverá durar 10 s. Então, o alcance A vale:shoriz 5 100 ? t V A 5 100 ? 10 V A 5 1.000 m

74. Primeiro exercício da série sobre lançamento oblíquo, bastante completo.

a) A figura a seguir mostra os dados do enunciado e as trajetórias, vertical e horizontal, devidamente orientadas e com uma origem comum.

O tempo de subida do projétil é obtido a partir da análise do movimento vertical.A velocidade inicial na vertical vale:v0vert 5 v0 ? sen u V v0vert 5 25 ? 0,6 V v0vert 5 15 m/sConsiderando que no ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula (o projétil para de subir), temos:vvert 5 v0vert 2 g ? t V 0 5 15 2 10 ? tS V tS 5 1,5 s

b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida, pois a trajetória é simétrica em relação ao ponto mais alto. Então: td 5 1,5 s.

c) O tempo total de voo corresponde à soma do tempo de subida com o tempo de descida. Como, nesse caso, tais tempos são iguais, o tempo total de voo será:ttotal 5 2 ? ts V ttotal 5 2 ? 1,5 V ttotal 5 3 s

d) A altura máxima atingida pelo projétil pode ser obtida com a equação de Torricelli aplicada ao movi-mento vertical. Considerando-se o ponto de partida e o ponto mais alto da trajetória, vem:

v2vert 5 v 0

2 2 2 ? g ? Dsvert VV 02 5 152 1 2 ? (210) ? hmáx VV hmáx 511,25 m

e) O alcance horizontal a do projétil é calculado con-siderando-se que na horizontal o projétil desloca-se com velocidade constante. A componente horizontal da velocidade vale:vhoriz 5 v0 ? cos u V vhoriz 5 25 ? 0,8 V vhoriz 5 20 m/s

Então, o alcance a será:shoriz 5 vhoriz ? ttotal V a 5 20 ? 3 V a 5 60 m

shoriz.

svert.

v0vert.

0

θ

vvert. = 0

v0 = 25 m/s

10 m/s2

a

vhoriz.

vhoriz.

vhoriz.

hmáx.

f) No ponto mais alto da trajetória, o projétil possui apenas a componente horizontal da velocidade. Então:vA 5 vhoriz 5 20 m/s

75. O exercício exige o cálculo da altura máxima de um disco lançado com velocidade inicial de 72 km/h (portanto, 20 m/s) segundo um ângulo de 30º com a horizontal.A velocidade inicial na vertical é dada por:v0vert 5 v0 ? sen 30° V v0vert 5 20 ? 0,5 V v0vert 5 10 m/sNo ponto mais alto da trajetória a velocidade vertical se anula. Com a equação de Torricelli podemos obter a altura máxima atingida pelo disco:

v2vert 5 v2

0vert 1 2 ? (2g) ? Dsvert VV 0 5 102 1 2 ? (210) ? hmáx V hmáx 5 5,0 m


76. Sabemos que:• nopontomaisalto,avelocidadenaverticalénula;• navertical,duranteasubida,avelocidadediminui

10 m/s a cada segundo;• avelocidadeinicialdoprojétilnaverticalé3m/s.Do exposto, podemos concluir que o tempo de subida é de 0,3 s e que o tempo total para o corpo retornar ao solo será de 0,6 s (o dobro do tempo de subida).Como na horizontal o corpo move-se com velocidade constante de 4,0 m/s, em um tempo de 0,6 s, percorrerá uma distância horizontal de 2,4 m (alternativa c).

77. A componente vertical da velocidade inicial do dardo é:

v0y 5 v0 ? cos u V v0y 5 30 ? d XX 3 ___ 2 V v0y 5 15 ? d XX 3 m/s

Aplicando a equação de Torricelli na direção vertical entre o instante t 5 0 e o instante em que o dardo atinge o ponto mais alto, vem:

02 5 (15 d XX 3 )2 1 2 ? (210) ? h V h 5 225 ? 3 _______ 20 V

V h 5 33,75 m (alternativa c)

78. De acordo com o princípio da inércia, se a velocidade vetorial é constante (repouso ou movimento retilíneo e uniforme) a força resultante sobre o corpo é nula. Portanto, das situações apresentadas, a força resultante é nula apenas na situação I.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

79. Para o corpo movimentar-se em linha reta com veloci-dade constante (MRU), pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ele deve ser nula. Devemos, então, aplicar uma força que equilibre a força resultante que está agindo sobre o corpo.Nos casos a e b, uma única força age sobre o corpo e a força adicional deve se opor a ela.Nos casos c e d, as forças atuantes têm mesma direção e a força resultante pode ser facilmente calculada. A força a ser adicionada ao sistema deve equilibrar a resultante das duas forças que agem no corpo.Observe que no caso e temos a atuação de duas forças perpendiculares entre si, a resultante pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras e, mais uma vez, a força adicional deve ser oposta à força resultante obtida.

ad

ils

on

se

cc

o

91

No caso f temos uma situação que envolve dois dos casos an-teriores: forças de mesma direção, mas de sentidos opostos (2 N e 6 N) e uma terceira força perpendicular às anteriores. Mostre ao aluno que recaímos no caso do item e.

80. 01. A proposição é correta. Quando o vagão começar a se movimentar, a pessoa, pelo princípio da inércia, tende a permanecer em repouso. Em outras palavras, o vagão sai debaixo da pessoa, ou seja, a pessoa irá para trás em relação ao vagão.

02. A proposição é correta. Pelo princípio da inércia, para um corpo em movimento retilíneo e uniforme a força resultante é nula.

04. A proposição é errada. Quando o vagão estiver em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, a pessoa não precisa se segurar.

08. A proposição é correta. A pessoa, na ausência de uma força resultante sobre ela, tende a manter seu movimento.

16. A proposição é errada. Ao entrar em uma curva, a di-reção do vetor velocidade do vagão estará variando. Para a pessoa acompanhar o movimento do vagão, ela deverá estar sob ação de uma força resultante, para isso, deverá se segurar.

32. A proposição é correta. Mais uma vez, pelo princípio da inércia, na ausência de uma força resultante sobre ela, a pessoa tende a manter seu movimento. Se ela não se segurar, o vagão irá para a direita e ela continuará em linha reta, ou seja, irá deslizar para a esquerda em relação ao vagão.

Portanto, as proposições corretas são as de números (01), (02), (08) e (32) e a resposta ao exercício é 43.

81. A água, em contato com a parede lateral do cilindro, descreve um movimento circular de sentido anti-horá-rio. Entretanto, ao passar pelo furo A e perder contato com a parede do cilindro, a gota de água mantém, por inércia, a velocidade que tinha no instante em que se desprendeu. Ou seja, pelo princípio da inércia, a gota de água “sai pela tangente”.A resposta ao teste está apresentada na figura da alternativa a.

82. A situação apresentada no enunciado do teste é bastante útil e pode servir ao professor para apresentar de uma forma mais prática o conceito e o princípio da inércia.I. A afirmação está errada, pois não existe, antes ou

depois da colisão, nenhuma força para a direita empurrando o passageiro contra a porta.

II. A afirmação está correta. Quando um carro faz uma curva fechada para a esquerda, o passageiro tende, por inércia, a manter seu movimento para a frente em linha reta. Mas, como o carro está virando para a esquerda, o ombro direito do passageiro irá encontrar e chocar-se contra a porta. A porta então, ao ser empurrada para a direita pelo ombro do passageiro, irá reagir e empurrará o ombro do passageiro para a esquerda.

III. A afirmação está errada, pois o passageiro tende, na verdade, a cair para a direita.

A resposta ao teste é encontrada na alternativa d.

83. O exercício é bastante simples e exige apenas a aplicação da lei de Hooke.

a) Para esticar em 5 cm (ou 0,05 m) a mola, cuja cons-tante elástica é de 1.000 N/m, deve-se aplicar uma força dada por:F 5 k ? x V F 5 1.000 ? 0,05 V F 5 50 N

b) A deformação x sofrida pela mola, e provocada pela aplicação de uma força de 150 N, é calculada por:F 5 k ? x V 150 5 1.000 ? x VV x 5 0,15 m 5 15 cm

84. O teste é de resolução bastante simples.Observe que entre as situações I e II, a mola sofreu um alongamento de 1 cm devido à carga P1 de 9 N.Na situação III, a mola deverá ser alongada de 2 cm em relação à situação I.Portanto, se uma carga de 9 N estica a mola em 1 cm, para esticá-la em 2 cm, devemos submetê-la a uma carga P2 de 18 N.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

85. O problema é simples e explora apenas o conceito e a expressão para o cálculo da força peso de um corpo.a) Na Terra, onde a aceleração gravitacional é de 10 m/s2,

o corpo cujo peso é de 580 N, tem massa dada por:

P 5 m ? g V 580 5 m ? 10 V m 5 58 kg

b) A massa do corpo é invariável. Assim, na Terra ou em outro lugar qualquer, sua massa será sempre de 58 kg.Em um local no qual a aceleração gravitacional é de 6 m/s2, seu peso será:

P 5 m ? g V P 5 58 ? 6 V P 5 348 N

86. Conforme destacamos no exercício anterior, a massa do corpo é invariável, pois é uma “medida da quantidade de matéria” do corpo.Portanto, na Lua, a massa do astronauta (e de seu equipamento) continuará a ser de 120 kg. Entretanto, na Lua, seu peso será menor do que na Terra pois a aceleração gravitacional da Lua (1,6 m/s2) é menor que a da Terra (10 m/s2).O peso do astronauta na Lua será:P 5 m ? g V P 5 120 ? 1,6 V P 5 192 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

87. Mais um exercício para fixar a ideia de que a massa de um corpo não varia. O peso do corpo varia porque ele depende da aceleração gravitacional do local (P 5 m ? g).Ao carregar a caixa na Lua, o esforço dispendido pelo astronauta será menor que na Terra, pois o peso da caixa diminuirá, apesar de sua massa permanecer a mesma que na Terra.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

88. Uma balança de mola funciona baseada na deformação de uma mola. Quanto maior a deformação da mola, maior a força exercida sobre ela e maior será a indicação dessa balança. Admitiremos que a escala da balança (apesar de ela medir a intensidade de uma força) esteja calibrada em kg.Num local em que g 5 9,8 m/s2, a indicação da balança é correta. Então:

49 5 mcorpo ? 9,8 V mcorpo 5 49 ___ 9,8

92

De P 5 mg, temos: P 5 0,5 ? 10 V P 5 5 NComo o livro está em repouso e portanto em equilíbrio, a resultante das forças sobre ele deve ser nula. Assim,

____  FN e ___

 P se equilibram. Logo, FN 5 P e FN 5 5 N.

92. Três forças agem na caixa em repouso:

• Opeso ___  P de intensidade P 5 mg 5 4 ? 10 V

V P 5 40 N• Aforçavertical

__  F de intensidade

F 5 30 N

• Aforçadereaçãonormal____

 FN

a) Neste item, impondo o equilíbrio, temos:

F 1 FN 5 P V 30 1 FN 5 40 V FN 5 10 N

Levada para um local em que g 5 10 m/s2, tal corpo fornecerá uma leitura de:

P 5 m ? g V P 5 49 ___ 9,8 ? 10 V P 5 50 kg

A resposta ao teste corresponde à alternativa d.Se desejar, comente com os alunos que essa resposta poderia ser obtida, dentre as apresentadas, usando-se o bom senso. Logicamente que, num local de maior aceleraçãogravitacional,opesodocorposeriamaior.Issoprovocariaumamaiordeformaçãodamoladabalança e, consequentemente, uma maior leitura.

89. Problema bastante simples que explora o cálculo do peso, o uso do princípio da inércia e o cálculo da traçãoexercidaporumfio.

a) Opesodalumináriaédadopeloprodutom ? g. Assim, a luminária de massa 2 kg, tem, em local com g 5 10 m/s2, um peso de 20 N.

b) Como a luminária está em repouso, a resultante das forças externas que atuam sobre ela deve ser nula.

c) Na luminária atuam as forças peso (vertical, para baixoedeintensidade20N)etraçãodofio.Para que a força resultante seja nula, a força de traçãono fio deve ter direção vertical, sentidode baixo para cima e intensidade 20 N, de modo a equilibrar a força peso.

90.Oproblemaésemelhanteaoanteriorefazuso,basica-mente, do princípio da inércia.Como o ponto A do fio ideal está em equilíbrio (repou-so), podemos concluir que a resultante das forças que atuam sobre o ponto é nula.A resposta encontra-se na alternativa d.

91. Sobre o livro em repouso atuam: a força peso ___  P e a

forçadereaçãonormal____

 FN .

P

FN

P FN

F

b) Neste caso, podemos escrever:

93.Ressalte para os alunos que amarcação da balançacorrespondeàintensidadedaforçadereaçãonormaldo apoio, que é a força com que o corpo comprime o “chão”(nessecaso,opratodabalança).A intensidade da força aplicada pela mola de constante elástica 20 N/m e deformada de 20 cm é obtida pela lei de Hooke (F 5 k · x). Tal força terá intensidade 4 N.Além da força aplicada pela mola, atuam no corpo sua forçapeso(verticaleparabaixo)eareaçãonormaldoapoio (vertical e para cima).Comoamolaestáesticadasobaaçãodopesodocorpo,ela estará puxando o corpo para cima com uma força de intensidade 4 N. Assim:FN 1 F 5 P V FN 1 4 5 5 V FN 5 1 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.Observeque,arigor,nãopoderíamossaber,apenaspelafiguraqueacompanhao exercício, se amola estavacomprimida ou se estava distendida.Se a mola estivesse comprimida, ela estaria forçando o corpo para baixo com uma força de intensidade 4 N. Nesse caso:FN 5 F 1 P V FN 5 4 1 5 V FN 5 9 N

94.Oproblemaexploranovamenteoprincípiodainércia.As forças que atuam no bloco suspenso e em equilíbrio (poisocorpoestáemrepouso)sãoopesoP e a força de tração T no fio, que devem se equilibrar. Então: P 5 T.Poroutrolado,éaforçadetraçãoT no fio que atua sobre amola,provocando-lheadeformação.Então:F 5 T.Das duas relações anteriores, temos:

P 5 F V m ? g 5 k ? Dx V m 5 k ? Dx ______ g


95. Esse teste é importante para reforçar os conceitos estudados sobre a força de atrito estático.Relembre que a força de atrito estático, aquela que atua enquantonãoexistemovimentoentreassuperfícies,temvalor variável e que é sempre igual à força solicitadora, a força que tende a movimentar as superfícies, até um valor máximo (dado pelo produto do coeficiente de atrito estático eaintensidadedareaçãonormaldoapoio).Nocasoemquestão,oblocodepeso15Nestáemrepousosobreumasuperfíciehorizontal.Podemosconcluir,então,queaintensidadedaforçadereaçãonormalé15N.

P

FN

F

FN 5 F 5 P V FN 5 30 1 40 V FN 5 70 N

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

93

Se uma força horizontal for aplicada a esse bloco, ele permanecerá em repouso até que a intensidade dessa força solicitadora ultrapasse o valor máximo permitido para o atrito estático. Como o coeficiente de atrito es-tático é de 0,4, podemos concluir que a máxima força de atrito será de 6 N.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

96. a) O corpo, de massa 10 kg, movimenta-se com veloci-dade constante. Assim, pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ele é nula.A força peso tem intensidade dada por P 5 m ? g. Logo, o peso do corpo é de P 5 100 N.A força de reação normal do apoio deve equilibrar a força peso. Portanto, a força de reação normal do apoio tem intensidade FN 5 100 N.A força de atrito deve equilibrar a força externa hori-zontal de intensidade 30 N aplicada ao corpo. Portanto, a força de atrito tem intensidade Fat 5 30 N.

b) O coeficiente de atrito dinâmico de deslizamento entre o corpo e o plano horizontal é dado por:

Fat 5 d ? FN V 30 5 d ? 100 V d 5 0,3

97. O bloco de massa 4 kg desliza com velocidade cons-tante de 2 m/s sujeito a uma força horizontal de intensidade 20 N.A partir dessas informações e da figura apresentada no enunciado podemos concluir que:• opesodobloco,considerandog 5 10 m/s2, tem

intensidade de 40 N;• aforçadereaçãonormaldoapoiotemintensidade

igual à do peso, 40 N;• a força de atrito dinâmico de deslizamento tem

intensidade igual à da força horizontal aplicada ao bloco, 20 N, mas de sentido contrário;

• ocoeficientedeatritodinâmicodedeslizamentoéigual a 0,5.

Analisando-se as afirmações feitas em cada uma das alternativas do teste, concluímos que a resposta cor-responde à alternativa b.

98. O problema é semelhante ao anterior.O corpo de massa 10 kg desliza, com velocidade cons-tante, sobre uma mesa horizontal sob a ação de uma força horizontal de intensidade 10 N.O peso do corpo tem intensidade 100 N. A força de reação normal do apoio deve equilibrar a força peso. Portanto, a reação normal tem intensidade 100 N.A força de atrito deve equilibrar a força externa aplicada ao corpo. Logo, a força de atrito tem intensidade 10 N.O coeficiente de atrito cinético de deslizamento é dado por:Fat 5 d ? FN V 10 5 d ? 100 V d 5 0,1A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

99. O problema explora a força de resistência fluida do ar ao agir em uma pedra em movimento vertical ascendente.Na pedra atuam duas forças consideráveis (despreza-remos o empuxo):

• a força peso, com direção vertical e sentido para baixo;• aforçaderesistênciafluidadoar,comdireção

também vertical e sentido para baixo (lembre-se de que a força de resistência tem sentido contrário ao do vetor velocidade).

O esquema que apresenta as duas forças com sentido para baixo está na alternativa a.

100. a) O paraquedista e seu equipamento têm massa total de 90 kg. Considerando g 5 10 m/s2, podemos concluir que o peso do conjunto é de 900 N.

b) Quando o paraquedista passa a cair com velocidade constante (a chamada velocidade limite), a força resultante que atua sobre ele deve ser nula. Portanto, a força de resistência imposta pelo ar deve equilibrar a força peso. Assim, a força de resistência do ar tem intensidade 900 N.

c) Quando a velocidade v iguala-se à velocidade limite vL, a força de resistência fluida Frf iguala-se ao peso P. Então:

Frf 5 P V 36 ? v2L 5 900 V vL 5 d XXXX 900 ____ 36 V

V vL 5 30 ___ 6 V vL 5 5 m/s

101. a) A gota de chuva, ao se desprender da nuvem, cai sob ação de seu peso e da força de resistência do ar. A partir do instante em que estas forças se equilibram, a gota cai em MRU. Portanto, um corpo pode estar em movimento mesmo que a resultante das forças que nele age seja nula, contrariando as ideias de Aristóteles.

b) Neste caso, a nave está em movimento e livre da ação de forças. Para Aristóteles esta situação não poderia ocorrer.

c) Como o carro para, ocorre variação de velocidade. Isto significa que forças agem no carro. No caso são as forças de resistência do ar e as forças de atrito. O carro parou não pelas forças que deixaram de agir, mas justamente pela ação de forças.

102. As forças resultantes que atuam nos dois corpos, A e B, têm uma mesma intensidade e agem durante um mesmo intervalo de tempo.Nesse intervalo de tempo, o corpo A sofre uma menor variação de velocidade e, portanto, fica submetido a uma menor aceleração.Como a aceleração adquirida pelo corpo é inversamente proporcional à massa (Fres 5 m ? a), podemos concluir que o corpo A, o que adquire a menor aceleração, é o de maior massa.

103. O exercício é uma aplicação bastante simples do princípio fundamental da Dinâmica ou segunda lei de Newton.A força resultante necessária para acelerar uma bici-cleta e seu ocupante, massa total de 60 kg, a 1,5 m/s2 é dada por:Fres 5 m ? a V Fres 5 60 ? 1,5 V Fres 5 90 N

104. Mais uma aplicação imediata do princípio fundamental da Dinâmica.A massa do corpo é dada por:Fres 5 m ? a V 20 5 m ? 5 V m 5 4 kgA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

94

105. O exercício explora novamente a aplicação do princípio fun-damental da Dinâmica a uma situação bastante simples.A aceleração do avião, com massa de 4.000 kg, impul-sionado pela força resultante de intensidade 24.000 N, é dada por:Fres 5 m ? a V 24.000 5 4.000 ? a V a 5 6 m/s2

106. O problema é semelhante aos anteriores da série, contudo o aluno terá que saber representar as forças atuantes no elevador e a calcular a intensidade da resultante.No elevador, que sobe acelerado a 2 m/s2, atuam duas forças externas: o peso (com intensidade 5.000 N, na vertical e para baixo) e a tração no cabo (vertical e para cima).Como a aceleração é vertical e para cima, podemos concluir que a força resultante também é vertical e com sentido para cima. Assim, a intensidade da força de tração no cabo é maior que a intensidade da força peso. Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos:Fres 5 m ? a V T 2 5.000 5 500 ? 2 VV T 2 5.000 5 1.000 V T 5 6.000 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

107. O exercício explora as relações qualitativas entre a força resultante, a massa e a aceleração de um corpo: Fres 5 m ? a.A força resultante de intensidade 80 N acelera o corpo, de massa 20 kg, a 4 m/s2.

a) Se a massa do corpo dobrar, mantida a aceleração, a força resultante também deverá dobrar. Portanto, a nova força resultante deverá ter intensidade 160 N.

b) Se a massa do corpo dobrar, mantida a força resul-tante, sua aceleração reduz-se à metade. Portanto, a nova aceleração será de 2 m/s2.

108. O exercício é semelhante ao anterior e explora o diagrama da intensidade da força resultante em função da aceleração.

a) A partir do gráfico, podem-se obter a intensidade da força resultante e a respectiva aceleração adquirida pelos corpos.No corpo A, uma força de intensidade 9 N imprime uma aceleração de 3 m/s2. Portanto, a massa do corpo A é de 3 kg.E, no corpo B, a força de intensidade 9 N imprime uma aceleração de 6 m/s2. Portanto, a massa do corpo B é de 1,5 kg.

b) Sob a ação de uma força de intensidade 27 N, o corpo A, com massa de 3 kg, adquire uma aceleração de 9 m/s2.

c) Para que o corpo B, com massa de 1,5 kg, tenha uma aceleração de 10 m/s2, ele deve ficar sujeito a uma força resultante de intensidade 15 N.

109. O exercício explora o uso e a interpretação do diagrama do módulo da força resultante em função da aceleração adquirida por um corpo.Mostre aos alunos que a força F, que está sendo repre-sentada no eixo das ordenadas (eixo y), e a aceleração a, no eixo das abscissas (eixo x) se relacionam por uma função do tipo y 5 K ? x (reta inclinada passando pela origem), pois, para cada corpo (com determinada massa m constante), o princípio fundamental da Dinâmica estabelece que F 5 m ? a.

A resolução em si é bastante simples. Para cada uma das três retas inclinadas, o aluno deverá tomar um par de valores (aceleração; força) e aplicar o princípio fundamental da dinâmica para obter a massa do corpo. Obtém-se, então:Fres 5 m ? a V 40 5 mI ? 5,0 V mI 5 8,0 kgFres 5 m ? a V 40 5 mII ? 10 V mII 5 4,0 kgFres 5 m ? a V 20 5 mIII ? 10 V mIII 5 2,0 kgA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

110. O problema é simples e envolve a aplicação do princípio fundamental da Dinâmica.

a) Se desprezarmos os atritos, as forças que atuam no corpo são: o peso P 5 100 N (vertical e para baixo), a reação normal do apoio FN (vertical e para cima) e a força F 5 50 N (horizontal e para a direita).

Na direção vertical, pelo princípio da inércia, a força resultante é nula. Assim, a reação normal do apoio equilibra o peso e FN 5 100 N.

Na direção horizontal, pelo princípio fundamental da Dinâmica:

Fres 5 m ? a V 50 5 10 ? a V a 5 5 m/s2

b) Considerando-se a existência de atrito teremos, agora, além das forças já citadas, a força de atrito de inten-sidade dada por Fat 5 d· FN na direção horizontal e sentido para a esquerda (contrária à da força F). Então, a força de atrito terá intensidade 40 N. O princípio fundamental da Dinâmica estabelece que:Fres 5 m ? a V 50 2 40 5 10 ? a V a 5 1 m/s2

111. O problema explora tópicos da cinemática associados à Dinâmica.

a) A aceleração média é calculada por:

am 5 Dv ___ Dt

V am 5 20 2 0 _______ 10 V am 5 2 m/s2

b) Enfatize para os alunos que, se a força resultante tem intensidade constante, então a aceleração tam-bém terá intensidade constante. Assim, a aceleração instantânea é igual à aceleração média, 2 m/s2. Essa aceleração indica que a velocidade varia de 2 m/s a cada segundo.Portanto, partindo do repouso, depois de 3 s o corpo atinge a velocidade de 6 m/s.

c) Pelo princípio fundamental da Dinâmica:Fres 5 m ? a V 100 5 m ? 2 V m 5 50 kg

112. Aplicação do princípio fundamental da Dinâmica.A força de atrito se opõe à força externa de 50 N e pelo princípio fundamental da Dinâmica:Fres 5 m ? a V 50 2 Fat 5 10 ? 2,0 V Fat 5 30 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.Se dispuser de tempo e achar conveniente, explore mais profundamente o teste. Qual seria, por exemplo, a aceleração da caixa se, 15 s após o início do movimento, a força externa de 50 N deixasse de atuar?Peça aos alunos para construírem o diagrama da veloci-dade em função do tempo, desde o instante t 5 0 até o instante em que a caixa volta ao repouso.

95

113. Mais uma aplicação do princípio fundamental da Dinâmica.Mostre aos alunos que a força de atrito atua em sentido contrário ao da força aplicada pelo fio, pois a aceleração do bloco é menor do que 7 m/s2 (aceleração que o bloco teria se não existisse atrito).Pelo princípio fundamental da Dinâmica:Fres 5 m ? a V 14 2 Fat 5 2,0 ? 3,0 V Fat 5 8 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

114. O exercício é importante por explorar as intensidades das forças que atuam em um corpo que possui aceleração na direção vertical.As forças que atuam na sacola são: o peso P (vertical e para baixo) de seu conteúdo; a força F (vertical para cima) que atua em sua alça.Com o elevador em repouso ou em movimento com velocidade constante, pelo princípio da inércia ou pelo princípio fundamental da Dinâmica, essas duas forças devem se equilibrar.A sacola corre o risco de ter sua alça arrebentada quando a força F for maior do que o peso P de seu conteúdo. Nessa situação, a sacola e o elevador terão uma acele-ração na direção vertical e sentido para cima.São possíveis duas situações, nas quais a aceleração tem sentido para cima:• oelevadorpodeestarsubindoemmovimentoacelerado

(com sua velocidade, em módulo, aumentando); ou• oelevadorpodeestardescendoemmovimentoretardado

(com sua velocidade, em módulo, diminuindo).A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

115. Exercício do mesmo tipo do anterior, exigindo agora uma análise quantitativa.As forças verticais que atuam no bloco durante a subida do elevador são: o peso P 5 50 N (com sentido para baixo) e a força de reação normal do apoio, FN, aplicada ao corpo pela balança (com sentido para cima).Como a aceleração do elevador é para cima, podemos concluir que a força de reação normal do apoio tem intensidade maior que a do peso.Considerando-se g 5 10 m/s2, teremos:Fres 5 m ? a V FN 2 50 5 5 ? 5 V FN 5 75 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

116. Problema semelhante ao anterior.Uma rápida análise das alternativas permite concluir que o teste explora a leitura fornecida por uma balança, dentro de um elevador, que se desloca, subindo ou des-cendo, em movimento acelerado ou retardado. Devemos considerar duas situações: movimento com aceleração para cima (o elevador sobe em movimento acelerado ou desce em movimento retardado) ou movimento com aceleração para baixo (o elevador desce em movimento acelerado ou sobe em movimento retardado).• Aceleraçãoparacima,demódulo10m/s2.

Nesse caso, a reação normal do apoio, FN, tem inten-sidade maior que o peso P.Fres 5 m ? a V FN 2 600 5 60 ? 10 V FN 5 1.200 N

• Aceleraçãoparabaixo,demódulo10m/s2.

Nesse caso, o peso P tem intensidade maior que a reação normal do apoio, FN.Fres 5 m ? a V 600 2 FN 5 60 ? 10 V FN 5 0Esse resultado indica que a pessoa não exerceria força sobre a balança. Realmente, o elevador e tudo que estivesse dentro dele estaria em queda livre.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

117. O teste explora a terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação.a) A proposição está correta. Se a Terra atrai o corpo,

então, o corpo atrai a Terra. Assim, a força de reação ao peso P do corpo é uma força de mesma intensidade P, mesma direção e de sentido contrário aplicada no centro do planeta.

b) A proposição está correta. Se a massa do corpo é de 5,0 kg e a aceleração gravitacional tem intensidade 10 m/s2, então a intensidade da força peso do corpo é de 50 N. Logo, se a Terra atrai o corpo com força de intensidade 50 N, então o corpo também atrai a Terra com força de intensidade 50 N.

c) A proposição está errada. As forças do par ação-reação sempre atuam em corpos distintos e, por esse motivo, elas nunca se equilibram.

d) A proposição está correta. Quando o carro parte ace-lerando, suas rodas giram e aplicam ao chão uma força “para trás”, o que faz com que a terra seja lançada para trás. A reação a essa força tem sentido “para a frente” e, atuando no pneu, impulsiona o carro para a frente.

e) A proposição está errada. A força peso, de intensi-dade P, é a força com que a Terra atrai o corpo (a reação ao peso atua no centro da Terra), enquanto a força normal FN é a força com que o apoio sustenta a bola (a reação à força normal atua na superfície de apoio, nesse caso a mesa). Assim, o peso e a reação normal do apoio não constituem um par de ação e reação. Poderíamos ainda utilizar o resul-tado da proposição c deste exercício para concluir que, se as forças atuam em um mesmo corpo, elas não podem constituir um par ação-reação.

118. Aplicação imediata da terceira lei de Newton ou prin-cípio da ação e reação.A pessoa exerce sobre a mesa uma força de intensidade F1 e, pelo princípio da ação e reação, a mesa exerce so-bre a pessoa uma força de mesma intensidade F2 5 F1, mesma direção, mas de sentido oposto.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

119. Lembre aos alunos que as forças do par ação e reação sempre têm mesma intensidade.Assim, a força com que a locomotiva puxa os vagões e a força com que os vagões puxam a locomotiva sempre têm mesma intensidade.O movimento do trem é, em última análise, resultado da força que os trilhos aplicam às rodas da locomotiva. Tal força tem sentido para a frente (pois as rodas da locomotiva exercem nos trilhos força “para trás”) e intensidade maior do que a força aplicada à locomotiva pelos vagões. Por outro lado, as rodas dos vagões, por não exercerem tração, em-purram os trilhos para frente e, pela terceira lei de Newton, são empurradas para trás com força de menor intensidade do que a aplicada pela locomotiva aos vagões.

96

Veja a figura abaixo.


120. Mais um exercício que explora a terceira lei de Newton.a) A proposição está correta. Para que o chocalho se

movimente, a perna da moça deve exercer uma força sobre ele.

b) A proposição está errada. As forças do par ação e reação têm sempre uma mesma intensidade. Portanto, a força que a morena aplica ao chocalho tem mesma intensidade que a força que o chocalho aplica a morena.

121. O exercício explora, mais uma vez, o princípio da ação e reação ou terceira lei de Newton.a) A afirmação feita está errada, pois as forças de ação e

reação atuam sempre em corpos diferentes e, por este motivo, nunca podem se anular.

b) Uma situação cotidiana que evidencia a presença das forças de ação e reação é durante uma corrida ou o andar de uma pessoa.Ao correr ou andar para frente, o pé da pessoa aplica ao solo uma força para trás. Pela terceira lei de Newton, o solo reage e aplica ao pé da pessoa uma força para a frente.

122. Teste bastante simples explorando o princípio da ação e reação.Durante uma colisão entre um automóvel e uma carreta, a força que a carreta exerce sobre o automóvel tem mesma intensidade que a força que o automóvel exerce sobre a carreta e essas forças têm sentidos opostos.

F

–F


123. Aplicação do princípio da ação e reação a uma situação prática.Uma nave espacial deve realizar uma manobra para desa-celerar e virar à esquerda. O teste deseja saber do aluno como a nave deve lançar os gases de combustão.

F–F

Para desacelerar a nave, esta deve receber dos gases uma força de sentido contrário ao de sua velocidade. Assim, os gases devem ser lançados em sentido contrário ao do movimento da nave.Para virar à esquerda, a nave deve receber uma força com este sentido. Assim, os gases devem ser lançados para a direita da nave.Portanto, para realizar a manobra, os gases devem ser lançados em sentido contrário ao do movimento da nave e dirigidos para a direita.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

124. Numa colisão entre um automóvel e uma moto, as forças de interação entre os corpos têm mesma intensidade. En-tretanto, os efeitos provocados por essas forças de mesma intensidade dependem das massas dos corpos em que atuam e das respectivas resistências mecânicas.No caso da colisão entre o automóvel e a moto, esta última sofre mais danos devido à sua menor resistência mecânica e também devido à sua menor massa.

125. Mais uma aplicação prática do princípio da ação e reação.O regador rotativo da figura gira ao lançar a água. Ao ser lançada para fora dos tubos por uma determinada força (de ação), a água reage e aplica ao tubo uma força (de reação) de mesma intensidade e mesma direção, mas de sentido oposto. Essas forças de reação provocam a rotação do regador.Em relação ao observador O, a rotação do regador ocorre em sentido anti-horário (veja a figura a seguir).

126. A série de seis exercícios que se inicia com esse exercício, são bastante semelhantes entre si. Ressalte para os alu-nos que a resolução dos exercícios da Dinâmica inicia-se, geralmente, pela aplicação do princípio da ação e reação. Isso equivale a representar todas as forças externas que atuam em cada um dos corpos.A partir daí, devemos aplicar o princípio da inércia (caso a velocidade seja constante, o que equivale a uma aceleração nula) ou o princípio fundamental da Dinâmica (no caso de existir uma aceleração).Ressalte também para os alunos que não existe uma “fór-mula mágica” a ser aplicada a todos os exercícios. Cada exercício deve ser analisado cuidadosamente seguindo a orientação acima.Para o exercício em questão, a figura a seguir mostra as forças que atuam nos corpos A e B. A força de interação entre os corpos A e B tem intensidade f.

A3 kg

FNA FNB

PA

PB

f f

a a

30 N B2 kg

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

97

a) A aplicação do princípio da inércia, na direção verti-cal, implica o equilíbrio entre a força peso e a força de reação normal do apoio em cada um dos corpos.Pelo princípio fundamental da Dinâmica, aplicado a cada um dos corpos, obtemos:

30 2 f 5 3 ? a (para o corpo A)f 5 2 ? a (para o corpo B)

Somando-se, membro a membro, as duas equações acima, obtemos para a aceleração a o valor 6 m/s2.

b) Com o valor obtido no item anterior, substituído, por exemplo, na equação do corpo B, obtemos para a força f a intensidade 12 N.

127. O exercício é semelhante ao anterior. Entretanto, agora existe atrito entre os corpos e a superfície de apoio.a) A figura a seguir mostra as forças atuantes em cada

um dos corpos. Repare que as intensidades das forças peso (P 5 m ? g), reação normal do apoio (FN 5 P), pelo princípio da inércia) e de atrito (Fat 5 ? FN) já foram calculadas e constam do esquema. A tração no fio que une os corpos tem intensidade T.

A aplicação do princípio fundamental da Dinâmica, a cada um dos dois blocos, fornece o sistema de equações a seguir:

T 2 30 5 10 ? a (para o corpo A)60 2 15 2 T 5 5 ? a (para o corpo B)

Somando-se membro a membro as duas equações, obtemos a aceleração a do conjunto igual a 1 m/s2.

b) Com o valor obtido no item anterior, substituído em qualquer uma das duas equações do sistema, obte-mos para a tração T do fio a intensidade de 40 N.

128. Exercício semelhante aos dois anteriores. Neste caso, temos um dos corpos apoiado sobre uma mesa lisa horizontal e o outro suspenso por um fio.As forças que atuam nos corpos são mostradas na figura a seguir.

A10 kg

FNA = 100 N

PA = 100 N

FatA = 30 N FatB = 15 N

FNB = 50 N

60 N

PB = 50 N

T T

a a

B5 kg

a

a

20 N

5 N

A

2 kg

B0,5 kg

FNA

T

T

a) Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica aos dois blocos, obtemos:

T 5 2 ? a (para o corpo A)5 2 T 5 0,5 ? a (para o corpo B)

Somando-se membro a membro as duas equações teremos a 5 2 m/s2.

b) Substituindo-se o valor da aceleração a, obtida no item anterior, na equação do corpo A, obtemos T 5 4 N.

129. Mais uma vez devemos representar as forças que atuam em cada um dos corpos. Observe que o movimento do sistema ocorre de modo que o corpo mais pesado (o corpo de 6 kg) desce e, portanto, sua aceleração é vertical e para baixo. Seja T a força de tração aplicada pelo fio aos corpos.A figura mostra as forças atuantes em cada um dos dois corpos.

a) Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica a cada um dos dois corpos, obtemos o sistema de 2 equações e 2 incógnitas (a e T) a seguir:60 2 T 5 6 ? a (para o corpo de 6 kg)T 2 40 5 4 ? a (para o corpo de 4 kg)

Somando-se membro a membro as duas equações, obtemos a 5 2 m/s2.

b) Com o valor da aceleração a obtido no item anterior, substituído em uma das equações do sistema, obte-mos para a tração a intensidade T 5 48 N.

130. As forças que atuam na massa pendular são mostradas na figura abaixo.Note que a força resultante (soma vetorial das forças peso e tração no fio) deve ter necessariamente direção horizontal e sentido para a direita (de A para B). Portanto, a aceleração a do trem também deve ser horizontal e para a direita.Podemos concluir que o trem pode estar se movimentando de A para B com velocidade crescente (movimen-to acelerado).O trem também pode estar se mo-vimentado de B para A, mas sua velocidade, nesse caso, estaria diminuindo (movimento retardado).A resposta ao teste pode ser encontrada na alternativa e.

131. Exercício semelhante ao anterior com dados literais.As forças que atuam no corpo de massa m são mostradas na figura abaixo. Observe que, na figura, já fizemos a decomposição da força de tração T em suas componentes horizontal e vertical.

aa

60 N40 N

4 kg6 kg

TT

a

A B

P

T

Fres

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

98

Na direção horizontal, a com-ponente T · sen u deve propi-ciar a aceleração a. Então:T ? sen u 5 m ? aNa direção vertical, a compo-nente T ? cos u deve equilibrar o peso m ? g do corpo. Então:T 5 cos u 5 m ? gDividindo membro a membro as duas equações anteriores, obtemos: a 5 g ? tg u .

132. a) De: 5 2p___ T V 5 2p___ 20 V p___ 10 rad/s

b) Sendo: v 5 ? R V v 5 p___ 10 ? 8 V v 5 0,8p m/s

c) Para o cálculo do módulo da aceleração centrípeta

podemos usar ac 5 v2

__ R ou ac 5 2 ? R

De: ac 5 2 ? R V ac 5 @ p___ 10 # 2 ? 8 V ac 0,8 m/s2

133. Cálculo da velocidade v.

De v 5 Ds ___ Dt

e sendo Ds 5 403 km e Dt 5 1 h 25 min 5

5 1 h 1 25 ___ 60 h 5 85 ___ 60 h, vem:

v 5 403 ____ 85 ___ 60

km/h V v 5 284,5 km/h V

V v 5 284,5 ______ 3,6 m/s V v 5 79 m/s

Nas curvas a aceleração do trem é centrípeta:

ac 5 v2

__ R V 0,1 ? g 5 792

___ R V R 5 6.241 m

O valor mais próximo é 6.400 m.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

134. O móvel, com massa 1.000 kg, movimenta-se com velocida-de de 108 km/h (30 m/s) na estrada cujo perfil é dado no enunciado do problema. O aluno deverá analisar as forças que atuam no carro em cada um dos três pontos solicitados (A, B e C) e verificar a necessidade da existência de uma força resultante centrípeta nos pontos A e B. Exercício simples, porém importante no estudo das forças que atuam em um corpo que descreve uma curva.No ponto A da estrada, o carro encontra-se no ponto mais alto da lombada de raio 100 m. Nesse ponto, a resultante centrípeta deve ser vertical e para baixo, pois o centro da curva estará diretamente abaixo do carro. Portanto, no ponto A, a força peso deve, necessariamen-te, ser maior que a reação normal do apoio. Então:

Fres 5 m ? aC V P 2 FNA 5 m ? v2

__ R V

V 10.000 2 FNA 5 1.000 ? 302

____ 100 V FNA 5 1.000 N

No ponto B da estrada, o carro encontra-se no ponto mais baixo de uma valeta e, nesse caso, a resultante centrípeta deve ser vertical e para cima. Assim, no ponto B a força de reação normal do apoio supera a força peso do carro. Teremos:

Fres 5 m ? aC V FNB 2 P 5 m ? v2

__ R V

V FNB 2 10.000 5 1.000 ? 302

____ 100 V FNB 5 19.000 N

a

m

T • cos θ

θ

T • sen θ

m • g

No ponto C da estrada o perfil é plano e horizontal e o carro descreve, portanto, trajetória retilínea. Nesse ponto da estrada, a aceleração e a força resultante são ambas nulas. Assim, no ponto C, a força de reação nor-mal do apoio equilibra a força peso e FNC 5 10.000 N.

135. Exercício clássico que explora a velocidade máxima permitida no ponto mais alto de uma lombada de modo que o móvel não perca contato com a pista.Mostre aos alunos que, no ponto mais alto da lombada, atuam duas forças verticais: o peso (para baixo) e a reação normal do apoio (para cima).A resultante (centrípeta) deve, necessariamente, ser dirigida para baixo e dada pela diferença entre a inten-sidade da força peso e a intensidade da força de reação normal do apoio. Ou seja:

m ? g 2 FN 5 m ? v2

__ R

À velocidade máxima no alto da lombada corresponderá a intensidade máxima da resultante centrípeta, o que ocorrerá quando a força de reação normal do apoio estiver na iminência de se anular. Assim:

m ? g 5 m ? v2

máx ____ R V 10 5

v2máx ____ 22,5 V

V v2máx 5 225 V vmáx 5 15 m/s

136. Mais um problema clássico apresentado durante o estudo da resultante centrípeta.A resultante centrípeta que atua na pedra que descreve o movimento circular é desempenhada pela força de tração do fio.Observe que a velocidade máxima permitida à pedra ocorre quando o fio estiver na iminência de arrebentar e, nesse caso, a tração exercida no fio também será a máxima suportável. Assim:

Tmáx 5 m ? v2

máx ____ R V 100 5 2 ?

v2máx ____ 8 V vmáx 5 20 m/s

137. O exercício explora a variação da intensidade da reação normal do apoio que atua em um passageiro de roda gigante. Lembre aos alunos que a indicação da balan-ça, sobre a qual o passageiro de 60 kg está sentado, corresponde à intensidade da reação normal do apoio (nesse caso, sempre vertical e para cima).No ponto mais alto, a indicação da balança é de 234 N e a resultante centrípeta é dada pela diferença entre o peso e a reação normal do apoio.No ponto mais baixo, a balança indica 954 N e a resul-tante centrípeta é dada pela diferença entre a reação normal do apoio e o peso.Então:

60 ? g 2 234 5 60 ? v2

__ R (no ponto mais alto)

954 2 60 ? g 5 60 ? v2

__ R (no ponto mais baixo)

Pela comparação das duas equações anteriores obtemos:60 ? g 2 234 5 954 2 60 ? g V 120 ? g 5 1.188 V

V g 5 1.188 ______ 120 V g 5 9,9 m/s2

ad

ils

on

se

cc

o

99

138. Mais um exercício clássico: “o globo da morte”.Lembre aos alunos que, no ponto mais alto da trajetória, a moto “empurra” o chão para cima. Portanto, pelo princípio da ação e reação, a reação normal do apoio é vertical e está apontando para baixo. Tal reação do apoio será tão mais intensa quanto maior a velocidade da moto naquele ponto.Assim, a resultante centrípeta no ponto mais alto do globo da morte é dada pela soma do peso com a reação normal do apoio.Na situação em que a velocidade da moto é mínima para não perder contato com o globo, a reação normal do apoio anula-se. Então:

m ? g 1 FN 5 m ? v2

__ R V m ? g 1 0 5 m ?

v2mín ____ R V

V g 5 v2

mín ____ R V vmín 5 d XXXXX R ? g

139. A figura abaixo mostra uma vista frontal do carro de corrida na pista inclinada. Observe que a força de reação normal do apoio já se encontra decomposta em suas componentes vertical (que equilibra o peso do carro) e horizontal (que desempenha o papel de resultante centrípeta).

Temos, então:FN ? sen u 5 m ? v

2

__ R (na horizontal)

FN ? cos u 5 m ? g (na vertical)Dividindo as duas equações membro a membro, ob-temos:tg u 5 v2

_____ R ? g

V v 5 d XXXXXXXXXXX R ? g ? tg u

140. Este também é um problema clássico: o rotor dos parques de diversão.A figura ao lado mostra as forças que atuam na pessoa encostada à parede do rotor quando o piso já se encontra abaixado.Observe que a força de atrito entre a pessoa e a parede deve equilibrar o peso. Portanto, o peso deve ser, obri-gatoriamente, menor que a máxima força de atrito possível. Então:m ? g < Fat(máx) V m ? g < ? FN

A resultante centrípeta é, nesse caso, desempenhada pela reação normal do apoio, a força horizon-tal aplicada à pessoa pela parede.Então:FN 5 m ? 2 ? RSubstituindo essa última equação, na equação anterior, temos:m ? g < ? m ? 2 ? R V d XXXXXX

g _____

? R

m • gθ

θ

FN • cos θFN

FN • sen θ

FN

Fat (máx)

m • g

141. Observe que a força que desempenha o papel de re-sultante centrípeta é a componente horizontal da força de reação normal do apoio. Tal força é dada por:FC 5 FN ? sen u (I)Por outro lado, na direção vertical temos:

FN ? cos u 5 P V FN 5 P _____ cos u (II)

Com (II) em (I), vem:

FC 5 P _____ cos u ? sen u V FC 5 P ? tg u V

V FC 5 m ? g ? tg u.


Capítulo 4 Hidrostática

1.O exercício explora a definição de densidade volu-métrica.São dados: d 5 21,5 g/cm3 e m 5 50 g.

a) O volume V da joia pode ser calculado por:

d 5 m __ V V 21,5 5 50 ___

V V V 5 50 ____ 21,5 V

V V 5 2,3 cm3

b) Se a joia de prata (d’ 5 10,5 g/cm3) e a de ouro são idênticas, então seus volumes são iguais. Temos, então:

d’ 5 m’ ___ V V 10,5 5 m’ ___ 2,3 V m’ 5 10,5 ? 2,3 V

V m’ 5 24,15 g

2.Este exercício, além de explorar a definição de densi-dade volumétrica, também mostra a diferença entre a densidade de um corpo e a massa específica da substância que o constitui.São dados: A 5 10 cm2, h 5 5,0 cm e dAu 5 19,3 g/cm3.

a)O volume do cilindro maciço (V1) e o do cilindro oco (V2) são dados por:V1 5 V2 5 A ? h V V1 5 V2 5 10 ? 5,0 VV V1 5 V2 5 50 cm3

O volume do material do cilindro oco vale 10% do seu volume total:V2(material) 5 0,1 ? V2 V V2(material) 5 0,1 ? 50 V

V V2(material) 5 5,0 cm3

Podemos agora, a partir da definição de densidade, calcular suas massas e a relação entre elas. Teremos, então:19,3 5

m1 ___ 50 V m1 5 965 g

19,3 5 m2 ___ 5,0 V m2 5 96,5 g

m2 ___ m1

5 96,5 ____ 965 V m2 ___ m1

5 0,1 V m2 5 0,1 ? m1

Portanto, a massa do segundo cilindro é dez por cento da massa do primeiro.

b) A densidade do segundo cilindro é dada por:

d2 5 m2 ___ V2

V d2 5 96,5 ____ 50 V d2 5 1,93 g/cm3

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

100

3.Este exercício oferece ao professor a oportunidade de mostrar a distinção entre massa específica de uma substância e densidade de um corpo dessa substância. A densidade de um corpo considera todo o volume do corpo (inclusive os espaços interiores vazios), enquanto a massa específica de uma substância leva em conta apenas o volume ocupado pela substância.No enunciado, são dados: m 5 100 g, V 5 50 cm3 e Vvazio5 10 cm3.Para o cubo, temos:

dC 5 m __ V V dC 5 100 ____ 50 V dC 5 2,0 g/cm3

Para o cálculo da densidade, ou massa específica, do alumínio devemos considerar apenas o volume ocupado pelo alumínio. Temos, então:

VA, 5 V 2 Vvazio V VA, 5 50 2 10 V VA, 5 40 cm3

dA, 5 m ___ VA,

  V dA, 5 100 ____ 40 V dA, 5 2,5 g/cm3

4.O exercício pode ser resolvido sem muitos cálculos.Do enunciado, temos: m1 5 100 g, V1 5 200 cm3e V2 5 100 cm3.Se ambos os objetos são maciços e feitos de um mesmo material, suas densidades são iguais e a razão entre massa e volume para ambos deve ser a mesma.

m1 ___ V1

5 m2 ___ V2

V 100 g ________

200 cm3 5 m2 ________

100 cm3 V

V m2 5 50 g 5 5,0 ? 1022 kg

5.O volume de tinta é dado pelo produto da área da chapa pela espessura da camada:V 5 2 ? 5 ? 102 6 V V 5 1025 m3 V V 5 10 cm3

Como m 5 d ? V, temos: m 5 1,7 ? 10 V m 5 17 g

6.Tendo massa M 5 1024 kg 5 1027 g, ao adquirir a densi-dade d 5 1024 g/cm3, a Terra apresentará volume dado

por V 5 m __ d .

Então:

V 5 1027

____ 1024 5 103 V V 5 103 cm3 V V 5 1.000 cm3

Lembrando que 1.000 cm3 corresponde a 1 ,, o volume ocu-pado pela Terra é comparável ao de uma bola de futebol.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

7.a) Calculando a densidade da coroa:

d 5 m __ V V d 5 1.000 ______ 62,5 V d 5 16,0 g/cm3

Portanto, a coroa não é de ouro maciço, pois tem densidade menor que a do ouro (20,0 g/cm3). Houve fraude do ourives.

b) Sabendo-se que a coroa é constituída por uma mis-tura de ouro e prata, podemos montar o sistema de equações a seguir:

VmAu 1 mAg 5 1.000 g

VVAu 1 VAg 5 62,5 cm3

VmAu 1 mAg 5 1.000

V mAu ______ 20,00 1

mAg ____ 10,0 5 62,5

VmAu 1 mAg 5 1.000

VmAu 1 2 ? mAg 5 1.250

VmAu 5 750 g

mAg 5 250 g

8.A intensidade do empuxo é igual ao peso do líquido deslocado.E 5 PL V E 5 mL ?g V E 5 0,030 kg ? 10 m/s2 VV E 5 0,30 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

9.E 5 dágua ? g ? Vimerso 5 dágua ? g ? mcorpo _____ dcorpo

V

V 0,30 5 103 ? 0,120 ______ dcorpo

V dcorpo 5 4,0 ? 103 kg/m3 V

V dcorpo 5 4,0 g/cm3


10. O exercício é puramente conceitual. Destaque para os alunos que a intensidade do empuxo que age sobre um corpo imerso em um determinado fluido depende ape-nas do volume de fluido deslocado, não importando o material que constitui o corpo ou mesmo sua massa.Assim, se as duas esferas têm mesmo diâmetro, elas também apresentam mesmo volume e, portanto, es-tarão sujeitas a empuxos de mesma intensidade, pois deslocam volumes iguais de água.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

11. Como os corpos estão imersos no mesmo líquido, em-puxos iguais implicam em volumes iguais. A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

12. Mais uma vez, ressalte aos alunos que o empuxo, em um dado líquido, depende apenas do volume de líquido deslocado pelo corpo ou volume imerso.Como as esferas A e B apresentam volumes iguais, elas deslocam volumes iguais de água, estando sujeitas, portanto, a empuxos de intensidades iguais, indepen-dentemente da profundidade em que se encontrem.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

13. À medida que y aumenta, também aumenta o empuxo do líquido sobre o corpo, diminuindo seu peso aparente e, consequentemente, a intensidade da força F. Se o corpo for mais denso que o liquido, F terá intensidade constante após o corpo ficar totalmente submerso. Se o corpo tiver densidade igual ou menor que o líquido, F será nula após o líquido cobrir totalmente o corpo.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

14. a) São iguais, pois os volumes de água deslocados pelas bolas são iguais.

b) PV 5 EV (ela flutua em equilíbrio) PB 5 EB 1 Nfundo V PB . EB EV , EB (volume deslocado pela bola de vôlei é menor) Portanto na ordem crescente: PV 5 EV , EB , PB.

15. a) É a reação do empuxo (E) sobre a pedra.

b) T’1 1 E 5 P V T’1 5 45 N 2 10 N 5 35 N (Pap) c) E 5 dágua ? g ? Vimerso V V 10 N 5 103 kg/m3 ? 10 m/s2 ? Vpedra V V Vpedra 5 1 ? 1023 m3 ou Vpedra 5 1 ? 103 cm3

d) d 5 mV V d 5 4.500 g

_________ 1.000 cm3 V d 5 4,5 g/cm3

101

16. O exercício explora o conceito de peso aparente. Lem-bre aos alunos que ao entrarmos na água de uma piscina nos sentimos “mais leves”. Essa aparente diminuição em nosso peso é devida ao empuxo.No enunciado do exercício são dados: m 5 10 kg, d 5 8,0 g/cm3 5 8.000 kg/m3, dL 5 0,8 g/cm3 5 5 800 kg/m3e g 5 10 m/s2.O peso do corpo (dado por m ? g) é igual a 100 N.Calculemos agora o volume desse corpo e a intensidade do empuxo que irá atuar sobre ele:

d 5 m __ V V 8.000 5 10 ___

V V V 5 1,25 ? 1023 m3

E 5 d ? V ? g V E 5 800 ? 1,25 ? 1023 ? 10 V E 5 10 NO peso aparente é a diferença entre o peso do corpo e o empuxo que atua sobre ele. Então:Pap 5 P 2 E V Pap 5 100 2 10 V Pap 5 90 N

17. a) Vcubo 5 a3 5 (2,0 cm)3 5 8,0 cm3

b) dcubo 5 m __ V 5

60 g _______

8,0 cm3 5 7,5 g/cm3 5 7,5 ? 103 kg/m3

c) Pap 5 P 2 E 5 m ? g 2 dágua ? g ? Vimerso V V Pap 5 60 ? 1023 ? 10 2 103 ? 10 ? 8,0 ? 1026 V V Pap 5 0,52 N

18. Seja V o volume das duas esferas. Mergulhadas na água, elas sofrem empuxos iguais: EF 5 EA 5 E 5 d ? V ? g 5 1,0 ? V ? g Os pesos serão diferentes e dados por:PF 5 dF ? V ? g V PF 5 7,9 ? V ? gPA 5 dA ? V ? g V PA 5 2,7 ? V ? gOs respectivos pesos aparentes valem:PapF 5 PF 2 E V PapF 5 (7,9 2 1,0) ? V ? g VV PapF 5 6,9 ? V ? gPapA 5 PA 2 E V PapF 5 (2,7 2 1,0) ? V ? g VV PapA 5 1,7 ? V ? gAchando a razão entre os dois pesos aparentes:

PapF ____ PapA

5 6,9 ___ 1,7 4

O peso aparente da esfera de ferro é aproximadamente quatro vezes maior que o da esfera de alumínio.É aceitável a comparação apenas qualitativa, isto é, que o peso aparente da esfera de ferro é maior que o da esfera de alumínio.

19. Sendo iguais as massas, os pesos serão iguais:PF 5 PA 5 P 5 m ? gOs empuxos serão diferentes, pois os volumes das es-feras serão diferentes:

EF 5 d ? VF ? g V EF 5 d ? m __ dF

? g V EF 5 1,0 ? m ___ 7,9 ? g V

V EF 5 0,127 m ? g

EA 5 d ? VA ? g V EA 5 d ? m ___ dA

? g V

V EA 5 1,0 ? m ___ 2,7 ? g V EA 5 0,37 m ? g

Os respectivos pesos aparentes valem:PapF 5 P 2 EF V PapF 5 m ? g 2 0,127 m ? g VV PapF 5 0,873 m ? gPapA 5 P 2 EA V PapA 5 m ? g 2 0,37 m ? g VV PapA 5 0,63 m ? g

Relacionando: PapF ____ PapA

5 0,873 ______ 0,63 1,4

O peso aparente da esfera de ferro é aproximadamente 1,4 vezes maior que o peso aparente da esfera de alu-mínio de mesma massa.Também neste caso é aceitável a comparação qualitativa: o peso aparente da esfera de ferro é maior que o da esfera de alumínio.

20. Do enunciado, temos: P 5 250 N, Pap 5 150 N, dL 5 1,0 g/cm3 5 1.000 kg/m3 e g 5 10 m/s2.a) O empuxo que atua sobre o corpo pode ser obtido a

partir da expressão para o cálculo do peso aparente:Pap 5 P 2 E V 150 5 250 2 E V E 5 100 N

b) Conhecida a intensidade do empuxo, podemos obter o volume de líquido que o corpo desloca quando totalmente imerso. Temos, então:E 5 dL ? Vimerso ? g V 100 5 1.000 ? Vcorpo ? 10 V V Vcorpo 5 0,01 m3

Conhecendo a massa do corpo (25 kg) e o seu volume (0,01 m3), podemos calcular a sua densidade:

d 5 m __ V V d 5

25 kg _______

0,01 m3 V

V d 5 2.500 kg/m3 5 2,5 g/cm3

21. O exercício envolve novamente o cálculo do peso aparente. Do enunciado temos: d 5 7,8 g/cm3, P 5 3,9 N; Pap 5 3,0 N e g 5 10 m/s2.Calculemos inicialmente a intensidade do empuxo e o volume de líquido deslocado (igual ao volume do corpo). Obtemos:Pap 5 P 2 E V 3,9 5 3,0 2 E V E 5 0,9 NP 5 m ? g V 3,9 5 m ? 10 V m 5 0,39 kg 5 390 g

d 5 m __ V V 7,8 5 390 ____

V V V 5 50 cm3 5 50 ? 1026 m3

Conhecidos os valores de E, V e g, podemos calcular a densidade dL do líquido:E 5 dL ? V ? g V 0,9 5 dL ? 50 ? 1026 ? 10 V

V dL 5 0,9 _______ 5 ? 1024 V dL 5 1.800 kg/m3 5 1,8 g/cm3


22. Como os braços da balança são iguais, para haver equi-líbrio, o peso da esfera de massa m2 deve ser igual ao peso aparente da esfera de massa m1. Assim,m2 ? g 5 m1 ? g 2 dágua ? g ? V1 VV m2 5 1,0 g 2 1,0 g/cm3 ? 0,6 cm3 5 0,4 gA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

23. a) A nova indicação é a massa correspondente ao vo-lume da água deslocada pela mão. Sim, é a ação de uma força; a reação do empuxo sobre a mão do professor atua sobre o prato da balança, alterando sua indicação; ação e reação (3a lei de Newton).

b) Princípio de Arquimedes:

E 5 PL 5 mL ? g 5 0,5 kg ? 10m/s2 V E 5 5,0 N

c) E 5 dL ? g ? Vmão V 5,0 N 5 103 kg/m3 ? 10 m/s2 ? Vmão V

V Vmão 5 5,0 ? 104 m3 ou Vmão 5 500 cm3

d) mmão 5 dcorpo humano ? Vmão V

V mmão 5 1,08 g/cm3 ? 500 cm3 V mmão 5 540 g

102

24. a) A primeira indicação, 1.200 g, é a massa do corpo; a segunda, 1.000 g, é a massa “aparente” (dentro d’água) a diferença entre elas, 200 g, é a massa do volume de líquido deslocado, que é proporcional à intensidade do empuxo:E 5 mL ? g 5 200 ? 1023 kg ? 10m/s2 V E 5 2,0 N

b) E 5 dágua ? g ? Vimerso V

V 2,0 N 5 103 kg/m3 ? 10m/s2 ? Vcorpo V V Vcorpo 5 2 ? 1024 m3 5 200 cm3

c) d 5 m __ V V d 5

1.200 g ________

200 cm3 5 6,0 g/cm3

d) A resposta é sim, acompanhe: Ear 5 dar ? g ? Vcorpo 5 5 1,25 ? 10 ? 2,0 ? 1024 5 2,5 ? 1023 N. Valor totalmente desprezível quando comparado ao peso do corpo (12 N) e impossível de ser medido na balança em questão.

25. a) Volume da água deslocada no tanque: Vd 5 (30 ? 30 ? 5) cm3 5 4.500 cm3;

Vpirâmide 5 Vdeslocado V 1 __ 3 ? Abase ? H 5 Vd V

V 1 __ 3 ? 15 ? 15 ? H 5 4.500 V H 5 60 cm

b) E 5 dágua ? g ? Vimerso 5 103 ? 10 ? 4.500 ? 1026 5 45 N

26. Situação 1: P1 5 Precipiente 1 Págua Situação 2: P2 5 P1 1 Ebola(2) V P2 . P1 Situação 3: P3 5 P1 1 Ebola(3) V P3 . P1, mas Ebola(2) . Ebola(3), então P2 . P3. Assim: P2 . P3 . P1. Portanto, a resposta ao teste é a alternativa b.

27. Flutuação:p 5 E V mbloco ? g 5 dL ? g ? Vimerso

dbloco ? Vbloco 5 dL ? 90% ? Vbloco

d 5 90% ? D V d __ D

5 90%

28. Quando um corpo flutua livremente em equilíbrio na superfície de um líquido, o empuxo sobre o corpo tem intensidade igual ao peso do corpo, pois, pelo princípio da inércia, a intensidade da força resultante deve ser nula.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

29. O exercício, conceitual mais uma vez, explora a flutu-ação de corpos.Na garrafa vazia, que flutua na superfície da água, o em-puxo tem intensidade igual ao peso da garrafa, pois a força resultante sobre ela é nula (pelo princípio da inércia).Na garrafa cheia de álcool, que afunda, a força resul-tante é vertical e para baixo. Assim, a intensidade do peso da garrafa com álcool é maior que a intensidade da força empuxo aplicada pela água.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

30. O bloco de madeira flutua em equilíbrio na superfície da água sujeito à força do empuxo, de intensidade E 5 8,0 N, e ao seu peso.Conforme vimos anteriormente, a força resultante sobre o bloco de madeira é nula, pois ele encontra-se em equilíbrio. Portanto, a força peso equilibra a força do empuxo e podemos concluir que o peso do bloco tem intensidade P 5 8,0 N.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

31. O exercício reforça o conceito de flutuabilidade de corpos imersos em líquidos.Sugira aos alunos uma situação inicial na qual as es-feras sejam levadas para o interior do líquido e, então, abandonadas.A esfera que estiver sujeita a um empuxo maior que seu peso irá subir e aflorar à superfície do líquido e, nesse caso, podemos concluir que a densidade da esfera é menor que a densidade do líquido. Se a esfera afundar, então seu peso será maior que o empuxo aplicado pelo líquido e a densida-de da esfera será maior que a densidade do líquido.Do exposto acima, podemos concluir que d1 . d e d . d2. Portanto, d1 . d . d2.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

32. Se o álcool está dentro das especificações, sua densidade d deve estar entre d1 e d2. Então, a esfera de densidade d1 (menos densa que o álcool) tende a flutuar, ficando encostada na parte superior do recipiente, enquanto a de densidade d2 (mais densa que o álcool) deve afundar, atin-gindo o equilíbrio no fundo do recipiente. É o que acontece na figura A. Portanto, a afirmação I está correta.Se o álcool tem densidade maior que as das duas esferas, ambas tendem a flutuar e a ocupar a parte superior do reci piente, como é indicado na figura B. Se o álcool tem densidade menor que as das duas esferas, ambas afundam e permanecem em equilíbrio no fundo do recipiente, como indicado na figura C. Portanto, as afirmações II e III estão incorretas.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

33. No equilíbrio, temos: E 5 T 1 P V T 5 E 2 P V V T 5 dágua ? g ? Vbola 2 dbola ? g ? Vbola, ou T 5 g ? (dágua ? Vbola 2 dbola ? Vbola)Como E e P dependem diretamente de g, essas forças

têm suas intensidades reduzidas a 1 __ 3 do seu valor inicial.

Por ser diretamente proporcional a g, o mesmo ocorre com a tração T.A resposta do teste é a alternativa d.

34. O efeito observado pelo aluno Arquimedes, adicionando sal à água, é explicado pelo aumento da densidade da mistura e, consequentemente, pelo aumento do em-puxo que age sobre a massa de modelar (veja Proposta experimental, da página 145).O efeito observado por Ulisses, que moldou a massa na forma de um barquinho, é explicado pelo aumento do volume de água deslocado pela massa de modelar (isso equivale a dizer que a densidade do barco é menor que a densidade da bola de massa de modelar). Assim, o novo empuxo exercido pela água é capaz de equilibrar o peso do barquinho parcialmente imerso na água.

35. Mais uma vez a flutuabilidade dos corpos é analisada em uma situação do cotidiano.A densidade da água no Mar Morto (onde a salinidade é muito elevada) é maior que a densidade da água da piscina. Então, para corpos flutuantes no Mar Morto, a intensidade do empuxo iguala-se ao peso do corpo com um menor volume de líquido deslocado, conforme a equação E 5 dL? VL ? g.

103

36. O exercício é uma aplicação quantitativa do conceito de flutuabilidade. Do enunciado, temos: d 5 0,80 g/cm3 e dL 5 1,0 g/cm3.Na situação de equilíbrio, o empuxo aplicado pela água iguala-se ao peso do bloco de madeira. Então:E 5 P V dL ? VLD ? g 5 d ? Vcorpo ? g VV 1,0 ? VLD 5 0,80 ? Vcorpo V VLD 5 0,80 ? Vcorpo

O resultado acima mostra que o volume de líquido deslocado (VLD), ou volume imerso corresponde a 80% do volume total do corpo. Portanto, o volume emerso (volume acima da superfície da água) é de 20%.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

37. Analisando as afirmações:I. Errada. pesfera 5 Eágua V desfera ? Vesfera 5 dágua ? Vimerso V

V desfera ? Vesfera 5 dágua ? 1 __ 2 Vesfera

V desfera 5 1 __ 2 dágua 5 0,5 ? dágua 5 50% dágua

II. Correta. pesfera 5 Eóleo V desfera ? Vesfera 5 dóleo ? Vimerso V

V desfera ? Vesfera 5 dóleo ? 3 __ 5 Vesfera

V desfera 5 3 __ 5 dóleo 5 0,6 ? dóleo 5 60% dóleo

III. Correta.

desfera 5 3 __ 5 dóleo V dóleo 5 5 __ 3 desfera 5

5 1,667 desfera 5 (1 1 66,7%) desfera

IV. Correta. desfera 5 1 __ 2 dágua 5 3 __ 5 dóleo V

V dágua 5 6 __ 5 dóleo 5 1,2 dóleo 5 (1 1 20%) dóleo


38. Neste exercício, temos uma mesma esfera em duas situações distintas: flutuando em água e flutuando em óleo.De acordo com o enunciado, ao flutuar na água, a esfera desloca um volume igual à metade de seu volume. No

óleo, o volume deslocado é 3 __ 4 do volume da esfera.

Em ambos os líquidos, os respectivos empuxos equilibram o peso da esfera. Portanto, o empuxo aplicado pela água e o empuxo aplicado pelo óleo têm intensidades iguais. Assim:Eágua 5 Eóleo V

V dágua ? Vimerso em água ? g 5 dóleo ? Vimerso em óleo ? g V

V dágua ? 1 __ 2 ? Vesfera 5 dóleo ?

3 __ 4 ? Vesfera V dágua ____ dóleo

5 3 __ 2


39. a) Como a esfera A flutua com metade de seu volume

imerso, temos que VL 5 VA ___ 2 . A condição de flutuação

impõe P 5 E. Então:

dA ? VA ? g 5 dL ? VL ? g V dA ? VA 5 1 ? VA ___ 2 V

V dA 5 0,5 g/cm3

b) Se o conjunto das duas esferas fica em equilíbrio quando elas estão totalmente mergulhadas, é porque o peso do conjunto é equilibrado pelo em-puxo que sofrem do líquido. Então: PA 1 PB 5 E.

Substituindo em função das densidades (dA, dB e dL) e dos volumes (VA 5 VB 5 V e VL 5 2 ? V), temos:

dA ? V ? g 1 dB ? V ? g 5 dL ? 2V ? g V 0,5 1 dB 5 2 V V dB 5 1,5 g/cm3

40. Como a esfera é menos densa que a água, as situações nas alternativas a e b não são possíveis. Nas outras três temos:Elíquido 5 Pesfera V dlíquido ? g ? Vimerso 5 desfera ? g ? Vesfera VV 1,0 ? Vimerso 5 0,8 ? Vesfera V Vimerso 5 0,8 ? Vesfera


41. a) O patinho do recipiente 3 afunda mais na água, ou seja, é mais denso que o patinho do recipiente 2, porém, ambos os patinhos flutuam em equilíbrio, portanto, são menos densos que a água:dpatinho(2) , dpatinho(3) , dágua.

b) Nos recipientes 2 e 3, o peso de cada patinho é equilibrado pelo respectivo empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume da água que ocupava o espaço ora ocupado pela parte submersa de cada patinho, isto é, cada patinho pesa exatamente o que pesaria a água que preencheria o volume da sua parte submersa. Então: P1 5 P2 5 P3.

c) Os volumes de água nos recipientes, sem os patinhos, estão na seguinte ordem: V1 . V2 . V3. Isso implica: Págua(1) . Págua(2) . Págua(3).

42. Vamos chamar de v o volume entre duas marcas adja-centes e da a densidade da água. Situação inicial: Einicial 5 Precipiente 5 da ? g ? Vimerso 5 5 da ? g ? 3vSituação limite: Einicial 5 Precipiente 1 Págua V da ? g ? 6v 5 5 da ? g ? 3v 1 da ? g ? N ? v, sendo N o número de divisões preenchidas com água. Assim, N 5 3. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

43. a) Situação inicial: Ecorpo(i) 5 Pcorpo V L ? g ? V0 5 Pcorpo

Situação final:

Ecorpo(f) 1 Eesfera 5 Pcorpo 1 Pesfera V

V L ? g ? (V0 1 2V) 1 L ? g ? V 5

5L ? g ? V0 1 ? g ? V V 5 3L

b) Equilíbrio da esfera: T 1 Eesfera 5 Pesfera V T 5 Pesfera 2 Eesfera

V T 5 esfera ? g ? Vesfera 2 L ? g ? Vesfera 5

5(3L 2 L) ? g ? V V T 5 2L ? g ? V

44. Ao retirarmos o bloco, o empuxo sobre o barco diminui, já que essa força passa a equilibrar só o peso do barco, diminuindo o volume deslocado; portanto, h diminui. Por outro lado, o peso total do sistema barco-bloco é o mesmo, o que implica um empuxo total igual ao inicial, assim como o volume total de líquido deslocado, portanto H não muda. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

45. A altura h diminui, pois o peso do sistema barco-bloco diminui, o mesmo ocorrendo com o empuxo e com o volume submerso do barco.

104

A altura H também diminui, uma vez que o volume de líquido deslocado pelo barco, agora, é menor.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

46. A altura h diminui; mesma explicação do exercício anterior.Como B é mais denso que a água, ele vai afundar e seu peso será equilibrado pela resultante do novo empuxo sobre ele com a reação normal que ele recebe do fundo do tanque. Assim:• no início: Pbarco 1 Pbloco 5 E(barco-bloco) 5 Etotal inicial

• depois: Pbarco 1 Pbloco 5 E’barco 1 E’bloco 1 Nbloco V V E’barco 1 E’bloco 5 Etotal inicial 2 Nbloco

Dessas igualdades tiramos que: E’barco 1 E’bloco , Etotal inicial Ou seja, o empuxo total diminui, o volume total de líquido deslocado também diminui e, portanto, H diminui.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

47. A altura H não muda, já que o peso total do sistema barco- -bloco é o mesmo, da mesma forma ocorrendo com o em-puxo total e com o volume total de líquido deslocado.A altura h diminui:Antes (barco 1 bloco dentro): Einicial 5 E(barco 1 bloco) 5 Pbarco 1 Pbloco

Depois:• bloco:E ’bloco 1 T 5 Pbloco V T 5 Pbarco 2 E ’bloco

• barco:E ’barco 5 Pbarco 1 T V V E ’barco 5 Pbarco 1 Pbloco 2 E ’bloco V V E ’barco 5 Einicial 2 E ’bloco

Portanto, E ’barco , Einicial, o que implica menor volume deslocado.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

48. a) No seu centro geométrico, dada sua simetria.b) E 5 dágua ? g ? Vbarra 5 dágua ? g ? Sseção ? L 5

5103 ? 10 ? 6 ? 1024 ? 0,80 V E 5 4,8 N

c) T1 1 T2 5 Pbarra 1 E 5 m ? g 1 E 5

5 (1,52 ? 10 1 4,8) N 5 20 N

49. a) O peso do ar deslocado é igual à intensidade do empuxo sobre o conjunto. Estando o conjunto em equilíbrio na direção vertical, as intensidades do peso e do empuxo são iguais.

b) No equilíbrio, temos: Econjunto 5 Pconjunto. Assim, dar ? g ? Vconjunto 5 mconjunto ? g V V dar ? g ? Vconjunto 5 dconjunto ? g ? Vconjunto V V dar 5 dconjunto

50. Quando for se deslocar para cima, o piloto deve injetar ar quente no balão, tornando o empuxo maior que o peso do conjunto. Quando for se deslocar para baixo, o piloto deve ejetar ar quente do balão, tornando o empuxo menor que o peso do conjunto.

51. O exercício explora vários aspectos da teoria até agora desenvolvida nesse capítulo.(01) Afirmativa incorreta, pois o dirigível Hindenburg

mantinha-se no ar graças ao empuxo do ar.(02) Afirmativa incorreta, pois o princípio de Arquime-

des vale para corpos imersos em meios líquidos e também para corpos imersos em meios gasosos, ou seja, vale para corpos imersos em fluidos.

(04) Afirmativa incorreta, pois o empuxo recebido deve equilibrar o peso de todo o dirigível e não apenas do gás no seu interior.

(08) Afirmativa correta, pois, calculando a intensidade do empuxo com os dados fornecidos, teremos:E 5 dar ? Var ? g V E 5 1,30 ? 20.000 ? 10 VV E 5 2,60 ? 105 N

(16) Afirmativa incorreta, pois a força ascensional depen-dia de características do dirigível, como seu peso e seu volume, e de características do ar. Portanto não dependia exclusivamente de seus motores.

(32) Afirmativa correta, pois o escape de ar dos balões diminuía o volume de ar deslocado e assim dimi-nuía a intensidade do empuxo sobre o dirigível, permitindo sua descida.

Portanto, as proposições corretas são as de números (08) e (32) e a resposta ao exercício é 40.

52. O pisão da mulher, pois, embora tenha menor peso, este está concentrado em uma área muito menor que o peso do homem, gerando uma pressão muito maior.

53. a) p 5 Fnormal _____ área

5 10 kgf ? cos 60°

_______________ 10 cm2 5 0,5

kgf ____

cm2

b) p 5 Fnormal _____ área

5 98 N ? cos 60° _____________ 1023 m2 5 4,9 ? 104 N ___

m2

54. O exercício explora, mais uma vez, o conceito de pressão.Sendo a pressão inversamente proporcional à área, para uma mesma força, quando o cliente suspende um pé, a área fica reduzida à metade e, portanto, a pressão duplica, isto é, fica multiplicada por 2, sendo o peso dele a força atuante.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

55. O exercício explora, de modo quantitativo, a definição de pressão. Lembre aos alunos que, se as dimensões lineares aumentarem por um fator K, então, as áreas aumentarão por um fator K

2 e os volumes (e os pesos) por um fator K3.No exercício em questão, como a área do quadrado de lado L é igual a L2, podemos concluir que o primeiro cubo apoia-se numa superfície de área A1 5 L2 e o segundo numa superfície de área A2 5 (2 · L)2 5 4 · L2. Por outro lado, o peso do primeiro cubo é dado por: P1 5 d ? V1 ? g 5 d ? L3 ? gO peso do segundo cubo, por sua vez vale: P2 5 d ? V2 ? g 5 d ? (2 ? L)3 ? g 5 d ? 8 ? L3 ? gAs pressões p1 e p2 exercidas pelos cubos sobre a mesa valem:

p1 5 P1 ___ A1

V p1 5 d ? L3 ? g

________ L2 V p1 5 d ? L ? g

p2 5 P2 ___ A2

V p2 5 d ? 8 ? L3 ? g

___________ 4 ? L2 V p2 5 2 ? d ? L ? g

Comparando, percebe-se que a pressão exercida pelo cubo maior é duas vezes maior que a pressão exercida pelo cubo menor.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

56. Mais um exercício que explora o cálculo da pressão exercida por uma força.

105

A força exercida sobre o chão pelas pernas da banqueta corresponde ao peso da banqueta (50 N) mais o peso da pessoa que está sobre ela (700 N). Assim, a força aplicada sobre o chão tem intensidade 750 N.Cada perna da banqueta, com área A 5 5 cm2 5 5 · 10–4 m2, irá suportar um terço daquela força, portanto uma força de intensidade F 5 250 N. Assim, a pressão p que cada perna da banqueta exercerá sobre o solo é dada por:

p 5 F __ A

V p 5 250 _______ 5 ? 1024 V p 5 5 ? 105 N/m2

57. Como a área aumenta na proporção do quadrado da aresta e o volume aumenta na proporção do cubo da aresta (e o peso também, pois P 5 d ? V ? g), o cubo de aresta 3 ? a exerce pressão maior que o cubo de aresta a.Portanto: pA , pB , pC.Alternativamente, pode-se calcular a pressão exercida sobre a superfície pelo peso de cada cubo. Teríamos assim:

pA 5 PA ___ AA

V pA 5 d ? a3 ? g

________ a2 V pA 5 d ? a ? g

pB 5 PB ___ AB

V pB 5 d ? 8 ? a3 ? g

___________ 4 ? a2 V pB 5 2 ? d ? a ? g

pC 5 PC __ AC

V pC 5 d ? 27 ? a3 ? g

____________ 9 ? a2 V pC 5 3 ? d ? a ? g


58. Pressão 5 4 3 peso de 1 cubo

__________________ área da face inferior

5 4 ? mg

______ a2 5

5 4 ? d ? a3 ? g

___________ a2 5 d ? g ? (4a)


59. De acordo com o teorema de Stevin, a pressão hidrostáti-ca é maior na parte mais profunda da represa, portanto, a barragem deve ser mais reforçada nessa região.

60. (1) Mesmo líquido, até a mesma altura V mesma pressão;(2) Os recipientes têm bases com áreas iguais V

V pressão 3 área 5 força

_____ igual

.


61. a) 20.000 kPa 5 2.900 psi V 29 psi 5 200 kPab) Se 29 psi 5 2 ? 105 Pa V 30 psi g 2,06 atm

62. a) Para a mesma quantidade de líquido e, portanto, o mesmo peso, a menor pressão é exercida no fundo do reci piente que tem maior área, pois, para uma mesma força, a pressão é inversamente proporcional à área. Então, deve ser utilizado o recipiente de diâmetro 0,60 m no fundo.

b) Sendo V 5 150 ? 1023 m3 e d 5 0,80 ? 103 kg/m3, a massa de líquido é dada por:m 5 d ? V V m 5 0,80 ? 103 ? 150 ? 1023 VV m 5 120 kg O peso correspondente é:P 5 m ? g V P 5 120 ? 10 V P 5 1.200 NA menor pressão no fundo é a que ocorre no reci-piente de maior diâmetro, e é dada pela razão entre a intensidade da força atuante F (peso do líquido) e a área A do fundo:A 5 p ? R 2 5 p ? (0,30)2 V A 5 0,09 ? p m2

Então: p 5 P __ A V p 5 1.200 ________ 0,09 ? p V p 4,25 ? 103 N/m2

63. O exercício requer uma análise qualitativa do teorema de Stevin.A pressão de uma coluna líquida é diretamente proporcio-nal à altura dessa coluna. Assim, para exercer uma pressão superior a p, a coluna de água na caixa deve ter altura superior a 1,0 m (altura da caixa original). Portanto, apenas as caixas 3 e 4 são adequadas a essa finalidade.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

64. O exercício envolve apenas uma aplicação numérica do teorema de Stevin. Convém alertar aos alunos sobre a necessidade do uso correto das unidades de medidas.a) A pressão na base do cubo é igual à pressão exercida em

qualquer ponto daquele líquido e que esteja no mesmo nível da base do cubo. Portanto, a coluna líquida que exerce pressão no fundo do cubo tem altura igual à sua aresta, isto é, h 5 20 cm 5 0,20 m.Sendo a densidade do líquido d 5 1,0 g/cm3 55 1,0 ? 103 kg/m3 e a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2, do teorema de Stevin vem:

p 5 d ? g ? h V p 5 1,0 ? 103 ? 10 ? 0,20 V V p 5 2,0 ? 103 N/m2

b) a intensidade da força exercida por um líquido sobre uma superfície é igual ao produto da pressão do líquido sobre essa superfície, pela área desta. Assim: Flíquido 5 p ? A V

V Flíquido 5 2,0 ? 103 (N/m2) ? (0,20 m)2 5 80 N

c) (1) Massa do cubo: mcubo 5 P __ g 5 80 N ________ 10 m/s2 5 8,0 kg

(2) dcubo 5 mcubo _____ Vcubo

5 8,0 kg _________

(0,20 m)3 5

5 1,0 ? 103 kg

___ m3 5 1,0

g ____

cm3

Prof.(a), o resultado do item c pode também ser obtido usando-se o seguinte raciocínio: estando o cubo totalmente imerso em água e em equilíbrio, temos: Pcubo 5 Flíquido V mcubo ? g 5 p ? A V

V dcubo ? Vcubo ? g 5 dágua ? g ? h ? A V

V dcubo ? Vcubo 5 dágua ? h ? A V

V dcubo ? a3 5 dágua ? a ? a2 V dcubo 5 dágua

65. À medida que a altura aumenta, a pressão atmosférica diminui, portanto o gráfico deve ser decrescente. Se achar que seja de interesse, diga aos alunos que a cur-va do gráfico é uma exponencial. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

66. Os gases são bastante compressíveis; com a altitude o ar fica mais “rarefeito” e menos denso. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

67. (I) Correta: experiência de Torricelli (760 mmHg);(II) Correta: p(liquido) 5 p(Hg) V dL ? g ? hL 5 dHg ? g ? hHg V V dL ? hL 5 dHg ? hHg;(III) correta: dágua ? hágua 5 dHg ? hHg VV 1,0 ? 103 ? hágua 5 13,6 ? 103 ? 76 cm VV hágua 5 1 ? 033,6 cm 5 10 m 33 cm (16 mm);(IV) Correta: dóleo ? hóleo 5 dHg ? hHg V 0,76 ? 103 ? hágua 5 5 13,6 ? 103 ? 76 cm V hóleo 5 1.360 cm 5 13 m 60 cmA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

igual igual

106

68. O exercício explora qualitativamente vários conceitos estudados até esse ponto do capítulo.I. A afirmação está errada, pois a pressão atmosfé-

rica não depende da área sobre a qual atua. Tanto o adulto quanto a criança estarão submetidos à mesma pressão atmosférica.

II. A afirmação está errada, pois o empuxo depende do volume de líquido deslocado. Se duas esferas têm o mesmo volume, quando imersas deslocam o mesmo volume de líquido e, portanto, ficam sujeitas a empuxos de mesma intensidade.

III. A afirmação está certa e corresponde ao teorema de Stevin.

69. ptotal 5 pat 1 págua 5 101 kPa 1 págua 5 513 kPa V V págua 5 412 kPa;págua 5 dágua ? g ? h V 412 ? 103 5 1,03 ? 103 ? 10 ? h V V h 5 40 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

70. a) pmáx 5 patm 1 d ? g ? hmáx V V 4 ? 105 5 1 ? 105 1 103 ? 10 ? hmáx V hmáx 5 30 mb) Em Dt 5 1 s, pode ocorrer no máximo a variação

de pressão Dp 5 104 N/m2, que corresponde a um deslocamento Ds do mergulhador de:Dp 5 d ? g ? Ds V 104 5 103 ? 10 ? Ds V Ds 5 1 mPortanto, a máxima velocidade de movimentação recomendada é:v 5 Ds ___

Dt V v 5 1 m/s

71. 495 pés 5 1,5 ? (330 pés) 5 1,5 ? (100 m) 5 150 m VV ptotal 5 15 atm de água 1 1 atm do ar 5 16 atmA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

72. a) dL ? hL 5 dHg ? hHg V 0,80 ? 17 5 13,6 ? hHg V V hHg 5 1,0 cm (10 mm)

b) pB 5 pA 1 plíquido V pB 5 770 mmHg 1 10 mmHg VV pA 5 780 mmHg

73. dA ? hA 5 dB ? hB V 0,90 ? (32 1 x) 5 15,3 ? x32 1 x 5 17,0 ? x V x 5 2,0 cmA resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

74. Relembre aos alunos que a pressão exercida por uma coluna de mercúrio pode ser expressa pela altura da coluna.São dados no enunciado: h 5 8 cm e patm 5 69 cmHg.A pressão exercida por uma coluna de mercúrio com 8 cm de altura é de 8 cmHg.Igualando as pressões na horizontal que passa pela superfície do mercúrio em contato com o ar, temos:par 5 patm 1 pcoluna VV par 5 69 1 8 V par 5 77 cmHgA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

75. O exercício é uma variação do anterior.Temos, agora: patm 5 750 mmHg e h 5 170 mm – 20 mm 5 5 150 mm. Portanto, a pressão exercida pela coluna de mercúrio é pcoluna 5 150 mmHg, no nível que separa o gás do Hg. Igualando as pressões nesse nível, temos:pgás 5 patm 1 pcoluna VV pgás 5 750 1 150 V pgás 5 900 mmHgA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

76. a) A pressão do plasma ao entrar na veia do paciente é dada por: p 5 d ? g ? h.

Então: p 5 103 ? 9,8 ? 1 V p 5 9,8 ? 103 N/m2 Para exprimir esse valor em mmHg, podemos calcu-

lar a altura da coluna de mercúrio que exerce essa pressão aplicando:

p 5 dHg ? g ? h V 9,8 ? 103 5 13,6 ? 103 ? 9,8 ? h V V h 5 0,0735 m V h 5 73,5 mm Portanto, podemos escrever p 5 73,5 mmHg.b) Como a pressão arterial (100 mmHg) é maior que

a pressão do plasma (73,53 mmHg), se for feita a conexão sugerida, haverá fluxo de sangue para dentro da bolsa.

77. a) Se chamarmos de A’ o ponto que está no mesmo nível do ponto A, no outro ramo do tubo, devemos ter:pA 5 pA’ V 2,5 ? 76 cmHg 5 pat 1 120 cmHg V V pat 5 70 cmHg 5 700 mmHg 5 700 Torr

b) FA 5 pA ? Stubo 5 190 cmHg ? 2,0 cm2 5 5 13,6 ? 103 ? 10 ? 1,90 ? 2,0 ? 1024 5 51,68 N

78. O exercício é bastante interessante e procura mostrar a potência do coração humano.Os dados do exercício são: dHg 5 13,6 g/cm3; ds 5 1 g/cm3; g 5 10 m/s2; 1 atm 5 750 mmHg.a) A variação de pressão considerada é Dp 5 150 mmHg.

Como se supõe que o sangue tenha a mesma densidade que a água, podemos comparar a coluna de mercúrio e a coluna de sangue que exercem essa pressão. A coluna de mercúrio é hHg 5 150 mm 5 0,15 m. Assim:dHg ? g ? hHg 5 ds ? g ? hs VV13,6 ? g ? 0,15 5 1 ? g ? hs V hs 5 2,04 m

b) A coluna de sangue deve ter, nesse caso, altura hP 5 50 cm 5 0,5 m no planeta cuja aceleração gravita-cional vamos indicar por gP.Comparando com a coluna hs 5 12,24 m que o sangue consegue alcançar na Terra, onde a aceleração da gra-vidade é g 5 10 m/s2, teremos:d ? gP ? hP 5 d ? g ? hs VV d ? gP ? 0,5 5 d ? 10 ? 2,04 V gP 5 40,8 m/s2

79. a) Na figura A, pelo teorema de Stevin, as pressões nos pontos A e B são iguais. Assim:

pA 5 pB V pbolha 5 patmosférica 1 pcoluna de água V V pbolha 5 1.033 cm H2O 1 45 cm H2O 5 1.078 cm H2O

b) Como não houve transbordamento nem passagem de água de um ramo para outro, x deve ser 10 cm; a altura que a água sobe num ramo deve descer no outro.

c) Na figura B, pelo teorema de Stevin, as pressões nos pontos A’ e B’ são iguais. Assim: pA’ 5 pB ’ V

V patmosférica 5 p’bolha 1 p’coluna de água V V 1033 cm H2O 5 p’bolha 1 85 cm H2O V V p’bolha 5 948 cm H2O

10 cm

A B

A’ B’

x

50 cm

1,0 m

5,0 cm

ad

ils

on

se

cc

o

107

80. O exercício envolve apenas uma conversão de unidades de medida de pressão: de psi para atm.O enunciado fornece os seguintes dados: 1 libra 5 0,5 kg; 1 polegada 5 25 · 10–3 m; 1 atm 5 1 · 105 Pa 55 1 · 105 N/m2. Considere, ainda, que g 5 10 m/s2.A pressão correspondente a 25 psi (ou 25 libras-força/polegada2) equivale a:

p 5 25 ? libra-força

__________ polegada2 V p 5 25 ?

(0,5 ? 10) N _____________

(25 ? 1023 m)2 V

V p 5 2 ? 105 N/m2 V p 5 2 atmA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

81. a) Verdadeira. pfundo 5 dágua ? g ? hfundo 5 103 ? 10 ? 0,30 5 5 3,0 ? 103 N/m2

b) Falsa. A soma das forças nas faces verticais é nula; pressão não é vetor.O enunciado correto desta afirmação seria: A soma das pressões exercidas nas faces contidas em planos verticais é nula.

c) Falsa. Pressão não é vetor.d) Falsa.

Pcubo 5 dmaterial ? g ? Vcubo 5 7,0 ? 103 ? 10 ? (0,20)3 5 560 Ne) Verdadeira. T 5 P 2 E 5 P 2 dágua ? g ? Vcubo 5

5560 2 103 ? 10 ? 8 ? 1023 5 480 N

82. Na Lua não há atmosfera, portanto a altura da coluna de mercúrio seria nula.

83. a) Correta. O aumento da pressão no ar, na região da porta, se transmite a todos os pontos do interior do automóvel.

b) Correta. A bomba só retira o ar de dentro da tu-bulação; é a pressão atmosférica que eleva a água até uma altura compatível com o seu valor local; a pressão atmosférica normal equilibra uma coluna de água de até ~10,34 m.

c) Correta. A intensidade do empuxo depende da den-sidade do fluido que envolve o corpo.

d) Correta. É o próprio enunciado do princípio de Ar-quimedes.

e) Errada. É uma aplicação prática do princípio de Pascal.


84. Com a aplicação da força sobre a membrana, há aumento de a pressão em todos os pontos do ar interno ao recipiente, assim como da pressão na superfície do balão. Com isso, há diminuição de seu volume e aumento de sua densidade, o que provoca uma redução no empuxo que equilibrava seu peso. Consequentemente, o balão afunda um pouco. Professor(a), o aumento da pressão interna também pro-voca um aumento na densidade da água, porém, insigni-ficante comparado à do balão. Os líquidos são muitíssimo menos compressíveis que os gases. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

85. Este exercício é bem semelhante ao anterior.O enunciado fornece os seguintes dados: a 5 80 cm2; b 5 20 cm2; mA 5 4 kg.A força que atua em cada um dos êmbolos é o peso do respectivo corpo.

Pelo princípio de Pascal:

PA __ a 5

PB __ b V

4 ? g _____ 80 5

mB ? g ______ 20 V mB 5 1 kg


86. Este exercício é uma variação do mesmo tema: prensa hidráulica.Desta vez: F2 5 100 · F1.Aplicando o princípio de Pascal, temos:

F1 ___ A1

5 F2 ___ A2

V F1 ______

p ? R21

5 100 ? F1 _______ p ? R2

2

V R2

2 __ R2

1

5 100 V R2 __ R1

5 10


87. Este exercício é outra aplicação da relação entre vazão e velocidade de escoamento.Do enunciado, temos: v 5 500 m/s 5 500 ? 10–3 mm/s; A 5 10–4 mm2; DV 5 1 mm3.A vazão será dada por: 5 v ? A V 5 500 ? 1023 ? 1024 VV 5 5 ? 1025 mm3/sO tempo necessário para a passagem de 1 mm3 de sangue é obtido a partir da definição de vazão:

5 DV ___ Dt

V 5 ? 1025 5 1 ___ Dt

V Dt 5 2 ? 104 s 5 5 h 33 min 20 s

Esse intervalo de tempo corresponde a mais de 5 horas e meia. À primeira vista, pode parecer inconcebível um intervalo de tempo tão grande para a passagem de “apenas” 1 mm3 de sangue. Entretanto, se calcularmos o volume de sangue que passa pela seção de um capilar por minuto (Dt 5 1 min 5 60 s), teremos:

5 DV ___ Dt

V 5 ? 1025 5 DV ___ 60 V

V DV 5 3 ? 1023 mm3 5 0,0003 mm3

Portanto, considerando as dimensões envolvidas, 1 mm3 é uma quantidade de sangue extremamente elevada, quase 350 vezes maior que a que passa por minuto pela seção do capilar, o que justifica o intervalo de tempo elevado.

88. Durante a frenagem, o líquido no copo adquire uma aceleração de intensidade igual à do carro, porém em sentido contrário a ela, no referencial do veículo. A superfície livre do líquido fica perpendicular à gravidade local (gravidade aparente). A resultante vetorial das acelerações sobre uma gotícula de refrigerante é como se mostra na figura a seguir:

Superfície do líquido

a

g

gaparente


89. O exercício pode oferecer alguma dificuldade para o aluno no item b.São dados: DV 5 150 litros; 5 10 litros/h; A 5 0,50 m2.a) A resolução é uma aplicação da definição de vazão.

5 DV ___ Dt

V 10 5 150 ____ Dt

V Dt 5 15 h

ad

ils

on

se

cc

o

108

b) 1o modo: Vágua 5 Abase ? Hágua V 150 ? 1023 m3 5 0,5 m2 ? Hágua V V Hágua 5 0,30 m 5 30 cm

Assim: vágua 5 Ds ___ Dt

5 30 cm ________ 15 horas

5 2 cm/h.

2o modo: O volume coletado por hora, V 5 10 litros 5

510 ? 10–3 m3 5 10–2 m3, na caixa com base de área A 5 0,5 m2, corresponde a uma altura H dada por:

V 5 A ? H V 1022 5 0,5 ? H V V H 5 2 ? 1022m 5 2 cm Portanto, a velocidade de subida do nível de água

na caixa vale v 5 2 cm/h.

90. As relações gerais são: v1 ? S1 5 v2 ? S2 (equação da continuidade) e p1 2 p2 5 D ? g ? h (lei de Stevin).Assim, se S1 5 S2, teremos v1 5 v2, h 5 0 e p1 5 p2.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

91. Lei de Stevin: p1 2 p2 5 D ? g ? h.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

92. a) O ar em movimento rápido exerce pressão menor que o ar em repouso ou em movimento lento.

b) Princípio de Bernoulli.c) Princípio da conservação da energia (aplicado ao

movimento do fluido).

93. v

v2

v3

v1

x0

94.

m ? a _____ m ? g 5 tg u V tg u 5 a __ g


95. A superfície livre do líquido deve ter a mesma inclina-ção nos dois ramos do tubo, formando ângulo u com a direção da aceleração do movimento.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

R = m • a

θE

P

Capítulo 5 Quantidade de movimento e impulso

1.O exercício explora as características da grandeza veto-rial quantidade de movimento, questionando a direção, o sentido e a intensidade do vetor quantidade de mo-vimento de uma bola, de massa 400 g, com velocidade horizontal, da esquerda para a direita, de 20 m/s.A direção do vetor quantidade de movimento é a mesma da velocidade, isto é, horizontal.O sentido do vetor quantidade de movimento é o mesmo da velocidade, isto é, da esquerda para a direita.Intensidade, ou módulo, do vetor quantidade de movi-mento é calculada por:Q 5 m ? v V Q 5 0,400 ? 20 V Q 5 8,0 kg ? m __ s

2.O exercício novamente explora as características do vetor quantidade de movimento.Os vetores quantidade de movimento têm a mesma direção e o mesmo sentido das correspondentes velo-cidades vetoriais. Assim, para o automóvel (A) e para a moto (M), temos:

Quanto às intensidades, temos:QA 5 mA ? vA V QA 5 800 ? 20 V Q 5 16.000 kg ? m __ s

QM 5 mB ? vB V QB 5 200 ? 15 V Q 5 3.000 kg ? m __ s

3.Os vetores quantidade de movimento têm a mesma dire-ção e o mesmo sentido das correspondentes velocidades vetoriais. Assim, nos pontos A, B e C, temos:

QA

QM

QA

QB

QC

A

B

C

A

B

Os vetores ___

 Q A,

___  Q B e

___  Q C têm mesma intensidade, pois a

moto realiza movimento uniforme.

4.Exploramos, neste exercício, o princípio da conservação da quantidade de movimento.O Super-Homem e o asteroide constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de mo-vimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois do lançamento.Como o sistema está inicialmente em repouso, a quanti-dade de movimento antes do lançamento é nula, o mes-mo ocorrendo com a quantidade de movimento depois.

ilU

sTR

aç

õe

s: a

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

109

Desse modo, as quantidades de movimento do asteroide e do Super-Homem, imediatamente após o lançamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é:MA ? VA 5 mSH ? vSH VV 1.000 ? mSH ? VA 5 mSH ? vSH VV vSH 5 1.000 ? VA


5.Mais uma vez exploramos o princípio da conservação da quantidade de movimento.Os patinadores A e B constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de movimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e ime-diatamente depois do lançamento.Como o sistema está inicialmente em repouso, a quantidade de movimento antes de um patinador empurrar o outro é nula, o mesmo ocorrendo com a quantidade de movimento depois. Desse modo, as quantidades de movimento de A e B, imediatamente após o lançamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é:

mA ? vA 5 mB ? vB VV 60 ? vA 5 40 ? vB VV 3 ? vA 5 2 ? vB V

V 3 ? XA ___ Dt

5 2 ? XB ___ Dt

V

V 3 ? XA 5 2 ? XB (I)

Mas XA 1 XB 5 20 m (II)

De (I) e (II), vem: XA 5 8 m e XB 5 12 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

6.O menino e o carrinho constituem um sistema isolado de forças externas horizontais. Assim, a quantidade de movimento do sistema, na direção horizontal, perma-nece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois do choque. Como o sistema está inicialmente em repouso, a quantidade de movimento horizontal antes do salto é nula, o mesmo ocorrendo com a quantidade de movimento depois.Desse modo, as quantidades de movimento horizontal do carrinho e do menino, imediatamente após o lan-çamento, devem ter mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais, isto é:M ? V 5 m ? v V M ? 3 5 m ? 2 (I)Por outro lado, a soma das massas é igual a 60 kg, isto é:M 1 m 5 60 (II)De (I) e (II), vem: M 5 24 kg e m 5 36 kg.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

7.Vamos, inicialmente, calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema, constituído pelas esferas, imediatamente antes de colidirem. Observe que os vetores quantidades de movimento têm mesma direção e sentidos opostos. Desse modo, temos:Qantes 5 mA ? VA 2 mB ? VB VV Qantes 5 0,20 ? 5,0 2 0,10 ? 10 VV Qantes 5 0Como Qantes 5 Qdepois, vem: Qdepois 5 0.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

8.Trata-se de uma colisão perfeitamente inelástica, com todos os vetores na mesma direção. Aplicando a con-servação da quantidade de movimento, resulta:M ? V 5 (M 1 m) ? v VV 4 ? 1 5 (4 1 1) ? v VV v 5 0,8 m/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

9.a) De V0 5 Ds ___ Dt

, vem:

Dt 5 Ds ___ V0

V Dt 5 0,3 ______ 3 ? 107 V Dt 5 1028 s

b) Inicialmente, a partícula x desloca-se com velocidade V0 e a partícula y está em repouso. Imediatamente depois da colisão, a partícula x adquire velocidade

vx 5 V0 __ 3 . Esta velocidade é 1 __ 4 da velocidade vy adqui-

rida pela partícula y:

vx 5 vy __ 4 V vy 5

4 ? V0 _____ 3

As partículas x e y constituem um sistema isolado de forças externas. Assim, a quantidade de movimento do sistema permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois da colisão.

mx ? V0 1 my ? 0 5 mx ? V0 __ 3 1 my ?

4 ? V0 _____ 3 V mx ___ my

5 2

10. Vamos, inicialmente, calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema, constituído pelos jogadores A e B, imediatamente antes de colidirem. Observe que os vetores quantidades de movimento têm mesma direção e sentidos opostos. Desse modo, temos:Qantes 5 mA ? v 2 mB ? v V Qantes 5 (mA 2 mB) ? vComo o choque é perfeitamente inelástico e sendo vAB a velocidade dos jogadores, imediatamente depois do choque, temos: Qdepois 5 (mA 1 mB) ? vAB

Como Qantes 5 Qdepois, vem: (mA 2 mB) ? v 5 (mA 1 mB) ? vAB

Se mA 5 mB, resulta vAB 5 0, isto é, em caso de massas iguais os jogadores ficarão parados no ponto de colisão.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

11. O exercício explora conceitos relacionados a um choque perfeitamente inelástico. Ressalte para os alunos que, em qualquer choque, a quantidade de movimento do sistema deve se conservar.Vamos, então, inicialmente calcular o módulo da quan-tidade de movimento do sistema depois da colisão:Qdepois 5 3 ? m ? 2 V Qdepois 5 6 ? mA seguir, vamos calcular o módulo da quantidade de movimento do sistema antes da colisão para cada uma das alternativas propostas.

a) Essa alternativa apresenta uma situação errada, pois:

Qantes 5 m ? 3 2 2 ? m ? d XX 3 __ 2 Qdepois

b) Essa é a alternativa correta, pois:Qantes 5 m ? 9 2 2 ? m ? 3 __ 2 5 6 ? m 5 Qdepois

c) Essa alternativa também apresenta uma situação errada, pois:Qantes 5 m ? 9 2 2 ? m ? 1 __ 2 5 8 ? m 5 Qdepois

d) Essa alternativa também apresenta uma situação errada, pois a esfera de massa m não colide com a esfera de massa 2 ? m, pois a primeira tem velocidade menor.

110

e) Essa alternativa também apresenta uma situação errada, pois:Qantes 5 m ? 3 1 2 ? m ? 1 __ 2 5 4 ? m Qdepois


12. O exercício explora o princípio da conservação da quan-tidade de movimento em sua forma vetorial.Nas explosões, há conservação da quantidade de movi-mento, isto é, a quantidade de movimento permanece a mesma imediatamente antes e imediatamente depois da explosão. Assim, temos:

___

 Q antes 5

___  Q depois V

V M ? ___

 V 0 5 M __ 3 ? 2 ?

___  V 0 1 2 ? M _____ 3 ?

___  V V

V M ?

___  V 0 ______ 3 5 2 ? M _____ 3 ?

___  V V

___  V 5

___

 V 0 ___ 2


13. Vamos representar graficamente as quantidades de movi-mento do pipoqueiro P e do “dogueiro” D imediatamente antes do choque e a quantidade de movimento total do sistema. Sejam m a massa do pipoqueiro e 3m a massa do “dogueiro”. Suas velocidades têm mesmo módulo v.

QP = m • v

QD = 3 m • v

Antes da colisão

α

β

QD

Qantes= Qdepois

QP

Depois da colisão

Sendo o sistema isolado de forças externas, a quanti-dade de movimento total depois da colisão é igual à quantidade de movimento total antes da colisão, que foi representada acima. Sendo , b, concluímos que uma trajetória possível dos carrinhos enganchados é a indicada na alternativa b.

14. O exercício explora, mais uma vez, a equação vetorial do princípio de conservação da quantidade de movimento.Vamos calcular os módulos das quantidades de movimento do carro, da camioneta e do sistema, antes da colisão.Para o carro, o vetor quantidade de movimento tem direção e sentido iguais aos do vetor representado por C e módulo dado por:Q1 5 m1 ? v1 V Q1 5 1,5 ? 103 ? 25 V V Q1 5 37,5 ? 103 kg ? m/sPara a camioneta, o vetor quantidade de movimento tem direção e sentido iguais aos do vetor representado por A e módulo dado por:

Q2 5 m2 ? v2 V Q2 5 2,5 ? 103 ? 15 V

V Q2 5 37,5 ? 103 kg ? m/s

Para o sistema constituído pelo carro e pela camioneta, o vetor quantidade de movimento (dado pela soma ve-torial dos vetores Q1 e Q2) tem direção e sentido iguais ao do vetor representado por B e módulo dado porQantes 5 37,5 ? d XX 2 ? 103 kg ? m/sPelo princípio da conservação da quantidade de movi-mento, e como os veículos após a colisão permanecem unidos e movimentam-se com velocidade V, teremos:Qdepois 5 Qantes V

V (1,5 ? 103 1 2,5 ? 103) ? V 5 37,5 ? d XX 2 ? 103 V

V 4,0 ? 103 ? V 5 37,5 ? 103 d XX 2 V V 13,2 m/s

A direção e o sentido seguidos pelo conjunto após a co-lisão coincidem com a direção e o sentido do vetor B.

15. O exercício permite-nos reforçar a definição de impulso e o teorema do impulso.Definição de impulso: O impulso de uma força cons-tante

__  F que age numa partícula durante um intervalo

de tempo Dt é a grandeza vetorial __  I 5

__  F ? Dt. A direção

e o sentido de __  I são os mesmos de

__  F . A intensidade de

__  I é igual a

__  I 5

__  F ? Dt.

Teorema do impulso: a variação da quantidade de movimento de um corpo num certo intervalo de tem-po é igual ao impulso da força resultante no mesmo intervalo de tempo.Podemos então escrever: D

___  Q 5

__  I V m ? D

__  v 5

__  F ? Dt.

Tendo os vetores mesma direção, a igualdade vetorial se transforma numa igualdade escalar: m ? Dv 5 F ? Dt . Ob-serve que, para que haja a mesma variação da quantidade de movimento, isto é, para que o produto F ? Dt permaneça constante, podemos aplicar, num curto intervalo de tempo, uma força intensa ou uma força de pequena intensidade, num longo intervalo de tempo. Sendo assim, Raphael e Pedro apresentaram argumentos corretos.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

16. Este exercício é semelhante ao anterior. O tempo de interação durante o choque é maior quando o ovo cai no tapete, macio e espesso, do que quando cai no piso de cerâmica. Assim, a força resultante do tapete no ovo é menos intensa do que a do piso no ovo. Por isso, o ovo não quebrou na colisão com o tapete.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

17. O exercício, dessa vez, explora o teorema do impulso.O teorema do impulso estabelece que: DQ 5 I V m ? Dv 5 IA partir disso concluímos que, para um mesmo impulso I, o corpo de maior massa sofre variação de quantidade de movimento igual ao de menor massa e menor va-riação de velocidade.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

18. O exercício explora o teorema do impulso de forma quantitativa, ou seja, exige do aluno alguns cálculos.a) O impulso da força resultante que age numa partícula

num dado intervalo de tempo é igual à variação de quantidade de movimento da partícula no mesmo intervalo de tempo, ou seja:

__  I 5 D

___  Q

ad

ils

on

se

cc

o

111

Em módulo, lembrando que os vetores têm mesma direção, temos:I5m ? Dv VV I 5 0,5 ? (30 2 0) V I 5 15 N ? s

b) De I 5 F ? Dt, sendo I 5 15 N ? s e F 5 1,5 ? 103 N, vem:I 5 F ? Dt V 15 5 1,5 ? 103 ? Dt V Dt 5 1,0 ? 1022 s

19. a) As quantidades de movimento imediatamente antes e imediatamente depois da colisão são iguais. Assim:

(Quantidade de movimento)antes 5 (Quantidade de movimento)depois V

V mA ? vA 1 mB ? vB 5 (mA 1 mB) ? v V V 900 ? 20 1 1.000 ? 0 5 (800 1 1.000) ? v V V v 5 10 m/sb) Os impulsos nos carros têm mesma intensidade, mesma

direção e sentidos opostos. Considerando o carro de mas-sa 1 t, temos de acordo com o teorema do impulso:

I 5 DQ V I 5 mB ? v 2 mB ? vB V V I 5 1.000 ? 10 2 1.000 ? 0 V I 5 104 N ? sc) Sendo F a intensidade da força média que deformou

os carros durante a colisão, podemos escrever: I 5 F ? Dt V 104 5 F ? 0,1 V F 5 105 N

20. Mais uma vez o exercício explora o teorema do impulso. A quantidade de informações talvez possa confundir os alunos.Do enunciado, temos: m 5 1,5 kg, v1 5 2,0 m/s, F 5 4 N e Dt 5 6,0 s.Aplicando o teorema do impulso à situação proposta, podemos obter a quantidade de movimento final do carrinho:I 5 DQ V F ? Dt 5 Q2 2 m ? v1 VV 4,0 ? 6,0 5 Q2 2 1,5 ? 2,0 V Q2 5 27 kg ? m/s

Aplicando a definição da quantidade de movimento à situação final, obtemos a velocidade do carrinho naquele instante:

Q2 5 m ? v2 V 27 5 1,5 ? v2 V v2 5 18 m/s


21. O exercício explora o teorema do impulso. Ressalte para os alunos que a equação que representa este teorema é uma equação vetorial e, portanto, o sentido dos vetores deve ser levado em conta.

a) Como todos os vetores têm a mesma direção, podemos escrever:I 5 DQ V I 5 m ? v2 2 m ? v1

Sendo v2 5 v e v1 5 2 v (observe que o vetor de inten-sidade v1 tem sentido oposto ao do vetor de intensidade v2, mas ambos têm o mesmo módulo v), vem:I 5 DQ V I 5 m ? v 2 m ? (2v) VV I 5 2 ? m ? v V I 5 DQ 5 2 ? 0,20 ? 20 VV DQ 5 8,0 kg ? m/sLembre aos alunos que o N ? s é equivalente ao kg ? m/s.

b) Sendo I 5 8,0 N e Dt 5 0,01 s, podemos escrever:

I 5 DQ V F ? Dt 5 DQ V

V F ? 0,01 5 8,0 V F 5 8,0 ? 102 N

22. a) A intensidade do impulso é numericamente igual à área no diagrama F 3 t. Assim, temos:

I N5 A V I 5 base 3 altura _____________ 2 V I 5 0,1 ? 80 _______ 2 V

V I 5 4 N ? s

b) A força média (constante) tem intensidade I dada por:I 5 F ? Dt V 4 5 F ? 0,1 V F 5 40 N

23. Mais uma vez o exercício explora a equação vetorial do teorema do impulso. Se necessário, relembre aos alunos o princípio da ação e reação (ou terceira lei de Newton), estudado no capítulo 3 do livro.A figura a seguir mostra o vetor impulso aplicado pela Terra no meteorito. Note que a obtenção desse vetor já foi explicada no exercício anterior.

I–m • v1 m • v2

Q2

v1 = 54 km/h = 15 m/s

A

B C

v2 = 15 m/s

60°

–Q1

Q

Para determinarmos o impulso que o meteorito aplica na Terra, aplicamos o princípio da ação e reação. Ou seja, se a Terra aplica um impulso ao meteorito, então o meteorito “reage” e aplica à Terra um impulso de mesma intensidade, mesma direção, mas de sentido oposto. Assim, o impulso aplicado pelo meteorito à Terra é o vetor representado pela alternativa e.

24. O exercício novamente exige a manipulação de gran-dezas vetoriais: dessa vez devemos calcular o módulo da variação da quantidade de movimento de um móvel que descreve uma curva.A figura abaixo mostra os vetores da velocidade do móvel e os correspondentes vetores quantidade de movimento já dispostos de modo a calcular o vetor variação da quantidade de movimento.

ad

ils

on

se

cc

o

Os vetores quantidade de movimento inicial e final têm módulos iguais, pois o módulo da velocidade é constan-te. Então, se m 5 500 kg e v1 5 v2 5 15 m/s, vem:

Q2 5 Q1 5 m ? v1 V Q2 5 Q1 5 500 ? 15 VV Q2 5 Q1 5 7,5 ? 103 kg ? m/sTemos um caso particular. Observe que o triângulo ABC é equilátero, logo:DQ 5 7,5 ? 103 kg ? m/s

ad

ils

on

se

cc

o

112

Outro modo de se calcular DQ, agora uma situação mais gené-rica, seria aplicando a lei dos cossenos. Teríamos, então:

DQ2 5 (Q1)2 1 (Q2)

2 1 2 ? Q1 ? Q2 ? cos 120°

DQ2 5 (7,5 ? 103)2 1 (7,5 ? 103)2 1

1 2 ? (7,5 ? 103) ? (7,5 ? 103) ? @ 21 __ 2 #

DQ 5 7,5 ? 103 kg ? m/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

25. O exercício explora a equação vetorial do teorema do impulso. Talvez seja necessário rever, com os alunos, o conceito de vetor oposto.De acordo com o teorema do impulso, temos: __  I 5 D

___  Q V

__  I 5

___  Q 2 2

___  Q 1 V

V __  I 5

___  Q 2 1 (2

___  Q 1)

Observe, então, que para obter o vetor impulso (de intensidade I) basta somar o vetor quantidade de movi-mento final (de intensidade Q2) com o vetor quantidade de movimento inicial (de intensidade Q1).A figura seguinte mostra os vetores quantidade de movimento inicial e final e o vetor impulso, obtido como descrito acima.

Q1 = m • v Q2 = m • v

–Q1 Q2

I

Antes da colisão

vA

mA

vBA B

Depois da colisão

v’A

mAmB mB

v’BA B

c) Sendo o choque parcialmente elástico (e 5 0,6), vem:

e 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V 0,6 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V

V v ’B 2 v ’A 5 0,6 ? (vA 2 vB) V V v ’B 2 v ’A 5 0,6 ? (2 2 1) V v ’B 2 v ’A 5 0,6 (III)

A equação (I) continua válida, pois, qualquer que seja o tipo de choque, há conservação da quan-tidade de movimento. Assim, de (I) e (III), vem: v’A 5 0,8 m/s e v’B 5 1,4 m/s

27. Pela conservação da quantidade de movimento e lembrando que a colisão é perfeitamente inelástica, temos:

mA ? __  v A 1 mB ?

__  v B 5 (mA 1 mB) ?

__  v

m ? (2y ? __  v ) 1 2 m ? (x ?

__  v ) 5 3 m ?

__  v V

V 2y 1 2x 5 3 V x 5 3 1 y

______ 2 A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

28. Como a esfera A possui massa muito maior do que a esfera B, podemos considerar que, depois do choque, a velocidade de A continua igual a v. Pela definição de coeficiente de restituição, sendo o choque perfeitamente elástico (e 5 1) e sabendo que vA 5 v, vB 5 0, v ’A5 v, podemos calcular v’B.

e 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V 1 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V 1 5 v ’B 2 v

______ v 2 0 V

V v ’B 5 2 ? v

Portanto, a esfera B adquire, imediatamente depois do choque, uma velocidade igual ao dobro da velocidade da esfera A.

29. Como o choque é frontal, perfeitamente elástico e ocorre entre corpos de massas iguais, há uma troca de velocidades: o carro 1 para e o carro 2 segue com a velocidade original do carro 1.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

30. Pela conservação da quantidade de movimento e lem-brando que a colisão é perfeitamente inelástica, temos: mA ? vA 1 mB ? vB 5 (mA 1 mB) ? vQA 1 QB 5 (mA 1 mB) ? v (I)Do gráfico dado, temos:QA 5 mA ? vA V 80 ? 1023 5 mA ? 8 V mA 5 10 ? 1023 kgQB 5 mB ? vB V 25 ? 1023 5 mB ? 1 V mB 5 25 ? 1023 kgDe (I), vem: 80 ? 1023 1 25 ? 1023 5 5 (10 ? 1023 1 25 ? 1023) ? v V v 5 3,0 m/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

31. O exercício explora conceitos relacionados ao equilíbrio dos corpos e centro de gravidade.O sistema constituído pelo caminhão e pela carga tomba, pois a reta vertical traçada pelo centro de gravidade não passa (na figura 2 do enunciado) pela base de apoio (região entre os pneus).

32. O exercício explora os três tipos de equilíbrio discutidos nesse tópico.Para determinar o tipo de equilíbrio, devemos deslocar a esfera ligeiramente da posição de equilíbrio e abandoná-la em seguida.


26. O exercício permite-nos recordar os três tipos de choque.a)

Aplicando a conservação de quantidade de movimen-to, temos:

mA ? vA 1 mB ? vB 5 mA ? v ’A 1 mB ? v ’B V V 0,1 ? 2 1 0,3 ? 1 5 0,1 ? v ’A 1 0,3 ? v’B V V v ’A 1 3 ? v ’B 5 5(I) Sendo o choque perfeitamente elástico, resulta:

e 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V 1 5 v ’B 2 v ’A _______ vA 2 vB

V

V v ’B 2 v ’A 5 vA 2 vB V v ’B 2 v ’A 5 2 2 1 V V v ’B 2 v ’A 5 1 (II) De (I) e (II) obtemos: v ’A 5 0,5 m/s e v ’B 5 1,5 m/s

b) Neste caso, v ’A 5 v ’B 5 v. De (I), temos: v 1 3 ? v 5 5 V V v 5 1,25 m/s

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

113

Podemos, assim, verificar se ela volta a passar pela posição de equilíbrio (equilíbrio estável) ou se ela se afasta mais dessa posição (equilíbrio instável) ou ainda se permanece em equilíbrio na nova posição (equilíbrio indiferente).Procedendo-se como descrito acima, para a situação apre-sentada na figura que acompanha o exercício, teremos: a esfera A encontra-se em um equilíbrio instável; a esfera B encontra-se em equilíbrio estável; e a esfera C encontra-se em equilíbrio indiferente.

33. O exercício explora de maneira qualitativa a teoria sobre equilíbrio dos corpos.No sistema apresentado neste exercício, o centro de gravida-de do sistema fica abaixo do ponto de apoio, conferindo-lhe grande estabilidade.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.O professor pode, em sala de aula, improvisar um sis-tema semelhante. Você irá precisar de uma rolha, dois garfos e um palito de dente. Espete o palito, cuja ponta servirá da apoio, na parte plana da rolha e, em seguida, os dois garfos em posições diametralmente opostas.O sistema poderá, então, ser facilmente equilibrado na ponta de um dedo.

34. O exercício explora conceitos relacionados ao momento angular.Ao passar da posição indicada na figura A para a posição indicada na figura B, o momento de inércia I aumenta, pois partes do corpo ficam mais afastadas do eixo de rotação. Consequentemente, a velocidade angular diminui, uma vez que o produto I ? deve permanecer constante.

35. Mais um exercício que explora de maneira qualitativa os conceitos relacionados ao momento angular.Na subida do atleta para a realização do “salto mortal”, o momento de inércia I do atleta diminui, em relação ao eixo perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo seu centro de gravidade. Consequentemente, a velo-cidade angular aumenta. Na descida ocorre o contrário: o momento de inércia I aumenta e a velocidade angular diminui.

36. O exercício é uma aplicação mais cotidiana dos conceitos relacionados ao momento angular.Ao andar sobre o muro com os braços estendidos, o mo-mento de inércia da pessoa, em relação ao eixo que passa pela parte superior do muro, é maior. Nessas condições, menor é a tendência de a pessoa girar.

37. Quando varia a velocidade de rotação da hélice, a cabine do helicóptero gira em sentido contrário ao da hélice para que haja conservação do momento angular do helicóptero. A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

Capítulo 6 Energia e trabalho

a) TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5 100 ? cos 0° ? 10 VV TF 5 1100 ? 1 ? 10 VV TF 5 11.000 J (trabalho motor)

b) TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5 100 ? cos 45° ? 10V

V TF 5 1100 ? d XX 2 ___ 2 ? 10 V

V TF 5 1500 ? d XX 2 J (trabalho motor)

c) TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5 100 ? cos 90° ? 10 VV TF 5 1100 ? 0 ? 10 V TF 5 0

d) TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5 100 ? cos 180° ? 10 VV TF 5 100 ? (21) ? 10 VV TF 5 21.000 J (trabalho resistente)

3.O exercício é semelhante aos anteriores. Os alunos não devem sentir dificuldade.a) Ressalte aos alunos que no deslocamento de A para B

a força é perpendicular ao deslocamento (u 5 90°). Então:TF(BC) 5 0

b) No deslocamento de B para C a força atua na direção e no sentido do movimento (u 5 0°). Então:TF(BC) 5 F ? cos u ? d VV TF(BC) 5 30 ? cos 0° ? 4 VV TF(BC) 5 30 ? 1 ? 4 V TF(BC) 5 120 J

c) Mostre aos alunos que o trabalho total da força corresponde à energia total que a força transfere ao corpo em todas as etapas.TF(ABC) 5 TF(AB) 1 TF(BC) V TF(ABC) 5 0 1 120 VV TF(ABC) 5 120 J

4.O exercício explora o conceito de velocidade e o cálculo do trabalho de uma força constante.Se o carrinho se desloca com velocidade constante de 1 m/s, então em 1 minuto o deslocamento será de 60 m.O trabalho da força exercida pela pessoa na direção e sentido do deslocamento é dado por:TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5 120 ? cos 0° ? 60 V TF 5 7.200 J

5.Ressalte aos alunos que, durante a queda, a força peso favorece o movimento (u 5 0°) e, nesse caso, o trabalho do peso é motor (positivo).TP 5 P ? cos u ? d VV TP 5 m ? g ? cos 0° ? h V TP 5 1m ? g ? h VV TP 5 12 ? 10 ? 3 V TP 5 160 J

6.O exercício explora conceitos básicos vistos anterior-mente.

a) Este item do exercício explora o princípio da inércia (estudado no capítulo 3). Se o corpo se movimenta com velocidade constante, então a força resultante que atua sobre ele é nula. Portanto, a força aplicada ao corpo deve equilibrar seu peso:

F 5 P V F 5 m ? g V F 5 25 ? 10 V F 5 250 N

1.O exercício explora a fórmula do trabalho de uma força constante em sua forma mais simples: a força atua na direção e no sentido do deslocamento, ou seja, u 5 0°. Então:TF 5 F ? cos u ? d V 60 5 12 ? cos 0° ? d V d 5 5 m

2.Mais um exercício que explora a fórmula do cálculo do trabalho de uma força constante.

114

b) O trabalho da força aplicado ao corpo é motor, pois a força atua na direção e no sentido do deslocamento (u 5 0°). Então:

TF 5 F ? cos u ? d V TF 5 250 ? cos 0° ? 3 V V TF 5 750 J

7.Mais uma vez o exercício explora conceitos estudados no capítulo 3. As forças que atuam na caixa C são mostradas a seguir:

Como a caixa movimenta-se com velocidade constante, pelo princípio da inércia, a força resultante sobre ela deve ser nula. Então:FN 5 P ? cos 30° V FN 5 100 ? 10 ? 0,87 V FN 5 870 NeF 5 P ? sen 30° 1 ? FN VV F 5100 ? 10 ? 0,5 1 0,10 ? 870 V F 5587 NObserve que a força F, aplicada pelo homem e transmi-tida à caixa pelo fio, atua na direção e no sentido do deslocamento (u 5 0°). Então:TF 5 F ? cos u ? d VV TF 5587 ? cos 0° ? 10 V TF 5 5.870 JA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

8.Primeiro exercício a explorar o cálculo de trabalho de uma força variável.Relembre aos alunos que, nesse caso, o trabalho é, numericamente, igual à área sob a curva força versus deslocamento.No exercício, a área sob a curva corresponde à área de um triângulo com base 0,6 m e altura 12 N. Então:TF 5“área” sob a curva Fx 3 d V

V TF 5 0,6 ? 12 _______ 2 V TF 53,6 J


9.Novamente, o trabalho da força variável é dado pela área sob a curva força em função do deslocamento. Então:

TF 5“área” sob Fx 3 d V

V TF 5 10 ? 50 _______ 2 V TF 5 250 J

10. Novamente um gráfico de força variável com o desloca-mento. A novidade é o fato de a força ter valor algébrico negativo a partir de x 5 4 m. Isso significa que, a partir daquele ponto, a força atua em sentido oposto ao do deslocamento (trabalho resistente, negativo).

a) Entre x 5 0 e x 5 4 m, temos:

TF 5“área” sob Fx 3 d V

V TF 51 4 ? 10 ______ 2 V TF 5120 J

FN

F

Fat = μ • FN

P

P • cos 30°P • sen 30°

30°

b) Entre x 5 4 m e x 5 10 m, temos:TF 5“área” sob Fx 3 d V

V TF 52 6 ? 15 ______ 2 V TF 5245 J

c) O trabalho total da força é dado pela soma algébrica dos trabalhos calculados anteriormente. Então:

TF 5(120) 1 (245) V TF 5225 J

11. O exercício explora a fórmula para o cálculo da energia cinética. O professor pode resolver o exercício mostran-do aos alunos que a energia cinética E é diretamente proporcional à massa m e diretamente proporcional ao

quadrado da velocidade v. Ou seja: E 5 m ? v2

______ 2 .

a) Se o corpo de massa m movimentar-se com velocidade 2·v teremos:

E ’ 5 m ? (2 ? v)2

__________ 2 V

V E ’ 5 4 ? m ? v2 ______

2 V E ’ 5 4 ? E

b) Para o corpo que se movimenta com velocidade v e possui energia cinética E __ 2 teremos:

E’ 5 m ? v2

______ 2 V 1 __ 2 ? m ? v2

______ 2 5 m’ ? v2

______ 2 V m’ 5 m __ 2

c) Para um corpo de massa m e energia cinética 2·E teremos:

2 ? E 5 m ? (v’)2

________ 2 V 2 ? m ? v2

______ 2 5 m ? (v’)2

________ 2 V

V v’ 5 d XX 2 ? v

12. O exercício é, praticamente, uma análise da expressão para o cálculo da variação da energia cinética. É con-veniente o professor relembrar a fatoração da diferença de quadrados: x2 2 y2 5 (x 2 y) ? (x 1 y).No caso da variação da energia cinética, temos:DEC 5 EC2 2 EC1 V

V DEC 5 m ? v2

2 ______ 2 2 m ? v2

1 ______ 2 V

V DEC 5 m __ 2 ? (v22 2 v2

1) V

V DEC 5 m __ 2 ? (v2 2 v1) ? (v2 1 v1)

Observe que, para ambas as situações, o produto

m ? (v2 2 v1) ____________ 2 assume o mesmo valor. Portanto, a varia-

ção da energia cinética passa a depender somente da soma (v2 1 v1): quanto maior a soma (v2 1 v1), maior será a variação da energia cinética, DEC.Dessa maneira, a variação da energia cinética é maior quando a velocidade do carro passa de 30 km/h para 50 km/h do que quando passa de 20 km/h para 40 km/h. Assim, é Júlio quem tem razão.

13. O exercício é uma aplicação do teorema da energia cinética. Se o bloco movimenta-se com velocidade constante, então a variação de sua energia cinética é nula e, pelo teorema da energia cinética, o trabalho da força resultante que atua no bloco é nulo. Em outras palavras, o trabalho motor (positivo) da força F é anulado pelo trabalho resistente (negativo) de outra força, provavelmente uma força de atrito.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

ad

ils

on

se

cc

o

115

14. Aplicação simples e direta do teorema da energia cinética.Temos, então:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V F ? d 5 m ? (v2)

2

________ 2 V

V 10 ? d 5 2 ? 202

______ 2 V d 5 40 m

O professor pode mostrar aos alunos que a energia cinética do corpo de 2 kg, ao atingir a velocidade de 20 m/s, é de 400 J. Essa energia foi transferida ao cor-po pela força resultante constante de 10 N. Para que a força de 10 N realize um trabalho de 400 J, seu ponto de aplicação deve ser deslocado por uma distância de 40 m.

15. O exercício é semelhante ao anterior.Pelo teorema da energia cinética, temos:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V TF 5m ? (v2)2 ________

2 V

V TF 54 ? (10,0)2 __________

2 V TF 5 200 J


16. Mais uma vez devemos aplicar o teorema da energia cinética:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V F ? d 5 m __ 2 ? [(v2)2 2 (v1)

2] V

V 24 ? 7 5 m __ 2 ? (102 2 42) V

V m 5 2 ? 24 ? 7 _________ 84 V m 5 4 kg


17. O trabalho da força resultante sobre a bola de handebol é, pelo teorema da energia cinética, igual à variação de sua energia cinética.O professor deve alertar os alunos para a necessidade da conversão das unidades de medida da massa (de grama para quilograma) e da velocidade (de km/h para m/s). Temos, então:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 V

V TF 5 0,450 ? 202

__________ 2 V TF 5 90 J


18. O exercício é uma aplicação do teorema da energia ciné-tica e do princípio fundamental da dinâmica, estudado no capítulo 3.a) Pelo teorema da energia cinética, temos:

TF 5 m ? (vB)

2

________ 2 2 m ? (vA)

2

________ 2 V

V TF 5 2 ? 12 _____ 2 2 2 ? 32

_____ 2 V TF 5 28 J V TF 5 8 J

b) Se admitirmos que a força de atrito entre A e B seja cons-tante, então o trabalho da força de atrito é dado por:

TF 5 Fat ? d V 28 5 Fat ? 4 V Fat 5 22 N

O sinal negativo da força de atrito indica que tal força tem sentido contrário ao do movimento da esfera.Conhecida a força de atrito, podemos obter a acelera-ção da esfera aplicando-lhe o princípio fundamental da dinâmica:Fres 5 m ? a V 2 5 2 ? a V a 5 1 m/s2

19. Exercício simples que explora a análise qualitativa do gráfico v 3 t e do teorema da energia cinética.O trabalho da força resultante que age no corpo é nulo quando a variação de sua energia cinética também for nula. Isso ocorre quando a velocidade do corpo não sofre variação, portanto o trecho correspondente no gráfico dado é o de número III. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

20. O exercício explora o cálculo do trabalho de uma força variável e a aplicação do teorema da energia cinética.a) O trabalho no deslocamento de x 5 0 a x 5 10 m é dado,

numericamente, pela área sob a curva (nesse caso, a área de um triângulo de base 10 m e altura 25 N). Então:

TF 5 “área” sob F 3 d V TF 5 10 ? 25 _______ 2 V

V TF 5 125 J

b) Pelo teorema da energia cinética:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V 125 5 10 ? (v2)

2

________ 2 V v2 5 5 m/s

21. O exercício é uma aplicação imediata do teorema da energia cinética.A velocidade inicial da partícula, no instante t 5 0, é de 10 m/s e a velocidade final, no instante t 5 20 s, é nula. Então:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V TF 5 0 2 0,1 ? 102

________ 2 V TF 5 25 J


22. Mais um exercício que explora o gráfico velocidade 3 tem-po e o teorema da energia cinética.Como a velocidade varia linearmente de 0 a 15 m/s em 15 s, então, no instante t 5 10 s a velocidade vale 10 m/s.O teorema da energia cinética, aplicado entre t 5 0 e t 5 10 s, fornece:

TF 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V TF 51.000 ? 102 __________

2 2 0 V TF 550.000 J

V TF 550,0 kJA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

23. O exercício explora diagramas força 3 deslocamento e força 3 tempo.

a) O trabalho realizado pela força FA é dado, numeri-camente, pela área sob a curva F 3 x (no caso, área de um retângulo). Então:TF(A) 5 “área” sob F 3 x V TF(A) 53 ? 15 V

V TF(A) 545 J

116

O teorema da energia cinética fornece:

TF(A) 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V 45 5 (10 ? v2)

2

________ 2 V v2 5 3 m/s

b) O impulso da força FB é dado, numericamente, pela área sob a curva F 3 t (no caso, a área de um retângulo).IF(B) 5 “área” sob F 3 t VV IF(B) 53 ? 15 V IF(B) 545 N ? s

A velocidade final do bloco B é obtida com o teorema do impulso, estudado no capítulo 5. Então:IF 5 m ? v2 2 m ? v1 VV 45 5 10 ? v2 2 0 V v2 5 4,5 m/s

24. De acordo com o enunciado, devemos ter: Ep(II) 5 EC(I).

Então: m ? g ? h 5 m ? v2

______ 2 V g ? h 5 v2

__ 2 V

V 10 ? h 5 302

___ 2 V h 5 45 m

25. Alerte os alunos para a conversão da unidade de medi-da do conteúdo energético do chocolate de kJ para J: Echocolate 5 560 kJ 5 560·103 J.

Então, de acordo com o enunciado, devemos ter: Ep 5 10% Echocolate.

Então: m ? g ? h 5 10 ____ 100 ? Echocolate V

V 56 ? 10 ? h 5 0,1 ? 560 ? 103 V h 5 100 m

26. A energia potencial elástica das molas converte-se em energia cinética (energia I) e esta em energia elétrica (energia II). A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

27. Ao puxar a corda do arco, este, devido à sua deformação, passa a “armazenar” energia potencial elástica. Quando a corda é liberada, a energia potencial elástica do arco é convertida em energia cinética da flecha.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

28. O teste explora dois diagramas que devem ser compara-dos. Explique aos alunos o que significam as expressões “diretamente proporcional” e “inversamente proporcio-nal” e relacione-as aos diagramas apresentados.Após uma análise cuidadosa de cada alternativa, en-contraremos a resposta na alternativa d.

29. O teste explora o conceito de energia potencial, uma forma de energia que fica “armazenada” no corpo e que pode, eventualmente, converter-se em energia cinética.O professor pode dar outros exemplos em que a energia potencial está presente: em um corpo preso a uma mola deformada, em uma carga elétrica colocada nas proximi-dades de outra etc.No caso do corpo levado a uma certa altura do solo, a energia fica armazenada no corpo sob a forma de energia potencial gravitacional.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

30. O exercício faz uso do teorema da energia cinética: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética do corpo.

Enquanto o corpo é içado para cima pela força ver-tical F, variável, ele também estará sujeito à força peso. Logicamente, o trabalho da força peso deve ser computado no cálculo do trabalho da força re-sultante. Lembre aos alunos que o trabalho de uma força variável é dado, numericamente, pela área sob o gráfico F 3 d. Então:

Tnes 5 m ? (v2)

2

________ 2 2 m ? (v1)

2

________ 2 V

V TF 1 TP 5 m ? (v2)

2

________ 2 V

V “área” sob F 3 h 2 m ? g ? h 5 m ? (v2)

2

________ 2 V

V (5 1 3)

_______ 2 ? 41 22 ? 10 ? 5 5 2 ? (v2)

2

_______ 2 V v2 5 8 m/s

31. Aplicação imediata da “fórmula” para o cálculo da energia potencial gravitacional.Temos, então:

EP(grav) 5 m ? g ? h V

V EP(grav) 5 2 ? 103 ? 10 ? 30 V EP(grav) 5 6 ? 105 J

32. A energia potencial gravitacional do mosquito, ao ser elevado de 25,4 mm, é dada por:EP(grav) 5 m ? g ? h VV EP(grav) 50,90 ? 1026 ? 10 ? 25,4 ? 1023 VV EP(grav) 2,3 ? 1027 JA energia liberada por um átomo de urânio-235 é de 3,2 ? 10214 J.Portanto, o número n de átomos necessários será:2,3 ? 1027 5 n ? 3,2 ? 10214 V

V n 5 2,3 ? 1027

__________ 3,2 ? 10214 V n 5 7,1 ? 106 átomos


33. Relembre aos alunos que a energia potencial gravi-tacional é sempre medida em relação a um nível de referência. No problema em questão, tal nível situa-se 5 m acima do solo.

a) A energia potencial gravitacional é máxima no ponto mais alto da montanha russa, a 30 m do solo, o que corresponde a x 5 10 m.Nesse ponto, h 5 25 m e a energia potencial gravi-tacional do carro com passageiros é dada por:EP(grav) 5 m ? g ? h VV EP(grav) 51.000 ? 10 ? 25 VV EP(grav) 52,5 ? 105 J

b) Nesse caso, h 5 25 m. Então:EP(grav) 5 m ? g ? h VV EP(grav) 560 ? 10 ? (25) V EP(grav) 523 ? 103 J

34. Relembre aos alunos que o trabalho da força peso in-depende da forma da trajetória, tal trabalho depende apenas do desnível entre o ponto de partida e o ponto de chegada. Portanto:TP 5 1m ? g ? h VV TP 511,0 ? 1023 ? 10 ? 1,0 V TP 511,0 ? 1022 JA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

117

35. O exercício pode ser resolvido com a aplicação do teo-rema da energia cinética. No bloco atuam três forças: a força peso, vertical e de intensidade 50 N; a força de reação normal de apoio, com direção perpendicular ao deslocamento e intensidade 40 N (FN 5 P ? cos u) e a força de atrito, oposta ao movimento e com intensidade de 24 N (lembre aos alunos que Fat 5 C · FN). Então:

TP 1 TF(N) 1 TF(at) 5 m ? (vB)

2

________ 2 2 m ? (vA)

2

________ 2 V

V 15,0 ? 10 ? 3,0 1 0 2 24 ? 5 5 5 ? (vB)

2

_______ 2 2 5 ? (2)2

_______ 2 V

V 150 2 120 5 5 ? (vB)

2

_______ 2 2 10 V

V 40 5 5 ? (vB)

2

_______ 2 V (vB)2 5 16 V vB 5 4 m/s


36. Aplicação direta da fórmula para o cálculo da energia potencial elástica. Lembre aos alunos a necessidade de converter a deformação da mola de centímetros para metro. Teremos, então:

EP(el) 5 k ? x2

_____ 2 V EP(el) 5 2.000 ? (0,10)2

_____________ 2 V EP(el) 5 10 J

37. a) A energia potencial elástica é diretamente propor-cional ao quadrado da deformação da mola. Assim, se a deformação dobra, a energia potencial elástica quadruplica. Poderíamos, ainda, fazer:

E ’ 5 k ? (2x)2

________ 2 V E ’ 5 4 ? k ? x2

_____ 2 V E ’ 5 4 ? E

b) Nesse caso, para dobrar a energia potencial a defor-mação deve ser 21/2 vezes maior. Ou:

2E 5 k ? (x’)2

_______ 2 V

V 2 ? k ? x2

_____ 2 5 k ? (x’)2

_______ 2 V 2 ? x2 5 (x’)2 V

V x’ 5 d XX 2 ? x

38. O exercício explora a lei de Hooke (estudada no capí-tulo 3) e o cálculo da energia potencial elástica.a) A mola, submetida à força de 20 N (peso do corpo),

deforma-se 5 cm. De acordo com a lei de Hooke:

F 5 k ? x V 20 5 k ? 5 ? 1022 V k 5 400 N/m

b) Se o corpo tiver massa 10 kg, a nova carga na mola será de 100 N. Então:

F 5 k ? x V 100 5 400 ? x V x 5 0,25 m 5 25 cmA energia potencial elástica armazenada na mola será, então:

EP(el) 5 k ? x2

_____ 2 V EP(el) 5400 ? (0,25)2 ____________

2 V

V EP(el) 512,5 J

39. Analisemos cada uma das proposições.01. A proposição está errada, pois em um sistema mecânico em que atuam forças de resistência (atrito, resistência do ar etc.), parte da energia mecânica é convertida em energia térmica.02. A proposição está correta, pois a energia sempre se conserva. Lembre aos alunos que a energia pode apenas se converter de um tipo em outro, mas nunca pode ser criada a partir do nada ou destruída.

04. A proposição está correta. Se houver tempo, relembre com os alunos os resultados obtidos por Joule ao estabele-cer a relação do equivalente mecânico do calor.08. A proposição está correta, pois os combustíveis fósseis têm origem em depósitos de produtos orgânicos (plantas) que absorveram energia solar durante seu crescimento.16. A proposição está correta, pois quando da explosão de uma granada, por exemplo, os fragmentos adquirem energia cinética e energia potencial gravitacional, formas de energia mecânica.Assim, a resposta será: 02 1 04 1 08 1 16 5 30.

40. A resposta é pessoal, mas deve ser citado: o teorema da energia cinética e o fato de a força peso ser uma força conservativa. Assim, o trabalho do peso não depende do caminho seguido entre o ponto de partida e o ponto de chegada, mas depende apenas do desnível entre esses dois pontos.

41. O corpo movimenta-se apenas sob a ação da força peso (uma força conservativa, conforme explorado no exercício anterior). Assim, a energia mecânica total do corpo permanece constante.Portanto, se a energia cinética do corpo aumenta de 150 J (DEc 5 1150 J), sua energia potencial deve diminuir de 150 J. Então DEp 5 2150 J.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

42. Como a resistência do ar é desprezada, podemos considerar que o sistema é conservativo. Seja A o ponto de lançamento da bola e B o ponto de altura máxima atingida pela bola. Consideraremos o nível de referência (nível zero de energia potencial gravitacional) passando pelo ponto A.Então, pelo princípio da conservação da energia me-cânica, temos:

EC(A) 1 EP(B) 5 EC(B) 1 EP(B) V

V m ? (vA)

2

________ 2 5 m ? g ? hB V 202

___ 2 5 10 ? hB V

V hB 5 20 m

43. Na ausência de atritos, o sistema é conservativo.Então, sendo A o ponto de partida dos blocos e B o ponto de chegada (no nível de referência), temos:EC(A) 1 EP(B) 5 EC(B) 1 EP(B) V

V m ? g ? hA 5 m ? (vB)

2

________ 2 V 10 ? 3,2 5 (vB)

2

____ 2 V

V vB 5 8 m/s

44. As perdas (de energia) durante a queda são desprezíveis e, por isso, o sistema pode ser considerado conservativo.Seja A o ponto de onde os caranguejos são abandona-dos (vA 5 0) e B o ponto de chegada no solo (nível de referência). Então:

EC(A) 1 EP(B) 5 EC(B) 1 EP(B) V

V m ? g ? hA 5 m ? (vB)

2

________ 2 V 10 ? hA 5 302

___ 2 V

V hA 5 45 m


118

45. Seja H a altura máxima atingida pelo objeto ao ser lançado verticalmente com velocidade inicial v0. Pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos:

m ? (v0)

2 _________ 2 5 m ? g ? H (I)

Seja v a velocidade do objeto ao atingir a altura H __ 9 . Então:

m ? (v0)

2

________ 2 5 m ? v2

______ 2 1 m ? g ? H __ 9 (II)

De (I) e (II), e com v0 5 9 m/s, obtemos:

m ? (v0)

2

________ 2 5 m ? v2

______ 2 1 1 __ 9 ? m ? (v0)

2

________ 2 V

V (v0)2 5 v2 1 1 __ 9 (v0)

2 V v2 5 8 __ 9 (v0)2 V

V v 5 2 d XX 2 ____ 3 ? v0 V v 5 2 d XX 2 ____ 3 ? 9 V v 5 6 ? d XX 2 m/s

46. O sistema é conservativo, pois as perdas de energia são desprezíveis. Considerando o nível zero de energia potencial passando pelo ponto y, teremos:

EC(x) 1 EP(x) 5 EC(y) 1 EP(y) V

V m ? g ? hx 5 m ? (vy)

2

____ 2 V 10 ? 1,8 5 (vy)

2

____ 2 V

V (vy)2 5 36 V vy 5 6 m/s


47. Na resolução deste exercício adotaremos o nível de referência passando pelo ponto B, a 5 m do solo. Pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos:EC(A) 1 EP(B) 5 EC(B) 1 EP(B) V

V m ? (vA)

2

________ 2 1 m ? g ? hA 5 m ? (vB)

2

________ 2 V

V 102

___ 2 1 10 ? 15 5 (vB)

2

____ 2 V (vB)2 5 400 V

V vB 5 20 m/s

48. Adotaremos, nesse exercício, o nível de referência no solo.Na borda da mesa, a bola possui energia cinética (pois tem velocidade v) e energia potencial gravi-tacional (pois está a uma altura h acima do nível de referência). Ao chegar ao solo a bola possuirá apenas energia cinética.Então, pelo princípio da conservação da energia me-cânica, temos:

m ? v2

______ 2 1 m ? g ? h 5 m ? (v’)2

________ 2 V

V v2 1 2 ? g ? h 5 (v’)2 V v’ 5 d XXXXXXXXXXXXX v2 1 2 ? g ? h

49. Consideremos o nível de referência no solo, no ponto de partida A da bola.Pelo princípio de conservação da energia mecânica:EC(A) 1 EP(A) 5 EC(P) 1 EP(P) V

V m ? (vA)

2

________ 2 5 EC(P) 1 m ? g ? hP V

V 0,5 ? 102

________ 2 5 EC(P) 1 0,5 ? 10 ? 2 V EC(P) 5 15 J


50. Consideremos o nível de referência passando pela posição inicial do skatista. Então, nesse ponto sua energia mecânica é igual a 300 J (igual à sua energia cinética).Se atingir o alto do desnível, 0,5 m acima do nível de re-ferência, a energia potencial do skatista será igual a:

EP 5 m ? g ? h VV EP 5 50 ? 10 ? 0,5 V EP 5 250 J

Assim, ao atingir o alto do desnível, o skatista terá 50 J sob a forma de energia cinética.A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

51. Mostre aos alunos que, quando o corpo A chega ao solo, o corpo B terá subido 1 m.Ressalte também que ambos os corpos têm sempre mes-ma velocidade, pois têm mesma aceleração e percorrem, em igual intervalo de tempo, uma mesma distância.a) Na situação inicial, considerando o nível de referên-

cia no solo, temos:EM(inicial) 5 EP(A) VV EM(inicial) 5 mA ? g ? hA VV EM(inicial) 52,0 ?10 ? 1,0 V EM(inicial) 520 J

b) Quando o corpo A estiver chegando ao solo, com velocidade v, o corpo B estará a 1 m do solo e, tam-bém, com velocidade v. Então:

EM(final) 5 EC(A) 1 EC(B) 1 EP(A) 1 EP(B) V

V EM(final) 5 mA ? v

2

_______ 2 1 mB ? v

2

______ 2 1 m ? g ? hB V

V 20 5 2,0 ? v2

_______ 2 1 1,0 ? v2

_______ 2 1 1,0 ? 10 ? 1,0 V

V 10 5 3 __ 2 ? v2 V v 5 d XXX 60 ____ 3 m/s

52. A energia potencial elástica, armazenada na mola defor-mada, converte-se em energia cinética do bloco. Então:EP(el) 5 EC V

V k ? x2

_____ 2 5 m ? v2

______ 2 V

V 5.000 ? (0,20)2

_____________ 2 5 0,5 ? v2

_______ 2 V v2 5 400 V

V v 5 20 m/s

53. O problema é semelhante ao anterior.Nesse caso, a energia cinética do bloco em movimento converte-se em energia potencial elástica, que ficará armazenada na mola. Então:

EC 5 EP(el) V m ? v2

______ 2 5 k ? x2

_____ 2 V

V 4,0 ? 102

________ 2 5 10.000 ? x2

__________ 2 V x2 5 0,04 V

V x 5 0,2 m 5 20 cmA resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

54. O exercício explora a energia cinética e as duas formas de energia potencial, a gravitacional e a elástica.a) A energia potencial elástica da mola irá se converter

em energia cinética:

EP(el) 5 EC V k ? x2

_____ 2 5 m ? v2

______ 2 V

V 7.200 ? (0,10)2

_____________ 2 5 2 ? v2

_____ 2 V v2 5 36 V

V v 5 6 m/s

119

b) A energia cinética do bloco irá se converter em energia potencial gravitacional ao atingir o ponto mais alto da rampa.

Considerando o nível de referência no ponto mais baixo da rampa, temos:

EC 5 EP V m ? v2

______ 2 5 m ? g ? h V

V 62

__ 2 5 10 ? h V h 5 1,8 m

O professor pode, opcionalmente, considerar que a energia potencial elástica, armazenada inicialmente na mola, se converterá em energia potencial gravitacional. Então:

EP(el) 5 EP(grau) V

V k ? x2

_____ 2 5 m ? g ? h V

V 7.200 ? (0,10)2

_____________ 2 5 2 ? 10 ? h V h 5 1,8 m

55. A energia mecânica do sistema no ponto A (armazenada na mola sob a forma de energia potencial elástica) é conservada dado que as forças de resistência são des-prezíveis.Então, pelo princípio de conservação da energia me-cânica, temos:EM(A) 5 EM(B) V

V k ? x2

_____ 2 5 m ? g ? hB 1 m ? (vB)

2

________ 2 V

V 600 ? (0,20)2

____________ 2 5 0,200 ? 10 ? 1 1 0,200 ? (vB)

2

___________ 2 V

V 12 5 2 1 0,1 ? (vB)2 V (vB)

2 5 100 VV vB 5 10 m/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

56. O exercício explora, além da conservação da energia, conceitos relacionados à força resultante centrípeta, estudada no capítulo 3.Considerando o nível de referência no solo e aplicando-se o princípio da conservação da energia vem:

m ? g ? 3 ? R 5 m ? g ? 2 ? R 1 m ? (vQ)

2

________ 2 V

V (vQ)2 5 2 ? R ? g

No ponto Q o corpo está sujeito a duas forças verticais, o peso e a reação normal do apoio, ambas para baixo.Usando a expressão para o cálculo da força resultante centrípeta e o resultado obtido acima, temos:

FC 5 m ? v2

__ R V

V m ? g 1 FN 5 m ? (vQ)

2

____ R V

V m ? g 1 FN 5 m ? 2 ? R ? g

________ R V FN 5 m ? g

Considerando-se que g 5 10 m/s2, a força de reação normal do apoio terá intensidade igual a 10 ? m.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

57. O exercício explora, principalmente, a conservação da quantidade de movimento, assunto estudado no capí-tulo 5 do livro.a) Quando o fio que une os corpos é queimado, o corpo

A é lançado para a esquerda e o corpo B é lançado para a direita.

Como no início os corpos estão em repouso e a quantidade de movimento do sistema é nula, após a queima do fio devemos ter: QA 5 QB VV mA ? vA 5 mB ? vB V 3 ? 2 5 2 ? vB VV vB 5 3 m/s

b) Pela conservação da energia, devemos impor que a ener-gia potencial elástica armazenada na mola converteu-se em energia cinética dos blocos. Então:EP(el) 5 EC(A) 1 EC(B) V

V EP(el) 5 mA ? (vA)

2

_________ 2 1 mB ? (vB)

2

_________ 2 V

V EP(el) 5 3 ? 22

_____ 2 1 2 ? 32

_____ 2 V EP(el) 5 15 J

c) A energia potencial elástica da mola é dada por:

EP(el) 5 k ? x2

_____ 2 V 15 5 k ? (0,10)2

__________ 2 V

V k 5 3.000 N/m

58. O exercício explora uma situação clássica, a dos múltiplos pêndulos. Para qualquer que seja o número de bolas afas-tadas da posição de equilíbrio, devemos ter a conservação da quantidade de movimento e da energia.

a) A previsão de Mário está errada. Vejamos:

Qinicial 5 m ? v 1 m ? v V Qinicial 5 2 ? m ? v

Qfinal 5 m ? 2 ? v V Qfinal 5 2 ? m ? v

Qinicial 5 Qfinal

mas

EC(inicial) 5 m ? v2

______ 2 1 m ? v2

______ 2 V EC(inicial) 5 m ? v2

EC(final) 5 m ? (2 ? v)2

__________ 2 V EC(final) 5 2 ? m ? v2

EC(inicial) EC(final)

Observe que, na previsão de Mário, não ocorre a conservação da energia.

b) A previsão de Pedro é correta, pois, nesse caso, ocorre a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia. O professor pode pedir aos alunos que verifiquem a veracidade da afirmação e, por conta própria, façam os cálculos.

59. A energia total contida em 500 g de achocolatado é dada por:ET 5 5 ? 400 ? 103 cal V ET 5 2 ? 106 cal 5 8 ? 106 JEssa energia será convertida em energia cinética da pedra. Então:

ET 5 m ? v2

______ 2 V 8 ? 106 5 4 ? v2

_____ 2 V v 5 2.000 m/s

60. Este exercício exige um pouco mais do aluno. Ele deverá usar conceitos relacionados à resultante centrípeta e à conservação da energia.Lembre aos alunos que a passagem por uma lombada em velocidade elevada pode provocar a “decolagem” de um carro. Assim, existe uma velocidade máxima acima da qual o carro perde contato com a pista.

120

No ponto mais alto da lombada atuam duas forças sobre o carrinho: o peso m ? g (vertical e para baixo) e a reação normal do apoio FN (vertical e para cima). A resultante dessas forças desempenha o papel de resultante centrí-peta, que deve ter sentido para baixo. Assim:

m ? g 2 FN 5 m ? v2

__ R

A velocidade máxima para não perder contato com a pista é aquela para a qual FN se anula. Então, na imi-nência da perda de contato, teremos:

m ? g 2 0 5 m ? (vmáx.)

2

__________ R V (vmáx.)

2 5 g ? R

Pela conservação da energia mecânica, aplicada ao carrinho nos pontos A e B, temos:

m ? g ? H 5 m ? g ? R 1 m ? (vmáx.)

2

__________ 2 V

V g ? H 5 g ? R 1 g ? R

_____ 2 V H 5 3 __ 2 ? R

61. Como a resistência do ar não é desprezada, podemos concluir que durante a queda da bola de futebol sua energia mecânica diminui.Sua energia potencial gravitacional também diminui, pois a bola está caindo.Finalmente, como a velocidade da bola aumenta durante a queda, podemos afirmar que sua energia cinética também aumenta.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

62. A altura máxima na rampa é atingida quando a velocidade do ciclista se anula. Então, de acordo com o enunciado:EM(final) 5 50 % EM(inicial) V

V m ? g ? hmáx. 5 50 ____ 100 ? m ? v2

______ 2 V

V 10 ? hmáx. 5 0,50 ? 202

___ 2 V hmáx. 5 10 m

63. Mais um exercício no qual a energia mecânica não se conserva.

a) Como o alpinista desce com velocidade constante, a força resultante que age sobre ele é nula (pelo princípio da inércia, estudado no capítulo 3).Assim a força de tração exercida pela corda é equi-librada pela força peso do alpinista:

T 5 P V T 5 m ? g V T 5 100 ? 10 V T51.000 N

b) A energia dissipada por atrito corresponde ao tra-balho da força de atrito. Pelo teorema da energia cinética, e lembrando que o alpinista desce com velocidade constante, temos:

TP 1 TF(at) 5 DEC V 1m ? g ? h 1 TF(at) 5 0 VV 1100 ? 10 ? 50 1 TF(at) 5 0 V TF(at) 5 250.000 J

Portanto, a energia dissipada por atrito é de 50 kJ. O professor pode, opcionalmente, impor que:

EM(inicial) 5 EM(final) 1 Ediss.

64. O exercício é semelhante ao anterior.O trabalho realizado pelo atrito corresponde à energia mecânica dissipada durante a descida. Considerando o nível de referência no solo, pela conservação da energia, teremos:

EM(inicial) 5 EM(final) 1 Ediss. V

V m ? g ? h 5 m ? v2

______ 2 1 Ediss. V

V 20 ? 10 ? 2 5 20 ? 62

______ 2 1 Ediss. V Ediss. 5 40 J

65. A dissipação de energia, neste exercício, ocorre apenas durante o choque da bola de borracha com o solo.a) Durante a queda da bola de borracha, o princípio de

conservação da energia mecânica fornece:EP(inicial) 5 EC(final) VV m ? g ? h 5 m ? v2

______ 2 V 10 ? 2 5 v2

__ 2 V

V v2 5 40 V v 5 2 ? d XXX 10 m/sb) Ao atingir a altura máxima após o choque, e levando

em consideração a perda de 20% da energia mecânica inicial, teremos:EP(final) 5 80% EP(inicial) V

V m ? g ? hf 5 80 ____ 100 ? m ? g ? hi V

V hf 5 0,80 ? hi V hf 5 0,80 ? 2 V hf 5 1,60 m

66. O exercício é semelhante ao anterior.Vamos relacionar a energia mecânica final da bola com a energia mecânica inicial.EM(final) 5 x ? EM(inicial) VV m ? g ? hf 5 x ? m ? g ? hi VV hf 5 x ? hi V 1,5 5 x ? 2,0 V x 5 0,75 VV x 5 75%O resultado obtido acima mostra que a energia final corres-ponde a 75% da energia inicial. Portanto, houve uma perda de 25% da energia durante a colisão com o solo.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

67. O exercício é, conceitualmente, semelhante aos dois anteriores.A razão pedida é dada por:

DEM _______

EM(inicial) 5

m ? g ? hf 2 m ? g ? hi ____________________ m ? g ? hi

V

V DEM _______

EM(inicial) 5

m ? g ? (hf 2 hi) _______________ m ? g ? hi

V

V DEM _______

EM(inicial) 5 24,0 2 32,0 ___________ 32,0 V

DEM _______ EM(inicial)

5 2 1 __ 4

68. O exercício explora, além dos conceitos de energia e tra-balho, assuntos estudados no capítulo 3 deste livro.a) As forças que agem sobre o bloco, na parte curva e

na parte plana, são mostradas na figura abaixo:

FN

FN

Fat

P

P

ad

ils

on

se

cc

o

b) Na região plana ocorrerá dissipação de energia devido ao atrito. O trabalho da força de atrito, nessa região, é dado por:TF(at) 5 2 ? FN ? d VV TF(at) 520,1 ? 5 ? 10 ? 10 V TF(at) 5250 J

121

Portanto, após uma passagem pela região plana, na parte curva à direita o bloco atingirá uma altura máxima hf dada por:EM(final) 1 TF(at) 5 EM(inicial) VV m ? g ? hf 1 TF(at) 5 m ? g ? hi VV 5 ? 10 ? hf 1 50 5 5 ? 10 ? 10 V hf 5 9 m

c) A cada passagem pela região plana o bloco “perde” 50 J de energia.Como a energia inicial do bloco é de 500 J (ver item anterior), ele passará 10 vezes pela parte plana antes de parar completamente.

69. Seja m a massa de cada um dos carros e v a velocidade do carro em movimento, antes da colisão.Então, a energia cinética inicial é: EC(inicial) 5 m ? v2

______ 2 .

Na colisão, a quantidade de movimento do sistema conserva-se. Logo:

Qfinal 5 Qinicial V 2 ? m ? v’ 5 m ? v V v’ 5 v __ 2

Assim, após a colisão inelástica, a energia cinética do sistema será:

EC(final) 5 1 __ 2 ? (2 ? m) ? @ v __ 2 # 2 V

V EC(final) 5 1 __ 2 ? 2 ? m ? v2

__ 4 V EC(final) 5 1 __ 2 EC(inicial)

Como a energia cinética final corresponde à metade da energia cinética inicial, podemos concluir que metade (ou seja, 50%) da energia cinética inicial transformou-se em outras formas de energia. Portanto, a resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

70. A figura abaixo mostra os veículos antes e depois da colisão:

BmA

2v = 0

mAvB = 2 • vA

—–

Antes da colisão

A

BmA

2

A

mA

—–

Depois da colisão

vA = —–vB

2

v = 0

Analisemos cada uma das afirmações: I. Na colisão, a quantidade de movimento do sistema

conserva-se. Então:

___  Q final 5

___  Q inicial V

mA ___ 2 ? 0 1 mA ? vB __ 2 5

mA ___ 2 ? vB 1 mA ? 0 V

V mA ? vB __ 2 5

mA ___ 2 ? vB

A descrição do choque está correta e, portanto, a afirmação I está errada.

II. Calculemos a energia antes e depois do choque: EC(inicial) 5 1 __ 2 ? @ mA ___ 2 # ? v2

B 5 1 __ 2 ? @ mA ___ 2 # ? (2 ?vA)2 5 mA ? v

2A

EC(final) 5 1 __ 2 ? mA ? (vA)2 5 1 __ 2 ? mA ? v

2A

Observe que a energia cinética final é metade da energia cinética inicial. Portanto, a energia dissipada durante

o choque foi 1 __ 2 ? mA ? v2A e a afirmativa II está correta.

III. A quantidade de movimento sempre é conservada durante as colisões. A afirmativa III está errada.


71. O exercício envolve o uso do princípio da conservação da quantidade de movimento, além de conceitos rela-cionados à energia. Lembre aos alunos de converterem a velocidade de km/h para m/s.Pela conservação da quantidade de movimento do sistema:

m1 ? v1 1 m2 ? v2 5 (m1 1 m2) ? v V

V 2 ? 90 ___ 3,6 1 3 ? 72 ___ 3,6 5 (2 1 3) ? v V

V 2 ? 25 1 3 ? 20 5 5 ? v VV 50 1 60 5 5 ? v VV v 5 22 m/s 5 79,2 km/h

A energia dissipada durante a colisão é dada pela dife-rença entre a energia inicial e a energia final. Então:

Ediss 5 E m1 ? (v1)2

_________ 2 1 m2 ? (v2)

2

_________ 2 R 2 (m1 1 m2) ? v

2

_____________ 2 V

V Ediss 5 2 ? 252

______ 2 1 3 ? 202

______ 2 2 5 ? 222

______ 2 V

V Ediss 5 625 1 600 2 1.210 VV Ediss 5 15 J


72. A energia dissipada no processo é dada, nesse caso, pela diferença entre a energia potencial elástica inicial e a energia potencial gravitacional final. Então:

Ediss. 5 k ? x2

_____ 2 2 m ? g ? h V

V Ediss. 5 100 ? 0,102

__________ 2 2 0,100 ? 10 ? 0,30 V

V Ediss. 5 0,5 2 0,3 VV Ediss. 5 0,2 J


73. Como a potência é dada pela relação entre o trabalho de uma força resultante e o intervalo de tempo cor-respondente, devemos conhecer as grandezas que nos permitam calcular o trabalho e o intervalo de tempo. Então, se conhecermos a massa e as velocidades inicial e final do automóvel, poderemos, usando o teorema da energia cinética, calcular o trabalho da força resultante e, conhecido o intervalo de tempo da arrancada, calcular a potência média desenvolvida.

74. Calculemos inicialmente a potência média desenvolvida pelos guindastes.Para isso teremos que calcular a relação entre o trabalho da força de içamento e o intervalo de tempo para tal. Lembre ao aluno que a força desenvolvida pelo guindaste deve equilibrar a força peso da carga, pois estamos admitindo que a carga vai se deslocar com velocidade constante.Então, para o guindaste G1, teremos:

P1 5 m1 ? g ? h1 __________

Dt1 V P1 5 2.000 ? 10 ? 5 _____________ 20 V

V P1 5 5.000 W

ad

ils

on

se

cc

o

122

E, para o guindaste G2:

P2 5 m2 ? g ? h2 __________

Dt2 V P2 5 2.000 ? 10 ? 9 _____________ 30 V

V P2 5 6.000 WPortanto, o guindaste mais potente é o G2.Logo, para suspender uma carga de três toneladas a uma altura de 10 m, usando o guindaste G2, teremos:

P2 5 m2 ? g ? h

_________ Dt

V 6.000 5 3.000 ? 10 ? 10 ______________ Dt

V

V Dt 5 50 s

75. O consumo diário de energia elétrica de cada aparelho é dado pelo produto de sua potência pelo tempo de utilização. Então, considerando todos os aparelhos, teremos:Ediária 5 1,5 ? 8 1 3,3 ? 1 __ 3 1 0,2 ? 10 1 0,35 ? 10 1 0,10 ? 6

Ediária 512 1 1,1 1 2 1 3,5 1 0,6Ediária 519,2 kWhEm um mês (30 dias):Emensal 5 30 ? Ediária V Emensal 5 30 ? 19,2 V

V Emensal 5 576 kWhO custo C dessa energia será:

C 5 576 kWh ? R$ 0,40 _______ kWh

V C 5 R$ 230,40

Logo, a resposta encontra-se na alternativa e.

76. O exercício explora vários conceitos abordados no capítulo.a) Afirmação correta.

A velocidade média de Ronaldinho é dada por:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 42,195 _______ 2,1 V vm 20,09 km/h

Como a velocidade média é maior que 20 km/h, en-tão, com certeza a velocidade instantânea do atleta, em algum instante, superou os 20 km/h.

b) Afirmação correta.A energia química liberada na “queima” de ATP, nos músculos do atleta, é convertida em energia mecâ-nica e em calor (uma forma degradada de energia).

c) Afirmação correta.A transpiração é um mecanismo de controle da temperatura corpórea. A evaporação do suor exige o recebimento de calor, este por sua vez é retirado do corpo do atleta.

d) Afirmação correta.O tempo gasto na corrida (2 h 06 min 05 s) cor-responde a 7.565 s. Portanto, a energia consumida durante a corrida pode ser calculada a partir da definição de potência:

Pm 5 E ___ Dt

V 800 5 E _____ 7.565 V E 5 6.052 kJ

77. O exercício explora o cálculo do trabalho de uma força constante e da potência média.

Pm 5 T ___ Dt

V Pm 5 F ? d ____ Dt

V Pm 5 20 ? 5 ______ 4 V Pm 5 25 W


78. A força que levanta o fardo de 40 kg, por uma altura de 5 m em 10 s, deve equilibrar o peso. Portanto, tal força tem intensidade de 400 N.

Então, pela definição de potência média, temos:

Pm 5 T ___ Dt

V Pm 5 F ? h _____ Dt

V Pm 5 400 ? 50 ________ 10 V

V Pm 5 200 WA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

79. O exercício explora o princípio da inércia (capítulo 3), o cálculo do trabalho e o cálculo da potência instantânea de uma força constante.

a) Como a carga é levantada com velocidade constante, pelo princípio da inércia, a força aplicada pelo guin-daste deve equilibrar a força peso da carga. Então:F 5 P V F 5 m ? g V F 5 500 ? 10 VV F 5 5.000 N

b) Como a força aplicada pelo guindaste é constante:TF 5 F ? h VV TF 5 5.000 ? 3 V TF 515.000 J VV TF 51,5 ? 104 J

c) Pela definição de potência instantânea de uma força:P 5F ? v V P 55.000 ? 0,20 V P 51.000 W

80. O exercício é bastante simples e explora conceitos básicos.

a) Pela definição de velocidade média:

vm 5 Ds ___ Dt

V vm 5 60 ___ 30 V vm 5 2,0 m/s

b) A força aplicada ao elevador deve equilibrar seu peso. Então:

Pm 5 F ? vm V Pm 5 1,0 ? 103 ? 10 ? 2 VV Pm 5 2,0 ? 104 W

81. Em todos os testes, a força aplicada ao elevador deve equilibrar seu peso.

Sendo assim, a potência média pode ser calculada por:

Pm 5 m ? g ? Dh

__________ Dt

Calculemos, então, a potência desenvolvida em cada teste:

Pm(I) 5 1.000 ? 10 ? 20 ______________ 10 5 20.000 W

Pm(II) 5 2.000 ? 10 ? 10 ______________ 20 5 10.000 W

Pm(III) 5 3.000 ? 10 ? 15 ______________ 30 5 15.000 W

Pm(IV) 5 4.000 ? 10 ? 30 ______________ 100 5 12.000 W

Portanto, a maior potência desenvolvida pelo elevador ocorre durante o teste I. A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

82. Admitindo-se que o piano seja levantado com velocidade constante, então ele deve ser submetido a uma força de intensidade igual a do seu peso. Portanto, temos:

Pm 5 T___ Dt

V 1.700 5 350 ? 10 ? 16 ____________ Dt

V Dt 33 s

83. O exercício explora a aplicação do teorema da energia cinética e o cálculo do trabalho e da potência de uma força constante.

123

a) Pelo teorema da energia cinética:

TR 5 m ? (vf)

2

________ 2 2 m ? (vi)

2

________ 2 V

V TR 5 4 ? 202

______ 2 2 0 V TR 5 800 J

b) Como a força aplicada ao corpo é constante, seu trabalho é dado por:TR 5 F ? d V 800 5 20 ? d V d 5 40 m

c) Pela definição de potência média, temos:

Pm 5 T ___ Dt

V Pm 5 800 ____ 4 V Pm 5 200 W

84. O exercício é simples, mas lembre aos alunos a neces-sidade de converter a unidade de medida da potência, de hp para watt, e da velocidade, de km/h para m/s.A força de resistência imposta ao movimento do carro, pelo atrito e pelo ar, equilibra a força desenvolvida pelo motor. Então, a força F, aplicada pelo motor, tem mesma intensidade que a força de resistência Fr. Pela definição de potência, temos:

P 5 Fr ? v V 18 ? 750 5 Fr ? 108 ____ 3,6 V Fr 5 450 N

85. A força de atrito, Fat, que atua na caixa equilibra a com-ponente P ? sen 30° do peso, pois a caixa movimenta-se com velocidade constante.Em Dt 5 1 s a caixa percorre d 5 0,1 m e a potência média da força de atrito é dada por:

Pm 5 T ___ Dt

V Pm 5 Fat ? d ______

Dt V

V Pm 5 m ? g ? sen 30° ? d

_________________ Dt

V

V Pm 51 ? 10 ? 0,5 ? 0,1 _______________ 1 V Pm 5 0,5 W


86. Lembre aos alunos que a vazão de 2,0 litros por segundo corresponde a uma vazão, em massa, igual a 2,0 kg/s. Da definição de potência e usando-se o trabalho da força peso da água, vem:

Pm 5 T ___ Dt

V

V Pm 5 m ? g ? h

________ Dt

V Pm 5 ? g ? h V

V Pm 5 2,0 ? 10 ? 1,0 V Pm 5 20 W 5 2,0 ? 1022 kW


87. O exercício é semelhante ao anterior. Nesse caso, temos:

Pm 5 ? g ? h V Pm 5 1.000 ? 10 ? 8,0 VV Pm 5 8.0 ? 104 W


88. O exercício é semelhante aos dois anteriores. Cuidado com as perdas de 10%!

Pconsumidor 5 90% Pqueda V

V 10.000 5 0,90 ? Pqueda V Pqueda 5 10.000 _______ 0,90 MWEntão:Pqueda 5 ? g ? h V

V 10.000 _______ 0,90 ? 106 5 15.000 ? 103 ? 10 ? h V h 74,0 m


89. O esquema mostra claramente que se trata de uma usina hidrelétrica. Mostre aos alunos que, numa usina hidre-létrica, a água da represa desce por dutos até a turbina.

Nessa descida, a energia potencial gravitacional da água converte-se em energia cinética. Ao atingir a turbina, a energia cinética da água é parcialmente transferida para a turbina sob a forma de energia cinética de rota-ção. Essa energia cinética da turbina é transferida ao gerador que, finalmente, converte sua energia cinética de rotação em energia elétrica. A resposta, portanto, encontra-se na alternativa b.

90. A potência da usina é, de acordo com o enunciado:Pusina 5 0,90 ? Págua

Então: Pusina 5 0,90 ? m ? g ? h

________ Dt

5 0,90 ? ? V ? g ? h

___________ Dt

5

5 0,90 ? ? Z ? g ? h

Em que é a densidade da água (em kg/,), V é o volume de água (em ,) e Z é a vazão de água (em ,/s).Introduzindo os valores numéricos fornecidos no enun-ciado do exercício, teremos:512 ? 106 5 0,90 ? 1 ? Z ? 10 ? 120 V V Z 5 474.074,074 ,/s 5 500.000 ,/sA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

91. Analisando-se o esquema fornecido, é possível concluir que:A transformação I (energia cinética em energia elétrica) ocorre entre a turbina e o gerador elétrico.A transformação II (energia potencial gravitacional em energia cinética) ocorre quando a água, no nível h, desce pelos dutos e chega à turbina.Portanto, a resposta ao teste está na alternativa d.

Capítulo 7 Gravitação Universal

1.Os trechos têm a mesma extensão, então:

DsAB 5 DsCD V vm(AB) ? DtAB 5 vm(CD) ? DtCD ou

DtAB ____ DtCD

5 vm(CD) _____ vm(AB)

De acordo com a segunda lei de Kepler, no trecho CD a velocidade orbital média é maior que no trecho AB, portanto:

DtAB ____ DtCD

. 1 ou DtAB . DtCD

2.A afirmação b erra apenas no nome do filósofo grego; o primeiro a formular um sistema heliocêntrico foi Aristarco de Samos.

3.a) Considerando-se uma volta na órbita circular temos:DA 5 p ? r2 (área varrida em uma volta)Dt 5 T (tempo para uma volta: período)

Assim: vareolar 5 DA ___ Dt

5 pr2

___ T 5 pr2

______ K ? r3/2 5 p__

K ? r1/2 V

V vare olar 5 K’ ? d X r .Obs.: prof(a), comente que esta relação continua válida mesmo em uma órbita elíptica, sendo r o semieixo maior (a) da elipse.

b) Quanto maior a distância ao Sol, maior a velocidade areolar do planeta.

4.O exercício explora e enfatiza o conceito de excentri-cidade de uma elipse.

124

A órbita do satélite HST é quase circular, ou seja, uma elipse de excentricidade pequena, enquanto as órbitas dos satélites GPS e Molniya são elipses de grande ex-centricidade.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

5.O exercício envolve, mais uma vez, a segunda lei de Kepler e o conceito de velocidade areolar.Como consequência da segunda lei de Kepler, a maior ve-locidade do cometa orbitando o Sol acontece no periélio, isto é, no ponto da órbita mais próximo do Sol.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

6.O exercício aborda a segunda lei de Kepler (a lei das áreas).De acordo com a lei, são iguais as áreas varridas em intervalos de tempo iguais. Se os intervalos de tempo para varrer as áreas A1 e A2 são iguais, podemos concluir que tais áreas também são iguais.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

7.Se, no intervalo de tempo que durou a viagem, a Terra

percorreu 3 __ 4 de uma volta em torno do Sol, esse inter-

valo deve corresponder a 3 __ 4 do período da Terra ao redor

do Sol, período esse que vale 12 meses. Então:

Dt 5 3 __ 4 T V Dt 5 3 __ 4 12 V Dt 5 9 meses

8.Da figura abaixo:

A C

B

B’ DE

O ponto B’, simétrico de B na órbita entre D e E, tem velocidade numericamente igual à de B. Então:vC , vD , vB , vE , vA.Quanto mais próximo do periélio, maior a velocidade.

9.a) Excentricidade:

e 5 c __ a 5 34,8 ____ 2

_____ 17,9 5 0,972

b) Adotando para a Terra TT 5 1 ano e RT 5 1 UA, te-remos:

T 2

H ___ R 3

H

5 T 2

T ___ R 3

T

V T 2

H _____ 17,93 5 1

3 __

13 V TH 5 75,732 anos 5

5 75 anos, 8 meses e 23,5 dias

10. a) A velocidade do planeta é máxima no período (P) e mínima no afélio (A).Isso é consequência da segunda lei de Kepler, segun-do a qual o segmento que une o planeta ao Sol deve varrer áreas diretamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos.

b) As áreas correspondentes aos percursos PIA e AVP são iguais e, portanto, varridas no mesmo intervalo de tempo. A área que corresponde ao percurso IAV é maior. Em resumo:DtVPI ,DtPIA 5 DtAVP , DtIAV

11. a) Há exatamente 2 meses (60 dias) entre 0 h de 1o de abril e 24 h de 30 de maio. Em um ano, isto é, 12 meses, a Terra percorre sua órbita, cuja área é A 5 6,98 ? 1022 m2. Então, a área A’ varrida em 2 meses pelo raio que liga a Terra ao Sol pode ser obtida por regra de três simples:

Em 12 meses — 6,98 ? 1022 m2

Em 2 meses — A’

A’ 5 2 ? 6,98 ? 1022

_____________ 12 V A’ 1,16 ? 1022 m2

b) Foi utilizada a segunda lei de Kepler.

12. O exercício aborda as leis de Kepler do movimento planetário.

I. Afirmação correta. O enunciado corresponde à primeira lei de Kepler ou lei das órbitas.

II. Afirmação correta. O enunciado corresponde à segunda lei de Kepler ou lei das áreas.

III. Afirmação correta. O enunciado corresponde à terceira lei de Kepler ou lei dos períodos.

Portanto, todos os enunciados apresentados estão corretos.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

13. Mais uma vez o exercício explora as leis de Kepler do movimento planetário.

I. Afirmação correta, uma vez que constitui o enun-ciado da primeira lei de Kepler.

II. Afirmação incorreta, pois, de acordo com a segunda lei de Kepler, a velocidade de cada um dos astros depende da distância ao Sol, não podendo o movi-mento ser uniforme.

III. Afirmação correta, pois a terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período de translação é direta-mente proporcional ao cubo do raio médio da órbita descrita. Assim, quanto menor o raio médio da órbita, menor será o período do movimento.


14. O exercício é uma aplicação imediata da terceira lei de Kepler.Do enunciado, temos: T1 5 1 ano; R2 5 2 ? R1. O novo período, T2, é dado por:

T 2

1 ___ R3

1

5 T 2

2 ___ R 3

2

V

V 1 ___ R 3

1

5 T 2

2 ________ (2 ? R1)

3 V T 22 5 8 V T2 5 d XX 8 V

V T2 5 2 ? d XX 2 anosA resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

15. Aplicando a segunda lei de Kepler, temos:

T 2

1 ___ r 3

1

5 T 2

2 ___ r 3

2

V 1 ___________ (1,49 ? 108)3 5

T 22 ___________

(5,96 ? 108)3

T 22 5 63,96 V T2 g 8 anos


ad

ils

on

se

cc

o

125

16. O exercício é mais uma aplicação quantitativa da terceira lei de Kepler.São dados: T1 5 32 dias, T2 5 256 dias e R1 5 1 unidade.Para a obtenção do valor de R2 aplicamos a terceira lei de Kepler e temos:

T 2

1 ___ R 3

1

5 T 2

2 ___ R 3

2

V (32)2

_____ 1 5 (256)2

______ R3

2

V

V R 32 5 @ 256 ____ 32 #

2

5 82 V R 32 5 64 V R2 5 4 unidades


17. a) Adotemos para a Terra: RT 5 1,0 UA e TT 5 1,0 AT; para Vênus: Rv 5 0,723 UA e Tv 5 0,615 AT e para Marte: RM 5 1,523 UA e TM 5 1,88 AT. Assim, teremos:

T 2

T ___ R 3

T

5 1,02

____ 1,03 5 1,000;

Tv2

__ R3

v

5 0,6152

_______ 0,7233 5 1,0008;

T 2

M ___ R 3

M

5 1,882

______ 1,5233 5 1,0005

Os valores obtidos comprovam que a constante de proporcionalidade só depende da massa do Sol e, portanto, é igual para todos os planetas do sistema solar (terceira lei de Kepler).

b) Não. Para os planetas a razão T2 ___

R3 é igual a 4p2

_____ GMSol

; para

a Lua ela vale 4p2

______ GMTerra

.

18. a) (I) No perigeu temos 5 0°, portanto:

hp 5 @ 264 1 7.980 _______________ 100 1 5 ? cos 0°

# ? 102 5 1.200 km

(II) No apogeu temos 5 180°, portanto:

h 5@ 264 1 7.980 _________________ 100 1 5 ? cos 180°

# ? 102 5 2.000 km

b) Para h 5 1.580 km, temos:

1.580 5 @ 264 1 7.980 ______________ 100 1 5 ? cos # ? 102 V

V (15,8 1 64) ? (100 1 cos ) 5 7.980 V

V 100 1 cos 5 7.980 ______ 79,8 V cos 5 1 V

V 1 5 90° ou 2 5 270°

19. I. Errada: o movimento só seria uniforme se a órbita fosse circular;

II. Correta: do afélio para o periélio o movimento é ace-lerado, do periélio para o afélio ele é retardado;

III. Errada: se considerarmos a órbita circular, a força de atração gravitacional é a resultante centrípeta do movimento. A força centrípeta não é uma força a mais que atua.

IV. Correta: é exatamente isso que ocorre; V. Errada: como a força gravitacional varia com a dis-

tância, numa órbita elíptica sua intensidade varia.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

20. Sendo a órbita circular, devemos ter: I. Velocidade orbital: v 5 2pr ____

T

II. Fgravitacional 5 Fcentrípeta

Assim, G ? mSol ? mplaneta ___________

r2 5 mplaneta ? v

2

__________ r V

V G ? M __ r 5 @ 2pr ____ T #

2

V T2 ___

r3 5 4p2

____ GM

21. Reduzir 30% significa que a nova distância passa a ser 70%

da inicial. A intensidade inicial da força é F 5 G ? M ? m ______ d2 .

A intensidade da força após mudar a distância é:

F ’ 5 G ? M ? m _________ (0,7d)2 5 2,04 ? E G ? M ? m ______

d2 R 5 2,04 ? F.


22. O exercício é uma aplicação quantitativa da Lei da Gravitação Universal.Na situação inicial, o módulo da força de atração gra-vitacional é dado por:

F 5 G ? m ? m ______ d2

Na nova situação, uma das massas dobra, passando para 2 ? m, e a distância é reduzida à metade, passando

para d __ 2 . Assim, a intensidade da nova força de atração

gravitacional será:

F ’ 5 G ? (2 ? m) ? m

__________ @ d __ 2

2

# V F ’ 5 G ? 2 ? m ? m _________

d2

__ 4 V

V F ’ 5 8 ? @ G ? m ? m ______ d2 # V F ’ 5 8 ? F


23. Este exercício, em razão dos cálculos exigidos, requer maior empenho dos alunos.São dados: MT 5 6,0 ? 1024 kg, dTS 5 1,5 ? 1011 m, MN 5 1,0 ? 1026 kg e dNS 5 4,5 ? 1012 m.Aplicando a Lei da Gravitação Universal à atração que o Sol exerce sobre a Terra e sobre Netuno, temos:

FT 5 G ? MS ? MT _______

d 2TS

e FN 5 G ? MS ? MN _______

d 2NS

Dividindo membro a membro:

FT __ FN

5 MT ? d

2NS _______

MN ? d2TS

V

V FT __ FN

5 6,0 ? 1024 ? 20,25 ? 1024

_____________________ 1,0 ? 1026 ? 2,25 ? 1022 V

FT __ FN

5 5,4 ? 101


24. Aplicando a Lei da Gravitação Universal, temos, para as intensidades das forças de atração entre o Sol e os planetas Terra e Netuno:

FT 5 G ? M ? mT ______

r 2T

e FN 5 G ? M ? mN ______

r 2N

Dividindo membro a membro, temos:

FT __ FN

5 mT ? r

2N _______

mN ? r2T

V F __ FN

5 mT ? (30 ? rT)

2

____________ 18 ? mT ? r

2T

V

V F __ FN

5 900 ____ 18 V FN 5 0,02 ? F


25. O exercício é semelhante aos dois anterioresSão dados: MSaturno 5 100 ? MTerra e dSaturno 5 10 ? dTerra.Aplicando a Lei da Gravitação Universal à atração que o Sol exerce sobre os dois planetas obtemos:

FT 5 G ? MS ? MT _______

d 2T

e FSat 5 G ? MS ? MSat ________

d 2Sat

126

Dividindo membro a membro as igualdades, teremos:

FSaturno ______ FTerra

5 MSaturno ? d

2Terra ____________

MTerra ? d2Saturno

V

V FSaturno ______ FTerra

5 100 ? MTerra ? d

2Terra ________________

MTerra ? 100 ? d 2Terra

V FSaturno ______ FTerra

5 1


26. Igualando as intensidades das forças exercidas sobre o foguete pelo planeta e pelo satélite, temos:

FP 5 FS V G ? MP ? m ______

r 2P

5 G ? MS ? m ______

r 2S

V

V r 2

P __ r 2

S

5 MP ___ MS

5 81 V rP __ rS

5 9


27. a) Tomemos o ponto do gráfico correspondente à dis-tância 1,6 ? 1020. Assim:

4,0 ? 1019 5 6,7 ? 10211 ? M ? 1,0 ? 1030

____________ (1,6 ? 1020)2 V

V M 1,53 ? 1040 kg

Aproximadamente 8 bilhões de massas solares.

b) A força de atração gravitacional é a resultante cen-trípeta do movimento circular da estrela.

Como foi demonstrado no texto do capítulo, essa

velocidade vale vorbital 5 d XXXXXXXXXX G ? Mgaláxia _________ r ; mas podemos

convertê-la em vorbital 5 d XXXXXX F ? r ______ mestrela , para usarmos os dados

fornecidos no enunciado.

Como F 5 G ? Mgaláxia ? mestrela _____________

r2 , podemos escrever:

G ? Mgaláxia _________ r 5 F ? r ______ mestrela

.

Assim, obtemos:

vorbital 5 d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 4,0 ? 1019 ? 1,6 ? 1020

___________________ 1,0 ? 1030 5 8,0 ? 104 m/s 5

5 80 km/s

28. De acordo com o enunciado, para a Terra se tornar um buraco negro devemos ter:

c2 5 2GMT _____

RT V RT 5

2GMT _____ c2 V

V RT 5 8,9 ? 1023 m 9,0 mm.

Portanto, o diâmetro deveria ser de, aproximadamente, 18 mm ou 1,8 cm.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

29. a) De acordo com o exercício anterior, para a Terra se tornar um buraco negro devemos ter:

c2 5 2GMT _____

RT V RT 5

2GMT _____ c2 V

V RT 5 8,93 ? 1023 m 9,0 mm

b) c2 5 2GMS _____

RS V RS 5

2GMS _____ c2 V

V RS 5 2,98 ? 103 m 3 km.

30. a) O raio da órbita descrita é a soma da altitude h 5 320 km com o raio da Terra R 5 6.350 km.

Então: r 5 h 1 R 5 320 1 6.350 V V r 5 6.670 km 5 6,67 ? 106 m

A velocidade orbital é:

v 5 d XXXXXX G ? M _____ r V v 5 d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 6,67 ? 10211 ? 6 ? 1024

___________________ 6,67 ? 106 V

v 5 7,75 ? 103 m/sO período orbital é:

T 5 2 ? p ? r ________ v V T 5 2 ? 3,14 ? 6,67 ? 106

__________________ 7,75 ? 103 V

V T 5,4 ? 103 s V T 90 min V T 1 h 30 minb) A energia cinética será dada por:

EC 5 m ? v2

______ 2 V EC 5 1,3 ? 105 ? (7,75 ? 103)2

_____________________ 2 V

V EC 5 3,9 ? 1012 J

31. a) Na órbita circular temos:

Fep 5 Fgravitacional V m ? v2

______ R 5 G ? M ? m _________

R2 V

V m ? v2

______ 2 5 G ? M ? m ______ 2R

5 Ecin

Eorbital total 5 Epotencial 1 Ecinética V

V Eorbital total 5 2G ? M ? m ______ R 1G ? M ? m ______

2R 5 2G ? M ? m ______

2R

Portanto, na órbita, a energia orbital total é numeri-camente igual à energia cinética, porém negativa.

b) Na órbita, temos: Eorbital total 5 2Ecinética V

V Ecinética ________ Eorbital total

5 21.

32. A aceleração da estação é centrípeta, sendo dada por:

a 5 v2

__ R .

Sendo: r 5 0,4 ? 106 1 6 ? 106 V r 5 6,4 ? 106 m v 5 7,8 ? 103 m/s

temos: a 5 (7,8 ? 103)2

__________ 6,4 ? 106 V a 9,5 m/s2

33. Qualquer corpo movendo-se sob a ação da força de atra-ção gravitacional obrigatoriamente tem sua órbita num plano que contém o centro de atração; nesta questão o centro de atração é o centro da Terra.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

34. O exercício exige do aluno apenas uma manipulação algébrica de expressões já utilizadas anteriormente.A energia cinética e o módulo da velocidade do satélite em órbita são dados pelas fórmulas:

EC 5 m ? v2

______ 2 e v 5 d XXXXXX G ? M _____ R

Substituindo a segunda na primeira, obtemos:

EC 5 m __ 2 @ d XXXXXX G ? M _____ R #

2

V EC 5 G ? m ? M ______ 2 ? R


35. O exercício é semelhante ao anterior.A velocidade angular e o módulo da velocidade tangen-cial (ou orbital) são dados por:

5 v __ R e v 5 d XXXXXX G ? M _____

R

127

Substituindo-se a segunda expressão na primeira, temos:

5 1 __ R ? d XXXXXX G ? M _____

R

A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.Observações:(1) Podemos também escrever esse resultado assim:

5 d XXXXXX G ? M _____ R3

(2) Dessas expressões podemos obter o período (T) do movimento do planeta:

5 2p___ T 5 d XXXXXX G ? M _____

R3 V T 5 2p ? d XXXXXX R3 _____

G ? M

ou a expressão da 3a lei de Kepler: T 2 5 4p2

____ GM

? R3.

36. O exercício é semelhante ao anterior e podemos então aproveitar o seu resultado.O período do satélite pode ser obtido por:

T 5 2 ? p_____

Do exercício anterior, temos que:

5 1 __ r ? d XXXXXX G ? M _____ r V 5 d XXXXXX G ? M _____ r3

Combinando as duas expressões obtemos:

T 5 2 ? p ? d XXXXXX r3 _____

G ? M


37. Este exercício exige uma certa habilidade algébrica para sua resolução.As velocidades tangenciais nas duas órbitas têm mó-dulos dados por:

v1 5 d XXXXXX G ? M _____ R1

e v2 5 d XXXXXX G ? M _____ R2

Dividindo v1 por v2, obtemos:

v1 __ v2

5 d XXXXXX G ? M _____

R1 _______

d XXXXXX G ? M _____ R2

V

v1 __ v2 5 d XXX

R2 __ R1

Como R2 é um terço de R1, temos:

v1 __ v2

5 d XXXX 1 __ 3 R1

____ R1

5 d XX 1 __ 3 5 d XX 3 ___ 3

A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.Observação: O exercício também poderia ser resolvido usando-se os dados do exercício e considerando-se que a força de atração gravitacional é a força resultante centrípeta (m ? v2 ? r) do movimento.

38. O exercício explora qualitativamente as fórmulas para o cálculo da velocidade tangencial orbital e do período.Conforme já sabemos, a velocidade tangencial v de um corpo em órbita circular de raio r é:

v 5 d XXXXXX G ? M _____ r

Portanto, essa velocidade não depende da massa do satélite. Como os raios das órbitas são iguais, temos: vR 5 vS.

No exercício 36 deduzimos o período T do movimento:

T 5 2 ? p ?d XXXXXX r3 _____

G ? M

Assim, podemos concluir que o período também não depende da massa do satélite e, portanto, TR 5 TS.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

39. De acordo com a segunda lei de Kepler, áreas iguais são varridas em intervalos de tempo iguais. Portanto, tOP 5 tMN.Como o trecho OP é mais longo que o trecho MN e eles são percorridos no mesmo intervalo de tempo, a velocidade média em OP tem de ser maior que a do trecho MN.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

40. O exercício aborda vários conceitos relacionados à teoria vista até aqui.(01) Afirmação incorreta. O peso, considerado como

a força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre o corpo do astronauta, continua existindo. A imponderabilidade é devida ao fato de que o astronauta e a nave estão submeti-dos à mesma aceleração (centrípeta) devida à gravidade, portanto ambos “caem” em direção ao centro da Terra, em condições de aceleração relativa zero.

(02) Afirmação correta. Numa órbita circular a força de atração gravitacional é a resultante centrí-peta do movimento. Para uma órbita elíptica, a resultante centrípeta é a componente dessa força perpendicular à velocidade.

(04) Afirmação incorreta. O fato de a velocidade orbital da nave ter módulo constante em órbita circular não se deve à inércia, pois há uma força atuando. Por inércia a nave estaria em repouso ou movimento retilíneo e uniforme e não em movimento orbital.

(08) Afirmação incorreta. Como já vimos na afir-mação (01), o astronauta está em estado de imponderabilidade, portanto a balança indica peso aparente zero.

(16) Afirmação correta. A astronave e todos os corpos dentro dela têm a mesma aceleração centrípeta, relativamente à Terra. Ou seja, todos os corpos, inclusive a astronave, estão em uma constante “queda livre”, felizmente, sem encontrarem a superfície da Terra.

Somando os números que precedem as afirmações corretas, temos: 02 1 16 5 18.

41. Mais um exercício que explora a imponderabilidade dos corpos em órbita.Quando em órbita, astronauta e nave estão sujeitos à mesma aceleração centrípeta, devida à atração gravi-tacional exercida pela Terra.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

42. Mais um exercício sobre imponderabilidade dos corpos em órbita.A “ausência de peso” de um objeto dentro de um satélite em órbita ao redor da Terra deve-se ao fato de objeto e

128

satélite apresentarem a mesma aceleração centrípeta, devida a atração gravitacional exercida pela Terra. A resposta ao teste encontra-se na alternativa e.

43. Último exercício da série que explora o conceito de imponderabilidade.Podemos dizer, na situação descrita, que a espaçonave, o astronauta e todos os objetos em torno dele estão “caindo” em direção à Terra, com a mesma aceleração centrípeta devida à atração gravitacional terrestre, só que a trajetória do conjunto não intercepta a superfície da Terra.A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

44. F1 5 G ? M ? m _________ (2R)2

F2 5 G ? M ? 2m __________ (2R)2

F3 5 G ? M ? 2m __________ R2

Assim: F3 5 4F2 5 8F1, ou F1 , F2 , F3.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

45. I. Afirmação verdadeira. S1 está mais próximo do peri-geu.

II. Afirmação verdadeira. S1 está mais próximo da Terra. A intensidade da força gravitacional é maior para distâncias menores.

III. Afirmação verdadeira. Como ambos estão se aproxi-mando do perigeu, a velocidade aumenta.

IV. Afirmação falsa. À maior força corresponde a maior aceleração, assim aS1

. aS2.

V. Afirmação verdadeira. Ambos descrevem a mesma órbita; mesmo raio médio.


46. Exercício que inicia a série sobre os satélites de comu-nicação.a) Não, pois ele não está sempre sobre o mesmo ponto

da superfície da Terra; ele se move em sentido oposto ao sentido de rotação da Terra.

b) Igual ao período de rotação da Terra, 24 horas, já que a sua órbita é a mesma dos satélites geoestacionários.

c) A cidade de Macapá está sobre a linha do equador terrestre. Como o Inversat move-se em sentido oposto ao da rotação da Terra, esse observador verá o Inversat passar sobre sua cidade duas vezes no mesmo dia, isto é, a cada 12 horas. Portanto, o astrônomo verá novamente o Inversat às 21 horas desse mesmo dia.

Professor, é importante deixar bem assimilada a diferença entre período orbital e intervalo de tempo entre observações sucessivas.

47.

R 6,6 Rθ

θ

48. Outro satélite geoestacionário.O satélite geoestacionário se mantém em órbita ao redor da Terra com um período de translação igual a 24 horas porque a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele funciona como força centrípeta.A resposta encontra-se na alternativa e.

49. O exercício explora alguns conceitos relacionados aos satélites geoestacionários e à terceira lei de Kepler.

I. Afirmação incorreta. A situação é possível. O saté-lite deve ter velocidade orbital suficiente para que sua trajetória circular não intercepte a superfície da Terra. Assim, a força de atração gravitacional da Terra sobre ele será a força centrípeta que garantirá o seu movimento orbital.

II. Afirmação correta. Para que o satélite se mantenha sempre sobre um mesmo ponto da linha equatorial, ele deve ter a mesma velocidade angular da Terra e, para isso, seu período de translação deve ser igual ao período de rotação da Terra: 24 horas.

III. Afirmação incorreta. Se a força gravitacional fosse nula, seria impossível ao satélite executar sua órbita ao redor da Terra.

IV. Afirmação correta. Constitui o enunciado da terceira lei de Kepler.

A resposta encontra-se na alternativa d.

50. a) Em órbita geoestacionária, o período é T 5 24 h. A velocidade angular é:

T 5 2 ? p_____ T 5 2 ? p_____ 24 V T 5 p___ 12 rad/h

A expressão da velocidade orbital v é:

v 5 T ? R V v 5 p___ 12 ? R

b) De T 5 v __ R , temos: T 5 d XXXXXX G ? M _____

R3 V 2T 5G ? M _____

R3 V

V R3 5 G ? M _____ 2

T

(I)

Mas F 5 m ? g V G ?M ?m ______ R 2

T

5g ?m V

V G ? M 5 g ? R 2T (II)

Substituindo (II) em (I) vem: R3 5 g ? R 2

T ______ 2

T

V

V R 5 3 dXXXXXX g ? R 2

T ______ 2

T

51. a) Se o satélite permanece estacionário em relação a um ponto da superfície da Terra, ele apresenta um período de translação igual ao período de rotação da Terra, isto é, 24 horas. Assim, para o satélite: Tsat 5 24 h

b) O satélite não cai porque tem velocidade orbital sufi-ciente para que sua trajetória circular não intercepte a superfície da Terra. Nesta situação, a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre ele é a força centrípeta necessária ao seu movimento orbital.

52. O exercício explora, mais uma vez, a principal caracte-rística dos satélites geoestacionários.O satélite geoestacionário, isto é, estacionário em relação à Terra, tem essa característica por apresentar um período orbital (de translação) igual ao período de rotação da Terra.A resposta encontra-se na alternativa d.

cos u 5 R ____ 6,6R

5 0,152 V u 5 81,3°

Portanto, 2u 5 162,6°.

ad

ils

on

se

cc

o

129

53. I. Errada: existe gravidade nos pontos da órbita, sim; o que é nula é aceleração relativa entre os corpos.

II. Errada: o que explica a ausência de interação do ins-trumento com o piso da nave é a aceleração relativa entre eles ser nula, portanto também serão nulas as ações trocadas entre eles.

III. Correta: exatamente por esse motivo é nula a acele-ração relativa entre os corpos internos à nave.

Prof(a), as três situações propostas podem ser resumidas numa frase: Estar em órbita é estar permanentemente em queda livre, felizmente, sem encontrar o solo! Seria muito instrutivo e ilustrativo comentar isso.A resposta encontra-se na alternativa e.

54. I. Errada: se fosse geoestacionário seu período seria de 24 horas.

II. Correta: o sistema satélite 1 2o estágio é separado por forças internas a ele, portanto, não altera a trajetória do centro de massa.

III. Errada: a velocidade orbital é v 5 d XXXX GM ___ R , portanto,

R menor implica v maior.IV. Correta. De acordo com a terceira lei de Kepler, a razão

entre o quadrado do período de translação do corpo e o cubo do raio médio de sua órbita é igual para qualquer sistema de corpos girando em torno de outro.

A resposta encontra-se na alternativa c.

55. a) Quadruplicaria. Sendo gsuperfície 5 GM ___ R2 , teremos:

g’superfície 5 GM ______ @ 1 ___ 2R

# 2 5 4 ? gsuperfície.

b) Ficaria multiplicada por oito: d 5 m __ v 5 m _____ 4 __ 3 pR3

V

d’ 5 m __ v’

5 m ________ 4 __ 3 p@ 1 ___

2R #

3 5 8 ? m _____

4 __ 3 pR3 5 8 ? d.

56. Primeiro exercício da série sobre a aceleração gravitacional.Se o peso do astronauta na órbita (que corresponde à força centrípeta que atua sobre ele) se reduz a quatro nonos do peso dele na superfície da Terra, a aceleração centrípeta g’ na órbita deve ser também quatro nonos da aceleração da gravidade g na superfície da Terra: g’ 5 4 __ 9 ? gAssim, temos:

G ? M ________ (R 1 H)2 5 4 __ 9 ? G ? M _____

R2 V 1 ________ (R 1 H)2 5 4 __ 9 ? 1 __

R2 V

V 1 ______ R 1 H

5 2 _____ 3 ? R

V 3 ? R 5 2 ? R 1 2 ? H V

V H 5 R __ 2 V H 5 6.400 ______ 2 V H 5 3.200 km

Novamente a solução negativa da equação quadrática

nos dá: H 5 25R ___ 2 , que corresponde à outra extremidade

do diâmetro da mesma órbita.

57. Outra aplicação da teoria sobre aceleração gravitacional.São dados: g 5 10 m/s2 na superfície da Terra; g’ 5 2,5 m/s2a uma altura H da superfície da Terra, isto é, a uma distância d 5 R 1 H do centro da Terra.

Aplicando a fórmula deduzida na teoria para as duas posições consideradas, teremos:

g 5 G ? M __ R2 e g’ 5 G ? M __

d2 V g’ 5 G ? M ________ (R 1 H)2

Comparando as duas expressões anteriores, temos:g ? R2 5 g’ ? (R 1 H)2 VV 10 ? R2 5 2,5 ? (R 1 H)2 V 4 ? R2 5 (R 1 H)2 VV 2 ? R 5 1(R 1 H) V R 5 H V H __

R 5 1

Se considerarmos a raiz negativa da equação quadrática acima teremos: 2 ? R 5 2 (R 1H) V H = “23R”, que corresponde à outra extremidade do diâmetro da mesma órbita.

58. Aplicação direta da expressão deduzida nesse tópico do capítulo.A aceleração centrípeta do satélite em órbita correspon-de à aceleração gravitacional exercida sobre ele, pela Terra, naquele ponto da órbita.A aceleração da gravidade, g, na superfície terrestre vale:

g 5 G ? M __ R2 , sendo M a massa da Terra.

Chamando de g’ a aceleração centrípeta do satélite quando descreve sua órbita de raio r 5 2 ? R, podemos escrever:

g’ 5 G ? M __ r2 V g’ 5 G ? M _______

(2 ? R)2 V

V g’ 5 G ? M _____ 4 ? R2 5 1 __ 4 @ G ? M __

R2 # V g’ 5 g __ 4


59. gTerra 5 GMTerra _______ (RTerra)

2 V gplaneta 5 GMplaneta _______ R 2

planeta

5 G ? 3 ? MTerra ___________ (2 ? RTerra)

2 5

5 3 __ 4 GMTerra ________ 4(RTerra)

2 5 3 __ 4 gTerra


60. Do gráfico, obtemos, para a aceleração na superfície da Terra Real, g 5 10 m/s2.Considerando a Terra Hipotética, com raio R’ 5 0,8 ? RT, mas conservando a mesma massa da Terra Real, podemos comparar a aceleração da gravidade na superfície das duas terras:g ? RT

2 5 G ? M e g1 ? R’2 5 G ? MIgualando: g ? R2

T 5 g1 ? R’2

Substituindo os valores: 10 ? R2T 5 g1 ? 0,64 ? R2

T V V g1 5 15,6 m/s2

Na Terra Hipotética, os valores da aceleraçção da gravidade para distâncias ao centro superiores a R’ são dados pela fórmula: g1 ? R’2 5 g ? R2. Assim, o valor de g2, para uma distância ao centro R 5 RT, é dado por:15,6 ? 0,64 ? R2

T 5 g2 ? R2T V g2 5 10 m/s2


61. O exercício explora conceitualmente a variação da aceleração da gravidade na superfície da Terra devido ao seu movimento de rotação.A aceleração da gravidade para pontos diferentes da su-perfície da Terra varia devido ao movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo. Por conta disso, seu valor é máximo nos polos e mínimo no equador.A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

62. O campo gravitacional no interior de uma casca oca é nulo; como a massa m é interna à casca de raio r2,

130

esta não exerce força sobre ela. A massa m sofre ação somente da casca de raio r1. Assim, a força de atração terá intensidade igual a:

F 5 G ? mM1 ____ d2 .


63. O exercício novamente aborda a variação da aceleração da gravidade com a latitude, devido ao movimento de rotação da Terra.A massa do corpo não depende da latitude, sendo, portanto, igual no polo Norte e no equador (mN 5 mE). Quanto ao peso, ele é máximo no polo Norte e mínimo no equador (PN . PE).A resposta ao teste encontra-se na alternativa d.

64. O exercício propõe o cálculo do valor da aceleração da gravidade na superfície de um planeta hipotético e a comparação com o valor na superfície da Terra.Sendo R o raio da Terra e M sua massa, o raio do planeta considerado será R’ 5 2 ? R e sua massa M’ 5 2 ? M.Aplicando a fórmula que fornece a aceleração da gravi-dade na superfície de um planeta, para a Terra e para o planeta em questão, obtemos:

g 5 G ? M __ R2 e

g’ 5 G ? M’ ___ R’2

V g’ 5 G ? 2 ? M _____ 4 ? R2 V

V g’ 5 G ? M _____ 2 ? R2 V g’ 5 1 __ 2 @ G ? M __

R2 # VV g’ 5 1 __ 2 g V g’ 5 5,0 m/s2


65. O exercício explora, mais uma vez, o cálculo da aceleração da gravidade na superfície de um planeta e sua comparação com o valor da gravidade na superfície da Terra.Em função do raio R e da massa M da Terra, o raio e a mas-sa de Mercúrio valem: R’ 5 0,4 ? R e M’ 5 0,04 ? M.Aplicando a fórmula que fornece a aceleração da gra-vidade na superfície da Terra (g) e na superfície de Mercúrio (g’), teremos:

g 5 G ? M __ R2 e

g’ 5 G ? M’ ___ R’2

V g’ 5 G ? 0,04 ? M _________ (0,4 ? R)2 V

V g’ 5 G ? 0,04 ? M ________ 0,16 ? R2 V g’ 5 G ? M _____

4 ? R2 V

V g’ 5 1 __ 4 @ G ? M __ R2 # V g’ 5 1 __ 4 g

A mesma relação existirá entre os pesos do objeto em Mercúrio e na Terra. Portanto:

P’ 5 P __ 4 A resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

66. a) A energia cinética da pessoa ao atingir o solo é igual à energia potencial gravitacional que ela possui a uma altura h a partir da qual caiu.

Igualando, temos:

EC 5 EP V m ? v2

______ 2 5 m ? g ? h V v 5 d XXXXXXXX 2 ? g ? h Na Terra, h 5 1 m e g 5 10 m/s2. Portanto: v 5 d XXXXXXXXX 2 ? 10 ? 1 V d XXX 20 m/s

Na Lua, onde g’ 5 2 m/s2, para ter essa velocidade, a pessoa deve cair de uma altura h’, calculada por

meio da fórmula: v 5 d XXXXX 2g’ h’ . Substituindo:

d XXX 20 5 d XXXXXXXX 2 ? 2 ? h’ V 20 5 4 ? h’ V h’ 5 5 mb) Sendo g ? R2 5 G ? M e g’ ? R’ 2 5 G ? M’, respecti-

vamente para a Terra e a Lua, a divisão membro a membro dessas fórmulas fornece:

g ? R2

______ g’ ? R’2

5 M __ M’

V 10 ? 16 _______ 2 5 M __ M’

V M __ M’

5 80 V

V M’ __ M

5 1 ___ 80

67. Este exercício é semelhante aos anteriores.As acelerações da gravidade na superfície da Terra e a uma distância do centro de Marte igual ao raio da Terra (d 5 RT) são dadas por:

gT 5 G ? MT ___ R T

2 e

gM 5 G ? MM ___ d2 V gM 5 G ?

MM ___ R 2

T

Dividindo membro a membro:

gT ___ gM

5 MT ? RT

2

_______ MM ? R T

2 V gT ___ gM

5 MT ___ MM

Como MM 5 0,11 ? MT , vem:

gT ___ gM

5 MT ________

0,11 ? MT V

gT ___ gM 5 1 ____ 0,11

A relação entre as acelerações da gravidade é igual à relação entre as respectivas intensidades das forças de atração gravitacional:

P __ F 5 1 ____ 0,11 V F 5 0,11 ? P


68. dplaneta 5 dTerra V mplaneta ______ Vplaneta

5 mTerra _____ VTerra

V

V mplaneta ______ mTerra

5 Vplaneta ______ VTerra

5 @ Rplaneta ______ RTerra

# 3

5 (1,5)3;

gplaneta 5 GMplaneta _______ R2

planeta

5 gplaneta 5 G ? 1,53 ? MTerra _____________

(1,5 ? RTerra)2 5 1,5 ? gTerra

69. gplaneta 5 gTerra V G ? Mplaneta ______ R 2

planeta

5 G ? MTerra _____ R 2

Terra

V

V Mplaneta ________ (3RTerra)

2 5 MTerra _____ R 2

Terra

V Mplaneta 5 9 ? MTerra


Capítulo 8 Máquinas simples

1.Aproveite este exercício para fazer uma rápida revisão das alavancas e citar, inclusive, outros exemplos.a) Vara de pescar: é uma alavanca interpotente, pois o

ponto de aplicação da força potente se localiza entre os pontos de apoio e de aplicação da força resistente.

b) Martelo: é uma alavanca interfixa, pois o ponto de apoio localiza-se entre os pontos de aplicação das forças resistente e potente.

c) Pegador de gelo: é uma alavanca dupla, sendo cada parte interpotente.

d) Quebra-nozes: é uma alavanca dupla, sendo cada parte inter-resistente. Observe que o ponto de aplicação da força resistente fica entre os pontos de apoio e de aplicação da força potente.

131

2.Carlos escolheu a terceira situação (veja a figura abaixo), pois o braço da força potente bP é o maior possível e o braço da força resistente bR, o menor. Além disso, o peso

___  P da alavanca contribui para a diminuição da

intensidade da força potente.

CGFP

FR

bR bP

A

Impondo a condição de equilíbrio de rotação em torno do ponto A em que a barra é suspensa, vem:

2 ? (3 ? d) 5 P ? (2 ? d) V P 5 3 N

Nota: A força de tração T que o fio exerce na barra tem torque (ou momento) nulo em relação ao ponto A.

4.O exercício é mais complexo que os dois últimos. Entre-tanto, é uma boa oportunidade para fazer uma revisão das condições de equilíbrio de rotação e de translação.A figura a seguir mostra as forças que atuam na alavanca.

2 N

3 d 2 d

P

T

De fato, impondo a condição de equilíbrio de rotação em torno do ponto de apoio A, vem:

FR ? bR 5 FP ? bP 1 P ? a V FP 5 FR ? bR 2 P ? a

_____________ bP

O menor valor de FP corresponde ao menor bR e ao maior bP.Notas: 1) A força

__  F N que o apoio exerce na barra tem torque

ou momento nulo em relação ao ponto A, pois a força tem linha de ação passando por A (braço nulo).

2) Na primeira situação, o peso ___  P da alavanca não

contribui para a diminuição da intensidade da força potente e além disso bP é menor do que bR.

3) Na segunda situação, as forças __  F N e

___  P têm torques

nulos em relação ao ponto de apoio A. Nesta situa-ção, temos: FN 5 FR

3.O exercício é simples e a figura abaixo mostra as forças que atuam na alavanca suspensa.

d

5 NP = 6 N

10 N

A

T6 d x

Impondo o equilíbrio de rotação em torno de A, temos:5 ? (6 ? d) 5 10 ? x V x 5 3 ? dTal posição corresponde ao gancho 10.Nota: Os torques de T e P em torno de A são nulos (braços nulos).Para obter a intensidade da força de tração T no fio que sustenta a alavanca e responder à pergunta final do exercício, devemos impor o equilíbrio de translação.Teremos, então:T 5 5 1 6 1 10 V T 5 21 N

5.a) FR ? bR 5 20 N ? 30 cm 5 600 N ? cmFP ? bP 5 10 N ? 50 cm 5 500 N ? cmsendo FR ? bR FP ?bP, vem: não está em equilíbrio

b) FR ? bR 5 40 N ? 20 cm 5 800 N ? cmFP ? bP 5 10 N ? 80 cm 5 800 N ? cmsendo FR ? bR 5 FP ?bP, vem: está em equilíbrio

c) FR ? bR 5 25 N ? 30 cm 5 750 N ? cmFP ? bP 5 15 N ? 10 cm 5 150 N ? cmsendo FR ? bR FP ?bP, vem: não está em equilíbrio.


6.O exercício é usado para se introduzir o conceito de vantagem mecânica. Se tiver tempo, peça aos alunos que calculem a vantagem mecânica das alavancas que apareceram nos exercícios anteriores.a) Impondo o equilíbrio de rotação à alavanca, temos:

FR ? bR 5 FP ? bP V 50 ? 10 5 FP ? 25 V FP 5 20 Nb) A vantagem mecânica (VM) pode, agora, ser facil-

mente calculada. Pela definição de VM, temos:

VM 5 FR __ FP

V VM 5 50 N _____ 20 N

V VM 5 2,5

A vantagem mecânica é uma grandeza que indica quantas vezes a intensidade da força resistente é maior do que a intensidade da força potente. Logicamente, quanto maior o valor de VM, menor será a força potente FP que um operador terá de exercer para manter o equilíbrio da alavanca.

7.Mais um exercício que explora o equilíbrio de uma alavan-ca. Mostre aos alunos que o ponto em torno do qual se calculam os torques pode ser convenientemente escolhido de modo a que uma ou mais incógnitas do problema (forças ou distâncias) não compareçam na equação.Vamos impor o equilíbrio de rotação à alavanca e calcu-lar os torques de F e P, em torno de A (essa escolha visa eliminar a força de reação do apoio FN da equação).Tais torques devem ser iguais. Então:

F ? (3 ? L) 5 P ? (2 ? L) V F 5 2 ? P _____ 3


8.O exercício é semelhante aos anteriores e o aluno deverá impor as duas condições de equilíbrio: a de rotação e a de translação.A figura a seguir mostra as forças que agem na barra de peso desprezível.

FN

x

1,0 m

A BC

70 N

30 N

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

132

a) Impondo o equilíbrio de rotação em torno de C, temos:

FR ? bR 5 FP ? bP V 70 ? x 5 30 ? (1,0 2 x) VV x 5 0,3 m

Nota: O torque de FN em torno de C é nulo.

b) Do equilíbrio de translação, obtemos:

FN 5 FR 1 FP V FN 5 70 1 30 V FN 5 100 N

9.Na iminência de tombar, a tora fica apoiada no ponto O da mesa. Assim, temos:

Impondo o equilíbrio de rotação à tora, em torno do ponto O, temos:P ? 0,25L 5 F ? 0,25L V P 5 F V P 5 300 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa b.

10. O exercício explora uma situação prática bastante comum.O menino, cujo peso é menor que o peso do homem, deve-se situar a uma distância maior do ponto de apoio de modo que o momento de seu peso, em torno desse ponto de apoio, seja igual ao momento do peso do homem. Isso ocorre apenas na figura 3.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

11. A distância mínima corresponde à plataforma na imi-nência de girar em torno de A. Nessas condições, a força que o apoio B exerce na plataforma é nula (FB 5 0).A figura a seguir mostra as forças que atuam na plata-forma nessa situação.

Do equilíbrio de rotação em torno de A, temos:

70 ? g ? (3 2 x) 5 230 ? g ? x VV 21 2 7x 5 23 ? x V x 5 0,7 m

A distância entre A e B é calculada fazendo-se:dAB 5 0,7 1 3 V dAB 5 3,7 mA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

Ppessoa = 70 � g

Pplataforma = 230 � g

F

3 m3 m

Ax

B

12. O exercício explora, mais uma vez, uma situação prática.Para o jovem, temos a situação esquematizada a seguir:

O momento mínimo para girar o parafuso é dado por:M 5 F ? d V M 5 750 ? 0,20 V M 5 150 N ? mObserve que o braço da força (distância de O até a linha de ação da força) é de 20 cm 5 0,20 m.Para a namorada, na nova posição da chave, e levando em conta a força que a moça aplica, teremos:

30 cm

20 cm = 0,20 mO

750 N

30 cm � 0,30 mO

510 N

M 5 F ? d V M 5 510 ? 0,30 V M 5 153 N ? m

Portanto, a namorada consegue soltar o 2o parafuso, pois o momento da força que ela aplica tem intensidade maior do que o do rapaz.

13. Exercício interessante que mostra o funcionamento de uma alavanca do esqueleto humano: a flexão do braço por ação do bíceps no antebraço.Aproveite a oportunidade e discuta com mais detalhes os exemplos apresentados no texto: o pé e a cabeça.

a) Usemos a figura a seguir, que representa o antebra-ço e as forças atuantes, para impor o equilíbrio de rotação em torno de A.

da

A

C

F

P

Teremos, então:F ? d 5 P ? a V F ? 0,04 5 2,0 ? 10 ? 0,30 VV F 5 150 N

b) Do equilíbrio de translação, obtemos:F 5 C 1 P V 150 5 C 1 20 V C 5 130 N

14. O exercício explora o cálculo de momentos. O professor pode, para facilitar o entendimento, definir o momento de uma força como a medida da tendência dessa força provocar uma rotação no corpo ao qual está aplicada.

ad

ils

on

se

cc

o

0,5L 0,25L 0,25L

P

A B0

F = 300 N

CG

FN

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

133

A figura abaixo mostra a placa sobre um plano horizon-tal liso e as forças que nela atuam.

Observe que a força FA tende a girar a placa, em torno de O, no sentido horário. Calculemos o momento de FA 5 F em relação a O. Teremos:

MA 5 FA ? a V MA 5 F ? a

A força FB também tende a girar a placa no sentido horário. Calculemos, agora, o momento de FB 5 F em relação a O. Tal momento vale:

MB 5 FB ? a V MB 5 F ? a

Finalmente, para a força FC observamos que sua linha de ação passa pelo ponto O (a distância de O até a linha de ação de FC é nula), ou seja, tal força não tende a girar a placa. O momento de FC 5 2 ? F em relação a O é nulo, pois:

MC 5 FC ? 0 V MC 5 0

Do exposto acima, concluímos que MA 5 MB . MC e, sob a ação dessas forças, a placa gira no sentido horário.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

15. Mais uma vez o exercício explora uma situação prática.O peso do portão proporcio-na um torque que tende a girá-lo no sentido horário e, portanto, a dobradiça A está sendo tracionada e a dobradiça B está sendo com-primida, conforme mostrado na figura ao lado.Como uma dobradiça resiste mais a um esforço de com-pressão do que a um esforço de tração, é mais provável que A arrebente primeiro.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

16. Esta série de exercícios exige do aluno a correta colocação de forças. O professor pode lembrar aos alunos que um fio permite a transmissão de forças e que apenas pode puxar o corpo ao qual está ligado (um fio nunca pode ser usado para empurrar um corpo). A polia, ou roldana, permite a mudança na direção da força aplicada pelo fio.a) Na situação apresentada no

enunciado do exercício temos o seguinte esquema de forças:Impondo o equilíbrio da carga, temos: P 5 T.

A

O

B

C

a

a

a

FA = F FB = F

FC = 2 F

F1

A

BF2

FR = P

FP = T

T

4 N

Observe que o dinamômetro indica a intensidade da força de tração no fio ao qual está ligado, ou seja, T 5 4 N.

Portanto, P 5 4 N.

b) Para este caso, temos o seguinte esquema de forças:

FP = T

4 N

FR = P

P

T T

1 2 3 4

FR

FP

Impondo o equilíbrio da polia móvel, temos: P 5 2 ? T.Sendo T 5 4 N, vem: P 5 8 N.

17. O exercício explora o uso de múltiplas polias móveis. Reco-mende aos alunos que façam um esquema com as forças.

a) A figura a seguir mostra o sistema de polias apre-sentado no enunciado.

Em cada trecho de fio, numerados de 1 a 4, a força de tração tem intensidade FP.Assim, 4 ? FP equilibra FR:

4 ? FP 5 FR V 4 ? FP 5 100 V FP 5 25 N

Observe que poderíamos ter resolvido esse item aplicando a fórmula:

FP 5 FR __ 2n , em que n é o número de polias móveis.

Assim, teríamos:

FP 5 100 ____ 22 V FP 5 25 N

b) A vantagem mecânica VM é, por definição, a grandeza dada por:

VM 5 FR __ FP

V VM 5 100 ____ 25 V VM 5 4

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

134

18. O exercício é semelhante ao anterior.O esquema abaixo mostra a situação apresentada no exercício.

Polia 1

Polia 2

FP FP

FPT2T2

T2

FR

T1 = FR

a) Vamos impor o equilíbrio das polias móveis.Para a polia 2:T2 5 2 ? FP

E, para a polia 1:

2 ? T2 5 T1 V 2 ? (2 ? FP) 5 FR VV 2 ? (2 ? FP) 5 100 V FP 5 25 NObserve que poderíamos resolver esse item aplican-do, mais uma vez, a fórmula:

FP 5 FR __ 2n em que n é o número de polias móveis.

Assim, teríamos:

FP 5 100 ____ 22 V FP 5 25 N

b) Da definição de vantagem mecânica, temos:

VM 5 FR __ FP

V VM 5 100 ____ 25 V VM 5 4

19. O exercício é uma aplicação simples e imediata da definição de vantagem mecânica.São dados: VM 5 4 e FR 5 30 N. A intensidade da força potente FP pode ser obtida fazendo-se:

VM 5 FR __ FP

V 4 5 30 ___ FP

V FP 5 7,5 N

20. O exercício é uma aplicação da conser-vação do trabalho. O professor pode lembrar aos alunos que a aplicação de uma força menos intensa, quando do uso de um sistema de polias, não diminui o trabalho a ser realizado. A força a ser utilizada realmente é menor, mas o deslocamento que seu ponto de aplicação deve sofrer é maior.A figura ao lado mostra as forças que atuam na polia móvel.Do equilíbrio dessa polia, temos: 3 ? FP 5 FR.Da conservação do trabalho, vem:TF(P) 5 TF(R) V FP ? dP 5 FR ? dR V FP ? x 5 3 ? FP ? y V y 5 x __ 3

FP FP

FP

FR

21. Mais um exercício que explora a conservação do trabalho e a definição de vantagem mecânica.

a) Sendo FR 5 900 N (o peso da carga a ser levantada), dR 5 0,50 m e dP 5 1,5 m, a conservação do trabalho, temos:TF(P) 5 TF(R) VV FP ? dP 5 FR ? dR V FP ? 1,5 5 900 ? 0,50 VV FP 5 300 N

b) Da definição de vantagem mecânica, temos:

VM 5 FR __ FP

V VM 5 900 ____ 300 V VM 5 3

22. O exercício explora a decomposição da força peso de um corpo apoiado em um plano inclinado. Boa oportunidade para relembrar as leis de Newton.A figura a seguir mostra as forças que atuam no corpo que desce o plano inclinado com velocidade constante.

FN

Pt

Fat

α = 30°

v = cte

Pn

a) Sendo v constante resulta a 5 0 e de Fres 5m ?a, vem: Fres 5 0.Assim, na direção tangencial ao plano inclinado, temos:Fat 5 Pt V Fat 5 P ? sen VV Fat 5 100 ? sen 30° V Fat 5 50 N

b) Na direção normal ao plano inclinado, a força de reação normal do apoio, FN, deve equilibrar a com-ponente Pn do peso do corpo. Então, a força de atrito é calculada fazendo-se:Fat 5 ? FN VV Fat 5 ? P ? cos VV 50 5 ? 100 ? cos 30° VV 50 5 ? 100 ? 0,86 V 0,58

23. O exercício é simples e exige apenas a imposição de que a força resultante sobre o carro é nula, pois ele está na iminência de se movimentar, portanto ainda em repouso.A figura mostra as forças que agem no carro em equilíbrio.

FN

Pt

Fat

α

v = 0

Pn

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

o

ad

ils

on

se

cc

oa

dil

so

n s

ec

co

135

Lembrando que a força resultante sobre o carro deve ser nula, na direção normal ao plano inclinado teremos:

FN 5 Pn V FN 5 P ? cos (I)

Se o carro está na iminência de se movimentar, então a força de atrito assume seu valor máximo, dado por e ? FN (peça aos alunos para revisarem o assunto no capítulo 3). Então, na direção tangente ao plano, teremos:Fat 5 Pt V Fat 5 P ? sen VV e ? FN 5 P ? sen (II)Dividindo, membro a membro, as relações (I) e (II), obtemos:

e ? FN ______

FN 5 P ? sen _________

P ? cos V e 5 tg

24. O exercício é relativamente simples e pode ser usado para se fazer uma rápida revisão das leis de Newton e sua utilização na resolução de “exercícios de bloquinhos”.A figura abaixo mostra as forças externas que atuam nos blocos A e B.

FN

Pt (A)

AT

T

B

30°

Pn(A)PB

a) Calculemos, inicialmente, as intensidades das forças Pt(A) e PB. Temos:Pt(A) 5 mA ? g ? sen 30° V Pt(A) 5 2 ? 10 ? 0,5 VV Pt(A) 5 10 NePB 5 mB ? g V PB 5 3 ? 10 V PB 5 30 N

Note que a intensidade da força PB é maior que o da força Pt(A). Assim, o bloco B desce e puxa o bloco A plano acima.Apliquemos agora o princípio fundamental da dinâmi-ca, ou segunda lei de Newton, a cada um dos blocos.Para o bloco A, temos: T 2 Pt(A) 5 mA ? a (I)E, para o bloco B: PB 2 T 5 mB ? a (II)Somando, membro a membro, as equações (I) e (II), vem:PB 2 Pt(A) 5 (mA 1 mB) ? a VV 30 2 10 5 (2 1 3) ? a VV 20 5 5 ? a V a 5 4 m/s2

b) Com a 5 4 m/s2 em (I) temos:

T 2 10 5 2 ? 4 V T 5 18 N

25. O exercício explora, mais uma vez, a segunda lei de Newton ou princípio fundamental da Dinâmica.Pelo princípio fundamental da Dinâmica, temos:F 2 Pt 5 m ? a V F 2 m ? g ? sen u 5 m ? a VV F 2 50 ? 10 ? 0,6 5 50 ? 2 VV F 2 300 5 100 V F 5 400 NA resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

26. O exercício é simples e explora, basicamente, o princípio da inércia ou primeira lei de Newton.No equilíbrio, a força resultante sobre cada um dos corpos deve ser nula. Teremos, então:Pt(1) 5 T (corpo apoiado)eP2 5 T (corpo suspenso)Portanto:Pt(1) 5 P2 VV m1 ? g ? sen 5 m2 ? g V

V m1 ? g ? 30 ___ 50 5 m2 ? g V m1 ___ m2

5 5 __ 3

27. fA ? RA 5 fB ? RB V 120 ? 25 5 fB ? 15 V fB 5 200 rpm

28. O exercício explora a transmissão do movimento circu-lar por meio de correia. Relembre aos alunos a relação entre a velocidade linear v e a velocidade angular : v 5 ? R. Relembre também o cálculo da velocidade angular: 5 2 ? p ? f e a relação f 5 1 __

T .

I. Incorreta. Não havendo deslizamento entre as rodas e a correia, concluímos que todos os pontos periféricos têm a mesma velocidade linear v: vA 5 vB.

II. Correta. Sendo vA 5 vB, vem: A ? RA 5 B ? RB V V 2 ? p ? fA ? RA 5 2 ? p ? fB ? RB V V fA ? RA 5 fB ? RB V 1 __

TA ? RA 5 1 __

TB ? RB V

V 1 __ 1 ? 10 5 1 __ TB

? 5 V TB 5 0,5 s

III. Incorreta. De A ? RA 5 B ? RB, sendo RA RB resulta: A B.


29. O exercício é semelhante ao anterior. Mostre aos alu-nos que, nesse caso, devido ao contato direto entre as engrenagens, elas giram em sentidos opostos.Mais uma vez, como as engrenagens giram sem escor-regar, devemos ter uma mesma velocidade linear no ponto de contato entre elas. Então:

vA 5 vB V A ? RA 5 B ? RB VV 30 ? 25 5 B ? 10 V B 5 75 rad/s

A engrenagem B gira em sentido contrário ao da engre-nagem A, portanto no sentido anti-horário.

30. Exercício semelhante ao anterior.As engrenagens A e C giram em sentido oposto ao da engre-nagem B. Portanto, A e C giram no sentido anti-horário.A engrenagem A, por possuir maior raio R, gira com menor velocidade angular , pois a velocidade linear v dos pontos periféricos é a mesma para as três engrenagens.Valem as igualdades:A ? RA 5 B ? RB 5 C ? RC

31. O exercício explora uma aplicação prática da transmissão do movimento circular: a bicicleta de marchas.

a) Para a marcha de maior velocidade, devemos usar a catraca de menor raio possível (R2 5 2 cm) e a coroa de maior raio possível (R1 5 10 cm).

ad

ils

on

se

cc

o

136

Assim, impondo a igualdade das velocidades perifé-ricas da catraca e da coroa, teremos:

2 ? R2 5 1 ? R1 V 2 ___ 1

5 R1 __ R2

V

V 2 ___ 1

5 10 ___ 2 V 2 ___ 1

5 5

b) Para a marcha de menor velocidade, devemos usar catraca de maior raio possível (R2 5 5 cm) e a coroa de menor raio possível (R1 5 6 cm).Da mesma forma que acima, teremos nesse caso:

2 ? R2 5 1 ? R1 V 2 ___ 1

5 R1 __ R2

V

V 2 ___ 1

5 6 __ 5 V 2 ___ 1

5 1,2

32. O exercício é semelhante ao anterior e muitos estu-dantes podem resolver o teste apenas intuitivamente, usando sua experiência do dia a dia.Para que a roda traseira dê o maior número de voltas por pedalada, ou seja, para que esteja engrenada uma marcha de alta velocidade, a catraca (acoplada à roda traseira) deve ter o menor raio possível e a coroa (movi-mentada pelos pedais) deve ter o maior raio possível.A resposta ao teste encontra-se na alternativa a.

33. O exercício é uma continuação do anterior.Indiquemos por fA e fB as frequências, de rotação da coroa e da catraca, com raios iguais a RA 5 15 cm e RB 5 5 cm.Da relação demonstrada no exercício 27, obtemos:

fA ? RA 5 fB ? RB V fA ? 15 5 fB ? 5 V fB 5 3 ? fA

Desta relação observamos que, enquanto a coroa dá 1 volta (em 1 pedalada), a catraca dá 3 voltas.

Como a catraca está acoplada à roda traseira, concluímos que ela também dá três voltas completas.Assim, a distância percorrida pela bicicleta será:d 5 3 ? (2 ? p ? Rroda) V

V d 3 ? @ 2 ? 3 ? 0.80 ____ 2 # V d 7,2 m


34. Novamente temos um exercício envolvendo as marchas de uma bicicleta.Para a marcha de maior velocidade, devemos usar o pinhão de menor raio possível (RP) e a coroa de maior raio possível (RC).Assim, impondo a igualdade das velocidades periféricas do pinhão e da coroa, teremos:

B ? RB 5 C ? RC V B ___ C

5 RC __ RB

Sendo o número de dentes de cada engrenagem propor-cional ao respectivo raio, podemos escrever:

B ___ C

5 RC __ RB

V B ___ C

5 NC ___ NB

V B ___ C

5 49 ___ 14 V B ___ C

5 7 __ 2


35. A primeira coroa pode ser ligada à primeira ou segunda engrenagem do pinhão, totalizando a possibilidade de duas marchas. A segunda e a terceira coroas podem ser ligadas às seis engrenagens do pinhão, cada uma delas totalizando a possibilidade de mais 12 marchas. Assim, o número máximo de marchas distintas que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta é dado por: 2 1 12 5 14 marchas.A resposta ao teste encontra-se na alternativa c.

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