fisica 1 - cap 4

Captulo 4

OS PRINCPIOS DA DINMICALivro-Texto: Curso de Fsica Bsica-Mecnica, H. Moyss Nussenzveig (4a. Edio,2003)

Ateno Estas notas tm por finalidade auxili-lo no estudo dos assuntos tratados no livro-texto (Fsica Bsica-Mecnica de H. Moyss

Nussenzveig) e no devem ser usadas com o intuito de substitu-lo. A leitura do livro-texto imprescindvel!

Resumo do CaptuloAqui voc tem uma viso geral do que ser estudado neste captulo.

No se pode ensinar tudo a algum; pode-se apenas ajud-lo a descobri por si mesmo." (Galileu Galilei)At aqui estudamos os movimentos sob o ponto de vista cinemtico, cujo objetivo descrev-los, sem contudo seimportar em como determin-los numa dada situao fsica. Esta determinao, no entanto, constitui o problemafundamental da dinmica que discutiremos neste captulo.

De alguma maneira j sabemos que o movimento de um corpo um resultado direto da interao deste corpo comoutros corpos que esto ao seu redor (vizinhana). Por exemplo, quando estudamos o movimento de projteis vimosque sua trajetria parablica devida a sua interao com a Terra. De modo anlogo, o movimento orbital da Terra o resultado de sua interao com o Sol, e assim por diante. Para descrever matematicamente essas interaes,introduziu-se o conceito de fora, e o estudo da dinmica basicamente a anlise da relao entre fora e asvariaes que elas produzem no movimento de um corpo.

Nosso estudo comea com a anlise das foras em situaes estticas com o objetivo de formular um mtodo(provisrio) para medir seus efeitos. Na Seo 4.2, vamos discutir os resultadas das experincias de Galileu quederam origem a uma das leis fundamentais da mecnica (lei da inrcia), que proporcionou um grande avano noentendimento do movimento. Atravs desta lei, Galileu contraps-se s idias dos pensadores gregos, em particularas de Aristteles, que acreditava ser necessria a aplicao de uma fora para colocar ou manter um corpo emmovimento. Segundo a lei da inrcia, que pode ser comprovada com boa aproximao em experincias prticas delaboratrio, a fora s necessria para modificar o estado de movimento retilneo uniforme (acelerao nula), ou derepouso, em que o corpo j se encontra. Logo, no haver necessidade da aplicao de uma fora para mant-lo emrepouso, ou em movimento retilneo uniforme.

Ento, pela lei da inrcia sabe-se que a aplicao de uma fora altera o estado de repouso ou de movimento retilneouniforme deste corpo. Isto quer dizer que um corpo sujeito a ao de foras apresenta acelerao no nula, mas estalei no fornece a relao entre fora e acelerao. Deve-se isto a Isaac Newton, que formulou as trs leis domovimento, conhecidas como Leis de Newton, em que a 1 Lei de Newton a lei da inrcia de Galileu com um novoenunciado. A 2 Lei de Newton, que estudaremos na Seo 4.3, o princpio fundamental da dinmica: atravs dela possvel determinar o movimento de um corpo, quando conhecemos as foras que atuam sobre ele.

Finalmente, na Seo 4.5, estudaremos a 3 Lei de Newton, tambm conhecida como Lei da Ao e Reao, que tratade aspectos gerais das foras. atravs desta lei, que sabemos que duas partculas, interagindo em contato mtuo,as foras de ao e reao, que uma exerce sobre a outra, so iguais e de sentido contrrios. Mas, precisamos tomarcuidado, quando as interaes no envolvem contato, pois em alguns destes casos a 3 Lei de Newton pode novaler.

Assunto: Os Princpios da Dinmica

Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica 4-1

Universidade Federal do Amazonas

Aqui voc fica sabendo quais os assuntos que sero tratatados nas aulas sobre este captulo.

Seo 4.1 Foras em equilbrio

Seo 4.2 A lei da inrcia

Seo 4.3 A 2 lei de Newton

Seo 4.4 Discusso da 2 lei

Seo 4.5 Conservao do momento e 3 lei de Newton

Objetivos EspecficosLer apenas no basta: certifique-se sempre de que voc est aprendendo. Resolva uma quantidade razovel de problemas do captulo.

Ao trmino deste captulo, verifique se voc capaz de:

entender o conceito de fora, como representao das interaes entre um dado corpo e os outros ao seu redor.

saber aplicar a condio de equilbrio das foras que atuam sobre uma partcula usando o carter vetorial paraavaliar a fora resultante.

entender corretamente o que diz a lei da inrcia, principalmente, no que se refere sua validade que restrita areferenciais inerciais.

entender a relao entre fora e acelerao, descrita pela 2 Lei de Newton, tomando o cuidado para nointerpret-la como uma definio para fora.

entender como obter a fora, que representa uma dada interao, atravs de um lei de fora, e us-la na 2 Leide Newton para obter a acelerao do movimento e, em conexo com a cinemtica, determinar a velocidade eposio da partcula em funo do tempo.

entender o que diz a 3 Lei de Newton no que se refere atuao das foras de ao e reao em corposdiferentes.

saber identificar o par ao-reao nas mais variadas situaes.

Guia de EstudoNesta seo, discutimos alguns assuntos apresentados no livro-texto, visando uma abordagem, sempre que possvel, complementar .

Seo 4.1 Foras em equilbrioO objetivo desta seo introduzir o conceito de fora. No livro-texto, voc vai encontrar uma discusso baseadanuma srie de exemplos, todos relacionados com situaes estticas (onde o corpo permanece em equilbrio), paraformular um mtodo (provisrio) de medir o efeito de uma fora, comeando por nossa idia intuitiva sobre esseagente, que est relacionada com o esforo muscular. Outra coisa que v. ir observar que, por equanto, o estudo vaise limitar a foras aplicadas a uma partcula, isto , a um objeto cujas dimenses so desprezveis.

Notas de Aula de Fsica I Captulo 4 - Os Princpios da Dinmica 4-2


Para comear, discute-se o efeito de uma fora aplicada a umapartcula P, conforme mostra a Figura 4.1. Pelas experinciasdirias, sabemos que, ao puxar uma partcula que est ligada extremidade de uma mola, estando a outra extremidaderigidamente fixa, produz-se na mola uma distenso, cuja medidapode ser usada para avaliar a fora que foi aplicada partcula.

Figura 4.1 Distenso de uma

Mas, para que isto possa ser feito, preciso, em primeiro lugar, que a distenso seja proporcional ao valor da foraaplicada mola. A experincia mostra que, enquanto a mola no sofrer uma derformao permanente, devido a forassuficientemente grandes, esta proprorcionalidade existe. Em vista disto, podemos associar mola uma escala (aindade forma bastante arbitrria) que consiste numa graduao 0, 1 etc. Quando um ponteiro ligado mola indicar amarcao 0 isto significa que nenhuma fora est sendo aplicada sobre a mola. Atravs desta escala j possvelcomparar a magnitude das foras. Por exemplo, quando duas pessoas diferentes aplicam esforos que levam oponteiro mesma posio de equilbrio sobre a escala, podemos dizer que estas pessoas produzem a mesma forasobre a partcula.

Figura 4.2 Fora dupla.

Este procedimento, tambm permite decidir quando as foras aplicadasso diferentes e, em particular, quando estas so mltiplos de nossaunidade arbitrria. Por exemplo, a Figura 4.2 mostra como podemosdefinir uma fora de duas unidades na escala adotada, utilizando duasmolas idnticas: sob a ao desta fora, cada mola sofre uma distensocorrespondente a uma unidade de fora.

Podemos tambm usar este procedimento para demonstrar que uma fora produz efeitos diferentes conforme adireo e o sentido em que aplicada, o que sugere uma repesentao do tipo vetorial.

Por exemplo, na Figura 4.3(b), F1, F2 e F3 representam as forasaplicadas partcula P mostrada na Figura 4.3(a), em mdulo(medida pela distenso das molas) direo e sentido. um fatoexperimental que a partcula P permanece em equilbrio sob a aosimultnea de trs foras, F1, F2 e F3, quando

F1 F2 F3 0,

ou seja, quando a resultante das trs foras se anula (polgonofechado na Figura 4.3 (b)). A experincia mostra portanto que asforas se combinam como vetores, e a condio de equilbro(resultante nula) permanece vlida para um nmero qualquer deforas aplicadas.

Figura 4.3 Equilbrio de foras.



Agora que j sabemos que as foras so vetores, podemos analisar as condies que levam ao equilbrio em vriassituaes. Em particular, como a partcula P est em equilbrio na Figura 4.1, podemos dizer que a mola aplica sobreela uma fora igual e contrria fora aplicada pela pessoa.

Figura 4.4 Fora-peso.

Vamos agora analisar a situao indicada na Figura 4.4, em que a partcula estsuspensa verticalmente da mola (balana de mola). A diferena com os outrosexemplos, que aqui nenhuma pessoa est puxando a partcula. Mas, de acordocom a figura, o ponteiro acusa uma distenso da mola, na situao de equilbrio.Temos portanto duas foras iguais e contrrias, F e F, na figura, agindo sobre apartcula. Como no exemplo da Figura 4.1, a fora F devida mola. E a outra?Bem, j sabemos que no uma fora de contato (nada est em contato com apartcula, alm da mola). Na verdade, esta fora devida atrao gravitacionalda Terra e representa a fora-peso.

Alm da fora de atrao gravitacional, existem outras foras que atuam sobre uma partcula sem que haja um contatodireto com o agente responsvel pela fora. So exemplos deste tipo, as foras eltricas e magnticas que atuamsobre partculas eletricamente carregadas.

Agora considere que a partcula, que estava suspensa da mola, seja colocadasobre uma mesa, onde tambm permanece em equilbrio (Figura 4.5).Novamente temos duas foras: F e F. Pelo que vimos no exemplo anterior,a fora F devido atrao gravitacional da Terra, mas e a fora F? Antes,esta fora estava sendo aplicada pela mola, que neste caso foi substitudapela mesa. Ento, podemos infereir que a fora F uma fora aplicadapela mesa sobre a partcula, equilibrando a fora-peso.

F

-F

P

Figura 4.5-LT Reao de

Esta fora F um exemplo de uma reao de contato, normal superfcie da mesa, e que tem origem na deformaoelstica da mesa devido a seu contato com o objeto colocado sobre ela.

Mais adiante v. vai encontrar uma discusso mais detalhada sobre os diferentes tipos de foras que apareceram aqui.

Destaques da seo

(1) Se v. um bom observador, deve ter visto que os exemplos mostrados nas figuras tinham todos o mesmo cenrio:uma partcula interagindo com sua (dela) vizinhana. Por exemplo, a Figura 4.1 mostra uma partcula P sendo puxadapara a direita por uma pessoa e para a esquerda, pela mola que se distendeu. Neste caso, a pessoa e a moladistendida representam a vizinhana que interage com a partcula. (Procure identific-la nos outros exemplos). Oconceito de fora foi introduzido para descrever matematicamente a interao de um objeto com sua vizinhana.Assim, toda vez que houver uma fora atuando sobre uma partcula, devemos logo pressupor a existncia de algumagente externo (vizinhana) agindo sobre ela e identificar esta atuao. E vice-versa. Vimos tambm que os agentesexternos podem estar em contato com a partcula (e.g. pessoa, mesa, mola) ou agindo distncia (e.g. foragravitacional, eltrica, magntica), razo pela qual as foras foram classificadas dessas formas.

(2) Devemos tambm destacar o procedimento para avaliar essas interaes, em situaes de equilbrio, que permitiuintroduzir uma unidade de medida (provisria) da magnitude de uma fora. Com a anlise mais detalhada das



situaes de equilbrio dessas interaes, nas quais a partcula estava sempre em repouso, descobriu-se que asforas se combinam como vetores, e esse carter vetorial das foras foi usado para expressar a condio de equilbriode uma partcula: a resultante das foras que atuam sobre a partcula deve ser nula.

Exemplo (Problem 1-LT) Uma partcula est em equilbrio sob a ao de trs foras, F1, F2 e F3. Mostre que|F1 |

sen23 |F2 |

sen31 |F3 |

sen12 onde ij o ngulo entre F i e F j.

Soluo Vimos que um sistema de foras est em equilbrio, quando sua resultante nula. No Captulo 2,aprendemos como determinar, geometricamente, a soma (ou resultante) de um nmero qualquer de vetores (figura(a)): dispondo cada vetore com origem na extremidade de seu predecessor (figura(b)), obtm-se a resultanteligando a origem do primeiro com a extremidade do ltimo vetor. Para a resultante nula, este dois pontos coincidem(ponto A na figura (b)) e o resultado que as trs foras formam um polgono fechado (tringulo). Ento, tudo o quetemos de fazer usar as relaes trigonomtricas num tringulo qualquer (essas relaes so conhecidas como leidos senos e lei dos cossenos). Se v. j souber a lei dos senos, ento basta aplic-la ao tringulo ABC da figura (c) eo problema acaba a. Se v. no lembrar, siga a demonstrao abaixo.

P1F

2F

3F

1F

2F3F23

31 12

31

12

23

(a)

(b)

A BC1

(c)

A B

C

C

1 21 2 = +

A lei dos senos Para demonstrar o que o problema pede, considere o tringulo ABC mostrado na figura (c),cujos lados so proporcionais aos correpondentes vetores na figura (b). O ponto C1 a projeo ortogonal do Csobre o lado AB. Seja , e 1 2 os ngulos internos desse tringulo. Como 1 2, ento

sen sen1 2 sen1 cos2 cos1 sen2.A partir dos tringulos retngulos AC1C (ngulos internos , 1 e 90 e C1BC (ngulos internos , 2 e 90,podemos calcular o segundo membro dessa equao. Ou seja,

sen1 AC1CA cos1 CC1CA

sen2 C1BBC cos2 CC1BC

e, portanto,



sen AC1CA

CC1BC

CC1CA

C1BBC

CC1CA

AC1BC

C1BBC

CC1CA

AC1 C1BBC

CC1CA

ABBC

onde usamos AC1 C1B AB (ver figura). Mas, CC1CA sen ento substituindo na equao acima, encontra-se

sen sen ABBC

ou AB sen BC sen, que ainda pode ser escrita na forma

ABsen BCsen

Por outro lado, como sen CC1AC

e sen CC1BC

sensen CC1ACCC1BC

BCAC

ou CA sen BC sen, que tambm

pode ser escrita como

CAsen

BCsen

Em virtude da relao anterior entre e , podemos escrever as identidades,AB

sen BCsen CAsenconhecidas como lei dos senos. Em palavras: num tringulo qualquer, a razo entre a medida de um lado e o senodo ngulo oposto correspondente uma constante. Agora, transpondo para a notao original do problema [cf.figuras (b) e (c)], isto , AB |F1 |, BC |F2 | e CA |F3 |; 31, 12 e 23, encontra-se

|F1 |sen23

|F2 |sen31

|F3 |sen12

que o resultado desejado.

Seo 4.2 A lei da inrciaNa seo anterior v. aprendeu que uma fora sobre uma partcula aparece em consequncia da interao destapartcula com outro corpo que est em sua volta (agente externo), cuja forma de sua atuao precisa ser identificadapara conhecermos essa fora. Vimos, nos exemplos ali discutidos, para vrias situaes em que a partculapermenaceu em repouso sob a ao de foras, que estas se combinaram de maneira que a resultante era nula(condio de equilbrio). Ento podemos sempre dizer que, quando uma partcula est em repouso, as foras queatuam sobre ela necessariamente esto em equilbrio. Em outras palavras, repouso implica necessriamente equilbriodas foras que atuam sobre uma partcula.

E a afirmao inversa tambm verdadeira?, ou seja, o equilbrio das foras implica necessariamente que a partculaesteja em repouso? A resposta NO, de acordo com a lei da inrcia, que discutiremos nesta seo.

Movimento e repouso so conceitos relativos

Preliminarmente, podemos apelar para os conceitos relativos de movimento e repouso, para comearmos a admitiresta reposta. Por exemplo, sabemos que um objeto (partcula) em repouso dentro de um nibus parado num terminal,tambm estar em repouso para um observador parado na plataforma (fora do nibus). Isto significa que a condiode equilbrio das foras que atuam sobre a partcula satisfeita para ambos os observadores, ou seja, a resultantedestas foras nula nos dois referenciais. Considere outra situao em que o nibus passa em movimento pela



plataforma. Neste caso, uma partcula presa a ele continua em repouso em relao ao nibus mas agora semovimenta em relao ao observador parado na plataforma. Ento, em relao ao nibus continua valendo a condiode equilbrio da partcula. Mas, o que dizer da condio de equilbrio em relao plataforma? possvel para umapartcula em movimento satisfazer a condio de equilbrio? Ou, o que o mesmo, existir alguma situao domovimento do nibus para a qual a condio de equilbrio continue valendo simultaneamente para os doisreferenciais?

A resposta SIM, mas deixaremos para mais tarde esta anlise sob o ponto de vista dos referenciais. Por enquanto,vamos apresentar as idias de Galileu sobre trs questes importantes a respeito deste assunto, que ajudaram adesmistificar a relao existente entre fora e movimento: (1) necessrio aplicar uma fora, estando o corpo emrepouso, para coloc-lo em movimento ou vice-versa? (2) necessrio aplicar uma fora para manter um corpo emmovimento? (3) necessrio aplicar uma fora para manter um corpo em repouso? (Aqui o significado do termonecessrio deve ser entendido como indispensvel). Numa notao simblica:

(1) repousoFora (?) movimento; ou movimento Fora (?) repouso;

(2) movimentoFora (?) movimento;

(3) repousoFora (?) repouso.

Como veremos mais adiante, as concluses a que chegou Galileu, conhecidas como lei da inrcia, responderam aestas questes:

(1) repousoFora (SIM) movimento; ou movimento Fora (SIM) repouso;

(2) movimentoFora (NO) movimento;

(3) repousoFora (NO) repouso.

As experincias de Galileu

At a poca de Galileu, pensava-se, como ensinara os gregos, que uma fora era sempre necessria tanto paracolocar um objeto em movimento, como para mant-lo em movimento. Isto funciona, mais ou menos, como acontecequando tentamos empurrar uma caixa sobre um piso: ao pararmos de empurr-la, vemos que imediatamente a caixatende a parar. Mas, ento por que um projtil, como uma pedra, continua em movimento mesmo depois de serlanado? A esta questo, Aristteles respondia que o ar, ao ser empurrado para os lados pelo projtil, desloca-se paratrs deste e produz a fora que o impulsiona. Ento, na concepo de Aristteles, se a fora que atua sobre um corpo nula, o corpo estar sempre em repouso!

Galileu foi o primeiro a se insurgir contra essas idias e a apresentar uma hiptese revolucionria, para sua poca, aoformular pela primeira vez a lei da inrcia. Tal hiptese foi obtida por extrapolao dos resultados de suas experinciascom movimento de bolas rgidas e polidas sobre superfcies planas inclinadas tambm rgidas e polidas.

No livro-texto v. encontra a reproduo de um dilogo entre dois personagens, Salviati (que representa o prprioGalileu) e Simplcio (adepto das idias aristotlicas), em Dilogos Sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo,atravs do qual Galileu expe suas idias. Para entender no que consiste a concluso deste dilogo, considere as



figuras abaixo, em que se representa uma bola (perfeitamente esfrica) rgida e bem polida, rolando sobre umasuperfcie em iguais condies.

(a) (b) (c)

Superfcie com (a) declive e (b) aclive e (c) sem inclinao.

Segundo Galileu, havendo um declive (Figura (a)), a bola rola espontaneamente e permanece em movimentouniformemente acelerado, durante o tempo em que ela estiver em contato com a superfcie inclinada; havendo umaclive (Figura (b)), aps um impulso inicial, o movimento ser uniformemente retardado, cuja durao depende doimpulso e da inclinao do plano. Ento, concluiu Galileu, no havendo aclive nem declive (Figura (c)), a bola deveriamanter-se indefinidamente em repouso, ou, se impulsionada, manter-se indefinidamente em movimento retilneouniforme (acelerao nula).

Voc deve ter percebido que a concluso a que chegou Galileu muito difcil (qui impossvel) de ser comprovadana prtica, exceto de forma aproximada, seja devido ao atrito, que leva um corpo a cessar rapidamente o movimentoadquirido com um impulso inicial, ou a outras foras oriundas de diferentes tipos de interao (lembre-se que aspartculas nunca esto s na natureza, h sempre algo por perto). Assim, para que Galileu chegasse corretamente lei da inrcia, foi preciso sem dvida muita imaginao!

Leis de Newton

Galileu proporcionou um grande avano no entendimento do movimento, quando descobriu a lei da inrcia: um objetopor si s, sem a influncia de outros corpos, permanece em movimento retilneo com velocidade constante, oucontinua em repouso, conforme esteja inicialmente em movimento, ou em repouso. Mas ainda faltava saber como umobjeto, afetado por outros corpos, muda sua velocidade. Esta contribuio foi devida Isaac Newton, que, em seutratado Os Princpios Matemticos da Filosofia Natural, formulou trs leis do movimento, conhecidas como Leis deNewton: A Primeira Lei simplesmente uma redefinio da lei da inrcia descoberta por Galileu. A Segunda Leifornece uma forma especfica de determinar como a velocidade de um objeto muda na presena de foras(interaes). E a Terceira Lei descreve as foras de uma maneira mais geral. A seguir, vamos analisar cada umadessas leis.

A 1 Lei de Newton a Lei da Inrcia

Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilneo uniforme, a menos que seja compelido amodificar esse estado pela ao de foras impressas sobre ele.

Muito cuidado com a interpretao desta lei. Qual das duas afirmaes a correta: (1) no h foras porque oobjeto permance no estado de repouso ou de movimento retilneo uniforme, ou (2) o objeto permanece em estado de



repouso ou de movimento uniforme porque no h foras ? Ou, usando a segunda parte da lei da inrcia: (1) hforas porque o objeto muda seu estado de repouso ou de movimento retilneo uniforme, ou (2) o objeto altera seuestado de repouso ou de movimento retilneo uniforme porque h foras ?

primeira vista, poderamos pensar que se trata simplesmente da mesma coisa dita de duas formas diferentes. Mas,isto no verdade. Para entendermos melhor, vamos colocar as duas afirmaes na forma que denota a relao decausa e efeito, como por exemplo, A existe porque B existe que numa forma simblica vamos escrever comoA B, que poderamos ler assim (da direita para a esquerda): a existncia de B implica na existncia de A. Comeste simbolismo, teremos:

1 fora mudana no estado de movimento da partcula2 mudana no estado de movimento da partcula fora

estado de movimento estado de repouso ou movimento retilneo uniforme

Desta forma, fcil entender o significado de cada uma das afirmaes: (1) fora algo que tem origem nasmudanas do estado de movimento de um objeto; e (2) fora algo que d origem a mudanas no estado demovimento. De (1), poderamos concluir erroneamente que a lei da inrcia fornece uma definio de fora, uma vezque no h o pressuposto de sua existncia sem que haja mudanas no estado de movimento do objeto.

Mas, de acordo com o estudo na seo anterior (quando introduzimos o conceito de fora), vimos que esta oresultado da interao entre o objeto considerado e sua vizinhana e, portanto, sua origem est alm dasconsideraes sobre o estado de movimento do objeto. De fato, usar a lei da inrcia para procurar a existncia de umfora aplicada, to improdutivo, quanto querer extrair algum significado de uma sentena, que contm, ao mesmotempo, uma negativa opondo-se a uma afirmao (coisas do tipo: persiste ... exceto quando no persiste ou tempobom, salvo se chover etc).

Por isso, a forma correta de usar a lei da inrcia procurar saber de antemo se existe ou no uma fora aplicadasobre o objeto (investigando, para isto, a ao de agentes externos) e a partir da esta lei nos diz se haver ou nomudana no estado de movimento desse objeto. A variao no estado de movimento, portanto, no a causa doaparecimento de uma fora, mas simplesmente um efeito, sobre esse objeto, da fora produzida por algum agenteexterno. isto que nos diz corretamente a afirmao (2).

A lei da inrcia s vale no referencial inercial. J vimos que na prtica muito difcil de comprovarmos a lei dainrcia devido s foras de interao entre o objeto considerado e sua vizinhana. Porm, distncias tpicas muitograndes que separam uma estrela de sua vizinha mais prxima ( 1016 m 10. 000. 000. 000. 000 km) tornam estescorpos celestes fortssimos candidatos para os quais se verifica essa lei. De fato, a observao das estrelas confirmaque estas obedecem com muito boa aproximao lei da inrica. Aqui devemos tomar cuidado, pois obeder lei dainrcia nestas condies de (quase) ausncia de foras, significa que as estrelas devem mover-se com movimentoretilneo e uniforme ou permanecer em repouso. Mas sabemos que repouso e movimento so conceitos relativos, quedependem de um referencial para serem descritos. Cabe, portanto, a pergunta: Em relao a que refencial, a estrelaest em repouso ou em movimento retilneo e uniforme? Dita de outra forma: Em que referencial as estrelasobedecem lei da inrcia? Ou ainda, de uma maneira mais geral: Em que referencial vlida a lei da inrcia ?

Se, no referencial onde se aplica a lei da inrcia, a estrela deve permancer em repouso ou em movimento retilneouniforme, ento esta lei no vale em todos os referenciais. De fato, como um obervador na Terra, v as estrelas



girarem no cu, a Terra certamente no referencial onde a lei da inrcia seja vlida.

Os referenciais onde se aplica a lei da inrcia chamam-se referenciais inerciais. Portanto, a Terra no um refencialinercial: a razo que ela possui movimentos de rotao. Mas, para a maioria dos propsitos, em escala delaboratrio, a rotao da Terra afeta muito pouco os movimentos usuais, e, na prtica, um referencial ligado Terrapode ser considerado, com boa aproximao, um referencial inercial. Por outro lado, um referencial ligado s estrelasfixas , com excelente aproximao, um referencial inercial.

Mas como saber se um referencial ou no um referencial inercial? J sabemos que a lei da inrcia vale numreferencial ligado a uma estrela. Ou seja, vista daquele referencial O uma partcula obedecer a lei da inrcia: naausncia de foras, a partcula estar em repouso ou em movimento retilneo uniforme em relao quele referencial.Agora suponha um referencial O que se movimenta com velocidade u em relao ao referencial inercial O. Ento se apartcula est em movimento retilneo uniforme com velocidade v (constante) em relao ao referencial inercial O,decorre imediatamente da Eq. (3.9.2), que a velocidade da partcula v em relao ao referencial O , dada por

v v uonde, para escrever esta equao, usamos a correspondncia com (3.9.2): v12 v , v2 v e v1 u. Por hiptese v uma velocidade constante, ento para que v tambm o seja (isto , para que a lei da inrcia tambm se aplique partcula no referencial O necessria que a velocidade u com que o referencial O se desloca em relao aoreferencial inicial O seja constante.

A questo do nibus Como v. responderia quela questo do nibus colocada no incio desta seo?Concluso: Qualquer referencial, em repouso ou em movimento retilneo uniforme em relao a um referencialinercial, tambm um referencial inercial. Logo, conhecendo um referencial inercial (estrela fixa), teremos emconsequncia uma infinidade de referenciais inerciais.

Seo 4.3 A 2 Lei de NewtonAo estudarmos a lei da inrcia, vimos que sob a ao de foras um objeto altera seu estado de repouso ou demovimento retilneo uniforme em relao a um referencial inercial. Isto significa que a ao das foras implica navariao (vetorial!) da velocidade do objeto em relao a esse referencial. Ou seja, pela lei da inrcia, sabemos queuma fora produz acelerao no movimento de um objeto, mas ainda no conhecemos com detalhes (a lei nofornece) qual a relao que deve existir entre fora e acelerao. A busca desta relao o assunto da seo.

Objeto em queda livre. Vamos iniciar nossa busca, por este assunto que j conhecemos: queda livre. Jsabemos que um objeto em queda livre nas proximidades da superfcie da Terra tem acelerao constante, ou seja,a g, onde g vertical e dirigido para baixo. De acordo com a lei da inrcia, quando h acelerao porque existeuma fora atuando no objeto. A questo agora : Qual a fora que atua no objeto?

J vimos na Se. 4.1 que a Terra interage com todos os objetos que esto nas suas proximidades e o resultado destainterao (atrao gravitacional) representado pela fora-peso, que, como a acelerao a no movimento de quedalivre, tambm uma fora vertical dirigida para baixo. Descobrimos isto, pendurando um objeto por uma mola emedindo a distenso desta que equilibra a fora-peso, F. Como a fora-peso F e a acelerao a so vetores paraleloscom o mesmo sentido, isto sugere que a acelerao devida a uma fora seja proporcional fora, ou seja,

a kFonde k o coeficiente de proporcionalidade. (Em termos vetorias, essa relao expressa o fato de que os vetores a e F



so paralelos, onde k deve ser um escalar). At aqui, s respondemos uma parte da questo, pois ainda no sabemoso significado deste coeficiente de proporcionalidade. As experincias da Se. 4.1 agora podem ser teis paracompletarmos a resposta.

Naquela seo aprendemos como medir uma fora em termos da distenso de uma mola. Isto significa que semprepodemos conhecer a fora a priori. Sendo assim, podemos usar a equao acima para saber o que acontece com aacelerao de dois corpos diferentes, quando neles aplicamos a mesma fora. Aplicada a cada um dos corpos (1 e 2),essa relao nos fornece:

a1 k1F1 e a2 k2F2Agora, considerando que F1 F2 (medida pela distenso de uma mola), encontra-se

a1 k1F e a2 k2Fo que significa, a menos que k1 seja igua a k2, que a mesma fora produz aceleraes diferentes em corposdiferentes. Desta maneira podemos dizer que o coeficiente k mede uma propriedade do corpo, que caracteriza suaresposta fora aplicada. Assim, se k1 k2, a fora aplicada ao corpo 1 produz uma acelerao a1 maior do que aacelerao a2 produzida pela mesma fora aplicada ao corpo 2. Por outro lado, como a acelerao a2 menor do quea1, as variaes de velocidade sofridas pelo corpo 2 so menores do que as registradas pelo corpo 1, e, por isso,dizemos que o corpo 2 resiste mais s variaes de velocidade do que o corpo 1. A propriedade que um corpo tempara resistir s variaes de velocidade, para uma dada fora, chama-se inrcia. Logo, o corpo 2 tem inrcia maior doque o corpo 1, uma vez que aquele reiste mais s variaes de velocidade do que este, para a mesma fora aplicadaa ambos. Como por hiptese, k2 k1, de onde se obtm (inrcia)corpo 2 inrcia)corpo 1, ento o coeficiente k devemedir uma propriedade que inversamente proporcional inrcia do corpo. Vamos denotar por m a propriedade queest relacionada com a inrcia desse corpo. Assim, representando essa proporcionalidade inversa atravs dek 1/m, podemos escrever a relao entre fora e acelerao em termos do coeficiente de inrcia, m, do corpo:

a kF a Fm para k 1m Existem muitos exemplos na prtica, de onde podemos observar que a mesma fora produz, em geral, aceleraesdiferentes em corpos diferentes. Pense, por exemplo, em empurrar um caminho e uma bicicleta at que ambosadquiram, ao final de um dado intervalo de tempo, a mesma variao de velocidade. Deixando as foras de atrito delado, nossa experincia diria mostra que precisamos de uma fora bem maior para acelerar um caminho, do quepara uma bicicleta. Se a mesma fora for aplicada a ambos, a variao de velocidade adquirida pela bicicleta sermuito maior do que a do caminho. Logo, o caminho tem uma inrcia muito maior do que uma bicicleta.

Experincias idealizadas

As experincias a seguir poderiam ser feitas em situaes bastante favorreis reduo das foras de atrito,usando-se discos deslizantes sobre uma camada de gs. As Figuras 4.6 (a), (b) e (c) mostram um srie dessasexperincia idealizadas.

Em (a), a fora F, medida pela distenso da mola aplicada ao disco D, que desliza com movimento retilneouniformemente acelerado de acelerao a na direo de F. Na parte inferior desta figura, mostra-se como avelocidade varia com o tempo em decorrncia da aplicao desta fora. Note que a inclinao da reta querepresenta o grfico v t, est relacionada com a acelerao do disco.

Em (b), mantm-se o mesmo disco, mas a fora duplicada (observe que agora so duas molas que a fora ter



de distender). Para esta fora 2F, verifica-se que a acelerao do disco D 2a. Isto indicado na parte inferiorda figura, mostrando, para uma fora 2F, uma inclinao do grfico v t maior do que no caso anterior para afora F. O resultado das experincias mostradas nas figuras (a) e (b) para o mesmo disco D indica que existe defato uma proporcionalidade entre a acelerao e a fora que s depende das caractersticas do corpo D. De fato,medindo-se a acelerao atravs do grfico v t para esses casos verifica-se que ab 2aa. Ento pela relaoa Fm encontra-se (em mdulo)

Fbmb 2

Fama . Mas, como as foras aplicadas satisfazem a relao Fb 2Fa

ento2Famb 2

Fama 1mb 1ma

Ou seja, a constante de proporcionalidade 1m so iguais nos dois casos em que o disco o mesmo.

Na Figura (c), a fora voltou a ser a mesma, mas emplhamos os dois discos idnticos D e D . Na parte inferiorda figura, registramos a velocidade do corpo em funo do tempo para uma fora F aplicada ao conjunto. Vemosque a inclinao do grfico v t agora menor do que no caso (a), onde a fora a mesma. Explorando maisesse grfico, descobre-se que a acelerao neste caso tem um mdulo ac 12 aa. Seja k o coeficiente deproporcionalidade do disco D, e seu coeficiente de inrcia m. Sejam k e m os respectivos coeficientes para o

disco D . Como j determinamos as aceleraes aa e ac ac 12 aa , a partir dos grficos v t das Figuras(a) e (c), podemos usar este resultado juntamente com a relao a kF ou a F/m, para encontrar a relaoentre os coeficientes de proporcionalidades (ou de inrcia) nos dois casos. Assim (em mdulo) teremos

ac 12 aa Fcmc 12

Fama

Como as foras so iguais nos dois casos (a) e (c) que estamos tratando (Fa Fc F entoF

mc 12F

ma 1mc 12ma mc 2ma

ou seja, o coeficiente de inrcia, mc, no caso (c), duplicou em relao ao coeficiente de inrcia, ma, no caso(a). Isto significa que a inrcia de dois objetos idntidos formando um objeto nico (caso (c)) o dobro docoeficiente de um deles (caso (a)). Neste sentido, o coeficiente de inrcia m mede, portanto, a quantidade dematria do objeto.

Repetindo as experincias como (a) e (c) com objetos diferentes, sujeitos mesma fora F, obteramos de forma maisgeral

F m1a1 m2a2 m3a3 ou seja,

|a1 ||a2 |

m2m1 ,|a1 ||a3 |

m3m1 ,

As aceleraes adquiridas por objetos diferentes submetidos mesma fora so inversamente proporcionais aosrespectivos coeficientes de inrcia.



Figura 4.6-LT Coeficiente de inrcia.

A 2 Lei de Newton. Experincias deste tipo que acabamos de analisar, nos permitem inferir assim a 2 Lei deNewton

F maonde o coeficiente de inrcia associado partcula sobre a qual age a fora F chama-se massa inercial dessapartcula.

Unidades de fora

Agora, com a ajuda da Eq. (4.3.3-LT), podemos substituir a definio provisria de unidade de fora da Se. 4.1.

Sistema Internaciona (SI). Neste sistema, onde as unidades bsica so m, kg e s, a unidade de fora o Newton(N). Por definio 1N a fora que, quando aplicada a um corpo de massa de 1kg, comunica-lhe uma acelerao de1m/s2.

Sistema CGS. Neste sistema, onde as unidades bsicas so cm, g e s, a unidade de fora o dina (dina). Pordefinio 1 dina a fora que, quando aplicada a um corpo de massa de 1g, comunica-lhe uma acelerao de 1cm/s2.

Seo 4.4 Discusso da 2 Lei de NewtonNo LT, voc vai encontrar uma discusso sobre vrios aspectos da 2 Lei de Newton. Aqui destacamos alguns pontosimportantes, mas necessrio que v. leia tambm o livro-texto para ter uma viso mais geral do assunto.

A Lei da Inrcia uma consequncia da 2 Lei. Se a fora resultante F que atua sobre uma partcula nula,a segunda lei mostra que a 0 e, conforme (3.5.9), a partcula permanece em repouso ou em movimentoretilneo uniforme. Como no caso da 1, a 2 Lei s vlida num referencial inercial.

A 2 Lei no uma definio de fora. J vimos que a fora o resultado da interao entre uma partcula esua vizinhana, e a forma dessa fora especfica para cada tipo de interao, que define F em termos dasituao em que a partcula se encontra. Assim, para cada tipo de interao, existe uma definio da fora, oucomo se chama usualmente uma lei de fora. So exemplos: lei da gravitao universal, leis das foras eltricase magnticas etc.

A 2 Lei e a massa inercial. O conceito de massa inercial aparece como consequncia da 2 Lei, que tambma considera uma caracterstica da partcula. Isto significa que, sendo a massa determinada quando a ao de



uma fora conhecida atua sobre uma partcula, o mesmo valor de m deve ser usado para descrever o movimentoda partcula sob a ao de quaisquer outras foras, exceto quando a partcula perde sua identidade. Porexemplo, uma gota de chuva que cai aumenta sua massa (e seu volume) porque outras partculas vo seagregando a ela durante o percurso, e, portanto, deixa de ser aquela partcula que iniciou o movimento de queda;ou ento, um foguete que ejeta combustvel, diminui sua massa medida que sobe em razo da quantidade demassa expelida. Estes so exemplos de sistemas de massas variveis, que sero tratados mais tarde.

A 2 Lei e as grandezas dinmicas. As grandezas fsicas que intervm na dinmica so deslocamentos,velocidades e aceleraes. Por isso, no precisamos considerar derivadas temporais da acelerao, tais comoda/dt, d2a/dt2 etc.

A 2 Lei e o princpio da superposio das foras. Como a um vetor e m um escalar, segue-se da 2 Leique F um vetor. Assim, se F1, F2,,Fn so foras de diferentes origens (gravitacional, eltrica, magntica etc)que atuam sobre a mesma partcula, a fora F que aparece em F ma a fora resultante que atua sobre apartcula, ou seja, F F1 F2 Fn (soma vetorial). Este resultado experimental conhecido como princpioda superposio de foras.

Considere por exemplo uma partcula 1 interagindo com duas outras(Figura 4.7). Seja F12 a fora sobre a partcula 1 devida partcula2, e F13, devida partcula 3. A fora resultante sobre a partcula 1ser ento F F12 F23. Pelo princpio da superposio, a foraF12 seria a fora que agiria sobre 1 na presena apenas da partcula2 (como se a partcula 3 no existisse); de modo similar, para F13.Acontece que a fora F12 pode ser modificada pela presena dapartcula 3 (interao entre 2 e 3 e F13, pela presena de 2. Destaforma, o princpio da superposio continua valendo, mas as forasF12 e F13 devem ser calculadas levando em conta a presena detodas as partculas.

3

2

1

( )1 3F

( )21FF

Figura 4.7 Partcula em interaocom duas outras.

Quantidade de movimento ou momento linear

Na formulao original da segunda lei, Newton usou o conceito de quantidade de movimento (ou momento linear), queassim definiu: A quantidade de movimento a medida do mesmo, que se origina conjuntamente da velocidade e damassa. Ou seja, momento linear de uma partcula o produto de sua massa por sua velocidade:

p mvde onde decorre imediatamente que p um vetor. Portanto, se excluirmos os sistemas de massas variveis, m novaria com o tempo, e a derivada temporal do momento torna-se

dpdt

ddt mv m

dvdt ma

Comparando esta equao com a Eq. (4.3.3-LT) encontra-sedpdt F

que corresponde formulao de Newton da 2 Lei: A variao do momento proporcional fora impressa, e tem a



direo da fora. Em outras palavras, a fora aplicada a uma partcula, produz continuamente uma variao do seumomento linear (atravs da variao de sua velocidade). Na linguagem matemtica para esta formulao da 2 Lei,fora igual a taxa de variao temporal do momento linear da partcula em que atua.

Embora esta formulao parea inteiramente equivalente (4.3.3-LT) , ela tem vantagens sobre aquela, comoveremos mais adiante.

Exemplos ilustrativos da 2 Lei de Newton

Exemplo 1 Fora-peso. Quando estudamos o exemplo mostrado na Figura 4.4-LT, vimos que possvel medira fora-peso P em equilbrio pela balana de mola. Fazendo uma srie de medidas deste tipo com objetos demassas diferentes, encontraramos que, em todos os casos, vale a relao P mg, onde m a massa inercial docorpo e g a acelerao da gravidade (constante), vertical, dirigida para baixo e de mdulo g. De fato, esta a leide fora para a fora-peso de um corpo nas proximidades da superfcie da Terra, sendo um caso particular da lei dagravitao universal (que ser estudada mais adiante). Vamos considerar agora um corpo em queda livre nasproximidades da superfcie da Terra: a nica fora que atua sobre ele o peso P. Substituindo F P mg na 2Lei, encontra-se:

F ma mg ma a g.Isto mostra que, para um corpo em queda livre, a 2 Lei leva Eq. (3.6.1-LT).

Mais uma unidade de fora: o quilograma-fora. Para aplicaes em engenharia, comum introduzir outraunidade de fora, o quilograma-fora (kgf), definido como a fora-peso sobre uma massa de 1 kg. Considerandog 9, 8 m/s2, o quilograma-fora equivale, em Newtons,

1kgf 9, 8N.

Exemplo 2 Plano inclinado. Considere uma partcula de massa m colocada sobre um plano inclinado de umngulo (Figura 4.8). Alm da fora-peso, P mg, atua na partcula a reao de contato N (na direo normal aoplano) devida a seu contato com o plano. Alm dessa reao de contato normal superfcie, pode haver tambmuma reao de contato tangencial associada com as foras de atrito, que sero discutidas mais adiante. Em geral,a reao de contato pode ter componentes tanto na direo normal ao plano, como na direo tangencial. Nesteexemplo, vamos considerar uma superfcie perfeitamente polida, sem atrito, o que elimina a componente tangencial,restando apenas a componente normal ao plano N. Na Figura 4.9, mostra que a mdulo da fora resultante F

F Psen mgsenonde usamos a lei dos senos Psen90

Fsen para determin-lo. Vemos tambm na figura que F tangencial ao

plano e dirigida para baixo.



N

PF

m

PN

F

m

Figura 4.8 Plano inclinado Figura 4.9 Clculo da resultante

A 2 Lei, F ma, garante que a acelerao a do movimento da partcula ao longo do plano tem a direo da foraresultante F. Como j conhecemos a fora resultante, basta substitu-la nessa equao para encontrar o mdulo daacelerao:

mgsen ma a mgsenLogo, o efeito de um plano inclinado reduzir a acelerao da queda livre por um fator igual ao seno do ngulo deinclinao.

Exempo 3 Funda. Vamos considerar o exemplo de uma partcula em movimento circular uniforme. Vimos queeste movimento acelerado, de modo que s pode ser mantido pela ao de uma fora. J vimos que a aceleraoneste movimento tem direo radial e dirigida para o centro do crculo, dada pela Eq. (3.7.13).

Para produzir esta acelerao no movimento de uma partcula de massa m, necessria a aplicao de uma fora F, que pode ser ou no de contato, nadireo radial dirigida para o centro do crculo, razo pela qual conhecidacomo fora centrpeta. A Figura 4.10 mostra um exemplo familiar da atuaode uma fora centrpeta: uma pedra amarrada num fio feita girar em tornode nossa mo em movimento circular uniforme. A fora centrpetra F nessecaso aplicada pela nossa mo e transmitida pedra atravs do fio. Esta

fora fora produz a acelerao centrpeta a v2r r e, de acordo com a2 Lei, esto relacionadas por:

F

vmP

Figura 4.10 Funda

F mv2r r.Se soltarmos o fio, quando a pedra estiver num determinado ponto P de sua rbita (mostrado na figura) edesprezarmos o efeito da fora-peso (gravidade), F se torna subitamente igual a zero, e a lei da inrcia implicaento que a pedra se move, a partir do ponto P, em movimento retilneo uniforme com velocidade v igual velocidade do movimento circular no ponto P da rbita, ou seja, tangente ao crculo em P (linha tracejada). A pedrasai pela tangente.

Seo 4.5 Conservao do momento e a 3 Lei de NewtonAt aqui consideramos as foras exercidas sobre uma nica partcula. Embora j se saiba que essas foras sodevidas a ao de outras partculas, ainda no consideramos o que acontece com estas partculas. Para isto, o LT



considera trs experincias idealizadas, que podem ser reproduzidas em laboratrio, com boa aproximao, com doisdiscos deslizantes sobre uma camada de gs. Os resultados dessas experincias so mostradas nas Figuras 4.11,4.12 e 4.13. Leia esta seo no livro-texto com bastante ateno. Aqui destamos apenas os pontos mais importantes.

Condies das experincias. Para discutir a interao de partculas, o LT considera a situao mais simplespossvel, em que h apenas duas partculas interagentes, designidas por 1 e 2; as nicas foras existentes soaquelas devidas ao mtua de uma sobre a outra, F12 (fora sobre 1 devida a 2) e F21 (fora sobre 2 devida a 1).

Descrio das experincias. A interao entre as duas partculas analisada em experincias de coliso entredois discos, sendo as foras de interao entre eles as foras de contato, que atuam somente durante o tempo decoliso, que o intervalo de tempo t em que os dois discos permanecem em contato. Este intervalo extremamentecurto, podendo-se dizer que a coliso instantnea. Antes e depois da coliso a fora resultante sobre cada disco nula, de modo que as velocidades dos discos antes e depois da coliso so constantes: v1 e v2 so as velocidadesdos discos 1 e 2 antes da coliso e v1 e v2 , as velocidades correspondentes depois da coliso, respectivamente. Osmomentos lineares correspondentes so designados por p1 e p2 (antes da coliso) e p1 e p2 (depois da coliso). Emtodas a experincias as colises so frontais, ou seja, se do segundo a linha que une os centros dos dois discos.

Resultados da experincia 1 (Figura 4.11). Nesta experincia, os discos se aproximam com velocidades iguaise contrrias e, depois da coliso, afastam-se tendo permutado as velocidades.

Experincia 1Antes da coliso Durante a coliso Depois da coliso

Velocidades Momentos Total

v vmm

1 2 v vm m

21

= =1 2v v v v m m= =1 2p v p v

1 2= +P p p

= =1 2v v v v m m = =1 2p v p v

1 2 = +P p p

Figura 4.11 Coliso entre dois discos com velocidades opostas.

Resultados da experincia 2 (Figura 4.12). Na experincia 2, o disco 2 est inicialmente e repouso e o disco 1se aproxima dele com velocidade v; aps a coliso, o disco 1 parou e o disco 2 se afasta de 1 com velocidade v.



v mm1 2

v

m m

21

0= =1 2v v v 0m= =1 2p v p

1 2 m= + =P p p v

0 = =1 2v v v0 m = =1 2p p v

1 2 m = + =P p p v

Figura 4.12 Coliso com um disco em repouso.

Resultados da experincia 3 (Figura 4.13). Na experincia 3, a situao inicial a mesma da experincia 2,mas grudamos no disco 1 um pedacinho de chiclete (de massa desprezvel), de tal forma que, ao colidirem, os doisdiscos permanecem colados, passando a se mover juntos (massa 2m). Aps a coliso, verifica-se que os dois discosProf. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica 4-17


juntos movem-se com velocidade 12 v.



v

mm1 2 12 v2m

0= =1 2v v v 0m= =1 2p v p

1 2 m= + =P p p v

12 = =1 2v v v

12 m = =1 2p p v

1 2 m = + =P p p v

chiclete 1 2

Figura 4.13 Coliso com agregao.

Discusso dos resultados. Em cada uma das figuras foram assinaladas as velocidades e os momentos dosdiscos antes e depois da coliso. Na ltima linha, marcada total, calcula-se o momento linear total do sistema, que nocaso de duas partculas, definido como a soma dos momentos das partculas 1 e 2, antes P p1 p2 e depois dacoliso P p1 p2 . Na tabela abaixo, apresentamos o resumo dos resultados obtidos em todas as experincias:

Momento total Antes DepoisExperincia 1 P p1 p2 0 P p1 p2 0Experincia 2 P p1 p2 mv P p1 p2 mvExperincia 3 P p1 p2 mv P p1 p2 mv

Como se pode observar desta tabela, em todos as experincias o momento total do sistema de duas partculas omesmo antes e depois da coliso, ou seja,

P p1 p2 p1 p2 P

Extrapolaes. Se fizssemos experincias de coliso com discos de massas diferentes, m1 m2, e quaisquervelocidades v1 e v2 antes da coliso, verificaramos sempre, como nas trs experincias descritas acima, a validadeda ltima equao (Eq. (4.5.1-LT)), contanto que as nicas fora que atuem sobre o sistema sejam as interaes entreas duas partculas durante a coliso, ou seja, desde que possamos desprezar os efeitos de foras externas ao sistema(como o atrito). Nessas condies, dizemos que o sistema isolado.

Princpio de Conservao do Momento Total. Experincias como as que acabamos de descrever (e muitasoutras) levaram ao Princpio de Conservao do Momento Total: O momento total de um sistema isolado se conserva.Este um dos princpios fundamentais da fsica e uma das razes do conceito de momento introduzido na Eq.(4.4.2). Como veremos, este princpio vale para um sistema com qualquer nmero de partcula e em situaes maisgerais do que a que estamos considerando.

Consequncias do Princpio de Conservao do Momento Total. A Eq. (4.5.1) pode ser reescrita como

p1 p2 p1 p2 p1 p1 p2 p2 p1 p2onde p pdepois) pantes) a variao do momento em consequncia da coliso; p1 e p2 referem-se s variaesdo momento das partculas 1 e 2, respectivamente. Estas variaes se produzem durante o intervalo de tempo t(extremamente curto) que dura o processo de coliso. Ento,

p1 p2 p1t

p2t



Como t muito pequeno, podemos inferir quedp1dt

dp2dt

durante o processo de coliso. Mas esta equao tambm pode ser escrita na formadp1dt

dp2dt 0

ddt p1 p2 0

Como o momento total antes da coliso definido como P p1 p2, a equao acima representadPdt 0

que s satisfeita se o momento total P, antes da coliso, no depender do tempo, isto , se P for uma constante.Pelo princpio da conservao do momento, P P, e, portanto, o momento depois da coliso, P , deve tambm seruma constante. Logo, este resultado significa que o momento total do sistema se conserva a cada instante, inclusivedurante o processo de coliso.

Foras de ao e reao. O resultado das variaes dos momentos das partculas 1 e 2 expresso pela equao(4.4.4), pode ser colocado de outra forma, usando a formulao da 2 Lei de Newton em termos do momento linear.

Segundo a Eq. (4.4.4), o termo dp1dt , que a taxa de variao temporal do momento da partcula 1, representa a fora

sobre a partcula 1 (devida a 2 durante a coliso, ou seja, F12; analogamente, dp2dt representa a fora sobre a

partcula 2 (devida a 1 durante a coliso, F21. Logo, a relao dp1dt dp2dt equivale a

F12 F21ou seja, a fora exercida pela partcula 2 sobre a partcula 1 igual e contrria quela exercida pela partcula 1 sobre a2. Dizemos que se trata de um par ao-reao.

1 2( )1 2F ( )2 1F

Figura 4.14 Ao e reao.

A Figura 4.14 ilustra a origem dessas foras de contato: durante a coliso, a poro da superfcie dos discos emcontato se deforma, sofrendo uma compresso; depois vola a se distender, como uma mola.

A 3 Lei de Newton ou o Princpio da Ao e Reao. A Eq. (4.5.6-LT), ou seja, F12 F21, obtida aqui parainteraes de contato numa coliso entre duas partculas, um caso partcular da 3 Lei de Newton, assim enunciadapor ele:

A toda ao corresponde uma reao igual e contrria, ou seja, as aes mtuas de dois corpos um sobre ooutro so sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.

Esta lei tambm conhecida como o Princpio da Ao e Reao. importante notar que a ao e a reao estosempre aplicadas a corpos diferentes. Na Eq. (4.5.6-LT), F12 uma fora aplicada partcula 1, e F21 est aplicada partcula 2.



Oservao: A 3 Lei de Newton foi introduzida aqui, a partir do princpio de conservao do momento, para o casoparticular de foras de contato. Veremos mais adiante, que para foras que no so de contato, a 3 Lei de Newtonpode deixar de valer. Mas, o princpio de conservao do momento, generalizado convenientemente, permanecesempre vlido.

Exemplos ilustrativos da 3 Lei de Newton

Exemplo 1 (Newton) Neste exemplo, citado por Newton, uma pessoa faz presso com o dedo sobre uma pedra(Figura 4.15), exercendo uma fora Fp (note bem: Fp uma fora aplicada pedra). A reao da pedra sobre odedo a fora Fd (aplicada ao dedo), que de acordo com a 3 Lei vale Fd Fp. Como vimos, esta lei descreve asinteraes entre duas partculas, que neste caso so a pedra e o dedo. Pergunta-se: como aparecem essas forasde interao? Em geral, o mecanismo responsvel pelas foras nas interaes de contato anlogo ao de umamola: a deformao dos corpos (embora nem sempre seja aparente). Neste exemplo, ao empurrar a pedra,produz-se uma deformao na ponta do dedo onde ela est em contato com a pedra, que d origem fora Fpaplicada pedra. Por sua vez, a pedra tambm sofre uma deformao, extremamente pequena (na escalaatmica), da qual decorre a fora de reao Fd aplicada ao dedo.

Resumo: Sistema dedo/pedra (Figura 4.15) Fora aplicada:

Sobre o(a) Pelo(a)

Dedo Fd pedra

Pedra Fp dedo

dF

pF

Figura 4.15 Presso sobre uma pedra.

Exemplo 2 Fora-peso. Qual a reao fora-peso P? Como esta fora representa a atrao gravitacionalda Terra sobre uma partcula (Figura 4.16), a reao P representa a atrao gravitacional exercida pela partculasobre a Terra.

Resumo: Sistema partcula/Terra (Figura 4.16) Foras aplicadas:

Sobre o(a): Pelo(a):

Partcula P Terra

Terra P partcula Terra

P

P

Figura 4.16 Reao fora-peso.

Exemplo 3 Funda. No exemplo da funda, a reao fora F exercida pelo fio sobre a pedra (o fio transmite pedra o puxo de nossa mo) uma fora F exercida pela pedra sobre o fio e transmitida nossa mo, que senteo puxo da pedra dirigido radialmente para fora.



Exemplo 4 Partcula sobre uma mesa. De acordo com a Figura 4.17, as foras que atuam sobre a partculaso: sua fora-peso e a reao de contato da mesa, N. Como esto em equilbrio,

N PEntretanto, embora sejam iguais e contrrias, a fora N no a reao fora-peso, P, que a fora aplicada pelaTerra sore a partcula. Assim, como vimos no exemplo 2, a reao a P a fora P aplicada pela partcula sobre aTerra. A fora N a reao da mesa fora N com que a partcula atua sobre a mesa.

Resumo: Sistema partcula/mesa (Figura 4.17) Foras aplicadas:


PartculaP

N

Terra

mesa

Mesa N partcula

Terra P partcula Figura 4.17 Aes e reaes de

Exemplo 5 Plano inclinado com atrito. Nossa experincia mostra que um corpo pode permanecer emequilbrio sobre uma superfcie inclinada (plano inclinado) de um ngulo que no seja muito grande. Como aresultante da fora-peso P e da reao normal N do plano sobre a partcula uma fora tangencial de mdulo jcalculado na Eq. (4.4.7-LT), que tenderia a fazer o corpo descer ao longo do plano, o equilbrio exige que o planotambm exera sobre a partcula uma fora tangencial T de mdulo dado por aquela equao, mas de sentidocontrrio:

|T| Psen mgsende tal forma que P N T 0. A fora tangencial T, que se chama fora de atrito esttico, a reao da superfciedo plano (spera, como qualquer superfcie real) fora T exercida pela partcula tangencialmente ao plano, quetenderia a faz-la descer. Observao: a fora de atrito sempre tende a se opor ao movimento que a partcula teriana ausncia de atrito.



Resumo: Sistema partcula/plano inclinado (Figura 4.18) Foras aplicadas:


PartculaPNT

Terra plano (direo normal) plano (direo tangencial) atrito)

PlanoNT

partcula (normal) partcula (tangencial)

Terra P partcula (no aparece na figura)Figura 4.18 Plano inclinado com atrito.

Exemplo 6 Cavalo puxando uma pedra. A Figura 4.19 mostra os diferentes pares ao-reaao apenas paraforas que atuam na horizontal. As foras verticais (e.g. fora-peso e as reaes de contato) sero ignoradas nesteexemplo, uma vez que no afetam as consideraes quanto a equilbrio ou movimento ao longo de uma estradahorizontal (nosso interesse aqui). As foras horizontais so:

Ao ReaoFora Tipo Agente Sobre o(a) Fora Agente Sobre o(a)Fc trao muscular cavalo corda Fc corda cavaloFp fora trasmitida corda pedra Fp pedra cordaFa fora de atrito cavalo cho Fa cho cavaloFa fora de atrito pedra cho Fa cho pedra

Na tabela abaixo, fazemos um resumo das foras aplicadas a cada uma das partculas:



Resumo: Sistema cavalo/corda/pedra/cho (Figura 4.19) Foras horizontais aplicadas:


CavaloFa

Fc cho atrito) corda

CordaFc

Fp cavalo pedra

PedraFpFa

corda cho (atrito)

ChoFaFa

cavalo (atrito) pedra (atrito)

Figura 4.19 Cavalo puxando uma pedra.

Partcula Foras aplicadas Fora resultante Aplicando a 2 Lei de Newton ObservaesCavalo Fa e Fc Fa Fc Fa Fc mc ac mc e ac massa e acelerao do cavaCorda Fc e Fp Fc Fp Fc Fp mcoaco mco e aco massa e acelerao da cordaPedra Fp e Fa Fp Fa Fp Fa mpap mp e ap massa e acelerao da pedr

Se o sistema estiver se deslocando como um todo, de forma solidria, ento ac aco ap a, onde a a aceleraocomum a todo o sistema. Neste caso, teremos:

(1) Fa Fc mc a, (2) Fc Fp mcoa, (3) Fp Fa mpa

Movimento retilneo uniforme. O regime de movimento retilneo uniforme, em que a 0, pode ser atingido,quando (das equaes acima)

Fa Fc 0, F Fp 0, Fp Fa 0ou,

Fa Fc, Fc Fp e Fp Faque pode ser escrito como,

Fa Fc Fp FaIsto significa que neste regime, todas as foras tm o mesmo mdulo (o equilbrio um caso particular).

Cordas ou fios de massa desprezvel. Na maioria das vezes, em problemas de dinmica, adotamos o casoideal em que cordas ou fios tm massas desprezveis, uma vez que estas so muito menores do que as demaismassas que aparecem no problema. Neste caso, fazemos mco 0, e a (2) mostra que se teria sempre Fc Fp, o



que significa que a fora de trao do cavalo transmitida integralmente pedra pela corda.

Exerccios resolvidos

Problema 6-LT Uma bala de fuzil de massa igual a 20g atinge uma rvore com velocidade de 500m/s, penetrandonela a uma profundidade de 10cm. Calcule a fora mdia (em N e em kgf) exercida sobre a bala durante apenetrao.

Soluo A fora de reao da rvore penetrao da bala produz nesta, de acordo com a segunda lei de Newton,uma acelerao, responsvel pela variao da sua velocidade. De fato, imediatamente antes de tocar a rvore, abala tem uma velocidade v0 500 m/s, e, aps penetrar na rvaro a uma profundidade x 10cm 0, 10m, suavelociade nula v 0. Como estamos interessados em valores mdios, podemos considerar o movimento comouniformemente desacelerado, e usamos, ento, a equao de Torricelli para encontrar a acelerao mdia:

v2 v02 2ax 0 250. 000 2a 0, 10 a 250. 0000, 20 a 1, 25 106m/s2

Agora basta aplicar a 2 Lei de Newton para encontrar a fora mdia que a rvore exerce sobre a bala, ou seja,

F ma F 20 103 1. 25 106 250. 000N F 2, 5 104NComo 1kgf 9, 8N, ento

F 2, 5 1049, 8 2, 55 103kgf

Problema 6-LT O dispositivo da figura gira em torno do eixo vertical com velocidade angular . (a) Qual deve ser ovalor de para que o fio de comprimento lcom a bolinha suspensa de massa m faaum ngulo com a vertical? (b)Qual atenso T no fio nessa situao?

d

l

Soluo As Figuras (a) e (b) mostram s as foras que atuam sobre a partcula num ponto particular de suatrajetria circular num plano horizonal. As direes x e y na figura (b) referem-se a esta posio instantnea dapartcula.



d

l

lsenrm

v

T

P

m

T

x

y

P = - mg j

T sen i

T cos j

(a) (b)

Como na situao mostrada, no h movimento na direo vertical, as foras que atuam nesta dirao esto emequilbrio. Logo, de acordo com a Figura (b), obtm-se a tenso T no fio:

Tcos mg 0 T mgcos(Na verdade, a tenso no fio pedida no problema a fora T, no presente na figura, que a partcula exerce sobreo fio, e no a fora T, que aparece na figura, que a fora de reao exercida pelo fio sobre a partcula. Mas estabasta para determinar a tenso no fio, uma vez que ambas tm o mesmo mdulo.)

J na direo x no plano horizontal mostrado na figura, que corresponde em qualquer instante direo dosegmento que liga a partcula ao centro do crculo de raio r d lsen, a resultante das foras Fc Tsen, quedeve ser capaz de manter a partcula em movimento circular nas condies indicadas na figura, e portanto a foracentrpeta. Assim, de acordo com a 2 lei, Fc mac, onde ac 2r a acelerao centrpeta, temos

Tsen m2r mgcos sen m2d lsen

2 g tgd lsen g tg

d lsen

Portanto, as respostas so: (a) g tgd lsen e (b) T mg

cos .


fisica 1 - cap 4

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