cap.4 - campos eletrostaticos

CAMPOS ELETROSTÁTICOS

- TÓPICOS DAS AULAS -

1. Introdução.

2. Lei de Coulomb e intensidade de campo.

3. Campos elétricos de distribuições contínuas de carga.

4. Densidade de fluxo elétrico.

Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira

4. Densidade de fluxo elétrico.

5. Lei de Gauss (1ª equação de Maxwell).

6. Potencial escalar elétrico.

7. Relação entre o campo e o potencial escalar elétricos (2ª equação de Maxwell).

8. O dipolo elétrico

9. Linhas de fluxo elétrico.

10. Densidade de energia em campos eletrostáticos.

Introdução

Breve histórico do Eletromagnetismo


Nosso foco de estudo


E1

Disciplinas de


E2

Disciplinas deEletromagnetismo

Lei de Coulomb e intensidade de campo

• A lei de Coulomb é uma lei experimental e trata da força queuma carga pontual exerce sobre outra carga pontual.

• Geralmente, as cargas são medidas em Coulomb (C), sendo acarga de um elétron igual a -1,6 x 10-19 C.


• A lei de Coulomb estabelece que a força (F) entre duas cargaspontuais (Q1 e Q2)

– Está ao longo da linha que une as cargas.

– É diretamente proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2.

– É inversamente proporcional ao quadrado da distância (R)entre elas.

• Matematicamente, temos que

onde k é a constante de proporcionalidade.

2

21

R

QQkF =


onde k é a constante de proporcionalidade.

• Em unidades do SI, as cargas são dadas em Coulomb, adistância em metro e a força em Newton, de modo que

04

1

πε=k

• A constante ε0 é chamada de permissividade do espaço livre etem o seguinte valor aproximado

• Dessa forma,

F/m10x85,8 12

0

−≅ε


• Dessa forma,

m/F10x94

1 9

0

≈=πε

k

• Desse modo,

• Se as cargas estão localizadas em pontos, cujos vetores posição

2

21

04

1

R

QQF

πε=


• Se as cargas estão localizadas em pontos, cujos vetores posiçãosão r1 e r2, temos que

122

12

21

0

124

1Râ

R

QQF

πε=

→

• Considerando a figura 1, temos que


Figura 1

3

12

12

0

2112

4 →→

→→

→

−

−

=

rr

rrQQ

Fπε

• É importante perceber que

– A força F21, sobre a carga Q1 devido à carga Q2, é dada por–F12.

– Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto que cargas desinal contrário se atraem.


– Q1 e Q2 devem ser estáticas.

– Os sinais das cargas devem ser levados em consideração naexpressão da força.

• Se tivermos mais do que duas cargas pontuais, podemos usar oprincípio da superposição para determinar a força sobre umadeterminada carga, dessa forma

∑

→→

→

−

=n kk rrQ

QF

3πε


onde rk indica o vetor posição referente à k-ésima carga noespaço e r indica o vetor posição referente à carga onde se quercalcular a força.

∑=

→→

−

=k

krr

F1

3

04πε

• O vetor campo elétrico (E) é dado pela força por unidade de cargaimersa nesse campo elétrico.

• Dessa forma,

FE

→→

=

Q

r r’


onde o campo elétrico é medido em Newton por Coulomb, ou emVolt por metro.

Q

FE =

Origem

r r’

Figura 2

Campos eletrostáticos de distribuições contínuas de carga

• Além de cargas pontuais, podemos ter distribuições contínuas decarga ao longo de uma linha, sobre uma superfície, ou em umvolume, conforme ilustrado na figura 3.


Figura 3

• É usual denotar a densidade de cargas como: linear (ρL em C/m),superficial (ρS em C/m2) e volumétrica (ρv em C/m3).

• O elemento de carga (dQ) e a carga total (Q), associados a taisdistribuições, são obtidos da seguinte forma

∫=→=L

dlQdldQ LL ρρ Linha de cargas


∫

∫

=→=

=→=

v

S

L

dvQdvdQ

dSQdSdQ

vv

SS

ρρ

ρρ Superfície de cargas

Volume de cargas

• A intensidade de campo elétrico, devido a uma dessasdistribuições, pode ser obtida a partir da soma das contribuiçõeselementares de campo, devido a cada um dos pontos de cargaque constituem a distribuição, dessa forma

∫=→

L

âdlR

E R2

0

L '4πε

ρLinha de cargas


∫

∫

=

=

→

→

v

S

âdvR

E

âdSR

E

R2

0

v

R2

0

S

'4

'4

πε

ρ

πε

ρSuperfície de cargas

Volume de cargas

• As coordenadas-linha são usadas para denotar a localização doponto-fonte.

• As demais se referem à localização do ponto de interesse, ouseja, ponto no qual E vai ser calculado.

∫=→

L

âdlR

E R2

0

L '4πε

ρLinha de cargas


∫

∫

∫

=

=

→

→

v

S

L

âdvR

E

âdSR

E

R

R2

0

v

R2

0

S

0

'4

'4

4

πε

ρ

πε

ρ

πε

Superfície de cargas

Volume de cargas

Exercício

1. Considerando uma linha de cargas com densidade uniforme ρL,ilustrada na figura 4, determine o vetor campo elétrico no pontoP (x, y, z).

z

zb

PR


x

yo

za

zb

r

Figura 4

Exercício

2. Considerando uma lâmina infinita de cargas, no plano xy, comdensidade uniforme ρS, ilustrada na figura 5, determine acontribuição da superfície para o campo elétrico no pontoP (0, 0, h).

zP


Figura 5

x

yo

P

R

Densidade de fluxo elétrico

• A intensidade de campo elétrico depende do meio no qual estáimersa a carga fonte do campo.

• Supondo um campo vetorial D, independente do meio, e definidocomo

→→

= ED ε


definiremos o fluxo elétrico (Ψ) em termos de D da seguinteforma

→→

= ED 0ε

∫→→

⋅=ΨS

SdD

• Em unidades do SI, uma linha de fluxo elétrico se inicia em umacarga de 1 C e termina em uma carga de -1 C. Dessa forma, ofluxo elétrico é medido em Coulomb.

• O campo vetorial D é denominado de densidade de fluxo elétricoe é medido em Coulomb por metro ao quadrado.

• Por razões históricas, a densidade de fluxo elétrico é também


• Por razões históricas, a densidade de fluxo elétrico é tambémdenominada de deslocamento elétrico.

Lei de Gauss (1ª equação de Maxwell)

• A lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais doEletromagnetismo.

• Ela estabelece que o fluxo elétrico total (Ψ), através de qualquersuperfície fechada, é igual à carga total encerrada por essasuperfície.


superfície.

• Dessa maneira,

encQ=Ψ

• Ou seja,

• Obtendo-se que

∫∫∫ ==⋅=Ψ=Ψ→→

vS

dvQSdDd venc ρ


• Obtendo-se que

∫∫ =⋅=→→

vS

dvSdDQ vρ 1ª equação de Maxwell(forma integral)

• Aplicando o teorema da divergente à 1ª equação de Maxwell naforma integral, obtemos

• Deve-se observar que

vρ=⋅∇→→

D1ª equação de Maxwell

(forma diferencial)


• Deve-se observar que

– A lei de Gauss se apresenta como uma maneira mais simplesde se determinar E ou D, para distribuições simétricas decarga, tais como: uma carga pontual, uma linha infinita decargas, uma superfície infinita de cargas e uma distribuiçãoesférica de cargas, por exemplo.

– Uma distribuição contínua de cargas tem simetria caso ocampo vetorial possua uma componente, ou seja, dependa deapenas uma direção.

– Dessa forma, possuirá:

• simetria retangular se tiver apenas componente na direçãoâx (ou ây, ou âz),


âx (ou ây, ou âz),

• simetria cilíndrica, no caso de componente na direção âρ, e

• simetria esférica quando tiver componente apenas nadireção âr.

– IMPORTANTE:

• Não podemos utilizar a lei de Gauss para determinar E ouD quando a distribuição de cargas não for simétrica.

• Nesse caso, devemos recorrer à lei de Coulomb paradeterminar E ou D.


• Aplicação da lei de Gauss

– O método de aplicar a lei de Gauss, para determinar o campoelétrico, começa pela verificação da existência de simetria.

– Uma vez identificada a existência de simetria, construímosuma superfície matematicamente fechada (conhecida comosuperfície gaussiana).


superfície gaussiana).

– Essa superfície é escolhida de forma que o vetor D sejanormal, ou tangencial, à superfície gaussiana.

• Quando D for normal à superfície

• Quando D for tangencial à superfície 0=⋅

=⋅→→

→→

SdD

DdSSdD

– Dessa forma, devemos escolher uma superfície que sejacompatível com a simetria exibida pela distribuição de cargas.


Exercícios

3. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umacarga pontual Q localizada na origem.

4. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umalinha infinita de cargas uniformemente distribuída, ao longo doeixo z, dada por ρ (C/m).


eixo z, dada por ρL (C/m).

5. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umalâmina infinita, localizada no plano z=0, com distribuiçãouniforme de cargas dada por ρS (C/m²).

6. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, considerandouma esfera de raio a com uma distribuição uniforme de cargasdada por ρv (C/m3).

Potencial escalar elétrico

• Suponha que queiramos movimentar uma carga pontual Q, deum ponto A para um ponto B, em um campo elétrico externo E.


Figura 6

• A partir da lei de Coulomb, conclui-se que a força sobre Q é dadapor F=QE.

• Dessa forma, o trabalho realizado para provocar umdeslocamento dl na carga é dado por

→→→→

⋅−=⋅−= ldEQldFdW


onde o sinal negativo indica que o trabalho é realizado por umagente externo.

⋅−=⋅−= ldEQldFdW

• Dessa maneira, o trabalho total realizado, ou a energia potencialnecessária, para movimentar Q de A para B é

∫→→

⋅−=B

A

ldEQW


• Dividindo-se W por Q resulta no valor da energia potencial porunidade de carga.

• Essa quantidade, denotada por VAB, é conhecida por diferença depotencial entre os pontos A e B.

• Dessa forma,

• Observe que:

∫→→

⋅−==B

A

ldEQ

WVAB


– Ao determinar VAB, A é o ponto inicial e B é o ponto final.

– Se VAB for negativo, existe uma perda de energia potencial aomovimentarmos Q de A até B.

• Isso significa que o trabalho é feito pelo campo elétrico.

– Entretanto, se VAB for positivo, existe um ganho de energiapotencial no movimento.

• Isso significa que um agente externo é responsável poresse trabalho.

– VAB é independente da trajetória realizada.


– VAB é medido em Joules por Coulomb, ou mais comumenteem Volt.

• O potencial em qualquer ponto é a diferença de potencial entreesse ponto e um ponto escolhido no qual o potencial é arbitradocomo zero.

• Em outras palavras, considerando potencial zero no infinito, opotencial a uma distância r da carga pontual é o trabalhorealizado, por unidade de carga, devido a um agente externo,para se deslocar uma carga-teste do infinito até esse ponto.


• Dessa forma,

∫∞

→→

⋅−=r

ldEV

Figura 7

• Determinação da expressão do potencial escalar elétrico

– Considerando o campo E devido a uma carga pontual, temosque

3

0

r2

0 44 →

→→

==

r

rQâ

r

QE

πεπε


– Dessa forma,

00r

( )∫∫ ⋅−=⋅−=→→ B

A

B

A

ââr

drQldEV rr2

0

AB4πε

AB

AB0

AB

0

2

0

AB

11

4

1

44

VVrr

QV

r

Q

r

drQV

B

A

B

A

−=

−=

=−= ∫

πε

πεπε


– Considerando o potencial escalar elétrico no infinito igual azero, ou seja, VA=0, temos que

AB04 rr πε

r

QrV

1

4)(

0πε=

→

– Se a carga Q não estiver localizada na origem, mas em umponto cujo vetor posição seja r’, o potencial em r se torna

→→

→

−

=

'

1

4)(

0 rr

QrV

πε


– Para n cargas pontuais, o potencial em r é dado por

∑=

→→

→

−

=

n

kk

k

rr

QrV

104

1

πε

– Para distribuições contínuas de carga, o potencial em r podeser escrito como

∫

→

→

→→

→

→

−

=

L

r

dl

rr

r

rV

'1

'

'

'

4

1

S

L

0

ρ

ρ

πεLinha de cargas


∫

∫

→→

→

→

→→

→

−

=

−

=

v

S

dv

rr

r

rV

dS

rr

r

rV

'

'

'

4

1

'

'

'

4

1

v

0

S

0

ρ

πε

ρ

πεSuperfície de cargas

Volume de cargas

Exercício

7. Duas cargas pontuais -4 µC e 5 µC estão localizadas em(2, -1, 3) e em (0, 4, -2), respectivamente. Determine o potencialescalar elétrico em (1, 0, 1), considerando potencial escalarelétrico igual a zero no infinito.


Relação entre o campo e o potencial escalar elétricos

• A diferença de potencial entre dois pontos A e B independe datrajetória percorrida, ou seja,

• Dessa forma,

ABBABAAB 0 VVVV −=⇔=+


• Dessa forma,

• Fisicamente, isso implica dizer que não é realizado trabalho aose movimentar uma carga, ao longo de uma trajetória fechada,no interior de um campo eletrostático.

• O campo eletrostático é um campo conservativo.

∫ =⋅→→

0dlE

• Aplicando o teorema de Stokes, temos

0=⋅

×∇=⋅

→→→→→

∫∫ dSEdlE

2ª equação de Maxwell


0

0

=×∇

=⋅

×∇

→→

→→→

∫

E

dSE Forma integral

Forma diferencial

• Partindo-se da definição de potencial escalar elétrico,

temos que

dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV

dzEdyEdxEdlEdV zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

−−−=⋅−=→→


• O sinal negativo mostra que a direção do campo elétrico é opostaà direção de crescimento do potencial escalar elétrico.

• A orientação do campo elétrico é do maior para o menorpotencial.

VE→→

∇−=

Exercícios

8. Dado o potencial,

a) Determine a densidade de fluxo elétrico em (2, π/2, 0).

b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de10 µC do ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º).

φθ cossen10

2r

V =


10 µC do ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º).

9. Dado,

determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de

-2 µC do ponto (0, 5, 0) até o ponto (2, -1, 0), usando a trajetória:

a) (0, 5, 0) → (2, 5, 0) → (2, -1, 0)

b) y = 5 – 3x

( ) yx

23 xââyxE ++=→

O dipolo elétrico

• Dipolo elétrico: duas cargas pontuais, de igual magnitude esinais opostos, separadas por uma pequena distância.

z

P(r,θ,φ)r1

+Q

S(d/2,0,0)


x

yo

r2

r

d

+Q

-Q

T(d/2,π,0)Figura 8

• O potencial no ponto P é dado por

onde

QQ −+ += VVV

+ =1Q

V


→−

→+

−=

=

20

Q

10

Q

1

4

4

r

QV

r

V

πε

πε

• Em coordenadas esféricas, a distância entre dois pontos é dadapor

com isso

( )1221212121

2

2

2

1

2 cossensen2coscos2 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd

θcos4

222

1

2

1 rdd

rdr −+==→


• Portanto,

θcos4

4

222

2

2

2 rdd

rdr ++==→

++−

−+=

−−2

1

2

2

2

1

2

2

0

cos4

11cos

4

11

4θθ

πεrd

d

rrd

d

rr

QV

• Fazendo

temos que

±=

± urd

d

rθcos

4

1 2

2

( ) 11

1±− −

≈+u

u


• Considerando

( )2

11 2

±−

±

−≈+

uu

1<<±u

temos

• Considerando que

θπε

cos1

4 2

0

dr

QV =

z


→→

= dQp

x

yo

+Q

-Q

→

pd

Representa o momento dipolo, orientado de –Q a +Q

Figura 9

temos

e

3

0

2

0

r

44 →

→→→

⋅=

⋅=

r

rp

r

âpV

πεπε

Dipolo elétrico com centrolocalizado na origem


e

3

0 '4

'

→→

→→→

−

−⋅

=

rr

rrp

V

πε

Dipolo elétrico com centrolocalizado no ponto r’

• O campo elétrico devido a um dipolo com centro localizado naorigem é dado por

( )θr3

0

cos21

4âsenâ

r

pVE θθ

πε+=∇−=

→→


Exercícios

10.Dois dipolos com momentos de dipolo (0, 0, -5) nC.m e(0, 0, 9) nC.m estão localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3),respectivamente. Determine o potencial na origem.

11.Um dipolo elétrico de (0, 0, 100) pC.m está localizado na origem.


11.Um dipolo elétrico de (0, 0, 100) pC.m está localizado na origem.Determine o potencial escalar elétrico e o vetor campo elétriconos pontos:

a) (0, 0, 10).

b) (1, π/3, π /2).

Linhas de fluxo elétrico

• É uma trajetória, ou linha imaginária, desenhada de tal modoque sua orientação, em qualquer ponto, é a mesma do campoelétrico nesse ponto.

• Qualquer superfície na qual o potencial elétrico seja o mesmo emtoda a sua extensão é conhecida como superfície equipotencial.


toda a sua extensão é conhecida como superfície equipotencial.

• A interseção de uma superfície equipotencial e um plano resultaem uma trajetória, ou linha, conhecida como linha equipotencial.

• Nenhum trabalho é realizado ao movimentar uma carga de umponto a outro ao longo de uma linha, ou superfície,equipotencial.

• As linhas de força, linhas de fluxo, ou ainda direção do campoelétrico, são sempre normais às superfícies equipotenciais.

Linhas de fluxo Linhas equipotenciais


Figura 10

Densidade de energia em campos eletrostáticos

• Para determinar a energia armazenada por um arranjo decargas, precisamos, em primeiro lugar, determinar a quantidadede trabalho necessária para reunir essas cargas em uma região.

• Suponhamos que se posicionem três cargas pontuais Q1, Q2 e Q3

em uma região do espaço inicialmente vazia.


em uma região do espaço inicialmente vazia.

P1

P2

P3

∞

Q1

Q2

Q3

Figura 11

• Não há necessidade de se realizar trabalho para transferir Q1 doinfinito até P1, porque o espaço inicialmente está livre de cargase não há campo elétrico presente, portanto

• O trabalho realizado para transferir Q2, do infinito até P2, é igualao produto de Q2 pelo potencial V21 em P2, devido a Q1, ou seja,

01E == WW


ao produto de Q2 pelo potencial V21 em P2, devido a Q1, ou seja,

• De modo similar, o trabalho realizado para posicionar Q3 em P3 édado por

2122E VQWW ==

( )323133E VVQWW +==

• Dessa forma, o trabalho total realizado para posicionar as trêscargas é igual a

• Se as cargas forem posicionadas na ordem reversa,

( )32313212321E 0 VVQVQWWWW +++=++=

( )0 VVQVQWWWW +++=++=


• Dessa forma, temos que

onde V1, V2 e V3, são os potenciais totais em P1, P2 e P3.

( )13121232123E 0 VVQVQWWWW +++=++=

( )332211E2

1VQVQVQW ++=

• A energia também pode ser determinada para diferentesdistribuições de carga, por exemplo:

1. Para n cargas pontuais

2. Para uma linha de cargas

∑=

=n

k

kkVQW1

E2

1

∫= VdlW1

ρ


2. Para uma linha de cargas

3. Para uma superfície de cargas

4. Para um volume de cargas

∫= VdSW SE2

1ρ

∫= VdlW LE2

1ρ

∫= VdvW vE2

1ρ

• Considerando que

e que

fazendo-se algumas considerações matemáticas, temos que

→→

⋅∇= Dvρ

∇⋅+

⋅∇=

⋅∇

→→→→→→

BAABAB


onde

∫∫→→→

=⋅= dvEdvEDW

2

0E2

1

2

1ε

2

0EE2

1

2

1 →→→

=⋅== EEDWdv

dw ε

Representa a densidade de energia eletrostática, medida em J/m³

Exercícios

12. Três cargas pontuais -1 nC, 4 nC e 3 nC estão localizadas em(0, 0, 0), (0, 0, 1) e (1, 0, 0), respectivamente. Determine aenergia interna do sistema.

13. Se V = x – y + xy + 2z V, determine o vetor campo elétrico em


13. Se V = x – y + xy + 2z V, determine o vetor campo elétrico em(1, 2, 3) e a energia eletrostática armazenada em um cubo delado 2 m, centrado na origem.

cap.4 - campos eletrostaticos

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