cap 4 considerações adicionais

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Engenharia EconmicaDemtrio E. Baracat

Cap. 4 Consideraes adicionais sobre Juros

4.1. Introduo

No captulo anterior j analisamos juros efetivos, nominais e equivalncia entre taxas de juros. No entanto existem outros aspectos que devem ser analisados com mais detalhes antes de avanarmos em tcnicas de anlise e, portanto entrarmos em Engenharia Econmica.

4.2 TAXAS COBRADAS ANTECIPADAMENTE

Infelizmente, nem sempre o uso dos conceitos de taxas efetivas e taxas nominais podem ser utilizadas para resolver todas artimanhas e malabarismos aplicados pelo mercado para encobrir a verdadeira taxa de juros. usual que instituies financeiras se utilizem de uma grande variedade de artifcios para encobrir taxas de juros mais altas por eles cobradas efetivamente. Um dos meios usuais cobrar os juros antecipadamente. O conceito muito simples que pode ser facilmente acompanhado num exemplo.

Exemplo 4.1

Calcule a taxa efetiva mensal de juros referente a um emprstimo de R$ 100.000,00 com prazo de carncia de trs meses, sabendo que cobrado antecipadamente uma taxa de 22%. Calcule a taxa efetiva anual.

Soluo:

Ao se tomar o emprstimo de R$ 100.000,00 em verdade o banco estar descontando antecipadamente 22% deste emprstimo o que significar a disponibilidade de usufruirmos de: R$ 100.000,00(1- 22%) =R$ 78.000,00. Aps 3 meses do emprstimo restituiremos ao banco R$ 100.000,00.

Tem-se, pois, o seguinte fluxo de caixa:

ento

%170i%)63,81(i1

m.a%63,8i0863,12821,1i1

2821,1)i1()i1(000.78000.100)i1(VV

a12

a

31

333af

=+=+===+

=++=+=

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Em operaes bancrias de desconto de duplicatas, com freqncia utilizado este artifcio.

4.3 AMORTIZAO DE DVIDAS

A disponibilidade de recursos um fator imperativo para a concretizao de um investimento. Ao se construir uma casa prpria, ou reform-la, ou ao se adquirir um equipamento industrial, necessrio que se tenha disponibilidade suficiente de recursos.

Se a pessoa, no caso da casa prpria, ou a empresa, no caso do equipamento, dispuserem de recursos num investimento, como, por exemplo, caderneta de poupana ou depsito bancrio, podero utiliz-lo para efetivarem seus investimentos. Porm, na falta desses recursos, ou se esses forem insuficientes, tero que recorrer a emprstimos.

O valor desses emprstimos (denominado de Principal) ter que ser restitudo ao agente financeiro, acrescido de uma remunerao, que so os juros. As formas de devoluo do principal mais juros chama-se Sistema de Amortizao.

Os sistemas de amortizao mais usuais e praticados por instituies bancrias sero vistos neste Captulo. Evidentemente que nos emprstimos pessoais pode ocorrer variaes de formas de amortizao, principalmente em pequenas transaes, que pela sua particularidade no sero aqui analisadas.

4.3.1 SISTEMA FRANCS DE AMORTIZAO (Sistema Price)

Este sistema tambm conhecido pelos nomes de Sistema Price ou Sistema de Prestao Constante, e muito utilizado nas compras a prazo de bens de consumo e crdito direto ao consumidor.

Nesse sistema, as prestaes so constantes e correspondem, pois, a uma srie uniforme A.

Uma das razes de se estudar amortizao de dvidas se obter respostas s perguntas:

Qual o estado da dvida? Quanto j foi amortizado?

Quando uma dvida saldada em prestaes, o devedor restituir o principal mais os juros. As prestaes pagas so compostas de uma parcela de juros e uma parcela de amortizao. A amortizao corresponde parcela da prestao que descontada do principal.

Em verdade no ser apresentada inovao no clculo, o que veremos apenas um detalhamento adicional que permite responder s duas perguntas feitas acima. Vejamos um exemplo.

EXEMPLO 4.2

Uma dvida de R$ 10.000,00 deve ser paga em 5 prestaes anuais iguais, taxa de 10% a.a. Organizar o plano de pagamentos, juros e amortizao segundo o sistema Price.

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Como no exemplo anterior:

( )( )

( ) 00,2638$R110,0110,0110,0000.10A

1i1)i1(i

VA

5

5

n

n

a=+

+=++=

Conforme explicado no exerccio anterior, podemos compor a seguinte tabela:

Ano

(1)

Saldo Devedor

(2)

Prestaes

(3)

Juros =Col.2 *10%

(4)

Amortizao= Reposio do

Capital =Col.3-Col.4

(5)

Soma dos Valores

Coluna (5)

0 R$ 10.000 1 R$ 8.362 R$ 2.638 R$ 1.000 R$ 1.638 R$ 1.638 2 R$ 6.560 R$ 2.638 R$ 836 R$ 1.802 R$ 3.440 3 R$ 4.578 R$ 2.638 R$ 656 R$ 1.982 R$ 5.422 4 R$ 2.398 R$ 2.638 R$ 458 R$ 2.180 R$ 7.602 5 0 R$ 2.638 R$ 240 R$ 2.398 R$ 10.000

Em linhas gerais o sistema Price fornece a seguinte representao dos desembolsos:

EXEMPLO 4.3

Uma pessoa consegue um emprstimo de R$ 100.000,00 a ser pago em 20 prestaes iguais e semestrais a uma taxa de juros efetiva de 50% a.a. Calcule:

a) qual a taxa semestral;

b) qual o valor das prestaes;

c) qual a parcela da primeira prestao que amortizao, e qual a que relativa aos juros.

Soluo:

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A taxa semestral pode ser calculada diretamente pela frmula:

( ) %5,221)50,01(1i1i 2121as =+=+= O valor das prestaes pode ser determinado pela frmula

( )( )

( ) 39,22895$R1225,01225,01225,0000.100A

1i1)i1(i

VA

20

20

n

n

a=+

+=++=

Como as prestaes so fixas o montante se decompe numa parte como sendo a amortizao da dvida e outra parte a parcela de juros. No caso como na primeira parcela o montante da dvida de R$ 100.000,00 teremos como juros R$ 22.500,00 resultando como amortizao da dvida o valor R$ 22895,39-R$ 22.500,00=R$ 395,39

Ento o conjunto de pagamentos seria:

Parcela Saldo

Devedor Pagamento Juros Amortizao 0 100.000,0 1 99.603,4 22.871,1 22.474,5 396,6 2 99.117,6 22.871,1 22.385,3 485,8 3 98.522,7 22.871,1 22.276,2 594,9 4 97.794,1 22.871,1 22.142,5 728,6 5 96.901,7 22.871,1 21.978,7 892,4 6 95.808,7 22.871,1 21.778,2 1.093,0 7 94.470,1 22.871,1 21.532,5 1.338,6 8 92.830,7 22.871,1 21.231,7 1.639,4 9 90.822,8 22.871,1 20.863,2 2.007,9

10 88.363,6 22.871,1 20.412,0 2.459,2 11 85.351,8 22.871,1 19.859,3 3.011,8 12 81.663,1 22.871,1 19.182,4 3.688,7 13 77.145,3 22.871,1 18.353,4 4.517,7 14 71.612,2 22.871,1 17.338,0 5.533,1 15 64.835,6 22.871,1 16.094,5 6.776,6 16 56.536,0 22.871,1 14.571,5 8.299,6 17 46.371,0 22.871,1 12.706,2 10.164,9 18 33.921,6 22.871,1 10.421,7 12.449,5 19 18.674,2 22.871,1 7.623,7 15.247,4 20 0,0 22.871,1 4.196,9 18.674,2

O grfico correspondente aos pagamentos dos juros e amortizaes ficaria:

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Fluxo Monetrio

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Pagamentos

R$

4.3.2 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC)

Este sistema foi popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitao (SFH), que o adotou nos financiamentos de compra da casa prpria. Atualmente, ele muito utilizado para financiamentos de longo prazo. Como as amortizaes so constantes, seu valor obtido dividindo o principal P pelo nmero de prestaes n. Igualmente ao sistema Price a prestao composta da amortizao e juros. O Juros determinado sobre o saldo devedor no momento do pagamento, e ento:

Prestao = Amortizao + Juros

Como o saldo devedor vai decaindo ao longo do tempo, os juros iro decaindo e, portanto as prestaes tambm decaem, embora a amortizao seja constante.

EXEMPLO 4.4

Considere um emprstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo SAC em 20 prestaes semestrais, sendo a taxa de 22,5% ao semestre.

(Compare com o Exemplo 4.3).

a) Qual o valor da primeira prestao e das prestaes subsequentes?

c) Qual o saldo devedor imediatamente aps a quinta prestao?

Soluo:

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Neste caso a amortizao que constante dada por: 000.5$R20

000.100$RK == Para determinarmos os pagamentos precisamos calcular os juros e ento adicionarmos amortizao.

Vejamos como fica atravs de uma tabela:

Parcela Saldo

Devedor Pagamento Juros Amortizao 0 100.000,0 1 95.000,0 27.474,5 22.474,5 5.000,0 2 90.000,0 26.350,8 21.350,8 5.000,0 3 85.000,0 25.227,0 20.227,0 5.000,0 4 80.000,0 24.103,3 19.103,3 5.000,0 5 75.000,0 22.979,6 17.979,6 5.000,0 6 70.000,0 21.855,9 16.855,9 5.000,0 7 65.000,0 20.732,1 15.732,1 5.000,0 8 60.000,0 19.608,4 14.608,4 5.000,0 9 55.000,0 18.484,7 13.484,7 5.000,0

10 50.000,0 17.361,0 12.361,0 5.000,0 11 45.000,0 16.237,2 11.237,2 5.000,0 12 40.000,0 15.113,5 10.113,5 5.000,0 13 35.000,0 13.989,8 8.989,8 5.000,0 14 30.000,0 12.866,1 7.866,1 5.000,0 15 25.000,0 11.742,3 6.742,3 5.000,0 16 20.000,0 10.618,6 5.618,6 5.000,0 17 15.000,0 9.494,9 4.494,9 5.000,0 18 10.000,0 8.371,2 3.371,2 5.000,0 19 5.000,0 7.247,4 2.247,4 5.000,0 20 0,0 6.123,7 1.123,7 5.000,0

Graficamente, os comportamentos da prestao e do saldo devedor podem ser apresentados da seguinte forma:

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Fluxo Monetrio

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Pagamentos

R$

EXEMPLO 4.5

Refazer o exemplo 4.2 pelo sistema SAC (reposio do capital).

O valor de amortizao ser 000.20$R5

000.100$RK == Ento:

Parcela Saldo Devedor Pagamento Juros Amortizao 0 10.000,0 1 8.000,0 3.000,0 1.000,0 2.000,0 2 6.000,0 2.800,0 800,0 2.000,0 3 4.000,0 2.600,0 600,0 2.000,0 4 2.000,0 2.400,0 400,0 2.000,0 5 0,0 2.200,0 200,0 2.000,0

Se calcularmos o EUA das parcelas segundo o sistema SAC encontramos:

( )( )

( ) 00,2638$R110,0110,0110,0000.10A

1i1)i1(i

VA

5

5

n

n

a=+

+=++=

e, portanto os dois sistemas so equivalentes em termos de desembolsos.

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EXEMPLO 4.6

Se eu tomar emprestados R$ 10.000 para serem pagos em 5 parcelas anuais e juros de 10% a. a., ser prefervel pagar pelo sistema PRICE ou pelo SAC?

Evidentemente, isto depende das oportunidades que eu tiver para investir este dinheiro (custo de oportunidade).

Sou indiferente aos sistemas se o custo de oportunidade for 10% a.a., pois verificamos a equivalncia dos dois sistemas.

Se pudesse investir rendendo 6% a. a., como seria o caso da caderneta de poupana, ento deveria efetuar uma anlise dos desembolsos de pagamentos em cada um dos casos:

Sistema Price Sistema SAC Parcela Pagamento Sobra Poup Pagamento Sobra Poup

0 1 2.638,0 7.962,0 3.000,0 7.600,0 2 2.638,0 5.801,8 2.800,0 5.256,0 3 2.638,0 3.511,9 2.600,0 2.971,4 4 2.638,0 1.084,6 2.400,0 749,6 5 2.638,0 -1.488,3 2.200,0 -1.405,4

Dentro das opes disponibilizadas preferiria sistema SAC. Claro que como o custo de oportunidade que tenho disponvel menor que o custo do capital estarei perdendo reservas.

Se agora tiver um custo de oportunidade de 15% preciso analisar qual alternativa melhor para aumentar meu retorno:

Sistema Price Sistema SAC Parcela Pagamento Sobra Poup Pagamento Sobra Poup

0 1 2.638,0 8.862,0 3.000,0 8.500,0 2 2.638,0 7.553,4 2.800,0 6.975,0 3 2.638,0 6.048,4 2.600,0 5.421,3 4 2.638,0 4.317,7 2.400,0 3.834,4 5 2.638,0 2.327,3 2.200,0 2.209,6

neste caso, prefiro pagar pelo sistema PRICE.

4.3.3. SISTEMA DE AMORTIZAO MISTO (SAM ou SACRE)

O Sistema de Amortizao Misto (SAM) a mdia aritmtica entre o sistema SAC e

o sistema PRICE. Consiste num sistema de Amortizao Crescente da a denominao SACRE. Aos interessados recomendamos literatura mais especfica como por ex: Matemtica Financeira Aplicaes Anlise de Investimentos Pearson-Prentice Hall - Samanez, C. P., 3 edio 2002, So Paulo pg. 218

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4.3.4. SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAO (SAA)

O Sistema Americano considera que periodicamente so pagos juros sobre o montante emprestado, e depois de um certo perodo o principal devolvido.

EXEMPLO 4.7.

Considere o valor da operao como $100.000 prazo da operao 3 anos. Taxa de juros contratada 10%a.a.

Pagamento Dvida Pagamento Juros Amortizao0 100.000 1 100.000 10.000 10.000 2 100.000 10.000 10.000 3 110.000 10.000 100.000

4.4. TAXA DE JUROS E INFLAO

A inflao a perda do poder aquisitivo da moeda com o tempo. Vrias podem ser suas causas, tais como aumento da demanda de um bem sem condies de se aumentar proporcionalmente sua produo, aumento de custos de fatores de produo de alguns produtos, especulao com estoques ou excesso de circulao de moeda, entre outras.

Na matemtica financeira, a inflao considerada nos emprstimos atravs da correo monetria. A correo monetria, teoricamente, um instrumento de correo da moeda na exata medida do efeito da inflao. Porm, os ndices oficiais de correo monetria podem no refletir realmente a inflao. Por esta razo, na anlise de investimentos usa-se a inflao, medida atravs de ndices de preo, em vez da correo monetria.

A variao cambial, ou seja, a valorizao relativa de uma moeda perante outra moeda , aparecer nos problemas de emprstimos de forma anloga correo monetria.

Imaginemos que invisto R$ 1.000 por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e mais correo monetria devida inflao. Imaginemos que ao fim de um ano a inflao tenha sido de f = 5%.

Soluo

R$ 1.000,00 ao fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo); vale 38,952%51

1000 =+ , devido inflao.

O empreendimento paga ao fim de um ano 00,1113%)61%)(51(1000 =++ o que inclui a correo monetria.

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De modo que meu poder aquisitivo :

1006%)61(1000%51

%)61%)(51(1000 =+=+++

Vemos, pois, que podemos raciocinar com dinheiro a valor constante (em termos de poder aquisitivo), j que numa poltica econmica justa a correo monetria compensa a inflao. Evidentemente, esta nossa conveno pressupe que todos os preos, custos, contratos etc. sejam reajustados no fim de cada perodo exatamente como a correo monetria que compensa a inflao. Este tipo de anlise certamente vlido nos casos em que os clculos so feitos em UPC (unidade-padro de capital), ou com reajustes contratuais segundo a inflao. Caso contrrio, necessrio proceder s anlises com juros totais (inclusive a inflao) f e valores monetrios, em vez de valores a poder aquisitivo constante.

Quando compramos um imvel ou outro objeto qualquer com contrato que considere parcelas com correo monetria, isto significa que as mudanas nas parcelas consideradas entre os perodos t e t-l so tais que Pi =Pi-1(1 + f), onde f o fator de correo monetria.

Se imaginarmos um processo que considera pagamentos de juros i mais correo monetria f sobre um capital K, observamos que o montante correspondente aos juros mais a correo monetria , ao fim de um perodo,

)iffi1(K)f1)(i1(K)j1(K +++=++=+ j a taxa global de juros que considera a remunerao do capital investido mais a perda monetria (inflao, ou desvalorizao da moeda). Se imaginarmos que a moeda de anlise uma moeda que se deteriora ao longo do tempo com relao a uma outra que se mantm constante como por exemplo, ouro, libra esterlina, podemos entender a inflao como a desvalorizao monetria frente a estes parmetros.

A observao acima importante, pois freqentemente vemos as contas serem feitas empregando-se o fator j = (i + f), e esquecendo-se da parcela (if). Se os valores de i e de f forem prximos, o erro poder ser considervel, principalmente se i e f forem grandes. Se, por exemplo, f = 5% ao ms e i = 1 % ao ms, o fator multiplicativo para o total ao fim de um ms ser (1 + 0,05) (1 + 0,01)= 1,0605; isto , 6,05% ao ms, e no apenas 6% a ms.

Ao fim de n perodos, a quantia total, em termos monetrios, ser nnn )f1()i1(K)j1(K ++=+

Se nada for especificado em contrrio neste curso, sempre estaremos raciocinando em termos de i e no de j. Isto corresponde a raciocinar em UPC em vez de valor monetrio.

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Considerando que as anlises, na maioria das vezes, se referem a expectativas futuras para as quais desconhecemos, mais conveniente raciocinar em valor a poder aquisitivo constante e empregar i como taxa de juros nos clculos.

Nem sempre conseguiremos, para fins de raciocnio, fugir da inflao e analisar situaes a poder aquisitivo constante. Vamos exemplificar com um caso.

EXEMPLO 4.8

Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econmica com juros de j = 6% ao ano, o que j engloba uma correo monetria pr-fixada. Observe que estes juros totais inferiores inflao correspondem a um subsdio. A devoluo ser iniciada um ano aps a formatura. Assim, a quantia emprestada no incio do primeiro ano dever ser devolvida no incio do stimo ano.

A primeira anuidade cobrada pela escola de R$ 14.000,00. de se esperar reajustes anuais da ordem de f = 10% devido inflao. O custo de oportunidade do capital de = 8% ao ano (depsito bancrio a prazo fixo).

Calcule a reduo percentual nas anuidades da escola a que correspondem estes emprstimos a juros baixos da Caixa Econmica.

A B C D Anuidades em Reais

Devoluo para a Caixa Econmica 6 perodos depois (taxa de 6% ao ano)

Valor do Emprstimo= 6 perodos mais tarde (taxa 8%)

Desconto

CBC

1 ano 14.000 19.859 22.216 10,6% 2 ano 15.400 21.845 24.438 10,6% 3 ano 16.940 24.030 26.882 10,6% 4 ano 18.634 26.432 29.570 10,6% 5 ano 20.497 29.075 32.526 10,6%

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De fato, o estudante que deixar de pagar 14.000 no primeiro ano e depositar esta quantia a prazo fixo durante seis anos receber R$ 22.216,00, mas s ter de devolver R$ 19.859,00 Caixa Econmica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econmica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido s parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo.

EXEMPLO 4.9.

Uma empresa brasileira fez um emprstimo equivalente a R$ 2.000.000,00 em um banco alemo, nas seguintes condies:

Juros de 2,8% ao trimestre;

Pagamentos em cinco prestaes anuais pelo SAC, em Euros.

Se a valorizao do Euro em relao R$ nos prximos anos for estimada em 5% a.a., calcule o valor em R$ das prestaes a serem pagas.

Soluo:

Taxa equivalente anual:

( ) %68,111%8,21i 4a =+= Valor das amortizaes:

000.400$R5

000.000.2$RK == Os juros da primeira parcela R$ 2.000.000*11,68%=R$ 233.584,80

A primeira parcela antes da desvalorizao corresponderia a R$ 633.584,80. Sobre este montante devemos aplicar a correo monetria que de 5%R$ 633.584,80*1,05= R$ 665.264,10. Neste instante o saldo devedor ficou R$ 1.600.000,00. Os juros desta parcela sero calculados por R$ 1.600.000*11,68%=R$ 186.867,90 resultando como parcela de pagamento antes da correo monetria R$ 586.867,90. Como se passaram dois perodos devemos corrigir este montante por 1,05*1,05, isto :

80,021.647$R%)51(*90,867.586$R 2 =+ Procedendo-se igualmente para as demais parcelas encontramos:

Parcela Saldo Devedor Valor Juros Amortizao Pagamento0 R$ 2.000.000,01 R$ 1.600.000,0 R$ 633.584,8 R$ 233.584,8 R$ 400.000,0 R$ 665.264,12 R$ 1.200.000,0 R$ 586.867,9 R$ 186.867,9 R$ 400.000,0 R$ 647.021,83 R$ 800.000,0 R$ 540.150,9 R$ 140.150,9 R$ 400.000,0 R$ 625.292,24 R$ 400.000,0 R$ 493.433,9 R$ 93.433,9 R$ 400.000,0 R$ 599.772,05 R$ 0,0 R$ 446.717,0 R$ 46.717,0 R$ 400.000,0 R$ 570.136,6

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EXEMPLO 4.10

Qual deve ser a taxa global anual a ser cobrada por um banco que quer 1% ao ms de juros alm da correo monetria que prevista em 3% ao trimestre?

Soluo

( ) ( ) %97,36j%)51(%)11()f1(i1j1 412412 =++=++=+

4.5 NDICES DE CORREO MONETRIA

A partir de 1964, o Brasil passou a adotar oficialmente a correo monetria, baseada na variao dos valores das ORTNs Obrigaes Reajustveis do Tesouro Nacional.

Posteriormente, em 1986, foram criadas as OTNs Obrigaes do Tesouro Nacional e, em 1989, passaram a ser utilizadas as variaes dos BTNs, Bnus do Tesouro Nacional.

A partir de 1991, em vez de um ndice, passou-se a utilizar Taxas Referenciais, a exemplo das taxas internacionais, como a LIBOR ou Prime Rate. Primeiro foi a TRD Taxa Referencial Diria e aps a TJLP Taxa de Juros de Longo Prazo. Mas o mais comum utilizar-se diretamente um ndice de inflao, como o ndice Geral de Preos (IGP-Dl), apurado pela Fundao Getlio Vargas.

EXEMPLO 4.10

Uma empresa obteve, em primeiro de fevereiro de 2005, um emprstimo de R$ 1.000.000 sujeito a correo monetria pelo IGP-Dl a ser devolvido de uma vez em 01-02-2010 com juros de 5% ao ano. Qual o montante (F) nessa data?

Dados: IGP_DI anualizado (FGV_SP)

Janeiro 2005 12,13%

Janeiro 2006 1,22%

Janeiro 2007 3,79%

Janeiro 2008 7,89%

Janeiro 2009 9,10%

Estimativa para Janeiro de 2010 8,5%

Assim o montante a ser devolvido

30,395.712.1$R%)5,81%)(10,91%)(89,71%)(79,31%)(22,11(%)51(*000.000.1$R 5 =++++++

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4.6 TAXAS PREFIXADAS E PS-FIXADAS

Uma questo, muito comum, a comparao entre taxas pr e ps-fixadas. Vejamos a interpretao atravs de um exemplo.

EXEMPLO 4.11

Uma financeira oferece duas modalidades de financiamento pagveis em um ano:

1. correo monetria + 12% (ps-fixada);

2. 28,80% (prefixada).

Se indiferente para a financeira emprestar numa ou noutra modalidade, em quanto ela est estimando a correo monetria para os prximos doze meses?

Soluo:

( ) .a.a%15p)p1%)(121(%8,281 =++=+

4.7. OUTROS NDICES ECONMICOS

Apresentamos abaixo os ndices econmicos mais utilizados em transaes no Brasil, inclusive relacionando o agente responsvel pela sua emisso.

ndices Econmicos Agente EmissorDolar BACENEuro BACENFGTS CEFIGP-M FGVIGP-DI FGVIR SRFINCC-DI FGVINPC IBGEIPC FIPEIPCA IBGEIPCA-15 IBGEPoupana BACENSelic COPOMJuros de Mora ITCMDTJLP SRFTBF BACENUFESP SFESPUFIR SRFURV BACEN

Deixamos para os alunos interessados obter outras informaes a respeito destes ndices e sua aplicabilidade.

4.8 Exerccios

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4.8.1 Um emprstimo de R$ 20.000,00 taxa de juros de 2% ao ms ser saldado mediante 5 parcelas mensais iguais mais um pagamento de R$ 8.000,00 no final do 6. ms. Que parcela da dvida ter sido amortizada aps o pagamento da terceira parcela mensal?

Resposta a) R$ 7.149,34

4.8.2 Joo tomou emprestado R$ 8.000 para pagar em 10 meses, taxa de 10% a.m., com prestaes constantes. Aps ter pago a 5 prestao resolveu alterar o plano de pagamento de forma a pagar amortizao constante e juros sobre saldo devedor. Calcule o valor das prestaes.

Resposta 5* R$ 1.302,00; R$ 1.481,00; R$ 1.382,00; R$ 1.283,00; R$ 1.184,00; R$1.086,00

4.8.3 Um indivduo comprou um apartamento por R$ 3.000.000,00, pagando 900.000,00 de entrada e o restante em 10 pagamentos (um por ano) pelo Sistema SAC, com juros de 10% a.a. Aps o pagamento da quarta prestao ele muda para o Sistema PRICE mantendo o prazo e a taxa de juros.

a) Calcule o total da 3 prestao.

b) Calcule o saldo devedor logo aps o pagamento da 8 prestao.

c) Calcule o total de juros que ter pago ao fim da 10 prestao.

Resposta a) R$ 378.000,00 b) R$ 502.000,00 c) R$ 1.190.000,00

4.8.4 A Superloja Ali-Bab anuncia a venda de Bugigangas Especiais por R$ 8.000,00 (preo oficial), pagveis em cinco vezes, parcelas iguais, sem acrscimo (primeira parcela paga no instante da compra).

Se pagar tudo a vista, possvel obter um desconto de 12%:

a) Calcule a taxa de juros mensais que a loja est cobrando.

b) Supondo que a loja seja consistente com os juros que cobra, calcule o valor das parcelas que dever cobrar para financiamento a prazo, em quinze pagamentos mensais iguais, sendo o primeiro pago no instante da compra.

c) No seu anncio, a loja diz cobrar juros que corresponderiam prestao calculada no item anterior para equivalncia com um valor a vista de r$ 8.000,00, e como se a primeira parcela vencesse um ms aps a compra. Calcule esta taxa de juros mensais anunciada.

d) A loja est sendo pressionada para baixar seus juros anunciados para 2/3 no tem anterior do calculado. Entretanto, a loja pretende manter o plano de pagamento em quinze vezes no mesmo valor das parcelas calculadas no item b. Para isto a loja vai aumentar o valor anunciado de R$ 8.000,00 por Bugiganga Especial. Calcule este novo valor.

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4.8.5 Uma loja vende um Ti por R$ 20.000,00, aceitando carto de crdito, ou por R$ 17.000,00 a vista em dinheiro. Eu compro por carto de crdito, recebo a conta um ms aps a compra, e pago 10% do montante da minha dvida.

O carto de crdito cobra 4% ao ms sobre o saldo devedor, incorporando os juros ao saldo devedor. Eu pretendo pagar todo ms 10% do saldo devedor e liquidar o total da dvida no 12. ms aps a compra. Faa o programa de desembolsos e calcule o custo em que estou incorrendo com este plano.

4.8.6 Uma firma pode ter as seguintes alternativas:

a) Comprar um equipamento que vaie 100.000 em 20 prestaes iguais pagas no incio de cada ms. Aps os 20 meses de uso este equipamento ser revendido por R.

b) Alug-lo durante 20 meses, pagando o aluguel no fim de cada ms. O valor do aluguel R$ 6.115,67 por ms.

Utilizando uma taxa de desconto tal que se composta mensal mente resulta em 26,8% ao ano, calcule o valor de R tal que a firma fique indiferente entre o aluguel e a compra.

Resposta R=0.

4.8.7 Uma dvida de 100.000 incorrida em t = 0 deve ser paga em 10 prestaes com juros de 10% sobre o saldo devedor. Calcule o total de juros pagos nas seguintes condies:

a) Primeira prestao paga em t = 1. Planeja-se usar o sistema PRICE, mas logo aps o pagamento da quinta prestao, muda para SAC.

b) Repetir o item anterior quando comea com SAC e depois passa para PRICE.

c) Repetir o item a quando a primeira prestao paga em t = 0.

d) Repetir o item b quando a primeira prestao paga em t = 0.

Resposta a) R$ 61.557,00 b) R$ 55.949,00 c) R$ 46.887,00 d) R$ 45.949,00

4.8.8 Um equipamento foi comprado por R$ 50.000 vista. Este equipamento ser utilizado numa tarefa cujo pagamento foi acertado em R$ 10.000 constantes (em reais) por ms durante 20 meses. Para esta tarefa incorrero custos de operao e manuteno de valor igual a R$ 2.000 por ms, crescendo com a inflao. Aps 20 meses o equipamento ser vendido. O valor, hoje, de um equipa mento com 20 meses de uso de R$ 5.000. Qual o valor atual do lucro, sabendo-se que a taxa de oportunidade do capital i = 2% ao ms e que a inflao suposta como sendo f =6% a. m.

Resposta R$ 17.973,00

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4.8.9 Para a execuo de um servio com dez meses de durao, temos duas alternativas:

1) Comprar um equipamento por 100.000 vista mais dez prestaes de 10.000 Aps os dez meses ser vendido pela quantia de 30.000. Todos estes valores no tero correo monetria.

ii) Alugar o equipamento por dez meses, pagando no fim de cada ms 20.000 corrigidos mensalmente pela inflao.

Considere taxa de inflao f = 10% ao ms e taxa real de juros i = 5% ao ms.

a) Qual o valor atual da primeira alternativa?

b) Qual o valor atual da segunda alternativa?

c) Qual o equivalente uniforme da segunda alternativa?

Resposta a) R$ 142.069,00 b) R$ 154.434,00 c) R$ 20.000,00

4.8.10 Um fogo de inox custa 12 x 493,50, ou R$ 4.500,00, que o valor anunciado a vista e o valor sobre o qual se calculam as prestaes com um juro mensal anunciado em j = 4,5% a.m.

a) Acontece que, se o fogo for pago realmente a vista, a loja faz um desconto de 10%. Neste caso, quanto se paga de juros?

b) Para piorar a situao, a primeira parcela tem vencimento vista. Quais os juros realmente cobrados nesta situao?

c) Caso se pague com carto de crdito, o desconto de 10% no dado; neste caso, qual o custo se pagarmos o carto aps um ms sem juros.

Resposta a) 110%a.a. b) 146%a.a. c) 11%a.m.

4.8.11. Uma firma tem um custo de oportunidade de 15% a.a. Um projeto de fabricao exige um investimento de R$ 1.000.000 e o custo varivel de produo ser de R$ 100 por pea. Observando que as peas podero ser vendidas por R$ 500 cada uma e que o projeto ter 5 anos de durao, calcule o ponto de equilbrio (break-even) no volume de peas a ser produzido.

Resposta 746 peas

4.8.12 Que taxa nominal de juros mensal composta trimestralmente equivalente a uma taxa de 9,4% a.m. (composta mensalmente)? Resposta 10,3%

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4.8.13 Uma taxa de juros nominal de 52% a.a., paga trimestralmerite, durante um ano, cuja inflao foi de 40%, equivale a que taxa de juros mensal efetiva realmente paga? Caso os 52% sejam pagos mensalmente, qual seria a taxa mensal real paga?

Resposta a) 1,28%a.m. efetivo real; b) 1,45% a.m. efetivo real

4.8.14 Dados os fluxos:

a) R$ 2.300 em t = 0, R$ 2.100 em t = 1, R$ 1.900 em t = 2, R$ 1.700 em t = 3, R$ 1.500 em t = 4, R$ 1.300 em t = 5;

b) R$ 1.300 em t = 0, R$ 1.500 em t = 1, R$ 1.700 em t = 2, R$ 1.900 em = 3, R$ 2.100em t = 4, R$ 2.300 em t = 5.

pede-se para calcular os equivalentes uniformes anuais dos dois fluxos com i = 15%.

Observando que a soma das parcelas idntica para os dois fluxos, explique por que os equivalentes anuais calculados resultaram diferentes.

4.8.15 Dada uma taxa de desconto i = 10%, calcular o equivalente uniforme anual do fluxo: V0=V1=V2=V3=100; V4 =150; V5=200; V6= 250; V7 = 300; V8=350; V9=400; V10=200.

Resposta R$208,00

4.8.16 Uma obra pblica, financiada a uma taxa de juros de 12% ao ano, iria resultar, segundo o Projeto, no seguinte fluxo anual em milhares de reais: V0= R$ 1.000; V1 = R$ 3.000; V2 =V3=...=V20=R$ 770; V27=V28=0.

Porm, devido a contratempos, resultou em:

V0= R$ 1.000; V1 = R$ 3.600; V2 = R$ 800; V3 = 0; V4=V5=...=V28=R$ 731,50

Qual a percentagem de diminuio do benefcio lquido? (Sugesto: Calcule valores atuais.)

Resposta Va1=R$ 1.714.000,00; Va2= - R$ 768.000,00 Diminui 145%

4.8.17 Uma companhia deve optar por um dos investimentos A ou B abaixo descritos. Seja, i o custo de oportunidade (ou taxa mnima de retorno aceitvel) com que a companhia raciocina. Para que valores de i o investimento A ser prefervel ao investimento B?

T A B 0 -10.000 -12.000 1 3.000 3.000 2 3.000 3.000 3 3.000 3.000 4 5.000 7.500

Resposta 5,74%

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4.8.18 Usando uma taxa de desconto de 10%, calcule o ponto de equilbrio (quantidade de peas) entre as alternativas:

a) comprar a pea fora a um custo unitrio de R$ 100;

b) fabricar por meio da compra de uma mquina por R$ 1.000.000, que ir durar oito (8) anos e produzir a um custo varivel unitrio de R$ 20.

Resposta R$ 2.343,00

4.8.19. Uma imposio do Governo, com o intuito de limitar os juros cobrados nas vendas a prestao, foi a de estabelecer que o montante pago pelo cliente no poderia exceder 30% a mais que o valor da mercadoria vista.

Analisemos a estratgia de um lojista.

Seja V o preo vista de uma mercadoria, j incluindo o lucro normal do lojista. Seja 0,20V a entrada e o restante a ser pago em 10 prestaes mensais iguais 0,11V.

Determine a taxa de juros real cobrada ao ano.

Resposta 100%a.a.

4.8.20 Considere uma dvida de R$ 100.000,00 a ser resgatada em 25 prestaes com 4% de juros ao perodo. Depois de quantas prestaes o valor da prestao do sistema PRICE passa a ser superior ao do SAC?

Resposta: Aps dez prestaes.

4.8.21. Uma pessoa fez um emprstimo de X a juros de 4% ao ms e saldou a dvida pelo SAC em dez prestaes. A soma dos valores nominais das prestaes foi de R$ 50.000,00. Se a mesma dvida tivesse sido paga pelo Sistema PRICE, qual seria a soma dos valores nominais das prestaes?

Resposta: R$ 50.530,00

4.8.22 R$ 200.000,00 foram financiados em 20 prestaes mensais pelo SAC com juros de 80% a.a. atravs de uma financeira. A financeira pretende vender os ttulos da dvida por R$ 220.000,00. Qual a taxa que a pessoa que comprar os ttulos ir ganhar?

Resposta:i=3,8%

4.8.23 Uma dvida de R$ 500.000,00 foi contrada nas seguintes condies:

pagamentos em oito prestaes mensais, iguais (sistema Price);

juros de 12% ao ms.

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Aps o pagamento da terceira prestao, o saldo devedor foi renegociado nos seguintes termos:

o saldo devedor seria pago em 15 prestaes (Price) mensais;

-juros de 15% ao ms.

Calcule o valor da prestao da dvida renegociada.

Resposta: R$ 62.050,00

4.8.24. Uma dvida de R$ 500.000,00 foi amortizada pelo SAC com juros de 5% ao semestre. Foram pagas pontualmente quatro das doze prestaes semestrais e ento a dvida foi renegociada pelo sistema Price em 10 prestaes semestrais com juro de 6% a.s. Qual o saldo devedor aps o pagamento da quinta prestao pelo Sistema Price?

Resposta.: R$ 190.775,00

4.8.25. Um emprstimo de R$ 10.000,00 nas seguintes condies:

Sistema Price;

25 prestaes mensais;

juro de 2% ao ms;

taxa de abertura de crdito de R$ 250,00.

Foi saldado pontualmente at a dcima prestao.

Juntamente com a dcima prestao, o devedor saldou a dvida pagando R$ 6.500,00. Calcule:

a) o custo do dinheiro para o tomador (quantos por cento ao ms o tomador pagou considerando o negcio como um todo?)

b) qual era o saldo devedor?

c) se um terceiro tivesse adquirido os 15 ttulos restantes por R$ 6.000,00 qual teria sido a taxa de retorno dele (desse terceiro)?

Resposta: a) i = 2,25%

b) R$ 6.581,00

c) i=3,26%

4.8.26. Qual a taxa efetiva mensal de 24% a.a. capitalizados semestralmente?

Resposta: 1,9068%a.m.

4.8.27 Num emprstimo com prazo de trs meses, so descontados 22% antecipadamente. Qual a taxa efetiva mensal?

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Resposta: 8,6347%a.m.

4.8.28 Qual a melhor alternativa: Banco A anuncia 40% a.a. por 30 dias corridos (21 dias teis); Banco B anuncia 3,25% para 33 dias corridos (24 dias teis)?

Resposta: O banco A rende o equivalente a 3,2564% em 24 dias teis e praticamente empata com o banco B.

4.8.29. Qual a taxa de retorno do investimento a seguir:

Resposta: 6,6279% no perodo

4.8.30. Em 1/04/09 um investidor adquiriu um ttulo por R$ 100.000,00 para ser resgatado em seis meses a 2% a.m. Em 1/07/09 um segundo investidor prope ao primeiro a aquisio desse ttulo. Quanto deve oferecer, se sua seu custo de oportunidade de 2,5% a.m.?

Resposta: R$ 102.024,76

4.8.31. Qual a taxa equivalente:

a) Anual a 42% ao ano capitalizada mensalmente?

b) Trimestral de 50% ao ano capitalizada semestralmente?

c) Trimestral de 15% ao ms?

d) Semestral da seguinte transao: empresto-te 500 para devolveres 1.000 em um ms?

e) Bimestral de 50% ao ano capitalizada trimestralmente?

f) Trimestral de 25% ao ms?

Resposta: a) 51,107% a.a.

b) 11,803% a.t.

c) 52,087% a.t.

d) 6,300% a.s.

e) 8,169 a.b.

f) 95,513% a.t.

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4.8.32. Qual a taxa efetiva global semestral (resultado em %):

a) 5% ao ms de correo monetria mais 10% ao trimestre de juros.

b) 2% quinzena de correo cambial mais 15% ao ano de juros.

Resposta: a) 62,15 a.s. b) 36% a.s.

4.8.33. Um emprstimo de US$ 1.000 feito em 12 de dezembro/97 foi resgatado em 12 de junho/98, sendo a taxa de juros de 2% ao ms. Calcule o valor pago em US$, sabendo que:

Valor do US$ em 12 de dezembro de 1997: R$ 1,11

Valor do US$ em 12 de junho de 1998: R$ 1,15

Obs: Cotaes hipotticas.

Resposta: R$ 1.295,09.

4.8.34 Qual a taxa efetiva anual de:

a) 60% ao ano com capitalizao trimestral

b) Correo monetria de 1% ao ms e juros de 12% ao ano

c) 30% ao semestre com capitalizao quinzenal

d) 50% ao ano com correo monetria de 15% ao trimestre

Resposta: a) 74,90 a.a. b) 26,20% a.a. c) 80,87% a.a. d) 162,35% a.a.

4.8.35. Um emprstimo de R$ 100.000,00 em dlares deve ser pago no final de dois anos com juros de 1% ao ms. Quanto dever ser devolvido se a valorizao do dlar for de 25% ao semestre em relao R$?

Resposta: R$ 309.993,81

4.8.36. Calcule a taxa global mensal de juros a ser paga por um emprstimo no exterior sujeito a uma taxa de juros prime de 10% ao ano, mais um spread de 1%. Admita que neste emprstimo o banco estrangeiro exija que a empresa aplique 10% do valor do emprstimo na compra de um equipamento que poderia ser comprado no mercado nacional pela metade do valor. Admita ainda que a empresa espera uma valorizao do dlar em relao a nossa moeda, de 5% ao ms. O emprstimo ser pago de forma integral ao final de um ano.

Resposta: 6,37%

4.8.37. Um emprstimo de R$ 10.050 ser saldado em trs prestaes iguais e mensais de R$ 4.000, sendo que a primeira vencer em 60 dias. Calcule a taxa real de juros (no confundir com taxa global) cobrada, sabendo que foi prevista uma inflao de 3% ao ms no perodo.

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Resposta: 3,04% ao ms.

4.8.38. Em fevereiro de 1993, uma pessoa comprou R$ 200.000,00 em dlares e depositou-os em um banco uruguaio, o qual lhe garantiu um rendimento de 3,5% ao semestre. A valorizao do dlar em relao a nossa moeda foi de 32% ao ms nesse semestre e a inflao foi de 31,5% ao ms. A diferena entre o preo de compra e venda do dlar de 1%. Calcule:

a) Quantas R$ foram obtidas em agosto com a venda dos dlares depositados.

b) Qual o ganho real obtido, expresso em uma porcentagem mensal.

Resposta: a) R$ 1.084.049,53 b) 0,788%

4.8.39 Um emprstimo de R$ 40.000 pelo sistema Price, em 10 prestaes trimestrais e taxa de 10% ao trimestre, foi saldado pontualmente at a quarta prestao. Aps essa prestao, a dvida foi renegociada pelo SAC em oito prestaes na mesma taxa. Calcule o valor da primeira prestao pelo SAC.

Resposta: R$ 6379,19

4.8.40. O banco quer emprestar ganhando 1,5% a.m. acima da inflao. Que taxa anual global deve cobrar para uma inflao estimada em 17% a.a.?

Resposta: 39,89% a.a.

4.8.41. Uma financeira est cobrando 7,5% a.m.. Se a inflao de 2% a.m., quanto ela est cobrando de taxa real anual?

Resposta: 87,8% a.a

4.8.42. Considere o seguinte fluxo anual em reais, de um projeto voltado a exportao:

Se a estimativa da variao cambial for de 20, 25 e 30% a.a. e a inflao for estimada em 22; 28 e 35% para os prximos trs anos, qual a taxa de retorno real estimada?

Resposta: 18,97% a.a.

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4.8.43 R$ 1.000.000 foram tomados a 11,68% a.a. num banco alemo, mais variao cambial, para serem pagos em cinco prestaes anuais pelo SAC. Elabore a planilha financeira para variaes cambiais de 36, 35, 38, 40 e 39% para os prximos cinco anos.

Resposta: Em milhares de Reais

cap 4 considerações adicionais

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