Física Geral e Experimental I Prof. Ms. Alysson Cristiano Beneti

Instituto Tecnológico do Sudoeste PaulistaFaculdade de Engenharia Elétrica – FEEBacharelado em Engenharia Elétrica

Aula 8 Movimento em 2 e 3 Dimensões:

Vetores Posição, Velocidade e Aceleração

IPAUSSU-SP2012

Posição e Deslocamentor rA localização de uma partícula ou de um objeto que se

comporte como partícula pode ser especificada através do vetor posição , um vetor que liga um ponto de referência à partícula.

Exemplo:

r

kzjyixr

kmjmimr )5()2()3(

Posição e Deslocamentor rQuando uma partícula se move, seu vetor posição varia de

uma posição para . O vetor deslocamento da partícula é dado por: 1r

inicialfinal rrr 2r r

Exemplos1) O vetor posição de uma partícula é inicialmente

e depois passa a ser. Qual é o deslocamento da

partícula de para ?

kmjmimr )5()2()3(1

kmjmimr )8()2()9(2

r 1r 2r

kmimr

kjir

kmjmimkmjmimr

rrr

)3()12(

]58[]22[)]3(9[

])5()2()3[(])8()2()9[(

12

Velocidade Média e Velocidade Instantânea médv v

Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo , a velocidade média é dada por:

rt

t

kzjyixv

t

rv médméd

Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero a velocidade recebe o nome de instantânea, e representa a velocidade do móvel naquele exato instante:

dt

rdv

rt )0( t

Como ler: a velocidade instantânea é a função derivada da posição em relação ao tempo.

Introdução ao Cálculo Diferencial

Para estudar os movimentos é necessário conhecer a derivação, que é um instrumento de cálculo. Não vamos nos preocupar agora em entender plenamente o que significa derivar, pois a disciplina Cálculo proporcionará isto. Vamos entender um pouco da técnica de derivação de polinômios.

A função horária das posições de um MUV é dada por:

A função horária da velocidade é derivada da posição em relação ao tempo:

A função horária da aceleração é derivada da velocidade (ou derivada segunda da posição):

2..2

1. tatvxx oo

tavdt

dxv o .

constante2

2

dt

xd

dt

dva

Exemplos1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções

horárias da velocidade e da aceleração:

(SI) .4.520 2ttx Resolvendo para a velocidade:

(SI) .85

.8.50

.4.2.5.1.20.0

.4.5.20

10

121110

210

tv

ttv

tttdt

dxv

tttx

O expoente da variável t é multiplicado pelo termo do polinômio

Subtrai-se 1 do expoente da variável t

1

Exemplos1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções

horárias da velocidade e da aceleração:

(SI) .4.520 2ttx

(SI) 8

.80

.8.1.5.0

.8.5

0

1110

10

a

ta

ttdt

dva

ttv O expoente da variável t é multiplicado pelo termo do polinômio

Subtrai-se 1 do expoente da variável t

1

Resolvendo para a aceleração:

(SI) .1810

.18.100

.9.2.10.1.35.0

.9.10.35

10

121110

210

tv

ttv

tttdt

dxv

tttx

Problema proposto1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções

horárias da velocidade e da aceleração:

(SI) .9.1035 2ttx

1

Resolvendo para a velocidade:

(SI) 18

.180

.18.1.10.0

.18.10

0

1110

10

a

ta

ttdt

dva

ttv

Problema proposto1) Dada a função horária dos espaços abaixo, determinar as funções

horárias da velocidade e da aceleração:

(SI) .9.1035 2ttx

1

Resolvendo para a aceleração:

Velocidade Instantânea v

Agora que sabemos calcular algumas derivadas, voltamos à velocidade

dt

rdv

Como ler: a velocidade instantânea é a função derivada da posição em relação ao tempo.

Velocidade Instantânea v

dt

rdv

Graficamente, a velocidade instantânea é a tangente do ângulo entre a reta tangente à curva do gráfico da posição em função do tempo e o eixo horizontal.

Aceleração Média e Aceleração Instantânea méda a

Se uma partícula sofre uma variação de velocidade em um intervalo de tempo , a aceleração média é dada por:

vt

t

kvjviva

t

va médméd

Se uma partícula sofre uma variação de velocidade em um intervalo de tempo muito pequeno, tendendo a zero a aceleração recebe o nome de instantânea, e representa a aceleração do móvel naquele exato instante:

2

2

dt

xd

dt

vda

vt )0( t

Como ler: a aceleração instantânea é a função derivada da velocidade em relação ao tempo ou função derivada segunda da posição em relação ao tempo.

Cálculo do vetor velocidade Cálculo do vetor posição

Exemplo1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de

eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:

No instante t=15s, qual é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração? Represente os vetores graficamente.

30.1,9.22,0

28.2,7.31,02

2

tty

ttx

jmimr

jyixr

my

y

y

mx

x

x

)57()25,66(

57

305,1365,49

3015.1,915.22,0

25,66

2810875,69

2815.2,715.31,0

2

2

r v

101112

101112

.30.0.1,9.1).22,0.(2

/1,2

2,715.62,0

2,7.62,0

.28.0.2,7.1).31,0.(2

tttv

dt

dyv

smv

v

tv

tttv

dt

dxv

y

y

x

x

x

x

x

jsmismv

jvivv

smv

v

tv

yx

y

y

y

)/5,2()/1,2(

/5,2

1,915.44,0

1,9.44,0

1) Um coelho atravessa um estacionamento, no qual um conjunto de eixos foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por:

No instante t=15s, qual é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração? Represente os vetores graficamente.

Cálculo do vetor aceleração

Exemplo

30.1,9.22,0

28.2,7.31,02

2

tty

ttx

a

2

1011

01

/62,0

.2,7.0).62,0.(1

.2,7.62,0

sma

tta

ttv

dt

dva

x

x

x

xx

jsmisma

jaiaa

sma

tta

ttv

dt

dva

yx

y

y

y

yy

)/44,0()/62,0(

/44,0

.1,9.0).44,0.(1

.1,9.44,0

22

2

1011

01

Representações gráficas:

Exemplo

jmimr )57()25,66(

jsmismv )/5,2()/1,2(

jsmisma )/44,0()/62,0( 22

1) (Halliday, p.84) Um pósitron sofre um deslocamentoe termina com o vetor posição em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron?

2) (Halliday, p.84) O vetor posição de um íon é inicialmentee 10s depois passa a ser , com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média durante os 10s?

3) (Halliday, p.85) Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por

a) Escreva a expressão para sua velocidade em função do tempo;b) Escreva a expressão para sua aceleração em função do tempo;

Problemas Propostos

kjir 632

kjr 43

kjir 265

kjir 282

ktjtir 24

4) A velocidade inicial de um próton é ; após 4s, passa a ser (em m/s). Para esses 4s, determine quais são:a) a aceleração média do próton na notação de vetores unitários;b) o módulo do vetor aceleração média;c) o ângulo entre o vetor aceleração média e o semi-eixo x positivo.

Problemas Propostos

kjiv 324

kjiv 522