fisica

Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio José Bronzeado Sobrinho

EEEFMJBS

Sumário

MOVIMENTO

A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.

Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos.

MOVIMENTO

Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.

MOVIMENTO

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

É um movimento periódico linear em torno de uma posição de equilíbrio.

A0-A

A, -A: amplitude do MHS

0 é a posição de equilíbrio.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)

Consideremos o sistema massa mola:


A força restauradora é função apenas da deformação

Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:

Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

x

x =x dFdx 0


Sendo que

Portanto

Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

dFdx =−k

x =− kx


A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:

Chegando a


+ωx= 0ou

Esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:


Combinando tais propriedades, podemos dizer que

onde C1 e C2 são constantes.

Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.

Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

x t =C 1 x1 t +C 2 x2 t

x t =e λt

logo

derivando, encontramos que

logo a solução geral da equação diferencial geral fica

λ=± iω

x t =C 1eiωt+C 2 e

−iωt

Lembrando que

e±iωt=cos ωt ± isen ωt


Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.

fazendo

C1+C2=AsenαC1+C2=Acos α

x t =Asen α cos ω t + iA cos α sen ω t


Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:



x t =A . cos ω . t+φ f=1T

ω= 2.π . f

ω= 2πT

ω= Km

T= 2πmK

v t =−ω . A . sen ω . t+φ

f=1T

ω= 2.π . f

ω= 2πT

ω= Km

T=2πmK


a t =−ω 2 . A . cos ω . t+φ =−ω 2 . x t

f=1T

ω= 2.π . f

ω= 2πT

ω= Km

T= 2πmK


Onde A é a amplitude de oscilação e e são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.

y x,t Deslocamento

= AmAmplitude

sen kx−ωtfase

δconst . fase

Termooscilatório


A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|.

CICLO – é uma oscilação completa.

PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s).

FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s.


x t =Asen ωt+α Função periódica de 0t de período 2.

ω= 2π / T

FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ.

1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1

f= 1T =

ω2π

f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema.

Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência

ω= 2πf


Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação.

MOVIMENTO

Movimento Vibratório e Ondulatório

Definição: Movimento Ondulatório é o Movimento Vibratório que se propaga em meios elásticos. Por meio elástico entendemos aquele que, deformado, volta ao seu estado primitivo, logo que cessa a causa deformadora. Ex.: gases, líquidos e sólidos.



Abalo ou perturbação: se um ponto de um meio elástico contínuo recebe uma modificação qualquer em suas condições físicas (por ex. um movimento, um impulso, uma vibração) diz-se que houve uma ‘perturbação’ ou um ‘abalo’.

Movimento Vibratório e Ondulatório A energia da perturbação se propaga através desse meio em forma de ondas, em todas as direções. Eis alguns exemplos de perturbação em meios elásticos: Ao tocarmos a corda de um violão, causamos um abalo, que se propaga por toda a corda;


Ao jogarmos uma pedra na superfície da água, a perturbação (em forma de ondas circulares) se propaga por toda superfície;


Numa explosão no ar, as ondas sonoras se propagam em todas as direções.


Propagação Transversal:


Propagação Longitudinal:


Propriedades da propagação: batimento:

É o fenômeno resultante da sobreposição de dois trens de ondas com freqüências muito próximas, se propagando na mesma direção. O trem de onda resultante assume, periodicamente, amplitudes máximas e mínimas, podendo estas serem nulas quando a amplitude dos dois movimentos forem iguais.

Movimento Vibratório e Ondulatório Propriedades da propagação: batimento:


Propriedades da propagação: Ressonância:

É o fenômeno pelo qual um corpo em movimento vibratório induz outros corpos, nas proximidades, a vibrarem em concordância com ele. Esta concordância corresponde a freqüência e fase.

A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é:

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

v t =dx t dt

=ddt

[ Acos ωt+ϕ ]v t =−Aωsen ωt+ϕ

a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de A até –A.


A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é:

a t =dv t dt

=ddt [−Asen ωt+ϕ ]

a t =−Aω2cos ωt+ϕ =−ω2 x t

a grandeza A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de A até –A.

Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva.

Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton.

que é a lei de Hooke, para k = m2.


F=ma=m −ω 2 x =− kx

Ponte de Tacoma

Ponte Rio Niterói

O QUE É UMA ONDA?Denomina-se ONDA o movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio.

PROPRIEDADE IMPORTANTE!

Na onda há propagação de energia de um ponto para a outro, sem que haja transporte de matéria.

CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS

QUANTO À NATUREZA

1) Mecânica

2) Eletromagnética


QUANTO À DIREÇÃO DE PROPAGAÇÃO

1) UNIDIMENSIONAIS

2) BIDIMENSIONAIS

3) TRIDIMENSIONAIS


QUANTO À DIREÇÃO DE VIBRAÇÃO

1) TRANSVERSAL

2) LONGITUDINAL

Oscilações Harmônicas Simples:Exemplo

Tudo ao nosso redor oscila!!!

Vamos tratar as oscilações mais simples

regidas pela lei de Hook.

Ondas.

Ondas de superfície.

O Pêndulo.Massa-mola

Principais formas de oscilação

Modos de Oscilação

Modo Simétrico

Modo AntissimétricoTorção

Oscilação

Generalidades das oscilações Livres.

Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos).


Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não-harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A).



Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples:

Pêndulo Simples Pêndulo FísicoPêndulo de torção

PÊNDULO SIMPLES

PÊNDULO SIMPLESUm pêndulo simples é um sistema ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e leve.Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade.O movimento é periódico e chama-se período de oscilação (T) ao tempo gasto para uma oscilação completa (ida e volta).

Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível.

A força restauradora é a componente tangencial da força resultante:

para pequenos deslocamentos

logo

PÊNDULO SIMPLES

F θ=−mgsenθ

senθ=θ

F θ=−mgθ=−mgL x

A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

A freqüência angular () de um pêndulo simples com amplitude pequena será

ω= km

= mg / Lm

= gL

A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

f=ω2π

=12π g

L

T= 2πω

=1f

=2π Lg

PÊNDULO SIMPLES

PÊNDULO SIMPLESLeis do pêndulo simples

1O período

de oscilação não

depende da amplitude

(para pequenas

amplitudes)

2

O período de oscilação não depende da

massa pendular.

3

O período de oscilação é diretamente

proporcional à raiz quadrada do

comprimento.

PÊNDULO SIMPLESLeis do pêndulo simples

4O período de oscilação é

inversamente proporcional à raiz

quadrada aceleração da

gravidade.

5

O plano de oscilação de um pêndulo simples

permanece constante.

O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.

PÊNDULO FÍSICO

τ z=− mg hsenθ

O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito.

Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples.

τ z=− mgh θ

A equação do movimento ∑ τ z=Iα z

−mgh θ=Iα z=I dθ2

dt 2

dθ 2

dt 2=−mgh

Iθ −ω2θ

Comprovação do movimento de rotação da Terra

A dificuldade em confirmar a rotação da Terra reside no fato de

que se trata de uma rotação muito lenta (0,0007 rotações por

minuto).

Em 1600, Giordano Bruno foi condenado à fogueira pela Inquisição porque

acreditava que a Terra se movia em torno do seu eixo e em torno do Sol.

Trinta e três anos depois, Galileu Galilei só não teve o mesmo destino

porque renunciou à sua convicção científica.

Em 1851, o astrônomo francês Foucault realizou uma bela e simples experiência capaz de demonstrar a rotação da Terra.Com uma corda de 67 metros, fixa no teto do Panteon de Paris, ele suspendeu uma esfera de ferro de 28 kg e imprimiu-lhe um movimento pendular.


Na seqüência, o plano do pêndulo passou a apresentar uma lenta rotação no sentido horário. Este movimento foi facilmente explicado a partir da suposição de que a Terra gira em torno de seu eixo.


No Equador não se percebe movimento de rotação

No Pólo Norte o pêndulo dá uma volta

completa a cada 24 horas

Em Paris o pêndulo completa uma volta

a cada 31 horas e 47 min

Comportamento do pêndulo de Foucault


Jean Bernard Leon Foucault

(1819-1868)

Em 1851, eu demonstrei o movimento de

rotação da Terra.

Determinação da aceleração da gravidade

Para se determinar a aceleração da gravidade em um ponto qualquer da Terra basta dispor de um pêndulo simples, um cronômetro e uma régua (ou trena).


Com a régua (ou trena) mede-se o comprimento do pêndulo L

Com o cronômetro mede-se o período de oscilação do pêndulo T

T = 2.. Lg g = 4. 2 L

T2

isolando g


Determinaremos a aceleração da gravidade onde um pêndulo de 1 metro oscila com um período de 2 segundos.

2 = 2.. 1g

T = 2.. Lg

g = 2

g = 3,142

g = 9,86 m/s2

PÊNDULO FÍSICO

A freqüência angular () de um pêndulo físico com amplitude pequena será

ω= mghI

A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

f=ω2π

=12π mgh

I

T= 2πω

=1f

=2π Imgh

PÊNDULO FÍSICO

PÊNDULO TORÇÃO

Movimento HarmônicoSimples- ANGULAR

Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR.

Movimento HarmônicoSimples- ANGULAR

O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular 0.

Em t = 0, a fase inicial = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

θ=ω0 t+α

COSθ= x t A

θ=ω0 t+α

x t =ACOS ω0 t+α

O deslocamento no movimento circular é

conhecendo o deslocamento, podemos encontrar

Movimento HarmônicoSingular- ANGULAR

Movimento HarmônicoSingular- ANGULAR

Enquanto uma partícula descreve um MCU, sua projeção descreve um

MHS.

x

y

x

θ

A

cosθ= xA

x=A . cos θ

Mas:

Θ=ω.t

EQUAÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MHS

x=A . cos ω . t+θ 0

ω é a velocidade angular

Θ0 é a fase inicial.

V=−ω . Asen ω . t+θ 0

a=−ω2 . A cos ω . t+θ0

EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MHS

EQUAÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO NO MHS

x=A . cos ω . t+θ0 v=−ω . Asen ω . t+θ0

a=−ω2 . Acos ω . t+θ0 {}{} {}

x=Av=0

a=−ω2 . A{}{} {}

x=−Av=0

a=ω2 . A{}{}{}

A0-A

x= 0v=∓ω . A

a=0{}{} {}

VALORES MÁXIMOS DE x, V e a

A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x.

integrando

substituindo x(t)

ENERGIA NO MHS

dW=− Fdx=kxdx

dW= 12 kx2=U

U= 12 kA2 sen2ωt+ϕ

Que é a energia potencial do meu sistema.

A energia total do oscilador harmônico será

ENERGIA NO MHS

E=K+U

E=12mω2 A2 [ sen2 ωt+ϕ cos2 ωt+ϕ ]

E=12mω2 A2=const

E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

Energias num MHS

ENERGIA NO MHS

Energia mecânica total do MHS é proporcional ao quadrado da amplitude.

2

2

dx d xkx b mdt dt

ENERGIA NO MHS

ENERGIAS NO MHSConsidere um sistema massa-mola, de constante elástica k.

-A 0 +A

F=− k . x

k . A cosΘ=mω2 . A cosθ

Aplicando a 2ª lei de Newton (F=m.a) :

ω= km

ENERGIAS NO MHS

E c=m .v2

2

E P=k . x2

2 E M =E c+E p

E M= k . A2

2

ENERGIAS NO MHS

A0-A

E c=0

E P=k . A2

2

EM= k . A2

2{}{}{}

E c=0

EP=k . A2

2

EM= k . A2

2{}{}{}

E c=m .v 2

2EP=0

EM= k . A2

2{}{}{}

ENERGIAS NO MHS

A IMPORTÂNCIA DO MHS PARA A FÍSICA

Universidade Federal Ruraldo Semiarido – UFERSA-Jusciane da Costa e Silva

BIBLIOGRAFIA

http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/pendolo/pendolo_ita.htm

Prof. Dr. João Candido Fernandes-Unesp-Campus de Bauru-LABORATÓRIO DE ACÚSTICA E VIBRAÇÃOProf. Dr. João Candido Fernandes-Unesp-Campus de Bauru-LABORATÓRIO DE ACÚSTICA E VIBRAÇÃO

PROF. RENATO NUNES-Ondulatória

fisica

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