fisica nuclear

Notas de aula deFısica Nuclear e de Partıculas

c©Claudio Graca

Departamento de Fısica - CCNEUniversidade Federal de Santa Maria UFSM

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23 de Novembro de 2012

Notas de aula de Fısica Nuclear e de Partıculas

c©2012 by Claudio de Oliveira Graca

Notas de aula de Fısica Nuclear e de Partıculas, em nıvel introdutorio, paraestudantes de Fısica e Engenharia e para todos aqueles que tenham interessepelo tema. O texto foi compilado pelo autor e e de sua responsabilidade, estasendo aperfeicoado a cada semestre, sendo vedada a sua reproducao ou copiasem autorizacao expressa do mesmo.

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Impresso na Imprensa Universitaria da UFSM, Santa Maria-RS BRASIL.

G729n Graca, ClaudioNotas de aula de Fısica Nuclear e de Partıculas /

ClaudioGraca. - Santa Maria: UFSM, CCNE, Departamento

de Fısica,2012.

381p.:il.-(Serie Didatica, Fısica Nuclear)

1. Fısica 2. Fısica Nuclear I. Tıtulo.

CDU: 539.1

Ficha catalografica elaborada porMarisa Severo Correa CRB-10/734Biblioteca Central da UFSM

c© Claudio Graca 2


Prefacio

A fısica nuclear e uma das mais importantes areas da fısica e do co-nhecimento contemporaneo, dela obtivemos varias respostas fundamentais masainda esperamos mais algumas acerca dos componentes mais fundamentais damateria, as partıculas fundamentais e das forcas fundamentais que regem assuas interacoes. E muito difıcil encontrar alguma area da ciencia que nao uti-lize tecnicas nucleares aplicadas, com aplicacoes relevantes em Medicina, En-genharia, Quımica, Biologia, Geologia e Astrofısica e muitos sao os campos dapropria Fısica onde isso tambem ocorre. Consequentemente, os conhecimentosde Fısica Nuclear devem fazer parte da formacao basica de todos os estudantesuniversitarios das areas cientıficas e tecnologicas.

Como a bibliografia especializada e muito extensa, com poucos livros es-critos em lıngua portuguesa, decidimos compilar de fontes classicas, utilizandoas experiencias didaticas na sala de aula, um texto em forma de notas de aula,com o intuito de incentivar o leitor a ir a fontes especializadas de seu interesse.

Estas notas de aula sao baseadas num curso semestral de Fısica Nu-clear e de Partıculas para os cursos de Fısica, Licenciatura e Bacharelado e deIntroducao a Engenharia Nuclear, da Universidade de Santa Maria-RS.

O conteudo e extenso e trata alguns assuntos de forma simples visandointroduzir o leitor ao assunto e o carater qualitativo dado a alguns temas, semsacrificar o conteudo fısico, demonstrando que as mesmas foram elaboradascom o intuito unico de servirem como roteiro de aulas, portanto devem sempreser acompanhadas pelo estudo na bibliografia indicada ao fim de cada capıtulo.Durante os ultimos semestres varios alunos nos ajudaram a aprimorar estasnotas. Aos novos leitores agradecemos possıveis contribuicoes no sentido indicarincorrecoes ou mesmo sugestoes.

Claudio Graca [email protected]

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Conteudo

1 Introducao as Propriedades Nucleares 11.1 Tabela de Nuclıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Estabilidade Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Propriedades nucleares fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Tamanho Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Densidade de Massa e de Carga Eletrica . . . . . . . . . 41.2.3 Forma dos Nucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Massa e Energia de Ligacao dos Nucleos . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Energia de Separacao do Ultimo Nucleon . . . . . . . . 81.3.2 Espectrometro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Cinematica das Reacoes Nucleares . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Caracterısticas das Forcas Nucleares . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Potencial de Yukawa e Teoria dos Mesons . . . . . . . . . . . . 121.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Modelos Classicos do Nucleo 192.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Formula Semi-Empırica de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Massa Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Modelo da Formula Semi-Empırica de Massa . . . . . . 222.2.3 Parametros da FSEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.4 Analise e fundamentos dos termos da FSEM . . . . . . 242.2.5 Aplicacoes da FSEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.6 Interpretacao Quantica da FSEM . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Modelo de Camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Propriedades Quanticas dos Estados Nucleares . . . . . 31

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CONTEUDO Notas de aula de Fısica Nuclear e de Partıculas

2.3.2 Spin Isotopico ou Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3 Fundamentos dos Modelo de Camadas . . . . . . . . . . 362.3.4 Camadas Nucleares e Analogia com o Atomo . . . . . . 382.3.5 Interacao Spin-Orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Modelo Coletivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Decaimento Radioativo 513.1 Lei do Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1 Unidades de Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Decaimento e Series Radioativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Aplicacoes do Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Datacao Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Radiacoes Nucleares 614.1 Decaimento Alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Penetracao da Barreira de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Decaimento Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Emissao de Neutrinos e Forcas Fracas . . . . . . . . . . 694.3.2 Experimento de Cowan-Reines para a detectar neutrinos 74

4.4 Decaimento Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.1 Taxas de transicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.2 Regras de selecao e Transicoes Dominantes . . . . . . . 83

4.5 Conversao Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Reacoes Nucleares 875.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Modelos classicos para as reacoes nucleares . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Aplicacao das Leis de Conservacao . . . . . . . . . . . . 895.2.2 Conservacao de energia e quantidade de movimento . . 905.2.3 Outras leis de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.4 Tipos de Reacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.5 Espalhamento de uma partıcula por um Potencial Central 985.2.6 Espalhamento neutron-proton . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Aceleradores de Partıculas 1056.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1.1 Tipos de Aceleradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2 Fundamentos Fısicos dos Aceleradores . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.1 Partıculas com Altas Energias . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.2 Energia Efetiva de Colisao . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.3 Moderacao do feixe de Partıculas . . . . . . . . . . . . . 1156.2.4 Experimentos com Alvos Fixos e Feixes Colidentes . . . 1166.2.5 Aceleradores Cockroft Walton . . . . . . . . . . . . . . 117

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6.2.6 LINAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3 Aceleradores Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.1 Ciclotron de Lawrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.2 Sincrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.3 Aneis de Armazenamento e Aceleradores de Feixes Coli-

dentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3.4 Radiacao Eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.4 Informacoes sobre os Aceleradores Importantes . . . . . . . . . 1236.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7 Detetores de Radiacao 1297.1 Detetores baseados na Ionizacao Gasosa . . . . . . . . . . . . . 130

7.1.1 Camaras de Ionizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1.2 Contadores Proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.3 Contadores Geiger-Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2 Detetores de Cintilacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.3 Detetores a Semicondutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4 Detetores de tracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.4.1 Camaras de borbulhas e camaras de nevoa . . . . . . . . 1367.4.2 Detetores em experimentos com feixes de colisao . . . . 137

8 Interacao da Radiacao com a Materia 1418.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Passagem da Radiacao pela Materia . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3 Interacao de partıculas com carga eletrica com a materia . . . . 142

8.3.1 Formula de Bethe-Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.3.2 Efeitos estatısticos do Espalhamento . . . . . . . . . . . 1468.3.3 Calculo do Stopping Power para Materiais . . . . . . . . 1488.3.4 Perda de radiacao por frenamento (Bremsstrahlung). . . 1488.3.5 Radiacao de Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.4 Interacao da Radiacao Eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . 1508.4.1 Descricao classica do espalhamento . . . . . . . . . . . . 1518.4.2 Descricao Quantica do Espalhamento . . . . . . . . . . 1528.4.3 Espalhamento de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.4.4 Efeito Foto-Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4.5 Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4.6 Formacao de Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.5 Chuveiros de Eletrons e Fotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.6 Interacao de Neutrons com a Materia . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.6.1 Moderacao e termalizacao de neutrons . . . . . . . . . 1568.7 Fundamentos fısicos da Dosimetria das Radiacoes . . . . . . . . 158

8.7.1 Grandezas Basicas da Dosimetria . . . . . . . . . . . . . 1598.7.2 Unidades Dosimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

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8.7.3 Normas de Protecao Radiologica . . . . . . . . . . . . . 1628.7.4 Estrategias para a Reducao de Dose . . . . . . . . . . . 1638.7.5 Medidas de Seguranca em um Laboratorio de Fısica Nu-

clear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9 Fissao e Fusao 1699.0.1 Energia Liberada na Fissao . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.0.2 Aplicacao do Modelo da Gota Lıquida a Fissao . . . . . 170

9.1 Fısica de Reatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.1.1 Reator Nuclear de Fissao . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.2 Fusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.2.1 Reacoes de Fusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2.2 Condicoes Fısicas para a Fusao Controlada . . . . . . . 1779.2.3 Criterio de Lawson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1809.2.4 Fundamentos do Confinamento . . . . . . . . . . . . . . 1809.2.5 Fundamento da Fısica do Plasma . . . . . . . . . . . . . 1819.2.6 Parametros de interesse para definir o Plasma . . . . . . 182

9.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10 Modelo Padrao: Partıculas Elementares 19110.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.2 Partıculas e Anti-partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.2.1 Unidades Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19410.3 Classificacao das Partıculas pelos Processos de Interacao . . . . 195

10.3.1 Hadrons: barions e mesons . . . . . . . . . . . . . . . . 19510.3.2 Leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19510.3.3 Quarks e Gluons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.4 Classificacao segundo a Estatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.5 Interacoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.5.1 Partıculas intermediadoras de forca . . . . . . . . . . . . 19910.6 Leis de Conservacao e Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.6.1 Relacao de Gell-Mann Nishijima . . . . . . . . . . . . . 20510.6.2 Violacao dos Numeros Quanticos . . . . . . . . . . . . . 205

10.7 O Modelo de Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.7.1 Novos Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.8 Dinamica de Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20810.8.1 Cromodinamica Quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20910.8.2 Teoria Eletrofraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.8.3 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21510.8.4 Reversao Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21610.8.5 Conjugacao de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710.8.6 Teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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10.8.7 Simetrias de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21810.9 Evolucao do Modelo Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.9.1 Teorias de Grande Unificacao, GUT . . . . . . . . . . . 22110.10Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11 Alquimia Estelar A Origem dos Elementos Quımicos 22711.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.2 Fontes de Informacao sobre a Composicao do Universo . . . . . 229

11.2.1 Dados de Analise Quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . 23011.2.2 Analise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.2.3 Raios cosmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23211.2.4 Sumario sobre a Composicao do Universo . . . . . . . . 233

11.3 Energia Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23411.3.1 Diagrama Hertzsprung-Russel . . . . . . . . . . . . . . . 235

11.4 Estagios da Sıntese Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24111.4.1 Condicoes Iniciais e Sıntese Primordial . . . . . . . . . . 24211.4.2 Nucleosıntese por Reacoes Termonucleares . . . . . . . . 24511.4.3 Estudo da Sequencia de Reacoes Nucleares. . . . . . . . 24711.4.4 Sıntese dos Elementos Pesados . . . . . . . . . . . . . . 25011.4.5 Localizacao dos Processos de Sıntese Nuclear . . . . . . 251

11.5 Evolucao Estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.5.1 Queima de Helio nas Gigantes Vermelhas. . . . . . . . . 25311.5.2 Anas Brancas, Estrelas de Neutrons e Buracos Negros. . 25311.5.3 Estagios Sucessivos de Queima nas Estrelas Pesadas. . . 25411.5.4 Explosao de Supernovas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511.5.5 Neutrinos Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25711.5.6 Experimentos para Detectar Neutrinos. . . . . . . . . . 258

11.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

A Constantes Fısicas Fundamentais∗ 265

B Tabela de Massas Atomicas 267

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CAPITULO 1

Introducao as Propriedades Nucleares

A comparacao entre a estrutura de um atomo e a do nucleo nos mostraque este possui algumas caracterısticas novas. A primeira, que realmente odestaca, e a sua massa, tao grande que permite considerar o movimento doseletrons como num sistema quase inercial. Assim, em alguns modelos sim-plificados, se considera que as forcas nucleares podem ser representadas, emprimeira aproximacao, por um campo de forcas medio. As partıculas que cons-tituem o nucleo, neutrons e protons, possuem praticamente a mesma massa ese movimentam em um sistema de forcas de interacao mutua nao centrais, exi-gindo que essa hipotese simplificativa possa ser corrigida adicionando-se umacorrecao nao-central ao campo inicialmente considerado. Um outro aspectoimportante, relacionado com a carga eletrica, e que as forcas eletricas entreprotons, do tipo repulsivo, sao forcas eletromagneticas contrarias a estabili-dade nuclear. Mas, como a interacao nuclear ou interacao forte e muito maisintensa do que a eletromagnetica produz-se uma grande estabilidade se com-parada com a do atomo. Apesar de um seculo de pesquisa a respeito do nucleoexistem ainda muitas caracterısticas a investigar, entre elas a natureza daspartıculas elementares e a dinamica das forcas que as mantem unidas.

1.1 Tabela de Nuclıdeos

Para identificar o nucleo atomico utilizam-se dois numeros inteiros, onumero atomico Z e o numero de massa A. Estes numeros estao relacionados daseguinte forma: A = N +Z, onde N representa o numero de neutrons. A partir

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Capıtulo 1 Notas de aula de Fısica e de Partıculas

da Tabela Periodica ou de Mendeleyev, adicionando-se mais um grau de liber-dade, o numero de neutrons N , podem-se descrever todas as especies nuclearestambem denominados nuclıdeos organizados em uma Tabela de Nuclıdeos .Conforme nos mostra a Fig. 1.1, nessa tabela, apresenta-se a funcao A

ZX.Pode-se verificar que para numeros atomicos ate aproximadamente Z = 30encontram-se os nuclıdeos estaveis, seguindo a regra N ≈ Z, o que indica quenesta regiao existe uma independencia da interacao nuclear com respeito acarga eletrica. Para valores maiores de numero atomico, a linha de nuclıdeosestaveis se afasta desta inclinacao fazendo com que gradativamente o numerode neutrons se torne cada vez maior em relacao ao numero atomico, ou seja,N > Z. Esta observacao pode ser interpretada como sendo o resultado danecessidade natural de contrabalancar as forcas repulsivas eletromagneticas,aumentando as forcas nucleares para atingir maior estabilidade. A Tabelade Nuclıdeos permite observar graficamente a classificacao de tres classes denuclıdeos, os isotopos os isobaros e os isotonos:

• isotopos sao os nuclıdeos com o mesmo numero atomico mas diferentenumero de neutrons, por isso, se encontram no mesmo lugar na tabelade Mendeleyev. Quimicamente estes elementos sao indistinguıveis e selocalizam na Tabela 1.1 em linhas verticais;

• Isobaros sao aqueles elementos que apresentam o mesmo numero de massa,portanto, se localizam em diagonais normais a linha de elementos estaveis;

• Isotonos sao elementos que apresentam o mesmo numero de neutrons,portanto, se localizam em linhas horizontais.

A Tabela de Nuclıdeos pode ser facilmente encontrada, em varias versoes,na rede web, e um excelente exemplo dessas tabelas e o aplicativo Nucleus [1],do tipo software livre.

1.1.1 Estabilidade Nuclear

Em todas as tabelas de nuclıdeos se utiliza um codigo de cores, queem geral e caracterizado por tres cores, o azul que corresponde aos emissoresβ−, o salmao que corresponde aos emissores de positrons β+ e o amarelo quecorresponde aos emissores α. Alem destas, outras cores sao utilizadas paraidentificar emissores de protons, elementos que se auto-fissionam, etc.

As reacoes de decaimento tambem podem ser observadas na tabela denuclıdeos de forma muito simples. Os decaimentos β, Eq. 1.1, Eq. 1.2 e Eq.1.3 bem como o decaimento α, Eq. 1.5, ou mesmo outras reacoes nucleares dotipo, Eq. 1.4 podem ser mostrados facilmente nessa tabela, como nos exemplosque vamos dar nas figuras, Fig. 1.2 e Fig. 1.3.

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Figura 1.1: Tabela de Nuclıdeos, com as linhas de estabilidade beta entreisobaros.

• Decaimento β: O decaimento beta, compreende tres diferentes reacoesde decaimento, a emissao de β−, de β+ e a captura eletronica orbital EC.

β− → AZX →A

Z+1 Y + β− + ν, onde n → p + β− + ν, (1.1)

β+ → AZX →A

Z−1 Y + β+ + ν, onde p → n + β+ + ν, (1.2)

EC → AZX + e− →A

Z−1 Y + ν, onde p + e− → n + ν. (1.3)

• Decaimento α: onde as partıculas alfa sao nucleos de atomos de heliocom energia cinetica devido ao processo de decaimento radioativo. Oesquema de decaimento pode ser observado na Fig. 1.3.

AZX →A−4

Z−2 Y + α (1.4)

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Figura 1.2: Tabela de Nuclıdeos, es-quema de decaimento β− e β+.

Figura 1.3: Tabela de Nuclıdeos, es-quema de decaimento alfa.

• Outras Reacoes Nucleares: as reacoes nucleares produzidas em ace-leradores ou reatores, como as das equacoes 1.5, sao mostradas em umfragmento da Tabela de Nuclıdeos conforme a Fig. 1.4.

Figura 1.4: Tabela de Nuclıdeos, esquema de varias reacoes nucleares.

As regras basicas para representar estas reacoes sao a conservacao dacarga eletrica e do numero de nucleons, seguindo a representacao re-sumida na qual, X, representa o nucleo alvo e Y nucleo produto. Aspartıculas, em parenteses, indicam, em ordem, a partıcula incidente eproduto.

AZX (p, n)A

Z+1Y

AZX (p, γ)A+1

Z+1Y

AZX (α, pn)A−2

Z+1Y

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AZX (n, γ)A+1

Z YAZX (n, p)A

Z−1Y (1.5)AZX (n, α)A−3

Z−2Y

AZX (γ, p)A−1

Z−1Y

AZX (D, α)A−2

Z−1Y

1.2 Propriedades nucleares fundamentais

1.2.1 Tamanho Nuclear

O tamanho nuclear foi medido pela primeira vez por Rutherford , Geigere Marsden observando a distancia mınima atingida por partıculas α ao se cho-car com o nucleo, a partir da qual o espalhamento nao seria mais puramentecoulombiano. O estudo sistematico do decaimento alfa mostra que as partıculasalfa, como as emitidas pelos elementos radioativos naturais com energia da or-dem de 5 MeV , penetram a barreira de potencial nuclear, como esta mostradona Fig. 1.5, com energias muito inferiores a barreira de potencial e, mesmoassim, podem sair do nucleo.

Figura 1.5: Barreira de potencial coulombiano atravessada por uma partıculaalfa com energia E.

Diante desses fatos experimentais, a definicao do tamanho nuclear deveser feita de forma cuidadosa, pois na realidade, as dimensoes sub-atomicas sopodem ser definidas em termos do valor esperado do operador de coordenadasem um dado estado quantico. Como para o nucleo nao se conhece uma ex-pressao de forca, pode-se obter esse valor a partir de diferentes experimentos.Dos experimentos tipo Rutherford pode-se obter a distancia mınima que umapartıcula alfa de energia cinetica Ec atinge o nucleo, num choque frontal, poisquando a energia cinetica da partıcula alfa se iguala ao potencial Coulombiano

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tem-se a distancia mınima de aproximacao:

Ec =2eZe

4πεoRo, portanto Ro =

2Ze2

4πεoEc. (1.6)

Uma forma muito simples de determinar o valor de Ro e a partir davariacao da energia potencial coulombiana no decaimento radioativo, como porexemplo o decaimento de positrons. Num exemplo em que o 15O decai para o15N , a unica diferenca de energia e eletrostatica, pois um proton do primeirose transforma em um neutron do segundo e dessa maneira e possıvel relacionaressa energia da seguinte forma:

∆U =35

14πεo

e2

R[Z2 − (Z + 1)2], (1.7)

considerando que a energia potencial coulombiana de um nucleo esferico possaser aproximada por,

U =35

14πεo

q2

R.

Dessa maneira, a medida da energia do decaimento, igual a ∆U , permitefazer uma estimativa do raio nuclear. Nesse caso particular, por se tratar denucleos espelho, a energia potencial associada a interacao forte e a mesma paraos dois nucleos. Em geral, se considera o valor de Ro variando entre 1, 2 e1, 6 fm. Este valor tambem pode ser avaliado utilizando simples argumen-tos quanticos, considerando, por exemplo, que para existir um nucleon commomento ~p no interior do nucleo o seu comprimento onda de de Broglie deveser:

−λ =h

p=

hc

2mc2Ec, (1.8)

onde −λ = λ/2π. O comprimento de onda, da ordem do tamanho nuclear,corresponde a condicao do primeiro estado ligado, ou seja, 2πRo = 1.λ ouRo ∼−λ.

Experimentos de espalhamento de eletrons permitiram definir um fatorde forma para o nucleo tornando possıvel obter uma expressao muito simplespara o raio nuclear medio em funcao do numero de massa do nucleo:

R = RoA1/3. (1.9)

Esta relacao foi comprovada em varios tipos de experimentos fornecendodados compatıveis entre si. O fato do raio nuclear ser proporcional a A1/3

permite dizer que o volume nuclear e proporcional ao numero de massa A.Como a massa nuclear tambem e proporcional a A, conclui-se que as densidadesde massa sao muito proximas a 1017kg/m3. A partir desses resultados foipossıvel estabelecer o modelo da gota lıquida para o nucleo.

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1.2.2 Densidade de Massa e de Carga Eletrica

Considerando que os nucleos sao aproximadamente esfericos, com umraio dado pela Eq. 1.9, pode-se obter uma aproximacao razoavel para as den-sidades de massa e de carga:

ρm =A

43πR3

oA=

34π

R−3o [

nucleonsm3

], (1.10)

ρq =Z

43πR3

oA= ZA−1 3

4πR−3

o [protons

m3]. (1.11)

A Eq. 1.10 nos mostra que o valor da densidade de nucleons, para Ro = 1, 2 fm,vale aproximadamente:

ρm ' R−3o = 0, 14 [nucleons/fm3]. (1.12)

Como consequencia, a relacao entre as densidades de massa e carga sera:

ρm

ρq=

A

Z. (1.13)

Este modelo simplificado para as densidades, foi melhorado ao se estudaro espalhamento de eletrons de energias superiores a 200 MeV por nucleosatomicos. A distribuicao obtida e do tipo Woods-Saxon e pode ser representadapela equacao:

ρ =ρo

1 + e(r−Ro)/a. (1.14)

Esta funcao, mostrada na Fig. 1.6, e praticamente constante no interiorno nucleo e cai suavemente a zero na superfıcie, mostrando-nos que a me-dida do raio do nucleo depende das caracterısticas da distribuicao de nucleons,especialmente na superfıcie, onde se pode definir a chamada espessura de su-perfıcie, com valor aproximado t = 4, 4a. O valor de t e definido como sendo adistancia entre pontos a 90% e 10% da densidade, do caroco central. A analisedos resultados experimentais resultaram nos seguintes parametros aproxima-dos para a maioria dos nucleos atomicos: a = 0, 55fm; ρo = 0, 165fm−3;Ro = 1, 07− 1, 2fm.

As dimensoes do nucleo podem ser medidas pela atenuacao e espalha-mento de um feixe de partıculas. Diferentes tipos de partıculas oferecerao resul-tados compatıveis, mas nao identicos, pois caso as partıculas sejam os neutronsa sua interacao nao dependera da densidade de carga eletrica, como no casode protons. Resta lembrar, que tanto os valores teoricos como os obtidos emexperimentos de espalhamento devem ser normalizados atraves das relacoes:

∫

V

ρm(r)dV = A;∫

V

ρmq(r)dV = Ze. (1.15)

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Figura 1.6: Funcao de Woods-Saxon para a distribuicao de massa no nucleoatomico.

1.2.3 Forma dos Nucleos

Os nucleos atomicos apresentam uma forma proxima a esferica, preci-samente forma elipsoidal, mas nunca ultrapassando 20% de diferenca entreas dimensoes do eixo maior e menor. Os desvios da distribuicao de carga emassa sao os responsaveis pelos desvios da forma em relacao a esferica. Essasdistribuicoes estao diretamente relacionadas com tres propriedades basicas donucleo, que sao o momento angular total, o momento de dipolo magnetico e osmomentos eletricos associados a distribuicao de carga no nucleo.

Momento Angular e Momento Magnetico

O momento angular total, sera denominado de ~J , por resultar do aco-plamento de todos os momentos angulares dos nucleons. Tanto protons comoneutrons possuem momento angular orbital e momento de spin, portanto o mo-mento angular total sera a composicao destes momentos para todos os nucleons.Os nucleons sao fermions e portanto possuem spin 1/2. O momento angularnuclear total, representado por um numero quantico J podera entao ser divi-dido em duas partes, o momento angular devido ao movimento orbital L e omomento de spin S. No caso dos nucleos par-par o momento angular total seraJ = 0, devido ao efeito de emparelhamento. Os nucleos par-ımpar, ou sejanumero de protons ou neutrons ımpar, terao o momento angular semi-inteiro,pois o momento angular correspondera a soma dos momentos angulares naoemparelhados. Dessa maneira, pode-se definir o momento angular total ~J deum nucleo como sendo,

~J =A∑

i

(~L + ~S)i. (1.16)

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Momento Dipolar Magnetico

O movimento de cargas produz um momento magnetico orbital mais ummomento magnetico de spin, relacionados com o momento angular da seguinteforma:

~ML = (q

2m)~L (1.17)

~MS = gs(q

2m)~S (1.18)

Evidentemente, so os protons possuem momento magnetico orbital, por-tanto, a projecao do momento angular orbital segundo o eixo z sera dado por:

MLz =e

2mpLz =

eh

2mpml = µNml, (1.19)

onde a constante µN e o denominado magneton nuclear :

muN = 5, 0504× 10−27J.T−1

. No caso do spin, tanto neutrons como protons, possuem o seu momentomagnetico dado por:

MS,z = gsµNms,

onde a razao giromagnetica de spin sera respectivamente,

gs,p = +5, 5855 e gs,n = −3, 8263,

onde o valor negativo indica que, no caso do neutron, o momento magnetico eanti-paralelo ao momento angular.

O momento magnetico total, na direcao z, sera,

Mz = gJ(e/2mp)Jz ou seja, Mz = µNJNmJ .

Dessa forma, no caso dos protons e neutrons, que individualmente pos-suem J = 1/2, os momentos magneticos serao dados por:

µp = +2, 7927 µN ; µn = −1, 9131 µN .

A existencia dos numeros magicos, que correspondem aos nuclıdeos comcamadas fechadas de neutrons e protons, foi sugerida em decorrencia do aco-plamento do momento angular orbital com o de spin. A ideia de emparelha-mento de momentos totais de cada nucleon foi confirmada experimentalmente eSchmidt em 1937 conseguiu estender esse conceito aos momentos magneticos dedipolo. A determinacao experimental da razao giromagnetica para os nucleonse a observacao do acoplamento L − S, podem ser feitas atraves das chama-das linhas de Schmidt, encontradas no livro de Segre [2] e serao estudadas nocapıtulo de modelos nucleares.

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Momento Quadrupolar Eletrico

O momento de quadrupolo eletrico de uma distribuicao de protons, (soprotons possuem momento quadrupolar eletrico), sera dado por:

Q =∑

i

e(3z2i − r2

i ) (1.20)

Em geral o momento de quadrupolo e definido com sendo um operador do tipo:

Q∗ =∑

i

(3z∗2i − r∗2i ) (1.21)

Onde o valor esperado desse operador, para um nucleo de numero atomicoZ, nos indicara uma distribuicao de carga esferica ou nao.

< Q > = Z < Ψ∗[3z2 − (x2 + y2 + z2)]Ψ > (1.22)

< Q > > 0 para z2 > x2, y2 prolato (em forma de melancia) (1.23)< Q > = 0 para z2 = x2 = y2 esferico (1.24)< Q > < 0 para z2 < x2, y2 oblato (em forma de disco voador)(1.25)

Na Fig. 1.7, se observam os desvios dos valores de quadrupolo eletrico, econsequentemente da forma esferica, obtidos experimentalmente, observando-se que para nucleos com Z e N proximos aos numeros magicos o momento dequadrupolo eletrico e nulo.

1.3 Massa e Energia de Ligacao dos Nucleos

A massa M de um isotopo AZX, que contem Z protons e N = A − Z

neutrons, pode ser obtida a partir da massa dos seus constituintes, os protons eos neutrons, desde que se leve em consideracao a fracao de empacotamento oudiferenca de massa que representa a energia de ligacao necessaria para formar oisotopo considerado a partir de protons e neutrons livres. Portanto ao realizara medida da massa nuclear, se revela que ela e sempre menor do que a somadas massas de seus constituintes, ou seja:

M(Z,A) < Zmp + Nmn, (1.26)

onde as massas dos protons e dos neutrons, sao conhecidas experimentalmente,como sendo iguais a:

mp ' 938, 27 MeV/c2 e mn ' 939, 56 MeV/c2. (1.27)

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Figura 1.7: Desvios do valor de quadrupolo eletrico.

Portanto a massa de um isotopo podera ser calculada, conhecendo-se a diferencade massa atraves de:

M(Z,A) = Zmp + Nmn −∆M (1.28)

No caso do deuteron, a diferenca de massa e dada por,

∆M = mp + mn −M(1,2) = 938, 272 + 939, 566− 1875, 613 = 2, 225MeV

A tabela de massas atomicas em uma, conforme de uma publicacaorecente de Washra e Qudi[3], e reproduzida no Apendice B. Nessa tabela, asmassas atomicas incluem os eletrons, podendo ser utilizadas, pois a diferencaentre as energias de ligacao e de apenas alguns eV , podendo ser desprezadana maioria dos calculos. Varias outras publicacoes representam a tabela demassas, em termos do excesso de massa atomica, definido por:

δM(Z, A) = M(Z, A)−A [uma] (1.29)

Nesta equacao se pode observar que ao contrario da energia de ligacao o excessode massa pode ter valores positivos e negativos, ou mesmo zero, dependendo dadefinicao de uma para construir a tabela. Nas tabelas atuais, como o padrao ea massa do 12C, o excesso de massa e nulo para esse isotopo.



1.3.1 Energia de Ligacao entre Nucleons

A diferenca de massa, ∆M , e proporcional a energia de ligacao respon-savel por manter os nucleons fortemente unidos atraves das forcas nucleares. Oseu valor pode ser obtido a partir do valor da energia necessaria para separartodos os nucleons, ate que se tornem de partıculas livres. A energia de ligacao, B, e portanto uma energia intrinsecamente negativa que pode ser calculadapor:

B = ∆M(Z,A)c2. (1.30)

Torna-se importante utilizar a chamada energia de ligacao por nucleon, BN

como sendo a energia necessaria para liberar os nucleons nos seus componentes,

BN =B

A=

∆M(Z,A)c2

A=

[Zmp + Nmn −M(Z, A)]c2

A(1.31)

No caso do deuteron BN = B/2 = 1, 112MeV/nucleon, como se pode observarna Fig. 1.8.

Os valores experimentais de B, obtidos para a maioria dos isotoposestaveis, permitem a construcao da curva de energia de ligacao por nucleon,como a apresentada na Fig. 1.8. Nessa figura se observa que o valor maximo,atinge um pouco menos de 9 MeV para valores de A em torno de 60, ou seja,nas proximidades do ferro. Para elementos mais pesados do que este, a energiade ligacao cai suavemente, permitindo dizer que a energia de ligacao e propor-cional ao valor de A. Em geral, se considera como 8 MeV o valor medio deenergia de ligacao por nucleon, para A > 60.

1.3.2 Energia de Separacao do Ultimo Nucleon

O estudo da estabilidade nuclear utilizando o valor da energia de sepa-racao de um nucleon, seja proton ou neutron, nas proximidades dos nuclıdeoscaracterizados por numeros magicos, permite comprovar a maior estabilidadedestes nuclıdeos, pois pode-se mostrar que a energia de separacao para produzirum desses elementos e muito baixa. A energia de separacao de um nucleon S e aenergia necessaria para remover ate o infinito um nucleon de um nuclıdeo que seencontra no seu estado fundamental, deixando o nuclıdeo resultante tambem noestado fundamental. Em analogia a ionizacao do atomo, a energia de separacaodo ultimo nucleon, pode ser entendida como sendo a energia de separacao doneutron ou proton mais afastado ou seja no ultimo nıvel de energia.

• Energia de separacao de um proton de um nucleo:

Sp(Z,A) = [M(Z−1,A−1) + mp −M(Z,A)]c2, (1.32)= B(Z,A) −B(Z−1,A−1). (1.33)

• Energia de separacao de um neutron:



Figura 1.8: Comportamento da funcao energia de ligacao por nucleon mos-trando um comportamento quase linear para os nuclıdeos pesadosA > 60.

Sn(Z,A) = [M(Z,A−1) + mn −M(Z,A)]c2, (1.34)= B(Z,A) −B(Z,A−1). (1.35)

1.3.3 Espectrometro de Massa

Um instrumento que tem sido utilizado para medir massas atomicas comgrande precisao e o espectrometro de massa de 180o, cujo esquema pode serobservado na Fig. 1.9. Uma fonte de atomos ionizados produz ıons que depoisde acelerados num campo eletrico, por uma diferenca de potencial V , entramnuma regiao em que existe um campo eletrico Es e um campo magnetico Bs

associados, na qual se selecionam partıculas com uma dada velocidade v. Sopartıculas com essa velocidade penetram num outro campo magnetico B normalao vetor velocidade, fazendo com que os ıons se movam em trajetoria circular deraio R. O espectrometro de massa consta entao, de tres componentes basicos, afonte de ıons, o seletor de velocidade e campo magnetico que permite a deflexaode ıons em 180o.

A forca centrıpeta e igual a forca magnetica, portanto:

mv2

R= qvB. (1.36)



Figura 1.9: Espectrometro de massa de 180o, que consta basicamente de umafonte de ıons, um seletor de velocidades e uma camara com campomagnetico homogeneo bem como um sistema de placa fotograficapara determinacao do raio da trajetoria circular.

Consequentemente a massa do ıon sera dada pela medida do raio da trajetoria,

m =qBR

v, (1.37)

onde a velocidade, v, e obtida a partir da expressao da energia cinetica produ-zida no campo eletrico:

12mv2 = qV ; portanto v =

√2qV

m. (1.38)

Introduzindo o valor da velocidade em termos do potencial aceleradorna Eq. 1.37, resulta em:

m =qB2R2

2V. (1.39)

A velocidade v dos ıons deve ser mantida constante para todos os ıons dediferentes massas, mas como em geral o espectro de velocidades da fonte ionicapossui uma distribuicao que depende do processo de ionizacao e aceleracao enecessario utilizar um seletor de velocidades cujos campos magnetico (Bs) eeletrico (Es), normais entre si selecionam somente aqueles ıons com uma dadavelocidade v. As forcas exercidas pelos dois campos terao direcoes opostas edefinem uma dada velocidade da seguinte forma:

FE = FB = qvBs = qEs, v =Es

Bs. (1.40)



Substituindo esta expressao da velocidade na Eq. 1.37, encontra-se uma ex-pressao que nos mostra que os raios das trajetorias circulares sao funcao damassa de cada isotopo,

mi = qBRiBs

Es(1.41)

Como consequencia da Eq. 1.41 a massa mi, para cada isotopo, seradefinida por cada um dos raios de trajetoria Ri, medidos na placa fotografica.A Fig. 1.10 mostra o espectro de massa dos isotopos do xenonio, e nos forneceduas informacoes, a primeira, e o numero de isotopos existentes e a sua massaem funcao de cada posicao de Ri, a segunda, e talvez a mais importante, e aabundancia A medida experimental das massas dos isotopos e baseado em doispadroes o 16O e o 12C, dependendo da area de interesse.

Figura 1.10: Espectro de massa dos isotopos do xenonio

Unidade de Massa Atomica

Como padrao de massa atomica se utilizou no passado o 16O como sendodado por 1/16 da massa desse isotopo. Com a evolucao da quımica organica,passou-se a utilizar um outro isotopo, o 12C, como unidade de massa atomica.As razoes de utilizar tais isotopos sao, em princıpio, as mesmas, ou seja formarinumeros compostos, apenas distanciadas no tempo, pois, o carbono tornou-se muito mais importante do que o oxigenio, por formar um numero muitomaior de compostos, permitindo a comparacao de suas massas em inumeroscompostos quımicos conhecidos. Hoje, a unidade de massa atomica (1 uma) edefinida como sendo,

1 uma =M(12C)

12(1.42)



=112× 12g/mole

6, 0221× 1023/mole× 10−3g/kg (1.43)

= 1, 6606× 10−27kg. (1.44)

Em termos de energia a unidade de massa pode ser convertida a MeVda seguinte forma,

1 uma c2 =1, 6606× 10−27kg(2, 9979× 108m/s)2

1, 6022× 10−13joules/MeV(1.45)

= 931, 49432 MeV (1.46)

1.3.4 Cinematica das Reacoes Nucleares

A massa de um nucleo tambem pode ser calculada a partir das medidasdas energias cineticas dos componentes que interagem numa reacao nuclear.Admitindo que, numa reacao entre uma partıcula x e um alvo X, se produzaum nucleo produto Y e uma unica partıcula y, teremos a reacao:

x + X = Y + y (1.47)

que de forma resumida pode ser representada por

X(x, y)Y.

Na Fig. 1.11 observa-se esta reacao, cujo balanco Q de energia cinetica podeser calculado da seguinte forma:

Q = Eyc + EY

c − ExC − EX

c . (1.48)

Figura 1.11: Reacao nuclear entre uma partıcula x e um nucleo alvo X, resul-tando numa partıcula y e um nucleo Y espalhados.

O balanco de energia cinetica pode ser relacionado as massas dos compo-nentes, pois a energia total e igual a energia cinetica mais a energia em repouso,



E = Ec + mc2. Portanto, pode-se escrever a Eq. 1.48 utilizando o valor dasmassas,

Q = (mx + MX −my −MY )c2. (1.49)

As massas na Eq. 1.49 sao massas em repouso, portanto o valor de Q podeser considerado um invariante de Lorentz. No caso em que tanto o nucleo alvocomo o nucleo produto sejam estados fundamentais, as massas desta expressaopoderao ser obtidas a partir de tabelas de valores experimentais, caso contrario,e isso e muito comum, quando o nucleo produto for formado num estado exci-tado, a massa em repouso deve ser adicionada a energia de excitacao.

Utilizando a leis de conservacao de energia e quantidade de movimentoe possıvel obter uma expressao nao relativıstica para Q:

Q = Eyc

(1 +

my

MY

)− Ex

c

(1− mx

MX

)− 2

√Ex

c Eyc mxmy

MYcosθ. (1.50)

A medida experimental da energia cinetica das partıculas x e y, nospermitira o calculo da massa de um nucleo, caso as massas dos demais sejamconhecidas, pois em geral as energias cineticas tanto do alvo como do nucleoproduto Y sao consideradas como nulas. Num experimento em que se coloqueo detetor a um angulo θ = 90o, a Eq. 1.51 se simplificara, podendo-se mediruma das massas de um nucleo, conhecendo-se a do outro com boa precisao.

Q(θ=π/2) = Eyc

(1 +

my

MY

)− Ex

c

(1− mx

MX

). (1.51)

1.4 Caracterısticas das Forcas Nucleares

As caracterısticas mais importantes das forcas nucleares, decorrentes daobservacao sistematica das propriedades do nucleo, atraves de inumeras reacoesnucleares realizadas, podem ser resumidas atraves das seguintes propriedades:

• as forcas nucleares nao sao centrais

Aparentemente as forcas nucleares se assemelham a interacao entre dipo-los, daı o seu carater tensorial, e a interacao spin-orbita. Dessa maneira,pode-se concluir que as forcas nucleares dependem da orientacao relativados spin dos nucleons.

• as forcas nucleares sao de curto alcance

O alcance das forcas nucleares corresponde as dimensoes nucleares, fatoesse comprovado atraves de experimentos de espalhamento. No caso deespalhamento de protons, a comparacao entre as forcas repulsivas eletricase atrativas nucleares, permitiu concluir este carater de curto alcance.



Nestes experimentos e necessario que os protons possuam suficiente ener-gia cinetica para vencer a energia repulsiva coulombiana ate atingir asuperfıcie nuclear para se perceber que a interacao ocorreu atraves dasforcas nucleares, ou seja, espalhamento de um campo nao central como opuramente coulombiano.

• as forcas nucleares sao independentes da carga eletrica

A observacao de que a interacao nuclear entre nucleons (p − p), (n − p)e (n− n), e independente da carga eletrica permite utilizar a designacaogenerica de nucleons tanto para neutrons como para protons.

• as forcas nucleares possuem um nucleo repulsivo

A separacao, praticamente constante, encontrada entre nucleons, nosmostra que para distancias muito menores do que o tamanho nuclearas forcas nucleares apresentam este carater repulsivo, cujas caracterısticaspodem ser observadas em experimentos de espalhamento nucleon-nucleon.O potencial nuclear mostrado na Fig. 1.12 (b) e (c) nos mostra essecarater repulsivo a curtas distancias.

Os experimentos de espalhamento de partıculas pelo nucleo atomico de-monstraram que as forcas nucleares nao possuem nenhuma analogia com a asforcas gravitacionais ou com as eletromagneticas, ao contrario, o seu caraterde forcas de curto alcance, as distingue das forcas classicas que sao de longoalcance. Como o carater das forcas atomicas pode ser explicado unicamentepela interacao eletromagnetica, podemos dizer que estas nao sao afetadas pe-las forcas nucleares, o que portanto, limita as forcas nucleares as dimensoesnucleares.

Um outro aspecto que tambem mostra o carater de curto alcance, provemda observacao de que energia de ligacao nuclear e praticamente constante nointerior do nucleo. Se as forcas nucleares tivessem longo alcance, como as forcaseletromagneticas, para um nucleo de A nucleons, o seu valor seria relacionadocom o numero de pares de nucleons formados, ou seja, proporcional a 1

2A(A−1). Por isso, a energia de ligacao por nucleon BN deveria crescer linearmentecom o valor de A. Esta e uma das caracterısticas das forcas eletromagneticas,que ao contrario das nucleares, crescem com o numero de pares de partıculasinteragentes. No caso atomico as forcas eletromagneticas crescem com o numerode eletrons e a regiao de interacao permanece mais ou menos constante.

Como as forcas nucleares permanecem relativamente constantes, pode-seconcluir que ocorre a saturacao das forcas nucleares. Por outro lado, deve-seadicionar a natureza atrativa das forcas nucleares, o carater repulsivo para pe-quenas distancias. Este carater repulsivo fica evidenciado em experimentos deespalhamento mais detalhados, portanto, dependendo da escala de observacao,as forcas nucleares podem ser atrativas ou repulsivas. Para exemplificar, po-derıamos demonstrar de forma aproximada, o potencial nuclear atrativo com



Figura 1.12: (a)Potencial, que poderia demonstrar o carater fortemente atra-tivo das forcas nucleares, e valor constante no interior do nucleo.Este potencial serve para tratar problemas de interacao nuclear embaixas energias. (b) Potencial que demonstra o carater repulsivoda parte central do nucleo, que pode ser utilizado para estudar oespalhamento n− p e n− n, utilizando a teoria quantica. (c) Po-tencial resultante, que inclui a interacao coulombiana, no estudode reacoes do tipo p− p.

um nucleo repulsivo, como o apresentado na Fig. 1.12(b) . Esse tipo de po-tencial sugere que os nucleons ocupem estados de energia discretos, de algumaforma semelhantes aos estados atomicos. Esta caracterıstica e evidenciada cla-ramente pelas transicoes nucleares observadas no decaimento radioativo e noespalhamento de partıculas.

Uma outra caracterıstica interessante das forcas nucleares e a sua in-dependencia da carga eletrica, assim podem-se considerar como identicas asinteracoes entre nucleons independente da sua carga eletrica. Este carater dasforcas fortes, ou nucleares, corresponde a uma simetria semelhante a de spin,na qual proton e neutron podem ser considerados diferentes estados de umamesma partıcula o nucleon.

1.5 Potencial de Yukawa e Teoria dos Mesons

A determinacao das caracterısticas das forcas nucleares e o principal ob-jetivo da Fısica Nuclear e nesta secao estuda-se o primeiro modelo destas forcascompatıvel com os experimentos de Rutherford e de espalhamento de eletrons,protons e neutrons. Este modelo traca uma analogia com os fundamentos daeletrodinamica quantica na qual a nocao de partıcula mediadora de forca e oprincipal ingrediente.

A nocao de forca esta diretamente ligada aos valores relativos das cons-tantes de acoplamento adimensionais que multiplicam a parte variavel da funcaopotencial, cujo gradiente e realmente a forca. No caso da interacao eletro-



magnetica, a energia potencial e dada por,

U(r) = − e2

4πεor, (1.52)

e torna-se adimensional fazendo,

V(r) =U

hc= − e2

4πεohc

1r. (1.53)

Onde α = e2

4πεohc = 1/137 ou constante de estrutura fina, e a constante deacoplamento da interacao eletromagnetica. As energias de acoplamento saoproporcionais a α2 e o alcance da interacao proporcional a 1/α. Da mesmaforma que a teoria quantica de campos foi utilizada no estudo da teoria ele-tromagnetica tambem se espera que os mesmos metodos sejam aplicaveis aoestudo das forcas entre nucleons (forcas fortes).

No caso do nucleo atomico, as partıculas que interagem, os hadronssao chamados assim, pela interacao ser muito intensa, a chamada interacaoforte. Neste caso, a constante de acoplamento e ∼ 1, e isto corresponde aaproximadamente a uma interacao 100 vezes mais intensa do que a interacaoeletromagnetica. Mesmo sem conhecer a expressao analıtica das forcas nu-cleares sabe-se as suas caracterısticas principais: curto alcance, saturacao, in-dependencia da carga, caroco duro, nao e central e e muito intensa.

Seguindo as ideias da Eletrodinamica Quantica (QED), Hideki Yukawaem 1935 sugeriu que as forcas nucleares ocorriam como uma consequencia datrocas de mesons. Utilizando-nos de um diagrama de Feynman como o daFig.1.13, para a interacao entre dois nucleons, que ao trocar de momento trocamum meson, pode-se explicar esse processo.

Considerando o alcance da forca nuclear R como sendo da ordem de1 fm, teremos

R = c.∆t =h

mcportanto, (1.54)

m =h

Rc∼ 200 MeV. (1.55)

Essa massa da partıcula intermediadora, o meson, e conhecida experimental-mente como sendo da ordem de 140 MeV , podendo ter carga e+, 0 e e−, oque explica a necessidade de tres mesons para que as forcas nucleares sejamindependentes da carga.

O processo de emissao de mesons virtuais, com essa massa, num tempocaracterıstico de interacao, e compatıvel com o das forcas nucleares pois deacordo com o princıpio incerteza de Heisenberg,

∆t ' h

mc2= 5× 10−24 s. (1.56)



Figura 1.13: Diagrama de Feynman para a interacao entre nucleons, onde ummeson e a partıcula intermediadora de forca, representada pelalinha tracejada entre dois vertices.

A analogia com a eletrodinamica quantica permitiu tambem a inclusaodo processo mesomico analogo ao processo de bremsstrahlung. Com isso ummeson pode materializar-se sempre que um nucleon passar nas proximidadesde outro, ou seja, ser freado num campo de forcas nucleares, bastando quea interacao se caracterize por uma energia superior a massa em repouso domeson.

Realmente, em 1947, com a participacao do fısico brasileiro Cesar Lattesfoi descoberto o meson, como uma partıcula componente dos raios cosmicos [4].A extensao do campo de forcas associado aos mesons esta relacionada a funcaoforca e pode ser calculada conhecendo-se a funcao densidade de probabilidadeatraves da equacao de Klein-Gordon, cuja solucao resulta em:

Ψr =Ae−r/R

r, (1.57)

onde A e a constante de normalizacao. No caso da interacao eletromagnetica egravitacional, essas partıculas devem ter massa de repouso praticamente nula,dado o carater do seu alcance ser infinito. Para o caso das forcas nuclearesas partıculas intermediadoras de forca devem ser do tipo massivo, pois sao decurto alcance. O potencial de Yukawa, que leva em consideracao esse fato,toma a seguinte forma:

V (r) ∝ e−mcr/h

r, (1.58)

onde m e a massa da partıcula intermediadora de forca.Utilizando o conceito de alcance da forca nuclear, ja apresentado, pode-

se verificar facilmente que a massa dessa partıcula intermediadora deve ser da



ordem de 140 MeV . Os pıons, considerados como os mediadores das forcasnucleares, possuem a sua massa dessa ordem, e poderao, portanto, tomar opapel de partıculas mediadoras de forca na interacao entre nucleons. Comose pode observar na Eq. 1.54 os valores de R e da massa m da partıculaintermediadora sao inversamente relacionados, ou seja, aumentando a massadiminui o alcance. A discussao da natureza das forcas nucleares, a partir dateoria de mesons pode ser feita em termos do formalismo da Mecanica Quantica,mas apesar do tratamento completo ser muito longo e complexo, e possıvel porum tratamento simplificado ter uma melhor ideia do problema.

Um nucleon emite e absorve mesons virtuais continuamente. Como ummeson virtual existe num tempo, de 10−24s, um tempo muito pequeno que per-mite que nas reacoes nucleares grande quantidade de mesons exista no nucleo.A densidade de probabilidade de mesons pode ser obtida de forma simplificadaa partir de um teoria relativıstica. Considerando que a massa em repouso deum meson seja mo e E a sua energia cinetica, entao a equacao relativıstica querelaciona energia e momento sera,

1c2

E2 = p2 + m2c2. (1.59)

De forma usual, a equacao de onda relativıstica pode ser obtida a partir dasanalogias, bem conhecidas,

p2 → −h2∇2 E → ih∂

∂t. (1.60)

As operacoes diferenciais, operando na funcao de onda do meson resultarao em:

∇2Ψ =1c2

∂2Ψ∂t2

+m2c2

h2 Ψ, (1.61)

onde Ψ e a funcao de onda do meson. Esta e a chamada equacao de Klein-Gordon, uma equacao de onda relativıstica que pode ser reduzida a sua formaclassica para m = 0,

∇2Ψ =1c2

∂2Ψ∂t2

, (1.62)

resulta na equacao de onda. Esta equacao admite uma solucao estacionaria,

Ψ =e2

4πεo

1r. (1.63)

Para m 6= 0 a equacao de Klein-Gordon admite uma solucao do tipo,

Ψ =−g2e−r/R

r=−g2e−

mch r

r. (1.64)



A constante g2, da mesma forma que e2, determina a intensidade do potencialnuclear e comparando de forma adimensional as constantes de acoplamentoteremos:

e2

4πεo

1hc

=1

137g2

hc∼ 15.

A densidade de probabilidade diminui exponencialmente, conforme nosmostra a Fig. 1.14, cujos valores coincidem com os valores experimentais,para r > 0, 5R, mas para distancias menores, a densidade real e muito menor,fazendo acreditar, que para distancias menores, as interacoes de quarks e gluonssejam dominantes. Originalmente se pensava que os mesons nucleares seriam

Figura 1.14: Funcao densidade de probabilidade radial, dos mesons virtuaisemitidos por um nucleon, onde a distancia e normalizada ao com-primento de onda de Compton, onde a probabilidade de encontrarum meson a uma distancia 3R e praticamente nula.

os mesmos encontrados nos raios cosmicos por Cesar Lattes, os mesons µ e osπ, tambem denominados de muons e pıons. Os pıons livres podem ser criadosem colisoes de alta energia entre nucleons, como por exemplo:

p + p → p + n + π+ ou p + p + πo (1.65)n + p → n + n + π+ ou n + p + πo ou ainda p + p + π− (1.66)

Estas interacoes entre nucleons, obedecem ao princıpio de conservacao donumero de nucleons, estabelecendo-se que os mesons sao partıculas que atuamcomo mediadores das interacoes fortes como era previsto na teoria de Yukawa.A teoria dos mesons para as forcas nucleares, com estes tres mesons, permitemostrar que as forcas nucleares sao independentes da carga. A teoria mesomicanao teve o mesmo sucesso da Eletrodinamica Quantica (QED), pois os mesonsnao sao partıculas fundamentais como o foton. A utilidade dessa teoria e, hoje,



fundamental para entender o alcance das forcas nucleares e a sua relacao com amassa das partıculas mediadoras de forca. Alem de permitir o entendimento demuitos fenomenos como o momento dipolar dos neutrons, os seus fundamentosnos permitiram avancar para a descoberta da estrutura interna dos nucleons.

1.6 Exercıcios

1. Por que quanto mais simetrico e o nucleo maior a chance de ser estavel?A simetria e medida pela diferenca (N − Z) = (A− 2Z).

2. Por que nao existem nuclıdeos estaveis para Z > 83?

3. Foi Chadwick que detetou pela primeira vez o neutron atraves da seguintereacao:

42He +9

4 Be →AZ C + n

a) Obtenha os valores de A e Z. b) Calcule a energia de ligacao pornucleon para os isotopos desta reacao.

4. Calcular a energia de separacao do ultimo neutron dos isotopos 113Cd e114Cd.

5. A definicao da unidade de massa atomica uma, e feita a partir de 1/12 damassa atomica do nuclıdeo 12C. Porque esse valor nao e igual a massa de1/16 da massa atomica do 16O originalmente a definicao dessa unidade?

6. Um exercıcio interessante de mecanica quantica elementar consiste emprovar que apesar do nucleo emitir partıculas beta (eletrons) eles naopodem existir no interior de um nucleo. Considerando que no decaimentobeta essas partıculas sao emitidas com energias da ordem de 1 MeV proveesse fato.

7. Utilize as massas que aparecem no apendice destas notas de aula paradeterminar a energia de ligacao total e a energia de ligacao por nucleondos seguintes isotopos:7Li; 12C; 56Fe; 137Cs;235U .

8. Utilizando as diferencas de massa obtidas do aplicativo Nucleus, obtenhaas mesmas massas para os isotopos do exercıcio anterior. Justifique oporque das diferencas obtidas.

9. Determine o raio dos nuclıdeos dos exercıcios anteriores e compare asdensidades de massa (nucleons/m3) e de carga (protons/m3).

10. Verifique diretamente se a funcao na Eq. 1.57 e solucao da equacao Klein-Gordon, e obtenha o valor da constante g2.


Bibliografia

[1] Nucleus-3D A Driver program for Nuclear data Visualization, para obteruma copia para o seu micro: http://amdc.in2p3.fr/web/nubdisp_en.html

[2] Segre E.G., Nuclei and Particles, 2ed., Benjamim Cummings, Menlo Park,Calif., (1977).

[3] Wapstra, A.H., Audi, G. Nucl. Phys. A432,1, (1985).

[4] Gardner & Lattes, Phys. Rev., 74,1236,(1948); Science, 107,270(1948); Oc-chialivi & Powell, Nuclear Physics in Photographs, (1947).

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CAPITULO 2

Modelos Classicos do Nucleo

2.1 Introducao

O modelo classico mais interessante para iniciar o estudo do nucleoatomico e o chamado modelo da gota lıquida , baseado na formula semi-empıricade massa . Este modelo permite estudar uma serie de propriedades, em par-ticular a energia de ligacao extremamente util no calculo da energia liberadano processo de fissao. Existem muitas outras propriedades, como o momentoangular e momento magneticos, que nao podem ser estudadas em termos dessemodelo simplificado, exigindo um modelo estilo atomico, o chamado modelo decamadas. Neste capıtulo vamos estudar as formas mais simples de representaro nucleo que permitirao estudar os nıveis de energia nuclear, iniciando pelomodelo da formula semi-empırica de massa e seguindo com o modelo de gasde Fermi depois o modelo de camadas e finalmente o modelo coletivo. A basefundamental destes modelos esta na analise dos possıveis tipos de potencialmedio, passıveis de serem utilizados como um modelo nuclear.

2.2 Formula Semi-Empırica de Massa

A formula semi-empırica de massa (FSEM) se baseia na analogia exis-tente entre o nucleo atomico e a gota lıquida, cujo estudo se iniciou em 1935 notrabalho de Von Weiszacker [1] e mais tarde no de Bohr. Este modelo e tambemconhecido como modelo de Weiszacker e representa o resultado da analise devarios experimentos feitos nos primordios do estudo da Fısica Nuclear que de-

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monstraram que o carater das forcas nucleares difere muito do carater dasforcas eletromagneticas e gravitacionais. Atraves de medidas de espalhamentode partıculas e da medida dos momentos quadrupolares do nucleo foi possıvelprovar que os nucleos atomicos sao aproximadamente esfericos, com um volumediretamente proporcional ao numero de massa A. Por isso considera-se, nestateoria, o nucleo como analogo a uma gota de um fluido incompressıvel e dealtıssima densidade (1014g/cm3).

O valor das massas nucleares e obtido experimentalmente a partir deduas fontes principais: a primeira e a espectrometria de massa, onde ıons deum atomo sao defletidos por um campo magnetico e o raio da sua trajetoriapermite determinar a massa do ıon; na segunda, a medida e feita a partirdas relacoes entre valores de massas utilizando o estudo de multiplas reacoesnucleares, atingindo o valor das massas nucleares com precisao semelhante a daespectrometria de massa. A existencia de um numero muito grande de medidasde massas nucleares, obtidas pelos dois metodos, tanto para isotopos estaveiscomo instaveis, dos elementos mais leves aos mais pesados, foi o maior incentivopara o desenvolvimento desse modelo denominado formula semi-empırica demassa.

2.2.1 Massa Nuclear

A massa de um isotopo qualquer AZX, que contem Z protons e N = A−Z

neutrons, pode ser obtida a partir da massa dos seus constituintes, os protonse os neutrons, desde que se leve em consideracao a fracao de empacotamentoou diferenca de massa ∆M , que representa a energia de ligacao necessaria paraformar o isotopo considerado. Ao se realizar as medidas das massas nuclearesrevela-se que a massa do nucleo e sempre menor do que a soma das massas deseus constituintes, ou seja:

M(Z,A) < Zmp + Nmn, (2.1)

onde as massas dos protons e dos neutrons, sao conhecidas experimentalmente,como sendo iguais a:

mp ' 938, 1978 MeV/c2 e mn ' 939, 5330 MeV/c2. (2.2)

Portanto, a massa de um isotopo podera ser calculada desde que seconheca a massa dos seus constituintes e o valor da diferenca de massa, atravesde:

M(Z,A) = Zmp + Nmn −∆M, (2.3)

onde ∆M e o defeito de massa, proporcional a energia de ligacao responsavelpor manter os nucleons fortemente unidos atraves das forcas nucleares. O seuvalor pode ser obtido a partir do valor da energia necessaria para separar todosos nucleons ate que atinjam o status de partıculas livres.



A relacao entre a massa de um nuclıdeo e a energia de ligacao entre seusnucleons pode ser expressa da seguinte maneira:

M(Z,A) = Zmp + (A− Z)mn −B(Z,A), (2.4)

onde M(Z,A) representa a massa de um atomo cujo nucleo possui Z protons e(A − Z) neutrons e B representa a energia necessaria para dissociar o nucleoem Z protons e (A − Z) neutrons. Comparando-se a Eq. 2.3 com a Eq. 2.4,verifica-se que:

B(Z,A) = ∆M(Z,A)c2. (2.5)

A energia de ligacao e, portanto, essencialmente uma energia negativa.Considerando que nao existe ate o momento uma teoria formal capaz de predi-zer a energia de ligacao do nucleo utiliza-se um modelo semi-empırico tentandoreproduzir, dessa forma, o valor das forcas nucleares. Para isso iniciamos comos tres fundamentos basicos, que constituem o que poderıamos chamar de teoriaque sustenta o desenvolvimento do modelo da formula semi-empırica de massa.

1. O raio nuclear e proporcional a A1/3, como resultado de considerar adensidade de materia nuclear como constante. Esta consideracao nosleva a analogia com a incompressibilidade de um lıquido.

2. Considerar a energia de ligacao por nucleon aproximadamente constante.Isto e o resultado de considerar que as forcas nucleares se saturam o que,por sua vez, resulta em tomar como primeira aproximacao a energia deligacao proporcional ao numero de nucleons.

3. As forcas nucleares sao as mesmas independente do tipo de nucleon, sejameles protons ou neutrons.

2.2.2 Modelo da Formula Semi-Empırica de Massa

O modelo da FSEM e construıdo a partir da representacao da energiade ligacao B utilizando cinco termos independentes que correspondem tanto amodelos fısicos conhecidos, como e o caso das forcas de repulsao coulombiana,como a outros obtidos de forma semi-empırica.

B(Z,A) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5. (2.6)

Como no caso de uma gota lıquida o nucleo pode ser imaginado comosendo formado por um caroco central, estavel onde as forcas entre nucleons sesaturam completamente. A camada superficial do nucleo e formada, a seme-lhanca da gota lıquida, por uma camada de nucleons cujas forcas de ligacaonao se saturam mas ao contrario, resultam na forca de ligacao analoga a tensaosuperficial, dirigida para o centro do nucleo, como mostra a Fig. 2.1.



Figura 2.1: Modelo da gota liquida nuclear, mostrando o efeito das forcas sobreos nucleons na superfıcie do nucleo.

1. Termo da Energia de Volume

A energia de ligacao total e proporcional ao volume total do nucleo ouseja B ∝ A. Sendo a energia de ligacao, por nucleon, considerada comoaproximadamente constante, teremos o primeiro termo da FSEM, B1, ouenergia de volume, dado por:

B1 = a1.A, (2.7)

onde a constante a1 e um parametro determinado a partir de dados ex-perimentais. O termo de volume tem essa forma pois devemos lembrarque o volume do nucleo e ∼ R3 ∼ A, ou seja:

B1 ∝ 43πR3,

∝ 43πR3

oA. (2.8)

2. Energia de Superfıcie

O efeito da tensao superfıcial, considerado no termo B2, e proporcional aarea da superfıcie externa do nucleo, como um efeito que corrige a energiade volume, ou seja

B2 = −a2A2/3, (2.9)

pois a superfıcie externa do nucleo, e dada por 4πR2oA

2/3.

3. Energia Coulombiana

Neste termo B3 a repulsao coulombiana entre protons e computada, comouma diminuicao da energia de ligacao. O termo coulombiano da FSEMpode ser calculado a partir da aplicacao da Lei de Gauss, para o calculo da



energia potencial eletrica, resultando na energia de repulsao coulombianaentre protons, onde

B3 ∝ Z2

A1/3. (2.10)

Mas como um nucleo de um unico proton, Z = 1, nao sofre repulsaocoulombiana entao, para cada proton deve-se subtrair a energia intrınseca,resultando em vez de Z2, Z(Z − 1), portanto:

B3 ∝ Z(Z − 1)A1/3

, (2.11)

resultando em:

B3 = −a3Z(Z − 1)

A1/3. (2.12)

Frequentemente se utiliza uma aproximacao que considera a densidadede carga constante, que resulta em:

B3 = −a3Z2

A1/3. (2.13)

4. Termo da Energia de Assimetria

Os primeiros tres termos da FSEM, apresentados ate agora, aparecem porconsideracoes puramente classicas que infelizmente nao explicam porqueelementos leves com igual numero de protons e neutrons sao fortementeestaveis. So esses tres termos tambem nao sao capazes de explicar porqueexistem mais isotopos estaveis com numero par-par de protons e neutrons.Tais observacoes nao sao faceis de explicar sem levar em consideracao osefeitos quanticos de emparelhamento de spin que, no contexto da FSEM,podem ser incluıdos atraves de um termo que corrige a energia de ligacaoem funcao da assimetria do numero de protons e neutrons. A justificativateorica para este termo foi dada por Wigner e se baseia em parte noprincıpio de exclusao de Pauli.

Para um nucleo assimetrico, N 6= Z, a energia devida a assimetria de-pendera de, (N − Z)2/A:

B4 = −a4(N − Z)2

A. (2.14)

E comum aparecer na literatura este mesmo termo na forma:

B4 = −a′4(A/2− Z)2

A(2.15)

o que nos levaria a uma parametro a′4 quatro vezes maior do que o ante-rior.



5. Termo da Energia de Emparelhamento

Pode-se observar que o efeito de emparelhamento de nucleons de umamesma especie afeta sensivelmente a energia de ligacao. Tanto comneutrons como com protons, quando estao emparelhados, se observa ummaior numero de isotopos estaveis. Assim se estabelecem regras paraadicionar um termo correcao, δ, pelo efeito de emparelhamento seguindoa seguinte logica:

A par(Z par e N par) → B5 = +δ;A par(Z ımpar e N ımpar) → B5 = −δ;A ımpar(Z par e N ımpar) → B5 = 0;A impar(Z ımpar e N par) → B5 = 0;

onde δ pode ser calculado utilizando a chamada aproximacao de Bethe-Weiszacker da seguinte forma:

δ = a5A−3/4. (2.16)

2.2.3 Parametros da FSEM

A energia de ligacao pode ser escrita explicitando os termos da Eq. 2.6na seguinte forma:

B = a1A− a2A2/3 − a3

Z(Z − 1)A1/3

− a4(N − Z)2

A+ B5, (2.17)

onde o valor dos parametros ai dependem do autor, epoca e tecnica de ajusteutilizada. Os valores utilizados aqui sao valores muito utilizados recentemente[5]:

a1 = 15.76MeV ; a2 = 17.81MeV ; a3 = 0.7105MeV ;a4 = 23.7MeV ; δ = a5A

−3/4 com a5 = 39MeV.

Finalmente podemos escrever a FSEM colocando na Eq. (2.4), os cincotermos que constituem o modelo apresentado, esta equacao M(Z,A) constituiuma funcao conhecida como superfıcie de massa, cuja forma pode ser obser-vada, por exemplo no aplicativo Nucleus[7], colocando a massa como terceiradimensao na tabela de nuclıdeos:

M(Z,A) = Zmp + (A− Z)mn

− [a1A− a2A2/3 − a3

Z(Z − 1)A1/3

− a4(N − Z)2

A+ B5]. (2.18)



2.2.4 Analise e fundamentos dos termos da FSEM

Termos Classicos

Os tres primeiros termos da Eq. (2.17) sao os chamados termos classicos.A comparacao entre o valor da soma desses termos para nuclıdeos leves e pesa-dos, como e solicitado no exercıcio 2.3, permite verificar que para os elementospesados os valores obtidos sao mais precisos, o que justificaria a aplicacaodo modelo simplificado no estudo da fissao nuclear. Este fato pode ser ob-servado na Fig. 2.2 onde os valores da energia de ligacao por nucleon paraZ = N = A/2, permite mostrar ja os primeiros quatro termos, ajustam muitobem a energia de ligacao especialmente para os elementos pesados.

Figura 2.2: Comparacao dos termos que compoem a formula semi-empırica demassa.

Termo Coulombiano

Considerando que o termo coulombiano representa a energia de repulsaoentre protons, pode-se relembrar do eletromagnetismo que essa energia repre-senta a energia potencial coulombiana contida numa esfera de carga eletricapositiva.

A energia coulombiana de uma esfera uniformemente carregada podeser avaliada segundo o modelo da Fig. 2.3, no qual a densidade ρ de carga euniforme. Para o calculo da energia potencial, se considera um nucleo uniformede carga, adicionando-se um elemento de casca esferica de espessura dr. Mesmo



considerando que as forcas eletricas atuam entre pares de protons, pode-seconsiderar uma distribuicao contınua de carga, com densidade

ρ =Ze

43πR3

.

No calculo da energia coulombiana considera-se que uma esfera de carga,de raio r, foi construıda adicionando-se cascas elementares de espessura dr. Omodelo da Fig. 2.3(b) mostra que a carga da esfera pode ser concentrada noponto central. A energia potencial eletrica do nucleo sera entao:

Uc =∫ R

0

43πr3ρ · 4πr2ρ

1rdr,

=1615

π2ρ2R5,

=35

(Ze)2

R. (2.19)

Figura 2.3: Modelo de calculo para o termo coulombiano da FSEM (a) cargauniformemente distribuıda (b) carga concentrada no centro da es-fera.

Neste modelo, em concordancia com a imagem de uma funcao densidadede carga uniformemente distribuıda no volume do nucleo, considerou-se que acarga de cada proton esta uniformemente distribuıda sobre o volume do nucleo.Desta forma considera-se um termo de auto-energia para cada proton no valorde

3e2

5R.

Subtraindo este valor da Eq. 2.19, corrige-se essa equacao para obter a energia



entre todos os pares de protons;

Uc =35

Z(Z − 1)e2

R. (2.20)

Desta forma a constante a3, da FSEM, e a unica que ate agora estaassociada a um modelo teorico, considerando que o terceiro termo representaa energia potencial coulombiana

35

(Ze)2

4πεoR= a3

Z2

A1/3, (2.21)

ou seja

a3 =35

e2

4πεoRo=

35

αhc

Ro, (2.22)

onde α e a constante de estrutura fina. Consequentemente o valor de Ro podeser obtido facilmente:

Ro =35

αhc

a3=

35

197, 3137

10, 7105

= 1, 216fm. (2.23)

Este valor tem sido confirmado por muitos experimentos de espalha-mento de eletrons.

2.2.5 Aplicacoes da FSEM

Existem muitas aplicacoes da FSEM mas por agora destacaremos ape-nas tres: primeiramente, faremos a comparacao da energia de nuclıdeos espelhoque nos permite comparar valores para o raio nuclear; em segundo lugar, de-senvolveremos o estudo da estabilidade nuclear a partir da FSEM e por fimestudaremos a aplicacao da FSEM na fissao nuclear.

Nucleos Espelho

Utilizando a FSEM aplicada a dois nucleos espelho e possıvel obter adiferenca de energia de ligacao em funcao unicamente do termo coulombiano.Dois nucleos espelho A

ZXN , podem ser representados por Ax Xy e A

y Yx onde adiferenca de energia de ligacao e dada por:

BAx X −BA

y Y = a3y2 − x2

A1/3. (2.24)

Este resultado e devido ao fato da troca do numero de protons pelonumero de neutrons so afetar o terceiro termo da FSEM, ou termo coulombiano.



Analise da Estabilidade no Decaimento Beta

Uma forma interessante de reescrever a FSEM e a seguinte expressaoquadratica:

M(Z,A) = α + βZ + γZ2, (2.25)

onde a reparametrizacao α, β, γ segue o seguinte esquema a partir da com-paracao da Eq. 2.25 com a FSEM, Eq. 2.18:

α = Amn − a1A + a2A2/3 + a4A∓ a5

1A3/4

, (2.26)

β = mp −mn − 4a4, (2.27)

γ =a3

A1/3+

4a4

A. (2.28)

(2.29)

Para o caso de um conjunto particular de isobaros (mesmo valor de A), oformato parabolico da secao transversal da superfıcie M(Z,A), fica demonstrado,pela escolha dos parametros. Considerando agora que a constante a5 poderaapresentar dois valores distintos, vamos examinar primeiro o caso dos valoresımpares de A, ou seja para esse caso o valor de a5 = 0, portanto a Eq. 2.25apresentara uma unica solucao. A derivada da Eq. 2.25 em relacao ao numeroatomico indicara o nucleo mais estavel dos isobaros escolhidos.

∂M

∂Z

∣∣∣∣A

= β + 2γZA = 0. (2.30)

O valor do numero atomico ZoA, para o elemento mais estavel sera entao:

ZoA = − β

2γ=

(mn −mp) + 4a4

2(a3/A1/3 + 4a4/A). (2.31)

E preciso lembrar que este valor mınimo, pode nao corresponder ao va-lor exato do numero atomico, que obrigatoriamente deve ser inteiro, portantosempre se escolhe o elemento mais estavel com o valor de Z mais proximo doobtido. Para o caso em que o valor de A e par, a Eq. 2.25 apresentara duassolucoes independentes, portanto,pode-se dessa maneira examinar o caso deisobaros par-par e ımpar-ımpar. Por outro lado para o caso de A ımpar quecorresponde a Z par e N ımpar ou Z ımpar e N par teremos um unico valorpara Zo

A que corresponde a δ = 0, enquanto que para A par teremos duasparabolas, uma para +δ e outra para −δ, e portanto aparecerao dois mınimos.

Nas figuras Fig. 2.4 e Fig. 2.5 e possıvel observar como as parabolaspara um dado conjunto de isobaros nos permitem analisar o tipo de decaimentoβ. Nesses dois graficos temos duas situacoes bem definidas. No caso do graficoFig. 2.4 os emissores beta se encontram todos sobre uma mesma parabola, paraA ımpar (par-ımpar ou ımpar-par). O grafico da Fig. 2.5, para A par, mostra



Figura 2.4: Parabola de massapara os isobaros A=141, uma unicaparabola para nucleos par-ımpar eımpar-par.

Figura 2.5: Parabolas de massapara os isobaros A=134, com duasparabolas para nucleos par-par eımpar-ımpar.

que os emissores beta se situam sobre duas parabolas, a de baixo (par-par) ea de cima (ımpar-ımpar). Nos dois casos as parabolas formam o chamado valede estabilidade beta.

Decaimento Alfa

No caso do decaimento alfa, tambem pode-se utilizar a FSEM para veri-ficar a possibilidade de decaimento ou nao. Consideremos portanto o caso deum isotopo pai, p, que decai por emissao alfa para um outro isotopo f (filho) .O balanco de massa e energia da reacao de decaimento alfa nos permite escreverque:

Q = Mp −Mf −mα = M(Z,A) −M(Z−2,A−4) −M(2,4). (2.32)

Considerando que tanto Z como M sao variaveis contınuas podemosescrever que:

M(Z,A) −M(Z−2,A−4) −M(2,4) =∂M

∂Z∆Z +

∂M

∂A∆A−M(2,4). (2.33)

Obtendo-se entao, as derivadas a partir da FSEM presente na Eq. 2.18,pode-se obter o valor do Q da reacao.

Fissao nuclear

Como um exemplo a mais, vamos estudar a fissao simetrica espontanea.Neste processo um nucleo (Z,A) sofre decaimento formando dois fragmentosque, para simplificar, se consideram como identicos. O balanco de energia dareacao sera dado por:

Q = M(Z,A) − 2M(Z/2,A/2). (2.34)



Para que a reacao seja possıvel e necessario que Q > 0. Aplicando aformula semi-empırica de massa Eq. 2.18 para a fissao simetrica resulta em:

Q = a2A2/3(1− 21/3)− a3

Z2

A1/3(1− 2−2/3). (2.35)

Portanto, o modelo da gota lıquida tambem nos fornece uma otima des-cricao analıtica da fissao nuclear, pois numa analise superficial so com os tresprimeiros termos, e possıvel mostrar que para (Z2 < 47A) o nucleo atomico eestavel quando sujeito a pequenas perturbacoes [5]. No caso da fissao ocorrerde forma simetrica, Z = N = A/2 a diferenca de energia entre os dois estados,antes e depois da fissao, resulta em:

∆B = 0, 27A2/3(−16, 5 + Z2/A). (2.36)

Portanto, quandoZ2 > 16, 5A,

os nucleos, produto da fissao, serao mais estaveis do que o nucleo que fissiona.Dessa forma chega-se a seguinte condicao:

16, 5A < Z2 < 47A,

que nos mostra a condicao de fissao favoravel para nucleos esfericos.

2.2.6 Interpretacao Quantica da FSEM

A interpretacao quantica da formula semi-empırica de massa e feitaatraves do calculo da energia de ligacao utilizando um termo de troca paraa energia potencial com um operador de Hamiltoniano baseado no tratamentodado por Blatt e Weisskoff. Nesse tratamento a densidade de estados e obtidaa partir de uma discussao simplificada na qual se aplica o princıpio de exclusaode Pauli .

Considerando um nucleo com um numero N , de neutrons maior do queo numero de protons Z, no qual, de acordo com o princıpio de Pauli, o preen-chimento dos nıveis de energia com dois neutrons e dois protons, em cada nıvele e feito por emparelhamento dos nucleons. O numero de nıveis ocupados porprotons sera Z/2 e o numero de neutrons desemparelhados sera (N − Z)/2.Este modelo se baseia numa energia potencial entre duas partıculas i e j dadapor:

Vij(rij) = V W(ij)(rij) + V M

ij (rij)PMij , (2.37)

onde W e M representam respectivamente as forcas de Wigner e de Majorana.A forma do potencial de Wigner e puramente radial e nao leva em con-

sideracao as forcas de troca, enquanto que o potencial do tipo Majorana e umtermo de troca que possui a seguinte propriedade:

V M (r) = V MPMx , (2.38)



onde o operador de troca PMx , que advem do princıpio de exclusao de Pauli,

apresenta o seguinte comportamento:

PM12 Ψ(r1, r2) = Ψ(r2, r1). (2.39)

Esse operador vale PM = +1 para um par de partıculas cujo ψ e es-pacialmente simetrica e PM = −1, para partıculas cuja funcao de onda, ψ, eespacialmente antisimetrica.

Levando-se em consideracao que o potencial total pode ser obtido pelasoma dos potenciais de todos os pares,

V =A∑

i<j

Vij(rij) (2.40)

e que a funcao de onda do nucleo e da forma Ψ(r1r2r3 · · · rA) entao o valoresperado de V sera dado por

< V >=A∑

i<j

∫Ψ∗VijΨd3ξn, (2.41)

onde A = N + Z e d3ξ = d3r1d3r2d

3r3 · · · d3ra.Para o potencial de Wigner, da mesma forma,:

< V >=A∑

i<j

∫Ψ∗V W

ij Ψd3ξ =12A(A− 1)pV W , (2.42)

onde 12A(A−1) e o numero total de pares interativos e V W o potencial espacial

medio de Wigner.O potencial de Majorana goza das seguintes propriedades:

∫Ψ∗PM

ij Ψd3ξ = 1 para i e j no mesmo nıvel (2.43)= −1 para i e j em diferentes nıveis, mas de (2.44)

mesma especie e de mesmo spin (2.45)= 0 para todos os outros casos. (2.46)

A probabilidade media p de encontrar um par de nucleons mais proximosdo que o alcance da forca nuclear e dada por:

p =1

(43πR3)2

∫ ∫e(b− r12)d3r1d

3r2, (2.47)

onde a funcao e(x), tambem conhecida como funcao degrau, e definida daseguinte forma:

e(x) =

1 x > 00 x < 0 (2.48)



onde r12 e a distancia entre nucleons e R o raio do nucleo. O resultado dessaintegracao pode ser escrito da seguinte forma:

p =

( bR )3[1− 9

16 ( bR ) + 1

32 ( bR )3] para R > b

2

1 paraR < b2 .

(2.49)

Para R < b/2 a solucao possui um comportamento assimetrico, isto e,para R muito grande a probabilidade de encontrar dois nucleons dentro doalcance b da forca e ( b

R )3 enquanto que para R < b2 , que corresponde a estados

colapsados, a probabilidade e 1.No estado colapsado a energia de ligacao e muito alta porque cada

nucleon se encontra no ambito do alcance de outro nucleon e, portanto, aenergia de ligacao e proporcional ao numero de pares 1

2A(A − 1). O estadocolapsado representa um estado de forcas nao saturadas, o que e contrarioao observado no grafico da energia de ligacao para A > 16. Pelo princıpio ex-clusao de Pauli as funcoes de onda total devem ser antisimetricas em relacao aoespaco de troca (exchange), spin e spin isotopico de quaisquer duas partıculas.A funcao de onda espacial de dois protons ou dois neutrons com spins opostose simetica e com spins paralelos e antissimetrica. A troca de duas partıculasem diferentes nıveis com spins opostos leva a um estado nuclear que viola oprincıpio de exclusao de Pauli e, portanto, nao e permitido. O numero depares simetricos e determinado pelo numero total de maneiras de emparelharpartıculas em cada nıvel que e 6(Z

2 ) para os primeiros (ZA ) nıveis e 1

2 (N − Z)para os 1

2 (N−Z) nıveis restantes. Portanto, o numero total de pares simetricose dado por:

n+ = 6(Z

2) +

12(N − Z). (2.50)

Da mesma forma o numero de estados antisimetricos e dado por

n− = 2[12

Z

2

(Z

2− 1

)+

12

N

2

(N

2− 1

)], (2.51)

onde o fator 2 aparece para os dois tipos de protons e neutons.A contribuicao de Majorana para o potencial e dada por:

A∑

i<j=2

∫Ψ∗V M

ij PMij Ψd3ξ =

pV M

[6

(Z

2

)+

12(N − Z)

]−

[Z

2

(Z

2− 1

)+

N

2

(N

2− 1

)](2.52)

Combinando as equacoes Eq. 2.41, Eq. 2.42 e Eq. 2.52 resulta em :

< V >=



=12A(A− 1)V W p + V M

[6

(Z

2

)+

12(N − Z)

]a,

−[Z

2

(Z

2− 1

)+

N

2

(N

2− 1

)]p,

=12A(A− 1)pV W −

(A2

8− 2A +

ε2

2+ 2ε

)V Mp,

=12A

(A− 1)V W −

(A

4− 4

)V M

]p−

(ε2

2+ 2ε

)V Mp, (2.53)

onde ε = 12 (N − Z). Como A ¿ A2 e ε ¿ ε2 teremos:

< V >''

[A2

2

(V W − V M

4

)− ε2

2V M

]p,

=[A

2

(V W − V M

4

)− ε2

2AV M

] (b

Ro

)3 (1− 9

16b

R0A13

+132

b3

R30A

).

(2.54)

onde R = RoA13 . Nao levando em consideracao alguns termos de pequeno valor

chega-se a:

< V >= −avA + asA23 + C1

ε2

A= −avA + asA

23 +

C1

A

(N − Z

Z

)2

. (2.55)

O primeiro termo e negativo porque o potencial VWigner e o de MajoranaV M sao negativos. Para que av fosse positivo seria necessario que tivessemos|V M | ≤ 4|V W |. Esta e a condicao de saturacao para energia de ligacao paratodos os valores de A. Isto tambem considera que a forca de Majorana devecontribuir pelo menos com 4

5 da atracao e a atracao de Wigner e muito pequenacontribuindo com 1

5 .

2.3 Modelo de Camadas

A tabela periodica dos elementos e baseada na regularidade das pro-priedades fısicas e quımicas dos atomos, tais como valencia, espectro optico epotencial de ionizacao. Esta regularidade e o resultado da ocupacao dos nıveiseletronicos em ordem crescente de energia, obedecendo ao princıpio de exclusaode Pauli. Quando se considera que os eletrons se movem num potencial efetivocentral, e possıvel descrever os nıveis por tres numeros quanticos: o numeroquantico principal , n, o orbital l e o magnetico m. Quando um sub-nıvel e ocu-pado por dois eletrons, os spins sao emparelhados para nao violar o princıpiode exclusao. A proposicao de que estas mesmas regularidades deveriam existir



para o nucleo atomico, permitiu observar que nucleos com 2, 8 e 20 nucleonsapresentavam maior estabilidade, permitindo supor a existencia de uma es-trutura de camadas. Com a aplicacao do modelo da FSEM, a varias reacoesnucleares foi possıvel ampliar este modelo.

Um conjunto muito grande de dados experimentais foram sendo acumu-lados, permitindo obter-se evidencias de que o modelo de camadas permitiriao estudo do nucleo. Uma evidencia muito simples foi publicada em 1952 mos-trando o numero de isotopos estaveis conhecidos em funcao do numero deneutrons, Fig. 2.6, que permite supor a existencia de isotopos com camadas fe-chadas com numero de protons e ou neutrons, 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126 chamadosnumeros magicos.

Figura 2.6: Isotopos estaveis, em funcao do numero de neutrons, B.H. Flowers,Prog. Nucl. Phys., 2, 235, (1952).

2.3.1 Propriedades Quanticas dos Estados Nucleares

Os nucleos atomicos sao sistemas quanticos, que podem ser descritospor um Hamiltoniano quantico. Em virtude das massas nucleares serem muitomaiores do que as energias, a descricao em termos da mecanica quantica naorelativıstica pode nos dar uma descricao que nao e totalmente trivial pois onucleo e composto de muitas partıculas. Em geral, o sistema e tratado num mo-delo simplificado de partıcula unica num potencial medio efetivo. Os numerosquanticos se originam das simetrias do Hamiltoniano proposto. Uma das in-variancias mais importantes e a invariancia a rotacao, ou seja, a fısica e inde-pendente da direcao. Isto nos leva a introduzir o operador momento angular

L = r × p, (2.56)



que gera as rotacoes. Como se podera observar, mais tarde, os estados quanticosnao sao, necessariamente, invariantes sob rotacao, mas produzem uma trans-formacao de forma bem definida. Os tres operadores Lx, Ly e Lz, satisfazema seguinte estrutura:

[Lx, Ly] ≡ LxLy − LyLx = ihLz (2.57)

Isto nos mostra que nao e possıvel obter as tres componentes do momentoangular simultaneamente. De forma usual se calcula o momento angular e asua projecao sobre o eixo dos z,

L2ΨLM = h2L(L + 1)ΨLM , (2.58)LzΨLM = hLzΨLM . (2.59)

A forma grafica simplificada deste processo, na Fig. 2.7, nos mostra ummomento angular de valor constante precessando em torno do eixo z, mantendoa sua projecao tambem quantizada.

Figura 2.7: Representacao da pre-cessao quantica de L quantizado eda projecao Lz.

Figura 2.8: Representacao daadicao do spin e momento angular.

Pode-se mostrar que o momento angular L e um numero inteiro positivoe que Lz e um inteiro que satisfaz a condicao |Lz| < L, o que quer dizer que aprojecao do momento angular e sempre menor do que ele mesmo, o que podeser comprovado de forma simples na mecanica classica. Uma forma simples deobservar esse fato, mostrando a precessao de L em torno do eixo z, e mostradona Fig. 2.7.

O numero quantico de energia e independente do numero quantico magne-tico correspondente a Lz, pois a fısica e independente da orientacao espacialdo momento angular, a menos que se aplique um campo magnetico externoquebrando a simetria do momento angular. Dessa maneira se encontram os



multipletos de 2l +1 estados com a mesma energia e valor L, mas com diferen-tes valores de Lz.

Infelizmente o problema nao termina aqui, pois tal como os eletrons,os protons e os neutrons possuem spin portanto e possıvel utilizar um campomagnetico externo para separar os nucleons com diferentes spins. Como o spin eanalogo ao momento angular, em muitos aspectos, pode-se escrever o operadorde spin S que satisfaz a mesma relacao para o momento angular, chegando-sea:

S2 = h2 34ψSz , (2.60)

pois o spin tem modulo 1/2 com projecoes ±1/2. Os spins podem ser acopladosao momento angular orbital formando o momento angular total J ,

J = L + S, (2.61)

portanto agora deve-se especificar quatro numeros quanticos, para L, S, J e Jz.Este fato pode ser entendido na Fig. 2.8 que mostra que o spin e o momentoangular precessam em torno de J enquanto que este precessa em torno do eixoz. Torna-se facil ver que quando L e S estao alinhados, podem ocorrer os doislimites J = L + S e J = L− S.

2.3.2 Paridade

Uma nova simetria da funcao de onda e a paridade. A nocao de paridadevem da matematica onde uma funcao que for invariante a uma transformacaodo tipo r −→ −r, e dita ¨par¨ e ımpar sob a mesma operacao troca de sinal. Asleis da fısica sao invariantes a transformacoes deste tipo. Como esta operacao aoser realizada duas vezes produzindo o mesmo estado inicial, qualquer autovalordesta operacao deve ser ±1 e usualmente se utiliza a notacao Π = ±. Pode-semostrar que uma partıcula com um momento angular orbital L, possui umaparidade dada por Π = (−1)L. A paridade de varias partıculas e o produto desuas paridades individuais.

Uma funcao de onda de muitas partıculas, como o nucleo atomico, podeser escrita em primeira aproximacao, como uma combinacao linear de produtosde funcoes de onda de partıcula unica. Neste caso, a paridade do sistema seradada pelo produto das paridades das funcoes de onda de partıcula unica.

Torna-se util portanto, falar da paridade de uma funcao de onda quedescreve um partıcula que se move em um potencial esfericamente simetrico.Como e bem conhecido a funcao de onda total e produto de uma funcao radiale outra angular. A parte angular, em geral, pode ser expressa em termosde funcoes conhecidas como os harmonicos esfericos, cuja paridade e definidapor (−l)l onde l e o numero quantico de momento angular orbital. Alemda paridade de funcoes de onda existe a paridade intrınseca das partıculas.Por convencao a paridade intrınseca dos nucleons e considerada como positiva.



A paridade de outras partıculas pode ser obtida a partir destes valores e doprincıpio de conservacao de paridade, cujos detalhes serao estudadas no capıtulode partıculas elementares.

2.3.3 Spin Isotopico ou Isospin

A simetria mais complexa da Fısica Nuclear e o isospin. Em contrastecom as simetrias de momento angular esta nao e exata, mas somente aproxi-mada. A primeira ideia acerca desta simetria partiu das massas do neutron e doproton serem praticamente identicas. Neste caso e importante relembrar que aenergia de ligacao dominante, depende do numero de nucleons e nao do numerode neutrons ou protons. Essa nova simetria, agora abstrata, descreve protone neutron como estados simetricos de uma mesma partıcula o nucleon e podeser quebrada utilizando a forca Coulombiana, que atua sobre os protons, masnao sobre os neutrons. Pode-se entao considerar que as forcas nucleares quese acoplam com essa carga do nucleon e nao com a forca eletrica, respeitandoessa simetria. Uma possibilidade de observar esta simetria experimentalmentee no espectro dos chamados nucleos espelho. Exemplos como o 7B e o 7Ke,sugerem que se podem definir, esses isotopos, como multipletes de Isospin pordiferirem unicamente pelo valor da projecao Iz.

Vamos apresentar um formalismo que permite descrever o proton e oneutron com dois estados de uma mesma entidade o nucleon. O proton e oneutron apesar de possuırem propriedades distintas, podem ser olhados comopartıculas com a mesma identidade atraves de algumas propriedades, dentreelas pode citar,

• possuem o mesmo spin, igual a 1/2, sendo portanto fermions.

• possuem massas muito proximas,

• sao indistinguıveis quanto ao processo de interacao nuclear.

A descricao do neutron e do proton como dois estados de uma mesma partıcula,o nucleon, se baseia na simetria de isospin ou spin isotopico. Os operadores deisospin sao definidos a partir das matrizes de Pauli, da seguinte forma:

τx =12

(0 11 0

), τy =

12

(0 −i,i 0

)τz =

12

(1 00 −1

). (2.62)

As matrizes de Pauli juntamente com a matriz unidade,

σx =(

0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

), 1 =

(1 00 1

),

constituem uma base completa no espaco de matrizes de dimensao 2, cujaspropriedades sao, σiσj = iσk, para i, j, k cıclicos, e σiσj + σjσi = 2δij ,



anticomutam. As matrizes de isospin atuam como operadores no espaco deIsospin cujos vetores base sao dados por:

χp =(

10

); χn =

(01

). (2.63)

Aplicando a projecao de Isospin sobre essas duas funcoes de onda, re-sulta,

τzχn =12χn, τzχp = −1

2χp. (2.64)

Como consequencia χn e χp sao auto-funcoes de τz cujos autovaloressao respectivamente, 1/2 e −1/2. O operador de carga de isospin para cadanucleon i vale:

qi =12− Iz, (2.65)

onde Iz denota o operador da terceira componente do isospin, portanto o ope-rador de carga do nucleo sera o somatorio dessa carga para cada nucleon,resultando em:

Q =A∑

i=1

qi =A∑

i=1

(12− Iz) =

A

2− T3, (2.66)

onde T3 e dado pelo somatorio das componentes de isospin de cada partıcula.Portanto para o nucleo chega-se a;

T3 =A∑

i=1

(12− Iz) =

Z∑

i=1

(12− Iz) +

N∑

i=1

(12− Iz) =

N − Z

2. (2.67)

Esta equacao nos mostra que o valor de T3 e dependente do excesso deneutrons. A nocao de isospin nos permite extender o princıpio de exclusao dePauli, incluindo o espaco de isospin. Como as funcoes de onda total do espacode spin e isospin devem ser antissimetricas ou, de forma equivalente, os doisnucleons nao podem estar no mesmo estado quantico , incluindo o de isospin.

Definindo os operadores capazes de transformarem o estado de protonconvertendo-o em neutron e vice-versa, teremos

τxχn =12χp, e τxχp =

12χn. (2.68)

Os operadores,

τ+ = τx + iτy =(

0 10 0

), e τ+ = τx + iτy =

(0 10 0

)(2.69)



aplicados as funcoes de onda do neutron e do proton, resultam em:

τ+n = 0, (2.70)τ−p = 0, (2.71)τ+p = n, (2.72)τ−n = p. (2.73)

Portanto τ− aniquila o estado de proton e converte o neutron em protone de forma analoga o τ+ aniquila o neutron em um proton o que os torna uteisno tratamento do decaimento beta.

2.3.4 Fundamentos dos Modelo de Camadas

A descoberta e a aplicacao do modelo de camadas nucleares, pela qualMaria Goeppert Mayer [10] recebeu o Premio Nobel em 1963, juntamente comJensen e Wigner, foi um dos mais importantes desenvolvimentos da fısica nu-clear. O desenvolvimento do modelo das Camadas Nucleares foi inesperado,pois quase tudo o que se conhecia sobre as forcas nucleares, aquela epoca,estava contido no modelo da gota lıquida. O novo modelo era um sistemaquase-atomico, com movimentos particulares das partıculas nucleares.

Relembrando por que estruturas em camadas fazem sentido para osatomos e talvez nao para o nucleo; os eletrons movem-se em orbitas e quandouma orbita esta totalmente preenchida, tem-se uma camada completa. Mas oque faz o conceito de uma orbita ter sentido? Existe um campo eletromagneticocentral, devido a carga do nucleo. E claro que deve-se levar em consideracaoa existencia de uma repulsao entre eletrons, mas considerando que essas in-teracoes sejam fracas alterando, fracamente, o campo medio, pelo menos numaprimeira aproximacao.

Pelo Princıpio de Exclusao de Pauli nao existem colisoes entre os eletrons,e assim o movimento de partıculas independentes, isto e, uma estrutura em ca-madas, faz sentido para os eletrons nos atomos. Para o nucleo nao existeum centro de forcas fixo e existem outras interacoes entre nucleons fortes queatuam a distancias curtıssimas. Maria Mayer comecou a se preocupar com asistematica das energias de ligacao e descobriu que aquelas energias indicavama presenca de camadas nucleares completas. Para as camadas de nuclıdeoscom 2,8,20,28,50,82,126 neutrons (ou protons) as evidencias eram claras, poisse tratam de elementos muito mais estaveis do que os outros. Nessa epoca,Eugene Wigner que estudou problemas fundamentais sobre as forcas nucleares(o que lhe garantiu o Premio Nobel de 1963, juntamente com Mayer e Jensenpelo Modelo de Camadas Nucleares), acreditava piamente no modelo da gotalıquida, mas teve de reconhecer as fortes evidencias a favor do modelo de cama-das completas. Porem aquilo parecia magico para ele, o que o levou a cunharo termo ”Numeros Magicos”. Mas foi Maria Mayer que veio com a resposta



completa, a ideia era que, alem do potencial central existia, tambem, um forteacoplamento spin-orbita.

Os nucleons sao fermions e, portanto, obedecem ao mesmo princıpio deanti-simetria a que obedecem os eletrons atomicos mas a ligacao entre nucleonstem um carater bem diferente da ligacao atomica, pois os nucleons se atraemfortemente atraves de forcas de curto alcance, sem um centro de atracao bemdefinido. Mesmo assim foi possıvel adotar um modelo de partıculas indepen-dentes, com aproximacao de forcas centrais para obter algumas conclusoes im-portantes a respeito do nucleo. Observa-se na tabela de nuclıdeos uma certatendencia a uma composicao preferencial Z = N para numeros de massa baixos.Tambem se observa, nesta mesma tabela, que devido ao efeito da repulsao cou-lombiana entre protons essa propriedade e modificada em favor do aumento re-lativo de N em relacao a Z, mostrado pela curvatura na disposicao de nuclıdeos.

O modelo da gota lıquida se preocupa com as propriedades, como aenergia de ligacao, e serve para explicar algumas propriedades nucleares ditasglobais, como a fissao que ocorre para nucleos de grande numero de massa. Umadas caracterısticas da formula semi-empırica de massa e a sua dificuldade emrepresentar o valor da energia de ligacao para numeros de massa baixos, ondese observa experimentalmente uma grande variacao descontınua da energia deligacao em funcao de A. A curva de energia de ligacao obtida pelo modelo daformula semi-empırica de massa e portanto um valor medio. Na Fig. 2.9 que nosmostra a energia de ligacao do ultimo neutron se observam grandes variacoesem relacao ao valor medio calculado pela formula semi-empırica de massa. Asgrandes variacoes se observam nas proximidades de N = 20; 28; 50; 82; 126,os chamados numeros magicos e nos mostram a possibilidade da existenciade camadas completas, tanto de protons como de neutrons.

Alem da energia de ligacao, tambem as grandezas relacionadas como omomento angular evidenciam a existencia de camadas de protons e de neutronsno nucleo. A semelhanca entre o nucleo e o atomo parece tornar-se evidente.Deve-se lembrar, no entanto, que no nucleo nao existe um potencial centralanalogo a carga positiva fixa no atomo. O primeiro modelo de camadas consi-dera um poco de potencial quadrado com um potencial de ligacao de aproxi-madamente 40 MeV , mas que nao conseguia prever corretamente os numerosmagicos.

O modelo de camadas supoe que cada nucleon de massa m e subme-tido a um potencial V (r) radial. Varias formas de potencial nuclear foramconsideradas uteis para, de forma didatica, entender o modelo de camadas.

O problema teorico basico para o nucleo consiste em resolver o seguinteproblema de muitos corpos,

HΨ = EΨ, (2.74)

onde E e Ψ sao respectivamente a energia e a funcao de onda total do sistema



Figura 2.9: Energia de separacao do ultimo neutron, em funcao do numero deneutrons para varias famılias de isobaros.

cujo o hamiltoniano e dado por,

H =A∑

i

p2i

2mi+

A∑

i<j

Vij , (2.75)

sendo pi e mi o momento e a massa dos nucleons e Vij o potencial de in-teracao entre eles. O maior problema teorico e justamente a descricao dessainteracao entre nucleons, cuja expressao matematica e uma incognita. A formamais simples de enfrentar esse problema e admitir a hipotese de movimento departıcula unica num potencial chamado de aproximacao de partıcula indepen-dente.

2.3.5 Camadas Nucleares e Analogia com o Atomo

A analogia entre as camadas fechadas de nucleons no nucleo e as cama-das fechadas de eletrons no atomo, os chamados numeros magicos, sao a basepara este modelo. Logo depois de Heinsenberg ter proposto um modelo nuclearbaseado no proton e considerando a descoberta do neutron foi possıvel utilizaras ferramentas da mecanica quantica para desenvolver o modelo de camadas,para o nucleo mas so com a inclusao da interacao spin-orbita este modelo tevesucesso para explicar os numeros magicos. Dessa forma o modelo de camadassurge da consideracao fundamental da existencia de um potencial medio no qualse movem os nucleons. Como e usual, varios potenciais podem ser analisadosde forma analıtica e aqui analisamos os tres mais didaticos:

(a) retangular

V (r) = 0 para r ≥ R e V (r) = −Vo para r < R; (2.76)



(b) oscilador harmonico

V (r) = Vo

[12

( r

R

)2

− 1]

; (2.77)

(c) Woods-Saxon

V (r) =−Vo

1 + e(r−R)/acom a =

R

5. (2.78)

Supondo que o potencial esferico V (r), seja um poco retangular do tipo(a) para o caso do estado estacionario a equacao de Schrodinger em coordenadasesfericas tomara a seguinte forma:

[∂2

∂r2+

2r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂θ2+

cotθ

r2

∂

∂θ+

1r2sen2θ

∂2

∂φ2

]ψ +

2m

h2 [E − V (r)] ψ = 0.

(2.79)Se a funcao potencial V (r) nao depende de θ e φ, e possıvel separar

as tres variaveis, para isso desenvolve-se a solucao em tres etapas, primeiroconsidera-se que a solucao podera ter a parte angular separavel da radial,

Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). (2.80)

Portanto a Eq. 10.36 podera ser escrita da seguinte forma,

Yd2R

dr2+

2Y

r

dR

dr+

R

r2

∂2Y

∂θ2+

cotθ

r2R

∂Y

∂θ+

R

r2sen2θ

∂2Y

∂φ2+

2m

h2 [E − V (r)] RY = 0.

(2.81)Multiplicando a Eq. 2.81 pela fracao r2/RY resulta em,

r2

R

d2R

dr2+

2r

R

dR

dr+

2Mr2

h2 [E − V (r)] = (2.82)

− 1Y

[∂2Y

∂θ2+ cotθ

∂Y

∂θ+

1r2sen2θ

∂2Y

∂φ2

].

A separacao de variaveis mostra que cada lado da equacao deva ser iguala uma constante, que aqui se escolhe arbitrariamente como sendo l(l + 1),resultando portanto, em:

r2

R

d2R

dr2+

2r

R

dR

dr+

2Mr2

h2 [E − V (r)] = l(l + 1), (2.83)

1Y

[∂2Y

∂θ2+ cotθ

∂Y

∂θ+

1sen2θ

∂2Y

∂φ2

]+ l(l + 1) = 0. (2.84)



Os auto-estados para um nucleon de massa M movendo-se num potencialesfero-simetrico V (r) podem ser determinados para a solucao das equacoesradial e angular, resultando numa solucao do tipo,

Ψn,l,m(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), (2.85)

onde Ylm(θ, φ) sao os harmonicos esfericos e Rnl e a funcao radial.O conjunto de numeros quanticos n, l e m determina os auto-estados de

autovalor E que corresponde a condicao de 2l + 1 vezes degenerada. Conside-rando que cada nucleon possua dois diferentes estados de spin pode-se chegarao grau de degenerescencia 2(2l+1), podendo-se portanto representar a funcaode onda da seguinte maneira:

Ψn,l,m(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ)(↑ ou ↓) (2.86)

A funcao radial Rnl(r) e o seus auto-estados de energia associados Enl de-pende do modelo de potencial V (r) escolhido. Existem solucoes particular-mente simples para este problema, para dois tipos de campo medio, o osciladorharmonico e o potencial de poco quadrado. Apesar de serem motivo de estudona fısica quantica introdutoria, discutem-se aqui alguns dos detalhes do caso depoco quadrado infinito, pois o caracter ilustrativo e importante para entendero modelo de camadas. A solucao R(r) da equacao de Schrodinger,

1r2

(r2 d

dr

)+

2µ

h2

[E − V (r)− l(l + 1)h2

2µr2

]Rnl = 0, (2.87)

onde se introduziu a massa reduzida µ = A−1A m, sendo m a massa do nucleon.

A Eq. 2.87 tem como solucao as funcoes de Bessel jl(kr) e de Neumann nl(kr)esfericas [8],

jl(kr) =(− r

k

)l(−1

r

1d

dr

)l (−senkr

kr

), (2.88)

nl(kr) =(− r

k

)l(−1

r

1d

dr

)l (−coskr

kr

), (2.89)

com k =√

2µE

h. (2.90)

As unicas solucoes da Eq. 2.87 fisicamente compatıveis, sao as funcoes deBessel e considerando que a funcao de onda deva ir a zero para r = R se impoeque kR = α, onde α e uma raiz da funcao de bessel. Utilizando a definicao Eq.2.90 nos permite entao escrever a expressao da energia para uma dada funcaode onda radial jl(kr) em funcao de α,

E =h2

2µR2α2 (2.91)



As funcoes de Bessel e Neumann sao apresentadas na Fig. 2.10 paral = 0, 1, 2. Nessa figura se pode observar que as raızes das funcoes de Besselestao dispostas na ordem, 1s, 1p, 2s, 2d, 3s, 3d etc... Nessa notacao o numeroquantico n indica a ordem em que a raiz corresponde a um dado l.

Figura 2.10: Funcoes jl(x) e nl(x) para l = 0, 1, 2,onde k = kr

A Fig. 2.11 nos mostra os nıveis mais fundamentais para a solucaoda equacao de Schrodinger, para o potencial tipo (a) oscilador harmonico, (b)poco quadrado infinito, (c) poco quadrado finito, (d) com bordas arredondadas,utilizando a ordem de multiplicidade 2(2l + 1) para protons e para neutrons.

A identificacao de camadas nos mostra que somente as tres primeiras ca-madas correspondem aos numeros magicos, 2, 8 e 20. Desta forma se poderiaconcluir que o modelo de camadas, ou e incorreto ou incompleto. Esta difi-culdade nao pode ser solucionada simplesmente, escolhendo um novo potencialcentral. Uma tentativa nesta direcao, pode ser observada na Fig. 2.11, atravesda solucao para potencial do tipo oscilador harmonico e potencial quadrado,com cantos arredondados, conforme proposta feita por Green [9], refletindo aforma de distribuicao de massa e carga ao longo do raio nuclear, ou seja o poten-cial deve cair a zero de forma suave. Se observa que essas modificacoes alterama estrutura de nıveis de forma a torna-los mais semelhantes aos experimentais,



mas de nenhuma maneira reproduzem os numeros magicos. Somente quando seintroduz um novo ingrediente, a interacao spin-orbita, e que se consegue obteros nıveis mais fundamentais com ocupacao identica aos numeros magicos.

2.3.6 Interacao Spin-Orbita

O modelo de camadas dependente apenas da forma de potencial radial,pode predizer apenas os tres primeiros numeros magicos, 2, 8 e 20, falhandonas demais camadas e tambem na estrutura de nıveis nucleares. A dificuldadenao pode ser contornada simplesmente escolhendo um novo campo de forcascentral, foi preciso introduzir um novo ingrediente teorico, ou seja, a interacaospin-orbita nuclear. Relembrando que o efeito spin-orbita na fısica atomicaocasionava o desdobramento dos nıveis de energia Enl para todos os valoresde l 6= 0. O desdobramento ocorre em funcao da contribuicao energetica dainteracao do momento angular de spin, com o momento angular orbital.

A interacao de momento angularspin-orbital nuclear, pode ser expressaem termos do potencial nuclear V (r) da forma,

VSL = −a2SL

1r

∂V

∂r~S · ~L, (2.92)

no qual o ~S e ~L representam os momentos angulares de spin e orbital. A cons-tante a2

SL, determinada experimentalmente, fornecera o valor desejado para odesdobramento de energia. Do ponto de vista formal, a adicao do potencialde interacao spin-orbita, corresponde a adicao a expressao do hamiltoniano dosistema o chamado, termo spin-orbita. No trabalho de Green, o estudo foi re-alizado para o potencial de forma quadrada finito com bordas arredondadas, oque permite observar na Fig. 2.11,(e) o desdobramento de nıveis.

A Fig. 2.12 nos mostra que para um dado nıvel Enl para valores del 6= 0, e desdobrado num par de nıveis de energia correspondente aos novosnumeros quanticos j = l + 1/2 e j = l − 1/2. Agora cada nıvel de energiarecebera a designacao nlj, compreendendo portanto 2j+1 estados degenerados.A interacao ~L · ~S consegue reordenar os estados por intermedio do momentoangular total,

~J = ~L + ~S (2.93)

onde o valor esperado de momento angular e dado por,

< j2 >= j(j + 1)h2, (2.94)

onde

j =

l + 1/2l − 1/2 .



Figura 2.11: Esquema de nıveis de energia para a) oscilador harmonico, b) pocoquadrado infinito; c) poco quadrado finito; d) poco quadrado combordas arredondadas; e) poco quadrado com interacao spin-orbita.

Como j2 = (l + s)2, consequentemente, ~L · ~S = 1/2(j2 − l2 − s2), onde o valoresperado e dado por,

< ~L · ~S >=h2

2(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s + 1)). (2.95)

A Fig.2.13 nos mostra o diagrama vetorial, ilustrando o acoplamento spin-orbita.

Na Fig. 2.11 se observa que o termo spin-orbita produz o entrelacamentode alguns sub-nıveis, o que resulta na reproducao correta dos numeros magicos.



Figura 2.12: Desdobramento de um nıvel nuclear, pela interacao spin-orbita.

Figura 2.13: Diagrama vetorial da interacao spin-orbita.

2.3.7 Momentos Nucleares

O modelo de camadas permite fazer outras predicoes alem dos numerosmagicos pois a possibilidade de predizer os spins nucleares e momentos magne-ticos e de grande interesse para o estudo do nucleo. O momento angular totalde um nucleon pode ser expresso pela soma vetorial do momento angular totalmais o momento angular de spin, conforme a Eq. 2.93.

Estendendo a adicao a todos os nucleons pode-se definir o chamado spinnuclear ~I da seguinte forma:

~I =A∑

k=1

~Jk =A∑

k=1

(~Lk + ~Sk) (2.96)

o modelo de camadas faz boas predicoes a respeito dos momentos magneticosdo nucleo. As limitacoes do modelo podem ser melhor entendidas no caso



de nucleos com numero de nucleons, A, ımpar. Considerando um sistema departıculas com (A − 1)/2 pares de nucleons no estado fundamental, mais umnucleon, um proton ou um neutron desemparelhado. Dessa maneira pode-seatribuir o momento de dıpolo magnetico do nucleo como identico ao do nucleonnao emparelhado. Tanto o momento angular orbital como o de spin contribuempara o momento se a partıcula e um proton, enquanto que no caso do neutronsomente o spin contribui. De maneira geral, entao pode-se escrever o momentode um unico nucleon:

~µ = ~µL + ~µS =µN

h(gL

~L + gS~S). (2.97)

Quando se deseja medir o momento de dipolo magnetico, ou seja o valoresperado da projecao do momento magnetico, < µz >, o numero quanticomagnetico m a expressao, podera ser obtida, utilizando o vetor spin nuclear, I,

< µzI2 >=< ~µ · ~IIz > . (2.98)

Esta relacao podera entao ser obtida a partir do produto escalar dos dois mo-mentos ja definidos:

~µ · ~I = ~µL + ~µS =µN

h(gL

~L + gS~S) · (~L + ~S) (2.99)

=µN

h

[gL

2(I2 + L2 − S2) +

gS

2(I2 − L2 + S2)

]. (2.100)

O valor de < µI2 >, sera entao obtido a partir dos autovalores,

I2 = m(m + 1)h2; L2 = l(l + 1)h2; S2 = 3/4h2 e Iz = mh.

Portanto, depois de alguma algebra se chega a:

< µz > m(m + 1)h2 =µN

h

gL

2[m(m + 1) + l(l + 1)− 3/4] h2

+gS

2[m(m + 1)− l(l + 1) + 3/4] h2

ih. (2.101)

Esta equacao nos permite obter o valor esperado da projecao de momentomagnetico < muz >,

< µz >=µN

m + 1

gL

2

[m(m + 1) + l(l + 1)− 3

4

]

+gS

2

[m(m + 1)− l(l + 1) +

34

]. (2.102)

Esta expressao se utiliza tanto para neutrons como para protons, comnumero quantico m e L. A Eq. 2.102, toma duas formas dependendo de



m = l + 1/2 ou m = l − 1/2, resultando em

< µz >+1/2 = µN

[gL

(m− 1

2

)+

gS

2

](2.103)

< µz >−1/2 = µNm

m + 1

[gL

(m +

32

)− gS

2

]. (2.104)

Cada uma das expressoes podera agora ser escrita para valor Z ımpar oupara N ımpar, resultando, no caso dos protons, para m = l ± 1

2 , com gL = 1e gS = gp em

< µz >p=

µN

(m− 1

2 + gp

2

)µN

mm+1

(m + 3

2 −gp

2

) . (2.105)

Par o caso de neutrons gL = 0 e gS = gn e novamente tem-se dois casos,para m = l ± 1

2 ,

< µz >n=

µNgn

2µN

mm+1

gn

2

(2.106)

Os resultados para os momentos magneticos, para nuclıdeos com A ımparreferentes as Eq. 2.105 e Eq. 2.106, sao os limites para os valores experimentaisencontrados, conforme mostram as linhas de Schmidt. Nas duas figuras que seseguem, Fig. 2.14 e Fig. 2.15, apresenta-se esse fato mostrando-se como o mo-delo de camadas serve como referencia para os valores de momento magneticonuclear. Tornou-se claro nesta abordagem elementar que o modelo de camadasnao e inteiramente satisfatorio para descrever o nucleo. E preciso introduzirnovos ingredientes que permitam a deformacao do nucleo da sua forma esferica.Uma nova forma pode contribuir para isso, com uma nova dinamica rotacionalque permitam, por exemplo, reproduzir momentos dipolares e quadrupolareseletricos, com maior precisao.

2.4 Modelo do Gas de Fermi

Neste modelo se supoe que as interacoes dos nucleons possam ser aproxi-madas por um potencial medio, do tipo caixa cubica com valor zero no interiore infinito no exterior. O movimento no interior da caixa e de partıcula livre in-dependente umas das outras. As unicas interacoes sao as reflexoes nas paredesda caixa de potencial. Esse modelo chamado modelo de gas de Fermi, supoeque a temperatura do sistema e muito baixa, com uma funcao distribuicao dotipo degrau.

A solucao da equacao de Schrodinger para uma partıcula nesse tipo depotencial tridimensional, e dada por:

Ψ(x,y,z) = Asen(k1x)sen(k2y)sen(k3z), (2.107)



Figura 2.14: Momentos magneticos versus spin de nucleos com numero ımparde protons. Os valores experimentais, se situam entre os valoresteoricos chamados linhas de Schmidt.

onde A e a constante de normalizacao e os k sao dados por

ki = niπ

a,

sao as componentes do momento da partıcula. A energia sera dada por,

En =h2π2

2ma2n2, (2.108)

onde n2 = n21 + n2

2 + n23.

Utilizando o modelo de forcas centrais e possıvel colocar todos os nucleonsnos seus respectivos nıveis, ignorando os efeitos de momento angular orbital.Na Fig.2.16 se observam os nucleons preenchendo os nıveis, de acordo com oprincıpio de exclusao de Pauli, colocando dois protons e dois neutrons em cadanıvel, com emparelhamento de spin. Observando-se a figura e possıvel deduzirque as configuracoes mais proximas a Z = N sao as mais estaveis, pois compa-rativamente a energia e maior para o caso (a). No modelo do gas de Fermi seconsidera que os nucleons se movem livremente numa caixa esferica, definidapelo volume nuclear, e se descreve como um sistema degenerado no qual osnucleons ocupam os nıveis mais baixos de energia de acordo com o princıpio deexclusao de Pauli. Considerando que no modelo de gas de Fermi as partıculasse movem sem interagir num raio R e volume V como as partıculas de um gasideal, utiliza-se este modelo simplificado e de acordo com essa teoria o numerode estados do protons ou de neutrons dn, com momentos entre p e p + dp num



Figura 2.15: Momentos Magneticos versus spin para nucleos com numero ımparde neutrons. Praticamente todos os valores experimentais se si-tuam entre as linhas de Schmidt.

Figura 2.16: Distribuicao de nucleons para um sistema A=21, para duas dife-rentes configuracoes, (a) Z=10,N=11 e (b) Z=6, N=15.

volume V e dado por[6],

dn =4V πp2dp

h3. (2.109)

O estado estacionario do sistema correspondera a temperatura zero, comquantidade de movimento entre 0 e pFp, de tal maneira que a numero de protonsdo nıvel mais baixo e dado pela integral de densidade de estados entre a energiazero e a energia de Fermi, como o numero de protons, Z, calculado pela integralda densidade de estados ate a energia de fermi, considerando duas partıculaspor nıvel, (fermions):

Z =∫ pF p

0

2V 4πp2dp

(2πh)3(2.110)



=V p3

Fp

3π2h3 . (2.111)

Portanto, o momento de Fermi para protons num volume V = 4πR3/3 =4πR3

oA/3, sera dado por:

pFp =h

Ro

(9πZ

4A

)1/3

. (2.112)

Para os neutrons teremos da mesma forma:

pFn =h

Ro

(9πN

4A

)1/3

, (2.113)

A energia de Fermi pode ser calculada a partir dos momentos, da seguinteforma:

εF =p2

F

2m

para protons, εpF =

h2

2mR2o

(9π

4Z

A

)2/3

(2.114)

e para neutrons, εF =h2

2mR2o

(9π

4N

A

)2/3

. (2.115)

Por outro lado a energia cinetica media da distribuicao na banda deFermi, e dado por:

〈Ec〉 =

∫ pF

0Ed3p∫ pF

0d3p

=35

(p2

F

2m

)' 24MeV. (2.116)

Portanto, a energia cinetica media para neutrons e protons sera dadapor:

〈Ec(Z,N)〉 = N〈Ec(N)〉+ Z〈Ec(Z)〉=

310m

(Np2N + Zp2

Z)

=3

10m

h2

R2o

(9π

4

)2/3N5/3 + Z5/3

A2/3. (2.117)

Para um dado valor A 〈Ec(Z,N)〉, tera um valor de energia, mınimo, paraN = Z = A/2. No estudo da variacao da energia nas proximidades dessemınimo, se utiliza uma perturbacao ε que define a assimetria entre o numerode neutrons e protons.

ε = Z −N, considerando que:ε

A¿ 1 (2.118)



Considerando a aproximacao:

(1 + x)n = 1 + nx +n(n− 1)

2x2 + ....

a Eq. 2.117 toma a forma,

〈Ec(Z,N)〉 =3

10m

h2

R2o

(9π

8

)2/3 (A +

59

(Z −N)2

A+ ...

). (2.119)

Portanto, a energia cinetica, possui um termo diretamente ligado aovolume e outro relacionado com a assimetria, resultando,

〈Ec(Z,N)〉 = avA + C(Z −N)2

A. (2.120)

Consequentemente,

av =3

10m

h2

R2o

(9π

8

)2/3

' 19, 8 MeV, (2.121)

C =1

6m

h2

R2o

(9π

8

)2/3

' 11, 0 MeV. (2.122)

Dessa maneira se verifica que a constante C vale praticamente a metadedo valor da constante de assimetria aa da formula semi-empırica de massa,portanto este modelo mostra uma contribuicao faltante para a energia de assi-metria, obtida com o modelo de gas de Fermi nos mostra um valor inferior aconstante aa = 23, 7 MeV .

Nesta discussao nao se considerou que o potencial de interacao dependada assimetria (Z−N), mas apesar disso e uma boa consideracao pois em mediaa interacao p−p ou n−n e inferior entre n−p principalmente devido ao princıpiode exclusao. O princıpio de exclusao enfraquece a interacao entre partıculasidenticas proibindo alguns estados n− n e p− p e permitindo estados p− n ea variacao do potencial encontrada se situa na seguinte ordem.

∆Vo = 30± 10(Z −N)

Aem MeV. (2.123)

2.5 Modelo Coletivo

O modelo de camadas com um potencial esfericamente simetrico e ade-quado na descricao de nucleos com camadas cheias ou quase cheias. No entanto,no caso de nucleos pesados, muitas das predicoes do modelo de camadas, naoestao de acordo com as medidas experimentais, particularmente na medida demomentos de dipolo magnetico e momentos quadrupolares eletricos, cuja exis-tencia sugere a forma nao esferica para esses nucleos. O modelo coletivo pode



Figura 2.17: Deformacao nuclear em relacao a forma esferica.

ser visto como uma solucao para esses problemas, pois trata os nucleos de formasemelhante ao modelo de camadas, mas com um potencial nao esfero-simetrico.Nucleos sem simetria esferica apresentam a possibilidade de nıveis adicionaistanto por graus de liberdade rotacionais como por graus vibracionais.

A partir de dados experimentais e possıvel saber que os nucleos cujascamadas sao quase preenchidas apresentam uma forma esferica. Quando, tantoo numero de protons como o de neutrons diferem muito dos numeros magicos,o estado fundamental do nucleo se deforma axialmente e toma ou a formaprolata (charuto) ou oblata (como um disco de arremesso) como se mostra naFig. 2.17. Uma forma simples de analisar a dinamica destas duas formas eutilizar a forma elipsoidal levemente deformada. Os dois eixos do elipsoide saodefinidos da seguinte forma:

a = R(1 + ε), b = R(1 + ε)−1/2. (2.124)

O elipsoide possui a seguinte equacao:

ax2 + by2 +z2

ab= R2. (2.125)

Para uma pequena deformacao ε, a superfıcie do elipsoide,

S = 4πR2

[1 +

25ε2

], (2.126)

sofre um aumento durante alongamentos e contracoes. Portanto a energia desuperfıcie tambem sofrera modificacoes pelo mesmo fator. Da mesma formaexistira alteracao na energia coulombiana produzida pela variacao em relacaoa forma esferica dada por,

ECoulomb → ECoul(esfera)

(1− ε2

5

). (2.127)



Figura 2.18: Vibracoes e rotacoes nucleares.

Portanto, a variacao de energia podera ser aproximada por:

∆E = ε2[25a2A

2/3 − 15εZ2A−1/3

]. (2.128)

Onde a2 e o coeficiente do segundo termo da FSEM. Uma das predicoesmais importantes do modelo coletivo e a existencia de nıveis devido a modosrotacionais e vibracionais, conforme se observa na Fig. 2.18. Este estudo podeser conduzido da mesma forma que o foi para o estudo das moleculas na fısicaatomica.

Os estados quanticos vibracionais e rotacionais sao observaveis no espe-ctro de nıveis e como exemplos comparam-se na Fig. 2.19 os espectros de tresdiferentes isotopos. A analise qualitativa do espectro nuclear, permite dizer queo nucleo possui um conjunto de camadas fechadas fora do qual se encontram osnucleons adicionais ou de valencia. Na mesma figura se observam os espectrosde vibracao e de rotacao.

Quando se considera o nucleo como uma gota lıquida, as pequenas os-cilacoes elasticas da gota em relacao a forma esferica aumentam para o casoem que se considere um pequeno numero de nucleons fora do caroco completo.Quando o numero de nucleons fora do caroco aumenta muito a tendencia deaumento dos momentos quadrupolares, a deformacao se torna importante eaparecem os estados de excitacao rotacional, como o do 170Hf tambem mo-strado na Fig.2.19.



Figura 2.19: Estados quanticos vibracionais e rotacionais observaveis no espe-ctro de nıveis para tres diferentes isotopos.

2.5.1 Vibracoes Coletivas

Os nucleos esfericos ou quase esfericos apresentam estados vibracionais,de forma semelhante as vibracoes moleculares. A vibracoes produzem ondassuperficiais, podendo ser por uma superposicao de ondas com diferentes mo-mentos angulares orbitais. As vibracoes de monopolo e as de dipolo, podem serdesprezadas em virtude do nucleo ser incompreensıvel. Observando primeira-mente as vibracoes, por simplicidade aquelas semelhantes as produzidas numagota lıquida esferica, pode-se pensar num grande numero de modos possıveis.Uma forma simples de tratar esse problema e o de parametrizar a superfıcie daseguinte maneira,

r =∑

LM

aLMYLM (θ, φ), (2.129)

onde YLM representa os harmonicos esfericos e descreve a multipolaridade (mo-mento angular) da sua superfıcie. Alguns exemplos dos efeitos podem ser da-dos, para monopolo (L = 0), dipolo (L = 1), quadrupolo (L = 2), e octupolo(L = 3).

• Monopolo



Neste modo, somente o volume do nucleo oscila, mantendo a forma. Ex-perimentalmente se observa nos nucleos par-par, com momento angularnulo Jπ = 0+, ocorrendo a energias da ordem de Eo ≈ 80A−1/3MeV ,acima do estado fundamental. Comparada com modos nucleares normaisque possuem energia de alguns MeV estes sao nıveis de alta energia,mostrando a incompressibilidade da materia nuclear.

• Dipolo

O modo de dipolo corresponde a uma translacao espacial do centro donucleo. Pode-se portanto sugerir que o modo tambem surja pela os-cilacao relativa de protons e neutrons. Possui numero quantico Jπ = 1−,ocorrendo a energias da ordem de Eo ≈ 77A−1/3 acima do estado fun-damental, muito proximo portanto da ressonancia monopolar. Isto nosmostra que os dois fluidos de neutrons e protons se mantem muito unidos.

• Quadrupolo

Os modos de quadrupolo sao dominantes nos modos vibracionais de todosos nucleos. A sua energia de excitacao se situa entre 1 a 2MeV , paranumeros quanticos Jπ = 2+.

• Octupolo

Os modos de octupolo com Jπ = 3−, podem ser encontrados em muitosnucleos e sao frequentemente os mais baixos dos estados excitados.

Figura 2.20: Modos vibracionais, para l = 1 (dipolo), l = 2 (quadrupolo) el = 3 (octopolo).

A energia vibracional e quantizada na forma de fonons, e os estados vibracio-nais podem ser aproximados em termos de fonons de quadrupolo (com l=2).Nucleos deformados em relacao a forma esferica podem ter a banda vibracionalsuperposta a banda rotacional. A Fig. 2.21 mostra os estados vibracionais do12052 Te, onde todos os estados sao de quadrupolo.



Figura 2.21: Esquema de nıveis vibracionais do 12052 Te.

2.5.2 Rotacoes Coletivas

Como se observou ao definir a deformacao axial, o nucleo com formaelipsoidal, ainda possui simetria axial em relacao a algum eixo e pode girar emtorno do mesmo, portanto e possıvel girar o nucleo em relacao a algum doseixos sem simetria para gerar excitacoes. Nao resulta em nenhuma mudancaenergetica a rotacao em torno do eixo de simetria pois os numeros quanticospermanecem identicos. Ao girar o nucleo segundo um eixo de nao-simetria,podem se superpor varios estados e portanto se pode predizer o espectro classicocomo da forma:

H =12I

J2, (2.130)

onde J e o momento angular classico. Para predizer o espectro mecanico-quantico tem-se,

Erot(J) =h2

2IJ(J + 1), J = 0, 2, 4, (2.131)

onde J e agora o numero quantico de momento angular. Existindo a rotacaoem torno de um eixo normal a um de simetria do elipsoide, pode se mostrar queos nıveis rotacionais so podem ser pares. Portanto, tanto os nıveis vibracionaiscomo rotacionais podem ser preditos para valores especıficos de momento angu-lar e paridade. As transicoes gama medidas experimentalmente sao as armasfundamentais para essas medidas experimentais. Considerando um exemplomuito simples de nucleo par-par, com spin e paridade do estado fundamental0+. Neste exemplo o momento angular de rotacao e igual ao momento ~J , assimos valores com J = 0+, 2+, 4+6+ formam uma banda rotacional do estado fun-damental. Na Fig. 2.22 mostra-se o a banda rotacional de um desses nucleospar-par.



Figura 2.22: Espectro de rotacao (banda), de um nucleo par-par, o 16468 Er.

2.6 Exercıcios

1. Utilizando a equacao para a energia potencial coulombiana, obtenha apartir das constantes universais os valores para a3 da FSEM e justifiquea diferenca de valores obtidos com o valor apresentado, no texto.

2. Obtenha a expressao para energia potencial coulombiana de nucleo, apartir da aplicacao da lei de Gauss, considerando um nucleo esferico dedensidade de carga eletrica constante.

3. Calcule a energia de ligacao B para o nucleo do 42He e para o 235

92 U ,utilizando os tres primeiros termos da FSEM. Compare os valores comos valores conhecidos e justifique porque a FSEM da melhores resultadospara os nucleos pesados.

4. Considere que o nucleo e uma gota de um lıquido extremamente densocom uma carga Q=Ze, uniformemente distribuıda. Na fissao o nucleose divide em duas esferas de raios R1 e R2 respectivamente com cargasQ1 e Q2, afastando-se uma da outra ate uma distancia muito grande. a)Qual a variacao de energia eletrostatica que ocorre nesse processo? b)Utilizando este modelo simplificado calcule a energia liberada na fissaodo 235U .

5. Calcule a diferenca de energia de ligacao para nucleos espelho para o 158 O

e 157 N , pela Eq. 2.24 e a partir desse valor calcule o valor de Ro

6. Utilizando a Eq. 2.31; a) substitua, os valores numericos das constantespara explicitar a funcao Z(A), b) Obtenha o valor de Z para o isobaromais estavel da serie A=141 (lembre-se que Z e um valor inteiro).



7. Utilizando a mesma Eq. 2.31, estude e obtenha as duas parabolas parao conjunto de isobaros A=134, pesquisando qual dos nucleos e o maisestavel.

8. Utilizando as parabolas dos dois problemas anteriores (6 e 7), pesquise ecoloque sobre as mesmas todos os isotopos, bem como os seus modos dedecaimento. Coloque ao lado de cada isotopo o valor da sua meia vida.

9. Considerando a Eq. 2.25 das parabolas de massa aplicada ao caso de A,ımpar obtenha as expressoes para os valores de Q do decaimento β+ eβ−, dos dois isobaros mais proximos ao estavel Zo.

10. Utilizando a tabela periodica dos elementos liste os elementos para osquais ocorre a fissao expontanea, juntamente com a sua meia vida T edepois construa um grafico de pontos A(T) (numero de massa em funcaoda meia vida) para esses isotopos.

11. Deduza a Eq. 2.109 para calcular o numero de estados de protons.

12. Utilizando a expressao Eq. 2.95, estude a degenerescencia do nıvel 1f daFig. 2.11, calculando o numero de partıculas antes e depois da interacaospin orbita e a diferenca de energia no desdobramento de nıveis.

13. Explique porque a vibracao monopolar ocorre a altas energias.


Bibliografia

[1] Weizsacker, C.F. Z. Physik 96, 431(1935).

[2] Bethe H., Rev. Mod. Phys. 8, 82(1936).

[3] Evans R.D., The Atomic Nucleus, NY, McGraw-Hill, 1955.

[4] Roy R.R., Nigam B.P.,Nuclear physics : Theory and Experiment, JohnWiley, 1967.

[5] Das A., Ferbel t., Introduction To Nuclear Physics, John Wiley,1994.

[6] Eisberg R., Resnick R., Fısica Quantica, Ed. Campus, (1979).

[7] Nucleus-3D A Driver program for Nuclear data Vi-sualization, para obter uma copia para o seu micro:http://csnwww.in2p3.fr/AMDC/nucleus/nucleus.zip

[8] Arfken G., Mathematical Methods for Physicists, Academic Press,NY(1985).

[9] Green A. E. S., Phys. Rev. 102. 1325(1956).

[10] Goeppert Mayer, M, Phys. Review, 75(1949), 78(1950).

69

CAPITULO 3

Decaimento Radioativo

As reacoes nucleares de decaimento sao reacoes espontaneas nas quaisnuclıdeos instaveis se desintegram emitindo radiacao. A descoberta da radio-atividade e atribuıda a H. Becquerel que em 1896 descobriu que o uranio emitiaradiacoes capazes de ionizar a materia. O torio foi descoberto logo a seguir porM. Curie e M. Schmidt. A partir dessas descobertas pioneiras muitos outrosisotopos radioativos foram sendo descobertos, podendo se destacar o Polonio eo Radio por M. Curie e P. Curie em 1898.

Os elementos radioativos naturais foram classificados em series radioati-vas cujo nome e o do elemento a partir do qual resultam por decaimento todosos demais, destacando-se tres familias, as do 238U , do 232Th e do 235U [1].Aos elementos das series radioativas naturais se somam, hoje em dia, algunsmilhares de elementos radioativos artificiais produzidos em aceleradores e emreatores nucleares.

3.1 Lei do Decaimento Radioativo

As leis exponenciais que regem tanto o decaimento como a producaode substancias radioativas foram desenvolvidas por E. Rutherford e Soddy em1902, explicando os experimentos de decaimento com a serie do torio por elesmesmo realizados. A generalizacao matematica foi feita por Bateman em 1910[2] tanto para series naturais como para artificiais.

O estudo do decaimento radioativo inicia-se considerando um isotopo quesofre decaimento para um outro isotopo estavel. Considerando que o numero de

71


isotopos em uma amostra radioativa e sempre um numero muito grande deve-mos levar em consideracao a natureza estatıstica do processo de decaimento. Aprobabilidade p que caracteriza cada um dos processos de decaimento e um va-lor extremamente pequeno pois a populacao de nucleos e sempre extremamentegrande. Considerando que essa probabilidade p e proporcional ao intervalo detempo ∆t, no qual ocorre o evento de decaimento:

p = λ∆t, (3.1)

em que λ, representa a constante de decaimento. Como consequencia, a pro-babilidade de sobrevivencia do nucleo sera, no intervalo de tempo ∆t, dadapor:

1− p = 1− λ∆t. (3.2)

Considerando n intervalos consecutivos, a probabilidade de sobrevivencia aposum tempo n∆t sera:

(1− p)n = (1− λ∆t)n. (3.3)

O limite desta expressao, Eq. 3.3, para um numero de intervalos tendendo ainfinito resulta na probabilidade de um nucleo sobreviver apos ter decorridoum tempo t finito:

limn→∞

(1− λt

n

)n

→ e−λt. (3.4)

Inicialmente, em t = 0, a amostra radioativa possui No nucleos de uma mesmaespecie, apos o tempo t o numero de sobreviventes Nt sera:

Nt = Noe−λt. (3.5)

A analise do decaimento de uma dada especie nuclear pode ser feita emtermos da constante de decaimento λ ou da sua meia vida, T . A meia vida podeser definida como o tempo necessario para que uma dada amostra radioativatenha o seu numero de atomos reduzidos a metade, ou seja

NT

No=

12

= e−λT . (3.6)

Assim pode-se obter o valor da meia vida T , como:

T =ln2λ

=0, 693

λ. (3.7)

Em vez de utilizar T , tambem se pode utilizar a vida media τ , que medeo tempo medio de sobrevivencia de um nucleo radioativo, ou seja,

τ =∫

tdN∫dN

=

∫∞0

λtNoe−λtdt

No=

1λ

. (3.8)



A atividade de uma amostra radioativa, mede o numero de partıculas emitidaspor uma amostra radioativa por intervalo de tempo e o seu valor pode serobtido a partir do conceito de probabilidade de decaimento, considerando que ataxa de partıculas emitidas seja identica a taxa media de atomos que sofreramo decaimento. Nesse sentido a atividade de uma amostra e proporcional aonumero de atomos da mesma:

At = λNt. (3.9)

Assim pode-se calcular a atividade A de uma amostra utilizando a pro-babilidade de decaimento de cada nucleo,

At =p

∆tNt, (3.10)

=λ∆t

∆tNt, (3.11)

= λNoe−λt (3.12)

= Aoe−λt. (3.13)

3.1.1 Unidades de Atividade

As unidades de atividade mais utilizadas sao o Becquerel, o Curie e oRutherford. Sendo a primeira do SI e a segunda uma unidade historica, masainda em uso.

Becquerel = 1 particula s−1

1 Curie = 3, 7× 1010 particula s−1

1 Rutherford = 106 particula s−1

3.2 Decaimento e Series Radioativas

O tratamento dado por Bateman ao decaimento das series radioativassera exemplificado utilizando uma serie de tres elementos, sendo o ultimoestavel. Considerando que o primeiro elemento da serie, em geral chamadode pai pela maioria os autores, mas que, neste caso, realmente poderia serchamado de avo, sofra decaimento com uma constante λ1 e o seu filho (semduvida) possua constante λ2. Pode-se representara a serie atraves do seguinteesquema:

N1 ~λ1N2 ~λ2

N3(estavel),

no qual N1, N2 e N3 sao os numeros de nucleos de uma amostra em um dadoinstante t, que seguem as seguintes equacoes de decaimento:

dN1

dt= −λ1N1,



dN2

dt= λ1N1 − λ2N2, (3.14)

dN3

dt= λ2N2.

O sistema de equacoes Eq. 3.14 e linear de equacoes acopladas, com as seguintescondicoes iniciais, para t = 0, N1o= N2o = N3o = 0. A solucao do primeirotermo sera:

− dN1 = λdtN1, (3.15)dN1

N1= −λdt, (3.16)

N1 = N1oe−λt. (3.17)

Substituindo esta solucao na segunda equacao do sistema 3.14 temos:

dN2

dt+ λ2N2 = λ1N1oe

−λ1t. (3.18)

A solucao completa desta EDO nao homogenea consiste de uma solucaogeral da equacao homogenea, mais a solucao particular. A solucao geral e dadapor,

N2 = Ce−λ2t. (3.19)

A solucao particular da Eq.3.18 pode ser do tipo,

N2 = De−λ1t,

que substituıda nessa equacao resulta em D = N1oλ1/(λ2 − λ1), resultando nasolucao completa,

N2 =N1oλ1

λ2 − λ1e−λ1t + Ce−λ2t. (3.20)

Considerando as condicoes iniciais, se obtem o valor da constante C e asolucao toma a seguinte forma:

N2 =N1oλ1

λ2 − λ1

(e−λ1t − e−λ2t

). (3.21)

Da mesma maneira substituindo esta solucao na equacao diferencial paraa especie 3, a solucao sera dada por

N3 =N1oλ1λ2

λ2 − λ1

[1− e−λ1t

λ1− 1− e−λ2t

λ2

](3.22)

Na Fig.3.1 podem-se observar as funcoes N1(t), N2(t) e N3(t).



Figura 3.1: Serie radioativa com 3 elementos, dois radioativos e o ultimoestavel.

3.2.1 Equilıbrio Radioativo

A condicao de equilıbrio radioativo seria, em princıpio, aquela em queas derivadas temporais de uma serie radioativa fossem nulas. No entanto,tomando o caso da serie de tres elementos presente na Eq. 3.14 verifica-se quenesse caso, tomando-se o decaimento do primeiro elemento, para a condicao emque a derivada fosse nula deveria-se concluir por λ1 = 0. Consequentemente,deve-se procurar situacoes proximas ao equilıbrio.

Para as series radioativas naturais o primeiro termo da serie possui umameia vida maior se comparada com os demais membros da serie. Nesse caso,considerando o numero de atomos do pai como constante, atinge-se o chamadoequilıbrio secular. Uma outra condicao aproximada de equilıbrio ocorre nocaso do pai possuir uma vida mais longa que o filho, para o caso de meia vidado pai nao muito longa, quando se pode aproximar λ1 = 0, atinge-se o chamadoequilıbrio transitorio.

• T1 < T2 (Pai de meia vida mais curta)Partindo da condicao em que o nuclıdeo 1, ou pai da serie, possui umameia vida mais curta que o segundo ou o filho teremos a condicao λ1 > λ2,portanto depois de um tempo muito longo a Eq.3.21 podera ser aproxi-mada por,

N2 ' N1oλ1

λ1 − λ2e−λ2t (3.23)

Pois,e−λ1t << e−λ2t. (3.24)



Portanto, depois de um tempo muito longo, o decaimento do segundoelemento da serie e determinado so pela sua propria meia vida.

• T1 > T2 Equilıbrio Transitorio.Depois de um tempo muito longo pode-se calcular o numero de atomosda especie 2 pela seguinte aproximacao:

N2 ' N1oλ1

λ2 − λ1e−λ1t, (3.25)

portanto teremos a seguinte relacao entre o numero de atomos do filho edo pai da serie,

N2

N1' λ1

λ2 − λ1;A2

A1=

λ2N2

λ1N1' λ2

λ2 − λ1. (3.26)

Esta condicao tambem e chamada de equilıbrio transitorio. Um casoparticular do equilıbrio transitorio, ocorre para T1 >>> T2 ou seja oequilıbrio secular.

• T1 >> T2 Equilıbrio SecularQuando as atividades do pai e do filho depois de um longo perıodo setornam identicas, a condicao de equilıbrio transitorio atinge o chamadoequilıbrio secular. Em equilıbrio secular a serie deve satisfazer as seguintescondicoes na Eq.3.26 para λ1 <<< λ2.

λ1N1 = λ2N2 = λ3N3 = ....λnNn. (3.27)

Esta condicao pode ser apresentada em termos da meia vida,

N1

T1=

N2

T2=

N3

T3= ...

Nn

Tn. (3.28)

Uma das aplicacoes mais importantes da utilizacao da condicao de equilıbriosecular e a de se encontrar meias vidas muito longas, a partir da medidada meia vida do filho, quando esta e muito curta e facil de medir.

De forma grafica, pode-se observar, como ocorre o decaimento radioativopara os dois casos, no primeiro, para T1 < T2, depois de um tempo longo o de-caimento do segundo termo adquire a forma de decaimento, sem a participacaodo elemento pai. No segundo caso Fig. 3.2.(b) para T1 > T2 tambem paratempos muito longos, as duas funcoes adquirem solucao identica a do primeiro,ou quase paralelas.



Figura 3.2: Condicoes de equilıbrio no decaimento entre dois isotopos quando,(a) T1 < T2, T1 > T2.

3.3 Aplicacoes do Decaimento Radioativo

Existem muitas aplicacoes das propriedades do decaimento radioativo,e seria impossıvel relatar todas as aplicacoes cientıficas e tecnologicas. Nestecapıtulo vamos descrever apenas duas aplicacoes, que pela sua generalidadeservem de base para muitas areas do conhecimento, tratam-se da datacao ra-dioativa e da producao artificial isotopos radioativos.

3.3.1 Datacao Radioativa

A datacao radioativa, uma das aplicacoes do decaimento radioativo quemais gera interesse, e a determinacao da idade tanto arqueologica como geologicapor meio do decaimento de determinados isotopos existentes na natureza. Umdos exemplos e a datacao com 14C que permite datar achados arqueologicoscom idades inferiores a 50.000 anos. Outro exemplo e o da datacao geologicaonde se utilizam isotopos radioativos com meias vidas muito longas como a do238U .

Datacao com Carbono-14

A chamada datacao com radiocarbono, foi desenvolvida nos anos 40 porW.F. Libby na universidade de Chicago [3], pelo qual recebeu o premio nobelem 1960. O Carbono e incorporado atraves da troca com a atmosfera que todosos seres vivos realizam, tanto pela respiracao como pela propria alimentacao.O 14C faz parte dessa troca durante a vida, parando de ser trocado quandoo individuo animal ou vegetal morre. A composicao relativa de 14C e 12C econhecida para os seres vivos, portanto apos a sua morte como o conteudo de12C permanece constante a taxa entre os dois isotopos diminui com o passardo tempo, permitindo datar os restos desses seres.



Tabela 3.1: Isotopos radioativos utilizados na datacao geologicaIsotopo pai Isotopo filho Meia Vida (anos)U-238 Pb-206 4, 5× 109

U-235 Pb-207 0, 704× 109

Th-232 Pb-208 14, 0× 109

Rb-87 Sr-87 48, 8× 109

K-40 Ar-40 106× 109

A atividade do carbono existente em especies vivas e de 0, 007µCi/kgdevido unicamente ao conteudo do 14C. O 14C e um isotopo emissor β− commeia vida de 5.730 anos, sendo produzido constantemente na atmosfera pelobombardeamento do 14N , por neutrons produzidos pelos raios cosmicos aointeragir com os componentes da atmosfera atraves da reacao

14N + n = 14C + p. (3.29)

O 14C, decai seguindo a reacao,

14C = 14N + β− + ν. (3.30)

Uma amostra normal de carbono possui uma atividade de Ao = 13, 6 Bq/gdevido a atividade de 14C. Como a atividade e proporcional ao numero deatomos podemos utilizar a seguinte relacao para determinar a idade de umaamostra de carbono cuja atividade seja At,

tidade =1λ

ln(Ao

A

)=

57300, 695

ln(Ao

A

)anos. (3.31)

Datacao geologica

A taxa de decaimento de isotopos de meia vida muito longa, da ordemda idade geologica, que sao componentes em rochas, podem ser utilizados nadatacao geologica bastando para isso ser determinada a relacao entre as concen-tracoes do isotopo pai e seu filho. Na Tabela 3.1 encontramos os principaiselementos e seus filhos utilizados na datacao geologica. A datacao de rochaspor decaimento de algum de seus componentes e em teoria muito simples, masas tecnicas de laboratorio sao relativamente complexas. A dificuldade principale a medida de quantidades especıficas, muito pequenas, existentes nas rochas.O metodo de datacao do potassio (K → Ar) e muito interessante pois pode serutilizado para datar tanto rochas jovens com muito antigas pois a sua medidamesmo em concentracoes muito pequenas o torna um metodo muito confiavel.

As equacoes de decaimento para qualquer um desses exemplos podemexemplificar o problema da datacao,

Np = Noe−λt → decaimento do pai, (3.32)



Nf = No

(1− e−λt

) → formacao do filho.

na qual λ e No sao, respectivamente a constante de decaimento e numero deatomos iniciais do pai. Essas duas equacoes 3.32 podem ser reduzidas a:

Nf = Np(e−λt − 1). (3.33)

Da Eq. 3.33 se pode deduzir a idade da rocha

tidade =1λ

ln(1 +Nf

Np), (3.34)

na qual as quantidades de cada um dos isotopos estao presentes apos ter de-corrido o tempo tidade.

3.3.2 Producao Artificial de Isotopos Radioativos

A producao de isotopos radioativos pode se dar em um reator nuclear ouem um acelerador de partıculas. Para que isso se torne possıvel e preciso irradiaruma amostra pura de um certo material com partıculas com um espectro deenergia adequado. No caso dos reatores, se utiliza o fluxo de neutrons, em geralpertencentes ao grupo termico. Como hipotese simplificativa, considera-se queum dado isotopo radioativo e produzido a uma taxa constante e uniforme Q.O isotopo produzido possui uma constante de decaimento λ e portanto pode-seescrever a taxa de variacao de atomos da especie produzida:

dN

dt= Q− λN. (3.35)

Separando as variaveis,dN

Q− λN= dt, (3.36)

d(Q− λN)Q− λN

= −λdt. (3.37)

Para o caso em que o numero de atomos vale N = 0 em t = 0 teremos a solucao,ou integracao da Eq. 3.37,

N(t<ti) =Q

λ

(1− e−λt

), (3.38)

onde ti e o tempo de irradiacao. Apos ter sido feita a irradiacao, a amostraradioativa da especie formada decai e teremos a solucao da Eq. 3.35, para ocaso Q = 0, portanto apos o tempo de irradiacao teremos:

N(t>ti) =Q

λe−λt. (3.39)



A taxa de formacao Q de uma especie e calculada pela integral tripla,

Q =∫

E

∫

t

∫

V

σNφdEdtdV, (3.40)

onde σ e a secao de choque da reacao que gera o isotopo de interesse, N adensidade atomica do alvo e φ o fluxo de partıculas incidentes sobre o alvo. Ografico representativo dessas duas funcoes 3.38 e 3.39, sera como o da Fig.3.3.A partir da Eq.3.38, pode-se obter a equacao da atividade induzida durante operıodo de irradiacao,

A(ti) = λN(t) = Q(1− e−λt), (3.41)

cuja derivada na origem (t = 0) sera dada por:[dA

dt

]

t=0

= Y ; Y = λQ. (3.42)

O valor de Y representa o gradiente na origem, permitindo esse valor o calculoda atividade em qualquer instante por:

A(ti) = λN(t) =Y

λ(1− e−λt) (3.43)

Figura 3.3: Formacao de isotopo radioativo por irradiacao, de um nuclıdeopuro, durante um tempo ti e decaimento apos a irradiacao porum tempo td.



Quando se tratar de irradiacao de uma amostra, em condicoes tais queo fluxo possa ser considerado constante e mono-energetico, a producao de umisotopo pode ser equacionada da seguinte forma: uma especie A nuclear ebombardeada com partıculas x produzindo-se uma partıcula y e a especie B,que por sua vez podera decair para uma especie C. Resumindo-se na forma daseguinte equacao:

[A(x, y)B] → C. (3.44)

Seguindo a mesma nomenclatura das series radioativas, pode-se escreveras equacoes diferenciais que regem a atividade das especies A e B,

dNA

dt= −Q = φσNA = −λANA, (3.45)

dNB

dt= −λBNB + Q = −λBNB + λANA, (3.46)

onde λA = φ.σ. A solucao deste sistema segue a mesma forma da serie radio-ativa de tres elementos, portanto,

NA(t) = NAoe−φσt, (3.47)

NB(t) =NAoφσ

λB − φσ

(e−φσt − e−λBt

). (3.48)



3.4 Exercıcios

1. Deduza o valor do limite da Eq. 3.4, que resulta na probabilidade desobrevivencia de um nucleo apos ter decorrido um tempo t.

2. Solucione a integral da Eq. 3.8 e obtenha o valor da vida media.

3. A atividade de 1 Ci corresponde a atividade de 1 g de 226Ra. a) A partirda meia vida deste isotopo, obtenha o valor dessa atividade em Bq, b)calcule a massa de uma amostra de 60Co com a mesma atividade.

4. Qual o peso de uma amostra de 137Cs cuja atividade e de 150 kBq ( estee o valor aproximado de fontes utilizadas nos laboratorios de ensino).

5. Uma amostra radioativa consiste na mistura de dois isotopos, cujas ati-vidades iniciais sao identicas. Considerando que a meia vida de um e 1dia e a do outro 3 dias. Qual sera a fracao da atividade da amostra apos2 dias?

6. Solucione o sistema de equacoes diferenciais, para uma serie radioativade 3 elementos, sendo o ultimo estavel, apresentando todos os passos dadeducao.

7. Discuta algumas das possıveis aplicacoes do equilıbrio transitorio e doequilıbrio secular.

8. Considerando que nos minerais de uranio a analise quımica demonstraque existe um atomo de 226Ra para 2, 8 × 106 atomos de 238U e que ameia vida do 226Ra e de 1620 anos, obtenha a meia vida do uranio apartir da condicao de equilıbrio entre os dois.

9. Uma amostra de tecido pre-historico, feita de linho, foi encontrado emuma tumba e depois de carbonizada foi medida a sua atividade resultandoem 9, 65 Bq por grama de carvao. Quando foi colhido o linho destasvestes?

10. Uma amostra radioativa, recem formada num acelerador, foi contada aintervalos de 24 minutos e se obtiveram os seguintes resultados em conta-gens por minuto 828; 386; 180; 92; 45; 21; 9,5. Depois de construir umgrafico logarıtmico, destas contagens em funcao do tempo, a) Obter aconstante de desintegracao b) a vida media e a meia vida. c) Sabendoque o rendimento total do contador e de 5% qual e o numero de atomosda amostra no t=0.


Bibliografia

[1] Kaplan I., Fısica Nuclear, Ed. Guanabara Dois,(1972).

[2] Bateman H., Proc. Cambridge Phil. Soc., 15, 423(1910).

[3] Libby Arnold J.R., Radiocarbon dates, Science, 113, 111-120(1951).

83

CAPITULO 4

Radiacoes Nucleares

A maioria dos nuclıdeos instaveis emite partıculas α, β e γ, transfor-mando-se em isotopos mais estaveis. Nestas notas discutem-se algumas daspropriedades desse decaimento radioativo, seja ele devido a radioatividadenatural ou artificial, que resulta dos tres tipos basicos de decaimento, des-cobertos inicialmente por Antoine Henri Becquerel em 1896, observando essasradiacoes produzidas por sais de uranio. A identificacao dessa radiacao comoformada por partıculas alfa e beta e gama foi feita por Ernest Rutherford apartir de 1911 desenvolveu detetores como a camara de Wilson e o detetorGeiger-Muller capazes de distinguir essas partıculas.

4.1 Decaimento Alfa

No decaimento alfa, um isotopo emite uma partıcula identica a de umnucleo do atomo de helio, seguindo uma transicao ou reacao que pode serrepresentada da seguinte forma:

AZX →A−4

Z−2 Y +42 He. (4.1)

Considerando-se o nucleo X inicialmente em repouso e aplicando-se oprincıpio de conservacao de energia teremos:

MXc2 = MY c2 + EY + mαc2 + Eα. (4.2)

Consequentemente o defeito de massa, nesta reacao, sera dado por:

∆Mc2 = EY + Eα = (MX −MY −mα)c2. (4.3)

85


Neste balanco as massas dos eletrons se anulam podendo-se utilizara mesma expressao para as massas atomicas em vez das massas nucleares,desprezando-se apenas as energias de ligacao dos eletrons, portanto

EY + Eα = [M(A,Z) −M(A−4,Z−2) −M(4,2)]c2 ≡ Q. (4.4)

O balanco de energia da reacao, Q, pode ser calculado tanto pela dife-renca de massa como pela energia cinetica das partıculas envolvidas na reacao.Para partıculas nao-relativısticas as energias cineticas poderao ser escritas daseguinte forma:

EY =12MY V 2

Y , (4.5)

Eα =12mαv2

α. (4.6)

Considerando que as partıculas α saem em direcao oposta ao nucleo Y ,podemos escrever a conservacao da quantidade de movimento de forma escalar:

MY VY = mαvα, (4.7)

portanto,

vα =MY VY

mα. (4.8)

Como em geral a massa MY À mα a energia cinetica de recuo do nucleoY sera muito menor do que a energia cinetica da partıcula α. Pode-se eliminarVY da expressao de Q pois a energia cinetica das partıculas α pode facilmenteser medida, experimentalmente, enquanto que a do nucleo em recuo nao:

Q = EY + Eα =12MY V 2

Y +12mαv2

α, (4.9)

=12MY

(mαvα

MY

)2

+12mαv2

α, (4.10)

=12mαv2

α

(1 + mα

MY

), (4.11)

= Eαmα + MY

MY. (4.12)

Portanto da Eq. 4.12 resulta que

Eα =MY

mα + MYQ =

11 + mα

MY

Q. (4.13)

Como a energia cinetica das partıculas alfa ao pode ser negativa (Eα ≥0) o decaimento α so podera ocorrer espontaneamente, quando se verifica aseguinte condicao:

Q ≥ 0. (4.14)



Da mesma maneira utilizando a Eq. 4.12, se pode obter a energia cineticado nuclıdeo Y :

EY = Q− Eα =mα

mα + MYQ =

mα

MYEα ¿ Eα. (4.15)

As expressoes para a energia cinetica poderao ser aproximadas se consideramosque

mα

MY

∼= 4A− 4

, (4.16)

pelos seguintes valores:

Eα∼= A−4

A Q, (4.17)EY

∼= 4AQ, (4.18)

cujos valores nos mostram como a determinacao experimental da energia cineticapermite obter valores muito proximos do balanco de energia da reacao. Umexemplo do espectro de emissao alfa, que mostra a caracterıstica de partıculasmonoenergeticas, pode ser observado pela analise espectral do 228Th e seusdescendentes na Fig. 4.1.

Figura 4.1: Espectro de emissao alfa relativa a uma amostra de Th228 e seusdescendentes.

As medidas experimentais da energia cinetica das partıculas α mostra-ram que esse valor e monoenergetico, apesar da distribuicao em torno do valormedio consequencia da variacao experimental no seu valor sugerindo que paraum mesmo valor de Q ocorre o fenomeno chamado straggling. Como o alcance



Figura 4.2: Transicoes α observadas no decaimento do 228Th

da partıculas alfa, em um meio e proporcional a energia cinetica das mesmas,na camara de Wilson este fenomento se observa por diferentes alcances emtorno de um valor medio que corresponde a dispersao do percurso em torno deum valor medio de penetracao na camara.

Para partıculas α de baixa energia sempre se observa a emissao de ra-diacao γ seguindo entao uma reacao de decaimento do tipo:

A−4Z−2Y

∗ →A−4Z−2 Y + γ. (4.19)

onde Y ∗ representa os varios estados excitados que decaem na forma de ra-diacao gama. Esta associacao do decaimento alfa e gama ajudou nos primordiosda espectroscopia nuclear a complementar os esquemas de decaimento com-plexo, permitindo determinar com grande precisao o esquema de nıveis nu-cleares como mostra a Fig. 4.2.

Exemplo 4.1Estudo das Transicoes Alfa do 228Th

Na Fig. 4.2, se observam as transicoes do Th228, com a emissao decinco diferentes partıculas alfa, monoenergeticas, bem como a radiacao gamaassociada a transicao de cada estado excitado. A estrutura de nıveis obser-vado nessa figura, pode ser comprovada experimentalmente, medindo a energiacinetica das partıculas alfa, atraves do seu alcance. Utilizando essas energiascineticas e possıvel obter o valor do balanco de energia Q, atraves da Eq. 4.12.Dessa maneira e possıvel comprovar os valores das energias das transicoes gama,observadas no processo de decaimento alfa e consequentemente comprovar o es-quema de nıveis nucleares.



Exemplo 4.2Estudo do Decaimento Alfa do 240Pu.

O decaimento alfa do 240Pu produz o 236U , em dois estados um funda-mental e outro excitado que por emissao gama tambem decai para o estadofundamental seguindo as equacoes:

24094 Pu → 236

92 U +42 He, (4.20)

23692 U∗ → 236

92 U + γ (0, 045 MeV ). (4.21)

Considerando que as partıculas α do Pu sao emitidas com energiasEα1 = 5, 17 MeV e Eα2 = 5, 12 MeV , o valor de Q sera dado por:

Q =A

A− 4Eα ⇒

Q1 = 240

236 × 5, 17 ∼= 5, 26 MeV,Q2 = 240

236 × 5, 12 ∼= 5, 21 MeV.

Consequentemente Q1 − Q2 = 0, 05 MeV , valor consistente com o γobservado experimentalmente de 0, 045 MeV . Isto nos leva a observar que oespacamento entre nıveis nucleares e da ordem de 100 KeV enquanto que osespacamentos atomicos sao da ordem de eV .

4.2 Penetracao da Barreira de Potencial

A energia cinetica das partıculas α, emitidas por nucleos radioativosnaturais vale, tipicamente, entre 5 e 10 MeV para a maioria dos isotoposradioativos naturais. Quando partıculas com essas energias sao espalhadaspor nucleos pesados, em experimentos do tipo Rutherford, a sua energia nao esuficiente para penetrar a barreira de potencial coulombiana. Para A ∼= 200 aaltura da barreira e de aproximadamente 20 a 25 MeV. Por outro lado fica apergunta: como essas partıculas escapariam do nucleo? Para entender esse fatoacompanhe o modelo aproximado de um poco de potencial como o da Fig.4.3.

A primeira analise quantitativa deste problema foi feita por George Ga-mow, Ronald Gurvey e Edward Condon em 1929, tratando as partıculas αligadas em num poco de potencial Coulombiano do nucleo considerado.

Exemplo 4.3Aplicacao do modelo de barreira retangular

Neste exemplo estuda-se o decaimento alfa, como o da reacao de decai-mento do torio, aplicando-se o modelo simplificado de uma barreira retangular,como mostrado na Fig. 4.3.

232Th →228 Ra +42 He com Eα = 4, 05 MeV



Figura 4.3: Energia potencial para espalhamento de partıculas alfa e o poten-cial retangular equivalente, para estudo da transmissao atraves dabarreira. Dados: Z ∼ 90 ; Vo ∼ 14MeV ; 2a = 33× 10−13cm.

A transmissao da barreira e sensıvel ao valor de√

Vo − E e nao ao valorde Vo e para a penetracao de uma barreira retangular o valor do fator detransmissao, T , sera:

T =(4k1k)/(k1 + k)2

1 + [1 + ((K2 − k1k)/K(k1 + k))2] sinh2 2Ka,

ondek1 = [

2mα

h2 (E + Uo)]12 ,

k = [2mα

h2 E]12 ,

K = [2mα

h2 (Vo − E)]12 .

Para mαc2 ∼= 4000 MeV , E = 4, 05 MeV , Vo = 14 MeV e Uo∼= 40 MeV

teremos:K =

1hc

[2mαc2(Eo − E)]12 ,

K =1

197 MeV fm[2× 4000MeV (14− 4)MeV ]

12 ∼ 1, 4 fm−1,

k ∼ 0, 9 fm−1,

k1 = 3.0fm−1.

Portanto, 2Ka = 33× 1, 4 ∼= 46 ⇒ 2Ka À 1 e teremos assim:



sinh2(2Ka) ∼(

e2Ka

2

)2

=14e4Ka =

14e92 À 1,

consequentemente este expoente dominara o valor de T , portanto podemossimplificar para os limites:

k21 À K2 e k2

1 À k2,

T = 4K2

K2+k2kk1

sinh−2(2Ka),

= 4(Vo−E)Vo

(E

E+Vo

) 12

4e−4ah [2mα(Vo−E)

12 ],

= 4×1014

(444

) 12 .4.e−92,

∼= 3, 5× e−92,∼= 4× 10−40.

A probabilidade das partıculas α penetrarem a barreira e portanto muitopequena e no caso das partıculas no interior do nucleo, a sua energia cineticasera:

Eα = Uo + E ∼= 44 MeV,

portanto,

vα =√

2Eα

mα= c

√2Eα

mαc2= 0, 15 c.

Considerando que as partıculas α estejam confinadas em uma regiao deaproximadamente 10−12cm onde a frequuencia de oscilacao da mesmas, serada ordem de:

ω =vα

R=

0, 15× 3× 1010cm/s

7, 4× 10−13= 6× 1021s−1,

e a probabilidade de emissao

Peα∼= ωT = 6.0× 1021 × 4× 10−40 = 2, 4× 10−18s−1,

esta associada a vida media (τ) do processo da seguinte forma:

τ =1λ

=1P

=1

2, 4× 10−18s = 1, 3× 1010anos.

Este resultado e muito proximo ao valor de τ obtido experimentalmente:

τ = 1, 405× 1010anos.



Apesar deste exercıcio ter sido apresentado de forma muito simplificada,o valor obtido acima e muito bom e como consequencia do trabalho de inves-tigacao sistematica destes valores se pode obter a equacao geral para o valorde λ:

Pemissaoα ∝ E12 e−

4ah [2mα(Vo−E)]

12 .

Em 1911, Geiger e Nuttal descobriram a relacao experimental entre osmembros de uma mesma famılia radioativa, relacionando a constante de de-sintegracao λ com o alcance das partıculas alfa no ar, Rα, atraves da seguinterelacao linear:

log λ = B + A log Rα, (4.22)

onde A e B sao constantes empıricas, que podem ser obtidas do ajuste decurvas experimentais. Na Fig.4.5, pode-se observar o ajuste linear, obtidoexperimentalmente para o alcance das partıculas alfa, emitidas pelos elementosda familia do 232Th. Desta maneira pode-se dizer que o alcance das partıculasalfa Rα, e uma medida direta da energia cinetica, dessas partıculas, atraves deuma relacao tambem empırica na qual se mostra que

Rα ∝ E32 ,

portanto a funcao de Geiger-Nuttal, tambem pode ser escrita em funcao daenergia,

log λ = b + a log Eα, (4.23)

onde a e b, sao constantes, dependentes da regiao de Z e independentes de N .

Figura 4.4: Regra de Geiger-Nuttal para os emissores alfa da familia do 232Th.



4.3 Decaimento Alfa e as Forcas Fortes

As forcas eletricas existentes entre protons sao repulsivas portanto, paraque existam nucleos estaveis torna-se necessario a existencia de forcas nuclearesatrativas entre nucleons. Estas forcas, extremamente fortes sao de curto al-cance, pois existem unicamente no interior do nucleo. Apesar de serem capazesde manter os nucleos leves e intermediarios estaveis deixam com que os nucleosextremamente pesados emitam partıculas alfa e se fissionem. Um processotambem possıvel e o da emissao de protons, mas muito menos provavel do quea emissao de partıculas alfa o que nos permite, ainda que superficialmente,a natureza e o papel dessas forcas no decaimento que envolve a emissao denucleons. As forcas eletrostaticas entre protons possuem um comportamento1/r2, enquanto que as forcas nucleares possuem um comportamento que asfaz cair a zero muito mais rapidamente, podendo-se dizer que atuam somenteate o limite do raio nuclear ou seja da ordem de 1 fm. Como as dimensoesdos protons e neutrons sao dessa mesma ordem pode-se dizer que quando umgrupo de nucleons se juntam para formar o nucleo a forca forte e efetiva so-mente entre nucleons vizinhos. No caso dos elementos leves e intermediarios adisposicao dessas forcas em todas as direcoes, permite dizer que elas se anulam.O mesmo tambem pode ser dito a respeito das forcas eletricas. No caso doselementos pesados, um proton que esteja localizado na superfıcie do nucleo vaiser atraido atraves de forcas apenas por alguns vizinhos, e repelido por todos osoutros protons. No caso dos elementos muito pesados este desequilıbrio entreforcas eletricas e nucleares e suficiente para promover a emissao da partıcula.Na emissao de partıculas alfa esse desequilıbrio entre forcas repulsivas eletricase atrativas fortes e muito maior pois a energia de ligacao da partıcula alfapre-formada e muito maior que do nucleo restante fazendo com o processo dedecaimento alfa seja mais provavel do que o da emissao de protons.

4.4 Decaimento Beta

O decaimento β deve ser entendido como um conjunto de tres diferentesprocessos nucleares, a emissao de eletrons (β−) , a emissao de positrons (β+) , ea captura eletronica orbital (EC). Atraves destes tres processos o nucleo podedecair para um estado mais estavel de forma espontanea quando o balanco deenergia, Q da reacao, for positivo.

As primeiras medidas do espectro de energia das partıculas β demons-traram que o mesmo, ao contrario do das partıculas alfa, e contınuo e quese o processo fosse considerado como o de emissao de uma unica partıcula,nao se comprovariam os princıpios de conservacao de momento angular e deenergia. Conforme se mostra na Fig. 4.5 as partıculas beta poderao ser emiti-das com energia cinetica nula ate um valor maximo, no espectro representadoenergia de ponto final. Quem sugeriu uma solucao para esses problemas foi



Wolfgang Pauli em 1933, postulando a emissao de uma segunda partıcula alemdo eletron. Essa partıcula, o neutrino, foi considerada como possuindo massaem repouso praticamente nula e momento angular intrınseco 1

2 h. Com essa su-posicao, podia-se confirmar a conservacao tanto da energia como do momentoangular propondo-se que o neutrino carrega energia e momento suficiente paraisso. A primeira teoria capaz de explicar o decaimento β, cujos fundamentosapresentam-se nas proximas secoes, e devida a Enrico Fermi.

4.4.1 Balanco de Energia na Emissao Beta

O balanco energetico dos tres processos que constituem o decaimentobeta, segue a mesma regra aplicada ao decaimento alfa, ou seja, para que areacao seja espontanea e necessario que o balanco de energia seja positivo,Q > 0. A princıpio considerou-se o decaimento β como um processo de doiscorpos a semelhanca do decaimento alfa. Esperava-se, portanto, que a partıculaβ emitida carregasse a maior parte da energia liberada no processo, resultandoentao tambem na emissao de partıculas monoenergeticas cuja energia cineticafosse aproximadamente o valor de Q ja que o nucleo que recua e muito maispesado.

Figura 4.5: Espectro de emissao β− ou beta+, (contınuo), mostrando as energiasparciais do eletron e do neutrino.

Experimentalmente isso nao se verificou pois as partıculas β sao emiti-das com um espectro de energia contınuo, conforme se mostra na Fig.4.5. Esseespectro apresenta uma energia de ponto final que corresponde a maxima ener-gia cinetica das partıculas beta que e praticamente identica ao valor de Q. Defato a maioria das partıculas emitidas tem energia inferior a esse valor maximoprevisto pelo princıpio de conservacao de energia. Alem desta aparente ameacaao princıpio de conservacao de energia tambem se observou que no modelo deduas partıculas um outro princıpio nao seria atendido, o de conservacao demomento angular.



Considerando que o eletron e um fermion, e como cada um dos nu-cleons possui momento angular s = 1

2 , consequentemente o momento angularna emissao beta, nao se conserva. Para evitar este dilema, Wofgang Pauliem 1930 propos uma nova teoria para o decaimento β que incluıa uma novapartıcula e o processo passaria a ocorrer entre tres corpos. Essa teoria exigiuque a nova partıcula nao tivesse carga eletrica e com massa praticamente nula oque dificultaria a sua detecao. Dessa maneira essa partıcula neutra, o neutrino,com massa praticamente nula, carregaria a diferenca de energia das partıculasβ. O nome neutrino, ν, foi dado por Fermi, que desenvolveu a aplicacao dateoria quantica ao decaimento β. O neutrino tambem possui uma antipartıculao antineutrino ν, observada no decaimento β−.

Seguindo esse modelo e possıvel escrever os tres processos de decaimentoβ:

AZX → A

Z+1Y + e− + ν → emissao de eletrons, (4.24)AZX → A

Z−1Y + e+ + ν → emissao de positrons, (4.25)AZX + e− → A

Z−1Y + ν → captura eletronica orbital (EC). (4.26)

Aplicando o princıpio da conservacao de energia a emissao de eletrons(β−), Eq. 4.24, chega-se a seguinte equacao

MXc2 = EY + MY c2 + Eβ− + mβ−c2 + Eν + mνc2, (4.27)

a partir da qual, rearrumando os termos, obtem-se o balanco de energia, Q:

Q = EY + Eβ− + Eν = MXc2 −MY c2 −mβc2 −mνc2. (4.28)

A emissao de partıculas so pode ocorrer espontaneamente quando Q > 0,portanto deve-se observar que

Q = [M(A,Z) −M(A,Z+1) −mν ]c2, (4.29)∼= [M(A,Z) −M(A,Z+1)]c2 ≥ 0, (4.30)

onde os valores das massas, sao relativos as massas atomicas que incluem oseletrons atomicos. Por outro lado considerando que tanto a massa do neutrinocomo a do eletron sao muito pequenas, quando comparadas com a massa doelemento produto, pode-se desprezar a energia cinetica de recuo desse elemento,ficando o balanco de energia cinetica assim:

Eβ− + Eν∼= Q. (4.31)

A energia se divide entre as partıculas β e ν, formando o chamado es-pectro contınuo, pois a soma da energia dos mesmos e identica a do balanco



Q. A energia de ponto final das partıculas β torna-se identica ao valor de Q,para energia dos neutrinos nula. A conclusao e que a teoria de Pauli explicao espectro contınuo das partıculas β , e ao mesmo tempo permite aplicar osprincıpios de conservacao tanto de energia como de momento angular.

Para o caso de decaimento por emissao de positrons, Eq. 4.25 o balancode energia e dado por:

Q = MXc2 −MY c2 −mβc2 −mνc2, (4.32)= [M(A,Z) −M(A,Z−1) − 2me −mν ]c2, (4.33)∼= [M(A,Z) −M(A,Z−1) − 2me]c2 ≥ 0. (4.34)

De forma similar, pode-se calcular o balanco de energia para o casoda captura eletronica orbital, Eq. 4.26, e obter a condicao para a emissaoesponpanea de positrons:

Q = MXc2 + me −MY c2 −mνc2, (4.35)= [M(A,Z) −M(A,Z−1) −mν ]c2, (4.36)∼= [M(A,Z) −M(A,Z−1)]c2 ≥ 0. (4.37)

Como observacao final e importante lembrar que o processo de capturade positrons por nucleos com numero excessivo de neutrons, apesar de serpossıvel em princıpio, e de difıcil observacao pois os positrons nao estao dis-ponıveis para captura, mas se estivessem, como a sua carga eletrica e positiva,seriam repelidos pelo nucleo tambem positivo.

Exemplo 4.4Calculo do valor de Q no decaimento do 24Na

A reacao de decaimento beta, neste caso de EC, pode ser escrita naforma:

24Na + e− →24 Mg + ν + Q.

Uma das preocupacoes que sempre se deve ter no caso do decaimentobeta, e a variacao do numero de eletrons atomicos, pois eles devem entrar nobalanco de massa, ja que os valores de massa utilizados podem ser os de massaatomica, e quase nunca os de massa nuclear, portanto, considerando a massado neutrino como nula, chega-se a:

Q = [M(24Na)−M(24Mg)− 2me]c2.

Portanto, levando em consideracao dos valores das massas contidos noapendice,

Q = (23, 990961− 23, 985042)932, 494− 1, 022 = +4, 4915MeV.

Esse valor, sendo positivo demonstra que o processo ocorre espontaneamente.



4.4.2 Emissao de Neutrinos e Forcas Fracas

A emissao de neutrinos, postulada por Pauli e posteriormente estudadapor Fermi, apresenta ramificacoes que ainda sao atuais, entre eles o problemada massa do neutrino. E claro que a massa dos neutrinos poderia ser calculadaa partir da energia de ponto final do espectro das partıculas β entretanto, essamedida e muito difıcil de ser realizada devido a resolucao necessaria para obtero ponto final da curva. Se o valor de mν fosse nulo, o espectro deveria chegarsuavemente ao valor da energia final, e caso contrario deveria cair abrupta-mente nesse valor. Seria interessante o leitor tentar justificar esse fato. Variosmetodos demonstraram que a massa do neutrino do eletron deve ser da ordemde 10eV/c2.

Os processos de decaimento β podem, segundo Fermi, ser escritos le-vando em conta a conversao de partıculas no nucleo para que ocorram os tresprocessos:

n → p + e− + νe (4.38)p → n + e+ + ν (4.39)

p + e− → n + νe (4.40)

Estes processos de decaimento do proton e do neutron ocorrem no inter-ior do nucleo atomico. Fora do mesmo o neutron tem uma meia vida da ordemde 900 s, enquanto que o proton ainda nao teve o seu decaimento observado. Ostempos caracterısticos de decaimento beta sao muito maiores do que os temposcaracterısticos da interacoes nucleares caracterıstico das reacoes nucleares (daordem de 10−17 a 10−23s), fazem-nos crer que a acao das forcas responsaveispelo decaimento beta e muito mais demorada e por isso devem ser forcas fracas.Como a sua origem tambem nao pode ser eletromagnetica, levou Fermi a pos-tular a existencia de uma nova forca responsavel pelo decaimento beta. Essaforca foi denominada forca fraca cuja principal caracterıstica e ser de curtoalcance, por ser efetiva so dentro do nucleo atomico. A pequena intensidadedessa forca explica as meias vidas muito longas observadas nos decaimentos β.Em termos de intensidade relativa, as forcas nucleares, forte, eletromagnetica,fraca e gravitacional podem ser caracterizadas na mesma ordem pelas seguintesproporcoes: 1 : 10−2 : 10−5 : 10−39.

Devido ao carater de baixa intensidade de acoplamento das forcas fracas,Fermi pode aplicar um calculo perturbativo, denominado Regra de Ouro deFermi. O Hamiltoniano proposto para essa teoria, tambem conhecida comoa teoria de quatro fermions, e relativıstico e esta baseado na teoria de Diracpara os fermions. Os estudos experimentais, subsequentes, resultaram em me-didas com excelente concordancia com essa teoria. Uma das consequenciasmais importantes dessa teoria foi a violacao da paridade encontrada nas in-teracoes com forcas fracas. Como ja foi enfatizado o nucleo atomico nao possuieletrons consequentemente, os eletrons emitidos no decaimento beta sao gerados



no exato momento do decaimento. Este processo e analogo ao das transicoesatomicas, pois apesar dos fotons nao existirem no atomo sao gerados exata-mente no momento das transicoes.

O processo de transicao no decaimento beta, pode ser estudado utili-zando a teoria de perturbacoes dependentes do tempo e esta baseado numteorema fundamental da Mecanica Quantica, para calcular a probabilidade detransicao P entre o estado inicial e final do decaimento, utilizando para isso aregra de ouro de Fermi:

P =2π

h|Mfi|2ρ(Ef ), (4.41)

onde ρ = dn/dE representa a densidade de estados para os produtos de de-caimento e MFi a matriz de transicao que pode ser obtida a partir do Ha-miltoniano da interacao fraca. O teorema 4.41 e usualmente obtido nos livrostexto de Mecanica Quantica ao estudar a teoria de perturbacoes dependentesdo tempo, da seguinte forma:

M =< Ψ∗f |V |Ψi > . (4.42)

Como se pode observar nas equacoes de decaimento beta, o Hamiltonianopara a interacao fraca deve interligar os quatro estados fermionicos, e−, e+, νe ν.

O decaimento beta tambem ocorre no estado livre do neutron e e oprocesso responsavel pela instabilidade dessa partıcula. Tanto nos processosque ocorrem no interior do nucleo como nos que ocorrem fora dele a interacaoe do tipo fraca. O proton e o neutron classificados simplesmente como nucleons,sao classificados a partir da sua interacao forte como hadrons, ou partıculasque interagem por forcas fortes, enquanto que as partıculas beta e o neutrinose distinguem por participarem da interacao fraca, pertencendo a familia dosleptons.

A teoria de Fermi traca uma analogia entre o decaimento beta e a in-teracao eletromagnetica pela emissao de fotons. No caso atomico, a desex-citacao de um estado ocorre pela emissao de um foton:

A∗ → A + γ.

Essa transicao pode ser representada em termos dos numeros quanticosatomicos dos estados (e) iniciais (i) e finais (f) da transicao:

e(nili) → e(nf lf ) + γ.

De forma analoga no decaimento beta,

X → Y + e− + ν,

a transicao pode ser representada pela transicao do estado neutron-proton:

n(X) → p(Y ) + e− + ν. (4.43)



Figura 4.6: Modelo de Fermi: (a) tratamento mecanico quantico da pro-babilidade de transicao, de um estado inicial discreto para umgrupo contınuo de estados. (b) potencial perturbado produzindoa transicao.

Fermi desenvolveu uma teoria quantica acerca da emissao espontaneade fotons por sistemas eletronicamente excitados. Em princıpio, parece naohaver nenhuma relacao com o decaimento beta mas em ambos casos existe aemissao espontanea de uma partıcula. A expressao 4.41, pode ser aplicada parao calculo da constante de decaimento e e chamada Regra de Ouro de Fermi epode ser apresentada da seguinte forma:

λ =2π

h| < Ψ∗fVpΨi > |2 dn

dE, (4.44)

onde a funcao de onda Ψ, representa os estados inicial e final do sistema eVp a perturbacao da interacao que estimula a emissao de uma partıcula. Essemodelo pode ser observado na Fig. 4.6. O fator dn/dE, representa a densidadede estados do sistema apos a transicao. Neste modelo, o estado inicial e unico,relativo ao nucleo emissor, enquanto que o estado final contera o nucleo produtoe as partıculas resultantes em um grupo de estados contınuo. Pode-se entaoescrever as funcoes de onda conforme a transicao mostrada na Eq. 4.43:

Ψi = ψ(AZX), (4.45)

Ψ∗f = ψ∗(AZY )ψ∗(e)ψ∗(ν). (4.46)

Este problema pode ser tratado pela simplificacao as funcoes de ondado eletron e neutrino, supondo que as mesmas se comportam como partıculaslivres, utilizando as funcoes de onda dos eletrons e neutrinos pois o nucleoproduto e produzido a partir de um unico estado onde as funcoes de ondatanto para o eletron como para o neutrino sao aproximadas da seguinte forma:

ψe(R) ∝ eipR/h = 1 +ipR

h+ ... ≈ 1. (4.47)



Neste processo ignora-se a interacao coulombiana entre eletron e nucleo ede forma resumida; considera-se que a forma da perturbacao seja um vetor axialo que permite realizar a integracao simplesmente multiplicando-se o elementode matriz nuclear M por uma constante g:

| < ψ∗fVpψi > |2 = g2|M |2. (4.48)

A densidade de estados finais em funcao do espaco de fase do campoeletron-neutrino pode ser obtido a partir do princıpio de exclusao de Pauli,

dn

dp∝ p2

2π2h3 , (4.49)

utilizado tanto para neutrinos e eletrons de tal forma que a constante de de-caimento pode ser obtida na forma diferencial, por,

dλ =2π

hg2|M |2

[1

2π2h3 p2βdpβ

] [1

2π2h3 p2ν

]dpν

dQ. (4.50)

Nao levando em consideracao a pequena quantidade de energia de recuodo nucleo, as energias e a quantidade de movimento do eletron e neutrinoformam o valor do Q da reacao, portanto: Q = Eν + Ee. No caso de umneutrino sem massa, o valor de Q podera ser escrito como: Q = Eβ + pνc,portanto pν = (Q− Eβ)/c, e dpν/dQ = 1/c, de tal maneira que:

dλ =2π

hg2|M |2

(1

2π2h3

)2 p2β

c3(Q− Ee)2dpβ . (4.51)

Quando a interacao pode considerar-se como independente da energiae do momento, o espectro beta pode ser considerado dependente unicamenteda densidade de estados. Dessa forma, juntando todas as constantes de umdado decaimento na Eq. 4.51, pode-se escrever essa equacao em funcao daquantidade de movimento do eletron:

dλ

dpβ= C

p2β

c3(Q− Eβ)2. (4.52)

Esta funcao possui um maximo entre pβ = 0 e Q = 0 e apresenta umaforma contınua caracterıstica do decaimento beta.

O efeito coulombiano, de aproximacao ou de repulsao, na emissao deeletrons ou de positrons, produz distorcoes nas funcoes de onda e pode ser le-vado em consideracao atraves de uma funcao F (Z, pβ), que produz um espectrocom distorcao modificando a Eq. 4.52,

dλ

dpβ= CF (Z, pβ)

p2β

c3(Q− Eβ)2. (4.53)



A Eq. 4.53 pode ser modificada, no sentido de mostrar claramente ovalor de Q, ou energia de ponto final do decaimento beta, da seguinte forma:

1pβ

(dλ/dpβ

F

)1/2

= (Q− Eβ)(

g3|M |22π3h7c3

)1/2

. (4.54)

Esta equacao tambem chamada funcao Kurie, permite encontrar comgrande precisao a energia de ponto final, conforme mostra a Fig.4.7

Figura 4.7: Funcao Kurie, conforme a Eq. 4.54, mostrando a energia de pontofinal Eo.

A forma diferencial do espectro, Eq. 4.51, pode ser integrada a todos osmomentos do eletron resultando em:

λ =g2|M |22π2h7c3

∫ pmax

0

F (Z, p)p2β(Q− Eβ)dpβ =

g2|M |22π2h7c3

f(Z, Q). (4.55)

Como λ = ln2/T1/2, resulta que o produto da funcao integral f(Z,Q), pelameia vida sera:

f(Z, Q)T1/2 = ln22π2h7

g2|M |2m5ec

4∝ 1

g2|M |2 , (4.56)

onde o produto fT1/2 e denominado meia vida comparativa e permite obterexperimentalmente uma estimativa de g2|M |2, possibilitando a classificacaodos decaimentos beta, pois a sua expressao separa os efeitos cinematicos dos



nucleares contidos na matriz de transicao. Tal como decaimento γ, M e sensıvelas regras de selecao para a transicao de momentos angulares do par neutrino-eletron.

A conservacao de momento angular, da reacao 4.43 pode ser escritacomo:

~JX = ~JY + ~Lβ + ~Sβ (4.57)

onde o momento angular do par neutrino-eletron, determina a variacao deparidade da seguinte forma:

πX = (−1)Lβ .πY (4.58)

A grandeza |M |2 pode ser expandida em termos da ordem crescente de Lβ , detal maneira que o decaimento pode ser classificado em ordem crescente dessevalor como:

a) Lβ = 0 → permitido;

b) Lβ = 1 → primeiro proibido;

c) Lβ = 2 → segundo proibido, etc.

Exemplo 4.5Modelo simplificado do espectro de decaimento beta

Considerando uma fonte muito intensa de partıculas beta, ao observaro numero de eletrons ou positrons emitidos por intervalo de tempo, e possıveltratar o feixe de eletrons e o de neutrinos como partıculas livres no interiorde um poco de potencial de grandes dimensoes. Algo semelhante a banda deconducao dos metais. Considerando-se a energia de ponto final, do decaimentobeta como sendo igual a:

E0 = Eβ + Eν

para o caso em que a energia de recuo do emissor beta e nula. O numerode partıculas por intervalo de energia dn/dE e considerado proporcional aonumero de estados eletronicos dn

dE , e que dEν = −dEβ , pode-se escrever, tantopara os neutrinos como para as partıculas beta ou positrons:

dn

dE∼ p2 dp

dE.

Para os neutrinos, pν = Eν/c, portanto,

dnν

dE∼ (Eo − Eβ)2

enquanto que para as partıculas beta, a correcao relativıstica,

Eβ = c√

m2ec

2 + p2β −mec

2



permite escrever que:

dnβ

dE∼ (Eβ + mec

2)(E2β + 2mec

2Eβ)1/2.

Portanto o espectro sera dado por,

dn

dE=

dnβ

dE.dnν

dE= A(Eβ + 0, 511)(E2

β + 1, 02Eβ)1/2(Eo − Eβ)2,

onde a constante A dependera do numero atomico do emissor beta e da inten-sidade da forca interacao. A tıtulo de comparacao com o espectro, apresentadona Fig.4.5, apresenta-se um espectro simplificado na Fig.4.9 mostrando queapesar das simplificacoes deste modelo, entre elas a massa nula do neutrino,o comportamento do espectro e adequado sendo capaz de prever com ele aenergia de ponto final e espectro contınuo.

Figura 4.8: Modelo simplificado para o espectro contınuo de emissao β,(positrons ou eletrons).

4.4.3 Massa do neutrino

O problema da massa do neutrino, possui muitas interpretacoes e consequenciasimportantes. Conforme se viu nesta secao, pelo menos sob o ponto de vistateorico, a massa do neutrino pode ser determinada a partir da energia de pontofinal do espectro β. Examinando o problema em detalhe pode se dizer que esseespectro deva ser tangente a abscissa para mν = 0 e tangente ao eixo de orde-nadas no caso mν 6= 0, conforme se pode observar na figura 4.9. A dificuldade



de fazer esta estimativa seria a de atingir uma resolucao adequada o que nomomento e possıvel. A outra dificuldade seria a de estimar o limite superiorda massa do neutrino, em reacoes onde o valor Q e muito pequeno, como nocaso do decaimento do trıtio. As medidas atuais, com todas essas dificuldades,limitam o valor da massa do neutrino do eletron entre 10 e 15Ev.

Figura 4.9: Dependencia da energia de ponto final, do espectro β com a possıvelmassa do neutrino.

O problema do neutrino solar, que se encontra tratado no ultimocapıtulo destas notas, consiste na inconsistencia entre previsoes teoricas e me-didas experimentais do fluxo de neutrinos do eletron, provenientes do sol, re-sultando em valores inferiores a valor previsto teoricamente. Solucao para oproblema e considerar as transformacoes ou oscilacoes de uma especie paraoutra dos neutrinos. No caso de mν 6= 0, os neutrinos, do eletron, muon epartıcula tau, oscilam entre si e tais oscilacoes explicariam as medidas dosdetetores de neutrinos do eletron que subestimam o valor teorico.

4.4.4 Experimento de Cowan-Reines para a detectar neu-trinos

Quando um anti-neutrino e capturado por um proton, se produz umneutron e um positron, de acordo com a reacao:

p + ν → n + e+

O positron produzido nessa reacao, sera detetado, pois ele encontrara umeletron do material, e atraves da reacao de aniquilacao positron-eletron, re-sultara a emissao de dois fotons gama instantaneos e opostos, cuja deteccaosera possıvel nos cintiladores, conforme mostra a Fig.4.10. Portanto, se umfeixe de neutrinos interage com um material hidrogenado, esta reacao podeocorrer. Os positrons podem ser detetados, pelo processo de aniquilacao comeletrons, produzindo dois fotons instantaneos de 0, 511 MeV . Adicionando-secadmio a substancia hidrogenada, os neutrons depois de serem moderados sao



absorvidos no cadmio, produzindo raios gama (nγ), que tambem serao deteta-dos pelos cintiladores. Para descriminar os fotons produzidos, pela aniquilacaode positrons e necessario utilizar um sistema eletronico de coincidencia. Nesteexperimento foi possıvel medir o fluxo de neutrinos sobre a terra com sendo de4× 1010 cm−2s−1.

Figura 4.10: Detetor de neutrinos, construıdo por Cowan-Reines [2].

4.4.5 Nao conservacao da paridade

A paridade e uma propriedade associada a reflexao de coordenadas deum sistema. Se a dinamica da imagem especular de um fenomeno fısico foridentica a dinamica desse fenomeno, entao a paridade e conservada.

As grandezas vetoriais, tais como o deslocamento, velocidade e o campoeletrico invertem a sua direcao sob a inversao de coordenadas por isso saochamados vetores polares ou simplesmente vetores. Outras grandezas veto-riais como o momento angular e o campo magnetico nao sofrem alteracao sobinversao de coordenadas e por isso sao vetores axiais ou pseudovetores.Tanto os vetores polares como os axiais se comportam da mesma maneiraquanto a translacoes como a rotacoes e a sua diferenca e apenas quanto ainversoes.

O produto escalar de dois vetores polares e um escalar verdadeiro, por-tanto invariante sob reflexao do sistema de coordenadas. No caso do produtoescalar de um vetor polar por um pseudo-vetor resulta um pseudo-escalar,mudando de sinal sob a inversao de coordenadas. As medidas fısicas ou saoescalares ou pseudo-escalares. Por isso se uma teoria fısica conserva a paridadeas suas expressoes matematicas nao devem conter pseudo-vetores. Mas se aocontrario e possıvel observar um pseudo-escalar a paridade nao sera conservada.

Para interacoes eletromagneticas o produto escalar do campo eletrico emagnetico, um termo ~E. ~H e proibido pois ele e um pseudo-escalar, enquanto



que o produto ~L.~S do potencial usado no modelo de camadas e um escalarverdadeiro. Nas interacoes eletromagneticas onde se conserva a paridade, saopermitidos termos com E2 e H2, enquanto que ~E · ~H nao e permitido por serum pseudo-escalar.

No experimento, realizado por C.S. Wu, tentou-se medir a quantidade

< ~v. ~J >

no processo de decaimento beta, na qual ~v, que e um vetor polar, representaa velocidade e ~J o spin nuclear. Os resultados do experimento demonstraramque essa grandeza nao era nula, ou seja, a paridade nao era conservada nodecaimento beta.

Conservacao de Paridade no decaimento β

Dos princıpios de conservacao do momento angular e da paridade, epossıvel deduzir as regras de selecao ∆J e ∆π, na transicao nuclear por decai-mento beta. Considerando um nucleo com momentos angulares inicial e finalJi e Jf , as transicoes podem ser expressas da seguinte maneira:

Jf − Ji = J → Fermi (4.59)Jf − Ji = J + 1 → Gamow-Teller (4.60)

Na transicao de Fermi, o valor de J corresponde ao momento angularorbital do eletron e neutrino, enquanto que no caso da transicao Gamow-Teller,o eletron e o neutrino carregam um spin adicional unitario. A conservacao daparidade exige que o produto de paridades das funcoes de onda do eletron eneutrino e nucleo produto seja identico a paridade do estado inicial, o que podeser resumido como:

πi = πf (−1)J . (4.61)

A probabilidade de transicao aumenta com o decrescimo de J , ou seja, transicoescom menor variacao de momento angular sao mais provaveis. A transicao deveser consistente com a conservacao de momento angular e paridade. Conside-rando que ∆J = Jf − Ji, e possıvel apresentar as regras de transicao na formade tabela, como na Tabela 4.1:

Na discussao do decaimento alfa se observa que uma partıcula alfa, demomento angular orbital l, carrega uma variacao de paridade (−1)l, portantotransicoes do tipo 1+ → 0+ ou 2+ → 0+ nao sao permitidas. De forma ge-ral pode-se dizer que a paridade e conservada nas transicoes que envolveminteracoes do tipo fortes ou eletromagneticas.

O conhecimento teorico da interacao nuclear fraca, responsavel pelo de-caimento beta, permitira estabelecer o elemento da matriz Mfi na expressaodo decaimento de Fermi cujo tratamento ate aqui foi estritamente estatıstico.A primeira caracterıstica desta interacao e seu caracter relativıstico ligado ao



Tabela 4.1: Regras de selecao para varios tipos de transicao beta, o sim e onao na coluna da paridade indica variacao ou nao da mesma.

Tipo de Transicao Fermi Gamow TellerL ∆J ∆π ∆J ∆π

permitido 0 0 nao 0,1 naoprimeiro proibido 1 0,1 sim 0,1,2 simsegundo proibido 2 1,2 nao 2,3 naoterceiro proibido 3 2,3 sim 3,4 simquarto proibido 4 3,4 nao 4,5 nao

Figura 4.11: Diagramas de Feynman do decaimento beta.

conceito de anti-partıcula. Utilizando a imagem de partıcula e anti-partıcula narepresentacao espaco-temporal, ou diagrama de Feynman, a partıcula move-seno sentido positivo e a anti-partıcula no sentido negativo do tempo. Limitando-nos ao processo de transformacao de neutrons em protons, conforme a Eq. 4.38,tem-se uma melhor compreensao considerando-se a emissao de uma partıculaigual a absorcao de uma anti-partıcula, ou seja:

n → p + e− + ν, equivalente a: n + ν p + e− (4.62)

A interacao fraca deveria permitir a ligacao entre quatro partıculas epara que isso fosse possıvel Fermi, intuitivamente, propos, em 1933, que ummecanismo semelhante a da interacao eletromagnetica fosse responsavel pelodecaimento beta. Esta hipotese supoe que a interacao ocorre pela troca de umboson virtual que, no caso da interacao fraca, deve ser portador de carga emassa. Este boson, a partıcula W , foi observada no CERN como partıcula iso-lada com uma massa aproximada de 80GeV/c2, com um comprimento de ondacaracterıstico −λ/(mW ) = 2, 5× 10−3fm, ou seja, com um alcance muito curto.Dessa maneira pode-se introduzir esta partıcula no diagrama de Feynman paraesclarecer a participacao dessa partıcula no decaimento do neutron, conformenos mostra a Fig.4.11. A forma generalizada de decaimento, Eq. 4.62, sugere



uma transformacao simultanea entre diferentes estados de um mesmo nucleonn → p e de um mesmo lepton ν → e−. Matematicamente estas transformacoespodem ser representadas pelos operadores de interacao do decaimento beta:

Hβi = gi(ψpΩψn)(ψeΩψν), (4.63)

onde Ω representa os operadores de Dirac escolhidos adequadamente. Nocontexto desta representacao a Fig. 4.11 permite interpretar esta expressaocomo o produto das amplitudes correspondentes aos dois processos simultaneos,ν → e− e n → p. Resta-nos, agora, escolher os operadores que devam ser leva-dos em consideracao. A proposta e escolher uma combinacao linear dos opera-dores considerados fisicamente aceitaveis. Com base nesta proposta o calculopara observaveis deve ser comparado com valores experimentais para interpre-tar a forma da interacao. As conclusoes baseadas em resultados experimentaissao que:

1. a forma do espectro beta e a vida media, sozinhos, nao permitem de-cidir qual a forma das interacoes, pois para isso e necessario medir adistribuicao angular entre os eletrons e os anti-neutrinos, resultando apossibilidade de que a interacao seja vetor polar V e vetor axial ΩV =γµ, µ = 1, 2, 3, 4;Ωa = γ5γµ. Outra observacao experimental importante,e que os neutrinos sao sempre emitidos com a mesma orientacao do spin,adicionando-se, portanto, um operador a funcao de onda do neutrino, ooperador de projecao P = (1 + γ5);

2. o calculo da matriz de interacao pode ser feito utilizando-se duas aproximacoesnaturais, consideradas a partir das seguintes condicoes fısicas: (a) asfuncoes de onda dos leptons podem ser consideradas como constantes nointerior do nucleo. (b) pode-se considerar o limite nao relativıstico paraas funcoes de onda dos nucleons.

Utilizando-se essas suposicoes, chega-se a dois elementos de matriz para o de-caimento dos nucleons:

MF =∫

(ψ∗p1ψn)dτ → matriz de Fermi (4.64)

MGT =∫

(ψ∗p~σψn)dτ → matriz Gamow-Teller (4.65)

O operador que aparece na matriz de Fermi e a matriz unidade enquantoque ~σ e o operador de spin (~σ = γ5~α), e esta relacionado com a transformacaode spin que produz um neutron com spin contrario ao proton. A definicao doselementos de matriz de Fermi e Gamow-Teller resultou de duas aproximacoesque quando sao validas resultam em decaimentos permitidos:

|Mfi|2 = g2V M2

F + g2AM2

GT (4.66)



Figura 4.12: Regras de selecao do decaimento beta.

Para os decaimentos permitidos pelo menos um dos elementos de matriznao deve se anular. Uma vez que o operador unidade nao altera o spin nema paridade da funcao as transicoes de Fermi permitidas serao aquelas em que∆J = 0, ∆π = 0 e ∆T = 0. O operador ~σ, ao contrario, modifica a compo-nente z do spin, portanto nas transicoes Gamow-Teller, ∆J = 0; 1, ∆π = 0e ∆T = 0. Estas regras de transicao podem ser melhor entendidas conformea sua representacao na Fig.4.12. A hipotese de Lee e Yang em 1956, da naoconservacao da paridade na interacao fraca, pode ser confirmada por Wu et alque mostraram que a paridade nao se conservava nos processos que envolves-sem interacoes fracas tais como o decaimento beta. O processo foi entendidoao estudar o decaimento beta do 60Co:

60Co →60 Ni + e− + ~νe (4.67)

A escolha deste isotopo, e baseada no seu grande valor de spin (ip = 5+)e sua meia vida longa, (T1/2 = 5, 3a). O arranjo experimental permitia utilizarum campo magnetico para medir a intensidade beta na direcao perpendiculara direcao do campo, invertendo a corrente do ıma, isto e, a direcao do campomagnetico, e medir novamente a intensidade beta. As intensidades diferiamnos dois casos, indicando que a paridade nao era conservada. A polarizacao daamostra era possıvel de ser analisada em termos da radiacao emitida permitindoconcluir que a emissao assimetrica de eletron por uma fonte polarizada so podeocorrer com a violacao da simetria especular.

4.5 Decaimento Gama

Em geral, quando um nuclıdeo decai emitindo partıculas alfa ou beta,o nucleo resultante e deixado em um estado excitado, podendo decair para



Figura 4.13: Diagrama esquematico do experimento de Wu et al, onde osnucleos polarizados emitem eletrons com momento p1 e p2 de-tetados com intensidade I1 e I2. A figura a esquerda mostra asituacao normal enquanto que a da direita seria a esperada aposaplicar uma transformacao do operador paridade(especular). Aconservacao da paridade implicaria que as duas situacoes nao pu-dessem distinguidas experimentalmente o que nao ocorreu.

estados menos excitados por emissao espontanea de radiacao eletromagnetica,na regiao da radiacao gama. Tal como no espectro eletromagnetico emitido nastransicoes atomicas (infravermelho, visıvel, ultravioleta e raios-x) as caracte-rısticas da radiacao emitida demonstram que os nıveis nucleares possuem umalargura intrınseca que esta relacionada com a vida media de cada nıvel. Nocaso nuclear, como no caso atomico, observa-se tambem, atraves da analise doespectro, a conservacao de paridade e do momento angular total.

Os espacamentos mınimos entre nıveis nucleares sao da ordem de 50 keV ,podendo atingir alguns MeV e como o processo de desexcitacao e tipica-mente eletromagnetico, as suas vidas medias serao tipicamente da ordem de10−6s. Podem ser tracados muitos paralelos entre o decaimento gama donucleo e as transicoes atomicas, mas algumas diferencas essenciais chamama nossa atencao. A primeira e relacionada com a impossibilidade de ocorreremtransicoes nucleares ressonantes.

Para examinar o processo de emissao ou de absorcao ressonante vamosestudar as transicoes eletromagneticas de uma forma muito simples. Vamosconsiderar, por exemplo, um sistema que esteja inicialmente com energia Ei eque depois de ocorrer uma transicao com emissao de fotons se encontrara noestado de energia Ef podendo-se, portanto, escrever a seguinte relacao para ocaso de uma transicao ressonante, ou sem recuo:



hν = ∓(Ei − Ef ), (4.68)

onde o sinal negativo indica a absorcao de um foton e o positivo indica aemissao. A frequencia ν da radiacao emitida ou absorvida mede o espacamentoentre nıveis. Considerando que o nucleo deva recuar, para ser mantida aconservacao da quantidade de movimento, pode-se dizer que:

hν

c= Mv. (4.69)

Adicionando a conservacao de energia a energia de recuo, teremos:

Ei − Ef = ∓hν +12Mv2, (4.70)

portanto, como p = pγ = hνc :

∓ hν = (Ei − Ef )− (hν

c)2

12M

= (Ei − Ef )−∆Er, (4.71)

onde ∆Er representa a energia de recuo do nucleo ao emitir o foton. Consi-derando que existe um tempo de vida natural (τ) associado a largura do nıvel∆E, cuja relacao se pode obter atraves do princıpio de incerteza,

τ.∆E ≈ h. (4.72)

A energia de cada nıvel nao pode ser melhor definida do que por ∆E.

∆E ≈ h

τ∼ incerteza em (Ei − Ef ). (4.73)

Consequentemente, para que ocorra a absorcao ressonante a energia de recuodeve ser menor do que a largura do nıvel, ou seja, (∆Er ≤ ∆E).

Exemplo 4.6Efeito Mossbauer

A possibilidade de ocorrer a absorcao ressonante nos estados nucleares,comparativamente ao que ocorre nos estados atomicos, como resultado da lar-gura dos nıveis estacionarios, levou ao estudo do efeito Mossbauer. Comoexemplo vamos comparar a transicao nuclear com a transicao atomica.

Para A=50, utilizando o espacamento de nıveis atomicos da ordem de1eV , na absorcao de um foton dessa energia o valor da energia de recuo doatomo sera dado por:

∆Er =(hν)2

2Mc2=

1(eV )2

2× 5× 1010eV. = 10−11eV (4.74)



Considerando as meias vidas tıpicas associadas aos nıveis atomicos, daordem de 10−8s, a incerteza na transicao sera dada por:

∆E ≈ h

τ= 6, 6× 10−8eV, (4.75)

consequentemente ∆Er << ∆E, i.e, a energia de recuo sera muito menor doque a incerteza e a absorcao ressonante nas transicoes atomicas, como e bemconhecido, poderao ocorrer.

Por outro lado, considerando agora espacamentos nucleares da ordem de100 keV e considerando tambem um nucleo com A = 50 a energia de recuosera dada por:

∆Er = 10−1eV. (4.76)

Para um nıvel nuclear tıpico com meia vida da ordem de 10−12s, aincerteza na energia sera dada por:

∆E ≈ 6, 6× 10−4eV. (4.77)

Ficando claro, portanto, que a transicao ressonante nao podera ocorrerpois ∆Er ≥ ∆E.

A ideia de produzir transicoes ressonantes reduzindo a energia de recuodo nucleo, e conhecida como o efeito Mossbauer. Este efeito foi observado em1958, pelo fısico R.L. Mossbauer, utilizando o arranjo experimental mostradona Fig.4.14. Nesse experimento, uma fonte gama se movimenta relativamente aum absorvedor, permitindo que ocorra a absorcao ressonante. Tanto os atomosemissores, como os do absorvedor sao colocados em sistemas cristalinos nosquais se elimina os efeitos de recuo. Na figura 4.14 se observa a curva deabsorcao ressonante em funcao da velocidade de aproximacao da fonte gama.

Figura 4.14: Experimento para observar o efeito Mossbauer e curva carac-terıstica de absorcao.



4.5.1 Classificacao das radiacoes eletromagneticas

Quase todos os estados excitados do nucleo podem decair para esta-dos menos excitados por emissao espontanea de radiacao eletromagnetica, cujafrequencia pertence ao espectro de radiacao gama. A classificacao das radiacoeseletromagneticas por sua ordem de multipolaridade [1] e feita de acordo como seu momento angular ~L (em unidades de h) que cada foton possui. Paracada ordem multipolar l, existem duas classes de radiacao que diferem pelaparidade, uma e constituıda dos multipolos eletricos 2l, denominados de El eoutra a de multipolos magneticos 2l designados por radiacao Ml.

Pelos princıpios basicos de conservacao da paridade e do momento an-gular, pode-se dizer que os fotons de radiacao gama levam essa informacaoproveniente da transicao, ou seja, a regra que governa a paridade, ∆π, para aradiacao El sera a seguinte:

∆π = (−1)L (4.78)

e para a radiacao ML sera:

∆π = (−1)L−1 (4.79)

onde ∆π = +1 significa que os estados final e inicial tem a mesma paridade.Na Tabela 4.5.1 relacionamos os tipos de radiacao mais comuns e suas

caracterısticas.

Tabela 4.2: Tipo de Radiacao Eletromagnetica associada com L e πRadiacao dipolo Quadrupolo Octopolo Hexadecapolol = 1 l = 2 l = 3 l = 4Eletrica E1 ∆π = −1 E2 ∆π = +1 E3 ∆π = −1 E4 ∆π = +1Magnetica M1 ∆π = +1 M2 ∆π = −1 M3 ∆π = +1 M4 ∆π = −1

De forma simplificada pode-se pensar classicamente, como sendo Ele Ml referidos a radiacao emitida pela vibracao de multipolos eletricos oumagneticos. A conservacao de momento angular e paridade, no sistema nucleoemissor e foton gama, exige a obediencia a regras de selecao que resultam namultipolaridade dos fotons emitidos. Considerando os momentos angular J eparidades π, inicial e final, do estados inicial (i) e final (f), teremos, conformepode ser apreciado na Fig.4.15:

|Ji − Jf | ≤ L ≤ |Ji + Jf | (4.80)∆π = (−1)L radiacao EL (4.81)

∆π = (−1)(L−1) radiacao ML (4.82)



Figura 4.15: Esquema de transicao gama

Exemplo 4.7Estudo da Transicao Gama do nıvel L=2; π = +, para o nıvel final L = 0;π = +.

Qual seria o tipo de radiacao emitida, aplicando as regras de selecaorelativas a de conservacao de momento angular e de paridade?

|2− 0| ≤ l |2 + 0|

O que resulta em l = 2, e como a paridade nao mudou a transicao sopode ser do tipo quadrupolo eletrico E2.

Exemplo 4.8Estudo da transicao gama de um estado inicial l = 2, π = + a um estado finall = 1, π = −.

Neste caso,

2− 1 ≤ l ≤ |2 + 1|1 ≤ l ≤ 3,

o que torna possıvel os seguintes valores: l = 1, l = 2, l = 3. A mudanca deparidade torna possıvel a existencia de tres tipos de transicao: E1,M2, E3.Neste caso e necessario verificar quais as probabilidades relativas de cada tipode transicao que resultara em diferentes taxas de transicao.

4.5.2 Taxas de transicao

Para o calculo da taxa de transicao entre dois estados nucleares e ne-cessario conhecer as funcoes de onda desses estados. Para isso utiliza-se aquium modelo simples, no qual os estados inicial e final diferem apenas pela mu-danca de posicao de um proton no nucleo. Isto equivale a utilizar um modelode partıcula unica, e portanto as taxas de transicao serao apenas estimadas. Omodelo simplificado parte da probabilidade de transicao por unidade de tempo



como sendo a taxa de energia irradiada pelo nucleo dividida pela energia dofoton.

A taxa de energia (potencia) emitida por um multipolo (lm) irradiandocom uma frequencia w e dada por;

PE =2(l + 1)c

εol[(2l + 1)!!]2(w

c)2l+2|Qlm|2, (4.83)

PM =2(l + 1)cµo

l[(2l + 1)!!]2(w

c)2l+2|Mlm|2, (4.84)

onde Qlm e Mlm sao os momentos eletricos e magneticos que devem ser escritosde acordo com a mecanica quantica. O duplo fatorial e dado por:

(2l + 1)!! = 1.3.5...(2l + 1)

e εo e µo sao a permissividade eletrica e a permeabilidade magnetica respec-tivamente. A constante de decaimento, ou probabilidade de emissao e dadapor:

λE =PE

hw=

2(l + 1)hεol[(2l + 1)!!]2

(w

c)2l+1|Qlm|2 s−1, (4.85)

λM =PM

hw=

2(l + 1)µo

hl[(2l + 1)!!]2(w

c)2l+1|Mlm|2 s−1. (4.86)

Os momentos de multipolo podem ser representados pelos elementos de matrizdo operador respectivo:

Qlm =< ψf |Qlm|ψi >= eZ∑

k=1

∫rlkY ∗

lm(θ, φ)ψ∗fψidv, (4.87)

Mlm =< ψf |Mlm|ψi >= − eh

mp(l + 1)

Z∑

k=1

∫rlkY ∗

lm(θ, φ)∇.(ψ∗fLkψi)dv,

(4.88)onde L e o operador de momento angular.

Utilizando-se o modelo de partıcula unica, pode-se estimar a ordem degrandeza das constantes de decaimento para os modos eletrico e magnetico.Para isso define-se as funcoes de onda para um proton em um estado desem-parelhado de momento angular lm:

ψi = Ri(r)Ylm(θ, ψ). (4.89)

Para o estado final do proton desemparelhado no estado S,

ψf = Rf (r)Y00.



Tabela 4.3: Regras de selecao para transicoes gamaTipo Mudanca de l Mudanca de πE1 1 simM1 1 naoE2 2 naoM2 2 sim

Estas hipoteses simplificativas levam as expressoes para as constantes de de-caimento,

λE(l) =4, 4(l + 1)1021

l[(2l + 1)!!]2(

3l + 3

)2R2l(Eγ

197)2l+1 s−1, (4.90)

λM (l) =1, 9(l + 1)1021

l[(2l + 1)!!]2(

3l + 3

)2R2l−2(Eγ

197)2l+1 s−1, (4.91)

onde a energia gama (Eγ) e dada em MeV e o raio do nucleo (R) em fm. Paraum calculo analogo de multipolo, pode-se da mesma maneira as probabilidadesde transicao respectivas.

4.5.3 Regras de selecao e Transicoes Dominantes

Os elementos de matriz 4.87 e 4.88 das expressoes para os momentos saonulos quando a funcao for uma funcao anti-simetrica. Para que isso nao ocorraa funcao deve ser simetrica, portanto para:

l par → ψi ψf nao muda a paridade,l impar → ψi ψf muda a paridade. (4.92)

As regras de selecao que se obtem para as polaridades dipolar e quadru-polar estao na Tabela 4.3, regras essas que podem ser resumidas da seguinteforma:

Eletrico πiπf = (−1)l,Magnetico πiπf = (−1)l+1.

(4.93)

A determinacao dos numeros quanticos l e m para os fotons emitidos nodecaimento gama, depende dos momentos angulares totais dos estados iniciale final, na transicao e pode ser escrita na forma usual:

Ji + Jf ≥ l ≥ |Ji − Jf |, (4.94)Mi −Mf = m. (4.95)

Como o foton gama nao pode ter l = 0, chega-se a condicao: Ji =0, Jf = 0, o que se pode traduzir na inexistencia a transicao de monopolo.



As probabilidades de transicao, como mostram as equacoes 4.90 e 4.91,diminuem rapidamente com a ordem de polaridade. Alem disso a relacao entreas constantes de decaimento nos mostra a transicao magnetica de mesma po-laridade e muito menor do a transicao eletrica, pois,

λM (l)λE(l)

' (0, 3A2/3

)2. (4.96)

De forma qualitativa pode-se dizer que a probabilidade de transicao gama di-minui com a ordem de polaridade, mas para uma mesma ordem a transicaoeletrica e mais provavel.

4.6 Espectroscopia Gama

A medida e analise dos espectros gama com um sistema capaz de dis-criminar energia e contar fotons e denominado sistema espectroscopico. Essaanalise do espectro e utilizada para determinar a identidade e a quantidade doselementos emissores gama existentes em uma amostra radioativa e ou construiro diagrama de nıveis de decaimento. O equipamento utilizado na espectrosco-pia gama inclui um detector sensıvel a energia dos fotons, um analisador deespectros multicanal (MCA), amplificadores lineares e fontes de alta tensao. Osdetetores mais utilizados sao o cintilador de Iodeto de Sodio NaI(Tl) e os detec-tores de germanio de alta pureza. Os sistemas atuais sao capazes de discriminartransicoes que diferem de poucos keV ate alguns eV . Os espectros sozinhosnao permitem fornecer o esquema de decaimento, sendo necessario recorrer amedidas de coincidencia e correlacao angular que juntas com os espectros, alfabeta e gama, permitem determinar o esquema de decaimento. Como exemplode espectro gama apresentamos, na Fig. 4.17, o espectro de decaimento do137Cs, que corresponde ao diagrama de decaimento deste elemento colocadoao lado dessa figura, onde se observa que a linha caracterıstica de decaimentogama, corresponde ao decaimento de um estado excitado do 137Ba produto dodecaimento beta do 137Cs.

4.7 Conversao Interna

O processo de conversao interna ocorre por interacao eletromagneticaquando os campos eletricos multipolares do nucleo interagem com os eletronsorbitais com energia suficiente para arrancar esses eletrons do atomo. Quando aenergia de desexcitacao nuclear e transferida aos eletrons atomicos, arrancando-os da orbita. A energia transmitida do nucleo, ocorre por interacao entre osprotons nucleares e os eletrons atomicos, numa interacao que pode ser carac-terizada como eletrostatica. Este processo de conversao interna compete como decaimento gama nas transicoes proibidas. O processo de conversao interna



Figura 4.16: Espectro gama do 137Cs, medido com um detector de NaI(Tl),mostrando, um pico de baixa energia devido ao raio-X, deconversao interna, um pico de baixa intensidade devido ao re-troespalhamento ao final da distribuicao Compton e um fotopicode 662 KeV relativo ao decaimento gama. Ao lado se observa odiagrama de nıveis relativos ao decaimento mostrando que a linhagama corresponde a uma transicao do 137Ba, produto do decai-mento do 137Cs por emissao beta e conversao interna.

nao pode ser confundido com a emissao beta pois, alem do eletron emitido, eemitido um raio-X pela transicao atomica para a vacancia deixada pelo eletronemitido. Um exemplo deste decaimento e o decaimento do 203Hg que decaipara o 203T l por emissao beta, deixando este ultimo elemento excitado. Aemissao gamma de 279, 190 keV compete com o processo de conversao interna.No processo a conversao interna pode ocorrer com qualquer um dos eletronsorbitais. O resultado e um espectro de eletrons de conversao, mono-energeticos,K, L e M superposto ao espectro contınuo de emissao beta, conforme mostraa Fig. 4.17. A melhor resolucao no processo de deteccao de eletrons permiteo estudo das energias de ligacao dos eletrons em atomos pesados. Costuma-se definir o coeficiente de conversao interna α, como sendo a relacao entre aconstante de decaimento por emissao de eletron e a constante de decaimentogama,

α =λe

λγ. (4.97)

Dessa maneira e possıvel utilizar o coeficiente de conversao interna, para cal-cular a constante de decaimento total:

λT = λγ(1 + α). (4.98)

Dessa maneira pode-se definir os coeficientes de conversao interna, para transicoeseletronica das linha K, L, M etc. A energia do eletron emitido sera dado por:

Ee = Eo− EB , (4.99)



Figura 4.17: Espectro de eletrons de conversao interna superposto ao do decai-mento beta medido por A.H. Washra, et al., Physica 20, 169(1954).

em que Eo e a energia de transicao e EB e a energia de ligacao do eletronatomico em cada uma de suas orbitas. Quando a energia de transicao for su-perior a 1, 022 MeV Um outro aspecto importante e a observacao experimentaldo processo de conversao interna na qual o espectro de eletrons associado aoespectro de raio-X e medido em coincidencia dos processos.



4.8 Exercıcios

1. Calcule a energia cinetica das partıculas alfa emitidas pelos seguintesisotopos: 235U , 226Ra e 238U .

2. Construa um grafico com as constantes de desintegracao em funcao daenergia para os isotopos U −238, Th−230, Ra−226, Po−210, Bi−210,Po−218, emissores alfa mostrando que os pontos produzem aproximada-mente uma reta de modo que logλ = alogEα+b. Determine as constantesa e b, para o melhor ajuste da reta.

3. Obter o valor do alcance das partıculas alfa produzidas pelo 226Ra emuma camara de nevoa.

4. Prove, a partir dos valores das massas que o 64Cu pode desintegra-se poremissao beta, tanto por β− como por β+ e captura eletronica orbital.

5. Calcular a energia maxima de decaimento na desintegracao do 3H.

6. O 60Ni e um nucleo par-par e tem um estado excitado de energia 2, 5 MeVque decai emitindo um gama de 1, 33 MeV e outro para o estado funda-mental em duas transicoes em sequencia. A partir destes dados discutaos possıveis momentos e paridades dos estados excitados.

7. Justifique a razao do espectro beta ser contınuo.

8. O espectro de energia da emissao beta decai suavemente sugerindo que amassa do neutrino seja nula. Como se apresentaria esse espectro para ocaso da massa do neutrino nao ser nula?

9. Explique detalhadamente como se observa o efeito Mossbauer e apresentealguma utilidade pratica para este efeito.

10. Os neutrons livres, decaem para protons, emitindo eletrons e antineutri-nos, com uma meia vida de aproximadamente 900s. Faca uma avaliacaodas energias cineticas dos eletrons e protons e da energia cinetica maximado antineutrino na reacao de decaimento do neutron.

11. Quando se examina a dependencia de Z e N , para os nucleos estaveis,pode-se observar que os emissores β+ se situam abaixo da zona de esta-bilidade e os emissores β− acima. a)analise as razoes deste fato, b) tenteutilizar a formula semi-empırica de massa para justificar esse fato.


Bibliografia

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[2] Cowan-Reines, Phys. Rev.,117,159(1960).

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[5] Das A., Ferbel, T., Introduction to Nuclear and Particle Physics, JohnWiley, (1994)

121

CAPITULO 5

Reacoes Nucleares

5.1 Introducao

A investigacao das caracterısticas do potencial nuclear so pode ser rea-lizada quando juntamos dois ou mais nucleons e estudamos suas interacoesmutuas, assim como quando se estudaram as propriedades magneticas se jun-taram dois imas para compreender o comportamento das forcas magneticas.

Esse estudo pode envolver a construcao de um modelo teorico para asforcas de interacao nuclear ou a investigacao experimental do espalhamento departıculas. Dessa maneira para realizar o estudo experimental das forcas de in-teracao nuclear e necessario, em princıpio, dispor de um feixe de partıculas, umalvo de nucleos ou nucleons, e algum tipo de detector para estudar a densidadede partıculas espalhadas pelo alvo. Tanto o feixe de partıculas projetil comoo alvo, sao constituıdas de partıculas sub-atomicas e portanto o estudo teoricoda sua interacao deve ser feito com as ferramentas da mecanica quantica.

Para iniciar esse estudo torna-se util rever, tambem, os experimentos deespalhamento de partıculas do ponto de vista da mecanica classica, pois concei-tos simples, como os das secoes de choque, poderao ser melhor compreendidos.

Quando se fazem incidir partıculas sub-atomicas (nucleons ou mesmonucleos) sobre um alvo ocorre um processo de reagrupamento de nucleons,formando-se novas especies nucleares e novas partıculas. Mesmo que as reacoesnucleares sejam de diferentes tipos, desde o simples espalhamento elastico asreacoes de alta energia onde a estrutura dos hadrons pode ser observada, enecessario aplicar os princıpios basicos de conservacao de energia, quantidade de

123


movimento associados a princıpios de conservacao relacionados com simetriasmais complexas.

Do ponto de vista experimental e possıvel, em princıpio, ”esquecer”osprocessos de interacao mecanico-quanticos introduzindo um parametro, paracada tipo de reacao nuclear, denominado secao de choque σ, no qual estaraocontidas as caracterısticas da interacao nuclear. Dessa maneira a probabilidadede ocorrencia de uma determinada reacao nuclear, pode ser descrita pela secaode choque a partir da seguinte relacao:

P = σI,

onde P representa a probabilidade de ocorrer a reacao de um determinadonucleo, com I partıculas projetil que atingem um alvo, composto de uma dadaespecie nuclear. Intuitivamente se pode observar que a secao de choque re-presenta a area efetiva que cada nucleo do alvo oferece ao projetil durante ochoque. O valor da secao de choque pode ser obtido experimentalmente, outeoricamente atraves de um modelo para o potencial de interacao, utilizando-seas ferramentas da teoria quantica de campos.

Historicamente as reacoes nucleares comecaram a ser estudadas por Ru-therford e seus estudantes Geiger e Marsden, utilizando partıculas α produzi-das por isotopos radioativos naturais. Hoje em dia se utilizam aceleradores departıculas como fonte de partıculas possibilitando que a escala de energia departıculas projetil, inicialmente de alguns MeV, hoje atinja a ordem de TeVpossibilitando o estudo da estrutura dos hadrons.

Do ponto de vista historico e importante saber como se iniciou o estudodas reacoes nucleares, podendo-se para isso destacar duas reacoes nucleares:

• Reacao produzida por Rutherford em 1919:

42He +14

7 N →11 H +17

8 O

• Reacao de Fissao do Uranio por Otto Hanh e Lisa Meitner em 1939.

235U + n(termico) → fragmentos de fissao + 2, 5n + γ + β

O estudo sistematico das reacoes nucleares so se tornou possıvel aposo estabelecimento dos chamados modelos classicos para as reacoes nucleares,iniciados apos o desenvolvimento do modelo de Rutherford para o atomo.

5.2 Modelos classicos para as reacoes nucleares

A descricao das reacoes nucleares por Niels Bohr considera que as mes-mas ocorrem apos a colisao entre uma partıcula projetil, com um nucleo alvo,



formando-se um estado intermediario muito instavel. Este processo e conhe-cido como o da formacao do nucleo composto, com uma energia de excitacaoigual a soma da energia cinetica mais a energia de ligacao da partıcula incidentenesse nucleo composto. O nucleo composto, por ser um estado intrinsecamenteinstavel, decai emitindo a energia de excitacao, atraves de um dos possıveisprocessos. O processo inicial e totalmente desacoplado do estado final, inexis-tindo nenhum efeito de memoria. O processo e governado por leis estatısticas,e depende da energia de excitacao. Este processo foi descrito atraves de tresmodelos,

1. Bohr(1936): Uma partıcula projetil incidente sobre um nucleo alvo inter-age com todos os nucleons do mesmo. Forma-se a partir daı o chamadonucleo composto que decai de maneira independente do seu modo deformacao.

x + X → [Nucleo Composto] → Y + y

2. Weisskopf(1957): A reacao nuclear se realiza atraves de uma serie deestagios, indicado na Fig.(5.1).

3. Teoria unificada de Weisskopf(1957) e Feshbach(1958): Considerando quea interacao seria feita de acordo com o modelo de camadas para a in-teracao, considerando uma probabilidade de absorcao da partıcula inci-dente muito pequena.

A fısica que fundamenta o modelo de nucleo composto e muito simples,mas pode ser complementada tratando esse nucleo de forma mais especıfica,como por exemplo considerando como formado de nıveis contınuos. No caso dereacoes ressonantes, ou seja, quando a partıcula incidente tiver energia proximaa da energia dos nıveis discretos, o tratamento classico e o das secoes de choquede Breit-Wigner. Outra possibilidade e admitir que as partıculas projetil pos-sam ser absorvidas ou nao pelo nucleo. Neste modelo o nucleo e consideradocomo translucido, e portanto, a aproximacao e o chamado modelo otico.

5.2.1 Aplicacao das Leis de Conservacao

Para reacoes nucleares, onde a partıcula projetil, possua energias infe-riores a 100 MeV pode-se considerar que uma reacao nuclear possa ser repre-sentada pela seguinte equacao, onde em geral se produzem dois produtos:

x + X → [NC] → Y + y, (5.1)

onde X e o nucleo alvo, x a partıcula projetil, Y o produto pesado e y apartıcula produto. De forma resumida pode-se tambem representar a mesmareacao da seguinte maneira:

X(x, y)Y. (5.2)



Figura 5.1: Estagios das reacoes nucleares segundo Weisskopf.

Como consequencia da teoria de Bohr, o nucleo composto e consideradoum sistema altamente instavel capaz de desacoplar a parte direita da esquerdana equacao (5.1) e dessa maneira permitindo que ocorram varias possibilidadesde reacao como as representadas a seguir:

x + X → x + X → espalhamento elasticox′ + X∗ → espalhamento inelasticoy1 + Y1

y2 + Y2

y3 + Y3

A aplicacao das leis de conservacao, de energia, quantidade de movi-mento, numero de nucleons e carga eletrica, a reacao5.1, nos permitira entendere construir os modelos classicos, acima enumerados, para as reacoes nucleares.

5.2.2 Conservacao de energia e quantidade de movimento

O balanco de massa e energia cinetica pode ser expresso mediante aaplicacao do princıpio de conservacao de energia para a reacao presente na Eq.5.1:

mxc2 + Ex + MXc2 + EX = MY c2 + EY + Ey + myc2. (5.3)



Este balanco de massa e energia em termos do valor Q pode ser definido emfuncao da energia cinetica:

Q = Ey + EY − Ex, (5.4)

ou em funcao das massas:

Q = [mx + MX − (my + MY )]c2. (5.5)

Como decorrencia pode-se afirmar que, quando Q > 0 a reacao e exoergica eque quando Q < 0 e endoergica. A determinacao experimental de Q atravesda medida de Ex e Ey exige a eliminacao de EY , por ser de difıcil avaliacaoexperimental. No caso das reacoes endoergicas, a reacao so sera possıvel quandoEY + Ey ≥ 0 o que corresponde a condicao, Q + Ex ≥ 0, necessaria mas naosuficiente conforme se podera comprovar, a seguir, pela deducao da energiaumbral ou threshold.

Figura 5.2: Representacao vetorial do choque de duas partıculas no sistemareferencia de laboratorio.

Utilizando a representacao vetorial da reacao em duas dimensoes comona Fig. 5.2 e aplicando-se o princıpio de conservacao da quantidade de movi-mento chega-se a:

mxvx = MY vY cosϕ + Myvy cos θ,

0 = MY vY sin ϕ−Myvy sin θ. (5.6)

Considerando que mv = (2mE)1/2 as equacoes (5.6) tomarao a forma:

(mxEx)1/2 − (myEy)1/2 cos θ = (MY EY )1/2 cosϕ,

(myEy)1/2 sin θ = (MY EY )1/2 sinϕ. (5.7)

Elevando ao quadrado ambas as equacoes Eq. 5.7 e adicionando uma a outraresulta:

mxEx − 2(mxExmyEy)1/2 cos θ + myEy = MY EY . (5.8)



Utilizando na Eq. 5.8, a definicao de balanco de energia da Eq. 5.5:

Q = Ey

(1 +

my

MY

)− Ex

(1− mx

MY

)− 2

MY(mxExmyEy)1/2 cos θ. (5.9)

Nesta equacao mostra-se, atraves da medida da energia cinetica da partıculaespalhada, que se pode determinar o valor do balanco de energia Q para umadado angulo θ de espalhamento. Para o caso, particular, de um detetor colocadoem θ = 90o, a expressao para o valor maximo de Q sera dada por:

Q = Ey

(1 +

my

MY

)− Ex

(1− mx

MY

). (5.10)

No caso em que a energia incidente seja praticamente nula, como ocorre porexemplo na absorcao de neutrons termicos, o balanco de energia tera a seguinteforma:

Q(Ex=0) = Ey

(1 +

my

MY

). (5.11)

A Eq. 5.9 pode ser aplicada a todos os tipos de reacoes, entre dois corpos naorelativısticos, e em particular permite classificar as reacoes como:

• espalhamento elastico, no qual mx = my, MX = MY , e Q = 0. Mesmocom estas condicoes a energia cinetica, da partıcula incidente e espalhadanao sao iguais, pois parte do momento e transferido para o nucleo Yportanto Ex 6= Ey

• espalhamento inelastico, no qual mx = my, MX = MY . Neste casoQ = E∗, onde E∗ e a energia de excitacao do nucleo Y ∗.

A energia cinetica da partıcula produto deve ter valores entre os limitesextremos, permitindo que o seu valor seja real e positivo. Para que isso sejapossıvel a energia umbral que e aquela, mınima necessaria Ex, para iniciar areacao na qual os produtos sao formados com energia cinetica nula. No sistemade centro de massa, conforme nos mostra a.

Fazendo a distincao entre as energias no sistema de centro de massaFig.5.3 e sistema de laboratorio Fig. 5.2, pode se escrever:

Ecm = (mx + MX)v2

cm

2, (5.12)

na qual vcm, e a velocidade do centro de massa, definida como,

vcm = vxmx

mx + MX. (5.13)



Figura 5.3: Reacao nuclear representada no sistema de centro de massa, antese depois da reacao ter ocorrido.

A velocidade da partıcula e do alvo, no sistema de centro de massa, saoidenticas portanto,

E′ = Ex − Ecm = ExMX

mx + MX. (5.14)

Como a energia disponıvel para a reacao nuclear e a soma do balanco de energiae da energia cinetica do centro de massa, (Q + E′), para que a reacao sejapossıvel a condicao necessaria e suficiente sera dada por:

Q + E′ ≥ 0, (5.15)

portanto

Q + ExMX

mx + MX≥ 0 (5.16)

e o valor mınimo da energia mınima da partıcula projetil, para que a reacao serealize sera dada por:

Eth = −Q

(mx + MX

MX

). (5.17)

5.2.3 Outras leis de conservacao

Momento Angular As reacoes nucleares podem ser melhor descritas no sis-tema de referencia do centro de massa, consequentemente a lei de conservacaodo momento angular aplicada a reacao X(x, y)Y resultara em:

Ix + IX + lx,X = Iy + IY + ly,Y , (5.18)

onde I e o momento angular de cada nucleo (em unidades de h) e l e o mo-mento angular orbital de cada par de partıculas em torno do centro de massa.Classicamente, para um sistema de duas partıculas, o momento angular orbitalem relacao ao centro de massa, pode ser representado em termos da massa



reduzida do sistema e consequentemente a solucao da equacao de Schrodingerpara esse sistema sera feita em termos da massa reduzida.Conservacao de paridade; A aplicacao da conservacao de paridade a reacaoX(x, y)Y sera dada por

πxπX(−1)l(x,X) = πyπY (−1)l(y,Y ) , (5.19)

onde π e a paridade de cada estado nuclear envolvido na reacao.As leis de conservacao impoem restricoes a probabilidade de que a reacao

se realize, mas mesmo que a lei de conservacao seja obedecida a secao de choquepode ser tao pequena que a observacao experimental pode-se tornar muitodifıcil. Obviamente que este fato pode ser explicado em termos das regras detransicao, que definem se as reacoes sao mais ou menos provaveis.

5.2.4 Tipos de Reacoes

A classificacao dos diferentes tipos de reacoes nucleares e possıvel se-gundo varios criterios que podem ser por exemplo a escala de energia cineticaem que se encontra a partıcula incidente, ou mesmo o tipo partıcula incidente,ou produto da reacao:

• Classificacao segundo Ex:

– Energia Termica ≈ 0, 025eV

– Energia Epitermica ≈ 1eV

– Energia Rapida ≈ 0, 1− 10MeV

– Altas Energias ≈ 10− 100MeV

• Classificacao segundo o tipo de partıcula projetil:

– Reacoes produzidas por neutrons

– Reacoes produzidas por partıculas carregadas: p, e, α, etc...

– Reacoes foto-nucleares, produzidas por γ

• Classificacao por tipo de alvos:

– Nucleos leves para A < 40

– Nucleos intermediarios para 40 < A > 150

– Nucleos Pesados, para A > 150

– Nucleos Ultra-pesados A > 250



Como ilustracao vamos apresentar na Tabela 5.1 algumas reacoes e suasdenominacoes.

O comportamento tıpico das secoes choque, em funcao da classificacaoem termos da energia das partıculas incidentes, pode ser observado na Fig.5.4.Uma breve discussao da variacao da secao de choque com a energia mostraque em geral o comportamento para baixas energias (termicas) e do tipo 1/E,como o que ocorre para a secao de choque total (a) e (e). Para as energiaintermediarias ou epitermica aparecem picos de ressonancia que correspondemaos nıveis nucleares, (a), (b) e (e). Finalmente pode-se destacar o tipo de reacao(c) na qual existe uma energia mınima para que ela se realize, sao as reacoesdo tipo umbral ou threshold.

14N(p, p)14N espalhamento elastico de protons14N(p, p′)14N∗ espalhamento inelastico de protons14N(p, α)12C reacao p, α14N(p, γ)15O captura de protons14N(γ, p)13C reacao foto-nuclear14N(n,6 Li)9Be absorcao de neutrons9Be(6Li, n)14N reacao de ıons pesados

Tabela 5.1: Denominacao de alguns tipos de reacoes nucleares.

5.3 Estudo Experimental das Secoes de Choque

A medida experimental da secao de choque de uma reacao pode serrealizada em termos da razao

(N/I)

na qual N e o numero de partıculas produto (y) formadas por unidade de tempoe I e o numero de partıculas incidentes por unidade de tempo distribuıdasuniformemente sobre uma area A, do feixe de partıculas y incidentes, como sepode observar na Fig. 5.5. Esta razao expressa a probabilidade de ocorrenciade uma dada reacao nuclear, ou secao de choque como sendo a razao entre onumero de partıculas espalhadas e o numero de partıculas incidentes.

Considerando que:

n → e numero de nucleos por unidade de volume do alvo;A → e a area transversal do feixe;N → e o numero de partıculas espalhadas por segundo;I → e o numero de partıculas incidente por segundo;



Figura 5.4: Comportamento tıpico das secoes de choque: (a) σt, (b) σ(n, n),(c) σ(n, n′), (d) σ(n, α), (e) σ(n, γ).

a probabilidade da interacao de qualquer umas das partıculas do feixe incidente,dada por N/I, pode ser calculada por:

N

I=

nA∆xσ

A, (5.20)

onde o numerador nA∆xσ define a secao de choque total de todos os nucleosexistentes no alvo no limite da interseccao da area util do feixe de partıculasincidentes com o alvo. Portanto a secao de choque individual de cada nucleoatomico sera dada por:

σ =N

(I/A)(nA∆x), (5.21)

que representa o numero de partıculas produto, y, emitidas por unidade detempo por unidade de fluxo incidente e por partıcula nucleo no alvo. Conside-rando a analise dimensional da Eq. 5.21, pode-se dizer que as dimensao de σ edada em unidades de area.

[σ] ≡ L2.

A unidade de area, universalmente, utilizada para as secoes de choque e o barnigual a 10−24cm2.



Figura 5.5: Espalhamento de um feixe de partıculas monoenergeticas por umalamina de espessura ∆x.

Em geral a relacao I/A, e expressa em termos do fluxo de partıculasφ

[cm−2.s−1

]:

σ =N

φ

1nA∆x

. (5.22)

O fluxo tambem pode ser definido como,

φ =I

A= nxvx, (5.23)

sendo, vx = velocidade das partıculas projetil e nx = numero de partıculas porunidade de volume do feixe. A partir da Eq. 5.20 faz-se a avaliacao do numerode partıculas espalhadas (medida de um detetor) numa dada reacao com umasecao de choque σ, conhecida,

N = nσ∆xI. (5.24)

Nesta equacao se considera que o alvo e oticamente muito fino para o qualo numero de partıculas retiradas do feixe e muito pequeno. Isto pode serinterpretado de duas maneiras; ou que o alvo e realmente muito fino, ou que asua densidade e muito pequena. Considerando que em cada reacao se remova dofeixe uma so partıcula teremos, para um elemento dx da espessura; a retiradado numero de partıculas significa uma diminuicao de intensidade do feixe,

dN = −dI,

−dI = nσdxI, (5.25)

entao teremos:dI

I= −nσdx. (5.26)



Figura 5.6: Interacao num alvo considerando que I(x) varia com a espessura,x, do alvo

A solucao desta equacao diferencial e bem conhecida,

I = I0e−nσx (5.27)

na qual o valor e−nσx e denominado fator de transmissao da placa. No estudode absorcao de radiacao esta expressao na Eq. 5.27 e apresentada, utilizando emvez da secao choque um coeficiente de absorcao µ, cujo valor esta relacionadocom uma secao de choque, atraves da relacao

µ = nσ.

Dessa maneira o coeficiente de absorcao pode ser interpretado como uma secaode choque macroscopica Σ cuja unidade e cm−1, ou probabilidade de interacaopor unidade de percurso da partıcula, portanto,

I(x) = Ioe−µx. (5.28)

Exemplo 5.1Estudo da Transparencia da Camara de Nevoa

Considerando o caso de uma camara de nevoa que funcione a pressaoatmosferica, onde a secao de choque de interacao das partıculas α com a nevoavale, σ = 0, 1 barn; a densidade atomica, n ' 3 · 1019 cm−3 e o tamanho dacamara, ∆x ≈ 10cm.

A probabilidade de interacao por partıcula do feixe para um alvo poucoespesso, sera, de acordo com a Eq. 5.24,

N

I= 3× 1019 × 0, 1× 10−24 × 10 ' 3, 0× 10−5.



Pode-se verificar se o alvo e realmente pouco espesso, utilizando a equacao 5.27,

I/Io = e−3.0×10−5 ≈ 1.

Atraves do calculo da secao de choque macroscopica, ou coeficiente de absorcao,pode-se definir a situacao do alvo ser pouco espesso, de uma forma mais ele-gante, comparando o inverso da secao de choque macroscopica, que representao livre caminho medio, com a espessura da placa. Neste exemplo temos:

λ =1Σ

= 3, 33× 105cm,

ou seja, a espessura ∆x = 10cm da camara e muito menor do que o livrecaminho medio, λ das partıculas, portanto a camara e um alvo pouco espesso.

5.3.1 Secao de Choque Total

Em geral quando uma partıcula interage com um alvo uma serie dereacoes nucleares sao possıveis, como por exemplo foi indicado para o 14Nquando bombardeado por protons. A producao de N1, N2, N3, ... variedadesde partıculas pode ser representada pela secao de choque total, atraves daampliacao da Eq. 5.21:

σt =N1 + N2 + N3

(I/A)(nA∆x). (5.29)

As secoes de choque parciais no caso do detector, que discrimina cada tipo departıcula sera:

σi =Ni

(I/A)(nA∆x), (5.30)

portanto, o termo detector, pode ser generalizado, como a medida para cadatipo de reacao. A soma das secoes de choque, de todas as reacoes possıveis,sera a secao de choque total.

σt =∑

i

σi.

5.3.2 Secao de Choque Diferencial

Quando as reacoes nucleares nao sao isotropicas o detetor deve ser do tipodiferencial para registrar as partıculas espalhadas segundo um angulo solido d~Ωem torno do angulo θ de espalhamento, como mostra a Fig. 5.7.

A Eq. 5.20 podera, entao, ser escrita entao na seguinte forma:

1I

dN

dΩ=

nA∆x(dσ/dΩ)A

, (5.31)



Figura 5.7: Arranjo experimental para a determinacao da secao de choque di-ferencial.

Figura 5.8: Colisao entre duas partıculas observada no sistema de coordenadasde laboratorio, mostrando o parametro de impacto b.

onde dσdΩ e denominada a secao de choque diferencial, cuja expressao sera:

dσ

dΩ=

dN/dΩ(I/A)(nA∆x)

. (5.32)

A secao de choque σ pode ser considerada como a integral angular da Eq. 5.32:

σ =∫

Ω

dσ

dΩdΩ. (5.33)

5.4 Espalhamento de Partıculas

Considerando-se uma partıcula x de massa m e velocidade inicial vo

sendo espalhada, pela interacao com o alvo X de massa M . Sem especificar ocampo de forcas responsavel pela interacao pode-se representar a interacao pelaFig. 5.8, onde um potencial do tipo central V (r), repulsivo e o responsavel peloespalhamento. Quando a partıcula projetil se aproxima do alvo faz com quea forca que atua entre as duas produza o desvio das mesmas como mostrado,pela trajetoria. A intensidade dessa forca dependera do parametro de impactob. O momento angular da partıcula projetil em torno do alvo sera dado por:



l = mxvxb. (5.34)

Em termos da energia cinetica do projetil, considerando que, vo =(

2Ex

m

)1/2, o

momento angular podera ser apresentado como:

l = (2mEx)1/2b. (5.35)

O momento angular tambem pode ser relacionado com a velocidade angular,da partıcula incidente em torno do nucleo espalhador da seguinte forma:

l = |~r ×m~v| = |m~r × (rr + rωω)| = mr2ω, (5.36)

onde, o vetor unitario, ω e perpendicular ao vetor ~r. Como o vetor velocidade,possui duas componentes, a radial e a angular,

~v = rr + rωω,

a velocidade angular podera, entao, ser escrita em funcao do momento angular,utilizando a Eq. 5.36,

ω =l

mr2. (5.37)

A energia total em qualquer ponto da trajetoria podera ser expressa em termosda energia cinetica de rotacao e da energia potencial de interacao,

E =mr2

2+

mr2ω2

2+ Vr, (5.38)

onde substituindo a velocidade angular em termos do momento, chega-se a:

E =mr2

2+

mr2

2

(l

mr2

)2

+ Vr. (5.39)

A velocidade radial, pode ser obtida, desta expressao,

r = −[

2m

(E − V (r)− l2

2mr2

)]1/2

(5.40)

Nesta Eq. 5.40, o chamado potencial efetivo, e a soma do potencial de interacaoe do potencial centrıfugo. No caso analisado, da Fig. 5.8, como a aproximacaoda partıcula projetil faz com que a coordenada radial, diminua a raiz da equacao5.40 sera negativa, portanto, pode-se escrever,

r = −[(

l

mr

)2 2mEr2

l2

(1− V (r)

E

)− 1

]1/2

(5.41)



Utilizando a relacao entre o parametro de impacto e o momento angular, pode-se chegar a:

r = − l

mrb

[r2

(1− V (r)

E

)− b2

]1/2

, (5.42)

portanto, utilizando as equacoes 5.37 e 5.42,

dω

dr= − b

r [r2(1− V (r)/E))− b2]1/2(5.43)

A integral desta expressao, entre o ponto inicial e o de maior aproximacao, sera∫ ωo

0

dω = −∫ ro

∞

bdr

r [r2(1− V (r)/E))− b2]1/2(5.44)

No vertice da trajetoria, ou seja para r = ro, a velocidade radial e nula, por-tanto, utilizando a equacao 5.42, chega-se a:

r2o

(1− V (ro)

E

)− b2 = 0. (5.45)

Utilizando, a relacao entre o angulo de rotacao ω e o de espalhamento θ, θ =π − 2ωo, conforme a figura 5.8, e possıvel reescrever, a Eq. 5.44 como:

θ = π − 2b

∫ ∞

ro

bdr

r [r2(1− V (r)/E))− b2]1/2(5.46)

Esta equacao nos mostra como a partir da energia cinetica da partıcula, que semove num dado potencial de interacao, para um dado parametro de impactob, e possıvel determinar o angulo de espalhamento. Verifica-se portanto que omomento angular depende do parametro de impacto b e portanto o angulo deespalhamento θ dependera desse parametro e da lei de forca entre as partıculas.No caso do espalhamento nuclear o parametro de impacto nao e definido apriori e portanto a secao de choque diferencial representara a probabilidade doespalhamento para cada angulo θ. A distribuicao dos angulos de espalhamentopara diferentes parametros de impacto pode ser melhor estudada utilizando oconceito de secao de choque diferencial a partir da relacao entre b e θ.

5.4.1 Relacao entre b e θ

Para o calculo da secao de choque, utiliza-se o numero de partıculas, dofeixe incidente, por unidade de tempo, espalhadas segundo o angulo solido dΩ,quanto um feixe de partıculas de intensidade I, e espalhado por um alvo dearea A como mostra a Fig. 5.7.



Figura 5.9: Sistema de referencia para o modelo classico de espalhamento.

Na Fig. 5.9,, pode-se observar que um feixe de partıculas com parametrode impacto entre b e b + db sera espalhado dentro de um angulo solido dadopor

dΩ = 2πsenθdθ. (5.47)

A fracao do numero de partıculas, do feixe que serao espalhadas, sera:

dN =2πbdb

A, (5.48)

consequentemente a fracao de partıculas espalhadas por unidade de angulosolido sera:

dN

dΩ=

I2πbdb

2πsenθdθA. (5.49)

Considerando que o alvo so contenha um nucleo espalhador, como no caso daFig.5.9, a expressao para a secao de choque diferencial, Eq. 5.32, podera sercalculada para nA∆x = 1,

dσ

dΩ=

dsN/dΩ(I/A)(nA∆x)

=bdb

senθdθ. (5.50)

Resultando, dessa maneira, em um conceito mais geral de secao de choquediferencial:

σ(θ) =∣∣∣∣dσ

dθ

∣∣∣∣ =b(θ)senθ

∣∣∣∣db

dθ

∣∣∣∣ . (5.51)

Considerando que a funcao b(θ) para um dado potencial de interacao, ou ocampo de forcas de interacao, e conhecida, pode-se calcular a secao de choquede espalhamento. Vamos utilizar a Eq. 5.51 para calcular a secao de choquepara dois casos muito simples, o primeiro e o chamado espalhamento poruma esfera rıgida onde o alvo espalhador e uma esfera rıgida, e o segundo eo espalhamento por um potencial Coulombiano, ou seja um potencial do tipo1/r.



5.4.2 Espalhamento por uma esfera rıgida

Considerando que o espalhamento por uma esfera rıgida se assemelha areflexao onde o angulo de incidencia e identico ao de espalhamento podemosconsiderar, conforme demonstra a Fig. 5.10, que:

Figura 5.10: Espalhamento por uma esfera rıgida de raio a.

b(θ) = asen

(π − θ

2

)= acos

(θ

2

),

portantodb

dθ= −a

2sen

(θ

2

).

Utilizando a Eq. 5.51 temos

dσ

dθ= −

[acos

θ

2

]a

2sen

θ

21

senθ= −

(a2

4

),

na qual levamos em consideracao a relacao trigonometrica:

senθ = 2cos

(θ

2

)sen

(θ

2

).

O espalhamento elastico nos fornece uma ilustracao muito interessantedo conceito de secao de choque, considerando que as forcas de interacao nochoque elastico entre duas esferas tem curto alcance e que portanto o angulode incidencia e identico ao de espalhamento. Vamos considerar nesta ilustracaoalguns casos particulares do calculo da secao de choque total.

a) A secao de choque total de espalhamento pode ser calculada por:

σ =∫ (

dσ

dΩ

)dΩ,

considerando o angulo solido definido pela Eq. 5.47 como dΩ = 2πsenθdθe com o angulo θ variando de 0 a π:

σ =∫ π

0

−a2

42πsenθdθ =

2πa2

4[cosθ]π0 = πa2. (5.52)



Este valor da secao de choque total resulta ser a area geometrica do alvo.

b) No caso da integracao ser feita de θ de π/2 a π:

σ =2πa2

4[−cosθ]ππ/2 =

πa2

2, (5.53)

correspondera a condicao de retro espalhamento. A consequencia e quequalquer valor de b ≤ a√

2resultara em retro-espalhamento.

5.4.3 Espalhamento Coulombiano

O experimento de Rutherford e, sem duvida nenhuma, o paradigma fun-damental do estudo das reacoes nucleares, estabelecendo uma nova forma depensar a investigacao na fısica. Para estabelecer um modelo para o nucleoatomico e necessario estudar de forma quantitativa o campo eletrostatico noentorno do nucleo. Esse estudo foi realizado por Geiger e Marsden (1913),com o espalhamento de partıculas alfa, de 7, 68MeV , por laminas muito fi-nas de ouro, tipicamente com 3 × 10−4mm, confirmando a teoria classica doespalhamento.

As partıculas alfa incidentes sob o alvo interagem com o campo de forcasde Coulomb, devido a carga positiva do nucleo, sendo defletidas conforme sepode observar na Fig. 5.11. A forca coulombiana entre a partıcula projetil,com massa m e carga eletrica Z1e, e o alvo, com carga Z2e, e dada por:

Fc =Z1Z2e

2

r2, (5.54)

onde r e a distancia radial entre o projetil e o alvo. A energia potencial eletricae dada por:

Ep =Z1Z2e

2

r. (5.55)

Neste espalhamento a partıcula incidente possui uma massa muito pequenacomparada com a do alvo, portanto, o recuo do alvo pode ser desprezado.A partıcula alfa fara uma orbita hiperbolica em torno do nucleo, conformese pode observar na Fig. 5.11. Nesta figura se observa que o parametro deimpacto e b, e a distancia mınima entre o projetil e o alvo e d. A velocidade dapartıcula e inicialmente vo, quando livre, e vd quando atinge a posicao r = d.Aplicando o princıpio da conservacao de energia, onde a energia cinetica dapartıcula incidente sera identica a soma da energia cinetica no ponto r = dmais a energia potencial.

mv2o

2=

mv2d

2+

Z1Z2e2

d. (5.56)



Figura 5.11: Diagrama esquematico do espalhamento de Rutherford,b =parametro de impacto, d = distancia de maior aproximacaoao nucleo, para um dado valor de b.

Esta equacao podera ser escrita da seguinte maneira,(

vd

vo

)2

= 1− 2Z1Z2e2

mv2od

= 1− xo

d, (5.57)

onde xo = 2Z1Z2e2

mv2o

, corresponde a mınima distancia que a partıcula atingenum choque frontal, na situacao em que b = 0, que na equacao de conservacaode energia corresponde a situacao em que toda a energia cinetica inicial etransformada em potencial.

A conservacao de momento angular, tambem permite escrever

mvob = mvdd, (5.58)

portanto

b2 =(

vd

vo

)2

d2 = d2 − dxo. (5.59)

Das propriedades da hiperbole resulta que:

d = SA = SO + OA, (5.60)

ε =1

cos α=

SO

OA; (5.61)

d = b1 + cos α

sinα= b cot(α/2). (5.62)

em que ε define a excentricidade da hiperbole.Substituindo na Eq. 5.59 o valor de d:

b2 = b2 cot2(α/2)− bxo cot(α/2), (5.63)

cot2(α/2) +xo

bcot(α/2) = 1, (5.64)

1− cot2(α/2)2 cot(α/2)

=xo

2b= cot α, (5.65)



resultando em:xo = 2b cot α = 2b tan(θ/2), (5.66)

pois α = π/2− θ/2. Portanto:

cot(

θ

2

)=

(xo

2b

). (5.67)

Na Fig. 5.12 mostram-se algumas das trajetorias das partıculas alfasendo espalhadas, principalmente para pequenos angulos. A existencia de retro-espalhamento permite dizer que o nucleo e muito pequeno e massivo, com umadensidade de carga muito grande, consequencia dos resultados desse espalha-mento a grandes angulos.

Figura 5.12: Algumas orbitas hiperbolicas, devidas a interacao coulombiana,mostrando a relacao b(θ).

Da analise cinematica do experimento de Rutherford[1][2] sabemos queo parametro de impacto b, em termos do angulo de espalhamento θ sera dadopela Eq. 5.67:

b =Z1 Z2 e2

2Ecotg

(θ

2

)(5.68)

portanto:db

dθ= −1

2Z1 Z2 e2

2Ecossec2

(θ

2

)(5.69)

na qual o sinal indica que se b cresce quando θ decresce, como no caso anterior.Substituindo estes valores na Eq. 5.51 temos:

dσ

dΩ=

b db

senθdθ= −

(Z1 Z2 e2

4E

)2

cossec4 θ

2= −

(Z1 Z2 e2

4E

)1

sen4(

θ2

) .

Consequentemente a secao de choque total sera

σ =∫

dσ

dΩdΩ = 2π

∫ π

0

dθsenθ

(dσ

dΩ

)= 2π

(Z1 Z2 e2

4E

) ∫ π

0

senθ

sen4(

θ2

)dθ.



σ = 8π

(Z1 Z2 e2

4E

)2 ∫ 1

0

d

(sen

θ

2

)1

sen3(

θ2

) −→∞. (5.70)

Tente explicar essa divergencia!! ela pode parecer um problema mas estaassociada a variacao do parametro de impacto, para o qual a partıcula podesofrer espalhamento. O potencial Coulombiano e um potencial de longo alcancee se estende ate infinito, aı deve estar a origem dessa divergencia.

5.5 Tratamento Quantico das Secoes de Choque

O estudo das colisoes nucleares e o processo mais importante para o de-senvolvimento do conhecimento da estrutura nuclear. Como as interacoes nu-cleares ocorrem a distancias da ordem 10−12cm. Considerando que as partıculasinteragem com velocidades de ≈ 109cm/s (relativısticas), o valor do perıodo detransito ∆t, durante uma colisao nuclear devera ser, tipicamente, da ordem de10−21s. Como ∆E∆t ≈ h resulta que ∆E ≈ 10MeV , ou seja os parametrosclassicos como o parametro de impacto e a secao de choque devem ser tratadosquanticamente.

Para observar como o potencial de interacao, influencia o espalhamentoe necessario utilizar a teoria de espalhamento da mecanica quantica. Para essetratamento e necessario descrever o problema de espalhamento como tridimen-sional, onde o feixe de partıculas e espalhado por uma barreira de potencialnuclear.

Considerando, inicialmente, um unico nucleo espalhador, representadopor um potencial V esfericamente simetrico que dependa somente da distanciaradial r ao centro do espalhador. A intencao e determinar a secao de choquediferencial dσ/dΩ utilizando a Eq. 5.31. Para isso devemos encontrar o numerode partıculas dN , espalhadas por unidade de tempo, por um unico nucleoespalhador em um angulo solido dΩ, resultando em:

dσ

dΩ=

dN/dΩΦ

. (5.71)

em que Φ representa o fluxo de partıculas incidentes.

5.5.1 Estudo do Espalhamento a Baixa Energia

Para uma partıcula incidente cuja energia cinetica E = p2/2m que semovimenta num potencial de interacao V(r) resultando a energia total:

E =p2

2m+ V (r).

A funcao de onda ψ de estado deve ser a autofuncao correspondente a solucaoda equacao de Schrodinger para esta energia. Quando o potencial V(r) pos-suir curto alcance, como e o caso do potencial nuclear, a onda que representa a



partıcula incidente, para longas distancias onde V(r) ≈ 0, sera uma onda plana.Na direcao z as partıculas espalhadas serao representadas por ondas esfericas.Longe do espalhador a funcao de onda consistira de uma parte incidente re-presentado as partıculas incidentes e uma parte representando as partıculasespalhadas. Entao para longas distancias apos o espalhamento teremos afuncao de onda total dada por:

ψk(r) = a.eikz︸︷︷︸onda plana

+ a.f(θ, φ)eikr

r︸︷︷︸onda espalhada esferica

(5.72)

na qual k = ph . O fluxo de partıculas espalhadas atraves de uma superfıcie

elementar ds, por unidade de tempo sera:

v|ψ|2 = v.|a|2|f(θ)|2 ds

r2= v.|a|2|f(θ)|2dΩ. (5.73)

A densidade de partıculas para a onda plana sera ρ =∣∣aeikz

∣∣2 = |a|2, e onumero de partıculas espalhadas no volume r e r + dr no angulo solido dΩ(θ, φ)sera: ∣∣∣∣a

f(θ, φ)eikr

r

∣∣∣∣2

r2dΩdr = |a|2 |f(θ, φ)|2 dΩdr

Pode-se definir o fluxo de partıculas incidentes a partir da amplitude dafuncao de onda incidente:

φ = Ψ∗Ψ.v = |a|2v, (5.74)

na qual v e a velocidade das partıculas em relacao ao espalhador e a a amplitudede onda incidente. O numero de partıculas espalhadas sera dado por:

dN = |a|2|f(θ)|2v.dΩ. (5.75)

Portanto, pode-se dizer que quando a = 1, que corresponde a uma densidade departıculas unitaria, |f(θ, φ)|2 vdΩ sera o numero de partıculas espalhadas porunidade de tempo em dΩ e v = hk

m . O conceito de secao de choque diferencialcom variacao azimutal, resulta em,

dσ

dΩ= |f(θ, φ)|2 , (5.76)

e a secao de choque integrada,

σ =∫

Ω

|f(θ, φ)|2 dΩ. (5.77)

Portanto σ esta relacionado com ψ(r) que, por sua vez, depende de V(r). Namaior parte dos problemas f(θ, φ) ≡ f(θ).



A observacao experimental de σ(θ), nada mais e do que a medida deuma amplitude da funcao de onda espalhada, ou seja uma maneira de medira interacao nuclear. Ao medir a secao de choque experimentalmente pode-se obter f(θ) e a partir desse valor investigar a natureza da interacao, ouseja, a natureza do potencial de interacao. Para valores de energia cineticamuito baixa e possıvel obter de forma muito simples uma expressao para afuncao f(θ). No estudo do nucleo atomico, o conceito da funcao densidadede probabilidade ΨΨ∗ e de difıcil obtencao a partir da medida experimentalda secao de choque, pois os momentos dos nucleons sao tao altos que numareacao nuclear as suas velocidades sao relativısticas. Para evitar este problemaa estrutura nuclear e descrita em termos do fator de forma. A utilizacao defatores de forma para estudar o nucleo atomico, e muito importante devidoao fato desses fatores serem o elo de ligacao entre a fısica nuclear teorica e aexperimental. Os aspectos essenciais desta comparacao podem ser observadosno esquema abaixo:

dσ

dΩ→ f(θ) ← |a|2 = ΨΨ∗ ← Ψ ← Equacao de Schrodinger (5.78)

Exemplo 5.2Calculo da secao de choque para espalhamento s

Uma forma muito interessante de investigar as formas nucleares e medirexperimentalmente a secao de choque entre nucleons. Para isso existem tresreacoes possıveis, (n − n), (n − p) e (p − p). Como a reacao (n, n) e muitocomplexa de realizar, pois nao e facil produzir um alvo de neutrons. Nesteexemplo vamos investigar a reacao n − pn a mais simples por nao envolver ainteracao coulombiana e tambem por ser simples de realizar experimentalmenteutilizando um feixe de neutrons e um alvo de hidrogenio.

Supondo que um feixe de neutrons de momento p = hk, e densidadeunitaria move-se na direcao z com funcao de onda descrita por:

Ψinc = eikz. (5.79)

A funcao de onda que representa os neutrons espalhados e considerada comoassemelhada a uma onda esferica, da seguinte forma:

Ψesf = f(θ)eikr

r. (5.80)

Portanto a funcao de onda total sera:

Ψ = Ψinc + Ψesf = eikz + f(θ)eikr

r. (5.81)

Como a funcao de onda de partıcula livre, Eq. (5.79) nao nos trazinformacao a respeito do parametro de impacto b, podem-se incluir diferentes



valores desse parametro. Para isso vamos considerar que essa funcao de ondapodera representar partıculas com diferentes momentos angulares em torno dapartıcula atraves da soma de ondas parciais: espalhadora:

Ψinc = eikz =∑

l

Ψl. (5.82)

A funcao de onda Ψl usualmente e chamada de onda parcial correspondea forma das funcoes angulares para diferentes valores l, ml. No caso da simetriacilındrica para o feixe de partıculas pode-se dizer que a componente axial domomento angular e nula, ou seja, Lz. Como consequencia Ψl = Yl,0. Utilizandoa imagem semi-classica do parametro de impacto, pode-se definir o momentoangular do neutron incidente atraves da expressao,

L = bhk = h[l(l + 1)]1/2. (5.83)

Considerando a aproximacao bk ∼ l para analisar empiricamente a relacaoentre o alcance das forcas nucleares e o momento angular das partıculas, le-vando em consideracao o fato de que intrinsecamente as forcas nucleares sao decurto alcance, o espalhamento pode ser considerado como apreciavel quando bfor da ordem desse alcance, o que corresponde aproximadamente ao raio nu-clear R. Como consequencia somente aquelas partıculas que possuem l ≤ kRserao espalhadas. Portanto quando a energia cinetica do neutron incidente forpequena, tipicamente de neutrons termicos, o valor de k sera pequeno e pode-remos dizer que so partıculas com l = 0 serao espalhados, um espalhamentodenominado, s. Nesse caso a funcao de onda total sera dada por:

Ψ′o = Ψo + f(θ)eikr

r. (5.84)

Pode ser mostrar que a funcao de onda parcial para l = 0, de uma partıculalivre, e do tipo

Ψo =sen(kr)

kr. (5.85)

Utilizando o resultado obtido para o espalhamento em um poco de potencialretangular para um deuteron (p + n), poder-se-a escrever que:

Ψ′o = Csen(kr + δo)

kr. (5.86)

Substituindo as expressoes (5.85) e (5.86) na equacao (5.84) resulta em:

Csen(kr + δo)

r=

sen(kr)r

+ kf(θ)eikr

r. (5.87)

Aplicando a relacao de Euler,

senα =eiα − e−iα

2i



e alguma algebra chegamos ao valor do fator de forma:

f(θ) = Ceiδosen(δo)

k2. (5.88)

Como consequencia, a secao de choque diferencial sera:

σ(θ) = |f(θ)|2 = C2 sen2(δo)k4

. (5.89)

0Graficamente podemos observar, a relacao entre a onda incidente e a espa-lhada, cuja medida da diferenca de fase nos permitira avaliar a secao de choquediferencial na Fig. 5.13.

Figura 5.13: Diferenca de fase entre as funcoes de onda incidente e espalhada.

5.5.2 Espalhamento de uma partıcula por um PotencialCentral

O espalhamento de uma partıcula de massa m e energia E momento~p = h~k, por um potencial V (r) pode ser estudado utilizando a Equacao deSchrodinger para o estado estacionario. A equacao de Schrodinger sera

[∇2 + k2 − U(r)]Ψ(r) = 0 (5.90)

na qual

k2 =2mE

h2

eU(r) =

2m

h2 V (r).



A solucao da Eq. 5.90 deve satisfazer as condicoes de contorno para r → ∞.Considerando que o espalhamento e elastico e produzido por um potencial es-fericamente simetrico que se torne nulo para um alcance finito que correspondeao raio nuclear. Baseando-se nesses ingredientes a solucao da Eq. 5.90 sera:

ψ(r) ≈ eik.r + f(θ, φ)eikr

r, r →∞, (5.91)

em que f(θ, φ) representa a amplitude da onda espalhada e θ o angulo entre ovetor ~k′ e ~k.

Analise com ondas parciais

A solucao da Eq. 5.90 pode ser construıda em termos de harmonicosesfericos Ylm, que sao autofuncoes dos operadores de momento angular L2 eLz, tais que:

L2Ylm = l(l + 1)h2Ylm, (5.92)LzYlm = mhYlm. (5.93)

Considerando que o feixe de partıculas incidentes possui simetria cilındrica naqual somente funcoes de onda com m = 0 contribuirao pois as outras seraodependentes do angulo azimutal φ. Dessa maneira utilizaremos os polinomiosde Legendre Pl(cosθ) e a solucao podera ser escrita como:

Ψ =∞∑

l=0

alu(r)

rPl(cosθ), (5.94)

com al sendo constantes e u(r) a funcao de onda radial. Para completar asolucao sera necessario obter u(r) ajustada as condicoes de contorno. A solucaoEq. 5.94, substituıda na Eq. 5.90 utilizando o Laplaciano na forma

h2∇2 = (h2/r)(∂2/∂r2)r − L2,

sera dada por

∞∑

l=0

al−h2

2µ

d2u(r)dr2

+[l(l + 1)2µr2

+ V (r)]

u(r)Pl(cosθ) =∞∑

l=0

Ealu(r)Pl(cosθ).

(5.95)A dependencia linear dos polinomios de Legendre nos leva a equacoes radiais,u(r) que satisfazem a seguinte equacao

−h2

2µ

d2u(r)dr2

+ [l(l + 1)2µr2

+ V (r)]u(r) = Eu(r). (5.96)



Para que a funcao de onda Ψ seja finita e necessario que u(r) = 0 para r = ∞.Numa regiao onde se tenha V (r) constante e V (r) < E, a equacao radial, Eq.5.96, possui solucoes rjl(k′r) e rnl(k′r), onde jl e nl sao as funcoes de Besselesfericas com

k′ =√

2µ(E − V )/h

.A solucao geral da Eq. 5.96, para um momento l, sera a combinacao

dessas duas funcoes:

u(r) = Alrjl(k′r) + Blrnl(k′r). (5.97)

Para r = 0, nl e excluıda pelo seu comportamento assintotico. Para o caso deV(r) = 0, teremos

k′ = k =√

2µE/h e U(r) = Aljl(kr).

Estes dois comentarios nos mostram que existem pelo menos duas formasde representar estados degenerados de partıcula livre em tres dimensoes. A pri-meira e utilizar a funcao de onda plana eik.r, onde a direcao k pode ser variada,e a segunda e jl(kr)Ylm(θ, φ), onde l,m podem variar. Os dois conjuntos deauto-funcoes devem estar relacionados. Partindo da consideracao de partıculascom direcao z pode-se considerar que:

ei(kz).r =∞∑

l=0

il(2l + 1)jl(kr)Pl(cosθ). (5.98)

Por outro lado, a condicao de ortogonalidade do Pl nos leva a:∫ 1

−1

d(cosθ)Pl(cosθ)Pl′(cosθ) =2

2l + 1δll′ . (5.99)

Para distancias muito afastadas do alvo existe uma relacao muito simples entrea funcao de onda radial das partıculas espalhada e livre. Elas diferem apenaspelo comportamento esferico 1/r e por uma diferenca de fase. Esta diferencade fase pode ser determinada analiticamente, utilizando a forma assintotica dasfuncoes esfericas de Bessel jl, nl que sao:

j(kr) ∼ sen(kr − lπ2 )

kr+ O

[1

(kr)2

], (5.100)

n(kr) ∼ −cos(kr − lπ2 )

kr+ O

[1

(kr)2

]. (5.101)

A funcao de onda espalhada radial tem a seguinte forma assintotica:

u(r) ∼√

A2l + B2

l

k[

Al√A2

l + B2l

sen(kr−lπ

2)− Bl√

A2l + B2

l

cos(kr−lπ

2)]. (5.102)



O fator√

A2l + B2

l permite a seguinte reparametrizacao:

A′l =√

A2l + B2

l , Al = A′lcos(δl) e Bl = −A′lsen(δl),

portanto:

u(r) ∼ A′lk

sen(kr − lπ

2+ δl). (5.103)

Esta equacao nos mostra que a diferenca de fase entre a onda incidente e aespalhada vale δl. Esta diferenca de fase podera ser calculada a partir das am-plitudes da funcao de onda radial e e em geral dependente da energia. Portantoa solucao de onda espalhada sera

ψl(r) ∼= Aljl(kr) + Blnl(kr)ψl(r) =1kr

A′lsen(

kr − lπ

2+ δl

). (5.104)

A diferenca de fase pode ser obtida a partir da solucao da Eq. 5.104:

f(l) =[1− e−2iδl

]

cl = eiδl .

Portanto o fator de forma f(θ) sera dado por:

f(θ) =1

2ik

∑

l

(2l + 1)[e2iδl − 1

]Pl(cosθ)

f(θ) =1k

∑

l

(2l + 1)eiδlsenδlPl(cosθ).

A secao de choque diferencial sera entao

dσ(θ) = |f(θ)|2 dΩ =

∣∣∣∣∣1k

∑

l

(2l + 1)eiδlsenδlPl(cosθ)

∣∣∣∣∣

2

dΩ, (5.105)

σ =∫

dσ(θ) =4π

k2

∑

l

(2l + 1)sen2δl. (5.106)

Este resultado e aparentemente exato mas para obter resultados praticos, enecessario primeiro, trabalhar com solucoes numericas da funcao de onda radiale segundo, utilizar series truncadas para l.



5.5.3 Espalhamento por uma Esfera Rıgida

O potencial que define uma esfera rıgida pode ser escrito como

V = ∞, r<a

0, r>a

A funcao de onda radial tera a seguinte forma:

u(r) = Ajl(kr) + Bnl(kr)e (5.107)

a condicao de descontinuidade no potencial infinito nos dara u(a) = 0, o quesignifica:

B

A=−jl(ka)nl(ka)

. (5.108)

Portanto os coeficientes serao determinados por um fator de normalizacao.Este fator e a diferenca de fase, que pode ser determinado para a condicao der = rmax. Considerando a esfera como impenetravel temos a solucao da Eq.5.104: Al(r)r=0 = 0 portanto

jl(ka)cosδl − nl(ka)senδl = 0,

tgδl =jl(ka)nl(ka)

,

Para o caso l = 0 ou onda s,

tgδ0 =sen(ka)/ka

−cos(ka)/kRa= −tg(kRa),

δ0 = −ka.

para ka << 1,

jl(ka) ∼= (kl)l

(2l + 1),

nl(kR) ∼= 2l + 1(kr)l+1,

tgδl =−(ka)2l+1

(2l + 1) [(2l + 1)]2,

dσ

dΩ=

sen2δ0

k2≈ R2,

σ =∫

dσ

dΩdΩ = 4πR2,

δ0 = −kR.



para kR << 1,

jl(kR) ∼= kll

(2l + 1),

nl(kR) ∼= 2l + 1(kr)l+1

,

tgδl =−(kR)2l+1

(2l + 1) [(2l + 1)]2,

dσ

dΩ=

sen2δ0

k2≈ R2,

σ =∫

dσ

dΩdΩ = 4πR2.

5.6 Interacao nucleon-nucleon

Exatamente como na fısica atomica, cuja estrutura mais simples e a doatomo de hidrogenio um problema de dois corpos redutıvel a um, na fısicanuclear se utiliza o estudo do deuteron que nos fornece muitas informacoes dainteracao nucleon-nucleon , juntamente com o estudo do espalhamento nucleon-nucleon. Para o estudo da interacao nucleon-nucleon deve ser levado em con-sideracao que o potencial nuclear e de curto alcance e consequentemente cadanucleon so interage com os vizinhos mais proximos podendo-se estimar o alcancena base da dimensao a ∼= 1.5 × 10−15m. Para maior simplicidade considera-seo potencial como central, dependendo unicamente da distancia entre nucleonse que o estado fundamental do deuteron possui momento angular nulo, o queequivaleria ao orbital atomico s. A interacao nucleon-nucleon pode ser estu-dada experimentalmente atraves de tres reacoes de espalhamento: n− p, p− pe n− n.

No sistema neutron-proton a interacao e por forcas fortes, nao ocorrendoa interacao eletromagnetica. Esta interacao pode ser estudada incidindo umfeixe neutrons, produzido num gerador de neutrons ou num reator, sobre umaamostra de material rico em protons, como por exemplo a parafina.

No caso da interacao proton-proton, devido ao princıpio de exclusaode Pauli, alguns estados sao proibidos, por exemplo para l = 0 so ocorre oestado singlete. O tratamento teorico deste espalhamento exige o tratamentoda interacao eletromagnetica e forte. No caso da interacao neutron-neutron,devido a meia vida muito curta do neutron, a realizacao experimental e muitodifıcil.



5.6.1 Espalhamento neutron-proton

A captura de neutrons no processo de espalhamento pode ser observadaatraves da reacao:

n +1 H →2 H + γ. (5.109)

A energia de ligacao do deuteron e de 2, 225MeV medido com grande precisaoatraves da energia do foton gama emitido. O spin do deuteron vale 1 portanto,o estado n− p e formado de spins paralelos, formando um estado tripleto, umavez que tambem o momento magnetico do deuteron e muito proximo a somados momentos magneticos do proton e neutron. A evidencia experimental deque o estado fundamental do deuteron e um estado 1s ou seja l = 0 nos leva asupor, entao, que o momento angular total do deuteron, no estado fundamentalseja unicamente devido ao spin J = 1. Vamos considerar agora o espalhamentode um feixe de neutrons por protons na regiao de baixas energias, na qualocorre o espalhamento para o estado l = 0. Vamos mostrar que isso pode serentendido em termos da energia de ligacao do deuteron definindo

U(r) =2µ

h2 V(r), (5.110)

em que V(r) pode ser considerado como nula para algum valor finito de raio.Portanto, se a energia das partıculas no sistema de referencia CM e h2k2

1/2µ, ea funcao de onda Ψ1 satisfaz a equacao de Schrodinger para potencial central,

[∂2

∂r2+ k2

1 − U(r)

]Ψ1(r) = 0, (5.111)

da mesma maneira para um outro momento teremos,[

∂2

∂r2+ k2

2 − U(r)

]Ψ2(r) = 0, (5.112)

multiplicando a Eq. 5.111 por Ψ2 e a Eq. 5.112 por Ψ1 e subtraindo-as teremos:

Ψ2∂2

∂r2Ψ1 −Ψ1

∂2

∂r2Ψ2 ≡ ∂

∂r

(Ψ2

∂Ψ1

∂r−Ψ1

∂Ψ2

∂r

). (5.113)

portanto teremos:

∂

∂r

(Ψ2

∂Ψ1

∂r−Ψ1

∂Ψ2

∂r

)+ Ψ1Ψ2

(k21 − k2

2

)= 0. (5.114)

Se esta equacao e integrada no intervalo 0,R onde o raio R e muito grande,portanto [

Ψ2∂Ψ1

∂r−Ψ1

∂Ψ2

∂r

]R

0

=(k22 − k2

1

) ∫ R

0

Ψ1Ψ2dr. (5.115)



Considerando que a forma assintotica da funcao Ψ(r) para grandes valores der e representada por Φ(r), entao teremos, pelo mesmo argumento utilizado,

[Φ2

∂Φ1

∂r− Φ1

∂Φ2

∂r

]R

0

=(k22 − k2

1

) ∫ R

0

Φ1Φ2dr. (5.116)

Como Φ satisfaz a mesma equacao para Ψ, exceto quando U(r) e substituıdopor zero. Subtraindo a Eq. 5.115 da Eq. 5.116 avaliando para R −→∞. Paragrandes valores de R, Ψ(r) = Φ(r), e Ψ(0) = 0, portanto

[Φ2

∂Φ1

∂r− Φ1

∂Φ2

∂r

]

r=0

=(k22 − k2

1

) ∫ R

0

Φ1Φ2dr (5.117)

Se k21 e positiva, o estado representa espalhamento, e portanto teremos:

Φk1(r) = Φk(r) ∼[ei(kr+δ) − e−i(kr+δ)

2ik

]eiδ, (5.118)

=sen(kr + δ)

sen(δ)(5.119)

e por conveniencia utilizaremos a normalizacao tal que:

Φk(0) = 1. (5.120)

Se o valor de k22 for negativo teremos um estado ligado. Pode-se colocar que

k22 = −K2. (5.121)

Utilizando a mesma notacao da secao anterior, portanto teremos

Φk2 = ΦK = e−Kr, (5.122)

que tambem e normalizada tal que

ΦK(0) = 1. (5.123)

Como o potencial e de curto alcance, as formas assintoticas de Φ serao iguaisas correspondentes funcoes de onda exatas, sobre a maior parte do alcance deintegracao da equacao 5.117 e portanto, em primeira aproximacao este termopode ser desprezado. Substituindo a equacao 5.118 e equacao 5.122 na equacao5.117, nesta equacao, nos fornece

k cot δ = −K. (5.124)

Como K e diretamente relacionado com a energia de ligacao, esta equacaodetermina o deslocamento de fase (fase shift) e portanto o espalhamento a



baixa energia, em termos da energia do deuteron. Para pequenos valores de k,teremos

δ ' − k

K, (5.125)

que mostra em comparacao com a analise de espalhamento que o raio dodeuteron 1

K , tambem e equivalente ao de uma esfera rıgida, quando se con-sidera o espalhamento a baixa energia. Nesta aproximacao teremos:

σ =4πsen2δ

k2,

=4πδ2

k2,

=4π

K2,

=4πh2

mnBd' 2 barn. (5.126)

Substituindo os valores experimentais resulta uma secao de choque da ordemde 2 barns. A secao de choque experimental no entanto vale 50 barns. Portantocomo o argumento que resultou na secao de choque acima e bastante geral ese baseia unicamente no curto alcance do potencial. A discrepancia entre essesvalores chama a atencao, mas a sua explicacao e muito simples, os nucleonscomo os eletrons possuem spin e portanto o seu efeito deve ser incluıdo noestudo do espalhamento.



5.7 Exercıcios

1. Compare nos sistemas de referencia de laboratorio de centro de massao choque de duas partıculas de massa m1 e massa m2. a) mostre ana-liticamente que o sistema laboratorio e equivalente ao centro de massa,quando a massa do alvo tender para infinito, e que a energia de recuodessa mesma partıcula pode ser desprezada quando a relacao entre mas-sas for muito menor que a unidade. b) Mostre tambem que no caso dechoques entre protons e neutrons, vale a seguinte relacao:

ECM =12ELAB

2. O parametro de impacto de uma trajetoria correspondente a uma deflexaoe dada por:

b(θ) = a cos2(

θ

2

)

Determine σ(θ) e σ.

3. Para neutrons de energia 2,5x10−4eV , as secoes de choque de espalha-mento e de absorcao para as componentes do ar sao:

σe σa

N 11, 5 1, 8O 4, 2 0

Estimar a atenuacao de um feixe de neutrons com essa energia por metrode ar, considerando que a composicao do mesmo e de 80% de N e de 20%de O e a sua densidade vale 1,2 kg/m3.

4. Qual e a energia threshold para a reacao 14N(α, p)17?

5. Um feixe de partıculas alfa incide sobre uma lamina de ouro e e espalhadaa um angulo θ.

a) Mostre que o numero de partıculas espalhadas num angulo solidodΩ,vale: f = σ(θ)n.t.dΩ, onde σ(θ) e a secao de choque diferencial, n,e o numero de nucleos de ouro por unidade de volume e t a espessura dalamina.

b) No experimento de Rutherford considere |dΩ| = 1 mm2 , t = 2, 1 ×10−7 m e f = 3, 7 × 10−7, para θ = 45o e calcule o numero atomico doouro.

6. Discuta o problema da divergencia da secao de choque de espalhamentocoulombiano.


Bibliografia

[1] Marion J.B., Classical Dynamics of Particle and Systems, Academic PressEd. (1965).

[2] Symon K.R., Mecanica, Editora Campus, RJ, (1982)

159

CAPITULO 6

Aceleradores de Partıculas

6.1 Introducao

A historia do desenvolvimento dos aceleradores de partıculas e um dosmelhores exemplos dos avancos cientıficos atingidos pela ciencia moderna du-rante o seculo XX . As duas grandes linhas de aceleradores hoje existentesestao baseados nos trabalhos pioneiros realizados em 1930 por J. Cockroft,E.T.S. Walton [1], Lawrence E.O.[2] e Livingstone M.S. [3], desenvolvendo oacelerador linear com fonte eletrostatica e o ciclotron. Da primeira linha resul-taram os imensos aceleradores lineares, cujo exemplo mais citado e o LINAC deStanford com 3 km de comprimento[4]. Do ciclotron resultaram os aceleradoresde confinamento magnetico como o betatron, chegando aos atuais sincrotrons,acoplados a aneis de armazenamento onde se pode produzir a colisao entre doisfeixes de partıculas com energias que podem alcancar dezenas de TeV .

Os aceleradores e demais equipamentos descritos neste capıtulo ja exis-tem ha muitas decadas mas os princıpios de seu funcionamento ainda estaosendo aplicados nos aceleradores construıdos no presente, seguindo os avancostecnologicos mais modernos como a utilizacao de supercondutores e eletronicadigital avancada.

Os aceleradores de partıculas permitiram o desenvolvimento extraor-dinario da fısica sub-atomica tornando-se um dos exemplos classicos do processocientıfico que caracterizou a evolucao das ciencias fısicas no seculo XX.

Tal como Galileu ha aproximadamente 400 anos, na torre de Pisa, porassim dizer o primeiro acelerador, a realizacao de experimentos nos gigantes-

161


cos aceleradores de hoje tem a funcao de questionar a natureza forcando-a adar a resposta a respeito das dimensoes e estrutura subatomicas. Comparandoos experimentos de queda livre realizados na torre de Pisa com os realizadosatualmente nos modernos aceleradores de partıculas verifica-se que a experi-mentacao foi introduzida de forma definitiva e que os avancos da fısica depen-dem da associacao entre o pensamento cientıfico e os resultados experimentais.

A indagacao mais importante realizada pelos fısicos nos primeiros anosdeste seculo se referia a estrutura atomica. Qual e realmente a estrutura doatomo? Essa pergunta que tem sido feita desde os tempos mais remotos pe-los filosofos gregos e que se repete ate o presente pelos fısicos de partıculas,comecou a ser respondida atraves de experimentos que muito se assemelhamaos realizados nos grandes aceleradores de partıculas de hoje. Os aceleradoresde partıculas nao existiam entao e para realizar os primeiros estudos sobre aestrutura atomica se utilizaram partıculas alfa produzidas por elementos radio-ativos naturais, especialmente o 226Ra, bem como raios cosmicos. As partıculasalfa, que sao ions positivos ao penetrarem em um alvo, por exemplo, umafinıssima folha de ouro, mudavam bruscamente de direcao, como esta mostradona Fig.6.1.a[5]. A correlacao entre os angulos de espalhamento e o numerode partıculas espalhadas mostrou que as mesmas deveriam se chocar com umcampo de forcas muito intenso gerado por um corpo carregado positivamentecom dimensoes muitas vezes menor do que o diametro do atomo. Os resulta-dos desses experimentos, feitos especialmente por Geiger e Marsden, levaramErnest Rutherford e Niels Bohr a propor um novo modelo atomico.

O experimento de Rutherford tem hoje a sua versao moderna para estu-dar a estrutura dos protons. Para isso sao necessarias partıculas bem menores emais energeticas, por exemplo eletrons de 20 GeV . Da mesma maneira que nosexperimentos de Rutherford o espalhamento de eletrons a grandes angulos porprotons permitiu mostrar que os mesmos deveriam, a semelhanca do atomo,possuir uma estrutura interna de objetos pontuais que hoje sao denominamosquarks, conforme nos mostra a Fig. 6.1.b.

Para realizar esta tarefa foi construıdo na California um acelerador gi-gantesco capaz de acelerar eletrons a 20 GeV , o SLAC [6]. Os primeiros ex-perimentos que foram realizados, neste acelerador em 1969, evidenciaram aestrutura interna do proton, uma partıcula ate entao considerada elementar.

Em fısica se designa um objeto como elementar ou partıculaquando nao existe maior indicacao de que ele possua estrutura in-terna. Este conceito e relativo e muda em cada um dos ramos da fısica. Porexemplo: em algumas areas da fısico-quımica os atomos sao elementares e naonecessitam de estrutura interna; na fısica atomica, na qual incluımos todas asareas da materia condensada, os atomos nao sao elementares, em vez disso,possuem uma estrutura eletronica e um nucleo que, em geral, pode ser consi-derado como uma partıcula elementar; na fısica nuclear o interesse na estru-tura do nucleo resultou primeiro na comprovacao da existencia de nucleons, os



Figura 6.1: Espalhamento de Partıculas; (a) Experimento de Rutherford, ondese observam as partıculas incidentes e espalhadas, por uma laminade ouro; (b) experimento de espalhamento de eletrons pela estru-tura interna de um proton a semelhanca do experimento de Ru-therford.

protons e neutrons, como partıculas elementares; para a fısica de partıculas osnucleons possuem uma estrutura interna e as partıculas que sao consideradascomo elementares sao os leptons e os quarks.

A pergunta que se pode fazer neste momento e entao: serao os quarkse os leptons realmente partıculas elementares? Usando aceleradores como oHERA[6] e o LEP[6] se espera responder esta pergunta estudando-se a dinamicade quarks e leptons e verificando-se, realmente, se essas partıculas possuemuma estrutura interna ou se sao realmente elementares. Para que isso se tornepossıvel as partıculas projetil devem analisar estruturas da ordem de 10−18 me portanto devem possuir uma energia que pode chegar a ordem de TeV .

Os raios cosmicos, por sua vez, tambem foram utilizados com grandeinteresse, pois existe a sua continua producao atraves de fontes galaticas.Partıculas como os neutrons, protons, provenientes dos raios cosmicos, atin-gem energias da ordem de 3 × 1020 eV . Um dos exemplos da utilizacao dosraios cosmicos, foi a descoberta dos muons e pıons em 1947 atraves do de-senvolvimento de emulsoes nucleares, com a participacao de Cesar Lattes[7],detetando raios cosmicos em altas altitudes, em Chacaltaya na Bolıvia.

O desenvolvimento cientıfico com aceleradores para o estudo das reacoesnucleares foi, em grande parte, sugerido por experimentos com os raios cosmicos,em virtude das dificuldades devidas ao baixo fluxo de partıculas disponıvel eda necessidade de trabalhar em grandes altitudes.

A fısica e a tecnologia dos aceleradores envolve muitos ramos da ciencia,incluindo o eletromagnetismo, o estado solido, a supercondutividade, a dinamicanao linear, fısica de plasma e muitas outras ciencias correlatas. Alem da fısicade partıculas o desenvolvimento de aceleradores e importante para muitas areascientıficas e tecnologicas, dos quais destacamos, a biologia, medicina e a cienciados materiais. Pode-se destacar a utilizacao ja estabelecida de aceleradores na



radioterapia, esterilizacao de alimentos, tratamento de efluentes, implantacaoionica e litografia.

6.1.1 Tipos de Aceleradores

Existem varias formas de classificar os aceleradores tanto para pesquisacomo para aplicacoes tecnologicas e medicas. A classificacao mais geral deaceleradores lineares e circulares, e muito simplificada pois, em ambos existemmuitas formas tanto de acelerar como de confinar partıculas.

• Lineares Eletrostaticos (DC).

Nestes aceleradores a alta tensao capaz de acelerar partıculas, eletrica-mente carregadas, e feita por eletrodos que criam um campo eletricogerado por uma fonte de tensao de corrente contınua, seja um trans-formador com retificador ou um gerador tipo Greinacher ou mesmo umgerador eletrostatico Van de Graaff.

– Acelerador Cockcroft-Walton (protons ate 2 MeV)

– Acelerador Van de Graaff (protons ate 10 MeV)

– Acelerador tandem Van de Graaff (protons ate 20 MeV)

• Aceleradores de Ressonancia.

O sincronismo entre uma fonte de Radio-Frequencia (RF) e as orbitasdas partıculas pode ser aplicado quando as partıculas tem velocidadesnao relativısticas.

– Ciclotron (protons ate 25 MeV)

– LINAC de eletrons (Linear acelera eletrons de 100 MeV ate 50 GeV).

– LINAC de protons ate 70 MeV

• Aceleradores Sıncronos.

A maioria dos aceleradores para protons e eletrons sao circulares, dotipo sincrotron neles o problema do comprimento, dos lineares e solucio-nado fazendo com que as partıculas passem pelo mesmo acelerador variasvezes. A trajetoria circular e produzida por ımas dipolares que desviama trajetoria e quadrupolares que focalizam o feixe.

– Sincrociclotron (protons ate 750 MeV)

– Sincrotron de protons (protons ate 900 GeV)

– Sincrotron de eletrons (eletrons de 50 MeV a 90 GeV)

– Acelerador com aneis de armazenamento (aceleradores de feixes co-lidentes)



6.2 Fundamentos Fısicos dos Aceleradores

Os aceleradores, de forma generica, podem ser classificados como linea-res ou circulares, quanto a forma da trajetoria das partıculas e eletrostaticosou de radio-frequencia conforme a forma de aceleracao. A maior parte dos pri-meiros aceleradores utilizados em Fısica de Partıculas ou eram do tipo linear oudo tipo circular como o ciclotron. Os aceleradores atuais podem produzir feixesde partıculas com energias que podem variar de MeV ate TeV , podendo atingirfluxos da ordem de 1016 partıculas/(s.mm2). Com esses feixes de partıculas epossıvel investigar a formacao de novas partıculas de novos estados e portantonovas estruturas subatomicas. Antes de apresentar os varios tipos de acelera-dores e importante destacar as razoes que levaram ao desenvolvimento dessasmaquinas. Tanto no experimento de Rutherford, no qual se conseguiram mediras dimensoes nucleares e que levou a um novo modelo atomico, como o des-cobrimento da transmutacao de alguns elementos por Rutherford em 1921 seutilizaram partıculas α obtidas a partir de elementos radioativos naturais. Erelativamente facil estimar a energia das partıculas α capazes de interagir como nucleo atomico pois e necessario que as mesmas ultrapassem a barreira derepulsao colombiana existente entre elas e o nucleo. O potencial eletrico entreuma partıcula alfa e um nucleo de numero atomico Z e dado por

V =1

4πεo

eZ

r. (6.1)

Para que uma partıcula alfa possa atingir a superfıcie de um nucleo atomicoela devera possuir uma energia cinetica igual a

Ek ≥ 14πεo

e2Z

R, (6.2)

na qual R e o raio do nucleo. Para um nucleo qualquer, digamos com Z = 20,se necessitaria uma partıcula alfa que tivesse uma energia cinetica de aproxi-madamente 4 MeV . Este valor nos da uma ideia da energia a partir da qual epossıvel induzir processos nucleares. Vencer esta barreira de potencial foi o pri-meiro argumento utilizado para a construcao de aceleradores de partıculas, masa necessidade de producao de novas partıculas como os mesons[7], ou mesmoo detalhamento da estrutura interna do nucleo, foram argumentos muito maisfortes para a pesquisa de aceleradores que produzissem partıculas com energiacinetica muito maior.

6.2.1 Partıculas com Altas Energias

Dos experimentos do tipo Rutherford se aprendeu que as propriedadesda estrutura nuclear poderiam ser mais profundamente estudadas se os feixesde partıculas fossem mais intensos e a energia cinetica das partıculas projetil



fosse maior do que a disponıvel nas partıculas alfa dos elementos radioativosnaturais.

Para a criacao de um novo estado com massa m se exige pelo menos umaquantidade de energia E = moc

2. No presente nao existe limitacao teorica parao valor da massa ou estado energetico do sistema a ser produzido, portantoaceleradores cada vez mais potentes sao em princıpio o criterio para investi-gar esses limites, as limitacoes basicas dependem dos avancos tecnologicos. Anecessidade de partıculas com energia cinetica muito alta tambem e funda-mental na investigacao da estrutura sub-atomica. Tanto para investigar o tipode partıculas e a sua distribuicao, como os detalhes da estrutura, e impor-tante lembrar que a interacao entre partıculas apresenta um caracter mecanicoquantico fundamental. Torna-se portanto importante explorar a relacao entre aenergia das partıculas que interagem num acelerador e as dimensoes do sistemasubatomico a ser investigado. Para isso vamos realizar um exercıcio instrutivode mecanica quantica elementar.

O comprimento de onda de de Broglie de uma partıcula cuja quantidadede movimento vale p e dado por: λ = h

p onde h e a constante de Planck. Osdetalhes da estrutura que se quer observar, que na otica fısica chamamos deresolucao, esta ligado ao seguinte criterio:

λ ≤ d (6.3)

Para observar, ou ver, uma estrutura interna de dimensao d, devemos entaousar uma partıcula cujo momento linear permita que ela tenha o comprimentode onda da ordem dessa dimensao portanto,

p ≥ h

d. (6.4)

Como consequencia quanto menor for a estrutura a observar maior deveser a energia cinetica da partıcula, ou momento. Por exemplo, para observardetalhes do tamanho nuclear, 1 fm = 10−15m, qual a energia dos protons uti-lizados como sonda? Como exercıcio de fixacao imaginemos que estejamos uti-lizando um acelerador de protons de alta velocidade e que queiramos observaras dimensoes de hadrons. Considerando que possamos utilizar a aproximacaonao relativıstica a energia cinetica mınima dos protons deve ser da ordem deEk = h2/(2md2) ' 20MeV . Neste caso, a aproximacao nao relativıstica eviavel pois a energia cinetica vale aproximadamente 2% da energia em repousodo proton (939MeV ). Os maiores aceleradores atuais podem acelerar protonsa energias da ordem de TeV , o que permitira observar estruturas internas doproton, com dimensoes de 10−3 fm = 10−18 m.

O desenvolvimento teorico do estudo da estrutura fundamental das par-tıculas levaram Gell-Mann e George Zweig[8] a propor uma nova estrutura paraos hadrons as partıculas que sofrem a acao de forcas nucleares. Para eles oshadrons consistiam na combinacao de trıades de quarks. Como consequencia



Figura 6.2: Princıpio de funcionamento de um acelerador de partıculas tipolinear.

da necessidade de investigar dimensoes cada vez menores tornou-se necessarioa utilizacao de aceleradores que permitam obter energias da ordem de GeV oumesmo TeV.

Em princıpio a aceleracao de uma partıcula resulta da forca aplicada porum campo eletrico. Na Fig. 6.2 apresentamos o princıpio de funcionamentode um acelerador no qual se pode observar que a energia adquirida por umapartıcula simplesmente depende do potencial existente entre dois eletrodos ca-paz de controlar a energia cinetica da partıcula atraves do controle do potencialde aceleracao. Quando se trata de acelerar eletrons a fonte de partıculas podeser um simples filamento incandescente, como esta representado nessa Fig. 6.2.

Quando se tratar de ions positivos a fonte e um tubo de descarga gasosaonde se forma um plasma de hidrogenio, deuterio ou mesmo helio. Em todosos casos a extracao e aceleracao das partıculas carregadas e feita por camposeletricos adequados. Na pratica, o maximo potencial que pode ser utilizadodessa maneira alcanca o valor da ordem de alguns MeV. A origem dessa li-mitacao esta na formacao de arcos voltaicos entre os eletrodos. Para alcancarmaiores energias torna-se necessario acelerar as partıculas em varios estagios eisto pode ser conseguido colocando varios aceleradores lineares em serie em vezde aumentar a diferenca de potencial entre eletrodos. Assim resulta no tipo deacelerador denominado genericamente de LINAC, ou acelerador linear.

6.2.2 Energia Efetiva de Colisao

A producao de novas partıculas, ou melhor de novos estados, so e possıvelcom altas energias, especialmente partıculas de grande massa. E importante



lembrar que existem outros objetivos alem dos de produzir partıculas nasreacoes do tipo pp, pp, ou mesmo e−e+, a altas energias se produz uma di-versidade muito grande de partıculas secundarias, de grande interesse para afısica de partıculas.

Quando uma partıcula acelerada com energia Ei se choca com outra numalvo fixo, a energia total disponıvel no referencial do centro de massa (CM) seradada por,

ECM =√

2Elabi mc2. (6.5)

A energia disponıvel para a producao de novas partıculas e a energiaarmazenada no centro de massa. Pela Eq. 6.5, se observa que a producao denovos estados em aceleradores de alvos fixos e muito difıcil visto que

ECM ∝√

Elab. (6.6)

Um exemplo e o acelerador do Fermilab, onde choques de protons de500GeV contra alvos fixos, produzem apenas aproximadamente 30GeV de ener-gia no CM .

Para os aceleradores de feixes colidentes, a Eq. 6.5, e substituıda por,

ECM = 2Elab. (6.7)

O conceito de alta energia evoluiu ao longo da historia da fısica departıculas elementares. A experiencia que permitiu observar pela primeira vezanti-protons, foi realizada em 1955 no Bevatron de Berkeley, atraves da reacaop− p,

p + p → p + p + (p + p). (6.8)

Esta reacao foi realizada com protons de 6, 5 GeV/c2, o que corresponde a3, 75GeV no CM . Por este trabalho Emılio Segre e Owen Chamberlain gan-haram o premio Nobel de fısica em 1959. Um criterio aceito para definir altasenergias, e considerar que a energia no centro de massa

√s seja muito maior

do que 1GeV . A obtencao de partıculas de altas energias, pode ser feita utili-zando os chamados aceleradores naturais atraves da radioatividade e dos raioscosmicos, ou atraves de aceleradores. Como a emissao de partıculas dos ele-mentos radioativos e da ordem de MeV , hoje so existem duas possibilidadesde realizar experimentos em altas energias, ou utilizando raios cosmicos ouaceleradores.

A vantagem dos aceleradores esta relacionada com o controle do feixede partıculas, tanto temporal como local. No entanto deve-se lembrar que naoexistem aceleradores capazes de atingir as energias nos raios cosmicos, mesmonos aceleradores mais sofisticados. Um dos exemplos mais notaveis da utilizacaode raios cosmicos foi a observacao de mesons feita por Cesar Lattes em 1947.



Colisao no Centro de Massa

Para uma partıcula unica, E2 = ~p2c2 + m2c4, onde m e a massa emrepouso. Para a colisao entre duas partıculas A e B, o quadrimomento totaldo sistema de laboratorio e dado por,

P 2 = (EA + EB)2 − (~pA + ~pB)2 (6.9)= E2

A + E2B + 2EAEB − p2

A − p2B − 2~pA~pB (6.10)

= m2A + m2

B + 2EAEB − 2~pA~pB . (6.11)

O valor de (P 2) e um invariante de Lorentz em qualquer sistema de referencia.No sistema de referencia de centro de massa, temos

∑~p = 0, por definicao.

Para uma energia total E∗ no sistema de CM , entao,

P 2 = E∗2. (6.12)

mas como P 2 e o mesmo nos dois sistemas de referencia, chega-se a um valorda energia medida no CM ,

E∗2 = m2A + m2

B + 2EAEB − 2~pA~pB . (6.13)

Alvo em Repouso

Na Eq. 6.13, se a partıcula alvo B esta em repouso no sistema de labo-ratorio, EB = mB , portanto ~pB = 0, portanto,

E∗2 = m2A + m2

B + 2EAmB . (6.14)

No caso de partıcula projetil A altamente relativıstica, EA À mA e mB ,pode-se simplificar a Eq. 6.14 para,

E∗ =√

2EAmB . (6.15)

Um exemplo importante, que pode ser dado num acelerador de protons de1/;TeV quando se chocam contra um alvo fixo de protons,

E∗ =√

2× 1000GeV × 0, 338 = 43, 3GeV,

portanto so 43, 3GeV sera disponıvel para a reacao.

Feixes Colidentes

Considerando que dois feixes de partıculas A e B possuam a mesmaenergia e momentos contrarios,

EA = EB e ~pA = −~pB ,



e que ambas partıculas sao relativısticas, portanto EA À mA e EB À mB ,

− 2~pA~pB = 2~p2A ' 2E2

A (6.16)E∗2 = 2EAEA + 2E2

A = 4E2A (6.17)

E∗ = 2EA = EA + EB . (6.18)

Esta ultima expressao e obvia ja que, neste caso, os dois sistemas sao identicos.Por exemplo, utilizando dois feixes de protons de 500GeV se chocando fron-talmente, obtem-se uma energia de 1TeV para a reacao, o que vem a ser umagrande vantagem.

6.2.3 Luminosidade

O desempenho de um acelerador esta relacionado a duas variaveis igual-mente importantes, a primeira e a energia na qual se realiza a colisao. A esserespeito os aceleradores de feixes colidentes nao tem competidor. A segundavariavel igualmente importante e a luminosidade, ou numero de eventos, porunidade de tempo e por secao de choque. E nesse caso a luminosidade dasmaquinas de alvo fixo e muito maior do que a de alvos colidentes, chegando aser 106 vezes maior.

A luminosidade mede a clareza do feixe, ou seja e proporcional a proba-bilidade de interacao (taxa), entre partıculas que se chocam, por unidade dearea em um processo de colisao. Utilizando o modelo simplificado dos feixescolidentes pode-se definir a luminosidade como a taxa de interacao por unidadede secao de choque.

Para dois feixes de area transversal identica que se chocam frontalmente,cada um dos feixes observa uma fracao do outro feixe, Nσ/A, onde N e adensidade de partıculas no feixe, σ a secao de choque da interacao e A a areatransversal do feixe.

A taxa de interacoes no choque dos dois feixes, considerando que a den-sidade de partıculas e a mesma, e dado por:

R = fN2σ

A, (6.19)

em que f representa a frequencia de interacao dos dois feixes de partıculas.Dessa forma pode-se definir a luminosidade como sendo,

L = fN2

A, (6.20)

portanto a taxa de interacoes pode ser calculada, de forma simplificada, multi-plicando a luminosidade do acelerador pela secao de choque da reacao nuclearem consideracao:

R = σL (6.21)



Os aceleradores de feixes colidentes, do CERN e do Fermilab presentes naTabela 6.1 possuem uma luminosidade da ordem de L ∼ 1030.

A luminosidade integrada no tempo e a medida da quantidade de da-dos coletados, pois o numero total de eventos, n ocorridos durante um dadointervalo de tempo pode ser calculado por,

n =∫

Rdt = σ

∫Ldt, (6.22)

n

σ=

∫Ldt [barn−1]. (6.23)

Portanto a luminosidade integrada no tempo, pode ser medida pela relacaoentre o numero total de eventos e a secao de choque de uma dada reacao.

Tabela 6.1: Exemplos de parametros de alguns aceleradoresNome TEVATRON SLC LEP HERA KEKB LHCAno de inıcio 1987 1989 1989 1992 1999 2005Energia (TeV ) 1.0 0.1 0.05 0.300 0.008 20Partıculas pp e−e+ e−e+ e−p e−e+ ppLuminosidade∗ 210 2.5 50 14 10000 10000Tipo circ lin circ circ lin circComprimento∗∗ 6.28 1.45 26.66 6.336 3.016 26.66

∗(1030cm−2s−1); ∗∗(km)

6.2.4 Moderacao do feixe de Partıculas

Um dos problemas dos aceleradores de feixes colidentes esta na obtencaode um feixe de partıculas suficientemente denso. Este problema e crıtico naproducao de anti-protons em feixes bem colimados pois, no processo de suaproducao, sao produzidos com um espectro de energia que parece um gasaquecido, com direcoes completamente desordenadas. Para poder injeta-losna forma de um feixe colimado e com um espectro de energia adequado e ne-cessario resfriar ou moderar o feixe de partıculas. Este processo, conhecido por”cooling”, permite que o feixe seja injetado em aberturas muito pequenas doacelerador. Existem algumas tecnicas especiais para produzir a moderacao dofeixe, entre elas destacam-se a moderacao eletronica, a moderacao estocasticae a moderacao por ionizacao.

• Moderacao Eletronica.

Na moderacao eletronica, o feixe de partıculas que necessitam moderacao,interage com um feixe de eletrons frios perdendo a sua energia, ou seja,



sendo moderado. O primeiro acelerador de feixes colidentes, proton-proton o ISR, operou no CERN de 1972 a 1986 atingindo energias de62 GeV. Melhores resultados ainda foram obtidos como o primeiro acele-rador do mesmo tipo, mas com feixes proton-antiproton de 1981 a 1986.O sucesso destes aceleradores se deve principalmente ao desenvolvimentode metodos de moderacao eletronica propostos na Russia em Novosibiriskem 1965. O processo, conceitualmente e muito simples e consiste em fazer,num trecho reto do anel de armazenamento proton-antiproton, um feixede eletrons de baixa temperatura, paralelo ao feixe proton-antiprotonpossa, em um tempo igual ao tempo de relaxacao, resfriar e concentrar ofeixe de anti-protons.

• Moderacao Estocastica.

No caso da moderacao estocastica, ao longo do feixe se colocam sensores eeletroımas conectados que permitem a correcao magnetica da velocidadedas partıculas quentes. O processo estocastico nada mais e do que umprocesso de controle externo do feixe. O processo foi inventado por Simonder Meer em 1981 no CERN.

• Moderacao por Ionizacao.

A moderacao por ionizacao e produzida pela perda de energia por io-nizacao produzida por partıculas eletricamente carregadas ao atravessarum dado material. A sua aplicacao se restringe na moderacao de feixesde muons, em feixes colidentes muon-muon, muon-proton, etc.

6.2.5 Experimentos com Alvos Fixos e Feixes Colidentes

Experimentos com Alvos Fixos

Estes sao os experimentos historicos mais utilizados na fısica de partıculas,nos quais um feixe de partıculas produzido por um acelerador se choca contraum alvo fixo e externo. Neste processo podem ser produzidas diferentes tiposde partıculas, como pıons, antiproton, kaons, positrons, muons e neutrinos. NaFig. 6.3, pode-se observar a geometria desses experimentos, de alvo fixo, com ageracao de um novo feixe de partıculas, gerado a partir da escolha de um alvoe de um feixe de partıculas incidentes sobre o mesmo.

Experimentos com Feixes de Partıculas Colidentes (Collider)

Neste tipo de acelerador dois feixes de partıculas sao injetados num anelde armazenamento de tal forma que possam girar em sentidos opostos, como emostrado na Fig. 6.12. Esse processo pode ser realizado num unico anel, compartıculas e anti-partıculas girando em sentidos opostos, ou em aceleradorescom aneis entrelacados, capazes de permitir colisoes frontais de dois feixes,



Figura 6.3: Geometria de aceleradores de alvo fixo.

como se mostra na Fig. 6.4. Observem que a geometria de feixes colidentes epossıvel tanto em aceleradores lineares como circulares.

Figura 6.4: Geometria de feixes colidentes, em aceleradores lineares e circulares.

6.3 Aceleradores Lineares

Um acelerador do tipo linear basico, como o representado na Fig. 6.2,acelera as partıculas utilizando um campo eletrico estatico. Nesse acelerador aenergia adquirida pelas partıculas e dada por,

E = qV, (6.24)

onde q e a carga da partıcula e V a diferenca de potencial entre os eletro-dos, entre os quais se estabelece um campo eletrostatico. As condicoes basicaspara acelerar partıculas exigem, portanto, a existencia de um campo eletricoe de uma fonte de partıculas com carga eletrica. Para que a propagacao daspartıculas, em um feixe, possa ocorrer sem dispersao e necessario que a ace-leracao ocorra em uma cavidade com alto vacuo. Surgem portanto as duas



Figura 6.5: Princıpio de funcionamento de um acelerador de partıculas tipolinear utilizando um oscilador de RF. (1) Gerador RF, (2) Fonteionica; (3) Alvo.

maiores dificuldades tecnicas para construir um acelerador simples, manteruma diferenca de potencial muito alto e manter o sistema em alto vacuo. Nosaceleradores eletrostaticos as limitacoes praticas de potencial muito altos estaligada a geracao de arcos induzidos e descargas por efeito corona que impe-dem o uso de tensoes superiores a 20 MV . Por isso, muito cedo, se optou porcampos eletricos que utilizam fontes de radio frequencia (RF ).

Nos aceleradores do tipo linear com fontes de RF se utilizam cavidadessucessivas e sincronizadas, de tal maneira que as partıculas encontrem a pola-ridade adequada para acelerar, passando atraves de pequenos aceleradores emserie. O principal problema dos aceleradores do tipo linear com fontes de RFe a emissao radiacao de RF com uma potencia dada por:

P = ωrfCV 2, (6.25)

na qual ω e a frequencia de RF , C a capacitancia e V a diferenca de potencial.Como se observa as perdas por radiacao aumentam com a frequencia. Cadacavidade produz uma campo eletrico longitudinal numa frequencia que em geralvaria de 100 kHz a 30 Ghz.

Uma partıcula com carga e ganha ou perde uma energia ∆E, quandoatravessa a cavidade dada por:

∆E = eV, (6.26)

em que,V = Vosen(ωrf t + φ).

A aceleracao, dessa maneira, e obtida por sincronizacao da frequencia eajuste de fase. A sincronizacao e obtida ajustando a frequencia com a veloci-dade da partıcula e o ajuste de fase feito entre a fase e o pulso de partıculas.

6.3.1 Aceleradores Cockroft Walton

Este tipo de acelerador foi o primeiro a ser utilizado e nele um potencialestatico e o responsavel pela aceleracao de ıons. O acelerador consta funda-



mentalmente de uma fonte de alta tensao, uma fonte de ıons e uma colunaaceleradora desses ıons. Alem destes elementos basicos o acelerador possuiainda um sistema de vacuo, um sistema de controle do feixe ionico e um alvo,conforme pode ser observado na Fig. 6.6. A fonte de alta tensao e formada porum transformador e retificador, cuja tensao e em geral da ordem de 100 kV a1 MV . Existem varias formas de retificacao e de multiplicacao de tensao sendoo mais simples o retificador de meia onda. A fonte de ıons necessarios para oacelerador em geral e de ionizacao por radiofrequencia, cuja versao primitivaesta esquematizada na Fig. 6.7. Nela um campo eletromagnetico produzidopor uma bobina produz ionizacao de um gas contido em um tubo de quartzo.Para a producao de protons o gas hidrogenio e utilizado.

A coluna de aceleracao esta esquematizada na Fig. 6.8, onde se observaque o campo eletrico gerado pela fonte DC e variado por uma cadeia de resis-tores. Nesta coluna alem da aceleracao o campo eletrico tambem deve impedira dispersao dos ıons, ou seja deve produzir uma certa colimacao do feixe ionico.Em um diagrama esquematico, na Fig. 6.9, se observa o esquema simplificadode um gerador de neutrons cujo acelerador e do tipo Cockroft-Walton. Esteacelerador e transformado em um gerador de neutrons ao acelerar ıons deuterio,em um alvo de trıtio, utilizando a reacao nuclear:

D + T → α + n.

Figura 6.6: Princıpio de funcionamento de um acelerador Cockroft-Walton.

6.3.2 LINAC

Quando se deseja acelerar partıculas a altas energias basta multiplicaro numero de campos eletricos como o da Fig. 6.2 e coloca-los em serie. A



Figura 6.7: Fonte ionica, utilizando uma oscilador de RF.

importancia deste acelerador e tal que, hoje em dia, praticamente todos osgrandes projetos sao baseados em aceleradores do tipo sincrotron. O LINAC,esquematizado na Fig.6.5, consta de uma serie de tubos cilındricos, condutoreseletricos, conectados a um oscilador de RF. A polaridade dos tubos e alterna-damente trocada fazendo com que um ıon seja acelerado ao longo do seu eixo.O campo eletrico no interior dos tubos e nulo, portanto a aceleracao ocorreno espaco entre os tubos onde o campo eletrico se alterna na frequencia dooscilador de RF.

Uma partıcula com carga eletrica q adquirira uma energia cinetica nqV ,onde n e o numero de pares de tubos e V a diferenca de potencial entre umpar de tubos. Como a velocidade dos ıons e crescente o comprimento dos tubostambem o deve ser para que os ıons cada vez que penetrem no campo eletricoo facam em fase com o mesmo. Portanto o comprimento dos tubos deve valerL = v.T

2 onde v e a velocidade da partıcula e T o perıodo do oscilador de RF.Supondo que o valor de v rapidamente se aproxime de ”c”, o comprimento L seaproximara de c.T

2 . Um exemplo importante deste tipo de maquinas e o LINACconstruıdo na Universidade de Stanford, que possui 3 km de comprimento eacelera eletrons a 20 GeV .



Figura 6.8: Campo eletrostatico, colimador e acelerador em um aceleradorCockroft-Walton.

6.4 Aceleradores Circulares

6.4.1 Ciclotron de Lawrence

O ciclotron que utiliza um campo magnetico constante, como o mo-strado na Fig. 6.10 possui uma fonte de RF cuja frequencia fundamental, oufrequencia do ciclotron, e dada por:

ωo =eBo

γm(6.27)

Onde, para partıculas nao relativısticas, γ ≈ 1 . A fonte de RF aplicada aosdois eletrodos em forma de D deve possuir numa frequencia multipla inteira deωo. O primeiro ciclotron foi idealizado por E.O. Lawrence construıdo por seuestudante de doutorado M.S. Livingston. Os ıons eram atomos de hidrogenioionizados (protons) acelerados por 80 kV . Cada ıon e acelerado duas vezesem cada trajetoria circular completa e o tamanho desse primeiro aceleradorpermitia que os ıons percorressem pelo menos 40 trajetorias completas. Em1931, Lawrence, por seus resultados com esse prototipo, recebeu uma bolsa deUS$ 500 que lhe permitiu desenvolver tanto o oscilador de RF como novoseletroımas. Este acelerador e provavelmente o mais conhecido de todos os ace-leradores, por ser um dos exemplos classicos da aplicacao do eletromagnetismoe o princıpio de seu funcionamento pode ser encontrado em quase todos oslivros de eletromagnetismo basico. A historia do desenvolvimento do ciclotronde Lawrence e talvez um dos capıtulos mais interessantes da fısica moderna,pois permitiu alem dos conhecidos avancos da fısica nuclear e de partıculas, oavanco de areas multidisciplinares com a aplicacao de fısica nuclear. O labo-ratorio Lawrence Berkeley Laboratory (LBL) [9] criado a partir do trabalho de



Figura 6.9: Gerador de Neutrons baseado em uma acelerador Cockroft-Walton:1) eletrolizador; 2) fonte ionica; 3) oscilador de RF; 4)tubo de ace-leracao; 5) alvo rotativo; 6) sistema de vacuo; 7) blindagem; 8)unidade de vacuo; 9) fonte de alta tensao.

Lawrence permitiu avancos na medicina, biologia, ciencia dos materiais e fısicade altas energias.

O ciclotron usa para aceleracao das partıculas um campo eletrico dealta frequencia, enquanto que um campo magnetico e utilizado para produzirtrajetorias curvas, mantendo as partıculas confinadas. Quando uma partıculade carga q e de energia cinetica Ek se move num plano perpendicular a umcampo magnetico constante B, realizara um movimento circular de raio R,com velocidade angular ω. Consequentemente a forca de natureza magneticasera igual a centrıpeta;

B.q.v =mv2

R, (6.28)

onde o perıodo para realizar uma orbita completa sera dado por

T = 2πR

v=

2πm

qB

e, portanto, a frequencia angular ω sera dada por:

ω =qB

m. (6.29)

Como consequencia do perıodo ser independente do raio da trajetoria, teremosas partıculas sempre em fase com a fonte de RF que cria o campo eletrico,



fazendo sempre com que as partıculas penetrem na cavidade de RF no instanteem que o campo eletrico for maximo.

Para velocidades muito baixas, a massa relativıstica se confunde coma massa em repouso e portanto o isocronismo e mantido com um campo Bconstante e homogeneo. Por outro lado se for necessario aplicar a correcao re-lativıstica, e preciso aplicar um campo de RF de menor frequencia para corrigiro aumento relativıstico de massa. Para contornar este problema foram cons-truıdos ciclotrons com campo magnetico nao homogeneo, mantendo-se dessamaneira o isocronismo da trajetoria.

A Fig.6.10 mostra o esquema simplificado de um ciclotron. A fonte deıons esta localizada entre duas pecas em forma de D que fazem a parte deeletrodos do oscilador de RF. O conjunto de ”Ds”esta localizado no interiorde uma camara de vacuo, situada entre os polos de um eletroıma. Para queocorra aceleracao ressonante das partıculas, os ıons realizam meia rotacao nocampo magnetico em um tempo igual ao semi-perıodo do oscilador. A chavepara operacao do ciclotron e que a frequencia com que os protons circulam nocampo magnetico deve ser igual a frequencia fosc do oscilador de RF . A Eq.6.29, nos permite entao escrever que qB = 2πmfosc. Usualmente o ciclotron econstruıdo para uma unica frequencia fosc, portanto, a aceleracao de partıculasde massa m e carga q deve ser feita fazendo-se a sintonia, variando B ate queessa relacao seja atingida.

Continuando o exercıcio instrutivo de mecanica quantica elementar, agoraaplicada ao ciclotron, podemos escrever que uma partıcula que atingiu o mo-mento linear p = mv devera girar em uma trajetoria cujo raio e dado por:

R =mv

qB. (6.30)

Como o comprimento de onda de De Broglie vale λ = h/p pode-se escrever aseguinte relacao:

Rλ =h

qB. (6.31)

Considerando ainda que se utilize um nucleo de ferro para a construcao doeletroıma, o valor de B estara limitado pela saturacao do ferro de 1 a 2 Tesla.Portanto teremos o produto Rλ da ordem de 4 × 10−16m, ou seja, se quiser-mos investigar dimensoes hadronicas necessitaremos de um ciclotron de raio daordem de 4 m.

6.4.2 Sincrotron

Os aceleradores lineares podem produzir feixes de partıculas, teorica-mente com qualquer energia cinetica, mas o seu preco cresce vertiginosamentecom o valor de energia a atingir. Por isso foi possıvel desenvolver a par-tir da ideia original do ciclotron de Lawrence, um acelerador cuja trajetoria



Figura 6.10: Esquema do Ciclotron construıdo por Lawrence e Edelfsen.

das partıculas permitisse utilizar o mesmo acelerador linear varias vezes, emcontraste com o LINAC que utiliza varios campos em serie, passando o feixeuma unica vez por todos eles. O sincrotron desenvolvido em 1945, indepen-dentemente por dois pesquisadores McMillan e Vksler [10][11], possui os seuelementos fundamentais, acelerador linear e campos magneticos, como estamostrado na Fig.6.11. O sistema injetor de partıculas, em geral e um acele-rador linear, por exemplo um acelerador do tipo Cochroft-Walton, que enviapartıculas para um anel de confinamento com uma certa energia cinetica inicial.O confinamento e produzido por campos magneticos dipolares que produzemuma trajetoria circular em forma de anel enquanto que os campos magneticosquadrupolares mantem o feixe colimado. As partıculas sao aceleradas por umnumero de cavidades de RF sendo o raio de curvatura produzido pela deflexaode cada dipolo magnetico menor do que o raio da trajetoria ou anel. Apos ainjecao de partıculas com energia Ek, e momento linear p, a partıcula e man-tida em orbita circular, atraves da aceleracao centrıpeta, emitindo portantoradiacao eletromagnetica, ou radiacao sincrotronica. A energia emitida porunidade de tempo por uma partıcula de carga q, movendo-se em orbita circular



Figura 6.11: Sincrotron e seus elementos principais.

com velocidade tangencial v e dada por:

dE

dt=

2q2

3R2

β4

(1− β2)2, (6.32)

onde β = v/c. Quando as partıculas atingirem velocidades relativısticas pode-remos escrever a expressao 6.32 da seguinte maneira:

dE

dt≈ 2q2c

3R2

[E

mc2

]4

, (6.33)

Nos aceleradores do tipo Sincrotron, pode-se acelerar eletrons e protons,mas a energia perdida pela aceleracao dos eletrons e intensamente maior doque a perdida por protons como nos mostra a relacao a seguir:

δEe

δEp=

m4p

m4e

≈ 1013. (6.34)

Esse fato faz com que os sincrotrons se tornem, como aceleradores de eletrons,extremamente uteis como fontes de radiacao eletromagnetica, com amplo usoem investigacoes de estado solido, medicina, biologia, ciencia dos materiais. OLaboratorio Nacional de Luz Sincrotron, [12] em Campinas, possui um acele-rador desse tipo desenvolvido inteiramente no Brasil.



6.4.3 Aneis de Armazenamento e Aceleradores de FeixesColidentes

A utilizacao de aneis de armazenamento, faz com que partıculas se-jam mantidas circulando por perıodos longos fazendo aumentar a densidadede partıculas em feixes colidentes. No caso dos aceleradores de feixes coli-dentes, dois feixes de partıculas em direcoes opostas se chocam maximizandoa energia da reacao no sistema de referencia do centro de massa.

Para realizar reacoes do tipo e−e+ e pp, e possıvel utilizar um unicoanel fazendo com que as partıculas circulem em trajetorias contrarias as anti-partıculas, utilizando os mesmos ımas defletores, pois as partıculas e suas anti-partıculas possuem a mesma massa e mesma carga. Para choques entre e±p epp, sao necessarios dois aneis com diferentes ımas.

A grande quantidade de energia dispersa pelo choque de um ıon acele-rado contra um alvo fixo se torna um limitante para aceleradores de alvo fixo.Quando uma colisao e vista do ponto de vista do centro da massa, quando duaspartıculas da mesma massa e aceleradas com a mesma energia cinetica, se cho-cam a soma das suas energias estara disponıvel totalmente para a realizacao dareacao desejada. Portanto para obter, por exemplo 100 GeV , sao necessariosobter duas partıculas que viajem em sentidos opostos com 50 GeV cada uma.Colisoes desse tipo podem ser obtidas utilizando um unico sincrotron mas comum anel da armazenamento, cuja estrutura e semelhante a do sincrotron, comsuas lentes focalizadoras, e pelo menos uma cavidade da RF para aceleracaodas partıculas, que supra a energia perdida por radiacao. As instalacoes dessetipo permitem o armazenamento das partıculas e anti-partıculas em um unicoanel, em trajetorias com percurso contrario, que permitam realizar choques deprotons e antiprotons, positrons e eletrons etc...

Na Fig. 6.12 o esquema do anel do tipo existente no CERN[14] deno-minado ISR (Intersecting Storage Ring) nos mostra o esquema de percurso dedois feixes de partıculas, de protons de 28 GeV produzidos por um sincrotronsao extraıdos tangencialmente e injetados no anel de armazenamento. Esteprocesso pode ser realizado em duas direcoes diferentes, o que permite criar noanel ISR dois feixes da partıculas que se superpoem ao mesmo tempo, e emum dado momento possam colidir. A enorme quantidade de energia disponıvelproduzida em aceleradores e aneis de armazenamento de partıculas permitea realizacao de experimentos para a verificacao da eletrodinamica quantica aaltas energias, do estado de aniquilacao de eletrons e positrons com formacaode mesons K e π e finalmente possibilitar a verificacao das propriedades dequarks e gluons.



Figura 6.12: Esquema simplificado de um sincrotron com anel de armazena-mento existente no CERN.

6.5 Problemas Tecnicos dos Aceleradores

6.5.1 Colimacao e Focalizacao

A construcao de um acelerador envolve inumeros problemas cientıficos etecnologicos, que o leitor podera encontrar na literatura especializada, no en-tanto, podemos entender perfeitamente que um dos maiores problemas e, semduvida, manter o feixe de ıons colimado especialmente no caso dos sincrotonscom quilometros de comprimento. Para manter um feixe ionico colimado efocado se utilizam lentes eletromagneticas dipolares para a semelhanca de umprisma desviar o feixe ionico, e com campos magneticos quadrupolares foca-liza-los. Os dois processos sao mostrados na Fig. 6.13. O campo magneticoobtido por cada peca quadrupolar, colima o feixe segundo um plano, portantoassociando dois desses ımas em serie com o eixo defasado de 90 se poderacolimar o feixe Ionico em dois planos.

6.5.2 Radiacao Eletromagnetica

Quando uma partıcula carregada e acelerada produz ondas eletromagne-ticas, tanto na aceleracao linear como a radial. No caso dos aceleradores circu-lares, a aceleracao devida a mudanca contınua de direcao, produz a chamadaradiacao de sincrotron, ou como usualmente se denomina, luz sıncrotron.



Figura 6.13: Colimacao do feixe ionico em um acelerador de partıculas: a)campo dipolar para desvio e b) lente quadrupolar para focalizar ofeixe de partıculas.

A perda de energia por essa modalidade obedece a seguinte relacao:

Es ∝ 1m4

(6.35)

A radiacao sıncrotron dependendo da massa, dessa forma, sera muito maisintensa para aceleradores de eletrons, comparativamente com os protons,

Es(por eletrons) ≈ 1013Es(por protons) (6.36)

A solucao para minimizar essa perda e construir aceleradores lineares de eletrons.Mas apesar de ser um entrave no desenvolvimento de aceleradores de altas ener-gias para a fısica de partıculas, nas aplicacoes de materia condensada, a geracaode luz sıncrotron tem enormes aplicacoes, pois permite produzir luz no infra-vermelho no visıvel, ultravioleta e raios x.

6.6 Informacoes sobre os Aceleradores Impor-tantes

Quando se fala de aceleradores de grande importancia imediatamentese destacam os aceleradores dos laboratorios FERMILAB, SLAC e BNL nosEstados Unidos. Na Europa se destacam os aceleradores do CERN na Suıca.Existem muitos outros centros, tanto na Russia como no Japao e na China.Todos os grandes laboratorios possuem sites educativos na Internet, que seriainteressante acessar. Na Tabela 6.2 encontram-se os sete aceleradores maisimportantes da atualidade, e algumas de suas caracterısticas.



Tabela 6.2: Exemplos de alguns aceleradores de grande porte de feixes coli-dentesNome Partıculas Energias Local StatusSLC e+e− 50+50 GeV Stanford - USA FinalizadoLEP e+e− 100 + 100GeV CERN Suıca FinalizadoTevatron pp 1+1TeV Fermilab USA Em utilizacaoHera e±p 30 + 820GeV DESY-Hamburg Em utilizacaoPEP II e+e− 9 + 3.1GeV Stanford USA Em utilizacaoKEKB e+e− 8 + 3.5GeV Tsukuba Japao Em utilizacaoLHC pp 7 + 7TeV CERN - Suıca Em construcao

No Brasil possuımos pequenos aceleradores em varias Universidades,destacando-se o Pelletron da USP, e o acelerador de luz sincrotronica (LNLS)em Campinas. Luz sıncrotron e a intensa radiacao eletromagnetica produzidapor eletrons de alta energia num acelerador de partıculas. Em Santa Mariapossuımos um pequeno acelerador eletrostatico do tipo Cockroft-Walton, uti-lizado como gerador de neutrons.



6.7 Exercıcios

1. Um acelerador de eletrons deve ser construıdo para discriminar dimensoeslineares de 0, 15 fm. Qual devera ser a energia cinetica necessaria? Es-colha um tipo de acelerador e defina a tensao aceleradora que o mesmodeve ter.

2. Descreva uma fonte ionica tıpica, indicando o processo envolvido naproducao de partıculas, exemplificando para uma fonte de eletrons e outrade protons.

3. Um feixe de protons cuja energia cinetica e de 100 GeV penetra entreos polos de um ıma com um campo magnetico de 1 T : a) calcule oraio da deflexao do feixe; b) calcule a frequencia angular e o raio datrajetoria; c) No estudo movimento das partıculas, devem ser levadas emconsideracao correcoes relativısticas; d) que ordem de dimensao poderaoser investigadas por este acelerador?

4. Discuta em bases fısicas, quais as vantagens e desvantagens dos acelera-dores lineares e circulares.

5. Um dos problemas tecnicos dos aceleradores e a producao de radiacaoeletromagnetica danosa a saude. a) Explique quais os mecanismos deproducao de radiacao eletromagnetica nos aceleradores. b) Como se po-dem proteger os operadores e o ambiente. c) Considerando no caso de umacelerador de eletrons de 6MeV , para o tratamento radioterapico, quaisas radiacoes mais importantes produzidas e o espectro de sua energia?


Bibliografia

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CAPITULO 7

Detetores de Radiacao

Os detetores de partıculas tem a funcao de registrar, com a maior pre-cisao possıvel as propriedades das partıculas que sao produzidas em reacoesnucleares. Nos experimentos realizados em grandes aceleradores, muitas vezes,o numero de partıculas e o tempo de medida em cada experimento sao muitopequenos fazendo com que a informacao coletada tenha que ser analisada comuma eletronica muito rapida. De forma simplificada podemos dizer que parareconstruir um estado final produzido no acelerador, necessitaremos das quan-tidades de movimento, das massas e da carga eletrica das partıculas envol-vidas. A variedade de tecnicas utilizadas na detecao de partıculas e muitogrande e portanto necessitam-se diferentes tipos de detetores, cujos princıpiossao apresentados na bibliografia especializada[1][2] e em forma de divulgacaocientıfica[3].

A historia do desenvolvimento dos detetores de partıculas correu para-lela ao desenvolvimento da fısica nuclear experimental. Sem um detetor seriaimpossıvel quantificar as observacoes experimentais pioneiras sobre radioativi-dade. Para realizar os primeiros experimentos com partıculas α foi desenvolvidoo espintariscopio, construıdo por Sir William Crookes em 1903, ele consistia emuma lamina de ZnS e de um microscopio, ou seja quando uma partıcula alfaatingia essa lamina se produzia uma cintilacao que podia ser observada comum microscopio. Muitos resultados importantes para a fısica moderna foramobtidos com esse detetor rudimentar.

Em 1910, por exemplo, utilizando esse detetor Geiger e Marsden realiza-ram o primeiro experimento de coincidencia, observando com dois microscopios,partıculas α de um experimento que realizavam. Eles provavelmente davam um

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grito cada vez que uma partıcula atingia a placa e se isso ocorresse dentro deum tempo pre-estabelecido eles consideravam a coincidencia ou nao do even-tos observados. No entanto a necessidade de experimentos mais precisos, fezcom que se abandonasse o olho humano e em 1944 o cintilador utilizando umafotomultiplicadora trouxe novas possibilidades para a deteccao de partıculas.Com os outros tipos de detetores ocorreu o mesmo tipo de desenvolvimento, deprocedimentos muito elementares de deteccao se evoluiu aos detetores muitoprecisos de hoje, aos quais se incorporaram as tecnologias mais avancadas daeletronica digital. Descreveremos aqui os quatro detetores que consideramosmais importantes para a deteccao de partıculas nos aceleradores: cintiladores,detetores a semicondutor, camaras de bolhas e camaras de descarga eletrica(Spark Chambers).

7.1 Detetores baseados na Ionizacao Gasosa

Os tres tipos de detetores de radiacoes nucleares mais empregados e osmais apropriados para multiplas aplicacoes e medidas, sao as camaras de io-nizacao, os contadores proporcionais e os contadores Geiger-Muller. Todos elesestao basicamente constituıdos por um tubo cheio de um gas a uma pressaomuito baixa, onde se encontram dois eletrodos isolados entre si. A esses ele-trodos se aplica uma diferenca de potencial. A passagem da radiacao nuclearprovocara ionizacao do gas e o campo eletrico existente no detetor colocara emmovimento as cargas liberadas de cada sinal para o eletrodo de sinal contrario.Desta forma se originam no detetor correntes ou impulsos eletricos que podemser medidos, revelando a presenca da radiacao incidente e em determinadascondicoes podendo revelar a natureza e energia desta radiacao. Em cada tipode detetor baseado na ionizacao gasosa se utilizam diferentes tipos de descarga,mas o principio geral e o mesmo. Na Fig.7.1 esquematizamos esse princıpio,representando o contador de gas por um cilindro metalico ou catodo que en-volve um fio tambem metalico (anodo). Entre os dois se aplica uma diferencade potencial, criando-se um campo eletrico como o esquematizado no corte dodetetor 7.1. O funcionamento deste tipo de detetor pode ser explicado com aajuda do grafico, Fig. 7.2, onde a amplitude do pulso gerado pela passagem deuma partıcula ionizante dependera desse potencial aplicado. Resumindo pode-se dizer que enquanto o potencial for suficientemente pequeno, a intensidadedo pulso sera diretamente proporcional ao numero de ions primarios forma-dos. Essa corresponde a regiao das camaras de ionizacao, onde a carga eletricaproduzida pela radiacao e responsavel pela area do pulso. Aumentando-se opotencial, ocorre uma ampliacao da amplitude dos pulsos devido ao processode geracao de ıons secundarios, ou seja inicia-se uma avalanche, mas que aindamantem a proporcionalidade dos pulsos com o potencial aplicado. E a regiaodos contadores proporcionais. Finalmente, com o aumento do potencial, aavalanche se torna tao intensa que se pode comparar a pequenas descargas



Figura 7.1: Diagrama generico dos detetores baseados na ionizacao gasosa.

eletricas, ou seja ocorre a regiao onde nao importando o tipo de radiacao oumesmo energia, os ıons primarios se multiplicam por um fator que faz os pulsosatingirem alguns volts, e consequentemente, o detetor so registra a presencada radiacao. Na Fig. 7.1 pode-se observar que quando um detetor generico,detecta uma partıcula alfa (maior ionizacao especıfica) e uma partıcula beta(menor ionizacao especifica, somente a camara de ionizacao ou o detetor pro-porcional tem a possibilidade de discriminar essa diferenca inerente.

Figura 7.2: Curvas caracterısticas de um detetor baseado na ionizacao gasosamostrando as regioes de operacao.

Na regiao onde o potencial vai de zero a V1, o campo eletrico nao e



suficiente para orientar todas as cargas negativas para o anodo, e somenteentre V1 e V2 e que isso ocorre, onde a carga recolhida vale

Q = e.N,

onde N e o numero de pares de ıons. Os eletrons sao recolhidos mais rapi-damente pelo anodo, do que os ıons positivos pelo catodo em virtude da suamenor inercia. Na regiao dos contadores proporcionais a carga primaria passaa ser amplificada e temos

Q = k.e.N,

onde k representa o fator de multiplicacao, este fator pode variar muito, masbasicamente vale 1 na regiao da camara de ionizacao e guarda uma proporcio-nalidade com a energia na regiao do contador proporcional, fazendo com queestes dois tipos de detetores possam distinguir diferentes tipos de radiacao esuas respectivas energias. Na regiao entre V3 e V4 ocorre a avalanche de cargase nao mais existe proporcionalidade entre o numero de pares de ıons primariose a area do pulso, ou seja o detetor e um sensor da presenca da radiacao, semdistinguir o tipo de partıcula ou a sua energia.

7.1.1 Camaras de Ionizacao

A camara de ionizacao e provavelmente um dos detetores de radiacaomais utilizados, especialmente devido a sua grande sensibilidade e eficiencia epor isso sao muito utilizados na dosimetria das radiacoes.

7.1.2 Contadores Proporcionais

As camaras de ionizacao produzem correntes tao pequenas que se tornanecessario utilizar amplificadores de altıssimo ganho. A vantagem do contadorproporcional e que no proprio detetor ja ocorre uma amplificacao, com fatoresque chegam a 104 vezes. Os contadores proporcionais mais utilizados sao dotipo cilındrico. Uma discussao muito boa a respeito da construcao destes de-tetores pode ser encontrada no livro do Knoll [1]. Os contadores proporcionaispossuem muitas aplicacoes entre elas podemos citar a medida de Raios X debaixa energia e radiacao beta. Alguns tipos especiais destes contadores pos-suem um gas especial tipo BF3 ou mesmo 3

1He e servem para contar neutrons.

7.1.3 Contadores Geiger-Muller

O projeto de um contador GM nao difere muito do de um contadorproporcional. Como a diferenca de potencial aplicada e muito maior, o fatorde amplificacao no tubo atinge 1010 vezes. Como consequencia do processo deavalanche na formacao de ıons, este contador produz pulsos de amplitudes dealgumas dezenas de volts. Dessa forma, os contadores Geiger-Muller (GM) sao



os instrumentos de medida de radiacao mais comuns, primeiro pelo seu preco,segundo pela facilidade de medida e manutencao. Neste tipo de detetor, aionizacao do gas contido no mesmo produz um pulso de alta intensidade capazdar muito boa resposta num simples contador eletronico, ou mesmo produzuma saıda de audio. Devido as caracterısticas inerentes do detetor, todos ostipos de radiacao produzem o mesmo tipo de pulso, fazendo com que nao sepossa diferenciar nem diferentes partıculas ou diferentes energias.

Em geral, a janela do detetor e feita de uma lamina muito fina de mica,muito fragil, o que permite a deteccao de emissores beta ou mesmo fotonsde baixa energia, como por exemplo 32P ,5S, 14C, 55Fe,125I e Raios-X comenergia inferiores a 40 keV . Janelas de alumınio ou mesmo de aco podemser utilizadas para a deteccao de radiacao gama de alta energia. No caso deG-M com janela fina e possıvel ampliar o seu uso para distinguir diferentestipos de radiacao utilizando filtros colocados frente a janela. A eficiencia deum GM e em geral muito baixa e pode ser medida com a utilizacao de umafonte radioativa calibrada atraves da razao cpm/dpm, dando a razao entreo numero de contagens do detetor e o numero de desintegracoes do isotopopor unidade de tempo. Na Tabela 11.4 indicamos algumas medidas em nossolaboratorio com um tubo G-M de janela fina, provenientes de fontes radioativasaproximadamente pontuais e a uma distancia de 25 mm da janela do detetor.

Fonte Radioativa Eficiencia %H-3 Nao detectavel

C-14, S-35 0,2 a 0,8P-32 3,0 a 8,0I-125 0,01 a 0,03

Tabela 7.1: Eficiencia de um detetor G-M

7.2 Detetores de Cintilacao

O detetor de cintilacao, cujo sensor de radiacao e um cristal cintilador,conforme se observa na Fig.7.4, em geral de Iodeto de Sodio ativado com talio(NaI)T l, e usado em muitos laboratorios para a deteccao de energia gama debaixa energia do tipo emitido pelo 125I. O detetor de cintilacao, alem de umamaior eficiencia, tambem permite a discriminacao de diferentes energias. NaFig.7.3 podemos observar o contador de cintilacao. O detetor de cintilacaoconsta de duas partes fundamentais: a substancia luminescente e a fotocelula,que e em geral um tubo fotomultiplicador. O conjunto se monta dentro de umacaixa opaca a luz natural.

As substancias fluorescentes inorganicas mais utilizadas em detetores decintilacao sao o sulfato de zinco ativado com prata, ZnS(Ag), e o iodeto de sodio



Figura 7.3: Esquema de um de-tetor de cintilacao, com o cristale fotomultiplicadora acoplados.

Figura 7.4: Detalhe do acoplamento deum cristal cintilador na fotomultiplica-dora.

ativado com talio, NaI(Tl). Nos compostos organicos o processo que provoca afluorescencia e algo diferente do que nos cristais inorganicos, ja que neste casoa fluorescencia e uma propriedade individual das moleculas com mais de umaestrutura cristalina. Assim, as substancias organicas que resultam uteis comocintiladores solidos em estado cristalino podem ser tambem em estado gasoso.

Cintiladores lıquidos preparados com substancias organicas luminescentesconseguem ser eficientes detetores para raios beta de baixa energia, como osdo 14C e de 3H. Um tubo fotomultiplicador e, em essencia, uma celula fo-toeletrica de extraordinaria sensibilidade, constituıda fundamentalmente deum fotocatodo que emite eletrons sob a acao da luz, e uma serie de eletro-dos chamados dinodos, contra estes vao chocando sucessivamente os eletronsemitidos pelo fotocatodo, depois de acelerados por uma diferenca de potencialconveniente, tudo isso encerrado em alto vacuo dentro de uma ampola. Nafotomultiplicadora se consegue multiplicar o numero de eletrons arrancados dafotocelula por um fator 106, ou seja um simples eletron arrancado gerara umatensao de 16 mV , considerada a capacidade parasita de 10 pF .

7.3 Detetores a Semicondutor

0 fundamento dos dispositivos detetores a semicondutor e muito simplese esta baseado no mesmo princıpio das camaras de ionizacao. Quando um ıonse move atraves de um gas ou de um solido, produz pares de ıons, cujo numerodepende do material atravessado, da energia cinetica dos ıons e da sua massa.



A vantagem do uso de semicondutores, esta no fato de que para produzir umpar de ıons sao necessarios 2, 9 eV no germanio e 3, 5eV no silıcio, enquantoque num gas se necessita muito mais energia; no He se necessita 44 eV , 22 eVno Xe e 34 eV no ar. Na Fig. 7.5 podemos observar o esquema simplificado deum detetor a semicondutor. O par de ıons criado no conjunto semicondutor eseparado, indo o ıon negativo para camada n e o positivo para a camada p. Acorrente produzida e amplificada e medida sob a forma da um pulso.

Figura 7.5: Esquema de um detetor a semicondutor.

7.4 Analise e calibracao das medidas nucleares

As medicoes feitas com todos os tipos de detetores sao afetadas pelocarater estatıstico da emissao de radiacoes, que e o resultado da medida de umimenso numero de partıculas cuja probabilidade individual de serem emitidase muito pequena. Como consequencia, o numero de eventos de emissao departıculas ocorre ao azar. Assim que, ao efetuar varias medidas de uma mesmafonte de radiacao, se obtem diferentes medidas sem que as condicoes tenhamsido alteradas. Este fato ocorre mesmo que o sistema eletronico esteja emperfeito funcionamento. A variacao relativa se torna muito importante quandoo numero total de contagens e muito pequeno. Estatisticamente, o processode desintegracao radioativa obedece a chamada distribuicao de Poisson e comoconsequencia a incerteza de uma determinada medida feita por um contador



deve ser muito proximo ao valor da raiz quadrada da media de varias medidas,

s =√

m,

onde s e o desvio padrao e m e a media de n medidas. A teoria estatıstica nosindica que existe uma probabilidade de 68% que a diferenca entre cada valor xe a media seja igual ou menor do que s. Quando se toma dois desvios padraoessa probabilidade aumenta para 95, 5%. Uma forma simples de testar se asmedidas dos nossos contadores estao corretas, ou seja, seguem uma distribuicaode Poisson, e aplicar o teste de χ2.

Para a analise e calibracao de medidas nucleares devem se levar emconsideracao os seguintes ıtens:

• Radiacao de fundo, ou background

Deve-se lembrar que as medidas de radiacao sao sempre afetadas tantopela radiacao ambiental como pelo ruıdo eletronico presente em todosos instrumentos. O valor da radiacao de fundo e do ruıdo eletronico seadicionam as medidas devendo, portanto, serem sempre subtraıdos. Asua determinacao deve ser frequente e registrada para que se possa acom-panhar a qualidade das medidas, a contaminacao ambiental e o proprioestado do sistema de medida. Alguns sistemas contadores dispoem de dis-criminadores de medidas de baixa amplitude, destinados a eliminar essesruıdos eletronicos de baixa intensidade ou mesmo subtrair o background.A calibracao desses discriminadores deve ser feita com cuidado e muitofrequentemente.

• geometria e angulo solido

A radiacao emitida por uma fonte e sempre emitida em todas as direcoese quando um detetor e colocado proximo a ela, so uma parte sera detec-tada, correspondente a fracao do angulo solido compreendido pela janelado detetor. Convem lembrar sempre que a variacao da radiacao com adistancia ao detetor e sempre 1/r2.

• eficiencia e tempo morto

O numero de contagens N que representara a atividade em Bq de umafonte deve ter o seu valor avaliado pela expressao

N = A.g.f.e, (7.1)

onde g representa a correcao pelo angulo solido, f representa a auto-absorcao na propria fonte (muito difıcil de conhecer) e e a eficiencia dodetetor. No caso de detetores como o Geiger-Muller e tambem necessariocorrigir o tempo morto t pela seguinte expressao

N = Nm1

1− tNm, (7.2)



onde Nm representa o valor medido. Por fim, deve-se lembrar de subtrairdo valor de N o valor do numero de contagens medio que representa aradiacao de fundo ou background.

7.5 Detetores de tracos

Existem varias maneiras de observar as partıculas produzidas num expe-rimento de espalhamento. Os detetores estudados nas secoes anteriores, foramutilizados para isso, mas para um estudo mais detalhado das partıculas, enecessario registrar os seus tracos. O primeiro desses detetores visuais foi aCamara de Wilson, que em essencia trabalha como todos os outros detetoresde tracos, ou seja, registrando a passagem das partıculas em um meio no qualdeixam a informacao das posicoes de sua trajetoria.

7.5.1 Camaras de borbulhas e camaras de nevoa

As camaras de Wilson ou camaras de nevoa, inventadas em 1896 porC.T.R. Wilson em Cambridge, contem ar super saturado com alcool a baixatemperatura. Quando a radiacao atravessa a camara forma-se uma linha degotıculas, que corresponde a condensacao do vapor. Esta camara, colocadaentre os polos de um forte ıma, permite verificar a carga dos ıons que a atraves-sam, pois as trajetorias espiraladas opostas indicam cargas eletricas opostas.Nessas mesmas camaras pode-se medir a energia cinetica pelo tamanho do tracoe a massa pela sua espessura. Experimentos com camaras de nevoa sao muitofaceis de realizar, e a camara de nevoa e muito simples de construir, mas aprecisao das medidas e muito pequena.

A necessidade de medir grandes fluxos de partıculas em tempos muitocurtos, fez com se desenvolvesse em 1932 por Donald Glaser, a camara de bor-bulhas. As camaras de borbulhas contem nitrogenio lıquido ou algumas vezesargonio tambem lıquido, em condicoes termodinamicas de entrar em ebulicao.O nitrogenio lıquido entra em ebulicao a −230oC. No momento da medidafaz-se a pressao no interior da camara baixar repentinamente, movendo-se umembolo. Os ıons que atravessam a camara nesse momento produzem a ebulicaodo nitrogenio ao longo do seu percurso. Uma camara fotografica, disparada emsincronismo com o embolo, pode dessa maneira registrar os tracos dos ıons. NaFig.7.6 pode-se observar o esquema de uma dessas camaras mostrando ao lado(b) uma foto dos tracos produzidos. A complexidade dos tracos obtidos e doseventos registrados fez com que se utilizassem computadores para analise dosregistros feitos, ou seja, esta foto ja passou por um processo de reconstrucaode imagem, permitindo visualizar com maior clareza os tracos das partıculas.



Figura 7.6: Camara de Borbulhas, e um evento tıpico fotografado na camara,onde um neutrino, vindo da direita se chocou com um proton. Afotografia, teve a sua imagem limpa por processamento de imagem.

7.5.2 Camaras de descarga eletrica (Spark Chambers)

Numa camara de descarga eletrica, os ıons que atravessam o espacoentre dois eletrodos, aos quais e aplicada uma diferenca de potencial, podemocasionar a ruptura dieletrica e produzir uma pequena descarga eletrica entreos eletrodos. Os elementos de uma camara de descarga estao mostrados na Fig.7.7. A vantagem dessa camara detetora sobre as demais e o fato de que elapode ser disparada eletronicamente no momento em que uma partıcula atingeo eletrodo A, atraves de um sistema de controle logico.

7.5.3 Detetores em experimentos com feixes de colisao

Os detectores modernos sao feitos de diversos componentes, que obser-vam diferentes aspectos de um evento. Esses varios componentes sao organi-zados de tal maneira que os fısicos possam obter o maximo de dados sobre aspartıculas geradas durante um evento. Este e um desenho esquematico da Fig.7.8 de um detector moderno tıpico, para realizar experimentos com feixes decolisao:

• Camara de arrasto

A regiao interna do detetor e preenchida com dispositivos sensores devarios tipos altamente segmentados, de modo que a trajetoria das partıculascarregadas seja determinada com precisao.

• Calorımetro eletromagnetico



Figura 7.7: Camara de descarga eletrica (spark chamber).

Este dispositivo mede a energia total de e−, e+ e fotons. Estas partıculasproduzem chuveiros de e− e e+ nos materiais. Os eletrons ou positronssao desviados pelos campos eletricos dos atomos ou induzidos a irradiarfotons. Os fotons por sua vez produzem pares de eletrons positrons, quepor sua vez se aniquilam produzindo fotons e assim por diante. O numerofinal de pares positron eletrons e proporcional a energia da partıcula in-icial.

• Calorımetro de hadrons

Este dispositivo mede a energia de hadrons. Os hadrons interagem coma materia densa desta regiao do detetor produzindo um chuveiro departıculas eletricamente carregadas. A energia dessas partıculas carre-gadas podera entao ser medida.

• Camaras de muons e neutrinos.

So os neutrinos e muons podem chegar a esta regiao, sendo os muonsdetetados e os neutrinos ainda escapam. A medida da energia para osmuons permite obter a diferenca da energia dos neutrinos por diferencada energia que falta.

• Imas

A trajetoria curva de partıculas carregadas dentro do campo magneticodesta regiao nos fornece o momento e sinal das cargas que atravessamesta regiao.



Figura 7.8: Detetor composto para observar diferentes aspectos de um eventoem experimentos com feixe de colisao.

Para dar uma ideia de como o trajeto das partıculas ocorre dentro dodetetor, mostramos uma secao transversal do detetor, Fig.7.9 olhando de frenteo eixo do tubo dos feixes que colidem. E possıvel observar a trajetoria de variaspartıculas em diversos pontos do detetor.

Os detetores registram milhoes de pontos durante os eventos de colisao.Por esta razao, e necessario, tratar essas trajetoria atraves de analise graficacomputacional, para ter uma ideia das trajetorias reais das partıculas e seusdecaimentos, bem como efeitos anomalos, referentes ao comportamento espe-rado.

A reconstrucao da trajetoria das partıcula, feita por computador, comopor exemplo a da colisao proton-antiproton, que produz um par eletron-positron,bem como muitas outras partıculas, pode ser observada na Fig. 7.10. Esteevento, em particular, e muitos outros como este, nos fornece a evidencia daexistencia do boson Z, uma das partıculas portadoras de forca na colisao queproduz os quarks top.



Figura 7.9: Secao transversal do detetor composto para observar diferentes tra-jetorias de partıculas em experimentos com feixe de colisao.

Figura 7.10: Secao transversal do detetor composto para observar diferen-tes trajetorias de partıculas em experimentos com feixes de colisao proton-antiproton.

Nas duas figuras Fig. 7.11 e Fig. 7.12, feixes de positrons e eletrons,perpendiculares ao desenho, se chocam e sofrem aniquilamento. Os quarkse antiquarks resultantes combinados produzem mesons e barions, cujas tra-jetorias estao mostradas na figura. A Fig. 7.11 da esquerda com tres camadas,iniciadas por um quark, seu antiquark e um gluon, nos fornece evidencia daexistencia de gluons. Na Fig. 7.12 da direita, duas camadas de partıculasopostas foram iniciadas pelo por um quark e seu antiquark oposto.



Figura 7.11: Eventos de tres cama-das com quarks antiquarks e gluon.

Figura 7.12: Eventos duas camadasiniciadas por quarks e antiquarksopostos.

7.6 Exercıcios

1. Um detetor cuja janela possui um raio de 2 cm se encontra a umadistancia de 10 cm de uma fonte radioativa pontual cuja atividade vale150 kBq, registra 1000 contagens por minuto. Calcule a eficiencia dodetetor.

2. Considerando uma fonte de partıculas alfa de 5 MeV , qual o valor mediodo trajeto em uma camara Wilson.

3. Como sao registradas as partıculas alfa, beta e gama numa camara denevoa, em termos da trajetoria tıpica?

4. Qual o princıpio de funcionamento dos detetores baseados na ionizacaogasosa?

5. Um detetor GM, possui uma curva caracterıstica, mostre essa curva eexplique as suas caracterısticas.

6. Descreva em detalhe o funcionamento dos baseado na cintilacao.

7. Descreva em detalhe os detetores baseados em semicondutores.


Bibliografia

[1] Knoll Q. F., Radiation Detection and Measurement, John Willey, US,(1979).

[2] Leo, W. R., Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments,Springer-Verlag, Berlin, (1994). ,

[3] A aventura das Partıculas, IFT, UNESP, Particle Data Group doLaboratorio Nacional de Lawrence Berkeley (LBNL) Michael Barnett,www.aventuradasparticulas.ift.unesp.br/

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CAPITULO 8

Interacao da Radiacao com a Materia

8.1 Introducao

O estudo dos processos fısicos pelos quais as radiacoes perdem energiaquando atravessam a materia, seja a janela de um detetor, uma camara de Wil-son, uma blindagem ou mesmo tecido biologico, e de fundamental importanciapara um projeto, uma investigacao ou mesmo a realizacao de experimentos,tanto em fısica nuclear teorica como aplicada. Nos seus primordios a fısica nu-clear se valia da medida do alcance das partıculas em meios materiais para me-dir as suas propriedades mas com o advento tanto dos metodos DSAM (DopplerShift Attenuation Method) como da simulacao computacional com partıculaseste assunto voltou a ser de grande interesse tanto teorico como experimental.

O problema da interacao da radiacao com a materia, em si, e de grandecomplexidade pois as partıculas sejam elas fotons ou nao, com carga ou mesmoneutrons e neutrinos, interagem tanto com a camada eletronica como com onucleo atomico dependendo da sua energia cinetica e do seu numero atomico,atraves de muitos processos, em si, distintos pela natureza da interacao.

Um tratamento classico para este tema pode ser encontrado no livro deR.D. Evans [1], alem dos livros mais recentes, citados na bibliografia, onde otema e tratado de forma mais adequada para o estudo dos detetores de radiacao[3] [4], de grande importancia para o estudo introdutorio da Fısica Nuclear.

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8.2 Passagem da Radiacao pela Materia

A passagem da radiacao atraves da materia, apesar de envolver muitosprocessos complexos, pode ser caracterizada por dois fatos fundamentais:

• a perda de energia por unidade de percurso e

• a deflexao das partıculas da sua direcao inicial.

Estes dois fatos decorrem de duas causas principais:

a) por espalhamentos inelasticos produzidos por eletrons atomicos,

b) por espalhamentos elasticos produzido pelos nucleos.Alem destes, podem ocorrer outros processos dependentes do espectrodas partıculas, como

c) a emissao de radiacao por frenamento ou bremsstrahlung,

d) a emissao de radiacao Cerenkov e

e) reacoes nucleares de diferentes tipos.

A soma de todos esses efeitos se reflete em tres caracterısticas basicas do espe-ctro de partıculas espalhadas que e a dispersao angular, o fenomeno de strag-gling e o abrandamento da energia. Estes tres efeitos podem ser melhor enten-didos, se observados comparativamente no espectro das partıculas antes e aposo espalhamento como e mostrado na Fig. 8.1.

Figura 8.1: Comparacao entre os espectros de um feixe de partıculas incidentes,mono-energeticas, e colimado com o mesmo feixe apos a dispersaonum meio material.

8.3 Interacao de partıculas com carga eletricacom a materia

A interacao de partıculas com carga eletrica com a materia pode seriniciada considerando-se o caso classico ou tratamento de Bohr dado ao espa-lhamento a partir das seguintes hipoteses:



1. As partıculas percorrem trajetos lineares atraves do material, nao sendoconsiderado o espalhamento a grandes angulos produzidos pelos nucleosatomicos;

2. a perda de energia se deve a ionizacao e excitacao, desprezando-se obremsstrahlung;

3. os eletrons orbitais sao considerados como estacionarios, em decorrenciade considerar as partıculas com energia cinetica comparativamente muitobaixa;

4. O tratamento e nao relativıstico, pois se considera v << c.

Considerando que uma partıcula de massa m e carga ze transmite um im-pulso ∆p para um eletron situado a uma distancia b da mesma, ou parametro deimpacto. A Fig. 8.2 nos mostra a situacao em que se considera que o momentoso possui componente na direcao y. Como o eletron permanece estacionariodurante a colisao, num tempo muito pequeno, a componente da perturbacaodo momento na direcao do movimento do ıon se anula. A resultante da per-tubacao do momento e portanto na direcao y. O impulso transmitido podera

Figura 8.2: Partıcula com carga eletrica ze interagindo com um eletronatomico, localizado em (0,b).

ser calculado, utilizando a expressao da forca coulombiana,

∆p =∫

Fcdt =∫ ∞

−∞

ze2

r2dt (8.1)

A forca coulombiana Fc, possui duas componentes, uma paralela ao vetor ve-locidade e outro normal. A integral, relativa a componente paralela se anula eportanto deve-se considerar unicamente a componente na direcao y.



∆py =∫

Fydt, (8.2)

=∫ +∞

−∞

ze2

r2senφdt, (8.3)

onde z e o numero atomico da partıcula incidente. Considerando a geometriada Fig.8.2 pode-se escrever

r2 = (vt)2 + b2, (8.4)

tanφ =b

vt, (8.5)

vt = bcotφ. (8.6)

Resultando em,

r2 = b2cossec2φ, (8.7)

dt = − b

vcossec(φ)dφ. (8.8)

Portanto,

∆py =∫ π

0

ze2sen(φ)cossec(φ)b2cossec2(φ)

b

vdφ (8.9)

∆py =2ze2

bv. (8.10)

A variacao da energia cinetica do eletron atingido pode ser relacionada com aperturbacao do seu momento atraves da expressao nao relativıstica,

∆Ee =∆p2

y

2me,

=2z2e4

b2mev2. (8.11)

A variacao da energia, deve levar em consideracao a soma das contribuicoesa todos os eletrons de um meio. Considerando que uma partıcula com cargaeletrica atravessa uma espessura, muita fina, dx de dado material, como porexemplo a janela de um detetor como esta mostrado na Fig. 8.3.

Para uma lamina de espessura dx, de um dado elemento (Z,A), o numerode atomos, dessa lamina, por unidade de volume e dado por ρNA/A, onde ρ ea densidade do material e NA o numero de Avogadro. A densidade de eletronssera portanto, ZρNA/A, logo o numero de eletrons localizado no volume dV =2π b db dx, entre b e b + db sera entao:

ZρNA

A2πb db dx. (8.12)



Figura 8.3: Uma partıcula com carga eletrica atravessa uma espessura dx demateria, entre b e b + db, perdendo uma quantidade dE de suaenergia cinetica.

A partıcula perdera a seguinte quantidade de energia para os eletrons atomicos:

dEb =ZρNA

A2πbdbdx

2z2e4

b2mev2. (8.13)

A perda total de energia da partıcula para os eletrons em todas as distancias,podera ser calculada por:

−[dE

dx

]=

∫ b2

b1

ZρNA

A2πb

2z2e4

b2mev2db,

=4πZρNA

A

z2e4

mev2

∫ b2

b1

1bdb,

=4πZρNA

A

z2e4

mev2ln

b2

b1. (8.14)

A interpretacao fısica dos limites, b1 e b2, do parametro de impacto torna-semuito importante neste momento. Para o limite inferior b1 deve-se considerarque, na colisao frontal, a energia transmitida ao eletron obedece aos princıpiosde conservacao de energia e momento. Considerando M >> me, b1 sera cor-respondente a condicao de maxima transferencia de energia,1.

Introduzindo esta condicao na equacao 8.11 teremos:

12m(2v)2 =

2z2e4

b21mev2

, i.e. b1 =ze2

mev2. (8.15)

Uma outra possibilidade e limitar o parametro de impacto mınimo utilizandoprincıpio da incerteza, pois o eletron nao podera ser localizado em relacao ao ıon

1Na condicao de maxima transferencia de energia numa colisao frontal se observa que,(meve)max = 2meM

me+Mv, considerando que o ıon e pesado ou seja me << M , se obtem,

(meve)max ' 2mev



pesado a uma distancia inferior ao seu proprio comprimento de onda. Portantotambem se pode considerar que:

b1 =h

mev. (8.16)

Para o limite superior b2 tambem existem duas interpretacoes possıveis.Na primeira o limite superior do parametro de impacto corresponde a menorenergia que um eletron pode absorver em relacao aos nıveis quanticos possıveisde serem ocupados. Esta quantidade varia de eletron para eletron e dependedos numeros quanticos correspondentes. Considerando como I, o valor medioda energia sobre todos os eletrons atomicos obtido empiricamente,

I =2z2e4

b22mev2

, resulta em: b2 =ze2

v

√2

meI. (8.17)

Introduzindo a correcao relativıstica,

b2 =ze2

γv

√2

meI. (8.18)

Esta interpretacao nao se aplica ao hidrogenio, por se tratar de um atomo comum unico eletron com energia de ligacao muito alta. Uma outra possibilidadee considerar que os eletrons perturbados possam ser caracterizados por umafrequencia orbital media ν, considerando que o tempo de perturbacao sejainferior ao perıodo τ = 1

ν do eletron ligado. De outra maneira a perturbacao eadiabatica e nao ha transferencia de energia, num processo denominado deinvariancia adiabatica. O tempo caracterıstico da interacao ∆t = b

v , comcorrecao relativıstica sera, ∆t = b

γv , portanto,

∆t =b

γv, (8.19)

b2 =γv

ν.

A combinacao das interpretacoes dadas aos valores de b1 e b2, sera feita apenaspara duas combinacoes cujos resultados podem ser utilizados com maior facili-dade. Na primeira utilizaremos o valores dos limites inferior e superior dadospelas equacoes Eq. 8.15 e Eq. 8.17, resultando em:

∫ b2

b1

1bdb = ln

b2

b1=

12ln

(2mev

2

I

). (8.20)

Quando se realiza o calculo quantico desta grandeza surge um fator 2 no valordo logaritmo, no valor desta integral que se incluı a partir daqui. Com a escolha



dos valores dos limites de integracao, a equacao 8.20 pode ser escrita[−dE

dx

]

ion

=4πZρNA

A

z2e4

mev2ln

(2mev

2

I

). (8.21)

A outra possibilidade e utilizar os valores dos limites dados aos parametros nasequacoes 8.16 e 8.19, teremos,

∫ b2

b1

1bdb = ln

b2

b1= ln

v/ν

h/mev= ln

mev2

hν, (8.22)

resultando numa nova expressao para o stopping power:[−dE

dx

]

ion

=4πZρNA

A

z2e4

mev2ln

mev2

hν. (8.23)

Os resultados para o calculo do stopping power pelas equacoes 8.21 e 8.23deverao ser identicos e sao denominados stopping power quantico, pois sao oresultado de um modelo semi-quantico.

A taxa de perda de energia, tambem chamada de poder de frenamentoou stopping power, depende do absorvedor e das propriedades das partıculas,especialmente a sua energia. Para partıculas pesadas de massa M que viajamem trajetorias retas, o conceito de alcance , e definido como a maxima distanciaR que as partıculas podem atingir no material, sera

R =∫ R

0

dx =∫ Eo

0

1−(dE/dx)

dE. (8.24)

onde Eo e a energia cinetica inicial da partıcula. Mudando para a variavel v,dE = mvdv, portanto chega-se a:

R =me

4πe4NA

A

ρZ

M

z2

∫ vo

0

v3

ln(

2mev2

I

)dv. (8.25)

Experimentalmente a perda de energia pode ser determinada pelo numerode pares de ıons formados ao longo da trajetoria de uma partıcula com cargaeletrica, em um dado material. Se em media a energia I e perdida pela partıculaao formar um par de ıons, o numero de ıons formados ni, por unidade de tra-jetoria sera dado por: [

−dE

dx

]= Ini. (8.26)

O valor I e de difıcil determinacao, pois envolve processos fısicos muito com-plexos, na excitacao e ionizacao mas pode-se utilizar o conceito de alcancemedio dado pela Eq. 8.24, que permite fazer comparacoes entre diferentes ti-pos de partıculas e diferentes materiais. Sem a solucao da integral Eq. 8.25,resta fazer uma analise simplificada ou utilizar valores experimentais e compa-rando:



• diferentes tipos de partıculas atravessando um mesmo material absorve-dor;

• o mesmo tipo de partıculas atravessando diferentes materiais.

Considerando duas partıculas diferentes de massas M1 e M2, com numerosatomicos z1 e z2 respectivamente, mas com a mesma velocidade inicial, pode-secomparar os seus alcances R1 e R2 da seguinte maneira,

R1

R2=

M1

M2

[z2

z1

]2

. (8.27)

Pois as energias cineticas, sao proporcionais as massas. Para o caso do deuteronem relacao ao proton, como M1/M2 = 2 e z2/z1 = 1, o deuteron tera umalcance duplo do proton. Por outro no caso das partıculas alfa, elas terao omesmo alcance do proton mesmo com 1/4 da sua energia cinetica.

Considerando agora o caso de partıculas de mesma especie e com amesma energia inicial, pode-se comparar os alcances em diferente absorventes.No caso de dois meios X e Y teremos a relacao entre alcances dada por,

RX

RY=

AX

AY

ZY

ZX

ρY

ρX. (8.28)

Considerando o caso em que I e praticamente independente de Z, para materiaisleves onde Z ' A/2, teremos:

RX

RY' ρY

ρX. (8.29)

Dessa forma pode-se considerar que o produto RX ρX e aproximadamente cons-tante. Esta aproximacao e excelente, por exemplo, para comparar o alcancespara gases e solidos. Estas regras, mesmo muito simples, nos trazem muitasvantagens na analise qualitativa da penetracao de partıculas em meios mate-riais.

8.3.1 Formula de Bethe-Bloch

Quando uma partıcula eletricamente carregada se move num meio a suainteracao pode resultar na ionizacao ou na excitacao dos atomos ao longo doseu percurso. Os atomos excitados podem voltar ao seu estado fundamentalapos a emissao de fotons. Uma forma adequada de tratar esse problema e a deutilizar as propriedades do meio para definir o stopping power S(E), definidocomo sendo a quantidade de energia depositada pela partıcula por intervalo desua trajetoria. A sua medida pode ser feita a partir da energia media necessariapara ionizar um atomo do meio, ou seja I,

S(E) = −dE

dx= niI, (8.30)



onde ni, como ja foi definido anteriormente, e a densidade de ıons formada porintervalo de trajetoria. O valor de I, representa o potencial de ionizacao e ex-citacao medio e e obtido experimentalmente. Varias formulas estao disponıveispara o calculo do potencial de ionizacao, por exemplo,

I = (12Z + 7)eV, Z < 13 (8.31)I = (9, 76Z + 58, 8Z−0,19)eV, para Z ≥ 13. (8.32)

O calculo do stopping power utilizando a formulacao relativıstica, podeser feita utilizando a expressao de Bethe e Bloch, ou versao relativıstica daequacao 8.21,

S(E) =4πZρNA

A

z2e4

me(βc)2ln

(2me(βc)2

Iγ2 − β2

), (8.33)

Onde β = v/c e γ = (1− β2)−1/2 e o fator de Lorentz.A analise funcional da expressao de Bethe-Bloch Eq. 8.33 na Fig. 8.4

nos permite dizer que o valor de stopping power, diminui com o aumento davelocidade ate atingir um valor mınimo aproximadamente em γβ ' 3. Ocomportamento relativıstico acima desse valor pode ser apreciado em meiosgasosos, pois a formula de Bethe-Bloch ignora alguns efeitos de blindagemem interacoes de longo alcance muito fortes em materiais solidos. O efeitoda densidade surge porque o campo eletrico da partıcula atua polarizando osatomos ao longo do seu percurso. Devido a esta polarizacao os eletrons distantessofrerao uma blindagem do campo eletrico. A correcao deste fator, dependeda densidade do material, como mostra a Fig. 8.4. Esta correcao depende dadensidade do material, pois o efeito da polarizacao sera maior nos materiaissolidos do que nos gases. Para energias muito altas, ocorre uma saturacao eo processo de ionizacao se torna um processo quase independente da energiacinetica, e nesse caso e possıvel distinguir diferentes tipos de partıculas emfuncao da ionizacao produzida.

E possıvel introduzir duas correcoes a formula para o stopping power,Eq. 8.33, a primeira esta relacionada com a possibilidade de polarizacao doseletrons pelo campo eletrico da partıcula incidente. Esta correcao depende dadensidade de eletrons e e subtrativa, por um fator δ. A segunda correcao seaplica a baixas energias, nas quais a colisao deixa de ser adiabatica, similar aolimite de Bohr. Tambem e uma correcao subtrativa representada pela correcaode camada, C, que possui dimensoes de MeV/cm quando a densidade for dadaem g/cm3.

S(E) =4πZρNA

A

z2e4

me(βc)2ln

(2me(βc)2

Iγ2 − β2 − δ

2− C

Z

), (8.34)



Figura 8.4: Stopping Power em funcao da energia γβ, mostrando o mınimopara γβ ' 3 e comportamento diferente para meios solidos MS, emeios gasosos MG.

8.3.2 Efeitos estatısticos do Espalhamento

Tres diferentes aspectos da interacao de partıculas com um meio podemser analisados como consequencias da estatıstica da interacao, o efeito de strag-gling, a dispersao angular e dispersao em energia, conforme foi mostrado naFig. 8.1.

• Straggling

O fenomeno de straggling pode ser observado visualmente nas camarasde nevoa, ao observar o alcance de um feixe de partıculas alfa mono-energeticas. Nesse processo os alcances dessas partıculas de mesma ener-gia apresentam uma pequena dispersao ou straggling, em torno do valormedio do alcance. O processo aleatorio de espalhamento produz umaperda de energia ao longo da trajetoria cujo valor, por interacao em vezde ser um valor fixo, segue uma distribuicao estatıstica. Como o alcancede uma partıcula num meio e o resultado da soma de multiplos espalha-mentos com os eletrons atomicos, o processo de flutuacao da transferenciade energia sera o responsavel por essa variacao do alcance. Na Figura 8.5,se pode observar o valor do alcance medio obtido pela derivacao da curvade alcance, para um caso onde o fenomeno de straggling e exageradamentegrande.

• Dispersao angular

Devido a este mesmo processo aleatorio de interacao, pode-se atribuir adispersao angular, ao processo aleatorio em que sao gerados angulos dedispersao em cada interacao, resultando numa dispersao transversal, quetambem pode ser prevista conhecendo-se a lei de distribuicao angular doespalhamento.

• Distribuicao de energia



Figura 8.5: Fracao de partıculas transmitidas, num meio em funcao do alcance,ao final se observa o fenomeno de straggling com uma funcao dis-tribuicao em torno da media na forma aproximadamente gaussiana.

A moderacao da energia das partıculas carregadas ocorre ao longo da suatrajetoria, de forma praticamente linear. O valor de stopping power au-menta com a penetracao com a materia muito suavemente, diminuindouniformemente a sua energia. Entretanto, podem-se observar duas mu-dancas de velocidade quando a partıcula atinge a velocidade de Bohr, doseletrons do meio, e finalmente a perda de energia aumenta bruscamenteao final da trajetoria. Na maior parte da curva de alcance a perda deenergia aumenta aproximadamente com 1/E. O pico resultante, na curvade alcance pode ser observado na Fig. 8.6. Um ıon com uma certa ener-gia cinetica E, tera um alcance medio R(E), independente da sua energiainicial, portanto poder-se-a construir um grafico da perda de energia emfuncao do alcance residual. Na Fig. 8.6, se mostra a ionizacao de Braggpara partıculas α tıpicas, mostrando um pico de perda de energia quaseao fim da trajetoria.

8.3.3 Calculo do Stopping Power para Materiais

Regra de Bragg

Todas as expressoes obtidas ate agora para o calculo do stopping power,so se aplicam a elementos quımicos puros. Para o calculo do S(E), de compostosou misturas e necessario alem do conhecimento desse parametro para cadaelemento conhecer a densidade relativa a cada elemento quımico. O valor medio



Figura 8.6: Curva de Ionizacao residual, de Bragg, mostrando o pico de io-nizacao ao final da trajetoria.

do stopping power, podera entao ser calculado utilizando a regra de Bragg ,(

1ρ

dE

dx

)

total

=∑

i

wi1ρ

(dE

dx

)

i

, (8.35)

onde wi e ρi, sao respectivamente a fracao de massa e a densidade de cada umdos elementos i de um dado material.

Simulacao TRIM e SRIM

A simulacao utilizando a tecnica de Monte Carlo, e utilizada nos apli-cativos TRIM e SRIM[6][7], que calculam o alcance de ıons na materia. Estesprogramas de computador, estao disponıveis na rede de computadores, no sitewww.srim.org.

Muitos dos aspectos da perda de energia pelos ıons ao atravessar amateria, sao calculados por esses programas. O aplicativo SRIM inclui ta-belas de stopping power, alcance e distribuicoes de straggling para qualquertipo de ıon para uma dada energia. O calculo inclui alvos com configuracao demulticamadas.

8.3.4 Perda de radiacao por frenamento (Bremsstrahlung).

No caso do espalhamento de eletrons, devido a sua pequena massa, ascorrecoes tanto da interacao relativıstica como quantica com os eletrons or-bitais, deve seguir um modelo fısico mais apurado. O processo de aceleracaode eletrons no campo coulombiano atomico, produz a emissao da radiacao defrenamento ou bremsstrahlung, um processo importante, de perda de energia.Este processo, especialmente importante para os eletrons, tambem se tornaimportante para ıons mais pesados na regiao de altas energias, (TeV ).



Para energias inferiores a algumas centenas de GeV a perda de energiapor radiacao so se torna importante para eletrons e positrons. Este fato podeser confirmado pela expressao teorica da secao de choque, onde se pode observarque

σ ∝ r2e =

e4

m2ec

4

. Como a emissao de radiacao de bremsstrahlung depende do campo eletricosentido pelas partıculas na interacao, o chamado efeito de blindagem, se avaliaeste efeito atraves de um parametro de blindagem o apantalhamento, ξ, cujovalor e dado por:

ξ =100mec

2hν

EoEz1/3,

onde Eo, e a energia inicial da partıcula incidente, E a energia final, hν = E0−Ea energia do foton produzido no processo de frenamento. Para os limites deblindagem, se estabelece que ξ = 0 representa a blindagem total e ξ ≥ 1 semblindagem..

Dessa maneira pode-se corrigir o valor de stopping power, obtido pelaexpressao de Bethe e Bloch, Eq. 8.33, devida a ionizacao e excitacao, ou perdaspor colisao dos eletrons, acrescentando o valor devido a perda de energia porradiacao ou bremsstrahlung,

S(E) = S(E)c + S(E)r (8.36)

O valor do stopping power por radiacao, pode ser descrito por,

−(

dE

dx

)

r

= N

∫ νo

o

hνσ(ν)dν, (8.37)

onde N = ρNA

A e a densidade atomica, σ(ν) e a secao de choque da reacao eνo = Eo

h . A integral pode ser obtida tambem por um modelo semi-quantico,ou por integracao numerica, do espectro de radiacao. A forma analıtica paraessa integral e dada por,

φrad =1

Eo

∫ νo

o

hνσ(ν)dν, (8.38)

portanto,

−(

dE

dx

)

r

= NEoφrad, (8.39)

A secao de choque do processo e inversamente proporcional a frequencia, por-tanto a integral φrad sera independente sera unicamente dependente do ma-terial, em funcao do valor de σ. Para mec

2 ≤ Eo ≤ 137mec2Z−1/3, ξ ≥ 1, a

integral sera dada por,

φrad = 4Z2 e4

m2ec

4α

[ln

2Eo

mec2− 1

3− f(Z)

], (8.40)



onde f(Z) e uma correcao devida a interacao coulombiana com o nucleo atomico.Uma das formulas mais aceitas para esta correcao e dada por:

f(Z) ' a2[(1 + a2)−1 + 0, 20206− 0, 0369a2 + 0, 0083a4 − 0, 001a6,

]

onde a = Zα = Z/137. Para valores de blindagem completa, ou seja, paraEo ≥ 137mec

2Z−1/3, e ξ = 0, a integral vale:

φr = 4Z2 e4

n2ec

4α

[ln(183Z−1/3) +

118− f(Z)

]. (8.41)

Sem levar em consideracao com o nucleo, em geral se calcula o stoppingpower por radiacao de forma simplificada utilizando a equacao 8.41,

S(E)r = 4ρNA

AZ2 e4

137m2ec

4Eo

[ln

2Eo

mec2− 1

3

]. (8.42)

A razao entre os valores de stopping power,por radiacao e colisao, podeser aproximada por,

S(E)r

S(E)c=

E.Z

800, (8.43)

onde E e a energia dos eletrons em MeV e Z o numero atomico do materialabsorvedor. Esta equacao nos mostra a importancia da radiacao nos materiaisde alto numero atomico (Z ∼ 80− 90) e energias entre 10 e 100MeV . A partirdesse valor em geral predomina o efeito da emissao de radiacao em relacao aionizacao.

8.3.5 Radiacao de Cerenkov

A radiacao de Cerenkov, aparece sempre que partıculas com carga eletricaatravessam um meio material a velocidade superior a velocidade de fase da luz,nesse meio. Considerando a definicao do ındice de refracao n de um meio, pode-se dizer que para que ocorra a emissao da radiacao de Cerenkov, e necessarioque a velocidade da partıcula atenda a condicao:

v > Cn =c

n. (8.44)

Quando esta condicao estiver satisfeita, cria-se uma onda de choque, da mesmaforma que ocorre nas ondas sonoras quando se atravessa a barreira da veloci-dade do som. A emissao de radiacao eletromagnetica do tipo Cerenkov estaexemplificada na Fig. 8.7. O angulo θc para que se forme a frente de onda edefinido por:

cosθc = (βn)−1. (8.45)



Figura 8.7: Onda de choque formada quando uma partıcula com carga eletricapenetra num meio material com velocidade superior a da luz nessemeio.

A radiacao de Cerenkov e emitida numa forma analoga a difracao com ummaximo central, centrado em θc, seguido de maximos secundarios de menor in-tensidade. A medida da radiacao de Cherenkov, atraves de foto-multiplicadoras,e de grande interesse da fısica de altas energias, pois permite determinar comprecisao a velocidade de partıculas relativısticas. Para visualizar a producao deradiacao Cerenkov, vamos imaginar um eletron atravessando um meio dieletrico,transparente, como na Fig. 8.8. Na Fig. 8.8(a), o eletron e lento e a po-larizacao e simetrica ao centro de carga no ponto P , enquanto que na Fig.8.8(b) a simetria azimutal e mantida, perdendo-se a simetria axial, fazendocom que o momento dipolar atue sobre o eletron a longas distancias. O campoeletrico dipolar, neste caso, inicia a emissao de pulsos eletromagneticos, comfrequencias do espectro de radiacao Cerenkov. Na mesma Fig. 8.8(c), se ob-serva a construcao de Huygens, para indicar a formacao de uma frente de ondacoerente, determinando o angulo de Cerenkov que constitui o semi-angulo docone respectivo. De acordo com este princıpio, os fotons, em fase, produzidosem diversas posicoes, formam uma frente de onda coerente.

A teoria classica e a teoria quantica produzem a mesma expressao parao stopping power da radiacao Cerenkov,

S(E)Cer =4π2z2e2

c2

∫ (1− 1

β2n2

)νdν, (8.46)

onde ze e a carga da partıcula e ν a frequencia da radiacao Cerenkov. Aradiacao emitida e independente da massa da partıcula, dependendo da ve-locidade e da carga da mesma. Esta propriedade e utilizada na construcaode Detetores Cerenkov capazes de detectar cargas eletricas muito velozes bemcomo a sua velocidade a partir do angulo Cerenkov. Na maioria, estes dete-tores, sao formados por fotomultiplicadores, que convertem fotons em correnteeletrica, A utilizacao de detetores Cerenkov, que iniciou no trabalho experimen-tal de aceleradores e reatores, hoje se aplica nos experimentos para a deteccaode neutrinos.



Figura 8.8: Modelo de polarizacao de um dieletrico transparente, atravessadopor uma partıcula com carga, (a) com baixa velocidade, (b) comvelocidade relativıstica. (c) construcao de Huygens, mostrando aemissao de ondas coerentes.

A emissao de radiacao Cerenkov e bem conhecida nos reatores do tipopiscina e nos depositos de elementos combustıvel, que ja foram queimados, poisa intensa emissao de radiacao beta, em ambos casos, produz na agua a emissaode radiacao de Cerenkov, na faixa do azul.

8.4 Interacao da Radiacao Eletromagnetica

O processo de interacao da radiacao eletromagnetica com materia desenvolve-se atraves de colisoes, onde a probabilidade de cada uma das interacoes e muitopequena podendo haver tambem emissao de novos fotons secundarios, dimi-nuindo a energia e produzindo uma certa dispersao angular com a direcao depropagacao. Neste processo o feixe inicial diminui a sua intensidade com umcomportamento exponencial em funcao da distancia percorrida fazendo comque o alcance dos fotons nao tenha um valor definido. O processo de interacaode radiacao com a materia pode ser estudado em dois aspectos diferentes oprimeiro como espalhamento e o segundo como absorcao. O espalhamento defotons pode ser de dois tipos: o espalhamento coerente, no qual a energia in-terna do sistema interagente permanece constante e o inelastico ou incoerenteno qual a energia do espalhador e modificada.

A absorcao ocorre segundo tres processos nos quais os fotons interagemcom a materia, com perda de energia: o efeito fotoeletrico, o efeito Compton ea formacao de pares.



8.4.1 Descricao classica do espalhamento

Na descricao classica do processo de espalhamento, a interacao e conside-rada como sendo a interacao de um campo eletrico com um eletron nao ligado.O eletron livre e forcado a vibrar com a frequencia da onda incidente. A ra-diacao secundaria, produzida pelo eletron oscilante, pode ser entendida comoa resposta de um oscilador de Hertz, com a mesma frequencia da radiacao inci-dente. Ou seja, o foton incidente e espalhado elasticamente neste processo. Asecao de choque total para o espalhamento tambem chamada secao de choqueCompton e dada por,

σT =83πr2

e , (8.47)

onde re e o raio classico do eletron, dado por,

re =e2

4πεomec2, (8.48)

Para a radiacao eletromagnetica nao polarizada, a secao de choque diferencial(por stereoradiano) e dada por,

σ(θ) =12r2e(1 + cos2θ). (8.49)

Em termos do raio classico do eletron, a intensidade de radiacao espa-lhada Ie em funcao da radiacao incidente Ii e dada por,

Ie = Iir2o

2r2(1 + cos2θ), (8.50)

O conhecimento da secao de choque Thomson, e muito importante por sero limite inferior da secao de choque de espalhamento incoerente Compton,e por tambem ser a base para avaliar o espalhamento coerente ou Rayleigh.Como nesse tipo de espalhamento a energia de recuo e tomada pelo atomo, aperda de energia pela radiacao e mınima e portanto o angulo de desvio dosfotons tambem e muito pequeno. O espalhamento coerente apresenta umasecao de choque muito maior do que o incoerente, especialmente para materiaisde grande numero atomico. Devido a pequena perda de energia e pequenosdesvios, o espalhamento coerente em geral e desprezado.

Em concorrencia com o espalhamento incoerente de fotons por eletronsindividuais se encontra o espalhamento coerente produzido pelos eletrons atomicosao atuar coletivamente.

8.4.2 Descricao Quantica do Espalhamento

O estudo do espalhamento de radiacao utilizando as ferramentas damecanica quantica foi feito por Klein-Nishina em 1929, e concorda muito bem



com a teoria de Thomson especialmente para altas energias, com erro inferiora 1%. A secao de choque de Klein-Nishina para fotons nao polarizados e dadapor,

σ(θ) =r2o

2

[1

1 + α(1− cosθ)

]2 [1 + cos2θ +

α2(1− cosθ)2

1 + α(10cosθ)

](8.51)

E importante entender a diferenca entre o modelo de Thomson e o deKlein-Nishina, ambas funcoes fornecem um comportamento semelhante para asecao de choque mostrando um forte pico na direcao de incidencia para fotons dealtas energias. Para baixas energias, nas proximidades das energias de ligacaodos eletrons o resultado apresentado pelo modelo de Klein-Nishina e melhor ea distribuicao angular mais isotropica.

8.4.3 Espalhamento de Rayleigh

O processo no qual os fotons sao espalhados de forma elastica, ou sejasem a mudanca de frequencia e chamado espalhamento de Rayleigh2 tendo oseu tratamento feito de forma classica. O campo eletrico oscilante da radiacaoincidente, produz oscilacao dos eletrons dos atomos fazendo com que os mes-mos emitam radiacao com a mesma frequencia f e fase. O espalhamento eisotropico, e a secao de choque e proporcional a f4. Os calculos mecanico-quanticos sao muito importantes no caso do espalhamento coerente, espalha-mento elastico, i.e., espalhamento de Rayleigh, para o qual a teoria pode sersimplificada, pelo fato de que na interacao de um foton com um eletron ligado,reverte para o mesmo estado apos o espalhamento, ou seja, o eletron retornaao estado original. O espalhamento com eletrons ligados a estrutura crista-lina, do mesmo tipo coerente envolvendo o atomo como um todo e por issoos fotons nao perdem energia e o espalhamento e do tipo elastico. Este tipode espalhamento aumenta com o numero atomico, pois a energia de ligacaodos eletrons aumenta com Z2. O tratamento relativıstico para o espalhamentode Rayleigh indicaram uma dependencia mais pronunciada, Z5, em relacao aonumero atomico.

Neste processo de espalhamento nao ocorre excitacao muito menos ioni-zacao. Para altas energias de raios-x e radiacao gama, o espalhamento Rayleigh,juntamente com o espalhamento Thomson pode ser desprezado.

8.4.4 Efeito Foto-Eletrico

No efeito foto-eletrico o foton (γ ou raios-x), entrega toda a sua energiaa um eletron ligado a um atomo. A energia do foton e totalmente utilizada

2Tal como mostrou Lord Rayleigh em 1871, a atmosfera produz o espalhamento da luzsolar, produzindo o azul do ceu. Quando a atmosfera, estiver contaminada com poeirasuspensa e capaz de produzir o por do sol avermelhado.



para arrancar o eletron do seu nıvel atomico e para acelerar o eletron.

Eγ = hν − Φ, (8.52)

na qual Φ e a funcao trabalho.A quantidade de movimento e conservada, com o recuo do atomo. A

energia cinetica do foto-eletron e independente do angulo de espalhamento.Este processo ocorre principalmente com os eletrons fortemente ligados, espe-cialmente os da camada K. Imediatamente apos o eletron ser ejetado, um outroeletron de uma camada superior ocupa o seu lugar, dando lugar a emissao deraios x caracterısticos do material. A este processo de emissao de radiacaosecundaria e dado o nome de fluorescencia. No caso do Pb, os raios-X da fluo-rescencia sao emitidos com 88 keV . O calculo da secao de choque do efeitofoto-eletrico exige alguma complexidade para solucionar as funcoes de onda deDirac, para os eletrons atomicos. Para a maioria das aplicacoes se utilizamformulas semi-empıricas;

σfe ∼ Z5

(hν)7/2para Eγ < 0, 511 MeV, (8.53)

σfe ∼ Z5

(hν)para Eγ > 0, 511 MeV. (8.54)

Dessa forma, pode-se mostrar que o processo foto-eletrico nao e muitoimportante acima de 1 MeV , mas e extremamente dependente, para qualquerenergia, do numero atomico Z. Na Fig. 8.10 pode-se observar esta dependenciaσ(E) para o chumbo, mostrando ainda a existencia dos picos K e L.

8.4.5 Efeito Compton

No efeito Compton o foton incidente e espalhado por um dos eletronsatomicos quase livres, produzindo um foton espalhado de menor energia conformeo angulo de espalhamento θ, sendo o eletron espalhado a um angulo φ. Tanto aenergia do foton espalhado como do eletron, dependem desses angulos, pois noespalhamento se conserva a energia e a quantidade de movimento. A energiado foton espalhado sera dada por,

hν′ = hν

[1 +

hν

mec2(1− cosθ)

]−1

(8.55)

Os fotons sao espalhados em varias direcoes com uma energia hν′ menor que aincidente. A energia cinetica dos eletrons arrancados por efeito compton, iguala diferenca entre a energia do foton incidente e o espalhado e dada por:

Ec = hν − hν′ = hνhν

mec2 (1− cosθ)

1 + hνmec2 (1− cosθ)

(8.56)



Figura 8.9: Geometria do espalhamento Compton.

A geometria do espalhamento pode ser observada na Fig. 8.9,A formula para a secao de choque diferencial para o efeito compton e

dada pela formula de Klein-Nishina;

σc(θ) =e4

2m2ec

4

1[1 + hν

mec2 (1− cosθ)]2

(1 + cos2θ +

(hν/mec2)2(1− cosθ)2

1 + (hν/mec2)(1− cosθ)

)

(8.57)A secao de choque total, integral da Eq. 8.57, para todos os angulos de espa-lhamento sera dada por:

σc = 2π e4

2m2ec4

1+(hν/mec2)(hν/mec2)2

[2(1+(hν/mec2))1+2(hν/mec2)

− 1(hν/mec2) ln(1 + 2(hν/mec

2))]

+ 1(hν/mec2) ln(1 + 2(hν/mec

2))− 1+3(hν/mec2)(1+2(hν/mec2))2

. (8.58)

A secao de choque total por atomo sera portanto Zσc. Na Fig. 8.10 observa-seque, para energias baixas, a secao de choque Compton e inferior a do efeitofoto-eletrico, e que o seu valor e muito pequeno para energias altas.

8.4.6 Formacao de Pares

Quando fotons de energia, superior a 1, 02 MeV interagem com a materiapode ocorrer a formacao de um par positron-eletron apos o aniquilamento dofoton, portanto isso so podera ocorrer quando,

hν = Ee− + Ee+ + 2mec2. (8.59)

A secao de choque para a formacao de pares cresce rapidamente com a ener-gia em funcao de Z2, como se pode observar no exemplo da Fig. 8.10. A



questao teorica fundamental deste processo, esta relacionada com a interacaodo positron. Por ser a anti-partıcula do eletron ao perder a sua energia ele cap-tura um eletron atomico formando um estado instavel muitas vezes denominadode positronio. Este sistema decai com uma meia vida muito curta∼ 10−10scriando dois fotons instantaneos de 0, 511 MeV .

Figura 8.10: Secao de choque de interacao em funcao de energia dos fotons parao chumbo.

8.4.7 Atenuacao da Radiacao Eletromagnetica

O fotons se movem atraves de um meio material atraves de interacoes dis-cretas num processo que pode ser entendido pela perda de fotons, na interacaocom o meio material. A energia dos fotons que nao interagem permanece cons-tante levando a uma atenuacao exponencial,

I = Ioeµx, (8.60)

onde I, e Io, sao as intensidades de fotons, transmitido e incidente, respecti-vamente, x e a espessura e µ o coeficiente de absorcao total, que depende danatureza do material e da energia dos fotons. O livre caminho medio e dado,por:

x1/2 =ln2µ

. (8.61)

O comportamento dos coeficientes de absorcao, parciais e totais podem serentendidos em termos das secoes de choque para os processos de interacao. Assecoes de choque dos tres processos de interacao da radiacao eletromagneticacom a materia, permitem calcular o coeficiente de absorcao como a soma de



tres coeficientes:

µ = µfe + µc + µfp. (8.62)

As tres contribuicoes podem ser calculadas a partir da secao de choque paracada um destes processo, atraves da seguinte expressao,

µ = ρNA

Mσ = ρ

NA

M(σfe + σc + σfp). (8.63)

O comportamento das secoes de choque em funcao da energia dos fotons, parao chumbo e apresentado na Fig. 8.10.

8.5 Chuveiros de Eletrons e Fotons

Quando os eletrons e os positrons de alta energia (GeV ) interagem comum meio material, perdem energia quase inteiramente por bremsstrahlung.Para fotons com energia maior do que 100 MeV , a interacao mais provavele a formacao de pares. Um unico foton ou eletron de alta energia, pode se tor-nar o ponto de partida de uma avalanche de eletrons, positrons e raios gama.Esta avalanche e conhecida como chuveiro eletromagnetico. Quando um eletronou um positron de alta energia passam nas proximidades do nucleo atomicosofrem aceleracao, emitindo radiacao eletromagnetica, de bremstrahlung. Osfotons de alta energia por sua vez, nas proximidades do nucleo, podem so-frer o aniquilamento, produzindo-se pares positron-eletron. Quando a radiacaoeletromagnetica possui energia abaixo do limiar de formacao de pares, ocorrejuntamente com o bremstrahlung, predominantemente o efeito Compton e oefeito fotoeletrico. O processo de formacao de chuveiros e exemplificado naFig. 8.11.

A formacao de chuveiros eletromagneticos e confinada em pequenas regioes,quando o material absorvedor e denso. Para materiais de alto numero atomicoonde a aceleracao pelo nucleo e muito grande, o processo de formacao de chu-veiros e muito intenso. O problema da formacao de chuveiros eletromagneticosna interacao de fotons, eletrons e positrons de alta energia em meios densos e degrande interesse no projeto de novos detetores de radiacao e de blindagem. Aaltas energias (> 100 MeV ), os chuveiros se formam principalmente na direcaodo movimento das partıculas primarias que o criaram, como mostra a Fig 8.11.Os chuveiros eletromagneticos, sao o processo predominante na medida da ener-gia total e eletrons, postirons e fotons de alta energia. No processo de absorcaodessas partıculas no detetor se produzem cascatas de interacoes ou chuveiros,por isso esse detetor e denominado contador de chuveiros ou calorimetro.



Figura 8.11: Diagrama esquematico da formacao de um chuveiro eletron-foton,partindo de um eletron.

8.6 Interacao de Neutrons com a Materia

A interacao dos neutrons com a materia e o resultado de interacoes fortescom o nucleo atomico. Como o alcance das forcas nucleares e muito pequeno, daordem do raio nuclear, a probabilidade de interacao tambem e muito pequenase comparada com as interacoes atomicas. Em vista desta caracterıstica osneutrons sao muito penetrantes. Os processos de interacao de neutrons podemser resumidos atraves dos mecanismos:

• Espalhamento elastico, ou reacoes do tipo (n, n). Esta e a reacao de maiorimportancia de perda de energia na regiao de MeV .

• Espalhamento inelastico, ou reacoes do tipo (n, n′), (n, 2n′) etc. Estasreacoes ocorrem para energias capazes de excitar o nucleo atomico, ouseja, energias superiores a 1 MeV .

• Captura radiante ou reacao (n, γ). Esta reacao, tambem muito impor-tante, com uma secao de choque do tipo 1/E.

• Fissao, importante para alguns elementos a energias muito baixas.

• Reacoes de absorcao com a producao de partıculas com carga eletrica,(n, p), (n, α), etc. Sao reacoes tipicamente da regiao entre eV e keV , comum comportamento do tipo 1/E, com algumas ressonancias.

• Reacoes do tipo spallation; esta reacao ocorre para energias muito altasem geral acima de 100 MeV , e caracteriza pela producao chuveiro dehadrons de alta energia.



As interacoes de neutrons com o nucleo sao fortemente dependentesda sua energia cinetica, levando a classifica-las em funcao da regiao do es-pectro, como reacoes de alta energia para energias da ordem de 100 MeV ,reacoes rapidas para reacoes na regiao de MeV , Epitermicas na regiao de100 keV a 0, 1 eV , termicas na regiao de 0, 025 eV . Para regioes de mais baixaenergia pode-se usar ainda a denominacao de frios ou extra frios. Em geralos neutrons, segundo o seu espectro de energia, sao denominados de rapidosepitermicos e termicos, frios e extra-frios.

8.6.1 Moderacao e termalizacao de neutrons

No estudo da fissao, na blindagem e mesmo na difracao de neutronstorna-se importante estudar o processo pelo qual os neutrons tem a sua energiaabrandada num processo denominado de moderacao, ate atingirem energias daordem de kT , ou termicas. Com essas energias, os neutrons perdem e ganhampequenas quantidades de energia, num processo denominado de termalizacao,onde a populacao de neutrons adquire uma distribuicao de energia do tipogaussiana.

O processo de moderacao e caracterizado, fundamentalmente, pela perdade energia por choques elasticos. Considerando que os neutrons sao, em geral,produzidos como rapidos, ficaria a questao, quantos choques serao necessariospara que o neutron seja moderado da sua energia inicial Eo ate atingir umaenergia E qualquer. Para fazer essa analise se utiliza a chamada letargia, defi-nida como a perda logarıtmica de energia ξ,

ξ = lnEo

E. (8.64)

Quando um neutron e espalhado elasticamente por um nucleo de um meio ma-terial, o nucleo sofre um recuo da sua posicao de colisao. A energia cineticado neutron espalhado sera, portanto, menor do que a energia do neutron inci-dente mas essa diferenca de energia se refere ao recuo do nucleo, sem haver aexcitacao do mesmo. A perda de energia no espalhamento elastico, podera serobtida a partir das leis de conservacao de energia e momento. Considerandoa Fig. 8.12 que representa uma unica interacao, analisada no sistema de labo-ratorio (lab) e de centro de massa (cm). Utilizando as massas tanto do nucleocomo do neutron em unidades de massa atomica, (uma), pode-se escrever,

vcm =A

A + 1vo,

V =1

A + 1vo. (8.65)

No sistema de centro de massa o neutron mantem a mesma velocidade antese depois do espalhamento, portanto utilizando a composicao vetorial da Fig.



Figura 8.12: Espalhamento elastico de um neutron por um nucleo de massa A.

8.12 pode-se escrever a relacao,

v2lab = v2

cm + V 2 − 2vcmcos(π − θcm). (8.66)

Introduzindo as equacoes 8.65, poderemos reescrever a equacao 8.66,

v2lab =

A

A + 1v2

o +1

A + 1v2

o − 2A

(A + 1)2v2

ocos(π − θcm). (8.67)

Esta equacao 8.67 pode ser expressa em termos da energia cinetica, da seguinteforma:

v2lab

v2o

=E

Eo=

A2 + 1− 2Acos(π − θcm)(A + 1)2

. (8.68)

Pode-se portanto dizer da analise da equacao 8.68 que a energia do neutronespalhado tera os seguintes limites:

(A− 1A + 1

)2

Eo < E < Eo. (8.69)

Estes limites para a energia correspondem aos limites ±1 para o cosθcm. Nocaso particular do hidrogenio, os limites 8.69 resultam em: 0 < E < Eo, oque nao e de todo surpreendente, pois quanto mais leve seja o espalhador maisenergia pode absorver do neutron. Isto explica o fato da escolha de moderadores



de baixo numero atomico como a agua, o grafite e a agua pesada, ou mesmomateriais hidrogenados organicos tais como a parafina. Pode-se escrever o valormınimo de energia,

Emin =(

A− 1A + 1

)2

Eo = αE, (8.70)

onde α corresponde ao chamado parametro de colisao, cujos valores para di-versos materiais pode ser encontrado na Tabela 8.1.

α =(

A− 1A + 1

)2

. (8.71)

A distribuicao de energia dos neutrons pode ser representada para funcao dis-tribuicao p de um neutron possuir energia entre E e E + dE. Para obter essadistribuicao considera-se o espalhamento como isotropico no centro de massa,

dp

dθ=

2πsenθ

4π=

12senθcm. (8.72)

Derivando-se a equacao 8.68,

dE

dθ= 2

A

(A + 1)2senθcm, (8.73)

e substituindo o valor do seno obtido pela equacao 8.72:

dp1

dθ=

A + 14AEo

=1

Eo(1− α). (8.74)

Apos n interacoes sucessivas a funcao distribuicao tendera uma funcao distri-buicao e de acordo com o trabalho de Condon and Breit[5], se chega a seguinteexpressao,

dpn

dθ=

1(n− 1)!Eo

ln

(Eo

E

)n−1

. (8.75)

Agora o problema fısico da moderacao de neutrons com energia inicialEo consiste em determinar o numero medio de colisoes n necessarias para queos neutrons atinjam a energia termica. A solucao desse problema de formasimplificada pode ser feita a partir da determinacao do valor medio da letargia.O valor da letargia para qualquer colisao i apos terem ocorrido n colisoes edada por:

ξ = lnEo

E=

n−1∑

j=0

lnEj

Ej+1. (8.76)

O valor medio sera dado por,



lnE = lnEo −n−1∑

j=0

lnEj

Ej+1, (8.77)

e podera ser obtido utilizando a funcao distribuicao, como funcao peso,

ξ = lnEo

E=

∫ Eo

αEo

(lnEo

E1

)dp

dE1dE1

∫ Eo

αEo

dpdE1

dE1

=∫ Eo

αEo

lnEo

E1dE1. (8.78)

Consequentemente a letargia sera dada por,

ξ = 1− (A− 1)2

2Aln

(A + 1A− 1

). (8.79)

Este valor da letargia nos mostra que o valor medio apos um espalhamentoe uma constante para cada meio material. Portanto para calcular o numerode espalhamentos para uma dada variacao de letargia, para atingir a energiamedia final Ef o numero de espalhamentos necessarios sera dado por,

n =ln(Eo/Ef )

ξ. (8.80)

Tabela 8.1: Parametros de ColisaoMaterial A α ξ nHidrogenio 1 0 1.000 18H2O * * 0,920 19Deuterio 2 0,111 0,725 24D2O * * 0,509 34Berılio 9 0,640 0,209 84Carbono 12 0,716 0,158 111Oxigenio 16 0,779 0,120 145Uranio 238 0,983 0,00838 2084∗ valor nao definido

Os valores da letargia para diferentes materiais podem ser encontra-dos na Tabela 8.1, bem como o numero medio de espalhamentos necessariospara moderar neutrons, de 1MeV ate atingir a energia termica, 0, 025eV . Afissao nuclear nos chamados reatores termicos, e produzida na maior parte porneutrons termicos. Mas acontece que a maior parte dos neutrons nascem doprocesso de fissao com um espectro de fissao do tipo rapido com energia mediaem torno de 1MeV , sendo portanto necessario moderar os neutrons ate queatinjam energias do espectro termico. Para esse efeito os neutrons sao obriga-dos a se difundir em materiais de baixo numero atomico, como a agua a agua



pesada e o grafite. Utilizando o valor do livre caminho medio e o numero decolisoes n de acordo com a Eq. 8.80 e possıvel ter uma boa ideia do tamanhodo meio moderador. O livre caminho medio e o inverso da secao de choquetotal,

λ =1Σt

=1

Noσt, (8.81)

onde, Σt e a secao de choque total, σt a secao de choque microscopica e No adensidade atomica do meio.

8.7 Fundamentos fısicos da Dosimetria das Ra-diacoes

Tanto os efeitos fısicos como os biologicos da radiacao sao relacionadoscom a energia absorvida nos processos de interacao da radiacao com a materia.A quantificacao desses efeitos, tanto em material biologico como em qualqueroutro material, e feita atraves da energia depositada por unidade de massa.Em geral, o dano aos materiais organicos e isolantes e feito pela quantidade deenergia depositada no processo de ionizacao, enquanto que nos metais, semicon-dutores e outros materiais cristalinos o dano e medido em funcao do numero dedeslocamentos atomicos e transmutacoes nucleares. As alteracoes de proprie-dades fısicas, tais como a condutividade eletrica, resistencia mecanica e outraspropriedades de interesse sao estudadas em funcao de funcoes empıricas quemedem o dano especıfico em funcao da fluencia e do espectro das partıculas.O efeito do aquecimento produzido pela radiacao torna-se muito importantenos reatores nucleares e nos alvos dos aceleradores, ou mesmo no interior deblindagens onde a intensidade da radiacao e muito grande.

Os efeitos da radiacao ionizante nos organismos vivos constituiem umrisco fısico e biologico e portanto devem ser observadas algumas precaucoes,que incluem regras de protecao e a definicao de limites de exposicao a radiacao.Todos os tipos de radiacao, podem levar aos efeitos da ionizacao da materiadesde que possuam energia suficiente. Diferentes tipos de radiacao produzemdiferentes densidades de ionizacao. No caso das radiacoes sem carga eletrica,raios X, gama e neutrons os efeitos podem ser atribuıdos a radiacao secundaria,gerada no processo de interacao com a materia.

Tanto a radiacao primaria como a secundaria podem induzir dois efeitos,a excitacao e a ionizacao, tanto de moleculas organicas como inorganicas. Osradicais livres e moleculas excitadas, produzem efeitos tanto nas regioes intra eextra celulares. Os processos enzimaticos podem ser inativados ou prejudicadospor reacoes que alterem as reacoes quımicas. A radiacao tambem pode produzirefeitos diretos e indiretos no DNA ou no RNA.

Os varios tipos de celulas do corpo possuem diferente sensibilidade aosefeitos da radiacao. Por exemplo, celulas do sistema linfatico e da medula



ossea, estao entre as mais sensıveis. As celulas epiteliais, cristalino e cartilagemsao moderadamente sensıveis, enquanto que fıgado, rins, musculos e sistemanervoso central sao bastante resistentes. Em geral se pode dizer que as celulasmais jovens sao menos resistentes a radiacao.

8.7.1 Grandezas Basicas da Dosimetria

As medidas dosimetricas em qualquer area da fısica podem ser avaliadasem termos da resposta R(~r) de um detetor, ou dosımetro colocado num ponto~r do espaco,

R(~r) =∫

Σ(E)Φ(~r, E)dE (8.82)

onde Σ representa a funcao resposta do detetor e Φ o fluxo de partıculas.As varias grandezas na dosimetria podem definidas a partir da escolha dessafuncao, como nos exemplos que daremos a seguir e da medida ou calculo detransporte do fluxo.

a) Fluxo escalar: a integral da densidade de fluxo, ou seja quando se con-sidera a funcao resposta do detetor como Σ = 1, e denominada fluxoescalar ou densidade de fluxo, Φ(r).

b) Fluencia: ou integral da densidade de fluxo no tempo,

Fluencia =∫

φ(r, t)dt (8.83)

c) Intensidade da radiacao: I(r), ou densidade de fluxo de energia, quandoΣ = E,

I(r) =∫

Eφ(r, E)dE (8.84)

d) Fluencia da energia: F(r), a integral da intensidade no tempo.

F (r) =∫

I(r, t)dt (8.85)

f) Fator Kerma: K, representando a quantidade de energia cinetica depo-sitada por unidade de massa da substancia calculada a partir da funcaoresposta, h, denominada fator kerma,

h(E) = EµK

ρ(8.86)

onde µK

ρ representa o coeficiente de transferencia de energia, portanto,

K =∫

EµK

ρφ(r,E)dE (8.87)



Esta grandeza e fundamental no calculo dosimetrico, pois a partir delae possıvel calcular a exposicao a radiacao. A funcao Kerma, pode serentendida como a razao entre a soma da energia cinetica liberada numvolume de controle, por ionizacao. A unidade de K e Joule/kg.

g) Exposicao: X, definida como X = dqdm , onde dq e a soma das cargas

eletricas de todos os ıons produzidos no ar por eletrons positrons liberadosnos processos de interacao de fotons com materia, numa massa de controledm. A funcao resposta nesse caso sera dada por:

Σ =cE

w

(µ

ρ

)

ar

(8.88)

onde c, e a carga por par de ıons formados, e W a energia necessaria paraformar um par de ıons por ionizacao,

X =∫

cE

w

(µ

ρ

)

ar

φ(r, E)dE (8.89)

h) Dose Absorvida: [D] ou energia depositada na materia sobre a qual sequantifica o dano.

D =dEd

dm(8.90)

onde dEd e a energia depositada numa massa de controle dm por ionizacaoe excitacao.

A definicao de uma funcao resposta dosimetrica para a dose absorvidanem sempre e possıvel, pois a dose absorvida possui uma relacao simplescom o fluxo escalar, por isso somente quando ocorre o equılibrio de cargase a radiacao de bremsstrahlung e pequena, a dose absorvida e proporcio-nal ao kerma. Observe que as definicoes de dose e feita para fotons.

i) Dose Equivalente: [H] A dose equivalente, mede de forma mais precisa oefeito biologico potencial e e definida a partir da dose absorvida,

H = D.FQ (8.91)

onde FQ representa o fator de qualidade, que indica a eficiencia de cadatipo de radiacao em produzir dano. Os valores mais conhecidos podemser encontrados na Tabela 8.3.

8.7.2 Unidades Dosimetricas

A quantidade de radiacao depositada em uma quantidade de materiapode ser medida por diversas unidades denominadas unidades dosimetricas .Como a radiacao interage tanto por ionizacao como por excitacao de atomose moleculas, essas unidades devem medir tanto a quantidade de ionizacao pro-duzida na materia como a energia depositada no material.



• Exposicao

A unidade mais antiga da medida de exposicao e o Roentgen pode serdefinido da seguinte maneira:

1 Roentgen(R) = a quantidade de radiacao capaz de produziruma ionizacao de 1 ues/cm3 no ar nas CNPT

= 2, 58× 10−4C/kg no ar nas CNPT (8.92)

Este valor corresponde a uma energia absorvida de aproximadamente8, 8mJ/kg utilizando a energia media de ionizacao do ar como sendo34eV . A exposicao no ar pode ser calculada atraves da taxa de exposicaopara uma dada fonte atraves da funcao Γ:

Taxa de exposicao =Γ.A

d2, (8.93)

onde A e a atividade da fonte e d a distancia a mesma. A funcao Γ e umafuncao denominada constante de exposicao para uma dada tipo de fonte.Esta funcao pode ser encontrada na bibliografia para a maior parte dasfontes emissoras de radiacao gama. Na Tabela 8.2 apresentamos algunsvalores para esta funcao.

Tabela 8.2: Lista de constantes de exposicao ΓFonte Γ[R.cm2/h.mCi]137Cs 3, 357Co 13, 222Na 12, 060Co 13, 2222Ra 8, 25

• Dose Absorvida, Gray

A dose de radiacao absorvida D mede a quantidade energia absorvida porunidade de massa. A sua unidade o Gray e um parametro fundamentalpara a protecao radiologica.

1 Gray(Gy) = 1 Joule/kg. (8.94)

Esta unidade do sistema SI ainda nao e universalmente utilizada poismuitas referencias ainda utilizam a unidade antiga o rad (radiation ab-sorved dose), cuja equivalencia e dada por;

1 rad = 100erg/g = 0, 01 Gy. (8.95)

Esta unidade mede exclusivamente a quantidade de energia, sem levar emconta o dano produzido por diferentes tipos de radiacao.



• Dose Equivalente, Sievert

Os efeitos biologicos da radiacao, dependem da dose absorvida, e dosdiferentes tipos de radiacao e de sua energia. Cada tipo de radiacaoe caracterizado por um parametro denominado LET (Transferencia Li-near de Energia). A deposicao de energia ao longo da trajetoria de umapartıcula por unidade de comprimento, permite medir a intensidade dodano biologico. Para levar em consideracao este efeito de forma simplifi-cada se criou o fator de qualidade, que nos indicara a eficiencia radiologicade cada tipo de radiacao. Na Tabela 8.3 mostramos alguns desses fatores.A dose equivalente HT nos mostra qual o efeito biologico sofrido por umtecido ou orgao:

Dose Equivalente = HT = FQ×D Sievert (8.96)

A unidade de dose equivalente, Sievert, possui as mesmas dimensoesda dose absorvida ou seja Joule/Kg. Uma unidade de dose equivalenteainda em uso, e o rem (radiation equivalent man), cuja equivalencia edada por:

1 Sievert = 100 rem (8.97)

Tabela 8.3: Fatores de Qualidade (FQ)Tipo de radiacao e energia FQFotons (todas energias) 1Eletrons (todas energias) 1Neutrons < 10KeV 5Neutrons 10KeV a 100keV 10Neutrons 100KeV a 2MeV 20Neutrons 2MeV a 20MeV 10Neutrons > 20MeV 5Alfa 20

• Dose Efetiva

A dose efetiva e a dose equivalente pesada pelo fator que leva em consi-deracao a probabilidade de desenvolver efeitos biologicos tais como canceranomalias geneticas num tecido ou orgao crıtico. Na Tabela 8.4 podemosobservar algumas das doses efetivas produzidas por algumas fontes deradiacao naturais, ambientais e medicas.

A fonte de radiacao ambiental, tambem denominada de background e a maiorfonte de exposicao de radiacao para o publico em geral, seguida das fontesde diagnostico medico. As fontes ambientais, podem variar dependendo dalocalizacao da altitude, sendo fontes importantes o radonio o potassio e osminerios de uranio e torio e os raios cosmicos.



Tabela 8.4: Doses efetivas para alguns tipos de radiacaoFonte Dose Media por pessoa (mSv/ano)Fontes NaturaisTotal 2,4Raios Cosmicos 0,37

Fontes ambientaisEnergia Nuclear 0,002Viagens aereas 2

Exposicoes MedicasDiagnostico 0,1Ocupacional 0,1 - 3

8.7.3 Normas de Protecao Radiologica

As normas de protecao radiologica, no Brasil, estao descritas nas ”Dire-trizes Basicas de Radioprotecao”, Norma CNEN-NE-3.01 de julho de 1988.

Pode-se dizer que esta norma se baseia em tres princıpios basicos daradioprotecao: a Justificacao, a Otimizacao e a Limitacao da dose individual,cujo significado passamos a descrever.

• Princıpio da Justificacao

Do estudo do Risco versus Benefıcio do uso de uma fonte de radiacaoresulta que nenhuma atividade com radiacao ionizante pode ser adotadaa menos que produza um benefıcio positivo para a sociedade.

• Princıpio da Otimizacao

Atraves do balanco custo benefıcio, devem-se manter as doses de radiacaotao baixas quanto for razoavelmente exequıvel. Trata-se da filosofia doALARA ( As Low As Reasonably Achievable). Para aplicacao desteprincıpio se utilizam os fundamentos da Engenharia Economica, para aimplantacao de novas tecnicas ou novas maquinas. Como a utilizacao daradiacao sempre provoca um risco, cujo custo social para efeito de calculoe de US$10.000/homem− Sievert.

• Princıpio da Limitacao da Dose Individual

A norma CNEN -NE - 3.01 estipula os limites dose , presentes na Tabela6.1 E importante lembrar que os limites de dose nao isentam os doisoutros ıtens, justificacao e otimizacao, mas mesmo que a protecao sejaotimizada os limites de dose devem necessariamente ser atendidos.



8.7.4 Estrategias para a Reducao de Dose

Tres variaveis, tempo, distancia e blindagem (D,T,B) devem ser contro-ladas nas estrategias de reducao de doses.

• TEMPO

As atividades com radiacao devem ser feitas de tal maneira que se utilize omenor tempo possıvel na presenca de radiacao. Todos os procedimentos,devem ser pensados anteriormente a sua realizacao no sentido de diminuiresse tempo.

• DISTANCIA

Aumentando a distancia a fonte de radiacao reduzira a dose da mesmaforma do inverso do quadrado da distancia.

Exemplo 8.1Calculo da reducao de dose com a distanciaA 10 cm de uma fonte de I − 125 com 5mCi a sua exposicao sera de75 mR/h. Movendo a fonte para uma distancia de 30 cm a sua exposicaosera reduzida para:

(75mR/h)(10/30)2 = 8, 3 mR/h.

Observacao: note que a formula do quadrado da distancia nao leva emconsideracao a blindagem, fornecida pelo ar. Na utilizacao de fontes alfae beta deve se lembrar que espessuras de ar de 10 a 30 cm podem blindaressas radiacoes.

• BLINDAGEM

A radiacao gama e os raios-X passam atraves de um absorvedor, diminuia sua intensidade de forma exponencial. Esse processo pode ser expressoda seguinte forma:

I = Ioe−µx (8.98)

onde Io representa a intensidade antes da blindagem. I e a intensidade daradiacao apos atravessar uma espessura x de blindagem e µ e o coeficientede absorcao do material de blindagem.

Observacao: a expressao anterior so pode ser utilizada para fontes pon-tuais e pequenas espessuras de blindagem. Para o caso de blindagens maisespessas, deve-se utilizar um fator B, denominado fator de build-up, querepresenta o espalhamento interno na blindagem.

I = BIoe−µx (8.99)



Outros problemas de blindagem tridimensionais, e fontes mais complexasdevem ser tratados por especialistas de calculo de blindagens, que utili-zam tecnicas computacionais sofisticadas, capazes de resolver a equacaode transporte de radiacoes.

8.7.5 Medidas de Seguranca em um Laboratorio de FısicaNuclear

Como neste capıtulo se discutiram alguns ıtens de seguranca no usode radiacoes, vamos sugerir algumas medidas de seguranca, especialmente emlaboratorios onde existam pequenas fontes de radiacao ionizante, como noslaboratorios de fısica, quımica e biologia. Em geral os laboratorio didaticos saoareas de pequeno risco, mas mesmo assim, dado o seu caracter didatico, devemse tomar algumas precaucoes.

1. As fontes radioativas de pequena intensidade usadas nos laboratoriosdidaticos, sao em geral seladas, mas de qualquer maneira nao devemser tocadas com os dedos, e testes de contaminacao devem ser feitos per-iodicamente.

2. Nao se deve alimentar ou mesmo fumar num laboratorio com fontes ra-dioativas.

3. As maos devem ser sempre lavadas ao deixar o laboratorio.

4. Utilizar um dosımetro de controle durante a realizacao das aulas, fazendoa leitura do mesmo ao entrar e ao sair da aula e registrando num livro dolaboratorio a leitura feita.

5. Ao terminar a atividade do laboratorio, as fontes devem voltar ao localde armazenamento, um pequeno cofre com chave.

6. Os riscos de utilizar fontes radioativas devem ser esclarecidos a todos osusuarios de radiacao.

7. A localizacao das fontes radioativas, no laboratorio deve estar sinalizada.

8. Ao iniciar e concluir atividades com fontes seladas, deve-se realizar umteste de integridade das fontes.

9. Em caso de duvida converse com a pessoa encarregada da seguranca dasfontes.



8.8 Exercıcios

1. Calcule o valor do stopping power e o alcance para partıculas alfa de5 MeV , nos seguintes materiais: ar, alumınio, chumbo.

2. Compare esses alcances com o alcance de protons com a mesma energiainicial nos mesmos materiais do exercıcio 1.

3. Calcule o valor do stopping power, para partıculas alfa de 8MeV , noar, considerando que o mesmo e formado por 21% de oxigenio e 79% denitrogenio.

4. A partir de que energias, o processo de perda de energia por bremsstrah-lung se torna importante no chumbo.

5. Obtenha o valor do livre caminho medio de fotons de 1, 2 MeV , e aespessura de chumbo necessaria para reduzir a 10% a intensidade de umafonte desses fotons.

6. Faca a escolha de materiais necessarios para construir uma blindagem deeletrons de 6 MeV , justificando cada uma das partes dessa blindagem.

7. Calcule a fracao de fotons de 1MeV transmitidos atraves de uma placade chumbo de 5cm de espessura, que e a espessura de tijolos de chumbousados para a blindagem de fontes nos laboratorios. Calcule tambem olivre caminho medio desses fotons no chumbo.

8. Uma fonte de neutrons existente nos laboratorios de fısica e a fonte deRaBe (radio-berılio), mas essa fonte apresenta um problema, para a segu-ranca, pois alem de neutrons elas produz radiacao gama. Explique comose pode construir uma blindagem para essa fonte.

9. Calcule a dose absorvida no ar para uma exposicao de 1 Roentgen (R) deradiacao gama. Considere que a energia para formar um par ıon-eletronno ar e de 33, 7eV .


Bibliografia

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[3] Knoll Q. F., Radiation Detection and Measurement, John Willey, US,(1979).

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[5] Condon E.U., Breit G., Phys. Rev. 49, 105(1936)

[6] Biersack J. P., Haggmark L., Nucl. Instr. and Meth., vol. 174, 257, (1980)

[7] J. F. Ziegler J. F., ”The Stopping and Range of Ions in Matter”, volumes2 - 6, Pergamon Press, (1985)

241

CAPITULO 9

Fissao e Fusao

A descoberta do neutron em 1932, por J. Chadwick [1], levou ao estudoexperimental da fissao nuclear do uranio em 1939 por Otto Hahn e ArnoldStrassmann[2], chegando-se a conclusao de que o bombardeio do uranio comneutrons produzia fragmentos de massa atomica intermediaria. No mesmo anoLise Meitner[3] e Otto Frish[4], escreveram dois artigos relatando a teoria dafissao nuclear, propondo que a absorcao de um neutron cria uma instabilidadetal que produz a divisao em dois fragmentos de massa muito proxima, conformee mostrado na Fig. 9.1. E preciso lembrar que dois anos antes Bohr e Kalckar,haviam relacionado a fissao com a possibilidade de excitacoes coletivas atravesda barreira coulombiana. A notıcia da fissao se espalhou a todo o mundoe varios laboratorios repetiram o processo de fissao do uranio. Utilizando omodelo da gota lıquida Bohr e Wheeler[5] estudaram mais detalhadamente afissao.

Enrico Fermi pode realizar a fissao em cadeia de forma controlada em1942, dando inıcio ao estudo dos reatores nucleares construindo a sua denomi-nada pilha atomica.

9.1 Energia Liberada na Fissao

A semelhanca do decaimento radioativo, a fissao pode gerar uma certaquantidade de energia como resultado da instabilidade do nucleo que se fis-siona. Os dois nucleos, produtos da fissao, tambem chamados de fragmentosda fissao, em geral nao possuem a mesma massa, conforme se pode observar no

243


Figura 9.1: Fissao nuclear segundo o modelo da gota lıquida; a) nucleo alvo, b)nucleo composto, c) nucleo deformado em excitacao, elipsoide, d)produtos da fissao.

grafico da Fig. 9.2 da distribuicao de massa da fissao do 235U . Os produtos dafissao sao extremamente ricos em neutrons, favorecendo a emissao de neutronsinstantaneos. Praticamente toda a energia liberada na fissao e carregada pe-los fragmentos sob a forma de energia cinetica. A emissao de partıculas β− efotons γ tambem ocorre de forma instantanea a fissao concorrendo com umaparcela muito menor de energia. Alem desse processo de emissao de radiacao,imediata a fissao, os produtos de fissao tambem emitem neutrons, partıculasbeta e e fotons gama diferidos ou atrasadas, com diferentes meias-vidas, apos afissao. A energia cinetica de todas essas partıculas tanto instantaneas como di-feridas constitue, na sua totalidade, a energia produzida no processo de fissao,equivalente ao balanco de energia Q da fissao.

A energia cinetica produzida no processo de fissao de um nucleo com Zprotons e A nucleons foi, originalmente, obtida a partir da forma semi-empıricade massa. Hoje com a disponibilidade da tabelas de massa como a existenteno Anexo B, o calculo do valor Q da fissao proporciona valores com grandeprecisao.

Considerando a fissao do 235U , produzindo dois fragmentos Y1 e Y2,pode-se escrever a reacao referente aos produtos instantaneos da fissao:

23592 U + ntermico → Y1 + Y2 + νn + β− + γ (9.1)

Nessa reacao o numero de neutrons por fissao ν, varia entre 2 e 3, com umvalor medio de 2, 43. Estes neutrons juntamente com os neutrons diferidosserao os responsaveis pela reacao em cadeia. Considerando a massa dos doisfragmentos, o balanco de energia desta reacao pode ser dado por,

Qinstantaneo ≃ EY1 + EY2

c⃝ Claudio Graca 244


Figura 9.2: Distribuicao da Massa dos fragmentos de fissao para o 235U , mos-trando que a fissao simetrica e pouco provavel.

≃ EY1+ EY2

− E235U

≃ [M235U + mn − (MY1 + MY2)] c2 (9.2)

≃ 170MeV.

Incluindo a energia cinetica das partıculas β e γ eleva-se o valor obtidona equacao 9.2 para aproximadamente 200 MeV por nucleo fissionado. NaTabela 9.1, mostra-se a contribuicao media para a energia de fissao de cada umdos produtos da mesma.

9.2 Aplicacao do Modelo da Gota Lıquida aFissao

O modelo da formula semi-empırica de massa, teve uma na fissao umadas suas melhores aplicacoes e pode-se ate afirmar que nos primordios do estudoda fissao, foi esse modelo que permitiu entender o processo nuclear de fissao.Utilizando a formula semi-empırica de massa, desenvolvida no capıtulo 2 destasnotas, pode-se verificar que no processo de fissao o termo de volume nao sofrealteracao, enquanto que o termo de superfıcie e o termo coulombiano sofreraomudancas, para isso aplica-se o modelo da FSEM, a chamada fissao simetrica,na qual,



Tabela 9.1: Energia emitida e recuperavel para a fissao do 235U .Energia emitida Energia Recuperavel

[MeV] [MeV]Produtos de Fissao 168 168Neutrons 5 5Gamas prontos 7 7Decaimento dos produtosβ 8 8γ 7 7neutrinos 12 0Captura γ 0 5Total 207 ∼ 200

M(Z,A) ⇒ 2M(Z2 ,A2 )

.

O termo coulombiano, da FSEM, podera entao ser escrito, antes e depois dafissao ter ocorrido, como:

− a3Z2

A1/3→ −2a3(Z/2)2

(A/2)1/3− (Z/2)2e2

2R(9.3)

Cujo valor resultado, na Eq. 9.3 pode ser aproximado por,

+0, 37a3Z2/A1/3.

Enquanto que, as mudancas do termo de superfıcie podem ser expressas daseguinte forma:

− a2A2/3 → −2a2(A/2)2/3 ≃ −0, 2599a2A2/3 (9.4)

Portanto, o valor do Qfissao da reacao pode, dessa maneira, ser calculado por

Qfissao =MZ,A − 2M(Z2 ,A2 )

= −0, 2599a2A2/3 + 0, 37a3Z2A−1/3 (9.5)

A alteracao da energia devida a esses dois termos, coulombiano e de superfıcie,desprezando os demais e substituindo os valores a2 e a3 resulta em:

Qfissao = 0, 2645A2/3

(−17 + Z2

A

)[MeV ] . (9.6)

Esta forma simplificada, de analisar a fissao, nos mostra que para a condicaoZ2 > 17A havera um ganho positivo de energia correspondendo a situacao em



que os dois fragmentos possuem energia de ligacao maior do que o nucleo quese fissiona. Como esta condicao nos leva tambem a uma regiao de nucleos seminteresse para a fissao e necessario melhorar essa condicao.

Uma forma mais adequada de tratar esse problema e lembrar que sea energia de superfıcie e maior do que a coulombiana, a gota lıquida deve-sedeformar emitindo fotons e voltando a forma esferoide. No caso da energiacoulombiana, repulsiva, vencer a energia superficial a fissao sera o processoescolhido para a de desexcitacao.

Analisando o problema da deformacao produzida, por exemplo, pela ab-sorcao de um neutron em um nucleo esferico, a mudanca de volume e muitopequena portanto a variacao da energia de volume tambem o e. Fica-se nova-mente so com os termos de energia de superfıcie e volume, enquanto que o desuperfıcie aumenta o de volume diminui relativamente, portanto, o nucleo deraio R = RoA

1/3, se tornara um elipsoide de eixos maior a e menor b dados pora = R(1+ ϵ) e b = R

(1+ϵ)1/2, onde a excentricidade e dada por, ϵ = (a2− b2)1/2.

Esta nova parametrizacao deve garantir a premissa de que o volume deva semanter o mesmo do nucleo original, portanto,

V =4

3πab2 =

4

3πR3

oA (9.7)

Dessa forma, os termos de energia e volume poderao ser alterados para:

BS = a2A2/3

(1 +

2

5ϵ2 + ...

)(9.8)

BV = a3Z2A−1/3

(1− 2

5ϵ2 + ...

)(9.9)

Portanto a variacao de energia apos a deformacao sera dada por

∆B = ∆BS +∆BV = ϵ2(7, 34A2/3 − 0, 142Z2A−1/3)[MeV ] (9.10)

Desta vez para que o valor desta variacao seja positiva, para pequenas de-formacoes, o criterio para que ocorra a instabilidade sera dado por

Z2

A≥ 51, 7 (9.11)

O parametro de fissao Z2/A pode ser usado como um parametro classicode analise da fissao. As correcoes quanticas devem ser consideradas, mas umaanalise qualitativa, utilizando o parametro de fissao nos permite entender osfundamentos da fissao de forma simples. A Fig. 9.3 nos mostra o potencialna fissao, para diferentes estagios de deformacao ate a completa fissao, ondeo potencial repulsor dos fragmentos e unicamente coulombiano. A forma dopotencial, na regiao Rfi e bem mais complexa, exigindo um modelo melhor doque o da gota lıquida, como por exemplo o modelo hıbrido[6].



Figura 9.3: Comportamento potencial na Fissao, utilizado no modelo da gotalıquida.

9.3 Fısica de Reatores

O processo de fissao em cadeia, como o mostrado na Fig. 9.4, desen-volvido por Enrico Fermi, levou ao princıpio basico dos reatores nucleares cha-mados reatores termicos, por terem a fissao produzida por neutrons termicose uranio natural. A fısica de reatores e hoje uma ciencia de fundamentos bemmais complexos, utilizando a teoria de transporte de neutrons, mas no nossocaso se pretende dar ao leitor o conhecimento basico desse assunto baseadosunicamente na formula dos quatro fatores. Este e um modelo chamado reatorpontual, pois despreza os efeitos da geometria espacial.

Uma das principais caracterısticas da fissao induzida por neutrons e apossibilidade da reacao ser realizada em cadeia. No caso do 235U , em cadaevento de fissao liberam-se em media 2, 43 neutrons por cada neutron termicoabsorvido. Estes neutrons podem induzir novas fissoes dando origem a reacaoem cadeia. O processo investigado por Fermi foi o de realizar esta reacao deforma controlada, dando lugar a um reator.

Os componentes basicos do reator chamado pilha de Fermi, construıdana Universidade de Chicago, eram o combustıvel nuclear, o uranio natural,moderador o grafite e barras de controle feito por elementos de cadmio e boro.O calor gerado era retirado por conveccao do ar que circulava livremente entreas barras de combustıvel.

Mesmo que se utilizem outros materiais, essa ainda e a base do que sechama de reator termico. Para que a reacao em cadeia seja auto-sustentada



Figura 9.4: Reacao de fissao em cadeia.

por neutrons produzidos na fissao, e preciso que daqueles 2, 43 neutrons sobrepelo menos um para produzir uma reacao de fissao em cadeia. Como todas asreacoes de absorcao tanto no combustıvel como em todos os outros materiais,bem como as fugas para o exterior competem com a reacao de fissao e necessarioestabelecer um criterio de contabilidade dos neutrons que garanta a estabilidadeda reacao de fissao.

Considerando a razao entre o numero de neutrons produzidos, entregeracoes contıguas do processo de reacao em cadeia, pode-se definir o fator demultiplicacao de neutrons k;

k =Numero de neutrons produzidos na geracao (i+1)

Numero de neutrons produzidos na geracao i(9.12)

Pode-se entao definir a situacao do reator como crıtica quando k = 1,ou seja o numero de fissoes permanece estavel e portanto tambem a potenciatermica. Quando k < 1 teremos um estado sub-crıtico e o reator nessa condicaoapaga apos um certo tempo. No caso de k > 1 o sistema e denominado su-percrıtico e isso ocorre quando o reator inicia o seu funcionamento e se queraumentar a sua potencia. Nessa condicao o valor utilizado, por motivo deseguranca, e muito pequeno como por exemplo 1, 00001.

A escolha de diferentes composicoes materiais pode agora ser explicada,pois no caso do Fermi, o conjunto uranio natural grafite, permitia obter umvalor que facilmente chega a k > 1. Nos reatores PWR e BWR, o conjuntode materiais e bem mais complexo, mas pode-se dizer que ao utilizar a aguacomo moderador, o uranio deve ser enriquecido para que k seja maior do que a



unidade. Isto quer dizer que existe um conceito material de reator no qual se es-colhem os materiais, para os quais e possıvel atingir o estado critico. Escolhidoo conceito material resta encontrar a geometria e as dimensoes que permitam oreator funcionar em estado critico. Em um sistema hipotetico em que os mate-riais sao misturados de forma homogenea, e possıvel, para uma dada geometriaencontrar a composicao e vice versa, capaz de produzir o reator critico.

Figura 9.5: Espectro de energia dosneutrons produzidos na fissao.

Figura 9.6: Secao de choque de fissaopara o uranio.

Na reacao em cadeia segue-se a historia dos neutrons, desde a sua geracaono processo de fissao, de forma coletiva, no combustıvel como um todo. Nesseprocesso os neutrons sao produzidos como rapidos, com um espectro de energiacomo o indicado na Fig.9.5. Destes neutrons os que se difundem para o modera-dor sao moderados ate atingirem energia termica, com um espectro gaussianocom media 0, 025eV . Os neutrons rapidos podem ser absorvidos ou podemfugar-se do meio sendo perdidos para o processo de fissao. Os neutrons absor-vidos, no combustıvel, tanto rapidos como termicos podem produzir fissoes masa secao de choque dos termicos e muito mais muito alta. Por isso o controle doprocesso de fissao, nos reatores termicos e feito sobre a populacao de neutronstermicos, utilizando as barras de controle. Todo este processo fısico esta exem-plificado na Fig. 9.7.

9.3.1 Formula dos 4-fatores

O processo de fissao pode ser resumido atraves de quatro parametros quequantificam os processos fısicos envolvidos. Para entender todo o processo defissao em cadeia, visando estabelecer a formula dos quatro fatores e necessario,primeiro, observar a forma da secao de choque de fissao, em funcao da energia,como esta mostrado na Fig. 9.6 verificando que essa funcao apresenta tresregioes distintas: a primeira a regiao termica a segunda a regiao de ressonanciase a ultima a regiao rapida. Como os neutrons sao produzidos como rapidos,no processo de moderacao e termalizacao nos interessa conhecer a fracao delesque atinge a regiao termica. Para isso vamos definir o fator de multiplicacao



chamado infinito pela formula dos quatro fatores nao levando em consideracaoas fugas de neutrons por se tratar o meio como infinito:

k∞ = ηϵpf. (9.13)

Um reator a fissao e uma estrutura em que a reacao de fissao e conduzidade modo controlado com um volume definido. Desta maneira o sistema detamanho finito, que constitui o nucleo do reator possui um fator efetivo demultiplicacao kef que pode ser expresso de um meio infinito atraves da ex-pressao:

kefk∞

=neutrons absorvidos

neutrons absorvidos+ fuga de neutrons= Pnf , (9.14)

em que Pnf representa a probabilidade de que os neutrons sejam retidos, (naoescape), no sistema finito ate que sejam absorvidos. O problema de estabelecera condicao de criticalidade para um sistema finito, consiste em primeiro, definirkef = 1, a partir do fator de multiplicacao infinito que e funcao da escolha demateriais para o combustıvel, moderador, refrigerante e estruturas. A segundaparte depende da determinacao de Pnf , funcao tanto dos materiais escolhidoscomo da geometria do sistema, ou seja forma e tamanho. Esta probabilidadeaumenta com as dimensoes, tendendo a unidade para o tamanho infinito.

• Fator de utilizacao do combustıvel: η

Nem todos esses neutrons absorvidos no combustıvel produzem fissao, ofator de utilizacao do combustıvel η, e definido entao como: o numeromedio de neutrons da fissao produzidos por neutron absorvido no com-bustıvel. Portanto no inıcio da segunda geracao teremos nϵpfη neutronsde fissao produzidos a partir dos n neutrons da primeira geracao. Quandon = 1 a formula dos quatro fatores sera ϵpfη, e calculara o fator de multi-plicacao infinito. A expressao geral para o fator de fissao termica e dadapor:

η = νN(235U)σf

N(235Uσa +N(238U)σc. (9.15)

• Fator de fissao rapida: ϵ

Considerando que a populacao de neutrons, em um dado instante, sejan produzida por fissao rapida do 235U , com energia media de 2MeV .Antes que esses neutrons sejam moderados existe a possibilidade de seproduzam fissoes rapidas no 238U . O fator de fissao rapida ϵ e definidocomo: a relacao entre o numero de neutrons rapidos que estao sendomoderados a partir da energia umbral de fissao do U-238 e o numero deneutrons produzidos por fissoes termicas. Portanto o numero de neutronsmoderados que continuarao o processo de moderacao sera dado por nϵ



No caso de uma mistura diluıda de combustıvel e moderador no qual adensidade atomica do combustıvel e muito maior do que do moderador,ϵ pode ser tomado igual a unidade. Para o caso de reatores moderadosa agua, onde a relacao combustıvel agua nao e tao grande se utiliza aseguinte expressao para ϵ:

ϵ =1 + 0, 690[N(238U)

N(H2O) ]

1 + 0, 563[N(238U)N(H2O)

] . (9.16)

Dessa maneira, a absorcao de n neutrons termicos produz nηϵ neutronsrapidos, que se moderam a partir da energia umbral da fissao do U-238,da ordem de 1Mev.

• Probabilidade de escape a ressonancia: p

Durante o processo de moderacao alguns neutrons sao absorvidos nas res-sonancias do 238U . A probabilidade de escape a ressonancia p e definidacomo: a fracao de neutrons que escapam a captura nas ressonancias du-rante o processo de moderacao. A probabilidade de escape a ressonancia,para sistemas homogeneos de pequeno enriquecimento pode ser compu-tada como:

p = exp

[−2, 73

ξ

Σs

N(238U)

−0,514]. (9.17)

O numero de neutrons que alcancaram a energia termica sera: nηϵp.

• Fator de utilizacao termica: f

Depois que os neutrons sao completamente moderados e temos o pro-cesso de termalizacao, eles se difundem podendo ser absorvidos no com-bustıvel ou no moderador. A fracao de neutrons absorvidos no com-bustıvel e definida pelo fator de utilizacao termica f , definido como: afracao de neutrons termicos absorvidos no reator que sao absorvidos nocombustıvel. Torna-se evidente que o numero de neutrons absorvidos nocombustıvel e dado por, nϵpf . O valor de f pode ser calculado por:

f =Σa(c)

Σa(c) +Σa(m). (9.18)

onde Σa(c) e a secao de choque macroscopica de absorcao em todo ocombustıvel e Σa(m) a secao de choque de absorcao em todo o mode-rador. Uma vez termalizados e absorvidos pode-se dizer que o numerode neutrons de cada geracao absorvidos no combustıvel sera dado por:nηϵpf .



O fator de multiplicacao infinito podera ser obtido a partir dessa formula dequatro fatores,

k∞ =nηϵpf

n= ηϵpf. (9.19)

Para um reator real com dimensoes finitas define-se o fator de multiplicacaoefetivo, como;

kef = k∞Pnf (9.20)

Tanto o calculo do k∞ como do kef , necessita de alguma teoria parafundamentar o calculo dos fatores da equacao 9.13. Em princıpio, existemvarios modelos para o processo de producao, moderacao e termalizacao deneutrons num meio material baseados na solucao da equacao de transporteou em alguma de suas aproximacoes. Tanto os detalhes do processo de fissaocomo dos fundamentos da fissao em cadeia podem ser encontrados em livrosintrodutorios[7],[8].

9.3.2 Equacao da Criticalidade

A aproximacao mais simples para deduzir a condicao de criticalidadeconsiste em considerar todos os neutrons com a mesma energia. Em um reatorcritico a densidade de neutrons se encontra em um estado estacionario semnecessidade de uma fonte externa e isto significa que o numero de neutronsproduzidos e igual a soma de neutrons absorvidos mais os que escaparam dosistema pelas fronteiras do reator. Utilizando a teoria da difusao pode-se es-crever essa condicao da seguinte forma:

S = Σϕ+D∇2ϕ, (9.21)

na qual S representa a fonte de partıculas, no caso produzidos por fissao; Σaϕ,representa a absorcao e D∇2ϕ representa as fugas, em que D e o coeficiente dedifusao. Cons

S = k∞Σaϕ, (9.22)

pode-se escrever a Eq. 9.21 como:

D∇2ϕ− Σϕ− k∞Σaϕ. (9.23)

Reagrupando os termos,

∇2ϕ+(k∞ − 1)Σa

Dϕ = 0. (9.24)

Esta equacao diferencial pode ser escrita a partir da definicao do laplacianocritico do sistema B2

c , que consiste na medida da curvatura da distribuicao dofluxo de neutrons:

∇2ϕ+B2cϕ = 0. (9.25)



A curvatura do fluxo, para a condicao critica, podera ser avaliada por:

B2c =

(k∞ − 1)Σa

D. (9.26)

Esta condicao nos permite escrever que:

k∞

(1

1 + DσaB2

c

)= 1 = k∞Pnf . (9.27)

Dessa maneira a probabilidade dos neutrons serem retidos, pode ser calculadoa partir do conhecimento dos parametros do sistema contidos na expressao:

Pnf =

(1

1 + DσaB2

c

). (9.28)

9.3.3 Reator Nuclear de Fissao

Nas secoes anteriores, se observa a necessidade de tres componentesbasicos para produzir um reator nuclear a fissao por neutrons termicos, o com-bustıvel e o moderador e as barras de controle. Existem varias possibilidadesde compor estes materiais, mas os mais utilizados foram, o uranio metalico nasua composicao natural e o grafite, utilizado no reator de Fermi, ou o uranio en-riquecido na forma de UO2 e agua, leve ou pesada, como o reator que se mostrana Fig.9.7, um reator de agua pressurizada. Alem destes componentes aindaexiste a necessidade termodinamica de um material que transporte o calor, ma-teriais para refletor de neutrons, materiais para a estrutura do combustıvel edo reator, alem de blindagem de neutrons e gama.

A construcao de uma usina nuclear, para a producao de energia eletricae um processo tecnologico muito complexo, fora do contexto destas notas deaula, mas para dar uma visao de como o reator nuclear e utilizado como basede uma usina para a geracao de energia eletrica, mostramos a Fig. 9.8, de umreator do tipo PWR, ou reator de agua pressurizada, onde o reator toma afuncao de caldeira aquecendo agua, que por sua vez produz vapor, que acionaas turbinas que por sua vez acionam o geradores eletricos, da mesma formaque numa usina a carvao. Maiores detalhes da tecnologia de reatores pode serencontrado num livro introdutorio a fısica de reatores[8].

9.4 Fusao

A maior parte da energia existente na terra, e proveniente da energiado sol. O sol torna possıvel a vida na terra, atraves da utilizacao da energiada biomassa, do carvao, do petroleo, da energia eolica e da energia hidraulica.Considerando que a fonte primordial dessa energia e a fusao nuclear, que ocorreno sol, poderıamos perguntar se a fusao tambem podera ser realizada na terra.



Figura 9.7: Esquema de um reator nuclear, mostrando a associacao do com-bustıvel, moderador e barras de controle.

A utilizacao da fusao como uma fonte controlavel de energia nos parece possıvel,diante do desenvolvimento cientıfico atual, mas ate o momento isso nao setornou possıvel. Quando a utilizacao da energia da fusao se tornar possıvel,ela sera uma fonte simples e pouco poluente se comparada com a fissao oucom a combustao do carvao e do petroleo. Um reator de fusao, tal como sepode antever hoje, necessitara de equipamentos muito sofisticados e portantomuito caros e ainda produzira alguma radioatividade mesmo que em menorquantidade do que a fissao. Acredita-se que a fusao podera vir a ser umafonte de energia muito importante se dois passos importantes forem dados,primeiro o controle do plasma, segundo a eliminacao ou mesmo a minimizacaoda radioatividade induzida nos materiais do reator.

Para manter o processo de fusao de forma contınua tentando imitar o solou qualquer outra estrela, deve-se lembrar que a energia cinetica dos nucleosque se fundem deve ser tao grande que assegure a possibilidade de penetracao dabarreira potencial coulombiana. Para nucleos leves isso ocorre acima de 1 keV ,o que corresponde a temperaturas da ordem de 107 K. Nessa temperatura osatomos leves estao completamente ionizados e constituirao o que chamamosde plasma. Mas esta condicao, em si, nao e suficiente, pois e preciso atingiruma certa densidade de materia, capaz de permitir uma taxa de reacoes defusao capaz de manter essa temperatura. No interior das estrelas essa condicaoatinge valores condizentes com o tipo de ciclo da mesma. No caso da fusao dosol, ou seja o ciclo proton-proton, a temperatura e densidade sao da ordem de1, 5× 107K e 1 kg/cm3.

A primeira questao que surge quando se inicia o estudo da fusao e a de fa-zer a comparacao com a fissao, seja comparando os combustıveis, especialmenteem relacao a eficiencia, disponibilidade e perigos inerentes a energia nuclear.O combustıvel basico para qualquer programa nuclear, baseado na fissao, que



Figura 9.8: Esquema de uma usina nuclear do tipo PWR.

se inicia e o 235U enquanto que o da fusao e constituıdo pelos dois isotopospesados do hidrogenio, o 2H e o 3H. A razao para utilizar esses isotopos seramelhor explicada no decorrer destas notas, mas ja se pode antever que comoo uranio o deuterio existe na natureza em grandes quantidades, mas o trıtionao, devendo portanto ser produzido artificialmente. Para isso se lanca maodo lıtio, que bombardeado com neutrons produz trıtio.

Quanto ao rendimento pode-se fazer uma avaliacao preliminar em termosda massa necessaria para realizar a fissao e a fusao. Para a fissao de um nucleoe necessario utilizar uma massa de 236 uma, um neutron mais um atomo,enquanto que na fusao se utilizara 5 uma, portanto a relacao de rendimentosera dada por 17, 5 MeV/5 uma = 3, 5 MeV/uma enquanto que na fissao200MeV/236uma = 0, 85MeV/uma.

Quanto aos perigos de utilizar a energia nuclear, o maior risco da fissaoesta relacionado a producao de actinideos de muito longa vida, enquanto quea fusao do hidrogenio produz, comparativamente, menor quantidade de ativi-dade e isotopos com meia vida tambem menor meia vida menores. Por outrolado existe a esperanca de ser possıvel utilizar no futuro combustıveis que naoproduzam radioatividade residual.

9.4.1 Reacoes de Fusao

A reacao D-T mostrada na equacao 9.29 na qual um ıon de deuteriobombardeia um nucleo de trıtio produz uma partıcula α e um neutron, podera



se tornar o combustıvel do primeiro reator a fusao.

21H +3

1 H →42 He+

10 n+ 17, 6MeV. (9.29)

A quantidade de energia cinetica carregada por cada uma das partıculasproduto da reacao de fusao podera ser calculada da seguinte forma:

Eα =mn

mα +mn.Q =

1, 009

4, 003 + 1, 009.17, 6 = 3, 54MeV, (9.30)

En =mα

mα +mnQ =

4, 003

4, 003 + 1, 009.17, 6 = 14, 1MeV. (9.31)

Como o trıtio deve ser produzido artificialmente, ao reator de fusao seranecessario acrescentar uma material, denominado reprodutor de trıtio, que pro-duz esse combustıvel a partir de reacoes de absorcao de neutrons nos doisisotopos naturais do lıtio.

n+6 Li→ T +4 He, (9.32)

n+7 Li→ T +4 He+ n. (9.33)

A primeira reacao 9.32 possui uma grande secao de choque para neutronstermicos, enquanto que a segunda 9.33 e mais provavel para neutrons rapidos.Uma outra possibilidade e utilizar o ciclo D −D cujas reacoes sao:

21H +2

1 H → 32He+

10 n+ 3, 27MeV (9.34)

21H +2

1 H → 31H +1

1 p+ 4, 03MeV (9.35)

No ciclo D−D aparecem duas reacoes concorrentes, onde na primeira tambemse produzem neutrons. Portanto tanto no ciclo D − T como no ciclo D − Dos neutrons serao os responsaveis pela ativacao dos materiais e a producao deradioatividade residual.

Alem destes dois ciclos, existe a possibilidade do ciclo D − He, cujomaior interesse reside na ausencia desses neutrons, tornando-se portanto isentade radioatividade residual.

21H +3

2 He→42 He+

11 p+ 18, 3MeV (9.36)

A maior dificuldade desta reacao de fusao reside na necessidade de produzirartificialmente o 3

2He, pois, este, tambem nao existe na natureza e sua producaoe comparativamente mais difıcil do que a do trıtio.



9.4.2 Condicoes Fısicas para a Fusao Controlada

Ao contrario da fissao que se inicia pela absorcao de um neutron, eportanto nao e afetada pelas interacoes coulombianas, na fusao os nucleos ao seaproximarem sofrem forte repulsao eletrica, pois a fusao so pode ocorrer quandodois nucleos se aproximam a uma distancia da ordem do tamanho nuclear.As forcas de repulsao eletrica tornam-se tao intensas, que a aproximacao soocorrera quando os nucleos possuırem energia cinetica suficiente. Supondodois nucleos com numeros atomicos Z1e Z2, o potencial eletrostatico entre elessera dado por:

V =1

4πϵo

Z1Z2e2

r, (9.37)

onde r e a distancia entre os nucleos. Considerando que um dos ıons, seja oalvo, e esteja parado, e o outro o projetil e possua energia cinetica Ec. Nomomento do choque, a energia cinetica diminuira, enquanto que a energia po-tencial aumenta, ou seja a energia total permanecera constante, conforme sepode observar na Fig.9.9. No instante em que a energia cinetica for comple-tamente anulada, ou tenhamos unicamente energia potencial, Vo, a partıculaalcancara a menor distancia de aproximacao ro, sob a hipotese de que a forcaeletrostatica seja a unica forca de interacao.

Figura 9.9: Potencial Coulombiano entre dois ıons.

Quando a distancia atingida for da ordem do tamanho nuclear, apare-cem tambem as forcas nucleares, fortemente atrativas, e a reacao nuclear poderaocorrer. Para nucleos leves essa distancia e da ordem de 5 × 10−15 m. Paraos isotopos do hidrogenio, tanto do ciclo D − T , como do ciclo D-D , teremosZ1 = Z2 = 1, a energia mınima sera de 0, 29 MeV . Para atomos de numeroatomico maior essa energia cresce, justificando portanto a escolha de isotoposde hidrogenio para a fusao. O processo de interacao nuclear, nao pode ser expli-cado somente em termos da energia coulombiana pois a interacao e mecanico-quantica e isso pode explicar que a fusao ocorra para energias cineticas inferiores



a 100keV , atraves do chamado efeito tunel. De acordo com essa teoria umapartıcula pode penetrar uma barreira de potencial maior do que a sua energiacinetica.

A altas temperaturas, quando os atomos colidem e arrancam mutua-mente os seus eletrons, produzindo uma mistura de atomos ionizados e eletrons,forma-se uma mistura denominada plasma. Num plasma suficientemente quente,as partıculas ao se chocar podem interagir produzindo a fusao. Para que nafusao se produza energia aproveitavel e necessario que a energia da fusao sejamaior do que o calor necessario para aquecer o plasma. Para se chegar a umreator a fusao e preciso entao produzir a fusao de uma massa de atomos detal maneira a manter a reacao de maneira auto-sustentada. A fusao sera auto-sustentada para ser uma fonte de energia quando a temperatura do plasma sejasuficientemente alta, mantendo-se a densidade atomica em um determinadotempo de confinamento. Utilizando-se tres parametros do plasma, e possıveldeterminar esse comportamento, a sua temperatura absoluta T , a densidadeionica ni e tempo de confinamento τ .

Temperatura de Ignicao do Plasma

Ao aquecer um plasma para permitir que ocorra a fusao, ocorre a ace-leracao de ıons e portanto ocorre a perda de energia por radiacao. Essa perdade energia ocorre no interior do plasma e portanto tambem pode ser, em parte,utilizada para aquecer o meio onde e produzida. A outra parte sempre seraperdida pelas fronteiras do plasma. Como consequencia a reacao de fusao sopodera ser auto-sustentada na condicao em que a energia de fusao supere aperda de energia por radiacao. Esta condicao define a necessidade de umatemperatura mınima necessaria para que o plasma possa manter a fusao deforma auto-sustentada.

Para determinar a temperatura mınima de operacao e necessario obteras taxas de producao de energia atraves da fusao, comparando-se esse valor coma taxa de perda por radiacao. A taxa de reacao depende da densidade ionicade cada tipo ni e de sua velocidade. A secao de choque de tal reacao tambeme funcao da velocidade. A taxa de reacao de fusao podera entao ser escrita emfuncao da secao de choque e velocidade medias. A taxa de reacoes dependeradas densidades das especies atomicas envolvidas na fusao n1 e n2 e da suavelocidade relativa v. A secao de choque da reacao σ mede a probabilidade dareacao de fusao. A taxa de reacoes de fusao por unidade de volume pode serescrita da seguinte forma:

Rfusoes/m3 = n1n2 < σv >, (9.38)

onde n1 e n2 sao as densidades das duas especies de ıons e < σv > o valor



esperado da reatividade, calculada por,

< σv >=

∫ ∫d3v1d

3v2f1(v1)f2(v2)|v1 − v2|σf (|v1 − v2|), (9.39)

onde v e a velocidade, f a distribuicao de velocidade e σf a secao de choque defusao e utilizando uma distribuicao Maxwelliana para uma dada temperaturaabsoluta T :

fm =( m

2πkT

)2/3e−mv2/2kT . (9.40)

Considerando como Q a energia media liberada por cada reacao de fusao,a densidade de potencia Pf sera dada pelo produto da taxa de reacoes Rf poresse valor de Q.

Pf = n1n2 < σv > Q. (9.41)

No caso do ciclo D−T , n1 e n2 sao as densidades dos deuteron e trıtio respec-tivamente.

Para a determinacao da temperatura de ignicao, ou seja, a temperaturamınima para que a reacaoD−T se realize faz-se o balanco de energia de entradae saıda no plasma. Para isso teremos a energia das partıculas alfa que deposi-tarao a sua energia no plasma, onde ficam confinadas enquanto que a energiados neutrons escapam depositando a sua energia fora num meio escolhido paraaproveitamento de sua energia ou para reproducao do trıtio. A quantidade< σv >, denominada reatividade do plasma, depende da temperatura comomostra a Fig. 9.10. A radiacao de frenamento ou bremstrahlung produzidapela aceleracao de ıons no processo de confinamento e dada por:

PB = bn1n2√kT , (9.42)

onde b e uma constante de proporcionalidade que depende do tipo de partıculas.Depois da escolha do ciclo de combustıvel, determina-se as condicoes para atin-gir o estado do plasma em que ocorre a reacao de fusao auto-sustentada, igua-lando a energia necessaria para aquecer o plasma a energia produzida pelafusao, o que corresponde ao chamado criterio de Lawson [9]. Varios textossobre os fundamentos fısicos da fusao poderao ser consultados para um melhorentendimento do tema;[11];[12];[13].

9.4.3 Criterio de Lawson

Os requisitos ou condicoes mınimas para que ocorra a fusao auto susten-tada sao conhecidos como o criterio de Lawson que descreve a seguinte situacaofısica: considerando um gas aquecido a uma temperatura T , mantido a essatemperatura em confinamento durante um perıodo de tempo τ numa dadadensidade n. O mecanismo de confinamento nao e especificado, mas o meca-nismo de perda de energia e por bremsstrahlung. O confinamento e mantido



Figura 9.10: Reatividade em funcao da energia cinetica para as reacoes D-T eD-D.

fornecendo-se energia externa somente para o aquecimento inicial e tambempara compensar a perda por bremsstrahlung durante um tempo τ . Considera-se que energia produzida por neutrons, partıculas carregadas e fotons e retiradae processada com uma dada eficiencia η para produzir energia util. A condicaode potencia zero e atingida quando a energia retirada do plasma e equivalentea fornecida externamente.

Para quantificar este balanco de energia necessitam-se tres quantidadesde energia, a energia de fusao Ef , a quantidade de energia para aquecer oplasma ET , e a energia emitida por bremsstrahlung EB . Consequentementeteremos o balanco de energia dado por:

ET + EB = Ef (9.43)

Considerando que parte da energia de bremsstrahlung, servira para aquecer oplasma se atingira a condicao de potencia zero atraves de:

η(Ef + ET + EB) = ET + EB , (9.44)

onde a energia para aquecer o plasma, ET , e necessaria para aquecer um gas que



contenha 2n partıculas, ja que cada partıcula e dissociada em um ıon positivoe um eletron. Como a energia por partıcula sera 3/2kT , teremos ET = 3nkT .A perda de energia EB , por bresstrahlung a partir da Eq. 9.42 sera dada por:

EB = bn2τ√kT , (9.45)

e a energia de fusao Ef , sera:

Ef = Pfτ =n2

4< σv > Qτ. (9.46)

Substituindo estas parcelas de energia na equacao 9.44 e isolando nτ , teremos:

nτ =3kT

η1−η

<σv>Q4 − b

√kT

(9.47)

Esta expressao geral pode ser aplicada ao plasma D − T considerando queη = 1/3, para o T = 108 K obtendo-se nτ ≃ 1014s/cm3. No caso do cicloD−D nτ e 100 vezes maior e a temperatura e muito mais alta. Os experimentosatuais com Tokamak, chegaram muito proximo a esse valor.

9.4.4 Fundamentos do Confinamento

A fusao de forma controlada pode ser atingida desde que a temperaturaseja suficiente para iniciar a reacao de fusao, mantendo-se ao mesmo tempoa densidade e tempo de confinamento nas condicoes definidas pelo criterio deLawson.

Existem duas maneiras diferentes de atingir o confinamento, o confina-mento magnetico e o confinamento inercial e em ambos casos o estado de plasmadeve ser atingido. No primeiro processo ou confinamento magnetico, os ıonsdo plasma devem ficar no interior de uma camara a vacuo, limitados por cam-pos magneticos, capazes de fazer com que as trajetorias dos ıons se restrinjamao interior da camera, enquanto que o aquecimento se inicia por aquecimentoohmico, ao qual se pode adicionar aquecimento por ondas de RF e injecaode partıculas neutras. No confinamento inercial o tempo de confinamento e otempo suficiente para que um pequeno alvo sofra uma compressao a altıssimasdensidades. O aquecimento e tao rapido que os nucleos nao terao tempo deescapar pelas paredes. Um laser pulsado de alta potencia deve ser capaz de in-cidir sobre uma esfera de deuterio-trıtio congelado, de aproximadamente 1 mmde diametro, com uma potencia de 1014 W ou 105 J/10−9 s.

Confinamento Magnetico

A maior parte da pesquisa em fusao controlada se concentra no confi-namento magnetico. No caso do ciclo da fusao baseado na reacao D − T , o



plasma consistira de partıculas eletricamente carregadas e neutrons. Como osneutrons nao sao afetados pelo campo magnetico, podem escapar do plasma,enquanto que as demais partıculas ficarao limitadas a trajetorias no interiorda camara. O campo magnetico se constituira, portanto, numa camara naomaterial, na qual o plasma ficara confinado. O plasma, como um gas, exerceuma pressao originada pelo movimento das partıculas. Quando a distanciamedia entre partıculas e muito grande, o plasma pode ser tratado como um gasideal, e como consequencia a pressao e proporcional a temperatura absoluta e adensidade. Na Fig.9.11, pode-se observar esse comportamento, da pressao emfuncao da energia cinetica, representando o comportamento linear, de acordocom:

p = (ni + ne)kT (9.48)

onde ni+ne representa a densidade total de ıons e eletrons e kT e a temperaturacinetica absoluta. O exemplo apresentado na Fig. 9.11, foi obtido considerandoas densidades de ıons e eletrons identicas e iguais a 1015 particulas/cm3. A

Figura 9.11: Densidade de potencia para as reacoes D-T e D-D.

maxima pressao de plasma que pode ser confinado por campo magnetico de-



pende do valor do campo magnetico. Como este limite teoricamente nao existe,nao existira portanto limitacao para o confinamento de plasma por campomagnetico. A relacao entre a intensidade de campo e a pressao efetiva que ocampo exerce sobre o plasma sera dado por:

p+B2

2µo= constante, (9.49)

A quantidade B2

2µo, pode ser interpretada como a pressao do campo magnetico.

Quando o plasma estiver completamente confinada pelo campo magnetico ex-terno Bo, e a pressao externa for nula teremos a equacao 9.50 na seguinteforma:

p+B2

2µo=

B2o

2µo. (9.50)

O plasma pode ser caracterizado pelo parametro adimensional, β, dado por:

β =pB2

o

2µo

ou (9.51)

β = 1− B2

B2o

. (9.52)

Num plasma com β = 1 a pressao maxima produzida pelo campo magnetico Bo

sera dada por: pmax =B2

o

2µo. Para que se atinja a estabilidade e necessario que

produzam plasmas com o parametro β com valores inferiores a unidade, masmesmo assim o valor de pmax e um indicativo do valor de campo magnetico ne-cessario para manter o processo de fusao. Por exemplo, para n = 2×1015 cm−3

e kT = 100 keV , encontraremos B = 9 T . Um campo magnetico desta ordeme tecnologicamente difıcil de ser atingido, pois nao podera ser obtido por ımasque contenham ferro ja que o mesmo satura com campo da ordem de 2 T .Campos magneticos que utilizem somente espiras condutoras podem atingireste campo, mas as perdas ohmicas Ri2, serao muito grandes, portanto nosresta construir bobinas de material supercondutor.

9.4.5 Fundamento da Fısica do Plasma

Inicialmente devemos perguntar, o que e o plasma? De forma bemsimples se pode responder que se trata de um sistema material quasi-neutro departıculas eletricamente carregadas que exibe um comportamento que se podecaracterizar como coletivo. Como se trata de uma resposta vaga, vamos ten-tar caracterizar o plasma, primeiro dizendo que a concentracao de partıculaseletricamente carregadas, a uma dada temperatura, deve ser suficientementegrande para que haja domınio das forcas coulombianas de longo alcance comofator dominante das propriedades estatısticas. Por outro lado a concentracao



de partıculas carregadas deve ser suficientemente baixa para que o efeito dosprimeiros vizinhos seja pequeno em relacao ao efeito total das forcas coulombia-nas exercidas por partıculas distantes. A concentracao de partıculas carregadas,para que o tempo medio de colisao entre partıculas carregadas e neutras sejagrande em relacao a um tempo medio caracterıstico dos fenomenos coletivos.Sempre se diz que o plasma e o quarto estado de materia, e isso pode se con-siderar valido, dentro do conceito acima. Esse conceito surge do fato de queao se fornecer uma certa quantidade de energia pode produzir na materia umestado superior, tal como uma transicao de fase. Assim ao fornecer a energiade ionizacao a um sistema material no estado gasoso, o mesmo se transformanum novo estado o plasma. Uma das caracterısticas do plasma e a sua habili-dade de blindar qualquer potencial eletrico que apareca dentro dele. Isto nospermite dizer que o plasma que um campo eletrico apareca estatisticamenteno seu interior. Imaginemos, por exemplo, que se coloque dentro do plasmaum eletrodo com potencial positivo ϕo. Imediatamente as cargas negativas doplasma se distribuirao em torno do eletrodo anulando o seu potencial, nao per-mitindo que um campo eletrico apareca no interior do plasma. O eletrodo aoatrair cargas negativas repelira cargas positivas, criando uma regiao de cargaespacial negativa que cancelara o potencial aplicado. A largura desta regiaoesta relacionada como se costuma chamar comprimento de Debye, λD.

9.4.6 Parametros de interesse para definir o Plasma

• Comprimento de Debye

O comprimento de Debye pode ser expresso por:

λD =

(T

4πe2

)1/2√T

n, (9.53)

onde T e a temperatura e n a densidade de eletrons.

• Parametro g

A partir do comprimento de Debye e possıvel definir o parametro deplasma, g, como o inverso do numero de partıculas carregadas do plasmadentro de uma esfera de Debye, dada pela seguinte expressao:

g =1

nλ3D. (9.54)

Para g << 1 tem-se a chamada aproximacao de plasma e pode-se demons-trar que a energia potencial media entre as partıculas e muito menor doque a energia cinetica das partıculas.

• Frequencia do Plasma



O comportamento coletivo do plasma e indicado por uma oscilacao criadapor forcas restauradoras proporcional ao deslocamento de cargas da suaposicao de equilıbrio, a chamada frequencia de plasma dada por:

ωp =

(4πne2

m

)1/2

(9.55)

Estes tres parametros do plasma, o comprimento de Debye, g e a frequenciado plasma podem ser utilizadas para conceituar o plasma, assim pode-sedizer que o plasma e uma colecao de partıculas carregadas e neutras quesatisfaz as seguintes condicoes:

– λD << L indica quase neutralidade do plasma, com um compri-mento caracterıstico L

– g << 1, indica um comportamento coletivo,

– ωpτ > 1, indica colisoes nao frequentes.

Confinamento Magnetico

Primeiro vamos estudar o princıpio basico que faz com que o plasmapossa ser confinado pela acao de campos magneticos, ou seja a maneira pelaqual o campo magnetico restringe o movimento de cargas eletricas. Comecandopelo campo magnetico uniforme, uma partıcula movendo-se paralelamente aocampo nao sofre nenhuma forca, enquanto que se ela tiver a velocidade normalao campo magnetico sofrera a acao de uma forca que a restringira a um movi-mento circular conforme se pode observar na Fig. 9.12a e Fig. 9.12b. Quandoa partıcula se mover com velocidade com componentes normal e paralelo aocampo teremos o movimento da mesma restrito a forma helicoidal, conformetambem se pode observar na Fig.9.12c.

A forma mais simples de confinamento magnetico e o chamado espelhomagnetico (magnetic mirror), ou garrafa magnetica, produzido por duas bobi-nas paralelas, chamadas de espelhos magneticos, pois sao capazes de refletir osıons formando uma regiao de plasma e deixando escapar apenas uma pequenafracao das partıculas. O principio do confinamento do espelho magnetico emostrado na Fig. 9.13.

A base do confinamento magnetico e o chamado comportamento adiabaticodo momento magnetico definido como:

µ =E⊥

B, (9.56)

onde E⊥ =mv2

⊥2 .

Como a energia cinetica pode ser dividida em duas parcelas, devidas acomponentes normal e paralela ao campo magnetico, E = E∥ + E⊥, pode-se



Figura 9.12: Forcas magneticas sob cargas em movimento num campo B uni-forme.

entao escrever essas duas parcelas de energia em funcao do momento magnetico,

E∥ = E − µB e E⊥ = µB. (9.57)

As partıculas que possuam pequeno momento magnetico poderao esca-par ao longo das linhas centrais do campo B pois E∥ sera comparativamentemuito grande. O aumento do valor da intensidade do campo diminuira as fu-gas, fazendo o raio de giro muito pequeno. O raio de giro de uma partıculanum campo magnetico e dado por,

ρ =v⊥ωc, (9.58)

onde ωc a denominada frequencia de ciclotron dada por, ωc =eBmc , portanto

ρ =v⊥

eB/mc=

1

B

v⊥e/mc

. (9.59)

Portanto quando ρ ∼ 1B ou seja v⊥ = e

mc ocorre a chamada difusao classica, ouseja os ıons terao como trajetorias percursos aleatorios ao longo das linhas decampo. Nessa condicao se o tempo de difusao e comparavel ou maior do queaquele previsto pelo criterio de Lawson, o plasma atinge as proximidades das



Figura 9.13: Principio de confinamento baseado no espelho magnetico.

condicao de um reator de fusao. O comportamento do plasma atingiu nos ex-perimentos conhecidos um comportamento denominado difusao de Bohm, cujaescala de tempo e muito mais curta. Este processo pode ser melhor entendidoutilizando o chamado coeficiente de difusao. O chamado coeficiente de difusaoclassico atraves de um campo magnetico uniforme pode ser dado por:

D⊥ =ρ2

τ= ρ2ν, (9.60)

onde ν e a frequencia de colisao, τ e o tempo de colisao. Considerando que afrequencia pode ser expressa em termos do livre caminho medio, ν = v⊥

λ e queo valor de ρ e dado pela equacao 9.58, teremos:

D⊥ =v3⊥λω2

∼ v⊥λB2

. (9.61)

O livre caminho medio e inversamente proporcional a secao de choquede colisao, que para partıculas carregadas e a chamada secao de choque deCoulomb σc portanto

λ ∝ 1

σc. (9.62)

Como σc =∝ T−2 resulta em λ ∝ T 2. A velocidade por sua vez tambem eproporcional a raiz quadrada da temperatura absoluta: v⊥ = T 1/2 pode-sereescrever a definicao do coeficiente de difusao dado na equacao 9.61 resultaem:

D⊥ ∝T 3/2

B2. (9.63)



Desta maneira pode-se dizer que quanto maiores a temperatura ou ocampo magnetico mais classico sera o comportamento da difusao. Como conse-quencia para atingir a condicao de plasma estavel basta aumentar a tempera-tura e o campo magnetico a vontade. O problema e que experimentalmente osplasmas de maior interesse nao seguem a difusao classica e esse fato e atribuıdoas instabilidades que surgem no plasma. Estas instabilidades resultam no cha-mado comportamento de difusao de Bohm, sao caracterizadas por um coefi-ciente de difusao DB dado por,

DB =kT

16e

1

B, (9.64)

portanto

DB ∝T

B. (9.65)

Esta expressao 9.65 indica que as instabilidades aumentam com a tempe-ratura e o comportamento menos crıtico em funcao do campo magnetico, poiso expoente e menor. Uma analise simplificada deste comportamento do plasmapode ser realizada utilizando um parametro de qualidade A assim definido:

A =DB

D ⊥. (9.66)

Em geral os resultados experimentais sugerem que para atingir o comporta-mento do plasma em condicao de um reator A ≥ 100.

Instabilidades no Confinamento Magnetico

A razao para que os plasmas nao atinjam a condicao de reator e devidaas chamadas microinstabilidades. As instabilidades no plasma podem ser divi-didas em dois grupos as chamadas macroinstabilidades ou instabilidades MHD(magnetohidrodinamica), devidas ao comportamento macroscopico e microins-tabilidades devidas ao comportamento anisotropico do plasma.

• Microinstabilidades

As microinstabilidades sao devidas a anisotropia da distribuicao de velo-cidades e falta de homogeneidade na densidade ou na temperatura. Talanisotropia e fonte de energia livre que gera instabilidades proximas dafrequencia ciclotronica. Um dos exemplos mais conhecidos da microinsta-bilidade ocorre quando dois grupos de partıculas, por exemplo eletrons eıons possuem uma velocidade relativa maior do que a velocidade termicade cada um deles. A eliminacao deste tipo de instabilidade depende devarias solucoes tecnicas que visam homogeneizar a distribuicao de energiacomo por exemplo a injecao de ıons com uma boa distribuicao de energiaem vez de mono-energeticos.



A combinacao de campo toroidal e poloidal nos Tokamak e outros torus,aumentam a chamada parede magnetica, para o controle de modos MHD,mas que tambem fornecem combate as microinstabilidades associadas aogradiente de densidade. Se credita a este efeito a difusao anomala deBohm.

• Macroinstabilidades (MHD) Quando ocorre a amplificacao de ondas ex-citadas externamente ou mesmo auto-excitadas diz-se que ocorre umainstabilidade. Quando a instabilidade provem de energia potencial, tem-se uma instabilidade de espaco de configuracao ou macroinstabilidade. Sea instabilidade e do espaco de velocidades tem-se a microinstabilidade.Como exemplo de macroinstabilidade pode-se citar as instabilidades dotipo ¨salsicha¨ e do tipo dobra, quando uma corrente muito grande forinduzida ao longa da coluna de plasma, como mostra a Fig. 9.14.

Figura 9.14: Deformacao do plasma ou instabilidades do tipo a) Salsicha b)Dobras.

TOKAMAK

O TOKAMAK e uma forma de confinamento magnetico baseada nocampo magnetico na forma toroidal. A origem da sigla e russa e o seu significadoe de camara toroidal para confinamento magnetico. Na Fig. 9.15, encontram-seos componentes basicos de um TOKAMAK.

Na camara de plasma, um conjunto de bobinas produz um campo magnetico,na direcao do torus, ao qual se junta o campo magnetico criado pelas bobinaspoloidais que criam um campo magnetico vertical. Os dois campos geram umaestrutura helicoidal de linhas de campo. A corrente axial, que aquece o plasmapor efeito ohmico, e gerada no plasma por inducao, exatamente como numtransformador, onde o plasma funciona como secundario. este aquecimento



ohmico juntamente com o esquema de confinamento magnetico nao e capaz deproduzir uma temperatura, capaz de permitir a fusao, por isso e necessario uti-lizar aquecimento adicional, alem do aquecimento ohmico. O primeiro e atravesinjecao de partıculas neutras, utilizando o feixe de partıculas de um acelera-dor. Outra possibilidade de aquecimento e a utilizacao ondas eletromagneticasde frequencia caracterıstica do meio. Os metodos de aquecimento do plasma,devem permitir que inicie a ignicao do mesmo, a partir da qual o plasma seauto-mantem. Essa condicao e denominada de ¨break even¨ do reator de fusao.O tokamak JET, atingiu estados de plasma muito proximos desse ponto.

Quando a reacao de fusao auto-sustentada vier a se tornar realidade,o sistema adotado para construir um reator ainda nao esta definido, apenasexistem experimentos ja bem adiantados como o JET (Joint European Torus)que atingiu valores muito proximos ao criterio de Lawson, utilizando plasmaD-T e no presente se constroi ITER (International Torus)[10].

Para o funcionamento de um reator, como o mostrado na Fig. 9.16, umamistura de deuterio e trıtio e injetada dentro da camara de plasma. Os produtosda reacao de fusao D−T sao as partıculas alfa e os neutrons. As partıculas alfa,ficam confinadas no plasma enquanto que os neutrons de 14 MeV atravessamas paredes da camara de plasma e vao depositar a sua energia na coberturaou blanket do reator. O papel do neutron e muito importante, pois alem decarregar a maior parte da energia da reacao de fusao, e capazes de produziro trıtio, a partir das reacoes nucleares com lıtio existente no blanket. O calorproduzido pela absorcao de neutrons no blanket, sera a parte aproveitavel daenergia de fusao que podera ser transformada, num ciclo termico de vapor, emenergia eletrica.

9.4.7 Confinamento Inercial

No confinamento inercial, pequenıssimas capsulas feitas de plastico saopreenchidas com uma mistura de deuterio e trıtio em identicas proporcoes eresfriadas a temperaturas criogenicas, de tal maneira que o gas D-T congela naforma de uma pelıcula no interior da esfera. Essas esferas podem ser injetadasa altas velocidades para o centro de uma cavidade metalica, chamada de ¨hohl-raum¨. Num tempo muito curto, (10−9s), feixes de laser ou de ıons pesadosaquecem o interior da camara como se mostra na Fig. 9.17, vaporizando a su-perfıcie do plastico e produzindo um plasma de deuterio trıtio. O mecanismobasico do confinamento inercial e chamado de compressao ablativa, no qual omaterial que sofre a compressao sofre a chamada ablacao da sua superfıcie, ea reacao a esse processo produz uma onda de compressao para o interior doalvo. O processo e muito semelhante a um foguete esferico no qual as camadasexternas sao afastadas deixando um nucleo super comprimido como nos mostraa Fig. 9.18. Dessa maneira tanto a temperatura como a densidade do plasmaatinge os valores previstos pelo criterio de Lawson, e a reacao de fusao podera



Figura 9.15: Desenho esquematico dos componentes de um TOKAMAK.

ser utilizada como fonte de energia.

9.4.8 Radioatividade Residual no Ciclo D-T

Quando se mostram as vantagens do aproveitamento da fusao como fontede energia, as referencias a destacam como uma possıvel fonte de energia limpa,sem as dificuldades da radioatividade inerente ao processo de fissao. Todosos materiais com os quais se pretende construir os reatores com o ciclo D-T serao irradiados com um fluxo muito alto de neutrons e fotons, resultandona ativacao destes materiais. Trata-se portanto de um tipo de radioatividadeinduzida que nao esta relacionada como o ciclo do combustıvel mas sim do tipode materiais utilizados, tanto material estrutural como material reprodutorde trıtio. A escolha de materiais, com baixo conteudo de contaminantes e decomposicao controlada podera minimizar essa radioatividade, conforme se podeobservar no grafico da Fig. 9.19 a escolha de um material reprodutor poderareduzir a radioatividade induzida a nıveis aceitaveis. Os problemas radiologicosdo reator de fusao baseado na reacao D-T, podem ser resumido, em variosıtens importantes dos quais destacamos: a blindagem de neutrons, protecaode materiais especialmente os supercondutores e a reducao da radioatividadeinduzida por neutrons, em todos os materiais do reator mas mais especialmente



Figura 9.16: Esquema de uma usina nuclear a fusao baseada no TOKAMAK.

nas paredes do torus.



Figura 9.17: Compressao ablativa numa perola de D-T congelado, mostrandoa formacao de um nucleo mais denso onde se forma o plasma.

Figura 9.18: Camara de fusao inercial, com cavidade metalica cilındrica ¨hohl-raum¨.

Figura 9.19: Radioatividade induzida nos materiais reprodutores de trıtio apos2 anos de operacao de um reator de fusao com uma potencia de1MW/m2 sobre a primeira parede, comparado com a radioativi-dade de uranio de composicao natural obtido da referencia [14].



9.5 Exercıcios

1. Considere que um pequeno reator de pesquisa possui 1000 kg de uranionatural no qual o fluxo e de 1013 neutrons/cm2s. Considerando que asecao de choque de fissao e de 577 barns, calcule: a) a taxa de energiaproduzida pelo reator em MW. b) o consumo de 235U , em gramas/dia.c) o consumo de uranio natural.

2. Explique com suas proprias palavras o que sao materiais fısseis e fis-sionaveis.

3. A energia nuclear e utilizada por armas nucleares e seu valor e expressoutilizando o termo megaton, significando mega-toneladas de TNT. 1 megatonelada de TNT= 4, 3 × 1015 joules. Qual foi a quantidade mınimade 235U para produzir a bomba chamada ¨Little Boy¨detonada sobrehiroshima, que possuıa 13 kilotons de TNT?

4. O uranio natural e utilizado como combustıvel para os reatores nucleares.Explique porque numa mina de uranio, nao ocorre a fissao em cadeia eno reator ocorre. (Existe apenas um exemplo conhecido de uma mina deuranio na qual isso ocorreu, em Oklo na Africa).

5. Utilizando o aplicativo Nucleus, explique: a) porque os neutrons, e naoos protons sao emitidos no processo de fissao? b) porque os fragmentosda fissao sao quase sempre radioativos?

6. Quais sao as condicoes necessarias para a operacao de um reator de fissao?Na sua descricao inclua termos como massa crıtica, enriquecimento emoderacao, absorcao e fugas.

7. Utilizando as massas atomicas do Nucleus, Calcule: a) o valor Q da reacaode fusao D-T. b) o valor do potencial Coulombiano no momento em queos dois ıons se tocam.

8. Na reacao 1H+1H →2 H+d++ν, determine: a) temperatura mınima deum plasma de hidrogenio para a qual os protons sejam capazes de vencera barreira coulombiana. b) qual a energia liberada na reacao de fusao.

9. No nucleo do Sol a reacao de fusao ocorre espontaneamente, por que issotambem nao ocorre na Terra?


Bibliografia

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[2] Hahn, O., Strassmann, F., Naturwissen., 27,89, (1939).

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277

CAPITULO 10

Modelo Padrao: Partıculas Elementares

10.1 Introducao

Na teoria atomica de Dalton o atomo tinha a mesma conotacao dadapelos gregos e foi Democrito, contemporaneo de Socrates, que ha aproxima-damente 2400 anos designou o atomo como a menor partıcula constituinte damateria. A descoberta do eletron por Thomson em 1897 e a teoria de atomicadesenvolvida por Rutherford e Bohr em 1913 juntamente com a descobertado neutron em 1932 por Chadwick permitiram designar o proton, o neutron oeletron e o foton como constituintes fundamentais da materia. Essas foram aspartıculas consideradas, por algum tempo, como as partıculas elementares.

A partir de 1932, com o surgimento dos aceleradores, juntamente como estudo dos raios cosmicos, muitas outras partıculas foram previstas teorica-mente, descobertas e mesmo detectadas. Duas outras partıculas, conceitual-mente, muito importantes no desenvolvimento da fısica nuclear sao o positron,ou anti-eletron, descoberto por Anderson em 1932 e o meson π detectado emChacaltaya, por Lattes, em 1947. As previsoes teoricas destas duas partıculase a sua deteccao estabeleceram uma nova etapa da fısica nuclear que culminacom o estabelecimento do modelo padrao ou modelo de quarks.

Tal como o neutron e o proton que foram considerados por muito tempocomo partıculas elementares, como constituintes fundamentais do nucleo atomico,todas as partıculas podem de algum modo serem consideradas como elemen-tares, pois usualmente se diz que um corpo que nao possui estrutura internapode ser tratado com uma partıcula. E preciso lembrar que ao explorar uma

279


estrutura se utiliza uma sonda cuja energia limita a escala em que e possıvelobservar uma estrutura. A definicao do que e elementar, ou nao, depende dainvestigacao experimental com uma sonda com energia adequada a escala detamanho a investigar. No caso do nucleo atomico, se quisermos investigar a es-trutura dos hadrons, cuja dimensao ∆x < 0, 1 fm a transferencia de momentoda sonda deve ser, pelo menos, da ordem de:

∆p ∼ h

∆x=

hc

∆xc=

196 MeV fm

0, 1 fm c∼ 2 GeV/c. (10.1)

De uma forma simplificada, pode se dizer que quanto menor a escala de ta-manho a investigar maior a energia das partıculas utilizadas como sondas. Al-gumas das partıculas fundamentais, ou elementares, possuem massas muitograndes o que exige o uso de altas energias para a sua producao, como e o casodo quark top cuja massa e de aproximadamente 175 GeV/c2 ou seja aproxima-damente 186 vezes a massa do proton. Dessa maneira o estudo das partıculaselementares tambem e denominado fısica de altas energias pois torna-se ne-cessario utilizar partıculas de alta energia para investigar as estruturas, ouproduzir novos estados.

O modelo de partıculas elementares, tambem denominado Modelo Padrao,e uma tentativa de produzir uma versao unificada das partıculas fundamen-tais e suas interacoes. A partir da observacao do espectro de hadrons, em1964, Murray Gell-Mann e George Zweig, de forma independente, apresenta-ram um modelo de partıculas elementares, cuja estrutura interna e compostade quarks, as partıculas fundamentais. Varios experimentos de espalhamento,de eletrons como sonda, comprovaram que tanto os neutrons como os protonseram compostos de tres quarks. Um argumento muito importante, que for-taleceu este modelo, e que todos os hadrons conhecidos podem ser formadospelas combinacoes permitidas de tres quarks ou de pares quark-antiquark. Ademonstracao experimental, de que os hadrons nao sao elementares nao podeser estendida aos leptons, que tambem sao considerados como elementares.

O modelo padrao e o modelo atual de partıculas elementares no qualse consideram como partıculas elementares os quarks os leptons e os bosonsde calibre. Esse modelo incorpora duas teorias, a cromodinamica quantica e ateoria eletrofraca. A primeira descreve as interacoes fortes e a segunda unificouas forcas fracas e eletromagneticas.

A cromodinamica quantica (QCD) e uma teoria de calibre que descrevea interacao entre quarks e utiliza o gluon como partıcula mediadora, o boson,em analogia ao foton da eletrodinamica quantica. A teoria eletrofraca (TEF),unificou a interacao eletromagnetica e fraca, que nessa teoria sao manifestacoesdiferentes da mesma interacao mais fundamental, conhecida como interacaoeletrofraca. Na teoria eletrofraca a mediacao de forca e feita por tres bosons,W+, W− e Zo.

Em resumo o modelo padrao e um modelo de partıculas elementares



que incorpora os modelos de interacao QCD e TEF entre essas partıculas,sem no entanto, verdadeiramente, unificar essas duas teorias. A bibliografiasobre o tema e muito extensa, mas tendo em vista o objetivo didatico destasnotas, aconselhamos aos iniciantes do tema, valer-se de textos introdutorioscomo o existente no site da Aventura das Partıculas [3]. Para um tratamentocientifico, inciando por bons livro texto de graduacao [4] seguindo por outrosmais especializados [5].

10.2 Partıculas e Anti-partıculas

Existem varias formas de classificar as inumeras partıculas ja observadasmas, a partir da ideia de que a materia e constituıda unicamente por dois tiposde partıculas elementares, os quarks e os leptons pertencentes a famılia dosfermions, foi possıvel fazer uma classificacao de forma mais coerente, incluindotodas as partıculas e suas interacoes, como base do modelo padrao.

As interacoes, nos processos nucleares, dividem-se em interacoes fortes,que ocorrem entre hadrons, e as interacoes fracas entre leptons. As partıculascoadjuvantes dos processos nucleares tambem interagem por forcas eletroma-gneticas quando possuem carga ou momento magnetico. Essa parece ser aforma mais simples de classificar as partıculas constituindo, o que se conven-cionou chamar, modelo padrao no qual os menores constituintes da materia saoformados por quatro grupos de partıculas elementares, os leptons e os quarks.Todas as partıculas dos dois grupos sao acompanhadas de suas correspondentesanti-partıculas.

A fısica de partıculas se baseia fundamentalmente em duas ferramentas, aRelatividade Especial e a Mecanica Quantica. A equacao de Schrodinger, deveser deixada de lado pois o seu tratamento e nao relativıstico portanto, deve-se utilizar a teoria quantica de campos, incorporando os princıpios da teoriada relatividade e da mecanica quantica considerando a criacao e destruicaode partıculas. A mecanica quantica relativıstica, no contexto da teoria deDirac, para fermions, prediz a existencia de anti-partıculas pois essa teoria parauma partıcula livre possui duas solucoes para qualquer energia relativıstica,uma acima de mc2 e outra abaixo de −mc2. A interpretacao de Dirac paraa anti-partıcula pode ser observada no diagrama de energia da Fig.10.1. Aconfirmacao da teoria de Dirac foi feita em 1932 com a descoberta do positron.

A cada partıcula corresponde a sua anti-partıcula, um dos conceitos maisfascinantes da fısica introduzido nestas notas, atraves do decaimento beta ondeaparece o positron como a anti-partıcula do eletron e que agora necessita serampliado a todas as demais partıculas. Para isso vamos escrever a energia totalrelativıstica de uma partıcula livre de massa m e momento ~p,

E2 = p2c2 + m2c4. (10.2)



Figura 10.1: Estados de energia positiva e negativa para uma partıcula demassa m, segundo Dirac.

Consequentemente a energia tera duas solucoes, uma positiva e outra negativa,

E = ± [(pc) 2 + (mc2)2

]1/2. (10.3)

A primeira interpretacao para os estados de energia negativa foi devida a Dirac,identificando esses estados as anti-partıculas mas uma interpretacao mais mo-derna foi dada por Stueckelberg e Feynman, considerando que as partıculas eanti-partıculas possuem a mesma massa e o mesmo spin, pois elas sao a mesmapartıcula apenas movendo-se em direcoes opostas no tempo. A pesquisa emgrandes aceleradores tem demonstrado que a toda a partıcula corresponde asua anti-partıcula.

10.2.1 Unidades Naturais

Na fısica de partıculas, o uso da energia velocidade e momento angularcomo grandezas fundamentais resulta nas chamadas unidades naturais paraisso, definem-se as duas constantes basicas a velocidade da luz e a constante dePlanck como identicas a unidade.

h ≡ c ≡ 1,

portanto a energia relativıstica na Eq. 10.2 torna-se

E2 = p2 + m2

A interpretacao que se pode dar a esta relacao e que energia, velocidade emomento angular sao grandezas fundamentais enquanto que a massa, compri-mento e tempo sao grandezas derivadas.



Em geral as unidades de c e h nao sao colocadas explicitamente e dessamaneira a unidade da massa e GeV e as unidades de tempo e comprimento saodadas em GeV −1. Assim, no sistema de unidades SI, um proton possui energiaem repouso igual a:

E = mpc2 = 1, 67× 10−27kg × (3× 108ms−1)2 = 0, 938GeV.

Muitas vezes se encontra esse valor expresso na forma 0, 938GeV/c2, paramostrar explicitamente que se trata de uma unidade de massa, mantendo-se otempo em segundos e o comprimento em fentometros. Dessa maneira e comuma mistura de unidades derivadas e fundamentais, um exemplo e a quantidadeusualmente expressa como hc = 0, 1975GeV fm.

Tabela 10.1: Unidades NaturaisGrandeza Dimensao UnidadeEnergia [E] 1 GeV = 1, 602× 10−10JVelocidade [V] 1 ”unidade natural c”Mom. Angular [L] 1 ”unidade natural h

Tabela 10.2: Unidades DerivadasGrandeza Dimensao UnidadeMassa [EV −2] GeV/c2JComprimento [V LE−1] chGeV −1

Tempo [LE−1] hGeV −1

10.3 Classificacao das Partıculas pelos Proces-sos de Interacao

A classificacao das partıculas em duas famılias a dos hadrons e a dosleptons esta relacionada com os processos de interacao, a primeira relacionadacom as partıculas pesadas constituıdas de dois ou tres quarks, que interagem porforcas fortes e a segunda a de partıculas leves que interagem por forcas fracas.Nessas duas familias, as partıculas com carga eletrica tambem interagem porforcas eletromagneticas.

10.3.1 Hadrons: barions e mesons

Os hadrons, como ja foi dito anteriormente sao partıculas que interagempor forcas fortes e que formam duas famılias, a dos barions ou partıculas pe-



sadas e a dos mesons ou partıculas de medio peso. Tanto os barions como osmesons sao constituıdos por quarks (q)que interagem por forcas fortes assimcomo os hadrons. Os primeiros sao constituıdos de tres quarks (qqq) enquantoque os mesons sao formados por dois quarks (qq). Entao, como os quarks pos-suem spin semi-inteiro os barions tambem o terao, e portanto sao fermions,enquanto que os mesons possuem spin inteiro pertencendo dessa maneira afamılia dos bosons. Na tabela 10.3, apresentamos algumas das propriedadesdos barions e seus constituintes, enquanto que na tabela 10.4 apresentamosalguns mesons. Finalmente, na tabela 10.5 mostramos o resumo das proprie-dades gerais dos hadrons. Nessas tabelas se destacam tres numeros quanticos,o numero barionico, o de de isospin e a estranheza, cujo significado sera discu-tido nas proximas secoes. Como os barions possuem numero barionico igual aunidade, deve-se concluir que os quarks devem possuir numero barionico 1/3,observando-se por outro lado que os mesons possuem numero barionico zero,os anti-quarks devem possuir numero barionico igual a −1/3.

Tabela 10.3: Propriedades de alguns barionsBarion Carga meia vida massa B Isospin S (qqq)

GeVp +1 > 1032a 0,9383 1 +1/2 0 (uud)p -1 > 1032a ” -1 -1/2 0 (uud)n 0 889,1s 0,9396 1 -1/2 0 (udd)n 0 930s ” -1 1/2 0 (uddΛ 0 2, 6× 10−10s 1,1156 1 0 -1 (uds)

Σ+ +1 0, 8× 10−10s 1, 189 1 1 -1 (uus)Σo 0 7, 4× 10−20s 1,192 1 1 -1 (uds)Σ− -1 1, 5× 10−10s 1,197 1 1 -1 (dds)

Tabela 10.4: Propriedades de alguns mesonsMeson Carga meia vida massa B Isospin S (qq)

GeVπ+ +1 2, 6× 10−8s 0, 139 0 +1/2 0 (ud)πo 0 8, 4× 10−17s 0,135 0 1 0 (uu− dd)π− -1 2, 6× 10−8s 0, 139 0 0-1/2 0 (ud)K+ +1 1, 24× 10−8s 0,494 0 +1/2 +1 usK− -1 ” ” 0 -1/2 -1 usKo 0 8, 9× 10−11s 0, 498 0 -1/2 +1 (ds)



Tabela 10.5: Propriedades Gerais dos HadronsPropriedade Barions MesonsInteracao Participa das quatro Participa das quatroNumero Barionico B ≥ 1 ou≤ −1 B = 0Massa ≥ mp < mp

Estrutura de quarks q1q2q3 q1q2

Spin fermions bosons

10.3.2 Leptons

Os leptons, com carga eletrica, estao sujeitos a interacoes eletromagneticase fracas, enquanto que os leptons sem carga eletrica interagem unicamente porinteracoes fracas. O princıpio de conservacao de numero leptonico pode serobservada atraves de tres numeros chamados Le numero leptonico do eletron,Lµ, numero Leptonico do muon e Lτ numero leptonico do τ . Um numeroleptonico +1 e associado a um lepton e −1 a um anti-lepton. Na tabela 10.6apresentam-se algumas das propriedades dos leptons.

Tabela 10.6: Propriedades de alguns Leptons

Lepton Carga meia vida Massa Spin (h) Le Lµ Lτ

(MeV/c2)e− -1 estavel 0,511 1/2 1 0 0νe 0 estavel ≤ 0, 16× 10−6 1/2 1 0 0µ− −1 2, 2× 10−6s 105, 659 1/2 0 1 0νµ 0 estavel ≤ 0, 25 1/2 0 1 0τ− -1 0, 3× 10−12s 1784 1/2 0 0 1ντ 0 estavel ≤ 35 1/2 0 0 1

10.3.3 Quarks e Gluons

A teoria mais aceita, para as interacoes fortes e a Cromodinamica Quan-tica (QCD) na qual os hadrons apresentam uma sub-estrutura baseada emquarks, conforme foi proposto em 1964 por Gell-Mann e Zweig. A esses quarksforam atribuıdos dois numeros quanticos adicionais, cor e sabor. Os seis saboresdos quarks sao o u, d, c, s, b e t enquanto que as cores sao tres: vermelho,azul e verde . O resultado e da existencia de 18 quarks e seus correspondentesanti-quarks. A teoria QCD e uma teoria analoga a eletrodinamica quanticaQED, portanto, da mesma maneira que nesta, a partıcula intermediadora de



Tabela 10.7: Propriedades dos Quarks (sabores) spin=1/2Sabor massa Carga

GeV/c2

u (up) 4× 10−3 2/3d (down) 7× 10−3 -1/3c (charm) 1, 5 2/3s (strange) 0, 15 -1/3t(top) 173, 8 2/3b(botton) 4, 7 -1/3

forca e um boson. Na QED e o foton e na QCD o gluon. A caracterısticamais importante da QCD e a chamada liberdade assintotica, que garante que acor ficara confinada no interior dos hadrons. Assim quando a separacao entredois quarks diminui, aumenta a energia do sistema, mas a intensidade efetivade acoplamento enfraquece. Nesta teoria, a interacao para grandes distanciasse torna tao forte que tanto quarks como gluons ficam confinados no interiordos hadrons. As combinacoes de quarks para formar os mesons ou os barionssempre resulta numa partıcula sem cor, ou como se costuma dizer um objetobranco, resultado da combinacao de todas as cores, um singlete de cor.

10.4 Classificacao segundo a Estatıstica

Alem dos fermions e bosons obedecerem a duas estatısticas diferentes,os primeiros, no nucleo, interagem por forcas fortes e eletromagneticas quandopossuem carga, enquanto que os ultimos sao as partıculas intermediadoras deforca. Os leptons e os barions sao fermions, possuem spin semi-inteiro, e osmesons sao bosons ou seja possuem spin inteiro. A diferenca fundamental eque os fermions obedecem ao princıpio de exclusao de Pauli, enquanto que osbosons nao. Na mecanica quantica se diz, de forma equivalente, que os fermionssao caracterizados por funcoes de onda total anti-simetrica enquanto que paraos bosons deve ser simetrica. Na tabela 10.8 classificam-se as partıculas maisimportantes para o nucleo atomico destacando-se a divisao das partıculas emduas grandes famılias fermions e bosons.

10.5 Interacoes Fundamentais

As interacoes classicas resultam nas forcas do tipo eletromagneticas egravitacionais sao do tipo longo alcance. Em ambas a partıcula propagadoraou mediadora de forca, o boson devera possuir massa em repouso nula, o fotonpara as interacoes eletromagneticas e o graviton para as forcas gravitacionais.



Tabela 10.8: Propriedades das principais partıculas para o nucleoPartıculas Fundamentais Hadrons IntermediadoraQuark Leptons Barions Mesons forca

u e p π− γd µ− n π+ gluons τ Λ πo gravitonc νe Σ+ K− W+

b νµ Σo K+ W−

t ντ Σ− Ko ZFermions Bosons

Na escala do nucleo atomico existem duas forcas mais, as forcas ditas fortes,responsaveis pela ligacao entre nucleons, dentro do nucleo, e as forcas fracasque aparecem nos processos de decaimento β. Estas forcas sao de curto alcancee portanto se restringem as dimensoes nucleares e nesse caso os bosons possuemmassa. Como consequencia, em qualquer processo fısico devem-se considerarquatro interacoes fundamentais com as seguintes caracterısticas,

• Gravitacional

Interacao atrativa, devida a massa a qual estao sujeitas todas as partıculas,tendo alcance infinito. As partıculas mediadoras (os bosons) desta in-teracao sao os gravitons.

• Eletromagnetica

Interacao entre partıculas com carga, podendo ser atrativa ou repulsiva,tambem com alcance infinito. As partıculas mediadoras sao os fotons.

• Forcas fortes Forcas de interacao entre nucleons, com pequeno alcancelimitada as dimensoes nucleares. As partıculas sensıveis a esta interacaosao os hadrons. As partıculas intermediadoras de forca, a nıvel residual,tambem sao hadrons, os chamados mesons. A nıvel fundamental a in-teracao forte ocorre entre quarks, intermediada por gluons.

• Forcas fracas Esta interacao possui um alcance curtıssimo, da ordemde 10−20m, e atua tanto entre hadrons como entre leptons. As partıculasintermediadoras sao os bosons Zo, W− e W+. A unificacao desta in-teracao com a eletromagnetica constitui o que se denomina hoje teoriaeletrofraca.

Com intuito de comparar a intensidade das quatro interacoes, utiliza-seo conceito de potenciais efetivos, apesar destes serem conceitualmente nao-relativısticos, mesmo assim, pode-se fazer comparacoes entre a ordem de gran-



deza dos mesmos. Escrevendo as energias potenciais no espaco de momentos eutilizando-se a transformada de Fourier do potencial teremos:

Vem(q) =e2

q2, (10.4)

Vgrav(q) =GNm2

q2, (10.5)

onde q se refere ao modulo do momento transferido, caracterıstico da interacao,ou espalhamento ~q = h(~k′ − ~k). A relacao entre potenciais individuais e inde-pendente do momento e portanto pode-se escrever que:

Vem

Vgrav=

e2

GNm2=

e2

hc

1(mc2)2

hc.c4

GN' 1036. (10.6)

Esta relacao nos mostra que a interacao gravitacional e inerentemente maisfraca que a interacao eletromagnetica.

A comparacao entre as forcas fortes e fracas podera ser feita utilizando opotencial de Yukawa que adquire tambem, no espaco de momentos, as seguintesexpressoes:

Vforte =g2

forte

q2 + m2πc2

, (10.7)

Vfraca =g2

fraca

q2 + m2W c2

. (10.8)

Os valores das constantes de acoplamento sao obtidas a partir de experimentospermitindo obter a relacao entre forcas fortes e eletromagneticas e entre estase as forcas fracas:

Vforte

Vem=

g2fortehc

hc e2

m2c4

m2c4 + m2πc4

' 2× 103, (10.9)

Vem

Vfraca=

e2

hc

hc

g2fraca

m2c4 + m2πc4

m2c4' 1, 2× 104. (10.10)

Estas comparacoes nos mostram a ordem de grandeza relativa, com a forcaforte mais forte do que a eletromagnetica e esta mais forte do que a fraca,mostrando tambem que a forca gravitacional e a mais fraca de todas. Estasestimativas sao apenas qualitativas, e estes valores devem ser tomados apenaspara comparacao.

10.5.1 Partıculas intermediadoras de forca

As forcas relativas as quatro interacoes fundamentais diferenciam-se quantoao alcance, a magnitude, ao tempo tıpico da interacao e quanto as simetrias,



portanto quanto as leis de conservacao a que cada forca esta sujeita. Por fimtambem diferem quanto as partıculas que fazem parte de cada interacao.

Uma revisao da teoria de Yukawa ajudara a entender o papel das partıculasmediadoras de forca, pois foi a partir dela que se elucidou o papel dos mesonsna interacao entre nucleons.

No eletromagnetismo classico o conceito de campo como mediador dasforcas envolvidas tornou-se fundamental pois ao quantizar o campo eletro-magnetico identifica-se o foton, como partıcula mediadora desse campo. Apartir daı a interacao entre partıculas eletricamente carregadas passou a serentendida em termos da troca de fotons, ou quantas do campo eletromagnetico.

Um novo campo, chamado campo mesomico agindo como mediador paraa interacao entre nucleons , foi introduzido em 1935 por H. Yukawa. Utilizandoas ideias da eletrodinamica quantica (QED), Yukawa desenvolveu uma teoriaanaloga para o estudo das forcas fortes. A partıcula intermediadora com massatambem e um boson, cuja funcao de onda associada pode ser obtida atraves dasolucao da equacao de Klein-Gordon,

[∇2 − m2c2

h2

]Ψ =

1c2

∂2

∂2Ψ (10.11)

As solucoes estaticas e esfero-simetricas, serao solucao da seguinte equacao:

1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂rΨ(r)

)=

m2c2

h2 Ψ(r). (10.12)

No caso de m = 0, a solucao da Eq. 10.12 sera,

Ψ = −g2 1r, (10.13)

onde g e uma constante arbitraria.Percebe-se que esta solucao esta associada a um campo de forcas de

alcance infinito, similar ao campo eletrostatico e ao campo gravitacional. Parao caso em que a partıcula possua massa, a solucao da Eq. 10.12 e do tipo;

Ψ(r) = −g2 e−r/R

r, (10.14)

onde R = hmc , e o alcance do potencial. A escolha de um alcance definira a

massa para a partıcula mediadora. No caso do nucleo o alcance e da ordem de10−15m, portanto a massa da partıcula mediadora, resulta ≈ 130MeV .

O meson π foi detetado em 1947 por Cesar Lattes, possuindo massa137MeV , com spin nulo e por isso foi considerado como a partıcula mediadorada interacao forte entre nucleons.

Aplicando esta mesma teoria a forca fraca, cujo alcance e da ordemde 2.10−18m, resulta uma massa de aproximadamente 100GeV , para o boson



intermediador da forca fraca. O valor da ”carga”fraca e da ordem de g2w ≈

0, 004hc.A teoria dos mesons nao teve grande sucesso, porque as forcas fortes sao

muito mais complexas do que a simples troca de mesons mas a ideia desta teoriae muito importante, pois faz uma conexao entre o alcance da forca e a massada partıcula intermediadora o que a torna muito util para o entendimento dainteracao forte.

A partir dessas consideracoes, pode-se resumir as principais caracterısticasdas quatro forcas fundamentais.

• Alcance

O alcance de uma forca esta diretamente associada, pela teoria de Yukawaa massa da partıcula mediadora. No caso dos campos eletromagneticos egravitacionais, sabe-se que o alcance e infinito (1/r) e consequentementea partıcula mediadora nos dois casos tera massa nula.

• Tempo de Interacao

As reacoes onde ocorre interacao por forcas fortes possuem o menor tempode interacao das quatro fundamentais, em torno de 10−23 a 10−24s. Asforcas eletromagneticas possuem tempo caracterıstico da ordem de 10−20

a 10−14s. Ja os decaimentos da interacao fraca e da ordem de 10−3 a10−6s.

• Magnitude

A estimativa utilizando os potenciais efetivos ja foi realizada nesta secao,e assim para a forca forte com magnitude 1, a forca eletromagnetica teramagnitude relativa de 10−3.

• Partıculas Envolvidas

Todas as partıculas interagem gravitacionalmente, mesmo os fotons, ape-sar de nao terem massa em repouso sentem a deformacao do espaco deacordo com a curvatura do espaco tempo. As partıculas envolvidas nainteracao eletromagnetica possuem carga eletrica e o foton e a partıculamediadora dessa interacao. Todos os leptons participam da interacaofraca, mas nao participam da interacao forte. As partıculas mediadorassao as partıculas W+, W− e Z. Os hadrons, sejam mesons ou barions,participam fundamentalmente da forca forte mas tambem participam dasforcas fracas, gravitacionais e os que possuam carga da eletromagnetica.

10.6 Leis de Conservacao e Simetrias

Varias sao as regras fundamentais utilizadas ao longo destas notas ede resto utilizadas em todas as areas da fısica, que constituem as leis de



conservacao da carga da energia e da quantidade de movimento linear e an-gular. No capıtulos de decaimento radioativo e reacoes nucleares se utilizaram,implicitamente, mais dois princıpios o da conservacao do numero de nucleonse do numero de leptons. A existencia de novos numeros quanticos esta rela-cionada com a interpretacao de novas simetrias e suas correspondentes leis deconservacao.

• Numero barionico

Os hadrons, interagem por forcas fortes e pertencem a duas famılias osfermions e bosons. As partıculas que interagem por forcas fortes mas quepossuem spin semi-inteiro, sao chamados de barions enquanto que os quepossuem spin inteiro sao os bosons como se pode observar na tabela 10.8.

O numero quantico barionico e definido da seguinte forma:

B =

0 para mesons+1 para barions−1 para anti-barions

O numero barionico e uma generalizacao do numero de nucleons. Estainterpretacao nasce pela presenca de protons e neutrons como barionsde spin 1/2. Uma lei de conservacao muito utilizada na fısica nuclear aconservacao do numero de nucleons, ou numero de massa A. O numeroquantico barionico e aditivo e conservado em todos os processos, pois oproton o menor barion nao sofre decaimento observavel.

• Numero leptonico

O eletron e o neutrino nao participam da interacao forte e por isso sao cha-mados leptons. O decaimento beta obedece ao princıpio de conservacaodo numero total de nucleons e tambem o numero quantico de leptons,ou seja e possıvel postular um numero quantico para os leptons. Todosos leptons possuem L = 1, enquanto que os fotons e hadrons possuemnumero leptonico nulo. Na tabela 10.6 podem-se observar tres diferen-tes tipos de numero leptonico: Le numero leptonico eletronico; Lµ onumero leptonico-muomico; e Lτ o numero leptonico-tau. Dessa maneirao numero leptonico deve ser a soma desses tres numeros, relativos as tresfamılias de leptons (e−, νe), (µ−, νµ), (τ−, ντ ), com cada numero relativoa cada famılia sendo conservado.

• Estranheza

Nos estudos sobre raios cosmicos algumas partıculas como os mesons K,as partıculas Σ e as Λo, todos barions, eram produzidas em grande in-tensidade (grandes secoes de choque, caracterıstica das interacoes fortes)mas os seus tempos de decaimento eram caracterısticos de interacoes fra-cas. Este comportamento estranho, foi explicado por Murray, Gell-Mann



e Abraham Pais, que introduziram um novo numero quantico, a estran-heza. O aparecimento desses novos barions, tambem chamado hiperons,Λ e Σ+, e os novos mesons, tambem chamados kaons, K+ e Ko trouxea necessidade de introduzir o numero quantico S ou estranheza em to-dos os processos hadronicos. Como todas as partıculas estranhas saoinstaveis, os varios modos de decaimento nos trazem informacoes da va-lidade da conservacao da estranheza. Nas reacoes abaixo, mostram-sealgumas dessas reacoes de decaimento, para as quais sao validos este e osdemais princıpios de conservacao.

Λ →

p + π−

n + πo (10.15)

Σ+ →

p + πo

n + π+ (10.16)

Σo → Λ + γ Σ− → n + π− (10.17)

Ξo → Λ + πo Ξ− → Λ + π− (10.18)

K+ →

µ+ + νµ

π+ + πo

π+ + π+ + π−

π+ + πo + πo

πo + e+ + νe

πo + µ+ + νµ

(10.19)

K− →

µ− + νµ

π− + πo

π+ − π− + π+

π− + πo + πo

πo + e− + νe

πo + µ− + νµ

(10.20)

• Isospin

Os protons e os neutrons sao barions com spin 1/2, e sao essencialmenteestados degenerados de sua massa. Como a forca forte nao depende da cargada partıcula, e se pode verificar que as interacoes p − p, p − n e n − n saoidenticas, pode-se afirmar que sob esse ponto de vista protons e neutrons sao



indistinguıveis, levando-nos a mostrar que cada um deles sao diferentes estadosde uma mesma partıcula o nucleon:

p =(

10

)(10.21)

n =(

01

)(10.22)

Esta linguagem e semelhante a distincao que se faz entre eletrons que ocu-pam dois estados de spin, num mesmo nıvel. Os dois estados de spin seraodegenerados ate que se aplique um campo magnetico externo, que remove a de-generescencia dos dois estados. Por isso pode-se pensar que o proton e neutronsao estados degenerados criados por alguma simetria da forca forte. A essasimetria denominamos de Spin-Isotopico, isospin ou I-spin. Da mesma formaque no caso do spin do eletron, a presenca da interacao eletromagnetica e dainteracao fraca, quebra a simetria das massas e permite mostrar a distincaoentre proton e neutron. Tambem se pode analisar esta simetria para os tresmesons π, que tambem possuem massas identicas. Portanto podemos concluirque a forca forte nao distingue os tres e portanto sem a presenca de um campoeletromagnetico ou de forcas fracas, os tres mesons sao tres diferentes estadosde uma mesma partıcula o meson π, como se pode representar:

π+ =

100

(10.23)

πo =

010

(10.24)

π− =

001

(10.25)

Estes tres estados sao degenerados em massa e a analogia com o spin, nestecaso, corresponde a tres projecoes de uma partıcula com spin com J = 1 que edegenerada em energia para um Hamiltoniano invariante a rotacoes.

O numero quantico de isospin e observado e conservado nas interacoesfortes, pois os hadrons podem ser agrupados em multipletos de carga de cor.O isospin I e tratado como um vetor em um espaco de carga, tridimensionalem analogia aos vetores S (spin) e L (momento angular). A componente deI na direcao z e chamada I3 e tambem e quantizada da mesma forma que ascomponentes magneticas do spin e momento angular.

Por ser resultante de uma simetria da forca forte o Isospin nao e conser-vado nas interacoes eletromagneticas e forcas fracas. A tabela 10.9 nos mostra



Tabela 10.9: Spin Isotopico para um grupo de hadrons de longa vidaHadron Massa (MeV) I I3

p 938, 3 1/2 1/2n 939, 6 1/2 −1/2

π+ 139, 6 1 1πo 135, 0 1 0π− 139, 6 1 −1K+ 494, 6 1/2 1/2Ko 497, 7 1/2 −1/2K

o497, 7 1/2 1/2

K− 494, 6 1/2 −1/2ηo 548, 8 0 0Λo 1115, 6 0 0Σ+ 1189, 4 1 1Σ0 1192, 6 1 0Σ− 1194, 4 1 −1Ω− 1672, 4 0 0

os valores de isospin para diferentes hadrons, obtidos de varios experimentos deespalhamento. Nesta mesma tabela se inclui os valores da projecao de isospinI3. Finalmente deve-se lembrar que a simetria de isospin nao e uma simetriado espaco tempo. Os fotons e os leptons, nao participam das interacoes fortes,portanto nao possuem numero quantico de isospin. Para a interacao fracaexiste uma outra simetria chamada de simetria de isospin fraca, que envolvetanto leptons como quarks.

10.6.1 Relacao de Gell-Mann Nishijima

A relacao de Gell-Mann Nishijima, relaciona os numeros quanticos criandoa nocao de hipercarga da interacao forte, ou seja, cria uma formula que rela-ciona os numeros quanticos para todos os hadrons. Como B e S aparecemnessa equacao e conveniente definir uma quantidade chamada de hipercargaY, como

Y = B + S,

e a relacao de Gell-Mann Nishijima toma a forma:

Q = I3 + Y/2 = I3 + (B + S)/2. (10.26)

Na tabela 10.10, encontramos esses numeros quanticos para hadrons.E possıvel notar que os valores da hipercarga Y , alcancam simetrica-

mente os limites −1 e +1. Uma forma instrutiva de analisar este fato e plo-tar diferentes estados no espaco de Y, I3 como na Fig.10.2. Nessa figura os



Tabela 10.10: Conjunto de numeros quanticos para hadronsHadron Q I3 B S Y = (B + S)

p 1 1/2 1 0 1n 0 −1/2 1 0 1

π+ 1 1 0 0 0πo 0 0 0 0 0π− −1 −1 0 0 0K+ 1 1/2 0 1 1Ko 0 −1/2 0 1 1ηo 0 0 0 0 0Λo 0 0 1 -1 0Σ+ 1 1 1 -1 0Ξ− −1 −1/2 1 -2 -1Ω− −1 0 1 -3 -2

dois conjuntos 10.2a e 10.2b formam octetos, ou sejam oito elementos em cadagrupo. Na Fig.10.2c se observa o decupleto de barions, ou grupo de dez barionsmais leves, que nao pertencem aos octetos anteriores. Isto nos mostra uma se-melhanca entre mesons e barions. A simetria desses conjuntos sugere portantouma organizacao das famılias de hadrons num nıvel superior.

10.6.2 Violacao dos Numeros Quanticos

Apesar de se considerar que todos os numeros quanticos sao conservadosem todos os processos onde ocorrem interacoes fortes eles podem ser violadosem interacoes fracas e eletromagneticas. Existem tres diferentes processos emque ocorrem interacoes fracas, a) processos hadronicos, b) processos leptonicose c) processos semi-leptonicos, onde se encontram hadrons e leptons presentes,conforme os exemplos que se apresentam nas equacoes 10.27.

a) processos hadronicos: Λo → π− + p

b) processos leptonicos: µ− → e− + νe + νµ (10.27)c) processos semi-leptonicos: n → p + e− + νe

Nos processos hadronicos fracos ocorre a violacao da estranheza e isospin, en-quanto que em alguns processos semi-leptonicos se conservam ou nao essesnumeros quanticos. Nos processos unicamente leptonicos e obvio que nao fazsentido discutir a conservacao de numeros quanticos fortes. Nos processos ele-tromagneticos a estranheza e conservada enquanto que o isospin nao o e.



Figura 10.2: Graficos da localizacao nos eixos Y (hipercarga) e a projecao deisospin I3 para a) barions com spin 1/2, b) Mesons com spin nuloe c) Barions com spin 3/2.

10.7 O Modelo de Quarks

O modelo de quarks foi desenvolvido ao mesmo tempo por Murray Gell-Mann e George Zweig, observando a simetria na formacao dos hadrons a partirde quarks.

Com o desenvolvimento dos aceleradores de alta energia, e a conse-quente descoberta de novos hadrons, foi possıvel estabelecer um novo modelode hadrons chamado caminho octuplo, cujos autores foram Gell-Mann e Y.Ne’ewman[1], em 1961. Atraves desse modelo foi possıvel agrupar os hadronsem multipletos de carga, ou supermultipletos de mesmo spin e paridade. NasFigs. 10.2 mostramos tres desses multipletos, onde os dois primeiros, (a) e(b) sao formados de oito elementos o primeiro de barions leves e o segundo demesons. O grupo decupleto de barions (c) nao pertence aos octupletos ante-riores (a) e (b).

A teoria que estabelece estes grupos e baseada na algebra de Lie conhe-cida como teoria de grupos contınuos. O grupo mais simples desta teoria e ochamado grupo SU(2), um grupo especial unitario de matrizes 2 × 2. Umacondicao especial reduz o numero de componentes deste grupo de 4 para 3.



Essas tres componentes podem dessa maneira representar as componentes demomento angular ou de Isospin. O grupo de simetria unitaria seguinte e ogrupo SU(3), grupo especial unitario de matrizes 3× 3, que da mesma forma,por uma condicao especial reduz o numero de componentes de 9 para 8, ouoctuplo. Na teoria de grupos, o grupo SU(3) permite a constituicao de multi-pletos formados por 1, 3, 8, 10... elementos. Na Fig. 10.3, pode se observar osdiagramas possıveis desse grupo.

Quando se aplica o grupo SU(3), os eixos de representacao sao a hiper-carga Y e a projecao de Isospin I3. Alem dos supermultipletos mostrados naFig. 10.3, outros formados por barions e mesons podem ser formados, masnenhum foi encontrado para o de tres componentes. A ausencia deste tripletodo grupo SU(3), levou Gell-Man e G. Zweig a propor o modelo de quarks[2],que ate hoje e o modelo que melhor explica as propriedades das partıculas.

Figura 10.3: Diagramas no espaco Y × I3 previstos pelo grupo SU(3), mos-trando as possıveis ordens do caminho octuplo.

O modelo proposto, originalmente possuıa so tres quarks, um tripletocujos sabores eram u, d e s, as letras iniciais de suas designacoes up, downe strange conforme mostra a Fig.10.4. Desta forma todos os hadrons eramformados por quarks, os barions formados por tres e os mesons por dois.

O resultado mais importante deste modelo pode ser simplificado da se-guinte forma: as combinacoes permitidas de tres quarks ou de pares quark-antiquark resultam em todos os hadrons conhecidos.

Todos os diagramas das componentes I3 do Isospin em funcao da estran-heza mostram uma estrutura simples de tres partıculas os quarks u, d e s, bemcomo suas anti-partıculas.

A observacao dos estados ∆− = ddd; ∆++ = uuu e Ω− = sss, exigiuque os quarks u e d, possuam cargas fracionarias, respectivamente (+2/3)e e(−1/3)e. Devido a existencia desses tres barions tambem foi necessario intro-duzir um novo numero quantico, a cor. Um dos fundamentos basicos do modelode quarks e que todos os mesons e barions nao possuem cor, ou melhor sao bran-cos. Para que isso seja possıvel, os quarks possuem as cores, vermelha, azul everde, enquanto que os anti-quarks sao anti-vermelhos ou cianeto, anti-azul ouamarelos e anti-verdes ou magenta.



Figura 10.4: Tripleto no espaco Y × I3 previstos pelo grupo SU(3), de acordocom a teoria de quarks, mostrando os tres quarks mais leves e seusantiquarks.

A forca entre quarks, e mediada por gluons, cujo spin e 1, bosons, e amassa e nula. O campo de forcas e portanto um campo de cores, onde a correpresenta uma forma de carga forte carregada pelos gluons. Os gluons saodescritos por combinacoes de uma cor e uma anti-cor.

10.7.1 Novos Quarks

O modelo original de quarks utilizava so os tres sabores u, d e s masem 1974 foi detectado um novo meson, o JΨ cuja existencia foi atribuıda aum novo par quark-antiquark o par cc, onde c era um novo quark com massadiferente dos demais conhecidos. O quarto quark que ja havia sido propostoteoricamente, anos antes, com o intuito de tornar o numero de quarks identicoao de leptons. Com a nova descoberta, a simetria de 4 quarks (u, d, s, c) e4 leptons (e, νe, µ, νµ) pode ser estabelecida. Em 1975 um novo lepton foidescoberto, tratava-se do tauon τ , que foi associado ao novo neutrino ντ . Coma descoberta do meson Y , se pode estabelecer o quinto quark o bottom, b,capaz de formar esse meson da forma usual (bb). Para continuar mantendo asimetria entre o numero de leptons e quarks, deveria existir mais um quark.Este quark, o top, t, foi descoberto em 1995, como sendo a partıcula de maiormassa descoberta ate hoje. Na Tabela 10.7, se mostram as propriedades destesquarks.

10.8 Dinamica de Quarks

Todos os experimentos, ate hoje, demonstraram que os quarks nao po-dem ser produzidos ou mesmo existir fora do ambiente hadronico portanto asua existencia e confinada a esse ambiente. A imagem das interacoes forte efraca e devida a constituicao dos hadrons, por fermions elementares, chamados



quarks, cuja interacao e devida a troca de bosons vetoriais, sem massa, cha-mados gluons. Aos quarks e atribuıda uma ¨carga¨, no sentido generalizado,que a semelhanca da interacao eletromagnetica, e a responsavel pela interacaoforte. Enquanto os fotons nao possuem carga, os gluons sim possuem carga decor. Os quarks, (q), 6 no total, mais os seus anti-quarks, q, unem-se formandoos barions com tres quarks (qqq) e os mesons por um par quark-antiquark, (qq).

Experimentalmente so se conseguiram observar partıculas livres incolo-res, ou seja nem os quarks nem os gluons se tornam livres. Como conclusaopode se dizer, que a partir da aplicacao do princıpio de exclusao de Pauli,”Todas as partıculas que existem na natureza sao incolores”. A inter-pretacao deste principio pode ser feita de duas maneiras: primeiro, a soma dosnumeros de cor deve ser nula e segundo, as tres cores devem estar presentesem proporcoes iguais em analogia com as tres cores primarias necessarias paraformar o branco.

O confinamento de quarks pode, em princıpio, ser explorado utilizandoas observacoes da espectroscopia de mesons. Ao tentar separar o par quarkanti-quark deve-se fornecer uma tal energia capaz de formar um novo par,levando a formacao de mesons. O modelo simplificado para este processo e ochamado ¨Bag Model¨. Na tentativa de separar uma par de quarks, a interacaonao enfraquece, como no caso do potencial eletrico. Pode-se dizer entao que opotencial, devido a carga de cor, e praticamente proporcional a ¨r¨ ou quemsabe com ¨r2¨.

Este modelo, utilizado para descrever o meson, permite entender que au-mentando o afastamento entre um quark e um antiquark, obtem-se um feixe delinhas de campo paralelas que se saturam nas pontas. Ao se fornecer energia su-ficiente, aumentando-se este afastamento, produz-se um novo par qq, tal comoocorre na divisao celular. Comparando-se com o eletromagnetismo, ao separarduas cargas eletricas, o campo entre elas enfraquece, isso quer dizer que aslinhas de campo eletrico se espalham no meio. No caso do par quark-antiquarko campo de cor nao enfraquece, ao se fornecer energia para o afastamento,criando-se um novo par quark-antiquark, e as linhas de forca continuam inalte-radas. Na Fig.10.5, se mostra essa estrutura de confinamento em forma de bagsou sacos, onde as forcas de cor se saturam para uma densidade de energia quecorresponde a materia nuclear. Na mesma figura se observa que o alongamentoda ligacao quark-antiquark, se forma um novo par, mantendo-se as linhas decampo de forcas paralelas inalteradas.

A observacao experimental das forcas nucleares, mostra apenas o quese convencionou chamar de interacoes residuais, ou troca de mesons. Esteproblema da interacao entre hadrons nao e em si um problema fundamentalde forcas fortes, pois os hadrons nao sao partıculas elementares. Cada hadrondeve a sua existencia a dinamica dos quarks confinados, ou cromodinamica.

Existe, no entanto, um conjunto de descobertas experimentais que per-mitem prever a estrutura de quarks, atraves da dispersao inelastica de eletrons.



Figura 10.5: Modelo de interacao forte entre um para quark-antiquark, a partirdo modelo chamado saco de hadrons ou ”Bag Model”.

As estruturas provenientes da dispersao podem ser interpretadas como estrutu-ras pontuais de carga (1/3)e ou (2/3)e. Tambem em colisoes, de alta energia,positron eletron, como as das Figs.7.12 e 7.11 formam-se feixes mesons emduas direcoes opostas, chamados ¨jets¨, que correspondem a quantidade demovimento dos pares quark-antiquark original.

10.8.1 Simetria das Cores

A individualizacao de quarks, como partıculas elementares, e o resultadoda analise dos experimentos de espalhamento com nucleons onde se observa aexistencia de uma distribuicao de carga individual de cada um dos tres quarks.Como os quarks sao fermions, ou seja possuem spin 1/2, deve-se investigar aantisimetria da sua funcao de onda. Para isso vamos investigar a partıcula∆++, como na Fig.10.6a que consiste de tres quarks u com spin e sabores(isospin) identicos e funcao de onda simetrica portanto,

Ψtotal = Ψr ×Ψspin ×Ψsabor. (10.28)

Para que esta funcao seja antisimetrica e necessario incluir uma nova grandezachamada cor que torna a funcao de onda antisimetrica conforme a Fig. 10.6b:

Ψtotal = Ψr ×Ψspin ×Ψsabor ×Ψcor. (10.29)

Considerando que os quarks possuam tres cores, seremos levados a uma novasimetria SU(3) relacionada com simetria de calibre das forcas fortes. Dessamaneira, poder-se-ia perguntar: porque nao se observam partıculas coloridaslivres? Este e um problema muito complexo que nos leva a ideia de confina-mento dos quarks. A questao que ainda se pode colocar e se mesmo a altasenergias os quarks ainda continuariam confinados.



Figura 10.6: Partıcula ∆++ no modelo de quarks.

10.8.2 Cromodinamica Quantica

Ao adotar a teoria de quarks, para formar hadrons, parte-se da ideiaque os quarks sao partıculas reais, permanentemente confinadas em estadoshadronicos. O funcionamento deste tipo de confinamento permanente deveser uma resposta importante para aceitar a teoria de quarks. Os quarks saofermions, portanto a sua antisimetria quantica deve ser obedecida na formacaode barions.

Para entender os processos de interacao forte foi necessario introduzirum novo numero quantico, a cor. O tratamento fundamental da dinamica dasforcas fortes no processo de ligacao entre quarks e dessa maneira atribuıdo adinamica das cores. Essa teoria foi denominada cromodinamica quantica. Epreciso lembrar que este novo conceito nao esta ligado ao nosso sentido comumde cores, e sim a um nome de fantasia, capaz de criar uma forma de marketingpara a aceitacao da teoria. A necessidade do numero quantico da cor, pode serexemplificado, para explicar a anti-simetria relacionada com o hadron ∆++.Um dos estados desta partıcula possui spin 3/2 e pode ser descrita como sendoformada por tres quarks up, num estado s com spin up:

∆++ = uuu ↑↑↑ . (10.30)

A descricao feita dessa forma viola o princıpio de exclusao de Pauli poisos fatores de espaco e de spin na funcao de onda sao simetricos na troca devariaveis dos quarks. A introducao do numero quantico da cor e feita criandomais um grau de liberdade para os quarks. Atribuindo uma cor diferente a cadaquark, desaparece a violacao do princıpio de exclusao pois nao encontrarıamosnenhum par de quarks no mesmo estado de spin. Para solucionar este problemafoi necessario introduzir tres cores. As cores atribuıdas o vermelho R o verde Ge o azul B, portanto para cada quark tem-se um tripleto de cor. Para formar



a partıcula ∆++, pode-se dessa maneira escrever o determinante de Slater:

∆++ =1√3!

∣∣∣∣∣∣

uR(1) uG(1) uB(1)uR(2) uG(2) uB(2)uR(3) uG(3) uB(3)

∣∣∣∣∣∣(10.31)

Cada um dos seis termos desta auto-funcao e obtido pelo produto detres quarks cujo sabor e cor sao definidos, ficando a especificacao do spin parao ındice numerico. A cor da auto-funcao e mantida, a mesma, para rotacoescıclicas da cor devido a simetria de rotacao do determinante. Desta maneira acor atua como uma carga num sistema de cor neutra para construir um hadron.Os hadrons sao, portanto, singletes da cor. Esta mesma propriedade pode seratribuıda aos barions e mesons desde que os tres sabores forem tomados compartes iguais das tres cores.

A cromodinamica quantica (CDQ) e a eletrodinamica quantica (EDQ),sao teorias analogas, no sentido de que seus princıpios utilizam a simetria decalibre como um conceito fundamental, mas resultando em teorias bem diferen-tes. As partıculas fundamentais com carga, trocam fotons, portando pode-sedizer que o foton e acoplado a carga na EDQ. Como os fotons nao possuemcarga nao existe acoplamento entre eles. Por analogia, os gluons sao acopladosa cor na CDQ, no entanto, os gluons devem portar cor pois o seu acoplamentoaos quarks permite que estes sofram transicoes de cor. A consequencia disto eque os gluons interagem entre si atraves da sua cor. Os gluons possuem 8 com-binacoes de cor, possuindo um ındice de cor e de anticor, menos a combinacaoescalar.

No diagrama da Fig. 10.7a podem-se observar as caracterısticas de core carga que o gluon carrega no espalhamento de quarks. Na mesma Fig. 10.7bobserva-se a transicao quark e antiquark, com o acoplamento de gluons, ondeos gluons produzem variacoes de cor representadas por pares de ındices . Estapropriedade faz com que a CDQ apresente uma propriedade fundamental quea faz diferir muito da EDQ, que se denomina liberdade assintotica. Em vir-tude dessa propriedade a interacao de cor, entre gluons, se aproxima de zero auma distancia arbitraria r, ou dito de forma equivalente, se aproxima de zeropara um dado momento de valor muito alto. O fato do acoplamento de coresse anular assintoticamente para pequenos alcances, motivou a visao de que aintensidade do acoplamento cresce com a distancia. Este fato e o que permiteentender o confinamento de cor, fazendo com os quarks nunca se tornem livres.

A carga de cor das interacoes fortes guarda uma certa analogia com acarga eletrica das interacoes eletromagneticas. A carga de cor e definida paraas tres cores capazes de serem misturadas em iguais proporcoes produzirem obranco, essas cores sao R (red) o vermelho, G (green) o verde e B (blue) o azul.A cada cor corresponde uma anticor, portanto existem seis tipos diferentes decarga (tres cores e tres anticores). As anticores sao as cores complementares.antivermelho, antiverde e antiazul. Os gluons sao os geradores da algebra



Figura 10.7: Interacao quark e antiquark com gluons, a) Espalhamento quark-quark com troca de carga de cor com um gluon mediador da in-teracao; b) Transicoes de cor de quark e antiquark com o respectivogluon mediador.Os gluons executam a troca de cor representadapelo par de ındices de cor.

SU(3), isto e, sao oito tipos nas variacoes entre verde azul e vermelho, excluindoo verde-antiverde, azul-antiazul e vermelho-antivermelho, por formarem gluonstransparentes incapazes de trocar cor com os quarks.

Uma das aproximacoes simples, da CDQ, utilizadas para estudar a fe-nomenologia dos sistemas de quarks pesados, permite utilizar a equacao deSchrodinger, nao relativıstica, para potenciais centrais do tipo:

V (r) = −a

r+ br (10.32)

Este potencial Eq. 10.32, aumenta indefinidamente com a distancia,conforme nos mostra a Fig. 10.8. Como consequencia a forca forte tende paravalores constantes, lembrando que F = ∇V . Esse tipo de comportamento e queresulta no confinamento dos quarks. Quando a energia fornecida ao sistema dequarks e muito grande, um par quark-antiquark e criado, mantendo os quarksoriginais confinados. Este e o mesmo mecanismo dos mesons no modelo deYukawa. O primeiro termo mostra uma analogia com o potencial atrativocoulombiano enquanto que o segundo termo simula o efeito de confinamento,como uma barreira linear.

A interacao forte, entre quarks apresenta pouca semelhanca com a teoriaforte entre protons e neutrons entre os quais a partıcula intermediadora de forcae o meson. Como os hadrons nao sao partıculas fundamentais a sua interacao



Figura 10.8: Potencial entre quarks de acordo com QCD, considerando a cons-tante de acoplamento forte αf = 3

4a = 0, 3 e b = 1GeV/fm.

por meio de mesons e conhecida como interacao residual. Como os hadrons saopartıculas desprovidas de cor nao ocorre a troca de gluons entre os mesmos, amenos que ocorra uma superposicao dos sistemas de quarks hadronicos.

A semelhanca da eletrodinamica quantica onde os fotons virtuais sao osmediadores da forca os gluons sao os mediadores da forca forte possuindo massanula mas ao contrario dos fotons possuem carga de cor. Os gluons possuem umaunidade de cor e de anticor. Assim na interacao entre dois quarks pode mudara cor mas nao o sabor. Na interacao entre gluons formam-se, o que se chama,as malhas gluon-gluon cujo efeito e diminuir a constante de acoplamento paradistancias menores que 10−18m e dessa maneira a atracao entre quarks paradistancias muito pequenas torna-se muito pequena e os quarks se movem comose fossem partıculas livres, fenomeno conhecido como ”liberdade assintotica”.

10.8.3 Teoria Eletrofraca

A observacao de varios pontos comuns entre a interacao fraca e a ele-tromagnetica levaram ao desenvolvimento da teoria eletrofraca. Os hadronsparticipam dessas interacoes atraves de correntes eletromagneticas e fracas,que representam as transicoes de sabor de quarks. Na interacao entre leptonsocorre um fenomeno semelhante. As semelhancas de tratamento nas duas in-teracoes permitiu desenvolver uma teoria unica que envolve as duas interacoes.

As interacoes fracas e eletromagneticas sao de intensidade e alcancemuito diferentes. O alcance da interacao eletromagnetica e infinito, portantoa partıcula intermediadora e de massa nula, enquanto que na interacao fracaa interacao e de curtıssimo alcance portanto a partıcula mediadora e extrema-mente massiva. Apesar dessas diferencas gritantes e possıvel mostrar que asduas interacoes sao manifestacoes distintas de uma unica interacao unificada.



A unificacao das interacoes eletromagnetica e fraca resultou num campode forcas quantizado e renormalizavel no qual as interacoes de quarks e leptonssao mediados por um campo eletrofraco com quatro graus de liberdade decarga especıfica. Quatro diferentes partıculas com carga mas sem massa estaoassociadas com esse campo de forcas:

W+, W o, W− e Bo.

As partıculas W+, W− sao mediadoras da interacao fraca enquanto que W oe Bo

sao neutras e podem se mesclar em diferentes estados, que permitem a identi-ficacao do foton γ na interacao eletromagnetica. A relacao entre W oe Bo tema forma de uma rotacao definida por um angulo θf , determinado experimen-talmente:

γ = Bocosθf + W osenθf .

Um outro estado tambem obtido pela combinacao das partıculas neutras,ortogonal a γ e definido como:

Z = −Bosenθf + W ocosθf .

Esta e uma nova partıcula prevista pela teoria eletrofraca e ja detectada.Como consequencia um dos ingredientes fundamentais da teoria eletro-

fraca e a introducao de partıculas mediadoras de forca sem massa. Um outromecanismo e aquele pelo qual as partıculas mediadoras, W+ e W− e Z, ad-quirem massa enquanto que o foton γ mantem a sua propriedade de massanula. O princıpio fundamental desta teoria e a chamada simetria de calibre(gauge symmetry) e o mecanismo de aquisicao de massa e denominado de que-bra espontanea de simetria. A renormalizacao da teoria e o curto alcance saoatingidos por diferentes mecanismos.

Uma das predicoes mais importantes desta teoria inclui a relacao entre asmassas das partıculas mediadoras da forca fraca, medida experimentalmente,como sendo:

mW

mZ= cosθf . (10.33)

A constante de forca fraca GF , esta relacionada com a constante deestrutura fina α atraves da relacao:

GF =π√

22α

(hc)3(mW c2senθf )−2, (10.34)

onde α, a constante de estrutura fina e dada por,

α =e2

4πεohc.

Os valor experimental para θf e da ordem 29o o que permite predizer osvalores das massas das partıculas Z e W :

mW ' 80 MeV e mZ ' 90 MeV.



Como consequencia, pode-se afirmar que uma interacao em que a partıculamediadora de forca tem um valor dessa ordem so pode ser de curtıssimo alcance.

A teoria a respeito da interacao fraca e devida a Glashow em 1961 e aWeinberg e A. Salam em 1967. Esta teoria pode ser comprovada experimental-mente em 1973 quando se puderam reproduzir, em laboratorio, reacoes de altaenergia do tipo:

νµ + p → νµ + hadrons (10.35)

A descoberta experimental das partıculas W± e Z em 1983 tornou-se possıvela partir da construcao de um acelerador no CERN destinado a produzir co-lisoes proton-antiproton de 270 Gev. A evidencia experimental das partıculasmediadoras da forca fraca so foi possıvel gracas ao trabalho de Carlo Rubia emuitos outros pesquisadores. O mecanismo de producao de partıculas media-doras, onde ocorre a aniquilacao quark-antiquark permitiu a determinacao dosvalores das massas das partıculas W e Z cujos valores,

mW = 80, 8GeV/c2 e mZ = 92, 9GeV/c2,

estao em perfeito acordo com as predicoes da teoria eletrofraca.Essas medidas so foram possıveis com o desenvolvimento de acelerado-

res provistos de aneis de armazenamento capazes de armazenar antiprotons dealta energia. A aniquilacao quark-antiquark como pode ser observado experi-mentalmente na forma do diagrama da Fig.10.9. A deteccao das partıculas Ze W , so pode ser feita atraves da criacao de pares de leptons confirmando-seexperimentalmente os valores de suas massas.

Figura 10.9: Producao das partıculas W e Z em colisoes proton-antiproton.



10.9 Simetrias e Grandezas Conservadas

Qualquer conjunto de transformacoes, envolvendo transformacoes espaco-tempo, podem ser descritas a partir de alteracoes no sistema de referencia, comode resto em qualquer outro espaco. As simetrias contınuas, podem ser defini-das em todos os pontos do espaco considerado e por isso sao conhecidas comotransformacoes globais. Em contraste, se os parametros da transformacao de-pendem das coordenadas ou dito de outra maneira se a ordem da transformacaoe diferente de um ponto para outro, entao a transformacao e dita local. Emtal caso, forcas fısicas reais devem ser introduzidas para manter a simetria. Apergunta que sempre se faz ao estudar os princıpios de conservacao e a seguinte:quando se sabe se uma grandeza e conservada ou nao? Partindo da ideia quese conhece o verdadeiro Hamiltoniano que descreve o sistema, o estado dessesistema sera descrito pela funcao de onda Ψ, solucao de,

ihdΨdt

= HΨ (10.36)

Considerando que uma grandeza fısica, ou um observavel O no estado Ψ possuium valor esperado < O >1. Como o valor esperado pode ser medido, deve serreal e portanto o operador deve ser Hermitiniano. Para que a grandeza medidaseja conservada e necessario que o seu valor esperado seja independente dotempo, portanto:

d

dt< O >=

d

dt

∫d3xΨOΨ =

∫d3x

dΨ∗

dtOΨ =

∫d3xΨ∗O

dΨdt

(10.37)

O complexo conjugado da funcao de onda sera obtido pela solucao da equacaoadjunta,

ihdΨ∗

dt= (HΨ)∗ = Ψ∗H. (10.38)

Utilizando as equacoes 10.36 e 10.38, a derivada de < O >, resulta em:

d

dt< O >=

i

h

∫d3xΨ∗[HO −OH]Ψ. (10.39)

O comutador HO − OH deve ser nulo para que < O > seja conservado, por-tanto,

HO −OH ≡ [H,O] = 0 −→ d

dt< O >= 0 (10.40)

A escolha das auto-funcoes de H e feita de tal maneira que tambem sejamauto-funcoes de O, portanto:

HΨ = EΨ, e OΨ = oΨ. (10.41)1Um observavel e representado por um operador quantico O cujo valor esperado representa

uma dada medida fısica. O valor esperado de um estado quantico e dado por < O >=∫d3xΨ∗OΨ.



Onde o e o auto-valor do operador O. Agora ressurge o grande problema daMecanica Quantica; o Hamiltoniano nao e conhecido com a precisao necessariamas, aqui, isso nao constitui um problema pois a grandeza conservada poderaser encontrada se a invariancia de H, sob uma operacao de simetria, seja esta-belecida.

Para definir uma operacao de simetria, escolhe-se um operador capaz derealizar uma transformacao S tal que:

Ψ′(x, t) = SΨ(x, t) (10.42)

Esta transformacao so sera admissıvel se nao se alterar a normalizacao dafuncao de onda e consequentemente o operador S deve ser unitario, portanto,S+S = SS+ = 1. Como o operador S e um operador de simetria a equacao deSchrodinger deve ser satisfeita,

ihd(SΨ)

dt= HSΨ, (10.43)

portanto,

ihdΨdt

= S−1HSΨ, (10.44)

onde S−1 e o operador inverso. Comparando com a Eq. 10.36, teremos:

H = S−1HS = S+HS (10.45)HS − SH ≡ [H, S] = 0 (10.46)

A consequencia e que o operador de simetria S comuta com o Hamiltoniano.A regra, entao, se tornou muito clara, sempre que os operadores comutam como hamiltoniano eles representam grandezas que se conservam, mas nem sempree facil encontrar operadores que comutam com o Hamiltoniano.

Um simples exemplo da definicao de operadores de simetria que mantema normalizacao da funcao de onda obedecendo a equacao de Schrodinger, e ooperador proposto por H. Weyl, que constitui uma transformacao de calibreglobal. Esta transformacao se realiza a todos os pontos do espaco (global) ealtera a escala da medida (calibre) em todos os pontos do espaco.

S = eibO (10.47)

onde b e uma constante arbitraria independente de x e t.Existem tambem transformacoes de calibre locais basta para isso, definir

a grandeza b como funcao da posicao e do tempo.

10.9.1 Paridade

A paridade ou inversao temporal, e uma transformacao que nos leva deum sistema de coordenadas direto, para outro indireto. Sob esta transformacao



que genericamente denominamos de p se modifica o quadrivetor espaco-tempoda seguinte forma:

ctxyz

p−→

ct−x−y−z

(10.48)

Classicamente, quando se faz a inversao do sistema de coordenadas todas ascomponentes da posicao e do vetor momento trocam de sinal permanecendoos seus modulos. No caso do momento angular orbital a transformacao deparidade nao produz nenhum efeito:

~L = (~r × ~p)p−→ ( ~−r × ~−p) = ~L (10.49)

Vetores deste tipo sao chamados de pseudo vetores ou vetores axiais.Na Mecanica Quantica, se considerarmos um operador P representando

uma transformacao de paridade, se conclui que:

P 2 = +|Ψ > (10.50)

Dessa maneira os autovalores do operador de paridade tomar somente valo-res ±1. Quando uma teoria for invariante, ela possuira um hamiltoniano Hinvariante sob uma inversao de coordenadas e portanto, P comutara com H,

[P,H] = 0 (10.51)

Como consequencia quando P e H comutam os auto-estados do hamiltonianotambem sao auto-estados de P, com autovalores que podem ser +1 ou −1. Istoimplica que estados estacionarios do hamiltoniano, que possuam uma paridadedefinida, podem ser classificadas em funcoes pares ou ımpares. Entao, as trans-formacoes de paridade de qualquer funcao que e um auto-estado do momentoangular orbital tomarao a seguinte forma:

Ψnlm(~r)p−→ (−1)lΨnlm(~r) (10.52)

Pode-se pensar na paridade total de um estado mecanico-quantico comosendo dada por,

ηtotal = η(Ψ)(−1)l (10.53)

onde η(Ψ) e a paridade intrınseca do estado quantico.Ate 1950 se pensava na conservacao de paridade como uma simetria para

todas as interacoes fundamentais, mas varios experimentos para as interacoesfracas demonstraram o contrario pois a paridade e violada nas interacoes fracas.



10.9.2 Reversao Temporal

A inversao do eixo dos tempos, ou seja a inversao do fluxo do tempo, emtermos da mecanica classica significa que

tT−→ −t, (10.54)

~rT−→ ~r,

~pT−→ −~p,

~LT−→ −~L.

No caso da Mecanica Quantica, a equacao de Schrodinger pode se tornar inva-riante para a inversao temporal, se tanto a funcao Ψ ou a sua reversa temporalΨ∗ obedecerem a mesma equacao. Portanto a funcao e a sua adjunta (autoad-junta) devem serem as mesmas.

Ψ(~r, t) T−→ Ψ∗(~r, t) (10.55)

10.9.3 Conjugacao de carga

De forma classica e muito simples representar a conjugacao de cargaatraves da seguinte transformacao:

qC−→ −q. (10.56)

A consequencia imediata, desta transformacao, e que ela implica que tambemocorre inversao do campo eletrico e magnetico.

~EC−→ − ~E,

~BC−→ − ~B. (10.57)

Como consequencia e possıvel mostrar que as equacoes de Maxwell sao inva-riantes a essa transformacao.

Na Mecanica Quantica a carga, Q, e generica e representa um numeroquantico Q, para todos os numeros quanticos internos, tais como, carga eletrica,numero leptonico, numero barionico e estranheza.

|Ψ(Q,~r, t) >C−→ |Ψ(−Q,~r, t) > (10.58)

10.9.4 Teorema CPT

O teorema CPT diz que o produto de tres operacoes C, P e T comutacom qualquer hamiltoniano conhecido,

[TCP,H] = 0. (10.59)



Em outras palavras, transformacoes simultaneas T , C e P em qualquer ordemresultam num mesmo estado. Apesar de ser possıvel construir um hamiltonianoinvariante a transformadas de Lorentz que viola por exemplo a paridade P e acarga C, ele nao violara CPT .

Este teorema e muito facil de ser entendido mas difıcil de ser provado.George Luders, Wolfgang Pauli e Julian Schwinger provaram de forma inde-pendente que uma combinacao de CPT e uma transformacao que mostra umasimetria essencial para qual teoria combinada com as transformacoes de Lo-rentz. A aplicacao deste teorema leva a tres conclusoes importantes:

• o fato das partıculas e suas anti-partıculas possuırem massas identicas emeias vidas iguais e uma consequencia da invariancia CPT das teoriasfısicas;

• a invariancia sob transformacoes CPT resulta em que todos os numerosquanticos internos das partıculas sejam simetricos aos das anti-partıculas;

• e uma consequencia da invariancia CPT , que as partıculas de spin inteirosatisfazem a estatıstica de Bose-Einstein enquanto que as de spin semi-inteiro satisfazem da de Fermi-Dirac.

Como o teorema CPT e consistente com todas as observacoes experimentais eapresentado como a verdadeira simetria de todas as interacoes.

10.9.5 Simetrias de Calibre

As leis de conservacao e os princıpios de simetria encontrados ate aquicorrespondem a simetrias globais, onde uma grandeza fısica obedece unifor-memente a sua lei de conservacao ao longo de todo o espaco e tempo. Umalei de conservacao local, como no caso da conservacao da carga, correspondea uma simetria local cuja implementacao deve permitir a aplicacao da lei deconservacao de um ponto do espaco-tempo para outro. Esta consideracao exigea introducao de um campo mediador cuja resposta a uma operacao de simetriae a compensacao para a variacao da simetria de um ponto para outro. Dessamaneira o campo necessario deve permitir que a simetria local se propagueatraves do sistema fornecendo um mecanismo de interacao. Simetria de calibree a denominacao desse mecanismo. O campo mediador e denominado de campode calibre e as partıculas mediadoras do campo sao denominadas de quanta decalibre. Uma teoria baseada na simetria de calibre possui invariancia de calibrepois as grandezas medidas, desse sistema, nao sao alteradas por uma operacaode simetria local.

Uma teoria invariante de calibre define um sistema interativo. O meiointerativo e fornecido pelo campo de calibre e a natureza da interacao e definidapela natureza da simetria de calibre considerada. As teorias das interacoes



fundamentais, entre partıculas, sao construıdas a partir de princıpios de calibre.As teorias eletromagneticas, eletrofraca e forte sao teorias desse tipo.

Para melhor entendimento dessa teoria utilizam-se as equacoes de Max-well, ou teoria classica do eletromagnetismo, para explorar a sua invariancia decalibre. Partindo-se das equacoes de Maxwell escritas na forma diferencial,

∇ · ~E =ρ

εo, (10.60)

∇× ~B − 1c2

∂ ~E

∂t= µo

~J, (10.61)

∇× ~E − 1c2

∂ ~B

∂t= 0, (10.62)

∇ · ~B = 0, (10.63)

considerando os campos, no vacuo, na presenca de carga ρ e densidade decorrente ~J . Estas grandezas satisfazem a lei de conservacao local para carga ecorrente. Para verificar este fato basta diferenciar a lei de Gauss para o campoeletrico e a lei de Ampere, cuja relacao de campos resulta na equacao:

∂ρ

∂t+∇ · ~J = 0, (10.64)

que representa a relacao local entre a carga e a corrente, ou conservacao localda carga e corrente.

As equacoes de Faraday e Gauss para o magnetismo nao envolvem umtermo de fonte podendo portanto serem construıdas como relacoes cinematicasentre os campos. Utilizando a nocao de potenciais escalares e vetoriais e possıvelsimplificar o problema de equacoes acopladas. Um potencial vetor ~A pode serintroduzido para definir o campo magnetico na forma

~B = ∇× ~A, (10.65)

portanto a lei de Gauss para o magnetismo sera automaticamente satisfeita.Por outro lado, um potencial escalar φ podera ser empregado para definir

o campo eletrico,

~E = −∇φ− ∂ ~A

∂t. (10.66)

Esta equacao, resulta nesta forma gracas a que ∇× (∇φ) = 0.A simetria de calibre pode ser observada ao fazer-se uma variacao no

valor do potencial vetor, introduzindo-se uma funcao escalar arbitraria Λ talque,

~A′ = ~A +∇Λ, (10.67)

φ′ = φ− ∂Λ∂t

. (10.68)



Dessa maneira, ao substituir ~A −→ ~A′ e φ −→ φ′ as variacoes nas Eqs.10.67 e 10.68, especificam uma transformacao de calibre dos potenciais ele-tromagneticos, pois,

∇× ~A′ = ∇× ~A, (10.69)

e

−∇φ′ − ∂ ~A′

∂t= −∇φ +∇∂Λ

∂t− ∂ ~A

∂t− ∂

∂tΛ = −∇φ− ∂ ~A

∂t. (10.70)

Pode-se observar que essas transformacoes nao produzem efeito tanto no campoeletrico como no magnetico e portanto pode-se concluir que a teoria eletro-magnetica classica e invariante ao formalismo de calibre. Como consequencia epossıvel explorar este grau de liberdade na definicao dos potenciais para geralequacoes diferenciais desacopladas para a determinacao tanto de ~A como de φ.

As caracterısticas formais dos potenciais eletromagneticos adquirem ummaior significado quando o comportamento quantico das partıculas com cargae levado em consideracao, em funcao da teoria de invariancia de calibre global.

Considerando que a funcao de onda Ψ(x, t) descreva um sistema de cargaQ e definindo o operador de carga Qop, o valor esperado da carga, < Q >, seraconservado se o operadores hamiltoniano e de carga comutarem:

HQop = QopH. (10.71)

Para provar a invariancia de escala global, vamos utilizar o operadorproposto por Weyl Eq. 10.47, ou seja

Ψ′(x, t) = eibQopΨ(x, t), (10.72)

onde ψ′ tambem satisfaz a equacao de Schrodinger portanto,

HeibQopΨ = ih∂(eibQopΨ))

∂t. (10.73)

Multiplicando a Eq. 10.73 pelo operador de simetria de Weyl,

eibQopHeibQopΨ = ih∂(eibQop × eibQopΨ))

∂t= ih

∂Ψ∂t

, (10.74)

resulta queeibQopHeibQop = H. (10.75)

A constante b e arbitraria, portanto pode ser escolhida tal que bQ0p ¿ 1, e,dessa maneira o operador de simetria pode ser expandido em potencias dosexpoentes, com apenas os dois primeiros termos,

(1− ibQop)H(1 + ibQop) = H. (10.76)



Desprezando os termos de segunda ordem em bQop,

HQop −QopH = 0. (10.77)

Dessa maneira se demonstra que a invariancia de escala global implica naconservacao do valor esperado da carga eletrica. Portanto, a simetria das in-teracoes fundamentais, em relacao a transformacoes de calibre, leva a conservacaode varias grandezas tanto de forma local como global.

A teoria de calibre apresenta, em si, uma revolucao no modo de entendera fısica de partıculas. A nocao de simetria local inspira procedimentos que po-dem ser aplicados a cada uma das partıculas fundamentais. A cromodinamicaquantica e reconhecida hoje como uma teoria adequada para descrever a in-teracao forte enquanto que a teoria eletrofraca se estabeleceu para descrevertanto a interacao eletromagnetica como a interacao fraca. Essas duas teoriasde calibre, juntas formam o que se costumou denominar de modelo padrao,para o comportamento de quarks e leptons.

10.10 Evolucao do Modelo Padrao

O modelo padrao pode ser resumido como uma teoria para as partıculase interacoes fundamentais. Pode-se resumir o conteudo das partıculas segundotres diferentes categorias:

1. fermions e antifermions (spin 1/2)

• 3 geracoes de quarks (u, d)(c, s)(t, b)

• 3 geracoes de leptons (e−, νe)(µ−, νµ)(τ−, ντ ) mais as suas antipar-tıculas.

2. bosons de spin 1

• 1 foton (boson sem massa da interacao eletrofraca)

• 3 bosons com massa da interacao eletrofraca (W+,W−, Zo)

• 8 gluons sem massa, g

3. bosons de Higgs, spin 0 Ho

Boson responsavel pela quebra de simetria entre a teoria fraca e eletro-magnetica, com energia prevista da ordem de 1 TeV .

As interacoes previstas no modelo padrao, podem ser resumidas na teoriaeletrofraca e na interacao forte pois a interacao gravitacional nao esta contem-plada no modelo.

O modelo padrao faz muitas predicoes, tais como as partıculas formadasa partir de quarks e leptons, mas deixa de prever duas questoes fundamentais,



a primeira e as massas dos quarks e leptons e a segunda sao as constantes deacoplamento. Existem muitas outras questoes nao solucionadas neste modeloe que podem ser resumidas na seguinte lista:

• porque nao necessarias tres geracoes de partıculas fundamentais?

• qual a relacao entre as forcas fortes e eletrofracas?

• qual e a relacao entre quarks e leptons?

• qual a origem da violacao CP?

• como adicionar a teoria gravitacional?

10.10.1 Teorias de Grande Unificacao, GUT

Apesar do sucesso da aplicacao do modelo padrao por varias razoes exis-tem duvidas deste modelo tornar-se uma teoria fundamental. A mais impor-tante e o numero exagerado de parametros indeterminados. Para evitar essanecessidade de arbitrar parametros sera necessario utilizar um grau maior desimetrias locais pois quanto maior o numero de simetrias locais menor a necessi-dade de arbitrar os parametros livres. Uma teoria da grande unificacao deve teresse objetivo e torna-se, portanto, necessario ir alem do modelo padrao, paratal e possıvel especular em varias teorias, das quais citamos resumidamenteapenas quatro:

• GUT, Teorias de Grande Unificacao

• Modelos Compostos

• Supersimetria

• Modelo das Cordas

O termo ¨grande unificacao¨(GUT) e dado ao modelo padrao numa teo-ria de calibre unica capaz de unificar as quatro interacoes fundamentais, agravitacional, eletromagnetica, nuclear forte e nuclear fraca. O conceito deunificacao presume a existencia de um regime de variaveis no qual as forcasde interesse obedecem a simetria de calibre escolhida de forma exata. Nessedomınio se espera que as diversas forcas unificadas nao exibam diferencas deintensidade. A renormalizabilidade de todas as propriedades importantes deuma teoria e a chave para esta questao. Experimentos hipoteticos a energiasmuito altas poderao provar que as forcas terao a mesma escala de alcance dassuas partıculas intermediadoras de forca.

Esta necessidade de que as quatro interacoes fundamentais devam ter omesmo valor da constante de acoplamento, e aproximadamente igual a cons-tante de estrutura fina α, ocorre para valores de energia muito alta, da ordem



de 1015GeV e coloca uma grande dificuldade para as verificacoes experimentaispois os aceleradores atuais estao limitados a alguns TeV .

Experimentos hipoteticos, a altıssimas energias, poderiam demonstraresta unificacao e apenas para ilustrar a Fig. 10.10 mostra a evolucao dasconstantes de acoplamento para forcas fortes, fracas e eletromagneticas. Einteressante notar que a constante de interacao forte diminui, demonstrandoa chamada liberdade assintotica. Se espera que as curvas se interceptem aaproximadamente 1015GeV , indicado no grafico pelo valor de mxc2, a massada unificacao. Para energias superiores a esta massa as forcas entre partıculas,aparentemente similares, sao identicas.

Figura 10.10: Variacao das constantes de acoplamento em funcao da escala deenergia. As interacoes, forte, eletromagnetica e forte se unificamacima de mxc2, a escala da unificacao.

Esta nova teoria, denominada GUT (grand unification theory), se baseiano fato de que os hadrons e leptons sao diferentes estados de uma mesmapartıcula. As teorias da grande unificacao existentes procuram unificar deforma matematica as interacoes basicas e pode-se dizer que as consequenciasdessas teorias resultam na possibilidade do decaimento de protons, ate hoje naoobservados, a existencia da massa dos neutrinos e dos monopolos magneticos.

As teorias GUT sao aquelas para as quais as constantes de acopla-mento sao as mesmas, o que ocorre, como ja foi dito, para massa da ordemde 1015GeV/c2. Nesta energia tudo seria altamente simetrico, todas as mas-sas e acoplamentos seriam as mesmas. Esta simetria e quebrada para energiasmenores para dar como resultado as massas e acoplamentos com as quais es-tamos convivemos. A tıtulo de comparacao, pode-se exemplificar como numliquido e simetrico em todas as direcoes que perde essa simetria a baixas tem-peraturas quando solidifica, cristalizando em diferentes direcoes. As presentes



teorias estao associadas com certos grupos que obedecem aos fundamentos ma-tematicos da teoria de grupos, que podem ser resumidos da seguinte forma:

• o grupo do eletromagnetismo U(1) possui uma carga eletrica e 1 bosonde calibre,

• o grupo SU(3) da cromodinamica quantica QCD possuem 3 cargas decor e 8 bosons de calibre os gluons.

• o modelo GUT mais simples e o SU(5) e possui 24 bosons de calibre.

• ate o momento possuımos 12 bosons: γ, W+,W−, Zo + 8 gluons

• mais 3 cargas eletricas −1/3 in 3 cores (RGB): YR, YG, YB

• mais 3 cargas eletricas −4/3: XR, XG, XB

• mais 6 antipartıculas.

As seis, partıculas (YR, YG, YB , XR, XG, XB) e mais suas 6 antipartıculas, saodenominadas leptoquarks capazes de transformar quarks em leptons e quarks emantiquarks e vice-versa. Estas reacoes permitem mostrar que o decaimento deprotons produziria mesons e leptons. Utilizando esta teoria e possıvel calculara meia vida do proton entre 2 × 128 a 3 × 1030 anos, predicao essa que naoconcorda com as medidas atuais que se situa na ordem de 1032 anos.

Resumindo, a GUT unifica as interacoes eletromagneticas, fraca e forte,e explica as relacoes entre quarks e leptons e suas cargas, mas deixa de explicaro decaimento do proton em escala adequada e tambem nao inclui a interacaogravitacional.

A massa de unificacao da GUT e da ordem de 1015GeV/c2 enquanto quea chamada massa de Plank e da ordem de 1019GeV/c2 portanto essa teoria naoinclui a gravitacao. A solucao e incluir uma teoria quantica para a gravitacao,em analogia com as demais interacoes. Postula-se entao que o campo gravi-tacional aparece pela troca de gravitons. Devido as caracterısticas do campogravitacional 1/r2, o graviton deve ter massa nula. A construcao de uma teoria,que inclua a gravitacao, consistente e renormalizavel (sem infinitos) tem sidouma tarefa muito difıcil de atingir.

Finalmente surge a teoria das cordas, na qual as partıculas em vez deserem pontuais, sao semelhantes a cordas, tanto cordas fechadas como abertas.Esta ideia das cordas e baseado no trabalho de Kaluza e Klein em 1920. Elesadicionaram um quinto espaco ao quadri-espaco. A quinta dimensao e curva epermite obter uma relacao entre o eletromagnetismo e a relatividade geral. Ointeresse atual e pela inclusao de mais dimensoes, ou seja atingir uma teoriade supercordas. Esta teoria esta em desenvolvimento e aparentemente os seusresultados sao encorajadores.



10.11 Exercıcios

1. Utilizando-se a solucao esfero-simetrica para a equacao de Klein-Gordon,solucione para a interacao eletromagnetica e forca forte.

2. verifique se ha conservacao de numeros barionico, isospin e hipercarganas reacoes 15,16,17,18,19 e 20.

3. Verifique se ha conservacoes de estranheza e isospin nas reacoes 10.27.

4. Baseando-se nos princıpios de conservacao, verifique quais das seguintesreacoes nao se observam:

πo → e+ + e−;p → n + e− + νe;n → p + e− + νe;

5. Varios experimentos demonstraram a violacao da paridade nas interacoesfracas, e numa delas o decaimento beta do 60Co comprovou esse fato.Como se pode comprovar essa violacao de paridade?

6. Mostre que as equacoes de Maxwell sao invariantes a conjugacao de carga.

7. Obtenha os valores da carga, numero barionico e estranheza para as se-guintes combinacoes de quarks identificando os hadrons resultantes: a)uud; b) uuu; c) udd; d)ud; e)ds.

8. Utilizando o operador de simetria de Weyl definido pela Eq. 10.47 edemonstre que a carga eletrica e conservada.

9. Utilizando o valor experimental do parametro angular da forca fraca comosendo, θff = 29o, obtenha os valores das massas das partıculas W e Z,utilizando valores conhecidos para a constante de estrutura fina.

10. Supondo que a meia vida do proton seja de 1032 anos, determine a quan-tidade de agua necessaria para se observar o decaimento de um protonpor hora.


Bibliografia

[1] M. Gell-Mann and Y. Ne’ewman, The Eightfold Way, W.A. Benja-min(1964).

[2] Fritzsch, H., Quarks, the Stuff of Matter, Basis Books, N.Y.(1983).

[3] A aventura das Partıculas, IFT, UNESP, Particle Data Group doLaboratorio Nacional de Lawrence Berkeley (LBNL) Michael Barnett,www.aventuradasparticulas.ift.unesp.br/

[4] Das A., Ferbel T., Introduction to Nuclear and Particles Physics, JohnWiley, NY, (1994).

[5] D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley &Sons, NY, (1987).

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CAPITULO 11

Alquimia Estelar A Origem dos Elementos Quımicos

11.1 Introducao

Um dos problemas fundamentais da fısica nuclear e a questao da origemdos elementos quımicos ou processo pelo qual o universo atingiu a composicaoatual, partindo de um meio primordial. Muitos dos problemas desse processoainda nao estao resolvidos e algumas solucoes sao meramente especulativas.

Ao examinar a luz vinda das estrelas, podem-se obter informacoes a res-peito da natureza do nosso universo, considerando que as mesmas leis fısicas equımicas se aplicam a qualquer lugar do universo. E notavel observar que todosos objetos astronomicos observados sao formados pelos mesmos 92 elementosquımicos que formam a terra. Das observacoes feitas ate agora pode-se concluirque 73% da massa do universo visıvel e formada de hidrogenio, e 25% de helio.Apesar da pequena abundancia dos elementos com A > 4 (2%), sabe-se da suaimportancia na composicao dos nossos corpos e mesmo do nosso planeta.

Acredita-se que o hidrogenio e o helio foram produzidos nas condicoesde alta temperatura e alta densidade existentes no nascimento do universo ouseja logo depois do Big-Bang. Tanto os elementos leves como os pesados, tema sua formacao devida a varios processos nucleares que ocorrem nas estrelas.A relacao entre a fısica de partıculas elementares e a astrofısica e muito recentee ate ha muito pouco tempo atras a unica observacao dos astros se fazia numajanela da espectroscopia otica entre 400 e 800 nm, alem do estudo da astronomiacomo o principal ramo da mecanica. Neste seculo a astronomia e a fısica seinterrelacionaram de tal maneira que se torna importante relacionar algumas

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areas da fısica subatomica com a astrofısica.Uma estrela, nos seus primordios, e basicamente composta de hidrogenio

e sua existencia depende do equilıbrio entre a forca da gravidade, que tendea fazer com que a estrela sofra uma implosao sobre si mesma, e a pressao daradiacao liberada em seu interior devido a fusao nuclear de hidrogenio em helio.

O problema e que, um dia, a estrela consumira todo o hidrogenio emseu interior e tera que fundir helio em carbono para continuar a existir. Paraestrelas com massas oito vezes maiores do que a do Sol essa cadeia de fusao deelementos mais pesados continua ate chegar ao ferro. Nesse momento ocorrea interrupcao do processo de fusao e a estrela perde a base energetica e acabaexpelindo grande parte de sua regiao externa, deixando no centro os restos mor-tais. Dependendo da massa original e da violencia da explosao final, esses restospodem se tornar uma ana branca (no caso do Sol), uma estrela de neutronsou um buraco negro (caso de estrelas com massas maiores do que a do sol).Se os restos da estrela tem uma massa acima de tres a quatro massas solares,ela continuara seu colapso. Com a massa permanecendo aproximadamente amesma, quanto menor o raio da estrela maior sera a sua propria gravidade.Quanto maior for a gravidade da estrela, maior a curvatura do espaco em voltapodendo a situacao tornar-se insustentavel e a estrela, tao compacta, faz comque o espaco se encurve em si mesmo, e nada, nem mesmo a luz, pode escapar.Ela virou um buraco negro.

Todo o buraco negro e circundado por uma regiao imaginaria, que cha-mamos de horizonte. Se o sol fosse um buraco negro, seu horizonte teria umraio de tres quilometros. Tal como a fronteira de um redemoinho no mar, ohorizonte marca o ponto alem do qual nao se pode mais retornar. Ali, o espacopassa a se comportar de forma semelhante ao tempo em nossa realidade. Domesmo modo, para nos, o tempo fluı numa unica direcao, dentro do horizonte eo espaco que se torna unidirecional. Dentro do horizonte, so se pode viajar emdirecao ao centro, onde a gravidade assume, teoricamente, um valor infinito.E uma viagem sem retorno. Na verdade, a singularidade central denuncia aquebra das leis da fısica, mantendo o misterio do buraco negro. Mesmo hojecom o farto conhecimento sobre esses objetos, ainda resta muito a estudar dessanova fısica e nova estrutura do espaco e tempo. Como fontes de informacaoao tema, pode-se citar na literatura nacional o site do INPE [1] e livros textocomo o de Clayton[2]

11.2 Fontes de Informacao sobre a Composicaodo Universo

A teoria do Big-Bang, introduzida por Gamow em 1940, traz consigoa ideia de que todos os elementos foram formados a partir de um universoprimordial, mas apesar da composicao media do universo ser a mesma em todos



Figura 11.1: Abundancia media das especies atomicas no universo, comparadascom a curva de energia de ligacao por nucleon

os pontos, se observa que a quantidade de elementos pesados, ou metalicidadepode variar de uma estrela para outra. Podem-se observar estrelas com meta-licidade entre 10 e 100 vezes maiores do que a do sol, portanto, nao se podeconcluir que todos os objetos tenham sido formados estritamente a partir doBig-Bang, pois dessa maneira deveriam ter a mesma composicao. A partirde 1950, com a elucidacao do mecanismo da sıntese nuclear, se pode concluirque a composicao atual do universo e originada ou influenciada pelos seguintesfatores:

• do Big-Bang se originaram os seguintes elementos: H, 3He, 4He, tracosde 2H e de 7Li;

• explosoes de Supernovas do tipo II, associadas a instabilidade de estrelasmassivas;

• gigantes vermelhas, estrelas Wolf-Rayet e explosao de novas;

• interacao de raios cosmicos no meio interestelar.

Na Fig. 11.1, se observa a importancia de cada um dos processos de sıntese, apartir do Big-Bang, na composicao media do universo. Podendo-se observar queos picos dos elementos mais abundantes, tambem correspondem aos elementosmais estaveis em relacao aos seus vizinhos.

A importancia dos raios cosmicos nesse processo foi investigada a partirdo inıcio do seculo passado e dessa pesquisa nasceu um conhecimento muitoimportante a respeito a sua origem e da composicao do universo. Na Fig.11.3observam-se alguns dos processos, produzidos por raios cosmicos, que influen-ciam a composicao quımica.

Ao examinar a origem dos elementos, vamos analisar quais foram osprocessos que permitiram a formacao desses elementos nas primeiras fases deformacao do universo, a partir da evolucao quımica das galaxias, o surgimento



e a morte das estrelas, supernovas e raios cosmicos. Em cada caso se discu-tem os processos nucleares responsaveis pelas mudancas, que ocorreram nasformacao da materia. Veremos que nos processos que seguiram ao Big Bang,o processo primordial na formacao do universo foi de forma dominante a fusaodo hidrogenio em helio gracas ao processo de formacao dos outros elemen-tos nao ocorreram ate que, por alguma razao, os aglomerados destes gases,colapsaram por atracao gravitacional. Uma sucessao de processos de fusaoem estrelas massivas produziram todos os elementos da tabela periodica ate oferro. Nestes processos, as temperaturas deveriam ser crescentes em funcao donumero atomico formado, em virtude da repulsao coulombiana, que aumentacom o valor de Z dos nucleos em fusao.

Para elementos mais pesados do que o ferro, um mecanismo diferente, aoda fusao, se torna necessario, e o mais provavel e a absorcao de neutrons. Esseprocesso e classificado em duas categorias o processo s (slow) e o r (rapid),conforme a taxa de formacao, relativa a taxa do decaimento beta dos nucleosproduzidos. Estes processos podem ser observados, em termos da abundanciarelativa dos elementos existentes no universo atual, na Fig. 11.1

Existem algumas evidencias experimentais destes processos, presente-mente aceitas, para justificar a abundancia dos elementos, podendo-se citar asmais importantes:

• analise quımica de amostras da terra, lua e meteoritos;

• analise espectral da luz emitida pelo sol e demais estrelas atraves doespectro das linhas de absorcao;

• e conteudo nuclear dos raios cosmicos.

Deve-se observar que essas evidencias experimentais sao dominadas porobservacoes locais, ao sistema solar. Estas informacoes sao provenientes de umpequeno volume da nossa galaxia, e a menos que a distribuicao ao longo damesma seja uniforme, nao e seguro considerar a composicao considerada comotıpica do universo. O refinamento deste tratamento, pode ser feito, a partirdos modelos de formacao do universo.

11.2.1 Dados de Analise Quımica

Os dados da analise quımica apresentam alguns problemas ligados a faltade homogeneidade da terra e da lua e a diferentes composicoes dos meteoritos.Um dos problemas da analise de meteoritos e a perda dos gases leves, tais comohidrogenio e helio, na entrada da atmosfera. A analise tanto da terra, comoda lua depende de modelos, pois as regioes acessıveis sao muito pequenas, nocaso da terra as regioes acessıveis correspondem a atmosfera, os oceanos e acrosta o que corresponde a 0, 5% da composicao da mesma. Para extrapolar asobservacoes experimentais e necessario um modelo e o mais aceito e o modelo de



camadas. Neste modelo a crosta terrestre e formada principalmente de silicatosenquanto que o nucleo e formado por ferro e nıquel. A composicao tıpica dacrosta terrestre estabelece a abundancia dos elementos conforme a Tabela 11.1

Tabela 11.1: Composicao quımica da crosta terrestreElemento Sımbolo Composicao Relativa

(peso)Oxigenio O 46,6Silıcio Si 27,7

Alumınio Al 8,1Ferro Fe 5,1Calcio Ca 3,6Sodio Na 2,8

Potassio K 2,6Magnesio Mg 2,1

Utilizando o modelo de diferenciacao gravitacional e possıvel transformarestas informacoes, limitadas, em estimativas da composicao original da terrano momento da sua formacao a partir da nebula solar.

Por outro lado, um numero muito pequeno de amostras lunares foi exa-minado. Das evidencias sısmicas, se concluiu que a lua tambem possui umaestrutura de camadas, mas sem nucleo metalico. A composicao e muito seme-lhante ao da terra com um pequeno aumento de titanio, uranio e elementosde terras raras em relacao a crosta terrestre e menor composicao de carbono,nitrogenio, oxigenio, enxofre e cloro. A sua composicao demonstra a mesmaorigem da nebula solar e que as pequenas diferencas de composicao podem serprovenientes da mistura incompleta da nuvem de poeira pre-solar.

11.2.2 Analise Espectral

A composicao quımica das estrelas e deduzida a partir dos espectros deemissao e de absorcao. Uma demonstracao grafica destes espectros pode serobservada na Fig. 11.2, onde as linhas de absorcao trazem a informacao dacomposicao.

A estrelas sao classificadas segundo o elemento quımico dominante no seuespectro, e as classes sao ordenadas, segundo a temperatura da sua fotosfera. Oelemento dominante no espectro nem sempre e o elemento dominante na estrela,em virtude das diferencas de intensidade das linhas espectrais. Esta classi-ficacao, denominada Harvard Classification, pode ser observada na Fig.11.2(b)seguindo a sequencia de letras O B A F G K. Cada classe dividida e em dezsub-classes denominadas de 0 a 9. O sol nessa classificacao e uma estrela G2.



Figura 11.2: (a) Espectro de radiacao de uma estrela emitido pela fotosfera,com as suas linhas de absorcao, (b)classificadas segundo classeespectral, mostrando os elementos cujas raias sao visıveis em cadaregiao.

Os atomos nas estrelas tendem a ser altamente ionizados e portantopossuem o seu espectro preferencialmente na regiao do UV. Como a atmosferaterrestre e absorvedora de UV ocorre uma diminuicao da intensidade das linhasespectrais. A observacao de linhas espectrais e sua intensidade depende dosseguintes fatores.

• Da quantidade do elemento analisado, presente na estrela.

• Do valor da probabilidade de transicao ou da secao de choque da absorcao.

• Comprimento de onda apropriado, dependendo do estado de ionizacao.

As tecnicas de interpretacao das linhas espectrais, em termos da quantidadede elemento presente devem levar em consideracao os varios processos fısicoscapazes de alterar a largura das linhas espectrais, entre eles os efeitos termicos,campos eletricos e magneticos, colisoes e movimento turbulento.

Para exemplificar as dificuldades das medidas espectrais, escolhemos oproblema do conteudo de helio. Na maior parte das estrelas o helio se encontrano estado fundamental, e a maior parte das linhas de absorcao se encontra naregiao UV, que e inacessıvel aos telescopios terrestres devido a absorcao daatmosfera terrestre. Mesmos nos telescopios existentes em satelites, o espectrotambem sofre grande absorcao pelos atomos neutros do hidrogenio inter-estelare dessa maneira para a maioria das estrelas o helio nao pode ser observado.

11.2.3 Raios cosmicos

Os raios cosmicos foram descobertos por Victor Hess em 1912 utilizandoum eletrometro colocado em um balao para medir a ionizacao que esses raiosproduziam a uma altitude de 1000 m. O espectro de energia e massa dos raioscosmicos, permitiram mostrar que a sua composicao revela serem eles um doscomponentes principais da nossa galaxia. A densidade de energia dos raioscosmicos de 1eV/cm3 revela ser da mesma ordem da densidade de energia do



campo magnetico da nossa galaxia, bem como da mesma ordem do energiatermica do gas interestelar.

Os raios cosmicos incidentes sobre a atmosfera terrestre, consistem denucleos, eletrons, positrons, fotons e neutrinos. A interacao dos raios cosmicoscom a atmosfera terrestre, e exemplificada pela interacao dos protons com onitrogenio e hidrogenio da atmosfera, produzindo reacoes nucleares em cadeia,num esquema como o mostrado na Fig.11.3. Estas reacoes produzem umagrande quantidade de hadrons, predominando os pıons, mas tambem apare-cendo antiprotons, antineutrons, kaons e hiperons. As partıculas secundariastais como positrons, eletrons e neutrinos tambem sao produzidos em grandeproporcao.

Figura 11.3: Reacoes nucleares em cadeia produzidas por cosmicos na atmos-fera terrestre, gerando neutrinos

A composicao dos componentes dos raios cosmicos primarios e mostradana Fig.11.4, com o intuito de compara-la com a composicao media do universo.Dessa comparacao resultam alguns fatos importantes:

• os elementos Li, Be, e B sao 105 vezes mais abundantes nos raios cosmicosdo que na media do Universo;

• a relacao entre o 3He/4He e 300 vezes maior nos raios cosmicos;

• os elementos pesados se encontram em maior intensidade nos raios cosmicos;

• ate o momento nao se encontraram anti-hadrons na composicao dos raioscosmicos;



• os eletrons representam 1% da abundancia dos nucleos, enquanto que ospositrons representam 10% da composicao dos eletrons.

Figura 11.4: Composicao media dos raios cosmicos em relacao a composicaomedia do universo

Os dois primeiros fatos podem ser explicados pelas reacoes nucleares produzidasnas camadas proximas a atmosfera terrestre onde a densidade dessa materia emuito mais intensa do que no resto do Universo.

A evidencia experimental sobre o espectro de energia e composicao dosraios cosmicos produzida por inumeros pesquisadores nos leva a dizer que afonte de raios cosmicos deva ter as seguintes caracterısticas:

• deve produzir partıculas cujo espectro de energia atinja 1022 eV ;

• a producao de energia na nossa galaxia deve ser da ordem de 1042joules/ano;

• a producao de raios cosmicos deve ser isotropica e constante, pelo menosnos ultimos 109 anos;

• O espectro primario deve incluir elementos com Z = 100 com menos de1% de anti-hadrons.

Nao existe um modelo que explique completamente estas caracterısticasde forma satisfatoria, e estao ainda sem resposta tres importantes fatos: quala origem dos raios cosmicos? como sao produzidos? e como sao acelerados?

Algumas tentativas de resposta, a essas perguntas, merecem ser apre-sentadas, pois representam quase um consenso entre os pesquisadores:



• a radiacao cosmica pode ser produzida no disco interno da nossa galaxia,no halo galactico. Este fato permite por exemplo explicar a emissao deradiacao com energia ate 1018eV ;

• ate o presente se acredita que as supernovas podem produzir os raioscosmicos com as propriedades acima;

• e possıvel que a natureza utilize da mesma forma a energia de campoeletrico e magnetico tal como nos aceleradores para produzir raios cosmicos,como foi sugerido por Fermi.

11.2.4 Sumario sobre a Composicao do Universo

A partir de todos os dados experimentais disponıveis, ou mesmo de mo-delos, e possıvel chegar a algumas conclusoes importantes, sobre a composicaodo universo, dentre as quais destacam-se:

• a composicao da maior parte das estrelas e da ordem de 98% de hidrogenioe helio (em massa);

• ocorre um mınimo na curva de abundancia correspondente aos elementos,Li, Be e B;

• aparece um pico em torno ao C, N, O e Ne;

• ocorre um decrescimo forte da composicao ate o pico do Fe;

• algumas estrelas possuem uma menor quantidade de elementos pesados;

• existem poucas evidencias de outras galaxias, mas mesmo assim e possıveldizer que a composicao das mesmas e proxima a da nossa, incluindo acomposicao de elementos pesados proximo ao centro das mesmas.

11.3 Energia Estelar

Alem dos raios cosmicos, outra fonte de energia que atinge a terra e aenergia solar. Considerando que o mecanismo de producao de energia solaresteja plenamente entendido, a sua discussao podera ser a base de estudo daproducao da energia estelar. Antes do estudo das reacoes nucleares, nao haviauma explicacao razoavel para a emissao de energia pelo sol e entre os quereconheceram a natureza nuclear da energia solar esta Eddington em 1920 [3]que mostrou que a fusao de quatro atomos de hidrogenio formando um atomode helio poderia produzir aproximadamente 7 MeV por nucleon produzindo aenergia suficiente para explicar a emissao solar.



Em geral se diz que uma estrela, nasce, cresce e morre, tentando expli-car que uma estrela nasce a partir de um gas rarefeito, constituıdo fundamen-talmente de hidrogenio. A condensacao do gas por instabilidade gravitacio-nal leva a sua contracao muito forte pela auto-gravitacao. A liberacao dessaenergia gravitacional eleva a temperatura e a partir de T = 105 K ocorre aionizacao formando-se a partir daı um plasma. Para estrelas com massa deaproximadamente 1 M¯, a densidade do nucleo da estrela atinge 104 kg/m3

com temperaturas atingindo T = 106 K dando condicoes para atingir a fusaotermonuclear.

As reacoes nucleares de fusao sao aceitas hoje como a origem da energiaestelar mas ate pouco tempo atras, esta conclusao era meramente aceita porevidencias circunstanciais, ja que a luz observada das estrelas e emitida pelasua superfıcie, ou seja, nao se podia observar diretamente no interior de umaestrela para saber a origem dessa luz. Como consequencia foi necessario utilizarmeios indiretos de observacao.

Uma das primeiras evidencias da ocorrencia de reacoes nucleares nasestrelas, foi a observacao das linhas espectrais do tecnecio na superfıcie dealgumas estrelas antigas. O astronomo Paul W. Merrill descobriu em 1952que o 99Tc esta presente em estrelas do tipo Ss, tornando-se, esta, uma dasevidencias mais importantes que comprovam o processo da sıntese nuclear nasestrelas. O tecnecio e um dos elementos abaixo do bismuto que nao possuiisotopos estaveis. O isotopo observado nas estrelas o 99Tc possui meia vidade 2x105anos. Apesar de parecer muito longa em termos da escala humana,e muito curta em termos da escala astronomica. A unica explicacao plausıvelpara a presenca de um elemento radioativo de meia vida tao curta e a suasıntese muito recente nessas estrelas.

11.3.1 Diagrama Hertzsprung-Russel

Uma informacao astronomica extremamente importante e a relacao queexiste entre a temperatura da superfıcie da estrela e a sua luminosidade. AFig.11.5 nos mostra o diagrama de Hertzprung-Russel (H-R), onde se podeobservar a relacao entre essas duas variaveis. O Diagrama H-R, foi estabele-cido, independentemente, pelo dinamarques Ejnar Hertzsprung , em 1911, epelo americano Henry Norris Russell, em 1913, como uma relacao existenteentre a luminosidade de uma estrela e sua temperatura superficial. Nesse dia-grama aproximadamente 85% das estrelas observadas incluindo o nosso Sol,situam-se na banda diagonal, ou sequencia principal. Existem outras classesde estrelas como as supergigantes as gigantes vermelhas e anas brancas foradessa sequencia principal. O significado e origem dessas classes estelares podeser discutido em termos da evolucao estelar.

A chamada sequencia principal (SP), mostra o comportamento das es-trelas ditas normais, nas quais existe a transformacao de hidrogenio em helio.



As Gigantes e Supergigantes formam duas faixas de estrelas mais luminosasdo que as da sequencia principal para a mesma temperatura e portanto saomaiores do que as da SP. As anas brancas, sao estrelas quentes mas de poucaluminosidade situadas abaixo da sequencia principal. Pela relacao existenteentre a luminosidade, raio e temperatura, e possıvel dizer que as anas brancassao muito menores que as estrelas de mesma temperatura existentes na SP.

As caracterısticas mais importantes no estudo da evolucao estelar, saoa luminosidade e temperatura conforme se observa no diagrama H−R naFig.11.5.

A luminosidade de uma estrela e obtida a partir do brilho aparente, f , naterra, ou como se chama para o caso do sol, a constante solar. A luminosidadepode, entao, ser obtida por:

L = 4πr2f. (11.1)

A distancia r a uma estrela, e de difıcil determinacao. Para as estrelas maisproximas ao sol, essa distancia e determinada pelo movimento aparente daestrela, resultado do movimento da terra em torno do sol. O metodo denomi-nado angulo de paralaxe, pode ser aplicado estrelas proximas, mas para estrelasdistantes esse angulo e tao pequeno, que a distancia so pode ser medida pormetodos indiretos, que envolvem a medida da variacao do brilho. No caso dasestrelas pertencentes a sequencia principal e possıvel aplicar um modelo, queenvolve a lei de radiacao de corpo negro,

L = 4πR2 × σT 4, (11.2)

onde R e o raio da estrela e σ a constante de Boltzmann. Esta equacao podeser apresentada em termos de unidades solares,

L

L¯=

(R

R¯

)2 (T

T¯

)4

(11.3)

onde o ındice ¯, indica as grandezas relativas ao sol. A Eq. 11.3 nos indica queas gigantes vermelhas, possuem grande luminosidade apesar de suas baixastemperaturas e densidade de energia baixa. Por outro lado as anas brancasdevem possuir raio pequeno, para manter a luminosidade baixa, apesar datemperatura alta.

Os diferentes pontos da sequencia principal sao ocupados por estrelas dediferentes massas. No processo de queima de hidrogenio, as estrelas sao rela-tivamente estaveis, devido a existencia de um mecanismo termo-regulador. Aconsequencia deste mecanismo e que a relacao entre a massa da estrela e a lu-minosidade resulta da combinacao do equilıbrio hidrostatico, entre a producaode energia da fusao e a pressao de radiacao. Esta teoria prediz, uma relacaoaproximada entre a luminosidade e massa, dada por,

L ∝ M3. (11.4)



Varios estudos mostram que esse expoente da Eq. 11.4 pode variarentre 3 e 4, dependendo do metodo de avaliacao do valor medio da sequenciaprincipal. Em geral o valor mais aceito e de 3, 5. Os estudos que mais contri-buem para a determinacao deste expoente, estao relacionadas com as estrelasbinarias, pois e possıvel, nesse caso a determinacao direta da massa. Alem dapossibilidade da medida da distancia a estrela, comparando luminosidades, umadas consequencias mais importantes do conhecimento da relacao luminosidade-massa e a determinacao do tempo de duracao ou vida media de uma estrelapertencente a sequencia principal atraves da relacao:

tvida =E

L∝ M

M3∝ M−2. (11.5)

Dessa maneira, pode-se dizer que a temperatura efetiva das estrelas perten-centes a sequencia principal que representam 85% das estrelas, aumenta com amassa, ou com o tamanho da estrela.

Figura 11.5: Diagrama Hertzprung-Russel (H-R), mostrando as varias classesde estrelas: I-Sequencia principal, II-Anas Brancas, III-Gigantesvermelhas, IV e V- Supergigantes.

Em termos das grandezas solares, a meia vida relativa sera,

t

t¯=

(M¯M

)2

(11.6)



Considerando que t¯ = 109 anos, uma estrela de M = 10M¯, possuirauma meia vida de 106 anos.

Uma das perguntas basicas a respeito das estrelas e sobre a origem dasua energia, porque as estrelas brilham? Foi Arthur Eddington [3] que em 1920propos a teoria do que chamou ”energia sub-atomica”considerando o que hojechamamos de fusao nuclear, a conversao de quatro protons em um nucleo dehelio. Em marco de 1938, Hans Albrecht Bethe [4] desenvolveu a teoria decomo a fusao nuclear podia produzir a energia que faz as estrelas brilharem.

Tomando como exemplo o sol, pode-se calcular a luminosidade do mesmo,a partir do que se chama a constante solar, cujo valor experimental e dado por:

f = 1, 36×W/m2.

A potencia irradiada pelo sol, conhecida como luminosidade, considerando quea distancia do sol a terra vale 1 UA1 sera:

L¯ = 4π(1, 5× 1011m)21, 36× 103W/m2 ∼ 4× 1026W. (11.7)

Dessa maneira considerando, os seguintes valores, para as constantes solares,

M¯ = 2× 1033g, (11.8)L¯ = 4× 1026w, (11.9)A¯ = 4, 5× 109anos, (11.10)

onde M¯, L¯ e A¯ sao a massa, a luminosidade e a idade do Sol, poder-se-acalcular energia produzida pelo processo de fusao do nuclear do hidrogenio.

Sabe-se que a vida existe na terra pelo menos nos ultimos 2x109anos, oque implica em que a luminosidade do Sol nao deve ter mudado substancial-mente durante esse perıodo. Portanto, pode-se considerar como razoavel que oSol tenha irradiado durante a sua existencia a seguinte quantidade de energia:

L¯.A¯ = 6× 1043joules, (11.11)

ou especificamente:

L¯.A¯M¯

= 3× 1010joules/g. (11.12)

Considerando que o sol se comporta aproximadamente como um corpo negropode-se usar a luminosidade e o raio solar para encontrar a temperatura dasuperfıcie do mesmo, utilizando a lei de Stefan-Boltzmann, onde a intensidadeda radiacao (potencia/area), e dada por:

I = σT 4, (11.13)

11 UA = 1, 5× 108km



onde σ = 5, 67×10−8W/m2.K4 e T a temperatura absoluta. Portanto pode-seescrever que,

I =L¯

4πR2¯= σT 4, (11.14)

e consequentemente,

T =(

L¯4πσR2¯

)1/4

' 5800 K, (11.15)

o que corresponde com grande aproximacao a temperatura da fotosfera. A dis-tribuicao espectral da radiacao eletromagnetica emitida pelo sol, se aproximamuito da emitida por um corpo negro a essa temperatura. As discrepanciasexistentes entre os dois espectros, e devida ao fato da fotosfera nao pode serrepresentada por um corpo em equilıbrio termico. Um modelo simplificado dointerior do sol permite dizer que o plasma de hidrogenio pode ser tratado comoum gas ideal, e isto permite calcular a temperatura do nucleo, utilizando a leidos gases ideais. O resultado e que se obtem uma temperatura da ordem de1, 5 × 107 K. Na Fig.11.6, mostra-se a distribuicao espectral do sol, compa-rativamente, a outras duas estrelas a diferentes temperaturas, considerando omodelo de corpo negro.

Figura 11.6: Distribuicao espectral teorica de estrelas a diferentes temperatu-ras.

11.4 Origem da Energia Estelar

Varios mecanismos tem sido considerados como possıveis fontes de ener-gia das estrelas. Reacoes quımicas exotermicas sao a maior fonte de energiana terra. Se considerarmos essa como a fonte de energia do Sol o seu brilhoso duraria 30.000 anos ja que a maxima emissao desse tipo de energia chega a105joules/g e como consequencia pode-se descartar a origem quımica.



A gravitacao seria outra possibilidade, considerando que a materia solar,se contraiu de sua separa cao infinita ate o presente raio do Sol, poderıamospostular que a origem da sua energia seria as custas dessa variacao de ener-gia potencial. Isso pode ser muito facilmente calculado a partir da energiagravitacional do Sol, considerando a sua densidade constante, o que resultaem:

V =35

GM2

R= 2× 1041joules. (11.16)

O que representaria aproximadamente 108joules/g, o que ainda e muito menosdo que o necessario.

No inıcio deste seculo descobriu-se que as reacoes nucleares podem pro-duzir grandes quantidades de energia e portanto se lancou a ideia de que asmesmas poderiam ser a origem da energia das estrelas. Por exemplo, consi-derando que quatro nucleos de hidrogenio se combinem para formar o nucleodo 4He. Como a massa de 4 nucleos de hidrogenio e um pouco maior do quea massa de um nucleo de helio, essa diferenca de massa, e a responsavel pelaliberacao de energia resultando pela equacao de Einstein:

E = ∆mc2, (11.17)

ou seja 9x1013joules/g. Pode-se dizer portanto que o estado de materia for-mado pelos quatro nucleos de hidrogenio possui uma energia potencial maiordo que o estado do formado por um nucleo de helio logo a fusao do hidrogenio euma reacao exotermica devido a essa ”conversao” de energia entre dois estadosde diferentes energias potenciais. Para uma discussao simplificada, pode-se di-zer que em cada nucleo de helio produzido desta maneira, se libera uma energiaQ =26 MeV, portanto a eficencia deste processo sera:

ε =Q

4mpc2= 7× 10−3, (11.18)

Como consequencia a fusao do hidrogenio em helio produz uma enorme quan-tidade de energia:

ε.(9× 1013joules/g) = 6, 3× 1011joules/g. (11.19)

A consequencia desse numero e que sera necessario queimar somente 5%do hidrogenio no Sol para atingir a energia produzida pelo mesmo. Pode-seentao concluir que a fonte de energia estelar sao as reacoes nucleares.

A Fig.11.7 ilustra o potencial entre dois nucleos em funcao da distanciade separacao entre os mesmos. Para distancias muito grandes, eles se repelementre si devido a sua carga eletrica positiva, e a forca Coulombiana, enquantoque para distancias muito pequenas existe uma forte atracao, devida as forcasnucleares. Portanto pode-se concluir que para ocorrer uma reacao nuclear, e



Figura 11.7: Potencial entre dois nucleos em funcao da distancia entre ambos

preciso primeiro vencer a barreira Coulombiana ate que os nucleos cheguem auma distancia aproximada do dobro dos seus raios.

A energia necessaria para juntar dois nucleos com carga eletrica Z1 eZ2 com massas A1e A2 pode ser calculada utilizando a ideia da barreira depotencial Coulombiana.

Ec =Z1.Z2

A1/31 + A

1/32

MeV. (11.20)

Como exemplo, podemos considerar a interacao entre dois nucleos dehidrogenio, que e realmente a sıntese do helio a partir do hidrogenio. A barreiraCoulombiana para que ocorra esta reacao vale 0,5 MeV. Isto deve ser comparadocom a energia termica tıpica encontrada nas estrelas. No centro do Sol, comoexemplo, a temperatura e aproximadamente 15 milhoes de Kelvin,

T¯ = 1, 5× 107K, (11.21)

portanto, a energia cinetica media (energia termica) de um nucleo no centrodo Sol vale:

Ec =32kT¯ = 2keV. (11.22)

Nestas circunstancias, a fısica classica nos ensina que os dois nucleos jamais seaproximarao para produzir a fusao. No entanto as estrelas brilham !

Para que as reacoes nucleares possam ocorrer e necessario produzir-seo que se denomina de tunelamento quantico, atraves da barreira de potencial.Este processo e a explicacao para a maior parte das reacoes nucleares que



ocorrem nas estrelas. Durante a queima do helio, que ocorre em temperaturasde aproximadamente 100 milhoes de grau, a energia termica media vale 13 keV.Mesmo a uma temperatura de 1 bilhao de graus, a energia seria de 130 keV,enquanto que a barreira Coulombiana e de aproximadamente 12 MeV.

11.5 Estagios da Sıntese Nuclear

Vamos examinar duas verificacoes experimentais importantes, a primeirarelacionada com a existencia de mais radiogalaxias distantes do que proximasa terra e a segunda a descoberta de que a abundancia cosmica dos elementosera devida a nucleosıntese das estrelas exceto para o helio. Como os objetosmais distantes devam ser mais antigos pode-se concluir que o universo evoluiue como parte do helio deve ter sido formado durante o Big Bang, para explicara sua atual concentracao, a temperatura inicial deveria ser extremamente alta,antes que a velocidade de expansao do universo torne a reacao de fusao nula.

O modelo mais aceito para a descricao teorica dos eventos apos o BigBang, e conhecido como modelo padrao. Este modelo se baseia tanto em ob-servacoes experimentais como no desenvolvimento da fısica de partıculas. Essadescricao permite dizer que, inicialmente, as quatro interacoes a forte, a eletro-magnetica, a fraca e a gravitacional, estavam unificadas permitindo dessa ma-neira estabelecer os estagios de formacao do universo, a partir do momento emque a energia cinetica das partıculas era de 1019MeV , o que deve ter ocorrido10−43s apos o Big Bang, quando as tres primeiras interacoes ainda continua-vam unificadas. Depois de 10−35s apos o Big Bang a forca forte se condensoudeixando unificadas apenas a forca eletrica e fraca. Os quarks que antes se com-portavam como partıculas livres, iniciaram a combinacao formando os hadrons.A transicao de quarks para hadrons ocorre a partir de t > 10−6 formando osnucleons e antinucleons a partir da aniquilacao de fotons. Formam-se, dessamaneira, pares proton-antiproton e neutron-antineutron. O pequeno excessoinicial de quarks parece ser a origem do excesso de protons e neutrons emrelacao as suas anti-partıculas. As aniquilacoes permitiram explicar a formacaode fotons e leptons, que a partir de 10−4 passam a dominar o universo. Emt = 10s inicia a era da radiacao, onde as partıculas presentes eram especial-mente os fotons e os neutrinos. Alguns minutos depois do Big Bang, os protonse neutrons podem se combinar para formar o deuterio o helio e um pouco delıtio. O esfriamento posterior, fez com este processo fosse interrompido, e asıntese so continuasse apos o nascimento das estrelas. Na tabela 11.2, mostra-se a crononologia de forma simplificada, dos eventos a partir do Big-Bang,relacionando-os com o tempo a partir desse evento e da temperatura.

Embora nao exista uma teoria completa, para explicar a evolucao dasestrelas, se acredita que elas se formam a partir de grandes nuvens de poeirae gas. As flutuacoes estatısticas explicam que a densidade desse meio se tornemais densa em alguns pontos o que permite a fusao, gerando estrelas depois do



Tabela 11.2: Cronologia de eventos no Modelo do Big-BangTempo apos Big-Bang (s) T(K) Eventos mais importantes

< 10−44 > 1032 Big-BangUnificacao das 4 forcasEra de Plank

10−44 1032 Gravidade nao unifica10−35 1028 Forca forte nao unifica

com a forca fraca10−32 1027 Expansao rapida10−10 1015 Era da radiacao

Forcas EM e fracas se separam10−7 1014 Era das partıculas pesadas

fotons colidem eproduzem quarks e hadrons

10−1 1012 Era leptonica180 1010 Nucleosıntes

> 1013 103 Era da recombinacaoRadiacao flui no espaco

316 20 Formacao de Galaxias317 3 Presente

Formacao do sistema solare da vida

Big Bang.

11.5.1 Condicoes Iniciais e Sıntese Primordial

A denominacao de nucleosıntese primordial ou mesmo condicoes iniciaisimplica no estudo da composicao do universo nos seus primeiros instantes. Osestudo dos indıcios dessa composicao sao baseados em modelos, e um dos maissimples e o do universo em expansao ou modelo inflacionario, no qual o universose expande de uma explosao inicial, ou o big bang. A ideia do universo emexpansao permite validar o deslocamento do vermelho (red shift) das estrelasmais distantes. Outras evidencias experimentais tais como a densidade defontes de radio que aumentam que aumentam para grandes distancias da viaLactea bem como a radiacao de corpo negro na regiao de microondas, suportama ideia do Big Bang. Antes de que observasse a grande diferenca de composicaoentre diferentes estrelas, se pensava que as abundancias nucleares poderiamser explicadas por um processo unico. Uma dessas teorias foi apresentadapro Alpher, Herman e Gamow em 1948, pela qual os varios nuclıdeos eramproduzidos, nos primeiros momentos do universo, por captura de neutrons, que



devem ter existido em grande abundancia quando a temperatura era da ordemde 109K. Este processo pode ser resumido da seguinte forma:

p + n → 2H + γ2H + n → 3H + γ3H + n → 3He + e− + γ

3He + n → 4He + γ

e assim por diante...Cada uma dessas etapas e controlada pelo balanco entre a taxa de

producao de a taxa de destruicao,

dNA

dt= F(S,T )(σA−1NA−1 − σANA) (11.23)

onde F e a taxa de colisao, funcao das variaveis do estado termodinamico (tem-peratura e entropia), NA o numero de atomos de massa atomica A e σ a secaode choque da reacao de captura de neutrons. A teoria sugerida Gamow era ba-seada em calculos muito simples para os quais utilizou as secoes de choque decaptura de neutrons de 1MeV , equivalentes a temperatura de 1010K. Esta teo-ria, pela sua simplicidade, nao encontrava razoes para a inexistencia de isotoposestaveis com massa atomica entre 5 e 8. Dessa maneira, atraves de calculosmais precisos feitos por Fermi foi possıvel mostrar que a sıntese primordial sopoderia explicar a formacao dos elementos mais leves (2H,3He,4He e o 7Li).Essa e a consideracao basica introduzida no modelo do Big Bang.

Uma outra etapa, na sıntese nuclear, anterior a esta, ou seja, quando ouniverso era composto de partıculas elementares, produzidas a partir de ener-gia termica, tal que a temperatura era suficiente para a materia e antimateriaestivesse em equilıbrio com a radiacao termica. Nessa etapa, partıculas e anti-partıculas se aniquilavam e formavam de forma contınua. Para que isso fossepossıvel era necessario que

kT = mc2,

ou seja, a energia termica fosse da mesma ordem da massa em repouso daspartıculas em formacao ou aniquilacao. Para a formacao de protons essa tem-peratura deveria ser da ordem de 1013K. Dessa maneira para uma temperaturado universo de 1011K o universo se reduzia a protons, neutrons, eletrons, fotonse neutrinos. Nesse momento o universo tinha uma vida de 0, 02s e era muitodenso 4× 1012kgm−3. Os neutrinos e fotons seriam partıculas que interagiamcom eletrons ate que a temperatura caısse abaixo de 1010K, pois a secao dechoque dessas reacoes a partir daı se torna muito pequena. Este processo re-sultou no desacoplamento dos neutrinos com a materia, mas fez com que asinteracoes com fotons continuassem existindo enquanto se manteve o plasmade protons. Para temperaturas inferiores a 3000K, este plasma se condensou



em materia neutra e o universo que era opaco se tornou transparente e dessamaneira os fotons se tornaram livres para se deslocar de acordo com a distri-buicao de energia termica ate os dias presentes, atingindo uma temperaturaefetiva de 3K, em funcao da expansao do universo.

Retornando ao primeiro segundo, da nucleosıntese, quando as interacoescom neutrinos eram significativas, o balanco entre protons e neutrons era man-tido por reacoes do tipo,

n + ν p + e−,

p+ + ν n + e−.

Com a diminuicao da energia dos neutrinos, decorrente do esfriamento, a secaode choque dessas reacoes decresce e elas so se realizam numa dada direcao.

n + e+ → p+ν,

p+ + e− → n + ν.

Como a massa do neutron e maior do que a do proton, nas condicoes deequilıbrio termico ocorre a preponderancia de protons,

Nn/Np = e[−(mn−mp)c2/kT ].

O valor dessa relacao e de Nn/Np = 0, 3, para temperaturas de 1, 25 × 1010Konde, KT = 1MeV . Este processo continua para manter o equilıbrio termicoentre protons e neutrons ate que a criacao de pares positron-eletron cesse.Isso ocorre a uma temperatura de 7, 5 × 109 para a qual Nn/Np = 0, 2. Estasituacao ocorre ate aproximadamente 10 s. Mas o decaimento dos neutronslivres com uma meia vida de 890s, reduzira a relacao entre as densidades deneutrons e protons, ate que os mesmos sejam capturados pelo nucleo atomico,no processo de sıntese primordial. No inicio dessa sıntese essa relacao era deNn/Np = 0, 135, As reacoes da sıntese primordial a seguir nao envolviam odecaimento beta e se realizam de forma muito rapida, tendo ocorrido durantealguns minutos,

p + n → d + γ + 2, 2MeV,

d + d → 3He + n + 3, 3MeV,

d + d → 3H + p + 4, 0MeV,3H + d → 4He + n + 19, 8MeV,

3He + d → 4He + p + 20, 6MeV.

Nesse processo tao curto o trıtio, (3H), cuja meia vida e de 12 anos,pode ser considerado como estavel. Outros elementos como o 2H, o 3He e o7Li sao produzidos neste mesmo processo primordial. A fusao de partıculascom carga eletrica e impedida pela repulsao coulombiana, requerendo maiorenergia cinetica das partıculas para ser realizada. O fato do 4He ser a formamais estavel dos elementos, nesta regiao de nucleos leves, significa que a suaformacao se deve ao consumo de todos os neutrons livres.



11.5.2 Nucleosıntese por Reacoes Termonucleares

A sıntese nuclear a partir de reacoes termonucleares, envolvendo elemen-tos leves para a formacao de elementos mais pesados, pode ser discutida a partirdas condicoes energeticas que tem como base a curva de energia de ligacao pornucleon, Fig.1.8. Nessa figura se observa que para elementos com A < 60 epossıvel a producao de elementos por fusao exotermica. A taxa de reacao paraduas especies atomicas 1 e 2, respectivamente com densidades nucleares n1 en2, com velocidade relativa v e secao de choque σ e dada por,

R = n1n2σv. (11.24)

Considerando o plasma estelar, como nao relativıstico, nao-degenerado, emequilıbrio termico, cuja distribuicao de velocidades ψ(v) e uma distribuicao deMaxwell Boltzmann, normalizada,

ψ(v) ∝ e

(− µv2

2kT

)= e(−

EkT ), (11.25)

onde µ e a massa reduzida, e T a temperatura do plasma. Portanto a taxa dereacao, levando em consideracao a distribuicao de velocidade, sera

R = n1n2

∫ ∞

0

σ(v)vψ(v)dv = n1n2 < σv >, (11.26)

e consequentemente, a reatividade sera dada por,

< σv >=∫ ∞

0

σ(v)vψ(v)dv. (11.27)

A reatividade, em termos da energia cinetica E, sera igual a

< σv >=∫ ∞

0

σ(E)Ee(−E

kT )dE. (11.28)

A reatividade < σv > e uma grandeza determinada por experimentos paradiferentes temperaturas ou mesmo atraves de modelos teoricos, pois com aevolucao estelar, a temperatura varia, T .

No caso da fusao para os elementos leves, kT << Ec, onde Ec a energiade repulsao coulombiana, as reacoes ocorrem, preferencialmente, por meio doefeito tunel, onde a probabilidade de tunelamento e dada por,

P ∝ e−2πη, (11.29)

onde 2πη e o fator de Gamow, dado por:

2πη = 31, 29Z1Z2(µ/E)1/2,



para µ dado em uma e E em [keV ].Para os elementos leves, a fusao como fonte de energia, capaz de formar

elementos mais pesados, so e possıvel se eles possuırem uma energia cinetica(termica) capaz de anular a repulsao coulombiana entre pares de nucleos. Su-pondo que as partıculas possam ser representadas por ondas-s, o modelo dasecao de choque pode ser simplificado, com dois termos, um nao nuclear, quedemonstra a forte dependencia da energia, e outro S(E), de origem nuclear,com uma fraca dependencia de energia,

σ(E) =1E

e−2πηS(E). (11.30)

Utilizando a expressao do fator de Gamow e possıvel simplificar esta expressaopara:

σ(E) =1E

e−( b

E0,5 )S(E). (11.31)

Com esta definicao, simplificada, da secao de choque e possıvel obter umanova expressao para a reatividade O numero de atomos, N(E) de um gas denucleons, em equilıbrio energetico a uma dada temperatura T , e proporcionalao fator de Boltzmann,

N(E) = Ce(−E/kT ), (11.32)

onde E e a energia cinetica.A secao de choque da reacao de fusao cresce com E, em funcao da queda

do potencial coulombiano, e a sua forma generica pode escrita utilizando omodelo de Gamow,

σ(E) =S(E)

Ee[−b/(E)0,5]. (11.33)

A probabilidade de uma reacao P (E) e o proporcional ao produto desses doisfatores,

P (E) ∼ N(E)σ(E) ∼ S(E)e(−E/kT )e[−b/(E)0,5] = S(E)e−[b/(E)0,5+E/kT ].(11.34)

Considerando que S(E) varia suavemente com a energia, o produto f(E), dasduas exponenciais, governa a dependencia da energia,

f(E) = (e−[b/(E)0,5+E/kT ]. (11.35)

O valor maximo desta funcao ocorre para df(E)dE = 0, e como consequencia o

pico de Gamow ocorre para a energia cinetica Eo = (bkT/2)2/3, como se podeobservar na Fig.11.8. O valor de P (E), para esta energia sera entao,

P (Eo) = e−1,89b2/3(kT )−1/3). (11.36)

A energia efetiva Eo, para a qual ocorre o pico P (E), e aquela para em queocorre a maior fracao de nucleons produzidos por fusao, portanto o pico de



Figura 11.8: Pico de Gamow, funcao da distribuicao de Maxwell Boltzmann eda secao de choque

Gamow, nos mostra a janela de energia mais efetiva para as reacoes termonu-cleares, que pode ser definida como:

E0 ±4Eo/2,

onde E0 = f(Z1, Z2, T ), e uma funcao da temperatura. Ao integrar a area dopico de Gamow, se obtem o valor esperado da reatividade < σv >.

No caso da queima do hidrogenio, se parte de uma mistura H − Heproduzida na sıntese primordial logo apos o Big Bang. Conforme o aglomeradodesses gases colapsa por atracao gravitacional, a temperatura aumenta, naconversao da energia gravitacional em cinetica. O primeiro processo de queimado hidrogenio leva a producao de helio. As cadeias de reacao que levam a estaconversao ocorrem a aproximadamente 107K. Nesta temperatura o valor de Eo

para o hidrogenio, e de aproximadamente 4, 5keV , e o parametro b = 21keV ,portanto

P (Eo) ∼ e[−14(kT )−1/3.] (11.37)

As reacoes de fusao dos elementos leves a partir do hidrogenio p− p e divididaem tres familias, ou cadeias. Na primeira ou reacao ppI se produz o He4, nasegunda, ppII, seguida da terceira ou ppIII, se produz ate o Be8. Logo aseguir surge o ciclo CNO e assim por diante ate a formacao do ferro, o ultimoelemento capaz de ser produzido por fusao.

11.5.3 Estudo da Sequencia de Reacoes Nucleares.

A sequencia das reacoes que ocorrem no Sol, permite mostrar que aenergia produzida se opora a contracao gravitacional. O estudo da sequencia dereacoes que ocorre no Sol foi feito em 1930 pro Bethe, Critchfield e Weizsacker[4]. A Fig.(6.8) mostra as reacoes e o percentual com que cada uma ocorre noSol. A primeira reacao envolve a interacao fraca e e o passo que determina



a taxa de reacao da sequencia. A vida media desta reacao para o atomo dohidrogenio no centro do Sol e da ordem de um bilhao de anos. Isto tornaimpossıvel realizar estudos indiretos, em laboratorio, mas assegura a longavida das estrelas como o nosso Sol.

Existem duas cadeias de reacoes nucleares nas quais se queima o hi-drogenio ate atingir o 8Be, que iniciam aproximadamente a 107K. A primeiraetapa chamada de cadeia ppI consta das seguintes reacoes:

p + p → d + e+ + νe + 1, 44 MeV, Eν < 0, 42 MeV,

p + p → 3He + γ + 5, 49 MeV,3He +3 He → 4He + 2p + 12, 86 MeV. (11.38)

A primeira reacao nunca foi observada em laboratorio e e muito lenta, pornao existirem estados estaveis de dois protons. Desta reacao pode-se detetaro neutrino com energia media 0, 262 MeV , pois as demais partıculas ficaraopresas ao plasma. Quando existir quantidade suficiente de 4He pode-se iniciara reacao em cadeia chamada ppII,

3He +4 He → 7Be + γ + 1, 59 MeV,7Be + e− → 7Li + νe + 0, 86 MeV ;Eν = 0, 8 MeV,

7Li + p → 2(4He) + 17, 35 MeV. (11.39)

Novamente tem-se o neutrino como unica partıcula capaz de escapar doplasma. Devido a captura de protons pelo berılio, ocorre a cadeia ppIII,

7Be + p → 8B + γ + 0, 13 MeV,8B → 8Be + e+ + νe + 17, 05 MeV ; Eν = 7, 2 MeV,

8Be → 24He. (11.40)

Esta reacao transforma quatro protons em 4He. As sequencias p− p saoproduzidas em estrelas formadas a partir da mistura primordial de hidrogenio ehelio. Quando o carbono e o nitrogenio ocorre numa estrela, um novo processo,chamado cadeia CNO pode converter quatro protons em 4He.

12C +1 H → 2N + γ + 1, 95MeV,13N → 13C + e+ν + 1, 20MeV,

13C +1 H → 14N + γ + 7, 55MeV,14N +1 H → 15O + γ + 1, 20MeV,

15O → 15N + e+ν + 1, 68MeV,15N +1 H → 12C +4 α + 4, 96MeV. (11.41)

Deve-se notar que tanto o carbono como o nitrogenio atuam como catali-sadores. Esta sequencia ocorre para temperaturas tıpicas de 2×107K, portanto



a duracao da queima do hidrogenio ocorre entre 106 a 1010 anos. Este processocıclico, das reacoes Eq. 11.41, pode ser melhor entendida no processo cıclicoda Fig.11.9

Figura 11.9: Cadeia CNO, mostrando o caracter cıclico desse processo.

Existem outras reacoes, neste ciclo, como por exemplo:

15N +1 H → 16C + γ,16O +1 H → 17F + γ,

17F → 17O + e+ + ν,17O +1 H → 14N +4 α,14N +1 H → 15O + γ,

15O → 15N + e+ + ν,15N +1 H → 14C +4 α. (11.42)

E, como consequencia o processo pode iniciar por qualquer dos isotoposestaveis, carbono, nitrogenio ou oxigenio e mesmo que o numero total de atomosde C, N ou O permaneca o mesmo, durante os ciclos, o numero de especies in-dividuais pode mudar. A importancia relativa das cadeias p-p e CNO noprocesso de converter hidrogenio em helio dependera da temperatura da es-trela. Como a barreira coulombiana e maior na cadeia CNO ela requere maiortemperatura do que na p− p. No caso solar, a cadeia CNO tem pouca im-portancia frente a queima de hidrogenio. Na Fig.11.10 se mostra a taxa deproducao de energia nas duas cadeias, em funcao da temperatura.



Figura 11.10: Energia produzida em funcao da temperatura estelar, para a ca-deia p− p e CNO.

Na primeira geracao de estrelas, formadas logo apos o Big Bang, naoexistia carbono nem nitrogenio portanto a queima do hidrogenio era produ-zida a partir da cadeia p− p. Nas seguintes geracoes de estrelas, como esseselementos ja existiam, a importancia relativa dos dois processos depende datemperatura.

Com a diminuicao do hidrogenio no centro da estrela, a energia, produ-zida, se torna insuficiente para suportar a massa das camadas externas e ocorreum colapso gravitacional, produzindo um aumento de temperatura, para va-lores da ordem de 108K atingindo densidades de 108kg/m−3. Na queima dehelio a inexistencia de nucleos com A = 5 ou 8, produzem-se os elementos maispesados a partir de processos triplo alfa,

3(4He) →12 C + γ,

realmente produzidos em processos ressonantes do tipo:4He +4 He 8 Be,

4He +8 Be 12C∗ → 12C + γ.

Este processo coexiste com a queima de hidrogenio, que ainda continuaexistindo, na camada mais externa da estrela que se afasta da sequencia princi-pal transformando-se numa gigante vermelha. O sol atingira esta etapa emaproximadamente 5× 109 anos.

Quando um valor significativo de 12C for produzido inicia a sıntese dooxigenio e de alguns outros elementos mais pesados, atraves de reacoes do tipo

12C + 4He → 16O + γ,



126O + 4He → 20Ne + γ,

20Ne + 4He → 24Mg + γ.

Apos ocorrer a queima de helio, a mistura de 12C, 16O, 20Ne e 24Mg, terauma composicao que depende das condicoes de temperatura. Com a queimade helio atinge-se o momento em que ocorre um novo colapso com um novoaumento de temperatura. Para a continuidade do processo de fusao, o aumentode temperatura deve ser muito grande, necessario para a queima de carbono eoxigenio. As reacoes tıpicas deste processo, podem ser resumidas da seguinteforma:

12C +12 C → 20Ne4He,

→ 24Mg + γ,

→ 23Na + p.

Estes processos ocorrem em temperaturas da ordem de 7 × 108K, e a tem-peraturas um pouco maiores, quando todo o carbono for consumido, inicia oprocesso de queima do oxigenio, atraves das seguintes reacoes,

16O +16 O → 28Si +4 He,

→ 32S + γ,

→ 31P + p,

→ 31S + n.

A producao do 31Si, um elemento estavel, se repete nesse tipo de reacoes,com a emissao de protons, neutrons e partıculas alfa. O colapso que segueestas reacoes produz temperaturas nas quais e possıvel a fotodesintegracao,com efeitos significativos. Estes fotons terao energia suficiente para a quebrados nucleos produzindo helio e novos elementos mais pesados. Este estagiofinal dos processos de fusao, e denominado equilıbrio de fase ou processo-e,com reacoes do tipo:

28Si + γ → 7(4He),28Si + 7(4He) → 56Ni.

O processo de queima do silıcio, e muito complexo resultando na producao demuitos outros isotopos, com queima de 4He, fotodesintegracao, e emissao beta,permitindo a producao do 56Fe, o isotopo mais estavel na curva de energia deligacao por nucleon.

O conjunto de reacoes que permite chegar a formacao do ferro so secompleta em estrelas pesadas. Para estrelas com massa inferior a 1, 4 massassolares, a evolucao de uma estrela e limitada pela pressao de eletrons livres.Esta configuracao de estrela e conhecida pela designacao de ana branca. O



nucleo destas estrelas se contrai e a enorme quantidade de eletrons livres, adensidades tao altas, que o princıpio de exclusao de Pauli limita um colapsomaior. Esta limitacao ocorre muito antes da estrela atingir a formacao do ferro.

Para estrelas mais pesadas do que estas, o limite da pressao de eletronsnao sera suficiente para limitar o colapso ate a formacao do ferro. Com oaumento da energia dos eletrons livres e possıvel a transformacao de protonsem neutrons,

p+ + e− → n + ν,

na qual os neutrinos escapam da estrela transportando uma quantidade signi-ficativa de energia.

Por outro lado, a fotodesintegracao do 56Fe, a temperaturas superioresa 109K permite a quebra de isotopos formando mais helio, que permite o au-mento de temperatura, e aumento da producao de protons e neutrons. Comotodos estes processos sao endoergicos e sao realizados a custa da energia gravi-tacional, levando dessa maneira a estrela a uma implosao catastrofica, chamadasupernova. Para a producao de elementos com A > 60, os processo nuclearesque sintetizam os elementos pesados ocorre por captura de neutrons.

11.5.4 Sıntese dos Elementos Pesados

As reacoes nucleares discutidas ate agora concluem com a sıntese doferro. Como se discutiu anteriormente, devido a energia de ligacao por nucleonalcancar o seu valor maximo em torno do ferro, as reacoes de fusao acima dessenumero de massa se tornam endotermicas. O que faz com que a fusao nao sejamais o fato determinante na geracao de energia numa estrela que esteja nesseestagio de sıntese dos elementos quımicos.

As reacoes nucleares com elementos mais pesados do que o ferro so po-derao ocorrer atraves de reacoes de captura de neutrons. A observacao dos doispicos de abundancia nos elementos pesados em A = 130−140 e A = 195−208,aparentemente correspondem a formacao de camadas fechadas de neutrons comos numeros magicos 82 e 126. Baseando-se nesta observacao, foi sugerido por,que se necessitariam dois processos distintos de captura de neutrons para ex-plicar este processo.

Para a sıntese dos elementos pesados, os processos estao primordialmentebaseados na captura de neutrons o que leva a formacao de muitos elementosinstaveis, pois o neutron, quando livre, possui uma meia vida de aproxima-damente 15 minutos. Os processo de captura de neutrons se divide em duasclasses:

• processo-s, no qual a captura de neutrons lentos produz nucleos quedecaem antes da absorcao de um novo neutron.

• processo-r, no qual a captura de neutrons rapidos, produz nucleos ca-pazes de capturar varios neutrons antes do decaimento.



A origem dos dois processos, esta na origem dos neutrons, o primeiro, o processo-s, ocorre por neutrons produzidos por reacoes da cadeia CNO. Este processoe lento e a sua escala de tempo e da ordem de 104 anos.

Nas explosoes de supernovas, a escala de tempo e da ordem de 104 s,produzindo-se um fluxo de neutrons rapidos muito grande, levando a sıntesenuclear pelo processo-r.

No processo-s, as reacoes sao do tipo

(Z, A) + n → (Z,A + 1) + γ,

e quando o nucleo produto e instavel, o decaimento beta produz um elementodo proximo valor de Z, atraves da reacao

(Z,A + 1) → (Z + 1, A + 1) + β− + ν.

Continuando a captura de neutrons ocorre a producao de elementos cada vezmais pesados. Em geral a producao de um dado nucleo pode ocorrer pelos doisprocessos e somente aqueles do processo-s terao a sua densidade relacionadacom a secao de choque de captura de neutrons.

O processo-r e bem mais complexo, tanto do ponto de vista do seu calculocomo das evidencias experimentais. Mas e importante lembrar que para ele-mentos mais pesados do que o 209Bi nao existe outro tipo de mecanismo paraa formacao de elementos mais pesados do que este.

11.5.5 Localizacao dos Processos de Sıntese Nuclear

Os processos de sıntese nuclear, discutidos ate aqui, podem ser divididosem tres grupos, a sıntese primordial que ocorre no primeiros momentos doBig Bang, a sıntese por fusao e finalmente a captura de neutrons para aformacao de elementos pesados, que ocorrem no seio das galaxias.

Os varios processos ou cadeias de queima, que constituem a sıntese,tanto de elementos leves como dos elementos pesados, ocorrem no interior dasestrelas, mas o seu avanco, apos cada colapso, de um ciclo para outro, dependeda massa da estrela. Na Tab.11.3 se relaciona o tipo de sequencia em funcaoda massa da estrela.

Tabela 11.3: Relacao entre massa e sequencia de queima das estrelasMassa/M¯ Sequencia de Queima

0,3 hidrogenio0,7 hidrogenio, helio5,0 hidrogenio, helio, carbono30,0 todas todas reacao de fusao para Q > 0

O processo de sıntese dos elementos, ate o ferro, ocorre para estrelas demassa conhecida, que formam as chamadas supergigantes vermelhas. Ao



atingir este estagio final, para a formacao de elementos mais pesados, e ne-cessario a captura de neutrons de um fluxo muito intenso dessas partıculas,o que ocorre nas explosoes de supernovas. Mas os elementos mais pesadostambem se encontram nas estrelas que ainda se encontram na sequencia princi-pal. Estas estrelas se encontram no estagio de queima do hidrogenio e portantonao sintetizaram os elementos pesados. Dessa forma existem evidencias que es-sas estrelas foram formadas a partir de material reciclado, que se tornou basepara a formacao de novas estrelas.

Para a distribuicao de material ao longo de uma galaxia, existem duaspossibilidades: uma e aquela em que as estrelas gradualmente perdem materialsintetizado e o outro e proveniente da dispersao por fenomenos explosivos. Paraocorrer essa dispersao e necessario que exista um grande numero de estrelascom alta concentracao de elementos pesados na sua superfıcie. Tais estrelas,sao raras e portanto parece mais provavel que a maior parte dos materiaisperdidos pelas estrelas seja formado por hidrogenio e helio que e em grandeparte a composicao do vento estelar.

Nos seus ultimos estagios a estrela possui uma estrutura formada porum caroco de 56Fe, e uma envoltoria, possivelmente ainda com elementos leves,como o hidrogenio. Quando o caroco possui massa superior ao limite de Chan-drasekhar, ocorre a contracao, permitindo o inicio de reacoes ultra-rapidas. Oresultado e um colapso iminente, ou estado de pre-supernova. Atingido esseestagio, ocorre o colapso, induzido por captura eletronica, que produz umaenorme quantidade de neutrons livres. No interior da estrela, forma-se umcaroco de neutrons livres revertendo-se o sentido do processo, iniciando umaexplosao. Essa explosao pode provocar a completa desintegracao da estrela oupode deixar um caroco remanescente. Caso a massa do caroco seja superiora 0, 7M¯ a forca de pressao de Fermi, dos neutrons degenerados, sera incapazde contrabalancar a pressao gravitacional e o caroco formara o buraco negro.Quando a massa do caroco for inferior a 0, 7M¯ a pressao de Fermi nao equi-librara a pressao gravitacional e o caroco formara um buraco negro.

11.6 Evolucao Estelar

No diagrama da Fig.11.5, alem da sequencia principal deve-se destacar aregiao de anas brancas e as gigantes e supergigantes vermelhas. A medida queuma estrela da sequencia principal vai queimando o hidrogenio, desenvolve-se um nucleo de helio, com o hidrogenio formando uma camada externa. Aevolucao da estrela depende da sua massa total. Um criterio para estudar aevolucao de uma estrela e o chamado limite de massa de Chandrasekhar, MC .Aplicando o modelo de gas completamente degenerado de Fermi as anas bran-cas, ele conseguiu estabelecer o valor desse limite como sendo MC = 1, 26M¯.Assim estrelas com massa inferior a esta ficariam em equilıbrio e apagando atedesaparecer como ana-preta. caso contrario quando a sua massa for superior a



esse limite, ela se contraira sob a acao da forma gravitacional ate entrar em co-lapso, podendo daı nascer uma estrela de neutrons, um buraco negro, conformea massa inicial.

11.6.1 Queima de Helio nas Gigantes Vermelhas.

Uma estrela queima hidrogenio produzindo helio ate exaurir o hidrogenio.Nesse ponto, a estrela comeca a se afastar da sequencia principal e se torna umaGigante Vermelha. Devido a eliminacao do mecanismo de producao de energia,o nucleo da estrela se contrai e a temperatura cresce, ate que ocorra o processode ignicao do helio. Este processo ocorre em estrelas com M > MC , fazendocom que a temperatura caroco cresca pela sua contracao que permite a queimado helio.

Um fato interessante e a observacao da inexistencia de nucleos estaveiscom massa 5 e 8 portanto, a queima do helio nao pode ocorrer pela fusao deduas partıculas, como por exemplo: 4He +1H ou 4He +4 He. A Fig.11.1 nosmostra que depois do hidrogenio e helio os dois elementos mais abundantessao o carbono e o oxigenio. A pergunta e imediata, como sao produzidos esseselementos? A resposta a essa pergunta foi dada por E. Salpeter, E. Opik, eF. Hoyle, que provaram a necessidade de uma reacao entre tres corpos paraexplicar a fusao do helio. Essa resposta conclui que para explicar a falta deelementos de numero de massa 5 e oito, era necessaria a existencia de reacoesde tres corpos. Um nucleo de 8Be e um pouco mais pesado que dois nucleos de4He, como resultado o 8Be decai em dois atomos de 4He com uma meia vidade 2x10−16s. A uma temperatura de 10K e densidade de 105g/cm3, pode seestabelecer um equılibrio em que a relacao entre as densidades atomicas desteselementos e a seguinte:

[8Be][4He]

= 10−9. (11.43)

Durante a sua pequena existencia o 8Be pode capturar um nucleo de4He formando o 12C. De imediato pode-se concluir que este processo seriaaceitavel somente se existisse um estado de ressonancia para a reacao entreo 8Be e o 4He. Este estado deve ter um momento angular zero e paridadepar. Esse processo estudado em 1954 por F. Hoyle demonstrou que um estadoapropriado de 12C existe e permite a possibilidade do chamado processo dastres partıculas alfa. Como consequencia quando o 12C e formado, a reacao12C(4He, γ)16O, ou seja ha a producao do oxigenio.



11.6.2 Anas Brancas, Estrelas de Neutrons e Buracos Ne-gros.

O processo de queima de helio continua ate que o mesmo seja todotransformado em carbono e oxigenio. A partir dai, existem duas possibilidades:se a estrela tiver suficiente massa, isto quer dizer M > 10M¯, o seu nucleocontraira novamente e a temperatura, como consequencia, aumentara. Quandoa temperatura chegar a 5x108K, o carbono entrara em ignicao. Ao contrario,se a estrela tiver uma massa inferior a essa, a ignicao nao ocorrera e ela setornara uma ana branca.

As estrelas de pequena massa, que nunca atingem a temperatura para in-iciar a ignicao do carbono nao geram mais energia e portanto se tornam as cha-madas anas brancas, suportando o colapso gravitacional por pressao eletronicadegenerada. Em 1930 Chandrasekhar demonstrou que esse estado so podeocorrer para massas estelares de ate 1,4 M¯. Estrelas com maior massa do queesta se transformam em estrelas de neutrons ou buracos negros.

11.6.3 Estagios Sucessivos de Queima nas Estrelas Pesa-das.

Formacao de 20Ne,24 Mg,28 ,32 Si, S e Pico do Ferro.

Para as estrelas mais pesadas, quando a temperatura do seu nucleoatinge 5x108K a reacao 12C +12 C produz uma grande quantidade de 20Ne e24Mg. A uma temperatura de 1x109K, a queima de oxigenio se inicia e conse-quentemente as reacoes do tipo 16O +16 O produzem 28Si e 32Si. A sıntese deelementos ainda mais pesados nao continua com a fusao do silıcio, pois devidoa necessidade de passar a barreira de potencial coulombiano seria necessariauma temperatura de aproximadamente 4,5×109K.

Nestas temperaturas tao altas, as reacoes nucleares induzidas por fotonsse tornam muito importantes e pode-se resumir o esquema das reacoes usandoo seguinte exemplo:

28Si + γ → 24Mg +4 He, (11.44)28Si +4 He → 32S + γ. (11.45)

Sob estas condicoes fısicas, o equilıbrio estatıstico nuclear pode ocorrer, oque leva a sıntese de elementos muito mais pesados, ou os elementos do pico doferro. Em particular, espera-se que grandes quantidades do isotopo radioativo56Ni (T = 6 dias) sejam produzidas, a partir da sequencia de reacoes presentesna Eq. 11.44 e 11.45.

O tempo que uma estrela pesada leva em cada um desses estagios dequeima se torna cada vez mais curto com a evolucao das estrelas. A Tabela



Tabela 11.4: Estagios Principais da Evolucao de uma estrela com M = 25M¯Estagio Temperatura Densidade Escala dede Queima (keV) (g/cm3) TempoHidrogenio 5 5 7×106anosHelio 20 700 5x105anosCarbono 80 2×105 600 anosNeon 150 4×106 1 anoOxigenio 200 107 6 mesesSilıcio 350 3×107 1 diaColapso 600 3×109 segundosChoque 3000 1014 milisegundosExplosivo 100-600 variavel 0,1 - 10 s

11.4 nos mostra os resultados dos calculos da evolucao de uma estrela de massa25 vezes maior do que a do Sol. Pode-se observar que apesar dessa estrela levaralguns milhoes de anos no estagio de queima de hidrogenio ela realiza numunico dia o estagio do silıcio.

11.6.4 Explosao de Supernovas.

A partir do momento em que uma estrela e convertida no grupo denucleos do ferro, a estrela atinge, praticamente, o fim da sua existencia. Comoa energia de ligacao por nucleon atinge o seu maximo, neste ponto, nao saopossıveis as reacoes expontaneas de fusao. A partir dessa situacao o nucleo daestrela se contrai e aquece. Eventualmente o ponto de fotodesintegracao doferro pode ser atingido, aumentando por isso o colapso gravitacional.

Os detalhes do que se segue nao estao inteiramente claros, mas se conhe-cem os resultados: a explosao de uma supernova. Se fosse possıvel observaro interior de uma estrela no momento anterior a explosao os astronomos a-creditam que se poderia observar uma estrutura de cascas de cebola ilustradana Fig.11.11. Quanto mais no interior se observe maior sera a temperatura econsequentemente mais pesados os elementos observados.

Com o decorrer do colapso do caroco, a densidade cresce ate se tor-nar energeticamente favoravel a captura de eletrons pelos protons, produzindoneutrons e neutrinos. Isto faz com que o caroco da estrela se transforme numcaroco de neutrons, produzindo um enorme pulso de neutrinos. Quando ocaroco da estrela adquire uma densidade superior a da materia nuclear. Nesteponto ocorre um choque hidrodinamico.

Atraves do espalhamento de neutrinos, ou do choque ou mesmo de am-bos, uma explosao de supernova ocorre na qual a capa da estrela explode,deixando o caroco de neutrons descoberto. Se a massa desse caroco, rema-nente, for da ordem de 2 a 3 vezes M¯, se estabelece uma estrela de neutrons.



Figura 11.11: Secao transversal de uma estrela pre-supernova, destacando atemperatura e a duracao de cada estagio

Acredita-s que estrelas mais pesadas continuem no processo de colapso e for-mem os buracos negros. As cinzas destas sequencias inicialmente estaticas edepois explosivas, reacoes nucleares sao os elementos entre o carbono e o ferro.

Uma e um evento extremamente catastrofico e violento, no qual o corpoda estrela e desmantelado num pequeno intervalo de tempo. Nesse processose produz um flash de energia muito brilhante, aquecendo a capa da estrela eexpandindo-se. E importante lembrar que somente 1% da energia se observaneste flash. Se acredita que 99% da energia e produzida na forma de neutrinos.

Coleta de Dados de uma Explosao de Supernova.

Esta teoria da evolucao de estrelas de grande massa, foi produzida amuito tempo, a partir do acumulo de evidencias circunstanciais. No entanto somuito recentemente se puderam testar as predicoes destas ideias teoricas: nodia 23 de fevereiro de 1987 uma estrela gigante azul a Sk-69202 se tornou umaSupernova. Esta Supernova, logo designada de SN1987A, foi descoberta seminstrumentos por astronomos observacionais no Chile.

Pulsos de Neutrinos.

Os dois experimentos para a deteccao de neutrinos o primeiro em Ka-miokande, mais o detetor IMB ( Irvine-Michigan-Brookhaven), instalado numa



mina de sal em Ohio ja estavam em funcionamento quando a Supernova foi ob-servada opticamente. Ambos detectaram um pulso de neutrinos, como nuncatinha sido observado. Tanto o numero de neutrinos como o seu espectro concor-daram com as teorias estelares existentes.

Luminosidade da Radiacao Gama.

Como se discutiu anteriormente, a sequencia das reacoes de fusao nuclearque ocorrem no interior de uma estrela tal como a Sk-69202, produzem umagrande quantidade de 56Ni. Como consequencia das ondas de choque na ex-plosao da Supernova uma grande quantidade desse isotopo e lancado no espacointerestelar. O brilho da explosao depois de analisado comprovou a meia vidade 77 dias desse isotopo. Tambem a analise do espectro gama dos isotoposatraves de um detetor colocado em satelite comprova a existencia desse e outrosisotopos. Alem destas observacoes, outras no observatorio de Alta Energia(HEAO 3), permitiram a observacao de isotopos que comprovam a existenciae a constante sıntese de 26Al na nossa galaxia.

11.6.5 Neutrinos Solares

O estudo dos neutrinos solares podera fornecer informacoes acerca dointerior do sol, ja que o livre caminho medio dos mesmos e superior ao raiosolar. Como se pode observar nas tres etapas, ocorre a emissao de neutrinos,que serao as unicas pistas da ocorrencia desta reacao. E importante destacara importancia na deteccao de neutrinos, pois somente os neutrinos da segundae terceira etapas possuem energia superior ao limiar de deteccao dos detetorescom 37Cl. Em detetores mais recentes com 71Ga tambem e possıvel detetar osneutrinos do primeiro estagio.

O chamado problema dos neutrinos solares, e bem mais complexo doque a sua deteccao pois todos os experimentos mostram um valor inferior aovalor teorico esperado para a taxa de emissao de neutrinos. Os experimentosmais recentes em Kamiokande, utilizando detetores de radiacao Cerenkov paraobservar neutrinos solares, estudando a correlacao entre o fluxo de neutrinos ea direcao solar, tornou-se muito importante para separar os neutrinos solaresda radiacao de fundo. As medidas deste experimento indicam um fluxo deneutrino do decaimento do 8B de 2, 44× 106/cm2s o que vem a ser metade dofluxo esperado.

As discrepancias entre os valores experimentais e o valor teorico, consti-tuem o chamado problema do neutrino solar [5]. Como foi dito anteriormentenao se pode observar diretamente o que ocorre no interior do Sol. Os fotonsproduzidos no centro do Sol, sao espalhados inumeras vezes e se perde a in-formacao da sua origem antes de atingir a superfıcie solar. Estima-se que umfoton, produzido no interior do Sol leve 107 anos para atingir a superfıcie so-



lar. Entretanto, um outro tipo de radiacao, o neutrino, produzido durante aconversao do hidrogenio em helio pode escapar livremente do Sol.

Construindo-se detetores para neutrinos, pode-se entao entender muitodo que ocorre no interior de uma estrela. Pode-se, por exemplo estimar o fluxoΦν de neutrinos, sobre a superfıcie da terra, considerando que a luminosidadedo Sol e produzida pela fusao do hidrogenio em helio,

Φν =2L¯Q

, (11.46)

onde L¯ ' 1, 0kw/m2 e a luminosidade, ou potencia da luz solar e Q = 26MeV e a energia produzida pela fusao de quatro nucleos de hidrogenio em umnucleo de helio. O resultado e que o fluxo de neutrinos sera:

Φν = 5× 1010neutrinos/cm2s. (11.47)

Isto implica que aproximadamente 250 trilhoes de neutrinos bombar-deiam cada um de nos em cada segundo e nos nao os podemos sentir nem ver.Como se tem certeza desse fato? Bem atualmente existem varios experimentospara detetar neutrinos solares , tres sao experimentos do tipo radioquımica, umbaseado no sistema 37Cl/37Ar e dois baseados no sistema 71Ga/71Ge. Exis-tem tambem dois experimentos a nıvel internacional, um no Japao e outrono Antartico que julgamos serem interessantes e cujas informacoes tecnicos ecientıficas podem ser encontradas na www.

11.6.6 Experimentos para Detectar Neutrinos.

Kamiokande II detetor de Radiacao de Cerenkov

Na conferencia internacional de fısica ”Neutrino 98” realizada em Tajaya-nam Japao, 5 de junho de 1998, foi anunciado que no experimento denominadoSuperKamiokande (ICAIR - International Centre for Antarctic Information andResearch) [6] haviam sido detectadas evidencias de que os neutrinos possuemmassa. O experimento denominado SuperKamiokande consta de um tanquecom 50.000t de agua de alta pureza localizado a uma profundidade de 1000 mem uma mina localizada em Kamioka, Japao. A interacao de neutrinos com oseletrons da agua, produz eletrons e muons ultra-relativısticos, que por sua vezproduzem radiacao de Cerenkov. Essa radiacao e detectada por 13.000 tubosfotomultiplicadores.

As interacoes dos neutrinos foram classificadas de acordo com o tipo deneutrino, ou seja, neutrino de eletrons ou neutrino de muons, e contando-se asua intensidade relativa em funcao da distancia do seu ponto de producao sepode concluir que os neutrinos sao oscilantes”. A oscilacao espacial do neutrinoao viajar pelo espaco ou materia pode ocorrer somente quando o neutrino tivermassa, mas o experimento nao determina diretamente a massa dos neutrinos.



Desde o inıcio da operacao em Abril de 1996, este experimento tem semostrado muito sensıvel a determinacao de neutrinos de varias fontes. Os re-sultados indicam que os neutrinos de eletrons produzidos pelo Sol, representamsomente 35% do valor esperado por modelos teoricos bem estabelecidos. Alemdisso o espectro de energia dos neutrinos solares, e deformado em relacao aoesperado. A explicacao mais recente, divulgada no dia 5/06/98, demonstrandoque os neutrinos oscilam, pode ser a resposta para estes dois fatos.

A Fig.11.12 nos mostra dados de aproximadamente 3 anos de medidasdeste experimento. A conclusao de que estes neutrinos sao produzidos no Sol,pode ser identificada com o forte pico obtido pelos detetores na direcao do Sol.E preciso dizer que algumas conclusoes das medidas destes detetores mostraque o numero de neutrinos produzidos pelo Sol e menor do que o esperadoteoricamente. A conclusao e que algumas surpresas ainda sao aguardadas dosestudos de astronomia dos neutrinos solares.

O termo ”oscilacao de neutrino” vem do fato da transicao entre tiposde neutrinos nao ter uma direcao unica. Em outras palavras o neutrino domuon pode se transformar em um muon da partıcula τ (tau) e vice versa.Este processo e determinado por uma probabilidade consequencia do mecanicaquantica. A consequencia disto e que depois de um tipo de neutrino viajar umalonga distancia, o neutrino passa a ser formado de uma mistura de dois ou trestipos de diferentes neutrinos. Um tratamento rigoroso deste problema exigea aplicacao da Equacao de Schrodinger, as transicoes entre neutrinos, onde ocaracter ondulatorio e tratado de forma como em outros problemas quanticos.O que nos resta dizer neste nıvel e partıculas tratadas como ondas, possuemum tipo de frequencia que e proporcional a sua energia. Em geral este fato naoe muito importante, pois nenhuma medida fısica depende se a partıcula estalocalizada num pico ou ao longo da ”onda material”.

Refletindo o significado dos resultados obtidos neste experimento, deve-se incluir a possibilidade do neutrino ter massa, nos modelos teoricos, possibi-litando tambem uma melhor explicacao para a observada falta de antimateriano nosso universo.

Experimento Amanda na Antartica.

AMANDA (Antarctic Muon and Neutrino Detector Array) [7] e um de-tetor que esta sendo construıdo no Polo Sul, capaz de observar neutrinos dealta energia ( 1 TeV), produzidos em fontes astrofısicas. Uma grande quanti-dade de fotomultiplicadores sao colocados em perfuracoes feitas na camada degelo polar. Os neutrinos de alta energia, interagindo como o gelo ou rochas,criam eletrons e muons relativısticos, que por sua vez produzem radiacao deCerenkov.

Durante o verao de 1996-1997, se instalaram 216 fotomultiplicadoras evarios outros equipamentos que completaram 302 fotomultiplicadoras colocadas



Figura 11.12: observacoes dos neutrinos solares no experimento Kamiokande II

entre 1500 a 2000 m de profundidade, alem de varios equipamentos de medida,que consiste no experimento AMANDA B, com uma area de deteccao de 10.000m2. Durante o verao de 1997-1998 se iniciou a construcao do AMANDA II,que aumentara a capacidade de medida do experimento.



11.7 Exercıcios

1. Discuta os provaveis fenomenos que nos trazem informacao a respeito dasıntese dos elementos nas estrelas.

2. Discuta o que constitui o chamado problema do neutrino.

3. Um dos detetores mais importantes na pesquisa de neutrinos realizadosna atualidade e o detetor de Cerenkov. Explique como funciona essedetetor.

4. Utilizando o diagrama H-R determine a temperatura de uma estrela0, 5M¯ e outra com 2M¯. Calcule os raios dessas estrela, o seu tempode vida e quais as possıveis rotas da evolucao das mesmas.

5. Descreva detalhadamente o vem a ser uma nova e uma supernova. Des-tacando como e emitida a energia nesses eventos e como se realizam ex-perimentos para medir essa energia.

6. A evolucao de uma estrela esta relacionada com a sua luminosidade,explique detalhadamente, utilizando o diagrama H-R, como ocorre aevolucao das estrelas de pequena, media e grande massa.

7. Discuta a formacao de elementos mais pesados do que o ferro.

8. Investigue como a partir da explosao de uma supernova, se geram buracosnegros e estrelas de neutrons.

9. Nos primeiros instantes apos o Big Bang, a materia se encontrava naforma de um plasma de sub-partıculas. De que seria formado esse plasma,e como a partir dele se teriam formado as partıculas que hoje constituema materia?


Bibliografia

[1] http://www.cea.inpe.br/~alex/Ensino/cursos/evolucaoII/evestelar_II.html

, 19/dez/2007.

[2] Clayton, D.D. Principles of Stellar Evolution and Nucleosyntesis; Univ. ofChicago, Chicago, 1983.

[3] A.S. Eddington, Brit. Assoc. Advan. Sci. Rept., Cardiff, (1920).

[4] Bethe, H.A.; Critchfield, C.L. Phys. Rev.54,248, e 862, 1938.

[5] W.C. Haxton, B. R. Holstein, Neutrino Phisics, Am. J. of Phys., 68 (1),15-32, (2000)

[6] ICAIR - International Centre for Antarctic Information and Researchhttp://www.icair.gov.edu

[7] AMANDA - Antarctic Muon and Neutrino Detector Arrayhttp://amanda.berkeley.edu/

361

Apendice A Notas de aula de Fısica e de Partıculas


APENDICE A

Constantes Fısicas Fundamentais∗

Constante ValorCarga do Eletron e = 1, 602177× 10−10CUnid. massa atomica 1, 66053872× 10−27kg = 931, 49432MeV/c2

Massa do eletron me = 9, 109390× 10−31kg = 510, 9991keV/c2

Massa do proton mp = 1, 672623× 10−27kg = 938, 2723MeV/c2

Massa do neutron mn = 1, 674929× 10−27kg = 939, 5656MeV/c2

Constante de Planck h = 6, 626× 10−34J.s = 4, 136× 10−15eV.sConstante de Boltzmann k = 1, 380658× 10−23JK−1

Vel. da luz no vacuo c = 2, 9979245× 108ms−1

Permissividade do vacuo εo = 8, 8541187817× 10−12Fm−1

Permeabilidade do vacuo µo = 4π × 10−7Tm−1

Constante gravitacional G = 6, 6726× 10−11Nm2kg−2

Numero de Avogadro NA = 6, 022137× 1026mol−1

Constante de Rydberg R = 1, 0973731568549× 107m−1

Raio de Bohr ao = 0, 5291772083× 10−10mMagneton de Bohr µB = 9, 2740154× 10−24JT−1

Magneton de nuclear µN = 5, 05078317× 10−27JT−1

= 3, 1525× 10−14MeV T−1

Const. de estrutura fina α = 1/137, 03599976Constante de Wien b = 2, 8989,×10−3mKConstante de Stefan σ = 5, 67× 10−8Wm−2K−4

Massa do sol M¯ = 1, 99× 1030kgRaio do sol R¯ = 6, 96,×108

Luminosidade do sol L¯ = 3, 85× 1026WMassa da terra M⊕ = 6, 0× 1024

Raio da terra R⊕ = 6, 4× 106m

*E.R. Cohen, B.N. Taylor, Physics Today, agosto,(1996).

363

Apendice A Notas de aula de Fısica e de Partıculas


APENDICE B

Tabela de Massas Atomicas

Esta tabela de massas atomicas esta baseada no trabalho de Washra,A.H., Audi, G., Nucl. Phys. A432, 1,(1985). Os valores da massasao valores relativos a massa atomica do 12C e a unidade de massa atomica eportanto 1/12 da massa desse isotopo. Baseando-se no valor atual da constantede Avogadro 6, 02214199[47], calcula-se o valor da unidade de massa atomicano SI, 1 uma = 1, 66053872[13]× 10−27kg.

Em termos praticos, uma das atividades mais importantes da fısica nu-clear e a determinacao da massa nuclear, pois o seu valor esta presente emtodos os processos nucleares, incluindo os calculos da evolucao estelar. A teo-ria da relatividade especial nos permite utilizar a massa e a energia expressas namesma unidade e em fısica nuclear que em geral se expressam em MeV . O valorequivalente da unidade de massa atomica e dada por, 1 uma = 931, 494MeV .

Os valores experimentais de massa, fornecem o valor da massa atomicaM(Z, A), incluindo dessa maneira a massa dos eletrons, como a que esta repre-sentada neste apendice. Ao utilizar esta tabela e possıvel determinar a energiade ligacao com um erro muito pequeno que corresponde somente a energia deligacao dos eletrons atomicos, bastando utilizar a massa atomica do hidrogenioem vez da do proton,

B(Z, A) = ZmH + Nmn −M(Z, A)

Outras tabelas publicam os valores de massa expressos em termos do chamadoexcesso de massa atomica definido como:

δM(Z, A) = M(Z, A)−A, [uma]

365

Apêndice B Notas de aula de Física Nuclear e de Partículas

Cláudio Graça 354

Simbolo Z A Massa H hidrogênio 1 1 1,007825

2 2,014102 3 3,016049

He hélio 2 3 3,016029 4 4,002603

Li lítio 3 6 6,015121 7 7,016003 8 8,022486

Be berílio 4 7 7,016928 8 8,005305 9 9,012182 10 10,01353 11 11,02166

B boro 5 8 8,024606 9 9,013329 10 10,014353 11 11,021658

C carbono 6 9 9,031039 10 10,012937 11 11,011433 12 12 13 13,003355 14 14,003242 15 15,010599

N nitrogênio 7 12 12,018613 13 13,005739 14 14,003074 15 15,000109 16 16,0061 17 17,00845 18 18,014081

O oxigênio 8 14 14,008595 15 15,003065 16 15,994915 17 16,999131 18 17,99916 19 19,003577 20 20,004076

Símbolo Z A Massa F flúor 9 17 17,002095

18 18,000937 19 18,998403 20 19,999981 21 20,999948 22 22,00303 23 23,0036

Ne neônio 10 17 17,01769 18 18,00571 19 19,00188 20 19,992436 21 20,993843 22 21,991383 23 22,994465 24 23,993613 25 24,99769

Na sódio 11 20 20,007344 21 20,997651 22 21,994434 23 22,989768 24 23,990961 25 24,989953 26 25,992586 27 26,99394

Mg magnésio 12 21 21,011716 22 21,999574 23 22,994124 24 23,985042 25 24,985837 26 25,982594 27 26,984341 28 27,983877 29 28,98848

Al alumínio 13 24 23,999941 25 24,990429 26 25,986892 27 26,981539 28 27,98191 29 28,980446 30 29,98294

Apêndice B Notas de aula de Física Nuclear e de Partícul as

Cláudio Graça 355

Símbolo Z A Massa Si silício 14 26 25,99233

27 26,986704 28 27,976927 29 28,976495 30 29,97377 31 30,975362 32 31,974148 33 32,99792

P fósforo 15 29 28,981803 30 29,978307 31 30,973762 32 31,973907 33 32,971725 34 33,973636

S enxofre 16 30 29,984903 31 30,979554 32 31,972071 33 32,971458 34 33,967867 35 34,969032 36 35,967081 37 36,971126 38 27,971162

Cl cloro 17 33 32,977452 34 33,973763 35 34,968853 36 35,968307 37 36,965903 38 37,968011 39 38,968005 40 39,97044 41 39,97044

Ar argônio 18 34 33,980269 35 34,975256 36 35,967546 37 36,966776 38 37,962732 39 38,964314 40 39,962384 41 40,964501 42 41,96305

43 42,96567 44 43,965365

K potássio 19 37 36,973377 38 37,96908 39 38,963707 40 39,963999 41 40,961825 42 41,962402 43 42,960717 44 43,96156 45 44,960696 46 45,961976 47 46,961677

Ca cálcio 20 38 37,976318 39 38,970718 40 39,962591 41 40,962278 42 41,958618 43 42,958766 44 43,955481 45 44,956185 46 45,953689 47 46,954543 48 47,952533 49 48,955672 50 49,957519

Sc escâncio 21 42 41,965514 43 42,96115 44 43,959404 45 44,95591 46 45,95517 47 46,952409 48 47,952235 49 48,950022 50 49,952186

Ti titânio 22 43 42,968523 44 43,95969 45 44,958124 46 45,952629 47 46,951764 48 47,947947 49 48,947871


Cláudio Graça 356

50 49,944792 51 50,946616 52 51,946898 53 52,94973

V vanádio 23 46 45,960198

47 46,954906 48 47,952257 49 48,948517 50 49,947161 51 50,943962 52 51,944778 53 52,94434 54 53,946442

Cr cromo 24 46 45,96836 47 46,962905 48 47,954033 49 48,951338 50 49,946046 51 50,946046 52 51,94051 53 52,940651 54 53,938882 55 54,940842 56 55,940643

Mn manganês 25 50 49,95424 51 50,948213 52 51,945568 53 52,941291 54 53,940361 55 54,938047 56 55,938907 57 56,938285 58 57,94006

Fe ferro 26 51 50,956825 52 51,948114 53 52,94531 54 53,939613 55 54,938296 56 55,934939 57 56,935396 58 57,933277 59 58,934877

60 59,934078 61 60,936748 62 61,936773

Co cobalto 27 54 53,94846 55 54,942001 56 55,939841 57 56,936294 58 57,935755 59 58,933198 60 59,93382 61 60,932478 62 61,93406 63 62,933614

Ni níquel 28 55 54,951336 56 55,942134 57 56,939799 58 57,934346 59 58,934349 60 59,930788 61 60,931058 62 61,928346 63 62,92967 64 63,927968 65 64,930086 66 65,929116 67 66,93157

Cu cobre 29 59 58,939503 60 59,937366 61 60,933461 62 61,932586 63 62,929599 64 63,929766 65 64,927793 66 65,928872 67 66,927747 68 67,92962

Zn zinco 30 61 60,939514 62 61,934332 63 62,9,,214 64 63,929145 65 64,929243 66 65,926035


Cláudio Graça 357

67 66,927129 68 67,924846 69 68,926552 70 69,925325 71 70,927727 72 71,926856 73 72,92978

Ga gálio 31 64 63,936836 65 64,932738 66 65,93159 67 66,928204 68 67,927982 69 68,92558 70 69,926028 71 70,924701 72 71,926365 73 72,925169 74 73,92694 75 74,926499

Ge germânio 32 66 65,933847 67 66,932737 68 67,928096 69 68,927969 70 69,92425 71 70,924954 72 71,922079 73 72,923463 74 73,921177 75 74,922858 76 75,921402 77 76,923548 78 77,922853 79 78,92536

As arsênio 33 70 69,930929 71 70,927114 72 71,926755 73 72,923827 74 73,923928 75 74,921594 76 75,922393 77 76,920646 78 77,92183 79 78,920946

Se selênio 34 71 70,93227 72 71,92711 73 72,926768 74 73,922475 75 74,922522 76 75,919212 77 76,919913 78 77,917308 79 78,918498 80 79,91652 81 80,917991 82 81,916698 83 82,919117 84 83,918463

Br bromo 35 76 75,924528 77 76,921378 78 77,921144 79 78,918336 80 79,918528 81 80,916289 82 81,916802 83 82,915179 84 83,916503 85 84,915612

Kr criptônio 36 75 74,931029 76 75,925959 77 76,92461 78 77,920396 79 78,920084 80 79,91638 81 80,91659 82 81,913482 83 82,914135 84 83,911507 85 84,912531 86 85,910616 87 86,91336 88 87,914453 89 88,91764

Rb rubídio 37 82 81,918195 83 82,915144 84 83,91439 85 84,911794


Cláudio Graça 358

86 85,911172 87 86,909187 88 87,911326 89 88,912278 90 89,914811

Sr estrôncio 38 81 80,92327 82 81,918414 83 82,917566 84 83,91343 85 84,912937 86 85,909267 87 86,908884 88 87,905619 89 88,90745 90 89,917738 91 90,910187 92 91,910944 93 92,913987

Y ítrio 39 84 83,92031 85 84,916437 86 85,914893 87 86,910882 88 87,909508 89 88,905849 90 89,907152 91 90,907303 92 91,908917 93 92,909571 94 93,911597

Zr Zircônio 40 87 86,914817 88 87,910225 89 88,90889 90 89,904703 91 90,905644 92 91,905039 93 92,906474 94 93,906315 95 94,908042 96 95,908275 97 96,91095 98 97,912735

Nb nióbio 41 89 88,913449

90 89,911263 91 90,906991 92 91,907192 93 92,906377 94 93,907281 95 94,906835 96 95,9081 97 96,908097

Mo molibdênio 42 90 89,913933 91 90,911755 92 91,906808 93 92,906813 94 93,905085 95 94,905841 96 95,904679 97 96,906021 98 97,905407 99 98,907711 100 99,907477 101 100,91035

Tc tecnécio 43 94 93,909654

95 94,907657 96 95,90787 97 96,906364 98 97,907215 99 98,906254 100 99,907657

Ru rutênio 44 94 93,911361 95 94,910414 96 95,907599 97 96,907556 98 97,905287 99 98,905939 100 99,904219 101 100,90558 102 101,90435 103 102,90632 104 103,90542 105 104,90774 106 105,90732 107 106,91013

Rh ródio 45 98 97,910716


Cláudio Graça 359

99 98,908192 100 99,908116 101 100,90616 102 101,90681 103 102,9055 104 103,90665 105 104,90569 106 105,90728

Ph paládio 46 99 98,911763 100 99,908527 101 100,90829 102 101,90563 103 102,90611 104 103,90403 105 104,90508 106 105,90348 107 106,90513 108 107,9039 109 108,90595 110 109,90517 111 110,90766 112 111,90732

Ag prata 47 103 102,90898 104 103,90862 105 104,90652 106 105,90666 107 106,90509 108 107,90595 109 108,90476 110 109,90611 111 110,9053 112 111,90701

Cd cádmio 48 104 103,90985 105 104,90946 106 105,90646 107 106,90661 108 107,90418 109 108,90495 110 109,90301 111 110,90418 112 111,90276 113 112,9044 114 113,90336

115 114,90543 116 115,90476 117 116,90723 118 117,9117

In índio 49 110 109,90723 111 110,90511 112 111,90554 113 112,90406 114 113,90492 115 114,90388 116 115,90526 117 116,90452

Sn estanho 50 109 108,39113 110 109,90786 111 110,90774 112 111,90483 113 112,90518 114 113,90278 115 114,90335 116 115,90175 117 116,90296 118 117,90161 119 118,90331 120 119,9022 121 120,90424 122 121,90344 123 122,90572 124 123,90527 125 124,90779 126 125,90765 127 126,91036

Sb antimônio 51 118 117,90553 119 118,90395 120 119,90508 121 120,90382 122 121,90518 123 122,90422 124 123,90594 125 124,90525 126 125,90725 127 126,90692

Te telúrio 52 117 116,90863


Cláudio Graça 36 3

118 117,90591 119 118,90641 120 119,90405 121 120,90495 122 121,90305 123 122,90427 124 123,90282 125 124,90443 126 125,90331 127 126,90522 128 127,90446 129 128,90659 130 129,90623 131 130,90853 132 131,90852 133 132,91091

I iodo 53 123 122,90559 124 123,90621 125 124,90462 126 125,90562 127 126,90447 128 127,90581 129 128,90499 130 129,90671 131 130,90611 132 131,90799

Xe xenômio 54 121 120,91145 122 121,90817 123 122,90847 124 123,90589 125 124,9064 126 125,90428 127 126,90518 128 127,90353 129 128,90478 130 129,90351 131 130,90507 132 131,90414 133 132,90589 134 133,9054 135 134,90713 136 135,90721 137 136,91156

Cs césio 55 130 129,90675 131 130,90544 132 131,90643 133 132,90543 134 133,9067 135 134,90589 136 135,90729 137 136,90707 138 137,911

Ba bário 56 127 126,91113 128 127,90824 129 128,90864 130 129,90628 131 130,9069 132 131,90504 133 132,90599 134 133,90449 135 134,90567 136 135,90455 137 136,90581 138 137,90523 139 138,90883 140 139,91058 141 140,91436

La lantânio 57 135 134,90695 136 135,90763 137 136,90646 138 137,90711 139 138,90635 140 139,90947 141 140,9109 142 141,91409

Ce cério 58 133 132,91136 134 133,90889 135 134,90912 136 135,90714 137 136,90778 138 137,90599 139 138,90663 140 139,90543 141 140,90827 142 141,90924 143 142,91238


Cláudio Graça 361

144 143,91364 145 144,91723

Pr praseodímio 59 138 137,91075

139 138,90892 140 139,90907 141 140,90765 142 141,91004 143 142,91081 144 143,9133

Nd neodímio 60 139 138,91192 140 139,90931 141 140,90959 142 141,90772 143 142,90981 144 143,91008 145 144,91257 146 145,91311 147 146,9161 148 147,91689 149 148,92015 150 149,92089 151 150,92383 152 151,92468

Pm promécio 61 142 141,91297 143 142,91093 144 143,91259 145 144,91274 146 145,91471 147 146,91514 148 147,91747 149 148,91833 150 149,92098

Sm samário 62 142 141,91521 143 142,91463 144 143,912 145 144,91341 146 145,91305 147 146,91489 148 147,91482 149 148,91718 150 149,91727

151 150,91993 152 151,91973 153 152,92209 154 153,92221 155 154,92464

Eu európio 63 148 147,91813 149 148,91793 150 149,9197 151 150,91985 152 151,92174 153 152,92123 154 153,92298 155 154,92289 156 155,92475 157 156,92542

Gd gadolínio 64 149 148,91934 150 149,91866 151 150,92035 152 151,91979 153 152,92175 154 153,92086 155 154,92262 156 155,92212 157 156,92396 158 157,9241 159 158,92705 160 159,92705 161 160,92966

Tb térbio 65 156 155,92474 157 156,92402 158 157,92541 159 158,92534 160 159,92716 161 160,92757 162 161,92951

Dy disprósio 66 153 152,92577 154 153,92443 155 154,92575 156 155,92428 157 156,92546 158 157,9244 159 158,92574


Cláudio Graça 362

160 159,92519 161 160,92693 162 161,9268 163 162,92873 164 163,92917 165 164,9317 166 165,9328

Ho hólmio 67 162 161,92909 163 162,92873 164 163,93029 165 164,93032 166 165,93228 167 166,93313

Er érbio 68 160 159,92908 161 160,93 162 161,92878 163 162,93003 164 163,9292 165 164,93072 166 165,93029 167 166,93205 168 167,93237 169 168,93459 170 169,93546 171 170,93803 172 171,93935

Tm túlio 69 166 165,93356 167 166,93285 168 167,93417 169 168,93421 170 169,9358 171 170,93643 172 171,9384

Yb itérbio 70 166 165,93388 167 166,93495 168 167,93389 169 168,93519 170 169,93476 171 170,93632 172 171,93638 173 172,93821 174 173,93886

175 174,94127 176 175,94256 177 176,94525 178 177,94664

Lu lutécio 71 172 171,93909 173 172,93893 174 173,94034 175 174,94077 176 175,94268 177 176,94375 178 177,94596

Hf háfnio 72 171 170,94049 172 171,93946 173 172,94065 174 173,94004 175 174,94151 176 175,94141 177 176,94322 178 177,9437 179 178,94581 180 179,94655 181 180,9491 182 181,95055 183 182,95353

Ta tântalo 73 178 177,94575 179 178,94593 180 179,94746 181 180,94799 182 181,95015 183 182,95137

W tungstênio 74 178 177,94584 179 178,94707 180 179,9467 181 180,94819 182 181,9482 183 182,9022 184 183,95093 185 184,95342 186 185,95436 187 186,95715 188 187,95848


Cláudio Graça 363

Re rênio 75 182 181,95121 183 182,95082 184 183,95253 185 184,95295 186 185,95498 187 186,95574 188 187,95811 189 188,95922

Os ósmio 76 182 181,95212 183 182,95329 184 183,95249 185 184,95404 186 185,95383 187 186,95574 188 187,95583 189 188,95814 190 189,95844 191 190,96092 192 191,96147 193 192,96414 194 193,96517

Ir irídio 77 188 187,99588 189 188,95871 190 189,90058 191 190,96058 192 191,96258 193 192,96292 194 193,96507 195 194,96597

Pt platina 78 187 186,96047 188 187,95939 189 188,96082 190 189,95992 191 190,96167 192 191,96102 193 192,96298 194 193,96266 195 194,96477 196 195,96493 197 196,96732 198 197,96787 199 198,97055 200 199,97142

Au ouro 79 194 193,96535

195 194,96501 196 195,96654 197 196,96654 198 197,96822 199 198,96874 200 199,97067

Hg mercúrio 80 193 192,96656 194 193,96539 195 194,96664 196 195,96581 197 196,96719 198 197,96674 199 198,96825 200 199,9683 201 200,97028 202 201,97062 203 202,97285 204 203,97347 205 204,97605

Tl tálio 81 200 199,97093 201 200,97079 202 201,97209 203 202,97232 204 203,97384 205 204,9744 206 205,97608

Pb chumbo 82 201 200,97283 202 201,97213 203 202,97337 204 203,97302 205 204,97446 206 205,97444 207 206,97587 208 207,97663 209 208,98107 210 209,98416 211 210,98874 212 211,99187

Bi bismuto 83 206 205,97848 207 206,97845


Cláudio Graça 364

208 207,97972 209 208,98037 210 209,9841 211 210,98726 212 211,99126

Po polônio 84 206 205,98046 207 206,98157 208 207,98122 209 208,9824 210 209,98285 211 210,98663

At astatínio 85 208 207,98651 209 208,98615 210 209,98713 211 210,98747 212 211,99073 213 212,99291

Ru radônio 86 207 206,99069 210 209,98967 211 210,99058 212 211,9907 218 218,00558 222 222,01757

Fr frâncio 87 209 208,99587 212 211,99613 215 215,00031 220 220,01229 223 223,01973

Ra rádio 88 222 22,015353 223 223,0185 224 224,02019 225 225,0236 226 226,0254 227 227,02917

Ac actínio 89 224 224,02169 225 225,02321 226 226,02608 227 227,02775 228 228,03102

Th tório 90 228 228,02872 229 229,03176 230 230,03313 231 231,0363 232 232,03805 233 233,04158

Pa protactínio 91 229 229,03207 230 230,03453 231 231,03588 232 232,03857 233 233,04024

U urânio 92 233 233,03963 234 234,04095 235 235,04392 236 236,04556 237 237,04873 238 238,05079 239 239,05429

Np netúnio 93 236 236,04655 237 237,04817 238 238,05094 239 239,05293

Pu plutônio 94 237 237,0484 238 238,04956 239 239,05216 240 240,05381 241 241,05685 242 242,05874 243 243,062

Am amerício 95 240 240,05528 241 241,05682 242 242,05954 243 243,06138 244 244,06428

Cm cúrio 96 246 246,06722 247 247,07035 248 248,07234 249 249,07595

Bk berquélio 97 246 246,06872


Cláudio Graça 365

247 247,0703

Cf califórnio 98 251 251,07958 252 252,08162

Es einstéinio 99 252 252,08294 253 253,08482

Fm férmio 100 256 256,09177 257 257,0951

Md mendelévio 101 257 257,09558

258 258,09857

No nobélio 102 258 258,09815 259 259,10093

Lw laurêncio 103 260 260,10532 104 261 261,10869 105 261 261,11182 262 262,11376 106 263 263,11822 107 262 262,12293

fisica nuclear

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