física 1 capítulo 4 trabalho e energia prof. dr. cláudio...

Física 1 – Capítulo 4 – Trabalho e energia – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

1

Trabalho de uma força

Introdução:

Considere um corpo que se desloca a uma

distância s ao longo de uma curva. Em cada instante

deste deslocamento há uma força F

atuando sobre o

corpo de massa m. Definimos o trabalho da força F

ao

longo da curva C pela integral de linha:

C

W F dl

Aqui dl

aponta no sentido da orientação da

curva, tem direção tangente à ela e representa um

deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

É possível escrever a força F

como a soma de

uma componente paralela ao vetor dl

: F

e outra

componente perpendicular: F

:

F F F

Assim:

F dl F F dl F dl F dl

F dl F dl F dl

Para uma força constante atuando no corpo,

podemos escrever:

cosW F d

Aqui, θ é o ângulo entre a força F

e o vetor

deslocamento d

.

Unidade: Joule: 1J = 1N.1m

Outras unidades:

1 cal = 4.186J

1 erg = 10-7

J

1 ft.lb = 1.356 J

1 Btu = 1055 J

1eV = 1.6.10-19

J

1 kWh = 3.6.106J

Casos:


2

Exemplos:

1. José deseja impressionar Elaine com seu

novo carro, porém o carro morre no meio de um

cruzamento e ele paga o maior mico. Enquanto Elaine

gira o volante, José empurra o carro 19 m para

desimpedir o cruzamento. Sabendo que ele empurra o

carro com uma força constante de 210 N na mesma

direção e sentido do deslocamento, qual o trabalho

realizado por esta força sobre o carro?

Solução:

f

i

x

x

W Fdx W F x

210 19W 34.0 10W J

2. Encontre o trabalho de cada força nos sistemas

mostrados:

(a) Um fazendeiro amarra seu trator a um trenó

carregado de madeira e o puxa até uma distância de 20

m na horizontal. O peso do trenó carregado é 14700N.

O trator exerce uma força constante de 5000N

formando um ângulo de 36.9° acima da horizontal.

Existe uma força de atrito de 3500 N que se opõe ao

movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza

sobre o trenó e o trabalho total por todas as forças.

Encontre a força resultante e determine o trabalho da

força resultante.

(b) Analisar o trabalho de cada força em cada

situação dada.

(a) Solução:

Trabalho da força:

cosTF TW F dl W F l

5000 20 cos36.9 80W kJ

Trabalho da força de atrito:

cos180aF a aW F dl W F l

3500 20 1aFW

70aFW kJ

Trabalho total:

a TF F P NW W W W W


3

Gráfico (x, F(x)

Trabalho da força elástica:

f f

i i

x x

x x

W Fdx W kxdx

2 21 1

2 2f iW k x k x

Trabalho de força curvilínea:

Energia cinética 2

2c

m vK E

A energia cinética de uma partícula é igual ao

trabalho total realizado para acelerá-la a partir do

repouso até sua velocidade presente.

Teorema Trabalho-Energia: O trabalho realizado pela força resultante sobre

a partícula fornece a variação da energia cinética da

partícula. 2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

Demonstração:dv dv dx dv

a vdt dx dt dx

O trabalho total realizado pela força resultante

é dado por:

f

R

i

x

F

x

W Fdx


4

f

R

i

x

F

x

W m adx

f

R

i

x

F

x

dvW m v dx

dx

f

R

i

v

F

v

W m vdv

2

2

f

R

i

v v

F

v v

vW m

2 2

2 2R

f iF

m v m vW

Energia potencial elástica: 2

2p

k xE

Energia potencial gravitacional:

pE U m g y

Potência: Potência Média:

med

WP

t

Potência Instantânea:

0lim

t

W dWP P

t dt

P F v

Unidade: Watt

1W = 1J/1s

Outras unidades:

1 hp = 745.6987 W = 550 ft.lb/s

1 Btu/h = 0.293 W

1 cv = 735.49875 W

1 cv = 0.9863 hp

1 hp = 1.0139 cv

O cavalo-vapor, de símbolo cv, é uma unidade

de potência que equivale a 75 kgf·m·s-1

. Um kgf.m por

sua vez corresponde ao trabalho gasto para se elevar

uma massa de um quilograma a um metro de altura ao

nível do mar.[ Pouco utilizada no meio científico devido

à existência de uma unidade específica para isso no

Sistema Internacional de Unidades — o Watt. Porém, a

sua utilização persiste, nomeadamente no meio da

indústria automobilística, para classificar a potência

máxima dos motores de combustão interna.

Nos países anglo-saxónicos, utiliza-se o horse

power, de símbolo hp, que é uma unidade de mesma

escala de grandeza, mas com valores diferentes. O

horse power define-se como sendo a potência

necessária para elevar verticalmente a uma velocidade

de 1 pé/min uma massa de 33000 libras.

Exemplos: 3. Um cavaleiro de 0.1 kg de massa está ligado à

extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola

constante de 20 N/m. Inicialmente, a mola não está

esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a

1.5 m/s para a direita. Ache a máxima distância d que o

cavaleiro pode se mover para a direita:

(a) supondo que o ar esteja passando pelo trilho e

o atrito seja desprezível.

(b) supondo que o ar não esteja fluindo e o

coeficiente de atrito cinético seja µC = 0.47.

Solução: Usando o teorema do trabalho-energia:

(a)

2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

2 2

0 02 2e

x dd

F

x

k x k dW kxdx

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cavalo-vapor#cite_note-0


5

22 20

2 2 2

im vk d m

0.11.5

20i

md v d

k

0.106 10.6d m cm

(b) Quando o ar não circula, devemos também

incluir o trabalho realizado pelo atrito cinético. A força

normal é igual ao peso. Assim:

N P m g

a C a CF N F m g

2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

2 2

2 2a e

f iF F

m v m vW W

2 221

cos1802 2 2

f ia

m v m vf d k x

2 221

2 2 2

f iC

m v m vm g d k x

2 221 0.1 0 0.1 1.5

0.1 9.8 0.47 202 2 2

d d

2 221 0.1 0 0.1 1.5

0.1 9.8 0.47 202 2 2

d d

0.086d m 4. Em um piquenique familiar, você foi

designado a empurrar seu primo chato João em um

balanço. Seu peso é w; o comprimento da corrente é R e

você empurra o dunha até que as correntes façam um

ângulo θ0 que começa em 0 e cresce gradualmente até

atingir um valor suficiente para que João e o balanço se

movam lentamente e permaneçam aproximadamente

em equilíbrio. Qual o trabalho total realizado por todas

as forças sobre João? Qual o trabalho realizado pela

tensão T nas correntes. Qual o trabalho que você realiza

ao exercer a força variável F

? Despreze o peso das

correntes e do assento.

Solução:

1

0 0N

x

i

F F T sen

1

0 cos 0N

y

i

F T w

F w tg

cosW F dl W F ds

Como:

s R ds R d

0

0

cosW w tg R d

0

0

W w R sen d

0

0cosW w R

01 cosW w R

5. Cada um dos motores a jato de um Boeing 767

desenvolve uma propulsão de 197000N. Quando o

avião está voando a 900 km/h, qual a potência

instantânea que cada motor desenvolve?

Solução:

51.97 10 250P F v P

74.93 10P W

6. O papel do motor de um automóvel é

fornecer continuamente uma determinada potência para

superar a resistência ao seu movimento. Duas forças se

opõe ao movimento do automóvel: o atrito de rolamento

e a resistência do ar. Um valor comum para o

coeficiente de atrito de rolamento é µ = 0.015 para um

pneu rolando com pressão apropriada em um pavimento


6

duro. Um Porshe Carrera 911 possui massa 1251 kg,

peso 12260N e a força de atrito de rolamento é dada

por:

0.015 12260rol rolF N F

180rolF N

Essa força é aproximadamente independente

da velocidade do automóvel.

A força de resistência do ar Far é

aproximadamente proporcional ao quadrado da

velocidade do automóvel e expressa por:

21

2arF C A v

Onde:

C: Constante adimensional denominada de

coeficiente de arraste. Valores comuns: 0.35 a 0.5.

: densidade do ar: 1.2 kg/m3.

A: área da seção reta do carro.

Para o Porshe Carrera:

210.38 1.77 1.2

2arF v

20.4arF v

A potência é dada por:

imp rol arP F v P F F v

v(m/s) Frol(N) Far(N) Fimp(N) P(kW)

10 180 40 220 2,2

15 180 90 270 4,1

30 180 360 540 17

40

A queima de 1L de gasolina libera uma energia

de aproximadamente 3.5.107J. Uma parte dessa energia

é convertida em trabalho útil. Em um motor de

automóvel típico, 65% do calor liberado pela queima de

combustível é dispersado no sistema de resfriamento e

exaustão e cerca de 20% dessa energia é convertida em

trabalho que não contribui para a propulsão do carro,

como o trabalho realizado pelo atrito no eixo do motor e

o trabalho necessário para mover acessórios como o

sistema de ar-condicionado e o sistema de direção do

volante até as rodas do carro. Sobram do total, 15% de

energia para superar o atrito de rolamento e resistência

do ar. Assim, a energia disponível por litro de gasolina

é: 7 60.15 3.5 10 5.3 10J L J L

Para examinar o consumo de gasolina em 15

m/s a potência necessária seria de 4.1 kW = 4.1.103J/s.

Em uma hora a energia necessária seria: 34.1 10 3600W P t W

71.5 10W J Durante essa hora, o carro percorreria a

distância de:

15 3600 54d v t d d km Assim, o consumo de gasolina em uma hora,

percorrendo uma distância de 54 km com velocidade de

15 m/s seria: 7

6

1.5 102.8

5.3 10

JL

J L

Essa quantidade de gasolina faz o carro mover

54 km. Assim:

5419

2.8

km km

L L

Obtenha a potência instantânea para a

velocidade de 40 m/s. Faça o cálculo do consumo

também.


7

Trabalho realizado pela força gravitacional

Durante o deslocamento de y1 a y2:

1 2 2 1gravW U U U U U

Energia Mecânica

ME K U

Consevação da Energia Mecânica (Somente forças gravitacionais)

Teorema trabalho-energia cinética:

2 1totalW K K K

Se tivermos a gravidade atuando como uma

única força sobre o corpo:

2 1total gravW W U U

1 2 1 1 2 2M ME E K U K U

Efeito de outra força:

2 1 1 2 2 1F g FW W K K W U U K K

2 12 2 1 1F F m mW K U K U W E E

7. Você arremessa uma bola de beisebol de

0.145 kg verticalmente de baixo para cima, fornecendo-

lhe uma velocidade de módulo 20 m/s. Usando a

conservação da energia, calcule a máxima altura que ela

atinge, supondo que a resistência do ar seja desprezível.

Solução: Adotando y1=0:

1 2 1 1 2 2M ME E K U K U

1 2K U

2 2

1 12 2 1 20.4

2 2

m v vm g y y y m

g

8. Suponha que sua mão desloque 0.5m para

cima quando você arremessa a bola deixando sua mão a

20 m/s de velocidade inicial. Despreze a resistência do

ar. (a) Supondo que sua mão exerce uma força

constante sobre a bola, ache o módulo desta força. (b)

Ache a velocidade da bola quando ela está a uma altura

de 15 m acima da altura do ponto inicial onde ela deixa

a sua mão.

Solução:

1 0K

1 1 0.145 9.81 0.5 0.71U m g h J

2 2

2 2 2

1 10.145 20 29

2 2K m v K J

2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U

29 0 0 0.71FW

29 0 0 0.71FW

29.71FW J

8. Um jogador bate duas bolas idênticas com a

mesma velocidade escalar, mas formando dois ângulos

iniciais diferentes. Prove que para uma dada altura h as

duas bolas possuem a mesma velocidade escalar

supondo que a resistência do ar seja desprezível.


8

Solução:

9. A expressão para a altura máxima h atingida

por um projétil lançado com velocidade escalar v0 e

para um ângulo α0 é: 2 2

0 0

2

v senh

g

Deduza essa expressão considerando a

conservação da energia.

Solução: Adotando y1=0:

1 2 1 1 2 2M ME E K U K U

2 2 2 2

1 1 2 2

1 10

2 2x y x ym v v m v v mgh

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 22 0x y x y x x y

v v v v gh v v v

2

1 2y

v gh

2

0 0 2v sen gh

2 2

0 0

2

v senh

g

10. Um carinha pratica skate se deslocando

para baixo de uma rampa circular em um playground.

Considerando que ele é juntamente com sua prancha de

skate uma partícula, seu centro se move ao longo de um

quarto de círculo de raio R. A massa total vale 25 kg.

Ele parte do repouso e não existe atrito.

(a) Calcule sua velocidade na parte inferior da

rampa.

(b) Calcule a força normal que atua sobre ele

na parte inferior da curva.

Solução:

1 2 1 1 2 2M ME E K U K U

2

2

10 0

2m g R m v

2 2v g R

2

2 22cp cp cp

v g Ra a a g

R R


9

1

N

y cp

i

F N P m a

2cpN P m a N m g m g

3N m g

11. Suponha que a pista tenha atrito e que a

velocidade na base da pista seja 6 m/s. Qual o trabalho

realizado pela força de atrito sobre ele?

Solução:

2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U

2

2

10 0

2FW m v m g R

2125 6 25 9.81 3

2FW

285FW J

12. Uma caixa de 12 kg está em repouso sobre

o solo. Deseja-se levá-la até um caminhão, usando um

plano inclinado de 30° fazendo-a deslizar sobre uma

rampa de 2.5m. Um trabalhador, ignorando o atrito,

calculou que ele poderia fazer a caixa chegar ao topo da

rampa lançando-a com uma velocidade inicial de 5 m/s

na base da rampa. Porém o atrito não é desprezível e a

caixa desliza 1.6m subindo a rampa, pára e desliza

retornando para baixo.

(a) Supondo que a força de atrito seja

constante, calcule seu módulo.

(b) Qual a velocidade da caixa quando ela

atinge a base da rampa?

Solução:

1,2 2 1 1,2 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U

2 10 0FW U K

2112 9.81 0.80 12 5

2FW

94 150 94 150FW f s

94 15035

1.6f f N

1,3 3 1 1,3 3 3 1 1F M M FW E E W K U K U

1,3 3 0 150 0 2FW K f s

1,3 3 0 150 0 2 35 1.6FW K

3 150 112K

33 3

238

KK J v

m

3 3

2 382.5

12

mv v

s

13. Movimento com energia potencial

elástica. A figura mostra um cavaleiro de m = 0.2 kg

em repouso sobre um trilho de ar sem atrito ligado a

uma mola de k = 500 N/m. O cavaleiro é puxado

fazendo a mola se alongar 0.1 m e a seguir é liberado

sem velocidade inicial. O cavaleiro começa a se mover

retornando para sua posição inicial em x = 0m.

Qual é a sua velocidade em x = 0.8m?

Solução:

2 2

1 1 1 1

1 10.2 0 0

2 2K m v K K J

2 2

1 1 1 1

1 15 0.1 0.025

2 2U k x U U J

2

2 2

1

2K m v


10

2 2

2 2 2 2

1 15 0.08 0.016

2 2U k x U U J

1 1 2 2K U K U

20 0.025 0.016K

2 0.009K J

22

2 Kv

m

2 2

2 0.0090.3

0.2

mv v

s

14. No sistema anterior, suponha que o sistema

esteja em repouso na posição inicial x = 0 quando a

mola ainda não está deformada. Aplicamos então sobre

o cavaleiro uma força F

constante no sentido +x com

módulo igual a 0.61N. Qual é a velocidade do cavaleiro

no ponto x = 0.1m?

Solução:

1 0K J

1 0U J

2

2 2

1

2K m v

2 2

2 2 2 2

1 15 0.1 0.025

2 2U k x U U J

1 1 2 2K U K U

20 0.025 0.016K

2 1 2 2 1 1F M M FW E E W K U K U

0.61 0.1 0.061FW F d J

20.061 0.025 0 0K

2 0.036K J

22 2

2 2 0.036

0.2

Kv v

m

2 0.6m

vs

15. No exemplo anterior, suponha que a força

F

seja removida no momento que o cavaleiro atinja o

ponto x = 0.1 m. Calcule a distância percorrida pelo

cavaleiro até ele parar.

Solução:

3 0K J

2 0.025U J

2 0.036K J

3 2 2 3 3 0.036 0.025 0U K U K U

3 0.061U J

2 33

21 2 0.61

2 5m m m

UU k x x x

k

0.156mx m

16. Movimento com forças gravitacional,

elástica e atrito. Em um projeto com um cenário para

calcular o ―pior caso‖, um elevador de 2000 kg com o

cabo quebrado cai a 25 m/s sobre a mola de

amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada

para fazer o elevador parar quando ela sofre uma

compressão de 3.0 m. Durante o movimento, uma

braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma

força de atrito constante de 17000N. Como consultor do

projeto, calcule a constante elástica da mola.

Solução:

Ponto 1: Ponto onde o elevador toca a parte

superior da mola:

2 2

1 1 1 1

1 12000 25 625000

2 2K m v K K J

Ponto 2: Elevador para.


11

2

2 2 2

1

2U k x m g y

2

2 2

12000 9.8 3

2U k x

2

2 2

158800

2U k x

2 0K J

2 1 2 2 2 1 1elF M M FW E E W K U U K U

51000FW J

2

2 2 1

10 0

2FW m g y k y K

1 2

2

2

2 FK W m g yk

y

2

2 625000 51000 58800

3k

51.41 10N

km

17. O trabalho realizado pela força de atrito

depende da trajetória. Você deseja mudar a arrumação

de seus móveis e desloca um sofá de 40.0 kg por uma

distância ed 2.50 m através da sala. Contudo, a

trajetória retilínea é bloqueada por uma mesa que você

não deseja deslocar. Em vez disso, você desloca o sofá

ao longo de uma trajetória de dois trechos ortogonais,

um trecho com comprimento 2 m e outro com 1.5 m de

comprimento. Em comparação com o trabalho que seria

realizado em trajetória retilínea, qual é o trabalho

excedente que você deve realizar para deslocar o sofá

ao longo da trajetória com os dois trechos ortogonais?

O coeficiente de atrito cinético é 0.2.

Solução: O sofá está em repouso nos pontos (1) e (2):

2

1 1 1 2

10

2K m v K K

A energia potencial gravitacional não varia

pois o sofá se move horizontalmente.

2 2 1 1FW K U K U

0FW

c cf m g

Trabalho realizado pela força que você faz:

1Fatrito cW W W m g s

0.2 40 9.8 2.5W

196W J

(Trajetória retilínea)

0.2 40 9.8 2.0 1.5W

274W J

(Trajetória ortogonal)

18. Conservativa ou não conservativa? Em

uma certa região do espaço, a força que atua sobre um

elétron é:

ˆF C x j

C é uma constante positiva. O elétron percorre

uma trajetória quadrada no plano xy em um sentido

anti-horário.

Calcule o trabalho realizado pela força F

sobre o elétron no percurso fechado ao longo do

quadrado. Esta força é ou não conservativa?

Solução:

2

1

P

P

W F dl

1 2 3 4W W W W W


12

,

,0

0 0 0

L L

L

W F dl

0

y L

y

W C Ldy

2W C L

O ponto inicial coincide com o ponto final da

trajetória, porém o trabalho de F

não é zero. Logo a

força F

não é conservativa.

19. Trabalho realizado pelo atrito. Considere

o skatista do exemplo 10. Ele começa com energia

cinética 0 e energia potencial 735J e na base ele possui

450 J de energia cinética e energia potencial 0. Logo:

450K J e 735U J . O trabalho de sua

força é dado por: atritoW W realizado pelas forças não

conservativas é -285J e a variação de energia interna é

dada por int 285ernaU J . As rodas, os manais e a

rampa tornam-se ligeiramente mais quentes quando

ocorre a descida na rampa. A soma dessas variações da

energia é igual a 0:

int 450 735 285 0ernaK U U J

20. Força elétrica e energia potencial. Uma

partícula com carga elétrica é mantida em repouso no

ponto x = 0, enquanto uma segunda partícula com

mesma carga pode-se mover livremente ao longo do

eixo positivo Ox. A energia potencial do sistema é:

C

U xx

onde C é uma constante positiva que depende do

módulo das cargas. Deduza uma função para a

componente x da força que atua sobre a carga que se

move.

Solução:

2x x

dU x CF x F x

dx x

21. Força e energia potencial em 2

dimensões. Um disco de hóquei desliza sobre uma

mesa de ar sem atrito. As coordenadas do disco são x e

y. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de

uma energia potencial dada por:

2 21,

2U x y k x y

Deduza a expressão da força que atua no disco.

Solução:

x

UF k x

x

y

UF k y

y

ˆ ˆx yF F i F j

ˆ ˆF k x i y j

F k r

ˆ ˆr x i y j

(Vetor posição)

2 2

x yF F F

2 2F k x y

F kr

Diagramas de energia


13


14

Exemplos – Tipler

Capítulo 6 – Trabalho e Energia

1. Um caminhão de 3000 kg está sendo puxado

para cima por um guindste que exerce uma força de 31

kN na direção do movimento de deslocamento 2m.

(a) Determine o trabalho realizado pela tração

no fio.

(b) Determine o trabalho feito pelo peso do

caminhão.

(c) Encontre a velocidade após 2 m de

percurso.

Solução (a) Trabalho da força aplicada:

cos0 31 2 1 62F apW F d W k W kJ

(b) Trabalho do peso:

cos180 3000 9.81 2 1P P

m g

W P d W

59PW kJ

(c) Teorema trabalho energia:

T F P CW W W E

2 2

0 02 2

f

T F P f

m v m vW W W K

362 59 10 fK

3

3

2 2 3 101.4

3 10

f

f f f

K mv v v

m s

2. Em um tubo de TV RTC, um elétron é

acelerado a partir do repouso até adquirir uma energia

cinética final de 2.5 keV sobre uma distância de 80 cm.

A força sobre o elétron é a força causada pelo campo

elétrico do tubo. Calcule a força sobre o elétron,

assumindo ser constante e na direção do movimento no

tubo.

Solução Trabalho da força aplicada:

F f iW F x K K K

f iFK KW

F Fx x

3 19 162.510 1.6 10 5 10

0.8F F N

3. Um professor puxa um trenó de 80 kg com

uma força de 180N fazendo um ângulo de 20° com a

direção de deslocamento horizontal de 5m. Encontre,

supondo ausência de atrito:

(a) o trabalho que ele faz;

(b) a velocidade final do trenó após ele mover

5 m.

Solução (a) Trabalho da força aplicada:

cos20 180 5 cos20F apW F d W

846W J

(b) O trabalho total será:

2 2

0

0 84602 2

f

T N P F

m v m vW W W W

2 2 8464.6

80

Ff f f

W mv v v

m s

4. Uma força varia conforme o deslocamento

de acordo com o gráfico abaixo:

Encontre o trabalho feito pela força quando a

partícula se move entre x = 0 e x = 6m.


15

Solução Trabalho da força aplicada:

1 2W F dr W A A

25W J

5. Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa

horizontal sem atrito e preso a uma mola horizontal sem

atrito e preso a uma mola horizontal que exerce uma

força dada pela Lei de Hooke ˆF k x i

com k =

400N/m e x em metros medido a partir da posição de

equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está

comprimida com o corpo em x1 = -5 cm. Calcular:

(a) o trabalho feito pela mola sobre o corpo no

deslocamento de x1 = -5 cm até a posição de equilíbrio

x2 = 0 cm e

(b) a velocidade do corpo em x2 = 0 cm.

Solução:

(a)

2 2

1 1

x x

x

x x

W F dx W k xdx

2

1

2 22

2 1

2 2 2

x x

x x

x xxW k k k

2 22

1 10

2 2 2

x xW k k W k

2

0.05400 0.500

2W W J

(b) Aplicando o Teorema trabalho-energia

cinética: 2 2 2

2 1 2

2 2 2

v v vW m k W m

2 2 2

2 2 0.50.5

4

W mv v v

m s

6. (a) Calcular o ângulo entre os vetores

ˆ ˆ3 2A m i m j

e

ˆ ˆ4 3B m i j

(b) Achar a componente de A

na direção de B

.

Solução: (a)

cos x x y yA B A B A B A B A B

3 4 2 3 6A B A B

2 2 2 22 3 13x yA A A A A m

22 2 24 3 5x yB B B A B m

6cos cos cos 0.33

13 5

A B

A B

70.6

(b) 6

1.25

B

B A BA A m

B B

7. O deslocamento de uma partícula é dado

por: ˆ ˆ2 5s m i m j

sobre uma reta. Durante o

deslocamento, uma força constante

ˆ ˆ3 4F N i N j

atua sobre a partícula.

Calcular (a) o trabalho da força e (b) a componente da

força na direção do deslocamento.

Solução:


16

(a) Trabalho:

x y zW F s W F x F y F z

3 2 4 5 14W W J

(b) cos cosW

W F s Fs

22 2 2 2 22 5 0s x y z s

29s m

14cos cos

29

WF F N

s

cos 2.60F N

8. Um modelo novo de Cadillac, pode acelerar de 0

a 96 km/h em 6.5 s. Em que intervalo de tempo o carro

acelera de 80 km/h a 112 km/h?

Solução:

1. Intervalo de tempo no qual a energia cinética

varia:

11

1

KWP t

t P

2. Se t2 for o intervalo de tempo necessário para

a variação da energia cinética K2:

22

Kt

P

3. Fazendo a razão:

2 2

2 22 2 2

2 21 1 11 1

1 1

2 21 1

2 2

f i

f i

m v m vt K t

t K tm v m v

2 2 2 22 22 2

2 2 2 2

1 1 1 1

112 80

96 0

f i

f i

v vt t

t v v t

2

2 1 2

1 6.5

0.667 0.667 4.33t

t t t st

9. Um esquiador desce por uma rampa, com os

esquis parafinados, de modo que o atrito é praticamente

nulo. (a) Qual é o trabalho feito pelo esquisador ao

percorrer uma distância s sobre a encosta? (b) Qual é a

velocidade do esquiador ao chegar ao pé da encosta?

Admita que a distância percorrida seja s, que o ângulo

de inclinação seja e que a massa do esquiador seja m.

A altura de descida é, então, h = s.sen.

Solução: (a) O trabalho feito pela força da gravidade

quando o esquiador desce a encosta é:

cosW m g s W m g s

hsen W m g h

s

(b)

210 2

2W K m g h m v v g h

10. Um pequeno motor é usado para operar um

elevador de carga que movimenta um lote de tijolos, de

800 N, até uma altura de 10 m, em 20 s. Qual a potência

mínima do motor?

Solução:

P F v P F v m a v

Pa

m v

21

2

dv d dKP m a v m v m v

dt dt dt

P dt K

(Potência constante)

11. Um caminhão de massa m, em repouso no

instante t = 0, é acelerado, com potência P constante,

numa estrada horizontal. (a) Encontre a velocidade do

caminhão em função do tempo.


17

(b) Mostrar que se x = 0, a função posição x(t)

é dada por:

3

28

9

Px t

m

Solução:

Pa

m v

dv P Pv dv dt

dt m v m

2

2

P v Pv dv dt t

m m

1

22P

v tm

1 1

2 22 2dx P P

t x t dtdt m m

3

28

9

Px t

m

12. Uma garrafa de 0.350 kg cai do repouso de

uma prateleira que está a 1.75 m do solo. Determinar a

energia potencial inicial do sistema garrafa-Terra em

relação ao solo e a energia cinética da garrafa ao colidir

com o solo.

Solução:

0.350 9.81 1.75 6.01U m g y U U J

O trabalho feito é igual a variação da energia

cinética, que é o trabalho feito pela Terra.

totalK W m g y

6.01K J

13. Achar a energia potencial total do jogador

de basquete pendurado no aro da cesta. Admitir que o

jogador seja descrito como uma partícula de 110 kg a 2

m do soloe que a constante de força do aro seja de 7.2

kN/m. O deslocamento do aro é de 15 cm.

Solução:

g eU U U

21

2U m g y k s

2

2158

81

1110 9.81 2 7200 0.15 2239

2U U J

14. A força entre dois átomos numa molécula

pode ser representada aproximadamente pela função

energia potencial: 12 6

0 2a a

U Ux x

Onde U0 e a são constantes. (a) Em que valor

de x a energia potencial é nula? (b) Determinar a força

Fx. (c) Em que valor de x a energia potencial é mínima?

Mostrar que Umin = U0.

Solução:

(a)

12 6

0 62 0

2

a a aU x

x x

(b) 13 6

012x x

UdU a aF F

dx a x x

(c) x = a

(d) Umin = U0

Exemplos – Tipler

Capítulo 7 – Conservação da Energia

1. Na beira de um terraço, a 12 m do solo, uma bola

é chutada sob ângulo de 60° com o plano horizontal e

adquire uma velocidade inicial vi = 16 m/s.

Desprezando os efeitos da resistência do ar, calcular:

(a) a altura que a bola atinge em relação ao terraço

e (b) a velocidade no instante que colide com o solo.

Solução: (a) Conservação da energia mecânica:


18

2 21 1

2 2topo i topo iE E m v m g h m v

2 2

cos2

i topo

topo i

v vh v v

g

16 cos60 8topo topo

mv v

s

2 216 89.79

2 9.81h h m

(b) Se vf for a velocidade com que a bola atinge

o solo, a conservação da energia dará:

2 21 1

2 2f i f iE E m v m g y m v

2 2f iv v g y

216 2 9.81 12 22.2f fv v m s

2. Um pêndulo é constituído por um corpo de

massa m pendurado por um cordel de comprimento L. O

corpo é desviado da vertical de modo que o cordel faz

um ângulo 0 com a verticale depois é solto, sem

velocidade inicial. Determinar as expressões (a) da

velocidade v no ponto mais baixo de oscilação e (b) da

tensão no cordel, neste mesmo ponto.

Solução: (a) Conservação da energia mecânica:

f i i i f fE E K U K U

210

2m v m g h

2v g h

0 0cos 1 cosh L L h L

02 1 cosv g L

(b) As forças que atuam no pêndulo são o peso

e a tensão. No ponto mais baixo, a resultante será a

força centrípeta: 2

R

vF T P m T m g

L

2

02 1 cosg Lm T m g

L

02 1 cosg Lm T m g

L

03 2 cosT mg

3. Um corpo de 2 kg está comprimindo de 20

cm uma mola cuja constante elástica é 500 N/m. O

corpo é libertado e a mola o projeta sobre uma

superfície horizontal sem atrito e sobre um plano

inclinado de 45°, também sem atrito, como está no

esquema. Até que altura do plano inclinado o corpo

sobe e fica momentaneamente em repouso, antes de

retornar plano abaixo ?

Solução:

21

2iE k x

fE m g h

21

2f iE E m g h k x

210.51

2

k xh h m

m g

0.721s h sen s m

4. A constante de força de mola elástica

pendurada na vertical é k. Um corpo de massa m é preso

à ponta da mola, na posição de equilíbrio, e cai

verticalmente. Determinar a expressão da distância


19

máxima da queda do corpo antes de o movimento ter o

sentido ascendente.

Solução:

2 2

2 2g e

m v k yE K U U E m g y

Aplicando a conservação da energia: 2 2

02 2

i

m v k yE E E m g y

2 200

2 2

m k ym g y

2mgy d

k

5. Dois corpos de massas m1 e m2 estão

pendurados por um fio muito leve a uma roldana com

massa e atrito desprezíveis. Os dois corpos estão

inicialmente em repouso. Calcular a velocidade do mais

pesado quando tiver caido a uma distância vertical h.

Solução:

2 2

1 2

1 1

2 2K m v m v

Energia potencial quando m1 tiver

subido altura h e m2 descido a

mesma altura:

1 2U m gh m gh

Com a conservação da energia:

0 0iE E K U

2 2

1 2 1 2

1 10

2 2m v m v m gh m gh

2 1

2 1

2m m

v g hm m

6. Uma bola plástica, com a massa m, cai do

repouso de uma altura h até o solo. Discutir a

conservação da energia (a) do sistema constituído pela

bola e (b) do sistema constituído pela Terra e pela bola.

Solução: (a) O teorema da conservação trabalho-energia é:

ext sist mec TerW E E E

extW mgh

As duas forças externas são a da gravidade e

aforça do solo sobre a bola . O solo não se movimenta e

não efetua trabalho.

Como a bola é o nosso sistema, a sua energia

mecânica é cinética apenas e né nula no início e no

final:

0mecE

extW mgh

(b) Agora não há forças externas atuando no

sistema ( a força da gravidade e a força do solo sobre a

bola são forças internas). Assim, não há trabalho

externo:

0extW

0ext ter mecW E E

0i fE mgh E

0mec f iE E E mgh mgh

ter mec terE E E mgh

7. Uma força horizontal de 25 N é aplicada a

um bloco de 4 kg que está inicialmente em repouso

sobre uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito

cinético µk entre o bloco e e o tampo da mesa é 0.35.

Calcular (a) o trabalho externo feito dobre o sistema

bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a

energia cinética do bloco depois de ser empurrado 3 m

sobre a mesa, (d) a velocidade do bloco depois de ser

empurrado 3 m sobre a mesa.


20

Solução:

Trabalho da força externa:

25 3 75ext ext ext extW F x W W J

Energia dissipada pelo atrito:

th th kE f x E m g x

0.35 4 9.81 3 41.2th thE E J

Aplicano o teorema trabalho-energia:

res c ext f f iW E W W K K

cos180 0ext fW f x K

75 41.2 33.8f fK K J

221

4.112

f

f f f f

KK m v v v m s

m

8. A velocidade inicial de deslocamento de

um tobogã de 5 kg é 4 m/s. O coeficiente de atrito entre

o tobogã e o solo é 0.14. Que distância o tobogã

percorre até parar?

Solução:


2

0 cos180 0

1

2ext f f

f x

W W K m v

2 21 1

2 2kf x m v m g x m v

221

5.822 2 k

vx m v x x m

g

9. Uma criança de 40 kg desce por um

escorregador inclinado de 30°. O coeficiente de atrito

cinético é µk = 0.2. Se a criança principia a escorregar

do repouso, no topo do escorregador, a 4 m de altura,

qual a sua velocidade ao atingir o solo?

Solução:


cos180f f kW f s W N s

cos3030

f k

hW m g

sen

40.2 40 9.81 cos30

30fW

sen

543.73fW J

40 9.81 4 156.96ext P extW m g h W W J

210

2ext fW W m v

21cos30

30 2k

hm g h m g m v

sen

211 cotg30

2kg h v

2 1 cotg30kv g h

1.73

2 9.81 4 1 0.2 cotg30v

7.16m

vs

10. Um corpo de 4 kg está pendurado por um

cordel bastante leve que passa por uma polia de massa e

atrito desprezíveis. A outra ponta do cordel está preza a

um bloco de massa 6 kg pousado sobre uma superfície

áspera horizontal. O coeficiente de atrito cinético é µk =

0.2. O bloco de 6 kg comprime uma mola elástica à

qual não está preso. A constante de força da mola é 180

N/m e sua compressão é de 30 cm. Calcular a

velocidade depois de a mola se distender e de o corpo

de 4 kg cair a altura de 40 cm.

Solução:

res M ext f iW E W E E

f f fE K U

2

1 2 2

1

2fE m m v m g s

1cos180ext ext kW f s W m g s


21

21

2i i iE U E k x

ext f iW E E

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2k m g s m m v m g s k x

2

2 1

1 2

2 2 kk x m g s m g sv

m m

1.95m

vs

11. Uma pessoa de massa m sobe, com

velocidade constante, um lance de escada que tem a

altura h. Discutir a aplicação da conservação da energia

ao sistema constituído exclusivamente pela pessoa.

Solução:

O teorema da conservação trabalho-energia

nos dá: (Considerando as energias térmicas e químicas)

ext Sistema mec ter quiW E E E E

O único trabalho efetuado pela pessoa é o da

gravidade. O trabalho é negativo, pois a força tem

sentido oposto ao deslocamento:

extW mgh

Como a pessoa é o sistema, a sua energia

mecânica é a cinética, que é nula no início e no final da

subida:

0mecE

Assim:

ter quimgh E E

12. Um carro de 1200 kg trafega à velocidade

constante de 100 km/h = 28 m/s subindo uma rampa de

10 %. (Uma rampa de 10 % de inclinação é aquela que

se eleva de 1 m para cada 10 m de distância percorrida

na horizontal. Ou seja, o ângulo de inclinação da

rampa é dado por tg = 0.1). Qual a potência mínima

proporcionada pelo motor do carro? (Desprezar o atrito

de rolamento e a resistência do ar.)

Solução: A potência despendida pelo motor é igual a

taxa de diminuição da energia química:

quidEP

dt

A variação da energia química pode

ser calculada pelo teorema da conservação trabalho-

energia:

0ext mec ter quiW E E E

qui mec terE E E

qui mec terdE dE dE

Pdt dt dt

Como a velocidade é:

dsv

dt

é constante, a taxa de variação da energia

mecânica é a taxa da variação da energia potencial:

mecd mghdE dU dh

mgdt dt dt dt

0.1h s sen s tg

0.1 0.1mecdE dh dsmg mg mgv

dt dt dt

0.1 terdEP mgv

dt

27.5 terdEP kW

dt

min 27.5 0terdEP kW

dt


22

física 1 capítulo 4 trabalho e energia prof. dr. cláudio...

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