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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: Equações do 2º Grau, sua História e Metodologias Aplicadas

Autor Carlos Alberto de Vicente

Escola de Atuação Colégio Estadual Professora Júlia Wanderley-EFM

Município da escola Cascavel

Núcleo Regional de Educação Cascavel

Orientador Arleni Elise Sella Langer

Instituição de Ensino Superior UNIOESTE- Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Público Alvo Alunos de 8ª série/9º ano

Localização Rua Jorge Lacerda 1420

Apresentação:

(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)

As atividades propostas são atividades que não só envolvam conhecimentos já construídos, mas principalmente as que provoquem a produção de novos conhecimentos. Dentro dessa proposta sugere-se o manuseio de material manipulável, a visualização da resolução geométrica de diversas situações, possibilitando ações metodológicas diferenciadas em sala de aula, para refletir-se sobre diferentes formas de ver e resolver Equações do 2º Grau.

Diante desse contexto torna-se importante explorar a História da Matemática numa perspectiva de levar o estudante à relação com o passado, para compreender o presente, tendo em mente que os fatos não acontecem por si só, mas por necessidades de um grupo de pessoas, com o objetivo de melhorar suas situações de vida.

Nosso objetivo trata-se de promover estudos e reflexões sobre uma abordagem metodológica alternativa no ensino de equações do 2º grau por meio da utilização de material manipulável e de recursos da história da matemática, dentro desse material manipulável, pretende-se trabalhar com o completamento de quadrado, utilizando um conjunto de peças de madeira denominado Algeplan, que pode ser confeccionado em EVA.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Material; manipulável; História;da;MatemáticaHistória da Matemática

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

Superintendência da Educação Diretoria de Políticas e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional

EQUAÇÕES DO 2º GRAU, SUA HISTÓRIA

E METODOLOGIAS APLICADAS

CASCAVEL – PR

2011

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PDE- PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTINUADA

CARLOS ALBERTO DE VICENTE

METODOLOGIAS PARA O ENSINO DAS EQUAÇÕES DO 2º

GRAU

MATEMÁTICA

Trabalho apresentado ao PDE, como material

didático, pelo Professor de Matemática Carlos

Alberto de Vicente sob a orientação da Professora

Ms. Arleni Sella Langer, da Universidade Estadual

do Oeste do Paraná (UNIOESTE) Cascavel.

CASCAVEL

2011

1- INTRODUÇÃO

Tendo em vista a dificuldade dos alunos na compreensão das equações do 2º grau,

pautou-se este projeto no sentido de facilitar essa compreensão. Uma vez definido esse

objeto de trabalho, nosso estudo envolveu tanto a sua contextualização histórica como a

pesquisa de possíveis abordagens metodológicas, sendo que as atividades propostas serão

aplicadas em um grupo formado por alunos oriundos de quatro turmas de 8º série do

período matutino do Colégio Estadual "Professora Júlia Wanderley "- EFM, em Cascavel - PR.

O grupo será formado por, no máximo, 20 alunos convidados a participar voluntariamente e

desenvolverá atividades orientadas pelo professor PDE no contraturno de suas aulas

regulares. O professor PDE não é, portanto, o regente da turma, pois os alunos têm outro

professor em suas turmas e se disporão a participar de uma proposta de trabalho

diferenciada devido ao fato de o professor PDE ser o diretor eleito da escola, que se

licenciou para envolver-se com o programa de formação continuada PDE e agora retoma seu

cargo não tendo turma própria para realizar sua implementação. Cabe informar, contudo,

que este professor PDE já atuou por três anos ministrando aulas às turmas de 8ª série.

Durante esse período sentiu dificuldades em fazer os alunos entenderem o que significa

resolver uma equação do 2º grau. Diante dessas dificuldades passou a pensar numa forma

prática de apresentá-la aos alunos de forma a estimular a compreensão desse conhecimento

que parece tão distante dos nossos estudantes. Inicialmente se começou a trabalhar com o

chamado material dourado, de modo parecido com o que agora se propõe com o Algeplan®,

já que ambos são materiais similares. Notando, porém, que o material dourado tinha

algumas deficiências, particularmente quando se exigia observar e representar situações nas

quais os valores de x e do termo independente são negativos, continuou buscando

alternativa mais adequada. Outro aspecto considerado gerador de confusão foi o fato de

que o material montessoriano ou dourado é o mesmo utilizado para ensinar adição e

subtração de números inteiros nos anos iniciais de 1º ao 5º ano. Sendo assim, os alunos

confundiam muito o valor de x² com a centena (plaquinha), e o valor do x com a dezena

(barrinha).

Após conhecer esse novo material, foi possível compreender o quanto ele facilita a

visualização, favorecendo a aplicabilidade e a resolução das equações. É claro que o material

também apresenta algumas limitações e que há dificuldades com as quais ainda se tem que

lidar, como as que serão discutidas no decorrer deste trabalho e, posteriormente, no artigo

final, pois nenhum material é infalível e perfeito. Embora se reconheça que há fragilidades

em todas as abordagens que forem propostas ou em todo material que se escolha, seu uso

ainda é valioso ao introduzir os conceitos e apresentar uma alternativa viável à mera a

utilização da fórmula, sem nenhuma discussão a respeito das outras formas possíveis de

resolução construídas pela humanidade. Considera-se, então, que a opção pelo uso da

fórmula resolutiva pode ser vista como uma culminância, uma síntese de um conhecimento

que foi se formando, se consolidando gradativamente.

O tempo total previsto para a implementação é de 20 horas-aula.

Inicialmente serão expostos aos alunos os objetivos da proposta e apresentada a

importância de uma avaliação inicial, sendo que esses alunos são oriundos de três

professores diferentes, portanto sabemos que cada professor possui uma metodologia

diferente para transmitir o conhecimento. Achamos ser importante fazer um diagnóstico, a

fim de levantar dados sobre os alunos, com questões relacionadas ao projeto. Segue a

avaliação abaixo:

COLÉGIO ESTADUAL "PROFESSORA JÚLIA WANDERLEY" - EFM AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – EQUAÇÕES DO 2º GRAU

1- RESPONDA: a) O que é uma equação do 2º grau?

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... b) O que é um trinômio quadrado perfeito?

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... c) Onde é utilizada uma equação do 2º grau?

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... d) A seu ver, por que a matemática é tão importante em nossa vida?

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... 2- Ache o valor de x que torna verdadeiras as seguintes igualdades:

a) x + 3 = 0 ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

b) x – 5 = 8 ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

c) x² - 4 = 0

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... d) x² + 2x + 1 = 0

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................... e) x² + 3x + 2 = 0

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

3- A área de uma praça quadrada é 144 m². Quanto mede o lado dessa praça?

.............................................................................................................................................

4- Considerando os polígonos abaixo.

Se, do número que expressa a área do quadrado, você subtrair o número que

expressa a área do retângulo, você vai encontrar 15.

a) Escreva a equação que representa essa figura........................................................

b) Descubra, entre os números abaixo, o valor do número x que satisfaz essa

equação.

2;5;9;6;4;7;10;12;15

....................................................................................................................................

No final dos encontros referentes à implementação será aplicada a mesma avaliação

visando captar a aprendizagem de cada um, procurando estabelecer relações com os dados

oriundos da avaliação inicial.

Espera-se que, ao final do projeto, os alunos tenham entendido a diferença entre a

forma de estudo das equações no passado e nos dias atuais, bem como percebam que

resolver as equações do 2º grau e compreender o significado das raízes é muito mais do que

meramente aplicar fórmulas já elaboradas. Deseja-se que consigam atribuir significado para

as raízes e as relacionem com o cálculo de áreas a serem descobertas, valorizem os métodos

desenvolvidos e utilizados tanto por Al-khowarismi como por outras civilizações.

x

x

x

2

2- Fundamentação Teórica Para aprender matemática em qualquer nível, é preciso entender as questões relevantes antes que você possa esperar que as respostas façam sentido. Entender uma questão, muitas vezes, depende de saber a história da idéia. De onde veio? Por que é ou era importante? Quem queria a resposta e por que a queria? Cada etapa no desenvolvimento da matemática é construída com base naquilo que veio antes. [...] Para ensinar matemática em qualquer nível é necessário ajudar os estudantes a entenderem as questões e formas de pensamentos que ligam os detalhes. A atenção dada a tais questões é o que marca os melhores currículos [...]. (BERLINGHOFF e GOUVÊA, 2010, p. 1).

Desde que surgiu a educação formal sempre foi uma dificuldade ensinar Matemática

nas escolas, pois o ensino da Matemática antiga trabalhava com material abstrato,

geralmente preocupando-se em ensinar métodos elaborados por pessoas que dedicavam

todo seu tempo para resolver problemas e acabavam descobrindo fórmulas que na

realidade funcionavam muito bem.

A grande dificuldade dos alunos hoje é compreender o porquê das fórmulas

apresentadas nas escolas e há dificuldade também em fazer a transferência desse

conhecimento para situações do cotidiano. Diante desses problemas pretende-se estudar a

História da matemática e chamada Educação Matemática. Esses conhecimentos poderão ser

repassados para os alunos. Sob essa perspectiva se enfatizarão principalmente as equações

do 2º grau, de forma a facilitar a compreensão da famosa fórmula de Bháskara. Trabalhando

com o material manipulável e com problemas enfrentados ao longo da história e que

propiciaram a elaboração dessa fórmula, deseja-se dar-lhe significado. Uma das alternativas

facilitadoras desse processo poderá ser a utilização de material manipulável. A sugestão de

escolha é um conjunto de peças de madeira denominado Algeplan®1.

O material Algeplan®ou seu similar pode ser uma ferramenta útil no trabalho em sala

de aula para a resolução de problemas do 2º grau como alternativa à mera utilização da

fórmula resolutiva. Pretende-se que os alunos notem que a fórmula não é algo vago, mas

algo desenvolvido para simplificar grandes cálculos que necessitariam de um raciocínio

maior, o que tornaria complicado resolver apenas por meio do material manipulável.

De acordo com as necessidades atuais de gestão da sala de aula, com indivíduos

inquietos e questionadores, fica evidenciada a importância fundamental do professor

investigador que procura novos métodos para sanar as dificuldades encontradas pelos

alunos, oferecendo-lhes atividades que desenvolvam cada vez mais a capacidade intelectual

de cada um. Ao buscar alternativas metodológicas às “chatas” aulas expositivas e

mecanizadas, exigem-se posturas nas quais o professor possa ser o mediador dos

conhecimentos, motivando os alunos a aprofundarem as informações adquiridas. Uma das

possibilidades é estimulá-los a perceber que esses conhecimentos foram elaborados ao

longo do tempo por pessoas que se dedicavam a maior parte da sua vida em construir uma

matemática na qual não só se aprendia superficialmente. Embora fossem geralmente

desenvolvidos em função de problemas oriundos da realidade, seus estudiosos viajavam nas

suas profundezas, com conhecimentos científicos que hoje não se pode simplesmente

abandonar. Ao se discutirem os métodos que os antigos utilizavam, ao possibilitar-se sua

visualização, ao se manipularem materiais que favoreçam a percepção das equações

quadráticas como áreas, completando os quadrados, talvez se possam explorar, de forma

prática, como as regras gerais e as fórmulas foram inventadas e, a partir daí, entendê-las

melhor e aplicá-las de modo mais adequado.

As atividades propostas devem ser também atividades que não só envolvam os

conhecimentos já construídos, mas principalmente as que provoquem a produção de novos

conhecimentos. Dentro dessa proposta, sugere-se o manuseio de materiais manipuláveis, a

visualização da resolução geométrica de diversas situações, possibilitando ações

metodológicas diferenciadas em sala de aula, para poder refletir sobre as diferentes formas

de ver e de resolver equações do 2º grau.

Sendo esse o intento, exigiu-se do professor proponente deste projeto um mergulho

na literatura a fim de embasar-se teoricamente de modo a obter uma visão clara das

alternativas possíveis para sustentar as escolhas metodológicas pertinentes ao trabalho

pedagógico.

Entre as abordagens disponíveis, a opção pela história da matemática como

alternativa se deu por se julgar relevante para esse tópico de conteúdo reconhecer que as

fórmulas são sínteses de diversos métodos de resolução desenvolvidos por variadas

civilizações em diferentes momentos. Destaca-se então que estudar a história da matemática

é tão importante como evidenciá-la no presente em toda a sua magnitude.

Torna-se importante explorar a História da Matemática numa perspectiva de levar o

estudante à relação com o passado, para compreender o presente, tendo em mente que os

fatos não acontecem por si só, mas por necessidade de um grupo de pessoas, com o objetivo

de melhorar suas situações de vida:

A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. A história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais. (MIGUEL & MIORIM, 2004). (PARANÁ, 2008, p. 66)

Com o passar dos anos, a forma como a matemática vinha sendo ensinada, bem

como a forma de ensino de diversas outras disciplinas, teve a necessidade de ser

reformulada. Muitas opiniões divergiram e surgiram conflitos. Vários livros foram escritos

criticando o ensino da matemática nas escolas, afirmando que esse ensino não estaria dando

conta das necessidades impostas pela sociedade. Os fracos desempenhos dos alunos nos

testes padronizados no país (como a Prova Brasil, o SAEB e o PISA) demonstram que o

ensino e a aprendizagem em matemática estão deixando muito a desejar. Um livro já

clássico, intitulado “Na Vida Dez, na Escola Zero”, de Shilieman; Carraher; Carraher

(1998), desde o final da década de 80 do século passado já denunciava a frustração e o

descompasso entre os significados e o sucesso dos alunos com a matemática da rua, diante

do fracasso na formalidade da escola. Nesse sentido, recentemente produzidas, as Diretrizes

Curriculares da Educação Básica - Matemática (2008) destacam que a visão de matemática

que o professor possui provavelmente vai determinar suas escolhas quanto às estratégias de

ensino que adotará. O documento sustenta que se devam levar em conta dois aspectos:

Pode se conceber a Matemática tal como ela vem exposta na maioria dos livros didáticos, como algo pronto e acabado, em que os capítulos se encadeiam de forma linear, seqüencial e sem contradições;

Pode-se acompanhar a Matemática em seu desenvolvimento progressivo de elaboração, de modo a descobrir-se suas hesitações, dúvidas, contradições, as quais um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para que logo surjam outras hesitações, outras dúvidas, outras contradições no fazer matemático. Isto é, sempre haverá novos problemas por resolver (CARAÇA, 2002, p. XXIII). (PARANÁ, 2008, p. 48)

EQUAÇÕES DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA E SUA HISTÓRIA Todas as disciplinas, assim como a matemática, tiveram o seu conhecimento

construído aos poucos pela humanidade, no decorrer da história, por necessidade ou por

curiosidade. Cada povo, usando tecnologias distintas, de acordo com o nível em que seus

habitantes viviam, tendo uma visão muito diferente da que temos hoje, realizou algum

esforço enorme e continuado, bem como produzindo registros dos quais dispomos

atualmente, para tentar compreender como pensavam. Os tempos eram outros, poucas

pessoas tinham acesso à escola, pois essa não era para todos, e sim para uma classe

minoritária que detinha o poder. Cada etapa da matemática foi sendo construída embasada

nos conhecimentos anteriores.

Os egípcios desenvolveram três formas de escrita. A mais antiga usada pelos

sacerdotes em monumentos e tumbas foi chamada hieroglífica. Dessa hierografia deriva

uma forma cursiva, usada nos papiros, chamada hierática, da qual resulta, mais tarde, a

escrita demótica, de uso geral. Aos escribas, assim como aos sacerdotes, não apenas na

civilização egípcia como em outras, cabia o papel de registrarem as práticas culturais.

Mesmo assim, contudo, a forma de comunicação entre culturas diferentes era muito lenta e

difícil.

As transformações ocorridas ao longo de anos, décadas e séculos também

aconteceram com as equações. Não há possibilidade de afirmar, com exatidão, quando se

iniciaram estudos sobre o tema, uma vez que as técnicas usadas eram bastante elementares

e pouco duráveis. A maioria dos registros foi se deteriorando, alguns ficaram incompletos,

além de outros que nem chegamos a conhecer.

Segundo Fragoso (1999), o conhecimento matemático dos egípcios foi registrado em

vários papiros datando de 2000 a.C. até 300 a.C. Acredita-se que os egípcios, muito

anteriormente à era de Cristo, já haviam desenvolvido alguma forma de abordagem das

equações de primeiro e segundo graus. Essa crença se deve ao fato de ter sido observada a

utilização do método da falsa posição para a resolução de alguns problemas contidos nos

papiros de Rhind e de Kahun. O método da falsa posição consiste em

[...] supor um valor qualquer para a incógnita, efetuar as operações indicadas e, partir da resposta obtida, verificar qual a relação existente entre esta e a igualdade indicada no problema, sendo essa relação válida para o valor suposto e o real a ser obtido [...]. (FRAGOSO, 1999, p. 14).

Já os conhecimentos matemáticos da Mesopotâmia foram registrados em placas de

argila, escritos em barro mole e secadas ao sol ou em forno. Segundo Berlinghoff e Gouvêa,

De modo geral, a matemática babilônica era conduzida por métodos. Uma vez estando disponível o método para resolver um tipo de problema, os escribas pareciam gostar de construir outros mais e mais elaborados, que podiam ser resolvidos por esse método. Durante o período criativo das escolas para escribas, eles desenvolveram vários desses métodos, dos quais o mais impressionante é o da solução de equações quadráticas. (2010, p. 11).

Seus conhecimentos eram trabalhados apenas com a álgebra retórica e acredita-se

que, pela forma como resolviam as equações, buscavam estabelecer relações entre o

perímetro e a área de quadriláteros.

Dentre os problemas resolvidos pelos mesopotâmicos um deles é apresentado por

Fragoso (1999, p. 17) e Boyer (1996, p. 23). Esses problemas eram escritos no sistema

sexagesimal de numeração, segundo Eves (1995, p. 78). O problema mencionado pelos

autores acima referidos, apresentado na forma na qual se estuda hoje, seria:

“Qual é o lado de um quadrado, se a área menos o lado dá 870?”

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS

Reconhecemos as dificuldades enfrentadas pelos professores ao ensinar a seus

alunos as equações quadráticas, mas se sustenta que é função do professor buscar novas

abordagens metodológicas para que seus alunos compreendam os mecanismos e

procedimentos usados. Com essa compreensão pode-se dar significado aos problemas

relacionados e resolvê-los da forma mais prática possível.

Cientes então da necessidade de se evitar a mera mecanização, o que se propõe é a

utilização de materiais manipuláveis visando favorecer a aprendizagem da fatoração, da

composição e decomposição de polinômios, tanto dos trinômios quadrados perfeitos quanto

daqueles nos quais haja a necessidade de se completar os quadrados. Encontrar o lado dos

quadrados, e fazer desse processo uma experiência visual, poderá facilitar a compreensão e

a significação das raízes de uma equação do 2º grau. Um dos materiais manipulativos que

pode auxiliar o professor na tarefa de ensinar a resolução de equações quadráticas, pelo

método de completar quadrados, é o Algeplan®.

Figura 1: Foto do Algeplan®.

Disponível em: www.ime.ufg.br/bienal/2006/poster/rosimeire.pdf

Composto de quarenta peças de madeira,

consiste em: quatro quadrados grandes de lados x e

quatro quadrados médios de lados y, que

representam, respectivamente, as expressões x² e y²;

doze quadrados pequenos de lados 1, representando

a unidade; quatro retângulos de lados x e y,

representando cada um a expressão xy, oito

retângulos de lados x e 1, representando a expressão

x. 1 = x, e oito de lados y e 1, representando a

expressão

y. 1 = y

Um material similar ao Algeplan® também pode ser confeccionado a partir de

cartolina ou de EVA, por exemplo. Nesse caso, há a possibilidade de se utilizar uma cor para

cada tipo de peça ou, ainda, fazer todas as peças da mesma cor.

Para representar as expressões negativas usam-se os versos das peças, que são todas

da mesma cor, no caso do Algeplan® confeccionado em madeira. Se o professor optar por

fabricar seu próprio material, pode marcá-lo, no verso de cada peça, com o sinal negativo,

ou então escolher uma única cor, diferente das já usadas, para construir peças negativas

(FANTI et al., 2006).

O objetivo principal do uso do Algeplan® (ou de um material similar) é relacionar

figuras geométricas com expressões algébricas, sendo útil em operações com monômios e

polinômios, na resolução de equações do 1º e 2º grau e na fatoração de trinômios do 2º

grau. Como a resolução de equações do 2° grau pelo método de completar quadrados está

ligada diretamente à fatoração de expressões algébricas e, sendo este, conteúdo do 8° ano e

aquele, conteúdo de 9° ano, talvez seja necessário que o docente retome com seus alunos

alguns conceitos, uma vez que “*…+ para o estudo da fatoração algébrica e da equação do 2°

grau é necessário que o professor já tenha trabalhado anteriormente os conceitos de

trinômio, adição e subtração algébrica, potenciação, radiciação e suas representações

geométricas” (PARANÁ, 1994, p. 60).

É importante que se incentive os alunos quanto ao valor da utilização desse material,

sendo que se espera que as atividades os levem a entender, de forma prática, as equações

quadráticas e evidenciá-las no seu cotidiano. Tendo em mente que o material é limitado,

cabe entender que não consegue resolver todos os propósitos. Diante desse contexto, os

parâmetros destacam :

A utilização desses recursos possibilita ao aluno conferir um tipo de significado às expressões. No entanto, a interpretação geométrica dos cálculos algébricos é limitada, pois nem sempre se consegue um modelo geométrico simples para explicá-lo. Além disso, é preciso que ele perceba que é possível atribuir outros significados às expressões. Assim, as visualizações desse tipo podem ser interessantes em alguns momentos, dependendo do contexto da situação-problema, mas o trabalho não pode apoiar-se exclusivamente nelas. (BRASIL, 1998, p. 121).

A seguir são apresentadas algumas das atividades que serão propostas em sala de

aula para facilitar o trabalho com esses materiais. Existirão ainda outras que podem ser

encontradas nas referências bibliográficas citadas.

Propomos a resolução de problemas utilizando o material manipulável, nos quais o

aluno tenha que fatorar o trinômio para obter sua solução, como o exemplo abaixo:

(BONJORNO & AYRTON, 2006, p. 57).

Problema 1: Qual é o número cujo quadrado, adicionado com seu décuplo, dá 96?

Resolução:

Chamamos de x o número procurado,

Obtendo a equação x² + 10x = 96

1ª) Fazemos a representação geométrica

Do 1º membro dessa equação:

x² + 10x = x² + 2. 5x

2ª) Descobrimos o que acrescentar à figura para que ela se torne um quadrado. Veja que,

acrescentando um quadrado de lado 5 (e área 25), a figura se torna um quadrado.

Figura 2: acervo do autor Figura 3: acervo do autor

x²

5x

5x x

x 5

5

x

5

5x

5x

x² x² x

5

x 5

5x

? 25 5x

x 5

Figura 1: acervo do autor

A área da figura toda passa a ser a área conhecida no início (¨) mais a área acrescentada

( 96 ), o que dá 121. Assim obtemos:

x² + 10x = 96 → x² + 10x + 25= 96 + 25 → x² + 10x + 25 ( Trinômio quadrado perfeito) = 121

3ª) Então, fatoramos o primeiro membro: (x + 5 )² = 121

4ª) por último, obtemos as raízes da equação: x + 5 = ± → x + 5 = 11 Daí obtém: x + 5 = 11→ x = 11 – 5 → x = 6

ou

x + 5 = - 11→ x = - 11 - 5 = - 16

Os números procurados são + 6 e – 16.

No século IX, o matemático árabe Al-khowarismi, usando palavras e figuras,

descobriu um método geométrico para resolver equações do 2º grau com uma incógnita.

Veja como funciona esse método com a equação x² + 10x = 39

1º) Representamos o quadrado do número com a área de um quadrado de lado x.


2º) Depois o décuplo do número é igual à soma de dois retângulos de lados 5 e x, pois 5x +

5x = 10x

Figura 5: acervo do autor Figura 6: acervo do autor 3º) Em seguida, juntamos esses dois retângulos sobre os lados do quadrado de lado x. Assim,

a área total da figura formada é igual a 39, isto é, x² + 10x = 39

4º) Então, completamos um quadrado acrescentando outro

quadrado de lado 5 e área 25.

A área total obtida é 39 + 25 = 64

5º) Por último, se a área da figura é 64, o lado do quadrado é 8.

Assim, x + 5 vale 8 e, portanto, x vale 3.


x²

5x 5x

x x

5

x 5

x x 5x

x

5x 5

x²

5

Veja que, por esse processo, Al-khowarismi só obtinha a raiz positiva da equação,

pois x representa o lado de um quadrado. O uso da letra x facilita, mas Al-khowarismi usava

somente palavras e figuras nesses cálculos (BONJORNO & AYRTON, 2006, p. 58).

A mesma explicação deste exercício pode ser encontrada no livro "Matemática e

Vida" (BONGIOVANNI, VISSOTO e LAUREANO, 2003, p. 74).

ATIVIDADES

Objetivo: Compreender a importância da História da Matemática, considerando o

contexto das civilizações como determinante para o desenvolvimento da matemática e as

fórmulas como síntese do tratamento de situações reais por diversas civilizações

Tempo estimado: 6 horas-aula

Metodologia: Antes de iniciar os exercícios com os alunos se pretende trabalhar uma

apostila com textos para que os alunos tenham uma fonte em mãos caso precisem repassar

para os outros de sua turma, pois os professores regentes de turmas poderão utilizar com os

demais, para que as informações não fiquem apenas restritas aos alunos participantes do

projeto, mas que sejam expandidas aos demais. Esses textos contêm uma breve História das

equações do 2º grau, tentando relacioná-las com o presente, mostrando todas as

dificuldades enfrentadas, ao longo dos tempos, até a obtenção das fórmulas atuais.

Após ter explicado as formas que Al-khowarismi usava para representar o

completamento de quadrado, então se iniciará a confecção do material em EVA2, similar ao

Algeplan.

A sala será dividida em grupos de 4 pessoas, isso para facilitar a confecção dos

materiais e a ajuda mútua entre os membros da equipe. Serão usadas cores diferentes do

material para representar os números positivos e negativos, como se apresentará a seguir

por meio de figuras.

ATIVIDADES COM O MATERIAL CONSTRUÍDO

2 EVA: A borracha EVA é uma mistura de alta tecnologia de Etil, Vinil e Acetato. Conhecido entre artesãos e

artistas, como EVA, o Etil Vinil Acetato é aquela borracha não-tóxica que pode ser aplicada em diversas atividades artesanais.

Objetivo: Compreender e executar a fatoração relacionando a equação. Acredita-se

que os alunos farão várias tentativas até chegar ao resultado final. O importante é que eles

descubram, fazendo as perguntas formuladas abaixo.

Metodologia: Por meio das perguntas abaixo se pretende estimular a descoberta da

área ocupada pelo x² e o quanto falta para completar o termo independente, explorando

principalmente as medidas dos seus lados:

Qual é o valor do lado do quadrado cuja área é x²?

Qual é o formato em que devem ser colocados os valores de x para se formar um

quadrado perfeito?

Quantas peças serão utilizadas para representar o termo independente de modo

a completar o quadrado?

Observação: Geometricamente só usamos números positivos, pois na resolução das

equações só existem áreas positivas.

Nesta proposta será utilizado o material que foi confeccionado.

Tempo estimado: 4 horas-aula.

1- Resolva os problemas utilizando o material manipulável:

a) Qual é o número cujo quadrado, somado com o seu quádruplo, resulta 5?

Montando a equação temos: x² + 4x = 5

Utilizando o desenho da forma como se daria a representação no material

manipulável se teria:


x

x

Se tivermos 2 de um lado e 2 do outro, qual é a área que está faltando? Vemos, por

meio da figura, que a área necessária para completá-la seria um quadrado de lado 2; já que

sua área seria 2.2 = 4


Desta forma, o aluno talvez perceba que teve que acrescentar 4 unidades de área 1

para completar a figura, ficando uma equação do tipo: ( x + 2 )² então:

x² + 4x + 4 = 5 + 4

(x + 2 )² = 9

(x + 2) = x + 2 = 3

x = + 3 – 2

x = + 1

Ou

x = - 3 - 2 Figura 10: acervo do autor

x = - 5

Então o número procurado é + 1, considerando que, para a situação geométrica

apresentada, só há significado para o valor natural.

b) Qual é o número cujo quadrado, somado com o seu sêxtuplo, dá 16?

x² + 6x = 16

Ao montar a figura, o aluno analisará que, para colocar o sêxtuplo, será necessário 3

de cada lado e valor de x²


x

x x

2

2

x

4

x

x + 2

x + 2

x

x

Para montar a área será necessário acrescentar 9 quadradinhos do termo independente:

x² + 6x + 9 = 16 + 9

( x + 3 )² = 25

x + 3 = 25

x + 3 = 5

x = + 5 – 3 = + 2

Ou

x= - 5 – 3 = - 8

Então o número procurado é +2,

considerando que, para a situação geométrica Figura 12: acervo do autor

apresentada, só há significado para o valor natural.

2- Ache as soluções reais das equações, usando o material manipulativo

construído:

Objetivo: Valorizar e compreender o significado dos valores obtidos, das raízes da

equação, sejam eles naturais, inteiros ou racionais.

Metodologia: Com as duas soluções, nada mais é do que os valores de x’ e x” que

encontramos quando utilizados a fórmula para resolver uma equação do 2º grau. Achamos

que os alunos terão dificuldades para analisar os valores de x quando são positivos e

negativos, pois ambos serão resolvidos da mesma forma, mudando apenas as cores do

material manipulável, então, para cada solução onde o x é negativo, deverá, no início,

representar o material através de dobraduras, para a percepção de diferentes formas. Nesta

atividade será utilizado também o Algeplan® confeccionado pelos alunos.


a) x² + 3x + 2 = 0 b) x² +8x + 12 = 0 c) x² -4x + 3 = 0 d) x² - 4x – 1 = 0 e) x² - 5 x + 6 + 0 f) x² - 5 x – 6 = 0

x

x

x + 3

x + 3

As cores relacionadas do material serão convencionadas assim:

+ x² = verde(quadrado de lado x)

- x2 = rosa(quadrado de lado x a ser retirado)

+ x = laranja(retângulo de lados x e 1, área a ser incluída)

- x = amarelo(retângulo de lados x e 1, área a ser retirada)

Termo independente Positivo = Azul

Termo independente negativo = Violeta

a) x² + 3x + 2 = 0 Fatorando os termos temos: ( x + 2 ). ( x + 1 )

Como x + 2 = 0 e x + 1 = 0 Então x + 2 – 2 = 0 – 2 x = - 2 ou x + 1 – 1 = 0 – 1 Figura 13: acervo do autor S = { - 2 e -1} b) x² + 8x + 12 = 0 Fatorando os termos temos: ( x + 6 ). ( x + 2 ) Como x + 6 = 0 e x + 2 = 0 Podemos afirmar que: x + 6 – 6 = - 6 x = - 6 Ou x + 2 – 2 = - 2 x = - 2 S= {-6 e – 2 } Figura14: acervo do autor c) x² - 4x + 3 = 0

Para melhor entender a diferença dos termos positivos e negativos, vamos mostrar

dobraduras a fim de visualizar melhor os termos negativos.

x + 2

x + 1

x + 6

x + 2

Pegue uma folha que tenha na frente uma cor e no verso outra cor, ou pinte uma

folha de sulfite em um dos lados de cor diferente e dobre a folha de modo a obter um

quadrado:


Em seguida dobre e corte a folha de modo a obter um quadrado de aproximadamente 21 cm. Figura 16: acervo do autor

Dobre 3 retângulos do lado direito e 1 retângulo do lado de baixo para dentro usando

mais ou menos 2 cm de comprimento, como mostra a figura ao lado.

Ao fechar a dobradura, percebemos que ficou sobreposta uma área (desenhada de

vermelho) de 3 quadradinhos que não pode ser contada duas vezes, por isso o valor do

termo independente restante é 3.


Ao abrir a figura ela ficará como mostra ao lado. Você observará 3 quadradinhos na

dobradura, no caso do desenho representado em vermelho, para facilitar a visualização.

Nesse caso, para completar a área, preciso colocar 3 quadradinhos ( + 3 ).


x - 3

x - 1

x - 3

x - 1

Agora utilizando o material essa situação seria representada da forma constante na figura abaixo: Fatoração ( x - 3 ). ( x – 1 )

Como x – 3 = 0 e

x – 1 = 0

Relacionamos que:

x – 3 = 0

x – 3 + 3 = + 3 Figura 19: acervo do autor

x = + 3 e

x – 1 = 0

x = -1 + 1 = 0 + 1

x = + 1

S = { + 3 e + 1 }

Podemos analisar que, nessa equação, se utilizarmos os valores: x² - 4x – 3 = 0, então

não teremos a mesma solução, por isso a necessidade de mostrar essa situação por meio de

dobraduras para não haver nenhuma confusão, sendo que, ao dobrar, sobra parte do termo

independente e não falta.

d) x² - 2x – 3 = 0

Como não há possibilidade de formar uma figura, devemos acrescentar x positivo

e negativo de modo que a equação não seja alterada:


Então a nova figura ficará da seguinte forma: x² - 2x + x - x – 3 = 0 Fatoração ( x – 3 ). ( x + 1 ) x – 3 = 0 x + 1 = 0

x - 3

x – 1

x - 2

Podemos afirmar que: x – 3 + 3 = 0 + 3 x = + 3 x + 1 – 1= 0 – 1 x = - 1 S = { + 3 e - 1 } Figura 21: acervo do autor

Nesse exercício podemos mostrar aos alunos a diferença entre x² - 5 x + 6 = 0 e x² - 5

x – 6 = 0 , pois na primeira equação se tem a solução representada abaixo e, na outra, a

solução será diferente.

e) x² - 5 x + 6 = 0 Fatoração ( x – 3 ). ( x – 2 ) Como x – 3 = 0 e x - 2 = 0 Conclui-se que: x – 3 = 0 x – 3 + 3 = + 3 x = + 3 e x –2 = 0 x - 2 + 2 = 0 + 2 x = + 2 Figura 22: acervo do autor S = { + 3 e + 2 } Veja que o procedimento de resolver esse exercício não é o mesmo do anterior, pois o

professor deve deixar claro para o aluno que, ao colocar as peças negativas do material, o

termo independente sobra e não falta, por isso, tendo o termo independente negativo, a

resolução torna-se diferente, como apresentamos a seguir:

f)x² - 5 x – 6 = 0


x - 3

x - 2

x - 3

x + 1

Não havendo possibilidade de formar uma figura, devemos acrescentar peças de x

positivos e negativos de maneira a não alterar a equação, sendo que, para cada x positivo

deverá acrescentar um x negativo das peças do material, ficando da seguinte maneira:

² - 5 x – x + x – 6 = 0

Fatoração ( x – 6 ) . ( x + 1 ) Como x – 6 = 0 e x + 1 = 0 Analisamos que: x – 6 = 0 x – 6 + 6 = + 6 x = + 6 e x + 1 = 0 x + 1 - 1 = 0 - 1 Figura 24: acervo do autor x = - 1

S = { + 6 e - 1 }

Deve ser feita a dobradura desse exercício e observado que, ao dobrar, faltarão 6

quadradinhos do termo independente, por isso a solução é + 6.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EVITANDO A UTILIZAÇÃO DA FÓRMULA:

Objetivo: Resolver e discutir as formas alternativas de resolução utilizadas.

Metodologia: Exploração da utilização do material, do cálculo mental; valorização da

intuição e da estimativa dos produtos, das multiplicações dos fatores que deram origem a

determinadas áreas, pois muitos alunos sentem dificuldades em encontrar a medida dos

lados de uma área qualquer. Nessas atividades será usado papel quadriculado para facilitar a

compreensão por parte dos alunos, sendo que a avaliação será realizada por meio de

raciocínio lógico de poder chegar ao resultado, levando em conta que todas as avaliações

não serão individuais, mas em grupo.


1- Certa cidade tem um terreno de formato retangular de 80 m² em que um lado tem 2 m a

mais que o outro. O prefeito dessa cidade pretende construir uma praça nesse terreno, onde

x - 6

x+ 1

deverá haver duas passarelas perpendiculares dividindo a praça em 4 partes iguais em

formato de retângulos. Qual será a área ocupada por essas passarelas se elas tiverem 2 m de

largura?

Área total = 80 m²


Note que a medida de um lado tem 2 a mais que o outro, deste modo os lados

poderão ter as seguintes medidas:

1 m x 80 m 2 m x 40 m 4 m x 20 m 5 m x 16 m 8 m x 10 m

Observe que o único resultado onde um lado tem 2 m a mais que o outro são as

medidas de 8 m x 10 m, sendo assim as medidas ficariam da seguinte forma:


Dessa forma, as passarelas poderiam ser divididas em 5 partes para facilitar os

cálculos:

Parte 1 = 2 m x 3 m = 6 m² Parte 4 = 2 m x 4 m = 8 m²

Parte 2 + 2 m x 3 m = 6 m² Parte 5 = 2 m x 2 m = 4 m²

Parte 3 = 2 m x 4 m = 8 m²

x + 2

x

2m

2m

2m

2m

3 m

3 m

4 m 4 m

Após essa análise, podem-se somar todas as medidas para obter o resultado

desejado:

6 m² + 6 m² + 8 m² + 8 m² + 4 m² = 32 m²

Posteriormente a essa resolução informal se poderá explorar a resolução por meio da

fórmula, discutindo em seguida o significado dos valores encontrados para as raízes.

Equação x ( x + 2 ) = 80 x² + 2 x – 80 = 0 a) 1 b) 2 c) – 80 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 2 )² - 4.1.(-80) ∆= 4 + 320 ∆= 324

x’= - 2± 2 x’= -2+ 18 2 x’= 16 2 x’ = 8 x”= -2 – 18 2 x”= -20 2 x” = - 10

Então o número procurado é 8

Um lado é x = 8

o outro é x + 2 = 8 + 2 = 10

2 . 10 = 20 m

2 . 8= 16 m

Formando assim uma área de 20 m² + 16 m² = 36 m²

Sendo que deverá ser tirada a área central de 2 . 2 = 4 m²

36 m² - 4 m²= 32 m²

2- Fernanda conseguiu montar um quebra-cabeça de 1200 cm² de área e pretende fazer

um quadro com ele. Para isso, ela comprou uma placa de compensado onde colocará as

peças. As dimensões da placa de compensado são tais que o comprimento da placa tem 40

cm a mais que a largura. Sabendo que o quebra-cabeça montado ocupou toda a área da

placa, diga quais são as dimensões desse quebra-cabeça?


Através de resoluções espera-se que os alunos comecem a observar várias medidas

em que as soluções cheguem a 1200 cm², que possivelmente são:

2 cm² x 600 cm² 4 cm² x 300 cm² 8 cm² x 150 cm²



Ao fazer várias tentativas observa-se que a única solução em que um dos lados possui

40 cm² maior que o outro é: 20 cm² x 60 cm²

Figura 28: acervo do autor Equação x ( x + 40 )= 1200 x² + 40 x – 1200 = 0

a) 1 b) 40 c) -1200 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 40 )² - 4.1.(-1200) ∆= 1600 + 4800 ∆= 6400

x’= - 2 ± 2 x’= -40+ 80 2

x + 40 cm x

1200 cm²

60 cm

20 cm

x’ = 40 2 x’ = 20 x”= -40 – 80 2 x”= -120 2 x” = - 60

Então o número procurado é 20

Um lado é x = 20

O outro lado é x + 40 = 20 + 40 = 60

S = { 20 e 60}

3- Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você

vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?

1 x 1 = 1 – 14 = -13 5 x 5 = 25 – 14 = 11

2 x 2 = 4 – 14 = -10 6 x 6 = 36 – 14 = 22

3 x 3 = 9 – 14 = -6 7 x 7 = 49 – 14 = 35

4 x 4 = 16 – 14 = 2

Ao fazer vários cálculos, percebe-se que o resultado pretendido é 7. A essa altura já

se podem explorar as dificuldades encontradas nesses exercícios e fazer vários

questionamentos: Já pensou se o número procurado fosse muito grande, como você

resolveria? Será que existem outras formas de calcular? Como os primeiros povos faziam

para calcular problemas semelhantes?

x. ( x ) – 14 = 5x x² - 5x – 14 = 0

a)1 b)-5 c)-14 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( -5 )² - 4.1.(-14) ∆= 25 + 56 ∆= 81

x’= - 2 ± 2 x’= +5+ 9 2 x’ = 14 2

x’ = 7 x”= + 5 – 9 2 x”= - 4 2 x” = - 2

Então o número procurado é 7. S = { 7 }

4- Este retângulo tem 14 cm² de área e seus lados medem, respectivamente, x e x + 5.

Quais são as medidas dos seus lados?


Os lados procurados nesse retângulo em que a área é 14 cm² podem ser os seguintes:

1 cm e 14 cm 2 cm e 7 cm

Analisando os resultados, percebe-se o seguinte:

O único resultado em que a condição de um dos lados ser 5 cm maior que o outro é o

valor de 2 e 7.

Equação x ( x + 5 )= 14 x² + 5 x – 14 = 0 a = 1 b = 5 c = -14 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 5 )² - 4.1.(-14) ∆= 25 + 56

x’= - 2± 2 x’= -5+ 9 2 x’ = 4 2 x’ = 2

x + 5 cm

x

x”= -5 – 9 2 x”= -14 2 x” = - 7

Então o número procurado é 2.

Um lado é x = 2

o outro é x + 5 = 2 + 5 = 7

S = { 2 e 7}

5- A área de um losango é de 40 m² e uma diagonal supera a outra em 2 m. Quais são as

medidas dessas diagonais. Quanto mede o lado do losango?


Com essa atividade o professor pode explorar a área do triângulo retângulo, tendo

em mente que uma é a metade da outra, pode ser explorado também que quando um

número é dividido por 2, encontro a sua metade, que é uma dúvida de grande parte dos

nossos estudantes e para encontrar a área desse losango, explicar o que é uma diagonal.

Para calcular as diagonais podemos partir do princípio de que área do losango é 40

m, sendo que a área total do retângulo é 80 m2 e que uma supera a outra em 2 m. Então

temos a seguintes medidas:

1 m x 3 m 2 m e 4 m 3 m e 5 m 4 m e 6 m

5 m x 7 m 6 m e 8 m 7 m e 9 m 8 m e 10 m

Dos resultados acima, o único que satisfaz o critério que diz que uma diagonal supera

o outra em 2 m para que a área total do retângulo seja 80 m² é o que sustenta que elas

meçam 8 m e 10 m.

Assim uma diagonal possui 8 m e, a outra, 2 m a mais, portanto 10 m.

x + 2

x

Equação x ( x + 2 ) = 40 2 x² + 2 x = 80 x² + 2x – 80 = 0

a) 1 b)2 c) -80 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 2 )² - 4.1.(-80) ∆=4 + 320

x’= - 2± 2 x’= -2+ 18 2 x’ = 16 2 x’ = 8 x”= -2 – 18 2 x”= -20 2 x” = - 10

Então o número procurado é 8. Uma diagonal é x = 8. E a outra corresponde a x + 2 =

10

S = { 8 e 10}

6- Perguntando-se sobre a idade de João, ele respondeu: O quadrado de minha idade

menos o quíntuplo dela é igual a 36. Quantos anos tem o menino?

(1 . 1) – (5. 1) = 1 – 5 = -4 (6 . 6) –( 5. 6) = 36 – 30 = 6

(2 . 2) –( 5. 2) = 4 – 10 = -6 (7 . 7) – (5. 7) = 49 – 35 = 14

(3 . 3) – (5. 3) = 9 – 15 = -6 (8 . 8) –( 5. 8) = 64 – 40 = 24

(4 . 4) –( 5. 4) = 16 – 20 = -4 (9 . 9) –( 5. 9) = 81 – 45 = 36

(5 . 5) – (5. 5) = 25 –25 = 0

Observe que, nos cálculos relacionados, o único que satisfaz a exigência do exercício

é o 9, portanto o menino tem 9 anos.

Equação x² - 5x = 36 x² - 5x – 36 = 0

a) 1 b) -5 c) - 36 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 5 )² - 4.1.(-36) ∆= =25 + 144 ∆= 169

x’= - 2 ± 2 x’= + 5+ 13 2 x’ = 18 2 x’ = 9 x”= + 5 – 13 2 x”= -8 2 x” = - 4

Então o número procurado é 9 e, portanto, o menino tem 9 anos( observe que não

podemos usar números negativos quando se trata de idades).

7- A área de um retângulo é 40 m². Sabendo-se que um lado mede 6 m a mais que o

outro, determine suas medidas?

Figura 31: acervo do autor Partindo do princípio de que a área é de 40 m², temos: 1 m . 40 m 2 m . 20 m 4 m . 10 m 5 m . 8 m O resultado em que um lado supera o outro em 6 m é 4 m . 10 m. Sendo assim, a

solução é 4 e 10.

x

x + 6

40 m²

Nos problemas 6 e 7 podem ser exploradas também algumas questões, como: Se eu

subtrair 1 unidade do comprimento de modo a continuar com a mesma área, qual seria a

largura? Teria como achar um valor exato para a largura?

Lembramos que, em todas as atividades propostas, os alunos possivelmente

encontrarão várias formas de resolvê-las, cabendo ao professor explorá-las adequadamente.

Equação x ( x + 6 ) = 40 x² + 6 x = 40 x² + 6x – 40 = 0

a) 1 b) 6 c) - 40 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 6 )² - 4.1.(-40) ∆= =36 + 160 ∆= 196

x’= - 2± 2 x’= -6+ 14 2 x’ = 8 2 x’ = 4 x”= -2 – 14 2 x”= -16 2 x” = - 8

Então o número procurado é 4.

Um lado é x = 4

O outro lado é x + 6 = 4 + 6 = 10

S = { 4 e 10}

8- Determine as dimensões de um retângulo sabendo-se que sua área mede 200 cm² e

que a diferença entre seus lados é 10 cm.


x + 10

x 200 cm²

Ao fazer a resolução, podemos partir do princípio de que o retângulo tem 200 cm², então

teremos as seguintes possibilidades de áreas como soluções:

1 cm . 200 cm 2 cm . 100 cm 4 cm . 50 cm

5 cm . 40 cm 8 cm . 25 cm 10 cm . 20 cm

Entre as hipóteses de áreas apresentadas acima, a única que satisfaz a outra

exigência e que possui um lado 10 cm maior que o outro é 10 cm e 20 cm. Sendo assim, a

solução que corresponde às dimensões do retângulo apresentado é de que as medidas de

seus lados sejam 10 cm e 20 cm

Equação x ( x + 10 ) = 200 x² + 10 x = 200 x² + 10x – 200 = 0

a) 1 b) 10 c) -200 ∆= b² - 4.a.c ∆= ( 10 )² - 4.1.(-200) ∆= =100 + 800 ∆= 900

x’= - 10 ± 2 x’= -10+ 30 2 x’ = 20 2 x’ = 10 x”= -10 – 10 2 x”= -20 2 x” = - 10

Então o lado do retângulo procurado é 10 cm. Se um lado é x = 10, então o outro lado é x + 10 = 10 + 10 = 20

S = { 10 e 20}. Observação: Entre outras possibilidades de atividades a serem trabalhadas, caso haja tempo disponível, pretende-se explorar a fatoração e uma prova para o completamento de quadrados com os alunos no laboratório de informática. As atividades referem-se a aplets disponíveis no endereço http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=all&standard=all.

http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=all&standard=all

Avaliação

A avaliação dos alunos ocorrerá durante a aplicação do projeto em sala de aula, pela

observação da participação dos envolvidos, pela análise da avaliação diagnóstica que será

aplicada inicialmente e novamente aplicada posteriormente. O comprometimento dos

alunos na realização das atividades práticas, bem como na construção do material

manipulativa, também será observado e registrado por meio de relatos que serão feitos

após o desenvolvimento de cada atividade. Essas serão realizadas em grupo de 4 pessoas,

usando 4 jogos do material construído. Cada participante confeccionará um jogo, então

haverá uma quantidade de material suficiente para a execução de cada uma das tarefas

solicitadas. O objetivo dessas avaliações é que haja um intercâmbio entre os alunos, pois

apenas uma avaliação inicial e a final serão feitas individualmente, já que o objetivo é saber

o nível de conhecimento de cada um e, no final, o crescimento do aluno para

posteriormente ser postado no artigo final do PDE.

As avaliações desenvolvidas no decorrer do trabalho não serão substituídas por notas

para os alunos. Elas servirão apenas de subsídios para o desenvolvimento do trabalho de

pesquisa e, posteriormente, do artigo do professor PDE. Esse será socializado para que

outros possam se enriquecer com os erros e acertos que possivelmente ocorrerão durante o

desenvolvimento do tema em estudo.

9- REFERÊNCIAS AL-KHOWARIZMI. Disponível em: <http://www.malhatlantica.pt/mathis/arabes/Khwarizmi. htm>. Acesso em: 10 dez. 2010. BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. A matemática através dos tempos. Tradução: GOMIDE, E. F. e CASTRO, Helena. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2010.

BIANCHINI, E. Matemática, 9º ano. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2006 (Coleção Matemática). BONGIOVANNI,V.; VISSOTO, O. R.; LAUREANO, J. L. T. Matemática e vida, 8º ano. São Paulo: Ática, 2003. BONJORNO, J. R. et al. Matemática: fazendo a diferença, 9º ano. Ed. rev. São Paulo: FTD, 2006 (Coleção Fazendo a Diferença).

http://www.malhatlantica.pt/mathis/arabes/Khwa%20rizmi.htm

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BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed .Tradução: GOMIDE, E. F. 11ª reimpressão. São Paulo: Edgard Blücher, 1994. CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SHILIEMAN, A. L. Na vida dez, na escola zero. 15. ed. São Paulo: Cortez, 1998. EVES, H. Introdução à história da matemática. Tradução: DOMINGUES, H. H. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004. FRAGOSO, W. C. Equações do 2º grau: uma abordagem histórica. 2. ed. Ijuí, RS: Editora Unijuí, 1999. HOW TO SOLVE EQUATIONS. ALGEBRA TILES. Disponível em: http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=all&standard=all. Acesso em: 27 jul. 2011. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO EGITO. Disponível em: <www.ime.usp.br/~leo/ imatica/historia/egito.html>. Acesso em: 11 mar. 2011. MIORIM, M. A. et alii. Por que Bháskara?. In: Revista História & Educação Matemática, Rio Claro – SP, v.2, n.2, p. 123 – 171, jun./dez. 2001 – jan./dez. 2002. O Algeplan como um recurso didático na exploração de express ...Disponível em: www.ime.ufg.br/bienal/2006/poster/rosimeire.pdf. Acesso em 11 mar. 2011 PAPIRO DE RHIND. Disponível em: <www.authorstream.com/.../aSGuest14355-160070-pitagoras-matematica-equaes-algbricas-grupo-leibniz2797-education-ppt-powerp>. Acesso em: 18 jan. 2011. PAPIRO DE KAHUN. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/mate matica.pd>. <http://www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/Kah un.htm>. Acesso em: 10 jan. 2011. PARANÁ. SEED. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED/DEB, 2008. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/dire trizes_2009/matematica.pdf>. Acesso em: 10 dez. 2010. RIBEIRO, J. Projeto Radix. Matemática, 9° ano. São Paulo: Scipione, 2009.

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ficha para catÁlogo - operação de migração para o ... · possibilitando ações metodológicas...

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