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FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título: MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA NO ENSINO DA GEOMETRIA

Autor Laurdice Dieckel Lucietto Krielow

Escola de Atuação Escola Estadual do Campo São Valério – Ensino Fundamental

Município da escola Planalto

Núcleo Regional de Educação Francisco Beltrão

Orientador Dr. Amarildo de Vicente

Instituição de Ensino Superior UNIOESTE- CASCAVEL

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar Não

Público Alvo Estudantes da 5ª série do Ensino Fundamental

Localização

Distrito de Valério; Rua Principal S/N;

Município de Planalto; CEP 85 758 000. Apresentação:

Um dos objetivos deste material é atender as exigências do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE- 2010, na área de Matemática, que visa o desenvolvimento de metodologias de ensino capazes de melhorar o ensino aprendizagem nas escolas do Paraná. Sabe-se que o modo como a matemática vem sendo ensinada nas escolas nem sempre faz com que o aluno aprenda, e muitas vezes é motivo de críticas perante a sociedade. É função dos educadores procurarem metodologias diferenciadas para reverter tal problema. Este material pretende mostrar a aplicabilidade da matemática cotidiana no ambiente escolar, através da modelagem matemática e utilização de mídias tecnológicas. Pretende-se tornar as aulas de geometria, grandezas e medidas e tratamento da informação mais agradáveis e prazerosas com o intuito de melhorar o ensino-aprendizagem. Através de observações nas dependências da escola, pesquisas, medições, desenhos, utilização do geogebra e construção de uma maquete da quadra de esportes, espera-se levar o educando a envolver-se e participar dos trabalhos, fazendo com que ele adquira uma boa aprendizagem.

Palavras-chave Geometria; Modelagem Matemática; Ensino-aprendizagem.

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Secretaria de Estado da Educação – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – D PPE

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA NO ENSINO

DA GEOMETRIA

LAURDICE DIECKEL LUCIETTO KRIELOW

PLANALTO – PR

2011

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LAURDICE DIECKEL LUCIETTO KRIELOW

MODELAGEM MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA NO ENSINO

DA GEOMETRIA

Produção Didático-Pedagógica apresentada como requisito parcial de avaliação de ação prevista no Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, no Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná - PDE. Orientador: Dr. Amarildo de Vicente

PLANALTO – PR

2011

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DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Laurdice Dieckel Lucietto Krielow

Área PDE: Matemática

NRE: Francisco Beltrão

Professor orientador: Dr. Amarildo de Vicente

IES vinculada: UNIOESTE – Cascavel

Escola de Implementação: Escola Estadual Do Campo São Valério – Ensino

Fundamental

Público objeto da intervenção: Estudantes da 5ª série – turma única

TEMA DE ESTUDO

Modelagem Matemática

TÍTULO

Modelagem Matemática como Metodologia para o Ensino da Geometria

OBJETIVO GERAL

Aprimorar as práticas pedagógicas para o Ensino Fundamental, através do

emprego da Modelagem matemática e de Mídias Tecnológicas, a fim de tornar o

estudo mais instigante e atraente, fazendo-se o elo entre o conhecimento científico e

o cotidiano, possibilitando aos alunos a compreensão da Matemática.

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INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem por objetivo fazer a implementação do projeto de

intervenção pedagógica com o intuito de melhorar o ensino-aprendizagem dos

alunos do ensino fundamental na disciplina de Matemática, especialmente o

conteúdo de Geometria. Sabe-se que apesar de ser um conteúdo de muita

importância, o seu estudo muitas vezes é negligenciado, talvez por falta de tempo,

ou por estar no final do livro didático, ficando quase sempre em segundo plano.

A Geometria nos oferece várias maneiras de aplicação dentro do cotidiano.

Ao olharmos ao nosso redor aparecem as mais variadas formas e a sua

aplicabilidade é indispensável, pois está presente na resolução de diversos

problemas do dia a dia.

Para atender as demandas do plano de trabalho do PDE, considerando o

tema escolhido para elaboração do Projeto de Intervenção Pedagógica, optou-se

pela elaboração de uma Unidade Didática, que será constituída de textos e

sugestões de atividades com relação ao tema estudado no projeto.

A Unidade Didática será utilizada durante a implementação da intervenção

pedagógica junto aos alunos, e ainda poderá ser utilizada por alunos ou professores

de matemática como auxilio em suas práticas diárias.

A implementação da Intervenção Pedagógica será a partir do mês de agosto

de 2011 na 5ª série da Escola Estadual São Valério – Ensino Fundamental.

O trabalho será efetuado com a aplicação da Modelagem Matemática que é

uma tendência assinalada nas Diretrizes Curriculares Paranaenses (2008), onde

está escrito:

O trabalho pedagógico com a modelagem matemática possibilita a intervenção do estudante nos problemas reais do meio social e cultural em que vive, por isso, contribui para sua formação crítica. Partindo de uma situação prática e seus questionamentos, o aluno poderá encontrar modelos matemáticos que respondam essas questões (PARANÁ, 2008, p. 65)

Para Biembengut e Hein (2005, p.12) modelo matemático é: “um conjunto de

símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um

fenômeno em questão ou problema de situação real.”

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Acredita-se ser a Modelagem Matemática um caminho para melhoria do

ensino-aprendizagem nas escolas de ensino fundamental, médio e também na

graduação superior.

Sabe-se que vem ganhando espaço no Brasil e no exterior devido a grande

maioria de adeptos que a estão utilizando com sucesso em diversas escolas para

melhorar suas práticas pedagógicas, melhorando assim o ensino aprendizagem.

Segundo Bassanezi (2004) a Modelagem Matemática é um processo que liga

teoria e prática, instiga seus usuários para uma melhor compreensão da realidade,

buscando caminhos para transformá-la.

“Uma modelagem eficiente permite fazer previsão, tomar decisões, explicar e

entender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas

mudanças” (BASSANEZI, 2004, p.177).

Para Burak (2004, p. 02-03) devemos considerar os aspectos importantes que

motivam a utilização da modelagem matemática em sala de aula:

• “Maior interesse do(s) grupo(s)”.

• “Interação maior no processo de ensino e de aprendizagem”.

• “Demonstração de uma forma diferenciada de conceber a educação e, em

conseqüência, a adoção de uma nova postura do professor”.

O simples ato de o estudante escolher o assunto ou trabalhar aquilo que vem

a ser de seu interesse faz com que ele interaja, participe e aprenda. O grupo se

sente responsável pelo processo ensino-aprendizagem, apresentando assim um

maior comprometimento. O professor é participante do processo, trabalhando como

mediador. Ele fica mais próximo do aluno e os alunos mais próximos entre si,

fazendo com que o clima se torne mais amigável, e o trabalho mais agradável.

Nas Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do estado

do Paraná, escrita em 2008 está registrado que “no contexto da Educação

Matemática, os ambientes gerados por aplicativos informáticos dinamizam os

conteúdos curriculares e potencializam o processo pedagógico” (PARANÁ, 2008,

p.65).

Nessa concepção a matemática trabalhada na escola terá maior significado e

sentido para a vida cotidiana, pois os “lucros” (no sentido de bons resultados) virão

consequentemente, de maneira a estimular o educando a participar do processo

ensino-aprendizagem ativamente e não um mero receptor de conhecimento.

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Acredita-se que esta proposta possa contribuir para um melhor

aproveitamento das aulas de matemática, tendo como consequência um

aprendizado significativo para a vida do estudante. Desta forma ele será capaz de

atuar na sociedade como participante do processo e transformador da realidade

melhorando o meio em que vive, pois cria-se com isso um ser pensante, participativo

e inovador.

CONTEÚDOS

CONTEÚDO ESTRUTURANTE: GEOMETRIAS, GRANDEZAS E MEDIDAS E

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

CONTEÚDOS ESPECÍFICOS:

� Sistemas de medidas;

� Medidas de comprimento;

� Unidades de medidas de comprimento;

� Transformação de unidades de medidas de comprimento;

� Perímetro.

� Medidas de superfície;

� Transformação de unidades de medidas de superfície;

� Medidas agrárias;

� Cálculos de áreas (triângulos, quadriláteros e círculos);

� Medidas de volume;

� Unidades de medidas de volume;

� Transformação de unidades de medidas de volume;

� Cálculo do volume do bloco retangular e do cubo;

� Construção e interpretação de Gráficos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

� Aprimorar as práticas pedagógicas, com o intuito de melhorar o ensino-

aprendizagem.

� Desenvolver métodos diferenciados para ensinar matemática.

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� Despertar nos alunos o gosto pela matemática através da Modelagem

Matemática.

� Priorizar os conteúdos matemáticos necessários para a solução dos

problemas que surgem no dia-a-dia.

� Utilizar de maneira inteligente e eficaz os recursos tecnológicos

disponíveis.

� Propor uma abordagem diferenciada para ensino de Geometria na

intenção da melhoria das aulas de matemática.

� Reconhecer que o processo de medir implica a escolha de uma unidade

padronizada que tenha a mesma natureza da grandeza a ser medida.

� Transformar unidades de medida.

� Conhecer as unidades padronizadas de medidas de comprimento.

� Conceituar área como medida de superfície e volume como medida de

capacidade.

� Compreender como a medida de comprimento, superfície e volume variam

de acordo com a unidade de medida utilizada.

� Conhecer as unidades padronizadas de comprimento, área e volume,

saber utilizá-las convenientemente.

� Resolver situações problemas envolvendo perímetro, área e volume.

� Construir e interpretar os diversos tipos de gráficos.

MATERIAIS

Caderno, lápis, borracha, papel milimetrado, régua, fita métrica, papel cartão,

Jornal, cartolina, papelão, fita adesiva, cola, barbante e material dourado, livro

didático.

Atividade 1- Diagnóstico da turma

a) Você já ouviu falar de medidas? Exemplifique.

b) Lembra de alguma medida de comprimento?

c) Sabe qual é a distância da sua casa até a escola?

d) Sabe o que é polígono?

e) E o que é perímetro?

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f) Seria capaz de dizer como se encontra o perímetro de um polígono?

g) Já ouviu falar de escala? Explique.

h) Já ouviu falar em planta baixa?

i) Que instrumento de medida usaria para descobrir quanta tinta será

necessária para pintar sua casa?

j) E para saber quanto azulejo comprar para fazer o piso do banheiro ou da

cozinha o que deve ser feito primeiro?

k) Conhece as medidas de superfície? Pode citar um exemplo?

l) Já ouviu falar de medir a terra? Sabe como medir?

m) Que unidade de medida se utiliza para medir a terra?

n) Já ouviu falar em medir madeira?

o) Sabe como compramos areia?

p) Você Percebeu a utilidade da Matemática no nosso dia-a-dia?

UM POUCO DE HISTÓRIA

GEOMETRIA

A palavra GEOMETRIA vem do grego, Geo= terra e Metria = medida, ou seja,

“medir terra”. Está diretamente ligada ao sistema de arrecadação de impostos das

áreas rurais do antigo Egito, que a cada ano, as cheias do rio Nilo depositavam

lamas muito ricas em nutrientes fazendo com que essas terras fossem as mais

produtivas do mundo antigo. Porém desapareciam as marcas das terras, com isso

haviam conflitos entre proprietários, pois desapareciam as divisas entre

propriedades e novamente havia a necessidade de medir, remarcar. Foi devido a

isso que os antigos faraós nomearam novos funcionários, chamados agrimensores

para facilitar o serviço, avaliar os prejuízos causados pelas cheias e recolocar as

fronteiras. E assim surgiu este conteúdo “que é um ramo da matemática que estuda

as formas”. Utilizado desde os tempos antigos até hoje como essencial dentro da

Matemática e na vida do ser humano. Por ser útil e especialmente necessário é que

devemos dar a fundamental importância e mostrar sua aplicabilidade no cotidiano.

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Atividade 2:

Nesta atividade os alunos assistirão a um vídeo sobre geometria “Introdução

à Geometria” no site: p://www.slideshare.net/ferncerveira/historia-da-geometria.

Após deverão escrever um pequeno texto sobre o vídeo.

MEDIDAS

Ao olharmos ao nosso redor observamos que a Matemática está presente em

tudo, ou quase tudo. Quando precisamos construir ou reformar casas, galpões,

escolas, entre outros, nos deparamos com várias situações onde a Matemática é

necessária e indispensável, especialmente a Geometria, pois precisamos: planejar,

desenhar, medir, e calcular para depois construir ou reformar. Sempre que medimos

comparamos com alguma coisa tomada como unidade de medida.

COMO O HOMEM APRENDEU A MEDIR?

É evidente que as medidas não surgiram da noite para o dia. Assim como a

Matemática, foi devido à necessidade do homem que elas apareceram.

Antigamente o homem usava partes do seu corpo, como passos, quando

necessitava medir coisas maiores, lavouras, por exemplo.

Figura 1 – Passo Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/.../imagens/4matematica/6_passo.jpg

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Figura 2 – Pé Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/.../imagens/4matematica/6_passo.jpg

Usava o pé para medir coisas menores, como uma pele de urso; para medir

coisas compridas, o comprimento de uma tora (o tronco da árvore quando derrubada

para utilizá-la na construção de casas, móveis ou mesmo para fazer lenha), por

exemplo, usava o cúbito ou côvado , que é a distância entre o cotovelo e as pontas

dos dedos; quando necessitava medir coisas muito pequenas usava a palma da

mão, medida que se chamava palmo.

Figura 3 – Palmo Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/.../imagens/4matematica/6_passo.jpg

Para coisas ainda menores, utilizava a largura do dedo, que se chamava

dígito .

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E foi assim por muitos e muitos anos, até começar a aparecer dificuldades.

Muitos problemas surgiam, pois essas medidas variam de uma pessoa para outra ou

às vezes, media-se com medidas diferentes: um usava o passo o outro usava a

jarda . Esta era originalmente a medida do cinturão masculino e foi no século XII

fixada pelo rei Henrique I da Inglaterra como a distância entre seu nariz e o polegar

de seu braço estendido, ver http://pt.wikipedia.org/wiki/Jarda. Uma unidade

importante usada ainda hoje aqui no Brasil é a polegada .

Figura 4 – Polegada Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/.../imagens/4matematica/6_passo.jpg

Esta medida encontra-se na tela dos televisores, na diagonal, e foi criada pelo

rei Eduardo I, da Inglaterra, no século XVI constituindo a largura entre a base da

unha e a ponta do seu dedo. Hoje está relacionada com o nosso sistema de

medidas, que cerca de um século atrás foi criado para facilitar as nossas vidas. Uma

polegada vale aproximadamente 2,54 centímetros que é uma média do polegar de

um adulto.

Sabemos que essas medidas são bastante utilizadas nos países de língua

inglesa, principalmente na Inglaterra, pois formam o sistema inglês de medidas. No

Brasil ainda hoje algumas dessas medidas também são utilizadas. Por exemplo, nos

canos de PVC o diâmetro está em polegada, os televisores são vendidos pelo

tamanho da tela, que é construída em polegadas. O diâmetro dos pregos, bitolas de

ferro de construção, chaves, entre outras, também costuma ser medidas em

polegadas.

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MAS AFINAL O QUE É MEDIR?

Podemos dizer que medir é comparar. Sempre que medimos comparamos

com alguma coisa já medida, ou estabelecida de mesma espécie, chamada de

unidade padrão.

Atividade 3:

a) Para esta atividade será feito grupos de 2 alunos.

Cada aluno, utilizando o seu palmo, vai medir a sua mesa de escrever e a do

colega e também a lousa. Devem ainda anotar esses dados em uma tabela.

Após isso será feito um debate sobre os resultados.

QUAL É O NOSSO SISTEMA DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO?

O sistema de medidas adotado no Brasil é o Sistema Métrico Decimal, tendo

o metro como unidade padrão para medir comprimentos. É definido como “a décima

milionésima parte da quarta parte do meridiano terrestre” Essa medida está

assinalada sobre uma barra metálica que se encontra no Museu Internacional de

Pesos e Medidas, na cidade de Sèvres, na França. Esse sistema foi criado na

França e adotado por D. Pedro II no ano de 1862, bem como sistemas para medir

superfícies, capacidades e pesos. (Atual Sistema Internacional de Unidades).

A partir do metro originaram-se seus múltiplos e submúltiplos, os quais são

também utilizados nos diferentes casos de medidas, dependendo da distância.

Atividade 4:

a) Utilizando barbante os alunos vão recortar um pedaço com a medida de um

metro.

MEDIDAS DE COMPRIMENTO

Colocamos, a seguir, o quadro das unidades de comprimento, os respectivos

símbolos e os valores correspondentes na unidade metro:

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Múltiplos Unidades Submúltiplos

Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

km hm dam M dm cm mm

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Podemos observar que cada unidade de comprimento contém 10 vezes a

unidade seguinte. Logo o sistema métrico é um sistema decimal de unidades de

medidas.

Na tabela anterior, para fazer a transformação de uma unidade fixada, para

outra imediatamente à direita, deve-se dividi-la por 10. De modo análogo, para fazer

a transformação de uma unidade fixada, para outra imediatamente à esquerda,

deve-se multiplicá-la por 10.

Para os casos em que se deseja transformar uma unidade em qualquer outra

unidade imediatamente a direita deve-se multiplicar por 10. Assim sendo, nos casos

em que se deseja obter uma unidade dada, em duas unidades seguintes, é preciso

multiplicá-la por 10x10. No exemplo, 1m deve ser multiplicado por 10x10x10 para

que se obtenha o mesmo comprimento, agora dado na unidade mm.

Quando se quer fazer a transformação para uma unidade em qualquer outra

unidade imediatamente da esquerda deve-se dividir por 10. Do mesmo, para

transformar uma certa unidade, em três unidades à esquerda é necessário dividi-la

por 1 000. No exemplo 2 000 mm deve ser dividido por 1 000 para que se obtenha o

mesmo comprimento, agora na unidade m.

Observe na tabela abaixo:


Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

km hm dam M dm cm mm

0,001km 0,01hm 0,1dam 1m 10dm 100cm 1000mm

Nota-se que:

1m = 10dm = 100 cm = 1000 mm;

1m = 0,1dam = 0,01hm = 0,001km.

Atividade 5:

Para fazer o aquecimento da turma de 5ª série o professor de Educação

Física fez cada um dos 16 alunos percorrer 6 voltas ao redor da quadra de futebol

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de salão. Sabendo-se que a quadra tem 16,3 metros de largura e 29,85 metros de

comprimento responda:

a) Quantos metros cada aluno percorreu?

b) Quantos metros os alunos da 5ª série percorreram ao todo?

c) Quantos centímetros cada aluno percorreu?

d) Quantos quilômetros a 5ª série percorreram ao todo?

e) Expresse essa medida também em decímetro.

f) Um dos alunos teve que parar no meio do percurso para descansar.

Quantos metros ele já havia percorrido? E quantos centímetros?

Escreva essa medida também em quilômetros.

g) Quantos decâmetros cada aluno percorreu?

Na prática a unidade mais usada para medir grandes distâncias é o

quilômetro e para medir pequenas distâncias o centímetro e o milímetro.

Para fazer a comparação de unidades é fácil, desde que as medidas estejam

em uma mesma unidade. Por isso devemos saber transformá-las sempre que

necessário e para facilitar a transformação vamos construir a tabela de medidas

abaixo, onde está colocado 1m e suas respectivas transformações.


Quilômetro

(km)

Hectômetro

(hm)

Decâmetro

(dam)

Metro

(m)

Decímetro

(dm)

Centímetro

(cm)

Milímetro

(mm)

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

0, 1

0, 0 1

0, 0 0 1

Observando a tabela podemos concluir que:

1m = 10dm = 100cm = 1000mm

E ainda:

1m = 0,1dam = 0,01hm = 0,001km.

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� Para entendermos melhor as transformações devemos saber o que

observamos acima, ou seja, 1m = 10dm = 100cm = 1000mm = 0,1dam =

0,01hm = 0,001km.

� E para fazer a utilização da tabela é necessário saber que quando

utilizamos à tabela de conversão de unidades. Devemos colocar o último

algarismo inteiro do número a ser transformado na unidade de medida que

lemos.

� Em cada unidade de medida vai apenas um algarismo, exceto no

quilômetro ou milímetro, por ser o primeiro e último da tabela.

� Quando transformamos unidades de medidas devemos primeiro colocar a

unidade de medida no lugar certo e após, colocar a vírgula ou colocar

zeros onde for necessário como nos exemplos abaixo.


Quilômetro

(km)

Hectômetro

(hm)

Decâmetro

(dam)

Metro

(m)

Decímetro

(dm)

Centímetro

(cm)

Milímetro

(mm)

2 5

2 5 0

45

45 0

8 9 5

8 9, 5

5 5 8, 9

25m = 250dm; 45km = 450hm ; 895dm = 89,5m e 558,9dam = 5589m.

Atividade 6:

Esta atividade será feita somente na lousa.

Cada aluno receberá um cartão com medidas de comprimento e com o

quadro de medidas já exposto na lousa deverão responder a pergunta, colocando a

medida no quadro e fazendo as transformações necessárias.

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(Exemplo de cartão: Coloque no quadro das unidades uma distância qualquer

em km e transforme-a em m.)

FIGURA GEOMÉTRICA

Podemos conceituar figura geométrica como ”um conjunto de pontos”.

POLÍGONOS

São figuras geométricas fechadas formadas por segmentos de reta.

Os polígonos estão sempre presentes no nosso dia a dia. Ao olharmos ao

nosso redor, nas paredes das construções de casas, prédios, muros, galpões,

ginásios de esportes, pavilhões, enfim, estão nos mais diversos lugares e nós

necessitamos nos aperfeiçoar, conhecer, para não ficarmos parados no tempo, e

também superar as dificuldades do nosso cotidiano.

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CLASSIFICACAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE L ADOS:

NÚMERO DE LADOS NOME DO POLIGONO

Três Triângulo

Quatro Quadrilátero

Cinco Pentágono

Seis Hexágono

Sete Heptágono

Oito Octógono

Nove Eneágono

Dez Decágono

Onze Undecágono

Doze Dodecágono

Quinze Pentadecágono

Vinte Icoságono

POLÍGONO REGULAR

É o polígono que tem todos os lados com a mesma medida.

TRIÂNGULOS

São polígonos de três lados. É bastante utilizado nos telhados das

construções em geral por ser um polígono forte, devido a sua rigidez.

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QUADRILÁTEROS

Os quadriláteros aparecem com muita frequência no nosso cotidiano.

São polígonos que tem 4 lados.

São polígonos especiais com algumas características próprias por isso de

acordo com suas características tem nomes especiais.

QUADRILÁTEROS

QUADRILÁTERO

QUALQUER

LOSANGO é um

paralelogramo com

todos os lados de

mesma medida.

PARALELOGRAMO

é um quadrilátero

com os lados

opostos paralelos e

com o mesmo

comprimento.

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QUADRADO é um

paralelogramo com

os lados de mesma

medida e os quatro

ângulos retos

RETÂNGULO é um

paralelogramo com

os quatro ângulos

retos.

TRAPÉZIO é um

quadrilátero com

um par de lados

paralelos.

RAZÃO

Observe o número de estudantes da 5ª série da Escola Estadual São Valério

no ano de 2011: são 3 meninas e 13 meninos. Quando dividimos o total de meninas

pelo total de meninos dizemos que estamos calculando a razão entre o número de

meninas para o número de meninos. Nem sempre essa divisão é exata, então pode

ser escrita na forma de fração, mas não se lê como uma fração.

No exemplo do número de alunos da 5ª série, 3/13, lê-se: a razão é de 3 para

13.

Então dizemos que razão é uma divisão entre duas grandezas tomadas na

mesma unidade.

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ESCALA

É a razão entre a medida do comprimento no desenho e o comprimento real.

Atividade 7:

No laboratório de informática você e seu colega vão pesquisar nos sites:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-elem/geometr.htm

http://www.knoow.net/ciencterravida/geografia/escala.htm

http://www.marcosbandeira.arq.br/conteudo_tre/plabaixa.htm

http://divulgarciencia.com/categoria/diagonais-de-um-poligono/

a) Figura Geométrica.

b) Polígono.

c) Diagonais.

d) Escala.

e) Utilizando o geogebra desenhe os polígonos classificados na tabela da

página 17.

PERÍMETRO

Entender o que é perímetro é de fundamental importância. Precisamos dele

ao fazer um cercado para colocar o gado, na confecção de um jardim, para construir

uma horta, para construir um murro ou para saber a quantidade de rodapés que será

necessário comprar para colocar em uma construção. Muitas vezes calcula-se o

perímetro sem saber que o calculou.

Quando falamos em perímetro, estamos falando de comprimento, pois o

perímetro de um polígono é a medida do comprimento ao redor desse polígono .

Para encontrá-lo devem-se somar todas as medidas dos lados desse polígono.

Se o objetivo é encontrar o perímetro de uma circunferência parte-se da razão C/d =

π e substituindo C/2r = π, tem-se a igualdade:

C/d = C/2r = π; então a fórmula é C = 2πr ou ainda C = d.π, onde:

• C é o comprimento ou perímetro da circunferência

• O “r” é o raio da circunferência

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• d é o diâmetro (medida que sai de um ponto da circunferência passando

pelo centro, até outro ponto da circunferência).

• π ≡ 3,14159265353589793...

Esta medida que é encontrada a partir do comprimento da circunferência

dividido pelo seu diâmetro é representada pela letra grega π e se lê “pi”. É um

número irracional, pois não pode ser representado por uma fração, normalmente

usa-se 3,14 na aproximação de centésimos sendo um valor aproximado com duas

casas decimais.

Afinal o que é circunferência?

É o conjunto de todos os pontos de um plano, estes pontos estão a uma

determinada distância do centro da circunferência, e essa distância denomina-se

raio.

Atividade 8:

Uma sala de aula tem 7m de comprimento e 7m de largura.

a) Quantos metros de rodapé foram utilizados, sabendo-se que a porta tem

80 cm de largura e não precisa de rodapé?

b) Que figura geométrica a sala representa?

c) Você sabe o que é planta baixa?

d) Faça uma pesquisa sobre o assunto, use o site:

http://plantabaixa.nireblog.com

e) Se na escola tem mais uma sala com as mesmas medidas da anterior,

quantos metros de rodapé foram utilizados?

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Atividade 9:

Meça todas as dependências do prédio da escola.

a) Faça uma tabela colocando os dados obtidos utilizando o metro como

unidade de medida.

b) Escreva esses dados novamente, mas agora colocando como unidade de

medida o centímetro.

c) Faça o desenho da planta baixa da ala em que você estuda utilizando a

escala 1/200. Como referência utilize o livro de Bordeax et al. (1999).

d) Que polígono sua sala representa? Tem sala que representa outro

polígono? E a planta toda que figura representa?

e) Calcule o perímetro da escola.

f) Faça o desenho da planta baixa da sua sala de aula.

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

As unidades de medidas de superfícies são unidades quadradas, sendo que o

metro quadrado é a unidade padrão de medidas de superfícies. Podemos

confeccioná-lo fazendo um quadrado de um metro de lado.

Atividade 10:

Para está atividade serão feitos 5 grupos.

Cada grupo, utilizando papel cartão, confeccionará 20 quadrados de 10

centímetros de lado.

Após a confecção, a turma toda montará um painel com os quadrados

dispostos em 10 colunas de 10 quadrados formando assim, o metro quadrado.

O quadro de unidades é semelhante ao quadro já estudado para medir

comprimentos, veja:


Quilômetro

Quadrado

Hectômetro

quadrado

Decâmetro

quadrado

Metro

quadrado

Decímetro

quadrado

Centímetro

quadrado

Milímetro

quadrado

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

1 000 000 m² 10 000 m² 100 m² 1m² 0,01 m² 0,0001m² 0,000001m²

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É importante observar que cada unidade quadrada é 100 vezes maior que a

unidade imediatamente inferior. E para fazer transformações deve-se efetuar

multiplicações ou divisões por 100, 10 000, 1 000 000,100 000 000, 10 000 000 000

ou 1000 000 000 000, dependendo se a unidade for maior ou menor do que aquela

que se quer transformar.

Quando a transformação for para uma unidade maior divide-se e quando esta

for para uma unidade menor multiplica-se.

Atividade 11:

Faça as transformações necessárias utilizando multiplicações e divisões:

a) A propriedade onde mora seu José tem uma superfície de 800 m², escreva

essa medida em dm², cm² e mm².

b) A área do município de Planalto é 344,688 km², escreva essa medida em

m², dm², cm² e mm². Qual das medidas você acha mais cabível para

representar a medida da superfície do município de Planalto, Paraná?

c) O estado do Paraná tem uma área de 199.709 km², expresse essa medida

em dm² e m². Qual dessas medidas é melhor para representar a área do

Paraná?

d) O Brasil possui uma superfície de 8.514.876 km², escreva essa medida

em, m² e hm².

Através do uso da tabela é mais prático efetuar essas transformações, veja:


km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

2 5

2 5 0 0

2 5 0 0 0 0

2 5 0 0 0 0 0 0

Ou

0, 2 5

0, 0 0 2 5

0, 0 0 0 0 2 5

24

Observando as transformações feitas na tabela acima, percebe-se que na

transformação para uma unidade da direita deve-se colocar zeros até preencher

todas as casas decimais e parar naquela com a qual se quer efetuar a

transformação. Percebe-se que nesse caso cada unidade é 100 vezes maior que a

imediatamente inferior, por isso dois espaços para cada unidade medida de

superfície.

Quando se transforma para uma unidade da esquerda deve-se além de

colocar zeros, colocar a vírgula na unidade que se quer chegar.

Note que colocando zeros a direita ou esquerda, estamos automaticamente

multiplicando ou dividindo por:

100, 10 000, 1 000 000, 100 000 000, 10 000 000 000 ou 1000 000 000 000.

Então observamos que:

25 m² = 2 500 dm² = 250 000 cm² = 25 000 000 mm² e ainda

25 m² = 0,25 m² = 0,0025 m² = 0,000025 m 2.

Atividade 12:

Esta atividade será feita somente na lousa.

Cada aluno receberá um cartão com medidas de superfície, e com o quadro

de medidas já exposto na lousa deverão responder a pergunta, colocando a medida

de superfície no quadro e fazendo as transformações necessárias.

CALCULANDO ÁREAS

Saber calcular a medida de uma superfície é fundamental no dia a dia das

pessoas. Nas construções de casas; galpões; seleiros; nas lavouras, para saber a

quantidade de sementes necessária para o plantio; ou até mesmo na construção de

um belo canteiro de flores necessita-se do cálculo de áreas.

Área de uma região plana é a medida da superfície delimitada por uma figura

geométrica. Para medi-la utiliza-se as unidades de medidas de superfície.

25

Atividade 13:

ÁREA DO QUADRADO

Vamos ajudar seu Pedro que precisa saber a medida da superfície de uma

cozinha quadrada, com quatro metros de lado. No momento ele pretende colocar

lajotas no chão e não sabe a quantidade de lajotas que precisa comprar.

Primeiro vamos fazer o desenho da cozinha utilizando a escala 1/100 no

papel quadriculado.

Observando o desenho podemos contar a quantidade de quadradinhos na

superfície do desenho que representa a cozinha. Como cada cm do desenho

representa 100 cm reais, ou seja, um metro, cada quadradinho representa um m².

Logo a quantidade total de quadradinhos é a quantidade total de metros quadrados,

ou seja, 16 m². Então serão necessários 16 m² de lajotas.

Desenhe outros quadrados utilizando o papel quadriculado e descubra suas

áreas.

Observando os desenhos que você fez, pense agora em escrever uma

maneira de calcular a área dessa cozinha sem precisar fazer o desenho.

ÁREA DO QUADRADO

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO QUADRADO:

A = lado. lado

A = a.a

A = a²

26

ÁREA DO RETÂNGULO

Atividade 14:

Seu Pedro está em outra encrenca, pretende azulejar seu banheiro, que tem

superfícies retangulares com 2,5 metros de comprimento e 1,5 metros de largura, e

ainda tem as paredes com 2,8 metros de altura, quer colocar lajotas em todas as

paredes e assoalho, como fazer?

Para ajudá-lo vamos começar com o desenho, utilizando papel quadriculado

com 1 cm de lado cada quadradinho. Logo, a escala que você vai utilizar será de

1/100.

a) Desenhe todas as superfícies do banheiro.

b) Descubra quantos m² de lajotas vai precisar comprar.

c) Se cada m² custa aproximadamente R$ 10,50. Quanto ele vai gastar?

d) O pedreiro fez o serviço por R$ 60,00 ao dia, necessitou de 2,5 dias.

Quanto recebeu pelo serviço?

ÁREA DO RETÂNGULO

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO RETÂNGULO:

A = base.altura

A = a.b

Atividade 15:

Utilizando a tabela obtida na atividade 9 calcule a área de todas as

dependências da escola.

27

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Atividade 16:

No papel quadriculado com 1 cm de lado em cada quadradinho, desenhe um

paralelogramo, com base medindo 5 cm e altura 3 cm.

a) Fazendo a contagem da quantidade de quadrados escreva a área do

paralelogramo em centímetros quadrados.

b) Se cada quadradinho tivesse 1 metro de lado qual seria a área do

paralelogramo?

ÁREA DO PARALELOGRAMO

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO PARALELOGRAMO:

A = base.altura

A = b.h Observando o desenho acima, a base do paralelogramo está representada

por b e a altura por h, então a fórmula para encontrar a área de qualquer

paralelogramo está a baixo.

Atividade 17:

Copie os desenhos abaixo e calcule a área dos paralelogramos, faça-os no

papel milimetrado com o uso de uma escala e utilizando a fórmula apresentada.

28

a)

b)

ÁREA DO LOSANGO

Atividade 18:


losango com diagonais medindo 8 centímetros e 4 centímetros.


losango em centímetros quadrados.

b) Expresse essa medida em mm2.

No desenho abaixo representado está um losango onde “D” representa a

diagonal maior e “d” representa a diagonal menor, e “A” representa a medida da

área ou superfície do losango.

ÁREA DO LOSANGO

29

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO LOSANGO:

A = (diagonal maior).(diagonal menor):2

A = D.d:2

Atividade 19:

Copie os desenhos abaixo e calcule a área dos losangos, faça-os no papel

milimetrado com o uso de uma escala e utilizando a fórmula apresentada.

Atividade 20:


trapézio com bases medindo 6 cm e 3 cm e altura de 4 cm.


trapézio em cm2.

b) Expresse essa medida em dm2.

30

No desenho abaixo está representado o trapézio, onde “B” representa a

medida da base maior, “b” representa a medida da base menor, “h” representa a

medida da altura e “A” representa a medida da área ou superfície do trapézio. Logo

a expressão abaixo é a formula para calcular a medida da superfície do trapézio.

ÁREA DO TRAPÉZIO

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO TRAPÉZIO:

A =(Base maior + base menor).altura:2

A = (B + b).h:2

Atividade 21:

Copie os desenhos abaixo e calcule a área dos trapézios, faça-os no papel


B

31

ÁREA DO TRIÂNGULO

Atividade 22:


triângulo com base medindo 6 cm e altura de 4 cm.


triângulo em centímetros quadrados.

b) Expresse essa medida em mm2.

No desenho abaixo representado está um triângulo onde a base está

representada por b, a altura por h e “A” representa a medida da área ou superfície

do mesmo. Então a fórmula para encontrar a área de qualquer triangulo está a baixo

da figura.

ÁREA DO TRIÂNGULO

FÓRMULA PARA ENCONTRAR A ÁREA DO TRIÂNGULO:

A = ( base.altura) : 2

A = (b.h) : 2

Atividade 23:

Copie os desenhos abaixo e calcule a área dos triângulos, faça-os no papel


32

a) b)

Atividade 24:

A horta esta cercada com tela de 1 metro de altura, sabendo-se que a horta

tem 12 m de comprimento e 10 m de largura, sabendo também que o portão é dessa

mesma tela pergunta-se:

a) Que polígono a horta representa?

b) Quantos metros de tela foram utilizados? Como essa medida é chamada?

c) Qual é a área da horta?

d) Se mudássemos o comprimento para 15 m e a largura para 8 m, a

quantidade de tela utilizada seria a mesma? E a quantidade a ser

plantada?

e) Vamos brincar com as medidas da horta! Faça uma tabela com várias

medidas diferente, procurando utilizar sempre a mesma quantidade de

tela, mexendo no comprimento e largura.

f) Desenhe cada nova horta que você criou utilizando uma escala.

g) Para cada nova medida calcule a área.

h) A quantidade a ser plantada é sempre a mesma?

i) Faça a construção do gráfico de colunas e do gráfico de barras para

representar estas novas hortas criadas por você, representando os novos

comprimentos e larguras e a nova área da horta. (Para esta atividade

utilize o livro de Ribeiro, 2010).

ÁREA DO CÍRCULO

A área do circulo é dada pela fórmula abaixo:

33

A = π.r²

Onde :

π = pi;

r = medida do raio da circunferência.

MEDIDAS AGRÁRIAS

As medidas agrárias servem para medir sítios, fazendas, chácaras e outras

superfícies com áreas maiores.

O hectare (ha) é uma unidade legal de medida agrária, sua medida é igual à

medida de um quadrado com 100 m de lado, logo o hectare mede 100m.100m =

10.000m².

Como 100 metros = 1 hectômetro, temos:

Logo, temos a igualdade 1 ha = 1 hm2 = 10 000 m2.

34

Então, pode-se utilizar a tabela de unidades de medidas de superfície para

converter em ha, para isso basta converter em hm2.

Além do hectare existem outras unidades não legais, também utilizadas para

medições de terras, entre elas:

� Alqueire paulista; é utilizado em vários estados brasileiros, sendo um deles

o Paraná; 1 alqueire paulista = 24 200 m2.

� Alqueire mineiro; é utilizado em vários estados brasileiros, sendo um deles

Minas Gerais; 1 alqueire mineiro = 48 400 m2.

Para maiores esclarecimentos consulte o livro de Giovanni (2000)

Atividade 25:

Resolva os problemas abaixo:

a) Um sítio de 50 000 m2 equivale a quantos hectares?

b) A superfície do Município de Planalto é 344,688 km2, esta medida equivale

a quantos hectares?

c) Escreva a medida da superfície do município de Planalto em alqueires

paulistas e em alqueires mineiros.

d) Seu Pedro dividiu seus 45 alqueires paulistas entre seus 5 filhos, quantos

alqueires cada filho recebeu? E hectares?

e) O senhor Manoel tem 5 alqueires mineiros e o senhor Mario tem 8

alqueires paulistas. Qual área é maior? Escreva cada superfície em m2 e

em ha.

f) O estado do Paraná tem uma área de 199.709 km2, expresse essa medida

em alqueires paulistas.

g) O Brasil possui uma superfície de 8.514.876 km2, expresse essa medida

em alqueires mineiros.

h) A microrregião de Capanema, a qual Planalto pertence tem uma superfície

de 2.317,357 km2 escreva essa superfície em alqueires paulistas e em

hectares.

35

Atividade 26:

Faça uma pesquisa e conceitue volume (Como referência utilize o livro de

Bianchini, 2006)

MEDIDAS DE VOLUME

Para medir o volume a unidade padrão é o metro cúbico, que é um cubo com

um m de aresta. Como ocorre com as unidades de comprimento e áreas, o metro

cúbico também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro abaixo:


Quilômetro cúbico

Hectômetro cúbico

Decâmetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1000 000 000 m3 1000 000m3 1 000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3

Cada unidade de volume é 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior.

Então para transformar unidades devemos multiplicar ou dividir por:

1 000, 1 000 000 ou 1000 000 000, etc.

Na prática pode-se utilizar a tabela para efetuar as conversões. Observe a

tabela abaixo:


km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 0, 0 0 0 0 0 1 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Observando o quadro acima, concluímos que:

1m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3 e ainda,

1m 3 = 0,001dam3 = 0,000001hm3 = 0,000000001km3.

36

Atividade 27:

Está atividade será em grupo, a sala será dividida em 6 grupos, cada grupo

vai construir um quadrado de 1 m de lado, após reunindo os grupos, juntos vão

montar o m3.

Utilizando caixas de Papelão, confeccione um metro cúbico (m3), comece

construindo um quadrado com um metro de lado.

CUBO

O cubo também chamado de hexaedro é uma figura geométrica espacial, pois

ela não pertence a um mesmo plano. Ele é formado por seis quadrados

semelhantes, ou seja, todos com os lados de mesma medida.

Esta figura é bastante utilizada no nosso dia-a-dia, nas embalagens, por

exemplo, o famoso dado que aparece em diversos jogos tem esse formato.

No cubo abaixo e também no m3 que você construiu podem-se observar os

quadrados, que são chamados de faces, as linhas retas, que são chamadas de

arestas e ainda os pontos de encontro entre três linhas, que são chamados de

vértices.

Observando o desenho e o metro cúbico construído podem-se contar 8

vértices, 6 faces e 12 arestas.

Podem-se observar três dimensões, o comprimento “a”, a largura “a” e a

altura “a”, letras iguais para representar medidas iguais.

37

Sabe-se que, assim como nós, o cubo ocupa lugar no espaço e esse espaço

ocupado é chamado de volume.

Atividade 28:

Utilizando o material dourado, utilizando o cubo de 1 cm de aresta construa

um cubo com 3 cm de aresta e conte a quantidades de cubinhos utilizados.

Observando a atividade 25 e comparando com o desenho acima, percebe-se

que a = 3 cm; b = 3 cm e c = 3 cm, utilizando a contagem que você fez, verifica-se a

utilização de 27 cubinhos na resolução da atividade, então o cubo construído tem 27

cm3, ou seja, 3x3x3= 27.

Logo para obtermos uma fórmula para encontrar o volume do cubo podem-se

multiplicar as três dimensões, ou seja, V = a.a.a. = a3

BLOCO RETANGULAR

O bloco retangular, também chamado de paralelepípedo, como o cubo possui

três dimensões, comprimento, largura e altura, que no desenho abaixo estão

representados por “a”, “b”, e “c”. Então o seu volume poderá ser encontrado através

da fórmula: V = a.b.c.

38

Atividade 29:

Utilizando o material dourado construa um paralelepípedo retângulo com 6cm

de comprimento, 4cm de largura e 2cm de altura. (Utilize cubos de 1cm de lado.)

Após construir o bloco retangular, verifique através da fórmula se o volume

encontrado é o mesmo que você encontrou utilizando o material.

Atividade 30:

Você sabe o que é maquete? Pesquise. Após medir e observar a quadra de

esportes construa a maquete da mesma. Observe a maquete que você construiu e

responda:

a) Que polígono está representado pela quadra de vôlei?

b) Calcule o perímetro e a área da quadra de futebol de salão.

c) Faça o mesmo para a quadra de vôlei.

d) Tem alguma outra figura que podemos encontrar o perímetro e a área? Se

tiver calcule.

e) Como se chama a figura que você encontrou?

f) Vamos supor que esta quadra tenha 30 cm de espessura, calcule o

volume de material utilizado para sua construção.

Atividade 31:

a) Imagine a sua sala de aula vazia, sem nenhum móvel ou objeto e calcule a

quantidade de ar contido nela.

b) Calcule o volume de todas as dependências da ala em que você estuda.

AVALIAÇÃO A avaliação da aprendizagem, para desempenhar a sua verdadeira função,

deverá auxiliar a edificação de uma aprendizagem significativa. Para que ela

realmente acorra, deverá deixar de servir como um recurso de autoridade, que serve

39

apenas para decidir o destino do estudante, e contribua para um verdadeiro

crescimento no ensino-aprendizagem (LUCKESI, 2005).

A avaliação é um dos momentos especiais do trabalho, pois é através dela

que veremos se o projeto deu resultado. Ela poderá ser através de observações em

todos os trabalhos individuais e coletivos e também com testes escritos. Acreditamos

que a mesma deverá ser diagnóstica, pois não teria sentido se não fosse assim. Os

conteúdos poderão ser revistos sempre que necessários, com aplicações de mais

atividades significativas.

Para avaliar as atividades o professor poderá propor:

Relatório referente a cada uma das atividades propostas;

Participação individual e em grupos;

Avaliação escrita, com o objetivo de verificar se houve aprendizagem;

Debates;

Exposição das maquetes construídas;

Avaliação do projeto.

40

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2004.

BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino . 4. ed. São Paulo: Contexto, 2005.

LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 17 ed. São Paulo: Cortez, 2005.

BORDEAUX, A. L. et al. Matemática na vida e na escola . 5ª Série. São Paulo: Editora do Brasil, 1999.

BURAK, D. A modelagem matemática e a sala de aula. In : Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática – l EPMEM, 1, 2004, Londrina. Anais... Londrina: UEL, 2004.

GIOVANI, J. R.: JUNIOR, J. R. G. Matemática pensar e descobrir. 5ª série. São Paulo: FTD, 2000.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Imagens. Disponível em: Fonte: http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/.../imagens/4matematica/6_passo.jpg. Acesso em 15 de julho de 2011.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino Básico. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Estaduai s. Curitiba: SEED/DEB. Versão Preliminar, 2008.

RIBEIRO, J. da S.: Projeto Radix: Matemática. 6º ano. São Paulo: Scipione, 2010.

BIANCHINI, E.: Matemática. 6º ano. 6 ed. São Paulo: Editora Moderna, 2006.

SAVIANI, D. Pedagogia histórico –crítica: primeiras aproximações. 10. ed. Rev.: Campinas: Autores Associados, 2008.

Sites pesquisados:

LEONELO, C. S. Introdução à Geometria . Disponível em: <p://www.slideshare.net/ferncerveira/historia-da-geometria>, acesso em 11 de maio de 2011.

WIKIPÉDIA http://pt.wikipedia.org/wiki/Alqueire>, acesso em 15 de julho de 2011.

Site para pesquisa:

http://plantabaixa.nireblog.com http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-elem/geometr.htm

41

http://www.knoow.net/ciencterravida/geografia/escala.htm http://www.marcosbandeira.arq.br/conteudo_tre/plabaixa.htm http://divulgarciencia.com/categoria/diagonais-de-um-poligono/

ficha para catÁlogo - operação de migração para o ... · fenômeno em questão ou problema de...

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