Vetores

Grandeza escalar: grandeza física descrita por um número e obedecem as leis da aritmética e da álgebra elementar. Ex: temperatura, 25º.

Grandeza vetorial: grandeza física descrita por um módulo (quantidade ou tamanho), juntamente com uma direção e sentido no espaço. Ex: deslocamento de um avião.

Esses quatro vetores são iguais?

Representação vetorial

D

= Dm30D

ou a representação gráfica

D

Magnitude de =

30 m

Somando Vetores Geometricamente

Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os em uma mesma escala e dispondo-os em seqüência com a ponta de um tocando a cauda o do outro. O vetor que une a cauda do primeiro vetor até a ponta do segundo é a soma vetorial s. Para subtrair b de a, inverta o sentido de b para obter –b; depois some –b com a. A soma vetorial é comutativa e obedece à lei associativa.

Soma Vetorial

Propriedades comutativa e associativa

Subtração Vetorial

Componentes de um vetor

As componentes (escalares) Ax e Ay de qualquer vetor bidimensional A ao longo dos eixos coordenados são determinadas baixando-se retas perpendiculares das extremidades de A sobre os eixos coordenados. As componentes são dadas por:

Onde é o ângulo entre o sentido positivo do eixo e a direção de A. O sinal algébrico de uma componente indica o seu sentido ao longo do eixo correspondente. Dadas as suas componente, podemos achar o módulo e a orientação do vetor A com

Vetores unitários

Os vetores unitários possuem módulos unitários e estão dirigidos nos sentidos positivos dos eixos, x, y e z. Podemos escrever um vetor A em termos dos vetores unitários como:

onde, Ax e Ay são suas componentes escalares

kej,i

Um ponto qualquer de coordenada cartesiana (x,y) pode ser representado pelo vetor posição r:

Somando Vetores componente a componentePara somarmos vetores componente a componente, usamos as regras:

Dadas suas componentes o módulo e a direção do vetor R é:

Generalizando:

Produto de um Escalar por um Vetor

O produto de um escalar s por um vetor v é um novo vetor cuja direção é a mesma de v, cujo módulo é sv e cujo sentido é o mesmo de v se s for positivo e contrário se s for negativo. Para dividir v por s, multiplique v por 1/s.

O Produto Escalar

O produto escalar de dois vetores A e B é a grandeza escalar dada pela equação:

onde

onde é o ângulo entre A e B.

O Produto Vetorial

O produto vetorial de dois vetores A e B é a um vetor, cujo módulo é dado pela equação:

é perpendicular a A e B

Exercício 1. Um carro viaja 20 km no sentido norte, mais 35 km no sentido 60º de norte para leste, como mostra a figura. Calcule o módulo e o sentido do deslocamento resultante do carro?

Exercício 2. Um urso caminha rumo NE percorrendo 12 m e depois a leste percorrendo 12 m. Mostrar num gráfico cada deslocamento e depois calcular o deslocamento resultante.

Exercício 3. Uma partícula realiza três deslocamentos consecutivos: cm, cm, cm. Encontre o vetor deslocamento total e sua magnitude.Exercício 4. Considere dois vetores e . Calcule: (a) , (b) , (c) , (d) , e as direções de e .

j2i3A

j4iB

BA

BA

BA

BA

BA

BA

k12j30i15d1 k5j14i23d2

j15i13d3

Exercício 5. Um aviáo estabelece uma rota ilustrada na figura abaixo. Primeiro, ele voa da origem do sistema de coordenadas até a cidade A, localizada a 175 km em uma direção fazendo 30º de leste para o norte. Seguindo, ele voa 153 km fazendo 20 º de norte para oeste em direção a cidade B. Finalmente ele voa 195 km para o oeste em direção a cidade C. Encontre a localização da cidade C relativo a origem.

Produto Escalar

Exercício 6. Qual é o ângulo entre os vetores e ?

Produto Vetorial

Exercício 7. Se e , qual é ?

j4i3a

k3i2b

j4i3a

k3i2b

bac