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FICHA CATALOGRÁFICA

Título O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DE FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAU

Autor Carlos Alberto de Prioli Roque

Escola de atuação Colégio Estadual Miguel Dias E.F.M.

Município Joaquim Távora

Núcleo Regional Jacarezinho

Orientador Daniel Trevisan Sanzovo

Instituição de Ensino Universidade Estadual do Norte do Paraná

Disciplina/Área Matemática

Produção Didático-pedagógica

Unidade didática

Público Alvo Alunos do 1º ano do Ensino Médio

Localização Colégio Estadual Miguel Dias, Rua Dr Lincoln Graça 746

Apresentação Esta unidade justifica-se pela presença de inovações tecnológicas de informação e comunicação na educação atual. A utilização efetiva de recursos alternativos como softwares dinâmicos se apresenta como um instrumento metodológico para o processo pedagógico. A proposta é a utilização de informática educativa por meio do uso do GeoGebra, software livre disponível nos computadores das escolas estaduais do Paraná, para o ensino dos conteúdos: Função do 1º grau e do 2º grau em aulas de Matemática no Ensino Médio. O material se apresenta com o objetivo de facilitar a utilização do GeoGebra com explicações simples e detalhadas para professores. Bem como , são sugeridas algumas atividades para serem desenvolvidas com os conteúdos escolares, já mencionados, de modo, que se faça uma reflexão acerca da ação pedagógica produzida.

Palavras-chave Função, Geogebra, Ensino

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1.INTRODUÇÃO

A inclusão digital é um tema presente nas escolas públicas, não

somente no que diz respeito aos alunos, mas também aos professores que

atuam nestas instituições. A preparação adequada dos profissionais de

educação para os desafios que são apresentados diante da utilização das

novas tecnologias que se impõem nos dias atuais é fundamental para que o

processo educacional ocorra satisfatoriamente. O domínio dessas novas

ferramentas, auxiliadoras do trabalho em sala de aula, é o caminho para que

estas mídias sejam realmente utilizadas, contribuindo para a efetivação da

qualidade do ensino, visto que este recurso metodológico está presente nas

Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica (PARANÁ,

2008). Proporcionar aos alunos oportunidades de produzir o seu próprio

conhecimento utilizando a informática e as inovações metodológicas é incluí-

los no processo educacional atual que contempla os novos empreendimentos

tecnológicos oferecidos em larga escala pelo governo e outras instituições

educacionais.

A proposta é a utilização de softwares, como o Geogebra, com o auxílio

das novas mídias tecnológicas na disciplina de Matemática possibilitando um

aprendizado embasado em experimentações, isto dentro do contexto da

Educação Matemática, contribuindo para o desenvolvimento do raciocínio de

uma maneira crítica e consciente. Além de proporcionar outras visões sobre

conteúdos que somente eram abordados com a utilização de recursos como

livros e anotações em caderno, os instrumentos utilizados a partir da tecnologia

atual, presente nas escolas, apresentam os conteúdos escolares de modo que

o aluno faça uma reflexão sobre sua ação produzindo conhecimento.

Diante da grande oferta de recursos tecnológicos disponíveis nas

escolas estaduais atualmente e da inserção da sociedade em um meio

informatizado é necessária uma nova postura do professor diante destes novos

desafios. A inclusão digital do profissional de educação requer novas

metodologias que possibilitem a utilização dos instrumentos presentes nas

escolas estaduais de Ensino Médio, de forma significativa e eficaz.

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2. O CONTEÚDO FUNÇÃO NO ENSINO DE

MATEMÁTICA

2.1. A função do 1º. Grau

Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) ax+b

ou y = ax + b, com a є IR, b є IR e a ≠ 0, definida para todo x real, é

denominada função do 1º grau.

Na sentença matemática y = ax + b, as letras x e y representam as

variáveis, enquanto a é chamado de coeficiente angular e b coeficiente linear.

O coeficiente angular está relacionado com a declividade da reta, isto é,

com a sua inclinação. O coeficiente linear, representado pela letra b indica o

ponto em que a reta corta o eixo y, também chamado de eixo das ordenadas,

eixo vertical.

Função crescente é aquela em que, aumentando o valor de x, o valor de

y aumenta, e função decrescente é aquela em que, aumentando o valor de x,

o valor de y diminui.

Figura 01 - Exemplos de Gráficos de funções crescente e decrescente de

primeiro grau.

Função constante é aquela em que o coeficiente angular a é igual a zero

ficando reduzida a y=b. O gráfico dessa função é uma reta paralela ao eixo das

abscissas.

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Figura 02 - Exemplo de Gráfico de funções constante de primeiro grau.

2.2. A função do 2º. grau

Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x)=

ax²+bx+c ou y = ax² + bx+c, com a є IR, b є IR e c є IR e a ≠ 0, definida para

todo x real, é denominada função do 2º grau.

O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva aberta chamada

parábola. As raízes ou zeros de uma função são os números reais x para os

quais temos f(x)=0, ou seja, são as raízes reais da equação do 2º grau.

Para determina-las podemos utilizar a equação:

(01)

com

. (02)

As coordenadas do vértice de uma parábola, gráfico de uma função do

2º grau, são dadas por:

(03)

e

4

. (04)

Uma função quadrática tem um valor máximo ou um valor mínimo. Esse

valor é a ordenada do vértice da parábola, dada pela equação (04), que

determina o conjunto imagem dessa função.

Considerando a função do 2º grau a equação y = ax² + bx + c possui

duas raízes reais distintas quando o valor do ∆ > 0 e se o coeficiente a > 0 a

concavidade da parábola estará voltada para cima, conforme mostrado na

Figura 03.

Figura 03 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ > 0 e

coeficiente a > 0.

Quando o valor do ∆ > 0 e se o coeficiente a < 0 a concavidade da

parábola estará voltada para baixo, conforme mostrado na Figura 04.

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Figura 04 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ > 0 e

coeficiente a < 0.

Considerando a função do 2º grau a equação y = ax² + bx + c possui

uma única raiz real quando o valor do ∆ = 0, se tivermos o coeficiente a < 0, a

concavidade da parábola estará voltada para baixo, conforme mostrado na

Figura 05.

Figura 05 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ = 0 e

coeficiente a < 0.

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Quando ∆ = 0 e o coeficiente a > 0, a concavidade da parábola estará

voltada para cima, conforme mostrado na Figura 06.

Figura 06 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ = 0 e

coeficiente a > 0.

Considerando a função do 2º grau a equação y = ax² + bx + c não possui

raiz real quando o valor do ∆ < 0, e se o coeficiente a > 0 a concavidade da

parábola estará voltada para cima, conforme mostrado na Figura 07.

Figura 07 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ < 0 e coeficiente

a > 0.

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Para a função do 2º grau com ∆ < 0 e coeficiente a < 0, a concavidade

da parábola estará voltada para baixo, conforme a Figura 08.

Figura 08 - Exemplo de Gráfico de função de segundo grau com ∆ < 0 e coeficiente

a < 0.

3. O SOFTWARE DINÂMICO NO ENSINO DE

MATEMÁTICA

A discussão acerca da inserção da tecnologia e de metodologias

relacionadas com o tema em salas de aula é essencial não só em Educação

Matemática, mas em qualquer área educacional. A importância da atualização

e da oferta de instrumentos que possibilitem aos alunos e professores

utilizarem conceitos de informática está sendo debatida em todos os níveis de

ensino.

Nas palavras de OLIVEIRA:

“A capacitação dos professores para o domínio dos novos

desenvolvimentos tecnológicos e educacionais coloca-se

hoje como crucial, exigindo uma análise sistemática e

teórica de como ela poderá ser feita. É importante

estabelecer princípios de trabalho na capacitação de

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professores para a informática a partir das experiências

até agora conduzidas, olhando para estas últimas com o

crivo analítico que visa à produção de uma síntese

conceitual para atender às necessidades metodológicas

do processo educacional e corresponder aos

empreendimentos estabelecidos em larga escala pelo

governo e pelas instituições educacionais do país.”

(OLIVEIRA, 2007, p.57)

No caso específico em questão, têm-se a Matemática como uma ciência

que carece de tal instrumentação, pois a riqueza que o trabalho com as

inovações tecnológicas, proporciona na apreensão do conhecimento, através

de softwares educacionais gratuitos, pode ser imensa se comparada aos

métodos convencionais.

3.1. GeoGebra

Criado em 2002 por Markus Hohenwarter, o GeoGebra1 é um software

gratuito, interativo e multi-plataforma de matemática dinâmica que combina

conteúdos trabalhados na Educação Básica, como geometria, álgebra, tabelas,

gráficos, e funções, além de estatística e cálculo, e pode ser utilizado em sala

de aula, pois reúne recursos que podem favorecer o ensino e a aprendizagem.

Ainda sobre este software, segundo CANDEIAS (2010, p.3), ele “apela à

participação activa (sic) dos alunos, favorecendo a sua predisposição para a

aprendizagem dos conceitos matemáticos envolvidos e levando-os a melhorar

a sua relação com a Matemática.”

A utilização do programa e as instruções estão embasadas em

NÓBRIGA & ARAÚJO (2010). Na ilustração abaixo, Figura 09, mostra-se que

esse software pode ser acessado usando suas funções, tanto via botão na

Barra de Ferramenta, quanto pelo Campo de Entrada.

1 disponível em www.geogebra.org

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Figura 09 - Página inicial do Geogebra.

Pode-se também alterar as propriedades dos objetos construídos via

janela de Álgebra e também através do botão direito do mouse. A figura acima

representa a página inicial do programa que contém uma janela de Álgebra, de

Visualização, Campo de Entrada, Barra de Menu e Barra de ferramentas

(indicações do autor).

A janela de Álgebra é o local onde aparecerão os objetos livres e objetos

dependentes da função trabalhada e que aparece graficamente na Janela de

Visualização. A barra de Menu e a barra de Ferramentas mostram os ícone de

acesso ao programa. O campo de entrada é outra opção para inserir os dados

algébricos na tela.

3.1.1. Barra de Ferramentas do GeoGebra

A barra de ferramentas está dividida em 11 janelas, conforme mostrado

na Figura 10.

Figura 10 - Menu e barra de Ferramentas do Geogebra.

10

Cada botão da barra de ferramentas tem uma função específica dentro

do programa. Ao clicar na seta no canto inferior do botão 1, abre uma janela

como mostra a Figura 11. As funções do botão 1 são de movimento do objeto

conforme está indicado na figura.

Figura 11 - Janela do botão 1.

Acionando o botão 2, abrir-se-á uma janela, conforme mostra a Figura

12, com os comandos sobre a criação de pontos e objetos em um espaço livre.


Ao clicar no botão 3, a janela que se abre define retas, segmentos de

reta e vetores conforme indica a Figura 13.


O botão 4, quando acionado, abre uma janela que representa retas,

mediatrizes e outras características conforme a Figura 14.

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Com a abertura da janela do botão 5 é possível construir polígonos de n

lados, como mostra a Figura 15.


O botão 6 abre uma janela, visualizada na Figura 16, que permite

construir círculos e outros entes relacionados.


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Ao acionar o botão 7 abre uma janela, visualizada na Figura 17, que

permite construir elipses, hipérboles e parábolas.


A visualização da janela do botão 8, representada na Figura 18, propicia

a construção de ângulos, cálculo de área, perímetro e distância entre pontos.


O botão 9,representado na Figura 19, faz reflexão com relação a uma

reta, a um ponto, inversão, girar em torno de um ponto e transladar objetos por

um vetor.


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Ao usar o botão 10 da Figura 20 obtém-se o seletor que será um dos

comandos mais utilizados neste material didático.


O botão 11 da Figura 21 faz transladar janela de visualização, ampliar,

reduzir, exibir e esconder objetos e rótulos.


3.1.2. Função do botão direito do mouse

Figura 22 - Janela botão direito do mouse.

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No campo de entrada da janela inicial do programa poderão ser escritos

alguns comandos com os operadores e suas respectivas funções descritos na

Tabela 01.

Tabela 01: Operadores e funções do campo de entrada.

Operadores Função

+ Operador Adição

- Operador Subtração

* Operador Multiplicação

/ Operador Divisão

^ Operador Potência

sqrt(..) Operador raiz quadrada

cbrt(..) Operador raiz cúbica

log(..) Operador logaritmo natural

ln(..) Operador logaritmo neperiano

sin(..) Operador seno

cos(..) Operador cosseno

tan(..) Operador tangente

3.2. O GeoGebra no ensino de função

A utilização do software dinâmico GeoGebra no ensino do conteúdo

Funções possibilita uma visão mais real da mobilidade das ações na

construção dos gráficos das funções, recurso não oferecidos pelo lápis e

caderno.

Outra possibilidade a ser considerada é a interação com as modificações

proporcionadas pelas mudanças nos coeficientes das equações, por meio da

visualização imediata das conseqüências produzidas, no gráfico, pelas

alterações no campo algébrico.

3.3. Atividades com o GeoGebra no Ensino Médio

3.3.1. Atividades de Função do 1º grau

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Atividade 1

1. Crie uma pasta para as atividades - Pasta 01

2. Abra o software (programa) GeoGebra. (No computador do Paraná digital

siga os seguintes passos:Aplicativo – Educação – Matemática - GeoGebra)

3. Clique no menu Arquivo e selecione Gravar como. Digite o nome do

arquivo: FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 1. Salve o arquivo na pasta 01.

4. Digite no CAMPO DE ENTRADA f(x)=2*x+4 e aperte a tecla ENTER.

Surgirá no plano cartesiano uma reta.

5. Observe atentamente as características da reta representada no plano

cartesiano e a descreva.

Atividade 2

1. Clique no menu Arquivo e selecione Nova pasta.



3. Digite no CAMPO DE ENTRADA f(x)=-2*x+4 e aperte a tecla ENTER.



cartesiano e a descreva.

Atividade 3




3. Digite no CAMPO DE ENTRADA f(x) = 4 e aperte a tecla ENTER. Surgirá no

plano cartesiano uma reta.


cartesiano e a descreva

Atividade 4 (Principal)




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3. Selecione a ferramenta SELETOR (BOTÃO 10) e clique no canto superior

direito da janela de visualização. Aparecerá uma janela onde você pode

editar as propriedades deste seletor.

Figura 23 - Propriedades do seletor.

4. Clique no botão APLICAR que aparecerá o seletor no local indicado.

5. Repita os procedimentos 3 e 4 para selecionar o seletor b.

6. Digite no CAMPO DE ENTRADA f(x)=a*x+b e aperte a tecla ENTER.


Figura 24 - Ilustração procedimentos 3,4,5 e 6.

7. Localize a seta do mouse sobre o ponto do seletor (a) e clique na tecla

Mover ou aperte ESC, movimente o ponto com o mouse (mantendo

apertado o botão esquerdo do mesmo) e veja o que acontece com o gráfico.

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8. Repita o procedimento realizado no item 8 seletor (b) veja que acontecem

algumas alterações com o gráfico e compare com as atividades anteriores.

Através da atividade anterior o professor pode mostrar a variação da

função do 1º grau, se ela é crescente ou decrescente, também fazer o

estudo do sinal e mostrar o conjunto imagem e conjunto domínio da função.

Exemplo de atividade:

O aluno ao construir o gráfico da função y = x – 1 cometeu um erro.

Observando o esboço abaixo, identifique-o justificando sua resposta.

Figura 25 – Exemplo de Atividade contendo erro.

3.3.2. Atividades de Função do 2º Grau

Atividade 1

1. Abra o software (programa) GeoGebra.


arquivo: FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1. Salve o arquivo na pasta 01.

3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=x^2+x-2 e aperte a tecla ENTER.

Surgirá no plano cartesiano uma parábola .

4. Observe a parábola e seus coeficientes, depois faça reflexão.

Atividade 2

1. Abra uma nova janela no menu Arquivo.



3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=-x^2+2*x-2 e aperte a tecla ENTER.



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Atividade 3




3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=x^2-2*x+2 e aperte a tecla ENTER.



Atividade 4




3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=-x^2-2*x-1 e aperte a tecla ENTER.


4. Observe a parábola e seus coeficientes.

Atividade 5




3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=x^2-2*x+1 e aperte a tecla ENTER.



Atividade 6




3. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=-x^2-2*x e aperte a tecla ENTER.



Após fazer as atividade anteriores e as respectivas reflexões, pense e

responda:

O que podemos afirmar ?

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a) Se a>0

b) Se a<0

c) Se a=0

d) Se ∆>0

e) Se ∆<0

f) Se ∆=0

Atividade 7 (Principal)

1. Abra o software (programa) GeoGebra.


arquivo: FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU. Salve o arquivo na pasta 01.

3. Selecione a ferramenta SELETOR (BOTÃO 10) e clique com o botão

esquerdo do mouse no canto superior direito da janela de visualização.

Aparecerá uma janela onde você pode editar as propriedades deste seletor.

4. Clique no botão APLICAR que aparecerá o seletor no local indicado.

5. Repita os procedimentos anteriores para criar os seletores b e c.

6. Escreva no CAMPO DE ENTRADA f(x)=a*x^2+b*x+c e aperte a tecla

ENTER. Surgirá no plano cartesiano uma parábola .

7. Localize a seta do mouse sobre o ponto do seletor ( c ) e aperte a tecla

Mover ou ESC, movimente o ponto com o mouse até a parábola interceptar

o eixo x em 2 pontos.

8. Acione no botão 2, interseção entre dois objetos. Clique sucessivamente

sobre o eixo x e sobre o parábola, surgirá o ponto A e o ponto B (raízes da

função).

9. Ative a opção “mover” da janela 1 e clique com o botão direito sobre o ponto

A. Selecione “propriedade”, depois “básico” e mude o estilo do rótulo,

alterando para NOME & VALOR , repita o procedimento para o ponto B.

Figura 26 - Ilustração do item 9.

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10. Acione no botão 2, interseção entre dois objetos. Clique sucessivamente

sobre o eixo y e na parábola, surgirá o ponto C.

11. No campo de entrada digite delta=b^2–4*a*c (∆ = b² - 4ac) pressione

ENTER.

12. Altere na janela de álgebra o “delta” para ∆. Clique com o botão direito

do mouse sobre o “delta” que está na janela de álgebra. Selecione

“renomear”, abrirá uma janela e com a barra de rolagem localize o ∆, clique

ok.

13. No campo de entrada digite a seguinte expressão: Xv=-b/(2*a),

pressione ENTER.

14. No campo de entrada digite a seguinte expressão: Yv=-∆/(4*a),

pressione ENTER. (o ∆ pode ser inserido através da barra de rolagem no

canto direito inferior).

15. No campo de entrada digite V=(Xv, Yv), pressione ENTER.

16. Ative a opção “mover” da janela 1 e clique com o botão direito sobre o

ponto V. Selecione “propriedade”, depois “básico” e mude o estilo do rótulo,

alterando para NOME & VALOR.

17. Localize a seta do mouse sobre o ponto do seletor ( a ) e aperte a tecla

Mover ou ESC, movimente o ponto com o mouse e analise o que acontece

com o gráfico.

18. Repita o procedimento realizado no item anterior seletor (b) analise o

que acontece com o gráfico.

19. Repita o procedimento realizado no item anterior seletor (c) analise o

que acontece com o gráfico.

Através desta atividade o professor pode mostrar a variação da

concavidade da parábola, a interpretação gráfica de uma função 2º grau, seu

domínio a imagem, determinar o ponto de máximo e mínimo e também fazer

o estudo do sinal.

Agora com o auxilio da atividade 7 (principal), visualize os gráficos através

do uso dos seletores e confirme suas respostas.

O que podemos afirmar?

g) Se a>0

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h) Se a<0

i) Se a=0

j) Se ∆>0

k) Se ∆<0

l) Se ∆=0

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com a utilização desta proposta espera-se que a interação entre aluno e

objeto de estudo seja evidenciada já que ele pode visualizar os elementos de

uma função com maior nitidez, pois o software Geogebra proporciona uma

compreensão melhor sobre o conceito de função e dos seus elementos. O fato

de poder compreender o processo que envolve o assunto faz com que a

interação seja maior e melhor.

Alem disso ha a possibilidade de comparação entre a álgebra e a

geometria da função, pois ao lado do gráfico que esta sendo construído abre-

se uma janela na qual as transformações algébricas são observadas. Analisar

as comparações contribui para a compreensão critica e consciente por parte do

aluno.

Ao dominar o uso do software dinâmico Geogebra, seu usuário será

capaz de esboçar um gráfico de função do primeiro ou segundo grau sem fazer

os cálculos, tão comuns nas aulas tradicionais, mas sendo capaz de identificar

um erro, quando houver, e corrigi-lo se necessário de uma maneira autônoma e

compreensível.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de;NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa.Aprendendo

matemática com o GeoGebra. São Paulo:Editora Exato,2010.

CANDEIAS, Anabela Fernandes Ferreira. Aprendizagem das funções no 8o

ano com o auxílio do software GeoGebra. 2010. 257f. Dissertação

(Mestrado em Educação) – Instituto de Educação da Universidade de

Lisboa. Lisboa. 2010.

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OLIVEIRA, Elizabeth Magalhães de. Metodologia para o uso da informática

na educação. Educação Matemática em Revista. SBEM. Ano 13.

n.23.2007.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação.

Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná- Matemática. Curitiba.

2008.

Software de referência:

GeoGebra 3.2 – Dynamic Mathematics for Schools: Markus Hohenwarter,

copyright, 2009. <http://www.geogebra.org>

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