estudo dos coeficientes da função do 2º grau
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Estudo dos coeficientes da função do 2º grauTRANSCRIPT
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ESTUDO DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
COEFICIENTE "a"
O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola.
Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca
sorridente), como no
exemplo:
Se este fosse negativo
(a<0), a parábola teria
concavidade para
baixo (boca triste).
Veja o exemplo
Este é o coeficiente mais conhecido e mais barbada de todos, e o único que não pode ser
zero na função, pois senão ela deixa de ser do segundo grau e passa a ser do primeiro.
O coeficiente "b" é o mais difícil, portanto vamos deixar ele para o final. Vamos agora
ver o "c".
COEFICIENTE "c"
A função do coeficiente "c" é nos indicar onde a parábola "corta" o eixo Y. Se ele for
positivo ela irá "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo irá "cortar" abaixo da
origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o
exemplo:
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Veja você que os coeficiente não dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com
"b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinação de sinais.
COEFICIENTE "b"
Agora sim, o coeficiente "b". Não que ele seja muito difícil de se interpretar, mas é
melhor você aprendê-lo após ter visto todos os outros. Então, vamos lá.
A análise do coeficiente "b" nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo
Y. Viu como é um pouco complicado? Mas vamos falar em miúdos. Primeiro olhe a
figura abaixo:
Neste exemplo, o "b" é negativo (b<0), pois seguindo a parábola para direita a partir do
ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros exemplos:
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Neste exemplo o "b" é maior que zero, pois
acompanhando a curva iremos subir após o
ponto de corte.
Neste exemplo, "b" é igual a zero, pois logo
após o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo
é muito particular, porque você pode achar que é
positivo, pois irá subir. Porém, a regra diz que
tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou
seja, milimetricamente, então neste exemplo vai
reto. b=0.
1) Esboce o gráfico da função :
- Desenvolvimento:
Vamos primeiro calcular as raízes usando Bhaskara. Os coeficientes são: a=1,
b=-1 e c=-2. Colocando na fórmula de Bhaskara, temos:
As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo
X. No gráfico, fica:
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As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo
X. No gráfico, fica:
Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –
2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:
Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos
que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o
seguinte:
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Vamos rever a fórmula de Bhaskara dada na lição anterior:
Esta fórmula está correta!
O que iremos mudar é a parte de dentro da raiz (radicando), que é chamada de
"DISCRIMINANTE" e representada pela letra grega Δ (delta).
Portanto, a fórmula "super correta" de Bhaskara é, na verdade:
Onde "a", "b" e "c" são os coeficientes dos termos de nossa função quadrática.
Neste capítulo vamos estudar o papel desempenhado por esse "delta" no gráfico de
nossa função.
Na fórmula de Bhaskara, o Δ está dentro de uma raiz (é um "radicando") e logo após um
sinal ± (mais ou menos).
Este fato de primeiro somar e depois diminuir é o que diferencia uma raiz da outra, pois
"mais" Δ é diferente de "menos" Δ.
E se este delta for igual à zero (Δ=0), não teremos diferença entre as raízes. Como uma
função quadrática sempre tem que ter duas raízes, dizemos que a função com Δ=0 tem
as duas raízes idênticas. Se Δ≠0, então a função tem duas raízes distintas:
Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais);
Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes).
Agora, quando Δ≠0 (raízes distintas), teremos duas situações: quando Δ for positivo
(Δ>0)e quando Δ for negativo (Δ<0).
Como o Δ é um radicando (está dentro de uma raiz quadrada), se for negativo (Δ<0), as
raízes serão números complexos não reais, pois raiz de número negativo não é real. E
quando Δ for positivo (Δ>0), então as raízes serão números REAIS.
Veja o quadro de referência rápida abaixo:
Δ = 0 raízes reais e idênticas (iguais);
Δ ≠ 0 raízes distintas (diferentes);
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Δ > 0 raízes REAIS;
Δ < 0 raízes complexas NÃO REAIS.
Como sabemos, raiz de uma função é o ponto em que o gráfico da função "corta" o eixo
X, então podemos agora analisar o comportamento do gráfico para cada um dos tipos de
discriminante.
Δ > 0 Duas Raízes REAIS
Com o discriminante positivo as raízes são REAIS, então existem dois pontos em que o
gráfico "corta" o eixo X.
O gráfico pode ser destes dois tipos:
ou
Note que, nos dois exemplos, há dois pontos de "corte".
Δ = 0 Duas Raízes Reais e IDÊNTICAS
Com o Δ=0 teremos duas raízes idênticas.
No gráfico, a parábola irá apenas "tocar" no eixo X, não atravessando para o outro lado.
Veja os desenhos abaixo:
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ou
Δ < 0 Duas Raízes distintas e NÃO REAIS
Quando tivermos Δ < 0, as raízes não serão reais, serão COMPLEXAS, portanto não
irão tocar ou cortar o eixo X, e o gráfico poderá ser:
ou
Primeiro devemos ter em mente: o que é "FATOR"?
Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!!
Veja a imagem abaixo:
Então, o que devemos fazer em uma "fatoração de uma função quadrática" é achar
quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma "conta de multiplicação" que
resulte na função desejada.
Veja o exemplo abaixo:
A função fatorada fica , então seus fatores são
e .
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Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:
Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.
Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?
A regra prática diz o seguinte: sendo "r1" e "r2" as raízes da função que queremos
fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:
Onde "a" é o coeficiente de x2 na lei da função, e "r1" e "r2" são as raízes da função.
Vejamos uns exemplos:
f(x)= 2x2 - 6x - 20
Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de "a"
é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos:
Atenção para os sinais! Como a fórmula é
, então o MENOS da fórmula com o
MENOS da raiz fica MAIS.
f(x) = 3x2 + 24x + 36
raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função
fica:
f(x) = x2 - 4
raízes são 2 e -2, e a=1
Fatoração:
f(x) = x2 + 12x
raízes: 0 e -12, a=1
Fatoração:
f(x) = 4x2 - 12x + 9
raízes: e , a=4
Fatoração: ou
Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portanto
sempre terá dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).
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Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os
"zeros" das funções.
Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou raízes da função) são 2 e -2,
pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e
qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.
A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.
Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?
Usando a fatoração temos:
Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no
enunciado.
Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos
uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).
Portanto, a função pedida é:
Em alguns exercícios é pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das raízes
de uma função do segundo grau.
Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e somá-las ou multiplicá-las, mas
existe um método mais rápido. Veja só!
Vamos usar uma função genérica do segundo grau, que tenha raízes "r1" e "r2".
Usando seus fatores, ficamos com:
Efetuando as multiplicações, temos:
Nos termos que possuem "x" podemos colocá-lo em evidência:
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Agora, terminando de efetuar as multiplicações, ficamos com:
Verifique agora os coeficientes desta função:
O coeficiente "b" nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2), multiplicado por "-
a". Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:
Olhando para o coeficiente "c", vemos também que ele é o produto das raízes (r1.r2)
multiplicado por "a". Portanto, também para o produto, usamos uma fórmula:
Exemplos:
f(x) = x2 - x - 2
Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: Não rateie no sinal de
"b"!
Produto = -2/1 = -2
f(x) = 2x2 - 4x - 16
Soma = -(-4)/2 = 2
Produto = -16/2 = -8
f(x) = 2x2 + 8x
Soma = -(8)/2 = -4
Produto = 0/2 = 0
f(x) = 4x2 - 24x + 36
Soma = -(-24)/4 = 6
Produto = 36/4 = 9
f(x) = x2 - 25
Soma = -(0)/1 = 0
Produto = (-25)/1
Vamos nos situar nos estudos. O que é vértice de uma parábola?
- É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.
Como assim?
Veja os exemplos abaixo:
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O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra
"equidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente
no meio das coordenadas das duas raízes. Trocando em miúdos, a coordenada "x" do
vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas
dividido por dois. Vamos chamá-lo de Xv ("x" do vértice):
Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. Se você não conseguir se lembrar na hora,
faça a dedução como está aí em cima. É bem fácil!
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Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Este valor
podemos conseguir substituindo o "x" da função pelo "Xv", pois com isso estaremos
calculando qual o valor de Y para o Xv, que é justamente o Yv ou f(Xv). A equação geral
de uma função do segundo grau é f(x)=ax2+bx+c. Então vamos substituir todos "x" pelo
valor de Xv da fórmula acima:
Veja que na última igualdade temos como denominador -(b2-4ac) e isso é justamente
igual à - , portanto a fórmula final para o cálculo de Yv, também chamado de f(Xv) é:
IMAGEM
Agora que já vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer função
do segundo grau.
Imagem, como vocês se lembram, é o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a
função existe.
O QUÊ ?????
Hehehe, já explico.
Imaginem agora uma prensa "esmagando" toda função em cima do eixo Y, como na
animação abaixo:
A imagem da função será o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos esmagar a
função. No exemplo acima, o conjunto imagem é de 1 para cima, ou seja, é o intervalo
[1, +∞).
Para calcular a imagem de qualquer função, temos que analisar somente duas coisas: a
concavidade da parábola (sinal do coeficiente "a") e o valor do Yv.
Se o "a" for positivo (a>0) a concavidade é para cima, então a imagem é do Yv até
"mais" infinito [Yv,+∞);
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se o "a" for negativo (a<0) a concavidade é para baixo, então a imagem é de "menos"
infinito até o Yv ∞,Yv]. Veja os exemplos abaixo:
f(x) = x2 - 15x +56
a>0 e
portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo
[-1/4,+∞)
f(x) = -2x2 + 12x - 16
a < 0 e
portanto, o conjunto imagem desta função é o intervalo
(-∞, +4]
Fazer uma análise de sinais em uma função quadrática pode ser muito útil para resolver
inequações e também para determinar o domínio de algumas funções mais elaboradas
(com divisão, com raiz quadrada...).
Vamos ver o que é a tal de "análise de sinal". Dê uma olhada na imagem abaixo:
Veja você que esta parábola (vendo da esquerda para direita) vem lá de cima (infinito) e
vai descendo até o vértice, quando troca de sentido e passa a subir até o infinito
novamente. Fazer a "análise de sinais" é verificar qual o sinal de Y em cada ponto do
eixo X. Olhe novamente a figura. Até o ponto x=-3 a parábola está acima do eixo X,
portanto ela é positiva. De -3 até 1 ela está abaixo do eixo X, portanto é negativa. Se
houver um exercício, pedindo qual o intervalo em que esta parábola é negativa, a
resposta será:
S = (-3, 1)
Note que foi utilizado parênteses, isso indica que o ponto -3 não está no intervalo, pois
nele a função vale zero (está em cima do eixo). Idem para o ponto 1.