função do 1º e 2º grau autor antonio carlos carneiro barroso
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Função do 2º grau
Função do 2º grau A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão
do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos:a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Conteúdo para 8ª série
Professor Antonio Carlos Carneiro BarrosoProfessor de Matemática do Colégio estadual
Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-BaGraduado pela UFBA e pós graduado em metodologia e Didática do Ensino Superior
24/06/2009
Gráficos:
• Gráfico de uma função do 2º grau:
• O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
• Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
Veja:
• A Parábola:
Professor Antonio Carlos
Observe os pontos:
• Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
• Coordenadas do vértice• A coordenada x do vértice da parábola pode ser
determinada por .• Exemplo: Determine as coordenada do vértice da
parábola y=x²-4x+3• Temos: a=1, b=-4 e c=3• Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a
coordenada y?
Fique atento:
• Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
• Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
• y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1• Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)• Portanto, para determinarmos as coordenadas do
vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes:
• Raízes (ou zeros) da função do 2º grau• Denominam-se raízes da função do 2º grau os
valores de x para os quais ela se anula.• y=f(x)=0
• Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
• Vejamos o gráfico:
O gráfico:
Resolva a função:
• Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
• Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
• Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
• Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:• Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0• Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de
Bháskara.• x²+5x+6=0• Acharemos que x = -2 e x` = -3.
• Concavidade da parábola• Explicarei esta parte com um simples desenho.• a>0a<0Os desenhos até que ficaram bonitinhos,
mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
• Exemplos:
y = f(x) = x² - 4
y = f(x) = -x² + 4
Nota:
• Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
• Quando o discriminante é igual a zero• Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no
eixo x. A coordenada y será igual a zero.• Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1• x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1• As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Estudo do delta:
• Quando o descriminante é maior que zero• Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo
x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
• Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
• x²-4x+3=0 x=1, x`=3
• Gráfico:
Gráfico:
Delta<0
• Quando o discriminante é menor que zero
• Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.
• Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
• x²-x+2=0
Gráfico:
a>0 e a<0
Olhe o gráfico:
• Esboçando o gráfico
• Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da funçãoy=-x²-4x-3
• 1ª etapa: Raízes ou zeros da função
• -x²-4x-3=0Aplicando a fórmula de Bháskarax=-1, x`=-3
Veja as etapas:
• 2ª etapa: Coordenadas do vértice• Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2• Coordenada y: Basta substituir o valor de x
obtido na funçãoy = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
• Portanto, V=(-2,1)• 3ª etapa: Concavidade da parábola• y=-x²-4x-3• Como a=-1<0, a concavidade estará voltada
para baixo
Olhe o gráfico:
Exercício:
• 1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa:
• a) f(x)= x² - 4x + 5• b) f(x)= x² +4x - 6• c) f(x)= 2x² +5x - 4• d) f(x)= -x² + 6x - 2• e) f(x)= -x² - 4x +1
Resolva:
• 2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:
• a) f(x)= 3x² - 7x + 2• b) f(x)= -x² + 3x - 4• c) f(x)= -x² + 3/2x + 1• d) f(x)= x² -4• e) f(x)= 3x²• Não existe zeros em (b)
Antonio Carlos carneiro Barroso:
• 3) Construa o gráfico das seguintes funções:
• a) f(x)= x² - 16x + 63• b) f(x)= 2x² - 7x + 3
• c) f(x)= 4x² - 4x +1
• d) f(x)= -x² + 4x - 5
• e) f(x)= -2x² +8x- 6
Faça:
• 4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?[Nota]: observem o vértice
• b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?
• c) Esboce o gráfico que represente esta situação.
• Respostas: 4: a)4s; b) 16m
Função do 1º grau:
• Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
• Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
• Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:
•
Noção de função:
• Veja os diagramas:
Uma função todo elemento de A tem imagem única em B.
• Analisando os diagramas acima:
• O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).
• Logo, somente o diagrama 2 representa uma função
Domínio, imagem e contra domínio
• Observe o diagrama:
Função:• Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados
serão:• f={(1,2),(2,3),(3,4)}• O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.• D(F)=X• O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.• C(F)=Y• Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. • f(1)=2• Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.• Logo o conjunto das imagens de f e dado por:• Im(f)={2,3,4}
Determinação de função:
• Observe a figura:
Veja:
• Associe cada elemento de X com um elemento de y:
Determine a imagem de cada função:
• a) D(f) = {1,2,3} y = f(x) = x + 1
• [Sol] f(1) = 1+1 = 2 f(2) = 2+1 = 3 f(3) =3+1 = 4
• Logo: Im(f)={2,3,4}• b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²• [Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25
• Logo: Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano :
• Eixo Cartesiano:
Eixos x e y:
• Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:x // x' e y // y'Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Continuação:
• Nessas condições, definimos:- Abscissa de P é um número real representado por P1- Ordenada de P é um número real representado por P2- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )- O eixo das abscissas é o eixo x- O eixo das ordenadas é o eixo y- A origem do sistema é o ponto 0- Plano cartesiano é o plano A.
Depois dessa revisão veja a função do 1º grau:
• Exemplo:• Numa loja, o salário fixo mensal de um
vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
• a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.
• [Sol] y=salário fixo + comissão y=500 + 50x
Cont.
• Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
• [Sol] y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700
Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
• [Sol] y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
Cont.
• A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:
• y=f(x)=ax+b com ,a e b pertencente aos números reais
•
Gráfico:
• Gráfico da função do 1º grau:
• O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.Exemplo:
• 1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
• [Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
Olhe os pares:
O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
2º Exemplo:
• Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
• xy=f(x)=-x+1-2 3-1 20 11 02-1O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
Continuação:
• O gráfico:
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
• Função crescente:
y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
• Função decrescente:
Raízes ou zeros:
• Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
• [Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
• x+1=0 » x=-1• Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função
Veja a raiz dessa função:
• Onde corta o eixo x é a raiz da função
Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico
• Veja:
Sinal de uma função de 1º grau
• a>o e a<o
Cont.
• Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
• Exemplos:• 1) Determine o intervalo das seguintes funções
para que f(x)>0 e f(x)<0.• a) y=f(x)=x+1• [Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1• x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
2º exemplo:
• b) y=f(x)=-x+1• [Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1• -x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade
Exercício:
• ) Represente graficamente a função definida por:
• a) f(x) = 2x-1• b) f(x) = -1/2x+3
• c) f(x) = 4x
• d) f(x) = 1/3x+2
• e) f(x) = -3x+6
Cont.
• 2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:
• a) f(x) = 2x+5• b) f(x) = -x+2
• c) f(x) = 1/3x+3
• d) f(x) = 1-5x
• e) f(x) = 4x
Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:
• Faça:
Cont.
• Pelo gráfico, concluímos:
Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2
• Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)• Substituindo os valores em y=ax+b:• 0 = -4a + 2• a = 1/2• Logo, a expressão é y = 1/2x+2.
Determine as expressões que as definem.
• Descreva as funções abaixo.