função do 2º grau - aulas particulares para todas as ... página 1 de 18 função do 2º grau 1....

www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 18

Função do 2º Grau

1. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor

mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x e o custo mensal da produção é

dado por 2C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor

resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. 2. (Insper 2013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.

O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é

a) b) c)

d) e)

http://www.nsaulasparticulares.com.br/


3. (Fgv 2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade

B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? a) R$ 220,00 b) R$ 230,00 c) R$ 240,00 d) R$ 250,00 e) R$ 260,00 4. (Epcar (Afa) 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y f x , que tem

como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de coordenadas a) (1, 18) b) (0, 26) c) (6, 4) d) (–1, 36) 5. (Fgv 2013) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o

Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar.

Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do

1º grau y a x b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada

exemplar. a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da

editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê?

6. (Fgv 2013) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões:

capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x

reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 2 2130x 70y x y

exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros

vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total? 7. (Ufpr 2013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após

t horas de operação, é dado por 2N(t) 20 t t , sendo que 0 t 10. Suponha que o custo C

(em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) 50 30 N.

a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de

reais?

Preço de venda Quantidade vendida

R$ 100,00 30

R$ 90,00 40

R$ 85,00 45

R$ 80,00 50



8. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x

2.

Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:

a) x = 0 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 2 c) x = 1 ou x =1

2

d) x = 2 ou x = 1 e) x = 0 ou x =1

2

9. (G1 - cftmg 2013) A função real representada pelo gráfico é definida por

a) 2f x 2x x 1.

b) 2f x 2x 3x 1.

c) 2f x x 3x 1.

d) 2f x 2x 3x 1.

10. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = 2 + x

2 e g(x) = 2 + x.

Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = –1 b) x = 0 ou x = 2 c) x = 0 ou x = 1 d) x = 2 ou x = –1 e) x = 0 ou x = 1/2 11. (Ibmecrj 2013) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de

R$ 6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a

quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.

Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o

maior lucro ao proprietário é: a) R$ 5,00 b) R$ 5,25 c) R$ 5,50 d) R$ 5,75 e) R$ 6,00



12. (Ufsj 2013) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma

parábola, conforme a figura a seguir.

Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de a) 0,52m. b) 0,64m. c) 0,58m. d) 0,62m. 13. (Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação

2x 11y x 3

6 6 e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.

Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD.

14. (Ibmecrj 2013) O gráfico da função quadrática definida por 2f x 4x 5x 1 é uma

parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 27/8 b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128

15. (Ufrgs 2013) Dada a função f, definida por 2f x x 9 6x, o número de valores de x

que satisfazem a igualdade f x f x é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.



TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento.

O trecho correspondente ao intervalo [0,t1] pode ser representado pela expressão 2y 0,05x e

o trecho correspondente ao intervalo ]t1,t2] por 2y 0,05x 4x 40.

16. (Insper 2013) O valor de t1 é a) 5. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 17. (Insper 2013) Considere que o ponto (t2,V) corresponde ao vértice da parábola de equação

2y 0,05x 4x 40. Nos últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em

milhares de unidades, foram iguais a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 18. (Ufsj 2012) O gráfico da função f(x) = ax

2 + bx + c é:

Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que a) seu discriminante ( ) é maior que zero.

b) o vértice da parábola tem ordenada positiva. c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo. d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/2.



19. (Ufrn 2012) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de

R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a

quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.

Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o

maior lucro ao proprietário é a) R$ 2,50.

b) R$ 2,00.

c) R$ 2,75.

d) R$ 2,25.

20. (G1 - cftmg 2012) Se a função 1

L(x) 10.(x 2). x10

representa o lucro de uma

indústria em que x é a quantidade de unidades vendida, então o lucro será a) mínimo para x 3. b) positivo para x 2.

c) máximo para 1

x .10

d) positivo para 1

x 2.10

21. (Ucs 2012) Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do medicamento começou a decrescer. Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na

corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é 2q t t 7t 60.

Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração dessa dose, em horas, foram, respectivamente, a) 5 e 12. b) 0 e 12. c) 0 e 3,5. d) 60 e 12. e) 60 e 3,5. 22. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa que completa corretamente a frase: “A função real

f(x) = x2 – 4x + 5

a) não admite zeros reais”. b) atinge um valor máximo”. c) tem como gráfico uma reta”. d) admite dois zeros reais e diferentes”. e) atinge um valor mínimo igual a –1”. 23. (Ufpb 2012) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de

C(p) 0,5p 1 partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-

se que, daqui a t anos, a população nessa região será de 2p(t) 2t t 110 milhares de

habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: a) 2 anos b) 2 anos e 6 meses c) 3 anos d) 3 anos e 6 meses e) 4 anos



24. (G1 - cftrj 2012) Um objeto é lançado do topo de um muro, de altura h, atingindo o solo

após 5 segundos. A trajetória parabólica do objeto é representada pela equação y = – 0,5x2 +

bx + 2,5, cujo gráfico está apresentado abaixo, onde y indica a altura atingida pelo objeto em relação ao solo, em metros, no tempo x, em segundos.

a) Calcule a altura h e o valor do coeficiente b da equação da trajetória. b) Determine a altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo objeto. 25. (Espm 2012) A parábola de equação y = x

2 – x + 1 intercepta a reta de equação y = x + 4

nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB é igual a:

a) 4 2 b) 5

c) 5 2 d) 4

e) 3 2 26. (Uel 2012) O óxido de potássio, 2K O , é um nutriente usado para melhorar a produção em

lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir.

Dose do nutriente

(kg/hectare)

Produção de cana-de-açúcar

(toneladas/hectare)

0 42

70 56

140 61

Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente

pode ser descrita por uma função do tipo 2y(x) ax bx c , determine a quantidade de

nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 27. (Insper 2012) A área da região sombreada na Figura 1, limitada pelo gráfico da função

2f x 9 x e pelos eixos coordenados, é igual a 18.



Assim, a área da região sombreada na Figura 2, limitada pelo gráfico da função 2g x x , pelo

eixo x e pela reta de equação x 3, é igual a

a) 4,5. b) 6. c) 9. d) 12. e) 13,5. 28. (Fgvrj 2012) Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 100 m. A área máxima possível desse retângulo é:

a) 2575 m

b) 2600 m

c) 2625 m

d) 2650 m

e) 2675 m 29. (Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n

2, onde C representa o custo, em reais,

para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser

produzidas para se obter o custo mínimo? a) – 625. b) 125. c) 1245. d) 625. e) 315. 30. (Ueg 2012) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim

retangular, conforme figura abaixo.

Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a) 2,0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d) 2,5 m e 7,0 m.



Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) – C(x) = – 2x

2 + 28x + 40

O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:

Vb 28

x 72 a 2 ( 2)

Resposta da questão 2:

[C]

Como o gráfico de f passa pelos pontos ( 2, 0) e (0, 2), segue que f(x) x 2. Além disso,

como o gráfico de g passa pelos pontos (0, 0) e (0,1), temos que 2g(x) ax ax, com a 0.

Portanto, 2h(x) ax (a 1)x 2.

Desse modo, o gráfico de h intersecta o eixo y no ponto de ordenada 2 e tem sua

concavidade voltada para cima.

A abscissa do vértice do gráfico de h é dada por

v(a 1) 1 1 1

x .2a 2 2a 2

Finalmente, como f(1) 3 e g(1) 0, segue que h(1) f(1) g(1) 3 e, portanto, o gráfico que

melhor representa a função h é o da alternativa [C]. Resposta da questão 3:

[D]

Seja x o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da passagem.

A receita de cada voo é dada pelo produto entre o preço da passagem e o número de passageiros, ou seja,

R(x) (200 10x) (120 4x)

40 (x 20) (x 30).

Logo, o número de aumentos que proporciona a receita máxima é

v20 30

x 52

e, portanto, o resultado pedido é 200 10 5 R$ 250,00.

Resposta da questão 4: [A] Sendo V(xv, yv) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax

2 + bx +

c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x) = a (x – xv)

2 + yv.



Portanto, f(x) = a (x – 5)

2 + 2.

Como f(4) = 3, temos: a (4 – 5)

2 = 3

a = 3. Logo, f(x) = (x – 5)

2 + 2.

Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 – 5)2 + 2 = 18.


a) Tomando os pontos (30,100) e (40, 90), segue que a taxa de variação da função

y ax b é igual a

90 100a 1.

40 30

Logo,

90 ( 1) 40 b b 130.

Portanto,

y x 130.

A função R: , definida por R(x) x ( x 130) x (x 130), fornece a receita obtida

com a venda de x livros. Logo, a quantidade a ser vendida, a fim de se obter a receita máxima, é

v0 130

x 65.2

Desse modo, o preço pedido é igual a y 65 130 R$ 65,00.

b) Seja L : a função definida por

2

2

L(x) x 130x 8x

x 122x

x (x 122),

que fornece o lucro obtido na venda de x livros (supondo que todos os livros produzidos são

vendidos). Logo, a quantidade a ser vendida para se obter o lucro máximo é 0 122

61.2

Para essa quantidade, o preço de venda unitário deveria ter sido

y 61 130 R$ 69,00.

Por conseguinte, a decisão do gerente não foi correta.




a) Se x 2y, a quantidade de livros vendidos seria

2 2130 2y 70y (2y) y 5y (y 66).

Logo, o preço da versão capa de papelão que maximiza a quantidade vendida de livros é

0 66R$ 33,00.

2

Portanto, o preço da versão capa dura deverá ser 2 33 R$ 66,00.

b) O resultado pedido é igual a 5 33 (33 66) 5445.


a) C(t) = 50 + 30.(20t – t2)

C(t) = –30t2 + 600t + 50

b) 2300 = –30t

2 + 600t + 50

Dividindo por 30, temos:

30t2 – 600t + 2250 = 0

t2 – 20.t + 75 = 0

Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h. Resposta da questão 8:

[E]

Os valores de x para os quais f(x) g(x) são tais que

2 2x 1 1 2x 2x x 0

12x x 0

2

1x 0 ou x .

2


[D]

A forma canônica da função quadrática f : é 2v vf(x) a (x x ) y , com v v(x , y ) sendo

o vértice do gráfico de f. Logo, como v v3 1

(x , y ) , ,4 8

temos:

23 1

f(x) a x .4 8

Além disso, sabendo que o gráfico de f passa pelo ponto (0,1), vem

2

3 11 a 0 a 2.

4 8



Portanto,

2

2

2

3 1f(x) 2 x

4 8

3x 9 12 x

2 16 8

2x 3x 1.

Resposta da questão 10: [C]

Os valores de x para os quais f(x) g(x) são tais que

2 22 x 2 x x x 0

x(x 1) 0

x 0 ou x 1.

Resposta da questão 11: [D]

Seja x o número de reduções de R$ 0,10 no preço de venda do sanduíche.

A receita obtida com a venda dos sanduíches é dada pela função R : , definida por

2

R(x) (6 0,1 x) (200 20 x)

2x 100x 1200.

Além disso, o custo total para produzir os sanduíches é dado pela função C : , definida

por

C(x) 4,5 (200 20x)

90x 900.

Por conseguinte, a função que dá o lucro total é L : , definida por

2

2

L(x) R(x) C(x)

2x 100x 1200 (90x 900)

2x 10x 300.

O valor de x que proporciona o lucro máximo é igual a 10

2,5.2 ( 2)

Portanto, o resultado pedido é 6 0,1 2,5 6 0,25 R$ 5,75.




[B] Utilizando a forma fatorada da função do segundo grau, temos: f(x) = a.x. (x – 4). Como o gráfico da função passa pelo ponto (1,48), temos: 48 = a.1(1 – 4) a = – 16 Portanto, f(x) = -16x

2 + 64x e a altura máxima será dada por:

2

máxima64

h 64.4.a 4.( 16)

Δ


a) Sabendo que D (3, 0), vem A Dx x 3. Além disso, como A pertence à parábola,

temos

A A

2

y f(x )

3 113 3

6 6

1.

b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que B Ay y 1. Assim,

2

2CC C C

C

x 11x 3 1 x 11x 24 0

6 6

x 8

e, portanto, C (8, 0).

c) A área do retângulo ABCD é dada por

C D A(x x ) | f(x ) | (8 3) | 1| 5 u.a.


[E]

Os zeros da função f são 1x 1 e 21

x .4

O vértice do gráfico de f é o ponto 5 9

V , .8 16

Portanto, a área do triângulo AVB é dada por

1 1 9 271 .

2 4 16 128




[B] Temos

2

f(x) f(x) 2 f(x) 0

2 (x 3) 0

x 3.

Portanto, x 3 é o único valor de x para o qual se tem f(x) f(x).


[D]

21

21

1 1

1

20 0,05 t

t 400

t 20 como t 0

t 20 meses.

Resposta da questão 17: [E]

2t b 2a 4 2 0,05 40

Nos últimos 10 meses as vendas totais serão dadas por:

2 2

y 40 – y 30

0,05 40 4 40 – 40 – 0,05 30 4 30 – 40

5 milhares de unidades.


[B] [A] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. [B] Falsa – O vértice tem ordenada negativa. [C] Verdadeira – A parábola tem concavidade para cima. [D] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/2,0). Resposta da questão 19: [C]

Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (200 20x) sanduíches ao

preço de (3 0,1x) reais.

Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por:

L(x) (3 0,1x)(200 20x) 1,5(200 20x)

2(x 10)(x 15).

Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o proprietário é:

10 15x 2,5

2

e, portanto, o resultado pedido é 3 0,1 2,5 R$ 2,75.




[D]

Estudando o sinal da função acima, temos:

Lucro positivo para 1

x 2.10

Resposta da questão 21: [E] A quantidade do medicamento na corrente sanguínea, no momento em que é iniciada a

administração da dose, é q(0) 60mg.

O tempo que durou a administração da dose é dado por 7

3,5 h.2 ( 1)

Resposta da questão 22: [A]

De acordo com o gráfico, podemos observar que: a função f não admite raízes reais, pois seu gráfico não intercepta o eixo x, possui um valor mínimo igual a 1 e seu gráfico é uma parábola.




[B] De acordo com as informações do problema, podemos escrever: 61=0,5 p + 1 p = 120 mil habitantes.

Fazendo p(t) = 120 na segunda função, temos: 120 = 2t

2 – t + 110 2t

2 – t – 10 = 0 t = 2,5 ou t = - 2 (não convém).

Logo, t é, no mínimo, 2 anos e 6 meses. Resposta da questão 24: a) h = y(0) = 2,5m

y(5) = 0 - 0,5 . 5

2 + 5.b + 2,5 = 0

5b = 12,5 – 2,5 5b = 10 b= 2

b) A altura máxima será calculada através do yv (y do vértice)

2

v2 4 ( 0,5) 2,5

4,5m4 a 4 (

y0,5)


[A]

Resolvendo o sistema 2y x x 1

,y x 4

temos:

A(-1, 3) e B(3, 7). Calculando a distância entre A e B, temos a medida da corda AB:

2 2AB 3 ( 1) (7 3)

AB 32

AB 4 2.




a.02 + b.0 + c = 42 c = 42

a.702 + b.70 + 42 = 56 4900.a + 70.b = 14

a.1402 + b.140 + 42 = 61 19600.a + 140.b = 19

Resolvendo o sistema4900.a 70.b 14

19600.a 140.b 19

, temos:

9 37a e b =

9800 140 .

Portanto, a função será

29 37y x x 42

9800 140

Calculando o x do vértice, temos:

v

37b 37 9800 37.35140x 143,88kg

92.a 140 18 92.

9800


[C]

Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por: A = 3 9 – 18 = 9.


[C]

2

A x x 50 x

A x x 50x



Nota-se que A(x) é uma função do segundo grau. Portanto, o valor de x para que a área seja máxima será dado pelo x do vértice.

b 2500625

2.a 4


[B]

O número de unidades a serem produzidas para se obter o custo mínimo é 250

125.2 1

Resposta da questão 30: [A]

Utilizando semelhança de triângulos temos: 4 x y 9x 36

y4 9 4

.

Calculando a função da área, temos:

2

A x x y

9x 36A x x.

4

9x 36xA x

4

Determinando o x do vértice, temos:

v

36

4x 29

2.4

Portanto, x = 2 e 36 9.2

y 4,54

Logo, as dimensões do jardim são 2m e 4,5m.


função do 2º grau - aulas particulares para todas as ... página 1 de 18 função do 2º grau 1....

Documents