Alexandre Mello

APRENDENDO FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Alexandre Mello

Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de

comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu

cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de

largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?

pista

3

3

100

70 3

3

campo

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A área da região cercada é: (100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8 056 m2

Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 =8 424 m2

Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região

cercada. E que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão:

A(x) = (100 + 2x) (70 + 2x) =

= 7 000 + 200x + 140x + 4 x2

= 4 x2 + 340x + 7 000

Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2 º grau.

Alexandre Mello

Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau,

qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 +bx + c,

em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Veja alguns exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 2 x2 + 3x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = 3 x2 - 4x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1

f(x) = - x2 + 2x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0

f(x) = - 4 x2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0

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O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola.

Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x2 - 3x + 2

x

y

x f(x)

-1 6 0 2 1 0 2 0 3 2

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Significado dos parâmetros a, b e c no gráfico da função quadrática

• Parâmetro a: responsável pela concavidade e abertura da parábola.

Se a > 0 a concavidade é para cima. Se a < 0 a concavidade é para baixo.

• Parâmetro b: indica se a parábola cruza o eixo y com seu ramo crescente ou

decrescente. Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. Se b < 0 a

parábola cruza o eixo y no ramo decrescente.

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• Parâmetro c: indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.

(0, c)

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ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax2 + bx + c são os valores

de x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da

função quadrática f(x)= ax2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau

ax2 +bx + c = 0, as quais são dadas pela fórmula:

x = - b ± √ b2 – 4ac 2a

Vamos obter os zeros da função f(x) = x2 - 3x + 2.

Temos a = 1, b = - 3 e c = 2

Então, aplicando a fórmula, as raízes são: x’ = 1 e x’’ = 2.

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VÉRTICE DA PARÁBOLA

O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax2 + bx + c, tem

coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice 2a 4a da parábola é o ponto V - b , - ∆ . 2a 4a

Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função.

Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função.

V(xv , yv)

ponto de máximo

V(xv , yv)

ponto de mínimo

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AS ORIGENS DA PARÁBOLA

Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola

foi introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria

surgido dos esforços de Menaecmo (c. IV a.C.), um discípulo de Aristóteles

(384-322 a.C.), para resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é

muito curiosa.

Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os

delianos) recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar

o mal, que eles construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já

existente consagrado ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca

dessa solução.

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APLICAÇÕES DA PARÁBOLA

Alexandre Mello

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BIBLIOGRAFIA:

DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.

IEZZI, G.et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo:

Atual