Ficha 1 – Probabilidades

Parte I

Cálculo de Probabilidades

1) Quatro alunos de uma turma vão apresentar um trabalho, sentando-se, ao acaso, lado a

lado em quatro cadeiras. Qual é a probabilidade de o aluno mais baixo ficar num dos

extremos?

(A)

16 (B)

112 (C)

12 (D)

25

R: C

2) Num saco estão 10 bolas indistinguíveis ao tato: 2 são pretas, 3 são amarelas e 5 são

verdes. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, duas bolas do saco. A probabilidade de que

ambas sejam amarelas é:

(A)

115 (B)

29 (C)

9100 (D)

14

R: A

3) Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B

dois acontecimentos ( A ⊂ S e B ⊂ S ). Tem-se que: P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Qual dos

seguintes pode ser o valor de P(A∪ B)?

(A) 0,1 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,9

R: C

4) Um carteiro faltava entregar apenas três cartas. Já cansado, baralhou-as. A probabilidade

de uma, pelo menos, chegar ao destinatário é:

(A)

23 (B)

13 (C)

24 (D)

14

R: A

5) Lança-se um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8. Considera os acontecimentos:

A: “sair face ímpar”

B: “sair face de número inferior a 4”

a) Qual é o acontecimento contrário de A∪B ?

(A) Sair face 2 ou face 4 ou face 6

(B) Sair face 2 ou face 4

(C) Sair face 4

(D) Sair face 2

R: D

b) Qual é o valor de P (A∪B )

(A)

12 (B)

38 (C)

34 (D)

58

1

R: C

c) Escolhendo aleatóriamente dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de

definirem uma aresta?

(A)

12 (B)

45 (C)

35 (D)

34

R: B

d) Escolhendo aleatóriamente dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de o

segmento de reta por eles definido conter o centro do octaedro?

(A)

12 (B)

13 (C)

14 (D)

15

R: D

6) Escolhendo ao acaso dois vértices quaisquer de um prisma

quadrangular, como é sugerido na figura, a probabilidade de

pertencerem a faces opostas é?

(A) 1 (B)

16 (C)

6×4C2

8 C2 (D)

4C2

8 C2

R: A

7) Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma

certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles

impossível, nem certo. Sabe-se que A⊂B . Indique qual das afirmações é verdadeira?

(A) P( A∩B )=0 (B) P(A¿ B) = 1 (C) P(A)>P(B) (D) P( A )≥P(B)R: D

8) Sejam X e Y dois acontecimentos de um mesmo espaço. Se P(X∪Y )=0,7 e P(X∪Y )=0,7 ,

então o valor de P(X) é:

(A) 0, 2 (B) 0,3 (C) 0, 4 (D) 0,5.

R: C

9) A e B são acontecimentos incompatíveis tais que P(A)=0,4 e P(B)=0,2

Considere as afirmações:

(I) P ( A∩B )=0,4 (II) P ( A∪B )=0,6

Então:

(A) (I) é verdadeira e (II) é falsa (C) (I) e (II) são falsas

(B) (I) e (II) são verdadeiras (D) (I) é falsa e (II) é verdadeira

R: B

2

10)Considere, num referencial o.n. Oxyz, um prisma triangular reto

ilustrado pela figura ao lado. Escolhidos, ao acaso, dois vértices

distintos do prisma, qual é a probabilidade de estes definirem uma

reta contida no plano de equação x = 0?

(A)

110 (B)

56 (C)

23 (D)

25

R: D

11)Considera em referencial o.n. Oxyz, os pontos A, B, C, D e E cujas coordenadas são: A (–1,

4, 3); B (7, 4, –2); C (2, 4, 3); D (3, 4, 0) e E (2, 4, –2). Escolhidos dois destes pontos ao

acaso, qual é a probabilidade de definirem uma reta paralela ao plano coordenado xOz?

(A)

110 (B) 0 (C) 1 (D)

15

R:

12)De um número natural x sabe-se que x!=a e (x1)!=b. Então pode concluir-se que (x+1)! é

igual a:

(A)

ab (B)

a2

b (C)

a+bb (D)

a2+abb

R: D

13)Na figura está representado um hexágono regular de

vértices A, B, C, D, E e F sobre um referencial o.n.

xOy. Sabe-se que a reta AB é paralela ao eixo das

abcissas. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do

hexágono.

a) A probabilidade de os dois vértices escolhidos

definirem um segmento de reta que intersete o

eixo Ox é?

(A)

13 (B)

815 (C)

1315

(D) 1

R; B

b) A probabilidade de os dois vértices escolhidos definirem uma reta que intersete o eixo

Ox é?

(A)

13 (B)

815 (C)

1315 (D) 1

R:C

3

c) A probabilidade de os dois vértices escolhidos definirem uma diagonal é?

(A)

45 (B)

35 (C)

25 (D)

15 R: B

14)Numa tarde sete amigos decidiram comer um gelado. Cada um escolheu, ao acaso, um dos

sete  sabores disponíveis na geladaria. A probabilidade de três quaisquer amigos

escolherem o mesmo  sabor e os restantes escolherem quatro sabores diferentes de todos

os outros é?

(A)

600

75(B)

1800

75(C)

600

76(D)

150

74

R: B

Probabilidade Condicionada

15)Considera as seguintes seis figuras geométricas:

Escolhe-se uma figura ao acaso. Sejam os

acontecimentos:

A: «A figura escolhida é um polígono.»

B: «A figura escolhida está pintada de preto.»

C: «A figura escolhida não é um triângulo.»

Qual é o valor de P(A|(BC))?

(A)

13 (B)

23 (C)

14 (D)

34

R:B

16)Numa experiência aleatória estão definidos dois acontecimentos A e B tais que: P(A ) =

0,6 ; P(B) = 0,7 e P ( A∪B )=0,8 . A probabilidade do acontecimento A|B é:

(A)

13 (B)

14 (C)

15 (D)

16

R: A

17)Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiencia aleatória. Sejam A e B

dois acontecimentos independentes (A e B), tais que P (A∩B )=0,2 e P (A∪B )=0,7 .

Qual dos seguintes valores poderá ser o valor de P(A)?

(A) 0,25 (B) 0,4 (C) 0,6 (D) 0,8

4

R: B

Triângulo de Pascal e binómio de Newton

18)De uma certa linha do Triângulo de Pascal sabe-se que a soma dos três últimos elementos é

497. A soma dos três primeiros elementos da linha seguinte é:

(A) 498 (B) 529 (C) 500 (D) 994

(B) R: B

19) O produto dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é igual a

n. Escolhidos ao acaso dois elementos dessa linha, qual é a probabilidade de a sua soma

ser diferente de 2?

(A)

n−1C2

n+1C2 (B)

n+1C2−1n+1C2 (C)

n−1n+1C2 (D)

n−2C2

n+1C2

R: B

20)Qual dos seguintes poderia ser um termo do desenvolvimento de (a−b )18?

(A) 816a15b3(B) −816a15b3

(C) 816a16b2(D) −816a16b2

(B) R: B

5

21)No desenvolvimento de ( 1√ x

+x)15

, pelo Binómio de Newton, o número de termos em que o

expoente de x é um número inteiro positivo é:

(A) 5 (B) 0 (C) 6 (D) 10

R: A

Distribuições de probabilidades

22)A probabilidade de a Susana chegar atrasada às aulas é 0, 2. A probabilidade de a Susana

chegar atrasada às aulas em apenas um dia nos cinco dias da próxima semana é:

(A)( 15 )

4

×45 (B)

( 15 )

3

×45 (C)

15×( 4

5 )4

(D) ( 45 )

4

R: D

23)Numa livraria, 20% dos livros são didáticos. Um dos vendedores escolhe 10 ao acaso para

os colocar numa estante. Qual é a probabilidae, arredondada às milésimas, de pelo menos

dois dos livros serem didáticos?

(A) 0,465 (B) 0,624 (C) 0,758 (D)

0,866

R B

24)Admita que a variável altura, em centímetros, dos meninos de treze anos de um certo país,

é bem modelada por uma distribuição normal de valor médio 140. Escolhida, ao acaso, um

rapaz de treze anos desse país, sabe-se que a probabilidade de a sua altura pertencer a um

determinado intervalo [a,b] é igual a 60%. Quais dos seguintes podem ser os valores de a e

de b.

6

(A) a=70 e b=130 (B) a=108 e b=150 (C) a=150 e b=170 (D) a=80 e

b=120

R: B

25)Uma variável aleatória X tem distribuição normal de valor médio 15. Sabendo que

P (X>19 )≈0 ,02275 , qual é o valor do desvio padrão desta variável aleatória?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

R: B

26)Considera uma variável aleatória X que admite distribuição normal. Sabe-se que P(X<22) é

superior a P(X>30) e P(X<22)<0,5. Qual dos seguintes valores pode corresponder ao valor

médio?

(A) 27 (B) 24 (C) 21 (D) 32

R: B

27) A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é:

Qual é o valor de a?

(A)

13! (B)

724 (C)

15! (D)

112

R: B

28)Sejam A e B dois acontecimentos possíveis de um espaço de resultados tais que:

A e A são equiprováveis

P(AB)=0,1

A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é:

xi 1 2 3

P(X=xi) P(A) P(B|

A)

k

O valor de k é:

(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4

R: C

Parte II

Cálculo de Probabilidades

29)Um painel aplicado numa parede é formado por seis retângulos, como a figura mostra.

a) De quantos modos diferentes se pode pintar o

painel, sabendo que dois dos retângulos têm de

ser azuis e os quatro restantes de cores

diferentes, escolhidos entre amarelo, preto, verde, branco e vermelho?

R: 1800

b) De quantos modos diferentes se pode pintar o painel, nas mesmas condições da

alínea anterior, mas impondo ainda que os retângulos azuis não podem ter um

lado em comum?7

R: 960

30)Considera o seguinte problema: “Consideremos dez pontos: cinco marcados sobre uma reta

e outros cinco marcados sobre uma outra reta estritamente paralela à primeira.

a) Qual é o número de ratas distintas que os 10 pontos definem?

R: 55=25

b) Quantos triângulos, diferentes, é possível definir com os dez pontos marcados?”

R: 100

31)Considera o problema: “Consideremos duas retas r e s estritamente paralelas. Sobre a reta

r estão marcados quatro pontos e sobre a reta s estão marcados cinco pontos. De entre

esses nove pontos, escolhem-se aleatoriamente, tres pontos não colineares. Qual é a

probabilidade de, entre esses três pontos, dois pontos pertencerem à reta r?

R:

37

32)Considera um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. Pretende-se colorir as faces do cubo,

dispondo-se para o efeito de seis cores distintas. De quantas maneiras diferentes se pode

colorir o cubo, supondo que duas das faces têm de ter a mesma cor, e as restantes, cores

todas diferentes?

R: 1800

33)Escolhem-se ao acaso dois vértices de um cubo. Qual é a probabilidade de o centro do cubo

ser o ponto médio do segmento por eles definido?

R:

17

34)Considere um tabuleiro quadrado com 9 casas numeradas de 1 a 9. Dispomos de seis

peças, das quais três são brancas (indistinguíveis) e as outras três são distintas (uma

verde, uma vermelha e uma azul). Considere a experiência aleatória que consiste em

colocar, ao acaso, as seis peças sobre o tabuleiro, uma peça por casa. Determine a

probabilidade de as peças brancas ficarem todas nas casas com número ímpar.

R:

542

35)Considere um prisma hexagonal regular com uma das bases assente sobre uma mesa. Cada

conjunto de dois vértices deste prisma define uma recta. Considera todas as rectas assim

definidas.

8

a) Quantas dessas rectas não pertencem ao plano da mesa?

R: 51

b) Escolhendo uma dessas rectas ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser

perpendicular ao plano da mesa?

R:

111

36)Num prisma hexagonal regular da figura estão representados três

vértices A, B e C.

a) Considera todas as retas distintas que contêm dois do

prisma. Qual é a probabilidade de, escolhendo ao acaso uma

dessas retas, esta ser estritamente paralela ao plano ABC?

R:

211

b) Escolhendo, ao acaso, dois vértices do prisma, qual é a probabilidade dos vértices

escolhidos definirem uma reta estritamente paralela à reta AC?

R:

566

c) Considere o prisma hexagonal num referencial o.n. Oxyz, de modo que o vértice A

coincida com a origem do referencial e a base a que pertence, esteja contida no

plano xOy. O vértice C é um ponto do eixo das cotas, com cota positiva. Escolhidos

três vértices distintos, ao acaso, qual é a probabilidade dos vértices escolhidos

definirem um plano concorrente com o plano xOy?

R:

911

d) Pretende-se numerar as oito faces do prisma com os números de 1 a 8. De quantas

maneiras diferentes é possível fazer a numeração das faces? Dessas, quantas

maneiras existem, de modo a que a soma dos números das bases seja 10?

R: 40 320 ; 4 320

37)Considera um prisma pentagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma

das suas bases está contida no plano de equação z=2 e a outra no plano de equação z=7.

Escolhem-se, ao acaso, dois vértices do prisma.

9

a) Qual é a probabilidade de esses dois vértices definirem uma reta paralela ao eixo Oz?

Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

R:

19

b) Qual é a probabilidade de esses dois vértices definirem uma reta paralela ao plano xOy?

Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

R:

49

38)Dispomos de seis cores diferentes (branco, preto, amarelo, verde, azul e vermelho), para

pintar as faces de um tetraedro truncado que se encontra fixo num suporte.

Este sólido, representado na figura, tem quatro faces triangulares e quatro faces

hexagonais, sendo cada face triangular paralela a uma face hexagonal.

Considera a experiência aleatória que consiste em pintar, ao acaso, com as seis cores

disponíveis, seis das oito faces do tetraedro truncado, uma cor por face, não podendo ficar

duas faces com a mesma cor.

Determina a probabilidade de não ficarem faces hexagonais pintadas de branco ou preto e

não ficarem faces triangulares pintadas de amarelo, verde, azul ou vermelho.

R:

170

39)Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma

certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S. Sabe-se que:

P(A) = 2P(B) e P(AB) = 3P(B)

Prove que os acontecimentos A e B são incompatíveis.

40)O departamento de saúde resolveu fazer uma inspeção aos poços de um determinado

concelho procurando a presença de 2 estirpes de bactérias na água. Depois de concluídas

as análises foram apresentados os resultados:

Sem bactérias – 20% dos poços

Com bactéria A – 40% dos poços

Com bactéria B – 50% dos poços.

10

Escolhendo um poço ao acaso, qual é a probabilidade da respectiva água conter bactérias

de exactamente uma das estirpes (uma e uma só das estirpes)?

R: 0,7

Probabilidade Condicionada

41)Um teste é constituído por uma pergunta com n respostas alternativas. O aluno ou sabe a

resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de o aluno saber a resposta. Admita

que as probabilidades de o aluno responder correctamente à pergunta se souber a resposta

e de o aluno responder correctamente à pergunta se responder ao acaso são 1 e

1n ,

respectivamente. Mostra que a probabilidade de um aluno não ter respondido ao acaso se

respondeu correctamente é

np1+ (n−1 ) p

42)Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B

dois acontecimentos (A e B). Seja P(A|B) a probabilidade de A se B. Sabe-se que:

P (A∩B )= 3

11

P (A|B )=3

8

P (A∪B )= 2

11

Determina P(A) R

P (A )= 411

43)Um sistema de vigilância é apoiado por três computadores A, B e C e qualquer ocorrência

numa determinada zona é registada nos três computadores. Sabe-se que:

3% das ocorrências registadas no computador A apresentam erro;

11

2% das ocorrências registadas no computador B apresentam erro;

5% das ocorrências registadas no computador C apresentam erro.

Admite que houve uma ocorrência relevante e um dos computadores é escolhido, ao acaso,

para consulta do registo. Determina:

a) a probabilidade de o computador escolhido não ser o A e o registo não conter erro.

Apresenta o resultado em forma de dízima, arredondado às milésimas.

R: 0,643

b) a probabilidade de ter sido escolhido o computador B, sabendo que o registo

continha erro. Apresenta o resultado em forma de fração irredutível.

R:

211

44)Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B

dois acontecimentos possíveis (A e B)

a) Prova que P (B|A )+P ( B|A )×P ( A )=P (B∪A )

b) Numa caixa há bolas de diferentes cores, tendo cada uma delas inscrito um número

natural. Sabe-se que:

16 % das bolas são azuis;

das bolas azuis 75% têm número ímpar.

Da caixa, escolhe-se, ao acaso, uma bola. Determina a probabilidade de se obter uma

bola que não seja azul ou tenha número ímpar. Apresenta o resultado na forma de

fração irredutível. R: 0,96

45)Sejam A e B dois acontecimentos de um espaço amostral. Sabe-se que P(A)=k ,

P(B)=k+0,1 e P(AB)=0,8. Qual é o valor de k para o qual os acontecimentos A e B são

independentes?

R: 0,5

Distribuições de Probabilidades

46)Seja X uma variável aleatória que toma os valores 1, 2, 3, 4 e 5. Sabe-se que:

P (X≥4 )=1

2

P (X=3 )=1

3

P (X=1 )=P (X=2 )

P (X=4 )=P (X=5 )

a) Determina P(X<3) R: 0,5

b) Constroi a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Calcula o valor

médio e o desvio padrão, aproximado às centésimas (usando a calculadora).

R: 3,5 ; 1,19

12

47)Efetua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 4.

Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo.

O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de

sair. Sejam A e B os acontecimentos seguintes:

A: «sair número ímpar»;

B: «sair número maior do que 2».

Sabe-se que:

P (A∩B )=0,4 P (A )=P ( A ) P (A∪B )=0,8

Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado». Construa a tabela de

distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos

valores das probabilidades.

xi 1 2 3 4

P(X=

xi)0,1 0,2 0,4 0,3

48)De uma amostra de 500 laranjas, o peso unitário, em gramas, segue uma distribuição

normal N (70; 5) . Retira-se, ao acaso, uma dessas laranjas. Considera os seguintes

acontecimentos:

A: “O peso da laranja retirada é superior a 60 g”.

B: “O peso da laranja retirada é inferior a 75 g”.

Qual é o valor da probabilidade da probabilidade P(A|B)? Apresente o resultado

arredondado às centésimas.

R: 0,97

49)A variável aleatória X “número do vértice de um dado tetraédrico equilibrado que ocorre

quando se lança o dado” tem a seguinte distribuição, com xR e a R+:

Sabe-se que o valor médio de X é 2,5. Como se distribuem os vértices pelas faces do dado?

R: 2faces com nº1, 1 face com nº3 e 1 face com nº5

50)Uma caixa contém nove bolas, numeradas de 1 a 9. Três amigas, a Joana, a Inês e a Carla

estão a jogar com essa caixa. Uma jogada consiste em retirar, simultaneamente e ao acaso,

13

duas bolas da caixa, observar os números das bolas retiradas e voltar a metê-las na caixa.

Ganha-se 1 ponto por cada número primo que sair, nas duas bolas retiradas.

a) A Carla vai fazer uma jogada. Seja X a variável aleatória «número de pontos obtidos

nessa jogada». Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X e

determina o seu valor médio. Apresenta todos os resultados na forma de fração

irredutível.

b) A Joana, após ter realizado uma jogada, informou as suas amigas que a soma dos

números saídos era par. A Inês apostou então com a Carla que a Joana tinha ganho 2

pontos. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresenta o resultado na

forma de fração irredutível R: 3/16

xi 0 1 2

P(X=

xi)5/18 5/9 1/6

51)Na figura estão representados cinco quadrados e cinco discos

numerados de 1 a 5. Considera a experiência aleatória que

consiste em distribuir, ao acaso, os círculos pelos quadrados,

um círculo em cada quadrado e verificar os números associados

a cada quadrado. Seja X a variável aleatória “Número de discos

com número ímpar que ficam na coluna vertical”.

a) Elabore a tabela de distribuição de probabilidades relativa à

variável aleatória X.

R:

b) Seja A o acontecimento: “Os três discos com número ímpar ficam na coluna vertical”.

Se a experiência for realizada cinco vezes qual é a probabilidade de ocorrer o

acontecimento A exatamente três vezes? Apresenta o resultado em forma de dízima.

R: 0,0081

c) Os discos foram colocados num saco e foram acrescentados n discos numerados de 6

em diante. Em seguida, foram retirados, simultaneamente, ao acaso, dois discos do

saco. Sabe-se que a probabilidade de o maior dos números retirados ser 6 é

566 .

Determina o valor de n. Para resolver este problema começa por o equacionar e

resolver a equação sem recorrer à calculadora.

R: n=12

52)Uma pequena firma possui n artigos informáticos, dois dos quais computadores. Esses

artigos vão ser transportados para outra sala.

14

a) Supondo que n=10. Num dado instante vão ser transportados, de modo aleatório, 3

artigos informáticos. Qual é a probabilidade de, nesse transporte, haver pelo menos um

computador? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

R: 8/15

b) Considere o problema: “Todos os n artigos vão ser transportados, um de cada vez e

aoacaso. Qual é a probabilidade de os computadores serem os dois primeiros a serem

transportados?” apresentam-se, em seguida, duas respostas:

Resposta I:

2 (n−2 ) !n ! Resposta II:

2nC2

Apenas uma das respostas está correta. Elabore uma composição na qual:

Identifique a resposta correta;

Explique um raciocínio que conduza à resposta correta;

Proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta,

de modo a torná-la correta;

Explique, no contexto do problema a razão da alteração proposta.

R: I

53)Admita que a altura das crianças de uma escola de dança é uma variável aleatória com

distribuição normal, de valor médio 100cm. Escolhe-se uma criança ao acaso. Considere os

acontecimentos:

A: “a criança tem altura inferior a 100cm”

B: “a criança tem altura superior a 110cm”

Sabendo que P(B)=0,3 , calcule o valor de P ( A∩B ) .

R: 0,2

15