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Geometria no Espao 2 Parte

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1. Na figura, esto representados, num referencial o.n. Oxyz, um prisma

quadrangular regular e uma pirmide. A base da pirmide, [ ]OPQR , est contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma. O ponto W, vrtice da pirmide, coincide com o centro da base superior,

[ ]STUV , do prisma. O ponto P tem coordenadas ( )5,0,0 a) Defina, por uma condio, a superfcie esfrica de centro no ponto Q e que passa no ponto O

b) Sabe-se que o volume da pirmide igual a 75 Determine as coordenadas do ponto W, vrtice da pirmide.

2. Na figura, est representado, num referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular no regular [ ]ABCDEF Sabe-se que:

as bases so tringulos issceles ( AB AC= e DE DF= ) a base [ ]ABC est contida no plano xOy as arestas laterais do prisma so perpendiculares s bases

o ponto A tem coordenadas ( )4,0,0 o ponto E tem coordenadas ( )0,3,8 o ponto F o simtrico do ponto E, relativamente ao plano xOz

a) Determine uma equao vectorial da recta DF b) Determine a rea lateral do prisma.

3. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo [ ]OPQRSTUV A aresta [ ]OP est contida no semieixo positivo Ox, a aresta [ ]OR est contida no semieixo positivo Oy e a aresta [ ]OS est contida no semieixo positivo Oz.

O ponto U tem coordenadas ( )2,2,2 No eixo Oz est representado um ponto A, cuja cota 4 a) Defina, por meio de uma condio, a aresta [ ]UQ b) Averige se o ponto T pertence ao plano mediador do segmento [ ]AV c) Desenhe a seco produzida no cubo pelo plano PQA e determine o seu permetro.


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4. Na figura, est representada, num referencial o.n. Oxyz, parte de um plano ABC Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado.

O plano ABC definido pela equao 6 3 4 12x y z+ + =

Seja r a recta que passa no ponto A e perpendicular ao plano ABC Determine uma equao vectorial da recta r

5. Na figura, est representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular [ ]ABCDV cuja base est contida no plano xOy. Sabe-se que:

o ponto A pertence ao eixo Ox

o ponto B tem coordenadas ( )5,3,0 o ponto V pertence ao plano de equao 6z =

6 18 5 24x y z+ = uma equao do plano ADV

18 6 5 72x y z + = uma equao do plano ABV

a) Determine o volume da pirmide. b) Determine as coordenadas do ponto V, sem recorrer calculadora. c) Seja S o ponto de coordenadas ( )1, 15,5 . Seja r a recta que passa pelo ponto S e perpendicular ao plano ADV. Averige se o ponto B pertence recta r.

6. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revoluo como o representado na figura.

A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e est contida no plano xOy.

[BC] um dimetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas ( )0,5,0 .

O ponto A pertence circunferncia que limita a base inferior do

cilindro e tem coordenadas ( )0,3,4 . A recta r passa no ponto B e paralela ao eixo Oz.

O ponto D pertence recta r e circunferncia que limita a base superior do cilindro.

a) Justifique que a recta AC perpendicular recta AB. b) Escreva uma equao vectorial da recta r. c) Justifique que AC um vector perpendicular ao plano ABD. Determine uma equao deste plano. d) Designando por a amplitude do ngulo BOD, mostre que o volume do cilindro dado por

( ) pi tgV 125= , com

2,0 pi .


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7. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide regular de base quadrada (ver figura). O vrtice V da pirmide pertence ao semi-eixo positivo Oz.

A base da pirmide est contida no plano xOy.

A aresta [PQ] paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas ( )0,2,2 .

a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirmide igual a 32, mostre que a cota do vrtice V igual a 6. b) Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equao 63 =+ zy . c) Determine uma condio que defina a recta que passa na origem do referencial e perpendicular ao plano QRV. d) Justifique que a interseco da aresta [QV] com o plano de equao 3=z o ponto ( )3,1,1M e determine a rea da seco produzida na pirmide por esse plano.

8. Uma embalagem de pastilhas tem a forma de um prisma hexagonal regular. Considere o prisma hexagonal representado no referencial o.n. Oxyz. Sabe-se que:

Os pontos A, B e C pertencem base inferior do prisma, a qual est contida no plano xOy e tem por centro a origem do referencial;

Os pontos D, E, F e G pertencem base superior do prisma, a qual est contida no plano de equao 12=z ;

O ponto C tem coordenadas ( )0,4,0 . a) Mostre que o ponto B tem coordenadas ( )0,2,12 e aproveite este resultado para justificar que G tem coordenadas ( )12,2,12 . b) Mostre que a recta DG pode ser definida pela condio 1243 ==+ zyx c) Determine a interseco da recta DG com o plano que contm a face [ABFE] do prisma. d) Considere agora que a unidade do referencial um centmetro (1 cm). Sabendo que, quando a caixa foi comprada, tinha doze pastilhas, cada uma das quais com um volume de 30cm3, determine, com aproximao

s unidades, a percentagem do volume da caixa que, no momento da compra, se encontrava vazio.

9. Na figura esto representados, em referencial o.n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirmide.

A base [OFGE] da pirmide est contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma.

O vrtice H da pirmide coincide com o centro da base superior do prisma.


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O ponto G tem coordenadas ( )0,4,4 . a) Sabendo que o volume do prisma igual a 96, mostre que H tem coordenadas ( )6,2,2 . b) Escreva uma equao cartesiana do plano OEH. c) Indique, justificando, uma equao vectorial da recta que a interseco do plano OEH com o plano ABC. d) Determine, com aproximao centsima da unidade, o raio da esfera cuja rea igual rea total do prisma.

10. Num referencial o.n. Oxyz, considere um cone cuja base est contida no plano yOz e cujo vrtice pertence ao semieixo positivo Ox.

A base tem raio 3 e centro O, origem do referencial.

A recta r, de equao ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,0,1,30,3,0,, , contm uma geratriz do cone. a) Mostre que a altura do cone 9. b) Determine uma equao do plano que contm o vrtice do cone e perpendicular recta r.

c) Determine a rea do polgono que resulta da interseco do cone com o plano de equao 0=z .

11. Na figura est representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

O vrtice O coincide com a origem do referencial. O vrtice R pertence ao semieixo positivo Ox.

O vrtice P pertence ao semieixo positivo Oy. O vrtice S pertence ao semieixo positivo Oz.

A abcissa de R 2. a) Determine uma equao cartesiana do plano PUV. b) Mostre que o raio da superfcie esfrica que contm os oito vrtices do cubo 3 e determine uma equao dessa superfcie esfrica. c) Calcule a rea da regio do plano PUV compreendida entre a seco determinada por esse plano, no cubo, e a seco determinada pelo mesmo plano, na superfcie esfrica referida na alnea anterior.


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12. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilndrica construda num material de espessura desprezvel. A caixa contm duas bolas encostadas uma outra e s bases da caixa cilndrica.

O cilindro tem uma das bases no plano xOz

O centro dessa base o ponto de coordenadas ( )3,0,3 A outra base est contida no plano de equao 12=y .

As bolas so esferas de raio igual a 3

Os dimetros das esferas e das bases do cilindro so iguais. a) Justifique que a superfcie esfrica correspondente bola mais afastada do plano xOz tem centro no ponto ( )3,9,3 e que o ponto ( )1,8,1 pertence a essa superfcie esfrica. b) Escreva uma equao do plano tangente, no ponto ( )1,8,1 , superfcie esfrica referida na alnea anterior. Nota: um plano tangente a uma superfcie esfrica perpendicular ao raio relativo ao ponto de tangncia.

c) Considere agora a caixa vazia. Seccionou-se a caixa pelo plano de equao 4=z . Supondo que a unidade do referencial o centmetro, determine o permetro da seco obtida.

13. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos ( )0,0,5A e ( )1,3,0B . a) Mostre que a recta AB est contida no plano de equao 52 =+ zyx . b) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o tringulo [ABC] seja rectngulo em C. c) Determine o volume do cone que resulta da rotao do tringulo [AOB] em torno do eixo Ox

14. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide triangular no regular [OPQV]. Tem-se que: O vrtice O da pirmide a origem do referencial

O vrtice V tem coordenadas ( )2,4,0 O vrtice Q pertence ao plano xOy Uma equao do plano OPQ 0= yx Uma equao do plano PQV 6=++ zyx Uma equao do plano OPV 02 =+ zyx

a) Mostre que o ponto P tem coordenadas ( )2,2,2 e que o ponto Q tem coordenadas ( )0,3,3 . b) Mostre que o ngulo OPQ recto. c) Justifique que a recta PV perpendicular ao plano OPQ e utilize este facto para determinar o volume da pirmide [OPQV].


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15. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular. Sabe-se que:

A base [ABCD] da pirmide um quadrado contido no plano xOy Os pontos A e C pertencem ao eixo Ox

Os pontos B e D pertencem ao eixo Oy O ponto P pertence ao eixo Oz

a) Sabendo que uma equao do plano ABP 622 =++ zyx , determine o volume da pirmide.

b) Justifique que a recta definida pela condio zyx ==22

perpendicular ao plano ABP e contm a origem

do referencial. c) Determine uma equao da superfcie esfrica de centro na origem do referencial e que tangente ao plano ABP.

16. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular.

A base da pirmide paralela ao plano xOy

O ponto A tem coordenadas ( )7,8,8 O ponto B pertence ao plano yOz

O ponto C pertence ao eixo Oz

O ponto D pertence ao plano xOz

O ponto E o centro da base da pirmide

O vrtice V da pirmide pertence ao plano xOy a) Determine o permetro de uma face lateral da pirmide. b) Determine a amplitude do ngulo DVB. Apresente o resultado em graus, com aproximao dcima de grau.

c) Seja o plano que contm o ponto E e paralelo ao plano AVB. Mostre que o eixo Ox est contido em .

17. Considere, num referencial o.n. Oxyz:

o ponto ( )0,0,10A o ponto ( )1,2,0B o ponto ( )0,5,0C a recta AB

a recta BC


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a) Justifique que as rectas AB e BC so complanares e mostre que o plano por elas definido admite como equao 1062 =++ zyx .

b) Determine uma equao vectorial da recta de interseco do plano com o plano xOz. c) Calcule o volume da pirmide [OBCA].

18. Na figura esto representados trs pontos, em referencial o.n. Oxyz.

o ponto A, que tem coordenadas ( )2,5,0 o ponto B, que pertence ao plano xOz

o ponto C, que pertence ao plano xOy

A recta BC tem equao vectorial ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,1,2,11,4,5,, . a) Mostre que o ponto B tem coordenadas ( )1,0,3 e que o ponto C tem coordenadas ( )0,2,4 . b) Mostre que o tringulo [ABC] rectngulo em C. c) Considere a superfcie esfrica de centro em A, cuja interseco com o plano xOy uma circunferncia de raio 3. Determine uma equao dessa superfcie esfrica.

19. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um cone de revoluo. Sabe-se que:

A base do cone est contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial;

[AC] e [BD] so dimetros da base; O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox;

O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy;

O vrtice V pertence ao semieixo positivo Oz.

a) Sabendo que uma equao do plano ABV 12344 =++ zyx , mostre que o comprimento do raio da base 3 e a altura do cone 4. b) Determine uma condio que defina a esfera cujo centro o ponto V e cuja interseco com o plano xOy a base do cone.

c) Designando por a amplitude do ngulo BVD, determine o valor de sen .

20. Na figura est representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz. Sabe-se que:

a face [OPQR] est contida no plano xOy a face [OSVR] est contida no plano xOz a face [OSTP] est contida no plano yOz uma equao do plano VTQ 6=++ zyx

a) Mostre que o volume do cubo 27.


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b) Determine uma equao da superfcie esfrica tal que: o centro o simtrico de U, em relao ao plano xOy;

o ponto Q pertence a essa superfcie esfrica. c) Seja o plano que contm o ponto S e paralelo ao plano VTQ. Prove que a recta RP est contida em .

21. A figura abaixo representa um cubo, em referencial o.n. Oxyz. [ABCD] uma face do cubo [EFGH] a face oposta face [ABCD] (o ponto H no est representado na figura) [AE], [BF], [CG] e [DH] so quatro arestas do cubo O ponto A tem coordenadas ( )3,5,3 O ponto D tem coordenadas ( )6,3,3 O ponto E tem coordenadas ( )3,2,1

a) Determine o volume do cubo. b) Determine as coordenadas do ponto H e comente a seguinte afirmao: o ponto H pertence a um dos eixos coordenados. c) O ponto P o ponto de interseco do eixo Oz com a face [ABCD]. Determine as coordenadas de P.

22. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos ( )10,3,2A e ( )25,13,10B . Um tiro disparado de A, de tal forma que o projctil passa pelo ponto B. a) Pretende-se atingir um alvo situado no ponto ( )190,123,98C . Mostre que, se o projctil seguir uma trajectria rectilnea, o alvo atingido. b) A trajectria rectilnea s garantida se o alvo se encontrar a menos de 300 unidades do local onde o projctil disparado. Prove que, no caso presente, a trajectria rectilnea est garantida. c) Justifique que existe um e um s plano que contm a origem do referencial e os pontos A, B e C. Averige se esse plano perpendicular ao plano xOy.

23. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirmides quadrangulares regulares.

o vrtice O do poliedro a origem do referencial;

o vrtice E do poliedro tem coordenadas ( )2,2,2 ; a altura de cada uma das pirmides igual ao comprimento da aresta do

cubo.


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a) Justifique que o ponto F no pertence superfcie esfrica de dimetro [PQ]. b) Mostre que a recta EG perpendicular ao plano ADQ. c) Determine a rea da seco definida no poliedro pelo plano ADQ.

24. Na figura est representada, em referencial o. n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular. O vrtice O a origem do referencial O vrtice P pertence ao eixo Oz O vrtice R pertence ao plano xOy

O vrtice V tem coordenadas ( )5,11,2 . Uma equao vectorial da recta que contm a altura da pirmide

( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,0,8,65,1,7,, a) Mostre que a base da pirmide est contida no plano de equao 043 = yx . b) Justifique que o centro da base da pirmide o ponto de coordenadas ( )5,3,4 . c) Determine o volume da pirmide.

25. Num referencial o.n. Oxyz, considere um paraleleppedo rectngulo [OPQRSTUV]. Os pontos P, R e V pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respectivamente.

O quadriltero [ABCD] a seco obtida no paraleleppedo pelo plano 2232 =++ zyx , que perpendicular recta OT. O ponto

R tem ordenada 6.

a) Justifique que o ponto T tem coordenadas ( )2,6,4 b) Determine uma equao do plano que paralelo ao plano ABC e que contm o ponto Q. c) Determine as coordenadas do ponto D.

26. Considere, num referencial o.n. Oxyz, duas rectas, r e s, de equaes

zyx

=

+=

31

21

e ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,1,1,20,1,1,, , respectivamente. a) Justifique que as rectas r e s definem um plano. b) Mostre que o plano definido pelas rectas r e s paralelo ao plano de equao 10=+ zyx . c) Determine a amplitude do ngulo formado pelas rectas r e s. Apresente o resultado em graus, aproximado s unidades. Nota: sempre que, nos clculos intermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, duas casas decimais.


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27. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular. A base da pirmide est contida no plano de equao 4=z . O vrtice A pertence ao eixo Oz. O vrtice B pertence ao plano yOz.

O vrtice D pertence ao plano xOz.

O vrtice C tem coordenadas ( )4,4,4 . A altura da pirmide 6.

a) Mostre que uma condio que define a recta DE 3

44 == zyx .

b) Determine uma equao do plano que contm o ponto B e perpendicular recta DE. c) Determine a rea da seco produzida na pirmide pelo plano xOy.

28. Na figura est representado, em referencial o. n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF]. Sabe-se que:

o vrtice B tem coordenadas ( )1,0,1 ; o vrtice E tem coordenadas ( )1,1,0 ; o vrtice F pertence ao plano xOy;

o vrtice A tem coordenadas ( )2,1,1 . a) Mostre que a recta definida pela condio zyx == perpendicular ao plano ACD. b) Determine uma equao da superfcie esfrica que contm os seis vrtices do octaedro. c) Seja o plano definido pelo eixo Oz e pelo ponto A. A seco produzida no octaedro pelo plano um quadriltero. Caracterize esse quadriltero e determine o seu permetro.

29. Na figura esto representados, em referencial o.n. Oxyz, um prisma e uma pirmide quadrangulares, com a mesma altura. A base do prisma, que coincide com a base da pirmide, est contida no plano xOy. O vrtice P pertence ao eixo Ox. O vrtice R pertence ao eixo Oy.

O vrtice S pertence ao eixo Oz.

O vrtice U tem coordenadas ( )4,2,2 a) Escreva uma condio eu defina a recta TU. b) Calcule a amplitude do ngulo WQV. Apresente o resultado em graus, arredondado s unidades. Nota: sempre que, nos clculos intermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, trs casas decimais.


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c) Considere o plano de equao yx = . Determine a rea da regio compreendida entre as seces produzidas, por esse plano, no prisma e na pirmide.

30. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um slido formado por um paraleleppedo rectngulo [ABCDEFGH] e uma pirmide [ABCDV]. A base [EFGH] do paraleleppedo est contida no plano xOy e a base da pirmide coincide com a face superior do paraleleppedo. A aresta [GF] est contida no eixo Oy. Uma equao da superfcie esfrica com centro ( )1,1,1A e que contm G ( ) ( ) ( ) 11111 222 =++ zyx a) Verifique que o ponto H tem coordenadas ( )0,2,1 . b) Mostre que uma equao do plano AGH 023 =+ zy . c) Designando por c a cota do ponto V, mostre que o volume do slido c+2 .

31. Na figura est representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirmide regular. Sabe-se que:

a base [ ]RSTU um quadrado de rea 4 com centro na origem do referencial;

a aresta [ ]RS paralela ao eixo Oy o vrtice V tem coordenadas ( )0,0,2 .

Mostre que a recta definida pela condio 0 2x y z= = perpendicular ao plano STV e escreva uma

equao deste plano.

32. Considere, em referencial o.n. Oxyz, o ponto ( )0,4,3P a) Seja o plano que contm o ponto P e perpendicular recta de equao vectorial ( ) ( ) ( ), , 0,1, 3 1,0,2 ,x y z k k IR= + Determine a rea da seco produzida pelo plano na esfera definida pela condio

( ) ( ) ( )2 2 22 1 4 3x y z+ + + b) Admita que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo Oz, nunca coincidindo com a origem O do referencial. Seja f a funo que faz corresponder, cota z do ponto Q, o permetro do tringulo [ ]OPQ Mostre que ( ) 25 6 25f z z z z= + + +


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33. Na figura est representado, em referencial o. n. Oxyz, um cubo de aresta 5 O vrtice O do cubo coincide com a origem do referencial. Os vrtices

P, R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz,

respectivamente. O tringulo escaleno [ ]MNQ a seco produzida no cubo pelo plano de equao 10 15 6 125x y z+ + =

a) Escreva uma condio que defina a recta que passa por U e perpendicular ao plano

b) Seja a amplitude, em graus, do ngulo MQN. Determine . Apresente o resultado arredondado s unidades. Se, em clculos intermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, trs casas decimais.

34. Na figura, est representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular. Admita que o vrtice E se desloca no semieixo positivo Oz, entre a origem e

o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos. Com o movimento do vrtice E, os outros quatro vrtices da pirmide

deslocam-se no plano xOy, de tal forma que: a pirmide permanece sempre regular

o vrtice A tem sempre abcissa igual ordenada

sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre 6x c+ =

a) Seja ( )V x o volume da pirmide, em funo de x ] [( )0,6x . Mostre que ( ) 2 348 3V x x x= b) Admita agora que 1x = . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos A, B e E e determine uma equao cartesiana do plano ABE.

35. Na figura, est representado um referencial o.n. Oxyz. Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado. O ponto P pertence ao plano ABC.

O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que sempre vrtice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vrtices

pertencem aos planos coordenados.

O plano ABC definido pela equao 2 3 9x y z+ + =

a) Seja a a abcissa do ponto P ] [( )0,3a Mostre que o volume do prisma dado, em funo de a, por ( ) 2 33V a a a= b) Seja r a recta que passa pelo ponto A e perpendicular ao plano ABC. Determine uma equao vectorial da recta r.


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36. Na figura, est representado, em referencial o. n. Oxyz, um cone de revoluo. Sabe-se que: a base do cone est contida no plano de equao 2 2 11x y z+ =

o vrtice V do cone tem coordenadas ( )1,2,6 o ponto C o centro da base do cone

a) Determine uma equao do plano que passa no vrtice do cone e que paralelo ao plano .

b) Seja o plano definido pela equao 2 3x y z + = . Averige se os planos e so perpendiculares. c) Seja W o ponto simtrico do ponto V, em relao ao plano xOy. Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condio que defina o segmento de recta [ ]VW . d) Sabendo que o raio da base do cone igual a 3, determine o volume do cone.

37. Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um slido que

pode ser decomposto num cubo e numa pirmide quadrangular regular. A origem do referencial um dos vrtices do cubo, o vrtice P pertence ao

eixo Ox e o vrtice R pertence ao eixo Oy. Os vrtices da base da

pirmide so os pontos mdios dos lados do quadrado [ ]OPQR . O ponto Q tem coordenadas ( )2,2,0 . O volume do slido igual a 10 a) Determine a cota do ponto E. b) Determine uma equao da superfcie esfrica que tem centro no ponto T e que passa pelo ponto C.

c) Na figura abaixo est representado o cubo, em papel quadriculado. Desenhe a seco produzida no cubo pelo plano FQD. Em seguida, assinale com um X a opo correcta, quanto forma da seco.

38. Na figura, est representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ ]ABCDEFGH (o ponto H no est representado na figura). a) Preencha cada um dos espaos seguintes, utilizando a designao de um ponto ou de um vector, de modo a obter afirmaes verdadeiras. Copie as afirmaes obtidas para a sua folha de respostas.

A seco obtida um

tringulo

rectngulo

losango

trapzio

pentgono

hexgono


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............... FG AC+ =

F CD+ =

...............

2D AB CE+ + =

...............

b) Admita agora que: o ponto A tem coordenadas ( )11, 1,2 o ponto B tem coordenadas ( )13,2,8 o ponto E tem coordenadas ( )8,5,0

b1) Determine a rea da seco produzida no cubo pelo plano ABG b2) Defina, por uma condio, a recta que contm o ponto F e paralela ao eixo Oz

39. Na figura, esto representados, num referencial o.n. Oxyz, a pirmide [ ]VOPQR quadrangular regular e o prisma quadrangular regular [ ]ABCDEFGH . Sabe-se que:

os vrtices P e R da pirmide pertencem aos eixos coordenados

Ox e Oy, respectivamente;

uma das bases do prisma est contida na base da pirmide e cada

vrtice da outra base pertence a uma aresta da pirmide.

a) Preencha cada um dos espaos seguintes, de modo a obter afirmaes verdadeiras quanto posio relativa das rectas e/ou dos planos. Copie as afirmaes obtidas para a sua folha de respostas.

As rectas DQ e VF so . As rectas EH e so no complanares.

A recta PQ e o plano HGB so . A recta FQ e o plano ADH so . Os planos BQV e . so perpendiculares.

b) Sabe-se que 2 2 2 2 2 8 0x y z x y z+ + = uma equao da superfcie esfrica que tem centro no ponto V e que contm os quatro vrtices da base da pirmide [ ]VOPQR . Calcule o volume da pirmide [ ]VOPQR .


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40. Na figura, est representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH]. As coordenadas dos pontos A, B e G so (11, -1,2), (8,5,0) e (6,9,15), respectivamente. a) Determine a coordenadas do ponto H. b) Escreva uma equao que defina a superfcie esfrica com centro no ponto A e que passa no ponto B.

c) Escreva uma equao que defina a reta que passa no ponto G e que paralela ao eixo Oy.

41. Na figura est representado um cilindro de altura h e raio da base r. Sejam A e B os centros das bases do cilindro. Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento [AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B. Cada posio do ponto P determina dois cones cujos vrtices coicidem com o ponto P e cujas bases coicidem com as bases do cilindro. Mostre que a soma dos volumes dos dois cones constante, isto , no depende daposio do ponto P. Sujesto: designe por a a altura de um dos cones.

42. Na figura, est representado, em refencial o.n. Oxyz, o poliedro

[VNOPQURST], que se pode decompor num cubo e numa pirmide quadrangular regular. Sabe-se que:

a base da pirmide coincide com a face superior do cubo e est contida no plano xOy

o ponto P pertence ao eiro Ox

o ponto U tem coordenadas (4,-4,-4) o plano QTV definido pela equao 12225 =++ zyx

a) Para da um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condio cartesiana que o defina. a1) Plano parelelo ao plano QTV e que passa na origem do refencial. a2) Plano perpendicular reta QN e que passa no ponto V a3) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U a4) Superfcie esfrica de centro em U e que passa no ponto T

b) Considere um ponto A, com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U. Sabe-se que 8. =OTOA . Determine a cota do ponto A.

c) Determine o volume do poliedro [VNOPQURST]


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43. Na figura, est representada, num refencial o.n. Oxyz, uma pirmide quadrangular regular [ABCDE] cuja base est contida no plano xOy. Sabe-se que:

o vrtice A tem coordenadas (1,0,0) o vrtice B rem coordenadas (0,1,0) o plano DCE perpendicular reta definida pela condio

zyx

==

33

Determine o volume da pirmide.

Nota: pode ser-lhe til determinar uma equao do plano DCE

Solues

1. a) ( ) ( )2 2 25 5 50x y z + + = b) 5 5, ,92 2

W

2. a) ( ) ( ) ( ), , 4,0,8 4,3,0 ,x y z k k IR= + b) 128 3. a) 2 2 0 2x y z= = b) pertence

c) 4 2 5Permetro = + 4. ( ) ( ) ( ), , 2,0,0 6,3,4 ,x y z k k IR= + 5. a) 20 b) ( )3,2,6V c) pertence 6. b) ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,1,0,00,5,0,, c) 102 =+ yx 7. c) ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,1,3,00,0,0,, d) 4 8. c) ( )12,10,12 d) 28% 9. b) 03 =+ zy c) ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,0,0,16,2,2,, d) 3,19 10. b) 273 = yx c) 27

11. a) xz = b) ( ) ( ) ( ) 3111 222 =++ zyx

26. c) 49 27. b) 83 =+ zyx c) 9

16

28. b) ( ) ( ) ( ) 1111 222 =++ zyx c) um losango de permetro 62 29. a) ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,0,1,04,2,2,, b) 18 c) 82 31. 2 2y z+ = 32. a) 3pi 33. a) ( ) ( ) ( ), , 5,5,5 10,15,6 ,x y z k k IR= + b) 37 34. b) ( )1,1,0A ( )1,1,0B ( )0,0,5E 5 5 0y z+ =

35. b) ( ) ( ) ( ), , 9,0,0 1, 2,3 ,x y z k k IR= + 36. a) 2 2 7 0x y z+ + = d) 18pi b) e no so perpendiculares c) ( )1,2, 6W 1 2 6 6x y z= = 37. a) 3 b) ( ) ( )2 222 2 9x y z + + + =

c) trapzio


17/17

c) 243 pi 12. b) 1222 =++ zyx c) 8424 +

13. b) ( )1,0,0C c) 3

50pi 14. c) 4

15. a) 36 c) 4222 =++ zyx 16. a) 26 b) 77,9 17. b) ( ) ( ) ( ) IRkkzyx += ,1,0,60,0,10,, 18. c) ( ) ( ) 1325 222 =++ zyx 19. b) ( ) 254 222 ++ zyx c)

2524

20. b) ( ) ( ) ( ) 9333 222 =+++ zyx 21. a) 343 b) ( )0,0,5H pertence ao eixo Ox c)

213

,0,0P 22. c) no perpendicular a

xOy. 23. c) 26 24. c) 3

1000

25. b) 2632 =++ zyx c) ( )2,6,1D

38. a) AB

; E; F b1) 49 2 b2) ( ) ( ) ( ), , 10,8,6 0,0,1 ,x y z k k IR= + 39. a) concorrentes; FB ; estritamente paralelos;

concorrentes; PQR (por exemplo) b) 163

40. a) (9,3,17) b) 49)2()1()11( 222 =+++ zyx c) 156 == zx ou

Rkkzyx += ),0,1,0()15,9,6(),,( 42. a1) 0225 =++ zyx a2) 2=x

a3) 2

42

45

4 +=

+=

zyx

a4) 16)4()4()4( 222 =++++ zyx b) 2 c) 80 43. 2

f. trabalho (12.º - geometria no espaço).pdf

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