GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Paralelismo Resumo

© antónio de campos, 2009.

recta – recta, geral:

Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.

Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2)

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

C2

C1

r1

r2

s1

s2

recta de perfil – recta de perfil:

Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.

Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4).

x

y ≡ z

N2

r2

s2

s1

r1

M1

M2

N1

A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p.

A1

A2

B1

B2

p1 ≡ p2p’1 ≡ p’2

recta – plano, geral:

Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.d.).

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

C1

C2

r2

r1

fα

s2

s1

F1

F2

H1

H2

hα

recta – bissector β1,3:

Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.

Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ.

x

P1

P2

fρ

hρ

a1

a2

F1

F2

H1

H2

fα

≡ hα ≡ i1

i2

I2

I1

A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

recta – bissector β2,4:

Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.

Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ.

x

P1

P2

fρ

hρ

a1

a2

F1

F2

H1

H2

fα

≡ hα ≡ i1

i2

I2

I1

A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3.Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

recta de perfil – bissector β1,3:

Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.

Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas.

x

h2

h1

p1 ≡ p2

R1

R2

Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p’, contido no β1,3.

Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S.

p’1 ≡ p’2

A1

A2

B2

B1

r1

r2

s1

s2

S1

S2

Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’, paralela a h e concorrente com a recta p em S.

h’2

h’1

F1

F2

F’1

F’2

fθ ≡ hθ

A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si).

Nota que os traços de θ ficam coincidentes.

Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β1 ,3, e os traços de p nos planos de projecção.

recta de perfil – bissector β2,4:

Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.

Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção.

x

p1 ≡ p2

A1

A2

≡ hπ ≡ fπ

≡ i1 ≡ i2

≡ e2

≡ fπr

≡ H2 ≡ F1(e1)

≡ hπr

ir

Ar

Fr ≡ F2

pr

H1

Hr

A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p.

Depois uma recta auxiliar de perfil passante i,

pertencente ao β2,4 , rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p.

plano – plano, geral:

Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal).

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3).

x

y ≡ zfα

hα

P1

P2

h2

h1

F1

F2

fδ

hδ

A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.

plano de rampa - plano de rampa:

Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.

Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si.

x

fρ

hρ

fσ

hσ

F1

F2

H1

H2

r1

r2

s1

H’1

H’2

F’1

F’2

s2