GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Sombras - Resumo

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES

A sombra na Geometria Descritiva é uniforme, ao contrário da realidade.

Os componentes básicos da sombra (de um ponto neste caso) são os seguintes:

L – fonte luminosa;l – raio luminoso;A – objecto (ponto) exposto à situação luminosa;As – sombra do ponto A no plano α (ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano α).

α

AL

As

l

FONTE LUMINOSA

A fonte luminosa pode situar-se a uma distância finita (considera-se um foco luminoso) ou a uma distância infinita (considera-se uma direcção luminosa).

α

L ll’

α

ll’

foco luminoso direcção luminosa

DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL

A direcção luminosa convencional (ou direcção convencional da luz) é considerada a direcção luminosa ideal para as pessoas dextras escreverem. A luz provém de cima, da esquerda e de trás, com um ângulo de amplitude de cerca de 35º 26’. É convencionalmente representada por φº. As projecções da recta l (raio luminoso da direcção convencional da luz) fazem 45º com o eixo x.

x

xz

xy

A

lA2

A1

l1

l2

φº

φº

45º

45º

x

l2

l1

45º

45º

≡ hαr

≡ hα

fα

(e1)

≡ fαr≡ e2

A2

A1

Ar

lr

φº

SOMBRA PROJECTADA, SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA ESPACIAL

A sombra projectada (ou produzida) é a sombra que um objecto produz numa superfície.A sombra própria é a parte do objecto que se encontra sombreada.A sombra espacial é a porção do espaço compreendida entre a sombra própria e a sombra projectada.

α

L l

l’A

BC

l’’

As

Bs

Cs

x

xz

xy

SOMBRA REAL E SOMBRA VIRTUALA sombra real é a sombra que um objecto produz na superfície do primeiro plano de projecção que intersecta o raio da sombra (o raio luminoso depois de passar pelo objecto). Só há uma sombra real por objecto. Só se contempla casos no 1.º diedro.A sombra virtual é a sombra que um objecto produz na superfície de outros planos que intersecta o raio da sombra, depois de ter intersectado o primeiro plano de projecção. Pode haver mais de que uma sombra virtual.Para simplificar as anotações, são omitidas as projecções da sombra real e da sombra virtual no eixo x.

L

AAs

Av

l

x

l2

l1

A2

A1

As2

Av1

L2

L1

SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA – Noção de Ponto de Quebra

Pretende-se a sombra real do segmento de recta [AB] nos planos de projecção. Em alternativa à solução indicada em baixo, seria possível localizar o ponto de quebra (ponto Q) através da intersecção do segmento de recta da sombra virtual do ponto A (Av2) e da sombra real do ponto B (Bs2) com o eixo x.

x

xz

xy

l

l’

l’’

A

B

A2

A1

B1

B2

Bs

As

Bv

x

A2

A1

B2

B1

As1

l2

l’2

l’’2

l1

l’1

l’’1

Bs2

Bv1

QQs

SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJECÇÃO

Pretende-se a sombra real do segmento de recta horizontal [AB].

x

xz

xy

l

l’

l’’

A

BA2

A1

B1

B2

Bs

As

x

A2

A1

B2

B1

l2

l’2

l’’2

l1

l’1

l’’1

As1

Bs1

SOMBRA DE UMA RECTA OBLÍQUA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

Pretende-se a sombra projectada da recta r nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta r que se localiza no 1.º diedro, o segmento de recta [FH].

x

xz

xy

l

l’

F

H

As x

A2

A1

l2

l’2

l’1

As2

r

A

Q

≡ Fs

≡ Hs r1

r2

H2

H1

F2

F1

l1

rs1

rs2

≡ Fs2

≡ Hs1

Qs

SOMBRA DE UMA RECTA PARALELA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

Pretende-se a sombra projectada da recta frontal f nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta f que se localiza no 1.º diedro, a semi-recta HA.

x

xz

xy

l

l’

H

As x

A2

A1

l2

l’2

l’1

As2

fA

Q≡ Hs

f1

f2

H2

H1

l1

fs1

fs2

≡ Hs1

f1

f2

Qs

ENTENDIMENTO ESPACIAL DA SOMBRA DE RECTASPara determinar a sombra de uma recta nos planos de projecção, conduz-se pela recta, um plano luz/sombra (ou plano luminoso), definido pela recta e pela direcção luminosa (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância infinita), ou definido pela recta e pelo foco luminosos (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância finita).

x

xz

xy

l

l’

F

H

As

r

A

Q

≡ Fs

≡ Hs

hλ

λ fλ

l’’

B

Bs

l’’’

Cs

x

xz

xy

Ll’

F

H

As

r

A

Q

≡ Fs

≡ Hs

hλ

λ fλ

l’’

B

Bs

l’’’

Cs

C C

MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAISPara determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos (vértices) da figura plana.

x

xz

xy

A

B

C

As

Bs

Cs

l’

l’’

l’’’ l

Bv

Av

θ

MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTEOutra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra. Direcção luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito.

x

xz

xy

ν

AB

C

l

λ

i

PQQs

Ps

Bs

As

Cs

L

x

xz

xy

ν

AB

C

λ

i

PQQs

Ps

Bs

As

Cs

MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA NUMA FIGURA PLANA

Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana. Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma ordem, a face visível está iluminada.

x

xz

xy

A

B

C

As

Bs

Cs

l’

l’’

l’’’ l

Bv

Av

θ

NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS

Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um tracejado com as seguintes situações:

Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções;

Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções;

Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º (a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção convencional da luz.

FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS NÃO

PARALELOS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

Pretende-se a sombra projectada do triângulo [ABC] nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano oblíquo α, considerando um foco luminoso L.

x

L2

L1

fα ≡ hα

A2

A1

C2

C1

B2

B1

Determinar as sombras reais dos três vértices do trângulo.

As2Bs2

Cs1

Como as sombras reais existem em planos diferentes, há pontos de quebra, que serão obtidos via o método das sombras virtuais (como opção).

Qs

Bv1

Q’s

Av1

Círculos Contidos em Planos Paralelos a um

dos Planos de Projecção

No caso dos círculos, primeiro é averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém o círculo, é exterior ao círculo, não há pontos de quebra.

Pretende-se a sombra projectada do círculo nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano horizontal ν, considerando direcção convencional da luz.

x

(fν ) O2

O1

I2

I1

l1

≡ i2

i1

Determinar a parte da sombra que se situa no SPHA, que será um segmento de círculo.

Ov1

P1 Q1

Ps Qs

Determinar a parte da sombra que se situa no SPFS, que será uma elipse; através de um quadrado que inscreve o círculo na projecção horizontal, transpondo o círculo para o paralelograma na projecção frontal para desenhar a sombra.

Os2

A2

A1

B2

B1

C2

C1

≡ H2

H1

Cs2

Hv2

≡ D2

D1

≡ G2

G1

Ds2

Gv2

E2

E1

≡ F2

F1

Es2

Fs2

≡ J2

J1

≡ M2

M1

Js2

Mv2

≡ K2

K1

≡ L2

L1

Ks2

Lv2

l2

LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA

No caso de figuras planas, apenas uma das faces pode ter sombra própria. No caso dos poliedros, pode haver mais do que uma face com sombra própria.

A divisão entre as faces com sombra prórpia e sem sombra própria é designada por linha separatriz luz/sombra.

A linha separatriz luz/sombra limita tanto a sombra própria como a sombra projectada.

Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer ao plano tangente luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos planos tangentes luz/sombra e o plano da base.

x

xz

xy

Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer a planos tangentes luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e o plano da base.

λ1

λ2

l ≡ i

t ≡ hλ1

t’ ≡ hλ2

I

VVs

x

xz

xy

L

A

BC

D

D’A’

B’C’

B’s

A’s D’s

A’v

i

λ1 λ2

D’v

t ≡ hλ1

t’ ≡ hλ2

fλ1 fλ2

fλ1

fλ2

Para os casos de pirâmides ou cones, os planos tangentes luz/sombra contêm o vértice do sólido.

Para os casos de foco luminoso para prismas ou cilindros, a recta de intersecção será paralela às arestas laterais do sólido, e passa pelo foco luminoso.

I

Para os casos de direcção luminosa em prismas ou cilindros, a recta de intersecção será entre o plano luz/sombra e o plano da base.

x

xz

xy B

C

D

D’A’

B’

A

C’

λ1

λ2

fλ1

fλ2

B’s

A’s D’s

hλ ≡ i

λ

fλ

t ≡ hλ1

t’ ≡ hλ2

l

I

A’v

MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de pirâmides com a base em planos

horizontais, frontais ou de perfil

1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide.

2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base.

3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide.

4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA

PROJECTADA DE POLIEDROS COM

BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS

Pretende-se a sombra própria e sombra projectada da pirâmide quadrada nos planos de projecção, considerando um foco luminoso.

x

L2

L1

A2

A1

B2

B1

C2

C1

D2

D1

V2

V1

Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide.

l1

l2

Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base.

I1

I2

Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide.

hλ1

hλ2

As arestas laterais [BV] e [DV] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra.

Vs2

≡ Vv1

≡ Bs1

Ds1 ≡

MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de prismas com as bases em planos

horizontais, frontais ou de perfil

1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P).

2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma.

3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do prisma.

4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

Pretende-se a sombra própria e sombra projectada do prisma quadrangular oblíquo nos planos de projecção, considerando a direcção luminosa convencional. O prisma está situado no 1.º diedro e tem as bases contidas em planos horizontais.

x

(fν)

(fν1)

A2

A1

A’2

A’1

D2

D1

D’2

D’1

B2

B1

B’2

B’1

C2

C1

C’2

C’1

Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P).

P2

P1

r2

r1

l1

l2

Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma.

R2

R1

S2

S1

i1

≡ i2

Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do prisma.

t1

≡ t2

t’1

≡ t’2

As arestas laterais [BB’] e [DD’] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra.

As1

Bs1

Ds2

B’s2

C’s2D’s2

Os pontos de quebra podem ser obtidos através das sombras reais, ou com linhas paralelas às arestas laterais [BB’] e [AD], que são respectivamente arestas frontal e horizontal.

MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cones com a base em planos

horizontais, frontais ou de perfil

1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone.

2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base.

3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone.

4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CONES COM BASES

HORIZONTAIS OU FRONTAIS

Pretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção, considerando um foco luminoso. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone.

Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone. As rectas fλ1 e fλ2 são tangentes à base do cone nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AV] da geratriz g, e [BV] da geratriz g’.

x

L2

L1

O2

O1

V1

≡ V2

l1

l2

I1

I2

A2

A1

B2

B1

g1

g2

g’1

g’2

fλ1

fλ2

Vs1

≡ As2

≡ Bs2

≡ VV2

MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cilindros com as bases em planos

horizontais, frontais ou de perfil

1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P).

2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro.

3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do cilindro.

4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CILINDROS COM BASES HORIZONTAIS OU

FRONTAISPretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cilindro de revolução, situado no 1.º diedro, com as base contidas em planos frontais, considerando direcção convencional da luz. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro.

Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do cilindro. As rectas t e t’ são tangentes à base do cilindro nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AA’] da geratriz g, e [BB’] da geratriz g’.

Averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém a base, é exterior à linha separatriz luz/sombra, não há pontos de quebra.

x

O2

(hφ)

(hφ1

)

P2

P1

r1

≡ (r2)

l1

l2

≡ M2

M1

N2

N1

≡ i2

≡ i1

t2

t’2

A2

A1

≡ A’2

A’1

≡ g2

g1

B2

B1

≡ B’2

B’1

≡ g’2

g’1

≡ t1

≡ t’1

I2

I1

l’1

l’2

≡ i’1

i’2

I’2

I’1≡ i’’1

i’’2

As2

Bs2

O1

Os2

A’s1

B’s1

C2

C1

Cs1

D2

D1

Ds1

E2

E1

Es1