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  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 1

    1

    PONTO E SEGMENTO DE RETA

    Neste captulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geomtrico

    mais simples. Resultado da unio de dois pontos, aborda-se tambm o

    Segmento de Reta. Com esses elementos so explicados alguns aspetos

    cruciais que ajudaro a compreender as Retas e os Planos, assim como

    outras figuras geomtricas tratadas nos diferentes captulos.

    Sumrio:

    2. Os planos de projeo

    3. Os planos bissetores

    4. As projees do ponto

    5. As duas coordenadas do ponto

    6. O alfabeto do ponto

    7. Pontos simtricos

    8. A projeo lateral do ponto

    9. As trs coordenadas do ponto

    10. Os segmentos de reta no espao

    11. As projees dos segmentos de reta

    12. A projeo lateral dos segmentos de reta

    13. Exerccios

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 2

    Os planos de projeo

    A Geometria Descritiva um sistema didrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de proje-

    o. Um deles vertical e designa-se por Plano Frontal de Projeo (PFP), ou o (fi zero); o outro

    horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projeo (PHP), ou o (niu zero). Esses planos cru-

    zam-se numa reta que se designa por eixo x.

    O eixo x divide os planos de projeo em semiplanos: no Plano Frontal de Projeo existe o Semi-

    plano Frontal Superior (SFS) e o Semiplano Frontal Inferior (SFI); no Plano Horizontal de Projeo

    existe o Semiplano Horizontal Anterior (SHA) e o Semiplano Horizontal Posterior (SHP).

    Os planos de projeo dividem o espao em quatro pores, designadas por diedros: I., II., III. e

    IV..

    PHP o

    PFP o

    x

    Os planos de projeo em perspetiva

    Esta perspetiva mostra os planos de projeo, os semiplanos, o eixo x e os diedros. este o sistema bsico utilizado em Geometria Descritiva. Normal-mente representa-se nesta posio, supondo o observador situado no I. diedro, esquerda.

    II. Diedro I. Diedro

    III. Diedro IV. Diedro

    II. Diedro

    I. Diedro

    III. Diedro

    IV. Diedro

    o

    o SHP

    SHA

    SFI

    SFS

    SHA SHP

    SFI

    SFS

    Os planos de projeo vistos de lado

    Representados de lado, os planos de projeo ficam reduzidos a duas retas e o eixo x reduzido a um ponto. Normalmente representa-se nesta posi-o, com o I. diedro em cima, direita, supondo que o observador se encontra do lado esquerdo.

    x

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 3

    Os planos bissetores

    Alm dos planos de projeo, existem tambm os planos bissetores. Os planos bissetores dividem

    os diedros em espaos iguais, chamados octantes. Ou seja, devido presena dos planos bisseto-

    res, cada diedro fica dividido em dois octantes. O 1/3 o plano que divide a meio os diedros I e III; o

    2/4 divide os diedros II e IV. Estes planos no so utilizados como planos de projeo.

    o

    o

    x

    Os diedros e os octantes

    vistos de lado

    Nesta imagem mostra-se como se distri-buem os diedros e os octantes ao longo do espao. Cada diedro contm dois octantes. A contagem, de uns e de outros, faz-se do Semiplano Horizontal Anterior para cima.

    2/4 1/3

    1/3 2/4

    o

    o 1 Oct.

    2 Oct. 3 Oct.

    4 Oct.

    5 Oct.

    6 Oct. 7 Oct.

    8 Oct.

    I. Diedro II. Diedro

    III. Diedro IV. Diedro

    Os planos bissetores e os

    planos de projeo em perspetiva

    Os planos bissetores dividem os diedros em espaos iguais, chamados octantes. Como se pode verificar, planos de projeo e planos bissetores cruzam-se no eixo x. Chama-se 1/3 ao bissetor dos diedros mpares e 2/4 ao bissetor dos diedros pares.

  • As projees do ponto

    Na Geometria Descritiva trabalha-se habitualmente com projees ortogonais, o que significa que as

    figuras geomtricas so projetadas do espao para os planos de projeo atravs de retas que lhes

    so perpendiculares.

    o

    o

    x

    As projees dos pontos na representao final

    Depois de projetados os pontos e de efetuado o rebatimento, as representaes finais dos pontos ficam como mostra esta imagem. Note-se que os pontos A, B, C e D se situam nos diedros I, II, III e IV, respetivamente.

    o o

    x

    x

    Projees de pontos em perspetiva

    Os pontos so projetados do espao para os pla-nos de projeo atravs de retas que so perpendi-culares aos planos, designadas por projetantes. Aqui, essas retas esto representadas apenas no ponto A, para no sobrecarregar o traado.

    As projees aps o rebatimento

    Rodando em torno do eixo x, os planos de projeo ficam coincidentes. Nesse movimento, designado por rebatimento, os diedros I e III abrem, os diedros II e IV fecham. Aqui rebateu o PHP sobre o PFP, mas se for ao contrrio o mesmo, aquele que se mostra na imagem seguinte.

    A A2

    A1

    B B2

    B1

    C C2

    C1

    D

    D1

    D2

    A2

    A1

    B2

    B1

    C1

    C2

    D2

    D1

    A2

    A1

    C1

    C2

    B2

    B1

    D2

    D1

    Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 4

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 5

    As duas coordenadas do ponto

    Para representar pontos (e as outras figuras geomtricas) consideram-se trs coordenadas: abcissa,

    afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa explica-

    da mais adiante, em As trs coordenadas de um ponto.

    Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as trs coordenadas,

    bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui.

    As medidas das coordenadas so dadas em centmetros.

    Projees dos pontos dados

    Os pontos dados pelas suas coordenadas esto representados nos planos de projeo vistos de lado, na pri-meira imagem; nesta esto representados pelas suas projees. Como se pode verificar, cotas positivas e afas-tamentos negativos originam projees para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originam projees para baixo do eixo x.

    S

    R

    T

    U

    V

    X

    Y

    Z

    o

    o

    afastamentos negativos afastamentos positivos

    cotas positivas

    cotas negativas

    Coordenadas dos pontos representados:

    R(1,5;2)

    S(0;1)

    T(-1,5;1,5)

    U(-3;0)

    V(-2;-1)

    X(0;-2)

    Y(1;-1,5)

    Z(2,5;0)

    O primeiro valor corresponde ao afastamento, o segundo cota, separados por ponto e vrgula.

    x

    R2

    R1

    S2

    S1

    T2T1

    U1

    U2

    V1

    V2

    X2

    X1

    Y2

    Y1

    Z1

    Z2

    cotas +

    afast. -

    afast. +

    cotas -

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 6

    O alfabeto do ponto

    O alfabeto do ponto o conjunto de todas as posies genricas que os pontos podem ter em rela-

    o aos planos de projeo.

    A2

    A1

    B2

    B1

    C2

    C1

    D2

    D1

    E2

    E1

    F2F1

    G1

    G2

    H1

    H2

    I1

    I2

    K1

    K2

    J1

    J2

    L1

    L2

    M1

    M2

    N2N1

    O2

    O1

    P2

    P1

    Q2Q1 x

    Posies genricas dos pontos representadas nas projees

    Os pontos A, B e C tm a projeo frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-se no I. diedro; os pontos E, F e G tm ambas as projees para cima do eixo x, situam-se no II. diedro; os pon-tos I, J e K tm a projeo frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III. diedro; os pontos M, N e O tm ambas as projees para baixo do eixo x, situam-se no IV. diedro. Os pontos D, H, L e P tm uma projeo no eixo x, situam-se nos planos de projeo; os pontos B, F, J e N tm projees com medi-das iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissetores; o ponto Q situa-se no eixo x.

    Posies genricas

    dos pontos vistas de lado

    Os pontos representados na ima-gem ao lado so os mesmos que se apresentam em projees na ima-gem de cima. Aqui pode-se obser-var com mais clareza os diedros, octantes e planos onde se situam. As coordenadas destes pontos so:

    A(3;1) B(2;2) C(1;3)

    D(0;4) E(-1;3) F(-2;2)

    G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1)

    J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4)

    M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1)

    P(4;0) Q(0;0)

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    J

    K

    L

    M

    N

    O

    P Q

    2/4 1/3

    o

    o

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 7

    Pontos simtricos

    A determinao de pontos simtricos importante para exercitar a marcao de pontos e para

    melhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina.

    Toma-se um ponto como referncia e determinam-se os seus simtricos em relao aos planos de

    projeo, aos planos bissetores e ao eixo x.

    Determinao de pontos simtricos

    Os pontos de referncia utilizados nesta imagem so os seguintes:

    A(1;3) P(-4;2)

    Os simtricos de A so:

    B(1;-3) - simtrico em relao ao PHP C(-1;3) - simtrico em relao ao PFP D(3;1) - simtrico em relao ao 1/3 E(-3;-1) - simtrico em relao ao 2/4 F(-1;-3

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