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Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 1
8
SÓLIDOS II
Neste capítulo mostra-se como se determinam secções provocadas por dife-
rentes tipos de planos, em pirâmides, prismas, cones, cilindros e na esfera.
Mostra-se também como se efetuam as truncagens e se determinam as verda-
deiras grandezas das secções.
Sumário:
2. As secções piramidais e prismáticas no espaço
3 e 4. Secções provocadas por planos projetantes em pirâmides e
em prismas
5 e 6. Secções provocadas por planos não projetantes em pirâmides e
em prismas
7, 8 e 9. Truncagens de pirâmides e de prismas e verdadeiras
grandezas de secções
10 e 11. As secções cónicas, cilíndricas e esférica no espaço
12, 13 e 14. Secções provocadas por planos projetantes em cilindros,
em cones e na esfera
15, 16 e 17. Secções provocadas por planos não projetantes em
cilindros, em cones e na esfera
18, 19 e 20. Truncagens de cilindros, de cones e de esferas provocadas
por planos projetantes e verdadeiras grandezas das secções
21, 22 e 23. Truncagens de cilindros, de cones e de esferas provocadas
por planos não projetantes e verdadeiras grandezas das secções
24. Interseção de retas com sólidos no espaço
25, 26, 27 e 28. Interseção de retas com pirâmides, prismas e esfera
29, 30, 31 e 32. Interseção de retas com cones e cilindros
33, 34 e 35. Exercícios
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 2
As secções piramidais e prismáticas no espaço
Secção é o nome da figura que resulta do corte num sólido provocado por um plano, designado pla-
no secante. As secções adquirem formas diferentes consoante a posição do plano. Em pirâmides e
em prismas as secções são sempre polígonos.
B
V
A
C
π
D
1
4
3
2
B
V
A
C
β
D
1
2
3
4
B
V≡3
A
C
α
D
1
2
Secções da pirâmide As secções piramidais têm pequenas variantes. À esquerda temos um plano secante que corta todas as ares-tas laterais. Ao centro temos um plano que corta duas arestas laterais e duas da base. À direita o plano contém o vértice e corta a base em duas arestas; esta secção é um triângulo.
Secções do prisma Também as secções prismáticas apresentam poucas variantes. O plano da esquerda corta todas as arestas laterais (este é paralelo às bases, pelo que a secção resulta com o seu formato). Ao centro o plano secante corta uma aresta lateral e duas da base, resultando um triângulo. À direita o plano corta as duas bases, resul-tando um quadrilátero.
B
A C
B’
A’ C’
B
A
C
B’
A’ C’
B
A C
B’
A’ C’
1
2
3
1
2
3
δ
θ
ρ
3
2
4
1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 3
Secções provocadas por planos projetantes
em pirâmides e em prismas
Nesta página mostram-se secções provocadas por planos projetantes em pirâmides. É comum indi-
carem-se os vértices das secções com algarismos, em vez de letras, como se faz aqui. De notar que
as secções provocadas por planos projetantes têm uma projeção reduzida a um segmento de reta,
projeção essa situada no traço sobre o qual o plano é projetante.
Secções provocadas por planos
projetantes frontais em pirâmides
Em cima estão duas pirâmides regulares de base horizontal, quadrada a primeira, penta-gonal a segunda. À esquerda o plano secante é horizontal, o que origina um quadrado. À direita o plano é de topo, daí resultando um pentágono irregular. Neste caso, para determi-nar a projeção 51, da aresta de perfil, recorreu-se a uma linha auxiliar paralela ao lado [DE], traçada a partir de 52.
x
A1
B1
C1
D1
A2 D2 B2 C2
V2
V1
Secção provocada por um plano projetante horizontal numa pirâmide
Ao lado temos uma pirâmide triangular oblíqua e um plano secante vertical. De notar que este plano corta a base, pelo que a secção resulta quadrangular.
(fδ) 12 42 22 32
11
21
31
41
12
42
22
32
52
A2
B2 C2 D2 E2
V2
V1
A1
B1 C1
D1
E1
11
21 31
51
41
fβ
hβ
D’2
D’1
[D’5] // [DE]
P2 Q2
R2
V2
(hα)
12
22
32
42
11
V1
41
21≡31 Q1 P1 R1
x
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 4
Aqui temos secções provocadas por planos projetantes em prismas. O procedimento a aplicar é o
mesmo da página anterior.
Secções provocadas por planos projetantes num prisma
Aqui temos o mesmo sólido, um prisma triangular oblíquo, a ser seccionado por dois planos diferentes. À esquerda o plano secante é vertical contendo o ponto B. À direita o plano é horizontal, contém o ponto B’ e cor-ta as duas bases. Nesta situação, parte da secção fica oculta pelas projeções horizontais das bases.
x
A2
B2
C2
C1 B1
A1
A’2
B’2≡32
C’2
B’1≡31 A’1 C’1
(fπ)
11
12
21
41
22
42
A2
B2≡22
C2
C1 B1≡21 A1
A’2
B’2
C’2
B’1 A’1 C’1
11
12
31
(hδ)
32
Secção provocada por um plano projetante frontal num prisma
Ao lado temos um prisma pentagonal regular e um plano secante de topo que corta as duas bases. Também aqui parte da secção fica oculta na projeção horizontal.
K1≡K’1≡61
H2 I2 J2
L1≡L’1≡11
H1≡H’1
I1≡I’1≡31
J1≡J’1
H’2 J’2
I’2
L2
L’2≡12≡22 K’2
K2
21 41
51
32
42≡52 62
x
(fθ)
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 5
Secções provocadas por planos não projetantes
em pirâmides e em prismas
Caso os planos secantes não sejam projetantes, a secção não se determina diretamente, havendo
necessidade de utilizar processos auxiliares.
Secção provocada por um plano oblíquo numa pirâmide oblíqua
Quando o plano secante é oblíquo, determi-nam-se os pontos da secção fazendo passar por cada aresta um plano projetante auxiliar, tal como se faz na interseção de uma reta com um plano. Aqui esse processo é descri-to apenas na aresta lateral do ponto B; não se indicam nomes nas restantes para não sobrecarregar o traçado e porque se trata de um processo repetitivo.
Secção provocada por um plano oblíquo num prisma regular
O tipo de plano auxiliar que se utiliza é aquele que for mais conveniente em termos de traça-do; neste caso optou-se por planos frontais, uma vez que cada um contém duas arestas laterais. Apenas se indicam os nomes no processo que envolve o plano com menor afastamento. De notar que os pontos 1 e 6 foram determinados diretamente, já que se encontram na base, que é cortada pelo traço horizontal do plano secante.
x
C1
A1
B1
A2
V1
V2
C2
B2≡H2
F2
F1
22
32 12
21 11
31
fπ
fδ≡i2
hπ
i1
hδ
H1 fπ
hπ
(hθ)≡i1 H1
H2
i2
A1≡A´1
21≡B1≡B´1
41≡D1≡D´1
F1≡F´1
11
61
C1≡C´1≡31
52
51≡E1≡E´1
62 12
22
32
42
A2 C2≡E2 D2 B2≡F2
D’2
C’2≡E’2 B’2≡F’2 A’2
x
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 6
Mostram-se aqui dois processos para determinar as secções provocadas por planos de rampa.
Secção provocada por um plano de rampa num prisma oblíquo
Este prisma tem arestas laterais hori-zontais, pelo que se devem utilizar pla-nos auxiliares verticais. Aqui, esse pro-cesso é descrito apenas na aresta late-ral [CC’]. Sendo paralelas entre si as arestas laterais, são também paralelas as retas de interseção resultantes da aplicação dos diferentes planos auxiliares.
Secção provocada por um plano de rampa numa pirâmide reta
O plano de rampa é projetante lateral, pelo que o seu traço lateral nos dá diretamente a secção nessa projeção. As projeções principais da secção determinam-se a partir dessa. Com este processo não é necessário utilizar planos auxiliares.
x
A1
B1
C1
D1
A2 D2 B2 C2
V2
V1
fα
12
42
22
32
11
21
31
41
V3
B3 D3
A3 C3
hα
lα
33
43
13
23
y≡z
x
A2
B2
C2
F1≡C1 B1 A1
A’2
B’2
C’2
B’1 A’1 C’1
fδ
i1≡hδ
fπ
hπ
F2
H1
H2
i2
32
31
11
21
12
22
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 7
Truncagens de pirâmides e de prismas
e verdadeiras grandezas das secções
A truncagem é um processo que consiste no seccionamento de um sólido em duas partes, despre-
zando uma e destacando a outra. A parte destacada designa-se por tronco. Aproveita-se nestas
páginas para determinar também a verdadeira grandeza da secção. Nesta página em concreto mos-
tra-se uma situação em que o plano secante é vertical, outra em que é de topo.
Tronco de prisma e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano vertical
Destaca-se aqui o tronco do prisma que fica à direita da secção. A VG foi determinada através do rebatimento do plano para o PFP.
x
12
42
22
32
52
A2
B2 C2 D2 E2
V2
V1
A1
B1 C1
D1
E1
11
21 31
51
41
fβ≡fβR
hβ
D’2
D’1
x≡hδR
A2
B2≡22
C2
C1 B1≡21
A1
A’2
B’2
C’2
B’1
A’1 C’1
11
12
31
(hδ)
32
Tronco de pirâmide e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de topo
Destaca-se o tronco de pirâmide entre a base e a secção. A VG foi determinada através do rebatimento do plano para o PFP. A transposição das medidas dos afasta-mentos dos vértices da secção está indica-da apenas no ponto 1, para não sobrecar-regar o traçado com outros sinais.
1R
3R
2R
VG
hβR
1R
2R
3R
4R 5R
VG
=
=
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 8
Aqui mostra-se uma situação em que o plano secante é de perfil, outra em que é oblíquo. Nas pági-
nas anteriores não tinha ainda sido mostrada nenhuma secção provocada pelo plano de perfil.
Tronco de prisma e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de perfil
Destaca-se aqui o tronco do prisma que fica à direita da secção. A VG foi determinada através do rebatimento do plano para o PHP. As projeções principais da secção pro-vocada por um plano de perfil ficam ambas reduzidas a um segmento de reta. No rebatimento podemos ver qual o aspeto dessa secção.
Tronco de pirâmide e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano oblíquo
Aqui, para determinar a VG da secção rebate-se o plano secante para o PHP, assim como as retas que resultam das interseções entre ele e os planos auxi-liares. Nessas retas rebatidas situam-se os vértices rebatidos da secção.
x
C1
A1
B1
A2
V1
V2
C2
B2≡H2
F2
F1
22
32 12
21 11
31
fπ
fδ≡i2
hπ≡hπR
i1
hδ
H1≡HR
FR
iR
fπR
1R
2R 3R
VG
x≡fβR
C1
A1
B1
A2 C2
B2
22≡32
12
21
31
fβ≡hβ≡hβR
3R
2R
VG
A’1
B’2 C’2 A’2
11 1R
C’1
B’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 9
Nesta página mostra-se apenas uma situação, que envolve um plano secante de rampa.
Tronco de pirâmide e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de rampa
Aqui aproveita-se a projeção lateral da secção para, com base nela, se proceder ao rebatimento do plano secante sobre o PFP e determinar a VG da secção.
x
A1
B1
C1
D1
A2 D2 B2 C2
V2
V1
fα≡fαR
12
42
22
32
11
21
31
41
V3
B3 D3
A3 C3
hα
lα
33
43
13
23
y≡z
2R
3R
4R
1R
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 10
As secções cilíndricas, cónicas e esférica no espaço
Nesta página são mostradas secções provocadas em cilindros e na esfera.
Secção da esfera Independentemente do tipo de plano secante, a secção que este provoca na superfície da esfera é sempre uma circunferência.
Secções do cilindro Mostram-se aqui quatro secções cilíndricas. A primeira é uma circunferência, resultando do corte feito por um plano paralelo às bases. A segunda é uma elipse, que resulta de um plano oblíquo às bases. A terceira é um quadrilátero, provocado por um plano paralelo às geratrizes. A última, representada à esquerda, é uma variante da segunda, em que o plano secan-te corta uma das bases; daqui resulta uma secção formada por um arco de elipse e um segmento de reta. Há ainda a possibilidade de o plano apanhar ambas as bases, ficando a secção formada por dois segmentos de reta e dois arcos de elipse.
O
O’
[b]
[b’]
A’
O
O’
[b]
[b’]
O
O’
[b]
[b’]
A
D
C
B
π
α
δ
O
O
O’
[b]
[b’]
θ
A
B
β
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 11
Aqui apresentam-se as secções cónicas. O cone é o sólido que permite maior variedade de sec-
ções.
Secções do cone Em cima, à esquerda, temos um plano que contém o vértice e corta a base, dando origem a um triângulo; ao centro, um plano paralelo à base provoca uma circunferência; à direita, um plano inclinado em relação à base, cortando todas as geratrizes, dá origem a uma elipse. Em baixo, à esquerda, um plano paralelo a uma geratriz (o segmento [CV]) provoca uma parábola na superfície curva e um segmento de reta na base; à direita, um plano paralelo a duas geratrizes (neste caso as geratrizes de contorno [TV] e [T’V]), origina uma hipérbole na superfície curva e um segmento de reta na base.
V
[b]
O
V
[b]
O
A
B
V
[b]
O
V
[b]
O
A
V
[b]
O
B
ρ
π
β
A
T T’
C
B
α
δ
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 12
Secções provocadas por planos projetantes
em cilindros, em cones e na esfera
A secção provocada por um plano projetante determina-se diretamente. Devem utilizar-se as geratri-
zes de contorno e acrescentar outras, de preferência coincidindo duas a duas numa das projeções,
para poupar traçado e tempo. No caso de a secção ser uma elipse devem ser determinados pelo
menos oito dos seus pontos.
Secção provocada por um plano de topo num cilindro oblíquo
Neste caso as geratrizes são frontais; assim é possível reduzir traçado esco-lhendo geratrizes auxiliares cujas pro-jeções coincidem duas a duas em ambas as projeções. Os pontos das geratrizes de contorno são 1 e 5 no vertical e 3 e 7 no horizontal. Os res-tantes foram determinados com recur-so às geratrizes auxiliares. Na projeção horizontal, a secção pas-sa de visível a invisível nos pontos 3 e 7.
Secção provocada por um plano frontal num cilindro oblíquo
Este plano é tangente à base inferior no ponto 4 e corta a base superior no segmento [17]. Os pontos 2 e 6 situam-se no contorno frontal do sólido; os pontos 3 e 7 situam-se no contorno horizontal; os pontos 1 e 7 são os extremos do segmento de reta que resulta do corte da base superior. Ape-nas o ponto 5 se situa numa geratriz auxiliar. Na projeção frontal, secção passa de visível a invisível nos pontos 2 e 6.
x
A1 B1 B’1 A’1
A’2 B’2 O’2≡C’2≡D’2
O1
A2
O’1
12
52
51 11
21
31
41
61
71
81
22≡82
32≡72
42≡62
B2
(fπ)
C1
D1
C’1
D’1
O2≡C2≡D2
x
A1 B1
B’1 A’1
A’2 B’2
O’2
O1
A2
O’1
12
51
11
21 31
41 61
71
B2
(hβ)
C1
D1
C’1
D’1
22
32 52
62
72
O2≡42
C’2 D’2
C2 D2
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 13
Nesta página vemos duas situações distintas, envolvendo um cone de revolução e planos secantes
projetantes.
Secção provocada por um plano vertical num cone de revolução
Este plano secante é paralelo ao eixo do cone, pelo que a secção é uma hipérbole, rematada pelo segmento de reta [15] na base. Os pontos 1 e 5 são determinados diretamente, por se situarem na base e no traço do plano, tal como o ponto 4, por se encontrar na geratriz de contorno frontal [BV]. Os pontos 2 e 3 foram determinados com recurso a geratrizes auxiliares. A projeção horizontal da geratriz do ponto 3 é per-pendicular ao traço do plano, sendo nesse ponto que se dá a inversão da curva. Em traçados de maiores dimensões sugere-se a determinação de mais pontos.
Secção provocada por um plano de topo num cone de revolução
Aqui o plano secante é de topo e paralelo à gera-triz de contorno frontal [BV], pelo que a secção é uma parábola rematada pelo segmento de reta [15]. Os pontos 1 e 5 determinam-se diretamente por se encontrarem na base, o ponto 3 por se encontrar na geratriz de contorno do lado esquer-do. Os pontos 2 e 4 foram determinados com recurso a duas geratrizes auxiliares cujas proje-ções frontais coincidem. É no ponto 3 que a curva inverte. Em traçados de maiores dimensões sugere-se a determinação de mais pontos.
x
A1 B1
A2 B2
V2
V1≡O1
O2
x
A1 B1
A2 B2
V2
V1≡O1
O2
(hπ)
11
12
21
31
41
51
52
42
32
22
(fα)
11
51
12≡52
32
31
21
41
22≡42
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 14
Aqui temos um cone oblíquo e uma esfera, ambos seccionados por planos projetantes.
Secção provocada por um plano vertical num cone oblíquo
A secção que daqui resulta é uma elipse. Os pontos 1 e 5 determinam-se diretamente na projeção horizontal, os pontos 3 e 6 na frontal, por se encon-trarem nas geratrizes de contorno. Na projeção frontal, é nos pontos 3 e 6 que a secção passa de visível a invisí-vel, pelo que é importante determinar com rigor as suas geratrizes. De notar que para determinar os pontos 4 e 7 utilizaram-se as geratrizes auxiliares que coincidem na projeção horizontal as dos pontos 6 e 3, respetivamente. Para determinar os pontos 2 e 8 acrescentaram-se duas geratrizes auxiliares cujas projeções horizontais também coincidem, deste modo poupa-se traçado.
x A1
B1
A2
B2
V2
V1
O2
D2
Secção provocada por um plano de topo numa esfera
As secções esféricas são sempre circunferên-cias; aqui, devido à inclinação do plano, a sua projeção horizontal fica transformada numa elipse. Os pontos 1, 5, 4 e 6 foram determina-dos diretamente, com o auxílio dos círculos máximos onde se encontram, círculos esses que nos dão os contornos da esfera. Os res-tantes pontos foram marcados com recurso a dois círculos menores horizontais.
C2
O1 C1
(hπ)
11
51
12
22
32
42
52
62 72
82
31≡71
21≡81
41≡61
O2
O1
A2 B2
A1 B1
(fβ)
11
42≡62
21
81
31
71
41
61
51
12
52
32≡72
22≡82
x
D1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 15
Secções provocadas por planos não projetantes
em cilindros, em cones e na esfera
Nesta página vemos a secção provocada por um plano oblíquo num cilindro oblíquo. Apesar de o
processo ser igual, é também interessante determinar a secção provocada por um plano oblíquo
num cilindro reto, assim como a de um plano de rampa num cilindro oblíquo.
Secção provocada por um plano oblíquo num cilindro oblíquo
Para determinar esta secção são determinadas oito geratrizes. Para poupar traçado optou-se aqui por seis geratrizes cujas projeções horizontais coincidem duas a duas. Utilizam-se também as geratrizes dos contornos, uma vez que é nelas que a secção passa de visível a invisível. Com planos auxiliares verticais, foram determi-nados os pontos de intersecção das geratrizes com o plano secante, que são os oito pontos que permitem tra-çar a secção. Por se tratar de um processo repetitivo, indica-se apenas o nome dum plano auxiliar e da reta de intersecção a que dá origem. E por serem paralelas entra si as retas de intersecção, não se representam os traços frontais dos restantes planos auxiliares.
x A1
B’1
A’1
A’2 B’2 O’2
O1
A2
O’1
12
11
21 31
B2
C1 D1
C’1 D’1
22 32
52
62
72 O2
hβ≡i1
fβ
H1
fπ
hπ
H2
F2
B1≡F1
i2
C2
D2
D’2
C’2
82
81
42
41
61
71
51
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 16
x
A1 B1
A2
B2≡H2
V2
V1
O2 D2
O1
C1
hα
11 51
12 22
32 42
52
62
72 82
D1
fα
fδ≡i2
hδ
81
21
71
31
41
C2
61
F2
F1
H1
Secção provocada por um plano de rampa num cone oblíquo
Também aqui, para poupar traçado, se optou por seis geratrizes cujas projeções frontais coincidem duas a duas. Com planos auxiliares de topo, foram determinados os pontos de interseção das geratrizes com o plano secante, que são os oito pontos que permitem traçar a secção. Por se tratar de um processo repetitivo, indica-se apenas o nome dum plano auxiliar e da reta de intersecção a que dá origem.
i1
Nesta página temos um cone oblíquo seccionado por um plano de rampa. É também interessante
determinar a secção provocada por um plano de rampa num cone reto, assim como a de um plano
oblíquo num cone oblíquo, embora o processo seja o mesmo.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 17
Secção provocada por um plano oblíquo numa esfera
Para se determinarem pontos da secção utilizam-se aqui três planos auxiliares horizontais e um frontal. Cada um corta a esfera segundo uma circunferência horizontal ou frontal e intersecta também o plano secante segun-do uma reta horizontal ou frontal. Onde se cruzam essas circunferências com essas retas surgem os pontos da secção. Os pontos 1 e 6 situam-se no contorno horizontal da esfera, os pontos 4 e 8 no frontal, pelo que é neles que a secção passa de visível a invisível.
Aqui vemos o corte provocado por um plano oblíquo numa esfera, o que exige um procedimento
específico, dado que a superfície deste sólido não é regrada. É idêntico, e igualmente interessante,
observar a secção provocada por um plano de rampa na esfera.
O2
O1
A2 B2
A1 B1
(fβ)≡n2
11 21
81
31
71
41
61
51
x
n1
(hω)≡f1
f2
H1
H2
F2
F1
32
42
22
12
82
72
62
52
fρ
hρ
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 18
Truncagens de cilindros, cones e esferas provocadas por planos projetantes e verdadeiras grandezas das secções
Aqui fazem-se truncagens destes sólidos com base em exercícios de páginas anteriores, e determi-
nam-se as verdadeiras grandezas das secções. Nesta página observa-se um cilindro e uma esfera.
Tronco de cilindro oblíquo e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de topo
Em cima destaca-se o tronco do cilindro que fica à esquer-da da secção. A VG foi determinada através do rebatimen-to do plano secante para o PHP.
x≡fπR
A1 B1 B’1 A’1
A’2 B’2 O’2≡C’2≡D’2
O1
A2
O’1
12
52
51 11
21
31
41
61
71
81
22≡82
32≡72
42≡62
B2
fπ
C1
D1
C’1
D’1
O2≡C2≡D2
3R
5R
4R 2R
1R
8R 6R
7R fπ≡fπR
O2
O1
A2 B2
A1 B1
(fβ)≡fβR
11
42≡62
21
81
31
71
41
61
51
12
52
32≡72
22≡82
x
Tronco de esfera e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano vertical
Ao lado destaca-se a porção maior da esfera e determina-se a VG da secção rebatendo o plano secante para o PFP. O ponto C é o centro da sec-ção que, por ser uma circunferência, não necessita que se rebatam todos os pontos da secção. Neste caso foram rebatidos apenas os pontos C, 1 e 5, com os quais se traçou a circunferência.
1R
5R
CR
C2
C1
VG
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 19
Nesta página mostra-se a truncagem de dois cones e a determinação das verdadeira grandeza das
suas secções.
Tronco de cone oblíquo e verdadeira grandeza da secção provocada por
um plano vertical
Em cima destaca-se o tronco do cone que contém a base. A VG foi determinada através do rebatimento do plano para o PFP.
Tronco de cone de revolução e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de topo
Ao lado destaca-se o tronco relativo à parte do cone que fica à esquerda do plano secante, que provoca uma pará-bola. O plano rebateu para o PHP, onde surge a VG da secção.
x≡hπR A1
B1
A2
B2
V2
O2
D2
C2
O1 C1
hπ
11
51
12
22
32
42
52
62
72
82
31≡71
21≡81
41≡61
x≡fαR
A1
B1
A2 B2
V2
V1≡O1
O2
fα
51≡5R
12≡52
32
31
21
41
22≡42
3R
2R
1R
4R
5R
6R
7R
8R
VG
fπ≡fπR
V1
4R
3R
2R
11≡1R
hα≡hαR
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 20
Nesta página observa-se a situação peculiar que envolve o plano de perfil. Uma vez que as proje-
ções principais duma secção provocada por esse plano são segmentos de reta, a sua verdadeira
grandeza é determinada através de um processo auxiliar.
Tronco de cone oblíquo e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de perfil
Destaca-se aqui o tronco de cone que contém a base e determina-se a VG da secção rebatendo o plano para o PFP. Para a determinação desta VG recorreu-se às projeções laterais.
x≡hδR A1
B1
A2 B2
V2
O2
D2
O1 C1
1R
22 32
42
52
62
72
82
D1
hδ≡fδ≡fδR
71
31
C2
61≡81
V1
12
2R
3R
4R
5R
6R
7R
8R
11≡51
21≡41
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 21
Tronco de cilindro oblíquo e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano oblíquo
Destaca-se o tronco de cilindro que tem a base de menor afastamento. Determina-se a VG da secção rebaten-do o plano para o PFP, utilizando as retas de intersecção como auxiliares. Uma vez que se trata de um cilindro, essas retas são paralelas entre si.
x A1
B’1
A’1
A’2 B’2 O’2
O1
A2
O’1
12
11
21 31
B2
C1 D1
C’1 D’1
22
32
52
62 72
O2
hβ≡i1
fβ
H1
fπ≡fπR
hπ
H2
F2
B1≡F1
i2
C2
D2
D’2
C’2
82
81
42
41
61
71
51
FR
hπR
iR 1R
2R
3R
4R
5R
6R
7R
8R
VG
Truncagens de cilindros, cones e esferas provocadas por planos não projetantes e verdadeiras grandezas das secções
Também aqui se apresentam truncagens com base em exercícios de páginas anteriores, e determi-
nam-se as verdadeiras grandezas das secções. Nesta página observa-se um cilindro.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 22
Aqui observa-se mais uma truncagem de um cone e respetiva verdadeira grandeza da secção.
Tronco de cone oblíquo e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano de rampa
Destaca-se o tronco de cone que contém a base e determina-se a VG da secção rebatendo o plano para o PHP, rebatendo as retas de intersecção onde se situam os oito pontos.
x
A1 B1
A2
B2≡H2
V2
V1
O2 D2
O1
C1
hα≡hαR
11 51
12 22
32 42
52 62
72 82
D1
fα
fδ≡i2
hδ 81
21
71
31
41
C2
61
F2
F1
H1≡HR’≡HR
FR’
FR
fαR
i1
iR
8R
7R
6R
5R
4R
3R
2R
1R
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 23
Aqui observa-se mais uma truncagem de esfera e a verdadeira grandeza da respetiva secção.
Tronco de cilindro e verdadeira grandeza da secção provocada por um plano oblíquo
Destaca-se aqui a porção maior da esfera e determina-se a VG da secção rebatendo o plano secante para o PHP. Para achar a VG da secção bastou rebater um dos seus pontos, neste caso o 1, assim como o seu cen-tro, ponto C. O centro da secção determinou-se fazendo intersectar a reta r com o plano secante, sendo essa reta perpendicular ao plano e contendo o ponto O, centro da esfera.
O2
O1
A2 B2
A1 B1
(fβ)≡n2
11 21
81
31
71
41
61
51
x
n1
(hω)≡f1
f2
H1
H2
F2
F1
32
42
22
12
82
72
62
52
fρ
hρ≡hρR
nR
FR
fρR
1R
fδ≡i2≡r2
hδ
H’1≡H’R
H’2
F’2
F’1
C1
C2
i1
r1
iR
F’R
CR
VG
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 24
Interseção de retas com sólidos no espaço
Para obter os pontos de interseção de uma reta com um sólido recorre-se geralmente a um plano
que contém a reta.
Interseção de retas com os diferentes sólidos
Tirando os casos em que a determinação da interseção de uma reta com um sólido é directa, nos restantes ela é feita passando um plano pela reta. Nas pirâmides, prismas e esferas, esse plano deve ser projetante; nos cilindros deve ser paralelo à direção das geratrizes; nos cones deve con-ter o vértice. Procede-se desse modo no caso dos cilin-dros e dos cones porque qualquer outro plano daria ori-gem a uma secção curva e, por isso, sem rigor (salvo se surgir uma circunferência, o que só é possível se a reta for paralela à base do sólido). Designa-se por ponto de entrada o do lado esquerdo e por ponto de saída o do lado direito, pontos E e S.
B
V
A
C
π
D
1
4
3
2
B
A C
B’
A’ C’
1
2
3
δ
O
β
S
E
r r
S
E
E
S
r
O
O’
[b]
[b’]
A
D
C
B
δ
V
[b]
O
A
B
ρ
r
r
E
E
S
S
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 25
Interseção de retas com pirâmides, prismas e esfera
Nesta página observa-se a interseção de retas com pirâmides. Utilizam-se retas e sólidos diferentes.
Interseção de uma reta horizontal com uma pirâmide reta
Fez-se passar um plano horizontal pela reta, que seccionou a pirâmide no quadrado [1234]. A reta cruza o quadrado nos pontos E e S, onde intersecta o sólido. Indica-se a traço interrompido não só o segmento [ES], que fica no interior do sólido, mas também um pedaço da reta que fica por trás do sólido em proje-ção frontal.
x
A1
B1
C1
D1
A2 D2 B2 C2
V2
V1
(fδ)≡n2 12 42 22 32
11
21
31
41
E1
E2
S1
S2
n1
Interseção de uma reta oblíqua com uma pirâmide oblíqua
Aqui fez-se passar um plano vertical pela reta, que seccionou a pirâmide no triângulo [123]. A reta cru-za o triângulo nos pontos E e S, onde interseta o sólido. Também aqui se indica a traço interrompido não só o segmento [ES], que fica no interior do sólido, mas também as partes da reta que, em ambas as proje-ções, ficam ocultas por sobreposição.
P2 Q2
R2
V2
(hα)≡r1
12
22
32
11
V1
31 Q1 P1 R1
x
E2
E1
S1
S2
r2
21
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 26
Aqui observam-se duas situações de interseção de retas com prismas, um reto, outro oblíquo.
Interseção de uma reta oblíqua com um prisma reto
Tratando-se de um prisma reto, com faces laterais e bases projetantes, os pontos de entrada e saída determinam-se diretamente, ou seja, sem necessi-dade de recorrer a um plano auxiliar. Neste caso o ponto E determinou-se primeiro na projeção frontal, o ponto S na horizontal.
K1≡K’1
H2 I2 J2
L1≡L’1
H1≡H’1
I1≡I’1
J1≡J’1
H’2 J’2
L2
L’2 K’2
K2
E1
S1
E2
S2
x
s2
s1
I’2
x
A2
B2
C2
C1 B1 A1
A’2
B’2
C’2
B’1 A’1 C’1
12
31 (hδ)
32
22
E2
S2
v2
(v2)≡E1≡S1
21 11
Interseção de uma reta vertical com um prisma oblíquo
Utilizou-se aqui um plano auxiliar frontal contendo a reta (também se poderia ter utilizado um plano verti-cal), resultando a secção [123], que é um triângulo paralelo às bases. Por se tratar de uma reta proje-tante horizontal, os pontos E e S coincidem nessa projeção.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 27
Nesta página observa-se mais um prisma, neste caso intersetado por uma reta de perfil.
Interseção de uma reta de perfil com um prisma oblíquo
O plano de perfil é o único plano projetante que pode conter uma reta de perfil, por isso é esse que se utiliza aqui. A reta está definida pelo seu traço frontal, ponto F, e pelo ponto Z. Os pontos E e S determinam-se no rebatimento, onde a reta cruza a secção. Quando a reta é de perfil e com afastamento positivo sugere-se também a utilização das projeções laterais ou das mudanças de planos para resolver este exercício.
x≡fβR
C1
A1
B1
A2 C2
B2
22≡32
12
21
31
p1≡p2≡fβ≡hβ≡hβR
3R
2R
A’1
B’2 C’2 A’2
11 1R
C’1
B’1
F2
F1 FR
Z1
pR
ER
SR S1
Z2
ZR
E1
E2
S2
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 28
Aqui observam-se duas interseções de retas com a esfera, que implicam procedimentos bem dife-
rentes.
O2
O1
A2 B2
A1 B1
r1≡hβ≡hβR
E2
S2
x
C2
C1
Interseção de uma reta frontal com uma esfera
Para resolver este caso, passa-se pela reta um pla-no frontal, que corta a esfera segundo uma circunfe-rência frontal. A reta cruza a circunferência nos pon-tos E e S. À exceção das retas oblíqua e de perfil, as restantes têm solução simples como esta, já que por elas se pode passar um plano auxiliar frontal ou horizontal.
Interseção de uma reta oblíqua com uma esfera
Aqui fez-se passar pela reta um plano ver-tical, que corta a esfera segundo uma cir-cunferência vertical, que surge representa-da apenas em rebatimento, já que a sua projeção frontal seria uma elipse. O rebati-mento da reta foi feito com recurso aos seus traços (mas caso estes não estives-sem acessíveis podiam ter-se utilizado outros). Onde a reta rebatida cruza a cir-cunferência rebatida determinam-se os pontos E e S. A reta de perfil tem uma resolução idêntica a esta, aplicando-se aí o rebatimento do plano de perfil que a contém.
O2
O1
A2 B2
A1 B1
x
E2
S2
S1 E1
f2
f1
CR
E1
S2
F2
H2
H1≡HR
r2
rR
SR
ER
F1
FR
fβ
fβR
=
=
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 29
Interseção de retas com cones e cilindros
Quando se trata de cones ou cilindros, o procedimento é, de um modo geral, diferente do observado
para os outros sólidos. Nesta página observam-se duas situações que envolvem cones, resolvidas
por procedimentos bem diferentes.
B2 A2
B1 A1
V2
V1
O2
C1
O1
C2
E1 S1
E2 S2
x
h2
h1≡(hψ)
Interseção de uma reta fronto- horizontal com um cone oblíquo
Como a reta fronto-horizontal é paralela à base do cone, que é frontal, utiliza-se um plano auxiliar frontal. Esse plano corta o sólido segundo a circunferência frontal que tem C (situado no eixo) como centro. Onde essa reta cruza a circunferência surgem os pontos E e S.
x
A1 B1
A2
B2
V2
V1≡O1
O2
hπ
r2
C1
H2
C2
D1
P2
P1
D2
E1
H1
Interseção de uma reta oblíqua com um cone de revolução
Determina-se aqui um plano que contém a reta dada e o vértice. Para isso passa-se a reta auxiliar a por um ponto da reta (P, neste caso) e determinam-se os traços de ambas as retas no plano da base, neste caso os seus traços horizontais, H e H’. Unindo esses pontos fica-se com o traço horizontal do plano pretendido, que vai cortar o cone segundo a geratrizes [CV] e [DV]. Essas geratrizes cruzam-se com a reta nos pontos E e S. Não há necessidade de representar o traço frontal do plano π que, além do mais, tam-bém não caberia no espaço disponível.
H’2
H’1
S1
S2
E2
r1
a1
a2
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 30
Aqui observa-se mais um cone, desta vez com a base assente num plano frontal.
Interseção de uma reta horizontal com um cone oblíquo
Procede-se aqui como no segundo exercício da página anterior. Contudo, não estando a base deste cilindro num plano de projeção, não surge aqui qualquer traço do plano que contém a retas n e m, a primeira dada, a segunda acrescentada através da união do vértice com o ponto P. Onde essas retas cruzam o plano da base surgem os pontos N e M. A reta f, que une esses dois pontos, é a interseção do plano definido pelas retas n e m com o plano da base. A reta f cruza a base nos pontos C e D, de onde nascem as geratrizes que cruzam a reta dada nos pontos E e S.
x
A1
B1
A2 B2
V2
V1
O2
O1
n1
E1
S1
P2
P1
m2
n2
m1
C2
C1
D2
D1
M2
M1
N2
N1
S2 E2
(hθ)≡f1
f2
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 31
Aqui observam-se duas situações de interseção de retas com cilindros, um reto, outro oblíquo.
Interseção de uma reta oblíqua com um cilindro de revolução
A exceção da reta de perfil, a interseção de qualquer outra com um cilindro reto de bases paralelas a um plano de projeção determina-se sempre diretamente. Neste caso o ponto E foi determinado na sua proje-ção frontal, ao passo que o ponto S foi determinado na projeção horizontal. Isto acontece porque tanto as bases como a superfície lateral do cilindro são proje-tantes.
Interseção de uma reta horizontal com um cilindro oblíquo
A reta auxiliar cruza a reta dada no ponto P e inter-secta o plano da base inferior do cilindro no ponto H, traço horizontal dessa reta. Uma vez que a reta dada é horizontal, não interseta o plano da base, pelo que o traço horizontal do plano formado pelas retas é paralelo à reta dada e contém o traço da auxiliar. O traço do plano cruza a base nos pontos C e D, onde nascem as geratrizes onde se situam os pontos E e S. Também aqui não se representa o outro traço do plano, por ser desnecessário.
x
A1 B1
B’1
A’2
B’2 O’2
O1
A2
O’1
S1
E1
B2
hβ
O2
B2≡B’2 A2≡A’2 O2≡O’2
O1
O’1 A’1 B’1
A1 B1
x
r1
r2
E2
S2
S1
E1
A’1
H2
H1
r2
f2
f1
P2
P1
C1
D1
C2
D2
S2
E2
r1
D’2
C’2
C’1
D’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 32
Aqui observa-se a peculiaridade que envolve uma reta de perfil, neste caso intersetando um cilindro
oblíquo com bases frontais.
Interseção de uma reta de perfil com um cilindro oblíquo
Aqui aplica-se o método já algumas vezes aplicado nas páginas anteriores. Ou seja, Determina-se o ponto I de interseção da reta dada p com o plano ω que contém uma base, com recurso à sua projeção lateral; determina-se também o ponto I’ de intersecção da reta r, paralela às geratrizes, com o mesmo plano (essa reta é concor-rente com a de perfil no seu traço horizontal, por opção). Da união dos pontos I e I’ surge a reta i, que é a inter-secção do plano formado pelas retas p e r com o plano da base. A reta i cruza a base nos pontos C e D, de onde nascem as geratrizes que contêm os pontos E e S.
x
A1 B1
B’1
A’2
B’2 O’2
O1
A2
O’1
S1
E1
B2 O2
A’1
r1
C1 D1
C2
D2
S2
E2
r2
H1
H2≡F1
F2 F3
H3
p3
I3 I2
I1
I’1
I’2
y≡z
p2≡p1
(hω)≡i1
i2
C’2
D’2
D’1 C’1
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 33
Secções provocadas por planos projetan-tes em pirâmides e em prismas (Inclui truncagens e determinação de VGs) 1. Representar uma pirâmide regular com 7cm de altura, sabendo que A(2;0;3) e C(-4;0;5) são vérti-ces opostos da base [ABCD], quadrada e frontal. Determinar a secção provocada pelo plano vertical ρ que cruza o eixo x num ponto com 4cm de abcis-sa e faz 35ºad. 2. Repetir o exercício anterior, destacando o tronco de pirâmide que contém a base e determinando a VG da secção. 3. Representar uma pirâmide hexagonal regular com o vértice principal no PHP, sabendo que A(5;2,5;8) e B(5;6;8) são os vértices consecutivos mais à esquerda da sua base [ABCDEF], horizontal. Determinar a secção provocada pelo plano de topo θ, que cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcis-sa e faz 45ºae. 4. Repetir o exercício anterior, destacando o tronco de pirâmide que contém a base e determinando a VG da secção. 5. Representar uma pirâmide cuja base é o pentá-gono regular [PQRST], horizontal, inscrito numa circunferência com 3,5cm de raio e centro em O(2;5;1), sendo fronto-horizontal o seu lado de maior afastamento. V(2;10;7) é o vértice principal do sólido. Determinar a secção provocada pelo plano frontal φ, com 6cm de afastamento. 6. Representar um prisma cuja base de menor cota é o triângulo equilátero horizontal [DEF], inscrito numa circunferência com 3cm de raio e centro em Q(-4;4;1). D tem -6cm de abcissa e é o vértice que se situa mais à direita. As arestas laterais são fron-tais, fazem 50ºae e medem 10cm. Determinar a secção provocada pelo plano de perfil δ, que contém M, o ponto médio do eixo do sólido, assim como a sua VG. 7. Representar o prisma do exercício anterior. Determinar a secção provocada pelo plano de topo ψ, que corta o eixo x num ponto com 1cm de abcis-sa e faz 65ºad, destacando o tronco do sólido que contém a base de maior cota. 8. Representar um prisma cuja base de maior afas-tamento é o retângulo frontal [KLMN], conhecendo K(0;5;2) e N(-3;5;0) e sabendo que o lado maior do retângulo mede 4,5cm. A outra base situa-se no PFP. As arestas laterais são paralelas ao β2/4, fazendo as suas projeções frontais 60ºae. Determinar a secção provocada pelo plano horizon-tal ω, que contém o vértice mais à direita, destacan-do o tronco do sólido situado acima desse plano.
Secções provocadas por planos não proje-tantes em pirâmides e em prismas
(Inclui truncagens e determinação de VGs) 9. Representar a pirâmide do exercício 1. Determinar a secção provocada pelo plano de ram-pa π, cujos traços têm 9cm de cota e 5cm de afas-tamento. 10. Repetir o exercício anterior, destacando o tron-co de pirâmide que contém a base e determinando a VG da secção. 11. Representar a pirâmide do exercício 5. Determinar a secção provocada pelo plano oblíquo ρ, que contém o centro da circunferência e o vértice de maior abcissa da aresta fronto-horizontal, con-tendo o seu traço frontal a projeção homónima do vértice principal do sólido. 12. Representar o prisma do exercício 6. Determinar a secção provocada pelo plano oblíquo α, que cruza o eixo x num ponto com 4cm de abcis-sa e é perpendicular ao β1/3, fazendo o seu traço horizontal 55ºad. 13. Repetir o exercício anterior, destacando o tronco de prisma que contém a base de menor cota e determinando a VG da secção. 14. Representar um prisma regular pentagonal com 8cm de altura e bases frontais, estando uma delas inscrita numa circunferência com 3cm de raio e cen-tro em O(4;0;3). Uma aresta lateral situa-se no PHP. Determinar a secção provocada pelo plano de ram-pa ψ, cujos traços têm 8cm de cota e 7cm de afas-tamento, destacando o tronco do sólido que contém a base de menor afastamento. 15. Representar um prisma hexagonal regular com 4,5cm de altura e bases horizontais, sendo A(6;3;0) e D(1;5;0) dois vértices opostos de uma das bases. Determinar a secção provocada pelo plano oblíquo δ, que cruza o eixo x num ponto com -3,5cm de abcissa e contém D, fazendo o seu traço frontal 45ºae. 16 Repetir o exercício anterior, destacando o tronco do sólido de maior dimensão e determinando a VG da secção. 17. Representar o prisma do exercício 15. Determinar a secção provocada pelo plano passan-te θ, que contém o ponto com maior afastamento da base superior. 18. Representar o prisma do exercício 8. Determinar a secção provocada pelo plano ω, per-pendicular ao β2/4, que cruza o eixo x num ponto com 1cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 40ºad.
Sólidos II – Exercícios
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 34
Secções provocadas por planos projetan-tes em cones, em cilindros e na esfera (Inclui truncagens e determinação de VGs) 19. Representar um cone de revolução com 8cm de altura, cuja base é frontal, tem 3,5cm de raio e cen-tro em O(4;0;5). Determinar a secção provocada, assim como a sua VG, pelo plano vertical π, que cruza o eixo num ponto com -1cm de abcissa e faz 40ºae. 20. Representar o cone do exercício anterior. Determinar a secção provocada pelo plano de topo α, que cruza o eixo x num ponto com -1cm de abcissa e faz 35ºae, destacando o tronco do sólido que contém o vértice. 21. Representar um cone cuja base é horizontal, com 3,5cm de raio e centro em Q(4;6;0), sendo V(5;0;8) o seu vértice. Determinar a secção provocada pelo plano frontal φ, tangente à circunferência no seu ponto de menor afastamento. 22. Representar o cone do exercício anterior. Determinar a secção provocada pelo plano de topo β, que cruza o eixo x num ponto com 3cm de abcissa e faz 45ºae, destacando o tronco do sólido que contém o vértice. 23. Representar um cilindro de revolução com 4cm de altura e bases horizontais tangentes ao PFP, sendo a de menor cota a que tem centro em X(-2;3;1). Determinar a secção, assim como a sua VG, provo-cada pelo plano de topo ρ, que contém o ponto de maior abcissa da base inferior e faz 45ºad. 24. Representar um cilindro oblíquo com 6cm de altura e bases frontais com 2,5cm de raio, tendo uma delas centro em O(5;0;4). As geratrizes são horizontais, fazendo 50ºad. Determinar a secção provocada pelo plano vertical θ, que faz 50ºae e contém o ponto mais à esquerda da base de maior afastamento, destacando o tronco do sólido que assenta no PFP. 25. Representar o cilindro do exercício anterior. Determinar a secção, assim como a sua VG, provo-cada pelo plano de perfil δ, com 3,5cm de abcissa. 26. Representar uma esfera com centro em Q(2;4;5) e com 3cm de raio. Determinar a secção provocada pelo plano de topo ψ, que cruza o eixo x num ponto com -1cm de abcissa e faz 50ºae, destacando o tronco do sólido que contém o ponto Q. 27. Representar a esfera do exercício anterior. Determinar a secção, assim como a sua VG, provo-cada pelo plano vertical ω, que corta o eixo x num ponto com -2cm de abcissa e faz 60ºae.
Secções provocadas por planos não proje-tantes em cones, em cilindros e na esfera (Inclui truncagens e determinação de VGs) 28. Representar o cone do exercício 19. Determinar a secção provocada pelo plano de ram-pa π, cujos traços têm 10cm de cota e 7cm de afas-tamento. 29. Repetir o exercício anterior e determinar a VG da secção, destacando o tronco do sólido que con-tém a base. 30. Representar um cone cuja base é horizontal, com 3,5cm de raio e centro em Q(5;4;0), sendo V(-2;6;10) o seu vértice. Determinar a secção, e respetiva VG, provocada pelo plano oblíquo α, que cruza o eixo x num ponto com -7cm de abcissa, sendo o traço horizontal tan-gente à base num ponto de afastamento superior ao do ponto O, e fazendo o traço frontal 50ºae. 31. Representar o cone do exercício anterior. Determinar a secção provocada pelo plano passan-te ρ, que faz 40º com o PHP, destacando o tronco do sólido que contém a base. 32. Representar um cilindro de revolução com 7cm de altura e bases frontais com 3cm de raio, tendo uma delas centro em O(-2;0;4). Determinar a secção provocada pelo plano oblíquo θ, perpendicular ao β1/3, que cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa, fazendo o seu traço frontal 55ºad, destacando o tronco do sólido que possui a base de maior afastamento. 33. Representar o cilindro do exercício anterior. Determinar a secção, assim como a sua VG, provo-cada pelo plano de rampa δ, perpendicular ao β1/3, cujo traço frontal tem 6cm de cota. 34. Representar um cilindro com bases horizontais de 3cm raio e centros em O(4;3;0) e O’(0;7;6). Determinar a secção provocada pelo plano de ram-pa ψ, cujos traços têm 8cm de cota e 7cm de afas-tamento, destacando o tronco do sólido que contém o ponto O. 35. Representar o cilindro do exercício anterior. Determinar a secção, assim como a VG, provocada pelo plano oblíquo π, que cruza o eixo x num ponto com -5cm de abcissa, fazendo os seus traços fron-tal e horizontal 45ºae e 35ºae, respetivamente. 36. Representar uma esfera com centro em X(4;5;4) e com 3cm de raio. Determinar a secção, assim como a VG, provocada pelo plano oblíquo ω, que cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcissa, fazendo os seus traços fron-tal e horizontal 60ºae e 45ºae respetivamente. 37. Representar a esfera do exercício anterior. Determinar a secção provocada pelo β1/3, destacan-do o tronco do sólido que contém o centro.
Manual de Geometria Descritiva - António Galrinho Sólidos II - 35
Interseção de retas com pirâmides e com prismas 38. Representar uma pirâmide regular com 7cm de altura, sabendo que A(2;0;3) e C(-4;0;5) são vérti-ces opostos da base [ABCD], quadrada e frontal. Determinar a interseção da reta fronto-horizontal h, com 3cm de cota e 2cm de afastamento. 39. Representar a pirâmide do exercício anterior. Determinar a interseção da reta oblíqua r, passante num ponto com -6cm de abcissa, fazendo as suas projeções frontal e horizontal 30ºae e 45ºae, respe-tivamente. 40. Representar uma pirâmide cuja base é o pentá-gono regular [PQRST], horizontal, inscrito numa circunferência com 3,5cm de raio e centro em O(2;5;1), sendo fronto-horizontal o seu lado de maior afastamento. V(-4;7;8) é o vértice principal do sólido. Determinar a interseção da reta horizontal n, que tem traço em F(-5;0;2,5) e faz 45ºae. 41. Representar a pirâmide do exercício anterior. Determinar a interseção da reta vertical v, que tem 1cm de abcissa e 5,5cm de afastamento. 42. Representar um prisma cuja base de menor cota é o triângulo equilátero horizontal [DEF], inscri-to numa circunferência com 3cm de raio e centro em Q(-4;4;1). D tem -6cm de abcissa e é o vértice que se situa mais à direita. As arestas laterais são frontais, fazem 50ºae e medem 10cm. Determinar a interseção da reta frontal f, que tem traço em H(3;4;0) e faz 50ºad. 43. Representar o prisma do exercício anterior. Determinar a interseção da reta de perfil p, cujos traços são F(-2;0;7) e H(-2;9;0). 44. Representar um prisma cuja base de maior afastamento é o retângulo frontal [KLMN], conhe-cendo K(0;5;2) e N(-3;5;0) e sabendo que o lado maior do retângulo mede 4,5cm. A outra base situa-se no PFP. As arestas laterais são paralelas ao β2/4, fazendo as suas projeções frontais 60ºae. Determinar a interseção da reta s, que tem traço frontal em F(4;0;6), fazendo as suas projeções fron-tal e horizontal 20ºae e 35ºad, respetivamente. 45.Representar o prisma do exercício anterior. Determinar a interseção da reta de perfil q, passan-te, que contém o ponto P(-1;2;4).
Interseção de retas com cones, cilindros e esferas 46. Representar um cone de revolução com 8cm de altura, cuja base é frontal, tem 3,5cm de raio e cen-tro em O(-2;1;5). Determinar a interseção da reta vertical v, que tem -2cm de abcissa e 3cm de afastamento. 47. Representar o cone do exercício anterior. Determinar a interseção da reta a, que tem traço frontal em F(-8;0;7), fazendo as suas projeções frontal e horizontal 35ºad e 25ºae, respetivamente. 48. Representar um cone cuja base é horizontal, com 3,5cm de raio e centro em Q(4;6;7), sendo V(-2;1;0) o seu vértice. Determinar a interseção da reta horizontal n, que contém N(-3;7;5) e faz 35ºad. 49. Representar o cone do exercício anterior. Determinar a interseção da reta frontal f, que tem traço em H(6;3;0) e faz 40ºad. 50. Representar o cone do exercício 48. Determinar a interseção da reta de perfil p, cujos traços são F(2;0;12) e H(2;10;0). 51. Representar um cilindro de revolução com 5cm de altura e bases horizontais com 3cm de raio, tendo a de menor cota centro em X(4;4;2). Determinar a interseção da reta b, de perfil, passan-te, que contém K(5,5;5;3,5). 52. Representar um cilindro com bases horizontais de 3cm raio e centros em O(4;3;0) e O’(0;7;6). Determinar a interseção da reta de topo t, que con-tém T(1,5;2;4). 53. Representar o cilindro do exercício anterior. Determinar a interseção da reta vertical v, que tem 2cm de abcissa e 7cm de afastamento. 54. Representar o cilindro do exercício 52. Determinar a interseção da reta s, que contém P(3;5;2) e é paralela ao β1/3, fazendo a sua projeção horizontal 30ºae. 55. Representar a esfera que tem centro em O(1;4;5) e 2,5cm de raio. Determinar a interseção da reta fronto-horizontal h, com 4cm de cota e 2,5cm de afastamento. 56. Representar a esfera do exercício anterior. Determinar a interseção da reta vertical v, que tem abcissa nula e 3cm de afastamento. 57. representar a esfera do exercício 55. Determinar a interseção da reta r, que contém R(4;7;1), fazendo as suas projeções frontal e horizon-tal 45ºad e 35ºae, respetivamente. 58. Representar a esfera do exercício 55. Determinar a interseção da reta de perfil p, passan-te, que contém P(0;2,5;2).