GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas MétricosDistância Resumo

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADES - Distâncias

Os problemas métricos são situações que envolvem a determinação de alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da determinação da verdadeira grandeza.

Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança de diedro de projecção.

Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância entre dois elementos.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - via rebatimento do

Segmento de Recta para um Plano Horizontal A distância entre o ponto A e o ponto B é obtida com o rebatimento do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa por um dos pontos. Esta é talvez a mais fácil das variações do processo de rebatimento. Seria igualmente possível o rebatimento para um plano frontal.

x

xz

xy

α

fα

hα

A2

A1 ≡ O1 B1

B2

B ≡ Br

A

x

A2

B2

A1 ≡ O1 ≡ Or

B1 ≡ Br

e1

e

ArV.G.

ArV.G.

≡ e2

υ

≡ e1

(fυ) ≡ e2

(fυ) ≡ e2 O2

O ≡ Or

O2

GENERALIDADES – Distância entre em Ponto e uma Recta

A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada.

A

rp

d

I

Nas diferentes situações, haverá a necessidade de recorrer a um ou outro elemento auxiliar (ponto, recta ou plano) para resolver o exercício.

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA

ENTRE UM PONTO E UMA RECTA - geral1 - Conduzir um plano ortogonal à recta dada, passando pelo ponto dado;

2 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano;

3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e a recta dada.

ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta frontal ou horizontalExiste um processo mais simples que passa pela utilização do teorema das três perpendiculares, para medir este tipo de distância, que começa com a condução de uma recta perpendicular à recta dada, passando pelo ponto dado.

ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta oblíquaExiste um processo alternativo que começa com o rebatimento do plano formado pelo ponto dado e a recta dada para um plano auxiliar (frontal ou horizontal) que contém o ponto dado.

ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta de perfilExiste um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção, que permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal.

Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Método Geral

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.

x

I1

I2

f2

f1

Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, o plano α.

fα

hα

P1

P2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.

Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.

Pr

V.G.

≡ Ir

≡ (hφ) ≡ e1

≡ e2

Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Teorema das Três Perpendiculares

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.

x

I1

I2

f2

f1

Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples.

Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P.

p2

P1

P2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.

Para obter a V.G., é utilizado a rotação do segmento de recta [PI] para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I.

Pr

V.G.

≡ Ir

≡ (hφ) ≡ e1

≡ e2

p1

Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Método Geral

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.

x

r2

r1

Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta r. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r. É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r.

Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.

P1

P2

f1

H1

H2

f2fα

hα

F1

F2

fθ

≡ hθ

H’1

H’2

i2

≡ i1

I1

I2

≡ (hφ) ≡ e1

e2

Ir≡ PrV.G.

Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.

x

r2

r1

É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P.

A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r.

B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta rr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I.

P1

P2

A1

A2

I1

I2

(hφ) ≡ e1

e2

Ir

≡ Pr

V.G.

B1

B2

Br

≡ Ar

rr

Br1

Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Rebatimento

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p.

x

A1

A2

p1 ≡ p2

N1

M2

N2

M1

Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g, que passa pelo ponto A.

O plano de perfil π é o plano que contém p.

A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’. A’ é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A.

O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com fπ como charneira.

I1

I2g2

e’2

Ir1

≡ Ar

V.G.

g1

≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2

A’2

A’1

≡ e2 ≡ fπr

≡ hπr

(e1)

Mr

Nr

A’r

pr

ir

Ir

A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A.

≡ (hφ) ≡ e’1

Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Mudança de Diedro de Projecção

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p.

x

A1

A2

p1 ≡ p2

N1

M2

N2

M1

A mudança de diedro de projecção permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal, consoante a opção, que neste caso será frontal.

21

x’

41

N4

M4

p4

A4

I4 é obtido via uma recta (r) perpendicular entre o ponto A4 e a recta p4.

Depois é seguido um processo invertido de mudança de diedros de projecção para obter I1, I2, r1 e r2.

Os pontos I e A são rebatidos para obter a V.G.

r4

I4

I1

I2

r2

r1

(fυ) ≡ e2

≡ e1

Ir

≡ Ar

V.G.

GENERALIDADES - Distância entre em Ponto e um Plano

A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano).

A

p

d

I

α

DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO

ENTRE UM PONTO E UM PLANO - geral1 - Conduzir uma recta ortogonal ao plano dado, passando pelo ponto dado;

2 - Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado;

3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e o plano dado.

ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano projectanteProcesso sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.

ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano não projectanteProcesso com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.

Distância entre um Ponto e um Plano ProjectantePretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M.

fα

hα

M1

M2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal.

p2

p1

I1

I2

A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M1I1.

V.G.

Distância entre um Ponto e um Plano OblíquoPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α.

x

A1

A2fα

hα

p2

p1

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i.

F1

F2

H1

H2

fθ

≡ hθ

≡ i1

i2

I1

I2

A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

≡ e2

(hφ) ≡ e1

Ar

≡ Ir

V.G.

GENERALIDADES - Distância entre dois Planos

A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos.

pdA

αδ

B

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS

ENTRE DOIS PLANOS - geral1 - Conduzir uma recta ortogonal aos dois planos dados;

2 - Determinar os pontos de intersecção da recta ortogonal com os planos dados;

3 - A distância entre os pontos de intersecção é a distância entre os planos dados.

ENTRE DOIS PLANOS – planos projectantesProcesso sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.

ENTRE DOIS PLANOS – planos não projectanteProcesso com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.

ENTRE DOIS PLANOS – planos de rampaExiste um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção.

Distância entre Dois Planos ProjectantesPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

fα

hα

A1

A2Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos.

p2

p1 B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A2B2.

V.G.

fδ

hδ

Distância entre Dois Planos OblíquosPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

fα

hα

A1

A2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p.

p2

p1

B1

B2

A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.

V.G.

fθ

hθ

F1

F2

H1

H2

fγ

≡ hγ≡ i1

i2

H’1

H’2

i’2

≡ i’1

(fυ) ≡ e2

≡ e1 Br

≡ Ar

Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

fρ

hσ

hρ

fσ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.

p1 ≡ p2

Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p.

Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento.

≡ fπ ≡ hπ

H2

H1

≡ F1

F2

≡ i1 ≡ i2

F’2

≡ F’1

≡ i’1 ≡ i’2

≡ e1 ≡ hπr

≡ (e2)

≡ fπr

≡ Hr

Fr

ir

F’r

i’r

pr

Ar

Br

V.G.

ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos.

Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].

A1

A2

B1

B2

Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.

x

hσ

hρ

fρ

fσ

Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 ≡ p2

São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’.

21

x’

2 4

P1

P2

P4

h4

ρh

4σ

p4

A4

B4V.G

.

A4B4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção.

Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].

A2

B2

A1

B1