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EXPRESSÕES DE IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA DE UMA LINHA DE
TRANSMISSÃO MONOFÁSICA UTILIZANDO O MODELO DE ONDA
COMPLETA
Mariana Alves Alcoforado
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientadores: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Antônio Paulo Cardillo Magalhães
Rio de Janeiro
Dezembro de 2015
EXPRESSÕES DE IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA DE UMA LINHA DE
TRANSMISSÃO MONOFÁSICA UTILIZANDO O MODELO DE ONDA
COMPLETA
Mariana Alves Alcoforado
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO
ELETRICISTA.
Examinada por:
___________________________________________ Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, D.Sc.
___________________________________________ Eng. Antônio Paulo Cardillo Magalhães, M.Sc.
___________________________________________ Prof. Antônio Lopes de Souza, Ph.D.
___________________________________________ Prof. Rubens de Andrade Júnior, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
DEZEMBRO DE 2015
iii
Alcoforado, Mariana Alves
Expressões de impedância e admitância de uma linha
monofásica utilizando o modelo de onda completa /Mariana
Alves Alcoforado – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA
POLITÉCNICA/ Curso de Engenharia Elétrica, 2015.
IX, 51 p.: il.; 29,7cm.
Orientadores: Antonio Carlos Siqueira de Lima; Antônio
Paulo Cardillo Magalhães
Referências Bibliográficas: p. 49-51.
1.Onda Completa. 2.Constante de Propagação. 3. Equação
modal. 4.Parâmetros Unitários. I. Lima, Antonio Carlos
Siqueira de et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Título.
Dedico este trabalho as pessoas mais importantes da minha vida: minhamãe, Fatima e meus irmãos, Felipe e Gustavo.
iv
Agradecimentos
Agradeço a Deus por permitir que este dia finalmente chegasse.
Agradeço à minha mãe, a mulher mais inteligente que conheço, pelo apoio e
segurança e aos meus irmãos Felipe e Gustavo pela compreensão e colaboração cada
qual ao seu modo.
Agradeço ao meu orientador Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, pela
oportunidade e por ter me proposto um trabalho que se adequasse as minhas
habilidades.
Agradeço ao meu coorientador Antônio Paulo, o Tunico, que me ajudou com os
códigos Mathematica e sempre foi uma figura tão simpática.
Agradeço a todos os professores que com seu empenho e dedicação têm
exercido a tarefa de transmitir conhecimentos. A todos estes dedico apreço, desejando
que cada vez mais pessoas tenham a satisfação de tê-los como mestres.
Agradeço a meus colegas de curso que trilharam comigo este caminho e me
auxiliaram sempre que possível.
Agradeço aos funcionários da secretaria que me cobravam os documentos e me
lembravam dos prazos.
Agradeço a todos os que contribuíram, direta ou indiretamente, para este
trabalho.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
EXPRESSÕES DE IMPEDÂNCIA E ADMITÂNCIA DE UMA LINHA DE
TRANSMISSÃO MONOFÁSICA UTILIZANDO O MODELO DE ONDA
COMPLETA
Mariana Alves Alcoforado
Dezembro/2015
Orientadores: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Antônio Paulo Cardillo Magalhães
Curso: Engenharia Elétrica
O objetivo deste trabalho é apresentar a solução de onda completa para uma linha
de transmissão monofásica situada sobre um solo com perdas. Isto significa determinar
a constante de propagação das ondas de tensão e corrente, além dos parâmetros unitários
de impedância e admitância. O problema é abordado a partir de duas formulações
distintas: a primeira utilizando os vetores de Hertz, e a segunda utilizando os potenciais
escalar elétrico e vetorial magnético. A equação modal e as expressões de impedância e
admitância por unidade de comprimento são resolvidas numericamente no domínio da
frequência e suas respostas comparadas entre si. Algumas variações das características
dos meios e da configuração da linha são efetuadas a fim de verificar suas influências
no modo de propagação das ondas de tensão e corrente.
Palavras-chave: Onda completa, constante de propagação, equação modal, parâmetros
unitários.
vi
Abstract of Undergraduate presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Engineer.
IMPEDANCE AND ADMITTANCE EXPRESSIONS OF A SINGLE-PHASE
TRANSMISSION LINE USING THE FULL-WAVE MODEL
Mariana Alves Alcoforado
December/2015
Advisors: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Antônio Paulo Cardillo Magalhães
Course: Electric Engineering
The objective of this work is to present the full-wave solution to a single-phase
transmission line located over a lossy ground. This means determining the propagation
constant of current and voltage waves, in addition to impedance and admittance unit
parameters. The problem is approached from two different formulations: the first one
using Hertz vectors and the second one using the scalar potential and magnetic vector
potencial. The modal equation and expressions of impedance and admittance per unit
length are numerically solved in the frequency domain and their responses are
compared. Some variations of the characteristics of the means and line configuration are
performed in order to verify their influence on the mode of propagation of current and
voltage waves.
Keywords: Full-wave, propagation constant, modal equation, unit parameters.
vii
Sumário
Lista de Figuras.......................................................................................................ix
1 Introdução............................................................................................................1
1.1 Motivação.......................................................................................................2
1.2 Objetivos........................................................................................................2
1.3 Estrutura do trabalho......................................................................................3
2 Modelo de onda completa....................................................................................4
2.1 Formulação por funções potenciais e vetores de Hertz..................................5
2.2 Solução em termos de vetores de Hertz.......................................................12
2.2.1 Ondas Transversais Magnéticas (TM)................................................13
2.2.2 Ondas Transversais Elétricas (TE).....................................................18
2.3 Solução em termos de potenciais.................................................................27
2.4 Discussão.....................................................................................................34
3 Resultados Numéricos........................................................................................36
3.1 Equação modal.............................................................................................37
3.2 Parâmetros unitários.....................................................................................41
4 Conclusão...........................................................................................................47
Referências Bibliográficas.....................................................................................49
viii
Lista de Figuras
Figura 2.1: Linha de transmissão infinita paralela à interface entre os meios 1 e 2........12
Figura 3.1: Resposta em frequência da constante de atenuação ..................................38
Figura 3.2: Resposta em frequência da constante de fase ............................................38
Figura 3.3: Desvio da constante de propagação com relação a ...............................39
Figura 3.4: Efeito da altura da linha na constante de propagação...................................40
Figura 3.5: Efeito da condutividade do solo na constante de propagação.......................41
Figura 3.6: Efeito da permissividade elétrica do solo e do raio do condutor na constante
de propagação .................................................................................................................41
Figura 3.7: Resposta em frequência dos parâmetros unitários da formulação por funções
potenciais.........................................................................................................................42
Figura 3.8: Impedância por unidade de comprimento da formulação por funções poten-
ciais..................................................................................................................................43
Figura 3.9: Admitância por unidade de comprimento da formulação por funções poten-
ciais..................................................................................................................................43
Figura 3.10: Impedância característica da formulação por funções potenciais...............43
Figura 3.11: Resposta em frequência dos parâmetros unitários da formulação por
vetores de Hertz...............................................................................................................44
Figura 3.12: Impedância por unidade de comprimento da formulação por vetores de
Hertz................................................................................................................................45
Figura 3.13: Admitância por unidade de comprimento da formulação por vetores de
Hertz................................................................................................................................45
Figura 3.14: Comparação entre os parâmetros unitários obtidos a partir das duas formu-
lações utilizadas...............................................................................................................45
ix
Capıtulo 1
Introducao
O problema de um condutor de formato cilındrico e comprimento infinito dis-
posto paralelamente a superfıcie separadora de dois meios semi-infinitos representa
a modelagem de uma linha de transmissao situada sobre ou sob o solo. Este pro-
blema e vital para a transmissao de energia eletrica. A determinacao dos parametros
eletricos de uma linha, ou seja, sua impedancia e admitancia definem a viabilidade
de projetos, o modo de operacao e protecao de complexos sistemas de potencia.
Quando realizados estudos de fluxo de potencia, por exemplo, os sinais envolvi-
dos possuem frequencias muito baixas, da ordem de 60 Hz. Em casos como este,
os modelos de linha tradicionais, como os aprendidos nos cursos de graduacao de
Engenharia Eletrica, sao suficientes e levam em conta todos os efeitos relevantes a
transmissao de energia. Um bom exemplo disto e considerar o solo sem perdas, ou
seja, com condutividade eletrica infinita. Desta forma, e derivado o chamado Metodo
das Imagens[1, 2], que permite que o calculo de impedancia e admitancia seja reali-
zado de forma razoavelmente simples. Outras simplificacoes usuais para modelos de
linha em baixas frequencia sao: considerar as caracterısticas eletricas dos condutores
e dos meios como sendo constantes e desprezar as correntes de deslocamento do solo
e/ou do ar.
Entretanto, quando sao considerados fenomenos transitorios, tais como chave-
amentos, manobras, curto-circuito e tambem surtos de descarga atmosferica, os
modelos usuais ja nao atendem mais. Tais fenomenos sao compostos de sinais cujas
frequencias sao da ordem de alguns mega-hertz, valores muito acima dos quais os
modelos de linha foram derivados. Para estas situacoes, os modelos de linha devem
1
ser revisados de modo a incluir efeitos que antes podiam ser desprezados. Conduti-
vidade finita e estratificacao do solo, correntes de deslocamento, radiacao, variacao
dos parametros eletricos com a frequencia sao alguns dos efeitos que devem ser
observados e incluıdos nos modelos de linha de transmissao para altas frequencias.
1.1 Motivacao
Dada a necessidade de tratar fenomenos de alta frequencia, modelos matematicos
que possam representar o comportamento da linha de transmissao em tais cir-
cunstancias tornam-se imprescindıveis.
Os primeiros a tratar a influencia do solo nos modos de propagacao das ondas em
linhas de transmissao foram Carson[3] e Pollaczeck[4], durante a decada de 1920, de
forma independente. Ambos os trabalhos baseiam-se na propagacao quase-TEM das
ondas, que admite que a unica componente nao-nula na direcao de propagacao e a
do campo eletrico. O trabalho formulado por eles apresenta expressoes que contem
integrais infinitas, as chamadas integrais de Sommerfeld, o que na epoca representava
grande dificuldade para os calculos. A validade deste modelo restringe-se a baixas
frequencias e grande condutividade do solo. Desta dificuldade surgiram diversas
aproximacoes das integrais infinitas. Wedephol e Wicox[5] apresentaram trabalhos
nesta linha.
Em 1956, Kikuchi[6] apresentou seu artigo com o modelo de onda completa
baseando sua solucao em funcoes potenciais. O modelo de onda completa admite que
tanto o campo eletrico quanto o campo magnetico possuem componentes nao-nulas
na direcao de propagacao das ondas. Somente na decada de 1970, Wait[7] apresentou
seu trabalho baseado na formulacao por vetores de Hertz. Ambos derivam a equacao
modal para a constante de propagacao, que e uma equacao do tipo integral. As
expressoes dos parametros unitarios tambem sao escritas em termos das integrais de
Sommerfeld.
1.2 Objetivos
Este trabalho apresenta o modelo de onda completa de uma linha de transmissao
monofasica sobre um solo com perdas. O objetivo principal e apresentar a derivacao
2
deste modelo a partir de duas formulacoes distintas, mostrando cada passagem dos
calculos e as hipoteses fısicas que eles representam. Alem disso, uma configuracao
especıfica do problema e resolvida de modo a apresentar ao leitor a abordagem que
deve ser adota para resolucao, assim como os resultados que sao esperados num
problema deste tipo.
1.3 Estrutura do trabalho
Este trabalho esta dividido em quatro capıtulos. Fora este primeiro capıtulo
de introducao, os demais capıtulos tem seus objetivos delineados nos proximos
paragrafos.
No Capıtulo 2 esta derivado o modelo de onda completa para uma linha de trans-
missao monofasica. Partindo-se das equacoes de Maxwell, obtem-se duas possıveis
formas de descricao dos campos eletromagneticos. Sao elas: vetores de Hertz e
funcoes potenciais. Para cada uma destas formulacoes, deriva-se a equacao modal e
as expressoes dos parametros unitarios da linha.
No Capıtulo 3, e apresentada uma configuracao particular da linha de trans-
missao aerea (constantes eletricas dos meios e altura da linha e raio do condutor).
A equacao modal e resolvida para a constante de propagacao e entao sao calculadas
a impedancia e admitancia por unidade de comprimento da linha para ambas as for-
mulacoes desenvolvidas no Capıtulo 2. Tambem sao simuladas algumas variacoes da
configuracao base, de forma a verificar a influencia destas nos modos de propagacao
das ondas numa linha de transmissao.
O Capıtulo 4 e a conclusao do trabalho. Aqui sao discutidos os resultados obtidos
e delineadas algumas possibilidades de desenvolvimento na area no futuro.
3
Capıtulo 2
Modelo de onda completa
Uma linha de transmissao monofasica pode ser modelada por um condutor
cilındrico infinitamente longo situado a uma altura constante da superfıcie sepa-
radora de dois meios semi-infinitos. Deve-se supor que o raio do condutor e muito
menor que a distancia da linha a interface entre os meios. A solucao deste modelo
equivale a determinar a constante de propagacao γ das ondas de tensao e corrente e
os parametros unitarios de impedancia e admitancia. Existem tres possıveis modos
de propagacao das ondas de tensao e corrente numa linha de transmissao. Estes
modos sao: modo TEM, modo quase-TEM e modo de onda completa.
O modo de propagacao TEM (Transversal Electromagnetic, do ingles)[8, 9] cor-
responde ao modo de propagacao de ondas planas. Neste caso, as componentes
dos campos eletrico e magnetico na direcao de propagacao das ondas sao nulas.
Considerando-se o eixo z de um sistema de coordenadas retangulares como sendo
a direcao de propagacao tem-se Ez = 0 e Hz = 0. Este modo de propagacao so e
possıvel no caso da linha de transmissao estar situada sobre um solo ideal, ou seja,
com condutividade eletrica infinita.
O modo de propagacao quase-TEM considera que apenas a componente do
campo eletrico na direcao de propagacao das ondas e diferente de zero (Ez 6= 0). A
componente do campo magnetico nesta direcao e feita igual a zero (Hz = 0). A cons-
tante de propagacao das ondas e normalmente tomada como sendo igual a constante
de propagacao intrınseca do meio no qual a linha de transmissao se encontra. Ge-
ralmente, para linhas aereas faz-se γ = ω√µ0ε0, onde µ0 e ε0 sao, respectivamente,
a permeabilidade magnetica e permissividade eletrica do vacuo e ω e a frequencia
4
angular da onda. Desta forma, no modo de propagacao quase-TEM a constante
de propagacao γ nao e determinada matematicamente mas assumida por hipotese.
Isto faz com que os parametros unitarios de impedancia e admitancia possam ser
determinados diretamente.
O modo de propagacao de onda completa nao faz restricoes as componentes
dos campos eletrico e magnetico na direcao de propagacao das ondas (Ez 6= 0 e
Hz 6= 0). Neste modo, a constante de propagacao e determinada a partir da equacao
modal. Esta equacao e do tipo integral, onde o integrando e funcao de γ. Por nao
possuir solucao analıtica deve-se recorrer a metodos numericos para soluciona-la. Os
parametros unitarios de impedancia e admitancia tambem sao funcoes da constante
de propagacao e por isso so podem ser calculados apos resolver-se a equacao modal.
Neste capıtulo, o modelo de onda completa de uma linha de transmissao mo-
nofasica situada sobre um solo com perdas sera obtido. Partindo-se das equacoes
de Maxwell serao derivadas a equacao modal e as expressoes de impedancia e ad-
mitancia da linha de transmissao. Serao adotadas duas formas de representacao
dos campos eletrico e magnetico: vetores de Hertz e funcoes potenciais. A solucao
por vetores de Hertz e feita decompondo-se os campos em modos longitudinais e
transversais. Ja a solucao por funcoes potenciais nao utiliza tal decomposicao.
2.1 Formulacao por funcoes potenciais e vetores
de Hertz
O Eletromagnetismo e descrito pelas equacoes de Maxwell[8, 9, 10] que fornecem
o comportamento dos campos eletrico e magnetico na presenca de fontes de carga
e corrente eletrica. As equacoes de Maxwell escritas em sua forma mais geral sao
dadas a seguir:
∇. ~D = ρ (2.1)
∇. ~B = 0 (2.2)
∇× ~E = −∂~B
∂t(2.3)
5
∇× ~H = ~+∂ ~D
∂t(2.4)
As equacoes de Maxwell obedecem ao princıpio de conservacao de carga eletrica.
Para verificar isto, basta saber que e possıvel derivar a equacao da continuidade
tomando-se o divergente da lei de Ampere, dada pela equacao (2.4), e utilizar em
conjunto a equacao (2.1). Obtem-se entao:
∇.~+∂ρ
∂t= 0 (2.5)
Para meios lineares, homogeneos e isotropicos, as seguintes equacoes constitutivas
sao estabelecidas:
~D = ε ~E (2.6)
~B = µ ~H (2.7)
~ = σ ~E (2.8)
sendo (2.8) conhecida como Lei de Ohm.
Uma das formas de solucao das equacoes de Maxwell e atraves de funcao poten-
ciais. Seja a equacao (2.2). Um vetor que possui divergente nulo pode ser escrito
como o rotacional de um segundo vetor, dada a propriedade de Analise Vetorial
∇.∇ × ~v = 0, ∀~v. No caso do vetor ~B, este pode ser escrito como o rotacional do
potencial vetor magnetico ~A:
~B = ∇× ~A (2.9)
Levando-se esta definicao na equacao de Faraday (2.3), obtem-se o campo eletrico
~E em termos dos potenciais:
~E = −∂~A
∂t−∇φ (2.10)
onde φ e o potencial escalar eletrico.
Antes de prosseguir para a obtencao das equacoes de onda para os potenciais
φ e ~A, deve-se separar a densidade de corrente ~ em duas partes: a primeira parte
6
dependente do campo eletrico ~E, na forma da equacao (2.8), e a segunda parte que
independe de ~E, sendo imposta por um circuito externo ao meio em analise. Logo:
~ = σ ~E + ~ext (2.11)
Esta nova forma do vetor densidade de corrente deixa a equacao (2.4) escrita como:
∇× ~H = ~ext + σ ~E + ε∂ ~E
∂t(2.12)
onde tambem foi utilizada a equacao (2.6).
Substituindo as expressoes dos campos ~E e ~H em termos dos potenciais φ e ~A,
dados pelas equacoes (2.9) e (2.10), na equacao (2.12) obtem-se:
∇2 ~A− µε∂2 ~A
∂t2− µσ∂
~A
∂t= −µ~ext (2.13)
onde a seguinte condicao foi imposta:
∇. ~A+ µσφ+ µε∂φ
∂t= 0 (2.14)
e considerando-se um sistema de coordenadas retangulares, onde vale a seguinte
propriedade:
∇×∇× ~v = ∇(∇.~v)−∇2~v
sendo ∇2~v chamado de Laplaciano de ~v.
Uma equacao de onda analoga pode ser obtida para o potencial escalar φ,
utilizando-se a equacao (2.1) e a condicao dada em (2.14). A equacao de onda
para o potencial escalar eletrico vale:
∇2φ− µε∂2φ
∂t2− µσ∂φ
∂t= −1
ερext (2.15)
onde a densidade de carga ρ foi reescrita como ρext apenas para manter a coerencia
da notacao.
A solucao dos campos eletrico e magnetico em termos de potenciais φ e ~A nao e
a mais geral. Para obter a solucao geral das equacoes de Maxwell deve-se resolver
as equacoes homogeneas associadas, fazendo-se ρext = 0 e ~ext = 0. Neste caso, alem
do vetor inducao magnetica ~B possuir divergencia nula, o vetor inducao eletrica ~D
tambem possui. Entao pode ser feito a seguinte definicao:
~D = −∇× ~A∗ (2.16)
7
sendo ~A∗1 o potencial vetor eletrico.
Substituindo esta definicao na equacao (2.12), com ~ext = 0, obtem-se ~H em
termos dos potenciais:
~H = −σε~A∗ − ∂ ~A∗
∂t−∇φ∗ (2.17)
sendo φ∗ denominado potencial escalar magnetico.
Levando as equacoes (2.16) e (2.17) na equacao (2.3) e utilizando a equacao
constitutiva (2.7) obtem-se:
∇2 ~A∗ − µε∂2 ~A∗
∂t2− µσ∂
~A∗
∂t= 0 (2.18)
ja considerada a seguinte condicao:
∇. ~A∗ + µε∂φ∗
∂t= 0 (2.19)
A equacao de onda para o potencial escalar magnetico φ∗ pode ser obtido a partir
da equacao (2.2), impondo a condicao (2.19):
∇2φ∗ − µε∂2φ∗
∂t2− µσ∂φ
∗
∂t= 0 (2.20)
A solucao geral dos campos eletrico e magnetico, ~E e ~H, e dada por:
~E = −∂~A
∂t−∇φ− 1
ε∇× ~A∗ (2.21)
~H =1
µ∇× ~A− σ
ε~A∗ − ∂ ~A∗
∂t−∇φ∗ (2.22)
Uma forma alternativa de descrever os campos eletrico e magnetico e atraves dos
chamados vetores de Hertz[9]. Existem dois tipos de vetor de Hertz: o tipo eletrico,
designado aqui por ~Π, e o tipo magnetico, doravante denominado ~Π∗.
O vetor de Hertz do tipo eletrico e definido de forma que:
~A = µσ~Π + µε∂~Π
∂t(2.23)
1A notacao adotada aqui e a mesma utilizada em [9]. Aqui sao utilizados ~A∗, ~Π e ~Π∗ como
potencial vetor eletrico e vetores de Hertz do tipo eletrico e magnetico, respectivamente. Em
notacao mais moderna, as grandezas ~A∗, ~Π e ~Π∗ equivalem a ~F , ~ΠE e ~ΠH , nesta ordem.
8
Substituindo a equacao (2.23) na condicao dada pela equacao (2.14), encontra-se:
φ = −∇.~Π (2.24)
e levando-se a definicao acima na equacao de onda para φ, dada por (2.15), obtem-se:
∇2~Π− µε∂~Π
∂t2− µσ∂
~Π
∂t= −
~Pextε
(2.25)
onde tomou-se a seguinte identidade:
ρext = −∇. ~Pext (2.26)
Substituindo-se a equacao (2.23) na equacao de onda para ~A, dada por (2.13),
obtem-se:
~ext =∂ ~Pext∂t
+σ
ε~Pext (2.27)
Os campos ~E e ~H em funcao do vetor de Hertz ~Π sao dados pelas expressoes a
seguir:
~E = ∇(∇.~Π)− µε∂2~Π
∂t2− µσ∂
~Π
∂t(2.28)
~H = ∇×
(σ~Π + ε
∂~Π
∂t
)(2.29)
O vetor de Hertz do tipo magnetico e definido como:
~A∗ = µε∂~Π∗
∂t(2.30)
Substituindo a equacao (2.30) na condicao dada pela equacao (2.19) tem-se:
φ∗ = −∇.~Π∗ (2.31)
A equacao de onda para o vetor de Hertz ~Π∗ pode ser encontrada substituindo-se a
equacao (2.30) em (2.18) ou a equacao (2.31) em (2.20):
∇2~Π∗ − µε∂~Π∗
∂t2− µσ∂
~Π∗
∂t= 0 (2.32)
Os campos ~E e ~H em termos do vetor de Hertz ~Π∗ sao dados a seguir:
~E = −µ∇× ∂~Π∗
∂t(2.33)
9
~H = ∇(∇.~Π∗)− µε∂2~Π∗
∂t2− µσ∂
~Π∗
∂t(2.34)
A solucao mais geral para os campos eletrico e magnetico ~E e ~H e a combinacao
das solucoes para cada tipo de vetor de Hertz, conforme mostrado abaixo:
~E = ∇(∇.~Π)− µε∂2~Π
∂t2− µσ∂
~Π
∂t− µ∇× ∂~Π∗
∂t(2.35)
~H = ∇×
(σ~Π + ε
∂~Π
∂t
)+∇(∇.~Π∗)− µε∂
2~Π∗
∂t2− µσ∂
~Π∗
∂t(2.36)
Considerando-se que a dependencia temporal dos campos e fontes e do tipo harmonica,
ou seja, as funcoes do tempo sao dadas por exp(jωt), as equacoes de onda ficam
reescritas como:
(∇2 − k2) ~A = −µ~ext (2.37)
(∇2 − k2)φ = −1
ερext (2.38)
(∇2 − k2)~Π = −~Pextε
(2.39)
onde k e dado por:
k2 = jωµm2 (2.40)
sendo
m2 = σ + jωε (2.41)
A condicao dada pela equacao (2.14) transforma-se em:
∇. ~A+ µm2φ = 0 (2.42)
E ainda:
(∇2 − k2) ~A∗ = 0 (2.43)
(∇2 − k2)φ∗ = 0 (2.44)
10
(∇2 − k2)~Π∗ = 0 (2.45)
com a condicao (2.19) dada por:
∇. ~A∗ + jωµεφ∗ = 0 (2.46)
Ja os campos ~E e ~H ficam escritos como:
~E = ∇(∇.~Π)− k2~Π− jωµ∇× ~Π∗ (2.47)
~H = m2∇× ~Π +∇(∇.~Π∗)− k2~Π (2.48)
no caso da solucao em termos dos vetores de Hertz.
Por motivos de simplicidade, vale a pena reescrever a equacao de onda para ~Π
com o vetor de polarizacao ~Pext em funcao da densidade de corrente ~ext. Da equacao
(2.27) tem-se:
~ext =(σε
+ jω)~Pext (2.49)
Logo:
(∇2 − k2)~Π = −~extm2
(2.50)
Neste ponto, deve-se fazer uma analise do conjunto de equacoes obtidas a partir das
equacoes de Maxwell e cuja solucao descreve o campo eletromagnetico. As equacoes
de Maxwell, dadas por (2.1) a (2.4) formam um conjunto de oito equacoes diferen-
ciais parciais. Os campos ~E, ~D, ~H e ~B possuem doze componentes que devem ser
determinadas. Entretanto, dessas doze componentes apenas seis sao independentes,
visto que as equacoes constitutivas (2.6) e (2.7) vinculam os campos ~D ao ~E e ~H ao
~B. Logo, tem-se seis incognitas e oito equacoes. Mas das oito equacoes de Maxwell,
apenas seis sao realmente independentes, visto que as equacoes (2.1) e (2.2) sao
consequencia do princıpio de conservacao de carga. Por fim, tem-se que o numero
de equacoes independentes e igual ao de incognitas a serem determinadas.
Na abordagem utilizando as funcoes potenciais, tem-se quatro funcoes: ~A, φ, ~A∗
e φ∗. Estes potenciais representam oito componentes. As equacoes de onda (2.13),
(2.15), (2.18) e (2.20) formam um conjunto de oito equacoes. Por outro lado, as
11
condicoes de calibre (2.14) e (2.19) indicam que destas oito equacoes, apenas seis
sao realmente independentes.
Utilizando-se a abordagem dos vetores de Hertz, tem-se que as equacoes de onda
(2.25) e (2.32) formam um conjunto de seis equacoes, todas independentes entre si
e suficientes para determinar o campo eletromagnetico.
Na proxima secao, o modelo de uma linha de transmissao monofasica sera obtido
atraves da utilizacao dos vetores de Hertz ~Π e ~Π∗. Na secao subsequente, utiliza-se
a abordagem das funcoes potenciais ~A e φ para o mesmo problema.
2.2 Solucao em termos dos vetores de Hertz
Considere um linha de transmissao infinita disposta paralelamente a superfıcie
separadora de dois meios semi-infinitos. Esta linha e macica e constituıda de material
condutor cujas contantes eletricas sao σc, εc, µc, possui raio a e esta situada no meio
1. A linha de transmissao e localizada pelo sistema de coordenadas cartesianas xyz.
O problema fica melhor apresentado com o auxılio da Figura (2.1).
Figura 2.1: Linha de transmissao infinita paralela a interface entre os meios 1 e 2.
Os meios 1 e 2 sao considerados lineares, homogeneos e isotropicos e caracte-
rizados pelas constantes eletricas σ1, ε1, µ1 e σ2, ε2, µ2, respectivamente. A linha e
percorrida por uma corrente eletrica cuja forma e I exp(−γz + jωt), onde ω e a
frequencia angular e γ e a constante de propagacao que ainda precisa ser determi-
nada. Definindo a forma da corrente, define-se tambem como os campos eletrico e
magnetico dependem das coordenadas z e t.
12
A solucao completa deste problema sera obtida considerando-se as duas solucoes
independentes possıveis e depois combinando estas solucoes. A primeira solucao
corresponde as ondas transversais magneticas (TM), que possuem componente Hz
nula. Ja a segunda solucao sao as chamadas ondas transversais eletricas (TE), cuja
componente Ez e igual a zero. Este tipo de solucao e citada como decomposicao em
modos normais em [8].
2.2.1 Ondas Transversais Magneticas (TM)
A linha de transmissao esta situada inteiramente no meio 1. A densidade de
corrente eletrica ~ext imposta por um circuito externo e dada por:
~ext = Iδ(x− xc)δ(y − yc)z (2.51)
em que xc e yc localizam a linha no sistema de coordenadas cartesianas adotado. A
funcao delta de Dirac informa que a circulacao de corrente esta limitada a linha e I
representa a corrente total circulando por esta. Desta forma, tem-se:∫∫~ext.d~S = I
Designando o vetor de Hertz do tipo eletrico referente ao meio 1 por ~Π1 e substituindo
a densidade de corrente deste meio na equacao de onda (2.50) tem-se:
(∇2 − k21)~Π1 = − I
m21
δ(x− xc)δ(y − yc)z (2.52)
O vetor de Hertz ~Π1 possui componente nao nula apenas na direcao z, sendo portanto
descrito como ~Π1 = Π1z. Isto transforma a equacao (2.52) na equacao mostrada a
seguir: (∇2 − k21
)Π1 = − I
m21
δ(x− xc)δ(y − yc) (2.53)
Tendo-se em mente a dependencia dos campos com a coordenada espacial z, o
laplaciano destas grandezas vale:
∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+ γ2 (2.54)
e logo a equacao (2.53) transforma-se em:(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+ λ21
)Π1 = − I
m21
δ(x− xc)δ(y − yc) (2.55)
13
apos efetuar-se a troca de variaveis λ21 = γ2−k21. Vale ressaltar que daqui em diante
a dependencia dos vetores de Hertz, campos eletrico e magnetico e fontes de carga e
corrente serao escrita com a dependencia exp(−γz) suprimida, para tornar a escrita
das equacoes menos trabalhosa. Deste modo, o verdadeiro vetor de Hertz Π1 e dado
por:
Π1 = Π1(x, y, z) = e−γzΠ1(x, y) (2.56)
Entretanto, como a dependencia de Π1 com a coordenada z ja e conhecida, resta
apenas determinar a dependencia com as coordenadas espaciais x e y, por isso
escreve-se Π1 = Π1(x, y).
Uma forma rapida e eficiente de resolver equacoes diferenciais parciais consiste
em utilizar a tecnica da Transformada de Fourier, que sera empregada a seguir.
A Transformada de Fourier2 de uma funcao e definida como se segue[11]:
f(α) = ={f(x)} =
+∞∫−∞
f(x)e−jαxdx (2.57)
e a transformada inversa de Fourier e:
f(x) = =−1{f(α)} =1
2π
+∞∫−∞
f(α)ejαxdα (2.58)
Multiplicando-se a equacao (2.55) por exp(−jαx) e integrando-se no intervalo x ∈
(−∞,+∞) tem-se:(−α2 +
d2
dy2+ λ21
)Π1 = − I
m21
e−jαxcδ(y − yc) (2.59)
sendo
Π1 = Π1(α, y) =
+∞∫−∞
Π1e−jαxdx
No caso da coordenada y, ao inves de empregar a transformada completa de Fourier,
utiliza-se a transformada seno de Fourier. Isto e feito de forma a aparecer uma
2Existem outras definicoes para a transformada de Fourier. A principal diferenca entre estas
definicoes da transformada e o fator multiplicativo que precede a integral. Entretanto, alguns
autores trocam o sinal da exponencial. O importante e utilizar a mesma definicao ao longo de todo
o processo de resolucao da equacao.
14
constante de integracao que sera determinada a partir das condicoes de contorno
que os campos ~E e ~H devem satisfazer na interface separadora entre os meios 1 e 2.
A transformada seno de Fourier e sua inversa sao apresentadas nas duas equacoes
subsequentes[11]:
gs(β) = =s{g(y)} =
+∞∫0
g(y) sin(βy)dy (2.60)
g(y) = =−1s {gs(β)} =2
π
+∞∫0
gs sin(βy)dβ (2.61)
De posse destas definicoes procede-se a resolucao da equacao (2.59), multiplicando-
se esta por sin(βy) e integrando-se no intervalo y ∈ (0,+∞). O resultado desta
operacao e:
(λ21 − α2 − β2)Π1 − βΠ1(α, 0) = − I
m21
e−jαxc sin(βyc) (2.62)
onde Π1 e a transformada seno de Fourier de Π1, dada por:
Π1 = Π1(α, β) =
+∞∫0
Π1 sin(βy)dy (2.63)
Como forma de tornar a notacao mais simples faz-se Π10 = Π1(α, 0). Com esta
definicao, a equacao (2.62) fica:
Π1 =βΠ10 − I
m21e−jαxc sin(βyc)
β2 + α2 − λ21(2.64)
que e a solucao da equacao (2.53) no espaco transformado (α, β). Para obter a
resposta no espaco real das coordenadas xyz deve-se aplicar a transformada inversa
bidimensional.
A funcao Π1 e uma funcao ımpar com relacao a variavel β. Isto permite que sua
transformada inversa de Fourier seja calculada como:
Π1 =2
π
+∞∫0
Π1(α, β) sin(βyc)dβ (2.65)
Mas a funcao sin(βyc) pode ser escrita em funcao de exponenciais, conforme mos-
trado a seguir:
sin(βyc) =ejβyc − e−jβyc
2j(2.66)
15
Levando esta definicao do seno na expressao (2.65), esta transforma-se em:
Π1 =1
πj
+∞∫−∞
Π1(α, β)ejβydβ (2.67)
A integral acima e resolvida de forma bem simples atraves do metodo dos resıduos do
calculo de variaveis complexas[11]. Aplicando-se a mudanca de variaveis u21 = α2−λ21na equacao (2.64) obtem-se que (2.67) vale:
Π1 =1
πj
+∞∫−∞
βΠ10 − Im2
1e−jαxc sin(βyc)
(β + ju1)(β − ju1)dβ (2.68)
A equacao (2.68) para Π1 depois de resolvida a integral vale:
Π1 = Π10e−u1y − I
2u1m21
(e−u1|y−yc| − e−u1(y+yc))e−jαxc (2.69)
Realizando a transformada inversa com respeito a variavel x obtem-se o vetor de
Hertz do tipo eletrico Π1 para o meio 1:
Π1 =1
2π
+∞∫−∞
Π1ejαxdα (2.70)
Para o meio 2, a equacao de onda do vetor de Hertz do tipo eletrico ~Π2 e homogenea,
pois nao ha nenhuma fonte de corrente externa. Ja considerando a dependencia
exponencial com a coordenada z, tem-se:(∂2
∂x2+
∂2
∂y2+ λ22
)~Π2 = 0 (2.71)
com λ22 = γ2 − k22.
A solucao desta equacao e obtida pelo mesmo processo utilizado para o meio 1.
Primeiro, aplica-se a transformada de Fourier com respeito a coordenada x e em
seguida a transformada seno de Fourier com respeito a coordenada y. Os passos
intermediarios sao mostrados a seguir:(−α2 +
d2
dy2+ λ22
)Π2 = 0 (2.72)
(λ22 − α2 − β2
)Π2 + βΠ20 = 0 (2.73)
16
sendo
Π2 = Π2(α, y) =
+∞∫−∞
Π2(x, y)e−jαxdx (2.74)
Π2 = Π2(α, β) =
+∞∫0
Π2(α, y) sin(βy)dy (2.75)
e Π20 = Π2(α, 0), com a notacao seguindo o mesmo padrao que o utilizado na solucao
do meio 1. Logo, tem-se:
Π2 =βΠ20
β2 + α2 − λ22(2.76)
A funcao Π2 e ımpar com relacao a variavel β. Deste modo, sua transformada
inversa e dada por:
Π2 =1
πj
∞∫−∞
Π2(α, β)ejβydβ (2.77)
Fazendo uma substituicao de variaveis similar aquela utilizada anteriormente para
o meio 1, dada por:
u22 = α2 − λ22 (2.78)
transforma-se a equacao (2.76) em:
Π2 =βΠ20
(β + ju2)(β − ju2)(2.79)
A transformada inversa de Fourier de Π2 e dada pela equacao a seguir:
Π2 =1
πj
+∞∫−∞
βΠ20
(β + ju2)(β − ju2)ejβydβ (2.80)
Resolvendo-se a integral acima pelo metodo dos resıduos obtem-se a expressao final
de Π2 como sendo:
Π2 = Π20eu2y (2.81)
Obtem-se o vetor de Hertz do tipo eletrico do meio 2 aplicando-se a transformada
inversa de Fourier com respeito a coordenada x. Para isto, faz-se:
Π2 =1
2π
+∞∫−∞
Π2ejαxdα (2.82)
17
2.2.2 Ondas Transversais Eletricas (TE)
Como foi feito anteriormente para resolver a equacao de onda do vetor de Hertz
do tipo eletrico, a equacao de onda (2.45) sera resolvida utilizando-se a tecnica da
Transformada de Fourier.
Para o meio 1 tem-se a seguinte equacao de onda:
(∇2 − k21)~Π∗1 = 0 (2.83)
Assim como ~Π, o vetor ~Π∗ possui apenas a componente z diferente de zero, sendo
~Π∗1 = Π∗1z. Neste caso, a equacao (2.83) torna-se:
(∇2 − k21)Π∗1 = 0 (2.84)
Multiplicando-se a equacao acima por exp(−jαx) e integrando-se no intervalo x ∈
(−∞,+∞), tem-se: (−α2 +
d2
dy2+ λ21
)Π∗1 = 0 (2.85)
onde
Π∗1 = Π
∗1(α, y) =
+∞∫−∞
Π∗1e−jαxdx
e a transformada de Fourier de Π∗1 com relacao a variavel x.
Agora, multiplicando-se (2.85) por sin(βy) e integrando-se no intervalo y ∈
(0,+∞) obtem-se:
(λ21 − α2 − β2)Π∗1 − βΠ
∗10 = 0 (2.86)
sendo
Π∗1 = Π
∗1(α, β) =
+∞∫0
Π1 sin(βy)dy
e Π∗10 = Π∗1(α, 0). A solucao de Π∗1 no domınio da transformada de Fourier e dada
por:
Π∗1 =
βΠ∗10
β2 + α2 − λ21(2.87)
18
Sendo Π∗1 ımpar com relacao a variavel β, sua transformada inversa de Fourier pode
ser calculada tomando-se apenas a parte do seno. E ainda escrevendo-se a funcao
sin(βy) como na equacao (2.66) tem-se:
Π1 =1
πj
+∞∫−∞
Π∗1ejβydβ (2.88)
Valendo-se da mesma mudanca de variaveis que para as onda TM no meio 1 na
equacao (2.87) e levando-se o resultado em (2.88) tem-se:
Π∗1 =
1
πj
+∞∫−∞
βΠ∗10
(β + ju1)(β − ju1)ejβydβ (2.89)
Resolvendo-se esta integral pelo metodo dos resıduos obtem-se:
Π∗1 = Π
∗10e−u1y (2.90)
Para chegar a solucao de Π∗1 nas coordenadas espaciais xyz basta aplicar a transfor-
mada inversa de Fourier em (2.90) com respeito a x, conforme feito a seguir:
Π∗1 =1
2π
+∞∫−∞
Π∗1ejαxdα (2.91)
De maneira similar aquela do meio 1, obtem-se o vetor de Hertz do tipo magnetico
do meio 2. O vetor de Hertz ~Π∗2 possui apenas a componente z e sua equacao de
onda e dada por:
(∇2 − k22)Π∗2 = 0 (2.92)
Aplicando-se a transformada de Fourier com respeito a coordenada x, tem-se:(−α2 +
d2
dy2+ λ22
)Π∗2 = 0 (2.93)
sendo
Π∗2 = Π
∗2(α, y) =
+∞∫−∞
Π∗2(x, y)e−jαxdx (2.94)
Agora, aplicando-se a transformada seno de Fourier com respeito a coordenada y
leva a equacao (2.93) na equacao abaixo:
(λ22 − α2 − β2)Π∗2 + βΠ20 = 0 (2.95)
19
com Π∗2 dado por:
Π∗2 = Π
∗2(α, y) =
+∞∫0
Π∗2(α, y) sin(βy)dy (2.96)
e Π∗20 = Π2(α, 0).
Ressalta-se que a notacao seguida na resolucao desta parte do problema segue
a notacao adotada anteriormente para denominar as funcoes transformadas e suas
condicoes iniciais. A funcao Π∗2 e dada por:
Π∗2 =
βΠ∗20
β2 + α2 − λ22(2.97)
Assim como para as outras funcoes, Π∗2 e ımpar em relacao a variavel β. Logo, sua
transformada inversa e dada por:
Π∗2 =
1
πj
+∞∫−∞
Π∗2ejβydβ (2.98)
Para facilitar a resolucao da integral via metodo dos resıduos, a seguinte mudanca
de variaveis e feita:
u22 = α2 − λ22 (2.99)
A solucao fica:
Π∗2 = Π
∗20e
u2y (2.100)
O vetor de Hertz do tipo magnetico Π∗2 e obtido aplicando-se a transformada inversa
de Fourier na equacao (2.100):
Π∗2 =1
2π
+∞∫−∞
Π∗2ejαxdα (2.101)
Agora que todos os vetores de Hertz foram calculados, pode-se obter as componentes
dos campos ~E e ~H. As componentes dos campos ~E e ~H assumem a seguinte forma
considerando-se a dependencia prescrita para as coordenadas z e t:
Ex = −γ ∂Π
∂x− jωµ∂Π∗
∂y(2.102)
Ey = −γ ∂Π
∂y+ jωµ
∂Π∗
∂x(2.103)
20
Ez = (γ2 − k2)Π (2.104)
Hx = −γ ∂Π∗
∂x+m2∂Π
∂y(2.105)
Hy = −γ ∂Π∗
∂y−m2∂Π
∂x(2.106)
Hz = (γ2 − k2)Π∗ (2.107)
Estas componentes devem obedecer as seguintes condicoes de contorno na inter-
face separadora entre os meios[8, 9, 10], que no sistema de coordenadas adotado
corresponde ao plano y = 0, mostradas a seguir:
(E1x)y=0 = (E2x)y=0 (2.108)
(E1z)y=0 = (E2z)y=0 (2.109)
(H1x)y=0 = (H2x)y=0 (2.110)
(H1z)y=0 = (H2z)y=0 (2.111)
Quando substituıdos os valores de Π1, Π2, Π∗1 e Π∗2 nas expressoes das componentes
dos campo eletrico e magnetico e satisfazendo as condicoes de contorno acima obtem-
se:
λ21Π10 = λ22Π20 (2.112)
λ21Π∗10 = λ22Π
∗20 (2.113)
−jαγΠ10 + jωµ1u1Π∗10 = −jαγΠ20 − jωµ2u2Π
∗20 (2.114)
−jαγΠ∗10 −m2
1u1Π10 − Ie−u1yce−jαxc = −jαγΠ∗20 +m2
2u2Π20 (2.115)
Das equacoes (2.112) e (2.113) tem-se, respectivamente:
Π20 =λ21λ22
Π10 (2.116)
21
Π∗20 =
λ21λ22
Π∗10 (2.117)
Substituindo-se os resultados acima na equacao (2.114) obtem-se:
Π∗10 =
−αγ(λ21 − λ22)µ1λ22u1 + µ2λ21u2
Π10 (2.118)
Levando estas equacoes na equacao (2.115) encontra-se o valor para Π10 em termos
das constantes do problema:
Π10 = −f(α, γ)I
m21
e−u1yce−jαxc (2.119)
sendo f dada por:
f−1(α, γ) = u1 +u2λ
21m
22
λ22m21
+j(αγ)2(λ21 − λ22)2
ωλ22(µ1λ22u1 + µ2λ21u2)(2.120)
Para completar a descricao dos campos eletrico e magnetico do problema, precisa-se
de mais uma condicao de contorno, que sera utilizada para determinar a constante de
propagacao γ das ondas de tensao e corrente na linha de transmissao. Esta condicao
e fornecida pela continuidade do campo eletrico axial na superfıcie separadora entre
o meio 1 e o condutor da linha.
Agora que Π10 esta determinado pelas equacoes (2.119) e (2.120), pode-se uti-
lizar a equacao (2.70) juntamente com a equacao (2.69) para obter o vetor eletrico
de Hertz Π1 e consequentemente a componente E1z do campo eletrico, dada pela
equacao (2.104). Deste modo tem-se:
E1z = − λ21I
2πm21
+∞∫−∞
{(f − 1
2u1
)e−u1(y+yc) +
1
2u1eu1(y−yc)
}ejα(x−xc)dα (2.121)
Calculando-se o campo E1z ponto (x = xc, y = yc − a) da superfıcie condutora da
linha tem-se:
Ezc = − λ21I
2πm21
+∞∫−∞
{(f − 1
2u1
)e−2u1yc +
1
2u1e−u1a
}dα (2.122)
onde fez-se y + yc ≈ 2yc no ponto considerado, visto que supoe-se yc � a.
Por outro lado, o campo eletrico axial na superfıcie de um condutor cilındrico e
dado por[12]:
Ezc =ωµcI
2πa
λck2c
I0(jλca)
I1(jλca)(2.123)
22
onde I0 e I1 sao funcoes de Bessel de primeira especie de ordem zero e um[11],
respectivamente. E ainda:
λ2c = γ2 − k2c (2.124)
onde k2c = jωµcm2c , sendo m2
c = σc + jωεc. Igualando as equacoes (2.122) e (2.123)
obtem-se a chamada equacao modal, cuja solucao fornece a constante de propagacao
γ das ondas de tensao e corrente.
No caso de uma linha de transmissao cujo material constituinte possua conduti-
vidade σc muito grande quando comparada a σ1, pode-se dizer que o limite σc →∞
e verdadeiro, e portanto:
Ezc = 0 (2.125)
Assim, a equacao modal transforma-se em:
− λ21I
2πm21
+∞∫−∞
{(f − 1
2u1
)e−2u1yc +
1
2u1e−u1a
}dα = 0 (2.126)
Daqui em diante, considera-se que os meios 1 e 2 sejam meios nao-magneticos, ou
seja, µ1 = µ2 = µ0, onde µ0 representa a permeabilidade magnetica do vacuo.
Neste caso, as expressoes dos vetores de Hertz ficam simplificadas como mostrado
a seguir[7, 13]:
Π1 =−jωµ1I
4πk21
+∞∫−∞
(eu1(y−h) +R(α)e−u1(y+h)
) ejαxu1
dα (2.127)
Π2 =−jωµ1I
4πk21
+∞∫−∞
e−u1hT (α)eu2yejαx
u1dα (2.128)
Π∗1 =−jωµ1I
4πk21
+∞∫−∞
e−u1hM(α)e−u1yejαx
u1dα (2.129)
Π∗2 =−jωµ1I
4πk21
+∞∫−∞
e−u1hN(α)eu2yejαx
u1dα (2.130)
23
onde as expressoes de R, T , M e N sao dadas por:
R = −1 + u12k21
k21 − γ2
(1
u1 + u2− γ2
k21u2 + k22u1
)(2.131)
T = u12k21
k22 − γ2
(1
u1 + u2− γ2
k21u2 + k22u1
)(2.132)
M =−γαjωµ1
2k21k21 − γ2
(1
u1 + u2− k21k21u2 + k22u1
)(2.133)
N =−γαjωµ1
2k21k22 − γ2
(1
u1 + u2− k21k21u2 + k22u1
)(2.134)
Tambem considerou-se que a linha e localizada pelas coordenadas xc = 0 e yc = h.
A expressao de Π1 dada pela equacao (2.127) e valida para o intervalo 0 < y < h,
que e o intervalo necessario para definicao da tensao de linha, tomando-se o plano
y = 0 como referencia.
Substituindo a expressao de R dada em (2.131) na equacao (2.127) obtem-se:
Π1 = − jωµ1I
2π(k21 − γ2)
(k21 − γ2
k21Λ + S1 −
γ2
k21S2
)(2.135)
onde
Λ =1
2
+∞∫−∞
(eu1(y−h) − e−u1(y+h))ejαx
u1dα (2.136)
S1 =
+∞∫−∞
e−u1(y+h)
u1 + u2ejαx dα (2.137)
S2 =
+∞∫−∞
e−u1(y+h)
n2u1 + u2ejαx dα (2.138)
sendo n2 =k22k21
, onde n e o ındice de refracao relativo dos meios 1 e 2. A equacao
(2.136) ainda pode ser escrita em termos da funcao de Bessel modificada de segunda
especie de ordem zero[11], designada por K0, conforme feito abaixo:
Λ = K0(λ1d)−K0(λ1D) (2.139)
24
onde d =√
(y − h)2 + x2 e D =√
(y + h)2 + x2.
O vetor de Hertz do tipo magnetico para o meio 1 vale:
Π∗1 =γI
2π(k21 − γ2)
(S
′
1 − S′
2
)(2.140)
onde
S′
1 =
+∞∫−∞
α
u1
e−u1(y+h)
u1 + u2ejαxdα (2.141)
S′
2 =
+∞∫−∞
α
u1
e−u1(y+h)
n2u1 + u2ejαxdα (2.142)
Com este valor de Π1, dado na equacao (2.135), pode-se reescrever a equacao modal.
A componente z do campo eletrico axial vale:
E1z = (γ2 − k21)Π1 (2.143)
Fazendo-se a substituicao de Π1 na equacao acima tem-se:
E1z = −jωµ1I
2πk21
(k21(Λ + S1)− γ2(Λ + S2)
)(2.144)
No caso do condutor da linha de transmissao ser ideal, ou seja, ter condutividade
eletrica infinita, tem-se que o campo eletrico axial na superfıcie deste condutor deve
ser igual a zero. Logo:
−jωµ1I
2πk21
(k21(Λ + S1)− γ2(Λ + S2)
)= 0 (2.145)
onde Λ, S1 e S2 sao calculadas no ponto x = 0 e y = h− a. Esta e a equacao modal
quando se considera meios nao magneticos.
A tensao de linha pode ser definida em relacao a interface separadora entre os
meios 1 e 2, ou seja, tomando-se como referencia o plano y = 0.
V = −h∫
0
E1y dy (2.146)
A equacao (2.103) fornece o valor de E1y em termos dos vetores de Hertz Π1 e Π∗1.
Logo:
V = γ
h∫0
∂Π1
∂ydy − jωµ1
h∫0
∂Π∗1∂x
dy (2.147)
25
Separando-se as contribuicoes de V em duas parcelas tem-se:
V = V1 + V2 (2.148)
onde
V1 = γ
h∫0
∂Π1
∂ydy, V2 = −jωµ1
h∫0
∂Π∗1∂x
dy (2.149)
Calculando-se os valores de V1 e V2 obtem-se:
V1 = − jωµ1γI
2π(k21 − γ2)
(k21 − γ2
k21Λ(h) + S1(h)− S1(0)− γ2
k21(S2(h)− S2(0))
)(2.150)
V2 = − jωµ1γI
2π(k21 − γ2)
(−S ′′
1 (h) + S′′
1 (0) + S′′
2 (h)− S ′′
2 (0))
(2.151)
visto que Λ(0) = 0 e com as expressoes S′′1 e S
′′2 sendo dadas por:
S′′
1 =
+∞∫−∞
α2
u21
e−u1(y+h)
u1 + u2ejαxdα (2.152)
S′′
2 =
+∞∫−∞
α2
u21
e−u1(y+h)
n2u1 + u2ejαxdα (2.153)
Valendo-se da chamada equacao do telegrafista[1, 2], que define os parametros
unitarios da linha de transmissao, tem-se:
∂V
∂z= −ZI, ∂I
∂z= −Y V (2.154)
onde Z e Y sao a impedancia e admitancia por unidade de comprimento da li-
nha de transmissao, respectivamente. Alem disso, pode-se definir ainda a chamada
impedancia caracterıstica da linha de transmissao:
Zc =V
I(2.155)
A constante de propagacao da linha pode ser escrita como:
γ =√
(ZY )
Como a dependencia das grandezas com a componente espacial z e da forma expo-
nencial exp(−γz), as expressoes ficam escritas como:
Z = γV
I, Y = γ
I
V(2.156)
26
A partir da equacao (2.148) em conjunto com (2.150) e (2.151) obtem-se a expressao
para Zc:
Zc = − jωµ1γ
2π(k21 − γ2)
(k21 − γ2
k21Λ(h) + S1(h)− S1(0)− γ2
k21(S2(h)− S2(0))
−S ′′
1 (h) + S′′
1 (0) + S′′
2 (h)− S ′′
2 (0))
(2.157)
As expressoes para Z e Y sao mostrados nas equacoes a seguir:
Z = − jωµ1γ2
2π(k21 − γ2)
(k21 − γ2
k21Λ(h) + S1(h)− S1(0)− γ2
k21(S2(h)− S2(0))
−S ′′
1 (h) + S′′
1 (0) + S′′
2 (h)− S ′′
2 (0))
(2.158)
Y = −2π(k21 − γ2)jωµ1
(k21 − γ2
k21Λ(h) + S1(h)− S1(0)− γ2
k21(S2(h)− S2(0))
−S ′′
1 (h) + S′′
1 (0) + S′′
2 (h)− S ′′
2 (0))−1
(2.159)
2.3 Solucao em termos de potenciais
Conforme demonstrado anteriormente, na Secao 2.1, a solucao dos campos ~E e
~H pode ser escrita em termos das funcoes potenciais ~A e φ. Neste caso da linha
de transmissao monofasica que esta sendo estudada, as equacoes de onda a serem
resolvidas sao:
(∇2 − k21)φ1 = − γ
jωε1Iδ(x− xc)δ(y − yc) (2.160)
(∇2 − k21) ~A1 = −µ1Iδ(x− xc)δ(y − yc)z (2.161)
no caso do meio 1 e no caso do meio 2, as seguintes equacoes:
(∇2 − k22)φ2 = 0 (2.162)
(∇2 − k22) ~A2 = 0 (2.163)
onde os potenciais ~A e φ para dos meios 1 e 2 obedecem a condicao de calibre dada
por:
∇. ~Ai +k2ijωφi = 0 (2.164)
27
onde i = 1, 2 para os meios 1 e 2, respectivamente. Alem das equacoes dadas
acima, as seguintes condicoes de contorno devem ser obedecidas pelos potenciais na
fronteira entre os meios 1 e 2:
( ~A1)y=0 = ( ~A2)y=0 (2.165)
(∂A1x
∂y
)y=0
=
(∂A2x
∂y
)y=0
(2.166)
1
k21
(∂A1y
∂y
)y=0
− 1
k22
(∂A2y
∂y
)y=0
= −(
1
k21− 1
k22
)(∂A1z
∂x+∂A1z
∂z
)y=0
(2.167)
(∂A1z
∂y
)y=0
=
(∂A2z
∂y
)y=0
(2.168)
(φ1)y=0 = (φ2)y=0 (2.169)
k21
(∂φ1
∂y
)y=0
− k22(∂φ2
∂y
)y=0
= −jω(k21 − k22)(A1y)y=0 (2.170)
que sao equivalentes as condicoes de contorno mostradas nas equacoes (2.108) a
(2.111), onde ja considerou-se ambos os meios nao-magneticos, ou seja, µ1 = µ2 e
ainda que a dependencia dos campos e dos potenciais com as coordenadas x e z sao
iguais em ambos os meios devido a simetria do problema.
Observando-se as equacoes de onda apresentadas e condicoes de contorno, verifica-
se que estas podem ser reescritas numa forma equivalente, variando-se apenas alguns
parametros3. Seja:
(∇2 − k21)ψ1 = −C0Ikδ(x− xc)δ(y − yc) (2.171)
(∇2 − k22)ψ2 = 0 (2.172)
3No PVC (Problema de Valor de Contorno) apresentado nas equacoes (2.171) e (2.172) em
conjunto com as condicoes de contorno (2.173) e (2.174), a quantidade ψ1 e representativa dos
potenciais φ1, A1x , A1y e A1z , enquanto a quantidade ψ2 e representativa dos potenciais φ2, A2x ,
A2y e A2z . Para retornar aos potenciais originais basta seguir as equivalencias descritas nos itens
1 a 4 na proxima pagina.
28
com as condicoes de contorno dadas por:
(ψ1)y=0 = (ψ2)y=0 (2.173)
p
(∂ψ1
∂y
)y=0
− q(∂ψ2
∂y
)y=0
= −(p− q)f(x) (2.174)
Desta forma, o valor da constante C0 e Ik, dos parametros p e q e da funcao f(x)
em cada caso esta resumido a seguir:
1. Componente na direcao x do potencial vetor ~A (Ax): C0 = µ1, Ik = 0, p = 1,
q = 1 e f(x) = 0;
2. Componente na direcao y do potencial vetor ~A (Ay): C0 = µ1, Ik = 0, p = 1k21
,
q = 1k22
e f(x) =(∂A1x
∂x+ ∂A1z
∂z
)y=0
;
3. Componente na direcao z do potencial vetor ~A (Az): C0 = µ1, Ik = I, p = 1,
q = 1 e f(x) = 0;
4. Potencial escalar eletrico φ: C0 = γjωε1
,Ik = I, p = k21, q = k22 e f(x) =
jω(A1y)y=0.
A tecnica de resolucao empregada para estas equacoes diferenciais parciais tambem
e a Transformada de Fourier. Multiplicando a equacao (2.171) por exp(−jαx) e
integrando-se em x ∈ (−∞,+∞), obtem-se:(−α2 +
d2
dy2+ λ21
)ψ1 = −C0Ike
−jαxcδ(y − yc) (2.175)
onde
ψ1 = ψ1(α, y) =
+∞∫−∞
ψ1(x, y)e−jαxdx (2.176)
e a transformada de Fourier de ψ1 com respeito a variavel x.
Multiplicando-se a equacao (2.175) por sin(βy) e integrando-se no intervalo y ∈
(0,+∞), encontra-se:
(λ21 − α2 − β2)ψ1 + βψ10 = −C0Ike−jαxc sin(βyc) (2.177)
sendo
ψ1 = ψ1(α, β) =
+∞∫0
ψ1(α, y) sin(βy)dy (2.178)
29
e ψ10 = ψ1(α, 0). Logo, a expressao final para ψ1 fica:
ψ1 =βψ10 + C0Ike
−jαxc sin(βyc)
β2 + α2 − λ21(2.179)
Esta e a solucao da equacao (2.171) no espaco transformado (α, β). A transformada
inversa de ψ1 e dada por:
ψ1 =1
2π
+∞∫−∞
ψ1 sin(βy)dβ (2.180)
Devido a paridade da funcao ψ1, a integral acima pode ser reescrita como:
ψ1 =1
πj
+∞∫−∞
ψ1ejβyβ (2.181)
Efetuando-se a mudanca de variaveis u21 = α2−λ21 para resolver a integral via metodo
dos resıduos, tem-se que:
ψ1 =βψ10 + C0Ike
−jαxc sin(βyc)
(β + ju1)(β − ju1)(2.182)
O valor de ψ1 fica:
ψ1 = ψ10e−u1y +
C0Ik2u1
(e−u1|y−yc| − e−u1(y+yc))e−jαxc (2.183)
Localizando a linha de transmissao conforme feito anteriormente em xc = 0 e yc =
h e ainda considerando-se a regiao do meio 1 em que y < h, a expressao de ψ1
transforma-se em:
ψ1 = ψ10e−u1y +
C0Ik2u1
(eu1(y−h) − e−u1(y+h)) (2.184)
A equacao de onda para o meio 2 e resolvida de modo similar. Primeiro, aplica-se
a transformada de Fourier com relacao a variavel x. O resultado e dado a seguir:(−α2 +
d2
dy2+ λ22
)ψ2 = 0 (2.185)
sendo ψ2 dado por:
ψ2 = ψ2(α, y) =
+∞∫−∞
ψ2(x, y)e−jαxdx (2.186)
30
Aplicando-se a transformada seno de Fourier na variavel y tem-se:
(λ22 − α2 − β2)ψ2 + βψ20 = 0 (2.187)
onde
ψ2 = ψ2(α, β) =
+∞∫0
ψ2(α, y) sin(βy)dy (2.188)
A solucao da equacao de onda (2.172) e dada por ψ2 no espaco transformado (α, β),
conforme mostrado abaixo:
ψ2 =βψ20
β2 + α2 − λ22(2.189)
Da mesma forma que ψ1, a expressao para ψ2 e uma funcao ımpar de β. Logo, sua
transformada inversa de Fourier pode ser escrita como:
ψ2 =1
πj
+∞∫−∞
ψ2 ejβydβ (2.190)
Adotando-se uma mudanca de variaveis similar aquela feita para o meio 1, tem-se
que:
ψ2 =βψ20
(β + ju2)(β − ju2)(2.191)
com u22 = α2−λ22. Efetuando-se a integracao via metodo dos resıduos obtem-se que
a transformada inversa de ψ2 vale:
ψ2 = ψ20eu2y (2.192)
O proximo passo e utilizar as condicoes de contorno (2.173) e (2.174) para determinar
a solucao final para os potenciais. Da condicao de contorno dada em (2.173) tem-se
que:
ψ10 = ψ20 (2.193)
A condicao de contorno (2.175) fornece o seguinte valor para ψ10:
ψ10 =(p− q)pu1 + qu2
f(α, 0) +pC0Ike
−u1h
pu1 + qu2(2.194)
31
Levando este valor nas equacoes (2.183) e (2.192) tem-se a solucao das equacoes de
onda. Tem-se:
ψ1 =C0Ik2u1
(eu1(y−h) − e−u1(y+h)) +e−u1y
pu1 + qu2
{pC0Ike
−u1h + (p− q)f(α, 0)}
(2.195)
ψ2 =eu2y
pu1 + qu2
{pC0Ike
−u1h + (p− q)f(α, 0)}
(2.196)
Para encontrar os potenciais φ e ~A dos meios 1 e 2 basta substituir os valores
estipulados para as constantes C0, Ik, p, q e f(x). Fazendo isso, obtem-se:
A1x = 0 (2.197)
A2x = 0 (2.198)
A1y = µ1γIu2 − u1
(k22u1 + k21u2)e−u1(y+h) (2.199)
A2y = µ1γIu2 − u1
(k22u1 + k21u2)e−u1heu2y (2.200)
A1z =µ1I
2u1(eu1(y−h) − e−u1(y+h)) + µ1I
e−u1(y+h)
u1 + u2(2.201)
A2z = µ1Ie−u1heu2y
u1 + u2(2.202)
φ1 =jωµ1γI
2k21
{1
u1(eu1(y−h) − e−u1(y+h)) +
2k21k22u1 + k21u2
e−u1(y+h)}
(2.203)
φ2 =jωµ1γI
k22u1 + k21u2e−u1heu2y (2.204)
Com o objetivo de determinar a impedancia e admitancia por unidade de compri-
mento da linha de transmissao, limita-se a regiao de interesse 0 < y < h. Os poten-
ciais para esta regiao do espaco sao obtidos a partir das transformadas inversas de
Fourier das expressao anteriores. Logo:
A1x = 0 (2.205)
32
A1y =µ1γI
2πk21
+∞∫−∞
u2 − u1(n2u1 + u2)
e−u1(y+h)ejαxdα (2.206)
A1z =µ1I
4π
+∞∫−∞
(eu1(y−h) − e−u1(y+h)) ejαx
u1dα + µ1I
+∞∫−∞
e−u1(y+h)
u1 + u2ejαxdα (2.207)
φ1 =jωµ1γI
4πk21
+∞∫−∞
(eu1(y−h) − e−u1(y+h))ejαx
u1dα +
jωµ1γI
2πk21
+∞∫−∞
1
n2u1 + u2e−u1(y+h)ejαxdα
(2.208)
O potencial escalar eletrico φ1 e a componente A1z do potencial vetor magnetico
podem ser reescritos como:
φ1 =jωµ1γI
2πk21(Λ + S2) (2.209)
A1z =µ1I
2π(Λ + S1) (2.210)
sendo Λ, S1 e S2 dados pelas equacoes (2.136), (2.137) e (2.138), respectivamente.
A continuidade do campo eletrico axial na interface separadora entre o condutor
e o meio 1 e a ultima condicao de contorno a ser satisfeita. A componente z do
campo eletrico no meio 1 e dada por:
E1z = −∂φ1
∂z− jωA1z (2.211)
Substituindo os valores de φ1 e A1z dados pelas equacoes (2.209) e (2.210) na equacao
acima tem-se:
E1z = −jωµ1I
2πk21
(k21(Λ + S1)− γ2(Λ + S2)
)(2.212)
Considerando-se que a linha de transmissao seja constituıda por um condutor per-
feito, ou seja, de condutividade eletrica infinita, tem-se que o campo eletrico axial
na superfıcie deste e nulo, o que leva a:
−jωµ1I
2πk21
(k21(Λ + S1)− γ2(Λ + S2)
)= 0 (2.213)
onde as integrais Λ, S1 e S2 sao calculadas no ponto x = 0 e y = h− a.
33
A equacao anterior e a equacao modal derivada a partir da formulacao com
funcoes potenciais. Verifica-se que esta e identica a obtida a partir da formulacao
com vetores de Hertz, dada pela equacao (2.145).
Para determinar os parametros unitarios da linha de transmissao, serao utilizadas
as equacoes (2.154). Logo, conforme feito para a solucao com base nos vetores de
Hertz, e necessario calcular a tensao de linha V , definida pela equacao (2.146). A
componente E1y , em termos dos potenciais φ e ~A e dada por:
E1y = −∂φ1
∂y− jωA1y (2.214)
Separando-se as contribuicoes da tensao de linha tem-se:
V1 =
h∫0
∂φ1
∂ydy, V2 = jω
h∫0
A1ydy (2.215)
onde fez-se V = V1 + V2. A parcela V1 contribui com a quantidade dada por:
V1 =jωµ1γI
2πk21(Λ(h) + S2(h)− S2(0)) (2.216)
Enquanto V2 vale:
V2 = −jωµ1γI
2πk21(S3(h)− S3(0)) (2.217)
onde S3 vale:
S3 =
+∞∫−∞
u2 − u1u1
e−u1(y+h)
n2u1 + u2ejαxdα (2.218)
A expressao para a tensao de linha V :
V =jωµ1γI
2πk21(Λ(h) + S2(h)− S2(0)− S3(h) + S3(0)) (2.219)
Agora que todas as grandezas ja foram definidas, pode-se calcular os parametros
unitarios da linha. Comecando pela impedancia caracterıstica tem-se:
Zc =γ
2πjωε1(Λ(h) + S2(h)− S2(0)− S3(h) + S3(0)) (2.220)
Ja as expressoes da impedancia e admitancia podem ser calculadas a partir das
equacoes (2.156), e sao escritas a seguir:
Z =γ2
2πjωε1(Λ(h) + S2(h)− S2(0)− S3(h) + S3(0)) (2.221)
Y = 2πjωε1 (Λ(h) + S2(h)− S2(0)− S3(h) + S3(0))−1 (2.222)
34
2.4 Discussao
Neste capıtulo obteve-se o modelo de onda completa de uma linha de transmissao
monofasica infinita situada a uma distancia h da interface separadora de dois meios
semi-infinitos. A partir de duas formulacoes distintas, derivou-se a equacao modal,
cuja solucao fornece a constante de propagacao γ das ondas de tensao e corrente.
Verifica-se que ambas as equacoes modais, dadas por (2.145) e (2.213), sao mate-
maticamente identicas, fornecendo o mesmo valor de γ.
Tambem foram obtidas as expressoes dos parametros unitarios de impedancia e
admitancia da linha para as duas formulacoes. Neste caso, as expressoes analıticas
sao diferentes e sua concordancia deve ser verificada numericamente.
35
Capıtulo 3
Resultados Numericos
Neste capıtulo serao apresentados os resultados das simulacoes computacionais
para uma dada configuracao de linha de transmissao aerea. Estes resultados corres-
pondem as respostas em frequencia da constante de propagacao e dos parametros
unitarios de impedancia e admitancia.
Para uma linha de transmissao aerea, o meio 1 e o ar e o meio 2 e o solo. O ar e
um meio considerado bom isolante, e portanto faz-se σ1 = 0. As outras constantes
eletricas do ar sao µ1 = µ0 = 4π × 10−7H/m e ε1 = ε0 = 8, 8542 × 10−12F/m, as
mesmas constantes do vacuo.
No caso do solo tem-se µ2 = µ0 = 4π×10−7H/m, pois os modelos foram derivados
para o caso de meios nao-magneticos. As outras constantes foram escolhidas como
σ2 = 5× 10−3S/m e ε2 = 5ε1.
A linha de transmissao encontra-se a uma altura h igual a 10m e e formada por
um condutor perfeito (condutividade eletrica infinita) de raio a igual a 0,01m.
Antes de prosseguir aos resultados, vale a pena destacar que a escolha das cons-
tantes eletricas e de alguma forma arbitraria. O ar e o solo, e principalmente o
ultimo, sao afetados por uma serie de fatores, tais como umidade, temperatura,
estratificacao, etc., que fazem com que a hipotese de meio linear, homogeneo e
isotropico nao seja de fato valida. Alem disso, a condutividade e permissividade
eletrica do solo sao fortemente afetadas pela variacao da frequencia.
Entretanto, como o objetivo deste trabalho e apenas o de apresentar o modelo de
onda completa da linha de transmissao monofasica, os valores constantes adotados
sao suficientes.
36
3.1 Equacao modal
O primeiro passo para se obter os parametros da linha de transmissao e deter-
minar a constante de propagacao γ. Para isto deve-se resolver a equacao modal que
e apresentada em (2.126). Esta e uma equacao do tipo integral, onde o integrando e
funcao da constante de propagacao γ. A equacao modal nao possui solucao analıtica
e para resolve-la, tem-se que recorrer a metodos numericos e o uso de software de
computacao algebrica torna-se indispensavel, sendo escolhido aqui o Mathematica.
A constante de propagacao γ pode ser decomposta em suas partes real e ima-
ginaria, conforme feito a seguir:
γ = α + jβ (3.1)
onde α = Re(γ)1 e β = Im(γ).
A parte real da constante de propagacao, dada por α, e denominada constante
de atenuacao e representa o quanto as ondas de tensao e corrente sao amortecidas
conforme deslocam-se no sentido positivo da direcao de propagacao (eixo z). Ja a
parte imaginaria β e chamada de constante de fase e representa a variacao de fase
dessas ondas.
Para obter a resposta em frequencia da constante de propagacao γ, a equacao
modal foi resolvida numericamente para duzentos valores de frequencia logaritmi-
camente espacados, contidos na faixa do espectro que vai de 0,1MHz ate 100MHz.
Aqui foi utilizado o comando FindRoot no ambiente Mathematica, que emprega o
Metodo de Newton-Raphson[14]. Como valor inicial foi adotado um valor pertur-
bado da constante de propagacao obtida pela aproximacao quase-TEM, designada
por γ, que e obtida conforme as expressoes mostradas a seguir[15]:
γ2 =Λ + S1
Λ + S2
(3.2)
onde,
Λ = ln
(2h
a
)(3.3)
S1 =
+∞∫−∞
e−2αh
α +√α2 + k21 − k22
e−jαadα (3.4)
1Nao se deve confundir este α, que aqui representa a constante de atenuacao, com aquele que
denota a variavel de transformacao de Fourier referente a coordenada x.
37
S2 =
+∞∫−∞
e−2αh
n2α +√α2 + k21 − k22
e−jαadα (3.5)
A resposta em frequencia da constante de propagacao da linha de transmissao
estudada e mostrada nos dois graficos a seguir, sendo a figura (3.1) correspondente
a α (parte real de γ), e a figura (3.2) a β (parte imaginaria de γ).
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00.0
0.5
1.0
1.5
Frequência HMHzL
ΑHN
p�m
L
Figura 3.1: Resposta em frequencia da constante de atenuacao α.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.005
0.010
0.050
0.100
0.500
1.000
Frequência HMHzL
ΒHra
d�m
L
Figura 3.2: Resposta em frequencia da constante de fase β.
No grafico de α mostrado na figura (3.1), observa-se que para um valor de
frequencia proximo de 4MHz ocorre uma descontinuidade. Isto se deve ao fato
de existirem duas raızes e seus respectivos complexos conjugados possıveis para a
equacao modal, que obedecem a condicao de radiacao de Sommerfeld.
A primeira raiz corresponde ao chamado modo onda rapida ou modo FW (Fast
Wave, do ingles), que possui atenuacao crescente, ou seja, α tende a infinito para
grandes frequencias. A segunda raiz origina o modo linha de transmissao ou modo
38
TL (transmission line, do ingles), cuja constante de atenuacao tende a zero em altas
frequencias, o que o torna o unico modo de propagacao possıvel fisicamente.
Para baixas frequencias, os modos TL e FW sao bastante proximos. O que
acontece e que, dependendo do chute inicial considerado no metodo numerico, existe
uma comutacao entre esses dois modos, fazendo com que ocorra a descontinuidade
observada.
Com o aumento da frequencia, a constante de propagacao tende para a constante
de propagacao intrınseca do ar k1, indicando que as ondas se propagam majorita-
riamente no ar, sendo a linha de transmissao apenas um guia de ondas. Isto pode
ser visto atraves dos graficos da figura (3.3), que representam os desvios percentuais
entre as constantes γ e k1, definidos pelas expressoes dadas abaixo.
Desvio da parte real(%) = Re
(Re(γ)
k1100
)(3.6)
Desvio da parte imaginaria(%) = Re
(Im(γ)− k1
k1100
)(3.7)
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Frequência HMHzL
De
svio
da
pa
rte
rea
lH%L
(a) Desvio da parte real de γ.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0
1
2
3
4
5
Frequência HMHzL
De
svio
da
pa
rte
ima
gin
ári
aH%
L
(b) Desvio da parte imaginaria de γ.
Figura 3.3: Desvio da constante de propagacao γ com relacao a k1.
Observou-se tambem que variando-se o valor inicial do metodo numerico, o valor
maximo de α aumenta e sua localizacao desloca-se para a direita, conforme este
se torna maior que γ. Ou seja, a comutacao entre os modos FW e TL ocorre em
frequencias mais elevadas nestes casos. As respostas em frequencia apresentadas
neste trabalho foram obtidas para um valor inicial correspondente a 1, 0001γ.
Algumas simulacoes adicionais foram rodadas com o intuito de determinar como
os meios e a configuracao da linha influem no modo de propagacao das ondas. O
39
procedimento utilizado foi adotar o caso anterior como base e simular duas vezes o
modelo alterando-se apenas uma variavel por vez. Primeiro, procedeu-se a deter-
minacao da influencia da altura da linha na constante de propagacao. Os valores
da altura foram alterados para h = 5m e h = 20m. As curvas foram plotadas no
mesmo grafico da figura (3.4) para facilitar a visualizacao.
10 m
5 m
20 m
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0
1
2
3
4
Frequência HMHzL
aHN
pêm
L
(a) Constante de atenuacao versus altura.
10 m
5 m
20 m
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.005
0.010
0.050
0.100
0.500
1.000
Frequência HMHzL
bHra
dêm
L
(b) Constante de fase versus altura.
Figura 3.4: Efeito da altura da linha na constante de propagacao.
Verifica-se que conforme a distancia da linha ao solo aumenta, menor e a cons-
tante de atenuacao α. Alem disso, a descontinuidade de α ocorre em uma frequencia
mais baixa. Este comportamento corresponde ao que e esperado, ja que quanto
mais distante estiver a linha do solo, menor e a influencia deste na constante de
propagacao.
A segunda variavel a ser alterada foi a condutividade eletrica do solo. Os valores
utilizados foram σ2 = 0, 5, 5 e 50mS/m. A figura (3.5) representa os resultados
obtidos para a constante de propagacao nestes casos.
O primeiro aspecto a ser notado e que para um solo mais resistivo (com σ2 =
0, 5mS/m) a descontinuidade no grafico de α desparece. O que ocorre e que para
este caso, o argumento das funcoes de Bessel e das integrais de Sommerfeld sao
maiores do que para solos menos resistivos, onde problemas numericos costumam
aparecer, tornando o calculo menos acurado. Verifica-se tambem que o valor maximo
da constante de atenuacao se desloca para baixas frequencias quanto mais resistivo
for o solo.
As proximas variaveis a terem sua influencia no modo de propagacao investigadas
sao a permissividade eletrica do solo e o raio do condutor. Ambos nao apresentam
influencia significativa para γ, mesmo quando sofrem grandes variacoes. Entre estas
40
5 mS
0.5 mS
50 mS
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Frequência HMHzL
aHN
pêm
L
(a) Constante de atenuacao versus condutivi-
dade do solo.
5 mS
0.5 mS
50 mS
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.005
0.010
0.050
0.100
0.500
1.000
Frequência HMHzL
bHra
dêm
L
(b) Constante de fase versus condutividade do
solo.
Figura 3.5: Efeito da condutividade do solo na constante de propagacao.
duas variaveis, o valor de ε e o que menos afeta a constante γ. Isto pode ser verificado
atraves da figura (3.6), que refere-se a constante de atenuacao α para os casos de
ε2 = ε0, 5ε0 e 50ε0 e a = 0, 5, 1 e 2cm, respectivamente.
5
1
50
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Frequência HMHzL
aHN
pêm
L
(a) Constante de atenuacao versus permissivi-
dade eletrica do ar.
1.0cm
0.5cm
2.0cm
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.0
0.5
1.0
1.5
Frequência HMHzL
ΑHN
p�m
L
(b) Constante de atenuacao versus raio do
condutor.
Figura 3.6: Efeito da permissividade eletrica do solo e do raio do condutor na
constante de propagacao.
3.2 Parametros unitarios
Agora que a equacao modal foi resolvida, de forma a determinar a constante de
propagacao γ, deve-se calcular os parametros unitarios de impedancia e admitancia
para que o modelo da linha de transmissao seja completado.
Dois conjuntos de expressoes para os parametros unitarios foram derivados se-
41
guindo duas formulacoes distintas: vetores de Hertz e funcoes potenciais. Os re-
sultados a seguir, referem-se aquelas obtidas pela ultima abordagem, mostradas
nas equacoes (2.220), (2.221) e (2.222). A figura (3.7) representa as resposta em
frequencia da impedancia e admitancia por unidade de comprimento.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.01
5
10
50
100
500
1000
Frequência HMHzL
ZHW
�mL
(a) Impedancia por unidade de comprimento.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.01
0.05
0.10
0.50
1.00
Frequência HMHzLY
HmS
�mL
(b) Admitancia por unidade de comprimento.
Figura 3.7: Resposta em frequencia dos parametros unitarios da formulacao por
funcoes potenciais.
Nos graficos desta figura e possıvel observar uma descontinuidade nos parametros
unitarios no mesmo valor de frequencia em que ocorreu a descontinuidade de α.
Plotando-se separadamente as partes real e imaginaria de Z e Y , conforme feito nas
figuras (3.8) e (3.9), tambem e possıvel observar tal fenomeno.
Para um valor de frequencia proximo de 3MHz, verifica-se que a parte real de
Z torna-se negativa. Entretanto, nao se deve atribuir isto a um comportamento
ativo da linha, pois esta e um elemento totalmente passivo, ou seja, nao e capaz
de gerar energia. O que ocorre e que conforme a frequencia aumenta, a corrente de
deslocamento no solo tambem aumenta e nao e mais desprezıvel frente a corrente de
conducao, visto que nesta faixa tem-se σ � ωε. Note que a constante de atenuacao
α e sempre maior que zero, o que garante que o campo eletromagnetico e de fato
amortecido conforme se propaga.
A impedancia caracterıstica da linha e mostrada no grafico da figura (3.10),
separada em suas parte real e imaginaria.
Nota-se que a parte real de Zc e sempre positiva. A parte imaginaria de Zc e
negativa para frequencias mais baixas, indicando um comportamento capacitivo da
linha. Isto acontece porque nesta faixa de frequencias, a corrente de conducao no
42
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
-15
-10
-5
0
Frequência HMHzL
Pa
rte
rea
lde
ZHW
�mL
(a) Parte real de Z.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00
200
400
600
800
1000
Frequência HMHzL
Pa
rte
ima
gin
ári
ad
eZ
HW�m
L
(b) Parte imaginaria de Z.
Figura 3.8: Impedancia por unidade de comprimento da formulacao por funcoes
potenciais.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Frequência HMHzL
Pa
rte
rea
lde
YHm
S�m
L
(a) Parte real de Y .
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00
1
2
3
4
Frequência HMHzL
Pa
rte
ima
gin
ári
ad
eY
HmS
�mL
(b) Parte imaginaria de Y .
Figura 3.9: Admitancia por unidade de comprimento da formulacao por funcoes
potenciais.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
450
460
470
480
490
Frequência HMHzL
Pa
rte
rea
lde
Zc
HWL
(a) Parte real de Zc.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
-10
-5
0
5
10
15
20
Frequência HMHzL
Pa
rte
ima
gin
ári
ad
eZ
cHW
L
(b) Parte imaginaria de Zc.
Figura 3.10: Impedancia caracterıstica da formulacao por funcoes potenciais.
solo domina sobre a corrente de deslocamento. Entretanto, conforme a frequencia
aumenta, a corrente de deslocamento torna-se mais significativa que a de conducao
43
e portanto o solo comporta-se como um dieletrico, tornando indutiva a impedancia
caracterıstica, ou seja, Im(Zc) > 0.
As expressoes obtidas resolvendo-se o problema da linha monofasica por vetores
de Hertz tem suas respostas em frequencia mostradas nas figura (3.11).
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.01
5
10
50
100
500
1000
Frequência HMHzL
ZHW
�mL
(a) Impedancia.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.01
0.05
0.10
0.50
1.00
5.00
Frequência HMHzLY
HmS
�mL
(b) Admitancia.
Figura 3.11: Resposta em frequencia dos parametros unitarios da formulacao por
vetores de Hertz.
As respostas em frequencia de Z e Y separadas em suas partes real e imaginaria
sao apresentadas nos graficos a seguir. Nestes graficos verifica-se uma segunda des-
continuidade, ocorrendo proximo de 70MHz. Isto pode ser atribuıdo a limitacao
computacional, que impede que os valores das expressoes sejam calculados correta-
mente. Para tentar contornar esta limitacao, a constante de propagacao foi recalcu-
lada com precisao numerica dobrada, assim como as integrais de Sommerfeld, mas
nao se obteve sucesso. Entretanto, para valores de frequencia menores que 70MHz
os resultados obtidos sao coerentes.
Pode-se comparar os resultados obtidos a partir das duas abordagens plotando
os parametros correspondentes no mesmo grafico da figura (3.14).
As respostas em frequencia da impedancia e admitancia por unidade de compri-
mento sao muito proximas em todo o espectro de frequencia, apesar das expressoes
resultantes das duas abordagens serem distintas. Esta diferenca entre as respostas
em frequencia decorre do fato de que, na abordagem por funcoes potenciais nao foi
considerada a solucao homogenea das equacoes de Maxwell, o que corresponde ao
vetor de Hertz do tipo magnetico na outra abordagem.
Apesar de originarem a mesma equacao modal, a constante de propagacao cal-
44
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Frequência HMHzL
Pa
rte
rea
lde
ZHW
�mL
(a) Parte real
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00
200
400
600
800
Frequência HMHzL
Pa
rte
ima
gin
ári
ad
eZ
HW�m
L
(b) Parte imaginaria
Figura 3.12: Impedancia por unidade de comprimento da formulacao por vetores de
Hertz.
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
-0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
Frequência HMHzL
Pa
rte
rea
lde
YHm
S�m
L
(a) Parte real
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.00
1
2
3
4
Frequência HMHzL
Pa
rte
ima
gin
ári
ad
eY
HmS
�mL
(b) Parte imaginaria
Figura 3.13: Admitancia por unidade de comprimento da formulacao por vetores de
Hertz.
Vetores de Hertz
Potenciais
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
1
5
10
50
100
500
1000
Frequência HMHzL
ZHW
�mL
(a) Impedancia por unidade de comprimento.
Vetores de Hertz
Potenciais
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 100.0
0.01
0.05
0.10
0.50
1.00
5.00
Frequência HMHzL
YHm
S�m
L
(b) Admitancia por unidade de comprimento.
Figura 3.14: Comparacao entre os parametros unitarios obtidos a partir das duas
formulacoes utilizadas.
45
culada para a abordagem por funcoes potenciais teve o tempo de execucao muito
inferior (cerca de duas vezes menor) com relacao aquela da formulacao por vetores
de Hertz, visto que a precisao numerica requerida neste ultimo caso foi o dobro da
utilizada no primeiro. O calculo dos parametros unitarios tambem exigiu menor
esforco computacional para as expressoes derivadas por funcoes potenciais.
Alem disso, apesar de todo o esforco computacional excedente, as expressoes
da formulacao por vetores de Hertz nao resultou numa resposta em frequencia mais
acurada para os parametros unitarios. Pelo contrario, o fato de possuir o termo γ2−
k21 no denominador gera complicacoes no calculo, ja que a constante de propagacao
das ondas de tensao e corrente γ se torna muito proxima da constante de propagacao
do ar k1 para frequencias muito altas, fazendo com que este tenda a zero.
46
Capıtulo 4
Conclusao
Ao longo deste trabalho foi derivado o chamado modelo de onda completa para
uma linha de transmissao monofasica aerea. Isto equivale a determinar a constante
de propagacao γ das ondas de tensao e corrente, juntamente com os parametros
unitarios de impedancia e admitancia. Este modelo foi obtido a partir de duas
formulacoes distintas: vetores de Hertz e funcoes potenciais.
Verificou-se que ambas as equacoes modais derivadas sao identicas. Entretanto,
as expressoes de impedancia e admitancia por unidade de comprimento sao diferentes
em forma.
As simulacoes necessarias para determinacao dos resultados numericos foram to-
das realizadas no software de computacao algebrica Mathematica. Verificou-se que o
maior consumo computacional foi requerido para a resolucao da equacao modal, que
e uma equacao do tipo integral cujo integrando e funcao de γ. Foi possıvel observar
tambem que a solucao desta equacao possui alguma sensibilidade com relacao ao
valor inicial adotado para sua solucao numerica, sendo seu principal efeito o des-
locamento do valor de frequencia na qual ocorre a comutacao entre os modos de
propagacao FW e TL.
Ficou demonstrado que a constante de propagacao e fortemente influenciada pela
altura da linha e condutividade eletrica do solo, nao apresentando o mesmo efeito
com relacao ao raio do condutor e a permissividade eletrica do solo.
As respostas em frequencia dos parametros unitarios de impedancia e admitancia,
assim como a resposta em frequencia da impedancia caracterıstica, apresentam des-
continuidade para o mesmo valor de frequencia em que ocorre a comutacao entre os
47
dois modos de propagacao (FW e TL). Ou seja, todas as respostas em frequencia sao
descontınuas em aproximadamente 4MHz. Os parametros unitarios da formulacao
por vetores de Hertz apresentam uma segunda descontinuidade proximo a 70MHz,
que pode ser atribuıda a limitacao computacional.
A impedancia e a admitancia por unidade de comprimento derivada por ambas
as formulacoes apresentam comportamento muito proximo em todo o espectro de
frequencia estudado.
Sugere-se como trabalho futuro completar a o modelo de onda completa segundo
a formulacao por potenciais. Isto deve ser feito resolvendo-se a parte homogenea das
equacoes de Maxwell, o que introduz as funcoes potenciais ~A∗ e φ∗, representando o
potencial vetor eletrico e potencial escalar magnetico, respectivamente. Uma outra
possibilidade e estudar o comportamento das raızes da equacao modal, que dao
origem aos modos FW e TL, sobre a superfıcie de Riemann.
48
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