UNIDADE 13

1. Como você explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a0=1? E que a−n= 1

an ?

i) Uma maneira é fazer algumas tabelas escolhendo um valor fixo para a e variando as potências de modo a notar que quando a potência diminui, o resultado se aproxima de 1.

ii) Usando a propriedade de potência, a−n .an=a−n+n=a0=1, portanto a−n e an são inversos, ou

seja, a−n= 1

an

2. Como você explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a12=√a? E que a a

mn =

n√am=( n√a )m?

i)

(a12 )2

=a12 . a

12=a

12+12=a1=a

Logo, a12 é o número que elevado ao quadrado resulta em a, mas esse número é exatamente √a.

ii) Usando as propriedades de potência.

amn =a

1n

. m=(a1n )m=( n√a )m

e

amn =a

m. 1n=( am )

1n= n√am

3. Mostre que para todo p∈N , tem-se que n√am=n . p√am. p.

Seja b=n√am ( I )

b=n√am⇒bn=( n√am )n⇒bn=am⇒ ( bn )p

=(am ) p⇒bnp=amp⇒ np√bnp=np√amp⇒ b=np√amp ( II )

De ( I ) e ( II ) temos n√am=n . p√am. p.

4. Mostre que a função f :Q → R definida por f (r )=ar é crescente se a>1 e decrescente se 0<a<1.

Sejam r1 e r2 números racionais tais que r1<r2.Então existe r3≠0 racional tal que r2=r1+r3.

r2=r1+r3⇒ ar2=ar1+r3⇒ar2=ar1 . ar3 (I )

Em ( I ), se a>1 temos ar2=ar1 . ar3⇒ar2>ar 1, pois ar3>1 para todo r3 com a>1.Portanto, se a>1, a função é crescente.

Em ( I ), se 0<a<1 temos ar2=ar1 . ar3⇒ar2<ar 1, pois ar3<1 para todo r3 com 0<a<1.Portanto, se 0<a<1, a função é decrescente.

5. Uma alga cresce de modo que, em cada dia, ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias, qual é o número de dias necessários para que duas algas, da mesma espécie da anterior, cubram a superfície do mesmo lago? E se forem quatro algas? Você consegue responder a esta pergunta para 3 algas?

Se forem duas algas, ao final do dia 100, elas cobririam o equivalente a 2 lagos, logo duas algas cobrem todo o lago no dia anterior, ou seja, 99 dias.

Se forem quatro algas, levaria 98 dias para cobrir o lago.Se forem 3 algas teríamos no 1º dia uma área 3 A0 onde A0 é a área coberta por uma alga

inicialmente. No segundo dia a área coberta será 2.3 A0, no terceiro dia será 22 .3 A0 e assim por diante

formando uma PG cujo primeiro termo é 3 A0 e a razão é 2. O termo geral é dado por An=3 A02n−1. A

área total do lago é 299 A0, pois uma única alga leva 100 dias para cobrir o lago. Assim:

299 A0=3 A02n−1⇒ 299=3.2n−1⇒ log299=log 3.2n−1⇒99. log 2=log3+ (n−1 ) log 2⇒ (n−1 )=99. log 2−log 3

log 2⇒ n=99. log 2−log3

log2+1≅ 98,4

∴ Três algas levariam 98,4 dias para cobrir o lago, ou 98 dias, 9 horas e 36 minutos.