1

1) O valor positivo de x que torna a sucesso uma PG

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de "x".

Como o exerccio pede s o valor positivo, a resposta letra "D".

2) (UFRGS) Numa PG de razo positiva, o primeiro termo igual ao dobro da razo, e a soma dos dois primeiros 24. Nessa progresso a razo

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

- As informaes do problema so: a1=2q S2=24 q=?

2

- Sabemos que S2=a1+a2 e iremos trabalhar em cima disto. Usando a frmula do termo geral para o segundo termo, temos: a2=a1q Vamos substituir o valor de a1 por 2q. a2=2qq a2=2q2

- Voltando nossa frmula de trabalho: S2=a1+a2 Vamos substituir os valores conhecidos 24=2q+2q2 2q+2q2-24=0 Chegamos numa equao do segundo grau, usando Bhaskara: q'=3 q''=-4 Como o exerccio diz que a razo positiva, Resposta certa, letra "C".

3) O valor de x para que a seqncia seja uma PG

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Novamente iremos utilizar a propriedade fundamental de uma PG:

- Desenvolvendo esta equao:

Resposta certa, letra "C".

4) O conjunto soluo da equao

(A) 10 (B) 15 (C) 20

3

(D) 25 (E) 30

- Note que o lado esquerdo da igualdade uma PG, com a1=x e q=1/3. Como todos os termos esto sendo somados, temos uma soma infinita desta PG. Vamos utilizar a frmula de soma infinita:

- Vamos voltar a equao do exerccio e substituir o valor recm calculado:

Resposta certa, letra "C".

5) A soma dos termos de uma PG expressa por . A razo da progresso

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- O exerccio d a frmula geral das soma dos "n" primeiros termos e pede sua razo. Para calcular a razo devemos calcular a1 e a2 para dividirmos e descobrir sua razo.

- Se substituirmos o valor de "n" por 1, iremos calcular a soma dos 1 primeiros termos, ou seja, o prprio primeiro termo: S1= -3+31+1 S1= -3+32

4

S1= -3+9 S1= 6 a1=6

- Se substituirmos "n" por 2, iremos calcular a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2. S2= -3+32+1 S2= -3+33 S2= -3+27 S2= 24

- Substituino o que vale S2, temos: S2= 24 a1+a2=24 6+a2=24 a2=24-6 a2=18

- Agora dividindo o segundo pelo primeiro termo temos a razo:

Resposta certa, letra "B".

6) A soma de trs nmeros que formam uma PG crescente 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferena entre a soma dos dois primeiros nmeros e o terceiro :

(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

- Informaes PG={a1,a2,a3} a1+a2+a3=19 PA={(a1-1),a2,a3}

- Agora com estas trs informaes conseguimos estruturar trs equaes e formar um sisteminha. Com a propriedade fundamental de uma PG tiramos a seguinte equao:

5

- Com a propriedade fundamental de uma PA tiramos a prxima equao:

- E a terceira equao j dada, a1+a2+a3=19. Formando o sistema:

- Um sistema de trs equaes um pouco mais demorado de se resolver, mas vamos l! Primeiro vamos isolar o valor de a1 na terceira equao e substituir na segunda:

a1=19-a2-a3 Agora vamos substituir este valor na segunda equao e ver no que d.

a2-(19-a2-a3-1)=a3-a2

a2-

19+a2+a3+1=a3-a2

Veja que podemos cortar os termos a3 , pois temos ambos somando dos dois lados da equao

a2-19+a2+1=-a2 Agora podemos calcular o valor de a2. Vamos isol-lo.

a2+a2+a2=+19-1 3a2=+18 a2=18/3 a2=6

Descobrimos o valor do a2. Vamos voltar na primeira equao deste quadro e substituir o valor dele.

a1=19-6-a3 a1=13-a3

Temos a1 em funo de a3, vamos substituir na primeira equo do sistema.

Agora s operar e calcular o valor de a3.

36=a3(13-a3) 36=13a3-(a3)2

(a3)2-13a3+36=0 Camos em uma equao do segundo grau de varivel a3 , vamos aplicar Bhaskara.

O problema diz que uma PG crescente, portanto, se a2=6 ento o a3 tem que ser maior que 6. Vale s a resposta a3=9. Para calcular o a1 voltamos

6

a1=19-a2-a3 a1=19-6-9

a1=4

UFA, t quase no fim. O exerccio pede a diferena entre a soma dos dois primeiros nmeros e o terceiro, portanto:

(a1+a2)-a3 (4+6)-9

10-9 Resposta certa, letra "D"

7) A seqncia uma progresso geomtrica, de termos positivos, cuja razo

(A)

(B)

(C) (D)

(E)

- Nosso primeiro passo achar o valor de "x", para depois substituir na progresso e achar a razo.

- Para calcular o "x" vamos usar a propriedade fundamental de uma PG:

- Agora s desenvolver e calcular o valor de "x". (5x-3)(x+3)=x8x 5x2+15x-3x-9=8x2 5x2-8x2 +12x-9=0 -3x2+12x-9=0 Chegamos em uma equao do segundo grau, aplicando Bhaskara:

Com isso as nossa razes so 1 e 3. Qual delas a que vale? Se substituirmos na PG do exerccio o x por 1 teremos uma sequncia que no uma PG. Portanto, o valor de x 3.

- Sabendo o valor de "x" vamos substituir na PG e ver como ela :

7

(8x, 5x-3, x+3, x) (83, 53-3, 3+3, 3) (24, 12, 6, 3) Esta a PG

- Agora para achar a razo, dividimos o segundo pelo primeiro termo:

Resposta certa, letra "C".

8) A soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500000)

(A) 222 222 (B) 333 333 (C) 444 444 (D) 555 555 (E) 666 666

- Para podermos aplicar a frmula da soma dos termos de uma PG, devemos saber qual ordem do nmero 500000 (tercerio, quarto, dcimo...). Ou seja, devemos calcular o valor de "n".

- Informaes: a1=5 q=10 an=500000

- Vamos aplicar a frmula do termo geral: an=a1q(n-1) Substituindo seus valores 500000=510(n-1) 500000=510(n-1) 5100000=510(n-1) 5105=510(n-1) 105=10(n-1) Agora podemos cortar as bases 5=n-1 n=6

- Agora sim, o termo 500000 o sexto termo, podemos aplicar a frmula da soma:

Resposta certa, letra "D".

9) Ao interpolarmos 5 meios geomtricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razo:

(A)

(B)

(C)

8

(D)

(E)

- Informaes do problema:

1458 __ __ __ __ __ 2

a1=1458 a7=2 q=?

- Esta a parte mais difcil do problema, ver que o 2 o stimo termo. Agora s aplicar a frmula do termo geral para o a7.

Como um expoente PAR, ao "passa-lo" para o outro lado como raiz, deve-se incluir o sinal de . Resposta certa letra "B".

10) A razo de uma PG cujo termo geral (A)

(B)

(C) (D)

(E)

- Para calcular-mos a razo, devemos saber no mnimo o primeiro e o segundo termo. Substituindo n por 1 e por 2 na frmula do termo geral dada, temos:

- Agora, j sabendo a1 e a2, podemos calcular a razo:

9

Resposta certa, letra "A".

11) (PUC) De acordo com a disposio dos nmeros abaixo,

A soma dos elementos da dcima linha vale:

(A) 2066 (B) 5130 (C) 10330 (D) 20570 (E) 20660

- Questo muito bem elaborada! Note que cada linha desta "pirmide" uma PA de razo 2. Cada linha tem um elemento a mais do que a linha anterior, sendo que sua ordem igual ao nmero de termos (a segunda tem 2 termos a quinta tem 5 termos a dcima tem 10 termos). Veja tambm que a primeira coluna (que determina o primeiro elemento de cada linha) segue como uma PG de razo 2 e a1=2. Ento, o primeiro termo da dcima linha ser (a10):

a10=a1q9 a10=229 a10=1024

- A dcima linha ser uma PA com a1=1024 r=2 e ter 10 termos. Antes de calcularmos a soma (que o exerccio pede) devemos calcular o valor do dcimo termo desta PA:

a10=a1+9r a10=1024+92 a10=1024+18

a10=1042

- Portanto, a soma dos termos (de acordo com a frmula):

S10=(a1+a10)10/2

10

S10=(1024+1042)5 S10=(2066)5 S10=10330 Resposta certa, letra "C".

GABARITO 01-D 04-C 07-C 10-A 02-C 05-B 08-D 11-C 03-C 06-D 09-B

12) (FUVEST) Seja (an) uma progresso geomtrica de primeiro termo a1 = 1 e razo q, onde q um nmero inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progresso geomtrica cuja razo q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 em funo de q.

b) Existe algum valor de n para o qual an = bn?

c) Que condio n e m devem satisfazer para que an = bm?

13) (UERJ) A figura a seguir mostra um molusco Triton tritoris sobre uma estrela do mar.

Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqncia de semicrculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicrculos.

Admita que as medidas dos raios formem uma progresso tal que

11

Assim, considerando , a soma ser equivalente a

(A) (B) (C) (D)

14) (UFRGS) Numa progresso aritmtica de razo 1/2, o primeiro, o stimo e o dcimo nono termo formam, nesta ordem, uma progresso geomtrica cuja soma dos termos

(A) 17. (B) 18. (C) 19. (D) 20. (E) 21.