DISCIPLINA – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA ECONOMICA – ECN26PROFESSOR HENRIQUE DANTAS NEDER

EXERCICIOS DE ESTATISTICA

PROBABILIDADE

1. a. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A).

b. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e B são eventos mutuamente excludentes?

c. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B), se A e B não são mutuamente excludentes?

2. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua resposta.

3. Como se modifica a regra da adição, se utilizamos ou exclusivo em lugar de ou inclusivo? Recorde que ou exclusivo significa um ou outro, mas não ambos.

4. Dado que P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), estabeleça uma regra formal para P(A ou B ou C). (Sugestão: Trace um diagrama de Venn)

5. Determine a probabilidade de que, em 25 pessoas selecionadas aleatoriamente,

a. Não haja duas com a mesma data de aniversário.

b. Ao menos duas tenham a mesma data de aniversário.

6. a. Determine uma fórmula de não obter A ou Bem um único experimento. Isto é, dê uma expressão para P (A ou B).

b. Determine unia fórmula para a probabilidade não obter B em unia única prova; isto é, de u P( A ou B).

c. Compare os resultados das partes (a) e (b). são diferentes?

7. Devemos extrair aleatoriamente duas cartas, sem baralho bem misturado. Determine a probabilidade de obter um 10 na primeira extração e uma carta de paus na segunda.

8. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2 caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?

1) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.

2) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o máximo seja maior ou igual a 3.

3) Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. ( Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatória).

9. Uma loteria tem N números e só um prêmio. Um jogador compra n bilhetes em uma extração. Outro compra só um bilhete em n extrações diferentes. (Ambos os jogadores apostam portanto a mesma importância). Qual deles tem maior probabilidade de ganhar o prêmio?

10. Seis bolas são colocadas em três urnas diferentes. Qual é a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?

11. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.

12. Um torneio é disputado por 4 vezes A,B, C e D. Ë 3 vezes mais provável que A vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um dos times?

13. Uma caixa contem 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.

14. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:

12 000 lêem A;8 000 lêem B;7 000 lêem A e B;6 000 lêem C;4 500 lêem A e C;1 000 lêem B e C;500 lêem A,B e C.

Qual é a probabilidade de que um habitante leia:

a) Pelo menos um jornal;

b) Só um jornal.

15. s algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.

a) calcular a probabilidade de que o número escrito seja parb) Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade?

16. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.

17. Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo?

18. 5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:

a) a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;

b) A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.

19. Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisível por 5 ou por 7.

20. Uma moeda foi cunhada de tal forma que é 4 vezes mais provável de dar cara do que coroa. Calcular as probabilidades de cara e coroa.

21. Aos números inteiros entre 1 e n são designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para

22. Três dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como a soma dos resultados.

23. Sejam A e B eventos tais que

24. No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02 - ...- 50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5 (quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas são escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminuídas (Sena Posterior) de uma unidade (50 +1 = 01, 01 – 1 = 50). Determine a probabilidade de uma apostador fazer:

a) uma quadrab) uma quinac) a Sena Principald) A Sena Anterior ou a Posterior.

25. No jogo da Loto são sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02 - ...- 99 - 00. O apostador escolhe 6,7,8,9 ou 10 dezenas e é premiado se são sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de uma apostador que escolheu 10 dezenas fazer:

a) um ternob) uma quadrac) a quina

26. Na Loteria Esportiva há 13 jogos e o apostador deve indicar em cada um deles a vitória do time 1, a vitória do time 2 ou o empate. Um jogador é premiado:

a) com 10 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e erra os dos 3 últimos;

b) com 11 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas um dos resultados dos 3 últimos;

c) com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas 2 dos resultados dos 3 últimos;

d) com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.

Supondo que em cada jogo os resultados possíveis tenham probabilidades iguais, determine a probabilidade de um apostador ser premiado:

a) com 10 pontos;b) com 11 pontos;c) com 12 pontos;d) com 13 pontos.

27. Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum?

28. Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pares de sapatos desse armário. Qual a probabilidade de haver entre esses pés exatamente k pares de sapatos?

29. Colocam-se ao acaso n botões em um tabuleiro n x n, não sendo permitido haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de não haver dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna?

30. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se 3 dos seus vértices, formando-se um triângulo. Qual é a probabilidade do centro do círculo ser interior ao triângulo?

31. Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos exatamente p bolas nas urnas?

32. João e Pedro lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a probabilidade do resultado de João ser maior ou igual ao resultado de Pedro?

33. Numa prova há 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as 7 se:

a) escolhermos aleatoriamente as 7 respostas,b) escolhermos aleatoriamente as respostas mas sabendo que há mais respostas

“verdadeiro” do que “falso”.

34. Sabe-se que 80 % dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é 40 % se o cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado:

a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido?

b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?

c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?

35. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não perca é de 9/10. A probabilidade de que o carteiro entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Marina não a tenha escrito?

36. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade de 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu neste dia?

37. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade de 1/3 de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30 % das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?

38. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3 e 2/3 respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma série de 3. Que série de jogos é mais favorável ao jogador: ABA ou BAB?

39. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.

Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B?

40. Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo qual é a probabilidade de que seja ímpar?

AB1

2

4

3

5

41. Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa, calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos 6 lançamentos supere o número de coroas.

42. Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras.

43. Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.

44. Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das quais 3 % são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1 % são defeituosas. Da produção total em um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?

45. Um estudante resolve um teste do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a solução correta para 40 % das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade que ele sabia a resposta?

46. Sejam A e B dois eventos independentes tais que

P(A) = 1/3 e P(B) = ½

Calcule

47. Sejam A e B dois eventos independentes tais que

Calcule P(B)

48. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:

A: cara na primeira jogada;B: cara na segunda jogadaVerifique que A e B são independentes

49. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:

A = o resultado do 1º lançamento é par;B = o resultado do 2º lançamento é par;C = a soma dos resultados é par.

A e B são independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?

50. Uma pessoa com um molho de n chaves tenta abrir uma porta. Apenas uma das chaves consegue abrir a porta. Qual é a probabilidade dela só conseguir abrir a porta na k-ésima tentativa:

supondo que após cada tentativa mal sucedida ela descarta a chave usada;supondo que ela não faz isso.

(Problema de Chevalier de Méré) Determine a probabilidade de obter:

ao menos um 6 em 4 lançamentos de um dado;ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.

51. A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?

52. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1ª carta ser uma dama e a 2ª ser de copas.

53. Um exame de laboratório têm eficiência de 95 % para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5 % da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo?

54. A lança uma moeda n+ 1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é a probabilidade de A obter mais caras que B?

55. Quantas pessoas você deve entrevistar para ter probabilidade igual ou superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje?

56. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. A e B sacam alternadamente, sem reposição, bolas dessa urna até que uma bola vermelha seja retirada. A saca a primeira bola. Qual é a probabilidade de A sacar a bola vermelha?

57. Em uma cidade com n+ 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra pessoa, a qual por sua vez conta para uma terceira pessoa, etc. Calcule a probabilidade do boato ser contado m vezes:

sem retornar à primeira pessoa;sem repetir nenhuma pessoa.

58. Sacam-se, com reposição, n (n > 1) bolas de uma urna que contem 9 bolas numeradas de 1 a 9. Qual é a probabilidade do produto dos números das n bolas extraídas ser divisível por 10?

59. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?

60. Um júri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um) com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As decisões são tomadas por maioria. Outro júri tem probabilidade p de tomar uma decisão correta. Qual dos júris tem maior probabilidade de acerto?

61. Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago novamente. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata que 2 desses peixes haviam sido marcados por você.

se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes, encontrar dois peixes marcados?para que valor de k essa probabilidade é máxima?

62. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:

haver alguma coincidência de signos zodiacais?as quatro terem o mesmo signo?duas terem o mesmo signo, e as outras duas, outro signo?três terem o mesmo signo e, a outra, outro signo?todas terem signos diferentes?

63. Deseja-se estimar a probabilidade p de um habitante de determinada cidade ser um consumidor de drogas. Para isso realizam-se entrevistas com alguns habitantes da cidade. Não se deseja perguntar diretamente ao entrevistado se ele usa drogas, pois ele poderia se recusar a responder ou, o que seria pior, mentir. Adota-se então o seguinte procedimento: propõe-se ao entrevistado duas perguntas do tipo SIM-NÃO:

Você usa drogas?Seu aniversário é anterior ao dia 2 de julho?

64. Pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda, longe das vistas do entrevistador, e que se o resultado for cara, responda à primeira pergunta e, se for coroa, responda à segunda pergunta.

sendo p1 a probabilidade de um habitante da cidade responder sim, qual é a relação entre p e p1 ?se forem realizadas 1000 entrevistas e obtidos 600 sim é razoável imaginar que

Qual seria, então, sua estimativa de p?

65. Uma firma fabrica “chips” de computador. Em um lote de 1000 “chips”, uma amostra de 10 “chips” revelou 1 “chip” defeituoso. Supondo que no lote houvesse k “chips” defeituosos:

66. Calcule a probabilidade de em uma amostra de 20 “chips” haver exatamente 1 “chip”defeituoso.Determine o valor de k que maximiza a probabilidade calculada no item a).

67. Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?

68. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10 questões e 5 alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 4 questões?

69. Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5 caras antes de 3 coroas?

70. Lança-se um dado não viciado até a obtenção do terceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isto ocorre. Calcule:

P(X = 10); b) P(X > 10); c) P(X = 10).

71. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empates. Qual á probabilidade de A ganhar a série?

72. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. O primeiro que obtiver 12 vitórias ganha a série. No momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem são respectivamente 0,4 e 0,6?

73. Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durante o vôo. Um avião voa com segurança se a maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avião com 3 motores é preferível a um avião com 5 motores?

74. Suponha que uma característica (como a cor dos olhos, por exemplo) dependa de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é dominante puro, um com genes aa é um recessivo puro e um com genes Aa é um híbrido. Dominantes puros e híbridos são semelhantes em relação à característica. Filhos recebem um gen do pai e um da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e tenham 4 filhos.Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um recessivo puro?Qual é a probabilidade de exatamente um dos 4 filhos ser um recessivo puro?

75. (O problema das caixas de fósforos de Banach1) Um matemático sai de casa todos os dias com duas caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele que acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando ele retira o último palito de uma caixa, ele não percebe que a caixa está vazia. Como ele fuma muito, em certa hora ele pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade de nesse momento a outra caixa conter exatamente k ( ) palitos?

76. Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas iguais a 3?

77. Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de caras obtidas? 78. Suponha que uma variável aleatória T tem a seguinte distribuição de probabilidade

T 0 1 2

P(T=t) 0,5 0,3 0,2

Ache P(T <= 0)Ache P(T >= 0 and T < 2)Calcule E(T), a média da variável aleatória T.

79. Suponha que você escolha uma bola de uma urna contendo 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas , 5 bolas azuis e 4 bolas brancas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha?

80. Suponha que você escolha uma bola aleatoriamente de uma urna 7 bolas vermelhas, 6 bolas brancas, 5 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a probabilidade de que você escolha uma bola branca?

81. Um dado não viciado é jogado duas vezes. Ache a probabilidade de sair um 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 ou 3 no segundo lance.

82. Ache a probabilidade de não sair um 5 ou 6 em qualquer uma de duas jogadas de um dado não viciado.

83. Você tem um baralho de 52 cartas bem embaralhadas. Qual é a probabilidade de escolher dois valetes consecutivos se a primeira carta não é recolocada no baralho?

1 Stefan Banach (1892-1945), matemático polonês

84. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis. Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e vermelha dado que cada bola é recolocada na urna depois de escolhida.

85. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis. Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e vermelha dado que cada bola não é recolocada na urna depois que ela é escolhida.

86. A urna A contem 2 bolas vermelhas e 3 azuis. A urna B contem 8 bolas vermelhas e 2 azuis. Você joga uma moeda honesta. Se amoeda mostra cara você escohe uma bola da urna A. Se a moeda mostra coroa você escolhe uma bola da urna B. Determine a probabilidade de que você escolha uma bola vermelha.

87. Você tem 6 bolas, cada uma de cor diferente. De quantas maneiras distintas você pode dispo-las em uma fila?

88. De quantas maneiras possíveis 8 pessoas podem sentar-se em um banco se apenas estão disponíveis 3 assentos?

89. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições são permitidas?

90. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os dígitos 0,1,2,..,9 se repetições não são permitidas?

91. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se todos os livros de cada assunto precisam ficar juntos?

92. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é possível dispo-los se somente os livros de Ciências precisam ficar juntos?

93. De quantas maneiras pode um comitê de 6 pode ser escolhido de 10 pessoas?

94. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se um particular médico deve ser incluído e se qualquer enfermeira pode ser incluída?

95. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se uma particular enfermeira não pode ser incluída no comitê?

96. De quantas maneiras diferentes saladas de frutas podem ser feitas de maçã, laranja, tangerina e banana?

97. A partir de 6 consoantes e 4 vogais, quantas combinações distintas de letras podem ser feitas?

98. Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos?

a. A: os números pares ; B: o número 5;

b. A: os números ímpares; B: os números maiores do que

10;

c. A: os números menores que 5; B: todos os números negativos

d. A: os números maiores do que 100; B: os números menores do que

200;

e. A: os números negativos; B: os números pares

99. Uma carta é escolhida de um baralho padrão de 52 cartas. Ao descrever a ocorrência de dois possíveis eventos, um Ás e um Rei, estes dois eventos são:

independentes

mutuamente exclusivos

variáveis aleatórias

aleatoriamente independentes.

100. Suponha que certa característica oftalmológica é associada com a cor dos olhos. 300 indivíduos selecionados aleatoriamente são estudados e apresentam os seguintes resultados:

Característica

Cor dos olhos

Azuis Castanhos

Outra Total

Sim 70 30 20 120

Não 20 110 50 180

Total

90 140 70 300

Qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha olhos azuis ?

O que você espera que seja o valor de P(Ter a

característica e olhos azuis) se a cor dos olhos e a

existência da característica são independentes ?

Quais das seguintes expressões descrevem a relação entre os eventos A = a pessoa tem olhos castanhos e B = a pessoa tem olhos azuis ? (marque a resposta correta).

i. independente ii. exaustivo

iii. simples iv. mutuamente exclusivos

101. Uma amostra de 1000 pessoas diagnosticada com certa doença é distribuída de acordo com a altura e o status (evolução) da doença a partir de um exame clínico de acordo com a seguinte tabela:

Sem a doença

Fraca Moderada

Severa Totais

Alta 122 78 139 61 400

Média 74 51 90 35 250

Baixa 104 71 121 54 350

Totais 300 200 350 150 1000

Como você estimaria, a partir dessa tabela, a probabilidade de ser média ou baixa em altura e ter moderado ou severo grau de evolução da doença ?

a. 600/1000 * 500/1000 d. 300/600

b. 300/500 e. 800/1000

300/1000

102. De cerca de 25 artigos, nove são defeituosos, seis tem defeitos superficiais e três tem defeitos importantes. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado aleatoriamente tenha defeitos importantes dado que ele tem defeito.

1/3

0,25

0,24

0,08

103. A seguinte tabela de duas entradas mostra as frequências de ocorrência de uma exposição hipotética e a doença em um grupo de 1000 pessoas.

Doença

Exposição

Presente AusenteTotais

Presente 75 325 400

Ausente 25 575 600

Totais 100 900 1000

Qual é a probabilidade de exposição no grupo ?

Qual é a probabilidade conjunta de tanto exposição como de doença estar presente no grupo ?

Calcule a probabilidade de doença estar presente condicionada a presença de exposição e condicionada a ausência de exposição.

104. Um epidemiologista acredita que as rodovias têm alguma relação com o

desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de uma pessoa

estar morando a menos de uma milha das rodovias, dado que ela tem a doença, é

0,80. Você concorda com ele ? Porque ou porque não ?

105. Um dormitório de um campus universitário abriga 200 estudantes. 120 são homens, 50 são dos graus mais avançados e 40 são homens dos graus mais avançados. Um estudante é selecionado ao acaso. A probabilidade de selecionar um estudante de grau menos elevado, dado que o estudante é mulher, é:

(a) 7/8 (d) 7/20

(b) 7/15 (e) 1/4

2/5

106. Uma amostra de 2000 indivíduos é distribuída de acordo com a cor de olho e a presença ou ausência de uma certa característica oftalmológica como segue:

Característica Cor dos olhosCastanho Azul Outro

Sim 400 270 130 800Não 200 650 350 1200Total 600 920 480 2000

Em uma seleção aleatória de um indivíduo da população em estudo, Qual é sua estimativa da probabilidade de:

a pessoa tem olhos azuis? ___________ a característica está presente e a pessoa tem castanhos? ____________ a pessoa nem não tem olhos castanhos nem olhos azuis dados que a característica está ausente? _______________ d. a pessoa nem não tem olhos de outra cor nem olhos azuis e a característica está presente _______________ e. a pessoa não tem olhos castanhos? _______________ f. a pessoa tem olhos azuis ou nem não tem olhos azuis nem olhos castanhos? __________ g. a pessoa não tem a característica ou não tem olhos castanhos? ________

107. Um sindicato de trabalhadores local consiste de associados encanadores e eletricistas, classificado de acordo com grau:

Aprendiz Jornaleiro Oficial TotalEncanadores 25 20 30 75Eletricistas 15 40 20 75

40 60 50

Um associado do sindicato é selecionado ao acaso. Dado que a pessoa selecionada é um encanador, a probabilidade de que ele é um jornaleiro é:

1/21/34/152/15nenhuma das anteriores.

108. Entre vinte e cinco artigos, nove são defeituosos, seis tem somente um defeito não importante e três têm um defeito importante. Determine a probabilidade de que um artigo selecionado ao acaso tenha defeitos importantes dado que ele tenha defeitos.

1/3

0,250,240,08

109. Os depositantes do Banco X são categorizados por idade. Selecionaremos aleatoriamente um indivíduo desse grupo de 2.000 depositantes

Sexo/Idade

Homem Mulher

30 ou menos 800 60031 ou mais 400 200

Então P(mulher de 30 ou menos) =a) 2/5 b) 3/4 c) 3/7 d) 3/10 e) nenhuma das anteriores

Então P[homem ou (31 ou mais)] =a) 1/5 b) 3/10 c) 1/2 d) 7/10 e) nenhuma das anteriores

Então P(mulher) =a) 3/10 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/3 e) nenhuma das anteriores

110. Qual é a probabilidade condicional de que um depositante escolhido tenha idade de 30 anos ou menos, dado que ele é homem?

a) 2/3 b) 7/10 c) 4/7 d) 2/5 e) nenhuma das anteriores

São as idades e sexos dos depositantes independentes para o Banco X? Porque?

111. Um epidemiologista sente que as rodovias têm alguma relação com o desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de que uma pessoa esteja morando a uma milha ou menos da rodovia, dado que ela tem a doença é 0,80. Você concorda com ele? Explique porque.

112. Existem duas urnas marcadas com H e T. A urna H contem 2 bolas vermelhas e 1 bola azul. A urna T contem 1 bola vermelha e 2 azuis. Uma moeda é jogada ao acaso. Se sai cara é escolhida uma bola da urna H. Se sai coroa, uma bola é escolhida da urna T. Ache as seguintes probabilidades.

a. P(cara e vermelha) b. P(coroa) c. P(vermelha)d. P(azul) e. P(cara|vermelha)

113. A seguinte tabela de contingência fornece uma distribuição de freqüências conjunta para os votos populares apurados na eleição presidencial de 1984 por região e por partido político. Os dados estão em milhares, arredondados para o mais próximo milhar.

  Democrata  Republicano  Outros       P1  P2  P3  Total Nordeste  R1  9.056  11.336  101  20.493 Meio Oeste R2  10.511  14.761  169  25.441 Sul  R3  10.998  17.699  136  28.833 Oeste  R4  7.022  10.659  214  17.895 Total    37.587  54.455  620  92.662 

  a. Quantos pessoas votaram no partido Republicano?b. Quantas pessoas no Meio Oeste votaram?c. Quantas pessoas no Sul votaram no partido Democrata?d. Determine a probabilidade dos eventos R3 e P2 (simultâneos).e. Calcule Pr(R3 ou P2), usando a tabela de contingência diretamentef. Calcule Pr(R3 ou P2), usando a regra geral da adição de probabilidade, isto

é, Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr (A e B).g. Ache Pr(R3 | P2).h. Calcule Pr(P1) e Pr(P1 | R4).

i. São os eventos P1 e R4 independentes? Explique sua resposta. São os eventos P1 e R4 mutuamente exclusivos? Explique sua resposta.

114. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual a probabilidade de:a. Ser assinante somente da empresa TA?b. Assinar pelo menos uma delas?c. Não ter TV a cabo?

115. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as de mais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se:a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbiohormonal?b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser solteiro?c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio? 

116. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente

prioridade para Educação e Saúde é de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de direita, centro e esquerda respectivamente.a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?

117. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?

118. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento na estrada é de 0.6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0.8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 0.7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade 0.5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqüilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de:a) Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus filhos.b) Ter havido briga, dado que o pai perdeu a paciência.

119. Na verificação rotineira de máquinas, observam-se as partes elétricas, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em qualquer uma das partes é 0.01; independente das demais. O tempo de conserto é de 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos um acréscimo de 20 minutos devido à complicações no conserto. Para uma máquina escolhida ao caso, qual a probabilidade do tempo de conserto:a. Durar menos de 25 minutos?b. Ultrapassar 40 minutos?

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇAO BINOMIAL

1. O número de paradas de máquinas em uma grande fábrica durante uma semana tem a seguinte distribuição de probabilidade:

B 5 10 15 20 25P(B = b) 0,25 0,30 0,25 0,15 0,05

Usando essa distribuição, Calcule E[B] e V[B]

2. A Companhia Beta comprou 80 componentes eletrônicos de um fornecedor que declara que somente 2 % dos componentes que ele vende são defeituosos e que os componentes defeituosos são misturados aleatoriamente com os componentes bons. Cada componente defeituoso custará a Beta US$ 250 em custos de reparo. Se o fornecedor está certo, qual será o número esperado de componentes defeituosos ? E qual é o custo esperado de reparo?

3. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes potenciais uma corrida de 30 milhas no tipo de carro que o cliente está interessado em comprar, mais um almoço ou jantar gratuitos. Todos estes custos são cerca de US$ 50. Se o cliente não compra o carro, o vendedor perde US$ 50, mas se o cliente comprar o carro, o lucro médio do vendedor é de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida e da refeição devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos clientes compraram o carro depois da corrida e da refeição gratuita. Qual é o lucro esperado para o vendedor nessa situação?

4. Um processo de produção é paralisado para ajuste toda vez que uma amostra aleatória de cinco itens, selecionada com reposição, apresenta dois ou mais defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo será paralisado após uma inspeção se ele está produzindo:

20 % de defeituosos10 % de defeituosos5 % de defeituosos

5. Um simples míssil de certa variedade tem uma probabilidade de ¼ de derrubar um bombardeiro, uma probabilidade de ¼ de danificá-lo e uma probabilidade de ½ de errá-lo. Além disso, dois tiros danificadores derrubarão o avião. Se quatro destes mísseis são lançados, qual é a probabilidade de derrubar um avião?

6. De acordo com um cientista político, a população votante de certa cidade consiste de 46 % do candidato A, 40 % do candidato B, 11 % do candidato C e 3

% do candidato D. Em uma amostra aleatória de 5 votantes, qual é a probabilidade de que a amostra contenha:

Dois votantes para o candidato A e um de cada das outras categorias?Três votantes para o candidato A e dois para o candidato B?Nenhum votante para o candidato D?

7. Em cada caso, determine se a função dada é uma distribuição de probabilidade.

a. P(x)= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .b. P(x)= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .c. P(x)= 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3,d. P(x)= 0,4(0,6)x-1 onde x = 1, 2, 3, . . . .

8. A média e o desvio-padrão de uma variável aleatória x são 5.0 e 2,0, respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatórias:

3 + x3x3x + 4

9. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9) para números de telefone em pesquisas. A variável aleatória x é o algarismo escolhido.

Ache a média e o desvio-padrão de x.Ache o escore z para cada um dos valores possíveis de x; determine então a média e o desvio-padrão da população de escore z.

10. Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, ... n, e que esses valores sejam igualmente prováveis.

Mostre que = (n + 1) /2.h. Mostre que = (n2 - 1) / 12.c. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um número inteiro entre 1 e 50; a variável aleatória x é o valor do número escolhido. Determine a média e o desvio-padrão de x.(Sugestão: 1 + 2 + 3 + --- + n = n (n + 1) /2

12 +22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)

11. Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto pelo fato de o número de provas não ser fixo, pode-se aplicar a distribuição geométrica. A probabilidade de obter o primeiro sucesso na xma prova é dada por P(x) = p(l - p)x -1, onde p é a probabilidade de sucesso em uma prova. Suponha que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2. Determine a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente.

12. No caso de amostragem sem reposição de uma população finita, pequena, não devemos utilizar a distribuição binomial, porque os eventos não são independentes. Se a amostragem se faz sem reposição e os resultados comportam apenas dois tipos utiliza-se a distribuição hipergeométrica. Se uma população tem A objetos de um tipo e os B objetos restantes são do outro tipo e se extraímos n objetos sem reposição, então a probabilidade de obter x objetos do tipo A e n - x objetos do tipo B é

Na Loto 54, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54 (sem repetição), sorteando-se posteriormente uma combinação ganhadora. Determine a probabilidade de:

Acertar todos os 6 números ganhadores. Acertar exatamente 5 dentre os 6 números ganhadores.Acertar exatamente 3 dentre os 6 números ganhadores. Não acertar qualquer número ganhador.

13. A distribuição binomial se aplica apenas a casos que envolvem 2 tipos de resultado, enquanto a distribuição multinomial envolve mais de 2 categorias. Suponha que tenhamos 3 tipos de resultados mutuamente excludentes denotados por A, B: e C. Seja P(A) = p1, P(B) = P2 e P(C) = p3, Em n provas independentes, a probabilidade de x1 resultados do tipo A, x2 resultados do tipo B e x3 resultados do tipo C é dada por

14. Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20 indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente 5 A's, 4 B's, 3 C's, 2 D's, 3 E's e 3 F's desenvolvendo a expressão acima de forma que ela se aplique a 6 t17. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.

Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês, determine a média e o desvio-padrão de x.

Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)

15. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens bons em tais lotes.

16. Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três acidentes, qual é a probabilidade de que:

a. exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?b. No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?c. Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes

causados por motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes 

pdf (*) Cdf (**)0 0,0742 0,07421 0,2205 0,29472 0,2947 0,58933 0,2334 0,82274 0,1213 0,94405 0,0432 0,98736 0,0107 0,99807 0,0018 0,99988 0,0002 1,00009 0,0000 1,000010 0,0000 1,0000

  (*) Pdf = Probability Distribution Function (Função de Distribuição de Probabilidade)(**) Cdf = Cumulative Distribution Function (Função de Distribuição Cumulativa)

1. Ache Pr(x = 3).2. Ache Pr(5 < x  9).3. Qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima? 

17. Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A distribuição de probabilidade do número de cadeiras ocupadas, x, é dada por

x p(x)0 0,3041 0,2282 0,1713 0,1284 0,0965 0,073

a. Ache a média da variável aleatória x.b. Calcule o desvio padrão,  , da variável aleatória x.c. Calcule Pr(2  x  5).d. Desenvolva (no formato tabular a cdf (Cumulative Distribution Function -

Função de Distribuição Acumulada) dessa distribuição.

18. Uma função de probabilidade é uma regra de correspondência ou uma equação que:

a) Acha o valor médio da variável aleatóriab) Atribui valores de x a eventos de um experimento probabilísticoc) Atribui probabilidades para valores de xd) Define a variabilidade no experimentoe) Nenhuma das anteriores é correta

19. Suponha que a variável aleatória T tenha a seguinte distribuição de probabilidade:

t 0 1 2 P(T = t) 0,5 0,3 0,2

a. Ache P(T <= 0) b. Ache P(T >= 0 e T < 2)Calcule E(T), a média da variável aleatória T.

20. Um teste de estatística consiste em 10 questões do tipo múltipla escolha, cada uma com 5 respostas possíveis. Para alguém que responda aleatoriamente (por palpite) todas as questões, determine a probabilidade de passar, se o percentual mínimo para aprovação é 60%. A probabilidade é suficientemente elevada para justificar o risco de tentar passar por palpite em lugar de estudar?

21. A Air America adota a política de vender 15 passagens para um avião que dispõe de apenas 14 assentos. (A experiência passada mostra que apenas 85% dos que reservam lugar comparecem efetivamente ao embarque.) Determine a probabilidade de não haver assentos suficientes no caso de a Air America vender 15 passagens.

22. De acordo com o Ministério da Justiça dos EUA, 5% de todos os lares americanos sofreram pelo menos um assalto no último ano, mas a polícia de Newport relata 4 casos de assalto em uma comunidade de 15 lares, no último ano. Com base na probabilidade de 4 ou mais assaltos em uma comunidade de 15 lares em um ano, pode-se dizer que aquela comunidade foi vítima apenas do acaso?

23. A Telektronic Company compra grandes lotes de lâmpadas fluorescentes e adota o seguinte método: selecionar aleatoriamente e testar 24 lâmpadas e aceitar todo o lote se no máximo uma não funcionar. Se determinado lote de lâmpadas tem efetivamente 4 % de unidades defeituosas, qual é a probabilidade de todo o lote ser aceito?

24. A probabilidade do 7 em uma roleta é 1/38. Em um experimento, a roleta é girada 500 vezes. Se esse experimento é repetido muitas vezes, determine a média e o desvio-padrão do número de 7s.

25. A probabilidade de ganhar na loteria do estado de Nova York é de 1/25.827.165. Determine a média e o desvio-padrão do número de ganhos para alguém que joga duas vezes por semana durante 50 anos (ou seja, 5200 vezes). (Expresse suas respostas com três algarismos significativos.)

26. Em uma pesquisa sobre reconhecimento de marca, 95% dos consumidores reconheceram Coke (com base em dados da Total Research Corporation). Deve-se fazer uma nova pesquisa junto a 1200 consumidores selecionados aleatoriamente. Para tais grupos de 1200,

a. Determine a média e o desvio-padrão do número dos que reconhecem a marca Coke.

b. É incomum obter 1170 consumidores que reconhecem o nome Coke?

considere incomum qualquer resultado que difira da média por mais de dois desvios-padrão; isto é, os valores incomuns ou são inferiores a ou são superiores .

27. 0 Departamento de Saúde do Estado de Nova York relata uma taxa de 10% de incidência do vírus HIV para a população "de risco". Desenvolve-se em uma região uma intensa campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa de 10%. Posto em prática o programa, faz-se um estudo subseqüente sobre 200 indivíduos do grupo de risco.

a. Admitindo que o programa não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio-padrão do número de casos de HIV em grupos de risco de 200 pessoas.

b. Entre as 200 pessoas submetidas ao teste subseqüente, 7% (ou seja, 14 pessoas) tiveram resultado positivo no teste de HIV. Se o programa não produz efeito, essa taxa é excepcionalmente baixa? Este resultado sugere que o programa é eficaz?

28. A Loja de Departamentos Newtower constatou uma taxa de 3,2% de queixas de clientes e decidiu reduzir essa taxa mediante um programa de treinamento de seus empregados. Ao fim do programa, observaram-se 850 clientes.

a. Admitindo que o programa de treinamento não tenha produzido efeito, determine a média e o desvio-padrão do número de queixas nesses grupos de 850 clientes.

b. No grupo de 850 clientes observados, 7 tiveram alguma queixa. Esse resultado é excepcional? 0 programa de treinamento parece ter sido eficaz?

29. De acordo com a Nielsen Media Research, Inc., 30% dos televisores são sintonizados na NFL Monday Night Football quando ele é transmitido. Suponha que esse programa esteja sendo transmitido e que sejam aleatoriamente escolhidos 4000 televisores.

a. Para tais grupos de 4000, determine a média e o desvio-padrão do número de televisores sintonizados no NFL Monday Night Football.

b. É fato incomum constatar que 1272 dentre os 4000 televisores estão sintonizados no NFL Monday Night Football.? Qual é a causa provável de uma taxa tão superior a 30%?

30. Um patologista sabe que 14,9% de todas as mortes podem ser atribuídas a infarto do miocárdio.

a. Ache a média e o desvio-padrão do número dessas mortes que ocorrerão em uma região típica com 5000 mortes.

b. Em certa região, examinam-se 5000 certidões de óbito, constatando-se 896 mortes por infarto do iniocárdio. Há razões, para preocupação? Por quê?

31. Um teste de percepção extra-sensorial envolve o reconhecimento de uma forma. Pede-se a 50 indivíduos de olhos vendados que identifiquem uma forma dentre as possibilidades de um quadrado, um círculo, um triângulo, uma estrela, um coração e o perfil do ex-presidente Millard Fillmore (1800-1874).

a. Admitindo que todos os 50 indivíduos dêem respostas aleatórias, determine a média e o desvio-padrão do número de respostas corretas nesse grupo de 50.

b. Se 12 das 50 respostas são corretas, esse resultado pode ter ocorrido por mera chance? 0 que podemos concluir?

32. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.

a. Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês, determine a média e o desvio-padrão de x.

b. Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um valor excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem reparo sob garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente elevado? (Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)

33. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens bons em tais lotes.

34. A Washington and Chang Trucking Company opera uma grande caminhões. No ano passado, houve 84 casos de avariaria.a. Determine o número diário médio de avarias.b. Determine a probabilidade de 2 caminhões apresentarem avaria em um dia selecionado aleatoriamente.

35. Um cassino é flagrado tentando utilizar um par de dados viciados. No julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos pretos eram escavados, enchidos com chumbo e repintados a fim de parecerem normais. Além da evidência física, os dados foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados;

12 8 9 12 12 9 8 7 12 1012 3 2 12 10 9 12 11 11 12

3. Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados equilibrados (honestos), a média deve ser 7,0, e o desvio-padrão deve ser 2,4. a. Determine a média e o desvio-padrão dos valores amostrais obtidos, no

julgamento. b. Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual é a probabilidade de

obter um 12? Compare esse resultado com a probabilidade de 1/36 (ou 0,0278) para dados equilibrados.

c. Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados é 1/36, determine a probabilidade de obter ao menos um 12 em 20 jogadas de dados equilibrados.

d. Se o leitor fosse advogado de defesa, como refutaria os resultados obtidos no tribunal?

36. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:

Determine a função de probabilidade de X.

37. As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes nessas condições, calcule a probabilidade de:a. Oito ficarem completamente curadas.b. Entre 3 e 5 (inclusive) não ficarem curadas.c. Não mais de 2 permanecerem com a doença.

38. Considere uma variável aleatória X ~ G(0.8). Construa uma nova variável Y tal que Y = X para os valores 0,1,2,...,5 e Y = 6 para X ³ 6. Dessa forma, Y corresponde ao truncamento de X a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a função de probabilidade de Y e calcule:a. P(Y = 2).b. O valor da função de distribuição (acumulada) no ponto 2.5.c. P(Y=3 | Y£ 5).d. P(Y³ 3,X<8)

39. Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4 exemplares de espécies A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9 jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez, obtermos:a. Todos da espécie A.b. Nem todos serem da espécie B.c. A maioria ser da espécie A.

40. Para condenar um acusado são necessários ao menos 9 votos de um júri composto por 12 jurados. Suponha que a probabilidade de que um jurado vote que um culpado seja inocente é 0,2 e a probabilidade de que um jurado vote que um inocente seja culpado é 0,1. Se cada jurado age independentemente e se 65% dos acusados são culpados, encontre a probabilidade de que o júri tome a decisão correta. Que porcentagem de culpados é condenada?

41. Em 10000 lançamentos independentes de uma moeda obteve-se 5800 caras. É razoável assumir que a moeda não é justa? Explique analiticamente.

42. Se X _e uma variável aleatória com media µ e desvio padrão σ. Mostre que E[(X - b)2], como função de b, é minimizada quando b = µ.

43. Para determinar a existência de certa doença, 100 pessoas são submetidas a um teste sanguíneo. Contudo decide-se realizar o teste em grupos de 10 pessoas, isto _e, o sangue de cada grupo será misturado para fazer o teste. Se o resultado for negativo um teste é suficiente para as 10 pessoas e se o teste é positivo, cada uma das 10 pessoas será testada individualmente e, para tal grupo serão realizados 11 testes. Assuma que qualquer pessoa, independente das outras, tenha probabilidade 0.1 de ter a doença e calcule o numero esperado de testes necessários para as 100 pessoas.

44. Uma urna contem 5 bolas brancas e seis pretas, enquanto uma segunda urna contem 8 bolas brancas e 10 pretas. Duas bolas são selecionadas aleatoriamente da primeira e colocadas na segunda urna. Se três bolas são selecionadas casualmente da segunda urna, qual o número esperado de bolas brancas entre estas três?

45. Um bandido é preso em uma cela que contém 3 portas. A primeira porta o leva a um túnel que o conduz à própria cela depois de 2 dias de viagem. A segunda porta leva-o a um túnel que o conduz à própria cela depois de 4 dias de viagem. A terceira porta o conduz à liberdade depois de um dia de viagem. Se assumirmos que o bandido seleciona as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0.5, 0.3 e 0.2 respectivamente, qual o número esperado de dias para que alcance a liberdade?

46. Considere uma urna contendo um grande número de moeda e suponha que cada uma das moedas tem alguma probabilidade p, 0 < p < 1, de resultar cara quando lançada. Contudo este valor p varia de moeda para moeda. Suponha que a composição da urna é tal que se uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna, então sua probabilidade de cara, p, pode ser considerada como sendo o valor de uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0; 1]. Se uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna e lançada duas vezes calcule a probabilidade de que o primeiro lançamento resulte em cara. Calcule a probabilidade de que os dois lançamentos resultem em cara.

47. Lança-se uma moeda equilibrada até observar 100 caras. Determine a probabilidade aproximada de que sejam necessários, no mínimo, 221 lançamentos.

48. Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas amostras aleatórias de tamanhos 3 e 3 são retiradas da urna, sucessivamente e sem reposição. Seja X o número de bolas brancas na primeira amostra e Y o número de bolas brancas na segunda amostra. Calcule E[Y ].

49. O submarino Malik I dispara cinco torpedos, em cadência rápida, contra o navio Pégaso. Cada torpedo tem probabilidade iguala 75% de atingir o alvo. Qual a probabilidade de o navio receber pelo menos um torpedo?

50. A probabilidade de recuperação de uma cápsula registradora de dados, montada em um balão meteorológico, é iguala 90%. Lançados sete balões, qual a probabilidade de serem recuperadas exatamente cinco cápsulas ?

51. A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 2 %. Para um par de sapatos ser rejeitado pelo controle de qualidade basta que um dos pés, direito ou esquerdo, apresente defeito. Numa partida de 10.000 pares, qual o valor esperado e o desvio-padrão do número de pares totalmente defeituosos?

52. Certa empresa fabricante de artigos para desenho resolveu inserir em seus produtos determinados tipos de lápis, cujos grafites são importados. Esses grafites vêm acondicionados em embalagens contendo seis unidades cada. Após a primeira remessa recebida, verificou-se que 3% deles são recebidos com quebra. Calcular a probabilidade de:

a. menos da metade dos grafites de certa caixa apresentarem defeitos;b. no mínimo três caixas, de um grupo de oito, apresentarem um grafite

quebrado.

53. Uma organização de testes deseja avaliar o peso de determinado produto e verificar se está de acordo com as especificações da embalagem. Para tal, seleciona, aleatoriamente, uma amostra de cinco embalagens do mesmo produto no estoque e classifica a marca satisfatória se nenhum dos produtos apresentar diferenças entre peso versus especificação da embalagem nessa amostra. Sabe-se que, anteriormente, esse mesmo produto apresentou uma diferença no peso de 10% por unidade produzida. Calcular a probabilidade de que:

a. o seu peso venha a ser considerado novamente insatisfatório na amostra;b. no máximo, uma amostra, de um grupo de seis amostras desse produto,

venha a ser considerado satisfatório;c. apenas duas amostras, do mesmo grupo de seis, tenha no mínimo dois

produtos com pesos diferentes das especificações por amostra.

54. Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de determinada cidade assiste regularmente à televisão. Colocando 300 pesquisadores, sendo que cada um possa entrevistar 10 pessoas diariamente, fazer uma estimativa de quantos desses pesquisadores informarão que até 50% das pessoas entrevistadas são realmente telespectadoras habituais.

55. Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 20%,

determinar a média e o desvio-padrão da distribuição de peças defeituosas de um

total de 600.

56. Determinada empresa tem quatro eventuais compradores de seu produto, que

pagam preços em função da qualidade:

• o comprador A paga 1.300 dólares por peça, se em uma amostra de cinco peças

não encontrar nenhuma defeituosa e 650 dólares pelo restante;

• o comprador B paga 900 dólares por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em cinco peças, pagando pelo restante 700 dólares;

• o comprador C paga 620 dólares por peça, aceitando até três defeituosas em

uma amostra de cinco, e paga pelo restante 430 dólares;

• o comprador D não exige nenhuma inspeção, mas paga apenas 540 dólares por

peça.

Qual dos compradores não deveria ser escolhido pelo empresário, se ele sabe

que na produção 8% são totalmente defeituosas?

57. A Empresa Spelunke S.A. adota o seguinte critério no setor de controle de qualidade: para cada lote de 90 unidades de seu produto, testa, por amostragem, apenas oito. O critério de avaliação final é feito da seguinte maneira: se forem encontradas no máximo duas peças defeituosas, o lote é aceito normalmente, caso contrário, deve-se passar por outra inspeção. Admitindo-se a existência de três peças defeituosas por lote, calcular:a. a probabilidade de não haver inspeção total em certo lote;b. a probabilidade de somente dois lotes, de um grupo de cinco lotes iguais, apresentarem, no máximo, uma peça defeituosa por lote;c. se o custo operacional para cada lote for de 600 dólares, estimar o custo médio de inspeção para 60 lotes recebidos.

58. Dois terços da população de certo município não assistem regularmente a programas de televisão. Colocando-se 400 pesquisadores, cada um entrevistando oito pessoas, estimar quantos desses pesquisadores informarão que até duas pessoas são telespectadoras habituais.

59. O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é 1,7 carro por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos?

60. Uma pesquisa científica revelou que para cada mil pessoas entrevistadas, uma está sujeita a choques traumáticos, quando da aplicação de penicilina. Determine

a probabilidade de que, entre três pessoas entrevistadas ao acaso, uma sofra aquele choque nas mesmas condições.

61. Sabe-se por experiência que 1,5% das pastilhas de freio fabricadas por determinada empresa apresentam defeito. O controle de qualidade da empresa, para tal, escolheu, ao acaso, cem peças de pastilhas. Determinar a probabilidade de que:a. no máximo duas sejam defeituosas;b. pelo menos duas apresentem defeitos.

62. Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página editada com erro igual a 0,8%. Em um livro de 500 páginas, determinar a probabilidade de se encontrar, no máximo, quatro páginas com correção.

63. Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo, três caminhões por dia. Se chegarem mais que três caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor, e, nesse caso, há uma perda média de 800 dólares, por dia, em que não se pode aceitar todos caminhões. Sabendo-se que o número de caminhões que chegam diariamente obedece à distribuição de Poisson de média 2, calcular:a. a probabilidade de chegarem de três a cinco caminhões no total de dois dias;b. a probabilidade de, em certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro distribuidor;c. a perda média mensal (30 dias) por causa de caminhões que não puderam ser aceitos.

64. Ao decolar de um porta-aviões, determinado avião tem probabilidade igual a 0,02% de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade. de dois ou mais acidentes dessa natureza em 500 decolagens?

65. Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se que a nova remessa só chegará depois de dois dias. Qual a probabilidade de, no fim desses dois dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, às pessoas que vierem comprar?

66. O número de rádios vendidos por dia por uma empresa de eletrodomésticos possui uma distribuição aproximadamente de Poisson com média 2. Calcule a probabilidade de a firma vender, ao menos, três rádios num período de dois dias.

67. Dada a distribuição normal N(10,25), calcular as probabilidades:a. P( X > 4); c. P(X = 10);b. P( 5 X 15); d. P(0 X 20).

69. Impostos pagos por uma grande amostra de contribuintes distribuem-se normalmente de tal forma que 30% são inferiores a U$ 1.200,00 e 10% são superiores a US$ 3.000,00. Pede-se determinar o imposto médio.

70. No engarrafamento do refrigerante Ki Kola, a quantidade de líquido colocada na garrafa é uma variável de média 292 cm3 e desvio-padrão 1,1 cm3. Garrafas com menos de 290 cm3 são devolvidas para completar o enchimento. Calcular qual a porcentagem de garrafas devolvidas.

71. Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso que se distribuem com um desvio-padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio desses pacotes para que apenas 10% deles tenham menos que 500 g?

72. Uma peça cromada resiste a um ensaio de corrosão por três dias, em média, com desvio-padrão de cinco horas.Pede-se calcular:a. a probabilidade de uma peça resistir menos que 3,5 dias; b. a probabilidade de uma peça resistir entre 60 e 70 horas; c. sabendo-se que 10% das peças resistem menos que certo valor, determiná-lo.

73. Numa distribuição normal, 30% dos elementos são menores que 45 e 10% são maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição (média e desvio-padrão).

74. O consumo de gasolina por km rodado, para certo tipo de carro, em determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal de média 100 ml e desvio-padrão 5 ml. Pede-se calcular a probabilidade de:a. um carro gastar de 95 a 110 ml;b. em um grupo de seis carros, tomados ao acaso, encontrarmos três carros que gastaram menos que 95 ml;c. idem, todos terem gasto menos que 110 ml.

75. Para uma família de certo status econômico, as despesas alimentação (A), educação (E), saúde (S) e habitação (H), bem como os desvios padrões, estão mostrados na tabela a seguir:

76. Certo produto tem peso médio de 10 g, com desvio-padrão de 0,5 g. Ele é embalado em caixas de 120 unidades que pesam, em média 150 g e desvio-padrão 8 g. Determine a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que 1.370 g.

77. Para n fixado, a variância de uma distribuição binomial B(n,p) é apenas função de p. Mostre, então, que a variância é máxima para p = 0,50.

78. Pequenos defeitos em folhas de compensado ocorrem ao acaso na média de uma falha por metro quadrado. Determine a probabilidade de que uma folha de 1,50 m x 2,20 m apresente no máximo duas falhas.

79. A voltagem média de uma bateria é de 15,0 volts, com desvio-padrão de 0,2 volts. Qual a probabilidade de quatro dessas baterias ligadas em série terem uma voltagem combinada maior que 60,8 volts?

80. Uma máquina produz esferas metálicas cujo diâmetro D (medido em mm) é uma variável aleatória aproximadamente normal de valor esperado 9 mm e desvio-padrão 0,35 mm. Toda esfera produzida é testada em dois calibres: um de 9,5 mm e o outro de 8,5 mm, sendo aceito pelo controle de qualidade se passa pelo maior e não passa pelo menor, caso contrário é rejeitado. Escolhidas duas esferas, qual a probabilidade de pelo menos uma ser rejeitada?

81. Se 3% das canetas de certa marca são defeituosas, determinar a probabilidade de que em uma amostra de 10 canetas escolhidas ao acaso desta mesma marca, tenhamos:a. nenhuma defeituosa;b. três defeituosas;c. pelo menos duas defeituosas;d. no máximo três defeituosas.

82. Determinado atacadista verificou, estatisticamente, que metade de seus clientes solicita que os pedidos sejam entregues em domicílio e outra metade vai retirar diretamente seus pedidos no depósito. Para fazer frente aos crescentes pedidos, o comerciante adquire três veículos, recebendo em média cinco pedidos de entrega diária. Qual a probabilidade de o comerciante não poder atender aos pedidos de entregas domiciliares?

83. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se formar é 9,5%. Determinar a probabilidade de que entre seis estudantes escolhidos aleatoriamente:

a. nenhum se forme; b. pelo menos 1 se forme c. todos se formem

84. O Supermercado Vende Tudo Ltda. recebe, em média, quatro pedidos diários de um produto perecível. O preço de custo é de 30 dólares por unidade, o preço de venda é de 90 dólares por unidade, e o produto não vendido no dia é devolvido, conseguindo-se 40 dólares por unidade. Estudar, em termos de lucro médio diário, qual o melhor contrato de compra que deve o supermercado optar: quatro ou cinco unidades por dia.

85. Um teste de múltipla escolha consiste de 100 quesitos, cada um deles com quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. Um estudante é submetido ao leste. Se ele conhece as respostas corretas de 20 quesitos e para responder os restantes apela para a sorte, qual é a probabilidade de ele acertar entre 45 e 50 quesitos no total?

86. O tempo de vida de transistores produzidos pela Indústria Zeppelin Ltda. tem distribuição aproximadamente normal, com valor esperado e desvio-padrão igual a 500 horas e 50 horas, respectivamente. Se o consumidor exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificação é atendida. Justifique!

87. As chegadas de automóveis a um posto de gasolina, para abastecimento, entre 1Oh00 e 16h00, ocorrem de acordo com os postulados de Poisson. Se no transcurso de tal período apresentam-se por hora uma média de 30 automóveis, qual a probabilidade de nenhum se apresentar em certo intervalo de cinco minutos?

88. O Departamento de Atendimento da Empresa Mondubim Ltda. está dimensionado a poder atender, no período diário normal, a até cinco pedidos de clientes; se chegarem mais que cinco pedidos, o pessoal deve recorrer a horas extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o número de pedidos que chegam diariamente são distribuídos segundo Poisson de média 4,2 pedidos, calcular:a. a probabilidade de se ter que fazer horas extras em certo dia;b. sendo o custo diário de horas extras de US$ 4.500, qual será o custo médio semanal em virtude das mesmas? Considerar semana de seis dias.

89. A Companhia de Aviação Mary Posa pode acomodar 300 passageiros em um de seus aviões: 30 na primeira classe e 270 na classe econômica. Se essa companhia reservar 30 lugares na primeira classe e 290 na classe econômica e se a probabilidade de não comparecimento de quem faz uma reserva for de 10%, pede-se a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem sejam acomodados, se os lugares da primeira classe puderem ser usados pelos passageiros de turismo.

90. Uma distribuição binomial possui média igual a 3 e variância 2. Calcule P(X > 2).

91. Considere X a importância em dinheiro que podemos receber de prêmio em um certo jogo de azar. Se para participar do jogo temos de pagar a quantia de US$ 4,00, pede-se determinar o ganho esperado, supondo E(X) = US$ 3,00.

92. Considere a distribuição de probabilidades:

X -1 0 1P(X) 0,375 0,25 0,375

Determine

93. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e desvio-padrão de 0,5 g. Essas peças são acondicionadas em pacotes de uma dúzia cada.

As embalagens pesam em média 30 g com desvio-padrão de 1,2 g. Determinar a média e o desvio-padrão do peso total do pacote.

94. A Transportadora Yuki Ltda. possui uma frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:

X 00 01 02 03 04P(X) 10 20 30 30 10

Pede-se calcular:a. o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio-padrão;b. a média e o desvio-padrão do lucro diário, sabendo-se que:

o valor do aluguel por dia é da ordem de US$ 300; a despesa total diária com manutenção de cada veículo é iguala US$ 140,

quando este é alugado no dia, e de US$ 15 quando tal fato não acontece.

95. Uma fábrica de automóveis deve enviar peças pesadas de seu equipamento para sua fábrica de montagem na cidade de Marimbá.

Sabe-se que:• as peças podem ser enviadas por via aérea ou via marítima;• o custo por via aérea é geralmente mais alto, porém há a possibilidade de haver greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peças a Marimbá.

A matriz de custo, expressa em US$, é dada por:

Decisão Com Greve Sem GreveEnviar por Avião 2.000 2.000Enviar por Navio 6.000 1.000

a. Se a probabilidade de acontecer uma greve é estimada em 40%, qual a toma de decisão que minimizaria os custos esperados?b. Até que valor de probabilidade de greve ainda é mais vantajoso o envio por via aérea?

96. O número de residências que um posto de Corpo de Bombeiros pode atender depende da distância r (número de quarteirões) pelo qual uma mangueira pode se estender durante certo período (fixo) de tempo. Suponha que seja proporcional à área de um círculo de raia r (quadras em prédios), com centro nessa companhia de Corpo de Bombeiros:

onde é uma constante e r, unia variável aleatória relativa ao número de quadras

pelas quais a mangueira pode estender-se em determinado período de tempo

Para certo batalhão de bombeiros com , a distribuição de probabilidades de

r é a indicada na tabela a seguir, onde P(r) = 0 para qualquer r 20 ou r 27.

r 21 22 23 24 25 26P(r) 0,05 0,15 0,35 0,25 0,15 0,05

Calcule o valor esperado para o número de residências que podem ser atendidas por esse posto de Corpo do Bombeiros.

97. A Companhia Security Ltda. transporta .seus produtos utilizando dois tipos de containers: um do tipo A com dimensões de 8 x l0 x 30 m e outro do tipo B medindo 10 x 12 x 35 m. Se 40% de seu transporte forem efetuados em container do tipo A e o restante em container do tipo B, qual será o volume médio transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre cheios.

98. Uma caixa contém três bolas brancas e uma bola vermelha. Alexandra vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir a bola vermelha. Seja Y o número de tentativas que serão necessárias para encontrar a bola vermelha. Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Encontre a esperança e a variância de Y.

99. Se X é uma variável aleatória com variância , mostre que:

a. tem o mesma variância de X;b. tem variância

100. Mostre que em uma série de lançamentos do tipo cara ou coroa a esperança matemática do número de caras antes do aparecimento da primeira coroa é dada

por onde p e a probabilidade associada à probabilidade de ocorrer cara e q = 1-

p.

101. Tita e Niki vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. Eles combinam lançar a moeda cinco vezes e vence a disputa aquele que ganhar em três ou mais lançamentos. Cada um aposta US$ 56. Feitos os dois primeiros lançamentos, em ambos os quais Tita vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico, de que forma devem ser repartidos os US$ 112?

102. Seja uma variável aleatória que assume valores em 1, 0 e -1, com P(X = 0) = 1/5.Mostre que -1/2 E(X) 1/2.

103. Seja > 0 o desvio-padrão de uma variável aleatória X. Dada uma constante real , mostrar que e satisfazem a relação da forma , onde é uma constante real. Qual o valor de ?

104. A Profa. Rose está querendo ouvir uma melodia que sabe que está gravada em uma das oito faixas de um disco. Como não sabe em qual das faixas está a melodia gravada, ela experimenta a 1a. faixa, depois a 2a., e assim sucessivamente, até encontrar a melodia procurada. Qual o número médio e o desvio-padrão do número de faixas que deverá tocar até encontrar a melodia procurada?

105. Um vendedor adquire uma revista por US$ 0,50 e vende ao preço de US$ 1,00. Todas as revistas empatadas do final do mês são vendidas como papel velho, proporcionando ao vendedor a quantia de US$ 0,10 por revista. Determine o pedido mais econômico, calculando o lucro médio esperado para cada alternativa, baseado na distribuição de probabilidades para cada demanda mensal dessa revista.

Quantidade mensal solicitada

Probabilidade de venda

100 0,30120 0,30140 0,20160 0,10180 0,10

106. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar 30 dólares por dia, caso contrário pode perder 6 dólares. Determinar a esperança de ganho mensal (30 dias), sabendo-se que a probabilidade de chuva é da ordem de 30%.

107. Uma variável aleatória X assume valores 0, 1, 2, 3,..., n, com probabilidade constante dada por:

Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor esperado seja igual a sua variância.

108. Uma urna contém bolas brancas e pretas, em proporções respectivas p e q = 1 - p, onde 0 < p < 1. Dela, efetuamos extrações sucessivas, com reposição. Seja Y a variável aleatória igual ao número de extrações necessárias, até a obtenção da primeira bola branca. Pede-se calcular:a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;b. E(Y);c. Var(Y).

109. Seja L uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores compreende apenas dois pontos: 0 e 1. Mostre que:Var(L) = 0,25

110. Calcular a média e o desvio-padrão da soma dos pontos obtidos no jogo de dois dados honestos.

111. O fundo de investimento Alpha Ltda. recebe diariamente pedidos de compra de cotas de participação, os quais distribuem-se segundo uma média por pessoa de 2.200 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados diariamente distribuem-se segundo uma média por pessoa de 1.500 cotas. Ao encerrar um dia de trabalho, verificou-se que o número de cotas já adquirido era de 4.500.000 cotas. Sabendo-se que no dia seguinte 25 pessoas irão adquirir cotas e outras 15 irão efetuar resgates e supondo que as compras e os resgates sejam independentes entre si, calcular a média do número de cotas já adquirido pelo fundo ao final desse outro dia.

112. Determine a média e a moda de uma variável aleatória discreta Y, cuja distribuição de probabilidades é dada por:

P(y)=2-y y=1,2,3, ...

113. Seja uma variável aleatória discreta X com: E [(X - 1)]2 = 10 e E [(X - 2)]2 = 6Determine E(X) e Var(X).

114. A Empresa Alpha Ltda. deseja decidir entre dois projetos de investimentos para modernização de sua linha de produção. Os valores mensais para o lucro e os prejuízos dos projetos estão dispostos na tabela a seguir:

Valores em US$ Probabilidade de sucesso

Lucro PrejuízoA 30.000 2.000 pB 25.000 5.000 p

Supondo que os dois projetos foram julgados equivalentes, pede-se determinar com base no valor esperado a probabilidade de sucesso p.

115. Um vendedor de sorvete ganha US$ 20/dia, em média, quando é dia de sol. Caso chova, ele ganha US$ 2/dia. Sabe-se também que, indiferentemente do fato de ter sol ou chuva, ele sempre ganha US$ 12/dia como pintor.

a. Se às 19h00 o homem do tempo diz que temos 60% de probabilidade de chuva para o dia seguinte, deverá ele decidir por vender sorvete ou optar por pintura?

b. Qual deverá ser a probabilidade de chover para que ele decida não vender sorvete?

116. Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possíveis: lucro de US$ 4.000, lucro de US$ 8.000 ou prejuízo de US$ 10.000 com probabilidades iguais a 45%, 55% e 26%, respectivamente. Determine o valor esperado para um investimento potencial.

117. A organização financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitário L, obtido numa operação financeira é dado pela seguinte expressão:

L = 1,9 V - 0,9 C - 4,5

Sabendo-se que o preço de venda unitário V tem uma distribuição de média US$ 50,00 e desvio-padrão de US$ 2,00, e que o preço de custo unitário C tem uma distribuição de média US$ 45,00 e desvio-padrão US$ 1,50, qual é a média e o desvio-padrão do lucro unitário?

118. Um produto tem custo médio de US$ 10,00 e desvio-padrão de US$ 0,80. Calcular o preço de venda médio, bem como seu desvio-padrão, de forma que o lucro médio seja de US$ 4,00 e seu desvio-padrão de US$ 1,00.

119. Existindo E [X(X - 1)] mostrar que existem g = E(X) e a2 = Var(X) satisfazendo à relação:

120. As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias respectivamente iguais a 3 e 1. Determine a variância de X - 2Y sabendo-se que a covariância de X e Y é igual a 1.

121. X é uma variável aleatória para a qual existem = E(X) e = Var(X).

a. Verificar que

b. Mostrar que assume um mínimo para .

122. Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual é a probabilidade de que mais de 30 destes utilize tal produto?

123. Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4 possíveis respostas, das quais apenas 1 é correta. Qual é a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questões de 80 dentre as 200 das quais ele não sabe nada?

124. Um dado honesto é lançado 100 vezes consecutivas.a) Qual é a probabilidade de que em 18 ou mais destes lançamentos ocorra a face 2? b) Qual é a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lançamentos?

125. Uma central telefônica de uma empresa recebe chamadas que tem um tempo (em minutos) distribuído uniformemente sobre o intervalo 0,5 - 5. Supondo que um dos troncos tenha recebido em um determinado dia 104 chamadas, calcule a probabilidade de que o tempo de utilização do tronco tenha ultrapassado 3,5 horas.

126. Em uma linha de produção certo tipo de eixo apresenta o diâmetro com comportamento uniforme entre 3,5 mm e 3,8 mm.a) Qual é a porcentagem de eixos com diâmetro superior a 3,7 mm? b) Qual é o diâmetro esperado para este tipo de eixo? c) Se a aplicabilidade deste tipo de eixo exigisse um diâmetro de no máximo 3,72 mm, poderíamos considerar que esta linha de produção apresenta 80% dos eixos produzidos atendendo esta exigência? d) Considerando que um eixo apresenta seu diâmetro superior a 3,7 mm, qual é a probabilidade de que o diâmetro seja menor do que 3,75 mm?

127. Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.a) Determinar a probabilidade de que a primeira falha ocorra após 3 horas de trabalho. b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho?

128. Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida médio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.a) Qual é o percentual de lâmpadas com durabilidade superior a 100 meses? b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da produção?

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1. Suponha os escores z distribuídos normalmente com média 0 e desvio-padrão 1.

Se P(0 < z < a) = 0,3212, determine a. Se P(-b < z < b) = 0,3182, determine b. Se P(z > c) = 0,2358, determine c. Se P(z > d) = 0,7517, determine d. Se P(z < e) = 0,4090, determine e.

2. Para uma distribuição normal padronizada, determine a percentagem dos dados que estão

a menos de 1 desvio-padrão da médiaa menos de 1,96 desvios-padrão da médiaentre - 3 e + 3entre 1 desvio-padrão abaixo da média e 2 desvios-padrão acima da média.a mais de 2 desvios-padrão de distância da média

3. Na Fórmula 5-1, com = 0 e = 1, e aproximando e por 2,7 e por 2,5, obtemos

4. No estudo de um conjunto de dados, a construção de um histograma revela que a distribuição é aproximadamente normal; constrói-se um boxplot com os seguintes valores de quartis: Q1= 62, Q2 =70, Q3 = 78. Calcule o desvio-padrão.

5. Um professor dá um teste e obtém resultados distribuídos normalmente com média 50 e desvio-padrão 10. Se as notas são atribuídas segundo o esquema a seguir, determine os limites numéricos para cada conceito:

A: 10% superioresB: Notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10% superiores C: Notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superioresD: Notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superioresF: 10% inferiores

6. De acordo com os dados da College Entrance Examination Board (Comissão de Exame Vestibular), a nota média do SAT de matemática é 475 e 17,0% das notas estão acima de 600. Determine o desvio-padrão e use o resultado para achar o 99º

percentil. (Admita que as notas sejam distribuídas normalmente.)

7. A Comissão de Exame Vestibular escreve que "para os Testes SAT, em dois terços das vezes, sua nota deve estar em um intervalo de 30 pontos acima ou abaixo de sua capacidade efetiva. Este intervalo é chamado erro-padrão da mensuração (SEM = standard error of measurement)." Use esta afirmação para

estimar o desvio-padrão das notas de um indivíduo em um tal teste. (Admita que as notas tenham distribuição normal.)

8. Seja X normalmente distribuída com média = 100 e desvio padrão = 7 (daqui a diante indicaremos tal distribuição como X ~ N(100;7) ). Determinar:a. P(X = 80)b. P(X > 100)c. P X( ) 95 5

d. P X( 100 10

9. Dado que X é uma variável aleatória normal com média = 10 e P(X > 12) = 0,1587, qual é a probabilidade de que X esteja incluído no intervalo (9,11) ?

10. Os pesos de certos produtos em quilogramas são normalmente distribuídos com média = 180 e desvio padrão 2 = 4. Se uma unidade deste produto é escolhida aleatoriamente, qual é o peso desta unidade se a probabilidade de ocorrência:

a. De um peso maior é igual a 0,10?b. De um peso menor é igual a 0,05?

11. Se W é uma variável aleatória normal e se P(W < 10) = 0,8413 e P(W < -10) = 0,0668, qual é E(W) e V(W) respectivamente ?

12. Há dois procedimentos para possibilitar que um determinado tipo de avião esteja pronto para a decolagem. O procedimento A requer um tempo médio de 27 minutos com desvio padrão de 5 minutos. Para o procedimento B, = 30 e = 2 minutos, respectivamente. Qual procedimento deve ser utilizado se o tempo disponível é de 30 minutos? 34 minutos?

13. Uma centena de estudantes realizou um teste no qual o escore médio foi de 73 com uma variância de 64. Um grau A foi dado para quem obteve um escore de 85 ou mais. Quantos As foram obtidos aproximadamente, assumindo que os escores São normalmente distribuídos? (escolha o mais próximo)

1. 42 2. 7 3. 58 4. 5 5. 22

14. Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio padrão 20, ache K tal que a probabilidade de que um valor amostral seja menor do que K é 0,975.

a. 239 b. 204 c. 210 d. 215 e. 220 f. 230 g. 239 h. 250

15. A distribuição do tempo de vida de certo tipo de lâmpada elétrica é normalmente distribuída com média de 1000 horas e um desvio padrão de 100 horas. Ache o 33º Percentil da distribuição de tempo de vida. a. 560b. 330c. 1044d. 1440e. nenhuma das anteriores

16. O valor de Z correspondente ao 52º percentil é: a. 2,06 b, 2,05 c, 1,99 d, 0,48 e, 0,05

17. Pr(Z > +1.96 ou Z < -1.65) é

1) 0,025 2) 0,05 3) 0,0745 4) 0,0495 5) Nenhuma das anteriores

18. Em uma distribuição normal com média 3 e variância 49, quais são o limite superior e inferior para os 50 % dos dados centrais?

a. -29,83 e 35,83 b. -1,31 e 7,69 c. -1,69 e 7,69 d. 3,00 e 24,00 e. nenhuma das anteriores

19. Os prazos de substituição de aparelhos de TV têm distribuição normal com média de 8,2 anos e desvio-padrão de 1,1 ano (com base em dados do "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um aparelho de TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição inferior a 7,0 anos.

20. Os prazos de substituição para CD players têm distribuição normal com média de 7,1 anos e desvio-padrão de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things

Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um CD player escolhido aleatoriamente ter um prazo de substituição inferior a 8,0 anos.

21. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências tenham distribuição normal com média de 9,4 lb e desvio-padrão de 4,2 lb (com base em dados do Garbage Project da Universidade do Arizona), determine a probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 lb e 8,0 lb de papel em uma semana.

22. Com base nos resultados amostrais do Conjunto de Dados 2 do Apêndice B, suponha que as temperaturas do corpo humano tenham distribuição normal com média de 98,20º F e desvio-padrão de 0,62º F. Definindo como febre uma temperatura acima de 100º F, que percentagem de pessoas normais e sadias pode ser considerada como tendo febre? Essa percentagem sugere que o limite de 100º F é apropriado?

23. Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em uma carta a Dear Abby, em que uma esposa alegava ter dado a luz 308 dias após uma rápida visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. Com base nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. Que é que o resultado sugere?

24. Os prazos de duração da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. Definindo corno prematura uma criança nascida com ao menos três semanas de antecipação, qual a percentagem das crianças, nascidas prematuramente? (Essa informação é importante para os administradores de hospitais, que devem providenciar para ter à mão o equipamento necessário para atender às necessidades especiais dos prematuros.)

25. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em média 11,4 minutos no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distribuição normal com desvio-padrão de 1,8 min. Escolhido um homem aleatoriamente, determine a probabilidade de ele gastar ao menos 10,0 min no chuveiro.

26. De acordo coma International Mass Retail Association, as jovens com idade entre 13 e 17 anos gastam em média $31,20 em compras cada mês. Suponha que as importâncias desses gastos tenham distribuição normal com desvio-padrão de $8,27. Selecionada aleatoriamente uma jovem naquela faixa etária, qual é a probabilidade de ela gastar entre $35,00 e $40,00 em um mês?

27. Os escores de QI têm distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 15. A Mensa é uma organização para pessoas com QI elevado, e a admissão exige um QI superior a 131.5.a. Escolhida aleatoriamente uma pessoa, determine a probabilidade de ela

satisfazer aquela exigência da Mensa.

b. Em uma região típica de 75.000 habitantes, quantos serão candidatos à Mensa?

28. Um subfornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos de cerâmica, utilizados para transmitir sinais entre chips de silício para computador. As especificações exigem uma resistência entre 1,500 ohm e 2,500 ohms, mas a população tem resistências distribuídas normalmente com média de 1,978 ohm e desvio-padrão de 0,172 ohm. Que percentagem dos substratos de cerâmica foge às especificações do fabricante? Esse processo de fabricação parece estar funcionando bem?

29. Os níveis de colesterol sérico em homens entre 18 e 24 anos de idade têm distribuição normal com média de 178,1 e desvio-padrão de 40,7. Todas as unidades são em mg/100 mL, e os dados se baseiam no National Health Survey. Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a probabilidade de seu nível de colesterol sérico estar entre 200 e 250.

30. Analisam-se medidas de crânios humanos de diferentes épocas, para determinar se variam com o tempo. Mede-se a largura máxima de crânios de homens egípcios que viveram por volta de 3300a.C. Os resultados mostram que essas larguras têm distribuição normal com média de 132,6 mm e desvio-padrão de 5,4 mm (com base em dados do Ancient Races of the Thebaid, por Thomson e Randall-Maciver). Um arqueólogo descobre o crânio de um homem egípcio e a medida revela uma largura máxima de 119mm.Determine a probabilidade de obter o valor 119 mm ou menos para um crânio, selecionado aleatoriamente, do período de 3300 a.C. É provável que o crânio recentemente encontrado seja daquela época?

31. 0 Corpo de Fuzileiros Navais da Marinha dos EUA exige homens com altura entre 64 in. e 78 in. Determine a percentagem dos homens que satisfazem essa exigência. (0 National Health Survey mostra que as alturas dos homens têm distribuição normal com média de 69,0 in. e desvio-padrão de 2,8 in.)

32. As máquinas "caça-níqueis" são fabricadas de modo que seus proprietários possam ajustar os pesos das moedas que são aceitas. Se são encontradas muitas moedas falsificadas, faz-se um ajuste para rejeitar mais moedas, com o efeito de que a maioria das moedas falsificadas é rejeitada juntamente com muitas moedas legítimas. Suponha que as moedas tenham pesos distribuídos normalmente com média de 5,67 g e desvio-padrão de 0,070 g. Se uma máquina "caça-níqueis" é ajustada para rejeitar moedas que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g, qual é a percentagem de moedas legítimas rejeitadas?

33. Uma centena de estudantes fazem um teste no qual o valor médio foi 73 e a variância foi 64. Um grau A é dado para todo estudante que tiver nota igual ou superior a 85. Aproximadamente quantos A’s ocorreram assumindo distribuição normal?

34. Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio-padrão 20, ache K de forma que a probabilidade de que um valor amostral menor do que K seja 0,975.

35. A distribuição dos tempos de vida de certo tipo de bulbo de lâmpada é normalmente distribuída com uma média de 1000 horas e um desvio-padrão de 100 horas. Ache o 33º percentil da distribuição de tempos de vida.

36. Assuma que as notas de 600 estudantes são normalmente distribuídas com uma média de 76 e um desvio-padrão de 8. Qual é o número de estudantes com notas entre 70 e 82?

37. Considere uma distribuição normal com µ = 67 e σ2. Se cada valor é aumentado de 7 pontos, que percentagem dos novos valores é menor do que 74?

38. Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 40 e desvio padrão igual a 3. Determine os valores de X para os seguintes valores de Z:a) 0,10 b) 2,00 c) 0,75 d) –2,53 e) –3,00 f) –3,20

39. Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 50 e desvio padrão igual a 5. Determine os percentuais de valores de X que estão em cada um dos seguintes intervalos:a) P(40 < X < 50) b) P(49 < X < 50) c) P(40 < X < 45) d) P(56 < X < 60) e) P(40 < X < 65) f) P(45 < X < 55)

40. Suponha que o escore dos estudantes no vestibular seja uma variável aleatória com distribuição normal com média 550 e variância 900. Se a admissão em certo curso exige um escore mínimo de 575, qual é a probabilidade de um estudante ser admitido? E se o escore mínimo for 540?

41. Você pode escolher entre 2 empregos. Em uma indústria seus ganhos mensais terão distribuição normal com média de $4000 e desvio padrão de $500. Como vendedor de uma firma seus ganhos mensais terão distribuição normal com média de $3200 e desvio padrão de $2600.a) Você ganha atualmente (salário fixo) $3500. Qual é a probabilidade de ganhar mais nos dois possíveis empregos? b) Com base no resultado do item a, qual dos dois empregos você escolheria?

42. Existe um processo para fabricação de eixos que apresenta comportamento praticamente normal com média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm2.a) Qual é o percentual de eixos produzidos com diâmetro superior a 3,05 mm? b) Se o diâmetro deverá ter no mínimo 3,04 mm e no máximo 3,08 mm, e se o custo por eixo é de $1,2 e é vendido por $5, e que eixos produzidos ou muito largos ou muito estreitos são perdidos, qual é o lucro esperado numa produção de 100 eixos?

43. Sabe-se que a precipitação anual de chuva em certa localidade, cuja altura é medida em cm, é uma variável aleatória normalmente distribuída com altura média igual a 29,5 cm e desvio padrão de 2,5 cm de chuva.a) Qual é altura de chuva ultrapassada em cerca de 5% das medições? b) Se em mais de 45% das vezes a altura de chuva ultrapassar 32 cm torna-se viável a instalação de um sistema para coleta e armazenamento de água da chuva (como complemento à atual malha de abastecimento). É viável instalar o sistema na localidade?

44. Uma empresa produz televisores a garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave, no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A- comum e do tipo B- Luxo, com um lucro respectivo de $1000 e $2000 caso não haja restituição, e com um prejuízo de $3000 e $8000 se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente com médias de 9 meses e 12 meses, e variâncias de 4 meses2 e 9 meses2. Se você tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?

45. Um professor aplica um teste e obtém resultados distribuídos normalmente com média 50 e desvio padrão 10. Se as notas são atribuídas segundo o esquema a seguir, determine os limites numéricos para cada conceito:A: 10% superiores; B: notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10% superiores; C: notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superiores; D: notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superiores; E: 10% inferiores Sugestão: faça um desenho da distribuição normal com os percentuais (áreas).

46. O tempo de vida de um determinado componente eletrônico distribui-se normalmente com média de 250 horas e variância de 49 horas2. Você adquire um destes componentes.a) Qual é a probabilidade de que seu tempo de vida ultrapasse as 260 horas? b) Qual deveria ser o prazo de garantia para estes componentes para que o serviço de reposição atendesse a somente 5% dos componentes adquiridos? 18).

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL E AMOSTRAGEM

1. Suponha que os dividendos anuais de quatro ações sejam respectivamente $ 2,00, $ 4,00, $ 6,00 e $ 8,00. Deduza a distribuição amostral de X considerando as seguintes hipóteses :

1. tamanho amostral n = 2.2. método de amostragem: amostragem aleatória simples com reposiçãoPara a distribuição amostral deduzida de X , verifique por demonstração que

a. E( X ) = b. V( X ) = 2 /nc. Se a amostragem for sem reposição deduza a distribuição de X e demonstre

que E( X ) = e V( X ) = n

N n N

( ) / ( )1

d. Se a amostragem fosse realizada com reposição, qual é o valor de V( X )?

2. Uma população consta de 4 números: 3, 7, 11 e 15. Considerar todas as amostras possíveis que podem ser retiradas com reposição. Determinar: a) a média populacional; b) o desvio padrão da população; c) a média da distribuição amostral das médias; d) o desvio padrão da distribuição amostral das médias. Verificar (c) e (d) diretamente e por meio de (a) e (b) através das fórmulas apropriadas.

3. Certas válvulas fabricadas por uma companhia têm uma vida média de 800 horas e desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter a vida média: (a) entre 790 e 810 horas; (b) inferior a 785 horas. Para realizar esses cálculos, o que é necessário supor? Explique a razão de sua afirmativa.

4. De acordo com o exercício 8. Se for tomada uma amostra de 64 válvulas, como será resolvido? Explicar a diferença.

5. Os pesos de fardos recebidos por um depósito têm média de 150 kg e um desvio padrão de 25 kg. Qual é a probabilidade de 25 fardos, recebidos ao acaso e carregados em um elevador, não exceder o limite específico desse último , que é de 4100 kg ? Neste caso, para a solução do problema, é necessário especificar a forma da distribuição estatística (função densidade de probabilidade) dos pesos dos fardos na população ?

6. Questão teórica. Demonstre que s

X X

n

ii

n

2 1

2

( )

é um estimador viesado

para a variância populacional

2 1

2

( )X

N

ii

N

, onde n é o tamanho da amostra

e N é o tamanho da população. Calcule o valor do viés. O que ocorre com esse valor quando n tende ao infinito. (Lembrar que um estimador de um parâmetro

é dito não viesado se E[ ] =

7. Questão teórica

a. Enuncie o Teorema do Limite Central e o interprete da melhor forma possívelb. O que é considerado população finita (e infinita) para fins estatísticos ?

b. Assinale as condições em que é necessário realizar a correção de população finita, justificando a resposta:

quando a população é infinita, não importando se a amostragem é feita com ou sem reposição

quando a população é finita, não importando se a amostragem é feita com ou sem reposição

quando a população é finita e a amostragem é feita com reposição quando a população é finita e a amostragem é feita sem reposição quando a população é infinita e a amostragem é feita com reposição quando a população é infinita e a amostragem é feita sem reposição quando a população é finita ou a amostragem é feita com reposição existem outras alternativas não enumeradas acima

8. Se é a média de uma amostra extraída de uma distribuição normal com =

10, = 25 e n = 9, então P( > 15) é:

(a) 0,001350 (c) 0,98778 (b) 0,998650 (d) 0,15866

9. Uma amostra aleatória de tamanho 25 é escolhida de uma população com média 7 e variância 4. A média amostral é calculada como 8. Qual é o valor da variável normal padrão (z) correspondente a média amostral?

a. 25 b. 1,25 c. –1,25 d. +2,5 e. nenhuma das anteriores

10. Suponha que para uma amostra de 36 Auxiliares de Enfermagem de diversos hospitais similares, uma avaliação de competência com intervalo entre 0 e 100 foi obtida a partir de um teste clínico. Suponha que a média populacional da avaliação para todas as Auxiliares de Enfermagem destes hospitais foi de 80 e a variância populacional foi de 100. Para uma amostra de 36 Auxiliares de Enfermagem, qual é a probabilidade de que a nota média esteja entre 75 e 80?

a. 0,4987 b. 0,1915 c. 0,5013 d. 0,2287 e. 0,5115

11. Uma companhia fabrica cilindros que tem uma média de 2 polegadas de diâmetro. O desvio padrão dos diâmetros dos cilindros é de 10 polegadas. Os diâmetros de uma amostra de 4 cilindros são medidos todas as horas. A média amostral é usada para decidir se o processo de fabricação está operando satisfatoriamente ou não. A seguinte regra de decisão é aplicada: se diâmetro

médio da amostra de 4 cilindros é maior ou igual a 2,15 polegadas, ou menor ou igual a 1,85 polegadas, interrompe-se o processo.

a. Qual é a probabilidade de parar o processo se a média do processo permanece constante no valor de 2,00 polegadas ?

b. Qual é a probabilidade de parar o processo se a média do processo muda para = 2,10 polegadas ?

c. Qual é a probabilidade do processo continuar operando se a média do processo mudar para = 2,15 polegadas ?

12. Qual (ou quais) das seguintes sentenças descreve “inferência estatística” ?

a. uma sentença verdadeira sobre uma população feita através de uma informação amostral de uma população

b. uma conjectura acerca de uma população feita a partir da informação contida em uma amostra daquela população

c. uma sentença verdadeira acerca de uma amostra feita a partir da informação contida em uma população.

13. Para uma certa população normalmente distribuída, o valor do desvio padrão é conhecido, mas o valor da média é desconhecido. Qual será o efeito de mudanças no tamanho amostral e do grau de confiança no comprimento do intervalo de confiança da estimativa da média populacional?

a. Aumentando o tamanho amostral aumenta o comprimento dado um grau de confiança fixo.

b. Aumentando o grau de confiança reduz o comprimento, dado um tamanho amostral fixo.

c. Aumentando o tamanho amostral reduz o comprimento, dado um grau de confiança fixo.

d. Nenhuma das anteriores.

14. A distribuição das médias de todas as possíveis amostras de tamanho (n) escolhidas de uma população se aproximará de uma curva normal se

a. n é grande o bastante b. a população é grande c. a população é simétrica d. a média de cada amostra é igual a média da população e. nenhuma das anteriores é correta

15. A distribuição amostral das médias de amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma população se aproximará de uma distribuição normal se

a. somente se a população é normalmente distribuída e se n é grande

b. somente se a população é normalmente distribuída não importando o valor

de n

c. se n é grande não importando a forma da distribuição da população

d. não importa o valor de n e não importa a forma da distribuição da

população original

16.Uma amostra no ano de 1989 de 130 mulheres que visitaram um ginecologista em uma determinada universidade do Noroeste dos EUA indicou que 113 tiveram experiência sexual.

a. Assumindo que essas mulheres são uma amostra aleatória simples da população de todas as mulheres daquela universidade, calcule um intervalo de confiança para a proporção da população que é sexualmente ativa.

b. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se 520 mulheres fossem amostradas? (Você não precisa fazer nenhum cálculo) Explique.

c. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se resultassem 73 mulheres com experiência sexual 130 mulheres amostradas? (Você não precisa fazer nenhum cálculo) Explique.

d. Você acha que é razoável assumir que essas mulheres formam uma amostra aleatória? Explique.

17.Não execute nenhum cálculo para responder o seguinte. Explique seu

raciocínio em cada caso.

a. Tres pesquisadores Alex, Bob e Chuck selecionam de maneira independente amostras aleatórias da mesma população. Os tamanhos amostrais são 1000 para Alex, 4000 para Bob e 250 para Chuck. Cada pesquisador constrói um intervalo de confiança de 95 % para a partir de seus dados. A semi-amplitude dos três intervalos são 0,015; 0,031 e 0,062. Relacione cada semi-amplitude com o pesquisador.

b. Cada um dos dois pesquisadores Donna e Eileen selecionam amostras aleatórias de tamanho 1000 de populações diferentes e constróem intervalos de confiança de 95 % para p (a proporção populacional). A semi-amplitude do intervalo de Donna é 0,030 e a de Eileen é 0,025. Dado que as proporções amostrais foram =.20 e  =.40, relacione cada pesquisadora com a sua proporção amostral.

c. Um pesquisador de nome Fran seleciona 100 indivíduos aleatoriamente de uma população, observa 50 sucessos e calcula 5 intervalos de confiança. Os

níveis de confiança são 80 %, 90 %, 95 %, 98 % e 99 % e os cinco intervalos são (0,402 ; 0,598), (0,371 ; 0,629), (0,418 ; 0,582), (0,436 ; 0,564) e (0,384 ; 0,616). Relacione cada intervalo com o seu nível de confiança.

18.Suponha que 80 % de todos os habitantes da Pensilvânia comam Peru no Dia de Ação de Graças. Suponha além disso que você planeja selecionar uma amostra aleatória simples (AAS) de 300 habitantes da Pensilvânia visando determinar a sua proporção que come peru no Dia de Ação de Graças.

a. 80 % é uma parâmetro ou uma estatística? Que símbolo você deve usar para

representá-lo?

b. De acordo com o Teorema do Limite Central, como a proporção amostral de

quem come peru no Dia de Ação de Graças varia de amostra para amostra ?

c. Determine a probabilidade de que menos do que 3 quartos da amostra comam

peru no Dia de Ação de Graças.

d. Seria a resposta a (c) menor, maior ou a mesma se o tamanho amostral de 800

fosse usado? (você não precisa executar o cálculo). Explique.

d. Podemos mostrar que nesse contexto 0.15. Se essa afirmativa não estiver correta escreva uma verdadeira que a substitua. Escreva uma ou duas sentenças explicando para um leigo o que essa afirmativa significa.

19. Os prazos de substituição para CD players têm distribuição normal com média de 7,1 anos e desvio-padrão de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de 45 CD players selecionados aleatoriamente terem prazo de substituição superior a 7,0 anos.

20. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em média 11,4 minutos no chuveiro. Admita que os tempos tenham distribuição normal corri desvio-padrão de 1,8 minuto. Selecionados aleatoriamente 33 homens, determine a probabilidade de que seus tempos no chuveiro tenham média entre 11,0 min e 12,0 min.

21. De acordo com a International Mass Retail Association, as jovens de 13 a 17 anos de idade gastam em compras uma média mensal de $31,20. Suponha que essas importâncias tenham um desvio-padrão de $8,27. Selecionadas aleatoriamente 85 jovens, qual é a probabilidade de que a média de suas compras mensais fique entre $30,00 e $33,00?

22. Para as mulheres na faixa etária de 18 a 24 anos, a pressão sistólica do sangue (em mm Hg) tem distribuição normal com média de 114,8 e desvio-padrão de 13,1 (com base em dados do National Health Survey dos EUA).

a. Selecionada aleatoriamente uma mulher nessa faixa etária, determine a probabilidade de a sua pressão sistólica ser superior a 120.b. Selecionadas aleatoriamente 12 mulheres nessa faixa etária determine a probabilidade de sua pressão sistólica inédia ser superior a 120.c. Dado que a parte (b) envolve uma amostra de tamanho não superior a 30, por que podemos usar o teorema central do limite?

23. As quantidades de precipitação anual rio estado de Iowa aparentam ter distribuição normal com média de 32,473 in e desvio-padrão de 5,601 in. (com base em dados do Ministério de Agricultura dos EUA).a. Escolhido um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de a precipitação anual correspondente ser inferior a 29,000 in.b. Para uma década selecionada aleatorianienle, determine a probabilidade de a média das precipitações anuais ser inferior a 29,000 in.c. Como a parte (b) envolve uma amostra de tamanho não superior a 30, por que podemos aplicar o teorema central do limite?

24. As idades dos aviões comerciais dos EUA têm unia média de 13,0 anos e um desvio-padrão de 7,9 anos (com base em dados do Departamento de Aviação Civil dos EUA). Se a Administração Federal da Aviação seleciona aleatoriamente 35 aviões comerciais para um teste especial de resistência, determine a probabilidade de a idade média desse grupo de aviões ser superior a 15,0 anos.

25. Uma análise dos números de horas por semana que os calouros universitários (nos EUA) dedicam ao estudo acusa média de 7,06 horas e desvio-padrão de 5,32 horas (com base em dados do The American Freshman). Selecionados aleatoriamente 55 calouros, determine a probabilidade de seu tempo semanal médio de estudo exceder 7,00 horas.

26. 0 gerador de números aleatórios de um computador típico produz números com uma distribuição uniforme entre 0 e 1, com média de 0,500 e desvio-padrão de 0,289. Gerados 45 números aleatórios, determine a probabilidade de sua média ser inferior a 0,565.

27. Realizou-se um estudo da utilização de cintos de segurança entre crianças envolvidas em acidentes de automóvel que exigiram hospitalização. Verificou-se que as crianças que não usavam nenhum dispositivo de segurança acusaram uma estada média de 7,37 dias em hospitais, com desvio-padrão de 0,79 dias [com base em dados de "Morbidity Among Pediatric Motor Vehicle Crash Victims: The Effectiveness of Seat Belts" (Morbidade entre Acidentes de Automóvel com Vítimas Infantis: A Eficácia dos Cintos de Segurança), por Osberg e Di Scala, American Journal of Public Health, Vol. 82, No. 3]. Selecionadas aleatoriamente 40 dessas crianças, determine a probabilidade de sua permanência média em hospital ser superior a 7,00 dias.

28. A cidade de Newport tem um serviço de coleta de lixo que acusa sobrecarga se a média do lixo das suas 4872 casas exceder 27,88 Ib em uma semana. Os

pesos totais têm distribuição normal com média de 27,44 Ib e desvio-padrão de 11,46 lb (com base em dados do Projeto do Lixo da Universidade do Arizona). Qual é a proporção de semanas em que o serviço de coleta de lixo acusa sobrecarga? Trata-se de uma situação aceitável, ou devem-se tomar providências para corrigir um problema de sobrecarga no sistema?

29. Os testes verbais SAT têm distribuição normal com média de 430 e desvio-padrão de 120 (com base em dados do College Board ATP). Escolhem-se aleatoriamente testes verbais SAT dentre a população de estudantes que fizerem o curso preparatório na Tillman Training School. Admita que esse curso de treinamento não influa nas notas do teste.

a. Escolhido aleatoriamente 1 estudante, determine a probabilidade de ele ter obtido uma nota superior a 440.b. Selecionados aleatoriamente 100 estudantes, determine a probabilidade de a nota média ser superior a 440.c. Se 100 estudantes da Tillman conseguem uma média amostral de 440, parece razoável concluir que o curso é eficiente porque os estudantes se saem melhor no SAT?

30. As durações da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias.a. Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade de a duração de sua gravidez ser inferior a 260 dias.b. Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta especial a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos de duração de sua gravidez terem média inferior a 260 dias (admitindo que a dieta não produza efeito).c. Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de preocupação para os supervisores médicos?

31. Utilizando uma medida-padrão de satisfação com os salários, um estudo constata que os administradores de universidade têm uma média de 38,9 e um desvio-padrão de 12,4 [com base em dados de "Job Satisfaction Among Academic Administrators" (Satisfação com o Emprego entre Administradores Acadêmicos), por Glick, Research in Higher Education, Vol. 33, No. 5]. Um pesquisador seleciona aleatoriamente 150 administradores de faculdade e mede seus níveis de satisfação com o salário.

a. Determine a probabilidade de a média ser superior a 42,0.

b. Se uma amostra de 150 administradores acusa média de 42,0 ou mais, há razão para crer que essa amostra provenha de uma população com média superior a 38,9?

32. Os bombons M&M têm peso médio de 0,9147 g e desvio-padrão de 0,0369 g (com base em dados do Conjunto de Dados 11 do Apêndice B). Os bombons

M&M usados naquele Conjunto de Dados provêm de um pacote contendo 1498 bombons, e o rótulo do pacote informa que o peso líquido é de 48,0 oz (3 lb), ou 1361 g. (Se cada pacote tem 1498 bombons, o peso médio deve exceder 1361/1498 = 0,9085 g para que o conteúdo líquido pese no mínimo 1361 g )

a. Selecionado aleatoriamente 1 bombom M&M, determine a probabilidade de pesar mais de 0,9085 g.b. Selecionados aleatoriamente 1498 bombons M&M, determine a probabilidade de seu peso médio ser no mínimo de 0,9085 g,c. A vista desses resultados parece que a Mars Company esteja dando aos consumidores de M&M as quantidades indicadas no rótulo?

33. A população de pesos de homens tem distribuição normal com média de 173 lb e desvio-padrão de 30 lb (com base em dados do National Health Survey dos EUA). Um elevador do Clube Masculino de Dallas impõe o 1imite de 32 ocupantes, mas haverá uma sobrecarga se esses 32 ocupantes tiverem peso médio superior a 186 Ib (dando um peso total de (32)(186) = 5952 lb). Se os 32 ocupantes homens resultam de uma seleção aleatória determine a probabilidade de seu peso médio exceder 186 lb, ocasionando uma sbrecarga no elevador. Com base no resultado obtido, há preocupação?

34. Uma população consiste nos valores 2, 3, 6, 8, 11, 18.

a. Determine e . b. Relacione todas as amostras de tamanho n = 2 que podem obtidas sem reposição.c. Determine a população de todos os valores de achando a média de cada amostra da parte (b).d. Ache a média e o desvio-padrão , para a população de médias amostrais da parte (c).e. Verifique que

35. 0 fator de correção para população finita pode ser desprezado quando a amostragern se faz com reposição ou quando n 0,05N, No caso de uma amostra (sem reposição) que representa 5% da população N, que é que os valores do fator de correção para populações finitas têm em comum para valores de N 600?

36. As notas da parte de biologia do exame de admissão ao Medical College (EUA) têm distribuição normal com média de 8,0 e desvio-padrão de 2,6. Dentre os 600 candidatos que fizeram o exame, quantos podemos esperar que tenham nota entre 6,0 e 7,0?

37. A Chemco Company fabrica pneus de automóveis cuja vida útil (em distância percorrida) tem distribuição normal com média 35.600 milhas e desvio-padrão de 4275 milhas.

a. Escolhido aleatoriamente um pneu, qual a probabilidade de durar 30.000 milhas?b. Escolhidos aleatoriamente 40 pneus. qual a probabilidade de suas vidas úteis terem média superior a 35.000 milhas?c. Se o fabricante deseja garantir os pneus de modo que a 3% deles precisem ser substituídos antes do número de milhas, por quantas milhas os pneus devem ser garantidos?

38. Uma amostra de duas observações da variável X é retirada. Nos vários casos listados abaixo, determine a função de probabilidade S2 e constate se ele é não viciado para estimar a variância.

a) X é Uniforme Discreta em {1; 2; 3}.b) X é Bernoulli com p = 0,2.c) X é Binomial com n = 3 e p = 0,5.

39. Sendo a variável amostrada uma Normal de media µ e variância 25, obtenha o

valor de nos casos de tamanho da amostra igual a 2, 20 e 60.

Comente os resultados obtidos.

40. Para se ajustar a uma maquina a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento dessas correias pode ser considerado como uma variável aleatória com distribuição Normal de media 60.7 cm e desvio padrão 0,8 cm. Pergunta-se:1. Qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na maquina?

2. Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fabrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela maquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote.

41. Com o objetivo de simular a distribuição amostral de X, realize as seguintes tarefas:1. Gere 100 amostras de tamanho 30 de uma Normal com media 200 e desvio padrão 5. Calcule então a media de cada amostra e faca o histograma correspondente a esse conjunto de medias amostrais. Qual conclusão pode ser tirada? Calcule medidas descritivas das 100 médias obtidas e comente.

2. Repita o item (1) para as amostras geradas de uma Binomial com parâmetros n = 50 e p = 0:45. Comente a respeito do histograma e das medidas descritivas obtidas, tendo em vista o Teorema do Limite Central.

42. Gere 200 observações do modelo Uniforme Contínuo [0;20]. Construa um intervalo de confiança de 95% para a media. Repetindo 120 vezes esse procedimento, quantos intervalos conterão a verdadeira media? Comente os resultados e as suposições feitas.