exemplos - métodos matemáticos em engenharia

8/18/2019 Exemplos - Métodos Matemáticos Em Engenharia

1/79

Métodos Matemáticos em Engenharia

Exemplo:Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão eum resistor.

0=⋅− i RV Solução exata

R

V i =

Introdução de um díodo no circuito:

( )

+= 1ln

s I

i

q

kT iv

Solução utilizando métodos numéricos

01ln =

+−⋅−

s I i

qkT

i RV

Exemplos:a) ∫ dxe x2

não tem primitiva em forma simples;

b) 22 t y y +=′ não pode ser resolvido analiticamente;c) Euaç!es diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente s" em casos

particulares.#s métodos numéricos $uscam soluç!es aproximadas para as formulaç!es matem%ticas. &os pro$lemas reais' os dados são medidas e' como tais' não são exatos. (ma medida física não é umn)mero' é um intervalo' pela pr"pria imprecisão das medidas. *aí' tra$al+a,se sempre com a figura doerro' inerente - pr"pria medição.#s métodos aproximados $uscam uma aproximação do ue seria o valor exato. *essa forma é inerente aosmétodos se tra$al+ar com a fiura da aproximação' do erro' do desvio.

Passos para a resolução de problemas

/#E34 ⇒ 3#*E45E3 ⇒ E6I&43E&7# ⇒ E8(74*# *E CI9&CI48 46I&8 ⇒3E&8(4# ⇒ E8C#


2/79

Aplicações de cálculo numérico na engenharia.*eterminação de raíOes de euaç!esInterpolação de valores ta$eladosInteração numérica' entre outros.

Princípios

1. Iteração ou aproximação sucessiva/artindo,se de solução aproximada' inicial' repetem,se mesmas aç!esDprocessos para refinarsolução inicial#8: para evitar tra$al+o sem fim Be de raça' deve,se determinar se a iteração converge Bnemsempre é o caso... e condiç"es de parada

2. Discretização &a resolução de pro$lemas contínuos Baueles definidos matematicamente com uma passaem aolimite' inverte,se a passaem ao limite' discretiOando o pro$lema

Ex:

∫ dxe

x2

Q#$$$

3. Aproximação8u$stituir uma função ou modelo por outro ue ofereça comportamento Bde interesse semel+ante'mais simples de manipular fBx BxEx: assíntotas ilustram comportamento Rno limiteS de uma função Bcomplexa de interesse

4. Transormação*ado um pro$lema /' desmem$ra,se / em dois pro$lemas mais simples de resolver' /1 e /2%rea de um trapézio por ret&ngulo '() e tri&ngulos '(!)

Sistemas de numeração• epresentação não posicional

• romanos• 3*CCCTIT e 33CTTIF• Como seria 3*CCCTIT U 33CTTIF V

• epresentação semi,posicional• herai!os1W * Balep+' 2W + B$et+' 10W , BXod'100W -BYup+' 11W ℵ ,./ W ℵ -0123)456'

• alemãoVinte e um " ein#und#$%an$ig • &ran!'s

&oventa W uatre,vint,dix• epresentação posicional

• ase decimal B10• 10 díitos disponíveis Z0'1'2' ... 'H[• R/osiçãoS indica pot\ncia positiva de 10• GJK2 W Gx10K U Jx102 U Kx101 U 2x100

• epresentação de inteiros• ase $in%ria B2

• 2 R7itsS disponíveis Z0'1[• R/osiçãoS indica pot\ncia positiva de 2• 1011 na $ase 2 W 1x2K U 0x22 U 1x21 U 1x20 W ]U0U2U1 W 11 na $ase decimal


3/79

• #u' mel+or 1x2K U 0x22 U 1x21 U 1x20 W1 U 2B1U2B0U2B1 W 11

• epresentação de n)meros fracion%rios• ase decimal B10

• R/osiçãoS da parte inteira indica pot\ncia positiva de 10• /ot\ncia neativa de 10 para parte fracion%ria• GJ'K2 W Gx101 U Jx100 U 8x/9 5 !x/9!

• ase $in%ria B2• R/osiçãoS da parte inteira indica pot\ncia positiva de 2• /ot\ncia neativa de 2 para parte fracion%ria• 10'11 na $ase 2 W 1x21 U 0x20 U x!9 5 x!9! W 2U0U1D2U1DJ W 2'NG na $ase

decimal3aior interesse em decimal B10' anatomia e cultura +umanas e $in%rio B2 uso em sistemascomputacionais• #utros sistemas

• #ctal B]' A0'1'2' ... ' N•


4/79

• X W maior inteiro 2Klo.

22lo.L

• X W J• BKKW2N ` LJ ` KJW]1

Exemplo: Converter 2G decimal para $in%rio• 2G D 2 W 12 Buociente e resto W$ms• 12 D 2 W L Buociente e resto /

• L D 2 W K Buociente e resto /• K D 2 W B)ltimo uocienteW38 e resto • in%rio W 38 ... $ms W / /

1 1x2J U 1x2J U 0x22 U 0x21 U 1x20

W 1L U ] U 0 U 0 U 1 W 2G decimal

Procedimentos ásicos!• *ivis!es sucessivas pela $ase do sistema para o ual se deseMa converter o n)mero• *ecomposição polinomial do n)mero a ser convertido• 4rupamento de $its

Conversão BInteiros entre sistemas !0 !6! !

1 8 !0 0 !

1 !1 8 !

1

11

!0/ 1 1111101!0;86

33 615

12

< resto 15 é representado pela letra F 08=/ 1 21F 6

a B10111100101001112 W B V 1L

$ B4NHE1L W B V 2

>onversão octal hexadecimal• &ão é realiOada diretamente não +% relação de pot\ncias entre as $ases oito e deOesseis.• 8emel+ante - conversão entre duas $ases uaisuer $ase intermedi%ria B$ase $in%ria• Conversão em duas etapas:

1 , n)mero: $ase octal B+exadecimal $in%ria. 2 , resultado intermedi%rio: $in%ria +exadecimal Boctal.


5/79

>onversão de fraçãoExemplo: converter 0'L2G decimal para $in%rio

0'L2G x 2 W 1'2G loo a primeira casa fracion%ria é ; nova fração Bresto é 0'2G B1'2G,1W0'2G0'2G x 2 W 0'G seunda casa é / ; resto é 0'G0'G x 2 W 1'0 terceira casa é ; resto é Oero.esultado: 0'L2G10 W 0'/2

Conversão partes inteira' fracion%ria Munta• /ara converter um n)mero com parte inteira e parte fracion%ria' faOer a conversão de cada

parte' separadamente.

Exercícios• 3ostre ue:

G'] W 101'11001100... ' uma díOima.11'L W 1011'10011001100...

• a vírula foi deslocada uma casa para a direita' pois 11'L W 2 x G'] .4 epresentação pode variar BRflutuarS a posição da vírula' aMustando pot\ncia da $ase.

GJ'K2 W GJ.K2 x 100 W G.JK2 x 101 W 0.GJK2 x 102 W GJK2.0 x 10,2 • 6orma normaliOada usa um )nico díito antes da vírula' diferente de Oero

• Exemplo: G'JK2 x 101

• &o sistema $in%rio:110101 W 110'101x2K W 1'10101x2G W 0'0110101x2N

• &o caso de os n)meros serem armaOenados em um computador' os expoentes serãotam$ém ravados na $ase dois

• Como K10 W 112 e NW1112• 110'101 x B1011 W 1'10101xB10101 W 0'0110101xB10111

• &a representação normaliOada' +% apenas um R1S antes da vírula• Exemplo: 1'10101 x B10101

?lgumas definiç"es• &o n)mero .// x B10/ ' tomado como refer\ncia:

• .// 1 significando Bou RmantissaS• / 1 expoente


6/79

• &ormaliOação não permite representar Oerob• 000 representação &# normaliOada

• 00000000 W U 0 decimal• 10000000 W , 0 decimal• 8ão iuais em comparaç!es

• 111 representaç!es de infinito• 01110000 W U infinito

• 11110000 W , infinito• 11111000 W indeterminação• #utras com$inaç!es 11111 W &ot 4 &um$er B&4&s

Erro na representação de foats &)mero finito de $its na representação Bn)mero é apenas RmaiorS na precisão dupla' implica emRtruncamentoS Bou arredondamento do n)mero real a ser representado. 7runcamento introduO errona representação. Casos especiais:

• ver&lo%: n)mero a representar é maior ue maior n)mero possível de serrepresentado

• *nder&lo%: n)mero a representar é menor ue menor n)mero possível de ser representado

E"istência de ErroPremissa" Impossibilidade de obtenção de soluções analíticas para

vários problemas de Engenharia.Conseu\ncia: Empreo de métodos numéricos na resolução de in)meros pro$lemas do mundo

real.#étodo $umérico3étodo adotado na resolução de um pro$lema físico' mediante a execução de uma seu\ncia finitade operaç!es aritméticas.Conseu\ncia: #$tenção de um resultado aproximado' cuMa diferença do resultado esperado Bexatodenomina,se erro+

Erro InerenteErro sempre presente nas soluç!es numéricas' devido - incerteOa so$re o valor real.Erros inerentes ao ,ro!esso de aquisição dos dados tam$ém são relativos - imprecisão no processo

de auisiçãoDentrada' externos ao processo numérico.Ex. 01: epresentação intervalar de dados

BG0'K 0'2 cmB1'GN 0'00K ml

Dispositivos Secondáriosde Armazenamento

Unidade CentralUnidade Centralde Processamentode Processamento

UnidadeUnidadede Controlede Controle

ULAULA

Unidade PrimáriaUnidade Primáriade Armazenamentode Armazenamento

Erros deErros deAquisição/Entrada deAquisição/Entrada de

DadosDados

ResultadoResultadocom Erroscom Erros

Erros de runcamento/ArredondamentoErros de runcamento/Arredondamento


7/79

B110'2NL 1'0J Cada medida é um intervalo e não um n)mero.

Erros Inerentes aos Dados

• /roveni\ncia /rocesso de aquisiçãoDentrada Bmedidas experimentais• 8uMeitos -s limitaç!esDaferição dos instrumentos usados no processo de mensuração• Erros inerentes são inevit%veisb

Erros inerentes ao modelo matemátio adotadoelativos - impossi$ilidade de representação exata dos fenmenos reais a partir de modelosmatem%ticos

&ecessidade de adotar condiç!es ue simplifiuem o pro$lema' a fim de torn%,lo numericamentesol)vel

Erros Cnerentes ao Modelo/rove\n B/rocesso de modelagem do pro$lema' ou seMa' os modelos matem%ticos raramenteoferecem representaç!es exatas dos fenmenos reais BEuaç!es e relaç!es' assim como dados e

parmetros associados' costumam ser simplificados entorno da facti$ilidade e via$ilidade dassoluç!es.

#rros de truncamento" Substituição de um processo infnito de operações por outrofnito. Em muitos casos, o erro de truncamento precisamente a di!erença entre omodelo matemático e o modelo numrico.

#rros de arredondamento" Inerentes " estrutura da má#uina e " utili$ação de umaaritmtica de precisão fnita

• epresentação &umérica em 3%uinas *iitais• *iscreta ConMunto finito de n)meros em ualuer intervalo -a. / de interesse

• Implicação imediata /ossi$ilidade de comprometimento da precisão dosresultados' mesmo em representaç!es de dupla precisão

• esultado na 8aída

• Incorporação de todos os erros do processo• _uão confi%vel é o resultado aproximadoV• _uanto erro est% presente no resultadoV• 4té ue ponto o erro presente no resultado é toler%velV

!odelo!odelo"um#rico"um#rico

ErrosErros$nerentes$nerentesao !odeloao !odelo

!odelo!odelo!atemático!atemático

Dados eDados ePar%metrosPar%metrosdo !odelodo !odelo

ProcessamentoProcessamento"um#rico"um#rico

SoluçãoSolução"um#rica"um#rica

Pro&lemaPro&lemado !undo Realdo !undo Real

Erros deErros deruncamentoruncamento

Erros de Aquisição/Erros de Aquisição/Entrada de DadosEntrada de Dados

Erros deArredondamento


8/79

A!ur!ia Bou 0xatidão_uão pr"ximo um valor computadoDmensurado se encontra do valor real Bverdadeiro

• Ina!ur!ia Bou Inexatidão• *esvio sistem%tico do valor real

Pre!isão Bou Re,rodu!iilidade_uão pr"ximo um valor computadoD mensurado se encontra de valores previamentecomputadosDmensurados

Im,re!isão Bou In!erte$a• 3anitude do espal+amento dos valores

Exatidão x !reisão

Indicador de Pre!isão de um esultado

Algarismos signi%cati&os 'as(4larismos ue podem ser usados com !on&iançaExemplo 02:Considerem,se os seuintes valores de m1dias o$tidas em um experimento estatístico

• µ " 234 0 casas decimais Bcd• µ " 234. 1 cd• µ " 234.6 2 cd• µ " 234.645 G cd• µ " 234. 64578 N cd• µ " 234. 645789 H cd

#s valores das médias podem ser representadas como:• µ " 234 µ " :.234 + 2:3 K as• µ " 234. µ " :.234 +2:3 J as• µ " 234.6 µ " :.2346 + 2:3 G as

P P R R E E C C $ $ S S ' ' ( ( ) ) R R E E P P R R ( ( D D U U C C $ $ * * $ $ L L $ $ D D A A D D E E

E+atidãoE+atidão,Acurácia-,Acurácia-


9/79

• µ " 234.645 µ " :.234645 + 2:3 ] as• µ " 234. 64578 µ " :.23464578 + 2:3 10 as• µ " 234. 645789 µ " :.234645789 + 2:3 12 as

Erros nos #étodos= derivado % aproximação da solução de um pro$lema de 3atem%tica. /or exemplo o truncamento

de uma solução em série' considerando apenas um n)mero finito de termos.Exemplo 0K:ex,(x)

...bb2

1b

expBK

K2

0

++++== ∑∞

=

x x x

n x

xn

n

*eterminação do valor de e. 8a$endo ue:

∑∞

=

=0 b

1

n ne . oo: GH0GN1]2]1]2]J'2

b

1

0

== ∑∞

=n ne

um truncamento no sexto termo era: LLLNN1LLLLLLLL'2b

1G

0

== ∑=n n

e

Então' o erro de truncamento' 0 T ' ser%:

H2K]001L1G1L1N'0

LLLNN1LLLLLLLL'2GH0GN1]2]1]2]J'2

b

1

b

1 G

00

=⇒

−=

−= ∑∑=

∞

=

T

T

T

0

0

nn 0

nn

Exemplo 0J:*eterminação do n)mero de termos para a aproximação de cosBx com ] as' considerando x"π ;3.

em$rar ue: ...bLbb2

1Cb2B

C1BCcosB

LJ2

0 J+−+−=−= ∑

∞

=

x x x

n x

n

n

Então:

( )

( )G]NNLHHLJ.0

bLbJb21cos000HNKJ0N.0

N20

K.0

bL

G]]NJKKN0.0bJb2

1cos0K2]NGGL].02J

K.0

bJ

GGG]LN]02.0b2

1cosJJJJ1K21H].02

CK.0B

b2

LJ2LL

J2JJ

222

=−+−=⇒==

=+−=⇒==

=−=⇒==

x x x x

x

x x x

x

x x

x

π

π

π

#$serve,se ue o seundo as não mais se alterar%.E ue o uarto as não mais se alterar% a partir de:

( ) G]NN]GJ0J.0b]bLbJb2

1cos00001GJJ.0J0K20

K.0

b]

]LJ2]]

=+−+−=⇒== x x x x x x π

• nem o sexto as a partir de:( )

G]NN]G2G1.0b10b]bLbJb2

1cos]N0000001G2K.0KL2]]00

K.0

b10

10]LJ21010

=−+−+−=⇒== x x x x x

x x π

• nem o oitavo as a partir de:( )

G]NN]G2G1.0b12b10b]bLbJb2

1cos2GJG0000000010.0JNH001L00

K.0

b12

1210]LJ21212

=+−+−+−=⇒== x x x x x x

x x π

4ssim sendo' o n)mero de termos para a aproximação de !os(x) com ] as é iual a Bincluindo otermo de ordem :' iual a 2

Exercício 01:*eterminar o n)mero de termos para a aproximação de

1. log(2


10/79

2. sen(x) com L as' considerando x" 7π ;3K. ex,(x) com N as' considerando x" 2;3

_ual a conclusão a ue se c+ea a partir destes c%lculosV

Erro de "epresentação x Erro de #runamento de Dígitos

Erro de Re,resentação= Est% associado - conversão numérica entre $ases Brepresentação +umana ede m%uina ou - realiOação de operaç!es aritméticas(m n)mero pode ter representação finita em uma $ase e não finita em outra' isto constitui um Errode epresentação.Ex. 0G:Conversão de 0'110 para a $ase 2.

0'110 W 0'00011001100110011...20'110 não tem representação exata na $ase 2

4 representação de um n)mero depende da $ase em uso e do n)mero m%ximo de díitos usados emsua representação.Erro de Trun!amento de >?gitos= Est% associado - uantidade de informação ue a m%uina pode

conter so$ a forma de um n)meroEx. 0L:C%lculo da %rea de uma circunfer\ncia de raio 100 m

/ossíveis resultados:B1 4 W K1J00 m2

B2 4 W K1J1L m2

BK 4 W K1J1G'H2LGJ m2

π não tem representação finita , 3.27 B1' 3.2726 B2 e 3.272589657 BK#peraç!es com dados imprecisos ou incertos acarretam a propaação do erro.Ex. 0N:

*eterminar g

K000

1WiixW8 a partir de uma calculadora e um computador' para xi W 0'G e xi W 0'1

xi >alculadora >omputador

/.0 S1 0// S1 0//

/. S1 8//S18//.//4/4;!; 'precisão simples)

S1!44.444444444444!/ 'precisão dupla)

Tipos de #rros

Erro Asoluto*iferença entre o valor exato de um n)mero e o seu valor aproximado Bem m"dulo

hxxhE4x −=>onsideraç"es

• 0A x s" poder% ser determinado se x for con+ecido com exatidão• &a pr%tica' costuma,se tra$al+ar com um limitante superior para o erro' ao invés do pr"prio

erro Bh 0 h ` ' sendo é o limitanteEx. 0]:/ara π ∈ (3.27@ 3.25)

0'01`j,jWE4j8eMam a " 346.33 e " 2.33Considerando,se a parte inteira de a Ba o erro a$soluto ser%: 0'KNKaaE4 ka =−= e a parte inteira

de B ' o erro a$soluto ser%: 0'KNK $ $E4 k $ =−=


11/79

#$viamente' o resultado do erro a$soluto é o mesmo nos dois casos Entretanto' o peso da aproximação em é maior do ue em a

Erro )elati&oaOão entre o erro a$soluto e o valor exato do n)mero considerado Bem m"dulo

hxh

hxxhE x

−=

0rro Per!entual x " 0R x + 2::BEste tipo de erro é utiliOado em processos iterativos pois' sendo o processo converente' a cadaiteração o valor atual est% mais pr"ximo mais do valor exato do ue o valor anterior

atualvalorx

anterior valorx

≡≡

>onsideração• # erro relativo pode' entretanto' traduOir perfeitamente este fato' pois:

Ja 100'0000HL

K]NL

0'KNKE −≤≅=

0T $ 10Go'KNK1

0'KNKE ≤≅=

Ex. 0H:C%lculo do erro relativo na representação dos n)meros a " 9229.8 e e " 5.3' sendo C0AC D :.2+ C0RaC " Ca # EC;CaC " :.2;9229.8 ≅ 7. x 2:#5

C0ReC " Ce # FC;CeC " :.2;5.3 ≅ :.:9Conclusão: a é representado com maior precisão do ue e que _uanto menor for o erro' maior ser%a precisão do resultado da operação.

Erro de ArredondamentoEx. 10:C%lculo de 2 utiliOando uma calculadora diital

Falor apresentado: 1'J1J21KLFalor real: 1'J1J21KGL...

Inexist\ncia de forma de representação de n)meros irracionais com uma uantidade finita dealarismos

• 4presentação de uma aproximação do n)mero pela calculadora• Erro de arredondamento

Truncamento de D$%itos

*escarte dos díitos finais de uma representação exata por limitaç!es de representação em vírulaflutuanteEx. 11:epresentação truncada de 2 em vírula flutuante com N díitos

Falor apresentado: 1'J1J21KGFalor real: 1'J1J21KGL...

Erros de 7runcamento e 4rredondamento

DemonstraçãoEm um sistema ue opera em ponto flutuante de t díitos na $ase 10' e seMa x:

x " & x+2:e

< g x+2:e#t

B:.2≤ & x


12/79

&o truncamento' g x+2:e#t é despreOado ee

x 10.f x =tete

xx 1010.xxE4 −−


13/79

esultado com J díitos4rredondamento: x+y " :.2289+2:6

7runcamento: x+y " :.2282+2:6

Consideraç!es 4inda ue as parcelas ou fatores de uma operação possam ser representados

exatamente no sistema' não se pode esperar ue o resultado armaOenado seMa exato. x e y tin+am representação exata' mas os resultados x


14/79

020

002

0

2

1'2

0'GK]H.10CB0'GK]H02].10

C10.NKJ1CB10B0'NKJ1.0'CflB$

0'NKJ1.10flB$C

2a

Jac, $ $,x

=⇒==

=

±=

&l

02102

02

0

K,02

K,

1J,

1

1

J,

0'NKKH.10WB0'GK]N.10WJc,B$flB

0'GK]N.10WJc,flB$

W.100'0002J00,B0'GK]H

W0'2J00.10,0'GK]H.10WJc,flB$

o'2J00.10WflBJc

.10L000B10B0'J000.0'WflBJc

B0.200010WflB2

10J000.0BJBB0.L00010flBc

⇒

⇒

==

&l

/rimeira raiO:

0

1

1

12

1

002

,0'NKJ0.10flBx

.102000'0

0'1JL].10,

2

J $ $,flflBx

10.NKKH'0,0'NKJ1.10J $ flB,$

=⇒

=

−−=⇒

−=−−

!

!

8eunda raiO:

K,1

1

12

1

002

,0'1000.10flBx

.102000'0

0'0002.10,

2

J $ $,flflBx

10.NKKH'0,0'NKJ1.10J $ flB,$

=⇒

=

−+=⇒

+=−+!

!

# cancelamento su$trativo Bou catastr"fico ocorre uando se su$traem n)meros muito pr"ximos em sistemas de vírula flutuante./ara calcular os erros cometidos em HP ' é necess%rio con+ecer os valores exatos das raíOes.Considerando um díito a mais do ue a representação da mantissa no sistema' i.e.' G díitos'o$tém,se:

,J2

01 0,0']1NJ2.1x0,0'NKJ02.1x ==

4ssim sendo' os erros a$solutos e relativos serão:

K'2210.22KKL'00']1NJ2.10,

10.1]2G]'0

0'0

00K'010.2N2JN'00'NKJ02.10,

10.2000'0

10.1]2G]'0.101000'0B, ,10.0']1NJ2,E4

10.20000'0.10NKJ0'0B, ,10.0'NKJ02,E4

2

0

J,

J,

2

22

1

1J,

0

J,

1

11

J,K,J,x1

,J00x1

≅⇒===

≅

≅⇒===

==

==

x

x

x

x

x x

x

0R x

0A

0R

0R

0R x

0A 0R

Constatação:


15/79

4pesar dos erros a$solutos serem praticamente iuais' a seunda raiO apresenta um erro relativouatro ordens de randeOa maior do ue o erro relativo cometido no c%lculo da primeira raiO.8olução:

$ # pro$lema do erro relativo cometido no c%lculo da seunda raiO deve,se aocancelamento su$trativo' verificado uando n)meros muito pr"ximos se su$traem emaritmética de vírula flutuante.

/ara evitar o cancelamento su$trativo' 2 opç!es conduOem ao mesmo resultado' a sa$er:

1. 3anipulação da f"rmula para a determinação dos Oeros

( )( ) 1122

222

2

222

2

2

2

J $ $,

2

J $ $,.2

J $ B,$C

J $ $,

J $ $,.

2

J $ $,

2

J $ $,x

x

!

x

!

!

!

!

!

!

!!!

==−−

=−−

−+

=−−

−−−+=

−+=

2. 3anipulação da f"rmula para a determinação dos Oeros

4ssim: J0J

1

2 10.]1NJ'010.NKJ0'0

10.L000'0CflBx −

−

−=−

=

=

x

! &l

K. 3anipulação sim$"lica da euação enérica de seundo rau

12

2121212

21212

212

axx

xaxxaxxxaBx,ax

xxxx,xx,aBx x,Bxx,aBxc $xax

!

!

=

=⇒++

=+==++

Propa%ação de #rros*urante as operaç!es aritméticas de um método' os erros dos operandos produOem um erro no

resultado da operação• /ropaação ao lono do processo• *eterminação do erro no resultado final o$tido

Ex. 1J:8eMam as operaç!es a seuir' processadas em uma m%uina com J díitos sinificativos e faOendo,se: a " :.3782+2:7 e " :.9375+2::.

( < a)Ka " (:.9375+2::


16/79

3aior valor da soma GK U 22 W NG a U $ W BG0 U 21 J W N1 J LN a NG

Ex. 1L:*ados a " 5: L 3 e " 92 L 2' calcular a # .

Fariação de a JN a GK Fariação de 20 a 22 3enor valor da diferença JN 20 W 2G 3aior valor da diferença GK 22 W KK a $ W BG0 21 J W 2H J 2G a KK

&a su$tração' os erros a$solutos se somam' pois sempre se admite o pior caso.Ex. 1N:*ados a " 5: L 3 e " 92 L 2' calcular a+.

Fariação de a JN a GK Fariação de 20 a 22 3enor valor do produto JN . 20 W HJ0 3aior valor da produto GK . 22 W 11LL a . $ W BG0 K x B21 1

10G0 BK.21 U G0.1 10G0 11K HKN a 11LK

Ex. 1]:*ados a " 5: L 3 e " 92 L 2' calcular a+.Consideraç!es *espreOa,se o produto K.1' por ser muito peueno diante de BK.21 U G0.1 W 11K ieiramente diferente do verdadeiro intervalo' por conta da desconsideração do produto

K.1' assumido como despreOível

Análise dos Erros Asoluto e )elati&o

Express!es para a determinação dos erros nas operaç!es aritméticasErros presentes na representação das parcelas ou fatores' assim como no resultado da operação• 8upondo um erro final arredondado' sendo x e y' tais ue:

Xx E4XX E4xx +=+=• 4dição

Erro 4$soluto

E4BE4B

E4BB

Xx

X

+++

=+++=+

y x

y 0A x y x x

Erro elativo

++

+=+=

++ Xx

XE Xx

xE Xx

E4E Xx

XxXx

• 8u$tração Erro 4$soluto

E4BE4B

E4BB

Xx

X

−+−

=+−+=−

y x

y 0A x y x x

Erro elativo

−

−

−

=−

= −− XxX

E Xx

xE

Xx

E4E Xx

XxXx

• 3ultiplicação Erro 4$soluto

( ) XxXxXx .E4E4E4x.E4XX.xE4X.E4xx.X +++=++=( ) XxXx E4x.E4XX.xE4X.E4xx.X ++=++≈ muito pe#uenomuito pe#ueno


17/79

Erro elativo

XxX.x E E E +=

• *ivisão Erro 4$soluto

( )

( )

( )

+

+=

+

+=

XE41

1.

X

E4x

E4X

E4x

X

x

X

x

X

x

8implificação:

...X

E4

X

E4

X

E41

X

E41

1K

X

2

XX

X

+

−

+−=

+BdespreOam,se os termos de pot\ncia q 1

2

Xx

2x

X

E4x.E4X

X

E4Xx

X

E4

X

x

X

x −=−+≈

Erro elativo

XxxDX E E E −=

Análise de ErrosEx. 1H: C%lculo de 0R(x


18/79

+++

+

=+

++

+

=

+

+++

=

+

++

+

+++

=

++

++

++

1 $ y x

y x

RA RA $ y x

y x

RA 0R

RA $ y x

y x 0R 0R

RA $ y x

0A 0R

$ y x

y x 0R 0R

s $ y x

s $ y x

$ $ s $ y x

0A $":.∴ 0R $":

1tOXx 102

11

OXx

XxE +−++ ×

+

+++

<

1102

11 +−++

+

+++

< t $ y x + $ y x y x

0R

KJ

J

10

2

11

10HK]G0

10HK]K0 −++

+< +

+ .

+ . 0R $ y x

KOXx 10.0'HHH]E

−++ <

• Ex. 21:8upondo ue u é representado em um computador por M' ue é o$tido porarredondamento. #$ter os limites superiores para os erros relativos de v " 9+ M e % " M < M.8olução:

u.2v =

1t

2.

22.

.102

12.E

42.444E E E

+−<

=+=++=

u

uu

1t

v 10E +−

<uu +=

4E E E +

++

+=

uu

u

uu

uuu

42.442.E =+

+=

uuu

1t1t 10.102

12.42.E +−+− =


19/79

a x


20/79

&esolução 'um(rica de #)uaç*es

,-eti&osEstudar métodos numéricos para a resolução de euaç!es não lineares Bdeterminar aBs raiOBes deuma função &(x)' ou seMa' encontrar oBs valorBes de x tal ue &(x) " :

6undamentar a necessidade de uso de métodos numéricos para a resolução deeuaç!es não lineares *iscutir o princípio $%sico ue ree os métodos numéricos para a resolução de

euaç!es não lineares 4presentar uma série de métodos destinados - resolução de euaç!es não lineares

&ecessidade de resolução de euaç!es do tipo &(x) " :

ξ∈ℜ é um $ero da função &(x) ou rai$ da euação &(x) " : se &( ξ ) " :.

eros podem ser reais ou !om,lexos.Este m"dulo trata de Oeros reais de &(x).

4 partir de uma euação de 2 rau da forma

*eterminação das raíOes em função de a' e !

/olinmios de rau mais elevado e funç!es com maior rau de complexidade Im,ossiilidade de determinação exata dos Oeros

+FV

-FV

+FH

-FH

Em cada nó %∑ &

'(

∑ &* (

FEstruturas

+Lei de Kirchhof )

R

E

i

v = g(i)

+

-

E -i g+i) (

Circuitos

/eros reais representados

sobre o ei0o das abscissas

/eros reais representados

sobre o ei0o das abscissas

Ei0o das abscissasEi0o das abscissas

ξ 1

ξ 2

f(x)

0

Ei0o das ordenadasEi0o das ordenadas

ax 2 + bx + c = 0

x = -b ± √ b2 – 4ac

2a


21/79

Princípio ásicoEtapas (suais para a *eterminação de aíOes a partir de 3étodos &uméricos648E I , Isolamento das raíOes: *eterminação de um intervalo Bo menor possível ue conten+aapenas uma raiO648E II , efinamento das raíOes: 3el+oramento do valor da raiO aproximada Brefinamento até a

precisão deseMada.

+A,# I" I,-A/#'T- DA, &A0#,ealiOação de uma an%lise teOri!a e gr&i!a da função de interesse/recisão das an%lises é relevante para o sucesso da fase posterior 7E#E34 1:

endo &(x) !ont?nua em um intervalo -a. /. se &(a)&() D : então existe ,elo menos um ,onto x " ξ entre a e que 1 $ero de &(x)+

A$/0ISE 1)/+I2A

Exemplo /:

f$x% & x 3 ' (x )3

&(x) 1 !ont?nua ,ara ∀ x ∈ R+ I 2 " -#5. #3/ I 9 " -:. 2/ I 3 " -9. 3/Cada um dos intervalos contém pelo menos um $ero .Exemplo 02:

&(x) " √ x Q 5e#x

ξ ξ 11

ξ ξ 22

!+0)

0ξ ξ

aa bbξ ξ bb

!+0)

0aa

aa ξ ξ 11

!+0)

0ξ ξ 22

bb

111111111111!+0)2345664266∞0

......1111!+0)

...4560


22/79

&(x) admite ,elo menos um $ero no intervalo -2. 9/ $ero 1 ni!oS Anlise do sinal de &(x) &(x) "2;(9√ x )< 5e#x :. ∀ x : &(x) admite um ni!o $ero em todo seu domínio de definição' localiOado no intervalo -2. 9/ .

#8EF4#:

8e &(a)&() :' então se pode ter diversas situaç!es no intervalo -a. /.

4&@I8E 5@6IC4Construção do r%fico de &(x)

• ocaliOação das a$scissas dos pontos nos uais a curva intercepta o eixo x#$tenção da euação euivalente g(x) " h(x) a partir da euação &(x) " :

• Construção dos r%ficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema cartesiano(so de proramas para traçado de r%ficos de funç!es

• ocaliOação dos pontos x nos uais g(x) e h(x) se interceptam B &( ξ ) " : ⇔ g( ξ ) " h( ξ )

b

!+0)

0a

a

!+0)

0b

!+0)

0a b


23/79

Exemplo /8: f$x% & x 3 ' (x )3

'so do método I ) &(x) " 3x9 # 8 &(x) " : D" x " ±√ 3

Exemplo 0K: &(x) " x3 Q 8x


24/79

+A,# II" +I'A/#'T-4plicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raíOes

*iferenciação dos métodos 3odo de refinamento 3étodo Iterativo CaracteriOado por uma série de instruç!es execut%veis

seencialmente' alumas das uais repetidas em ciclos BiteraçUesCI7=I#8 *E /44*4

7este: xk su&i!ientemente pr"ximo da raiO exataV omo verificar tal uestionamentoVInterpretaç!es para rai$ a,roximada. x é rai$ a,roximada com precisão ε se:i. Cx # ξ C D ε

ouii. C&( x )C D ε

omo proceder se não se con+ece ξ Vedução do intervalo ue contém a raiO a cada iteração

#$tenção de um intervalo -a./ tal ue: ξ ∈ -a./

e

Q a D ε∀ x ∈ -a./ pode ser tomado como x

;;x x -- ξ ξ ;; )) ε ε ,, ∀ ∀ x x ∈∈ [ [ a a ,,b b ] ]

&em sempre é possível satisfaOer amos os critériosx x -- ξ ξ ) ) ε ε

,% ,% x x & ) & ) ε ε 3étodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfaOer ,elo menos um dos critérios.Em proramas computacionais verificamos dois criterios' ou seMa' o 7este de /arada e a Estipulaçãodo nmero mximo de iteraçUes= Prevenção !ontra loo,ings (erros do ,rograma. inadequação dom1todo ao ,rolema)

ξ ξ b

!+0)

0

a

b – a )b – a ) ε ε


25/79

/(todos Iterativos• Wisse!ção• Halsa Posição• Halsa Posição Xodi&i!ado• Ponto Hixo

• Ye%ton#Ra,hson• e!ante

#étodo da issecção >ada uma &unção &(x) !ont?nua no intervalo -a./ onde existe uma rai$ ni!a. 1 ,oss?veldeterminar tal rai$ sudividindo su!essivas ve$es o intervalo que a !ont1m ,elo ,onto m1dio de a e+*efinição do Intervalo Inicial:4tri$ui,se -a./ como intervalo ini!ial

• a: " a• : "

Condiç!es de 4plicação• &(a)Z&() D :• 8inal da derivada !onstante

*efinição de &ovos Intervalos:*etermina,se ual o su$intervalo -a . x2 / ou -x2 . / ue contém a rai$Calculando e verificando se o produto &(a)Z&(x2 ) D : 8e verdadeiro ξ ∈ (a. x2 )

Boo a W a e $ W x2 aso !ontrario ξ ∈ (x2 . )

Boo a W x2 e $ W

epete,se o processo até ue o valor de x atenda -s !ondiçUes de ,arada.Anlise rca

eneralização" 4p"s n iteraç!es' a raiO estar% contida no intervalo:

0a ( a ξ

!+0)

b (b

0066 ( +a 1 b)


26/79

[ ]

=

−−nnn

aa

2

00'

de modo ue ξ é tal ue:

++

−


27/79

# n)mero de interaç!es é de,endente da toler[n!ia considerada

Desvanta%ens"• entidão do processo de conver\ncia Breuer o c%lculo de &(x) em um elevado n)mero de

iteraç!es;• &ecessidade de con+ecimento prévio da reião na ual se encontra a raiO de interesse Bo ue

nem sempre é possível;• Complexidade da extensão do método para pro$lemas multivari%veis.

Exemplo 0L:esatando o Exemplo 0G' &(x) " xlogx # 2

Exemplo 0L: &(x) " xlogx # 2Considerando o m1todo da isse!ção !om tol " :.::9 e adotando -a: .: / " -9. 3/ como intervaloini!ial ' tem,se: C%lculo da 1 aproximação

x1 W Ba0 U $0D2 W B2'00000 U K'00000D2 ⇒x1 W 2'G0000 fBx1 W fB2'G0000 W ,0'00G10 fBa0 W fB2'00000 W ,0'KHNHJ 7este de /arada

hfBx1h Wh,0'00G10h W 0'00G10 q 0'002 C%lculo da 2 aproximação

&ovo Intervalo fBa0.fBx1 W B,0'KHNHJ.B,0'00G10 q 0

loo: a1 W x1 W 2'G0000 e $1 W $0 W K'00000 x2 W B2'G0000 U K'00000D2 W

x2 W 2'NG000 fB2'G0000 W ,0'0G100 ` 0

fBK'00000 W 0'JK1J0 q 0 fB2'NG000 W 0'20]20 q 0 ξ ∈ -9.5 @ 9.5/

a2 W a1 W 2'G0000 e $2 W x2 W 2'NG000

h(x)y

ξ

g(x)

x1 2 3 4 5 6


28/79

xK W B2'G0000 U 2'NG000D2 W 2'L2G00fB2'G0000 W ,0'0G100 ` 0fB2'NG000 W 0'20]20 q 0fB2'L2G00 W 0'10020 q 0xJ W B2'G0000 U 2'L2G00D2 W 2'GL2G0fB2'G0000 W ,0'0G100 ` 0fB2'L2G00 W 0'10020 q 0

fB2'GL2G0 W 0'0JN20 q 0

Exemplo 0N:8eMa &(x) " x3 Q x Q 2Intervalo inicial atri$uído: Z1' 2[Considerando,se ε W 0'002fBa0 W ,1fB$0 W GfBx W Kx2 1fBa0 w fB$0 W ,G ` 08inal da derivada constanteBfBa0 W 2 e fB$0 W 11

C%lculo da 1 aproximação x1 W Ba0U$0D2 W B1'000000U2'000000D2 W x1 W 1'G00000

fBx1 W 1'GK

1'G 1 W 0']NG000 7este de /arada

hfBx1h Wh0']NGh W 0']NG000 q 0'002 Escol+a do &ovo Intervalo

fBa0.fBx1 W B,1.0']NG W ,0']NGloo: a1Wa0W1'000000 e $1Wx1W 1'G0000

ξ ∈ !2"( " 2"2(#!2"( " 2"2(#a4 ( a5 ( 5,25,2b4 ( 04 ( 5,:525,:52

ξ ∈ !2"( "!2"( "2"(2(#2"(2(#a4 ( a5 (5,25,2

ε ε == 0"0020"002

06 5 4 3

9

26543

6

5

4

3

3

4

5

6


29/79

ε ε == 0"0020"002


30/79

/(todo da +alsa Posição3étodo da Wisse!ção. !alcula a média aritmética dos limites do intervalo ue contém a raiO B-a. /3étodo da Halsa Posição. Calcula a média ponderada dos limites do intervalo ue contém a raiOB-a. /

BB

BB

a & &

a& a& x

−−

=

BB

BB

a & &

a & & a x

−−

=

*efinição do Intervalo Inicial:

• 4tri$ui,se -a./ como intervalo ini!ial • a: " a• : "

• Condiç!es de 4plicação• &(a)Z&() D :• 8inal da derivada !onstante

*efinição dos 8u$intervalos:• 8u$divide,se o intervalo pelo ,onto de interse!ção da reta ue lia &(a) a &() e o

eixo das a$scissas• Ferifica,se se' através do teste de parada' se x2 é uma a,roximação da rai$ da

euação Bξ • 8e verdadeiro x2 é a rai$ procurada• Caso !ontrrio define,se um novo intervalo

*efinição do &ovo Intervalo:• *etermina,se ual su$intervalo , -a: . x2 / ou -x2 . : / , contém a raiO ξ

• Calcula,se o produto &(a)Z&(x2 )• Ferifica,se se &(a)Z&(x2 ) D :

• 8e verdadeiro ξ ∈ (a: . x2 ) oo: a1 W a: e $1 W x2

• Caso !ontrario ξ ∈ (x2 . : )oo a1 W x2 e $1 W :

epete,se o processo até ue o valor de x atenda -s !ondiçUes de ,arada.

0a ξ

!+0)

b00

!+b)

!+a)


31/79

Análise 1rá%ca

2ondições de Parada8e os valores fossem exatos

&(x) " :(xk Q xk


32/79

x1 W Z2.0'JK1J K.B, 0'KHNH[ W 2'JNH] Z0'JK1J B, 0'KHNH[

7este de /arada hfBx1h Wh, 0'021Hh W 0'021H q tolerncia

Escol+a do &ovo Intervalo fBa0.fBx1 W B, 0'KHNH.B, 0'021H q 0

loo: a1 W x1 W 2'JNH] e $1 W $0 W K

C%lculo da 2 aproximação: a1 W 2'JNH] $1 W KfBa1 W , 0'021H ̀ 0fB$1 W 0'JK1J q 0x2 W Z2'JNH].0'JK1J K.B, 0'021H[ W 2'G0JH

Z0'JK1J B, 0'021H[ 7este de /arada

hfBx2h Wh, 0'0011h W 0'0011 ` tolerncia Escol+a do &ovo Intervalo

fBa1.fBx2 W B, 0'021H.B, 0'0011 q 0loo: a2 W x2 W 2'G0JH e $2 W $1 W K

C%lculo da K aproximação a2 W 2'G0JH $2 W KfBa2 W , 0'0011 ` 0fB$2 W 0'JK1J q 0xK W Z2'G0JH.0'JK1J K.B, 0'0011[ W 2'G0L1

Z0'JK1J B, 0'0011[ 7este de /arada

hfBxKh W h, N'011].10,G h W N'011].10,G ` tol(valor a!eitvel de rai$)

Y aY $Y fBaY fB$Y xYU1 fBxYU1

0 2'000000 K'000000 ,0'KHNH000 0'JK1J00 2'JNH]000 ,0'021H00

12'JNH]00 K'000000 ,0'021H000 0'JK1J00 2'G0JH000 ,0'001100

2 2'G0JH00 K'000000 ,0'0011000 0'JK1J00 2'G0L1000 ,0'0000N0

Exemplo 0H:8eMa a função do Exemplo 0N' &(x) " x3 Q x Q 2Intervalo inicial atri$uído: Z1' 2[tol W 0'002fBa0 W ,1fB$0 W GfBx W Kx2 1fBa0wfB$0 W ,G ` 08inal da derivada constanteBfBa0 W 2 e fB$0 W 11 C%lculo da 1 aproximação a0 W 1 $0 W 2

fBa0 W , 1 ` 0 fB$0 W G q 0 x1 W Z1.G 2.B, 1[ W 1'1LLLN ZG B, 1[

ε ε = 0"0020"002

06 5 4 3

9

2

6

5

4

3

6

5

4

3

3

4

5

6


33/79

7este de /arada hfBx1h Wh, 0'GN]N0KNh W 0'GN]N0KN q tol

Escol+a do &ovo Intervalo fBa0.fBx1 W B, 1.B, 0'GN]N0KN q 0

loo: a1 W x1 W 1'1LLLN e $1 W $0 W 2


0 1'000000 2'000000 ,1'0000000 G'000000 1'1LLLLLN ,0'GN]N0J

1 1'1LLLLN 2'000000 ,0'GN]N0KN G'000000 1'2GK1120 ,0'2]GKLK

2 1'2GK112 2'000000 ,0'2]GKLK0 G'000000 1'2HKJKNJ ,0'12HGJ2

K 1'2HKJKN 2'000000 ,0'12HGJ21 G'000000 1'K112]12 ,0'0GLG]]

J 1'K112]1 2'000000 ,0'0GLG]]G G'000000 1'K1]H]]G ,0'02JK0J

G 1'K1]H]] 2'000000 ,0'02JK0KN G'000000 1'K222]2N ,0'010KL2

L 1'K222]K 2'000000 ,0'010KL1] G'000000 1'K2KL]JK ,0'00JJ0J

N 1'K2KL]J 2'000000 ,0'00JJ0KH G'000000 1'K2J2NHG ,0'001]LH

Fantaens:• Esta$ilidade e conver\ncia para a solução procurada;• *esempen+o reular e previsível;• C%lculos mais simples ue o método de &eton.

*esvantaens:• entidão do processo de conver\ncia Breuer o c%lculo de &(x) em um elevado n)mero de

iteraç!es;• &ecessidade de con+ecimento prévio da reião na ual se encontra a raiO de interesse Bo ue

nem sempre é possível.

ε ε = 0"0020"002


34/79

/(todo da +alsa Posição /odicado 6+P/ 7 >ada uma &unção &(x) !ont?nua no intervalo -a./. o qual !ont1m uma rai$ ni!a. 1 ,oss?veldeterminar tal rai$ a ,artir de sudivisUes su!essivas do intervalo que a !ont1m. evitando. aomesmo tem,o. que as a,roximaçUes geradas ,ela &Ormula de iteração se a,roximem da rai$ ,or umni!o lado+

3e%nição do Inter&alo Inicial!4tri$ui,se -a./ como intervalo ini!ial

• a: " a• : "

=ondições de >plicação%• &(a)Z&() D :• 8inal da derivada !onstante

3e%nição dos Suinter&alos!8u$divide,se o intervalo pelo ,onto de interse!ção da recta ue lia &(a) a &() e o eixo x+ Ferifica,se se x2 é uma a,roximação da rai$ da euação Bξ

• 8e verdadeiro x2 é a rai$ ,ro!urada• aso !ontrrio define,se um novo intervalo

3e%nição do $o&o Inter&alo!*etermina,se em ual dos su$intervalos -a: . x2 / ou -x2 . : / , se encontra a raiO ξ

• 1 7este• Ferifica,se se &(a)Z&(x2 ) D :

• 8e verdadeiro ξ ∈ Ba: . x2; oo: a1 W a: e $1 W x2• aso !ontrario ξ ∈ B x2 . :; oo a1 W x2 e $1 W :

• 2 7este• Ferifica,se se &(xi )Z&(xi


35/79

2ondições de parada8e os valores fossem exatos

&(x) " :(xk Q xk


36/79

0'021H[B,,ZB0'JK1JD2

0'021H[K.B,,'JK1JD2Z2'JNH].B02 = x

x9 " 9.59 7este de /arada

hfBx2h Wh0'01]h W 0'01] q ε Escol+a do &ovo Intervalo

fBa1.fBx2 W B, 0'021H.B0'01] ` 0loo: a2 W a1 W 2'JNH] e $2 W x2 W 2'G2NN

C%lculo da K aproximação: a2 W 2'JNH] e $2 W 2'G2NNfBx1.fBx2 W B, 0'021H.B0'01] ` 0fBa1.fBx2 W B, 0'021H.B0'01] ` 0fBa2 W , 0'021H ` 0fB$2 W 0'01] q 0

0'021H[B,,ZB0'01]

0'021H[2'G2NN.B,,'01]Z2'JNH].B0K = x

x3 " 9.5:6: 7este de /arada

hfBxKh Wh, 0'0001GKh W 0'0001GK ` εBvalor a!eitvel de rai$


0 2'000000 K'000000 ,0'KHNH000 0'JK1J00 2'JNH]000 ,0'021H00

12'JNH]00 K'000000 ,0'021H000 0'JK1J00 2'G2NN000 0'01]000

2 2'JNH]00 2'G2NN00 ,0'021H000 0'01]000 2'G0L0000 ,0'0001GK

Exemplo 11: 8eMa a função do Exemplo N' &(x) " x3 Q x Q 2Intervalo inicial atri$uído: Z1' 2[Considerando,se ε W 0'002fBa0 W ,1fB$0 W GfBx W Kx2 1fBa0 w fB$0 W ,G ` 08inal da derivada constanteBfBa0 W 2 e fB$0 W 11

C%lculo da 1 aproximação a0 W x0 W 1 $0 W 2fBa0 W , 1 ` 0fB$0 W G q 0

1LLLN.11[B,,ZG

1[2.B,,1'G1 == x

7este de /arada

hfBx1h Wh, 0'GN]Nh W 0'GN]N q ε Escol+a do &ovo Intervalo

fBa0.fBx1 W B, 1.B, 0'GN]N q 0

+ ?ermanece ,%a&,%a& e ,%b&,%b& )

ε ε = 0"0020"002

06 5 4 3

9

265

43

6

5

4

3

3

4

5

6


37/79

loo: a1 W x1 W 1'1LLLN e $1 W $0 W 2 C%lculo da 2 aproximação: a1 W 1'1LLLN e $1 W 2

fBx0.fBx1 W B, 1.B, 0'GN]N q 0fBa0.fBx1 W B, 1.B, 0'GN]N q 0fBa1 W , 0'GN]N ` 0fB$1 W G q 0

K2KK.10.GN]N[B,,ZGD2

0'GN]N[2.B,,GD2Z1'1LLLN.B

1 == x 7este de /arada

hfBx2h Wh, 0'00L0Jh W 0'00L0J q ε Escol+a do &ovo Intervalo

fBa1.fBx2 W B, 0'GN]N.B, 0'00L0J q 0 loo:a2 W x2 W 1'K2KK e $2 W $1 W 2 C%lculo da K aproximação: a2 W 1'K2KK e $2 W 2

fBx1.fBx2 W B, 0'GN]N.B, 0'00L0J q 0fBa1.fBx2 W B, 0'GN]N.B, 0'00L0J q 0fBa2 W , 0'00L0J ` 0

fB$2 W G q 0K2JHK.1

0.00LJ[B,,ZGD2

0'00LJ[2.B,,D2Z1'K2KK.BG2 == x

7este de /arada hfBxKh Wh0'000N]h W 0'000N] ` ε

Bvalor a!eitvel de rai$


0 1'000000 2'000000 ,1'0000000 G'000000 1'1LLLN00 ,0'GN]N00

1 1'1LLLN0 2'000000 ,0'GN]N000 G'000000 1'K2KK000 ,0'00L0J0

21'K2KK00 2'000000 ,0'00L0J00 G'000000 1'K2JHK00 0'000N]0

+&a$ ,%b&2,%b&2 )

+&a$ ,%b&2,%b&2 )

ε ε = 0"0020"002


38/79

/(todo do Ponto +i"o 6#P+7 >ada uma &unção &(x) !ont?nua no intervalo -a./ onde existe uma rai$ ni!a. &(x) " :. 1 ,oss?veltrans&ormar tal equação em uma equação equivalente x " g(x) e. a ,artir de uma a,roximaçãoini!ial x: . gerar uma seq_'n!ia `xk de a,roximaçUes ,ara ξ ,ela relação xk


39/79

Exemplo 1J: 8eMa a raiO ξ 9 " 9' g 9 (x) " b6 # x e x: " 2.5 x2 " g(x: ) " b6 # 2.5 " 9.29239:373 x9 " g(x2 ) " b6 # 9.29239:373 " 2.86873634: x3 " g(x9 ) " b6 #2.86873634: " 9.::696367 x7 " g(x3 ) " b6 # 9.::696367 " 2.884:89788 x5 " g(x7 ) " b6 # 2.884:89788 " 9.:::76424

Conclui,se ue `xk tende a converir para ξ 9 " 9?nálise Fráfica

Exemplo 1G: 8eMa a euação x3 Q x Q 2 " :' 7em,se as seuintes funç!es de iteração possíveis: g 2(x) " x3 Q 2 g 9(x) " Lb2 < x

g 3(x) " 2;x Q 2*ada uma euação do tipo &(x) " :' +% para tal euação mais de uma &unção de iteração g(x)' talue: &(x) " : ⇔ x " g(x) 8eMa ξ " 2.39783:' g 9 (x) " b2 < x e x: " 2

x2 " g(x: ) " b2 < 2 " 2.958892 x9 " g(x2 ) " b2 < 2.958892 " 2.329987 x3 " g(x9 ) " b2 < 2.329987 " 2.399357 x7 " g(x3 ) " b2 < 2.399357 " 2.397968 x5 " g(x7 ) " b2 < 2.397968 " 2.397633Conclui,se ue `xk tende a converir para ξ W 2.39783:

4n%lise 5r%fica

g+0)g+0)

x

99 (9 (00

4x

1

00

x

2

9

x

g+0)g+0) 9 ( 09 ( 0

4

x1

00

x2 x3x4 x:

{x {x k k } } → → ξ ξ

2 2 quand kk → → inf inf


40/79

7E#E34 2:endo ξ uma rai$ de &(x) " :. isolada em um intervalo I !entrado em ξ e g(x) uma &unção de

iteração ,ara &(x) " :+ e2+ g(x) e g(x) são !ont?nuas em I

9+ h g(x)h ≤ X D 2. ∀ x ∈ I e

3+ x2∈ Ientão a seq_'n!ia `xk gerada ,elo ,ro!esso iterativo xk


41/79

BL xk " xk


42/79

/(todo de 'e;tonada uma &unção &(x) !ont?nua no intervalo -a./ onde existe uma rai$ ni!a. 1 ,oss?veldeterminar uma a,roximação de tal rai$ a ,artir da interseção da tangente !urva em um ,onto x:!om o eixo das as!issas+

x: # atriu?do em &unção da geometria do m1todo e do !om,ortamento da !urva da equação nas

,roximidades da rai$+2onsiderações Iniciais3étodo do Ponto Hixo B XPH (ma das condiç!es de conver\ncia é ue h g(x)h ≤ X D 2. ∀ x ∈ I ' onde I é

um intervalo centrado na raiO 4 conver\ncia ser% tanto mais r%pida uanto menor for h g(x)h

# método de Ye%ton $usca arantir e acelerar a conver\ncia do XPH Escol+a de g(x)' tal ue g( ξ ) " :' como &unção de iteração

*ada a euação &(x) " : e partindo da forma eral para g(x) g(x) " x < A(x)&(x)

usca,se o$ter a função A(x) tal ue g( ξ ) " : g(x) " x < A(x)&(x) ⇒ g(x) " 2 < A(x)&(x) < A(x)&(x) ⇒ g( ξ ) " 2 < A( ξ )&( ξ ) < A( ξ )&( ξ ) ⇒ g( ξ ) " 2 < A( ξ )&( ξ )

4ssim: g( ξ ) " : ⇔ 2 < A( ξ )&( ξ ) " : ⇔ A( ξ ) " #2;&( ξ ). donde se toma A(x) " #2;&(x)+

Então' dada &(x)' a função de iteração g(x) " x # &(x);&(x) ser% tal ue g( ξ ) " :' posto ue g(x) " 2 Q `-&(x)/9 Q &(x)&(x);-&(x)/9

e' como &( ξ ) " :' g( ξ ) " : Bdesde ue &( ξ ) ≠ : *este modo' escol+ido x: ' a se\ncia `xk ser% determinada por

CxB

CxBxx

Y

Y Y 1Y

&

&

′−=+ ' onde k " :.

2. 9. +++

#oti&ação 1eométrica*ado o ponto B xk . &(xk )7raça,se a reta \k (x) tanente - curva neste ponto:

\k (x) " &(xk ) < &(xk )(x#xk )*etermina,se o Oero de \k (x)' um modelo linear ue aproxima &(x) em uma viOin+ança xk

\k (x) " : ⇔ x " xk # &(xk );&(xk ) 6aO,se xk


43/79

Análise 1rá%ca

2on&ergência7E#E34 K:

endo &(x). &(x) e &(x) !ont?nuas em um intervalo I que !ont1m uma rai$ x " ξ de &(x) " : e su,ondo &( ξ ) ≠ :. existir um intervalo j ⊆ I !ontendo a rai$ ξ . tal que se x: ∈ j. a seq_'n!ia`xk gerada ,ela &Ormula re!ursiva

xB

xBxx

Y

Y Y 1Y & &

′−=+

!onvergir ,ara a rai$+

2ondição de Parada4 cada iteração' testa,se se a aproximação encontrada poder% ser considerada como a solução do

pro$lema. h &(xk )h ≤ toler[n!ia h((xk


44/79

2omentários!4 parada poder% ocorrer na Ka iteração B x " 9.::::::226 ' caso a precisão do c%lculo com L casasdecimais for satisfat"ria para o contexto do tra$al+o#$serve,se ue no 0xem,lo 2:' no X1todo do Ponto Hixo com g(x) " b6 # x s" veio a produOir x" 9.:::76424 na Ga iteraçãoExemplo 1]:Considere,se a função &(x) " x3 # x # 2 ' e tol " :.::9 cuMos Oeros encontram,se nos intervalos:ξ 2 ∈ I 2 " (#2. :)' ξ 9 ∈ I 9 " (2. 9)8eMa x: " 2

xk


45/79

/(todo da Secante >ada uma &unção &(x) !ont?nua no intervalo -a./ onde existe uma rai$ ni!a. 1 ,oss?veldeterminar uma a,roximação de tal rai$ a ,artir da interseção da se!ante !urva em dois ,ontos

x: e x2 !om o eixo das as!issas+ x: e x2 # atriu?dos em &unção da geometria do m1todo e do !om,ortamento da !urva da equação

nas ,roximidades da rai$+2onsiderações Iniciais

&o 3étodo de Ye%ton#Ra,hson um dos randes inconvenientes é a necessidade da o$tenção de &(x) e o c%lculo de seu valor numérico a cada iteração.esolve,se este inconveniente su$stituindo a derivada &(xk ) pelo uociente das diferenças

( )1Y

1Y

Y x

CxB CxBk

−

−

−−

≈k

k

x

x & & & . onde xk#2 e xk são duas aproximaç!es uaisuer para a raiO.

4 função de iteração ser% g(x) " xk # &(xk );-(&(xk ) # &(xk#2 ));(xk # xk#2 )/

" (xk # xk#2 ) + &(xk );-&(xk ) # &(xk#2 )/" -xk#2 +&(xk ) Q xk +&(xk#2 )/;-&(xk ) # &(xk#2 )/

[xB,xBZ

[xB.x,xB.ZxBx

1,YY

1,YY Y 1,Y

& &

& & =

Interpretação 1eométrica4 partir de duas aproximaç!es xk#2 e xk #$tém,se o ponto xk


46/79

2ondição de Parada4 cada iteração' testa,se se a aproximação encontrada poder% ser considerada como a solução do

pro$lema. h &(xk )h ≤ ε h((xk


47/79

zComent%rios:4 parada poder% ocorrer na Ka iteração B x " 2.88888 ' caso a precisão do c%lculo com G casasdecimais for satisfat"ria para o contexto do tra$al+o.

*antagens! apideO processo de conver\ncia; C%lculos mais convenientes ue do método de &eton; *esempen+o elevado.

3es&antagens! 8e o c%lculo &(x) não for difícil' então o método loo ser% su$stituído pelo de &eton,

ap+son@ 8e o r%fico da função for paralela a um dos eixos eDou tanencia o eixo das a$scissas em

um ou mais pontos' loo não se deve usar o método da e!ante; *ifícil implementação.


48/79

Anlise !omparativa dos /(todos

2ritérios de 2omparação @arantias de =onvergAncia

-apide$ de =onvergAncia

Es!orço =omputacional

arantias de !onver%>ncia

Wisse!ção e Halsa Posição

Conver\ncia arantida' desde ue a função seMa contínua num intervalo -a./ ' talue &(a)&()D:

Ponto Hixo. Ye%ton#Ra,hson e e!ante

Condiç!es mais restritivas de conver\ncia 8e as condiç!es de conver\ncia forem satisfeitas' os dois )ltimos métodos são mais r%pidos

do ue os demais estudados

&apidez de !onver%>ncia

&)mero de Iteraç!es 3edida usualmente adotada para a determinação da rapideO deconver\ncia de um método

&ão deve ser uma medida conclusiva so$re o tempo de execução do prorama

7empo asto na execução de uma iteração Fari%vel de método para método

#sorço !omputacional

Indicadores &)mero de operaç!es efetuadas a cada iteração;

Complexidade das operaç!es;

&)mero de decis!es l"icas;

&)mero de avaliaç!es de função a cada iteração; e

&)mero total de iteraç!es.

Conclus!es erais so$re a efici\ncia computacional de um método.

Wisse!ção C%lculos mais simples por iteração

Ye%ton

C%lculos mais ela$orados

&)mero de iteraç!es da Wisse!ção é' na rande maioria das veOes' muito maior doue o n)mero de iteraç!es efetuadas por Ye%ton


49/79

2ondições a Serem Satis6eitas pelo #étodo Ideal Conver\ncia asseurada #rdem de conver\ncia alta C%lculos por iteração simples

Escolha do #elhor #étodo

Ye%ton#Ra,hson Caso seMa f%cil a verificação das condiç!es de conver\ncia e o c%lculode &(x)

e!ante Caso seMa tra$al+oso o$ter eDou avaliar &(x) ' uma veO ue não é necess%ria ao$tenção de &(x)

Critério de /arada *etal+e importante na escol+a do método 8e o o$Metivo for a redução do intervalo ue contém a raiO Wisse!ção ou Halsa Posição

Xodi&i!ado Bnão usar o 3étodo da Halsa Posição 8e a escol+a parte de um valor inicial para a raiO Ye%ton#Ra,hson ou da e!ante Bpois

tra$al+am com aproximaç!es xk para a raiO exata


50/79

Exemplo 02: x9 < x Q 6 " :

g+0)g+0)

x

9

1 3 4 :?


51/79

&esolução 'um(rica de ,istemas ineares

,istemas ineares

+orma 1eral

nnnnnn

nn

nn

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

=+++

=+++

=+++

...

...

...

2211

22222121

11212111

onde:aiM coeficientesxi inc"nitas

$i termos independentesExemplo 01

1GJ2

2G1J

GGJ2

K21

K21

K21

−=++=−+=−+

x x x

x x x

x x x

2' J' ,G' J' 1' ,G' 2' J e G coeficientesx1' x2 e xK inc"nitas

G' 2 e ,1 termos independentes

+orma #atricial 4x W $

na ual:

=

nnnnn

n

n

aaaa

aaa

aaa

A

K21

22221

11211

=

n

2

1

=

n x

x

x

x

2

1

Exemplo 02:6orma 5eral:

1GJ2

2G1J

GGJ2

K21

K21

K21

−=++=−+=−+

x x x

x x x

x x x

6orma 3atricial:

−=

−−

1

2

G

.

GJ2

G1J

GJ2

K

2

1

x

x

x

2lassi%cação

Impossível &ão possui soluçãoExemplo 0K


52/79

=+

=+

H22

K

21

21

x x

x x

/ossível /ossui 1 ou mais soluç!es*eterminado 8olução )nica

Exemplo 0J

=−=+]

J

21

21

x x

x x

Indeterminado 3ais de uma soluçãoExemplo 0G

=+

=+

]22

J

21

21

x x

x x


53/79

8eundo passo:

2

K1GJ

KGJ

K

K

JK

==⋅−=−

x

x

x x

7erceiro passo:

11122

12

2

2

JK2

−= −=⋅−+

−=−+

x x

x x x

{ltimo passo:

1

1012GC1BJK

10GJK

1

1

JK21

=−=+⋅−−⋅+

−=+−+

x

x

x x x x


54/79

/(todos 'um(ricos

3iretos8olução pode ser encontrada a partir de um n)mero finito de passos 3étodo de 5auss

3étodo da Eliminação de ordan 6atoração (

Iterati&os8olução a partir de uma se\ncia de aproximaç!es para o valor do vetor solução x ' até ue seMao$tido um valor ue satisfaça - precisão pré,esta$elecida 3étodo de aco$i 3étodo de 5auss 8eidel


55/79

/(todo de auss

Prop7sito7ransformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear trianular;esolução do sistema linear trianular de forma retroativa.

8rans6ormação do Sistema 0inear 7roca da ordem das lin+as;3ultiplicação de uma das euaç!es por um n)mero real não nulo;8u$stituição de uma das euaç!es por uma com$inação linear dela mesma com outra euação.

Passos do #étodo de 1aussConstrução da matriO aumentada:4$

[ ]

=

nnnnnn

n

n

aaaa

aaa

aaa

A

K21

222221

111211

/asso 1:Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas lin+as 2'K'...'n , sendo a21 W aK1' W ... W an1 W 0 , sendo a11c+amado de piv da coluna8u$stituir a lin+a 2' 2' pela com$inação linear:

11

21211212 :' a

amqual na \m \ =⋅−

8u$stituir a lin+a K' K' pela com$inação linear:

11

K1K11K1KK :' a

amqual na \m \ \ =⋅−=

Continuar a su$stituição até a lin+a n;Caso alum elemento a ppW0' ac+ar outra lin+a Y onde aYp| 0 e trocar tais lin+as. Caso a lin+a Y nãoexista' o sistema linear não possui solução.Eliminar os coeficientes de x2 nas lin+as K' J' ...' n BfaOer aK2WaJ2W...Wan2 W 0;Eliminar os coeficientes de xK nas lin+as J' G' ...' n BfaOer aJKWaGKW...WanK W 0 e assimsucessivamente.Exemplo ]:esolver o sistema:

1K2

KKJJGK2

K21

K21

K21

−=+−=−+

=−+

x x x

x x x x x x

3atriO aumentada 4$

[ ]

−−−−

=11K2

KKJJ

G1K2

A

6aO,se: 2'

11

21

2112122 ==⋅−=

a

am \m \ \

4ssim:[ ] [ ][ ]N120

G1K22KKJJ

2

2

−−−=−⋅−−=

\

\


56/79

6aO,se: 1'11

K1

2K1K1KK ==⋅−=

a

am \m \ \

4ssim:[ ] [ ][ ]L2L0

G1K2111K2

K

K

−−=−⋅−−−=

\

\

#$tém,se a matriO:

[ ]

−−−−−

−=

L2L0

N120

G1K2

A

8u$stituindo a lin+a K por: K'22

K2

K21K2KK ==⋅−=

a

am \m \ \

7\m,se:[ ] [ ]

[ ]1GG00

N120KL2L0

=

−−−⋅−−−=

3

3

\

\

4 matriO Z4$[ fica assim com os seuintes valores:

[ ]

−−−

−=

1GG00

N120

G1K2

A

(sa,se a solução retroativa:

=⇒=⇒=−+⇒⇒=−⋅+

=⇒=−−⇒−=−−

=⇒=

2 x99x536 9x

5 x x39x

9 x 39x x9x

3 x255x

222

392

9939

33

Exemplo H:esolver o sistema.

H']]'NN'GN'2

N'11G'JK'22'J

10K'KJ'GG'1

K21

K21

K21

=++=++=++

x x x

x x x

x x x

epresentando o sistema pela matriO aumentada:

=

H']]'NN'GN'2

N'11G'JK'22'J

10K'KJ'GG'1

[Z AW

Escol+endo a primeira lin+a como piv' o$tém,se:[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ]H'11']LJ'020

10K'KG'J1'GB2'ND1'GC]'HN']G'N2'N

1L'KJ'NJ12']20

10K'KG'J1'GBJ'2D1'GC11'NJ'G2'KJ'2

−−−=⋅−=⋅−=

−−−=⋅−=⋅−=

3

23233

9

29299

\

\m \ \

\

\m \ \

epresentando o sistema pela matriO aumentada:

−−−−−−=H'11']LJ'020

1L'KJ'NJ12']20

10K'KG'J1'G

-AW/

Escol+endo aora a seunda lin+a como piv' t\m,se:


57/79

[ ] ( ) [ ][ ]K'H]]]K'KJLK00

1L'KJ'NJ12']2012']2J'02DH'11']LJ'020

−=−−−⋅−−−−−−=⋅−=

3

23933

\

\m \ \

#$t\m,se a seuinte matriO ampliada:

−−−−=K'H]]]K'KJLK00

1L'KJ'NJ12']20

10K'KG'J1'G

-AW/

# ue termina com a trianulação:

−=⋅+⋅+⋅

−=⋅−⋅−⋅

=⋅+⋅+

3.8444 x3.3763 x: x:

26.3 x7.7 x29.49 x:

2: x3.3 x5.72.5x

392

392

392

Com solução:

K'12G1W1'G

0[K'KB,1'1H2,G'JB1'N122,Z10 W

1'N121WB,12']2

B,1'1H20[B,J'NJ,1L'K,ZW

,1'1H1]WK'KJLK

K'H]]],W

x

x

x

2

9

3


58/79

/(todo do Pivoteamento Parcial8emel+ante ao método de 5auss; 3inimiOa a amplificação de erros de arredondamento durante aseliminaç!es;Consiste em escol+er o elemento de maior m"dulo em cada coluna para ser o piv.

E0emplo 6%

esolver o sistema com precisão de J casas decimais

H']]'NN'GN'2

N'11G'JK'22'J

10K'KJ'GG'1

K21

K21

K21

=++=++=++

x x x

x x x

x x x

3atriO aumentada oriinal deve ser aMustada:

H']]'NN'GN'2

N'11G'JK'22'J

10K'KJ'GG'1

B

H']]'NN'GN'2

10K'KJ'GG'1

N'11G'JK'22'J

8istema inalterado' elemento piv ;.!.

Encontrar as novas lin+as:

[1'KN]LJ'H0N1J'221J0Z

[11'NJ'G2'KJ'2ZB2'NDJ'2C[]'HN']G'N2'NZ

[G']21J1'LH2HJ'GN]L0Z

[11'NJ'G2'KJ'2ZB1'GDJ'2C[10K'KG'J1'GZ

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

3

23233

9

29299

\

\m \ \

\

\m \ \

4 matriO ampliada fica da forma:

1'KN]LJ'H0N1J'221J0

G']21J1'LH2HJ'GN]L0

11'NJ'G2'KJ'2

Como o elemento ;.0=6 M% é o piv da 2 coluna' tem,se:

[K'H]]LK'KJLK00Z

[G']21J1'LH2HJ'GN]L0ZJ'GN]LCDBJ'221J [1'KN]LJ'H0N1J'221J0Z

−=⋅−=⋅−=

3

93933

\

\m \ \

4 matriO ampliada fica na forma:

K'H]]L,K'KJLK00

G']21J1'LH2HJ'GN]L0

11'NJ'G2'KJ'2

4 solução do sistema trianular ue resultou dessas operaç!es é:

K'12G2WJ'2

H[J'GB,1'1H1,2'KB1'N122,Z11'N W

1'N121WBJ'GN]L

B,1'1H1H[1'LH2H,ZG']21JW

,1'1H1HW

K'KJLK

K'H]]L,W

x

x

x

2

9

3

Exemplo H: Exemplo 10 Bcom pivoteamento:xK W ,1'1H1] xK W ,1'1H1Hx2 W 1'N121 x2 W 1'N121x1 W K'12G2 x1 W K'12G18olução encontrada no 3atla$:x1 W ,1'1H1H]1KG1H]1KGx2 W 1'N121LN]K21LN]KxK W K'12G221JJG221JG


59/79

/(todo de ordanConsiste em efetuar operaç!es so$re as euaç!es do sistema' com a finalidade de o$ter um sistemadiaonal euivalente;(m sistema diaonal é auele em ue os elementos aiM da matriO coeficiente Z4[ são iuais a Oero'

para i|M' i' M W 1'2'...'n.

8istema diaonal euivalente:

=

nna

a

a

a

A

000

000

000

000

[Z KK

22

11

Exemplo 11:4 partir do sistema:

J2K22K2G

1G

K21

K21

K21

=++ =++

=++

x x x x x x

x x x

Com matriO aumentada:

[ ]

=

=

J2K2

11G1

2K2G

J2K2

2K2G

11G1

A

8u$stituindo a lin+a 2 por:[ ] [ ]

[ ] 0'21DGa

a'0'L0'JJ'L0

'2K2GB1DGC11G1

11

21 ====

⋅−=⋅−=

929

29299

m \

\m \ \

8u$stituindo a lin+a K por :[ ] [ ]

[ ] 0'J2DGa

a'K'20']2'20

2K2GB2DGCJ2K2

11

K1

K

====

⋅−=⋅−=

323

2323

m \

\m \

4 matriO ampliada resulta em:

[ ]

=

K'20']2'20

0'L0'JJ'L0

2K2G

A

8u$stituindo a lin+a K por:

[ ] [ ][ ] 0'JN]2'2DJ'L

a

a'2'H1K0'L0H00

0'L0'JJ'L0B2'2DJ'LCK'20']2'20

22

K2

K

====⋅−=⋅−=

393

9393

m \

\m \

4 matriO ampliada resulta em:

[ ]

=

H1K'2L0H'000

L'0J'0L'J0

1K2G

A

8u$stituindo a lin+a 2 por [ ] [ ]

[ ]1'K1K0J'L02'H1K0'L0H00CB0'JD0'L0H0'L0'JJ'L0

−=

⋅−=⋅−=

9

39399

\

\m \ \

3atriO ampliada resulta em:


60/79

[ ]

−=

H1K'2L0H'000

K1K'10L'J0

1K2G

A

8u$stituindo a lin+a 1 por [ ] [ ]

[ ] 2DJ'Laa

'1'GN1K0G

'1'K1K0J'L0B2DJ'LC1K2G

22

12 ===

−⋅−=

292

2

m \

\

4ora su$stituindo a lin+a 1 por:[ ] [ ]

[ ] KD0'L0H12'NNH00G

2'H1K0'L0H00BKD0.L0HC1'GN1K0G

==−=

⋅−=

33

23232

2

a

am \

\

4 matriO ampliada fica da seuinte forma:

[ ]

−−

=2'H1K0.L0H00

1'K1K0J'L0

12'NNH00G

A

E as soluç!es são:x1 W ,02'GGL'x2 W ,0'2]G'xK W J'N]K


61/79

Decomposição em B# o$Metivo é fatorar a matriO dos coeficientes 4 em um produto de duas matriOes e (.8eMa:

[ ]

⋅

=

nn

n

n

n

nnn u

uu

uuu

uuuu

l l l

l l

l

\*

000

00

0

1

001

001

0001

KKK

22K22

11K1211

K21

K2K1

21

E a matriO coeficiente 4:

=

nnnnn

n

n

aaaa

aaa

aaa

A

K21

22221

11211

7em,se' então:

[ ]

⋅

==

=

nn

n

n

n

nnnnnnnn

n

n

u

uu

uuu

uuuu

l l l

l l

l

\*

aaaa

aaa

aaa

A

000

00

0

1

0

01

001

0001

[Z KKK

22K22

11K1211

K21

K2K1

21

K21

22221

11211

/ara se o$ter os elementos da matriO e da matriO (' deve,se calcular os elementos das lin+as de (e os elementos da colunas de como seue.

1 lin+a de (: 6aOe,se o produto da 1 lin+a de por todas as colunas de ( e a iuala com todos oselementos da 1 lin+a de 4' assim:

==

=⇒=⋅

=⇒=⋅

=⇒=⋅

.'...'2'1'

'1

'1

'1

11

1111

12121212

11111111

n fau

auau

auau

auau

f f

nnnn

1 coluna de : 6aO,se o produto de todas as lin+as de ' Bda 2 a até a n' pela 1 coluna de ( e aiuala com os elementos da 1 coluna de 4' Ba$aixo da diaonal principal' o$tendo '

==

=⇒=⋅

=⇒=⋅

=⇒=⋅

.'...'2'1'

'

'

'

11

1

1

11

1

11111

11

K1

K1K111K1

11

21

21211121

nl u

al

u

al aul

u

al aul

u

al aul

l l

l l l l


62/79

2 lin+a de (: 6aO,se o produto da 2 lin+a de por todas as colunas de (' Bda 2 até a n' eiualando com os elementos da 2 lin+a de 4' Bda diaonal principal em diante' o$t\m,se '

=⋅−=⋅−=⇒=+⋅

⋅−=⇒=+⋅

⋅−=⇒=+⋅

.'...'K'

'

'

'

12122

1212222121

1K212K2K2K2K1K21

1221222222221221

n ful au

ul auauul

ul auauul

ul auauul

f f f

nnnnnn

2 coluna de : 6aO,se o produto de todas as lin+as de Bda K até a n pela 2 coluna de ( e aiuala com os elementos da 2 coluna de 4' Ba$aixo da diaonal principal' o$tendo '

=⋅−

=

⋅−=⇒=⋅+⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅

.'...'K'

'

'

'

22

12122

22

121222222121

22

12J1J2J2J222J212J1

22

12K1K2K2K222K212K1

nl u

ul al

u

ul al aul ul

uul a

l aul ul

u

ul al aul ul

l l l

l l l l l l

+7rmula 1eral!

>⋅−=

≤⋅−=

∑

∑−

=

.'DB

''1

1

fl uul al

fl ul au

ffkflk lflf

l

k kflk lflf

)esumo de Passos!8eMa um sistema 4x W $ de ordem n' onde 4 satisfaO as condiç!es da fatoração (.Então' o sistema 4x W $ pode ser escrito como:(x W $6aOendo (x W X' a euação acima reduO,se a X W $.esolvendo o sistema trianular inferior X W $' o$tém,se o vetor X.8u$stituição do valor de X no sistema (x W X

⇒ #$tenção de um sistema trianular superior cuMa

solução é o vetor x procurado;4plicação da fatoração ( na resolução de sistemas lineares ⇒ &ecessidade de solução de doissistemas trianulares


63/79

Avaliação de #rros &o sistema 4⋅x W $ ' no ual:

=

=

=

nnnnnn

n

n

x

x

x

x

aaa

aaa

aaa

A

2

1

2

1

21

22221

11211

[Z

o erro da solução é x Q x .

Procedimento de 3eterminação do Erro*eterminar:4⋅x W $6aOer:esíduo W Q esíduo W $ $ W 4⋅x , 4⋅x W 4⋅Bx x W 4⋅erro

Ferifica,se ue:# resíduo não é o erro' apenas uma estimativa do mesmo;_uanto menor for o resíduo' menor ser% o erro.Exemplo 12:efinar a solução do sistema:

H']]'NN'GN'2

N'11G'JK'22'J

10K'KJ'GG'1

K21

K21

K21

=++=++=++

x x x

x x x

x x x

CuMa solução encontrada através pelo método de 5auss' utiliOando a solução retroativa é:´1'1H1][, 1'N121 ZK'12G2=(:) x

# resíduo calculado é:

−

−

−

=−=

0.0010

0.000L

0.0002(:)(:) Axr

F\,se pelo resíduo ue a precisão alcançada não foi satisfat"ria.# vetor xB0 é c+amado de vetor solução.Com o intuito de mel+orar a solução' considera,se um novo vetor xB1 c+amado de vetor soluçãomel+orado.*e forma ue : xB1 W xB0 U }B0' onde }B0 é o vetor de correção. 4ssim:

0B0B

0B0B

0B0B

0B0B

1B

B

r A

Ax A

A Ax

x A

Ax

=

−=

=+

=+

=

δ

δ

δ

δ

Calcular o vetor de correção:


64/79

−

−

−

=

0'0010

0'000L

0'0002

.

]'HN']G'N2'N

11'NJ'G2'KJ'210K'KG'J1'G

3

9

2

k

k

k

4 solução é:

=0'0002

0'0001

0'0000

k (:)

*esta forma' a solução mel+orada ser%:

−

=+=

1H201

N1221

12G2K

001

.

.

.

x x )( )( )(

CuMo novo resíduo é:


65/79

=−=

0'0000

0'0000

0'0000

(2)(2) Axr

Em exemplos onde o resíduo ainda não seMa satisfeito pode,se utiliOar o mesmo procedimento:xB2WxB1U}B1

4ssim' o vetor correção }B1' ser% calculado por 4 }B1 Wr B1.4c+a,se assim' sempre uma solução mel+orada e com resíduo tendendo a Oero.


66/79

/(todos Iterativos#corr\ncia em lara escala de sistemas lineares em c%lculos de Enen+aria e modelaem científicaExemplos: 8imulaç!es de processos uímicos 8imulaç!es de dispositivos e circuitos

3odelaem de processos eocientíficos e eoam$ientais 4n%lise estrutural ioloia estrutural 3odelaem de processos físicos

7end\ncia - exist\ncia de matriOes de coeficientes - randes e esparsas 5randes Comum para n 2::+::: Esparsas 3aioria dos coeficientes nulos

esolução de sistemas esparsos por métodos diretos /rocessos de trianulariOação e fatoração #nerosos' por não preservarem

a esparsidade oriinal' ue pode ser )til por facilitar a resolução do sistema.3étodos apropriados para a resolução de sistemas de natureOa esparsa 3étodos iterativos

5auss,aco$i 5auss,8eidel

4 partir de uma estimativa inicial xi:' consistem em encontrar uma se\ncia de estimativas xik ueconvirMa para uma solução do 8E ap"s um n)mero suficientemente rande de iteraç!es.

C0B

C0B

K

C0B

2

C0B

1

n x

x

x

x

C1B

C1B

K

C1B

2

C1B

1

n x

x

x

x

C2B

C2B

K

C2B

2

C2B

1

n x

x

x

x

CB

CB

K

CB

2

CB

1

k

n

k

k

k

x

x

x

x

Fantaem ⇒ 3enos suscetíveis ao ac)mulo de erros de arredondamento do ue o método deEliminação de 5auss.em$retes importantes: Como todo processo iterativo' estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado'

ue ser% tão pr"ximo do resultado real conforme o n)mero de iteraç!es realiOadas. 4lém disto' tam$ém é preciso ter cuidado com a conver\ncia destes métodos.

7ransformação do sistema linear AxW em x W x U g 4: matriO dos coeficientes' n x m x: vetor das vari%veis' n x 1; $: vetor dos termos constantes' n x 1; C: matriO' n x n; e


67/79

: vetor' n x 1.3étodos a estudar ]auss#a!oi ]auss#eidel


68/79

/(todo de auss


69/79

=

0KD10 I1DG,

1DG,01DG,

KD10,2D10,0

V

=

10

L

G

]

10

N

g

4ssim' considerando como estimativa inicial:

=

0'L

1'L,

0'N

0 x

e ε W 0'0G' o$tém,se:

=+=

0'HJ

1'KJ

0']J

Cxx B0B1

ehx1B1 x1B0h W 0'1Jhx2B1 x2B0h W 2'HJhxKB1 xKB0h W 0'KJ

4ssim:

=+=

0'0K0

1'2JJ

0'1G0

Cxx B1B2⇒

ε 0'NK1G1'2JJ

0'H1 d

B2

r >==

e' analoamente:

0'1HL]

1'GLJ0

0'JJ22

Cxx B2BK

=+= ⇒ ε 0'20JL

1'GLJ0

0'K2 d

BK

r >==

Iualmente:

=+=0'0J2J1'JN22

0'K2]2

Cxx BKBJ

⇒ε >== 0'10JH

1'JN220'1GJJ d BJr

e' finalmente:

=+=

0'0H2N

1'G2GH

0'KH2H

Cxx BJBG ⇒ ε 0'0J2J1'G2GH

0'0LJN d

BG

r


70/79

/(todo de auss


71/79

Exemplo 1Jesolver:

.10.G '0LKK

LJK

GG

2−≤=++

=++=++

k R X !om $ y x

$ y x

$ y x

8olução:

( )

( )

( ) ( ) y x $ y x $

$ x y

$ y x

+−=⇒−−=

−−=

−−=

2

1KK

L

1

KLJ

1

GG1

_uadro de resultados do processo iterativo:

,1 , 0 , 1 , ,

0'] 2'2G 0'LG 1 ,0'N2G 2'KNH 2'KNH

1'01G 0'212 0'H2 0'2HK ,0'HLN 0'2G0 0'2HK

1'00H 0'00L 0'H]G 0'0LL ,0'HHN 0'0K0 0'0LL

1'002 0'00N 0'HH] 0'001K ,1 0'00K 0'001K

x W 1'002 X W 0'HH] O W ,1Ferificação Bsu$stituição no sistema

x W 1'002 y W 0'HH] $ W ,1G.B1'002 U 1.B0'HH] U 1.B,1 W G'00] ≅ G # K.B1'002 U J.B0'HH] U 1.B,1 W G'HH] ≅ L # K.B1'002 U K.B0'HH] U L.B,1 W 0 #

2ritérios de 2on&ergência /rocesso iterativo Conver\ncia para a solução exata não arantida para ualuer

sistema. &ecessidade de determinação de certas condiç!es ue devem ser satisfeitas por um

8E para a arantia da conver\ncia do método. Critérios de determinação das condiç!es de conver\ncia

Critério de 8assenfeld Critério das in+as

2ritério de Sassen6eld SeGam as Huantidades i dadas por:

∑=

⋅=n

f

faa 2

1

11

1

1β e

+⋅⋅= ∑∑

+=

−

=

n

i f

if

i

f

fif

ii

i aaa 1

1

1

1β β para i W 2' K' ...' n

n , ordem do sistema linear ue se deseMa resolver

aiM , coeficientes das euaç!es do sistemaEste critério arante ue o método de 5auss,8eidel converir% para um dado 8E se a uantidade3' definida por:

k xk

x X k y

k

y X k $

k

$ X k

R X


72/79

i X ni β max1 ≤≤

=

for menor ue 1 B3`1.Exemplo 0: SeGa ? a matriz dos coeficientes e 7 o vetor dos termos constantes. dados por:

JJJJKJ2J1

KKJKKK2K1

22J2K2221

11J1K1211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

⇒

( )

( )

( )

( )KJK2J21J1JJ

J

KJ2K21K1

KK

K

2J2K121

22

2

1J1K12

11

1

1

1

1

1

β β β β

β β β

β β

β

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

++⋅=

++⋅=

++⋅=

++⋅=

3ostrar ue a solução do 8E a seuir converir% pelo método de 5auss,8eidel.

0'100'J]'02'1J'0

0'12'02'01'0

]'NK'0L'0KL'0

J'02'02'00'2

JK21

JK21

JK21

JK21

−=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++⋅−⋅−

−=⋅−⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−+⋅

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Solução

( )

( )

( )

( ) 2NKL'0KG]'0]'0JJ'02'1N'0J'0J1

KG]'02'0JJ'02'0N'01'01

1

JJ'0K'0L'0N'0L'0K

1

N'02'02'012

1

J

K

2

1

=⋅+⋅+⋅⋅=

=+⋅+⋅⋅=

=++⋅⋅=

=++⋅=

β

β

β

β

10.0, J.0 0.] 1.2 0.J

1.0 0.2 1.0 0.2, 0.1,

N.], 0.K, 0.L, K.0 0.L

0.J 0.2 0.2, 1.0 2.0

= AW

N'0max1

==≤≤ ini

X β 3 ` 1 ⇒ Conver\ncia da solução do sistema a partir do método de 5auss,8eidel

2ritério das 0inhas8eundo este critério' um determinado sistema ir% converir pelo método de 5auss,8eidel' se:

n....'K'2'1'i para'1

=


73/79

J'2]'02'1J'0J

G'02'02'01'01

G'1K'0L'0L'0K

J'12'02'012

JKJ2J1JJ

KJK2K1KK

2J2K2122

1J1K1211

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

J.K'2'1'i para1

=<

∑≠= iin

i f f if

aa

7anto o Critério de 8assenfeld uanto o Critério das in+as são condiç!es suficientes' porém nãonecess%rias' para a conver\ncia do método de 5auss,8eidel para um dado 8E

exemplos - métodos matemáticos em engenharia

Documents