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Métodos Matemáticos en Física III

Ec. Diff-Deriv. ParEc.Ondas, Laplace, Poisson, Ec. Difusion

Problemas

ESTACIONARIOS o No estacionarios

PROCESOS FísicosEn 1D / 2D Ondas en solidos, gases o liquidos, Conduccion de calor,Electroestatica

Cond. ContornoCC1-3;CC para solución en infinito

Examen Parcial Oct.27 /2014 FORMULACION MATEMATICA

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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular

APL: 6.1 Oscilaciones transversales de una membrana rectangular (BORDES FIJOS)

Escojamos el sistema de coordenadas de tal manera que la membrana se encuentre enel cuadrante positivo con uno de sus vértices en el origen.

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Ondas estacionarias

Es razonable pensar que, de entre todo el conjunto de movimientos permitidos, existan algunos de ellos en los que se conserve un determinado perfil de desplazamientos

Sustituimos en Ec. 1

=-

4


Tenemos que resolver 2 ecuaciones

Para que cumplan CC, necesitamos que:

2

3

5


Como contorno es perpendicular, podemos buscar auto funciones como

Para que cumplan CC anteriores, necesitamos que:

4

6


2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

22 2

2

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 1[ ] [ ] => -

>

-

=

d d d dXY XY Y X X Ydx dy dx dy

XY XY

d dX YX dx Y dy

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Sustituyendo (4): v(x,y)=X*Y en Ec.3 obtenemos:

donde

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Autofunciones y autovalores ya hemos calculado antes:

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Entonces:

con

Ortoganalidad de autofunciones vnm

NOTA: se suman de cuadrados de frecuenciasPara obtener cuadrado de frec. angular total

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Para cada nm tenemos ecuación

Con solución general ( autovalores son positivos)

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Frecuencia mas baja

Tiene perfil

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Autovalores degenerados: ejemplo de membrana cuadrada

El perfil de desplazamientos asociado

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Movimiento de la membrana como superposición de ondas estacionarias

Suponemos Cond. Iniciales

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Usando CI

Multiplicando por Y integrando entre 0Lx;Ly

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o

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Analógicamente, de segunda CI (error en el libro APL)

1/nm

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CLASE (1p):Membrana con bordes:2 libres + 2 fijosAutovalores+Autofuncones de problema SL

2 Problemas SL con CC

2

x

y

izquierdo: u(0,y)=0LIBRE derecho: u (a,y)=0

LIBRE abajo u (x,0)=0

arriba : u(x,b)=0

ttu c u

Fijo

Fijo

x

y

a

b

libre

libreFijo

Fijo

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CLASE:Membrana con bordes:2 libres + 2 fijos

Problema SL (x)

2

n

2 2

xx

X(0)=0

( ) ( , )

0 izquierdo: u(0,y)=0 =>

LI X (a)BRE derecho: u (a,y)=0 =>=>

X (x)=Sen[ (2 1) ]2

[ (2 1)]

0

2

=

xx

u T t v x yv

vv XY

X XFijo

n xa

na

x

y

a

b

libre

libreFijo

Fijo

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CLASE:Membrana con bordes:2 libres + 2 fijos

Problema SL (x)

2

m

y

2

2

y

0

LIBRE abajo u (x,0)=0 = Y (0)=0

Y(b)=0

>

arriba : u(x,b)=0 =>

(x)=Cos[ (2 1) ]2

yy

vv

v XY

Y Y

Fijo

Y m yb

x

y

a

b

libre

libreFijo

Fijo

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Autovalores y autofunciones de problema SL:

2 2, [ (2 1)] [ (2 1)]

2 2

( , ) [ (2 1) ]*Cos[ (2 1) ]2 2

n m

nm

n ma b

v x y Sen n x m ya b

x

y

a

b

libre

libreFijo

Fijo

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Membrana con TODOS bordes libres

Problema SL conCC

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Auto función que corresponde a autovalor CERO

analógicamente con procedimiento anterior Encontramos lafrecuencia mas baja

Perfil correspondiente:

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La frecuencia principal de una membrana cuadradacuyos extremos se pueden desplazar libremente se encuentra doblemente degenerada.

Con A,B arbitrarias

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Metodo de Separación de Variables para resolver Ec. Fourier en 2D(Libro Asmar)

a

b

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Aplicamos método de separación de variables

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CC para variable espacial

= -2

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Suma de funciones de variables independientes puede ser CONST solo que cada de estas funciones es CONST

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Ec. diferencial para variable temporal

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SOLUCION GENERAL

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Hallamos coeficientes de CI

Multiplicando por Y integrando de 0a

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como

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Multiplicando por Y integrando de 0b

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Entonces

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