métodos matemáticos da física

7/18/2019 Métodos Matemáticos Da Física

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Métodos Matemáticos

da Física e da Química

Jorge M. Pacheco

Introdução

O objectivo destes apontamentos é facilitar o estudo da matéria que seráleccionada na cadeira de Métodos Matemáticos da Física e da Químicaresumindo, numa notação unificada, os conceitos mais importantes de cada

capítulo. esta versão preliminar no entanto, o presente te!to nem pretendenem pode substituir a biblio"rafia recomendada, cuja consulta é não s#imprescindível como vivamente aconsel$ada. %epois de recordarmos al"umasnoç&es elementares já aprendidas e que serão necessárias para esta cadeira,nomeadamente os conceitos de "radiente, diver"'ncia e rotacional, bem comoal"umas noç&es de cálculo e análise vectorial em coordenadas cartesianas,estudaremos estes operadores diferenciais em coordenadas esféricas ecilíndricas. (fectuaremos então um estudo elementar de cálculo inte"ral em ) *

para depois avançarmos para o tema central da cadeira, que constitui o estudode equaç&es diferenciais, de enorme import+ncia em qualquer ramo de(n"en$aria. o lon"o desse percurso, estudaremos as séries e transformadas

de Fourier que, para além do seu enorme campo de aplicaç&es, nos irão ser-teis na resolução de equaç&es diferenciais.

Notação

TABELA DE ÍCONES

/Para aprofundar

/Problema

Exemplo

Resultado importante

fim de facilitar a consulta destes apontamentos, certos elementtabela de si"nificados se pode ver em destaque 0 esquerda. O ícadicional por parte do aluno, para o que se recomenda a consultconstituem problemas e sua respectiva solução, e destinam1seforma a por em evid'ncia aplicaç&es concretas dos mesmos. Fin

destacar os elementos que serão utili2ados com mais frequ'nciaFinalmente, uma refer'ncia no que di2 respeito a derivadas3 4e

, adoptaremos a convenção de que . Quando uma funçã

usaremos a notação , bem como .

Bibliografia



s refer'ncias neste campo são muitas e e!celentes. Os livros deestudo que se se"uem constituem e!emplos disso. O livro de 5ourant e6ilbert constitui uma refer'ncia mais avançada para o aluno que sentirnecessidade ou tiver interesse em aprofundar os t#picos aquiintrodu2idos, enquanto que o livro de 7ut8ov, para além de cobrir de

uma forma tão válida quanto os livros de rf8en e de M. 9. 7oas ostemas a abordar nesta cadeira, e!iste em tradução :ortu"uesa.

E. Butkov "Física Matemática" Guanabara, Rio de Janeiro,1988

George Arfk Academic Pr

ar! ". Boas "Mathematical methods in the PhysicalSciences" Jo#n $i%e! & 'ons, 1985

R. (ourant , Jo#n $i%e!, 1

DIFERENCIAÇ! IN"E#RAÇ!

;c<cons, u<função real de var. real=



DIFERENCIAÇ! IN"E#RAÇ!



Revisões

Neste 1º capítulo começaremos por rever algumas noçõeselementares de cálculo e análise vectorial em coordenadascartesianas, para depois revermos os conceitos de gradiente,divergência e rotacional.

Vectores e suas operações elementares

>odos os vectores da forma

definem o espaço real ) * onde a adição de vectores se define como

e a multiplicação de um vector por um escalar se define como

onde c é um escalar, ou seja, um n-mero real. 5omo é sabido os vectores, paraalém do seu m#dulo, que é um n-mero real não ne"ativo, possuem ainda umadirecção e um sentido e representam1se através de se"mentos de rectaorientados. adição de vectores "o2a das propriedades comutativa eassociativa e satisfa2, "eométricamente, a denominada re"ra doparalelo"ramo.

Os vectores cont'm, portanto, mais informação do que os n-meros reais.

:ortanto, e para além das operaç&es acima definidas, é possível definir aindaoutras, das quais salientamos 3

/PR!D$"! E%CA&AR, que a dois vectores fa2 corresponder umn-mero real, definido como

onde a primeira i"ualdade corresponde 0 definição de producto escalar;independente de qualquer sistema de ei!os=, enquanto que a se"unda

i"ualdade tradu2 o resultado da operação quando os vectores são



representados através das suas componentes num sistema de ei!os cartesianoortonormal.

(m particular, a norma ou m#dulo de um vector é dada por

%o mesmo modo, con$ecidas as coordenadas cartesianas de ? vectores, étrivial determinar o +n"ulo ;no espaço ) *, mas claro, tudo isto é muito fácil de"enerali2ar para ) = que estes ? vectores fa2em entre si. (m particular,

si"nifica que e são orto"onais. %este modo, o vector nulo éorto"onal a qualquer outro vector.

/%etermine o +n"ulo entre os vectores

:ela definição acima temos que

O producto escalar é comutativo, como se pode verificar através da definição.

/PR!D$"! 'EC"!RIA&, que a dois vectores fa2 corresponder umnovo vector , cujo m#dulo é dado por

onde " é o +n"ulo que fa2em os ? vectores. direcção do vector éperpendicalar ao plano definido pelos ? vectores, e o sentido é definido pelare"ra do saca1rol$as. (m termos das coordenadas cartesianas dos ? vectores,temos



)ecordar que o producto vectorial é anti1comutativo e não é associativo.@erifica1se, entre outras, a i"ualdade

/%etermine o +n"ulo entre os vectores

:ela definição acima temos que

Cálculo e Análise Vectorial

5onsideremos ? tipos de funç&es, que podem depender de uma ou maisvariáveis3

s (u)*+es esca,ares, que a cada ponto definido por um conjunto devalores das suas variáveis associam um n-mero real, e as (u)*+es-ectoriais, que a cada ponto definido por um conjunto de valores dassuas variáveis associam um vector. 4e a cada ponto do espaço

associamos o trio de coordenadas cartesianas , podemos definirum campo escalar como uma função escalar que se representa

"enéricamente como . %o mesmo modo, definimos um campovectorial como uma função vectorial que se representa "enéricamente

como . (m coordenadas cartesianas podemos sempre e!primiro campo vectorial em termos de * campos escalares

F$NÇE% E%CA&ARE%



4eja um campo escalar contínuo que tem primeirasderivadas parciais contínuas num domínio D do espaço ) *.

4ejam , e funç&es contínuas comprimeiras derivadas parciais contínuas num domínio / do plano , de

tal modo que a cada ponto / o ponto

correspondente D . (ntão a

função está definida em /, tem primeirasderivadas parciais relativamente a e a em /, verificando1se que

5asos particulares 3

Ama"inemos que são representados paramétricamente emfunção de uma s# variável ; em física e química, muitas ve2es o

tempo= . (ntão, das equaç&es acima resulta que ;recorde que=3

0 1"E!REMA

4eja um campo escalar contínuo que tem primeiras derivadas

parciais contínuas num domínio D do espaço ) *. 4ejam

e pontos em D tais que o se"mnto de rectapertence a D. (ntão e!iste um ponto nesse se"mento para o qual severifica que

sendo as derivadas parciais determinadas nesse ponto.

F$NÇE% 'EC"!RIAI%

5omecemos por considerar funç&es vectoriais de uma variável, pore!emplo ;ima"inemos, por e!emplo, que é o tempo, e a função

vectorial é a velocidade de uma partícula material=.

Os conceitos básicos de cálculo, como sejam a conver"'ncia,

continuidade e diferenciabilidade, podem também ser definidos paracampos escalares e vectoriais.



função vectorial é derivável no ponto se e!istir o limite

(m termos de componentes cartesianas, temos que

(ste é uma caso especial, como veremos no capítulo ?, uma ve2 que os

versores da representação cartesiana são constantes. 5omefeito, em "eral deviam1se derivar também os versores, s# que no casocartesiano as derivadas são 2ero, uma ve2 que a derivada de um vectorconstante é 2ero. s re"ras familiares de derivação são também válidaspara funç&es vectoriais, incluindo as BnovasB operaç&es envolvendoproductos escalares e vectoriais de funç&es vectoriais. 5laro que épreciso ter cuidado com a ordem de colocação dos factores no caso doproducto vectorial, uma ve2 que este não é comutativo. )esumindo,

DERI'ADA% PARCIAI% DE $MA F$NÇ! 'EC"!RIA&

4e uma função vectorial depender de mais do que uma variável, como éo caso de um campo vectorial, torna1se necessário introdu2ir o conceitode derivada parcial, que não é mais do que uma transcrição, para o casodas funç&es vectoriais, daquilo que já foi aprendido para as funç&esescalares. (ssa correspond'ncia é particularmnete evidente na

representação cartesiana, onde

Gradiente !iverg"ncia e Rotacional

O "radiente, a diver"'ncia e o rotacional são e!emplos de operadores

matemáticos. o entanto, o conceito de operador é muito comum em todos osdomínios das ci'ncias e!actas. Cm operador é mesmo isso3 é al"o que opera



sobre o que encontra 0 sua frente e que, de acordo com certas re"ras,transforma o objecto sobre que opera. Cm operador de cai!a de supermercadoopera sobre a cai!a re"istadora, permitindo assim arma2enar nesta ainformação correspondente ao movimento contabilístico efectuado isto é,transformando o conte-do contabilístico desta. %a mesma forma, um operador

matemático actua sobre a entidade matemática 0 sua frente, e!ecutando umaoperação sobre esta. 4e bem que, de um modo "eral, o domínio de aplicaçãode um operador seja mais vasto, para n#s será suficiente utili2ar as aplicaç&esmais comuns, de modo que definimos que o objecto sobre o qual o operadoractua é o que se encontra 0 sua direita ;claro que $á os que actuam 0esquerda e não s#, mas não os consideraremos aqui=.

%este modo, consideremos um operador, denominado o2erador )a3,a, erepresentado pelo símbolo . (ste operador é um operador vectorialD em

coordenadas cartesianas, tem componentes se"undo . E também um

operador diferencial, uma ve2 que é construído utili2ando derivadas. (mparticular, quando aplicado a uma entidade matemática colocada 0 sua direita,vai efectuar operaç&es de derivação sobre essa entidade.

(m coordenadas cartesianas, temos que

"ora, basta utili2ar a ima"inação para vermos o que se pode obter com este

operador aplicado 0s entidades matemáticas que temos vindo a rever. 5omefeito, seja um campo escalar ;diferenciável= e umcampo vectorial ;também diferenciável=. :ara operarmos com nestescampos, essa operação tem * possibilidades

!PERAD!R NA"$RE4A D!RE%$&"AD!

REPRE%EN"AÇ! CAR"E%IANA

gradie)te -ector

di-erg5)cia esca,ar



rotacio)a, -ector

&a2,acia)o esca,ar

5laro que é possível, con$ecido o resultado de operar com o nabla uma ve2,considerar aplicaç&es sucessivas do operador nabla. mais popular é o

9aplaciano acima. (!istem outras formulas,

@amos a"ora rever as propriedades, características e aplicaç&es destesoperadores.

#RADIEN"E

4eja um campo escalar. derivada direcional de w na direcção do-ersor é dada por ;onde s é um elemento de lin$a na direccção

de 6.

0 1"E!REMA

4eja uma função escalar que tem primeiras derivadas parciais

contínuas. (ntão e!iste e o seu m#dulo e direcção são independentes daescol$a de sistema de ei!os. 4e, num ponto : o "radiente for um vector não

nulo, então tem a direcção da má!ima variação de em :.



Cma aplicação con$ecida deste teorema constitui o resultado se"uinte3

0 1"E!REMA

4eja uma função escalar diferenciável que representa uma

superfície 4 em ) *, dada pela equação . (ntão, se o"radiente de f num ponto : de 4 não for o vector nulo, é um vector normal a 4no ponto :.

a física encontram1se, muitas ve2es, campos vectoriais que se podemescrever como o "radiente de um campo escalar. %enominam1se estes camposcomo campos conservativos. (!emplos de campos conservativos são o campo"ravítico e o campo eléctrico. :ode mostrar1se que, nestes casos, e naaus'ncia de qualquer densidade de subst+ncia ou entidade que produ2 o

campo, este campo escalar satisfa2 a equação de 9aplace .

%etermine o versor do cone de revolução cuja superfície é definida pela

equação no ponto :3

5onsideremos o campo

escalar . O conecorresponde 0 superfície definida por .>emos então que, em qualquer

ponto e, no ponto :, o

"radiente vale de m#dulo i"ual

a . %este modo, $á ? versores a quecorrespondem as coordenadas

cartesianas .

.

DI'ER#7NCIA

0 1"E!REMA

Os valores da diver"'ncia de uma função vectorial dependem apenas dafunção e dos pontos do espaço , mas não da escol$a particular do sistema deei!os em que se representa, ou seja, se considerarmos outro sistema de ei!os

cartesiano onde a função tem componentes , temos que



5onsideremos o movimento de um fluido ;"ás ou vapor= numa re"ião D na qualnão $á quaisquer fu"as ou fontes desse mesmo fluido. elevadacompressibilidade do fluido fa2 com que a sua densidade varie eventualmentede ponto para ponto, pelo que se pode escrever que, na re"ião D temos

, onde é a densidade do fluido.ote1se que a densidade, paraalém de variar de ponto para ponto em D também pode estar a variar notempo. 5onsideremos o flu!o de fluido através de uma pequena cai!a

paralelipipédica, de dimens&es laterais 1 pequenas, no sentido deque, mais tarde, vamos tomar o limite em que as dimens&es tendem para 2ero1 com as faces paralelas ao sistema de ei!os, como se ilustra na fi"ura3

4eja a velocidade do fluido em cadaponto da cai!a. (ntão, o flu!o de massa de fluido em cada ponto por unidade

de tempo ;caudal= vale . 5onsideremos então a variação de massa dofluido que se processa na cai!a por unidade de tempo. 5omecemos porconsiderar o flu!o através da face mais 0 esquerda da cai!a, de área . s

componentes e são paralelas 0 superfície, pelo que não contribuem paraqualquer transfer'ncia de fluido. 9o"o, resta a componente se"undo y , peloque temos que a quantidade de fluido que entra na cai!a num intervalo vale

. %o mesmo modo, a quantidade de fluido que sai da cai!a pela

face oposta vale . través das outras faces passa1se al"o demuito semel$ante, bastando trocar as componentes apropriadas. %este modo,e juntando todos os termos, a quantidade de fluido que atravessa a cai!a nointervalo de tempo considerado vale



onde é o volume da cai!a. 5laro que a variação de massa dentroda cai!a no intervalo pode sempre escrever1se em função da variação, notempo, da densidade de fluido dentro da cai!a, na forma

4e i"ualarmos as ? e!presss&es e dividirmos ambos os membros por ,dei!ando todos os tender para 2ero e tomar o limite, obtém1se a equaçãocontinuidade de um fluido compressível, que tradu2 o princípio da conservaçãoda massa de um fluido na aus'ncia de fontes ou poços 3

o caso do flu!o ser estacionário, ou seja, se a densidade não depender dotempo, temos que

pelo que . 4e a densidade for constante, o fluido di21se

incompressível pelo que não s# como se pode tirar a densidade de

dentro da diver"'ncia ;porqu'=, obtendo , relação que é con$ecidapela condição de incompressibilidade.

Que acontecia se não fosse diferenciável

R!"ACI!NA&

O rotacional de uma função vectorial, tal como a diver"'ncia e o "radiente,encontram in-meras aplicaç&es em vários domínios da ci'ncia. O rotacionalestá invariávelmente li"ado a movimentos de rotação, quer seja a de um corpo

rí"ido, o movimento em v#rtice de um líquido, etc.

>al como para a diver"'ncia, também se pode provar o se"uinte teorema deinvari+ncia para o rotacional3

0 1"E!REMA

O m#dulo e direcção do rotacional de uma função vectorial são independentesde qualquer escol$a particular do sistema de ei!os cartesiano em que serepresenta.

PR!/&EMA%



/:ara que valores de são os vectores e orto"onais

/%etermine todos os vectores orto"onais a . Que conjunto de pontosdo espaço é que é "erado por estes vectores Quantos vectores são

necessários para definir esse conjunto de pontos

/Csando vectores, mostre que se as dia"onais de um rect+n"ulo sãoorto"onais, então o rect+n"ulo é um quadrado.

/%ados os vectores , , determine e

5alcule as primeiras derivadas parciais relativamente a da função

vectorial . 5onstrua a diver"'ncia e o rotacional de .

/5alcule o "radiente da função .

/%etermine a derivada direcional de no ponto P , se"undo a direcção de ,

onde .

Grad# !iv# e Rot# emCoordenadas curvil$neas

Neste 2º capítulo consideraremos o gradiente, divergência erotacional em coordenadas curvilíneas ortogonais, em particularem coordenadas cilíndricas e esféricas.

Qualquer conjunto de * vectores linearmente independentes em ) * formamuma base tal que qualquer vector de ) * se pode escrever como umacombinação linear destes * vectores. @amos representá1los, "enéricamente,

por , admitindo que, numa determinada métrica, o seu comprimento éG, pelo que são versores. Qualquer conjunto de tr's ei!os coordenados queconten$am estes vectores como definindo a sua orientação no espaço,constituem um sistema de coordenadas válido em ) *. @emos, portanto, que $áuma infinidade de sistemas de coordenadas. %estes, vamos impHr uma

restrição importante que simplifica enormemente a representação matemáticade vectores e operadores vectoriais 3 vamos impHr que isto é,



vamos limitar1nos a co)siderar sistemas de coorde)adas ortogo)ais;recordar que o resultado do produto escalar é independente do sistema deei!os=. dmitindo ainda que os vectores estão normali2ados, o sistema decoordenadas di21se, então, orto)orma,. este novo sistema de ei!os

podemos, por e!emplo, e!primir os versores em função dos versores. Obtemos então a lei de transformação entre os ? sistemas de

coordenadas.

%os sistemas de coordenadas ortonormais, vamos apenas considerar ?, queestão naturalmente associados 1 e portanto adequam1se particularmente 1 aproblemas onde se verifique a e!ist'ncia de simetria cilíndrica ou esférica3 sãoos sistemas de coordenadas ci,í)dricas e es(éricas. (m particular, vamos vera forma que o operador nabla assume nestes sistemas de coordenadas,considerando as e!press&es para o "radiente, a diver"'ncia, o rotacional e o

laplaciano.5omecemos por considerar o caso do sistema cartesiano. O vectordeslocamento elementar

e!prime1se, como qualquer outro vector, em função dos versores . Oelemento de arco em ) * pode então escrever1se

5onsideremos a"ora um sistema de coordenadas orto"onal qualquer

de coordenadas . :odemos então escrever para um deslocamentoinfinitesimal neste sistema de coordenadas

:orqu' :orque o sistema de ei!os é orto"onal, pelo que um deslocamento

numa dada direcção, sendo orto"onal 0s outras duas, s# pode conter variaç&esda componente nessa mesma direcção. Os factores hi introdu2em1se por umaquestão de "eneralidade. :or um lado, os deslocamentos podem ser, em "eral,proporcionais 0s variç&es das coordenadasD por outro lado, como veremos, osfactores hi são indispensáveis, pois permitem1nos definir como coordenadas,entidades que não t'm as dimens&es de um comprimento. O caso cartesiano

é, uma ve2 mais trivial, pois temos que . @ejamos o que se passa paraum elemento de lin$a infinitesimal3

.



4e a"ora variarmos de vamos obter um deslocamento se"undo que

vale ;ver fi"ura= D no limite, temos que . plicando omesmo ar"umento para deslocamentos se"undo as outras direcç&es, obtemos

Figura (!emplo de deslocamentos elementares se"undo diremutuamente perpendiculares entre si no ponto :. %e reparar q

coordenadas são curvilíneas ;daí não ser um cubo,distorcido=, s# que, em cada ponto : do espaço, os vectores uorto"onais entre si.

(stamos a"ora em condiç&es de calcular o gradie)te de uma função

di(ere)ciá-e, , bastando para isso recordar que a componente do

"radiente se"undo é a derivada direccional de f se"undo o arco ou seja,

5om efeito, podemos escrever, com toda a "eneralidade,

;reparar que não $á termos cru2ados porque o sistema de ei!os é orto"onal 1seria mais complicado se o não fosse= pelo que temos o resultado mais "eralde

5onsideremos a"ora a di-erg5)cia de um campo vectorial di(ere)ciá-e, .

Cma ve2 mais, e tal como no e!emplo do capítulo G, vamos considerar umBparalelipípedoB distorcido, de dimens&es infinitesimais, e com arestasorientadas se"undo as direcç&es dos versores do sistema de coordenadascurvilíneo orto"onal. O resultado é ilustrado na fi"ura se"uinte3



@amos, tal como no caso anterior, calcular o flu!o através das paredes desteBcuboB. Cma ve2 mais, tirando partido do facto que o sistema de coordenadas é

orto"onal, podemos escrever para o volume do BcuboB ,

enquanto que a área das faces perpendiculares a vale .

5alculando o flu!o total, e con$ecidos con$ecidos os elementos , épossível c$e"ar 0 e!pressão "eral para a diver"'ncia do campo , o que nãovamos fa2er aqui. O resultado, no entanto, é previsível 3

onde está implícito que

.

O rotacio)a, de um campo vectorial di(ere)ciá-e, , tal como o "radiente e a

diver"'ncia, pode escrever1se em função de e das coordenadas

e suas derivadas. sua demonstração é mais elaborada e envolve adefinição do rotacional de uma forma independente de qualquer sistema deei!os, a que c$e"aremos apenas no capítulo se"uinte. sua e!pressão, numsistema de coordenadas orto"onal é dada por

Finalmente, o 9aplaciano obtém1se, como $abitualmente, através do cálculo dadi-erg5)cia do gradie)te em coordenadas curvilíneas.

%etermine a e!pressão "eral do 9aplaciano em coordenadas curvilíneasorto"onais.

C!!RDENADA% CI&8NDRICA%



s coordenadas cilindricas são particularmente -teis na aborda"em deproblemas que envolvam simetria de rotação em torno de um ei!o. :ore!emplo, o campo eléctrico devido a uma distribuição rectilínea de car"a temesse tipo de simetria. O cálculo do momento de inércia de um objecto cilíndricorelativamente a um ei!o que passa pelo centro das suas bases constitui um

outro e!emplo, etc.

(m coordenadas cilíndricas, essencialmente parte1se das coordenadas polaresno plano e Badiciona1seB uma *I dimensão utili2ando a coordenada cartesianaB2B. 5om efeito, deste modo "arante1se a orto"onalidade dos versores em cadaponto do espaço, uma ve2 que os versores polares pertencem ao plano JK,enquanto que o terceiro é perpendicular a este. >emos assim a relação

onde . relação entre as coordenadas cilíndricase cartesianas é ilustrada na fi"ura se"uinte, onde também se mostram oselementos infinitesimais de lin$a ao lon"o das direcç&es definidas pelosversores

)ecordando que , temos que, em coordenadas cilíndricas,

, pelo que temos que



C!!RDENADA% E%F9RICA%

:or sua ve2, as coordenadas esféricas são particularmente -teis na aborda"emde problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um ponto. estascondiç&es, todos os pontos colocados 0 mesma dist+ncia do ponto derefer'ncia são indistin"uíveis. :or e!emplo, o campo eléctrico devido a umacar"a pontual ou o momento de inércia de uma distribuição esférica

$omo"énea de massa são e!emplos de problemas em que $á uma claravanta"em em considerar a sua resolução em coordenadas esféricas.

(m coordenadas esféricas consideram1se uma ve2 mais * coordenadas3 Cmaenvolvendo a dist+ncia do ponto 0 ori"em e dois +n"ulos. Os limites de

variação são . a fi"ura se"uinte ilustra1se adefinição das coordenadas bem como se mostram os elementos infinitesimaisde lin$a ao lon"o das direcç&es definidas pelos versores.

)ecordando que , temos que, em coordenadas esféricas,

. relação entre coordenadas cartesianas e esféricas édada pelas se"uintes e!press&es3



Mostre que

C!!RDENADA% C$R'I&8NEA%cartesia)as ci,í)dricas es(éricas



Integrais %&ltiplos

Neste capítulo generalizaremos os integrais denidos,considerando integrais duplos e integrais triplos, !ue envolvem aintegraç"o de funções de duas e três variáveis, respectivamente.#eremos ainda como efectuar mudanças de variáveis neste tipo de

integrais.

5omecemos por estabelecer al"umas convenç&es que iremos adoptar aolon"o deste capítulo, e que se aplicam ao tipo de funç&es de que iremos fa2eruso.

Cma curva di21se ,isa se tiver uma representação da forma

tal que tem uma derivada contínuaque nunca é i"ual ao vector nulo.

Cm domínio di21se sim2,esme)te co)e:o se qualquer curva fec$ada empode ser comprimida até se redu2ir a um ponto sem abandonar .

Integrais !uplos

o inte"ral definido inte"ra1se a função ao lon"o do se"mento de

recta AB.



um inte"ral duplo, inte"ra1se uma função , denominada funçãointe"randa, numa re"ião (echada e ,imitada do plano XY , delimitada por umacurva que possua uma tan"ente -nica em cada ponto, mas que pode ter umn-mero finito qualquer de +n"ulos ;por e!emplo, uma área trian"ular, etc.=.

Que si"nifica uma re"ião (echada E uma re"ião que contém a curva ;ousuperfície= que a delimita. ( que si"nifica ,imitada E uma re"ião que podeser sempre circunscrita por um circulo ;ou uma esfera= de raio arbitrário, masfinito.

definição de inte"ral duplo se"ue os passos dacorrespondente definição de inte"ral definido, com asdevidas "enerali2aç&es. 5om efeito, começamos porsubdividir a re"ião R em pequenos rect+n"ulos, obtidospor cortes sucessivos da re"ião através de rectas

paralelas aos ei!os coordenados X e Y 1 ver fi"ura.

umerando os rect+n"ulos assim obtidos de G a n , e escol$endo, em cada

rect+n"ulo, um ponto de coordenadas ;para o rect+n"ulo k = , somamostodas as contribuiç&es

onde é a área do rect+n"ulo k . 5onsiderando um n-mero cada ve2 maiselevado de subdivis&es n, de uma forma arbitrária, tendo apenas emconsideração que a dia"onal de cada rect+n"ulo k tenda para 2ero quando n

tende para infinito, pode mostrar1se que a sequ'ncia conver"epara um limite que é independente da forma como as subdivis&es foramefectuadas ;para isso é necessário que R seja uma re"ião limitada por um

n-mero finito de curvas lisas, bem como que seja contínua em R =. (sse

limite define1se como o inte"ral duplo de na re"ião R , e escreve1se

Os inte"rais duplos "o2am de propriedades muito semel$antes 0s dos inte"rais

definidos. 5om efeito, pode mostrar1se que ;k é uma constante e as re"i&es

e são ilustradas na fi"ura, tais que =



Finalmente, podemos enunciar o teorema do valHr médio para inte"rais duplos,que nos di2 que

"E!REMA (!iste pelo menos um ponto em R que satisfa2 a relação

em que A é a área de R .

C;&C$&! DE IN"E#RAI% D$P&!%

Os inte"rais duplos podem1se calcular através de ? inte"raç&es sucessivas.4upon$amos que R se pode definir através de desi"ualdades da forma

1 ver fi"uras

(ntão podemos escrever

.

5om efeito, primeiro calcula1se o inte"ral que é uma funçãode x e!clusivamente. o cálculo deste inte"ral, x é suposto constante;relacione com a derivada parcial L=.

%o mesmo modo, se as desi"ualdades forem dadas por

podemos escrever ;ver fi"uras acima=



onde no cálculo da função de y , y é suposto constante.

Finalmente, quando não é possível obter as desi"ualdades acima em R , mas

quando é possível subdividir R num n-mero finito de sub1áreas nas quaisessas desi"ualdades se podem obter, então podemos aplicar os resultadosacima em cada sub1área e depois adicionar os termos parciais.

O si"nificado dos inte"rais duplos é intuitivo3 O inte"ral

corresponde 0 área da re"ião limitada R . :or outro lado, e do mesmo modo

que o inte"ral definido de me dava a área subtendida pela curva;relembrar 1 é uma área com valHr al"ébrico=, o inte"ral de em R vai1medar o volume ;também com valHr al"ébrico, ou seja, o resultado pode dar um

volume ne"ativo LLL= subtendido pela superfície definida por .(screvemos então

Massa total na re"ião R é dada por

onde se fe2 a mudança de variável . s coordenadas do centro de

"ravidade são

onde se fe2 a mudança de variável . :or ra2&es de simetria, pode

ver1se que .

Quanto aos momentos de inércia, temos que



M$DANÇA DE 'ARI;'EI% EM IN"E#RAI% D$P&!%

5omecemos por recordar como se efctua uma mudança de variáveis no casode inte"rais definidos3

:ressup&e1se que é contínua e tem derivada contínua num certo intervalo

tal que ;ou vice1versa= e que varia entre a e b

quando u varia entre e .

%e um modo muito seml$ante, a f#rmula que nos dá a mudança de variáveis

em inte"rais duplos, de para é

isto é, o inte"ral pode e!primir1se em termos de e , ao mesmo tempo que

é substituído por ve2es o -a,or a3so,uto do Jaco3ia)o

>ambém neste caso se pressup&e que as funç&es e sãocontínuas e t'm derivadas parciais contínuas numa re"ião R * do plano uv de talmodo que o ponto ; x,y = correspondente a cada ponto ;u,v = em R * pertence a R

e, também, a cada ponto ; x,y = em R corresponde um e um s# ponto ;u,v = emR * . Finalmente, o acobiano é ou positivo ou ne"ativo em todo R * .

5onsideremos o caso de coordenadas polares. >emos que

pelo que



e

onde R * é a re"ião no plano correspondente 0 re"ião R no plano .

5alculemos a"ora em coordenadas polares I X do e!emplo anterior. >emos que

Integrais 'riplos

%o mesmo modo que o inte"ral duplo é uma "enerali2ação do inte"ral definido,também o inte"ral triplo é uma "enerali2ação do inte"ral duplo para funç&esescalares de * variáveis. >al como foi feito no caso do inte"ral duplo, vamos

considerar uma função definida numa re"ião ,imitada e (echada T doespaço, que vamos subdividir em n paralelipípedos obtidos através de cortescom planos paralelos aos planos coordenados. %e um modo análo"o, vamos

numerar as cai!as de G até n, por forma a estabelecer o termo ; é ovolume da cai!a k =

da sequ'ncia que pode mostrar1se que conver"e para um limiteque é independente da forma como as subdivis&es foram efectuadas ;para issoé necessário que T seja uma re"ião limitada por um n-mero finito de

superfícies lisas, bem como que seja contínua em T =. (sse limite

define1se como o inte"ral triplo de na re"ião T , e escreve1se

.

>al como no caso dos inte"rais duplos, os inte"rais triplos podem sercalculados através de < inte"raç&es sucessivas, como se ilustra no e!emplose"uinte3



Ca,cu,e o i)tegra, o)de T é o -o,ume de,imitado 2e,a

su2er(ície ci,í)drica de e=ua*>o e as res2ecti-as

3ases .

5omo é evidente esta re"ião tem simetria cilíndrica, pelo que vamostransformar o inte"ral para coordenadas cilíndricas. )elembrando que estassão i"uais 0s polares a que se acrescenta o ei!o dos Z ? temos que

. >ambém e , peloque podemos escrever

.

%etermine

%etermine

%etermine o volume da re"ião do espaço que se encontra debai!o da

superfície e por cima do quadrado com vértices ;N,N=,;G,N=,;G,G=,;N,G=no plano JK.

Ctili2ando coordenadas polares, determine onde

e

%etermine a massa total correspondente 0 se"uinte

densidade distribuída numa re"ião T do espaço 3 onde T é o cubo

%etermine o momento de inércia de uma densidadeunitária de massa distribuída numa re"ião dada pelo cilindro de equação

.



Análise vectorial

Neste capítul !efini"e#s inte$"ais !e linha e inte$"ais !e supe"fície,

be# c# cnsi!e"a"e#s al$u#as !as suas aplica%&es #aisc#uns' (e"e#s c# inte$"ais !e linha p!e# se" t"ansf"#a!se# inte$"ais !e supe"fície e vice)ve"sa, #es# acntecen! ent"einte$"ais !e supe"fície e inte$"ais t"ipls' esta f"#a estu!a"e#s ste"e#as !e +auss, +"een e tkes'

5omecemos por recordar al"umas convenç&es já estabelecidas ;e introdu2iruma outra= que iremos adoptar ao lon"o deste capítulo, e que se aplicam aotipo de funç&es de que iremos fa2er uso.

Cma curva di21se ,isa se tiver uma representação da forma

tal que tem uma derivada contínuaque nunca é i"ual ao vector nulo.

este capítulo, iremos denominar de cami)ho de i)tegra*>o uma traject#riaconstituída por uma ou mais ;mas sempre em n-mero finito= curvas lisas.

Cm domínio di21se sim2,esme)te co)e:o se qualquer curva fec$ada empode ser comprimida até se redu2ir a um ponto sem abandonar .

IN"E#RAI% DE &IN@A

O conceito de inte"ral de lin$a constitui uma "enerali2ação do conceito de

inte"ral definido . o caso do inte"ral definido, o inte"ral é efectuado

ao lon"o do se"mento de recta pertencente ao ei!o dos J, sendo umafunção definida em qualquer ponto deste se"mento de recta. o caso do

inte"ral de lin$a, vai1se inte"rar uma função vectorial ao lon"o de umacurva , definindo1se como

(m coordenadas cartesianas, se conse"uirmos representar paramétricamente

as coordenadas em função de um s# par+metro , temos que

uma ve2 que temos , etc, e portanto, , etc.



%e reparar que, através da definição fica estabelecida uma relação entre uminte"ral de lin$a e um inte"ral definido. o entanto, é fácil compreender que ointe"ral de lin$a é mais "eral e fle!ível do que o seu parente mais pobre, ointe"ral definido. 5om efeito, a"ora a curva não está limitada ao ei!o dos J,mas sim pode ser um cami)ho de i)tegra*>o qualquer, como ilustrado na

fi"ura abai!o. (m particular, a curva - pode ser uma curva fec$ada 1 ver fi"ura1 sem no entanto si"nificar que o inte"ral é 2ero. 5laro que o preço a pa"ar poresta fle!ibilidade é o recurso ao cálculo vectorial, o que torna os cálculos maiscomplicados. 5omo é evidente da e!pressão acima, a complicação reside narepresentação paramétrica da curva, que nem sempre é trivial.

4e o camin$o de inte"ração é uma curva fec$ada, "eralmente o inte"ral

escreve1se .

Os inte"rais de lin$a "o2am de al"umas propriedades de certa forma intuitivas,tendo em consideração que constituem uma "enerali2ação dos inte"rais

definidos ;k é uma constante e as curvas e são ilustradas na fi"urase"uinte=3

Finalmente, se o cami)ho de i)tegra*>o fHr percorrido no sentido inverso,

então o valor do inte"ral de lin$a vem multiplicado por B.

Cm caso típico de problemas em Física e Química que envolvem inte"rais delin$a é o trabal$o efectuado por uma força variável para transportar um corpode massa # do ponto A até ao ponto B através de uma traject#ria curvilínea - .

5onsideremos uma força que actua sobre uma partícula que

descreve a traject#ria , que corresponde 0$élice ilustrada na fi"ura3

>emos, portanto, que , pelo que o trabal$o vale



, uma ve2que

%e reparar que a e!pressão do inte"ral de lin$a , no conte!to damec+nica, tem um si"nificado particularmente simples3 4e dividirmos a

traject#ria - em pequenos se"mentos de recta de comprimento querepresentamos por vectores elementares , então o inte"ral de lin$a não émais do que soma, para todos os se"mentos infinitesimais ;e no limite em que

tende para 2ero= da componente efica2 de em cada se"mento. 5laro, a

componente efica2 de ;pense em como uma força e o inte"ral como o

cálculo de um trabal$o= não é mais do que a projecção de se"undo adirecção especificada por em cada se"mento de recta elementar.

E importante ter em conta que os inte"rais de lin$a dependem do cami)ho dei)tegra*>o escol$ido, mesmo quando os pontos inicial e final são o mesmo.(sta afirmação é fácil de confirmar com o se"uinte e!emplo3

@amos calcular o inte"ral de camin$o da função se"undo? cami)hos de i)tegra*>o distintos, mas com os mesmos pontos iniciais A./0,0,01 e B./2,2,21 3

1. 3 O se"mento de recta que li"a A a B,

2. 3 O arco de curva parab#lico

Fa2endo as substituiç&es de em obtemos3

pelo que os inte"rais valem



Fica então a questão3 %erá =ue e:istem (u)*+es 2ara as =uais os i)tegraisde ,i)ha e)tre 2o)tos es2ecí(icos )>o de2e)da da traectria =ue os ,iga @amos ver que sim, bem como em que condiç&es é que tal propriedade severifica. (sse é o resultado do teorema se"uinte3

"E!REMA

Cm inte"ral de lin$a com contínuasnum domínio no espaço é independente do cami)ho de i)tegra*>o em

se e s se é o "radiente de uma função em 3 .

5omo é evidente, se o inte"ral entre ? pontos A e B que constituem ose!tremos do cami)ho de i)tegra*>o C é independente do camin$o que li"aestes ? pontos, então ele s 2ode de2e)der desses 2o)tos? pelo que

podemos escrever . Asso si"nifica que o i)tegra, de,i)ha de uma (u)*>o deste ti2o ao ,o)go de uma traectria (echada é)u,o? i)de2e)de)teme)te da traectria.

5om efeito, podemos escrever quando a função satisfa2 as condiç&es acima3

Ca,cu,ar o i)tegra, e)tre A=GH?B?6 e B=GB?B?6?

mostra)do 2rimeiro =ue e uti,ia)do o resu,tado acima.

4e então temos que .

5omecemos por inte"rar . )eparar que é a derivada parcial de f relativamente a x , pelo que qualquer depend'ncia em y ou em 3 é considerada

como constante. %este modo, inte"rando relativamente a x vamos obter f amenos, não de uma constante, mas sim de uma função de y e de 3 . :odemos

então escrever que . %erivemos parcialmente em ordem a y e

i"ualemos a . Obtemos . Ante"rando em ordem a y e recordandoque $ é função apenas de y e 3 , temos, e!actamente pelos mesmos

ar"umentos de $á pouco, que . Obtemos assim

. %erivando parcialmente em ordem a 3 , obtemos

que, comparando com nos permite escrever ou seja



. untando todos os termos, podemos escrever que o campo escalar f

vale pelo que

5omo vimos, a independ'ncia do cami)ho de i)tegra*>o relaciona o campo

vectorial com o "radiente de um campo escalar f . ão será, portanto, deestran$ar o resultado contido no se"uinte

"E!REMA

4ejam , no inte"ral funç&es contínuascom derivadas parciais contínuas num domínio no espaço. (ntão3

a. 4e o inte"ral de lin$a é independente do cami)ho de i)tegra*>o em ,

então

, pelo que, em coordenadas cartesianas, podemos escrever3

b. 4e se verifica em , e é simplesmente

cone!o, então

é independente do camin$o em .

@ejamos como é possível relacionar inte"rais de lin$a com inte"rais duplos evice versa. (sse é o resultado contido no teorema de reen no plano.

"E!REMA DE #REEN

4eja uma re"ião fec$ada e limitada do plano delimitada por uma curvaque se pode representar como a soma de um n-mero finito de curvas lisas.

4ejam e funç&es contínuas com derivadas parciais contínuas

e em toda um domínio que contém . estas condiç&es,temos que

e!pressão acima pode reescrever1se em notação vectorial da se"uinte forma3



demonstração deste teorema pode encontrar1se na biblio"rafia aconsel$adapara esta cadeira. qui vamos verificar a veracidade do teorema através de ume!emplo3

Mostre =ue o teorema de #ree) é -a,ido 2ara e

em =ue é a circu)(er5)cia de e=ua*>o .

O inte"ral duplo vale ;a área do círculo unitário vale B=

:ara calcular o inte"ral de lin$a, vamos representar paramétricamente a curva. :odemos escrever

pelo que de modo que

e . %este modo, o inte"ral de lin$a pode escrever1se

N!"AK (!iste uma ambi"uidade no sentido em que a curva fec$ada épercorrida. 5omo vimos, neste caso, ao inte"rarmos entre N e estamos

implicitamente a rodar no sentido anti1$orário. (ste coincide com o sentido decirculação positivo. 5om efeito,

se)tido de circu,a*>o é 2ositi-o =ua)do se circu,a ao ,o)go da cur-a(echada de ta, modo =ue a área =ue esta de,imita se e)co)tra L es=uerda 1ver fi"ura.



REPRE%EN"AÇ! DE %$PERF8CIE%

Os inte"rais de superfície estão para os inte"rais duplos como os inte"rais delin$a estão para os inte"rais definidos. 5om efeito, os inte"rais definidoscorrespondiam a um inte"ral de lin$a muito particular, em que a traject#ria eraum se"mento de recta coincidente com o ei!o dos J e a função correspondia

apenas 0 componente se"undo J da função vectorial. o "enerali2ar o conceitode inte"ral para uma lin$a curva qualquer, tivemos de recorrer 0 notaçãovectorial, bem como vimos a conveni'ncia de representar paramétricamente acurva. %o mesmo modo, os inte"rais duplos correspondem a inte"rais desuperfícies no plano JK, ou seja, superfícies planas, representáveis porfunç&es escalares de ? variáveis. 5omo é evidente, muitas superfícies de"rande interesse 1 e mesmo até de elevada simetria, como é o caso dassuperfícies cilíndricas e esféricas 1 não são planas, pelo que, uma ve2 mais,vamos "enerali2ar o conceito de inte"ral duplo, recorrendo a funç&esvectoriais. >al como no caso dos inte"rais de lin$a, será muito -til representarparamétricamente as superfícies, pois desta forma conse"uiremos transformar

inte"rais de superfície em inte"rais duplos. 5omecemos portanto, porestabelecer a notação e ver al"uns e!emplos de superfícies curvas e suarepresentação paramétrica.

s representaç&es de superfícies no espaço cartesiano JKP podem escrever1

se nas formas ou . :or e!emplo, ou

representam um semi1$emisfério de raio centradona ori"em.

5omo vimos, para as curvas nos inte"rais de lin$a, a representaçãoparamétrica onde , permitia estabelecer um mapeamento do



intervalo , pertencente ao ei!o na curva no espaço JKP 1 ver fi"urese"uinte. %o mesmo modo, na representação paramétrica de uma superfíciefar1se1á um mapeamento semel$ante. Cma ve2 que as superficies sãobidimensionais, serão necessários ? par+metros para as representar. Oprocesso de representação paramétrica é ilustrado na fi"ura se"uinte3

%este modo, a representação paramétrica de uma superfície tem a forma3

onde , sendo % uma dada re"ião no plano . %este modo, todo o

ponto é mapeado num ponto de cujo vector posição é dado por

.

Co)sideremos a re2rese)ta*>o 2aramétrica de um ci,i)dro K

equação que representa uma superfície cilíndrica de raio e altura ? pode

escrever1se, em coordenadas cartesianas, na forma .Cma possível representação paramétrica é dada por ;recordar coordenadas

polares= , onde .

Qual a representação paramétrica de uma superfície esférica

Quantas representaç&es paramétricas são possíveis para uma dadasuperfície



P&AN! "AN#EN"E E 'EC"R N!RMA& A $MA %$PERF8CIE

%ada uma superfície curva , define1se vectHr normal a essa superfície numponto : como o vector que é normal ao plano tan"ente 0 superfície nesseponto 1 ver fi"ura.

:ara encontrar o vectHr normal a essa superfície num ponto : é fácil3 4e é

dada por , então . Que forma tem quando serepresenta paramétricamente a superfície Cma ve2 que e são

coordenadas no plano , se calcularmos a derivada direccional de

se"undo e , ou seja, e , e se estes vectores forem

linearmente independentes ;isto é, se =, podemos utili2ar apropriedade do producto vectorial para "erar um versor normal a em :3

Quando e satisfa2em , sendo contínuos em todos os pontos :em , então tem uma tan"ente bem definida em todos os seus pontos, bem

como uma -nica normal que é "erada pelos vectores e , cuja direcção

depende contínuamente dos pontos : de .%i21se então que é umasu2er(ície ,isa.

%e reparar que e!iste sempre uma ambi"uidade na definição do versor normala uma superfície. (ssa ambi"uidade refere1se ao seu sentido, e essa vaiconstituir, na maior parte dos casos, uma escol$a nossa. o entanto, e talcomo no caso dos inte"rais de lin$a, em que estabelecemos um sentido decirculação positivo, também no caso dos inte"rais de superfície se tornanecessário orie)tar as superfícies. (ssa orientação será feita relativamente aosentido de circulação ao lon"o da fronteira ;curva= que as delimita, comoveremos.



5onsideremos então uma superfície ,isa. (sta di21se orie)tá-e, se umversor , especificado num qualquer ponto de pode ser continuado de umaforma -nica e contínua por toda a superfície . 5laro que uma porçãosuficientemente pequena de qualquer superfície lisa é orientável. o entanto,esta propriedade não se verifica necessáriamente em superfícies finitas ;é

como nas rotaç&es dos corpos 1 rotaç&es infinitesimais comutam, mas rotaç&esfinitas não 1 recordar as aulas de mec+nica, por e!emplo=. Cm e!emplo calro éa banda de Mbius 1 ver fi"ura3

5onsideremos então uma superfície que se pode representar como umconjunto finito de superfícies ,isas. (sta di21se orie)tá-e, se conse"uirmosorientar cada uma das superfícies ,isas de tal modo que ao lon"o de cadacurva - * que constitui uma fronteira comum entre ? superfícies ,isas 2 e 4 , adirecção positiva de - * relativamente a 2 é oposta 0 direcção positiva de - * relativamente a 4 1 ver fi"ura3

%esta forma também temos um modo de definir um sentido para o versornormal a cada superfície ,isa? da forma como se ilustra na fi"ura acima 1 é osentido de avanço de um saca rol$as posicionado perpendicularmente 0

superfície no ponto em causa, fa2endo1o rodar no sentido de circulaçãopositivo ao lon"o da curva - ;0 esquerda= ou - * ;0 direita=.

IN"E#RAI% DE %$PERF8CIE

)ecordar que o conte-do destas notas não é de modo al"um e!austivo, peloque o aluno é aconsel$ado uma ve2 mais a aprofundar a matéria, co)su,ta)doa 3i3,iogra(ia recome)dada.

5onsideremos então uma superfície , representada paramétricamente

através da equação "enérica . 4endo umasu2er(ície ,isa ou então a soma de um )mero (i)ito de su2er(ície ,isas, de



tal forma que tem um vector normal e um versor normalem todos os pontos de ;e!cepto, eventualmente em al"uns pontosan"ulosos, como os vértices de um cubo ou o vértice de um cone= define1se

inte"ral de superfície de uma função vectorial em como

ote1se que é a componente de normal 0 superfície em cada ponto,pelo que o inte"ral de superície vai corresponder ao cálculo do flu!o do campo

vectorial através de .

• )ecordando a definição de e como derivadas direccionais se"undoe ,

• tendo em conta que, pela definição de producto vectorial, é

i"ual 0 área do paralelo"ramo definido por e

,

temos que , pelo que .

5onsideraremos ainda um outro tipo de inte"rais de superfície

este caso, é o elemento de área da superfície enão está implícita qualquer orientação desta através de um versor .

5onsideremos a"ora al"umas aplicaç&es elementares de inte"rais de

superfície3

Ca,cu,e o (,u:o de água atra-és do ci,i)dro 2ara3,ico

se o cam2o de -e,ocidade da água (or dado e 2or

? em metros 2or segu)do.

:rimeiro vamos representar paramétricamente .

Fa2endo e temos que e donde e

pelo que . a superfície , o campo de velocidade da á"uavale de modo que .



Ante"rando, temos que metros*Rse"undo. tendendo a que a densidade da á"ua vale G "rRcm*<G S"Rlitro, a quantidadede á"ua que atravessa vale G?NNN S"Rse".

)eparar que, neste e!emplo, )ada (oi dito )o =ue toca L esco,ha de . 5omefeito, e como vem sendo $abitual, $á uma ambi"uidade na escol$a desteversor. Que sucede ao -a,or do i)tegra, =ua)do se troca 2or

"E!REMA

A su3stitui*>o de 2or corres2o)de a mu,ti2,icar o i)tegra, desu2er(ície 2or B.

4e este resultado parece natural, talve2 não seja imediato conceber comotransformar, de um modo automático, por . Cma análise da forma comose obtém o versor su"ere um método muito simples3 se trocarmos com

temos que passa a ser e vice1versa. Cma ve2 que o produto vectorial éanti1comutativo, imediatamente se obtém a inversão de .

Ca,cu,e a área de uma su2er(ície es(érica de raio .

representação paramétrica de uma supercífie esférica pode efectuar1se;recordar a definição de coordenadas esféricas= do se"uinte modo3

onde e . :or cálculo directo, obtém1se

pelo que a área da superfície esférica vem dada por

Ca,cu,e a área da su2er(ície toroida, da (igura Gdough)ut6.



(sta superfície obtém1se por rotação de uma circunfer'ncia em torno de umei!o ;no nosso caso o ei!o dos P= de tal forma que a circunfer'ncia nãointersecte o ei!o mas este pertença ao seu plano 1 ver fi"ura3

:odemos, portanto, representar paramétricamente estasuperfície através da se"uinte função vectorial3

pelo que

estas condiç&es, a área vem dada por3

"E!REMA DE #A$%%

O teorema de auss permite1nos relacionar i)tegrais de su2er(ície com os

i)tegrais tri2,os já estudados anteriormente.4eja T uma re"ião fec$ada e limitada no espaço, cuja fonteira é uma superfície orientável ou então se pode decompHr num conjunto finito de superfícies

orientáveis. 4eja uma função vectorial contínua com primeirasderivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T . estascondiç&es, temos que

onde é o versor normal que aponta para fora da superfície ' (mcoordenadas cartesianas, podemos escrever

Determi)e o i)tegra, ? o)de % é a

su2er(ície (echada de,imitada 2e,o ci,i)dro eres2ecti-as 3ases circu,ares.



>emos que .(m coordenadas cilíndricas, e utili2ando oteorema de auss, podemos escrever

'eri(i=ue o teorema de #auss )o i)tegra, ? o)de % é a

su2er(ície .

Cma ve2 que , pelo teorema de auss podemos e!crever que

o inte"ral vale . :ara calcular o inte"ral de superfície

directamente, podemos utili2ar a representação paramétrica de uma superfícieesférica já considerada num e!emplo anterior, e calcular o inte"ral para .:odemos escrever,

onde e . :or cálculo directo, obtém1se

a superfície , o campo vale, na representação paramétrica,

pelo que a área da superfície esférica vem dada por ; =,

"E!REMA DE %"!OE%

O teorema de 4to8es permite1nos transformar inte"rais de lin$a em inte"rais desuperfície e vice1versa.

4eja então uma superfície orientada no espaço, que é lisa ou entãodecomponível num n-mero finito de superfícies orientadas lisas. 4eja - afronteira de , constituindo uma curva fec$ada lisa ou então decomponível num

n-mero finito de curvas lisas. 4eja uma função vectorial contínua com



primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém .estas condiç&es, temos que

onde é um versor normal a de acordo com o sentido de circulação em - 1ver fi"ura.

%a fi"ura também se pode adivin$ar ocamin$o para demonstrar o teorema de4to8es3 Ctili2ando o teorema de reen jáenunciado, utili2ando a projecção da

superfície no plano JK.

E importante não esquecer que o teorema de 4to8es se aplica a superfíciesabertas, pois s# neste caso se estabelece inequívocamente uma curvadelimitadora.

%e reparar que, pelo teorema de 4to8es, se torna evidente que, se uma funçãovectorial se pode escrever como o "radiente de uma função escalar, então ointe"ral ao lon"o de qualquer circuito fec$ado é 2ero. @oltamos a encontrarfunç&es cujo inte"ral de lin$a não depende da traject#ria que li"a os pontosinicial e final 1 são as denominadas (u)*+es co)ser-ati-as.

'eri(i=ue o teorema de %toes 2ara o cam2o ? o)de % é o

2ara3o,oide -er (igura a3ai:o.

5omecemos por determinar o inte"ral de lin$a. Ocontorno - é a circunfer'ncia de raio unitário noplano JK, pelo que

:ara determinar o inte"ral de superfície, precisamos de determinar

. :ara calcular um vector normal 0 superfície, basta recordar

que esta é a superfície equipotencial do campo escalar

, pelo que . o ponto de



coordenadas o vector aponta para o interior do paraboloide. Asso

si"nifica que o sentido de )>o está de acordo com o se)tido de

circu,a*>o de - . :ortanto, ou mudamos o sentido a ou então ficamos desde

já a saber que vamos obter o simétrico do resu,tado 2rete)dido. 5om istoem mente, podemos então escrever

. solução é maissimples se convertermos o inte"ral para coordenadas cilindricas. Obtemos,então,

, que é o resu,tadosimétrico? como se pretendia.

%etermine, atrvés do teorema de auss, o inte"ral de superfície ,onde é a supefície da cai!a paralelipipédica de limites

.

%etermine o inte"ral por inte"ração directa, onde é o

quadrado de limites e .

Mostre a -a,idade do teorema de %toes )o 2ro3,ema a)terior.

Resumo de Análise Vectorialos capítulos anteriores, "enerali2amos o conceito de função real de variávelreal para funç&es escalares, isto é, func&es reais de mais do que uma variávelreal. :ara além destas, consideramos ainda as funç&es vectoriais de variáveisreais que, uma ve2 mais se podem ver como uma "enerali2ação das funç&esescalares com o fim de descrever vectores que variam de ponto para ponto doespaço. través do operador diferencial nabla, conse"uimos estabelecertransformaç&es entre os diferentes tipos de funç&es que definimos. %o mesmomodo, "enerali2amos o conceito de inte"ral definido de uma função real devariável real para funç&es escalares, tendo sido introdu2idos os conceitos deinte"rais duplos e triplos. >irando partido das funç&es vectoriais, "enerali2amosos inte"rais con$ecidos introdu2indo os inte"rais de lin$a e de superfície.

O resultado final não é nada desanimador 1 com efeito, e no espaço (uclidiano

representado em coordenadas cartesianas, as funç&es vectoriais sãotransformadas numa BlistaB de várias ;? no plano, * no espaço= funç&es



escalares. O mesmo acontece em coordenadas curvilíneas ortogo)ais? sebem que $á que ter mais cuidado e recordar que a"ora os versores não sãoimutáveis como no caso cartesiano, e portanto as coordenadas, num dadoponto do espaço, estão relacionadas entre si. Asso leva 0 introdução dos

factores e suas combinaç&es, no que toca 0 forma do gradie)te?di-erg5)cia e rotacio)a, nesses sistemas de coordenadas, bem como aoaparecimento do Jaco3ia)o no estabeleecimento de uma medida deinte"ração nos inte"rais m-ltiplos. >ornou1se também necessário de recordaros conceitos de derivada parcial, que nos permitem Bor"ani2arB e Bsistemati2arBo processo de diferenciação para funç&es de mais do que uma variável real. %eum modo análo"o, foi necessário "enerali2ar o conceito de inte"ral definidopara Bor"ani2arB e Bsistemati2arB o processo de inte"ração de funç&es de maisdo que uma variável real. >ambém os inte"rais de lin$a e de superfície defunç&es vectoriais estão directamente li"ados a inte"rais m-ltiplos de funç&esescalares, podendo muitas ve2es ser convertidos entre si bem como nestes

-ltimos ;e vice1versa=, recorrrendo aos teoremas de reen, auss e 4to8es. Oquadro se"uinte ilustra as inter1relaç&es que foram estabelecidas nestes-ltimos capítulos.



()ries Integrais e

'ransformadas de *ourier Neste capítulo, depois de uma rápida incurs"o no domínio das funções ortogonais, consideraremos séries, integrais etransformadas de $ourier, com ênfase nas suas propriedades eaplicações. Num apêndice a este capítulo alguns resultadosrelevantes de cálculo com n%meros comple&os ser"o revistos



Introdução

Fen#menos peri#dicos ocorrem recorrentemente em Física e Química bemcomo nas suas aplicaç&es nos diferentes ramos de (n"en$aria. Cm problemaque ocorre frequentemente neste conte!to envolve a representação de funç&esperi#dicas mais ou menos comple!as em termos de funç&es simples, como osin x ou cs x' %esta forma somos condu2idos 0s séries de Fourier. 4e bemque a fundamentação da teoria subjacente seja elaborada, as aplicaç&es sãovastas e simples.

Os conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier podem serestendidos para o caso de funç&es que não são peri#dicas, através dosinte"rais de Fourier que, por sua ve2, estão na ori"em das transformadas deFourier. utili2ação de séries e transformadas de Fourier revela1se

particularmente eficiente na resolução de equaç&es diferenciais, como veremosnos capítulos se"uintes. 5omecemos, no entanto, por abordar, de formaintrodut#ria, o conceito de funç&es orto"onais bem como e!pans&es em sériesde funç&es orto"onais, onde as séries de Fourier se enquadram com toda anaturalidade.

*unções +rtogonais

5omecemos por recordar que dois vectores são orto"onais se .

5omo vimos, a definição de produto escalar é independente da representaçãovectorial, o que nos permite "enerali2ar o conceito de orto"onalidade para um

n-mero arbitrário de dimens&es. ssim, num espaço a TN dimens&es,

si"nifica que, de um modo que nos é impossível visuali2ar, os ? vectoressão orto"onais, da mesma forma que ? vectores no plano são orto"onais;neste caso, também perpendiculares entre si, do modo $abitual=.

%e uma forma inteiramente análo"a, podemos ima"inar uma função A/x1 comoum vector num espaço de dimensão infinita, de componentes A/x i 1, onde x i pertence a um dado intervalo /a,b1. ote1se que, uma ve2 que x é uma variável

real ;o conjunto dos n-meros reais é densoL= mesmo que o intervalo /a,b1 sejafinito, o n-mero de componentes será sempre infinitoL

(ntão e deste modo, dadas ? funç&es A/x1 e B/x1, definidas num mesmointervalo /a,b1, n#s podemos di2er que elas são orto"onais se

%o mesmo modo, um vector é um vector normali2ado, ou versor, se U U?<

<G. ssim, podemos "enerali2ar o conceito e afirmar que uma função A/x1é normali2ada no intervalo /a,b1, se



5onsideremos então um conjunto de funç&es Vf 8 ;!=W, 8<G,?,*... definidas em/a,b1'

4e se verificar que

di2emos que 5f k 6forma um conjunto !R"!N!RMA& de funç&es. d 8,m é osímbolo de Sronec8er definido atrás.

Qualquer vector , num espaço (uclidiano tridimensional, se pode escrever

como uma combinação linear dos * versores que constituem a BbaseBcartesiana de )* .

%e um modo inteiramente análo"o, podemos querer averi"uar da possibilidadede e!pandir uma função f/x1 numa BbaseB de funç&es ortonormais, através dasérie ;Bcombinação linearB com um n-mero infinito de termos=

(stas séries, denominadas %9RIE% !R"!N!RMAI%, de que a série deFourier é apenas um e!emplo ;porqu' = constituem um elemento deimport+ncia recorrente em Física e Química, e que certamente já encontraram;ou estão prestes a encontrar= no estudo da Mec+nica Qu+ntica.

5omo nota final, resta acrescentar que o conceito de ortonormalidade é mais"eral do que o escrito acima. 5om efeito, e dada uma certa Bfunção de pesoB7/x1/8 0, a9 x 9 b1, podemos di2er que as funç&es são ortonormais se

:or e!emplo, 7/x1 pode representar uma métrica diferente da cartesiana3)elembrar o caso das funç&es de onda do átomo de $idro"énio f n/"1, em

coordenadas esféricas, onde se tem que . :or outro

lado, as funç&es permitem+nos semre reobter oresu%tado inicia%.

()ries de *ourier 5onsideremos uma função f/x1, real de variável real 1 ver fi"ura se"uinte3



f/x1 é 2eridica, se é definida para todo o x e se e!iste um n-mero positivo p tal que f/x:p1 .f/x1 sendo p denominado período de f/x1' Cm "ráfico destafunção corresponde a um padrão que se repete de B p em pB como na fi"uraacima. função f < constante é um caso particular de uma função peri#dica.

5laro que se f/x1 e $/x1 são peri#dicas e t'm o mesmo período p, e se a e bsão duas constantes, temos que

h/x1 . a f/x1 : b $/x1tem período p, bem como

f/x:4p1 . f ;/x:p1:p< . f/x:p1 . f/x1,

ou se=a,

f /x:np1 . f/x1 /n intei"1 '

%este modo, se quisermos representar uma função em termos de sin x e cs x,

essa função deverá ter um período 4p ' @eremos mais tarde que a"enerali2ação para o caso de um período diferente é trivial.

REPRE%EN"AÇ! REA&

4eja então f/x1 uma função peri#dica de período 4p ' O nosso objectivo érepresentá1la através da série tri"nométrica

f/x1 . a0 : /an cs nx : bn sin nx1'

Onde se está a admitir que a série é conver"ente e tem f/x1 como soma. ssumindo esta forma para a série, o nosso problema converte1se emdeterminar os coeficientes ai e bi ' (ssa é uma tarefa muito simples, seatendermos a que

cs #x cs nx !x . p ! #n

sin #x sin nx !x . p ! #n

sin #x cs #x !x . 0



onde d #n é o denominado símbolo de Sronec8er, que vale G quando # . n,sendo 2ero quando tal não acontece' %este modo, se multiplicarmos ambos osmembros, por e!emplo, por cs >x e inte"rarmos ambos os membros entre )p e:p , obtemos

!x f/x1 cs >x . !x /a0 : /an cs nx : bn sin nx11 cs >x . p a>'

Ora, cs >x era um caso particular, em que # . >' )epetindo o raciocínio paraqualquer #8 0, bem como para qualquer # ? 0 e utili2ando sin #x em ve2 decs #x, obtemos as denominadas (rmu,as de Eu,er para os coeficientes deFourier3

a0 .

an .

bn .

que nos dão os coeficientes da representação em série de Fourier da funçãoperi#dica f/x1 na forma3

f/x1 . a0 : /an cs nx : bn sin nx1

(sta forma é con$ecida por re2rese)ta*>o rea, da série de Fourier.

Fu)*>o =uadrada

5onsideremos f/x1 . ) k se )p @ x @ 0 e f/x1 . k se 0 @ x @ 4p , em que f/x:4p 1 .f/x1 1 ver fi"ura3

(ste tipo de função ocorre com frequ'ncia em circuitos eléctricos, sendoparticularmente simples de inte"rar.

>emos que3



an .

.

%e um modo análo"o,

bn .

Finalmente, é fácil verificar que a0 .0 , uma ve2 que a área debai!o da curva é2ero ;al"ébricamenteL=

5omo cs np . ) 2 para n ímpar, e cs np . 2 para n par, temos que s# oscoeficientes ímpares não são 2eroD podemos então escrever

;n ímpar=

4e considerarmos assomas parciais3

4p <

obtemos as contribuiç&esilustradas nas fi"urasse"uinte, que mostram que,efectivamente a sérieconver"e para f/x1' 5omefeito, quanto maior é :,mais a soma parcial separece com a função.



5omo se pode adivin$ar da discussão anterior, qualquer função inte"rável podeser representada por uma série de Fourier. o entanto, s# para al"umas essasérie conver"e para a função. (sse é o resultado do teorema se"uinte queestabelece condiç&es suficientes para a conver"'ncia de uma série de Fourier.

4ão as denominadas co)di*+es de Dirich,et.

"E!REMA

4e uma função peri#dica f/x1, de período 4p , é contínua em todo o intervalo ouseccionalmente contínua nesse intervalo e se possui derivada 0 esquerda e 0direita em cada parte desse intervalo, então a série de Fourier de f/x1 éconver"ente. sua soma é f/x1, e!cepto nos pontos x 0 onde f/x1 é descontínua,sendo a soma da série a média dos limites 0 esquerda e 0 direita de f/x1 em x 0;ou seja,

.

Que se passa quando o período da função não é 4p 4eja então f/x1 peri#dica

de período p . 4' (ntão, as funç&es cs e sin t'm período 4'

9o"o, podemos escrever f/x1 . a0 :

onde as (rmu,as de Eu,er se escrevem a"ora,

a0 .

an .

bn .



Recti(icador de meia (re=u5)cia GRMF6

Quando se fa2 passar uma volta"em sinusoidal, ( . ( 0 sin wt, onde t é otempo, através de um )MF, a parte ne"ativa da onda é eliminada 1 ver fi"uraabai!o. >emos assim, que o output vale

u/t1 . 0 se ) @ t @ 0 e u/t1 . ( 0 sin wt se 0 @ t @ onde p . 4 . pelo que .

'

%este modo, temos que

a0 .

.

Quando n é ímpar, o resultado é nuloD quando n é par,

%o mesmo modo, se obtém que b2 . ( 0 4 e bn . 0 n8 2'

9o"o,



5laro que $á funç&es para as quais é possível prever com anteced'ncia aforma da série de Fourier que a representa. E o caso das funç&es com2aridade 3em de(i)ida.

Cma função f/x1 di21se 2ar , quando f/)x1 . f/x1, sendo ím2ar quando f/)x1 . )

f/x1 1 ver fi"uras3

%este modo, se uma dada função f/x1 possuir al"uma destas propriedades asérie de Fourier que a representa terá apenas termos em csx ou sinxconforme esta seja par ou ímpar, respectivamente, uma ve2 que cs /)nx1 .cs /nx1 enquanto que sin /)nx1 . ) sin /nx1' (sta propriedade tem umaaplicação imediata em certos casos práticos, como o que se e!p&e de se"uida.

4eja f/x1 uma função definida no intervalo 0 9 x 9 , como se ilustra na fi"ura.

4e quisermos representar esta função através de uma série de Fourier, vamosprimeiro "erar uma função f 2/x1, peri#dica, tomando f/x1 como B"eradoraB def 2/x1' forma mais prática é a de considerar uma função de período 4, e

B"erarB essa função com uma paridade definida3 uma função f 2/x1 que é par,

cuja série de Fourier terá apenas termos em cs x, ou então uma função f 4 /x1,ímpar,



cuja série de Fourier terá apenas termos em sin x'

5onsideremos a"ora a questão de saber se uma dada série de Fourier éi)tegrá-e, ou di(ere)ciá-e,. >al como as condiç&es suficientes de %iric$letenunciadas anteriormente, o teorema se"uinte estabelece condiç&essuficientes para a inte"ração de uma série de Fourier3

"E!REMA

série de Fourier de f/x1 pode ser inte"rada termo a termo de a até x , e a série

resultante conver"e uniformemente para desde que f/x1 seja contínuapara ) 9 x 9 : , ou então seccionalmente contínua num n-mero finito desubintervalos em 9 x 9 : , e que a e x pertençam a esse intervalo.

@amos, finalmente, considerar a representação comple!a da série de Fourier,muito usada em (n"en$aria (lectrotécnica bem como em Física e Química

Qu+nticas.REPRE%EN"AÇ! C!MP&EA

representação comple!a fa2 uso da identidade de (uler

. cs x C i sin x, onde i . ;ver ap'ndice=

a relação inversa escreve1se,

cs x . e

sin x . .

pelo que se pode escrever, para a representação comple!a de Fourier de umafunção f/x1,



em que

que é i"ual ;#,n intei"s1 D

5omo é #bvio, está1se a admitir que as co)di*+es de Dirich,et são válidas, eque f/x1 é contínua em x' 5omo $abitualmente, se f/x1 é descontínua em x, a

série conver"irá para

Determi)e a série de Fourier com2,e:a de f/x1.e x , )p 9 x 9 p e f/x:4p 1. f/x1'

>emos que

- n . e .

Cma ve2 que

e multiplicando numerador e denominador por /2:in1 obtém1se

tendendo a que /ep ) e)p 1 . 4 sinh p podemos finalmente escrever

.

Integrais de *ourier Os inte"rais de Fourier vão1nos permitir obter a representação de Fourier defunç&es não1peri#dicas, ao contrário do que sucedia com as séries queacabamos de estudar, aplicáveis apenas a funç&es peri#dicas. o entanto, emais do que isso, abrem1nos camin$o para um conceito muito importante, odas transformadas de Fourier. (m si mesmo, o conceito de transformada é bem

mais "eral, sendo a transformada de Fourier apenas um e!emplo. 5om efeito,as transformadas de 9aplace, por e!emplo, são, tal como as transformadas de



Fourier, muito populares e utili2adas frequentemente na solução de equaç&esdiferenciais.

@imos como uma função peri#dica se podia e!primir como uma série infinita de

senos e cosenos de frequ'ncia . o entanto, estas frequ'ncias nãoes"otam o espectro de frequ'ncias possível. 5om efeito, este é um espectrodiscreto e não $á nada que impeça, 0 partida, que o espectro de frequ'nciasnão seja contínuo. o entanto, se a função é peri#dica, podemos sempreima"iná1la como uma sobreposição ;infinita= de Bondas B com frequ'nciasm-ltiplas de um valor fundamental, intimamente relacionado com o período dafunção. :or isso, é natural interro"armo1nos sobre os se"uintes aspectos3 4erápossível

1. representar uma função não1peri#dica através de al"o semilar a

uma série de Fourier 1. "enerali2ar ou modificar as séries de Fourier por forma a

considerar um espectrro contínuo de frequ'ncias em ve2 de umespectro discreto

ão será difícil ima"inar que a resposta a estas ? per"untas reside na versãointe"ral das séries de Fourier, tendo em conta que o inte"ral sur"e semprecomo o limite de uma soma. 5om efeito, é neste conte!to que se obtém ointe"ral de Fourier.

"E!REMA

@amos começar por impor limitaç&es 0 nossa função f/x1E

G= (la satisfa2 as co)di*+es de Dirich,et no intervalo ) 9 x 9

?= conver"e, ou seja, f/x1 é absolutamente inte"rável em ).

(ntão, o >eorema Ante"ral de Fourier afirma que

onde

e onde se assume, como $abitualmente, que se f/x1 não é contínua em x, então

se substitui f/x1 por

5omo sur"e este resultado



%a primeira e!pressão acima, é fácil verificar que desempen$a o papel

dos na série comple!a de Fourier, correspondente 0 e!pansão de ' passa a ser um par+metro contínuo, sendo também contínuo o espectro defrequ'ncias, e passando a soma então a um inte"ral. %e reparar, no entanto,que aparentemente os sinais das e!ponenciais estão trocados. (sta não é a-nica ambi"uidade resultante das definiç&es associadas 0s transformadas ;eséries= de Fourier. s que introdu2iremos aqui são as mais comuns em Física eQuímica. @ejamos como este resultado se pode obter, qualitativamente,

considerando uma série de Fourier de uma função peri#dica, mas queiremos "radualmente transformar numa função não1peri#dica fa2endo o seuperíodo tender para infinito.

5omecemos então por considerar a se"uinte série de Fourier

se fi2ermos e , então e a e!pressão para os

coeficientes pode escrever1se na forma

.

substituindo esta e!pressão na de obtém1se

<

< onde

o limite em que tende para 2ero, a soma sobre n vai converter1se numinte"ral. :ela e!pressão de , vemos que tende para 2ero quando &

tender para infinito, como se pretendia. >ambém passa a ser uma variávelcontínua, pelo que podemos escrever,



4ubstituindo também a soma pelo inte"ral na e!pressão de obtemos,

definindo então obtemos

5omo é #bvio, $á várias formas para o inte"ral de Fourier, tal como para asérie, pelo que se podem definir representaç&es comple!as, como a que se

utili2ou aqui, ou as representaç&es em senos e cosenos.

%o inte"ral de Fourier 0 transformada de Fourier vai um pequeno passoqualitativo que, no fundo, não passa de uma reinterpretação do teoremainte"ral de Fourier.

'ransformada de *ourier )ecordemos a forma do inte"ral de Fourier

f/x1.

4e definirmos a Função

então podemos escrever, para f/x1

Que acontece



5om efeito, 0 medida que F G , os coeficientes 5an 6 começam a formar umconjunto denso, que se denomina por 5a 6, que é, com efeito uma variável real,isto é a X ). (ntão, os coeficientes, de um conjunto discreto, passam a formar

uma função /a 1'

(ssa função /a 1 é que se denomina a função tra)s(ormada de Fourier dafunção f/x1' %o mesmo modo, f/x1 di21se a função tra)s(ormada de Fourier

i)-ersa de /a 1' 5om efeito ;repare que as variáveis de inte"ração sãoíndices mudosL= podemos escrever

e

%este modo, f/x1 e /a 1 estão li"adas por uma transformação3 (ssatransformação, que possui transformação inversa, denomina1se tra)s(ormadade Fourier . ssim, e dada uma função f/x1, a transformada de Fourier dessa

função pode interpretar1se como sendo uma outra função /a 1 definidaformalmente em termos de uma outra variaável.

%e salientar que não $á um consenso na BatribuiçãoB dos factores L 5omefeito, certamente virão a ser confrontados com definiç&es de transformaadasde Fourier li"eiramente diferentes. forma escol$ida, em que quer a

transformada, quer a transformada inversa, t'm um factor é adenominada forma simétrica.

%esta forma, ao efectuarmos a transformada de Fourier, obtemos uma novafunção, definida num outro BespaçoB ;recordar as aulas de mec+nica quãntica,e as representaç&es B!B e BpB, bem como o princípio de incerte2a de6eisenber"=.

(sta transformação não teria "rande interesse, se não "o2asse de certaspropriedades importantes, bem como se não condu2isse a nen$umasimplificação. o entanto, o que se passa é que as transformadas de Fourierprodu2em, por ve2es, simplificaç&es surpreendentes LLL Mas antes de tirar maispartido das transformadas de Fourier ;o que acontecerá quando estudarmosequaç&es diferenciais=, vamos estudar al"umas das suas propriedades.:rimeiro a notação3 (screvamos



@erifica1se, então, o se"uinte

"E!REMA

transformada de Fourier é uma operação linear. :ara duas funç&es f/x1 e $/x1para as quais as transformadas de Fourier e!iste, e sendo a e b duasconstantes, tem1se que

/a f : b $1 . a / f 1 : b / $ 1

"E!REMA

4eja f/x1 contínua tal que f/x1 F 0 quando HxH F G , e seja f/x1 absolutamente

inte"rável em R .

(ntão,

/ f J/ x 11 . i a / f / x 11

Determi)ar

>emos que

;ver tabela de transformadas de Fourier no final deste capítulo=.

)eparar que o resultado do teorema anterior pode ser utili2ado repetidamente.5om efeito,

e assim sucessivamente para derivadas de ordem mais elevada.

@amos terminar a nossa discussão sobre transformadas de Fourier enunciandoo teorema de co)-o,u*>o3

"E!REMA

4ejam f/x1 e $/x1 funç&es absolutamente inte"ráveis em ).. (ntão

onde



se define como a convolução das duas funç&es f/x1 e $/x1'

@eremos mais tarde a utilidade deste teorema.

tabela da pá"ina se"uinte ilustra al"uma das transformadas de Fourier maisvul"ares.



Ap"ndice , N&meros Comple-os motivação para a definição dos n-meros comple!os sur"e com anecessidade de encontar soluç&es para equaç&es do tipo

x 4 : 2. 0 ou x K : 2. 0

que não encontram soluç&es no conjunto dos n-meros reais. %efine1se então aunidade ima"inária

i . ou seja

i 4 . )2'

Cm n-mero comple!o passa a ter a forma c . a : ib, onde a é a parte real do

n-mero c , a . Re e b é a parte ima"inária de c, b . I# .o n-mero c * . a )ib c$ama1se comple!o conju"ado. Cma ve2 que as partes real e ima"inária secomportam, de certa forma, como independentes, os n-meros comple!os vãoter uma representação num plano, o denominado plano de r"and 1 ver fi"ura.



%efinem1se as se"uintes operaç&es elementares

ADIÇ!

;aYib= Y ;cYid= < ;aYb= Y i ;cYd=

%$/"RAÇ!

;aYib= 1 ;cYid= < ;a1b= Y i ;c1d=

M$&"IP&ICAÇ!

;aYib=;cYid= < ;ac1bd= Y i;ad Y bc=

DI'I%!

5om efeito tudo prosse"ue como nos n-meros reais, com e!cepção de que i 4 .)2' 5uriosamente, as leis da soma al"ébrica de comple!os, na suarepresentação "ráfica, satisfa2em a re"ra do paralelo"ramo já con$ecida parasoma de vectores 1 ver fi"uras abai!o. %este modo, o m#dulo de um comple!o

3 . x : i y vale



Finalmente, é normal representar o n-mero comple!o 3 . x : i y na suadenominada Bforma polarB, que corresponde 0s coordenadas polares do ponto3 no plano de r"and

pois x . $ cs f i y . $ sin f ' %este modo, 2 < " /cs f : i sin f 1 . $ e if

para o que se utili2ou a con$ecida f#rmula de (uler

. cs x C i sin x

forma polar é particularmente conveniente para a multiplicação e divisão decomple!osD dados

3 i . x 2 : iy 2 . $ 2 e 2? < !? Y iZ? < " 4

temos que

3 2 3 4 . $ 2 $ 4

3 2 3 4 .

a forma polar a potenciação é trivial. O mesmo acontece com as raí2es. asfi"uras se"uintes dão1se e!emplos da determinação "ráfica das raí2es das

equaç&es , e .



5om efeito, podemos escrever e nf . 4p L donde

pelo que se obt'm n raí2es distintas no intervalo .

./uações !iferenciais#

Introdução

Neste capítulo vamos introduzir o conceito de e!uaçõesdiferenciais, 'em como a sua classicaç"o. (er"o apresentados osresultados mais gerais !ue l)es est"o associados, 'em comoenunciados os principais teoremas e propriedades !ue estassatisfazem .

(quaç&es diferenciais são equaç&es que estabelecem uma relação matemáticaentre uma função e suas derivadas. (ste tipo de equação sur"erecorrentemente em Física, Química e suas aplicaç&es em (n"en$aria.

classificação das equaç&es diferenciais é mais ou menos sistemática, e umadas distinç&es mais importantes prende1se com o tipo de funç&es que entramnas referidas equaç&es. %este modo, se a função que entra na equação é dotipo y . f/x1 onde x se denomina variável independente e y . f/x1 se denomina

variável dependente, estamos a lidar com equaç&es diferenciais ordinárias;!DE=. (!emplos de equaç&es diferenciais deste tipo são ilustradas na fi"uraabai!o, onde se estabelece a relação entre o tipo de fen#meno que sepretende descrever e a equação diferencial resultante.



penas os sistemas físico1químicos mais simples se podem descrever através!DE. 5om efeito, a maioria dos problemas relacionados com transfer'ncia decalor ou massa, com fen#menos electroma"néticos e com fen#menos

qu+nticos envolve equaç&es diferenciais que relacionam funç&es e suasderivadas parciais, uma ve2 que as funç&es dependem de mais do que umavariável3 4ão as equaç&es 0s derivadas parciais ;PDF=. Frequentemente, asvariáveis independentes são o tempo e uma ou mais variáveis que determinamcoordenadas no espaço. (!emplos de PDF são3

equação de onda a uma dimensão.

equação de calor a uma dimensão.

equação de 9aplace a duas dimens&es.

equação de :oisson a duas dimens&es.

equação de 9aplace a tr's dimens&es.



Andependentemente do tipo de equação diferencial 1 !DE ou PDF 1 define1seordem da equação como a ordem da derivada de mais alta ordem presente naequação. as PDF e!postas acima, todas as equaç&es são de ?I ordem, poisas derivadas mais altas são se"undas derivadas. Cma outra classificaçãomuito importante tem a ver com a ,i)eariedade, ou )>o,i)eariedade, de uma

equação diferencial. 5om efeito, se uma !DE se pode escrever na forma

onde 5ai /x16 são funç&es arbitrárias de x, a !DE di21se ,i)ear , sendo )>o,i)ear quando tal não acontece. %o mesmo modo, e no caso de PDF ;consideraremosapenas o caso de PDF de ?I ordem, mas a "enerali2ação é imediata, se bemque lon"a= temos que, se a PDF se pode escrever na forma

onde f. f/x,y1 e A,B,'''+ são funç&es arbitrárias de x e y mas não de f, então aPDF di21se ,i)ear , sendo )>o,i)ear quando tal não se verifica.

5om efeito, todas as PDF e!emplificadas atrás são lineares, enquanto que, das!DE ilustradas na fi"ura, apenas a queda do "rave, os círcuitos eléctricos e amassa na mola se descrevem através de equaç&es lineares.

4e as equaç&es diferenciais cont'm derivadas certamente que, para encontrara sua solução, vamos ter de as inte"rar, ou primitivar. so,u*>o de umaequação diferencial, portanto, vai estabelecer uma relação entre as variáveisque não contém quaisquer derivadas e que, substituindo na equação, condu2 auma identidade.

4e a solução passa pela inte"ração isso si"nifica que, re"ra "eral, sur"irãoconstantes arbitrárias. %este modo, define1se so,u*>o gera, de uma equaçãodiferencial como a solução que contem um n-mero de constantes arbitrárias;ou funç&es arbitrárias, no caso das PDF 1 porqu'= i"ual [a ordem da equaçãodiferencial.

Quando as constantes ;ou funç&es= arbitrárias são fi!adas, obtemos o que sedenomina por so,u*>o 2articu,ar da equação diferencial. Finalmente, quandose encontra uma solução da equação diferencial que não se pode obter a partir da solução "eral, di21se encontrada uma so,u*>o si)gu,ar .

equação diferencial y J4 ) xyJ : y . 0 tem a solução "eral ;recordar, !DE GIordem \ G constante arbitrária= y . -x ) - 4 ;verificar por derivação esubstituição directa=. :ara cada valor da constante -, temos uma recta decoeficiente an"ular - e ordenada na ori"em - 4 . 5ada uma destas lin$asconstitui uma solução particular da equação diferencial, 1 ver fi"ura.



:ara além destas, a função , e quecorresponde 0 parábola representada nafi"ura ;e a que cada solução particular é

tan"ente= é ainda uma solução da equaçãoacima. Cma ve2 que uma parábola não éuma recta, ou seja, que esta solução nãose pode obter a partir da solução "eral,então estamos na presença de umasolução sin"ular.

5omo vimos, a solução particular obtém1se a partir da solução "eral fi!ando asconstantes ;funç&es= arbitrárias. Asto é feito mediante a imposição de certo tipode condiç&es específicas do problema descrito pela equação diferencial.%enominam1se estas condiç&es de co)di*+es (ro)teira? em que se podemdistin"uir dois tipos ;se bem que o primeiro não passe de um caso particular dose"undo= 3

Os problemas com es2eci(ica*>o de co)di*+es i)iciais I'P em que afunção e suas derivadas são especificadas apenas para um conjunto devalores da;s= sua;s= variável;eis= independente;s=, e os 2ro3,emas de

co)di*+es (ro)teira /'P onde a função e suas derivadas sãoespecificadas em mais do que um conjunto de valores da;s= sua;s= variável;eis=independente;s=.

Cm sumário do esquema classificativo das equaç&es diferenciais é ilustrado noor"ani"rama se"uinte3



Face 0 e!ist'ncia de vários tipos de soluç&es para as equaç&es diferenciais,torna1se pertinente per"untar se todas as equaç&es diferenciais t'm umasolução 1 o denominado problema de e:ist5)cia 1 e, caso esta e!ista, se é a-nica ou $á mais 1 o denominado problema da u)icidade. 5om efeito, e!istemos denominados teoremas de e!ist'ncia e unicidade. :or e!emplo,

"E!REMA

%ada a equação diferencial de GI ordem yJ.f/x,y1, se f/x,y1 é contínua e temderivada parcial contínua relativamente a y em cada ponto de uma re"ião R

definida por Hx)x 0 H@! , Hy)y 0 H@! , então e!iste em R uma e uma s# solução daequação diferencial que passa pelo ponto /x 0 , y 0 1'

(ste tipo de resultado pode ser "enerali2ado para equaç&es diferenciais deordem n, bem como para equaç&es diferenciais lineares, e para equaç&esdiferenciais 0s derivadas parciais. (m "eral, os teoremas de e:ist5)cia eu)icidade constituem co)di*+es su(icie)tes? mas )>o )ecessárias, paraque as soluç&es e!istam e sejam -nicas.

@amos começar por estudar as !DE, e destas, as de GI ordem. (ste estudoserá feito, tanto quanto possível, adaptando um método ilustrativo, através da



apresentação detal$ada de muitos e!emplos. quest&es mais formais dee:ist5)cia e u)icidade de soluç&es dos diferentes tipos de equaç&esdiferenciais serão apresentados e motivados, sendo omitidas quaisquerdemonstraç&es.

Cma ve2 preparado o camin$o, avançaremos para as !DE ,i)eares e destas,consideraremos as de coeficientes constantes. %ei!aremos de lado ae!posição da técnica da resolução de !DE pelo método de séries ;incluindo ométodo de Frobenius, etc.=, apropriado para !DE de coeficientes não1constantes, condu2indo ao riquíssimo campo das denominadas funç&esespeciais. (ste é um t#pico mais avançado, que se recomenda totalmente aoaluno, e que ele encontrará bem tratado na biblio"rafia indicada.

:rosse"uiremos, finalmente, para o estudo das PDF. 'nfase será colocada,uma ve2 mais, nas equaç&es lineares, e teremos oportunidade de resolver,formalmente, al"umas das equaç&es clássicas da (n"en$aria, para o que

utili2aremos os conceitos bem con$ecidos de operadores diferenciais,coordenadas curvilíneas e transformadas de Fourier.

./uações !iferenciais

+rdinárias de 01 +rdem

Neste capítulo vamos descrever e apresentar e&emplos dosprincipais tipos de *+ de 1- ordem.

Qualquer O%( de GI ordem se pode escrever numa das se"uintes formas

M/x,y1 !x : N /x,y1 !y . 0'

5omo vimos, a solução "eral deste tipo de equaç&es contém uma constantearbitrária. (!istem muitas técnicas particulares por resolver O%(]4 de GIordem. @amos, de se"uida, apresentar não s# os tipos de O%( maisimportantes, como ainda e!emplificar as técnicas de resolução destasequaç&es, bem como dar e!emplos característicos.

EQ$AÇE% DIFERENCIAI% %EPAR;'EI%

(stas são as equaç&es que se podem escrever na forma



$/y1 yJ . f/x 1 ou seja , pelo que

$/y1 !y . f/x1 !x'

Ante"rando ambos os membros, obtemos

$/y1 !y . f/x1 !x : c

N!"AK 5laro que este procedimento não é matemáticamente correcto L Maiscorrecto seria escrever,

$/y1 yJ . f/x1

$/y1 yJ !x . f/x1 !x : -

mas !y.yJ !x pelo que

$/y1 !y . f/x1 !x : -

Reso,-a a e=ua*>o di(ere)cia, q y y' + 4 x = 0 (q=constante).

>emos que , ou seja, O y !y . ) Kx !x' Ante"rando ambos osmembros, temos que

ou

que representa uma família de elipses.

Reso,-a a e=ua*>o di(ere)cia, y' = 1+ y 2

>emos que pelo que, primitivando ambos os membros,

a"ctan y . x: c ou seja, y . tan/x:c1

Reso,-a a e=ua*>o di(ere)cia, y' +5 x 4 y 2 = 0 sa3e)do =ue y (0) = 1.

(ste é um e!emplo de um I'PD vamos começar por determinar a solução "eralpor separação de variáveis. :odemos escrever



pelo que ou seja ;solução "eralL=

5omo y/01.2 temos que 2 . e a solução particular que satisfa2 o

I'P é , que, como podemos verificar, satisfa2 a equação ori"inal.

E)co)trouse um osso (ossi,iado =ue co)tém S de car3o)oradioacti-o TCBU.

Qua, a idade do osso

N!"AK

a atmosfera, a ra2ão entre o carbono radioactivo ^5GT e o BnormalB ;maisabundante= ^5G? é uma constante, o mesmo se passando com or"anismosvivos. Quando um or"anismo morre, a absorção de ^5GT através da respiração ealimentação cessa. %este modo, podemos determinar a idade do f#ssilcomparando os ratios de carbono no f#ssil com o da atmosfera. (sta foi a ideiade _. 9ibbZ para a datação por carbono, que l$e valeu o :rémio obel daQuímica em G`^N. vida média do carbono radioactivo é *N anos.

4e desi"narmos por y/t1 a quantidade de carbono radioactivo no f#ssil,e!istente no instante t, a ta!a de variação, no tempo, da quantidade de carbono

vale lei física que "overna este processo de decaimento radioactivodi21nos que a ta!a de variação é proporcional 0 quantidade de subst+nciae!istente. Cma ve2 que decaimento si"nifica e!tinção, escrevemos que yJ . )Ly onde o sinal ;1= torna e!plícito que se trata de um decaimento. constante L é a constante da proporcionalidade, que esperamos ser positiva, uma ve2 queo sinal ;1= foi colocado e!plicitamente na equação. >emos assim que,

yJ . ) Ly ou seja, , pelo que

ln y . ) Lt : c 2 @.? ln y ) ln c . ) Lt @.? @.? y . c e)Lt

Quando t.0, y .c, pelo que c é a quantidade de carbono radioactivoinicialmente presente no f#ssil ;0 data da morte=. :or definição, a vida média éo tempo que uma quantidade de ^5GT demora a decair para metade do seu valor inicial. 9o"o,

;em que unidades vem S=



;anos1G=

9o"o, o tempo necessário para que ? da quantidade inicial esteja presente édado por

donde

;anos=

:elo que a idade do f#ssil é de GGT^N anos. 4e tivermos em conta que os errosna determinação e!perimental da vida média do ^5GT são TN anos, bem como acomparação com outros métodos que indica que a datação por radio1carbonotende a subestimar as idades, será mais realista se colocarmos a idade dof#ssil entre os G?NNN e os G*NNN anos.

l"umas equaç&es diferenciais de GI ordem 1 as que se podem escrever na

forma 1 não sendo separáveis, 2odem tra)s(ormarse em e=ua*+es

se2ará-eis atra-és de uma muda)*a de -ariá-eis. O e!emplo se"uinteilustra a técnica

Reso,-er a e=ua*>o di(ere)cia, 2 x y y' = y 2 + x 2 = 0

%ividindo por x 4 , obtém1se . Fa2endo pelo que yJ.# : x # J, e substituindo na equação, obtemos, 4# /# :# J x1) # 4 :2 . 0, que éseparável.5om efeito, manipulando a e!pressão acima obtemos,

que, inte"rando, permite escrever ln /2:# 4 1. ) ln HxH : c, . )lnHxH :ln c

donde ubstituindo m pelo seu valor, obtém1se a família decircunfer'ncias

x 4 : y 4 . cx

5om efeito, completando o quadrado, podemos escrever a equação acima naforma



que é a equação de uma circunfer'ncia do plano JK com centro no ponto

e de raio .

EQ$AÇE% DIFERENCIAI% EAC"A%

ideia, neste caso, é muito simples. )ecordemos que dada uma função m/x,y1 com derivadas parciais contínuas, a sua diferencial se pode escrever

temos que, se m < constante, !# . 0'

:or e!emplo, se

# . x : x 4 y > . c, então !# . /2:4 x y > 1 !x : > x 4 y 4 !y . 0, o que resulta naequação diferencial

%este modo a ideia é, dada uma equação diferencial, tentar Bandar para trásB einte"rá1la pelo método inverso. 5laro que não se pode utili2ar este método emqualquer equação diferencial.

5omecemos por delinear a estraté"ia3

%ada uma equação diferencial na forma

M /x,y1 !x : N /x,y1 !y . 0

ela di21se e!acta se o G membro corresponder 0 diferencial e!acta

de uma função m /x,y1' esse caso, a equação diferencial pode escrever1sedm . 0 e a sua solução "eral é dada pela equação

# /x,y1 . cnstante'



5omparando a equação diferencial com a e!pressão da diferencial e!acta,vemos que

'

supon$amos que M e N são funç&es que t'm derivadas parciais contínuasnuma dada re"ião R do plano JK limitado por uma curva fec$ada que não seintersecta a si mesma. (ntão,

a realidade, pode mostrar1se que

constitui uma condição )ecessária e su(icie)te para que

M !x : N !y

sea uma di(ere)cia, e:acta.

estas condiç&es, torna1se simples determinar se uma equação diferencial deGI ordem, que se pode escrever na forma

M/x,y1 !x : N /x,y1 !y . 0

é uma equação diferencial e!acta, para o que basta que .

4endo esse o caso, a solução encontra1se, por e!emplo, da se"uinte forma;isto quando não se conse"ue determinar por simples inspecção LLL=

e # . M !x : L/y1

repare que a Bconstante de inte"raçãoB aqui não é um n-mero mas sim uma

função de y, uma ve2 que qualquer função L/y1 satisfa2



5on$ecido m desta maneira, vamos derivar m em ordem a y ;parcialmente= ei"ualar a N/x,y1

%aqui se obtém uma equação para ;porque é que as derivadas sãototais= que, inte"rada, permite determinar m /x,y1. solução é, então, m /x,y1. c'

5laro que poderíamos ter começado por inte"rar N relativamente a x' @ejamoscomo tudo isto funciona nos e!emplos se"uintes3

Reso,-er a e=ua*>o (x 3 + 3 xy 2 )dx + (3x 2 y + y 3 ) dy = 0

5omecemos por verificar se é uma equação e!acta. >emos que

M /x,y1 . x > : > xy 4 e

N /x,y1 . > x 4 y : y > pelo que .

@amos a"ora determinar a denominada solução implícita m /x,y1 . c'

(ntão, pela equação acima temos que Mas N . pelo queobtemos,

donde e, portanto,

%este modo, podemos escrever que

que nos dá a solução da equação. %e salientar que esta é uma so,u*>oim2,ícita, uma ve2 que vem na forma m /x,y1.c, em ve2 de ser dada na formay.f/x1, que constitui a denominada so,u*>o e:2,ícita.



Reso,-er a e=ua*>o di(ere)cia, GI'P6 sin x cos y = y' cos x sin y o)dey(0) = 0.

5omecemos por re1escrever a equação na forma

/sin x csh y1 !x ) /cs x sinh y1 !y . 0, pelo que

M /x,y1 . sin x csh y e N /x,y1 . ) cs x sinh y'

@erifique que é e!acta L >emos assim que ;referir que vamos inte"rar, destave2, G em ordem a y =

# . ) cs /x1 sinh y !y : #/x1 . ) cs x cs h y : # /x1

(ntão

donde ou # . c'

9o"o, a solução "eral é m /x,y1.c ou seja, cos x cos$ y . c

condição inicial di2 que quando x.0, y.0, pelo que cos/01 cos$/01.2'

9o"o, a solução do problema é cos x cos$ y . 2'

FAC"!RE% IN"E#RAN"E%

Que se passa quando este caso, a equação diferencial

M /x,y1 !x : N /x,y1 !y . 0

não é e!acta. o entanto, é por ve2es possível determinar uma função m /x,y1tal que

# M !y : # N !y . 0

já seja uma equação diferencial e!acta' # denomina1se o (actor i)tegra)te.

.



5omo determinar os (actores i)tegra)tes

Muitas ve2es, e com prática, é possível determiná1los por inspecção. (stemétodo é muitas ve2es bem sucedido em aplicaç&es técnicas de (n"en$aria,pelo que o Bmétodo de inspecçãoB não é, de modo al"um, al"o a despre2ar LLL

%e um modo "eral, a e!ist'ncia de um factor inte"rante m equivale a afirmarque

ou seja,

# y M : # M y . # x N : # N x

o que, ainda assim, pode constituir uma forma complicada de determinar m '

Cma simplificação possível é testar se e!iste um m . # /x1 ou m . # /y1 queseja factor inte"rante.

5om efeito, se m . # /x1 a equação acima vem

ou seja pelo que m /x1 . exp R /x1!x

onde

R /x1 . /M y )N x 1'

%e um modo semel$ante, podemos tentar determinar um factor inte"rante m/y1'

Mostre =ue !(x)=x 3 é um (actor i)tegra)te da !DE

2 sin (y 2 ) dx + xy cos (y 2 )dy = 0 e determi)e a so,u*>o gera,.



:odemos começar por verificar que M y N x , mas que /# M1y . /# N1 x' 5omefeito, obtemos

solução "eral é fácil. 5om efeito, por inspecção ;ou por inte"ração directa,como nos e!emplos anteriores= podemos ver que a solução "eral é

x K sin /y 4 1.c

Na e=ua*>o di(ere)cia, do e:em2,o a)terior? admita =ue e:iste um (actori)tegra)te m =" (x) e determi)eo.

>emos que M . 4 sin y 4 e N . xy cs y 4

pelo que

e como já se sabia.

o que resta deste capítulo vamos alicerçar os capítulos se"uintes dedicandouma atenção especial 0s equaç&es diferenciais lineares de GI ordem, cujotratamento é, em "rande parte, "enerali2ável, de uma forma imediata, 0sequaç&es lineares de ordem superior.

EQ$AÇE% DIFERENCIAI% &INEARE% DE BV !RDEM

5omo vimos já, uma equação diferencial de GI ordem é linear, se se podeescrever na forma

yJ : p/x1 y . t /x1

isto é, é linear em y e yJ' p/x1 e t /x1 são quaiquer funç&es de x, mas não de you de yJ' Quando t /x1 é a função nula, ou seja,

yJ : p/x1 y . 0

a equação diferencial di21se homogé)ea, sendo )>ohomogé)ea quando t

/x1 0'



@amos admitir que, quer p/x1 quer t /x1 são contínuas num intervalo I'5omecemos por determinar a solução "eral da equação $omo"énea,

yJ : py . 0

4eparando as variáveis, temos

pelo que

5laro que, quando c . 0, se obtém a solução trivial y . 0, que é sempre soluçãoda equação $omo"énea.

:ara determinarmos a solução da equação não1$omo"énea, -amos usar a2ro2riedade de =ue esta 2ossui um (actor i)tegra)te =ue de2e)de a2e)asde x ' )eescrevemos a equação na forma

/py ) t 1!x : !y . 0

donde m . py ) t e N.2'

%aqui temos que ;ver secção anterior= R/x1 . pelo que

# /x1 . exp p/x1 !x'

>emos, portanto, que a equação diferencial yJ : p/x1 y . t /x1 se pode escreverna forma ;multiplicando ambos os membros por m =

5om efeito, solução "eral é

# y . /# t 1 !x : c

ou, desi"nando por h/x1 . p/x1 !x, a solução pode escrever1se /# .eh 1

Muitas ve2es, os inte"rais a efectuar não são simples, pelo que o recurso atécnicas numéricas é bastante -til. o entanto, a utili2ação de técnicas



numéricas directas de inte"ração e!plicita de equaç&es diferenciais revela1se,na maioria dos casos, mais simples de pro"ramar e mais eficiente em tempo decálculo do que a pro"ramação da inte"ração numérica das formulas analíticasdas soluç&es. .

Reso,-a a e=ua*>o di(ere)cia, y' # y = e2x

>emos que p/x1 . )2, t /x1 . e4x , h/x1. p !x . )x '

:ortanto,

! ta)=ue da (igura co)tém HH ,itros de água )a =ua, se disso,-eram HOg de sa,. ,itros de uma outra su3stW)cia? co)te)do B Og de sa,? e)tram)o ta)=ue? 2or mi)uto. A mistura? =ue se ma)tém homogé)ea atra-és deum misturador? a3a)do)a o ta)=ue com o mesmo cauda,. Determi)e a=ua)tidade de sa, )o ta)=ue em cada i)sta)te t .

ta!a ou variação de sal é i"ual ao sal que entra menos o sal quesai, em cada instante. :odemos, portanto, escrever,

yJ . y in ) y ut

:or outro lado,

y in . 2 L$#in

y ut . y/t1 . 0'04Q y/t1

9o"o, temos que yJ : 0'04Q y . 2, donde p . 0'04Q, t . 2, h.0'04Q t . tc

y/t1 . etc

Quando t.0, y/c1 . 40' 9o"o, c : K0 . 40 @ . ? c . )40 e, portanto, a quantidadede sal no tanque, em qualquer instante, vale



y/t1 . K0 ) 40 e)tc , t . 0'04Q #in)2 / t e!presso em minutos.=

o capítulo se"uinte, vamos considerar equaç&es diferenciais lineares de

ordem superior. Mas antes, é importante referir que uma O%( de ordem mXB que não conten$a x ou y e!plicitamente na equação, se pode sempre redu2ir auma equação diferencial de ordem mB fa2endo

yJ . p, yJJ pJ, etc.

ou então,

Reso,-er a e=ua*>o di(ere)cia, y''+2y'=4x.

Fa2endo p.yJ, temos pJ:4p.Kx que é linear. %eterminado p/x1.4x)2 : c 2 e)4x ,podemos inte"rar para obter y/x1 . x 4 ) x : c 2 e )4x : c 4 que, uma ve2 que aequação diferencial era de ?I ordem, tem duas constantes arbitrárias na suasolução "eral.

./uações !iferenciais+rdinárias 2ineares

Neste capítulo vamos estudar as *+ lineares, em particular as de 2- ordem, !ue constituem os casos mais típicos nas aplicações de $ísica, uímica e ngen)arias. Neste conte&to, faremos ainda oestudo das oscilações forçadas de um sistema e analizaremos ascondições de resson/ncia.

4 O%(, como vimos, dividem1se em duas "randes classes3 9A()(4 eO19A()(4. (nquanto que as equaç&es não1lineares são, em "eral,difíceis de estudar e resolver, para as equaç&es lineares e!iste um tratamento"eral e sistemático. %e entre estas, as O%( lineares de ?I ordemdesempen$am um papel muito importante no domínio das aplicaç&esconcretas.

equação "eral, linear de ordem n tem a forma



4e ai /x1.c i.cnstante, , então a equação diferencial di21se ,i)ear de

coe(icie)tes co)sta)tes. :or outro lado, se t /x1 . 0, a equação di21sehomogé)ea. Quando t /x1 não é 2ero, a equação é )>ohomogé)ea mas,como veremos, a correspondente função $omo"énea associada, que se obtémfa2endo t /x1 . 0, vai desempen$ar um papel muito importante na determinaçãoda solução "eral de uma equação diferencial linear. 5om efeito, é aplicável ose"uinte

"E!REMA Gde e:ist5)cia e u)icidade 6

4e a0 /x1,''', an/x1 e t /x1 são contínuos num intervalo Hx)x0H@! e a0 /x1 0, entãoe!iste uma e uma s# solução da equação diferencial

que satisfa2 as condiç&es ;A@:=

y/x 0 1.y 0 , yJ/x 0 1 . yJ 0 ,''',y /n)21/x 0 1.y 0 /n)21

:ara a discussão que se se"ue, torna1se muito -til re1introdu2ir ;recorda1se dooperador nabla = operadores diferenciais. %este modo, introdu21se umoperador

que, quando aplicado a uma função resulta no se"uinte

%este modo, 4 . , tal que

4 f . /f1 .

e, em "eral

n

f . ,



admitindo, como é #bvio, que f/x1 é uma função derivável n ve2es. 5om oau!ílio deste operador, a equação diferencial linear de ordem n pode escrever1se,

ou, mais sucintamente,

f /1 y /x1 . t /x1

onde

f /1 . a0 /x1 n :''': an /x1

é um operador diferencial polinomial.

contece que, quer , n, e mesmo f /1 são operadores lineares, ou seja,quaisquer que sejam as constantes c 2 e c 4 e as funç&es f 2 e f 4 , temos que;representando qualquer destes operadores por =

/c 2 f 2 : c 4 f 4 1 . c 2 /f 2 1 : c 4 /f 4 1

equação diferencial pode escrever1se na forma f/1y . sin x onde f /1. x 4 : > ) 4x

%adas duas funç&es y 2 e y 4 e duas constantes c 2 e c 4 , temos que

. c 2 x 4 y 2 : c 4 x 4 y 4 : > c 2 y 2 : > c 4 y 4 ) 4 c 2 x y 2 ) 4 c 4 x y 4 .

. c 2 f /1y 2:c 4f /1y 4 , isto é, f /1 é um operador linear.

5omo sabemos, a solução "eral de uma equação diferencial de ordem ncontém n constantes arbitrárias. :ara encontrarmos a solução "eral daequação linear

f /1 y/x1 . t /x1

@amos valer1nos do se"uinte

"E!REMA

solução "eral y/x1 da equação diferencial linear f /1 y/x1 . t /x1 obtém1se,adicionando 0 solução "eral y h /x1 da equação $omo"énea associada,f /1 y h/x1

. 0,uma solução particular y p /x1 da equação não1$omo"énea, ou seja,



y/x1 . y n /x1 : y p /x1'

Face a este teorema, torna1se clara a import+ncia em abordar separadamente

a determinação de y h/x1 e y p /x1' E o que faremos de se"uida, lo"o ap#sdefinirmos (u)*+es ,i)earme)te i)de2e)de)tes.

Cm conjunto de funç&es 5Y 2/x1,''',Y n/x16 di21se linearmente independente numintervalo I , se a equação

c 2 y 2/x1 : ' ' ': c n y n /x1 . 0

tiver como solução c 2 . c 4 . ' ' ' . c n . 0 em I'

Cma condição necessária é suficiente para que estas funç&es ;diferenciáveis=

sejam linearmente independentes, é que o determinante

7/y 2,y 4 ,''',y n 1 .

denominado o YR!N%OIAN! de 5y 2,''',y n 6 seja )>o)u,o no intervalo I'

(ste conceito de independ'ncia é muito importante para estudarmos assoluç&es de f /1 y . 0 como o mostra o se"uinte

"E!REMA

4e y 2/x1, y 4 /x1,''',y n/x1 são n soluç&es linearmente independentes da equaçãodiferencial linear de ordem n , f /1 y . 0, então

y . c 2 y 2 :''': c n y n

onde c 2,''',c n são constantes arbitrárias, constitui a solução "eral de f /1 y . 0'(sta solução "eral contém todas as soluç&es da equação ;isto é, )>o e:istemso,u*+es si)gu,ares =.

ote1se que este resultado s# é válido para O%( $omo"éneas, ou seja? )>o é-á,ido )em 2ara e=ua*+es )>o homogé)eas )em 2ara e=ua*+es )>o,i)eares.



s funç&es y 2/x1.e x e y 4 /x1.e)x são soluç&es das equaç&es lineares$omo"éneas

yJJ) y. 0 ;verifique LLL=

9o"o, e para quaisquer constantes c 2 e c 4 , a função

h/x1 . c 2 y 2 /x1 : c 4 y 4 /x1

é a solução da equação $omo"énea, uma ve2 que 7/y 2, y 4 1 0 ;verifiquetambém=.

O%( yJJ y ) xyJ . 0 tem solução y 2 . x 4 e Z? <G ;verifique LLL=

o entanto h2/x1. )x 4 ou h/x1. x 4 : 2 não são solução da equação. 5om efeito, aO%( em causa não é linear . . .

%!&$Ç! DA EQ$AÇ! @!M!#9NEA

o estudo das soluç&es de e=ua*+es di(ere)ciais ,i)eares homogé)eas, $áa distin"uir dois tipos, dos quais abordaremos apenas um ;que, como veremos,possibilita a resolução de muitos problemas de (n"en$aria=3 s denominadase=ua*+es de coe(icie)tes co)sta)tes, ou seja, em que a0 /x1.b0, a2/x1.b2, etc,e as e=ua*+es de coe(icie)tes )>o co)sta)tes.

5onsideremos equaç&es diferenciais de coeficientes constantes. :odemosentão escrever

f /1 . b0 n : b2 n)2:''':bn

:ara encontrar a solução desta equação, fa21se a substituição y . el x onde l éuma constante arbitrária. Cma ve2 que n el x . l n el x obtemos a equaçãoal"ébrica

b0 l n : b2 l n)2 : b4 l

n)4 : ' ' ' : bn . 0

que se denomina e=ua*>o característica3 se denominarmos por l 2,''', l n asraí2es deste polin#mio, podemos escrever

b0 /l )l 2 1 / l )l 4 1 ' ' ' / l )l n 1 . 0,

sendo de distin"uir tr's casos3

RA84E% "!DA% REAI% E DI%"IN"A%



este caso, as n soluç&es linearmente independentes são dadas por y i . ,de tal forma que

é a solução "eral da equação $omo"énea.

A&#$MA% RA84E% %! C!MP&EA%

Quando $á raí2es comple!as, elas sur"em aos pares, como é sabido;relembre1se o problema de determinar as raí2es de um polin#mio=, ou seja, sel k . a : ib é solução, também l *

k:2 . a ) ib é solução 1 comple!o conju"ado. 4e

bem que e sejam duas soluç&es linearmente independentes, é usualcombiná1las, utili2ando a f#rmula de (uler já estudada, escrevendo,

eax

/c k cs bx : c k:2 sin bx1

de modo que a combinação das raí2es comple!as se pode e!primir de umaforma puramente real.

A&#$MA% RA84E% %! REPE"IDA%

Quando uma raí2 l L tem multiplicidade P, a solução da equação diferencialcorrespondente a estas P raí2es é dada por

/c k : c k:2 x : c k:4 x 4 :''': c k:P)2 x P 1

Determi)e a so,u*>o gera, de y'' # 2 y' + y = sin x

:odemos escrever

f /1 y/x1 . t /x1 onde f /1 . /4

) 4 : 21 e t /x1 . sin x'

4eja y h /x1 a solução "eral de f /1 y . 0 e y p /x1 uma solução particular daequação diferencial não1$omo"énea. (ntão a solução "eral pode escrever1se

y /x1 . y h /x1 : y p /x1'

ão estamos ;ainda= em condiç&es de determinar a solução particular Z p/x1':ara determinarmos y h/x1, consideremos y . el x '

4ubstituição em f /1 y . 0 resulta em l 4 ) 4 l :2 . 0 @ . ? /l )214 . 0 ou seja l < 2

é uma raí2 dupla. (ntão, as duas soluç&es independentes são e x e xe x que,



como se pode verificar, são soluç&es de f /1 y . 0' :odemos, portanto,escrever y h /x1 . /c 2 : c 4 x1 e x '

Que sucede =ua)do os coe(icie)tes em ( ($) )>o s>o co)sta)tes

este caso, a situação é mais complicada e as correspondentes soluç&es dasequaç&es diferenciais são, em muitos casos, funç&es ditas especiais, aocontrário do que acontece com as equaç&es diferenciais de coeficientesconstantes, cujas soluç&es se escrevem em termos de funç&es elementares.Anfeli2mente não temos tempo de abordar o tratamento al"o mais elaboradoassociado com o método de solução em série de potencias e o método deFrobenius para determinar as soluç&es deste tipo de equaç&es. )ecomenda1seque o aluno consulte a biblio"rafia recomendada, caso ten$a necessidade deresolver equaç&es diferenciais deste tipo.


:assemos a"ora 0 determinação da solução particular de uma equaçãodiferencial linear, não1$omo"énea

f /1 y . t /x1

para o que consideraremos ? métodos'

M9"!D! D!% C!EFICIEN"E% INDE"ERMINAD!%

Quando os coeficientes da equação diferencial são constantes, o método deescol$a desi"na1se por Bmétodo dos coe(icie)tes i)determi)adosB. (stemétodo é facilmente aplicável quando t /x1 se pode e!primir na forma defunç&es elementares. 5om efeito, eis a receita correspondente ao Bmétododos coe(icie)tes i)determi)adosB.

• 4e t /x1 é uma das funç&es da tabela em bai!o, escol$a para Z p/x1 aopção indicada nessa tabela.

"ermo em t (x) !2*>o 2ara % &(x)

L el x - et x

L x n /n . 0 , 2 , ' ' '1 L n x n : L n)2 x n)2: ' ' ' : L 2 x : L 0



L cs w x u L sin w x L cs w x : M sin w x

L ea x cs w x u L ea x sin w x

ea x /L cs x : M sin w x1

• 4e a opção escol$ida constituir uma solução da equação $omo"éneaassociada, multiplique a opção para Z p/x1 por x L , onde L é o menorinteiro positivo tal que x L y p/x1 não é solução da equação $omo"énea.

• 4e t /x1 é a soma de um conjunto de funç&es correspondentes adiferentes entradas da tabela, tome para y p/x1 a soma dascorrespondentes opç&es.

%e reparar que, em particular, a *I re"ra é de enorme utilidade. :or e!emplo,supon$amos que t /x1 não tem qualquer representação em termos das funç&estabeladas. 4e determinarmos e representação em série de Fourier de t /x1,ficamos com uma soma ;certo, é infinita= de funç&es tri"onométricas simples,cuja solução é não menos simples.

Determi)e a so,u*>o da e=ua*>o y'' + 4y = x 2 .

5onsultando a tabela, tomamos para y p/x1

y p/x1 . L 4 x 4 : L 2 x : L 0

. 4 L 4 e, substituindo, temos 4 L 4 : K /L 4 x 4 : L 2 x : L 0 1 . x 4 ' A"ualando ostermos com e!poentes i"uais em x termos

pelo que y p/x1 . 4x 4 ) 2

Determi)e a so,u*>o gera, da e=ua*>o

Reso,-a y'' # 3y' + 2y = e x

f /1 . 4 ) > : 4 ' >omando y . el x F l 4 ) > l : 4 . 0 @ . ? /l )21/l )41.0'

>emos, então que y h /x1 . c 2 e x : c 4 e4x ' :ara determinarmos y p/x1, consultamos atabela. Obtemos, Z p/x1. L e x '

Mas Le x é solução da equação $omo"énea L 9o"o, y p/x1. Lxe x , yJ p /x1.Le x :Lxe x , yJJ p/x1.L/4 e x : x e x 1' 4ubstituindo, obtemos



L/4:x1e x ) >L /2:x1e x : 4L x e x .e x ficando, )L e x ) e x @ . ? L . )2' 9o"o,

y/x1 . c 2 e x : c 4 e4x ) x e x

Reso,-a y'' + 2 y' + 5y = 1 e x + sin 2x

f /1. 4 : 4 : Q pelo que a equação característica vem

l 4 : 4l : Q . 0 @ . ? l . )2 : 4i, l . ) 2 )4i ' 9o"o,

y h /x1 . e)x /c 2 cs 4x : c 4 sin 4x1

:ara escol$er y p/x1, consultamos a tabela. Obtemos,

y p /x1 . A e x : B cs 4x : c sin 4x

)eparar que não $á qualquer problema, pois e x , cs 4x e sin 4x sãolinearmente independentes de e x cs 4x ou e x sin 4x' %erivando e substituindona equação obtém1se,

A e x : /)K B : K - : QB1 cs 4x : /)K - ) KB : Q-1 sin 4x . 2S e x : sin 4x

pelo que

A .4, B.)K2, -.22 e a solução é

y/x1 . e)x /c 2 cos 4x : c 4 sin 4x1 : 4 e x )

M9"!D! DA 'ARIAÇ! DA% C!N%"AN"E%

@amos a"ora discutir um outro método, mais "eral do que este, e que se podeaplicar a equaç&es diferenciais lineares de coeficientes não constantes. E o

método da -aria*>o das co)sta)tes.

ideia é simples. >omemos o caso da equação linear de ?I ordem comoe!emplificação.

yJJ : p/x1 y: O/x1 y . t /x1'

4ejam y 2/x1 e y 4 /x1 soluç&es linearmente independentes da equação$omo"énea. (ntão,

y h /x1 . c 2 y 2 /x1 : c 4 y 4 /x1'



ideia consiste, então, em substituir c 2 e c 4 por duas funç&es u/x1 e n /x1 edeterminar3

y p/x1 . # /x1 y 2 /x1 : n /x1 y 4 /x1'

%esta forma, conse"ue c$e"ar1se 0 e!pressão "eral para a solução y p/x1,

onde 7/x1 é o YR!N%OIAN! das soluç&es y 2,y 4, já definido

%a mesma forma, para uma equação diferencial linear de ordem n, se pode

obter a solução particular na forma

onde 7 = se obtém de 7 pela substituição da coluna = pela coluna

:ara n.4, temos

Reso,-a y'' + y = sec x.

Cma base de soluç&es da equação $ono"énea é y 2 . cs x, y 4 . sin x' 9o"o,7/x1 . 2'

(ntão, podemos escrever para a solução particular,

y p/x1.)cs x sin x sec x !x : sin x cs x sec x !x . cs x lu HcsH : sin y

pelo que a solução é dada por

y /x1 . c 2 cs x : c 4 sin x : cs x ln Hcs xH : x sin x

. /c 2 : ln Hcs xH1 cs x : /c 4 :x1 sin x'

N!"A 4e tivéssemos incluido duas constantes arbitrárias na inte"ração acima,teríamos obtido directamente a solução "eral. Asto não sur"e por acaso. 5omefeito, 9 %EMPRE A%%IM.



@amos a"ora considerar al"umas aplicaç&es a sistemas "overnados porequaç&es diferenciais lineares, em particular as oscilaç&es desses sistemas,que podem ser mec+nicos ou eléctricos, quer na presença quer na aus'ncia de

uma força e!terna. >eremos ainda oportunidade de estudar o fen#meno deresson+ncia, de "rande import+ncia em aplicaç&es tecnol#"icas.

IN"R!D$Ç!

s oscilaç&es livres do sistema massa1mola da fi"ura abai!o são "overnadaspela equação diferencial linear e $omo"énea

# yJJ : c yJ : Ly . 0'

esta equação y representa o deslocamentodo corpo de massa # relativamente 0 suaposição de equilíbrio. # yJJ é a força de inérciacyJ uma força de amortecimento, enquanto queLy representa a força elástica devido 0 mola.Oscilaç&es forçadas obt'm1se quando se fa2actuar sobre este sistema uma força e!terna t/t1, o que corresponde a adicionar esta forçae!terna 0 nossa equação diferencial, quetradu2 as leis de eton. (sta força adicionaltransforma a equação diferencial anterior

;$omo"énea=. t /t1 é a denominada força dearrastamento, e a solução y/t1 denomina1se,em "eral, a resposta do sistema a estainflu'ncia e!terna. %e "rande import+ncia emFísica, Química e (n"en$aria são as forçase!ternas peri#dicas, do tipo

t /t1 . U 0 cs wt /U 0 , w?01'

>emos, assim, a equação

# yJJ : cyJ : Ly . U 0 cs wt '

%e reparar que este tipo de equação diferencial, com coeficientessupostamente constantes ocorre frequentemente em (n"en$aria .

ANA&!#IA



5om efeito, também num circuito denominado de )95, na presença de umaforça electromotri2 sinusoidal no tempo, se obtém a se"uinte equação para acorrente eléctrica que percorre o circuito, e que é inteiramente análo"a 0anterior

IJJ : R IJ :

tabela se"uinte estabelece a relação entre as diferentes quantidades dos ?tipos de sistemas

iste"a *lct,ico iste"a -ecnico

I)dutW)cia /

Resist5)cia

i)-erso da ca2acitW)cia1C

(or*a e,ectromotri

corre)te e,éctrica (t)

Massa m

(ric*>o C

co)sta)te e,éctrica de mo,a

(or*a de arrastame)to

des,ocame)to y(t)


5omecemos pela equação $omo"énea associada,

#yJJ : cyJ:Ly . 0'

equação característica é

com raí2es

.

Antrodu2indo as constantes au!iliares



podemos escrever

l 2 . )a : b e l 4 . )a )b

5omo $abitualmente, tudo fica decidido pelo bin#mio discriminanteD em

particular, para uma dada mola e uma dada massa, podemos fa2er variar o tipode comportamento do sistema em função da constante de amortecimento c .5om efeito, se

• c 4 ?K#L \ l 2 l 4 V R

• c 4 . K#L \ l 2 .l 4 V R

• c 4 @ K #L \ /l 2 ,l 4 1V - , l 2 . l 4 *

• l 1 l 2

y h /t1 . c 2 e )/a ) b 1 t : c 4 e )/a : b 1 t

e o corpo não oscila, ou seja, o amortecimento do movimento é tão forte quenão se verifica movimento oscilat#rio. 5om efeito, a ? 0 e b ? 0 ,, e

pelo que ambos os termos tendem para 2ero quando tF G 'a prática para t "rande, o corpo restará em equilíbrio estático. fi"urase"uinte mostra y/t1 para diferentes re"imes de condiç&es iniciais.

•

l 1 . l 2



este caso, l 2 . l 4 . ) a e a solução é

y h /t1 . /c 2 : c 4 t1 e )a t

5omo e )a t 8 0 e c 2 : c 4 t s#pode ser 2ero no má!imo umave2, o movimento da massa #tem de ser tal que s# poderápassar, no má!imo, uma ve2pela posição de equilíbrio. :orisso este re"ime se denominade amortecime)to crítico. fi"ura ao lado ilustra ocomportamento de y/t1, paravalores positivos, nulos e

ne"ativos 1 g , , e 1respectivamente, davelocidade inicial.

• (l 1 6l 2 ) C 6 l 1 = l 2 7

Quando c é pequeno, então dá1se um movimento ondulat#rio. >emos que b .

ih pelo que

l 2 . )a : ih e l 4 . )a : ih , com

pelo que

y h /t1 . e )a t /c 2 cs h t : c 4 sin h t1 . A e )a t cs /h t ) ! 1

;com A . 1, que corresponde a um movimento oscilat#rio,determinado por cs /h t ) ! 1 cuja amplitude vai diminuindo no tempo,

condicionada pela função BenvolventeB . fi"ura se"uinte ilustra este tipode movimento 3



%!&$Ç! DA EQ$AÇ! N! @!M!#9NEA

Qua, a i)(,u5)cia do termo )>ohomogé)eo )este mo-ime)to

%eterminemos então y p/t1, para o que utili2aremos o Bmétodo dos coeficientesindeterminadosB. (screveremos

y p/t1 . a cs wt : b sin wt pelo que

yJ p/t1 . ) w a sin wt : wb cs wt

yJJ/t1 . ) w 4 a cs wt ) w 4 b sin wt . ) w 4 y p/t1

4ubstituindo na equação, e i"ualando os coeficientes em coswt e si)wt ,

obtém1se queresulta em

/L) # w 4 1 a : w cb . U 0

) w ca : /ck)# w 4 1b.0 donde



desde que o denominador não seja 2ero. Fa2endo 1 de notar quew 0 é a frequ'ncia de oscilação do sistema massa1mola na aus'ncia da forçae!terna e na aus'ncia de qualquer força de amortecimento 1 obtemos

solução "eral da equação é, portanto,

Y/t1 . Y h /t1 : Y p /t1

com y p/t1 . a cs wt : b sin wt, onde a e b são dados pelas equaç&es acima.

"IP!% DE %!&$ÇE%

a discussão que se se"ue, vamos distin"uir dois re"imes, que ori"inam doistipos diferentes de solução.

I. !sci,a*+es For*adas )>o amortecidas

este caso, c.0 , ;não e!iste amortecimento= e vamos admitir que w w 0 ' solução "eral vem, então,

ou seja, obtemos a sobreposição de dois movimentos oscilat#rios, com afrequ'ncia natural w 0 e com a frequ'ncia e!terna w' amplitude má!ima de

y p/t1 vale onde , pelo que a0 depende de w e w 0 .

5om efeito, quando wF w , $ e a0 F G ' (ste fen#meno de e!citação de lon"asamplitudes através da sintoni2ação das duas frequ'ncias denomina1seresso)W)cia, e reveste1se de uma import+ncia enorme no estudo defen#menos de vibração. $ denomina1se (actor de resso)W)cia. o caso deresson+ncia ;recordar que estamos a fa2er c.0 =, a equação diferencial toma a

forma



pelo que podemos escrever

y p/t1 . t /a cs w 0 t : b sin w 0 t1

que, por substituição, condu2 a pelo que y p/t1. t sin w 0 t

a que corresponde a função desen$ada na fi"ura abai!o.

a prática, o resultado que obtemos si"nifica que sistemas com acontecimentomuito fraco ;cW 0 =, podem efectuar vibraç&es de amplitude suficientemente"rande para ori"inar a sua pr#pria destruição.

Outra situação de "rande interesse ocorre quando wW w 0' 4e considerarmos asolução do I'P com y/01 . yJ/01.0, podemos escrever

(stando w muito pr#!imo de w 0 , w 0 )w é pequeno, pelo que o período das duasfunç&es si) é muito diferente, sendo o do ? termo muito maior que o G.>emos a situação ilustrada na fi"ura se"uinte, que representa a situação quese encontra tipicamente quando se toca um instrumento.



II. !sci,a*+es For*adas amortecidas.

este caso c ? 0 e a solução "eral da equação $omo"énea é

e esta solução tende para 2ero quando t tende para infinito. %este modo, y h/t1representa um re"ime transiente, em que o sistema evolui para um re"imefinal, estacionário, determinado por y p/t1.

%este modo, e ap#s um intervalo de tempo suficientemente "rande, o outputcorrespondente a um input puramente sinusoidal tradu2ir1se1á BpráticamenteBpor uma oscilação $arm#nica cuja frequ'ncia é a do input.

(nquanto que no caso em que c.0 y p tendia para infinito 0 medida que w seapro!imava de w 0 , neste caso a amplitude de y p permanecerá sempre finita,re"istando um má!imo para um certo w que será função de c, uma situaçãoque se pode descrever como Bresso)W)cia 2ráticaB.

@amos terminar esta discussão calculando a amplitude de y p/t1 neste caso.5omeçamos por escrever

y p/t1 . M/w1 cs /wt)e 1

onde

e

e vamos então calcular o má!imo de M/w1'



pelo que

:ara um c suficientemente "rande, - 4 ?4#4 w 4 .4#k e a equação acima nãotem soluç&es reais, pelo que M decresce mon#tonamente 0 medida que waumenta 1 ver fi"ura abai!o.

Quando - 49 4 #k, a equação acima tem uma solução real w #ax que aumenta 0medida que c diminui, e que se apro!ima de w 0 quando c tende para 2ero.

Anserindo a condição de amplitude má!ima na e!pressão "eral da amplitudeM/w1, obtemos

pelo que

a amplitude permanece finita quando c?0 . Cma ve2 que quando

c 4

@4 #k, então M/w #ax 1 cresce 0 medida que c decresce e tende para infinito

quando c tende para 2ero. fi"ura atrás mostra a amplificação ;a ra2ão dasamplitudes de output e input= como função de w para #.k.2 e diferentesvalores de c .

O +n"ulo e em y p/t1 acima denomina1se W)gu,o de (ase ou des(aame)to,uma ve2 que mede o atraso do output relativamente ao input. Quando w@w 0 , então e @ p 4 quando w.w 0, e . p 4, e quando w?w 0, e ? p 4 ) ver fi"urase"uinte3



./uações 3s !erivadas 4arciais

#amos ilustrar neste capítulo, por intermédio de e&emplosutilizando algumas e!uações 0s derivadas parciais +$3importantes da ngen)aria, as técnicas mais comuns de resoluç"ode +$.

'.+RIA . %5'+!+( , N+67.( G.RAI(

5omo já definimos atrás, uma PDF é uma equação que envolve uma função;descon$ecida= de duas ou mais variáveis, bem como derivadas parciais desta.

solução "eral é a solução que contém um n-mero arbitrário de funç&esindependentes em n-mero i"ual 0 ordem da equação. Cma solução é particular



quando se obtém a partir da solução "eral através de uma escol$a concretadas funç&es arbitrárias. :or sua ve2, uma solução sin"ular é aquela que não sepode obter a partir da solução "eral.

equação ou, de um modo equivalente, m xy . 4x ) y é uma

PDF de ?I ordem. função é uma solução daequação acima que contém duas funç&es arbitrárias e independentes, U/x1 e+/y1. 9o"o, é a solução "eral. :ara U/x1 . 4 sin x e +/y1 . > y K ) Q, temos que

é uma solução particular da PDF.

Cm problema de condiç&es fronteira ;/'P= que envolve uma PDF é um

problema em que se procuram todas as soluç&es de PDF compatíveis com ocomportamento da solução numa dada fronteira, especificado 0 partida, e queconstítui a Bcondição fronteiraB.

%e particular import+ncia são as PDF lineares, cuja forma "eral se podeescrever ;para o caso de ?I ordem=

A # xx : B # xy : - # yy : # x : # y : U# . +

onde A,''',+ podem depender de x e y mas não de m e suas derivadas parciais.Quando uma PDF não se pode escrever nesta forma, di21se não1linear. 5omo

$abitualmente quando +.0 a PDF di21se $omo"énea, sendo não1$omo"éneaquando tal não acontece.

:ara uma PDF linear de ?I ordem, a nature2a das soluç&es é, em "rande partedeterminada pelo sinal do Bbin#mio discriminanteB, B4 )KA-' %este modoquando B4 )K A- @0, a PDF denomina1se e,í2tica, quando é 2ero é 2ara3,ica,e quando B4 )K A-?0 di21se hi2er3,ica.

%e um modo inteiramente análo"o ao caso das !DE lineares, também asolução "eral de uma PDF linear não1$omo"énea se obtém através da somada solução "eral da PDF linear $omo"énea associada com uma soluçãoparticular da PDF não1$omo"énea. 5omo é evidente, este resultado assentana validade do princípio da sobreposição das soluç&es de uma PDF linear$omo"énea.

(!istem vários métodos de resolução da PDF, nomeadamente

4eparação de variáveis

>ransformada de Fourier

>ransformada de 9aplace



Métodos de variável comple!a

etc.

%e entres estes, e!emplificamos a resolução de PDF utili2ando os ? primeiros

métodos enumerados, em que se fará ainda uso das séries e inte"rais deFourier.

o primeiro método assume1se que a solução de PDF se pode e!primir como oproduto de funç&es ;a determinar= em que cada função depende apenas deuma variável independente. O sucesso do método assenta na possibilidade deescrever a equação resultante de tal forma em que um membro dependeapenas de uma variável e o outro depende das restantes, pelo que ambos osmembros, sendo i"uais, t'm de ser i"uais a uma constante. :or repetiçãosucessiva deste ar"umento no membro que eventualmente depende de maisdo que uma variável, eventualmente conse"ue1se obter uma separação

completa.

C,assi(icar as segui)tes PDF G( Z -ariá-e, de2e)de)te? (I Z -ariá-eisi)de2e)de)tes6

# 3 . K # xx linear, ?I ordem ( . # (I.x,t

x 4 R xxx .y >R xx linear, *I ordem ( .R (I.x,y

7'7t t .t st não1linear ?I ordem ( .7 (I.t ,s,t

f xx :f yy :f 33 .0 linear, ?I ordem, , coef.const

( .f (I.x,y,3

/3# 14 :/3n 14 .2 não linear, GI ordem ( .Z (I.# n

A42ICA67.(

I. EQ$AÇ! DA% 'I/RAÇE% DE $MA C!RDA

5omecemos por motivar a derivação da equação diferencial parcial que"overna as vibraç&es transversais de uma corda 1 ver fi"ura abai!o.

O problema é simples3 consideremos, por e!emplo, uma corda de um violino,com as pontas fi!as em x.0 e x., e que se desloca da sua posição normal,

esticando1a. finalidade é3 lar"ando1a no instante t.0, determinar a suadistensão m /x,t1 em cada ponto da corda e para cada instante de tempo.



@amos admitir que a corda tem uma densidade uniforme, que a tensão nacorda é tal que podemos despre2ar os efeitos da força "ravítica, e que osdeslocamentos de cada ponta da corda são -nicamente se"undo o ei!o yyJ .

5onsideremos então um elemento de corda de comprimento % l , entre ospontos P e [, como se ilustra na fi"ura. 4e o movimento é apenas na vertical,podemos escrever que

T 2 cs a . T 4 cs b . T . - '

:or outro lado, pela ?I lei deeton,

pois a resultante das forças é i"ual 0 soma r f W " x ve2es a aceleração,que é a se"unda derivada do deslocamento em ordem ao tempo. 5laro, nestecaso a derivada é parcial, pois m não depende apenas de t . %ividindo ambosos membros desta equação por T temos,

mas tan a e tan b são os coeficientes an"ulares da corda em x e x: x, isto é,

pelo que, dividindo a equação acima por % x, temos



o limite em que % xF 0 , obtemos a denominada equação de onda a umadimensão,

onde . %i21se equação de onda a uma dimensão, uma ve2 que osdeslocamentos se processam se"undo uma -nica direcção no espaço. equação PDF acima é linear, $omo"énea de coeficientes constantes. scondiç&es fronteira do nosso problema são

# /0,t1 . # /, t1 . 0 \ 3

e vamos admitir que con$ecemos as condiç&es iniciais,

# /x,01 . f/x1 e

que determinam a deformação inicial da corda bem como a sua velocidadeinicial para cada x . @amos a"ora determinar a solução da equação de ondacompatível com estas condiç&es iniciais e condiç&es fronteira.

5omecemos por efectuar uma se2ara*>o de -ariá-eis. @amos então, assumirque a solução m /x,t1 se pode escrever na forma

# /x,t1 . U/x1 +/t1

Que consequ'ncias acarreta esta nova $ip#tese >emos que

e

pelo que, a nossa equação de onda pode escrever1se,

%ividindo ambos os membros por - 4 U+.- 4# , obtemos



constante.

5om efeito, no G membro temos uma função apenas de t , enquanto que, no ?membro, temos uma função e!clusivamente de x . i"ualdade s# pode,portanto, ser verdadeira, se ambas as funç&es forem i"uais a uma constante.

Co)segue imagi)ar =ua,=uer a,ter)ati-a -iá-e,

constante, denomina1se constante de separação. 5om efeito, partindo daPDF inicial, e através da $ip#tese que -# .U+, obtivemos duas !DE ,i)eares?homogé)eas? de V ordem, de coe(icie)tes co)sta)tes?

UJJ ) LU . 0 e ) c 4 L+ . 0

k é, neste momento, descon$ecido ;arbitrário= e deveremos fi!ar k utili2ando ascondiç&es iniciais e fronteira. :rocuremos então a solução deste dois !DE.

U . + . 0 é uma solução das equaç&es, mas não tem interesse. 9o"o,admitemos que U 0 e + 0 e determinemos U, compatível com U/01 . U/1 . 0'

:odemos considerar diferentes soluç&es para U consoante o valor da constantek E

8 = 0

este caso U . a x : b pelo que, a.b.0 e portanto, U.0 pelo /'P.

8 = " 2 90

este caso, U . c 2 e# x : c 4 e )# x e o /'P imp&e, novamente c 2.c 4 .0, lo"o U.0'

%esta forma, a -nica possibilidade não trivial é L . ) p4 @ 0 ' equação assumea forma

UJJ : p4 U . 0

com solução "eral

U . A cs px : b sin px

U/01 . U/1 . 0 implica que

U/01 . A . 0

U/1 . B sin p . 0 ] p . np ;n inteiroL=

9o"o, temos uma infinidade de soluç&es,



U/x1 . U n /x1 . sin

;onde fi2emos B . 2= .

:assemos 0 determinação de +E 4abemos que , pelo queobtemos

cuja solução "eral é

+n /t1.Bn cs l n t : n sin l n t ' solução da equação de onda pode ser escrita na forma /# .U+1E

# n /x,t1./Bn cs l n t : n sin l n t1sin

%aqui se pode ver que não restrin"imos em nada a solução da equação deonda, quando fi2emos B.2, pois B 2 s# iria afectar Bn e n , que permanecemainda arbitrárias uma ve2 que não fi!amos Bn e n através do I'P. @amosanali2ar o que se passa com as soluç&es U e + obtidas até a"ora3

5ada solução m n/x,t1 representa um movimento $arm#nico de frequ'ncia

ciclos por unidade de tempo. (stes movimentos sãodenominados os modos )ormais de corda, e o modo com n.2 é odenominado modo (u)dame)ta, sendo os outros denominados de o-erto)es. (m lin"ua"em musical, eles produ2em uma oitava, uma oitava mais umaquinta, etc. :or outro lado, como

o modo normal n tem n)2 pontos entre 0 e onde m /x1.0, denominados)odos de m /x,t1 1 ver fi"ura abai!o.



estes pontos ;)odos=, a corda não se me!e, tal como nos pontos e!tremos. finar a corda ;de um violino= conse"ue1se fa2endo variar a tensão T' 5om

efeito, c.T" e pelo que aumentando T, aumenta1se n n , para todos osn .

@amos a"ora determinar Bn e n através do I'P. o entanto, como a equaçãode onda é linear e $omo"énea, podemos usar o princípio de sobreposição paraescrever

pelo que

ou seja, Bn não é mais do que o coeficiente de ordem n da série de Fourier;ímpar= de f/x1, ou seja,

Bn .

Quanto a n, temos

%esta forma, e con$ecidos f/x1 e v/x1, podemos determinar a solução da

equação de onda que satisfa2 as /'P Y I'P. )eferir que os coeficientes deFourier correspondem 0 e!tensão peri#dica ímpar da função f/x1 ;e v/x1 também= como se ilustra na fi"ura se"uinte.



@amos então considerar um caso concreto em que v/x1.0' este caso, n.0 eobtemos

e, manipulando tri"onométricamente a e!pressão acima, podemos escrever

ou seja, como a soma de duas séries de Fourier, ambas obtidas através dae!tensão peri#dica ímpar de !/x1, com período 4, que denominamos f*/x1. Oscoeficientes Bn no G e ? termos, são coeficientes de Fourier da série de f*/x1,para os ar"umentos /x)ct1 e /x:ct1, respectivamente, pelo que podemos

escrever ;ver fi"ura abai!o=

.

interpretação do resultado acima, ilustrada na fi"ura abai!o, tem umsi"nificado interessante e muito -til nas aplicaç&es de (n"e$aria'

5om efeito, o "ráfico de f*/x)ct1 obtém1se do "ráfico f*/x1 por translação destede \ct\ unidades para a direita, ou seja, f*/x)ct1 /c?01 representa uma onda quese desloca para a direita quando t aumenta. %o mesmo modo, f*/x:ct1representa uma onda que se desloca para a esquerda, quando t aumenta.Finalmente, # /x,t1 não é mais do que a sobreposição destas duas ondas.

II. EQ$AÇ! DA "RAN%FER7NCIA DE CA&!R

:assemos a"ora para a se"unda "rande equação, a equação que "overna astransfer'ncias de calor,



onde nos dá a temperatura # /x,y,3,t = de um corpo constituído por ummaterial de densidade constante " ' c 4 é a denominada difusividade térmica, L a

condutividade térmica e s o calor específico da subst+ncia. é o nossocon$ecido 9aplaciano.

5omo sur"e esta equação

4abemos que o calor se propa"a, num corpo, no sentido das temperaturasdecrescentes, sendo proporcional ao "radiente da temperatura. Asto si"nificaque a velocidade da transfer'ncia de calor num corpo se pode escrever, na

forma

onde # /x,y,3,t1 é a temperatura do corpo, e L é a condutividade térmica decorpo.

4eja então > uma porção do corpo delimitada por uma superfície 4. quantidade de calor que abandona > por unidade de tempo é

;refere que é por unidade de tempo, uma ve2 que utili2amos a velocidade =.:odemos então escrever

em que utili2ámos o >eorema de auss da diver"'ncia.

:or outro lado, a quantidade total de calor no volume > é dada por

^ . T s " # !x !y !3

onde s é o calor específico da subst+ncia e r a densidade da mesma, quevamos admitir que são constantes. :odemos, portanto, escrever que

que comparada com o resultado acima, nos permite escrever a equação decondução do calor,



n!e

F&$! $NIDIMEN%I!NA& N! E%"ACI!N;RI!

:assemos então ao estudo elementar das soluç&es desta equação. :ara oefeito, consideremos a temperatura de uma lon"a e fina barra $omo"énea,como a ilustrada na fi"ura se"uinte3

@amos admitir que é perfeitamente isolada lateralmente, de tal forma que s#pode $aver flu!o de calor ao lon"o da direcção estipulada pelo comprimento dabarra, que tomaremos como JJh. %este modo, m dependerá apenas de ! e det, pelo que a equação acima se pode escrever

(sta é uma equação Bsemel$anteB 0 equação que tratámos anteriormente, masa"ora a derivada em ordem ao tempo é de GI ordem. 5omo veremos, assoluç&es revelam comportamentos bem diversos dos obtidos anteriormente.

5onsideremos o caso em que # /01 . # /1 . 0, ou seja, quando a barra estáem contacto com reservat#rios térmicos 0 temperatura T . 0, e que atemperatura inicial é con$ecida, ou seja,

# /x,01 . T /x1

em que T/x1 é con$ecido'

Cma ve2 mais, vamos admitir que ;se2ara*>o de -ariá-eis=

# /x,t1 . U/x1 +/t1

pelo que obtemos,

%ividindo por c? F obtém1se



'

%esta forma, e denominando por L . )p4 a constante de separação ;mostre queL 8 0 ] # .0 =, obtemos as duas !DE

UJJ : p4 U . 0 e D a solução "eral pode escrever1se

U/x1 . A cs px : B sin px

s /'P imp&e que U/01 . U/1 . 0, pelo que A.0 e B 0, de modo que,

U/x1 . sin

outra operação diferencial pode escrever1se

com

e tem a solução "eral

+n /t1 . Bn

%este modo, podemos escrever

, c#

5omo no problema anterior, escrevemos a solução "eral da equação na forma

e, através do I'P,

e podemos determinar os coeficientes 7n na forma



:ara que estes coeficientes Bn sejam bem definidos, a função T/x1 tem de serbem comportada, ou seja, tem de ser contínua, ou seccionalmente continuaentre 0 e , e ter derivadas definidas em todos os pontos interiores do intervalo.

%!&$Ç! P!R IN"E#RAI% DE F!$RIER

Quando o comprimento da barra se torna infinito, a série de Fourier converte1se em inte"ral de Fourier. 5om efeito, podemos escrever para o I'P,

# /x,t1 . T /x1 )G @ x @ :G

e não temos a"ora qualquer /'P. %o mesmo modo, obtemos

U/x1 . A cs px : B sin px

e

+/t1 . e

onde A e B são constantes, e podemos escrever para solução da equação,

# /x,tp1 . /A cs px : B sin px1 e

onde # /x,tp1 si"nifica que a solução depende paramétricamente de p' Cmave2 que T/x1 não é necessáriamente peri#dica, será natural utili2ar inte"rais deFourier. >ambém as constantes A e B devem depender de p, pelo que

/ reparar que !p é o limite p quando % p F 01'

:elo I'P, temos que

o que nos permite espressar A/p1 e B/p1 em termos de T/x1,

;comparar com os resultados obtidos para as séries e inte"rais de Fourier=.

:odemos re1introdu2ir este resultado no I'P e escrever



pelo que

e, invertendo ;se possível L= a ordem de inte"ração,

O inte"ral dentro dos par'ntesis rectos vale ;consultando uma tabela deinte"rais...=

'

o nosso caso,

pelo que 4bs . /x)h 1p e !s . c !p

pelo que obtemos

Anserindo este resultado na e!pressão de u/x,t1 obtemos,

Fa2end Z . podemos re1escrever o inte"ral na forma

4e T/x1 é limitada em ) e inte"rável em qualquer intervalo finito, o inte"ralacima pode mostrar1se que satisfa2



em que

u/x,01 . T/x1,

pelo que constitui a solução desejada.

Determi)ar a tem2eratura )uma 3arra i)(i)ita se a tem2eratura i)icia, édada 2or G-er (igura 6

:odemos escrever

inte"ração desta função não é elementar, mas pode ser facilmente obtidautili2ando métodos numéricos. a fi"ura se"uinte apresentam1se váriassoluç&es u/x,t1 para c 4 .2 c#4 sec, T 0 .200_- e diferentes valores de t, emse"undos.



F&$! /IDIMEN%I!NA& E%"ACI!N;RI!

equação de condução de calor considerada anteriormente é o caso maissimples em que essa condução é unidimensional. Quando a condução ébidimensional a equação pode escrever1se,

Quando o flu!o de calor é estacionário, ou seja, não depende do tempo, então

e a equação de condução do calor transforma1se na denominadaequação de 9aplace, ou seja,

/ a duas dimens&es 1'

O problema de condução de calor consiste, nestas condiç&es, no estudo da

equação de 9aplace e suas soluç&es numa dada re"ião R do plano JK limitadapor uma fronteira - que limita R'

>emos assim um /'P' Cm /'P denomina1se

um problema de Dirich,et se u é dado em - D

um problema de Neuma)), se a derivadanormal de u em - é dada em - '

um problema misto, se u é dada em parte de - e un

no resto de - '

5onsideremos o problema de %iric$let num rect+n"ulo, como na fi"urase"uinte3



(screvendo

u/x,y1 . U/x1 +/x1,

substituindo na equação de 9aplace u xx : uyy . N e dividindo ambos os membrospor U+ obtemos

pelo que obtemos as !DE,

c# U/01 . U/a1 .0,ou seja,

e teremos, para +,

ou seja,

%e +n /01 . 0 obtemos Bn. ) An , pelo que



:odemos escrever, portanto /4An . constante e fi!a `1

e vamos impor que a solução da equação satisfaça a fronteira superior /y.b1 do rect+n"ulo, uma ve2 que todos os outros lados já foram usados. f/x1 ésupostamente con$ecida, mas s# por acaso seria satisfeita por um valorparticular de h '

5omo $abitualmente, escrevemos

u /x,y1 . n8 2 un /x,y1

e

pelo que podemos escrever,

donde,

e a solução do problema pode escrever1se na forma

onde

e!ist'ncia de soluç&es requer que f/x = seja contínua bem como as suasprimeira e se"unda derivadas quando 0 9 x 9 a'

5omo vimos, a equação de 9aplace obtem1se como limite da equação de

transfer'ncia de calor no caso de re"ime estacionario. O que é impressionante,e revela não s# o poder unificador da matemática, como também a import+ncia



das equaç&es diferenciais parciais, é que a equação de 9aplace também"overna o potencial electrostático de uma distribuição arbitrária de car"a numare"ião do espaço onde não e!istam car"as, ou mesmo as vibraç&es de umamembrana elástica ;rectan"ular ou circular como no caso de um tambor= fi!ana e!tremidades definidas por -'

:ela sua import+ncia, vamos finali2ar o nosso estudo de PDF com o estudo daequação de 9aplace em coordenadas esféricas.

EQ$AÇ! DE &AP&ACE EM C!!RDENADA% E%F9RICA%

5onsideremos então um /'P típico que envolve a equação de 9aplace emcoordenadas esféricas. 4upon$amos que a esfera de raio R é mantida a umpotencial electrostático definido pela distribuição ;con$ecida= f/O 1,

u /R, O , f 1 . f /O 1

s coordenadas 5", O , f 6 são as coordenadas esféricas, centradas na ori"emda esfera . função con$ecida f /O 1 di21nos que, na superfície da esfera;definida por " . R =, o potencial electrostático depende apenas de O , isto é,não depende de f ' 9o"o, o potencial u também não depende de f , e portanto

equação de 9aplace,

4 u . 0

assume então a forma ;em coordenadas esféricas=

para além da condição fronteira u/R, O 1.f/O 1, temos ainda que, por ra2&esfísicas o

li# u /t ,O 1 . 0 quando t F G '

5omo $abitualmente, vamos admitir que



u /",O 1 . + /"1 ^ /O 1

e, por substituição na equação diferencial, obtemos

ou seja, temos as variáveis separadas, sendo L a constante de separação'

O ar"umento que se se"ue é claramente viciado, mas acredite que éconveniente escrever

L . n /n:21'

Obtemos então,

ou seja,

/" 4 +J1J . n/n:21+

ou ainda

" 4 +JJ : 4 " +J ) n /n:21 + . 0

(sta equação é bem con$ecida em matemática, tendo o nome de (uler15auc$Z. :ossui soluç&es da forma "a ' Qual o valor de a D :ara determinarmosa , substituimos "a na equação acima, obtendo

/n arbitrário 1 '

Os 2eros da e!pressão entre par'ntesis ocorrem para a . n e a . )/n:2=, pelo

que obtemos soluç&es na forma '

N!"A3 )eparar que é a GI ve2 que BresolvemosB uma !DE de coeficientes nãoconstantes. técnica usada neste caso é um caso particular do denominadométodo de solução de !DE por série de pot'ncias. ideia é simples3 admitirque a solução é de forma 4 #8 0 a# x # e depois encontrar forma de determinar oscoeficientes a# ' :ara mais detal$es consultar a biblio"rafia recomendada.

@oltemos ao nosso problema, e consideremos a ?I equação,

Fa2endo cs f . w, temos sin4 O . 2)w 4 e, uma ve2 que



a equação diferencial pode ser escrita na forma

Obtivemos mais uma con$ecidíssima e muito importante equação3 adenominada equação de &ege)dre, que se pode escrever,

té este momento, n é arbitrário. :ode, no entanto, mostrar1se que é

necessário que n assuma valores inteiros para que a solução da !DE acimaseja, juntamente com a sua derivada, uma função contínua no intervalo )2 9 w9 2, ou seja, 0 9 O 9 p ' @amos então impor n inteiro, pelo que a solução da!DE de &ege)dre são os polin#mios de &ege)dre

^ . P n /w1 . P n /cs O 1 n .0,2,'''

(!emplos de polin#mios de &ege)dre são

P 2 /w1 . w , P 4 /w1 . 2)w 4 , ' ' ', P n /w1 .

; ver, por e!emplo, rf8en= .

untando as soluç&es encontradas, podemos escrever, para u, dois tipos desoluç&es,

un /",O 1 . An " n P n /cs O 1 e

onde n . 0,2,''' e An e Bn são constantes.

5onsideremos o que se passa no interior da esfera, 0 9 " 9 R' penas un/t ,O 1permanece finita neste intervalo, pelo que vamos considerar esta solução. solução deve ser da forma

u /", O 1. n8 0 An" nP n/csO 1' :ara determinar An, vamos ver o que sucede para ". R'

>emos

u /R, O 1 . n8 0 An R n P n /cs O 1 . f /O 1



sabendo que ;esta é apenas uma das muitas propriedades que torna ospolin#mios de 9e"endre e!tremamente -teis=

onde ! #,n / símbolo de Sronec8er 1 vale G se # . n, sendo 2ero sempre que # n' P odemos escrever

onde é a função f/O 1 escrita em forma de w.cs O ' %este modo, a série

u/",O 1 . n8 0 An " nP n /cs O 1

com

An .

é a solução da equação para o interior da esfera. ( no e!terior í vamosutili2ar a solução

pois apenas esta satisfa2 a condição de li# u/t ,O 1 . 0 , Ouan! t F G '

%e um modo inteiramente análo"o, e utili2ando o /'P de u /R,O 1 . f ;q = sec$e"ava 0 se"uinte e!pressão para os coeficientes Bn E

métodos matemáticos da física

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