estudo das cÔnicas (noções básicas) prof. carlos a. gomes
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ESTUDO DAS CÔNICASESTUDO DAS CÔNICAS(Noções básicas)(Noções básicas)
Prof. Carlos A. Gomes
1-INTRODUÇÃO
Cônicas por quê?
As seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano.
2-ESTUDO ANALÍTICO
I.A ELIPSE Definição: Dados um plano e dois pontos fixos F1 e F2 Pertencentes a , chamamos de ELIPSE de focos F1 e F2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano cuja soma das distâncias aos pontos F1 e F2 permanece constante.
Como desenhar uma elipse perfeita?
Fixe um barbante em dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, de modo que o barbante não fique esticado. Com a ponta de um lápis estique o barbante e o mantendo esticado descrevacom o lápis uma curva.
Elementos geométricos de uma elipse.
OBSERVAÇÃO:
Já vimos que
Qual o valor dessa constante?
Vamos mostrar que
Para isso vamos introduzir um sistema de coordenadascartesianas.
Para qualquer posição do ponto P sobre a elipse sabemos que
Para determinarmos o valor dessa constante tomemosuma posição particular do ponto P, conforme ilustra a Figura abaixo
Para esta posição do ponto P,
1 2d P,F a c e d P,F a c Portanto,
1 2d P,F d P,F a c a c 2a
Como a soma
e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo maior da elipse) segue que para todos os pontos da elipse,
Em particular, perceba que na figura abaixo d(B2F2)=a, pois
2 1 2 2d B ,F d B ,F 2a
mas ,especialmente para o ponto B2 , 2 1 2 2d B ,F d B ,F
Portanto d(B2 ,F2)=a.
Em particular, 2 2 2a b c
EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA ELIPSE.
Pois, 2 2 2 2
1 2d P,F d P,F 2a x c y 0 x c y 0 2a
2 22 2x c y 2a x c y
Elevando cada membro ao quadrado,
2
2 2 2 22 2 2 2x c y 2a x c y x c y 2a x c y
desenvolvendo...
2 22 2 2 2 2 2x 2xc c y 4a 4a x c y x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2xc c y 4a 4a x c y x 2xc c y
2 22 2 2 24xc 4a 4a x c y a x c y a xc
elevando cada membro ao quadrado,
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x c y a xc a x 2xc c y a 2a xc x c
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2xc c y a 2a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a xc a c a y a 2a xc x c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x a c a y a x c
2 2 2 2 2 4 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
Lembrando que 2 2 2 2 2 2a b c a c b
Temos
2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 2
a b
x yb x a y a b 1
a b
OBSERVAÇÕES:
a)Caso o eixo maior da elipse estivesse sobre o eixo y a sua equação padrão (canônica) seria
2 2
2 2
y x1
a b
b)A razão =c/a é chamada de EXCENTRICIDADE da elipse e mede o quanto a elipse é achatada ou arredondada, conforme sugere a figura a seguir:
c)Pode-se demonstrar que a medida da área de uma elipse é A=ab.
d)Caso a elipse não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo maior é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente
2 2c c
2 2
x x y y1
a b
2 2c c
2 2
y y x x1
a b
ou
Aqui (xc, yc) são as coordenadas do centro da elipse.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
01.(UFRN-2009) O gráfico que melhor representa a equação
2 2ax by ab
com a e b positivos e a > b , é:
Resolução:
2 2 2 2
2 22 2
ab
x y x yax by ab 1 1
b a b a
Como a>b segue que a b
E portanto o denominador do y2 é maior que o denominador do x2 oQue implica que a equação dada representa uma elipse com eixo maiorSobre o eixo y.
(ALTERNATIVA: A)
02. Copa do Mundo voltará a ser realizada na América do Sul após 36 anos, já que a Argentina sediou o evento em 1978, coerente com a política da FIFA de um rodízio no direito de sediar uma Copa do Mundo entre as diferente confederações continentais. Dezoito cidades candidataram-se para sediar as partidas da Copa, todas capitais de estados. A FIFA limita o número de cidades-sedes entre oito e dez, entretanto, dada a dimensão continental do país sede, a organização cedeu aos pedidos da CBF e concedeu permissão para que se utilizem 12 sedes no mundial. Uma das exigências para que as cidades candidatas devem obedecer é de que melhorem sua infra-estrutura de trânsito. Em Natal, serão contruídos novos viadutos, entre eles o que está esquematizado na figura abaixo, com estrutura na forma de uma semi-elipse com vão de 40m e flecha de 10m. Uma placa indicando a altura h deverá ser fixada antes do viaduto para informação dos usuário da via. A indicação da placa deve apontar uma medida de:
a)8,5mb)5,8mc)6,0md)5,0m
Resolução:
Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas,
A equação cartesiana dessa elipse é 2 2
2 2
x y1
20 10
Quando x=10m,
2 2 2 2
2 2 2 2
x y 10 y 10 31 1 y 8,5m
220 10 20 10
(ALTERNATIVA: A)
03. (UFRN – 2004) Uma seção cônica é obtida a partir da interseção de um cone com um plano. Na figura ao lado, temos um exemplo de uma seção cônica, denominada Elipse. A figura consiste de duas esferas S1 e S2 que tangenciam o cone em duas circunferências C1 e C2 e tangenciam o plano p nos pontos F1 e F2. Os pontos P1, P2 e P estão, respectivamente, na interseção de uma reta do cone com as circunferências e a Elipse. A soma das distâncias de P aos pontos F1 e F2 é igual a distância
a) entre as duas circunferências.b) entre P1 e P2.c) entre os centros das duas esferas.d) entre F1 e F2.
Resolução:
É um fato bastante conhecido que se de um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois segmentos tangentes a ela esses segmentos tem a mesma medida (Teorema de Pitot), conforme ilustra a figura abaixo:
Existe uma extensão bem menos divulgada deste resultado na geometria espacial em que prova-se que se de um ponto externo a uma superfície esférica traçarmos dois segmentos tangentes à superfície esférica então esses segmentos serão congruentes. De posse deste resultado, como o ponto P é externo as duas esferas (veja a figura ao lado) não é difícil ver que
portanto temos a seguinte igualdade:
1 1 2 2d PF d PP e d PF d PP
1 2 1 2 1 2d PF d PF d PP d PP d PP
(ALTERNATIVA: B)
04. (UFPB) O escudo de um time de futebol é formado por uma elipse de excentricidade 4/5 , cujo eixo menor mede 6cm, e duas circunferências concêntricas e tangentes a essa elipse, como mostra a figura ao abaixo. Considere que a área da região limitada pela elipse é dada por A=ab , sendo a , em centímetros, o comprimento de um semi-eixo maior e b, de um semi-eixo menor. Nesse contexto, é correto afirmar que a área da região hachurada mede: a)19cm2 b) 17cm2 c) 15cm2 d) 18cm2 e) 24cm2
Resolução:
c ce 0,80 c 0,80a
a a
22 2 2 2 2a b c a 3 0,80a a 5
Mas,o eixo menor da elipse mede 6cm e portanto 2b=6 e daí b=3. Assim,
Assim ,
a 5, b 3 e c 0,80.a 0,80.5 4
A medida da área hachurada é
círculo maior elipse círculo menorS A A A
2 2 2S .5 .5.3 .3 S 19 cm
(ALTERNATIVA: A)
05.(UEL-2007) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda. Observe a figura e responda a questão a seguir.
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar na maior área possível, dentro do campo retangular?a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m.
Resolução:
De acordo com a teoria que vimos, ao amarrarmos uma corda em dois pontos fixos de um plano a curva descrita por um móvel que mantémessa corda esticada ao descrever uma volta completa é uma elipse. ENuma elipse
Onde 2a é o comprimento do eixo maior da elipse que no caso é de 20m.Note que d(P,A)+d(P,B) é justamente o comprimento da corda e portantoIo comprimento da corda é igual a 20m. (A e B são os focos!)
(ALTERNATIVA: C)
06.(UEL-2005) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a distância entre os aspersores?a) 4 mb) 6 mc) 8 md) 10 me) 12 m
Resolução:
Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas,
Como os aspersores estão localizados nos focos de coordenadas (-c,0) e (c,0) ,segue que
2 2 2 2 2 2a b c 10 8 c c 6
Assim a distância entre os aspersores é igual a 2c=2.6=12m
(ALTERNATIVA: E)
07. No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:a) uma senóideb) uma cossenóidec) uma hipérboled) uma circunferênciae) uma elipse
Resolução:
x 2cos t cos t x / 2y 5sent sent y / 5
Como 2 2cos t sen t 1
Segue que
2 2 2 22 2
2 2
x y x ycos t sen t 1 1 1
2 5 2 5
que é a equação padrão de uma elipse.
(ALTERNATIVA: E)
08.(UERJ) Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100 cm × 200 cm e uma semi-elipse. Observe as figuras:
Na semi-elipse o eixo maior mede 100 cm e o semi-eixo menor, 30 cm.Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224 cm de altura.
Resolução:
Introduzindo um sistema de coordenadas cartesianas,
A equação cartesiana dessa elipse é 2 2
2 2
x y1
50 30
Quando y=14cm,
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x 14 40 11 80 111 1 x PQ
3 350 30 50 30
09.Esboce a elipse descrita pela equação
2 29x 16y 90x 160y 481 0
Resolução:
Como a equação não está na forma padrão. Vamos usar a técnica deCompletar os quadrados:
2 29x 16y 90x 160y 481 0
2 29x 90x 16y 160y 481 0
2 2 2 29x 90x 16y 160y 481 0 9 x 10x 16 y 10y 481 0
2 29 x 10x 25 25 16 y 10y 25 25 481 0
2 29 x 5 25 16 y 5 25 481 0
2 2 2 29 x 5 25 16 y 5 25 481 0 9 x 5 16 y 5 144
2
2 2
144
x 5 y 59 x 5 16 y 5 144 1
16 9
Lembrando que neste caso a equação padrão é 2 2
c c2 2
x x y y1
a b
Segue que a elipse possui centro C=(5,5), a=4 e b=3. assim o seu esboço é
10.Quais as equações das retas tangentes (t) a elipse peloponto P=(7,2).
2 24x 9y 36
Resolução:
P x,y t y 2 m x 7 y mx 7m 2
Para determinarmos os pontos de interseção entre a reta (t) e a elipseDevemos resolver o sistema
2 2
y mx 7m 2
4x 9y 36
Substituindo o y na segunda equação obtemos
2 29m 4 x 18m 2 7m x 63m 7m 4 0
Como queremos que a reta (t) e a elipse sejam tangentes devemos ter
Assim,
2 20 8m 2 7m 4 9m 4 63m 7m 4 0 576m 7 10m 0
Portanto m=0 ou m=7/10. Como a equação da reta t é da forma
Segue que as equações das retas tangentes são7 29
y 2 ou y x10 10
y mx 7m 2
II.A HIPÉRBOLE
Definição: Dados um planoe dois pontos fixos F1 e F2
pertencentes a , chamamos de HIPÉRBOLE de focos F1 e F2 ao lugar geométrico dos pontos P do plano a cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 permanece constante.
Elementos geométricos de uma hipérbole
OBSERVAÇÃO:
Já vimos que
Qual o valor dessa constante?
Para respondermos essa questão vamos introduzir umsistema de coordenadas cartesianas.
como
para qualquer posição do ponto P sobre a hipérbole, vamosdeterminar essa constante para uma posição particular doponto P.
Para essa posição particular,
1 2d P,F a c e d P,F c a
Portanto,
1 2d P,F d P,F a c c a 2a
Como
e para uma particular posição do ponto P vale 2a (medida do eixo real da hipérbole) segue que para todos os pontos da hipérbole,
EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA HIPÉRBOLE.
Pois 2 2 2 2
1 2d P,F d P,F 2a x c y 0 x c y 0 2a
2 22 2x c y 2a x c y
Elevando cada membro ao quadrado,
2
2 2 2 22 2 2 2x c y 2a x c y x c y 2a x c y
desenvolvendo...
2 22 2 2 2 2 2x 2xc c y 4a 4a x c y x c y
22 2 2 2 2 2 2 2x 2xc c y 4a 4a x c y x 2xc c y
2 22 2 2 24xc 4a 4a x c y a x c y xc a
Elevando cada membro ao quadrado,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a x c y xc a a x 2xc c y x c 2a xc a
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2xc c y a 2a xc x c
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a xc a c a y a 2a xc x c
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x a c a y a x c
2 2 2 2 2 4 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
Fazendo
Como c>a, segue que 2 2c a 0
2 2 2c a b
2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 2
a b
x yb x a y a b 1
a b
Note que aqui não estamos aplicando o teorema de Pitágoras!Apenas chamamos o número positivo c2-a2 de b2, com o intuitode que a equação da hipérbole fique semelhante a já conhecidaequação da elipse!
Assim,
2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c
2 2 2 2 2 2b x a y a b
OBSERVAÇÕES:
a)Caso os vértices da hipérbole estivessem localizados sobre o eixo y a sua equação padrão seria
2 2
2 2
y x1
a b
b)Aqui o quociente e=c/a também é denominado de EXECENTRICIDADE da hipérbole e neste caso é um indicador abertura da hipérbole, sendo tanto mais aberta quando maior for a sua excentricidade, que neste casa da hipérbole é sempre um número maior que 1, pois na hipérbole c>a.
c)Caso a hipérbole não esteja centrada na origem a sua equação assume uma das formas a seguir dependendo se o seu eixo real (eixo que liga os seus vértices) é paralelo ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente
2 2c c
2 2
x x y y1
a b
2 2c c
2 2
y y x x1
a b
ou
Aqui (xc, yc) são as coordenadas do centro da hipérbole.
d)ASSÍNTOTAS DE UMA HIPÉRBOLE
Já vimos que a equação padrão de uma hipérbole é2 2
2 2
x y1
a b
Isolando o y,
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
x y y x y x a1 1 1
a b b a b a x
2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2
y x a b x a bx a1 y 1 y 1
ab a x a x x
Quando x cresce, x 2
2
bx a bxy 1 y
a ax
As retas
b by x e y x
a a
Se aproximam da hipérbole quando . Estas retas são chamadas deASSÍNTOTAS da hipérbole.
x
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS1.(UFPB) Uma quadra de futsal está representada na figura abaixo pelo Retângulo ABCD , onde A=(-20,-10) e C=(20,10). Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F1 e F2. O Círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.
1 2F 6 5 , 0 e F 6 5 , 0 Dados:
Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras e dê como resposta a soma dos números relativos às proposições corretas. (01).A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12m.
(02).A quadra tem 800m2 de área.
(04).A equação da hipérbole é
(08).A excentricidade da hipérbole é igual a 5/3.
(16).O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.
2 2x y1
180 36
Resolução:
(01).A distância entre o centro do círculo e um vértice da hipérbole é de 12m.
O centro do círculo é o ponto (0,0) e os vértices da hipérbole podem ser determinados assim;
Como a equação genérica dessa assíntota é y=bx/a segue que b/a=1/2, e Portanto a=2b.
como uma das assíntotas da hipérbole passam por A=(-20,-10) e C=(20,10) segue que a sua equação é y=x/2.
1 2F 6 5 , 0 e F 6 5 , 0 c 6 5
Lembrando que
E que
2 22 2 2 2c a b 6 5 2b b b 6
VERDADEIRA, pois
Assim,
b 6, a 2b 2.6 a 12 e c 6 5
Logo as coordenadas dos vértices da hipérbole são V1=(-12,0) e V2=(12,0) ePortanto a distância entre o centro da circunferência e um dos vértices é 12m
(02).A quadra tem 800m2 de área.
VERDADEIRA ,pois A=(-20,-10) e C=(20,10) , o que implica que asdimensões da quadra são 40m e 20m ,conforme ilustra a figura abaixo
Assim a medida da área da quadra é A=40.20=800m2
(04).A equação da hipérbole é 2 2x y
1180 36
FALSA ,pois a equação padrão de uma hipérbole é2 2
2 2
x y1
a b
Como já vimos, neste caso a=12 e b=6 e portanto a equação da hipérbole é
2 2 2 2
2 2
x y x y1 1
144 3612 6
(08).A excentricidade da hipérbole é igual a 5/3.
FALSA ,pois a excentricidade de uma hipérbole é e=c/a. No caso,
c 6 5 5e
a 12 2
(16).O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo. VERDADEIRA ,pois o eixo imaginário da hipérbole tem comprimento 2b=2.6=12e o raio da circunferência tem medida 3m. Portanto O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.
03. Um piloto guia o seu avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias entre duas estações transmissoras. Por causa disso, o avião segue uma trajetória que é um ramo de um hipérbole. A hipérbole pode ser descrita aproximadamente pela equação : ( x e y em Km).
a) Qual a distância entre as duas estações transmissoras?b) Se o avião está a 40Km da estação mais próxima, a que distância esta da outra?
2 2x y1
10.000 5.625
Resolução:
22 2
2
a 10.000 a 100x y1
b 7510.000 5.625 b 5.625
a)Como a equação padrão de uma hipérbole é 2 2
2 2
x y1
a b
Segue que
Como numa hipérbole c2= a2 + b2 , segue que
2 2 2 2 2 2c a b c 100 75 c 125
Como as estações estão localizadas nos focos da hipérbole segue que a Distância entre elas é 2c=250 Km.
b)Numa hipérbole,
Então, supondo que no instante considerado d(P,F1)>d(P,F2) segue que
1 2 1 1d P,F d P,F 2a d P,F 40 2 100 d P,F 240km
III.A PARÁBOLA
Definição: Num plano fixe uma reta (d) e um ponto F não pertencente a (d). Chamamos de PARÁBOLA de foco F e diretriz (d) ao lugar geométrico dos pontos P do plano que são eqüidistantes de F e de (d).
OBSERVAÇÕES:
a)Entre todos os pontos da parábola existe um que é o mais próximo da reta (d); este ponto denominamos de VÉRTICE DA PARÁBOLA.
b)A reta definida pelo foco F e pelo vértice V é chamada de EIXO DA PARÁBOLA.
c)A distância entre o foco e a diretriz é chamada de PARÂMETRO DA PARÁBOLA e é representada por p.
A partir da definição e pondo um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o vértice da parábola coincida com a origem podemos determinar uma equação para a parábola conforme ilustra o diagrama abaixo
EQUAÇÃO PADRÃO (CANÔNICA) DE UMA PARÁBOLA.
Pela definição de parábola segue que
22
2 2p pd P,F d P,d d P,F d P,Q x 0 y x x y
2 2
Elevando ao quadrado e desenvolvendo as contas,
22 2 2
2 2 2 2 2 2 2p p p p 1x 0 y x x y x y py y py 2py x y x
2 2 4 4 2p
Assim é a equação da parábola.
21y x
2p
d)Caso o eixo de simetria da parábola fosse o eixo x, conforme ilustra a figura abaixo, a sua equação padrão (canônica) seria 21
x y2p
e)Caso o vértice da parábola não esteja localizado na origem do sistema de coordenadas cartesianas e sim no ponto a equação da parábola assume uma das formas a seguir
dependendo se o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo y ou ao eixo x respectivamente.
2v v1
y y x x2p
2v v1
x x y y2p
ou
f)Num tratamento mais aprofundado também podemos associar uma excentricidade à parábola de tal modo que
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
1.(UFRN-2003) O conjunto dos pontos P(x, y), que estão a uma mesma distância do ponto F(0,2) e do eixo Ox, no plano cartesiano xy é:
a) a parábola de equação
b) a parábola de equação c) a parábola de equação
d) a parábola de equação
2xy 4
2
2y 4x 1 2x
y 14
2y 2x 1
Resolução:
Note que a distância de P ao eixo OX é justamente o y do ponto P. Assim,
2 2d P,F d P,eixoX x 0 y 2 y
Elevando ao quadrado e desenvolvendo...
2
2 2 2 2 2 2x 0 y 2 y x y 4y 4 y
22 x
4y x 4 y 14
(ALTERNATIVA C)
02. Os cabos de um lado de uma ponte pênsil com carga uniformemente distribuída tomam a forma aproximada de um arco de parábola. As torres de suporte dos cabos tem 65m de altura e o intervalo entre as torres é de 500m. O ponto mais baixo fica a 15m do nível da estrada.
Achar a equação da parábola considerando o sistema cartesiano ilustrado na figura acima e determine também o comprimento de um fio de sustentação situado a 100m do centro da ponte.
Resolução:
Com os dados podemos montar a figura a seguir
Como a equação de uma parábola é 2y ax bx c
E nesta equação o valor do c corresponde ao local em que a parábolaIntersecta o eixo y, segue que neste caso c=15. Assim a equação assumeA forma
2y ax bx 15
Como o ponto (250,65) pertence a parábola, segue que
22
2
65 a.250 b.250 15 1y ax bx 15 a e b 0
125065 a. 250 b. 250 15
Assim a equação da parábola é 21y x 15
1250
Para x=100,
2 21 1y x 15 y .100 15 y 23m
1250 1250
03.(UFRN – 2005) Em uma antena parabólica, os sinais vindos de muito longe, quando incidem em sua superfície, refletem e se concentram no foco F, conforme a figura ao lado. Com base nesse princípio, se C é uma circunferência qualquer, com centro no foco F da parábola, é correto afirmar que a circunferência C
a) intersecta a parábola em pelo menos um ponto.b) só pode intersectar a parábola em um ponto.c) só pode tangenciar a parábola em um ponto.d) tangencia a parábola em dois pontos distintos
Resolução:
Vamos analisar cada uma das alternativas:
a) intersecta a parábola em pelo menos um ponto.
...se C é uma circunferência qualquer, com centro no foco F da parábola, é correto afirmar que a circunferência C
Falsa!, pois podemos construir uma circunferência com raio suficientemente pequeno de modo que a circunferência nem intersecte a parábola, conforme ilustra a figura a seguir
b) só pode intersectar a parábola em um ponto.
b)Falsa!, pois podemos construir uma circunferência com centro F e raio suficientemente grande para intersectar a parábola em dois pontos conforme ilustra a figura abaixo
c) só pode tangenciar a parábola em um ponto.
Verdadeira!, pois
Imagine que uma determinada circunferência, com centro no foco F da parábola, fosse tangente a parábola num ponto Q distinto do seu vértice,conforme ilustra a figura abaixo
Como a parábola é simétrica em relação ao seu eixo o ponto Q’ (simétricode Q em relação ao eixo da parábola) também pertenceria a circunferência, conforme ilustra a figura abaixo
Como o ponto V é o ponto da parábola mais próximo de F, segue que VF<QF. Assim V estaria no interior da tal circunferência, o que éum absurdo pois se a tal circunferência é tangente à parábola o ponto V (que é um ponto da parábola) estaria fora ou no máximo nalinha da circunferência.
Assim o único ponto em que uma circunferência de centro F pode sertangente a parábola é o seu vértice V, até porque este é o único ponto daparábola em que a reta normal passa pelo foco e como sabemos a normala um ponto de uma circunferência deve passar pelo seu centro que no casoÉ o foco F, conforme ilustra a figura abaixo:
d) tangencia a parábola em dois pontos distintos
É claramente falsa, pois como mostramos no item (a), existem circunferências de centro F que nem intersectam a parábola conformeIlustra a figura abaixo:
(ALTERNATIVA C)
04.(UFPB) Uma reta tem coeficiente angular m=-1 e passa pelo vértice da parábola
Sua equação cartesiana é: a) x+y-2=0c) x-y-1=0e) x+y-1=0b) x-y+3=0
24x y 6y 5 0
Resolução:
Como o coeficiente angular da reta já é conhecido, precisamos apenasDeterminar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso lembremos que se uma parábola possui vértice com coordenadas (xV,YV) então suaEquação apresenta uma das formas a seguir
2v v1
y y x x2p
2v v1
x x y y2p
ou
2 24x y 6y 5 0 4x 5 y 6y
Assim,
2 24x 5 y 6y 4x 5 9 y 6y 9
2 22 14x 5 9 y 6y 9 4x 4 y 3 x 1 y 3
4
Como a equação padrão é 2v v1
x x y y2p
Segue que
v vx 1 e y 3
Assim a reta que queremos tem coeficiente angular m=-1 e que “passa”Pelo ponto P=(-1,3). Assim,
o oy y m x x y 3 1 x 1 x y 2 0
(ALTERNATIVA A)
05.(UERJ-2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB=8m e altura central OC=5,6m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
Resolução:
Com os valores dados podemos montar a figura a seguir:
Como a equação de uma parábola é 1 2y a x r x r
Onde r1 e r2 são os valores de x em que a parábola intersecta o eixo x , segueque
21 2y a x r x r y a x 4 x 4 y a x 16
Como o ponto (0,5.6) pertence a parábola segue que
2 2y a x 16 5,6 a 0 16 a 0,35
Assim a equação da parábola é
2y 0,35x 5,6
Quando y=2,45m segue que
2 2y 0,35x 5,6 2,45 0,35x 5,6 x 3
Assim a distância do ponto P ao eixo y é de 3,0 metros.
FIM!