Estudo Comparativo de Métodos Aproximados para Análise do Efeito de Segunda Ordem em Pilares Esbeltos de Concreto Armado sob Flexão

Composta Reta Erika Marinho Meireles Leitão1, José Marcio Fonseca Calixto2, Sofia Maria Carrato

Diniz3 1Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de

Minas Gerais / erikammll@gmail.com 2Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais /

jmfcalixto@gmail.com 3Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais /

diniz_s@yahoo.com

Resumo

A análise dos efeitos de segunda ordem em pilares esbeltos deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis de ações, não ocorra perda de estabilidade e esgotamento da capacidade resistente. Para isso, a NBR 6118 (2014) estabelece que a não-linearidade física dos materiais, juntamente com a não-linearidade geométrica, sejam consideradas no projeto de pilares. Além do Método Geral, que é mais preciso, a norma brasileira recomenda alguns métodos aproximados para o cálculo dos efeitos de segunda ordem. Dada a importância dos pilares para a integridade estrutural, a utilização de métodos que descrevam de forma adequada os efeitos de segunda ordem é fundamental. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar um estudo comparativo do desempenho de três métodos aproximados para a definição do Diagrama de Interação N, M para pilares esbeltos submetidos à flexão composta reta. Os métodos considerados são: (i) o Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada, (ii) o Método do Pilar-Padrão com Rigidez Aproximada, e (iii) o Método da Amplificação dos Momentos da norma americana ACI 318 (2008). Os resultados obtidos segundo cada modelo de cálculo são comparados a resultados experimentais de pilares esbeltos. Para tal, foram compilados dados de ensaios realizados em pilares esbeltos de concreto armado encontrados na literatura. Os resultados deste estudo servirão de subsídios para a descrição estatística da variável “erro do modelo”, informação requerida na análise de confiabilidade de pilares esbeltos e na calibração de normas técnicas.

Palavras-chave

Concreto armado; pilares esbeltos; flexão composta reta; efeitos de segunda ordem, métodos aproximados; banco de dados. Introdução

A utilização de concretos de alta resistência, em especial nos pilares de pisos inferiores de edifícios altos, resulta em menores seções transversais assim permitindo o ganho de áreas livres e vantagens arquitetônicas. As menores seções transversais, por sua vez, resultam em peças de maior esbeltez, tornando os efeitos de segunda ordem mais relevantes. A NBR 6118 (2014) apresenta métodos aproximados de determinação dos efeitos locais de segunda ordem em pilares submetidos à flexo-compressão normal que levam em conta a não linearidade

física e geométrica. Dada a importância dos pilares para a integridade estrutural, a utilização de métodos que descrevam de forma adequada os efeitos de segunda ordem é fundamental. Adicionalmente, a NBR 6118 (2014) ampliou o escopo de sua antecessora, estendendo as suas recomendações até concretos da classe C90. Desta maneira, a adequação dos métodos aproximados incorporados na NBR 6118 (2014) deve ser investigada, em particular a adequação dos mesmos para os pilares em concreto de alta resistência. Neste cenário, o objetivo do trabalho é apresentar um estudo comparativo entre os resultados obtidos por meio dos métodos aproximados e resultados experimentais de pilares esbeltos em concreto armado encontrados na literatura. São considerados pilares esbeltos que atingiram a ruptura devido à falha do material, sem ocorrência do estado limite último de instabilidade. Os efeitos locais de segunda ordem são obtidos pelos dois métodos aproximados mais utilizados no Brasil (Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada e Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada) e pelo método da norma americana ACI 318 (2008), o Método da Amplificação dos Momentos. Especial atenção é dada à determinação da variável “erro do modelo” associada a cada método investigado (DINIZ e FRANGOPOL, 1997). Métodos Aproximados para o Dimensionamento de Pilares Esbeltos em Concreto Armado O Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada, apresentado na NBR 6118 (2014), restringe-se a pilares com índice de esbeltez λ 90, seção transversal constante e armadura simétrica e constante ao longo do eixo. Supõe-se que a configuração deformada do pilar seja senoidal, para se levar em conta a não-linearidade geométrica de forma aproximada. Já a não-linearidade física é considerada por meio de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de 2ª ordem é dada por:

r

le

e 1

10

2

2= , onde

hhr

005,0

)5,0(

005,01≤

+=

ν (1)

Logo, o momento total máximo no pilar é dado por:

Mr

NMM mínde

dAdbtotdl

,1

2

,1,1

10≥

+= α (2)

em que:

1/r é a curvatura na seção crítica; h é a altura da seção na direção considerada; υ = NSd / (Ac fcd) é a força normal adimensional; αb é um fator que depende das condições de contorno e de carregamento do pilar. Para todos os pilares deste estudo, αb = 1,0; M1d,A é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA, que segue as mesmas definições dadas anteriormente.

O Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada, também recomendado pela NBR 6118 (2014) é restrito a pilares com λ 90, seção transversal retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de maneira aproximada, supondo a deformada senoidal da barra, enquanto a física é levada em conta por meio da expressão aproximada da rigidez:

ν

+=

Nh

Mk

d

totR,5132 (3)

onde:

MMM Adrigtotd ,1.,1, ≥= γ (4)

ν

γλ

α

/1201

2

k

b

−

= (5)

Observa-se que a rigidez k e o momento Md,tot são dependentes entre si. Portanto, pode-se optar por um cálculo iterativo, no qual duas ou três iterações são suficientes. O Método da Amplificação dos Momentos, que é recomendado pela norma americana ACI 318 (2008) consiste na obtenção do efeito momento fletor total (efeitos de primeira e de segunda ordem), por meio da amplificação do momento fletor de primeira ordem, utilizando um fator de majoração δns, ou seja:

MM ACInstot ,1δ= (6)

onde: 0,1

75,01

≥

−

=

Pc

Pu

C mnsδ

(7)

( )l uk

EIP c 2

2π=

(8)

Cm é um fator semelhante a αb (Equação 2), assumido igual a 1,0 para todos os pilares deste estudo; Pu é a força axial aplicada; k é o coeficiente de flambagem, que depende das condições de contorno do pilar, e assumido igual a 1,0 para todos os pilares deste estudo; e lu é o comprimento de flambagem do pilar. A rigidez à flexão EI é tomada, de forma simplificada, como:

β d

I gEcEI

+=

1

4,0 (9)

onde: Ec = módulo de elasticidade do concreto; Ig = momento de inércia da seção transversal bruta do pilar; βd = efeito das cargas de longa duração, que vale 0,0 para todos os pilares deste estudo, pois os ensaios realizados foram de curta duração. Banco de Dados Para se avaliar a consistência das formulações dos métodos aproximados de obtenção do efeito de segunda ordem, foi compilado um banco de dados compreendendo pilares esbeltos em concreto armado disponíveis na literatura, que foram analisados em programas experimentais realizados por diversos autores. A Tabela 1 apresenta um resumo dos dados de 32 pilares.

Tabela 1 – Banco de Dados de Pilares

Autor PilarLe

(cm)

b (cm)

h (cm)

λ AsLfc

(MPa)

e1

(cm)

Frup

(kN)

Mrup

(kN.m)

e2

(cm)e1/h

C40-1.3 312 25 15 72,1 6 ϕ 10 53,6 2,0 123,5 6,95 3,63 0,133C40-2.1 312 25 15 72,1 4 ϕ 16 49,1 2,0 116,8 5,49 2,70 0,133C40-3.2 312 25 15 72,1 6 ϕ 16 46,9 2,0 114,7 4,78 2,17 0,133C40-4.3 312 25 15 72,1 8 ϕ 16 48,7 2,0 141,2 8,74 4,19 0,133C80-1.3 312 25 15 72,1 6 ϕ 10 89,7 2,0 176,9 11,50 4,50 0,133C80-2.1 312 25 15 72,1 4 ϕ 16 83,2 2,0 182,3 10,77 3,91 0,133C80-3.2 312 25 15 72,1 6 ϕ 16 82,5 3,0 178,3 11,27 3,32 0,200C80-4.3 312 25 15 72,1 8 ϕ 16 79,0 3,0 192 13,08 3,81 0,200

NSCD-A-25 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 43,1 2,4 12,6 0,63 2,61 0,240NSCD-A-13 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 43,1 1,3 21,6 0,60 1,49 0,130NSCD-A-8 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 43,1 0,7 29,7 0,60 1,32 0,070

NSCD-B-25 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 43,1 2,4 16,4 0,89 3,01 0,240NSCD-B-13 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 43,1 1,2 24,9 0,72 1,70 0,120NSCD-B-8 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 43,1 0,6 32,7 0,64 1,37 0,060

HSCA - A - 25 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 75,2 2,5 15,5 0,70 2,05 0,245HSCA - A - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 75,2 1,3 29 0,85 1,62 0,130HSCA - A - 8 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 75,2 0,8 41,7 0,96 1,54 0,075

HSCA - B - 25 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 75,2 2,5 19,2 1,17 3,60 0,250HSCA - B - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 75,2 1,3 33,7 1,13 2,05 0,130HSCA - B - 8 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 75,2 0,7 45,3 0,95 1,40 0,070

HSCB - A - 25 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 87,0 2,4 17,2 0,76 2,06 0,240HSCB - A - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 87,0 1,3 33,8 1,05 1,81 0,130HSCB - A - 8 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 87,0 0,8 44,5 0,72 0,87 0,075HSCB - B - 25 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 87,0 2,5 19,9 1,12 3,15 0,250HSCB - B - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 87,0 1,3 37,9 0,95 1,26 0,125HSCB - B - 8 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 87,0 0,9 43,7 0,72 0,80 0,085

HSCC1 - A - 25 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 113,3 2,5 17,3 0,83 2,29 0,250HSCC1 - A - 20 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 113,3 1,9 24,3 0,90 1,80 0,190HSCC1 - A - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 8 113,3 1,3 34,8 0,86 1,17 0,130HSCC1 - B - 30 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 113,3 3,0 18,3 1,20 3,59 0,300HSCC1 - B - 20 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 113,3 1,9 26,9 1,11 2,23 0,190HSCC1 - B - 13 212 10 10 73,4 4 ϕ 12 113,3 1,3 36,1 1,00 1,48 0,130

Banco de Dados de Pilares

EN

CIS

O (

20

10

)G

AL

AN

O e

VIG

NO

LI

(20

08

)

Foram utilizados concretos dos grupos I e II de resistência, sem efeito de confinamento. Para a montagem deste banco de dados, foram coletadas as características geométricas de cada pilar, as características básicas do concreto e do aço utilizados e os resultados experimentais. Os ensaios experimentais selecionados correspondem à flexão normal composta, para excentricidade inicial (e1). Os termos indicados na Tabela 1 correspondem a: Le = comprimento de flambagem do pilar; b = largura da seção transversal; h = altura da seção transversal; λ = índice de esbeltez do pilar; ASL = armadura longitudinal; fc = resistência à compressão do concreto; e1 = excentricidade de aplicação da força axial; Nrup = força de ruptura do pilar obtida no ensaio; Mteste = momento fletor de ruptura no pilar (Nrup x efinal); e2 = excentricidade de segunda ordem (efinal – e1, onde efinal é a excentricidade do pilar medida ao final do ensaio). Diagramas de Interação N, M1 para Pilares Esbeltos

Para cada pilar do banco de dados, foi traçado o diagrama de interação N, M (força normal, momento fletor), para a seção transversal do pilar, ou seja, não considerando a esbeltez. Os pares ordenados (N, M) encontrados nos diagramas foram transferidos para outra planilha no programa Excel, no qual os diagramas de interação mostrados adiante foram traçados. Pelos métodos de cálculo dos efeitos de segunda ordem, podem ser extraídos os valores referentes aos efeitos de primeira ordem (M1). O conjunto de pares ordenados (N, M1) representa o diagrama de interação do pilar esbelto; um diagrama de interação (N, M1) é obtido para cada valor da esbeltez (DINIZ e FRANGOPOL, 1997). O diagrama de interação do pilar esbelto (N, M1), obtido segundo cada um dos três métodos aproximados citados, é então comparado ao diagrama de interação da seção transversal (N, M). Com o diagrama de interação (N, M1) de cada método será avaliada, também, a posição relativa do ponto (Nu, M1), referente ao par de esforços solicitantes que levou o pilar à ruína durante o ensaio. As seções seguintes apresentam os procedimentos adotados para a obtenção dos diagramas correspondentes à resistência da seção transversal e do pilar esbelto. Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada

O Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada consiste na obtenção do momento fletor total do pilar, incluindo os efeitos de primeira e de segunda ordem, conforme a Equação 2. Considerando que o momento fletor obtido no diagrama de interação N, M seja o momento total (Mtot), tem-se:

MMM CurvtotCurv .,2.,1 −= (10)

Sendo que, M2,Curv. = N e2, utilizando e2 dado pela Equação 1.

Obtenção de M1 via Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada

Pelo Método do Pilar-Padrão com Rigidez Aproximada também se obtém o momento fletor total do pilar, por meio da Equação 4. Neste método, o momento total é obtido pela multiplicação do momento de primeira ordem por um fator de majoração, γ, dado pela Equação 5. Na expressão de γ, substituindo k/υ pelo valor de k dado na Equação 3, e utilizando na Equação 4, tem-se:

M

MNh

Nh

MM Ad

totdd

d

rig

tot ,1

,

2

.,1

)5(38401

≥

+−

=λ

(11)

Efetuando algumas transformações matemáticas, obtém-se:

0553840

1 .,1.,12

2

=⋅⋅−⋅⋅−⋅+

+⋅⋅⋅ MMMNhMMNh totrigrigdtottotd

λ (12)

Considerando:

3840

12

1λ

−=K (13)

NhKK d⋅⋅= 12 (14)

chega-se a:

MNh

MMKM

totd

tottotrig

⋅+⋅

+⋅=

5

5 22

.,1 (15)

Obtenção de M1 via Método da Amplificação dos Momentos (ACI 318) Semelhante ao Método do Pilar-Padrão com Rigidez Aproximada, o momento total é obtido pela multiplicação do momento de primeira ordem por um fator de amplificação, δns, dado pela Equação 7. Então, tem-se:

δ ns

totACI

MM =,1 (16)

Análise dos Resultados Para cada pilar apresentado na Tabela 1, traçou-se o diagrama de interação N, M. A fim de se ter grandezas semelhantes nos eixos horizontal e vertical do gráfico, os diagramas utilizados nos estudos comparativos foram de pares N, M/h. Esta modificação não altera o formato do diagrama, resultando em unidades de força (tf) em ambos os eixos. Para ilustrar, apresentam-

se aqui as Figuras 1 a 4, que correspondem aos gráficos dos pilares C40-2,1 e C80-3,2, de ENCISO (2010) e NSCD-A-25 e HSCB - A - 13 de GALANO e VIGNOLI (2008). Também foram traçados os diagramas N, M1/h, onde M1 é o momento de primeira ordem obtido a partir dos três métodos apresentados. As séries, “Curvatura”, “Rigidez” e “ACI”, foram traçadas com os momentos de primeira ordem obtidos por meio destes métodos (M1/h) e, portanto, levam em conta o índice de esbeltez do pilar. Vale ressaltar, que a série de dados “Interação N, M” é a única em que se utilizou o valor total do momento fletor (M/h), pois esta curva considera apenas a seção transversal do pilar, sem levar em conta a sua esbeltez. As séries, “Curvatura”, “Rigidez” e “ACI”, foram traçadas com os momentos de primeira ordem obtidos por meio destes métodos (M1/h) e, portanto, levam em conta o índice de esbeltez, λ. Plotou-se, também, o ponto referente ao par Nrup, Mrup/h (série de dados “Ruptura Ensaio”), correspondente aos esforços que levaram à ruptura do pilar durante o ensaio. E, representou-se, ainda, o ponto Nrup, M1rup/h (série de dados “Ruptura M1”), que também se refere aos esforços que levaram o pilar à ruptura durante o ensaio, porém, sem considerar o efeito de segunda ordem (M1rup = Nrup x e1). Além disso, tem-se a série de dados “Reta_RupM1”. Esta reta passa pela origem do gráfico e pelo ponto “Ruptura M1”, cortando os diagramas N, M1/h dos três métodos aproximados. Esta reta auxilia na determinação da variável erro do modelo (ξ), pois, por meio dela, obtém-se as distância do ponto “Ruptura M1”, que se refere ao ensaio, até o diagrama de interação referente a cada método.

Figura 1 – Diagramas de Interação do pilar C40-2,1, de ENCISO (2010)

Figura 2 – Diagramas de Interação do pilar C80-3,2, de ENCISO (2010)

Figura 3 – Diagramas de Interação do pilar NSCD-A-25, de GALANO e VIGNOLI

(2008)

Figura 4 – Diagramas de Interação do pilar HSCB-A-13, de GALANO e VIGNOLI

(2008) A variável aleatória “erro do modelo” (ξ) (MELCHERS, 1999) associada a cada método investigado é definida pela razão entre o resultado experimental e o correspondente resultado analítico, representada para o problema em análise pela relação distância da origem ao ponto

“Ruptura M1” / distância da origem à curva de cada método. O método é conservador quando o ponto “Ruptura M1” se encontra fora de seu correspondente diagrama de interação N, M1/h. Os valores de ξ correspondentes aos pilares da Tabela 1 estão listados na Tabela 2. A Tabela 3 apresenta as estatísticas da variável erro do modelo associada a cada método em análise. A Tabela 3 sugere que o Método da Amplificação dos Momentos (ACI 318) é, comumente conservador, pois apresenta média maior que 1,0. Dentre os métodos da norma brasileira, o Método da Curvatura Aproximada é o mais conservador, enquanto o Método da Rigidez Aproximada possui média menor que a unidade. Apesar de ter o valor médio mais baixo dentre os modelos analisados, o Método da Rigidez Aproximada é o que tem menor coeficiente de variação (COV). O Método da Amplificação dos Momentos, por sua vez,

embora seja o mais conservador (média igual a 1,43), é aquele que apresenta o maior coeficiente de variação (0,32).

Tabela 2 – Erro do Modelo de Cada Pilar para os Métodos Aproximados em Análise

Autor PilarCurvatura Rigidez ACI

C40-1.3 1,36 1,15 1,76C40-2.1 1,19 1,05 1,69C40-3.2 1,02 0,95 1,62C40-4.3 1,07 1,04 1,91C80-1.3 1,37 1,11 2,24C80-2.1 1,38 1,17 2,03C80-3.2 1,26 1,07 1,94C80-4.3 1,28 1,12 2,59

NSCD-A-25 0,84 0,79 1,01NSCD-A-13 1,11 0,94 1,35NSCD-A-8 1,24 0,99 1,61

NSCD-B-25 0,91 0,84 1,17NSCD-B-13 1,00 0,88 1,47NSCD-B-8 1,01 0,88 0,27

HSCA - A - 25 0,77 0,70 0,94HSCA - A - 13 1,02 0,83 1,35HSCA - A - 8 1,19 0,91 1,74

HSCA - B - 25 0,83 0,77 1,06HSCA - B - 13 1,05 0,89 1,53HSCA - B - 8 1,13 0,89 1,81

HSCB - A - 25 0,75 0,69 0,95HSCB - A - 13 1,06 0,87 1,47HSCB - A - 8 1,14 0,86 1,65HSCB - B - 25 0,76 0,71 1,05HSCB - B - 13 1,05 0,86 1,58HSCB - B - 8 1,07 0,82 1,62

HSCC1 - A - 25 0,67 0,60 0,87HSCC1 - A - 20 0,76 0,66 1,06HSCC1 - A - 13 0,87 0,70 1,29HSCC1 - B - 30 0,68 0,63 0,91HSCC1 - B - 20 0,75 0,66 1,08HSCC1 - B - 13 0,84 0,68 1,29

Erro do Modelo (ξ)

EN

CIS

O (

20

10

)G

AL

AN

O e

VIG

NO

LI

(20

08

)

Tabela 3 – Estatísticas da Variável Erro do Modelo (ξ) Curvatura Rigidez ACI

Média: 1,01 0,87 1,43Mediana: 1,04 0,86 1,47Desvio Padrão: 0,21 0,16 0,46COV: 0,21 0,19 0,32Máximo: 1,38 1,17 2,59Mínimo: 0,67 0,60 0,27

Conclusões

A partir da análise dos resultados relativos aos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto armado descritos neste trabalho, conclui-se que, dentre os métodos aproximados recomendados pela norma brasileira NBR 6118 (2014), o Método da Curvatura Aproximada é o método mais conservador. Este método ainda fica aquém do conservadorismo implícito no Método do Amplificação dos Momentos, recomendado pelo ACI 318 (2008). Dentre os métodos analisados, o Método da Rigidez Aproximada se mostrou como o menos conservador. Em geral, este método permite valores de momento fletor de segunda ordem maiores que os valores constatados em ensaios experimentais. Este trabalho é parte de um estudo mais extenso, que envolve a compilação de um banco de dados de 107 pilares encontrados na literatura, que está sendo desenvolvido pelos autores no Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da UFMG. Os resultados deste estudo servirão de subsídios para que sejam estabelecidas as estatísticas da variável aleatória “erro do modelo”, informação requerida na análise de confiabilidade de pilares esbeltos em concreto armado (DINIZ e FRANGOPOL, 1998). Agradecimentos

Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais (FAPEMIG), à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior (CAPES), ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), à Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), e à Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ) pelo auxílio na realização deste estudo e pela participação no evento. Referências AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318 – Building Code Requirements for Structural

Concrete. 2008. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de Estruturas de Concreto –

Procedimento (NBR6118:2014), 2014. DINIZ, S. M. C. e FRANGOPOL, D. M. Reliability Bases for High-Strength Concrete Columns,

Journal of Structural Engineering, 123(10):1375-1381, 1997. DINIZ, S.M.C. e FRANGOPOL, D.M. (1998). Reliability Assessment of High-Strength Concrete

Columns, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 124(5):529-536, 1998. ENCISO, R. O. Comportamento de Pilares Esbeltos de Concreto de Alta Resistência Sujeitos à Flexão

Composta Reta. Dissertação (Mestrado), Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2010.

GALANO, L. e VIGNOLI, A. Strength and Ductility of HSC and SCC Slender Columns Subjected to Short-Term Eccentric Load, ACI Structural Journal, 2008.

MELCHERS, R.E. Structural Reliability Analysis and Prediction, Wiley, 1999.