Estudando Geometria Analítica

Hugo Gandra de Araújo

Gilmara Teixeira Barcelos

Silvia Cristina Freitas Batista

Campos dos Goytacazes

2012

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I – Conhecendo alguns Recursos do Software GeoGebra

Os applets1 utilizados nas atividades da seção III foram desenvolvidos com o software

GeoGebra. Os recursos deste software são disponibilizados nos applets, de forma totalmente

funcional.

O GeoGebra é um programa livre, desenvolvido Markus Hohenwarter. O mesmo

encontra-se disponível, em português, no endereço eletrônico http://www.geogebra.at/. Trata-

se de um programa que integra Geometria Dinâmica, Álgebra e Cálculo e, dessa forma,

permite trabalhar com o que se entende por Matemática Dinâmica. A expressão “Matemática

Dinâmica” é utilizada por Markus Hohenwarter, criador do GeoGebra, ao explicar as funções

do mesmo. Seria uma extensão da definição de “Geometria Dinâmica”. Segundo Braviano e

Rodrigues (2002), a Geometria Dinâmica permite a elaboração de construções eletrônicas, nas

quais os elementos básicos podem ser movimentados na tela do computador, sem alterar as

posições relativas entre esses elementos e os objetos construídos a partir deles. Além de

objetos geométricos, o GeoGebra dá um caráter dinâmico a outros objetos matemáticos, como

funções, gráficos, números, fórmulas, entre outros, o que justifica a expressão “Matemática

Dinâmica”.

Abaixo, são apresentados alguns recursos necessários para a resolução das atividades

desta apostila.

Todos os botões da Barra de Botões (Figura 1) apresentam, no canto direito, uma seta

que, quando clicada, exibe diversas outras opções disponíveis.

Figura 1: Barra de Botões

Ao clicar na seta do 1º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a

ferramenta:

Mover – a ferramenta “Mover” possibilita que o usuário selecione qualquer elemento

da janela geométrica, podendo, assim, movimentá-lo. Para tanto, com esta ferramenta

selecionada, clique no objeto e arraste-o para o lugar desejado.

Ao clicar na seta do 2º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a

ferramenta a seguir:

Novo ponto – a ferramenta constrói um ponto qualquer quando o usuário clica com o

botão esquerdo do mouse na Janela Geométrica.

1 Os referidos applets foram desenvolvidos no âmbito do projeto de pesquisa Tecnologias de Informação e Comunicação no

Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática, por Hugo G. de Araújo, bolsista de iniciação científica do IFFluminense Campus Campos-Centro, Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista

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Ao clicar na seta do 3º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a

ferramenta:

Segmento definido por dois pontos – essa ferramenta cria um segmento de reta, a

partir de dois novos pontos ou de pontos já existentes na construção. Na janela

algébrica é mostrado o comprimento do segmento traçado.

Ao clicar na seta do 4º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a

ferramenta:

Reta perpendicular – essa ferramenta cria uma reta perpendicular a um segmento ou

reta e por um ponto selecionados.

Ao clicar na seta do 6º. botão, da esquerda para a direita, são encontradas, entre outras,

as próximas ferramentas:

Círculo dados centro e raio – essa ferramenta cria uma circunferência, onde o centro e

o raio são definidos previamente.

Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – a ferramenta possibilita a

construção de uma circunferência, a partir do centro e de um ponto que pertença à

circunferência.

Na parte inferior da tela principal do programa, encontra-se a Caixa de Entrada.

Figura 2: Caixa de Entrada

A Caixa de Entrada possibilita, entre outras ações, que gráficos de

diversas funções sejam construídos na Janela Geométrica, por meio da digitação das

respectivas leis. Na figura 3, apresenta-se o gráfico da função y = x² e da função x² +

y² = 15. Para tanto, na caixa de entrada, foram digitados y = x^2 e x^2 + y^2 = 15,

que equivalem, respectivamente, a “y = x²” e “x² + y² = 15”.

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Figura 3: Gráfico de “y = x²” e de “x² + y² = 15”

II - Atividades para o Estudo das Cônicas

Esta seção contém atividades investigativas, elaboradas por Hugo G. de Araújo,

Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista, onde algumas serão realizadas com o auxílio

dos applets sobre cônicas.

Atividade 1

1.1 No quadro da seção Applets, da Unidade de Aprendizagem sobre “Estudo das Cônicas”,

clique em “Distância entre Dois Pontos no Plano” e:

a) marque as caixas que aparecem no applet2, seguindo a numeração, e execute o que for

pedido.

2 Para marcar as caixas, a ferramenta “Mover” deve estar selecionada.

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b) reveja a forma como foi determinada a medida do segmento DE no applet antes de

responder este item. Sabendo que o segmento GH é paralelo ao eixo x, determine a

medida desse segmento, dados os pontos G(x1,y1) e H(x2,y1).

________________________________________________________________________

c) volte ao applet e reveja como você determinou a medida do segmento DF antes de

resolver este item. Sabendo que o segmento IJ é paralelo ao eixo y, determine a medida

deste, dadas as coordenadas dos pontos I(x1,y1) e J(x1,y2).

_______________________________________________________________________

d) reveja a maneira como foi determinada a medida do segmento EF no applet e, a seguir,

dados os pontos L(x1,y1) e M(x2,y2), determine o comprimento do segmento LM, que não

é paralelo a nenhum dos eixos cartesianos.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

1.2 Sem utilizar recursos do software, determine a medida do segmento AB, dados os pontos

que o determinam, em cada caso abaixo:

a) A(3,5) e B(1,8)

b) A(-2,7) e B(0,1)

c) A(0,0) e B(5,2)

1.3 Dados os pontos abaixo, classifique os triângulos, cujos vértices são os pontos dados,

quanto à medida dos seus lados (escaleno, isósceles ou equilátero), sem utilizar recursos do

programa:

a) A(1,2), B(4,0) e C(-2,7)

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b) D(0,0), E(0,3) e F(5,2)

Atividade 2

2.1 Abra o applet “Equação Geral da Circunferência” e:

a) marque as caixas que aparecem no applet, seguindo a numeração, e execute o que se

pede.

b) verifique como foi encontrada a equação de cada circunferência e determine a equação

da circunferência C, dados o centro O1(x1,y1), o raio r e um ponto qualquer P(x,y).

________________________________________________________________________

2.2 Utilizando a ferramenta “Círculo dado centro e raio”, construa:

a) uma circunferência de centro (0,0) e raio 2. A seguir:

determine as coordenadas de todos os pontos da circunferência que se encontram

sobre os eixos;

_____________________________________________________________________

escreva as coordenadas de um ponto qualquer que pertença à circunferência, sem

utilizar recursos do programa.

_____________________________________________________________________

b) uma circunferência com centro sobre o eixo x e raio 3. A seguir:

determine as coordenadas de todos os pontos pertencentes à circunferência que se

encontram sobre os eixos.

____________________________________________________________________

obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar

recursos do programa.

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____________________________________________________________________

c) uma circunferência com centro sobre o eixo y e raio 1. Depois:

escreva as coordenadas de todos os pontos da circunferência que coincidem com

os eixos cartesianos.

____________________________________________________________________

determine as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar

recursos do software.

____________________________________________________________________

d) uma circunferência com o centro em qualquer lugar do plano e raio 4. A seguir:

determine as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência que coincidem

com os eixos, se existirem;

____________________________________________________________________

obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar

recursos do software.

____________________________________________________________________

2.3 Utilizando a ferramenta “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”, construa uma

circunferência no 2º quadrante do plano cartesiano. A seguir:

determine a equação da circunferência e determine o raio.

____________________________________________________________________

aumente, observando a Janela de Álgebra e utilizando a ferramenta “Mover”, o

raio anterior de forma que o novo raio seja 5. Todos os pontos da nova circunferência

estão no 2º quadrante? Se não, em quais quadrantes há pontos desta circunferência?

____________________________________________________________________

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2.4 Dados o centro e o raio, determine a equação da circunferência em cada um dos itens a

seguir, sem utilizar o applet:

a) O(3,6) e r = 2 cm.

b) O(0,1) e r = 3/2 cm.

c) O(-2,-5) e r = 4 cm.

2.5 Sem utilizar recursos do software, determine as coordenadas do centro em cada item

abaixo:

a) (x + 3)² + (y - 2)² = 16

b) x² + (y + 5)² = 2

Atividade 3

3.1 Abra o applet “Relação entre o Ponto e a Circunferência” e:

a) marque as caixas, seguindo a numeração, e execute o que está sendo pedido.

b) reveja, no applet, a relação encontrada entre a posição do ponto Q e as medidas do

raio e do segmento OQ. A seguir, considerando uma circunferência qualquer de centro O

e raio r, e um ponto Q qualquer, distante d de O, descreva as condições necessárias para

que:

Q esteja no interior da circunferência;

____________________________________________________________________

Q esteja no exterior da circunferência;

____________________________________________________________________

Q pertença a circunferência;

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____________________________________________________________________

c) movimente o ponto Q e observe a Janela de Álgebra. É possível determinar a

posição relativa do ponto Q sem visualizar a construção?

_________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3.2 Determine a posição do ponto P a seguir em relação a uma circunferência, dados:

a) o raio mede 4 cm e a distância d entre P e o centro O igual a 5 cm;

________________________________________________________________________

b) as coordenadas do centro O(2,3) e do ponto P(4,1) e o raio r = 3,2 cm;

________________________________________________________________________

3.3 Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das ordenadas, é

externo à circunferência C, de raio 6 e centro O(-2,5), e que a distância entre o ponto e o

centro da circunferência é igual a 8.

___________________________________________________________________________

Atividade 4

4.1 Abra o applet “Relação entre duas Circunferências” e:

a) marque as caixas numeradas e execute o que for pedido;

b) reveja, no applet, as relações encontradas entre as posições das circunferências e a

distância entre os centros e a soma ou diferença entre os raios. A seguir, considerando

duas circunferências quaisquer, C1 e C2, de centros O1 e O2 e raios r1 e r2,

respectivamente, e uma distância d entre os centro, determine as condições necessárias

para que as duas circunferências sejam:

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exteriores;

_____________________________________________________________________

tangentes externas;

_____________________________________________________________________

secantes;

_____________________________________________________________________

tangentes internas;

_____________________________________________________________________

internas;

_____________________________________________________________________

4.2 São dadas duas circunferências, C1 e C2. Sabendo que suas equações são, respectivamente,

(x – 2)² + (y – 4)² = 36 e x² + (y + 1)² = 4, determine a posição relativa entre estas

circunferências.

___________________________________________________________________________

4.3 Determine o valor de m para que as circunferências C1 e C2 sejam tangentes externas,

sabendo que suas equações são, respectivamente, (x – m)² + y² = 36 e (x + 6)² + (y – 2)² = 4.

___________________________________________________________________________

Atividade 5

5.1 Abra o applet “Posição entre uma Reta e uma Circunferência” e:

a) marque as caixas numeradas e execute o foi pedido;

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b) reveja, no applet, as relações encontradas entre o raio da circunferência C e a distância

entre o centro O e a reta t. A seguir, considerando uma circunferência C qualquer e uma

reta t qualquer, escreva as condições necessárias para que C e t sejam:

externas;

____________________________________________________________________

tangentes;

____________________________________________________________________

secantes;

____________________________________________________________________

5.2 Determine a posição de em relação a nos casos:

a) e ;

b) e ;

5.3 Quais os possíveis valores para para que a reta seja tangente

a circunferência ?

Atividade 6

6.1 Abra o applet “Ponto Médio de um Segmento”. Considerando o ponto B no primeiro

quadrante, movimente o ponto A de modo que o ponto médio do segmento AB fique:

a) sobre o eixo x. O que é possível afirmar sobre as ordenadas dos pontos A e B?

_________________________________________________________________________

b) sobre o eixo y. O que é possível afirmar sobre as abscissas dos pontos A e B?

_________________________________________________________________________

c) sobre a origem do plano cartesiano. O que podemos afirmar sobre as coordenadas dos

pontos A e B?

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_________________________________________________________________________

6.2 Determine o quadrante do ponto médio do segmento AB em cada caso a seguir:

a) A(9,1) e B(-2,4);

b) A(5,6) e B (-8,-2);

6.3 Sendo w o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A(3,2),

B(0,-6) e C(4, -2), qual o valor de w²?

6.4 Dados os pontos A(n³, n²) e B(n-2, -n), , verifique em qual quadrante está localizado

o ponto médio do segmento AB, sabendo que:

a)

b)

6.5 Determine as coordenadas de um ponto A, que não esteja sobre nenhum dos eixos

cartesianos. Considerando um ponto B, de coordenadas (t - 3, 5 - 3t) e o segmento AB,

determine quais os possíveis valores de t para os quais o ponto médio de AB está:

a) no segundo quadrante;

b) no quarto quadrante;

c) sobre o eixo x;

d) sobre o eixo y;

6.6 Considere uma circunferência e uma reta secante a esta, passando pelo centro da mesma.

Sabendo que a reta intersecta a circunferência nos pontos P(2,6) e Q(8,2), determine a medida

do raio e, se possível, a equação desta circunferência.

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Referências Bibliográficas

BRAVIANO, R.; RODRIGUES, M. H. W. L. Geometria Dinâmica: uma nova Geometria.

Revista do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, São Paulo-SP, 49:

22-26, 2002.

MELLO, J. L. P. Matemática: construção e significado. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.