estruturas isostaticas parte i

8/2/2019 Estruturas Isostaticas Parte I

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3.2.2. Estruturas nao-linearescontinuas, 222

3.2.3. Estruturas lineares articuladas, 222

3.2.4. Estruturas nao-linearesarticuladas, 224

3.2.5. Estruturas resultantes da aplicayao dos poligonos funiculares -

Linhas de press6es, 225

3.3. Linhas de influencia, 2453.3.1. Momento fletor, 245

3.3.2. Esforyo cortante, 246

4.1. IntrodUyao,247

4.1.1. Conceituayaoe defmiy5es,247

4.1.2. Classific~ao das treliyas, 248

4.1.3. Reticulados deformaveise indeformaveis- Estaticidade, 249

4.2. Metodosprincipais de resoluyao,251 .

4.2.1. Analltico - Ritter, 251

4.2.2. Grafico - Notayao de Bow - Maxwell-Cremona,251

INTRODUCAO

o estudo da Estatica compreende a ayao de foryas exteriores sobre urn corporfgido, em posiyao de repouso.

As [oryas grupam-se em sistemas que re.cebem denominayoes segundo a po-

siyao relativa que guardam entre si.

Temos assim sistema..Q de forgas concorrentes, paralelas e quaisquer. Qual-quer destes sistemas pode ser coplanar ou espacial.

Todo e qualquer sistema pode ser 8ubstituido pela ayao de duas foryas que,em relayao a urn ponto qualquer, venham a produzir 0 mesmo efeito que 0 sistema

dado. Estes efeitos san a resultante e 0 momento ?esultante.

A resultante e a soma vetorial das projeyoes das foryas do sistema e capazde produzir translayao, segundo a diregao do seu suporte.

o momento resultante e a soma vetorial dos momentos das fOryRSdo sistema,portanto capaz de produzir rotayao.

No caso dos sistema8 espaciais, tomamos como referenda, para a resultantee 0momento resultante, os tres eiyos cartesianos x, yell, tendo como origem 0ponto 0 : ConcIuimos que a resultante pode ser projetada nos tres eixos e.~co-lhidos, dando por conseguinte tres projeyoes X, Y e Z, que correspond em a t re.smovimentos de translagao na direyiio dos eixos x, y e z, respectivamente, e 0 mo-

mento resultante provocara movimento de rotayao em torno dos tres eixos, dan-do como resultado tres vetores-momento L, 111 e N, momentos em relagao aMeixos x, yell, respectivamente.

Cabs lembrar que momento e sempre produzido em torno de urn eixo nor-mal ao plano em que se encontram as forya.~. Exemplificando: para termosmomento em torno de x e praciso que pl'ojeyoes das forgas estejam contida8 noplano y 0 z definido pelos eixos yell. -

A finalidade principal da Estatica, como ja foi dito em outras palavras, eestudar os s istemas em equilibrio, isto e , onde san nulos os movimentos de trans-la9ao e de rotagiio.

Para equilibrar urn sistema, torna-se necessaria a introdUyiio de urn sistemaequivalente ao primeiro mas de sinal contnirio, ficando nulas as ayoes da resul-tante e do momento resultante.


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Para anularmos e~tas a({oes, isto e , o~efeitos de transla({ao e rotU({aO, podemosescrever as seguintes equa({oes:

{

1X =0

R==O 1Y=O

IZ = 0

G= 0 {

1 =0

1M=0

1N =0

que s ao denominadas equa~i5esun'iversa'is da E-stdtica.

No casO de for({as coplanares as seis equa({oes se transformam em tres,

pois, s6 haven10 dois eixos d: referenci~ nUm plano, s? haven!' possibiJidade deduas transla({oes e uma rota({ao, f-radwlldas pelas segumte.s equa({oes:

{~Y = 0

o lX =0 G = 0 { IN = 0

1.1.1. Sistemas de For~as Concorrentes Coplanares

No caso de for({as concorrentes basta m a penas dua s e qu:1({oes,pois a terceira

evidentemente e nula. Pode-se e~colher 0 centro de moment-os no ponto de con-correncia das for({as, uma vez que nao ha distAncia das for({as ao seu pont o de

concorrencia. Vsaremos, port an to, apena.

q

duas equa({oes, cuja e sc olha poderarecair sobre qualquer dos pare.s seguintes.

-' Duas equa({oes de proje({oes:

1X =0

lY = O.

lX = 0 ou 1Y = 0

lMol =0

(desde que 0 ponto 0, nao

eixo ortogonal ao primeiro,pont o de c onc orre nc ia das

- Duus equa({oes de momento:

esteja n o ou troque pass a pelofor({as).

lMol = 0

1Mo, =0

(desde q ue o s pontos 0, e O. nao estejam so-bre uma ret a que passe no ponto de c on-curso das for({as):

1.1.2. Sistemas de For~as Paralelas Coplanares

Neste caso, como no anterior, so necessitamos de duas equa({oes, pois agora

podemos escolher 0 par de eixos de tal forma que um deles seja paralelo a dire({aodas for({as,tornando nula s a s proje({oes sobre 0 outr o. E st a e scolha depende da

posi({iiod as forQas; ora podera recair sabre 0 eixo dos x, ora sobre 0 eixo dos y,

ora sobre qualquer eixo paralelo a dire({ao das for({as. 0 importante e que tor-nernos nula s a s proje({oes em rela({ao a urn dos eixos. *

Desta forma, terernos a nossa disposi({ao duas equa({oes que podern ser qual-quer uma das que seguern:

Vrna equa({ao de proje({ao ~ uma equa({ao de momentos:

lX = 0 ou 1 Y = 0

LMol =0

(eixo paralelo a dire({oes das forl,]as)(desde que 0 ponto 0, nao esteja sobre 0 eixoescolhido na equa({ao anterior).

2 :1 1 1 01 =0

lMo , =0

(desde que os pontos 01 e O. nao estejam sobreurn~ retaparalela a dire({ao da s for({as).

Para e st e tip o d e sistema de for9as torna-se necessaria a u ti liza({ao de tres

equa90es que podem ser as seguintes:

Duas de proje({oes e uma de momento:

2:X =0

LY =0

~ 1[0 = O .

- Vma de proje({'io e dua s de rnomento:

lX =0

IMol =0

LMo, =0

(desde que nao fiquern dois pontos l'obre ~meixo perpendicular ao escolhido para as prOje-

({o es) ..

LMol = 0

'1JMo, = 0

2 :1 1 103 =0

(desd e q ue os tres pontos nao estejarn sobre

a mesma linha reta).

Como vimos, a~ equa90es traduze!Jl as condi({oes de equilibrio, constituindo

do is sistemas de for({as equivalentes e opostos.

Os vinculos terao, portan to , a f inalidade de localizar este sistema de for({as

que vai impedir os movimentos de transla({a o e de rota~iio. .

Conclui -s e que a finalidade do vinculo e impedir movimento e classificar-seconforme 0 numero de movimentos i mp edidos, 0 que charnamos genero.

Para 0 espa90 ha, portanto, vfnculos de seis generos e para a plano apenas

tres, coincidindo com tis equa({oes di8pOnlveilhCm cada c aso.


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1.2.1. Apoios - Liga\)oes

Os vinculos podem ser de apoio e de liga


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, .

: 1 i i i . ~ ' I i i i . ; i I . ~W . ~ , - . . :. .. . ., . . .. ., - - -- -- - : - - - . - - - - - - - - ; - - - -- -. - - - -

'":t

',t

~ "f { ~~: j,~i

.~ ~. ' .I~ , I, .

SISTEMAS ISOSTATICOS. Silo aqucles cujo mlmero de vinculos e 0 estrita-mente nece8sario, isto e , 0 numero de equayoes e igual ao numero de inc6gnita~.

SISTEMAS HIPOESTATICOS. 0 numero de equayoes e superior ao numerode inc6gnitas.

SISTEMAS HIPERESTA'rICOS. 0 numero de equByoes e menor que 0 nu-

mero de incognit.as.

Como sistemas isosta.t.icOHpodemos citar:

- vigas biapoiadas (Fig. 1.6);

LS:

11

1 1, .~.

~f~

FH~I~

i t

._ P t . ' _ - - - - - - - - - - '- - - - - - - - _ _ ._

Fig. 1.10.

Pelo fato de ter sido introduzida uma ligayao de segundo genero que libertao sistema, segundo uma direy3.o,eriando mais uma equay3.o, os triartieulados e asvigasartieuladas sao sistemas isostlitieos.

1:1' =0

1:MB =0

A rl f [' f t l

B

L S rA2 m

l2 m 2 m-+--_2~

1

r tf J I If r Ifk A 2 m 2 m

2 m 2 m

l V B'It.

V.4+VB=8tf

BV . - 5 X 6' - 1 X 4 - 2 X 2 =0

5X6+1X4+2X2.'.4 =--- 8

2.!!-

2 m


5/9

; ., -

~;~~; 1

I',

-~-----------

~.'i."-~ : ; :J I

., . ~i

1 ' ' '

I V s

,,,

2 " , I " ,

l;X =0

l;y =0

l;MA = 0

HA-3+2=O HA=ltf

VA+VB-2-1=O VA+VB=3tf

6VB-2 X 1 -2 X 2 - 1 X 5 - 3 X 2 =0

VB=.!!tf6

VA=

- .! . tf6

1 v. r -

4m1m - J

VA+VB=2tf

4VB-2X5=OVB=2,5 tf

VA =-O,5tf

INTRODUr;:AO / 9

2111.4.

~

2" ,

~

A

211

1 2'"4 " ,

----l

2 It

2mM A

H A f"

~ Iv . 2 m

2:X =l;Y =0

l;MA =0

HA + 2 - 2 =0VA =0

MA-2X2-2X2=O


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2.1.1. Classifjca~ao e Defjni~ao -- Conven~oe8

Urn sistema de forc;as qllaisquer, que satiRfuc;a a8 equaQoes universais da

Esta ti ca , atuando sobre urn corpo rfgido, proyocara nele 0 aparE'cimento de es-

forQos que, analisadoR segundo seu eixo e uma sec;ao que Ihe Ii perpendicular,poderao ser definidos como esforc;08 simples e c1assificados como:

- esfori;o normal - que age no sentido de comprimir ou traciona r a se ~a o;

- esf oTi;o cortante que age no sentido de cortar Oll cisalhar a se


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t " :

I

r .

' ~ . .

;~

"

i '

I iI 111m

c . II I

1. ESTUDO DA SEQAO 81, Neste caso, 0 conceito de esquerda e direita

nao po de ser feito, Assim, as barras que contiverem Styaes para cstudo e forem

verticais ou apresentarem com a horizontal angulo maior que 45 deverlio Her

rebatidas para 0 c-xterior. Portan to , as barras AC e ED seriam I'tcbatidas con-forme a indica


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I VcHe t-

2:X =0

2:M(c) =0

-Ve-VR=O..Ve+VB=O

- He - 6 + HB =0 . '. H B - H e = 6tf1 X 6 - 2 X H B + 3 X VB = 0 ... 2 HB-3 VB = 6 tf

VA=4-Ve

HA =- He

VB = - Ve

HB=6+He

. P el o d !agrama de ca.rga da Fig. 2.5a, temos 4 incOgnitas e tn;s equa~oes da Estatica; necessitamos,

pOlS, de mats uma equa~o. Essa equa~ao complementar sera a de momento fletor nuio na rotula.

2:Y =0

2:X =0

2:MIA) = 0

VA-VB-4=O V A-VB=4tf

H A + H B - 6 =0 ... H A + H B =6 tfIX4-IX6+5XVB=0.

VB =0,4 tf . '. ITA =4,4 tf

2 X 4,4 - 2 X HA - I X 4 =0 ... HA =2,4 tf ...

HB =3,6tf

Ve =- 0,4 tf

He ~ - 2,4tf

Podemos tambem rre


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II

1-- 4_m ~_ .~ V.

Como cargas ativas, temos 0 momento de 2 mtf e a for9a 2 tf. Esta, como tem a dire980do apoio, sera toda anulada por ele. 0 momento provocara no engastamento 0aparecimentode uma rea9B.o-momento igual e contrkia, ou seja, de 2 mtf anti-horkia.

77~

0

t "0

tl'Zi L6

2 m I 1m 1m 1m 2m1m 2mo f

J

61f

E F

.~

VE~VF

~" r E VF 1 2 I 'A B E F C 0! v A

~,

~

2m 2 m1m 2m 2 m

VBVc Vo

2:Y =2:X =0

2:1}[{A) =0

VA + VB - 4sen 600 - VE = VA + VB =6,46 tf4cos600-HB=0 HB=2tf

2 X 3,46 + 5 X 3 - 4 X VB = VB = 5,48 tf VA =0,98 tf

2:M(D) =0

2:M(c) = 0

4XVc-5X3-2X2=0 Vc=4,75tf

- 1 X 3 + 2 X 2 - 4 X VD = VD =0,25 ti

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