estructuras isostaticas teoria(1)

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE ARQUITECTURA Y CIENCIAS DEL HÁBITAT

CARRERA DE ARQUITECTURA CARRERA DE TÉCNICO SUPERIOR EN CONSTRUCCIÓN CIVIL

ÁREA DE CIENCIAS EXACTAS, ECONÓMICAS Y TECNOLÓGICAS

MATERIA: ESTABILIDADES I

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Material didáctico de apoyo a la asignatura

Doc.: Arq. Gonzalo R. Crespo Zapata

Gestión 2015

Contenido:

UNIDAD 1.- ESTÁTICA DE LAS ESTRUCTURAS Tema 1.- Principios de la estática 1.1. Introducción Magnitudes escalares y vectoriales Sistemas de unidades 1.2. Fuerza Representación gráfica Componentes rectangulares Principio de transmisibilidad Sistemas de fuerzas 1.3. Suma de fuerzas Métodos gráficos Métodos analíticos 1.4. Estática Equilibrio 1.5. Primera condición de equilibrio Leyes de Newton Diagrama de cuerpo libre 1.6. Momento de una fuerza Teorema de Varignon Resultante de fuerzas paralelas Resultante de fuerzas coplanares Método del polígono funicular 1.7. Segunda condición de equilibrio Ecuaciones de la estática Tema 2.- Equilibrio en las Estructuras Isostáticas 2.1. Estructuras 2.2. Vínculos Apoyo móvil Apoyo fijo Empotramiento 2.3. Cargas Puntuales Distribuidas 2.4. Grado estático Estructuras Hipoestáticas Estructuras Isostáticas Estructuras Hiperestáticas

2.5. Equilibrio en las estructuras Isostáticas Métodos gráficos

Métodos analíticos UNIDAD II.- ANÁLISIS ESTÁTICO

Tema 3.- Tracción y Compresión

3.1. Fuerzas internas 3.2. Análisis estático 3.3. Análisis estático de estructuras

funiculares

3.4. Análisis estático de armaduras (cerchas)

Grado estático

Métodos gráficos Métodos analíticos

Tema 4.- Flexión

4.1. Elementos estructurales sometidos a flexión

4.2. Análisis estático Fuerzas internas Diagramas 4.3. Análisis estático de vigas con

cargas puntuales Propiedades

4.4. Análisis estático de vigas con cargas distribuidas Propiedades

4.5. Evolución de cargas puntuales a cargas distribuidas

Estabilidades I Unidad 1.- Estática de las estructuras

Arq. Gonzalo Crespo Zapata.

TEMA 1.- PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA

1. 1. INTRODUCCIÓN.

El análisis y cálculo de estructuras en arquitectura tiene sus bases en la Mecánica, que es una rama de la Física que estudia las fuerzas y sus efectos sobre los cuerpos. El conocimiento de los principios básicos de la Mecánica permitirá determinar las dimensiones que han de tener los cuerpos (elementos de una estructura) para resistir las fuerzas que actúan sobre ellos. Dentro de la Mecánica, la Estática trata el análisis de las fuerzas en equilibrio sobre los cuerpos. Es cierto que además de todo esto, para el diseño de una estructura se debe practicar también mucha creatividad, sentido común y criterio, pues entendemos que el diseño arquitectónico y estructural son inseparables, así mismo, de ningún modo se puede separar el estudio de las estructuras de los principios físicos y matemáticos: Ningún conocimiento de estructuras se puede adquirir sin el uso de herramientas matemáticas. A su vez, los resultados matemáticos explican de manera cuantitativa y clara el comportamiento de una estructura. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Una magnitud es todo aquello susceptible de ser medido respecto a un módulo o patrón. Las magnitudes físicas describen cualitativamente propiedades de la materia (como la masa o el peso) o fenómenos de la naturaleza (como el tiempo). Por su naturaleza, las magnitudes físicas se clasifican en dos grandes grupos:

Magnitudes escalares.- Son aquellas que quedan completamente definidas conociendo solamente su tamaño (en un valor numérico) y su respectiva unidad, ejemplos: la distancia, el tiempo, el calor, etc. Magnitudes vectoriales.- Son aquellas que para estar completamente definidas, necesitan conocerse, además de su tamaño y unidad, una dirección, un sentido y un punto de aplicación de la misma. Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el momento. SISTEMAS DE UNIDADES. Los sistemas de unidades se originaron por la necesidad de tener unidades homogéneas para determinadas magnitudes, de modo que siempre que se la mida se tenga el mismo valor numérico en determinada unidad. Principales sistemas de unidades:

Nombre Longitud Fuerza Tiempo

Sistema Técnico metro [m] kilogramo* [Kg] segundo [s] Sistema Internacional metro [m] newton [N] segundo [s] Sistema Inglés Pie [pie] libra [lb] segundo [s]

* Debe entenderse como Kilogramo de fuerza, cuya abreviación sería [Kgf].

Múltiplos y submúltiplos de las unidades y su designación:

1



Nombre Símbolo Valor

Giga G 109 1000000000 Mega M 106 1000000 Kilo K 103 1000 Mili m 10-3 0.001 Micro m 10-6 0.000001 nano n 10-9 0.000000001

1. 2. FUERZA. El concepto de fuerza es fundamental para la comprensión de las estructuras:

“Una fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro que cambia o tiende a cambiar su estado de movimiento (detener un cuerpo en movimiento o mover un cuerpo en reposo) o cambiar su forma (deformarlo)”.

La fuerza es una magnitud vectorial. Una magnitud vectorial, además de una cantidad asociada a una unidad, tiene dirección, sentido y punto de aplicación. Como se sabe por la Física elemental, la unidad de la fuerza en el Sistema Internacional (S. I.) es el Newton [N], pero para los fines del tema es más simple utilizar las unidades del sistema técnico y sus múltiplos y submúltiplos, la más conocida el kilogramo [Kg], entendiendo dicho kilogramo como kilogramo – fuerza, y no como el kilogramo de masa que es conocido desde la Física elemental. Las unidades del sistema Inglés no son muy pertinentes en el presente tema. Representación gráfica de un vector (en este caso una Fuerza). Gráficamente todo vector, como la fuerza, puede ser representado como un segmento de recta dirigido:

Representación gráfica de una fuerza

Se pueden notar los siguientes elementos:

1. El módulo o magnitud es el valor de la fuerza, está dado por el tamaño del segmento OA y gráficamente se lo representa a cierta escala.

2. El punto de aplicación está dado por el origen O de la fuerza, y es el punto donde se considera que actúa el mismo.

3. La dirección está dada por la línea de acción de la fuerza, que es la recta a la cual pertenece la misma o las rectas paralelas a ella.

4. El sentido es la orientación sobre la línea de acción, está dado por el extremo puesto al origen.

Bajo este concepto, el peso de una persona o de un elemento de una estructura (llamado usualmente peso propio) son fuerzas provocadas por la gravedad de La Tierra, es decir la acción del planeta sobre todo cuerpo, cuya dirección es la línea vertical (que en realidad está dirigida hacia el centro de La Tierra) y cuyo sentido es siempre hacia el suelo. Componentes rectangulares de una fuerza. Toda fuerza se puede representar también por sus componentes rectangulares, que son sus proyecciones ortogonales sobre los conocidos ejes “x” y “y“. Analíticamente se pueden encontrar sus valores conociendo el módulo de la fuerza y el ángulo de inclinación de su línea de acción aplicando trigonometría elemental. Entonces, analíticamente:

Fy = F * sen a Fx = F * cos a

Recíprocamente: F 2 = Fx 2 + Fy 2 (teorema de Pitágoras)

O

F A

l

2



a= arctg (Fy / Fx )

Componentes rectangulares de una fuerza en un sistema de coordenadas

Las direcciones de las componentes están dadas por el vector, ya que Fx + Fy = F, y obedecen a la regla de signos de la Geometría Analítica. Para que una fuerza esté completamente definida, se debe conocer de ella su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación, o en contraparte, sus componentes rectangulares y su punto de aplicación. Principio de Transmisibilidad de las Fuerzas. La línea de acción de una fuerza es una línea de longitud infinita que coincide con la fuerza misma. Este principio dice que una fuerza aplicada a un cuerpo rígido se puede considerar actuando en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. Es decir que el punto de aplicación de una fuerza puede considerarse en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. Esto puede indicar que toda fuerza tiene una infinidad de puntos de aplicación, todos ellos contenidos en su propia línea de acción.

Principio de transmisibilidad de una fuerza.- Toda fuerza se puede considerar actuando en cualquier punto sobre su línea de acción.

SISTEMAS DE FUERZAS. Un “sistema de fuerzas” es un conjunto determinado de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o elemento estructural. En función a las posiciones relativas de dos o más fuerzas se pueden formar distintos sistemas que tienen características particulares al momento de realizar operaciones en ellos. Fuerzas colineales.- Son aquellas que están contenidas en la misma línea de acción, es decir que tienen la misma dirección.

Fuerzas concurrentes.- Son aquellas cuyas líneas de acción se cortan en un único punto. Por el principio de transmisibilidad de las fuerzas se puede decir que tienen un origen común.

O

F

A

l

x

y

Fx

Fy Fy

Fx

A B C l

3



Fuerzas coplanares.- Son aquellas cuyas líneas de acción están contenidas en un solo plano. Es decir que actúan en dos dimensiones. Fuerzas iguales.- Son aquellas que tienen la misma magnitud, dirección y sentido

Fuerzas opuestas.- Se llama fuerza opuestoa -A de una fuerza A, cuando tiene el mismo módulo, la misma dirección pero sentido contrario.

1. 3. SUMA DE FUERZAS. Las operaciones con magnitudes vectoriales, debido a sus características particulares son distintas a las operaciones con magnitudes escalares. La suma de dos o más fuerzas o la suma de todo un sistema de fuerzas es la operación por la cual se obtiene otra fuerza llamada “resultante”, la cual produce los mismos efectos que todas las fuerzas “componentes” del sistema y por lo tanto puede remplazarla. Así mismo se podrá decir que dos sistemas de fuerza son equivalentes si ambos tienen la misma resultante.

Para la suma de fuerzas se tienen dos tipos de métodos, que son los métodos gráficos y los métodos analíticos. Métodos gráficos. Método del paralelogramo.- Es válido sólo para dos fuerzas coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a las fuerzas por el origen, deslizándolos aplicando el principio de transmisibilidad para formar un paralelogramo. La fuerza resultante se encontrará en la diagonal que pasa por el origen común de los dos vectores.

Método del triángulo.- Es válido sólo para dos fuerzas coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se unen las dos fuerzas, una a continuación de la otra (uniendo el origen de una con el extremo de la otra) aplicando el principio de transmisibilidad. La fuerza resultante será el segmento que cierra el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen de la primera fuerza.

C

BA

OC

B

A

O

A

B

A

-A

A

B

A

B

R=A+B

A

B

A

B

R=A+B

4



Método del polígono.- Es válido para dos o más fuerzas concurrentes y coplanares. Se unen las fuerzas una a continuación de la otra (como en el método del triángulo) formando un polígono, le fuerza resultante se encontrará en el segmento que cierra el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen de la primera fuerza.

Nota.- En la suma de fuerzas se cumplen las propiedades matemáticas:

Propiedad Conmutativa: A+B = B+A Propiedad Asociativa: A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C)

Métodos analíticos. Suma de fuerzas colineales.- En este caso la resultante se obtiene con la suma algebraica de los módulos de todos los vectores, teniendo en cuenta la regla de signos para un solo eje en función a sus sentidos respectivos. Geométricamente se trata de una simple suma de segmentos dirigidos.

Entonces:

R = A + B + C = 2.00 [u] + 3.00 [u] – 2.00 [u] = 3.00 [u]

Método del triángulo.- Aplicable a dos vectores concurrentes y coplanares, se trata de una interpretación analítica del método gráfico mediante la resolución de triángulos oblicuángulos. El módulo de la resultante se halla con una aplicación trigonométrica de la ley de cosenos. Se busca resolver el lado faltante del triángulo y alguno de sus ángulos para conocer la dirección de la resultante.

Entonces: 2 2 2 cosR A B AB

La dirección (b) se encuentra por la ley de senos: sB R A

en sen sen

Si el ángulo fuera 90º, el cálculo sería simplemente el teorema de Pitágoras, ya que el coseno de 90º es cero. Método del paralelogramo.- Es importante señalar aquí que el desarrollo del método del triángulo y el método del paralelogramo implican la misma construcción geométrica, de modo que analíticamente, ambos métodos son idénticos ya que resuelven el mismo triángulo oblicuángulo.

A

B

C

D

A

B

C

DR=A+

B+C+

D

A B C x

xR=A+B+C

R=A+B

A

B

R=A+B

A

B

5



Como se ve en el dibujo, con el paralelogramo se forman dos triángulos congruentes cuyo lado común es la resultante R. Cualquiera de los dos triángulos puede ser resuelto como se indicó anteriormente en el método del triángulo. Método de las componentes rectangulares.- Teniendo en cuenta la propiedad de descomposición de fuerzas sobre los ejes coordenados, se define que: La componente de la resultante de un sistema de fuerzas sobre un eje es igual a la suma de las componentes de todas las fuerzas del sistema sobre el mismo eje. Matemáticamente, esto se puede interpretar de la forma:

=

La componente sobre el eje x de la resultante es igual a la sumatoria de las “n” componentes sobre el eje x del sistema de fuerzas.

=

La componente sobre el eje y de la resultante es igual a la sumatoria de las “n” componentes sobre el eje y del sistema de fuerzas.

En la representación de este sistema de tres fuerzas, la resultante vendría dada por:

= = + +

Simplificando: Rx = F1x + F2x + F3x

= = + +

Simplificando: Ry = F1y + F2y + F3y

Los pasos a seguir serían:

1. Descomponer todos los vectores sumandos en sus componentes rectangulares. Esto se puede organizar opcionalmente en una tabla.

2. Hallar por separado la resultante en el eje x y en el eje y (Rx y Ry) aplicando la suma de un sistema de fuerzas colineales.

3. Reconstruir el vector resultante (módulo y dirección) aplicando trigonometría como se indicó en las componentes rectangulares:

El método de las componentes rectangulares es el que más se utiliza para determinar la resultante de un sistema, debido a la limitación de los anteriores que sólo pueden sumar dos fuerzas a la vez.

x

y

F1x

F1y F 1

F2 F3

R

F2x F3x

Rx

Ry

F2y F3y

6



1. 4. ESTÁTICA. La Estática es una rama de la Mecánica cuyo objetivo es estudiar las condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, para que éste se encuentre en equilibrio. EQUILIBRIO. Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración (a = 0). Por lo tanto, existen dos tipos de equilibrio:

Equilibrio Estático.- Cuando un cuerpo no se mueve (v = 0 y a = 0). Equilibrio Cinético.- Cuando un cuerpo se mueve en línea recta y a velocidad constante.

Sin embargo, para el estudio de la mecánica de las estructuras se habla siempre de equilibrio estático, ya que una hipótesis inicial es que las estructuras están en reposo (no se mueven). Por lo tanto, siempre que se hable de equilibrio, se estará hablando de equilibrio estático. 1. 5. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. La primera condición de equilibrio se refiere a los cuerpos considerados como partículas (puntos), es decir que se trata del equilibrio de sistemas de fuerzas concurrentes. “Un cuerpo se encontrará en equilibrio cuando la fuerza resultante que actúa sobre él, sea igual a cero. Para esto las fuerzas deben ser necesariamente coplanares y concurrentes.” Equilibrio de dos fuerzas.- Para que dos fuerzas estén en equilibrio es necesario que sean colineales, de la misma magnitud pero sentido contrario. Esto significa que las fuerzas son opuestas para definir una resultante igual a “0”.

Equilibrio de tres fuerzas.- Para que tres fuerzas no paralelas entre sí estén en equilibrio es necesario que sean concurrentes y que tengan una resultante igual a “0”.

Gráficamente, el resultado que se debe obtener de un sistema de fuerzas en equilibrio es un polígono cerrado, de modo que no haya resultante graficada. Tres fuerzas en equilibrio generarán un triángulo, cuatro fuerzas un cuadrado y así sucesivamente.

Analíticamente la primera condición de equilibrio se resume en:

10

n

xi

F

La suma de las componentes sobre el eje “x” de todas las fuerzas del sistema debe ser igual a cero.

10

n

yi

F

La suma de las componentes sobre el eje “y” de todas las fuerzas del sistema debe ser igual a cero.

Leyes de Newton. Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la Mecánica. Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra ley de acuerdo con el orden en que aparecen en su obra. Aquí se estudiarán la 1ra y la 3ra ley que permitirán el análisis del equilibrio estático.

F-F

F3

F1

F2

F3

F1F2

7



Primera ley (ley de inercia). “Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento con una velocidad constante en línea recta, a menos que sobre él actúe una fuerza” Tercera Ley (ley de acción y reacción). “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (reacción).” Se debe tener en cuenta que la acción y la reacción no se anulan porque no actúan en el mismo cuerpo. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) Hacer el D.C.L. de un cuerpo (o de una partícula) es representar gráficamente las fuerzas que actúan sobre él. Para esto se siguen los siguientes pasos:

1. Se aísla al cuerpo de todo el sistema. 2. Se representa el peso del cuerpo (si es que se está considerando) mediante un vector

dirigido siempre hacia el centro de La Tierra (generalmente hacia abajo). 3. Si existen superficies de apoyo o de contacto, se representan las reacciones

perpendiculares a dichas superficies y siempre empujando al cuerpo. De igual modo para barras u otros elementos.

4. Si existen cuerdas o cables, se representa la tensión correspondiente siempre jalando al cuerpo.

Ejemplo.- Para construir el D.C.L. del funicular mostrado en la imagen:

1. Aislamos el funicular 2. El peso propio del aparato actúa siempre en la dirección de la gravedad (hacia

abajo), aún cuando el cuerpo esté sobre un plano inclinado. 3. El apoyo sobre las rieles produce una fuerza normal sobre el funicular perpendicular

a la superficie, es decir perpendicular a las rieles.

4. El cable que lo soporta sobre el plano inclinado produce una fuerza de tensión en el mismo que se transmite al funicular y es paralelo a las rieles.

Sistema real del Funicular D.C.L. del funicular

1. 6. MOMENTO DE UNA FUERZA. El momento de una fuerza es el efecto de giro que se produce sobre un cuerpo alrededor de un punto o eje. Por lo tanto, dicho efecto de giro depende de la magnitud de la fuerza y de su distancia al punto o eje de giro. Matemáticamente:

Mo = F x d Donde:

Mo es el momento de la fuerza respecto a un punto “o” cualquiera (centro de momentos). F es la magnitud (el módulo) de la fuerza que provoca el efecto de giro. d es la distancia entre el punto “o” y la línea de acción de la fuerza.

x

y

TN

P

40º

8



El momento es una magnitud vectorial cuyas unidades son el producto de una fuerza y una longitud, las más comunes son: [Kg∙m], [Kg∙cm], [T∙m]. Nota 1.-

La distancia “d”, por definición geométrica siempre es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto “O” (centro de momento) hasta la línea de acción de la fuerza:

Nota 2.-

Se deduce que la magnitud del momento no cambia cuando: El punto de aplicación de la fuerza se desplaza a lo largo de su línea de acción, esto es consecuencia del principio de transmisibilidad de una fuerza.

El centro de momentos se desplaza a lo largo de una recta paralela a la línea de acción de la fuerza.

Convención de signos.- Esta convención es arbitraria, se asumirá el signo del momento para fuerzas coplanares: positivo si el giro es en el sentido de las agujas del reloj; negativo si el giro es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cupla o par de fuerzas.- Es un sistema de dos fuerzas paralelas de igual módulo pero sentidos contrarios. Evidentemente, la suma de las dos fuerzas es cero. Pero el momento provocado por el par de fuerzas no es cero, y se puede demostrar que dicho momento, respecto a cualquier punto del plano es igual a:

M F d

Fd

F

F

d´

O

O

O

FdO

F

dO

FdO

F

dO

M (-)M (+)

FoM F d

0FoM

(La línea de acción de F pasa por el punto O)

´FoM F d

(d´ es la perpendicular desde O hasta la línea de acción de F)

9



TEOREMA DE VARIGNON. “El momento de la resultante de un sistema de fuerzas respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de todas las fuerzas del sistema respecto al mismo punto O.”

Matemáticamente: 1 2

1......i n

nF FF FR

o o o o oi

M M M M M

Resultante de dos fuerzas paralelas. La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes tiene su punto de aplicación en el mismo punto en el que se cortan las líneas de acción. Pero cuando las fuerzas ya no son concurrentes, dicho punto de aplicación se encuentra en algún punto del plano de modo que genere los mismos efectos que las fuerzas componentes. El módulo de la resultante será la suma vectorial de las fuerzas componentes. El teorema de Varignon permite encontrar el punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas:

El punto de aplicación será conocido cuando se conozca el valor de la distancia x, que es la distancia entre el punto o y la línea de acción de R.

Notas.-

Si el punto o no estuviese sobre la línea de acción de alguna de las fuerzas, el punto de aplicación sería el mismo. Recordar que por el principio de transmisibilidad, el punto de aplicación puede estar en cualquier punto sobre la línea de acción de R. Este procedimiento también sirve para más de dos fuerzas paralelas.

Métodos gráficos para determinar la resultante de dos fuerzas paralelas. Para la determinación del módulo se hace la suma algebraica de los mismos. Para determinar la posición se procede del siguiente modo: Primer método.- F1 pasa por el punto A y F2 pasa por el punto B.

1. Se construye un segmento BE igual a la fuerza mayor F1, con sentido opuesto a la fuerza menor F2 y un segmento AD igual a la fuerza menor sobre F1.

2. Se unen los extremos D y E. El punto C, donde esta recta corta al segmento AB, es por donde pasa la línea de acción de la resultante.

3. El resultado no varía si se invierten los segmentos del paso 1 tal como se muestra en el gráfico.

F

d

-F

F2

F1

R dx

o

1 2

1 2

2

0

F FRo o oM M M

R x F F dR xdF

10



Segundo método.- F1 pasa por el punto A y F2 pasa por el punto B.

1. Se construyen dos fuerzas iguales y de sentidos contrarios de cualquier magnitud perpendiculares a las fuerzas paralelas, llamados aquí P y -P.

2. Se determinan las resultantes de las componentes formadas: F1 + P y F2 – P. 3. Se prolongan las líneas de acción de las resultantes hasta que se corten en al punto

“O”, por el cual pasa la línea de acción de la resultante.

RESULTANTE DE FUERZAS COPLANARES. Para encontrar el punto de aplicación de un sistema de fuerzas coplanares, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Se hallan las componentes rectangulares de todas las fuerzas del sistema. 2. Se aplica lo explicado para la resultante de fuerzas paralelas separadamente para las

componentes sobre el eje x y sobre el eje y. 3. Se aplica el principio de transmisibilidad para determinar el punto de aplicación

común a las dos componentes.

Métodos gráficos para determinar la resultante de fuerzas coplanares. Método del polígono funicular.- Para la determinación del módulo se hace la suma vectorial de las fuerzas, en éste caso, seguramente por el método del polígono de fuerzas. Para determinar la posición se procede del siguiente modo:

F2

F1

R

A B

D

E

CF2

F1

R

A B

D

E

C

F2

F1

RA BP -P

R1

R2

O

F2

F1

RA BP -P

R1

R2

O

11



1. Se construye el polígono de fuerzas a la misma escala que el sistema original, resolviendo el módulo, dirección y sentido de la resultante.

2. Se elige un punto arbitrario del plano llamado polo y que será el punto O. A partir de éste se trazan rayos hacia todos los vértices del polígono de fuerzas.

3. Se elige otro punto arbitrario sobre la línea de acción de la fuerza que está al borde del sistema y se hace pasar por ese punto una paralela al primer rayo.

4. Cada rayo tiene una paralela que corta a cada una de las fuerzas del sistema o a su línea de acción.

5. Por el punto de intersección del primer y del último rayo pasa la línea de acción de la resultante.

1. 7. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

Para que un cuerpo rígido permanezca en equilibrio, la fuerza resultante y el momento resultante respecto a un mismo punto, deben ser cero. Sólo así se asegura que el cuerpo no tiene movimiento y no tiene rotación. Ecuaciones de la estática Analíticamente, esta segunda condición se adiciona a la primera y se generan las tres ecuaciones de la estática para sistemas de fuerzas coplanares:

1

1

1

0

0

0i

n

xiin

yiin

Fo

i

F

F

M

Estas tres ecuaciones son la base para el equilibrio estático de las estructuras. Al conformar todas un sistema de tres ecuaciones, son tres las incógnitas que se pueden tener para resolver el equilibrio de las fuerzas.

F3

F1F4

F2

F1

F2

F3

F4

O

1

2

3

4

5

1

23

4

5

R

R

12



TEMA 2.- EQUILIBRIO EN LAS ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

2. 1. ESTRUCTURAS. Una estructura es un conjunto de elementos (elementos estructurales) que pueden ser barras, cables, láminas, placas bloques, etc., enlazados entre sí por medio de uniones y otros elementos llamados vínculos, diseñados todos ellos para soportar cargas, desde su peso propio hasta las cargas externas que puedan presentarse. Este conjunto suele denominarse también sistema estructural, ya que cargas, elementos y vínculos interactúan entre sí permitiendo el funcionamiento óptimo del todo. Desde el punto de vista mecánico, toda estructura debe cumplir las condiciones de funcionamiento referidas a estabilidad, resistencia y rigidez, además de otras condiciones como la economía, diseño, sostenibilidad, etc. La estabilidad es una propiedad que depende principalmente de las condiciones de vínculo y de la geometría, es decir, principalmente de la “forma”, para alcanzar el equilibrio estable de la estructura. Las condiciones de resistencia y rigidez se explicarán y profundizarán en el estudio de la resistencia de materiales. 2. 2. VÍNCULOS. Llamados también apoyos, son dispositivos mecánicos o elementos constructivos que permiten enlazar entre sí los elementos de una estructura para evitar movimientos de traslación y rotación excesivos a través de las reacciones que ejercen y equilibran las cargas externas. En el estudio de estructuras en dos dimensiones se consideran tres tipos de vínculos principales clasificados por el número de reacciones que pueden ejercer:

Apoyo móvil.- Es un dispositivo colocado sobre rodillos que puede resistir una reacción perpendicular a la superficie de apoyo, de modo que el elemento estructural puede moverse en la otra dirección. Por lo tanto el apoyo móvil tiene rotación libre y desplazamiento libre porque ejerce una sola reacción. Se representa de varias formas:

Ejemplos de apoyos móviles:

Apoyo fijo.- llamado también apoyo articulado, consiste en una articulación unida rígidamente a un punto fijo, de modo que puede resistir reacciones en dos ejes perpendiculares entre sí aunque el elemento estructural puede rotar en torno a la articulación. Por lo tanto el apoyo fijo tiene rotación libre y desplazamiento impedido porque ejerce dos reacciones. Se representa:

Ry RyRy

13



Ejemplos de apoyos fijos:

Empotramiento.- Es un dispositivo que une rígidamente un elemento estructural a otro, de modo que puede resistir reacciones en dos ejes perpendiculares entre sí y además evitar la rotación del elemento estructural, que equivale a decir puede ejercer un momento de empotramiento que también es una reacción. Por lo tanto el empotramiento tiene rotación y desplazamiento impedido porque ejerce tres reacciones.

Ejemplos de empotramiento:

Es importante notar que en la práctica constructiva no siempre se consigue realizar los tipos de apoyos descritos, los dispositivos mecánicos muchas veces son simplificados por condiciones económicas o tecnológicas. La descripción de estos vínculos es muy ideal y conceptual para la práctica, pero necesaria para un estudio inicial de las estructuras. 2. 3. CARGAS. Son fuerzas conjuntos de fuerzas que actúan sobre una estructura o sobre un elemento estructural. Para el estudio del análisis estático de estructuras, se clasifican las cargas en tres tipos en función a su distribución sobre la estructura.

Cargas concentradas.- llamadas también puntuales. Son aquellas que actúan sobre una pequeña superficie. Idealmente se supone que actúan sobre un punto de la estructura. Pueden ser: el peso de una persona sobre una viga, o una lámpara que cuelga de un cable. Se representan como vectores y sus unidades son las unidades de la fuerza: [Kg], [t], [lb].

Cargas distribuidas linealmente.- Son las que actúan repartidas a lo largo de una línea. Esta repartición puede ser uniforme o variable. Pueden ser: el peso propio de una viga actuando sobre sí misma. Se representan como un polígono cerrado cuya altura representa el valor de la carga distribuida y sus unidades son de fuerza/distancia: [Kg*m], [t*m].

Rx

Ry Ry

Rx

Ry

Rx

Rx

Ry

M

Ry

MRx

P [Kg] P [Kg]

q= [Kg/m]

14



Cargas distribuidas superficialmente.- Son aquellas que actúan repartidas en una superficie, pueden estar repartidas uniformemente o no. Pueden ser el peso propio de una losa actuando sobre su área. Sus unidades son de fuerza/área: [Kg*m2], [t*m2], [Kg*cm2].

2. 4. GRADO ESTÁTICO DE LAS ESTRUCTURAS. El grado estático es una propiedad que permite hacer una clasificación del tipo de estructura y de la forma de resolverla en función a las ecuaciones disponibles y la cantidad y tipo de vínculos. Matemáticamente el grado estático se define como:

G = R – E – e Donde:

G = grado estático de la estructura R = número de reacciones, que depende del número y tipo de vínculos E = número de ecuaciones de la Estática, es 3 en estructuras bidimensionales e = número de ecuaciones especiales, cuando hay articulaciones en la estructura

La clasificación se da de la siguiente forma:

Si G > 0, la estructura es Hiperestática Si G = 0, la estructura es Isostática Si G < 0, la estructura es Hipoestática

A continuación se dan algunos ejemplos de estructuras muy comunes:

G = 3 – 3 – 0 = 0 Isostática (viga simplemente apoyada)

G = 4 – 3 – 1 = 0 Isostática (viga empotrada - articulada)

G = 4 – 3 – 1 = 0 Isostática (arco triarticulado)

G = 6 – 3 – 0 = 3 Hiperestática (pórtico biempotrado)

q= [Kg/m2]

RyRy

Rx

Ry

Rx M

Ry

Ry

Rx

Ry

Rx

Ry

RxM M

Ry

Rx

15



G = 4 – 3 – 0 = 1 Hiperestática (Pórtico empotrado)

G = 3 – 1– 0 = – 1 Hipoestática (viga simplemente apoyada con articulación) Solamente las estructuras Isostáticas e Hiperestáticas son adecuadas para soportar cargas. Sin embargo, existen estructuras Isostáticas e Hiperestáticas que no son adecuadas para soportar cargas:

G = 0 (Isostática) G = 3 (Hiperestática)

Por lo tanto, para que una estructura sea adecuada para soportar cargas, su grado estático debe ser mayor o igual que cero, y además debe ser geométricamente estable. En el presente curso se estudiarán solamente las estructuras Isostáticas. 2. 5. EQUILIBRIO DE LAS ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS.

Una estructura se encontrará en equilibrio cuando no presente movimiento (excepto el que se deba al desplazamiento por deformaciones previstas). Al no existir movimiento, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura debe ser igual a cero (incluidas fuerzas de acción de las cargas y fuerzas de reacción en los apoyos). Además tampoco debe existir rotación, entonces la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan también debe ser cero. El análisis de las estructuras, en general puede subdividirse en:

Análisis de vigas.- Las vigas son barras en las cuales la dirección de eje centroidal es paralela al horizonte geográfico (o sea que es horizontal). Análisis de Pórticos.- Los pórticos son estructuras en las cuales la dirección de los ejes centroidales de las barras no es paralela a la horizontal. Análisis de arcos.- Los arcos son estructuras en las cuales el eje centroidal no es rectilíneo, si no que puede corresponder a la ecuación de una curva.

MÉTODO ANALÍTICO Matemáticamente, las condiciones de equilibrio se traducen en las tres ecuaciones de la estática para sistemas de fuerzas coplanares:

10

n

xii

F

(suma de fuerzas horizontales o en el eje “x”)

10

n

yii

F

(suma de fuerzas verticales o en el eje “y”)

10i

nFo

iM

(suma de momentos respecto a un punto O)

RyRy

RxM

RyRy

Rx

16



Sin embargo, como se indicó en las condiciones del grado estático de las estructuras, a estas ecuaciones de la estática usualmente pueden añadirse otras ecuaciones denominadas “especiales” originadas por la presencia de articulaciones en un punto “D” de la estructura, que introducen las ecuaciones:

10

nder

Dii

M

(suma de momentos por la derecha del punto D)

10

nizq

Dii

M

(suma de momentos por la izquierda del punto D)

El equilibrio de una estructura estará resuelto cuando se conozcan los valores de las reacciones de equilibrio en los apoyos. La resolución del sistema de ecuaciones formado por las tres ecuaciones de la estática y las ecuaciones especiales siempre será posible, ya que en una estructura Isostática el número de ecuaciones será el mismo que el número de reacciones, las reacciones siempre son las incógnitas ya que se supone que siempre se puede calcular el valor de las cargas. MÉTODOS GRÁFICOS Estructuras con un apoyo fijo y otro móvil.- Un primer método gráfico para encontrar las reacciones en los apoyos consiste en una interpretación gráfica de las propiedades de los apoyos:

1. Inicialmente se debe conocer la resultante del sistema de fuerzas de acción y su punto de aplicación.

2. El apoyo móvil sólo puede ejercer una reacción perpendicular a la superficie de apoyo, en el caso de la figura la dirección es vertical.

3. En lugar de tener dos reacciones en el apoyo fijo, se tendrá una sola pero con una dirección desconocida.

4. Para que el sistema de tres fuerzas esté en equilibrio, la condición gráfica es que sean fuerzas concurrentes que formen un polígono cerrado.

5. Como ya se conoce el punto “O” de intersección de la reacción del apoyo móvil y la resultante, es por éste punto que debe pasar la reacción del apoyo fijo.

6. Al conocer la dirección de la reacción del apoyo fijo, se puede cerrar un triángulo de fuerzas con la resultante y las dos líneas de acción conocidas. El punto en que se corten cerrará el triángulo.

7. Se descompone la reacción del apoyo fijo en sus dos componentes rectangulares, vertical y horizontal.

8. Se pueden trasladar las reacciones a sus respectivos puntos de aplicación. 9. Se hacen las mediciones para determinar los módulos y direcciones de las

reacciones.

A B

R

V A V B

HA

17



Recordar que todo el trabajo debe ser a escala. Estructuras con dos apoyos fijos y una articulación.- Las estructuras más comunes de este tipo son los arcos triarticulados.

Haciendo la interpretación de la articulación, de que la suma de momentos a ambos lados debe ser cero, se tendrán dos resultantes, una a cada laso de la articulación y se determinarán reacciones para cada una, las cuales serán sumadas.

Una vez obtenidas las reacciones para cada resultante se las suma para construir la reacción en cada apoyo. Recordar que todo el trabajo debe ser a escala. Estructuras Funiculares.- Las estructuras Funiculares son aquellas cuya forma obedece sólo a la disposición y magnitud de las cargas. Se tratan de estructuras que se conocen también con el nombre de

O

A B

R

V B

V B

A

V A

HA

V A

H A

A

R1 R2

A

V A

HA

V B

HBB

R1 R2

A

V A

HA

V B

HBB

O1

O2

R1

1A

2A

2B

1B

2A

2B

1B

A1A

HA

V AV B

H B

18



“Forma Activa”. Serán por lo tanto de dos tipos: Arcos compresivos o sistemas de cables traccionados. El método gráfico para su solución es el mismo. Ahora, para soportar un sistema de cargas con una estructura de forma activa (o como se dirá en adelante, estructura funicular), existen infinidad de soluciones. Es por esto que, además de los dos puntos de apoyo, se necesita de un tercer punto, que será un punto de paso obligatorio para la estructura, de modo que el problema de resolver la estructura se convertirá en: hacer pasar por tres puntos dados un polígono funicular.

Para éste sistema de cargas, los apoyos de la estructura funicular serán A y B, y

el tercer punto de paso será C. El tercer punto de paso C dividirá a la estructura en dos partes, lo primero que se debe hacer es encontrar la resultante de fuerzas correspondiente a cada parte. En el ejemplo se deberá encontrar la resultante de P1, P2 y P3 (azules) y la resultante de P4 y P5 (rojas). Inicialmente se requerirá de un polígono funicular cualquiera para encontrar dichas resultantes.

Se han obtenido las resultantes R1 y R2, correspondientes a los conjuntos de fuerzas azules y rojas respectivamente. Nótese que por comodidad de graficación el polígono funicular no es contínuo.

Luego, aplicando los mismos conceptos que en los arcos, se entiende que la articulación C no debe estar sometida a momentos. Esto significa que teniendo las resultantes R1 y R2, las reacciones se determinarán igual que para los arcos triarticulados.

Se puede ver además que los vectores (fuerzas): A1 + B1 = R1 y A2 + B2 = R2. Es decir que se tienen las reacciones parciales

B

A

C

P1

P2

P3 P4

P5

B

A

C

P1

P2

P3 P4

P5

P1

P2

P3

P4

P5

1'2'

3'

4'

5'

6'

O'

R1

R2

R1

4'

4'

1'

2'

3'

5'

6'

R2

B

A

C

P1

P2

P3 P4

P5

P1

P2

P3

P4

P5

1'2'

3'

4'

5'

6'

O'

R1

R2

R1

4'

4'

1'

2'

3'

5'

6'

R2

B1

A1 B2

A2

A1

B1

B2

A2

19



Para determinar las reacciones totales sólo se debe hacer las sumas: A1 + A2 = AR (Reacción total en el apoyo A) y B1 + B2 = BR (Reacción total en el apoyo B). Esto se realiza fácilmente por el método del paralelogramo.

Las dos reacciones (en color verde) han definido un punto de intersección que será el nuevo polo del polígono funicular que nos garantizará el paso por el punto C.

Con el nuevo polo O se ha construido un nuevo polígono funicular que pasa por el punto C.

Se debe notar que las reacciones y sus líneas de acción constituyen los lados 1 (inicial) y 2 (final) del Polígono Funicular. Finalmente, cada una de las reacciones se puede descomponer en sus componentes rectangulares x e y.

B

A

C

P1

P2

P3 P4

P5

P1

P2

P3

P4

P5

1'2'

3'

4'

5'

6'

O'

R1

R2

R1

4'

4'

1'

2'

3'

5'

6'

R2

B1

A1 B2

A2

A1

B1

B2

A2

A2

B1

AR

BR

O B

A

C

P1

P2

P3 P4

P5

AR

BR1

2

3

45

6

P1

P2

P3

P4

P5

R1

R2

A1

B1

B2

A2

A2

B1

AR

BR

O

1

23

4

5

6

20

Estabilidades I Unidad II.- Análisis estático

Arq. Gonzalo Crespo Zapata

TEMA 3.- ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS SOMETIDAS A TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Hasta este punto se han estudiado las fuerzas o cargas que actúan sobre una estructura Isostática, así como las reacciones en los apoyos que responden a dichas cargas. Tanto las cargas como las reacciones constituyen fuerzas externas que actúan sobre la estructura para que ésta se mantenga en equilibrio estático. ¿Pero qué sucede dentro de las piezas que componen la estructura? ¿Cómo responde ésta internamente? El análisis estático se encargará de responder estas y otras preguntas que irán surgiendo. Un primer concepto lo constituyen las fuerzas internas. 3.1. FUERZAS INTERNAS. En contraparte, las fuerzas internas son aquellas que se presentan dentro de los elementos de la estructura y permiten que cada uno de ellos conserve su integridad física sin colapsar. Estas fuerzas mantienen juntas las partículas de los elementos sólidos de una estructura y se oponen a las fuerzas de acción o cargas externas. Existen varias clases de fuerzas internas, por su simplicidad se comenzarán a estudiar las más sencillas, que son las fuerzas normales. Fuerzas normales.- Si consideramos una pieza estructural como una barra, es decir que tiene una forma esencialmente lineal, las fuerzas normales son aquellas que actúan paralelas al eje longitudinal de la pieza, es decir, perpendicularmente a la sección transversal de la misma. Pueden ser de dos clases: Tracción.- Un elemento está sometido a una fuerza de tracción cuando sus partículas tienden a separarse alargándose por efecto de las fuerzas normales:

T T

Compresión.- Si la barra tiende a acortarse o a aplastar sus partículas por efecto de las fuerzas normales, entonces está sometida a fuerzas de compresión:

C C 3.2. ANÁLISIS ESTÁTICO. El análisis estático consiste en aplicar un procedimiento para determinar todas las fuerzas internas que se presentan dentro de la estructura o dentro de un elemento estructural en equilibrio tras la acción de las cargas externas. En otras palabras el análisis estático es resolver el equilibrio interno de la estructura, después de resolver el equilibrio externo, por lo tanto un requisito previo para el análisis estático es la resolución de las reacciones de apoyo. Para cualquier método de análisis que se desarrolle, los principios de la estática siguen siendo aplicables, las condiciones de equilibrio no varían en el interior de la estructura siendo válido todo lo referente al equilibrio de fuerzas concurrentes y coplanares. Dentro del análisis estático es común aplicar el razonamiento mediante secciones, que consiste en partir la estructura o elemento estructural en dos pedazos por medio de un corte imaginario, y así analizar el comportamiento de las dos partes viendo el “interior” de los elementos estructurales, que es justamente el objetivo del análisis estático. Así, si partimos en dos la barra sometida a fuerzas de tracción, se tiene:

21



T T

Entonces, puesto que las condiciones de equilibrio se siguen aplicando, para que cada una de las dos partes esté en equilibrio necesitan de una fuerza de módulo y dirección igual pero de sentido contrario, es decir se necesita su opuesta:

T TT T

Se puede ver que cada parte de la barra está sometida a la misma fuerza de tracción. En conclusión, cuando sólo actúan fuerzas externas axiales de tracción, las únicas fuerzas internas son también de tracción. Del mismo modo, si partimos la barra sometida a fuerzas de compresión:

C C

Para conservar el equilibrio estático de las dos partes, en cada extremo deben estar aplicadas las mismas fuerzas de compresión pero con sentidos opuestos:

C CCC

La conclusión es la misma: Si en los extremos de una barra actúan sólo fuerzas axiales de compresión, las fuerzas internas en toda la barra serán de compresión y además serán iguales en toda su longitud. Importante.- Como se puede ver, si las fuerzas axiales se aplican en los extremos de la barra, tanto de compresión como de tracción, entonces las fuerzas internas son iguales en cualquier punto de la barra, ya que el resultado es el mismo sin importar dónde se haga el corte imaginario, en otras palabras, la tracción o compresión es constante a lo largo de toda la pieza.

3.3. ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS FUNICULARES Las estructuras funiculares comprenden tanto las estructuras suspendidas con tensores flexibles como las de arcos rígidos. Ambas tienen un proceso de análisis idéntico, pero se diferencian en que las estructuras suspendidas están compuestas por tensores que están sometidos sólo a fuerzas internas de tracción, mientras que los arcos están sometidos sólo a fuerzas internas de compresión. Esto implica que el análisis de estructuras funiculares es el más sencillo de realizar porque sólo presenta un tipo de fuerzas internas: Tracción o Compresión. Puesto que estas estructuras se resuelven gráficamente, la resolución de sus fuerzas internas también parte del método gráfico. Previamente, como se indicó antes se deben resolver las reacciones, por tanto se debe construir el polígono funicular que pasa por los tres puntos asignados determinando así las reacciones en los apoyos.

Polígono Funicular que pasa por los puntos A, B y C. La solución previa de este ejemplo está en el tema anterior (Equilibrio en las estructuras Isostáticas)

22



Cada vértice del polígono funicular constituye un punto o nudo en el que convergen tres fuerzas concurrentes: La fuerza de acción externa (es decir, la carga) y dos fuerzas cuyas líneas de acción coinciden con los lados adyacentes del polígono funicular. Para que exista equilibrio, las tres fuerzas concurrentes deben sumar cero. Gráficamente, deben cerrar un triángulo de fuerzas. De las tres fuerzas, una es conocida (la carga aplicada) y las otras dos corresponden a las fuerzas de tracción o compresión que actúan sobre sus respectivas líneas de acción que corresponden a los lados del polígono funicular. Entonces el sistema se resuelve gráficamente construyendo un triángulo de fuerzas. Una vez determinadas las fuerzas internas en todos los lados del polígono, lo último será medir sus respectivas magnitudes y sintetizar los resultados ordenadamente en una tabla que indique las fuerzas internas de cada barra.

Nudos por donde pasan P 1 y P2 para la estructura funicular resuelta, cada nudo se resuelve con un triángulo de fuerzas.

En el centro está el polígono funicular resuelto, que por los puntos A, B y C del gráfico anterior y sin el trazo de los procedimientos previos.

Para simplificar el análisis estático, y como queda demostrado en la figura acompañada por el polígono funicular resuelto incluido sus reacciones, las fuerzas internas (en este caso de compresión) están resueltas dentro del polígono funicular. Nótese la congruencia de los triángulos que se forman en la solución del polígono y los triángulos de fuerzas resueltos. Entonces, cada rayo que parte desde el polo “O” representa la magnitud de la fuerza de compresión interna (o tracción en otro caso) en el correspondiente lado del polígono. Notas.-

Las fuerzas internas en los lados adyacentes a los apoyos del Polígono Funicular son iguales a las reacciones en los apoyos respectivos. En éste ejemplo, la fuerza en el lado 1 del polígono es igual a la reacción AR y la fuerza en el lado 6 del polígono es igual a la reacción BR. Con el análisis realizado, se considera que la compresión o tracción sobre determinado elemento es constante en todo su largo, es decir que cada lado del polígono funicular está sometido a una misma fuerza de tracción o compresión. Sin importar que la estructura esté traccionada o comprimida, las fuerzas internas son las más grandes en los apoyos y las más pequeñas cerca del centro de la estructura.

Entonces, ésta estructura tendría sus fuerzas internas de compresión resumidas en la siguiente tabla:

Lado Fuerza de compresión (Kg)

1 630.00

2 580.00

3 490.00

4 430.00

5 460.00

6 540.00

23



3.4. ANÁLISIS ESTÁTICO DE ARMADURAS (CERCHAS). Las armaduras, también llamadas celosías, reticulares o cerchas, son estructuras constituidas por barras rectas que combinadas entre sí, forman arreglos triangulares, el triángulo es el módulo principal de la estructura. Esencialmente funcionan como una viga muy ligera no maciza compuesta por barras gracias a su configuración modulada.

H A

V A V A

P

Tracción

Comp

resió

n Compresión

Estas estructuras funcionan esencialmente como vigas, diferenciándose en que éstas son más ligeras al ser reticuladas permitiendo gran capacidad de carga en función a su masa. De éstas estructuras se estudiarán las estructuras reticulares planas (en dos dimensiones) y que están estáticamente determinadas. Para simplificar el análisis de estas estructuras, que en la realidad son más complejas, se recurren a ciertas hipótesis que idealizan el análisis de armaduras y son las siguientes:

1. Las uniones entre barras (llamadas nudos) son articulaciones sin fricción. 2. Las barras son rectas. 3. Todas las cargas externas actúan solamente en los nudos. 4. Las barras están sometidas sólo a fuerzas normales 5. No se considera la flexión en las barras.

Representación esquemática: La intersección de dos o más barras se llama nudo. Cada apoyo se considera también como un nudo. Cada nudo determina el límite de las barras que convergen en él, como se indica en la figura, las barras rojas 1 y 2 son dos barras por separado aunque estén sobre la misma línea, al igual que las barras 4, 5 y 6.

6

2

1

3

5

1

6

2

398

5 47

4

Cordón Superior

Nudo

Cordón Inferior

Barras de relleno

Grado estático.- En estas estructuras es preciso distinguir dos grados de isostaticidad:

Grado externo.- Es el que ya se conocía para la clasificación de las estructuras, aclarando que las armaduras a estudiar también deben ser Isostáticas:

Ge = R – E – e Donde:

Ge = grado estático de la estructura R = número de reacciones, que depende del número y tipo de vínculos E = número de ecuaciones de la Estática, es 3 en estructuras bidimensionales e = número de ecuaciones especiales, cuando hay articulaciones en la estructura

La clasificación, como ya se hizo anteriormente, se da de la siguiente forma:

Si G > 0, la estructura es Hiperestática Si G = 0, la estructura es Isostática Si G < 0, la estructura es Hipoestática

Grado interno.- Para armaduras planas se debe cumplir con la siguiente condición matemática para que sea considerada como una armadura internamente Isostática:

24



Gi = b – 2n + r = 0

Donde: Gi = Grado estático interno b = número de barras

n = número de nudos r = ecuaciones de la estática + ecuaciones especiales De este modo, en el ejemplo ilustrado anteriormente, se puede ver que:

b = 9, n = 6 y r = 3 Por lo tanto: Gi = 9 – (2*6) + 3 = 0 La estructura es estáticamente determinada o también se puede decir que es una armadura Isostática. ANÁLISIS DE UNA ARMADURA. El sistema en equilibrio de las armaduras entre las fuerzas de acción y reacción (cargas y reacciones) que actúan en los nudos de la estructura, produce fuerzas normales en las barras, que pueden ser de tracción o compresión. Entonces el análisis de estas estructuras se reduce a determinar la magnitud de la fuerza de tracción o compresión a que está sometida la barra. Para esto, suponiendo que se tiene un nudo cualquiera de la estructura, se hace la siguiente definición:

Tracción

Compresión Compr

esión

Tracción

Las fuerzas que salen del nudo se consideran fuerzas de tracción. Las fuerzas que entran en el nudo se consideran fuerzas de compresión.

MÉTODOS DE ANÁLISIS. MÉTODOS GRÁFICOS MÉTODO DE LOS NUDOS.- Este método se basa en el principio del equilibrio de fuerzas concurrentes. Cada nudo representa un punto en el que concurren varias fuerzas, que pueden ser fuerzas externas (cargas sobre la estructura o reacciones de apoyo) o fuerzas internas, las cuales necesariamente deben actuar sobre el eje de sus respectivas barras. Entonces, este método sólo consiste en construir un polígono de fuerzas cerrado para cada nudo (ya que las fuerzas deben sumar cero). Esto se logra trazando primero las fuerzas conocidas y luego las líneas de acción de las fuerzas desconocidas. Para El método es sencillo pero requiere un análisis para cada nudo.

1. Resolver las reacciones de apoyo. 2. Inicialmente identificar un nudo en el que concurran dos barras (cada barra es

equivalente a una incógnita). 3. Resolver el polígono de fuerzas de dicho nudo usando una escala adecuada para

fuerzas y distancias. 4. Medir la magnitud e indicar si las fuerzas conocidas son de tracción o compresión

(recordar lo explicado respecto a las fuerzas que entran y salen del nudo). 5. Utilizar las fuerzas encontradas para resolver los nudos contiguos. 6. Repetir el procedimiento hasta que todos los nudos estén resueltos.

MÉTODO DE CREMONA.- En el método de los nudos, al efectuar en análisis de la armadura se construyen polígonos de fuerzas separados para cada nudo. Nótese que cada fuerza representativa encontrada aparece en dos polígonos de fuerza diferentes. Para evitar esta duplicación de fuerzas, los distintos polígonos pueden ser superpuestos para formar un solo diagrama conocido como diagrama de Cremona. MÉTODOS ANALÍTICOS

25



MÉTODO DE LOS NUDOS.- Básicamente, este método consiste en resolver analíticamente lo que se indicó en el método gráfico del mismo nombre. Cada nudo es por sí mismo un sistema de fuerzas concurrentes en equilibrio donde se puede aplicar la primera condición de equilibrio:

1

0n

xi

F

La suma de las componentes sobre el eje “x” de todas las fuerzas del sistema debe ser igual a cero.

1

0n

yi

F

La suma de las componentes sobre el eje “y” de todas las fuerzas del sistema debe ser igual a cero.

Este sistema de fuerzas se puede resolver siempre que se escoja como nudo se análisis uno en el que converjan sólo dos fuerzas desconocidas que son las dos incógnitas del sistema.

1. Resolver las reacciones de apoyo. 2. Inicialmente identificar un nudo en el que concurran dos barras (cada barra es

equivalente a una incógnita). 3. Como inicialmente se desconocen los sentidos de las fuerzas que son incógnitas, se

le debe asignar uno arbitrario que luego será corregido o ratificado. 4. Resolver sistema de fuerzas concurrentes de dicho nudo aplicando las ecuaciones de

la estática u otro método analítico. 5. Si con el sentido asignado arbitrariamente una fuerzas resulta ser negativa al

resolverse, significa que el sentido real es el contrario al asignado y se lo deberá corregir. Caso contrario simplemente se ratifica el resultado.

6. Utilizar las fuerzas encontradas para resolver los nudos contiguos. 7. Repetir el procedimiento hasta que todos los nudos estén resueltos.

Este método es sencillo pero tiene la desventaja de que el valor de la fuerza en una determinada barra depende del valor calculado en una barra anterior de otro nudo. Es decir que si se comete un error inicial, se acumula en todas las siguientes barras invalidando todo el análisis.

MÉTODO DE LOS MOMENTOS.- Conocido también como el “Método de Ritter” o “Método de las secciones”, este método consiste en hacer cortes imaginarios a la estructura de modo que se calculen las fuerzas en las barras que han sido cortadas por medio de la segunda condición de equilibrio:

1

0i

nFo

iM

(suma de momentos respecto a un punto O)

Al hacer el corte imaginario, quedarán seccionadas entre 2 y 4 barras de la estructura, cada barra seccionada representa una incógnita que se debe resolver (una fuerza interna). Entonces, como sólo se aplica la tercera condición de equilibrio, se debe escoger hábilmente un centro de momentos que anule todas las incógnitas menos una, es decir un centro de momentos por el que pasen dos de tres fuerzas desconocidas o tres de cuatro fuerzas desconocidas.

Las ventajas de éste método son:

El valor de la fuerza interna en una determinada barra no depende en general de otros valores previamente calculados, en consecuencia, un error inicial no afecta cálculos posteriores.

Es posible determinar la fuerza interna de una barra sin necesidad de resolver toda la armadura.

26



TEMA 4.- ANÁLISIS ESTÁTICO DE ESTRUCTURAS SOMETIDAS A FLEXIÓN

La flexión es la tendencia que presenta un elemento a arquearse como resultado de cargas aplicadas perpendicularmente a lo largo de su eje. La flexión causa que una cara del elemento se estire (esté sometido a tracción) y la otra cara se acorte (esté sometida a compresión). Entonces, la flexión provoca simultáneamente fuerzas de tracción y compresión dentro de un mismo elemento, algo que no ocurre con piezas de estructuras funiculares y estructuras reticulares. Su estudio es más complejo debido a que los efectos varían a lo largo del elemento y son básicamente de dos tipos: fuerza cortante y momentos flectores, aunque las fuerzas normales ya estudiadas también suelen estar presentes.

F1 F2 F3 F4

4. 1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES SOMETIDOS A FLEXIÓN. Casi todo elemento estructural está sometido a flexión en mayor o menor grado, pero los que más estudio merecen son las vigas, que soportan las cargas gravitatorias perpendiculares a su eje y con dirección hacia el suelo. FUERZAS INTERNAS

La flexión es un fenómeno en el que se presentan varias fuerzas internas combinadas simultáneamente. Para la explicación se considerará una viga isostática en equilibrio sometida a flexión, la cual tiene un eje longitudinal y se aplicará el razonamiento de la sección ya explicado analizando su comportamiento en una sección transversal definida n – n, que corta la barra perpendicularmente a su eje tal y como se muestra en la figura:

F1 F2 F3 F4

V A

HA

V B

n

n

Se puede observar que puesto que la viga está en equilibrio, las dos partes aisladas de la sección n – n deben estar en equilibrio, es decir que el lado izquierdo y el lado derecho están en equilibrio. Para esto se requieren fuerzas internas que contribuyan a conservar dicho equilibrio. Estas fuerzas internas son tres:

F1 F2

V A

HA

n

n

F3 F4

V B

Q QN N

M M

27



i) Fuerzas normales (N).-Las fuerzas normales son aquellas que actúan paralelas al eje longitudinal de la pieza, es decir, perpendicularmente a la sección transversal de la misma. Pueden ser de dos clases: Tracción.-Cuando las partículas tienden a separarse alargándose por efecto de las fuerzas normales; Compresión.- Si la barra tiende a acortarse o a aplastar sus partículas por efecto de las fuerzas normales.

ii) Fuerzas Tangenciales (Q).- Llamadas más comúnmente fuerzas cortantes, son aquellas que actúan paralelas a la sección adoptada, o si se quiere decirlo de otra forma, actúan perpendiculares al eje longitudinal de la pieza.

iii) Momentos flectores (M).- Como su nombre indica, no son fuerzas, si no momentos

producidos en el interior de la barra debido a las fuerzas de acción exteriores.

Las dos fuerzas internas N y Q mas el momento M, permiten el equilibrio de las dos partes de la viga. 4. 2. ANÁLISIS ESTÁTICO. El análisis estático consiste en aplicar un procedimiento para determinar todas las fuerzas internas que se presentan dentro de la estructura tras la acción de las cargas externas. En otras palabras el análisis estático es resolver el equilibrio interno de la estructura, después de resolver el equilibrio externo, por lo tanto un requisito previo para el análisis estático es la resolución de las reacciones de apoyo. Pero como ya se indicó, el fenómeno de la flexión no es constante a lo largo de la pieza, éste varía en función a la longitud y por lo tanto se debe recurrir a un medio que permita ilustrar esa variación. Esto se hace a través de los diagramas.

Diagramas.- Son gráficos que representan las variaciones de los valores de las fuerzas internas a lo largo de la pieza en función al sistema de cargas dado. Los diagramas se representan en un sistema de coordenadas rectangulares en el que el eje “x” representa el eje de la pieza y el eje “y” contiene los valores de las fuerzas internas (Normales, Cortantes o Momentos flectores).

Idealmente, se tendrían que determinar las fuerzas internas en cada punto infinitesimal de la pieza, pero eso no es necesario ya que si se determinan dichos valores en unos cuantos puntos estratégicos, es posible construir una gráfica que represente con precisión la variación de las fuerzas internas.

Para la construcción de los diagramas, se procede de la siguiente forma:

1. Resolver el equilibrio de la estructura.

2. Decidir la dirección de avance del elemento estructural, la cual puede ser desde su lado izquierdo o desde su lado derecho. También puede ser desde ambos lados a manera de comprobación.

3. De acuerdo a la dirección adoptada se definen matemáticamente las fuerzas internas: Fuerzas Normales (N).- Constituyen la suma de todas las fuerzas paralelas al eje de la viga consideradas sólo a un lado de la sección (derecho o izquierdo). Fuerzas Cortantes (Q).- Constituyen la suma de todas las fuerzas perpendiculares al eje de la viga consideradas sólo a un lado de la sección (derecho o izquierdo). Momentos Flectores (M).- Constituyen la suma de todos los momentos producidos por las fuerzas consideradas sólo a un lado de la sección (derecho o izquierdo). Para realizar estos cálculos se adopta la siguiente convención de signos:

Avance por izquierda Avance por derecha

Q QN N

M M(+) (+)

28



4. Calcular las fuerzas internas por separado en los puntos críticos o más trascendentes del elemento estructural. Estos puntos usualmente son: donde hay cambios de carga o presencia de cargas puntuales, quiebres en la estructura o inicio, cambio o fin de cargas distribuidas.

5. Se construyen a escala los diagramas M, N y Q. Es conveniente realizar una gráfica por separado para cada uno.

4.3. ANÁLISIS ESTÁTICO DE VIGAS CON CARGAS PUNTUALES El modelo más sencillo de viga es aquella que está simplemente apoyada y tiene una sola carga puntual actuando sobre su punto medio como se muestra en la figura siguiente.

El valor de la fuerza “F” es genérico, y para mayor simplicidad se está asumiendo una longitud de viga de 5.00 m. Entonces, siguiendo los pasos sugeridos se tendría:

1. Equilibrio de la estructura: Se está trabajando algebraicamente en función de la fuerza aplicada “F”, que aquí se muestra con sus componentes cartesianas.

2. Para la dirección de avance lo más común es realizar un avance desde el lado

izquierdo, ya que es la dirección de lectura y escritura acostumbrada. Entonces la sección “x” es la que separará la estructura en los lados izquierdo y derecho.

3. En este caso se debe considerar la regla de signos para el avance por izquierda: Fuerzas Normales (N).- Constituyen la suma de todas las fuerzas paralelas al eje de la viga consideradas sólo a la izquierda de la sección.

Fuerzas Cortantes (Q).- Constituyen la suma de todas las fuerzas perpendiculares al eje de la viga consideradas sólo la izquierda de la sección. Momentos Flectores (M).- Constituyen la suma de todos los momentos producidos por las fuerzas consideradas sólo a la izquierda de la sección.

4. Calcular las fuerzas internas por separado en los puntos críticos o más

trascendentes del elemento estructural. Para esto se adopta una notación similar a la utilizada en funciones matemáticas, en que un subíndice entre paréntesis indica el punto o lugar en que se hace el cálculo. Para el punto de apoyo (x = 0): N(0) = -Fx (observar el signo negativo de la fuerza normal de acuerdo a la regla

de avance pos el lado izquierdo) Q(0) = 0.5Fy M(0) = 0 (aunque hay fuerzas que actúan, sus brazos valen “0”) Para la sección x = 0.5: N(0.5) = -Fx

Q(0.5) = 0.5Fy M(0.5) = 0.5*0.5Fy = 0.25 Fy Para la sección x = 1.0: N(1.0) = -Fx Q(1.0) = 0.5Fy M(1.0) = 1.0*0.5Fy = 0.5 Fy Para la sección x = 1.5: N(1.5) = -Fx Q(1.5) = 0.5Fy M(1.5) = 1.5*0.5Fy = 0.75 Fy

29



Para la sección x = 2.0: N(2.0) = -Fx Q(2.0) = 0.5Fy M(2.0) = 2.0*0.5Fy = Fy _________________________________________________________________ Tener en cuenta para el Momento Flector.- Hasta aquí se pueden resumir las secciones en una sección general “x”, que será esencialmente igual desde 0.00 hasta 2.50 m.

Refiriéndonos sólo al momento flector: M(x) = 0.5Fy*x Esto representa analíticamente la ecuación de una recta donde la variable es “x”. De este modo es muy fácil calcular el valor del momento flector en cualquier punto del tramo reemplazado el valor de “x” por la ubicación que se desea calcular. Esto ya nos da una idea de cómo quedará el diagrama de momentos flectores. ___________________________________________________________________ Para la sección x = 2.4999…: N(2.4999) = -Fx Q(2.4999) = 0.5Fy M(2.4999) = 2.4999*0.5Fy = 1.25Fy (redondeado) Este análisis de calcular las fuerzas internas en puntos muy cercanos a x = 2.5, no es necesario realizarlo en la práctica. En este primer ejemplo sirve para mostrar que en x = 2.5 existe un quiebre, ya que justo en ese punto está la carga puntual. De modo que prácticamente hay dos valores de fuerzas internas normales y cortantes,

no así de momentos flectores. La construcción de los diagramas ilustrará de mejor manera este fenómeno Para la sección x = 2.5001: N(2.4999) = -Fx +Fx = 0 Q(2.4999) = 0.5Fy -Fy = -0.5Fy M(2.4999) = 2.4999*0.5Fy = 1.25Fy (redondeado)

Para la sección x = 3.0: N(3.0) = -Fx +Fx = 0 Q(3.0) = 0.5Fy -Fy = -0.5Fy M(3.0) = (3.0*0.5Fy) - (0.5*Fy)= Fy (ahora hay dos fuerzas que hacen momento respecto a la sección) Para la sección x = 4.0: N(4.0) = -Fx +Fx = 0 Q(4.0) = 0.5Fy -Fy = -0.5Fy M(4.0) = (4.0*0.5Fy) - (1.5*Fy)= 0.5Fy Finalmente, 0ara la sección x = 5.0: N(5.0) = -Fx +Fx = 0 Q(5.0) = 0.5Fy -Fy +0.5Fy = 0 M(5.0) = (5.0*0.5Fy) - (2.5*Fy)= 0 En esta última sección, después de recorrer toda la viga, participan todas las fuerzas del sistema, entonces deben satisfacer las condiciones de equilibrio, ya que como se demuestra, las fuerzas normales (equivalentes a las horizontales), las fuerzas cortantes (equivalentes a las verticales) y los momentos flectores suman “0”.

30



Siempre será posible comprobar estos resultados realizando un avance desde la Derecha. _________________________________________________________________ Tener en cuenta para el Momento Flector.- Para resumir las secciones correspondientes al tramo que va desde 2.50 hasta 5.00 m. se puede generalizar otra sección típica “x”:

Refiriéndonos sólo al momento flector: M(x) = 0.5Fy*x -Fy*(x-2.5) = -0.5Fy*x +2.5Fy Esto también representa analíticamente la ecuación de una recta donde la variable es “x”. Esto completará la idea de cómo quedará el diagrama de momentos flectores. ______________________________________________________________ Como se ha podido comprobar, muchas secciones tienen fuerzas internas iguales, de modo que los puntos de interés para el cálculo de las fuerzas internas en este caso sólo son tres: los apoyos y el punto de aplicación de F.

5. Se construyen a escala los diagramas M, N y Q. Es conveniente realizar una gráfica por separado para cada uno y alinearlos debajo del esquema de la viga para que se note la relación entre las cargas y los diagramas. Es importante indicar que para los diagramas de momentos flectores es muy usual, aunque no obligatorio que los valores positivos no se ubiquen arriba del eje x, si no debajo de él. Los valores negativos entonces estarán arriba de dicho eje. El uso de una escala tanto para las distancias como para las fuerzas es obligatorio.

Notas.- Cuando actúan cargas puntuales, las fuerzas internas normales y cortantes generan diagramas en líneas rectas horizontales, de modo que dichas fuerzas internas son constantes en ciertos tramos de la viga. Respecto a los momentos flectores, para un sistema de cargas puntuales, el diagrama resultante lo constituyen líneas rectas inclinadas. Una regla general dice: “El punto en que el corte vale “0”, es aquel en que el momento flector es máximo”, lo cual ocurre en x = 2.5.

31



Con el mismo procedimiento se puede desarrollar y comprobar el siguiente análisis para la misma viga pero con la fuerza “F” desplazada del centro, de modo que la estructura ya no es simétrica en las cargas y no lo será tampoco en los diagramas. Se debe notar que aunque la carga exterior es la misma, las reacciones y fuerzas internas son distintas al caso anterior.

4.4. ANÁLISIS ESTÁTICO DE VIGAS CON CARGAS DISTRIBUIDAS. El caso más simple de carga distribuida es el de una carga uniforme sobre todo el largo de la viga como se muestra en la figura. Todos los valores aquí están dados algebraicamente.

1. Equilibrio de la estructura: Se está trabajando algebraicamente en función de la

carga aplicada “q” y la longitud de la viga “l”.

2. Para la dirección de avance lo más común es realizar un avance desde el lado

izquierdo como en el ejemplo anterior. Entonces la sección “x” es la que separará la estructura en los lados izquierdo y derecho.

3. En este caso se debe considerar la regla de signos para el avance por izquierda indicada anteriormente.

4. Calcular las fuerzas internas en los puntos críticos o más trascendentes del elemento estructural. Estos puntos parecen ser sólo los apoyos, pero con un razonamiento matemático se verá cómo se simplifica el cálculo de las fuerzas cortantes y momentos flectores. Se genera una sección genérica “x”, cuya ubicación en el esquema no es importante debido a que cualquier posición no afecta el razonamiento. Al lado izquierdo de esta sección se encuentran la reacción del apoyo “A” (ql/2) y una parte de la carga distribuida que se puede calcular fácilmente como qx/2. También se conoce el punto de aplicación de la resultante de la carga distribuida “P” que está dado por la distancia x/2.

32



En general, para la sección “x”: Fuerzas Cortantes: Q(x) = ql/2 – qx Esto representa geométricamente la ecuación de una recta, para la que se calculan sus valores en los siguientes puntos: Q(0) = ql/2 – q*0 = ql/2 Q(l/2) = ql/2 – ql/2 = 0 Q(l) = ql/2 – ql = – ql/2 Momentos Flectores: M(x) = (ql/2)*x – qx*x/2 = qlx/2 – qx2/2 Esta ecuación de segundo grado representa geométricamente la ecuación de una parábola, para la que se calculan sus valores en los siguientes puntos: M(0) = (ql*0)/2 – (q*02)/2 = 0 M(l/2) = (ql*l/2)/2 – (q*(l/2)2)/2 = ql2/4 – ql2/8 = ql2/8 M(l) = (ql*l)/2 – (q*l2)/2 = ql2/2 – ql2/2 = 0 Detalle de la sección “l/2”:

5. Para la construcción de los diagramas, en el caso del diagrama de fuerzas cortantes que resulta ser una recta, sólo son necesarios dos puntos, pero adicionalmente es necesario contar con el punto en el que la fuerza cortante se hace “0”, ya que se sabe que allí será donde el momento flector es máximo. Para el diagrama de momentos flectores, se requieren por lo menos tres puntos por donde pasa la parábola, pero para la mejor graficación son necesarios algunos puntos más ya que la parábola no se construye rápidamente con instrumentos geométricos.

Como se puede ver, debido a la simetría de la estructura y de la carga distribuida, el momento flector máximo se da en el centro de la viga.

33



4.5. EVOLUCIÓN DE CARGAS PUNTUALES A CARGAS DISTRIBUIDAS. En el siguiente ejemplo se muestra una viga simplemente apoyada sometida a diferentes casos de cargas, pero sin fuerzas horizontales (de modo que no habrá fuerzas internas normales).

Las reacciones son iguales en los cuatro casos ya que la resultante de cargas es la misma en ellos (3000 Kg). Pero se puede ver cómo cambian las fuerzas internas a medida que la carga

total se va descomponiendo en cargas puntuales más pequeñas repartidas a lo largo de la viga. Las fuerzas cortantes toman una forma escalonada cada vez más menuda hasta ser una línea inclinada, mientras que los momentos flectores forman un polígono cada vez con más lados hasta generar una parábola.

También se puede observar que mientras más repartida está la carga el momento flector es más pequeño, lo cual es conveniente para la estructura ya que debe soportar menor magnitud de momento.

34



BIBLIOGRAFÍA.

MOORE Fuller, Comprensión de las Estructuras en Arquitectura, Editorial Gustavo Gili, Barcelona 1998. PARKER Harry, Mecánica y Resistencia de Materiales, Editorial Limusa, Mexico 1981. Ferninand P. Beer – E. Russell Johnston, Jr – Elliot R. Eisenberg, Mecánica Vectorial para Ingenieros, Edit. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2007. GONZÁLES Jorge, Introducción al análisis de estructuras isostáticas, Departamento de publicaciones U. M. S. S., Cochabamba 2003. MENDOZA D. Jorge, Física, teoría y problemas, Ed. Félix Maguiño M., Lima 1990.

35

estructuras isostaticas teoria(1)

Documents