análise de carregamento hidrodinâmico em estruturas flutuantes - parte ii a resposta

Setembro 2012

João Henrique VOLPINI MattosEngenheiro NavalRegional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV Software

Análise de Carregamento Hidrodinâmico em Estruturas Flutuantes

Parte II – A Resposta

Presenter

Presentation Notes

© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 2

Hidromecânica do Navio

© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados.

Graus de Liberdade de Unidade FlutuanteMOVIMENTO ÍND. DESCRIÇÃO FORÇAS E

MOMENTOSVELOCI-DADES POSIÇÃO VISUALIZAÇÃO

Avanço (surge) 1 Translação longitudinal

X u x

Deriva (sway) 2 Translação lateral

Y v y

Afundamento (heave) 3 Translação

vertical Z w z

Jogo/balanço (roll) 4

Rotação em torno do eixo longitudinal

K p ϕ

Caturro/arfagem (pitch) 5

Rotação em torno do eixo transversal

M q θ

Guinada (yaw) 6 Rotação em torno do eixo vertical

N r ψ

Slide 3


Comportamento de Unidade Flutuante em Ondas O comportamento hidromecânico afeta :

- Segurança dos passageiros, tripulantes, carga e da própriaunidade.

- Conforto dos passageiros e tripulantes.- Carregamento dinâmico sobre a estrutura da unidade

flutuante, sua carga e equipamentos.- Velocidade e consumo de combustível.- Capacidade de manobra em operações marítimas.

Slide 4

T (s)

Ace

lera

ção

(g) Intolerável

Mal estar

Imperceptível

Exemplos :- Movimentos de jogo combinado com vento lateral

podem causar ângulos de banda perigosos ou mesmoemborcamento.

- Ondas de popa de aproximadamente o mesmocomprimento do navio causam grandes ângulos dejogo.

- Acelerações transversais devidas ao efeito combinadodo jogo e deriva causam deslocamento da carga erompimento dos dispositivos que as seguram.

- Movimentos verticais de unidades de perfuraçãopodem causar avaria da coluna de perfuração.


Núm

eros

Com

plex

os


Números Complexos 1 Começaram a ser utilizados no século XVI na resolução de equações do

terceiro grau, onde se notou que os resultados levavam a raízes quadradas de números negativos. Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = x + iy

onde x e y são reais e i denota a unidade imaginária, que tem a propriedade i2=-1

O plano complexo (Diagrama de Argand) é um plano cartesiano utilizado para representar núme-ros complexos geometricamente, permitindo “algebrizar” vetores bidimensionais.

Jean-Robert ArgandMatemático suiço 1768-1822

Na forma cartesiana

e na forma polar

onde (módulo de z) 22

)sin(cos),(

yxzr

reirziyxyxz

i

+==

=+=

+==θθθ

Plano complexo ou Plano de Argand

Johann Carl Friedrich GaussMatemático e físico alemão 1777-1855


Números Complexos 2 A álgebra de números complexos permite que grandezas que variem

senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo sejam interpretados por vetores bidimensionais (fasores), sendo muito mais fácil operar com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que com funções trigonométricas.

Leonhard EulerMatemático suiço 1707-1783

Propriedades interessantes :

– Multiplicação por i envolve uma rotação de 90°

– Multiplicação por i2 envolve uma rotação de 180°

– Multiplicação por i3 envolve uma rotação de 270°

René DescartesMatemático e físico francês 1596-1650


Números Complexos 3Operações elementares Sejam z e w números complexos dados por z=(a,b)=reiθ e w =(c,d)=heiφ

então :

ϕθ ====⇔=

eoue

hrdbcawz

)()( dbibazwwz +++=+=+

)(e)()( ϕθ +=++−== irhadbcibdacwzzw

θ-ieribaz =−=

θi-222 e11

rzz

baiba

z==

+−

=

Identidade

Adição Multiplicação

Conjugado

Inverso

Oposto Real

Imaginário

Argumento

)(ibaz −−=−

θcos)Re( raz ==

θsin)Img( rbz ==

=

zaacosθ


Análise de Sinais

Fourrier&

Cia


Análise de Sinais Na análise no domínio do tempo, os sinais físicos ou séries temporais de

dados ambientais são observados ao longo do tempo. Os valores da função observada são números reais contínuous ou discretos, dependendo do modo como a observação é feita.

Na análise no domínio da frequência este dados são observados com relação à uma faixa de frequências. Esta análise também pode incluir informações do deslocamento de fase aplicada a cada frequência, mas isto normalmente é descartado.

Slide 10

Uma função pode ser convertida entre os domínios do tempo e da frequência através de um par de operadores matemáticos conhecido como transformada integral.

Medições no domínio do tempo Medições no domínio da frequência

Presenter

Presentation Notes

Transformada de Fourrier perde a informação do deslocamento de fase. Transformada de Laplace mantém esta informação.


Série de Fourier 1 Jean-Baptiste Joseph FourierMatemático francês 1768-1830

A série de Fourier é a representação de uma função periódica integrável como uma soma de funções periódicas de seno e cosseno.

Suponha uma função periódica f(t) com período T, tal que f(t+T) = f(t).

Fourier diz que f(t) pode ser representada por

onde

∑∞

=

+

=

0

2sin2cos)(n

nn TntB

TntAtf ππ

∫

∫

−

−

=

=

2

2

2

2

2sin)(2

2cos)(2

T

Tn

T

Tn

dtTnttf

TB

dtTnttf

TA

π

πPrimeiras 5 aproximações de Fourier

Onda “dente de serra”

022 ωππ== f

T

Espectro dos Coeficientes


Série de Fourier 3 Algumas expansões em série de Fourier mais comuns :

– Onda dente de serra :

– Onda quadrada :

– Onda triangular :

12− 1/𝜋�

1𝑛

sin𝑛𝜋𝑛𝐿

∞

𝑛=1

4𝜋

�1𝑛

sin𝑛𝜋𝑛𝐿

∞

𝑛=1,3,5,…

8𝜋2

�−1

𝑛−12�

𝑛2sin

𝑛𝜋𝑛𝐿

∞

𝑛=1,3,5,…

Presenter

Presentation Notes

Rodar http://www.fourier-series.com/fourierseries2/flash_programs/fourier_series_sin_cos/index.html


Série de Fourier 4 Johann Peter Gustav Lejeune DirichletMatemático alemão 1805-1859

A série de Fourier também pode ser expressa em termos exponenciais.

Pela fórmula de Euler

Então a expansão de Fourier pode ser representada por

onde

A relação entre os coeficientes de Fourier na forma trigonométrica e expo-nencial é

e Cn=

Na engenharia, particularmente quando a variável t representa o tempo, a sequência de coeficientes é chamada de representação no domínio da frequência, adotando-se a notação F[n] ou Fn ao invés de Cn, enfatizando que o domínio desta função é um conjunto discreto de frequências.

∑∞

−∞=

=n

tinnCtf 0e)( ω

( ) 021

0)(21

<+

≥−

−− niBA

niBA

nn

nn

)sin()cos( nxinxeinx +=

∫−= 2

2

0e)(1 T

Ttin

n dttfT

C ω

...,2,1)(...,2,1,0

=−==+=

−

−

nCCiBnCCA

nnn

nnn


Transformada de Fourier Paul Adrien Maurice DiracFísico britânico 1902-1984

A Série de Fourier é útil na modelagem a análise do espectro de funções periódicas, mas como fazer quando o fenômeno é não-periódico ?

A saída é permitir que T se torne infinitamente grande, e a série e os coefi-cientes de Fourier se reduzem a

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

dttfiF

diFtf

ti

ti

0

0

e)()(

e)(21)(

0

00

ω

ω

ω

ωωπ

Transformada de FourierTransformada

Inversa de Fourier

Enquanto a Série de Fourier converte uma função periódica contínua no domínio do tempo para amplitudes no domínio da frequência em frequências discretas, a Transformada de Fourier converte uma função não-periódica contínua no domínio do tempo em uma função contínua no domínio da frequência.


Transformada Discreta de Fourier

DTF (Discrete Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são cole-tadas a intervalos aleatórios. Ela avalia apenas componentes da frequên-cias suficientes para reconstruir o segmento que está sendo analizado, decompondo –a em amplitudes de diferentes frequências. DTFT (Discrete-time Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras

são coletadas a uma frequência constante.

Se quisermos encontrar o espectro de frequências de uma função que foi “sampleada”, a Transformada Contínua de Fourier não é muito útil, pois não se dispõe de uma função analítica para a função (ex.: análise de sinais sonoros, de amplitude das ondas oceânicas, etc.)

10e1

0

2

,...,N-kxXN

n

knN

i

nk ==∑−

=

−

π

amostrados valores os mrepresenta nn

nin xxX ∑

∞

−∞=

−= ωω e)(


Transformada Rápida de Fourier

O cálculo da DFT diretamente da sua definição é impraticável na maioria

dos casos por ser muito lento (proporcional a N2). Existem vários algoritmos para a FFT, sendo o mais conhecido o de

Cooley-Tukey, que divide a transformada sucessivamente em dois pedaços de tamanho N/2 (e portanto é limitado a que o número de amostras seja uma potência de 2).

A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) é um algorítmo eficiente para calcular a DFT e sua inversa.

John Wilder TukeyEstatístico americano 1915-2000

James W. CooleyMatemático americano 1926-

Este algoritmo apresenta um esforço computacional da ordem de Nlog(N).

Para uma amostra com 128 elementos, isto significa uma diferença de 60x no esforço computacional


Vibração


Idealização Sistema Massa-Mola

)()sen()( 0 tkxtFtxm −= ω

Sistema com 1 grau de liberdade

Resposta do sistema

Frequência natural de vibração mk

n =ω

Resp

osta

livre

Resp

osta

forç

ada

Forç

ak

m

Fexc(t) = F0sen(ωt)x

Slide 18

Presenter

Presentation Notes

Wn também é conhecido como w0


Força excitação

Resp

osta

livre

Resp

osta

forç

ada

Força amortecimento

Regime Regimetransiente permanente

Idealização Sistema Massa-Mola-Amortecedor Todo sistema mecânico tem algum nível de

amortecimento.

Resposta do sistema

k

c

m

xFexc(t) = F0sen(ωt)

)()()sen()( 0 tkxtxctFtxm −−= ω

amortecimentoviscoso

Slide 19


Amortecimento

Slide 20

Coeficiente de amortecimento crítico

Fator de amortecimento

Frequência natural amortecida

kmmc nc 22 == ω

ccc

=ξξ > 1 : Superamortecimento (não há oscilação) ξ = 1 : Criticamente amortecido (não há oscilação) ξ < 1 : Subamortecimento

21 ςωω −= nd

Efeito do amortecimento em vibração forçada0/ωω

kX/F

0

Efeito do amortecimento em vibração livre

ξ

ξ

ξ

ξ

2

1lnxx

=ξ

Presenter

Presentation Notes

Amortecimento crítico é a interface entre superamortecimento e subamortecimento.


Períodos Naturais de Oscilação Típicos* (s)

MODO FPSO SPAR TLP SEMIAvanço (surge) >100 >100 >100 >100

Deriva (sway) >100 >100 >100 >100

Afundamento (heave) 5 – 12 20 – 35 < 5 20 – 50

Balanço (roll) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60

Caturro (pitch) 5 – 30 50 – 90 < 5 30 – 60

Guinada (yaw) >100 >100 >100 >100

Slide 21

* Ancorados

Presenter

Presentation Notes

Uma característica comum de todos os tipos de estruturas flutuantes é que eles apresentam movimentos suaves no plano horizontal, com, com períodos de avanço, deriva e guinada maiores que 100 segundos. As diferenças fundamentais entre os tipos de flutuantes estão relacionados com as suas respostas no plano vertical, ou seja, afundamento, balanço e caturro. Estas respostas no plano vertical são decisivas para a escolha do riser e sistemas de amarração. Caturro = arfagem


Ressonância Ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude

em certas frequências, conhecido como 'frequências ressonantes'. Nessas frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia.

Slide 22

Tacoma Narrows Bridge (1940)

A Vibração do Arroz


Quiz1. Qual o período natural de vibração de um sistema massa-mola ideal no qual a

massa do corpo é de 100g e a constante da mola é de 0.274gf/mm ?

Slide 23

s1200523.022

rad/s0523.0100274.0

===Τ

===

πωπ

ω

n

n mk

2. Considerando apenas o efeito hidrostático, qual seria a frequência natural de vibração no movimento de afundamento (heave) de uma barcaça retangular oceânica com dimensões de L = 100m, B =20 m, T = 5m ?

tf/m205020100025.1

t10250520100025.1

' ===

===

xxAk

xxxVm

águadlinha

submerso

ρ

ρ

s)14(Hz0711.02477.0

2

rad/s447.0102502050

=Τ===

===

ππω

ω

nn

n

f

mk

Presenter

Presentation Notes

Resp: 1) T=120s 2) fn=0.0711Hz


Os Movimentos


Tipos de Movimentos Movimento na frequência da onda (wave-frequency motion) :

Movimento linearmente excitado na faixa de frequências de onda com energia significativa. Períodos na faixa 5-20s.

Movimento de alta frequência (high-frequency motion) : Significativo em TLPs, é devido a oscilações de ressonância em afundamento, arfagem e balanço. Os tendões das TLPs são excitados por efeitos não lineares das ondas. Períodos na faixa 2-4s.

Movimento de deriva lenta (slow-drift motion) : Aparecem em unidades flutuantes ancoradas sob o efeito de ondas e correnteza. As frequências naturais nos movimentos no plano horizontal (avanço, deriva e guinada) são bastante baixas, e amortecimento também é muito baixo, de modo que o carregamento de baixa frequência das ondas podem gerar excursões lentas mas bastante amplas.

Movimento de deriva média (mean drift) : Devido ao componente permanente de carregamento de segunda ordem de ondas, o corpo tende a se mover e alinhar na direção das ondas.

Slide 25

Presenter

Presentation Notes

Movimentos de deriva lenta e média tem períodos na faixa 20-30s.


Equação do Movimento (Corpo Rígido Flutuante)

Slide 26

( ) )(tFxCxBxAM ijijjijjijij =+++

onde Mij = massa oscilante / momento de inércia Aij = massa adicional induzida na direção i devido à aceleração em jBij = amortecimento sofrido na direção i devido à velocidade na direção j Cij = restauração na direção i devido ao deslocamento na direção j Fi = forças de excitação na direção i = deslocamento, velocidade e aceleração da embarcação na direção ji,j = 1, ... 6 denotam os 6 graus de liberdade

12

3

4 5

6

jjj xxx ,,

=

666261

161211

PPP

PPP

Pij

... que tem uma consequência na direção i

Algo

aco

ntece

na di

reçã

o j ..

.

Ex: C53 = restauração em pitch devido ao deslocamento em heave

Presenter

Presentation Notes

Atenção : Em vibração a letra C normalmente é utilizada para indicar o amortecimento, mas em hidrodinâmica é a restauração.


Matrizes da Equação do Movimento Para uma unidade tendo simetria a bombordo/estibordo, e considerando a

origem do sistema de coordenadas coincidente com o centro de flutuação :

Slide 27

=

=

=

−

−−

−

=

0000000000000000000000000000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

00000000

0000000000000000

5553

44

3533

666462

555351

464442

353331

362422

151311

666462

555351

464442

353331

362422

151311

664

5

464

CCC

CCC

BBBBBB

BBBBBB

BBBBBB

B

AAAAAA

AAAAAA

AAAAAA

A

IIIMz

IIMzM

MzMMzM

M

ijij

ij

c

c

c

c

ij


Forças Hidrodinâmicas


Tipos de Forças em um Escoamento Permanente Forças potenciais

- Devido à aceleração e desaceleração das partículas do fluido ao mudar sua trajetória.

Forças viscosas - Devido ao aparecimento da camada

limite, com cisalhamento entre as partículas do fluido.

Slide 29

FORMA FORÇAS POTENCIAIS

FORÇAS VISCOSAS

≈ 0% ≈ 100%

≈ 10% ≈ 90%

≈ 80% ≈ 20%

≈ 100% ≈ 0%


Forças Hidrodinâmicas Lineares em Ondas A teoria linear pode descrever o carregamento hidrodinâmico em estados

de mar calmo a médio (dependendo do tamanho da embarcação). A linearidade implica que o carregamento e movimentos são proporcionais

às amplitudes das ondas. A linearidade permite a superposição : os carregamentos e respostas em

mar irregular podem ser obtidos por sua combinação linear das respostas ao mar regular ou senoidal. Devido à hipótese linear, a análise pode ser executada tanto no domínio do

tempo quanto da frequência.

Slide 30

Fhid = Fexc + Frad + Frest

CargasLineares

EquaçõesLineares doMovimento

movimentoondas

Presenter

Presentation Notes

Algumas das cargas dependem da excitação causada pelas ondas, outras dependem do movimento da embarcação, e outras dependem do feedback da estrutura.


Forças Hidrodinâmicas Não Lineares Uma vez que temos um modelo linear no domínio do tempo, cargas não

lineares podem ser adicionadas pela hipótese de superposição de forças :

O modelo linear não deve ser encarado como uma limitação : na verdade ele é a base sobre a qual podemos construir modelos não-lineares baseado na hipótese da superposição de forças.

Slide 31

CargasLineares

EquaçõesLineares doMovimento

movimentoondas

CargasNão-Lineares


forças de excitação

Forças Atuantes em uma Unidade Flutuantem.a = Fexc - c.v - k.x

M.a

forças de radiação e restauração (massa

adicional, amortecimento e hidrostática)

força resultante no sistema flutuante

= Fm + Ffk + Fd – A.a – B.v – B2.v.|v| - C.xamortecimento viscoso

Slide 32


Forças de Excitação

• Ffk : Força de Froude-Krilov - Considera a pressão devido à

ação da onda não perturbada pelo corpo.

• Fd : Força de Difração - Considera a modificação da

pressão da onda devido à presença do corpo.

Forças atuantes sobre a unidade quando ela tem seu movimento restringido, ao mesmo tempo em que é sujeita à ondas incidentes. 1ª Ordem

- Forças grandes - Mesma frequência da onda - Relacionada à elevação da onda - Proporcional à amplitude da onda (linear)

2ª Ordem - Forças pequenas - Baixa frequência - Relacionadas ao grupo de ondas - Proporcional ao quadrado da amplitude da onda

• Fm : Força de Morison - Considera a parte viscosa da força.

Slide 33


Excitação : Força de Froude-KrylovÉ a força induzida pelo campo de pressões gerado pelas ondas não pertur-badas pelo corpo (o corpo é suficientemente pequeno para não influenciar as ondas).

Onde Ffk = força de Froude-Krilov Sw = área da superfície molhada do corpo flutuante p = pressão da onda não perturbada p = ρ g ekz ζa sin (ωt - kx) n = vetor normal ao corpo, apontando para a direção da água

Ffk = - p n ds∫∫Sw

Esta expressão é corrigida através de coeficientes que são determinados experimentalmente Importante quando a amplitude do movimento é grande. Em termos práticos ela pode ser aplicada quando a dimensão do corpo é

bem menor que o comprimento de onda. Se for integrada ao longo da superfície molhada instantânea do corpo, pode

ser considerada não linear.

William FroudeEngenheiro inglês 1810-1879

Alexei Nikolaievich KrylovEngenheiro naval russo 1863-1945

Integração da pressão da água ao longo da superfície molhada média do corpo

Slide 34

Presenter

Presentation Notes

Krylov ou Kriloff


Excitação : Força de DifraçãoDifração é o fenômeno que ocorre quando as on-das contornam um objeto cuja dimensão é da mes-ma ordem de grandeza do seu comprimento. A onda ao contornar um obstáculo sofre uma varia-ção na trajetória, podendo então se combinar com outras linhas de fluxo e dessa forma produzir máxi-mos e mínimos diferentes daqueles que iriam ocor-rer se o corpo não estivesse presente.

Slide 35

Como resultado a pressão da onda é modificada devido à presença do cor-po. Deve ser tratada com cuidado especialmente quando λ < 5 D. Integral da pressão ao longo do corpo,

com condições de contorno associa-das à presença do corpo e diferentes das condições para massa adicional e teoria potencial.

Gibraltar

Presenter

Presentation Notes

Na primeira figura (imagem de radar do satélite ERS 1) as ondas não são visíveis a olho nu, pois não são de superfície. Elas são o resultado de diferenças de temperatura e de salinidade entre o Oceano Atlântico e no Mediterrâneo. O intercâmbio entre essas duas massas de água de características diferentes que geram distúrbios chamados de "ondas internas", que são difratados pelo Estreito de Gibraltar.


Formulação semi-empírica para a força em um corpo submetido a um fluxo oscilatório, aplicável a corpos com dimensões muito menores que o compri-mento da onda (D < 0.05ʎ) - a onda “não sente” a estrutura.

Formulação semi empírica para a força em umum corpoum corpoum

Excitação : Força de Morison 1

Slide 36

componente inercial componente viscosa

uuCDdtduCAF dmm .....

21.. ρρ +.=

(soma de uma componente inercial em fase com a aceleração local do fluxo e uma componente viscosa de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade do fluxo)

Inicialmente desenvolvida para força de onda em cilindro vertical fixo, posteriormente ampliada para cilindro inclinado, cilindro livre, cilindro livre em correnteza, cilindro livre em ondas e cilindro livre em ondas e correnteza.

ʎ

zu(z,t)

D

d

H

Áreaseccional

Coeficientede massaadicional Diâmetro

Coeficientede arrasto

Força horizontal por unidade de comprimento

Presenter

Presentation Notes

DNV-RP-C205 Environmental Conditions and Environmental Loads fornece os coeficientes para uma grande variedade de geometrias.


Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem, jaquetas, pilares, pernas de jackups, bracings, etc. Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem,de ancoragem,ancoragem,ancoragem,

Excitação : Força de Morison 2

Fatores que afetam Cm e Cd

- Número de Reynolds (para escoamento com velocidade constante) : Re = v.D / ν- Número de Keulegan-Carpenter (para escoamento oscilatório) : KC = vm.T / D- Rugosidade : ∆ = k / DOnde D = diâmetro [m]

T = período da onda ou de oscilação [s] k = altura da rugosidade [m] v = velocidade total do escoamento [m/s] ν = viscosidade cinemática do fluido [m2/s] vm = velocidade orbital máxima da partícula [m/s]

- Efeitos de parede - Vibração induzida por vórtices (VIV) - Comprimento finito - Distância à superfície livre - Efeito de sombra - Forma da seção transversal

Slide 37

Presenter

Presentation Notes

Keulengan-Caroenter descreve a impoirtância das forças de inércia (potenciais) sobre a forças de arrasto (viscosas) em um movimento oscilatório do fluido.


Quiz Em um cilindro vertical com massa desprezível, diâmetro D=1m e compri-

mento submerso L=5m, em água salgada, em movimento oscilatório com amplitude de ζ=1m e período de T=10s, qual é a força medida no topo ? Considere Cd=1 e Cm=2.

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LuuCDdtduCAF dm

+.= .....

21.. ρρ 𝜔 = 2𝜋

𝑇= 0.628

𝐴 = 𝜋𝐷2/4 =0.785

𝑢 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

= ζ.cos(𝜔t) 𝑑𝑑𝑑𝑑

= -ζ.sin(𝜔t)x=ζ.sin(𝜔t)

)628.0cos()628.0cos(563.2)628.0sin(04.8 tttF +−=

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10


Regimes de Forças das Ondas

Slide 39

10510.50.10.050.010,01

0.05

0.1

0.5

1

5

10

50

VI

V

IIIIV

II

GRANDE ARRASTO

INÉRCIA E ARRASTO

POUCO ARRASTO

GRANDE INÉRCIA

ARRASTO DESPREZÍVEL

DIFRAÇÃODESPREZÍVEL

TOTALMENTE INERCIALREGIÃO DEDIFRAÇÃO

DEEP WATERBREAKING WAVECURVE

I

00 ≠≠ dm CC

0=dC

λπ D

DH

Regiões I e II- Sem separação apreciável do escoa-

mento, efeitos viscosos confinados à camada limite, solução do problema via teoria potencial.

- Em I ignore a difração, aproximação de FK pode ser utilizada.

- Em II considere os efeitos de difração da onda.

Regiões III e IV- Algum arrasto, porém inércia é mais

importante. - Em III ignore a difração.

Região V Efeitos viscosos e potenciais importan-

tes. Utilize Morrison.


Forças de Radiação e Restauração

A.a : Massa adicional - Proporcional à aceleração do corpo.

B.v : Amortecimento potencial - Proporcional à velocidade do corpo.

B2.v.|v| : Amortecimento viscoso - Proporcional ao quadrado da velocidade

C.x : Forças de restauração hidrostática - Proporcional ao deslocamento da embarcação em relação à sua posição original

Slide 40

Forças de inércia potenciais

Forças atuantes sobre a unidade quando ela é forçada a oscilar em águas tranquilas.


Forças Potenciais de RadiaçãoAs forças de radiação aparecem devido ao movimento da embarcação : a mudança no momento do fluido devido ao movimento do casco altera a distribuição de pressões ao longo do casco, induzindo as ondas.

Estas forças tem duas componentes : - Proporcional às acelerações - Proporcional às velocidades

Slide 41


O Problema a Ser Resolvido

corpo em movimentoonda incidente

onda irradiada e refratada

Conservação da massa Equações de campo dentro do fluido

Conservação do momento Equações do movimento do corpo

Condições de contorno

Hipótese básica : fluido invíscido

Equações :

Slide 42

U

Presenter

Presentation Notes

Invíscido = sem viscosidade


Equação da Continuidade (Conservação da Massa)

Equação geral de Navier-Stokes : 01=•∇+ v

DtD ρ

ρ

Hipótese 1: Fluido incompressível

0

0

=•∇

=

v

DtD

ρ

Hipótese 2 : Movimento irrotacional ϕ∇=

=×∇

v

v

0

Hipóteses 1 e 2 dão a seguinte equação do domínio do fluido :

( ) 0,,,2 =∇ tzyxϕ

A densidade é constante.

O divergente de velocidades é nulo.(água que entra = água que sai)

O rotacional de velocidades é nulo.

A velocidade pode ser expressa como ogradiente de uma função potencial.

O Laplaciano do campo de potencial develocidades é nulo.

então

então

A variação da massa em umvolume infinitesimal é igualà massa que nele entra menosa massa que sai.

Slide 43

Presenter

Presentation Notes

Dro/Dt = derivada total. Ro é função de várias variáveis (x,y,z,t) que por sua vez são funções de uma única variável t (ao seguirmos uma linha de fluxo)


Condições de Contorno No leito do oceano (z = -h) : 0=

∂∂

=n

vnϕ

radϕϕ =

nVn=

∂∂ϕ

Slide 44

No infinito :

No corpo :

Na superfície livre (z = 0) :

– Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na superfície livre lá permanece.

– Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo.

A velocidade do fluido normal ao fundo é nula.

A onda não sofre perturbação no infinito.

A velocidade normal do fluido se igualaa velocidade normal do corpo.

0.2

=∂∂

+∂∂

zg

zϕϕ


Cálculo das Forças de Radiação Forças e momentos são obtidos integrando a pressão sobre a superfície

molhada média Sw

45

( )

( )

=×

∂∂

−

=

∂∂

−

−∫∫

∫∫

4,5,6i

1,2,3i

dsnrt

dsnt

iS

rad

iS

rad

irad

w

w

.

.

3

,ϕ

ϕ

τ

12

3

4 5

6

força ou momento

Slide 45


Forças de Radiação para Movimento RegularSe o movimento da embarcação na direção i for harmônico podendo ser des-crito por :

Então, após integrar a pressão sobre a superfície do casco, as forças de ra-diação na direção j devido ao movimento na direção i tomam a seguinte for-ma :

Os coeficientes que multiplicam às acelerações são chamados de coeficientes de massa adicional, embora nem todos tenham unidade de massa (alguns são inércia). Os termos de massa adicional nos dão as forças devido às acelerações do fluido a medida em que a embarcação oscila.

Os coeficientes proporcionais às velocidades são chamados de coeficientes de amortecimento potencial, e representam a energia transportada para longe com as ondas geradas pelo movimento do casco.

Slide 46

( )ti ωξξ cos=

( ) ( ) iijiijjrad BA ξωξωτ −−=,


Massa Adicional e Amortecimento 1

A.a : Massa adicional - O movimento do corpo em aceleração irá mover

algum volume do fluido.

B.v : Amortecimento potencial - Energia transportada para longe devido às ondas

geradas pelo movimento do corpo.

Slide 47

Mesmo na ausência de on-da incidente, um corpo em movimento cria ondas e portanto, forças de inércia potenciais.

Relembrando, devido ao aumento movimento forçado do corpo, teremos :

Os coeficientes de massa adicional e amortecimento dependem da : - Forma da embarcação - Velocidade de avanço - Profundidade da água

Massa adicional e amortecimento em afundamento para barcaça retangular simétrica


Massa Adicional e Amortecimento 2

Slide 48

As matrizes de massa adicional e amortecimento têm dimensões 6 x 6, por-tanto temos 36 coeficientes de massa adicional e 36 de amortecimento a serem calculados.

Se a estrutura não tem velocidade de avanço (ou sua velocidade é longitu-dinal), e tem um plano de simetria longitudinal, metade dos coeficientes é nulo.

Se a estrutura tem velocidade nula e não há correnteza, as matrizes de massa adicional e amortecimento são simétricas.

( ) ( )

( ) ( )ωω

ωω

jiij

jiij

BB

AA

=

=


Forças de Amortecimento Viscoso Em um fluido real, a fricção também causa amortecimento, vórtices e o

fenômeno da separação da camada limite.

B2.v.|v| : Amortecimento viscoso - Importante quando a amplitude do movimento é grande. - Devido à geração de vórtices e fricção. - Proporcional ao quadrado da velocidade.

Slide 49


Forças de Restauração C.x : Forças de restauração

- Em um contexto físico, forças de restauração são forças variáveis que tentam levar um sistema perturbado de volta ao seu equilíbrio.

- As forças são proporcionais ao deslocamento do corpo em torno do seu equilíbrio. - Forças hidrostáticas - Linhas de ancoragem - Risers e umbilicais - Cabos de reboque - Mangotes de transferência - Etc.

Algumas forças de restauração podem ser idealizadas de modo diferente : - Leme - Estabilizadores ativos - Impelidores laterais

Slide 50

para pequenos deslocamentos


Propriedades Hidrostáticas do Casco

Slide 51

x

y

dx

F

y

x

Área da linha d’água

Volume de deslocamento da embarcação

Centro de flutuação F (centro de flutuação) :

Momento de inércia longitudinal

Momento de inércia transversal

Raios metacêntricos

∫= dxyAwl .2

wlF A

dxyxx ∫= ..

∫= dxyxIL ..2 2

∫= dxyIT3

32

∇=∇= TTLL IBMIBM

LCCentro de carena

Centro de gravidade

Metacentro

∇


Forças de Restauração Hidrostáticas Não há restauração no plano horizontal.

- C33 : Restauração do heave devido ao heave

- C35 : Restauração do heave devido ao pitch

- C44 : Restauração do roll devido ao roll

- C53 : Restauração do pitch devido ao heave

- C55 : Restauração do pitch devido ao pitch

Slide 52

M

wlgAC ρ=33

GMgC ∇= ρ44

LGMgC ∇= ρ55

wlF AgxC ρ=35

3553 CC −=


Quiz

Slide 53

Avalie os períodos naturais de uma semi-submersível com as seguintes caracterís-ticas :• 6 colunas cilíndricas (3 por bordo) com 10m de diâmetro• 2 pontões retangulares com 15m largura, 6m altura e 90m comprimento• Calado 21m• GMT=GML=1.5m• Raio de giração x = y = 15m• Cmad22=0.7. Cmad44=Cmad55=0.3• K33=ρgAwl• K44=ΔgGM


T

Slide 54

Determinando a Resposta

Teste de Modelo em Peersless Pool (Londres – 1761)


Teoria da Radiação-Refração As partes estruturais tem dimensões comparáveis ao comprimento da

onda (grandes volumes).

Efeitos viscosos são negligenciados.

É incluída a distorção nas ondas devido à presença da estrutura.

São criadas ondas devido ao movimento da estrutura.

Teoria linear.

Slide 55

John Nicholas NewmanEngenheiro naval americano 1935-


Teoria Linear Assume que a amplitude da onda é “pequena”.

Expande todas as condições de superfície livre em torno no nível médio do mar e mantém somente os termos proporcionais à amplitude da onda.

O movimento da estrutura é da mesma ordem de grandeza da amplitude da onda.

Expande todas as condições da estrutura em torno de sua posição média e mantém somente os termos proporcionais ao movimento da embarcação.

⇒ A grade computacional (modelo de painéis) é a mesma o tempo todo.

Slide 56

Modelo linear – vista superior Modelo linear – vista inferior Modelo não-linear – vista inferior


Análise no Domínio da Frequência As cargas induzidas por um mar irregular podem ser obtidas por

superposição linear de componentes regulares.

Assumindo um regime permanente, com todos os efeitos transientes negligenciados, as cargas e a resposta dinâmica da estrutura está oscilando harmonicamente com a mesma frequência de encontro das ondas incidentes.

Este tipo de análise é conhecida como “análise no domínio da frequência”, e os resultados são apresentados em função da frequência de encontro.

Slide 57

S(f)

f f f

RAO

(f) 2 Z(

f)


Operador de Amplitude de Resposta 1O RAO (Response Amplitude Operator), também conhecido como Função de Transferência, é um conjunto de estatísticas da unidade flutuante, normalmente calculados para todos os seus movimentos, em todas as direções e frequências de onda ω.

Efetivamente é utilizado para determinar o efeito que um determinado estado de mar acarretará sobre o movimento da unidade.

RAO só tem sentido se assumirmos que os movimentos da unidade são lineares, ou seja, proporcionais à altura da onda, e que o princípio da superposição funciona.

Pode ser obtido de : - Predições numéricas (software) - Experimentos em tanques de prova

Slide 58


Operador de Amplitude de Resposta 2 Se considerarmos a equação do movimento

então

RAO é a resposta à onda unitária como função do período de onda e sua direção.

Slide 59

[ ] )()()( ωωω FCxxBxAM =+++

ωωωωζω

)()]([)RAO( 2

0

iBAMCFx

a ++−==

RAO Entrada : MAR Saída : MOVIMENTO X 2


Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes para avaliar as acelerações e movimentos em um ponto da embarcação.

Exemplo : a aceleração vertical em um ponto do bordo da embarcação depende da conjugação dos movimentos de heave, pitch e roll.

Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes

Operador de Amplitude de Resposta 3

Slide 60

Está difícil embarcar na

baleeira ! Precisamos também dos ângulos de fase das respostas de modo a combiná-las adequada-mente.

A função de transferência RAO é mais facilmente tratada como uma variável complexa

Entrada

Saída

CRi iFFeFH +== ),(),(),( βωδβωβω

)Re()cos( tiet ωω =

)),(Re( tieH ωβω

Presenter

Presentation Notes

Se d é positivo a resposta atinge seu pico após onda.


RAOs de Forças e Movimentos 1

Slide 61

RAO de Carregamento

RAO de Carregamento para Movimento

RAO de Movimento

( )tiς( )tς

( )tς ( )tiς

MovimentoElevação da superfície do mar

Combinação

excτ


RAOs de Forças e Movimentos 2

Slide 62

RAOs de forças são representados por F(j,ω). RAOs de movimentos são representados por H(j,ω).

RAOs de forças sobre barcaça.

RAOs de movimentos sobre barcaça.


RAO de Forças Para uma onda regular

as forças lineares de excitação serão :

A amplitude e fase das forças de excitação dependem de : - Ângulo de encontro (frequência das ondas, velocidade da embarcação, ângulo de

aproamento relativo às ondas) - Amplitude das ondas - Velocidade de avanço

Slide 63

( )ςϕωςς += ti cos

( ) ( )[ ]ωϕωωττ τiiiexc t += cos,


Frequência de Encontro

Slide 64

( )

βωωω

βλπω

βλλβ

cos

cos2cosencontroderelativavelocidade

cosencontroderelativavelocidade

2

Ug

Uc

UcT

Uc

e

e

e

−=

−=

−==

−=

em águas profundas

Quando estudamos o comportamento de embarcações é importante considerar a frequência no qual ela encontra as ondas fe. Esta frequência depende da velocidade das ondas c, da velocidade da embarcação U e da direção das ondas em relação à embarcação β.

β

c

Uc

λ

βλ

cos

Portanto, frequência de encontro é a frequência das ondas experimentada pelo navio.

Johann Cristian Andreas DopplerFísico austríaco 1803-1853


Espectro de Encontro

Slide 65

βωωω

ωωωω

ωωωω

cos21

)()(

)()(

)()(00

gU

SS

ddSS

dSdS

e

ee

ee

−=

=

=∫∫∞∞

em águas profundas

ω [rad/s]

Do ponto de vista da embarcação, o espectro da onda é transformado quando ela se encontra em movimento. Entretanto, a energia total do oceano deve ser constante, seja visto de um observador estacionário ou um que esteja se movendo.


Outros Efeitos da Velocidade de Avanço Afundamento

Mudança no trim

Queda da pressão no corpo paralelo

Slide 66

Ernest Oliver TuckMatemático australiano 1939-2009

Sem velocidade de avanço

Velocidade de avanço 13 nós

RAO Heave PSV


Recomendações para Análise no Domínio da Frequência Para uma análise no domínio da frequência pelo menos 30 frequências

devem ser analisadas.

Um espaçamento entre frequências não maior que ζω0 deve ser utilizada

Na região da ressonância um menor espaçamento ainda deve ser utilizado.

Slide 67


Carregamento Não-Linear de Ondas Existem alguns problemas relacionados à interação ondas-estrutura que

não podem ser descritos unicamente pela teoria linear.

Os problemas não lineares tentam descrever mais precisamente as condições na superfície livre e no corpo em valores instantâneos ao invés de valores médios.

Um modo conveniente de resolver este tipo de problema é utilizando a análise de perturbação.

Na teoria de segunda ordem os problemas são resolvidos até a segunda ordem da amplitude da onda incidente, ou seja, termos potenciais e de pressão proporcionais à amplitude e ao quadrado da amplitude da onda são considerados.

Os efeitos do carregamento de segunda ordem são importantes para estruturas que são mantidas em posição através de linhas de ancoragem ou sistemas de DP, ou para embarcações que sigam trajetórias definidas.

Slide 68


Efeitos Não-Lineares de Onda Forças de deriva média : Determina a posição de equilíbrio de sistemas na-

corados (juntamente com o efeito de vento e correnteza). São importantes no projeto de linhas de ancoragem e sistemas de posicionamento dinâmi-co.

Forças de deriva lenta : Estas forças tem frequências muito menores que a frequência de elevação das ondas. Elas podem excitar modos de resso-nância na posição horizontal da embarcação, com períodos típicos de 1 a 2 minutos.

Forças de alta frequência : Estas forças tem componentes em frequências superiores à frequência das ondas, podendo excitar modos de ressonância na estrutura, com períodos de 2 a 4 segundos.

Slide 69

Tempo

Força Componente de baixa frequência

Componente de alta frequênciaComponente médio

Presenter

Presentation Notes

Forças de alta frequência não são importantes para o movimento da embarcação.


Evidências do Carregamento Não-Linear 1 Uma maneira simples de evidenciar os efeitos de segunda ordem no

problema é olhando o termo quadrático na equação de Bernoulli :

então

Considere o caso onde

então

Slide 70

Ct

p =∇∇++ φφρδδφρ .2

1

23

22

21. VVV ++=∇∇ φφ

23

22

21. VVV ++=∇∇ φφ

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]tAAtAA

tAtA

AAV

21212121

2

22

1

21

22

212

1

coscos

2cos2

2cos2

22

ωωωω

ωω

++−+

++

+= Componente médioComponentes de variação rápida

Componente de variação lenta

Presenter

Presentation Notes

Esta formulação indica que há a presença de componentes de pressão de segunda ordem.


Evidências do Carregamento Não-Linear 2 Ancoragem em SPM de petroleiro 200.000 TDW

Em mar irregular as forças de deriva contémcomponentes com frequências coincidindocom a frequência natural dos movimentos ho-rizontais de navios ancorados. Como o amor-tecimento destes movimentos é pequeno,sua amplitude tende a ser grande.

Slide 71

Presenter

Presentation Notes

Source : Pinkster 1979


Análise no Domínio do Tempo Se o sistema é linear, de modo que seu comportamento seja linearmente

dependente do seu deslocamento, velocidade e aceleração, então seu comportamento pode ser estudado no domínio da frequência.

Entretanto, há casos mais complicados que violam estas hipóteses linea-res, tais como amortecimento viscoso, forças e momentos devido à cor-renteza, vento, ancoragem, sem mencionar os efeitos de segunda ordem das ondas.

Nestes casos, o princípio da super-posição não se aplica, e somos for-çados a solucionar as equações do movimento em função do tempo.

É importante para predição de car-gas extremas, slamming, slow drift, ringing e análise acoplada.

Slide 72


Massa Adicional Em fluidodinâmica, massa adicional ou massa virtual é a inércia adicionada

ao sistema pois um corpo acelerando movimenta algum volume de fluido a medida em que se move.

Por simplicidade ela é modelada como algum volume do fluido se movendo com o corpo, mas na realidade “todo” o fluido é acelerado em vários graus.

O coeficiente de massa adicional é a massa adicional dividida pelo volume do fluido deslocado.

Para embarcações, a massa adicional pode facilmente atingir de 25 a 35% da massa da embarcação, representando uma inércia significativa.

Slide 74


Método das Faixas (Teoria Potencial 2D) Para corpos esbeltos o movimento do fluido pode ser formulado como um

problema 2D, onde a variação do fluxo no plano trasversal da embarcação é muito maior que a variação na sua direção longitudinal.

O princípio da teoria das faixas envolve a divisão da parte submersa do corpo em um número de fatias definido. Então, os coeficientes para massa adicional podem ser calculados para cada fatia e então integrados ao longo do comprimento do corpo para obter os coeficientes 3D.

Slide 75

Como calcular os coeficientes para uma seção transversal de um casco real ?

Plano de Balisas Cargueiro Convencional – Série BSRA

Odd Magnus FaltisenMatemático norueguês 1944-

Presenter

Presentation Notes

Salvesen, Tuck e Faltinsen


Transformação Conforme 1

Ela envolve uma função de transformação utilizando nú-meros complexos, que preserva os ângulos e formas locais infinitesimais.

Slide 76

utilizando nú-

É uma técnica matemática usada para relacionar o escoamento conhecido de um fluido (seja matematicamente ou experimentalmente) em torno de uma forma conhecida com o escoamento em torno de outra forma a qual se quer analisar.

+++++++=+= −13

4232

10 ... nnaaaaaaizyX

ζζζζζ


Primeira aproximação (Lewis 1929) - A transformação era aproximada por dois coeficientes da seção : a proporção en-

tre a meia boca e o calado e o coeficiente de área da seção.

Aproximações atuais - Outras formulações para as seções, onde centróides da área e momentos de vá-

rias ordens são utilizados.

Vantagens e desvantagens : - Soluções suaves em toda a faixa de frequência, sem irregularidades. - Cantos vivos não são bem representados. - Seções com coeficiente de área seccional muito baixa não são bem representa-

dos. - Não trata áreas seccionais totalmente submersas, como proa bulbosa.

Primeira aproximação (Lewis 1929)

Transformação Conforme 2

ss

ss

s

s

TBATBH

=

=

σ

0Bs /2

Ts

As

seção real seções de Lewis

Johan M. J. JourneéEngenheiro naval holandês 1941-

Slide 77


Método dos Painéis (Teoria Potencial 3D) É um método numérico para o cálculo do escoamento potencial em torno

de um corpo, onde o potencial de velocidades é representado por uma distribuição de singularidades (fontes-dipolos) sobre a superfície molhada do corpo.

Originalmente desenvolvido para quando não havia velocidade de avanço, posteriormente foi aperfeiçoado distribuindo-se fontes de Rankine sobre a superfície do corpo e a superfície livre do fluido.

O métodos dos painéis divide a superfície do navio e do fluido ao redor em elementos discretos (painéis). Em cada um destes elementos uma distribuição de fontes e sumidouros é definida, satisfazendo a equação de Laplace.

Slide 78

William John Macqueorn RankineEngenheiro escocês 1820-1872


Recomendações DNV RP-C205 Sobre os Painéis O comprimento da diagonal dos painéis deve ser menor que 1/6 do menor

comprimento de onda analisado (1/8 segundo Faltisen). Uma malha mais densa deve ser aplicada em áreas com mudanças

bruscas de geometria (cantos vivos). Quando modelando estruturas finas de paredes com água em ambos os

lados o tamanho do painel não deve exceder 3 a 4 vezes a espessura da parede. Uma malha mais densa deve ser aplicada na região da linha d’água

quando calculando forças de deriva de ondas. Devem ser realizados testes de convergência através do aumento

progressivo do número de painéis. No cálculo de elevação da superfície da água e velocidades do fluido uma

malha mais densa, da ordem de 1/10 do menor comprimento de onda, deve ser utilizada.

Slide 79


Cuidados Adicionais Interação entre vários corpos (por ex., FPSO e

aliviador lado a lado).

Águas rasas ou restritas (aumento da massa adicional e efeitos de difração não lineares).

Efeitos do moonpool. Dependendo das suas dimensões, o RAO de heave pode ser fortemente influenciado pelo movimento do fluido dentro do moonpool.

Sloshing nos tanques. Dependendo dos movimentos do corpo na ressonância e da oscilação do fluido nos tanques, pressões de amplificação dinâmica nas paredes do fluido podem ocorrer.

Slide 80

Thor I. FossenEngenheiro naval norueguês 1963-


Bibliografia Recomendada F. M. Lewis. (1929) “The Inertia of Water Surrounding a Vibrating Ship”,

Transactions, SNAME.

Faltinsen, O.M. (1990) “Sea Loads on Ships and Offshore Structures”, Cambridge University Press, Cambridge, UK

Newman, J.N. (1977) “Marine Hydrodynamics”, MIT Press, Cambridge, MA, USA

Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand Reinhold Company, New York, USA

Jensen, J.J. (2001) “Load and Global Response of Ships”, Elsevier Science Ltd., Oxford, UK

Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, Southampton, UK

Fossen, T.I. (1994) “Guindance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons, Chichester, England

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?João Henrique Volpini MattosEngenheiro NavalDNV Software - Maritime & Offshore SolutionsRegional Sales Manager – South America [email protected] +55 21 3722 7337 +55 21 8132 8927

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