estatística - curva de gauss

8/2/2019 Estatstica - curva de gauss

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Albertazzi.Variveis Aleatrias Contnuas. (3.1)

3Distribuio e Densidade de Probabilidade


2/41


variveis aleatrias

So funes definidas sobre os elementos de um espaoamostral ex: soma de dois dados, cotao do Dollar, precipitao diria de

chuva em uma cidade, limite de resistncia de uma pea, etc

Podem ser discretas

contnuas

Conveno: variveis aleatrias: X,Y, ... (letras maisculas) valores possveis das variveis aleatrias: x, y, ... (minsculas)


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variveis aleatrias discretas

A funo que atribui a probabilidade a cada valor possvel deuma varivel aleatria discreta denominada distribuio deprobabilidade

f(x) = P(X = x)

exemplo: dado honesto: f(x) = 1/6, para x=1, 2, 3, 4, 5 ou 6

como seria f(x) para a soma de dois dados?

Propriedades:

0)( xf Xtodos

xf 1)(


4/41


funo distribuio (acumulada)

A funo distribuio acumulada de uma varivel aleatria Xassocia a cada valor possvel de X a probabilidade destevalor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)

F(x) = P(X x)

exemplo:

x

f(x)

1

0,50

2 3 4 5

0,25

x

F(x)

1

1,00

2 3 4 5

0,50


5/41


mdia e varincia de uma distribuiocalculada a partir de sua distribuio de

probabilidades

Mdia (ou valor esperado)

Varincia

xtodos

xExfx )()(.

xtodos xfx )(.)(22


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Assumem valores reais

f(x) = funo densidade

de probabilidade

a bx

f(x)

b

a

dxxfbXaP )()(0)( xXP

variveis aleatrias contnuas


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variveis aleatrias contnuas

Propriedades:

a bx

f(x)

)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP

xxf ,0)(

1)( dxxf


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funo probabilidade acumulada

A funo probabilidade acumulada de uma varivel aleatria Xassocia a cada valor possvel de X a probabilidade deste valor sermenor ou igual a x. Denota-se F(x)

x

dfxXPxF )()()(

)()(

xfdx

xFd

)()()( aFbFbXaP

a bx

f(x)

a bx

F(x)1,00

F(b)

F(a)


9/41


mdia e varincia de uma VA contnua

Mdia (ou valor esperado)

)()( xEdxxfx

2222 )()()( dxxfxdxxfx

Varincia


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Distribuio de probabilidade uniforme ouretangular

1 2 3 4 5 6

probabilidade

1/6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6

Valores

Probabilidade(1/6)

Lanamento de um dado


11/41


Distribuio de probabilidade triangular

1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0

probabilidade (1/36)

2

4

6

Mdia de dois dados


12/41


Distribuio de probabilidade triangular

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Mdia de 2 dados

Probabilida

de

(1/36)


13/41


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Proba

bilidade

(1/6)

Lanamento de um dado


14/41


0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

M di a d e 2 d a do s

P

robab

ilidade

(1/36)

Mdia de dois dados


15/41


0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Probab

ilid

ade

(1/216)

Mdia de trs dados


16/41


0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Pro

babi

lidade

(1/1296)

Mdia de quatro dados


17/41


0

5 0 0

100 0

150 0

200 0

250 0

300 0

350 0

400 0

450 0

500 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Probabilidade(

1/46656)

Mdia de seis dados


18/41


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 1 2 3 4 5 6 7

Mdia de 8 dados

Probabilid

ade

(1/1679616)

Mdia de oito dados


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Curva normal

pontos de inflexo

assntotaassntota

mdia

desvio padro


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distribuio normal (ou gaussiana)

Observada no sculo XVIII: curva normal de erros

xexf

x2

2

2

)(

2

1)(

- +

f(x) Ponto deinflexo


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distribuio normal (ou gaussiana)

x

dexF

2

2

2

)(

2

1)(

Funo probabilidade acumulada:

No pode ser integrada de forma explcita.

calculada numericamente e tabelada.Problema:

para cada valor de e seria necessria uma tabela diferente!

Soluo: distribuio normal padronizada.


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= 2

= 0

= 1

= 0

= 2

= 3

3 XY

2

3X

Z

X

30

f(x)

30

f(y)

30

f(z)

varivel distribuio


23/41


distribuio normal padronizada

Mudana de varivel para que = 0 e 2

= 1

XZ

z

dezF

2/2

2

1

)(

zezfz2

2

2

1)(

F(z) tabelado


24/41


)(1)( zFzF

1 - F(z)

z

propriedade para uso da tabela:

F(-z)

F(-z) = ?

0-z


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exemplo:

Calcule a probabilidade de um VA com distribuio normal com = 3 e = 2 apresentar valores entre 2 e 5.

= 2

= 3

30 2 5

50,02

322

z

)()( 25 zFzFP

00,1235

5 z

)50,0(1)50,0( FF

0.53280.6915]-[1-0.8413)]50,0(1[)00,1( FFP


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distribuio uniforme

contrriocaso

xxf

,0

,,1

)(

ex: erro de arredondamento de um mostrador digital

2

2212

1

f(x)

1


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distribuio triangular

efeito do arredondamento na diferena entre duas indicaesdigitais

f(x)

2

2224

1

2


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valor esperado

Definio: o valor esperado (ou esperana ou valor mdio)de uma funo de uma varivel aleatria (VA) dado por:

dxxfxgxgE )()()]([


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propriedades do valor esperado

caso particular: g(X) = X

xXE )(

22

)(])[( xx XVarXE

caso particular 2: g(X) = (X - x)2


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bXEabaXE )()(

)()(2

XVarabaXVar

outros casos de interesse:

ba XbaX

222XbaX a

propriedades do valor esperado


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propriedades do valor esperado e varincia

Seja X1, X2, ... , Xk VA com mdia Xi

k

i

Xikk

kk

iaXEaXEaXEa

XaXaXaE

1

2211

2211

)(...)()(

)...(

Exemplo:

32132132

32 XXXXXX


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Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com varincia 2

Xi

k

i

xiikk

kk

aXVaraXVaraXVara

XaXaXaVar

1

222

2

2

21

2

1

2211

)(...)()(

)...(

Exemplos:2222

32 32132194 XXXXXX

22

2121 XXXX

22

2121 XXXX


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Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com varincia 2

Xi

)(...)()(

)],...,,([

2

2

2

2

1

2

1

21

k

k

k

XVar

X

gXVar

X

gXVar

X

g

XXXgVar

2

2

2

2

12

2

2

2/ 2121

1 XXXXXX

X

Exemplo:


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Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes, todas com mdia e var. 2

k

k

kkk

kkkkXXEXEXEXE

111

12

11

1

...

)(...)()()(

kkkk

k XXXk

XXXX 12

11

121 ......

k

XVarXVarXVarXVar

k

k

kkk

kkkkX

2

2212121

12

11

12

2222

222

...

)(...)()()(

kX


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covarincia

Definio: covarincia entre X1 e X2

21

2121

.).(

)])([(),cov(

21

2121

XX

XXXX

XXE

XXEXX

X1

X2

021XX

X1

X2

021XX

X1

X2

021XX

X2

021XX

X1


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correlao

Quando dividida pelos respectivos desvios-padro de cadavarivel, a covarincia normalizada e recebe o nome deCoeficiente de correlao

21

21

21 .)().(

),cov(

21

21

XX

XX

XXXVarXVar

XX

1121

XX


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correlao

Se X1 e X2 so VA independentes, ento X1X2 = X1X2 = 0

k

j

jiji

ji

kk

kk

XXaaXVara

XVaraXVaraXaXaXaVar

2

2

2

2

21

2

12211

),cov(2)(

...)()()...(

Se X1, X2, ... , Xk so dependentes, ento:

X1X2 = X1X2 = 0


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verificao de normalidade

Uma distribuio normal?Escores normais: conjunto de n valores que dividem a distribuionormal idealizada em n+1faixas com igual probabilidade e

organizados em ordem crescente

exemplo: n=4

0,2 0,20,20,20,2

-0,84 -0,25 0,25 0,84

F(-0,84) = 0,20

F(-0,25) = 0,40

F(0,25) = 0,60

F(0,84) = 0,80


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Roteiro:1 - Calcule e a partir dos dados experimentais2 - Ordene os dados de forma crescente

3 - Obtenha os escores normais sendo n o nmero de dadosexperimentais

4 - Plote o i-simo valor experimental versus o i-simo escore normal

5 - Se o grfico resultante se aproxima de uma reta esse indica que adistribuio dos dados prxima da normal

Normalmente 15 n 20, embora seja comum n > 20, mas no se

recomenda n < 15


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-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 -0.5 0 0.5 1

Escores normais

Valore

sda

varivel

P EN Val0.2 -0.842 -15

0.4 -0.253 -5

0.6 0.253 6

0.8 0.842 16

-5, 16, 6, -15

-15, -5, 6, 16

valores

valores ordenados


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Exemplos:

distribuio normal distribuio uniforme

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

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