Lei de Gauss

Objetivos:● Calcular o Campo Elétrico para diferentes

distribuições de cargas explorando sua simetria com a Lei de Gauss.

Sobre a Apresentação

Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:

● Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed. Pearson, 13a edition

● Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1a edition

● Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9a edition.

Introdução

A Lei de Gauss pode ser aplicada a qualquer problema, rico ou pobre de simetrias. No entanto é em problemas com alta simetria que ela se mostra eficiente.

Simetria não explorada. Simetria esférica bem explorada.

Superfícies Gaussianas

Superfície Gaussiana é superfície qualquer imaginária, fechada, em torno de uma região do espaço.

Suponha que duas cargas +q e -q são envoltas por 4 superfícies Gaussianas como ilustra a figura ao lado:

S1: envolvendo apenas a carga +q;

S2: envolvendo apenas a carga -q;

S3: envolvendo nenhuma carga;

S4: envolvendo ambas as cargas;

Exemplo

As cargas q1 = q4 = 3,1nC; q2 = q5 = -5,9nC e q3 = -3,1nC são dispostas em uma superfície. Qual o fluxo de Campo Elétrico através da superfície S, que envolve as cargas q1, q2, q3 e a moeda?

Solução: Pela Lei de Gauss:

Calculando a carga envolvida dentro da superfície S:

O Fluxo pela superfície S, pela Lei de Gauss será:

Carga um em Condutor

Imagine um condutor de forma aleatória, com uma carga líquida Q.

“Se uma carga q for colocada em um condutor isolado, toda esta carga migra imediatamente para a superfície do condutor”

● Esta migração ocorre em uma fração de segundos, enquanto os cargas são adicionadas ao condutor;

● Quando a migração de cargas cessa, o campo elétrico no interior do condutor será nulo;

● As cargas migraram para a superfície do metal a fim de ficarem o mais afastadas umas das outras;

● Se uma tinta isolante fosse colocada a fim de fixar as carga na superfície do metal, todo o metal poderia ser removido e o campo se manteria inalterado.

Condutor Oco

Uma esfera condutora neutra e oca, de raio interno R, tem, em seu interior, uma carga elétrica -q, colocada a uma distância R/2 do centro da cavidade.

● Qual o campo elétrico produzido por esta carga fora da casca condutora?

Passando uma superfície Gaussiana no interior da casca condutora,

Uma vez que o campo total dentro do metal é nulo, a integral à esquerda será nula. O que significa que a carga dentro da superfície S1 é nula.

S1

Ou seja, uma carga elétrica positiva e igual a q será induzida no interior da cavidade condutora para anular a carga dentro da superfície S1.

Superfície do Condutor

O campo elétrico dentro de um metal, provido por uma distribuição de cargas estáticas, será sempre nulo!

Bem próximo à superfície do metal, onde a distribuição superficial de carga pode ser considerada constante, σ, o campo elétrico pode ser encontrado pela Lei de Gauss, utilizando uma superfície Gaussiana, cilíndrica:

Condutor Oco

Algumas conclusões importantes:

● As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais afastadas onde o campo é menos intenso;

● As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a entrarem sempre perpendicular à superfície do metal;

● A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do metal;

● O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de uma carga puntiforme -q.

Condutor Oco

Algumas conclusões importantes:

● As cargas no interior da casca condutora vão se distribuir mais próximas onde o campo da carga interna -q é mais intenso e mais afastadas onde o campo é menos intenso;

● As linhas de campo na superfície do metal se curvarão de forma a entrarem sempre perpendicular à superfície do metal;

● A distribuição de cargas no interior da casca condutora não interfere na distribuição de cargas na parte externa, pois não existe campo dentro do metal, impossibilitando a interação entre as cargas dentro e fora do metal;

● O Campo Elétrico gerado fora da casca condutora será o mesmo de uma carga puntiforme -q.

Condutor Oco

Como uma carga elétrica +q é induzida na parte interna da cavidade, uma carga igual -q deve ser induzida na parte externa do condutor a fim de conservar a carga total no condutor, que era nula.

S2

● A carga elétrica induzida na parede interna da casca condutora interfere na distribuição de carga na parte externa da casca condutora?

Para calcular o campo fora da esfera, imagine uma superfície Gaussiana com raio r > R. Aplicando a Lei de Gauss nesta superfície:

Esfera Metálica

Apenas para observação, o Sears resolve um problema semelhante, onde uma carga q é adicionada a uma esfera condutora de raio R. A figura a seguir mostra o campo resultante em alguns pontos do espaço:

Fio Infinito

Determine o campo elétrico gerado por um fio infinito de densidade de carga linear λ, a uma distância r do fio.

Escolha como superfície Gaussiana um cilindro concêntrico ao fio, de comprimento l e raio r. A carga envolvida dentro do cilindro será:

Aplicando a lei de Gauss:

Placa Isolante InfinitaDetermine o campo elétrico gerado por uma placa isolante infinito de densidade de carga superficial σ, a uma distância r do plano.

Escolha com superfície Gaussiana um cilindro de área de basa A e altura 2r, atravessando o plano de cargas. A carga envolvida dentro do cilindro:

Aplicando a lei de Gauss: