e x e r c Í c i os: lei de gauss -...
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E X E R C Í C I OS: Lei de Gauss
1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um
campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a
forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico
através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser
dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro).
R: Vamos dividir a área total da superfície do cilindro em três partes, as duas tampas
(superior e inferior) e a área lateral do cilindro, pois, o ângulo entre E e d A será o
mesmo em todos os pontos de cada uma das partes.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
cos180 cos90 cos0
0
E
o o o
E
E E
E d A E d A E d A E d A
EdA EdA EdA
EA EA
2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do
fluxo do campo elétrico através dessa superfície?
R: Não, o fluxo do campo elétrico depende somente da carga total envolvida pela
superfície.
3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica.
Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes
casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo)
sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da
superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for
deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for
colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada
dentro da superfície gaussiana.
R: O fluxo mudará somente se mudar a carga total envolvida pela superfície, portanto:
a) Não mudará; b) não; c) Sim; d) não; e) sim.
4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir
sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície?
R: Como a carga total envolvida pela superfície é nula, o fluxo também será.
5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas.
a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja
nula . Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os
pontos sobre esta superfície gaussiana?
b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a
lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula?
R: a) Não, se a carga total envolvida pela superfície for nula, podemos afirmar que o
fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo, mas o campo elétrico pode não ser
nulo, mas o campo elétrico pode não ser nulo. Uma carga externa à superfície pode
gerar um campo elétrico em pontos desta superfície.
b) Sim. Na fórmula da lei de Gauss E envE d A q podemos perceber que se o
campo for nulo em todos os pontos o fluxo através da superfície será nulo e a
carga total envolvida pela superfície também será nula.
6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com
55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície.
R: Pela lei de Gauss temos que: 6
12
5 2
1,8 10
8,85 10
2,03 10 /
o E env E
E
q
Nm C
7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma
densidade superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a
esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera?
2
22 6
5
5
12
6 2
1,2 0,6
8,1 /
) 4 8,1 10 4 3,14 0,6
3,66 10
3,66 10)
8,85 10
4,14 10 /
envo E env E
o
E
D m R m
C m
a q A R
q C
qb q
Nm C
8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente
acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo
elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um
cubo de aresta d)
q
d/2
d
d
R: Se pensarmos no quadrado como uma das faces de um cubo, no qual a carga ficará no
centro, podemos perceber pela simetria da figura, que ao fluxo terá o mesmo valor para
cada uma das seis faces desse cubo. Portanto basta calcular o fluxo total através do cubo e
dividir o resultado por seis (número de faces do cubo).
6 6
env total envtotal face face
o o
q q
9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico.
Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o
campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei
de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma
distância r, é dado por E = Q / (4o r2 ) (lei de Coulomb).
R: vamos considerar que a carga é positiva e que está no centro de uma superfície
gaussiana esférica de raio r.
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana, temos que: o envE d A q . Para
todos os pontos da superfície gaussiana o campo elétrico tem o mesmo valor e o
ângulo entre E e d A é de 0o
, portanto:
2
2
cos0
44
o
o env o env
envo env
o
EdA q E dA q
qE R q E
R
10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante
propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se
um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão
distribuídas em sua superfície externa.
R: Consideremos um conduto carregado isolado e uma superfície gaussiana
imediatamente no interior do conduto, ou seja, esta superfície está no interior do
condutor, mas muito próxima da superfície real do condutor.
0
0o env envE d A q q
O campo elétrico é nulo em todos os pontos no interior do condutor isolado, portanto, a
lei de Gauss exige que a carga total envolvida pela superfície gaussiana seja nula.
Como a carga do condutor não está no interior da superfície gaussiana ela não está no
interior do condutor, portanto, a carga está na superfície externa do condutor.
11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em
sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o
que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No
entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode
ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo
do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito
próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o
valor deste campo é dado por: E = σ /ε0.
R: em pontos externos e bem próximos da superfície de um condutor isolado, o campo
elétrico é perpendicular à superfície deste condutor. O campo elétrico pode não ter o
mesmo valor para todos os pontos próximos de um condutor qualquer, mas podemos
considerar que uma seção de sua superfície seja tão pequena que possamos considerá-
la plana e, além disso, podemos desprezar variação do campo elétrico em pontos
próximos desta seção.
Consideremos uma superfície gaussiana cilíndrica, diminuta, embutida nesta pequena
seção do condutor. Uma base da superfície gaussiana está no interior do condutor, a
outra está fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor, como
pode ser visto em perspectiva na figura abaixo.
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a
tampa que está em pontos externos ao condutor contribui para o fluxo do campo
elétrico através dessa superfície, portanto:
o env o envE d A q EA q
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que está na superfície de área A do
condutor, ou seja, envq A
o env
o
EA q A E
12. Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do
condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme 63,0 10q C . Determine a carga: a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a
superfície externa do condutor.
R: a) Consideremos uma superfície gaussiana que contorna a parede da cavidade, mas
está no interior do condutor.
Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos desta superfície gaussiana, a lei de
Gauss exige que a carga total envolvida por esta superfície também deve ser nula. 6
0
6
3,0 10
0 3,0 10
o env i
i i
q C
E d A q q q
q q q q C
b) Como a carga total do condutor é nula, temos que:
60 3,0 10i e e iq q q q C
13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de
uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma
densidade linear de carga , é dado por: E = /(2 o r).
P
r
barra
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a superfície lateral
do cilindro contribui para a o fluxo do campo elétrico através dessa superfície.
o env o envE d A q EA q
A área da superfície lateral do cilindro é 2A rL e a carga envolvida pela superfície
gaussiana é a carga que está no comprimento L da barra, ou seja, q L , com isso temos:
2
2 2
o
o o
E rL L
LE E
rL r
14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha
infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 104 N/C a uma
distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada
constante. 4
4 12
6
4,5 10 /
2
22
4,5 10 2 8,85 10 2
5 10 /
o
o
E N C
r m
E E rr
C m
15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os
cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo
λa = - λ e λb = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no
interior da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o campo
elétrico é dado por E = /(2 o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L,
concêntrica com as duas cascas cilíndricas.
Ao aplicarmos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a
superfície lateral do cilindro contribui para o fluxo do campo elétrico através da
superfícies gaussiana: Portanto temos:
16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de
3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 – 6
C/m, e sobre o cilindro externo é de - 7 × 10 – 6
C/m. Determine o valor do campo
elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm,
onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros.
6
6
3,0
6,0
5,0 10 /
7,0 10 /
a
b
a cm
b cm
C m
C m
Do exercício (15) temos que: 2
env
o
qE
rL
a) Em 4,0r cm (o ponto está entre as duas cascas cilíndricas). Com isso temos
env aq L
2
env
o
qE
rL
66
12 2
5,0 102,25 10 /
2 2 8,85 10 4,0 10
a
o
LE N C
rL
Como a carga envolvida é positiva, o campo elétrico tem direção para dentro das
cascas cilíndricas.
b) Em 8,0r cm (o ponto é externo às duas cascas cilíndricas). Com isso temos
env a bq L
2
env
o
qE
rL
6 6
5
12 2
5,0 10 7,0 104,50 10 /
2 2 8,85 10 8,0 10
a b
o
LE N C
rL
Como a carga envolvida é negativa, o campo elétrico tem direção para dentro das
cascas cilíndricas.
17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro
infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do
eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de
carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce
qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro não é condutor.
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r, concêntrica com o cilindro.
Portanto, somente sua superfície lateral contribui para o fluxo de campo elétrico através
dela (ver exercício 15).
2o env o envE d A q E rL q
a) Para r < R (os pontos estão no interior do cilindro)temos que:
2
22 22
env
o env o
o
q V r L
rE rL q E rL r L E
b) Para r > R (os pontos estão no exterior do cilindro) temos que: 2
222 2
2
env
o env o
o
q V R L
RE rL q E rL R L E
r
18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo
elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com
uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0).
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente as
duas bases da superfície contribui para o fluxo de campo elétrico através da superfície.
Com isso temos:
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que esta na superfície de área A da
placa.
19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma
pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades
superficiais de cargas de sinais opostos e valores absolutos iguais σ =23 27,00 10 /C m . Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à
esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas.
22 27 10 /C m
20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q
=2x10-8
C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não
condutor que faz um ângulo de 30o com uma placa vertical, não condutora,
uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional q que a
esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a
densidade superficial de cargas σ da placa.
8
3
2 10
10 10 10
q C
m g kg
Devemos inicialmente representar as forças que atuam na esfera. Como a esfera está
em equilíbrio, vemos pela figura abaixo que:
0 30
0 cos30
o
x x
o
y y
F F T F Tsen
F P T mg T
3 12
8
3030
30
temos que:
2
30 230
2
10 10 9,8 30 2 8,85 10
2 10
oo
o
o
oo o
o
o
F TsenF mgtg
mg Tos
F q E E
mgtgq mgtg
q
tg
21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e
uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da
esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que:
a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca
esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca
esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4o r2).
b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela
casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática
sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior.
Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a esfera de raio
R. Se a esfera carregada com carga positiva, o ângulo entre E e d A será 0o para
todos os pontos da superfície gaussiana. Além disso, o valor do campo elétrico será o
mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana.
Aplicando a lei de Gauss, temos que:
a) Para r>R (pontos externos à casca esférica) toda carga da esfera está no interior da
superfície gaussiana, e com isso:
b) Para r<R (pontos no interior da casca esférica), a carga no interior da superfície
gaussiana é nula:
22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície
gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície
gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da
carga pontual?
a) Seria o mesmo, pois a carga envolvida pela superfície gaussiana não muda:
b)
23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo
elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 3 N/C e aponta para o
centro da esfera, qual é a carga desta esfera?
10,0
3000 / ( 15 )
r cm
E N C r cm
Radialmente para dentro.
22 9
2
9
4 3000 4 8,99 10 0,154
7,5 10
o
o
qE q E r x
r
q x C
Como o campo aponta para dentro, a carga sobre a esfera é negativa.
24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7
C.
Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b)
imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera.
25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa.
Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb.
Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma
distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r2
); e (c) r > b é igual a (qa + qb) / (4o r2 )
Consideremos uma superfície
gaussiana esférica de raio r,
concêncentrica com as duas cascas
esféricas. Conforme figura ao lado.
Aplicando a lei de Gauss, temos que: 24o env o envE d A q E r q (Veja
exercício 21)
a) Para r < a (os pontos estão no interior da casca menor) temos que:
2 2
0
4 4 0 0
env
o env o
q
E r q E r E
b) Para a< r < R (os pontos estão entre as duas cascas esféricas) temos que:
2 2
24 4
4
env a
ao env o a
o
q q
qE r q E r q E
r
c) Para r > b (os pontos estão fora da casca esférica maior) temos que:
2 2
24 4
4
env a b
a bo env o a b
o
q q q
q qE r q E r q q E
r
26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da
casca menor é 4 × 10 – 8
C, e da casca maior é 2 × 10 – 8
C. Determine o módulo do
campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm.
8
8
10 0,1
15 0,15
4 10
2 10
a
b
a cm m
b cm m
q C
q C
a) r = 12 cm (entre as duas cascas esféricas)
84
22 12
4 102,5 10 /
4 4 8,85 10 0,12
a
o
qE N C
r
b) r = 20 cm (externo a esfera maior)
8 84
22 12
4 10 2 101,35 10 /
4 4 8,85 10 0,2
a b
o
q qE N C
r