aula 04-a lei de gauss

7/31/2019 Aula 04-A Lei de Gauss

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Disciplina: Eletromagnetismo

Professores:

Joel Câmara de Carvalho Filho

Ranilson Carneiro Filho

Aula 04 – A Lei de Gauss

Apresentação

Nesta aula introduziremos o conceito de fluxo do campo elétrico eapresentaremos a Lei de Gauss. Esta lei, no caso do campo elétrico, pode ser

vista como uma generalização da Lei de Coulomb. Ela facilita bastante o

cálculo do campo de distribuições de carga que possuem alto grau de simetria.

Faremos algumas aplicações práticas para o caso de simetria esférica,

cilíndrica e simetria plana.

Objetivos

1 – Introduzir o conceito de fluxo do campo elétrico.

2 – Estudar a Lei de Gauss para o campo elétrico.

3 – Calcular o campo elétrico de uma carga pontual e de distribuições com

simetria esférica.

4 – Calcular o campo elétrico produzido por uma linha de cargas.

5 – Calcular o campo elétrico produzido por um plano infinito.

6 – Analisar e calcular o campo elétrico de um condutor isolado.



Uma nova forma para a Lei de Coulomb

Na Aula 2 nós estudamos a Lei de Coulomb. Esta é a lei mais importante da

Eletrostática. Com ela podemos calcular o campo elétrico (Aula 3) para

qualquer distribuição de cargas. Isto não significa, porém, que esta é umatarefa fácil. Dependendo da forma do corpo carregado, o cálculo, devido sua

complexidade, só pode ser feito usando um computador. No entanto, existem

situações em que o corpo possui uma forma simples (um cilindro, uma esfera,

um plano) e ainda assim temos que fazer cálculos extensos. Com o intuito de

simplificar estes cálculos, nesta aula introduziremos uma nova forma de

calcular o campo elétrico, a chamada Lei de Gauss. Esta lei aplicada à

eletrostática representa uma nova forma da Lei de Coulomb. No cálculo docampo elétrico de problemas onde existe um alto grau de simetria (linear,

plana ou esférica), a Lei de Gauss simplifica bastante o trabalho.

A Lei de Coulomb nos fornece uma relação entre a carga elétrica e o campo

elétrico, ou seja,

2

04

1)(

r

qr E

πε =

A Lei de Gauss faz o mesmo, mas de forma bem diferente. Primeiramente

precisamos introduzir o conceito de superfície gaussiana. Esta é uma

superfície fechada hipotética que envolve uma dada região do espaço onde

pode ou não existir cargas elétricas ou um campo elétrico. A forma da

superfície é arbitrária, mas sua utilidade consiste em ela possuir a mesma

simetria do problema. Assim, ela pode ter uma forma esférica, cilíndrica, etc. O

importante é que ela seja uma superfície fechada. O que a Lei de Gauss nos

fornece é uma relação entre o valor do campo elétrico sobre a superfície

gaussiana e a carga total efetiva no interior da superfície. O cálculo do campo

elétrico sobre uma superfície está ligado a uma grandeza chamada fluxo; no

nosso caso, o fluxo do campo elétrico.

O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do

campo elétrico que penetram em alguma superfície. Para calcular o seuvalor, vamos primeiro considerar um campo elétrico uniforme de módulo



E e direção constante, perpendicular a uma superfície retangular plana

de área A . Esta situação é ilustrada na Figura 1. Suponha que o campo

é horizontal e a superfície vertical. Este é o caso mais simples e o fluxo,

que representamos pela letra grega Φ , é dado pela seguinte expressão:

A E =Φ . (4.1)

Ou seja, o produto do módulo do campo E pela área A . No sistema SI o

fluxo do campo elétrico é medido em C m N /2 . Vemos que o fluxo é

proporcional ao número de linhas de força que atravessam a superfície.

Figura 1: Fluxo do campo elétrico a através de uma superfícieperpendicular ao mesmo.

Adaptada de Serway, Raymond A.; Jewett Jr., John W.: Princípios deFísica – vol. 3 –Eletromagnetismo. São Paulo: Cengage Learning 2008.

Se inclinarmos a superfície de um ângulo θ em relação a vertical o fluxo

através da mesma diminuirá porque o que conta é a área efetiva

atravessada pelo campo. No caso, esta é a área projetada

perpendicularmente ao campo que vale .cosθ A A =′ Portanto o fluxo

passa a ser,

θ cos A E =Φ . (4.2)



Figura 2: Fluxo do campo elétrico através de uma superfície inclinada.


Observemos agora a Figura 3. Vamos definir um vetor A cujo módulo é

igual à área da superfície e possui direção perpendicular a esta. Este vetor faz

um ângulo θ com o vetor do campo elétrico. Se usarmos a definição do

produto escalar de dois vetores ( B A ⋅ θ cos B A= ) pode reescrever a

equação (4.2) numa forma compacta:

A E ⋅=Φ . (4.3)

Chamamos a atenção para o fato de que o fluxo do campo elétrico é

uma grandeza escalar.

A partir da equação (4.2) constatamos que o fluxo é máximo quando a

superfície é perpendicular ao campo. Neste caso a normal à superfície é

paralela ao campo °= 0θ ( 10cos =° ) e o fluxo através da superfície é

igual a A E . Se a superfície é paralela ao campo, a normal é perpen -

dicular ao campo ( °= 90θ , 090cos =° ) e o fluxo é nulo. Isto é mais ou

menos intuitivo, pois, se a superfície é paralela ao campo, este não pode

atravessá-la.



Figura 3: Representação da área da superfície como uma grandezavetorial na definição do fluxo do campo elétrico.


Exemplo 1

Considere u ma superfície plana de área igual a 25,4 m na presença de um

campo elétrico uniforme de módulo C N E /103,2 4×= . Qual o fluxo elétrico

através desta superfície nas seguintes situações:

(a) o campo elétrico é perpendicular à superfície; (b) o campo elétrico éparalelo à superfície; (c) o campo elétrico faz um ângulo °= 60θ com a

superfície.

Resolução

(a) Como o campo é perpendicular à superfície e o vetor área também oé, o ângulo entre E e A é 00=θ . Usando a Equação (4.2) temos que

C m N mC N /.1004,1)0(cos)5,4()/103,2( 2524 ×=°×=Φ .

(b) Se o campo elétrico é paralelo à superfície ele forma um ângulo

090=θ com A . Portanto o fluxo é dado por

0)90(cos)5,4()/103,2( 24=°×=Φ mC N .

(c) Neste caso, °= 60θ , portanto,

C m N mC N /.102,5)60(cos)5,4()/103,2(2424

×=°×=Φ .



FIM DO EXEMPLO

Atividade 1

Uma placa retangular de lados iguais a cma 0,20= e cmb 0,30= , encontra-se

numa região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme que faz um

ângulo °= 45θ com a mesma. Se o fluxo através da placa for igual a

C m N /.100,3 23×=Φ , calcule o módulo do campo elétrico.

FIM DA ATIVIDADE

A definição d e fluxo dada pela Equação (4.3) só vale se o campo

elétrico for constante em módulo e direção sobre toda a superfície em

questão. Numa situação geral isto pode não ser verdade. A Figura 4

mostra uma superfície de forma arbitrária onde em cada ponto o campo

aponta numa direção diferente em relação à normal. Para calcularmos

o fluxo é necessário dividir a superfície em um grande número de

elementos muito pequenos de área A∆ de modo que a variação do

campo elétrico sobre o elemento pode ser desprezada. Este pequeno

de superfície pode ser considerada plana. Se definirmos o vetor A∆

normal a esta superfície então o fluxo elétrico ∆Φ através desse

pequeno elemento e área será

A E A E ∆⋅=∆=∆Φ θ cos (4.4)



Figura 4: Representação da área da superfície como uma grandezavetorial na definição do fluxo do campo.

Adaptada de Serway, Raymond A.; Jewett Jr., John W.: Princípios de

Física – vol. 3 –Eletromagnetismo. São Paulo: Cengage Learning 2008.

Para calcular o fluxo total através da superfície precisamos somar as

contribuições de todos os elementos, ou seja,

A E ∆⋅=Φ ∑

Esta soma é feita sobre todos os elementos de área da superfície

fechada representada na figura. Para obtermos uma expressão

exata do fluxo do campo elétrico exata de fluxo de campo elétrico

através de uma superfície fechada, devemos fazer área de cada

elemento aproximar-se de zero. O número de elementos se

aproxima de infinito e a soma é substituída por uma inte gral, isto é,

∫ ∑ ⋅=∆⋅=Φ→∆

dA E A E Alim

0. (4.5)

O símbolo ∫ (integral fechada) indica que a integral é feita sobre

toda a superfície (fechada), ou seja, uma superfície gaussiana .

Observe agora a Figura 5. Nela vemos uma superfície fechada imersa

numa região onde existe um campo elétrico arbitrário não uniforme

apontando em média da esquerda para a direita. Vamos nos concentrar

em três pequenos elementos de área da superfície. Na região 1, ocampo elétrico aponta para fora da superfície (ver detalhe na figura).



Ele forma um ângulo θ menor do que °90 com o vetor A∆ . Na

expressão (4.4) o cosseno é positivo e, portanto o fluxo será 0>∆Φ . É

importante salientar que o vetor área aponta sempre para fora de uma

superfície fechada.

Figura 5: Superfície gaussiana de forma arbitrária imersa num campo

elétrico.


Na região 2 o campo tangencial a superfície sem penetrá-la e

esperamos que o fluxo seja nulo. De fato, o ângulo entre E e A∆ é

°= 90θ , seu cosseno é zero e, portanto, da Equação (4.4) temos

0=∆Φ . Por fim, na região 3 vemos que o ângulo entre o campo elétrico

e a área é maior do que °90 , pois o campo está entrando na superfície.

O co-seno de θ é negativo e assim também será o fluxo.

Resumindo, quando o campo elétrico aponta de dentro para fora da

superfície ele contribui positivamente para o fluxo. Quando E aponta

de fora para dentro da superfície sua contribuição é negativa. Como o

fluxo resultante através da superfície é pro porcional ao número de

linhas que penetra a superfície, se mais linhas estiverem saindo da

superfície do que entrando, o fluxo resultante é positivo. No caso



oposto, quando mais linhas estiverem entrando que saindo da

superfície, o fluxo resultante é negativo.

Exemplo 2

Neste exemplo calcularemos o fluxo do campo elétrico através de uma

superfície fechada (superfície gaussiana) cilíndrica como mostrado na

Figura 6. O campo elétrico é uniforme e aponta na direção ao longo do

eixo do cilindro.

Figura 6: Superfície gaussiana cilíndrica num campo elétrico uniforme.

Resolução

A integral fechada (4.5) que nos dá o fluxo pode ser escrita como uma soma

de três integrais abertas. A primeira sobre a base esquerda do cilindro (a); a

segunda sobre a superfície lateral do cilindro (b) e a terceira sobre a base

direita do cilindro (c). Temos então

∫ ∫ ∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅=Φcba

dA E dA E dA E dA E . (4.6)

Na base esquerda (a), o ângulo θ entre o campo e o vetor área em todos os

pontos da superfície é de °180 . Além disso, E é constante e todos os vetores

dAtêm a mesma direção e sentido oposto ao de

E . A integral pode ser

simplificada e calculada em quatro etapas como segue:



∫ ∫ ∫ −=−=°=⋅ EAdA E dA E dA E )180(cos ,

Onde A é a área da base do cilindro. Da mesma forma podemos calcular o

fluxo na área da direita (c) sabendo que o ânguloθ

entre o campo e o vetor área nesta superfície é igual a °0 . Assim, obtemos

∫ ∫ ∫ +=+=°=⋅ EAdA E dA E dA E )0(cos .

Na superfície lateral do cilindro o ângulo entre o campo e o vetor área é

sempre °= 90θ , de maneira que obtemos,

0)90(cos0

==⋅ ∫ ∫ dA E dA E .

Finalmente, substituindo estes resultados em (4.6), teremos

00 =++−=Φ EA EA .

FIM DO EXEMPLO

A Lei de Gauss

Como explicamos anteriormente, o campo elétrico de uma dada distribuição de

cargas pode em princípio ser calculado usando a Lei de Coulomb. No entanto,

este cálculo pode se tornar muito complicado. A Lei de Gauss é uma forma

alternativa de calcular o campo elétrico baseada no fluxo do campo. Ela pode

ser expressa da seguinte maneira:

“O fluxo do campo elétrico Φ através de uma superfície fechada (superfície

gaussiana) multiplicado pela permissividade elétrica oε é igual à carga total Q

no interior da superfície”.

Em termos matemáticos temos

Qo =Φε , (4.7)

onde 2212 ./1085,8 m N C o

−×=ε é a permissividade elétrica do vácuo.



Devemos chamar a atenção para o fato de que a carga Q é a soma algébrica

de todas as cargas presentes no interior da superfície gaussiana. As cargas

externas não contribuem. Para fixar esta idéia imaginemos uma

superfície gaussiana através da qual o fluxo resultante é nulo. Nestecaso, podemos afirmar que (1) não há cargas dentro da superfície, (2)

que a carga líquida dentro da superfície é nula ou (3) que o campo

elétrico é zero em todos os pontos sobre a superfície. Todas três

afirmativas estão de acordo com a Lei de Gauss e podem ser

verdadeiras.

Observe a Figura 7. A única carga presente encontra-se fora da

superfície gaussiana, a carga total dentro da superfície é nula ( 0=Q )

e, portanto, de acordo com a Equação (4.7) o fluxo do campo elétrico

nesta superfície é zero.

Figura 7: Carga na região exterior da superfície gaussiana.


Na Figura 8 temos três superfícies. Na superfície S o fluxo do campo

elétrico é oq ε /1=Φ . Na superfície S ′ a carga no interior da mesma é

32 qqQ += e o fluxo do campo elétrico é oqq ε /)( 32 +=Φ . Já na superfície

S ′′ a carga no interior da mesma é nula e o fluxo do campo elétrico é

0=Φ .



Figura 8: Superfícies gaussianas envolvendo três regiões distintas.


Apesar da Lei de Gauss poder ser aplicada para qualquer distribuição

de carga seja ela discreta ou contínua, ela se revela mais útil nas

situações onde existe um elevado grau de simetria. Por isso, faremos

algumas aplicações da mesma nos casos de simetria esférica,

cilíndrica e plana.

A seguir listamos alguns fatos importantes que resumem o que

estudamos até o momento sobre a Lei de Gauss: (1) As superfícies às

quais se refere à Lei de Gauss devem ser fechadas e são chamadas de

superfícies gaussianas. (2) A carga que contribui para o fluxo é apenas a carga

total interna à superfície. As cargas situadas na própria superfície, ou no

exterior, não contribuem para o valor do fluxo. (3) A lei de Gauss se aplica para

qualquer tipo de superfície fechada e para qualquer tipo de distribuição de

carga. (4) Se carga total interna a superfície for positiva, o fluxo é positivo, poisas linhas de força estão saindo de dentro da superfície. Por outro lado, se

carga total interna à superfície for negativa, o fluxo é negativo, pois as linhas

de força estão entrando na superfície. (5) As cargas externas não contribuem

para o fluxo, uma vez que as linhas de força que delas se originam entram por

um lado da superfície e saem pelo outro, dando uma contribuição líquida igual

a zero. E, finalmente, (6) a localização das cargas no interior da superfície não

tem influência no resultado final.



Campo de uma carga pontual Este é um caso onde existe simetria esférica, pois, como vemos na Figura 9,

podemos escolher como superfície gaussiana uma esfera cujo centro coincide

com a posição da carga.

Figura 9: Cálculo do campo elétrico de uma carga pontual através da Lei de

Gauss.


O primeiro passo aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através dasuperfície esférica de raio r . O vetor do campo elétrico é radial (perpendicular

à superfície) e, portanto, é sempre paralelo ao elemento de área dA . Como a

carga que dá origem ao campo é positiva, o campo elétrico aponta para fora

da superfície e concluímos que o ângulo entre E e dA é °= 0θ . O produto

escalar que aparece na integral do fluxo na Equação (4.5) é igual a dA E .

Como os pontos sobre uma esfera estão eqüidistantes do seu centro,esperamos que o módulo do campo elétrico tenha o mesmo valor sobre toda a

superfície gaussiana. Assim, quando calculamos a integral sobre a esfera

podemos considerar E constante. O fluxo será dado por

∫ ∫ ∫ ===⋅=Φ EAdA E dA E dA E )0(cos 0.

Como a área total da esfera é 24 r A π = , o fluxo será E r 24π =Φ . Substituindo

este valor na Equação (4.7) e fazendo qQ = , obtemos,



q E r oo ==Φ ε π ε 24

E, portanto

24

1

r

q E

oπε = . (4.8)

Esta é exatamente a mesma expressão para o campo de uma carga pontual

obtida na Aula 3 a partir da Lei de Coulomb.

Uma extensão do resultado acima é que uma superfície esférica

uniformemente carregada comporta-se, para pontos externos, como se

toda a sua carga estivesse concentrada no seu centro. Isto pode ser visto

na Figura 10. Vemos que o campo produzido pela esfera a uma distancia

do seu centro maior que seu raio calculado através da Lei de Gauss é

idêntico àquele de uma carga pontual.

Figura 10: Campo elétrico produzido por uma carga pontual e uma esfera

de mesma carga.

Exemplo 3

Uma esfera de raio cm R 10= está uniformemente carregada e possui uma

carga positiva de módulo a C q 8100,5 −×= . Calcule o campo elétrico a uma

distância mr 0,3= do centro da esfera.

Resolução

O campo de esfera carregada a uma distância maior que o raio da esfera é

igual ao campo produzido por uma carga pontual no centro da esfera. Este é ocaso aqui, pois Rr > . Portanto, usando a Equação (4.8) temos,



C N m

C C m N

r

q E

o

/50)0,3(

100,5)/100,9(

4

122

8229

2=

×⋅×==

−

πε .

FIM DO EXEMPLO

Atividade 2

Qual a carga de uma esfera de raio igual a cm50 se o campo elétrico por ela

produzido à m0,1 do seu centro é igual a C N /100,3 2× ?

Campo de uma linha de carga

A Figura 11 mostra uma linha de carga infinita com uma densidade linear de

carga λ , carga por unidade de comprimento. Estamos interessados em

calcular o campo elétrico a uma distância r da linha. A simetria da

distribuição de carga sugere que E é perpendicular à linha de carga e

orientado para fora, pois a linha está carregada positivamente.

Figura 11: Cálculo do campo elétrico de uma linha de carga.


A superfície gaussiana a ser usada deve possuir a mesma simetria do



problema, que é cilíndrica. Considere então uma superfície Gaussiana na

forma de um cilindro de raio r e comprimento h co-axial com a linha .

Lembre que a superfície gaussiana deve ser fe chada de forma que

devemos incluir as duas bases do cilindro como parte da mesma. Como

todos os pontos da superfície cilíndrica estão à mesma distância da

linha, o campo tem magnitude constante e é perpendicular à superfície

em cada ponto.

Não há um fluxo através das bases do cilindro porque E, sendo dirigido

radialmente, permanece para lelo à superfície para todos os pontos.

A integral do fluxo elétrico nesta parte cilíndrica da superfície gaussiana será

simplesmente o módulo do campo vezes a área do cilindro, ou seja, A E . A

área do cilindro é igual hr A π 2= , de maneira que o fluxo através do cilindro é

E hr π 2=Φ .

Falta calcular o fluxo através das bases do cilindro. Porém, como E é

paralelo a essas superfícies, ou seja, ele é perpendicular a dA ,

concluímos que o fluxo elétrico nas bases é zero. Portanto o fluxo total docampo elétrico através da superfície gaussiana cilíndrica fechada é

E hr π 2=Φ .

Para aplicar a Lei de Gauss devemos agora calcular a carga total dentro de

nossa superfície gaussiana. Como o comprimento do cilindro é h , a carga

total ali dentro é hQ λ = . Aplicando a Lei de Gauss obtemos

QdA E oo =⋅=Φ ∫ ε ε ,

Ou seja,

h E hr o λ π ε =2

De onde calculamos o campo

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/electric/gausur.html#c1

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Campo elétrico de um plano infinito carregado

Nosso problema aqui é determinar o campo de objeto que tem simetria plana,

um plano não condutor, infinito, com uma densidade superficial de carga

uniforme, ou seja, carga por unidade de área σ . Podemos imaginar umachapa fina de plástico que adquire uma carga uniforme quando atritada em um

dos lados (Figura 12).

Figura 12: Plano infinito uniformemente carregado.


Por razões de simetria, a única direção preferencial é a direção perpendicular

ao plano. Assim, o campo elétrico deve ser normal ao plano e, se o plano

estiver carregado positivamente ele deve apontar para fora do plano. Portanto

ele aponta em direções opostas em cada lado do plano como vemos na figura.

Podemos também supor que, para pontos situados em lados opostos do plano,

o campo deverá ter a mesma magnitude. Nestas condições, a superfície

gaussiana mais indicada é um cilindro fechado que atravessa o plano

perpendicularmente ao mesmo. Tomemos um cilindro com bases eqüidistantes

do plano e de área A .

Para calcular o fluxo do campo elétrico, primeiramente observamos que, uma

vez que E é paralelo à secção lateral da superfície gaussiana cilíndrica e,



portanto, perpendicular a dA , o fluxo através da mesma é zero; o campo não

a atravessa.

Em cada uma das duas bases do cilindro o fluxo é simplesmente A E e

concluímos assim que o fluxo total através da superfície gaussiana é EA2=Φ .

A carga total no interior da superfície gaussiana é igual a área A vezes a

densidade superficial de carga do plano σ , ou seja, AQ σ = . Aplicando a Lei

de Gauss Qo =Φε temos,

A EAo σ ε =2

E, portanto,

o

E ε

σ

2= . (4.10)

Observando que o campo elétrico produzido por um plano infinito carregado

não depende da distância ao plano. Isto é, o campo tem o mesmo valor em

todos os pontos do espaço; é uniforme.

Atividade 3

Qual o valor do campo elétrico a uma distância m D 0,2= de um plano infinito

que possui uma carga de nC 0,1 por metro quadrado de área na sua

superfície?

Um Condutor Isolado Carregado

Na Aula 2 vimos que existem materiais isolantes e materiais



condutores. Nos isolantes as cargas não podem se mover com

facilidade. Num condutor, por exemplo, o cobre, alguma s cargas, os

chamados elétrons de condução, não estão presas aos átomos e são

livres para se mover dentro do material. As situações que estamos

estudando aqui são estáticas, ou seja, não movimento de carga

elétrica dentro do condutor. Dizemos que ele está em equi líbrio

eletrostático. Nessas condições, se o condutor está isolado apresenta

algumas propriedades muito importantes que discutiremos a seguir.

A primeira é que o campo elétrico é nulo em qualquer ponto dentro do

condutor. Se o campo não fosse nulo, ele exerceria uma força sobre

elétrons de condução presentes no material condutor e surgiriam correntesinternas. Mas, como o condutor está isolado e encontra-se em equilíbrio, estas

correntes devem ser nulas. Durante uma fração de segundo, antes do

condutor entrar em equilíbrio, aparecem correntes internas que agem

rapidamente para redistribuir a carga de modo que o campo elétrico dentro do

condutor se anula. Quando o equilíbrio é atingido, essas correntes deixam de

existir. Concluímos assim que o equilíbrio ele trostático só pode existir se

campo elétrico dentro do condutor for nulo.

Figura 13 : Superfície gaussiana dentro de um condutor isolado.


A segunda propriedade é que, se o condutor isolado tiver um excesso

de carga, toda essa carga se deslocará para a superfície do mesmo.

Não haverá carga líquida no interior do condutor. Isto pode ser



demonstrado com o auxílio da Lei de Gauss.

Observe a Figura 13 que representa a seção transversal de um condutor

isolado de forma arbitrária no qual traçamos uma superfície gaussiana

na sua parte interna, mas situada logo abaixo da superfície do condutor.

Como o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio ele -

trostático é nulo, ele também será nulo em todos os pontos da superfície

gaussiana, já que a mesma também se encontra dentro do condutor.

Consequentemente o fluxo através da superfície gaussiana será nulo e, de

acordo com a Lei de Gauss, a carga líquida dentro da superfície

gaussiana é nula. Como esta superfície está arbitrariamente próxima

da superfície do condutor, concluímos que qualquer excesso de cargase encontra necessariamente na superfície externa deste.

Finalmente, a terceira propriedade nos diz que o campo elétrico na

parte externa ao condutor carregado nas proximidades da sua

superfície ( E ) é perpen dicular à superfície do condutor. Se o campo

tivesse uma componente paralela à superfície, esta componente

exerceria uma força sobre as cargas que criaria correntes superficiais para

redistribuir as cargas retirando assim o condutor do equilíbrio eletrostático.

O módulo do campo pode ser calculado usando a Lei de Gauss.

Suponha um condutor positivamente carregado que possui uma

densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área). Na

Figura 14 mostramos uma superfície gaussiana na forma de um pequeno

cilindro cuja área da base é A . Uma parte do cilindro está no interior do

condutor e a outra do lado de fora, com as bases paralelas à superfície docondutor. A parte lateral do cilindro é perpendicular à superfície. Como o

campo também é normal à superfície, ele não atravessa a lateral do cilindro e

o fluxo é zero. Restam as duas bases. Naquela que está dentro do condutor o

fluxo também é nulo porque o campo elétrico é zero dentro do

condutor. Finalmente, na base exterior o campo é normal a mesma e,

portanto, o fluxo é igual a A E . A carga total no interior da superfície

gaussiana em questão é igual a área da superfície do condutor



delimitada pelo pequeno cilindro ( A ) vezes a densidade superficial de

carga σ , ou seja, AQ σ = . Usando a Lei de Gauss ( Qo =Φε ) obtemos

para o módulo do campo elétrico

o

E ε

σ = . (4.11)

Observe que, comparando este resultado com a Equação (4.10), o

campo elétrico é o dobro do campo de um plano infinito.

Figura 14 : Superfície gaussiana usada para calcular o campo na

superfície de um condutor carregado.




RESUMO

Nesta aula estudamos o conceito de fluxo do campo elétrico e definimos a Lei

de Gauss. Aprendemos como calcular o campo aplicando esta lei nos casos

simples onde a distribuição de cargas tem simetria esférica, cilíndrica e

plana. Vimos também o comportamento do campo elétrico de

condutores carregados isolados.

Auto-avaliação

1 - Considere uma superfície gaussiana (imaginária ou real) através da qual o

fluxo do campo elétrico é nulo. Com relação a esta superfície, identifique qual

(ou quais) das afirmações listadas a seguir é (ou são) verdadeira.

(a) Não há corpos carregados dentro da superfície. ( )(b) É nula a carga líquida dentro da superfície. ( )(c) O campo elétrico é zero em todos os pontos sobre a superfície. ( )(d) O número de linhas de força que entram na superfície iguala o número delinhas que saem da superfície. ( )

2 - A Figura 15 mostra três pedaços de plástico carregados e uma moeda

eletricamente neutra. As seções transversais de duas superfícies gaussianas

estão indicadas. Suponha que nC Q 22 = , nC Q 43 = e nC Q 64 = . Determine o

fluxo do campo elétrico através de cada uma das superfícies 1S e 2S

mostradas.



Figura 14 - Três pedaços de plástico carregados e uma moeda neutra.

3 - Uma casca esférica isolante está carregada uniformemente com carga

positiva. Nessas condições, podemos afirmar que o campo elétrico (marque a

afirmativa correta),

(a) É nulo em qualquer ponto no interior da casca.(b) É nulo apenas no centro da casca.(c) É nulo no centro da casca e no exterior.(d) É nulo em todos os pontos interiores e exteriores.

4 - Uma esfera metálica, maciça, isolada, de raio R está eletrizada com carga

elétrica Q . No centro da esfera, o valor do módulo do campo elétrico é

(marque a afirmativa correta),

(a) Nulo.(b) Proporcional a 2QR .

(c) Proporcional a QR .

(d) Proporcional a 2−QR .

(e) Proporcional a 1−QR .

5 - Nas mesmas condições da questão anterior, podemos dizer que o campo

elétrico em um ponto interior, mas que não seja no centro (marque aafirmativa correta),

(a) É nulo.(b) Apontará em direção ao centro.(c) Apontará para fora do centro.(d) Seu módulo é proporcional a Q , mas independe de R .(e) Seu módulo é proporcional a R , mas independe de Q .

6 - Ainda, com relação à questão anterior, se em vez de uma esfera maciça,

tivermos uma casca oca, podemos dizer que o campo elétrico

(a) Será nulo em qualquer ponto interior.(b) Será nulo apenas no centro.(c) Seu módulo alcançará seu valor máximo exatamente no centro.(d) Imediatamente fora da superfície da casca será tangente a ela.



Referências

Searway, Raymond A.; Jewett Jr., John W.: Princípios de Física – vol. 3 –

Eletromagnetismo. São Paulo: Cengage Learning 2008.

Halliday, D.; Resnick R.; Walker J.: Fundamentos de Física - vol. 3 –

Eletromagnetismo. 10ª Ed. São Paulo: John Wiley & Sons, Inc., 2001.

Nussenzveigg, Herch Moysés: Curso de Física Básica – Eletromagnetismo –

1ª Edição – São Paulo: Edgard Blücher, 1997.

Wikipédia. A enciclopédia livre.

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