Sistemas de Controle II

Adriano A. G. Siqueira

Aula 6 - Espaco de Estados

Sistemas de Controle II p. 1/27

Espao de Estados

Forma de representao de sistemas

Modelos mais complexos (MIMO - MultipleInput Multiple Output)

Vetores e matrizes

Conecta variveis internas (espaos) comvariveis externas (entradas e sadas)

Sistemas de Controle II p. 2/27

Espao de Estados

Representar equaes diferenciais como umconjunto de EDOs de primeira ordem

Formato

x =Ax +Bu

y =Cx + Du

x: estado u: entrada y: sada

Sistemas de Controle II p. 3/27

Espao de Estados

Considere o seguinte sistema mecnico:

Mx +Bx + Kx = u

Sistemas de Controle II p. 4/27

Espao de Estados

Sistema Mx + Bx +Kx =uy =x

Define-se as variveis do estadox1 =x

x2 =x Tem-se

x1 =x = x2

x2 =x = B

Mx2

K

Mx1 +

1

Mu

Sistemas de Controle II p. 5/27

Espao de Estados

x1 =x2

x2 =B

Mx2

K

Mx1 +

1

Mu

Na forma matricial[x1

x2

]=

[0 1

KM

BM

][x1

x2

]+

[01

M

]u

Sistemas de Controle II p. 6/27

Espao de Estados

Sada (posio):y =x = x1

Na forma matricial

y =[

1 0] [ x1

x2

]

Sistemas de Controle II p. 7/27

Espao de Estados

Representao no espao de estados

x =Ax +Bu

y =Cx + Du

A =

[0 1

KM

BM

], B =

[01

M

]

C =[

1 0], D = 0, x =

[x1

x2

]Sistemas de Controle II p. 8/27

Espao de Estados

Sada (posio e velocidade):

y =

[y1

y2

]=

[x1

x2

]

Na forma matricial: y = Cx +Du

C =

[1 0

0 1

], D =

[0

0

],

Sistemas de Controle II p. 9/27

Espao de Estados

Exemplo: Drive de disco rgido

I11 + b(1 2) + k(1 2) = T

I22 + b(2 1) + k(2 1) = 0

Encontrar a representao no espao de estadossendo a sada 2

Sistemas de Controle II p. 10/27

Espao de Estados

A =

0 1 0 0

kI1

bI1

kI1

bI1

0 0 0 1kI2

bI2

kI2

bI2

, B =

01

I1

0

0

C =[

0 0 1 0], D = 0, x =

1

1

2

2

Sistemas de Controle II p. 11/27

Espao de Estados

Exemplo: Drive de disco rgido

I11 + b(1 2) + k(1 2) = T1

I22 + b(2 1) + k(2 1) = T2

Encontrar a representao no espao de estadossendo as sadas 1 e 2

Sistemas de Controle II p. 12/27

Espao de Estados

u =

[T1

T2

], B =

0 01

I10

0 0

0 1I2

y =

[1

2

], C =

[1 0 0 0

0 0 1 0

], D =

[0 0

0 0

]

Sistemas de Controle II p. 13/27

Funo de Transferncia para Espao deEstados

G(s) =b(s)

a(s)=

b1sn1 + b2s

n2 + + bnsn + a1sn1 + a2sn2 + + an

Forma cannica controlvel

Ac =

a1 a2 an

1 0 0...

.

.

.

0 1 0

, Bc =

1

0...

0

Cc =[b1 b2 bn

], Dc = 0

Sistemas de Controle II p. 14/27

Funo de Transferncia para Espao deEstados

Exemplo

G(s) =s + 2

s2 + 7s + 12=

2

s + 4+

1

s + 3

Sistemas de Controle II p. 15/27

Funo de Transferncia para Espao deEstados

Exemplo G(s) = s+2s2+7s+12

x =Acx +Bcu

y =Ccx +Dcu

Ac =

[7 12

1 0

], Bc =

[1

0

]

Cc =[

1 2], Dc = 0

Sistemas de Controle II p. 16/27

Funo de Transferncia para Espao deEstados

Forma cannica modal: G(s) = 2s+4

+ 1s+3

z =Amz + Bmu

y =Cmz + Dmu

Am =

[4 0

0 3

], Bm =

[1

1

]

Cm =[

2 1], Dm = 0

Sistemas de Controle II p. 17/27

Transformao de Estados

Seja o sistemax =Fx +Gu

y =Hx + Ju

Matriz no singular T Transformao linear

x = T z

Sistemas de Controle II p. 18/27

Transformao de Estados

Equao dinmica

x = T z = FT z + Gu

z = T1FT z + T1Gu

z = Az + Bu

Equao da sada

y = HT z + Ju = Cz +Du

Sistemas de Controle II p. 19/27

Transformao de Estados

Forma geral para forma cannica controlvel

AT1 = T1F a1 a2 a31 0 0

0 1 0

t1t2t3

=

t1Ft2Ft3F

t2 = t3F

t1 = t2F = t3F2

Sistemas de Controle II p. 20/27

Transformao de Estados

Forma geral para forma cannica controlvel

T1G = B t1Gt2Gt3G

=

10

0

t3G = 0

t2G = t3FG = 0 t3[G FG F2G] = [0 0 1]

t1G = t3F2G = 1

Sistemas de Controle II p. 21/27

Transformao de Estados

Forma geral para forma cannica controlvel

t3 = [0 0 1]C1

C = [G FG F 2G]

Matriz de Controlabilidade Forma geral

C = [G FG F n1G]

Sistemas de Controle II p. 22/27

Transformao de Estados

Caso geral

tn = [0 0 1]C1

Matriz de Transformao

T1 =

tnF

n1

tnFn2

.

.

.

tn

Sistemas de Controle II p. 23/27

Funo de Transferncia para Espao deEstados

G(s) =b(s)

a(s)=

b1sn1 + b2s

n2 + + bnsn + a1sn1 + a2sn2 + + an

Forma cannica observvel

Ao =

a1 1 0

a2 0 0...

.

.

.

an 0 0

, Bo =

b1

b2...

bn

Co =[

1 0 0], Do = 0

Sistemas de Controle II p. 24/27

Espao de Estados para Funo deTransfernica

G(s) = C(sI A)1B +D

Exemplo

A =

[2 3

1 0

], B =

[1

0

]

C =[

1 0], D = 0

Sistemas de Controle II p. 25/27

Espao de Estados para Funo deTransfernica

G(s) = C(sI A)1B +D

Exemplo

A =

[2 3

1 0

], B =

[1 0

0 2

]

C =

[1 0

0 3

], D =

[0 0

0 0

]

Sistemas de Controle II p. 26/27

Estabilidade no Espao de Estados

Equao caracterstica

det(sI A) = 0

Autovalores de A

det(I A) = 0

Plos de G(s) autovalores de A Estabilidade: autovalores de A com parte real

negativaSistemas de Controle II p. 27/27

Espao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosEspao de Estados para Funo de TransfernicaEspao de Estados para Funo de TransfernicaEstabilidade no Espao de Estados