apostila servo

Apostila de Servomecanismo

UFPE - CIn

Camila Ascendina Nunes

27/07/2011

CAPITULO 1

REVIS~AO

Para iniciar os estudos de servomecanismos e necessario ter um conheci-mento previo de como solucionar equac~oes lineares do segundo grau. Ent~ao,vamos revisar!

1.1 Equac~oes Lineares do Segundo Grau

As equac~oes lineares do segundo grau podem ser de dois tipos: homoge^nease n~ao homoge^neas. As equac~oes homoge^neas s~ao aquelas que n~ao possuemvalores no segundo membro, como a equac~ao abaixo:

y00 3y0 4y = 0 (1.1)Ja as equac~oes n~ao homoge^neas, possuem valores no segundo membro, como

pode ser visualizado abaixo:

y0 + y0 = 2et (1.2)

Agora que os dois tipos de equac~oes lineares do segundo grau foram descobertos,vamos encontrar suas razes.

1.1.1 Equac~oes Lineares do Segundo Grau - Homoge^neas

Essas equac~oes s~ao as mais faceis de encontrar as razes, pois iremos trata-las como equac~oes do segundo grau e usaremos o metodo de Bhaskara paraencontrar as razes.

3

4 CAPITULO 1. REVIS ~AO

Algorithm 1 Metodo de Bhaskara

Para encontrar as razes de uma equac~ao do segundo grau da forma ax2 +bx+ c com a 6= 0, utiliza-se a seguinte equac~ao.

x =bpb2 4ac

2a

Resumo: Dada a equac~ao ay00+ by0+ cy = 0 obtenha para ela a equac~ao do

segundo grau fazendo a seguinte modicac~ao:y00 ! r2y0 ! ry ! 1

Ent~ao, para a equac~ao ay00 + by0 + cy = 0 obteremos a equac~ao: ar2 +br + c = 0 e para encontrar as razes dessa equac~ao basta utilizar o metodo deBhaskara.

Vale lembrar que temos uma equac~ao do segundo grau e assim teremosduas razes como soluc~ao da equac~ao e portanto quando for aplicado Bhaskaraa equac~ao ay00 + by0 + cy = 0 ser~ao obtidas duas razes r1 e r2.

A soluc~ao da equac~ao linear do segundo grau depende de como s~ao asrazes encontradas para a equac~ao do segundo grau. Para entender como elasest~ao relacionadas vamos analisar as razes da equac~ao do segundo grau e obtera soluc~ao da equac~ao linear do segundo grau.

Se r1 6= r2, a soluc~ao da equac~ao linear do segundo grau sera dada por:

y(t) = c1er1t + c2e

r2t

onde c1 e c2 s~ao constantes e t e variavel.Se r1 = r2, a soluc~ao da equac~ao linear do segundo grau sera dada por:

y(t) = c1er1t + c2te

r2t

como r1 = r2

y(t) = c1er1t + c2te

r1t

onde c1 e c2 s~ao constantes e t e variavel.Se r1 e r2, forem numeros complexos, ou seja, s~ao numeros que est~ao

na forma i onde e um numero real e e um numero complexo, ent~ao asoluc~ao da equac~ao linear do segundo grau sera dada por:

y(t) = c1et cost+ c2e

t sint

1.1. EQUAC ~OES LINEARES DO SEGUNDO GRAU 5

onde c1 e c2 s~ao constantes e t e variavel.OBS: Quando temos um numero complexo como soluc~ao de uma

equac~ao sempre teremos o seu conjugado como soluc~ao tambem, ouseja, se + i for soluc~ao da equac~ao o numero i tambem serasoluc~ao. Isso e uma caracterstica dos numeros complexos e geral-mente e dito que os numeros complexos ocorrem aos pares conjuga-dos.

Quest~ao 1.1: Encontre a soluc~ao para a equac~ao y00 2y0 + y = 0.Encontrando a equac~ao do segundo grau relacionada a essa equac~ao:y00 ! r2y0 ! ry ! 1Ent~ao: r2 2r + 1 = 0 Utilizando bhaskara para encontrar as razes: = b2 4ac = (2)2 4 1 1 = 0

r =bp

2a

r = 2p0

21r1 =

22= 1

r2 =22= 1

Observe que r1 = r2, ent~ao a nossa soluc~ao sera do tipo:y(t) = c1e

r1t + c2ter1t

Logo:y(t) = c1e

1t + c2te1t

Quest~ao 1.2: Encontre a soluc~ao para a equac~ao y00 + 2y0 3y = 0.Encontrando a equac~ao do segundo grau relacionada a essa equac~ao:y00 ! r2y0 ! ry ! 1Ent~ao: r2 + 2r 3 = 0Utilizando bhaskara para encontrar as razes: = b2 4ac = (2)2 4 1 (3) = 4 + 12 = 16

r =bp

2a

r = 2p16

21r1 =

242

= 3r2 =

2+42

= 2Observe que r1 6= r2, ent~ao a nossa soluc~ao sera do tipo:y(t) = c1e

r1t + c2er2t


Logo:y(t) = c1e

2t + c2e3t

Quest~ao 1.3: Encontre a soluc~ao para a equac~ao y00 + 9y = 0.Encontrando a equac~ao do segundo grau relacionada a essa equac~ao:y00 ! r2y0 ! ry ! 1Ent~ao: r2 + 9 = 0Utilizando bhaskara para encontrar as razes: = b2 4ac = (0)2 4 1 (9) = 0 36 = 36r =

bp2a

r =0p

(36)21

Comop( 1) = i

r1 =6i2= 3i

r2 =6i2

= 3iObserve que r1 e r2 s~ao numeros complexos, ent~ao a nossa soluc~ao sera do tipo:y(t) = c1e

t cost+ c2et sint

Lembrando que: + i, nesse caso sera: 0 3i, n~ao temos numero real, mastemos o numero complexo.Logo:y(t) = c1e

0t cos 3t+ c2e0t sin 3t

Como e0t = 1y(t) = c1 cos 3t+ c2 sin 3tObserve que o sinal 3i foi desprezado, o que foi colocado na equac~ao foi so-mente o numero 3 que corresponde ao numero da formula.

Equac~oes Lineares do Segundo Grau Homoge^neas Com Condic~oesIniciais

As equac~oes lineares do segundo grau homoge^neas podem ter seus valoresiniciais conhecidos, ou seja, os condic~oes iniciais do sistema a ser trabalhado s~aoconhecidos e assim poderemos encontrar as constantes da soluc~ao da equac~ao.

Resumo: Para encontrar a soluc~ao da equac~ao com as condic~oes iniciais,

primeiramente encontre a soluc~ao da equac~ao linear do segundo grau como foimostrado no topico anterior. Apos encontrar a soluc~ao da equac~ao linear do se-gundo grau analise as condic~oes iniciais que forem dadas e se preciso for derivea equac~ao e aplique os valores na equac~ao. Isso cara mais claro com o exemplo.


Quest~ao 1.4: Encontre a soluc~ao da equac~ao y00 + y0 2y = 0 com ascondic~oes iniciais y(0) = 1 e y0(0) = 1.Encontrando a equac~ao do segundo grau relacionada a essa equac~ao:y00 ! r2y0 ! ry ! 1Ent~ao: r2 + r 2 = 0Utilizando bhaskara para encontrar as razes: = b2 4ac = (1)2 4 1 (2) = 1 + 8 = 9

r =bp

2a

r =1p

(9)

21r1 =

132

= 2r2 =

1+32

= 1Observe que r1 6= r2, ent~ao a nossa soluc~ao sera do tipo:y(t) = c1e

r1t + c2er2t

Logo:y(t) = c1e

2t + c2e1t

Como as condic~oes iniciais dadas s~ao: y(0) = 1 e y0(0) = 1, temos uma em y(t)e outra em y0(t), ent~ao teremos que derivar a y(t) que encontramos para poderaplicar as condic~oes iniciais dadas em y0(t).Lembrando a derivada de eat:d(eat)

dt=

d(at)

dteat

Assim:dy(t)

dt=

d(c1e2t + c2e1t)dt

=

d(c1e2t)

dt+

d(c2e1t)

dt=

c1d(2t)dt

e2t + c2d(1t)

dte1t

c1(2)e2t + c2(1t)e1t =2c1e2t + 1c2e1t = y0(t)Agora podemos aplicar as condic~oes iniciais dadas. Para a condic~ao y(0) = 1,teremos:y(0) = 1y(0) = c1e

2(0) + c2e1(0)

y(0) = c1 1 + c2 1y(0) = c1 + c2Mas: y(0) = 11 = c1 + c2


Encontramos uma equac~ao, mas como temos 2 icognitas precisaremos de 2equac~oes, ent~ao vamos usar a outra condic~ao inicial y0(0) = 1:y0(0) = 1y0(0) = 2c1e2(0) + 1c2e1(0)y0(0) = 2c1 1 + 1c2 1y0(0) = 2c1 + 1c2Mas: y0(0) = 11 = 2c1 + 1c2Encontramos a outra equac~ao, ent~ao o nosso sistema e: c1 + c2 = 12c1 + 1c2 = 1Resolvendo o sistema obteremos os valores das constantes, ent~ao: Fazendo:

1. c1 + c2 = 1

2. 2c1 + 1c2 = 1Na equac~ao 1.:c1 + c2 = 1c1 = 1 c2 Aplicando na equac~ao 2.:2c1 + 1c2 = 12(1 c2) + 1c2 = 12 + 2c2 + 1c2 = 12 + 3c2 = 13c2 = 1 + 23c2 = 3c2 = 1Voltando a aplicar na equac~ao 1.:c1 = 1 c2c1 = 1 (1)c1 = 1 1c1 = 0Portanto, c1 = 0 e c2 = 1 e a equac~ao nal e:y(t) = c1e

2t + c2e1t

y(t) = 0 e2t + 1 e1ty(t) = 0 + e1t

y(t) = e1t

1.1.2 Equac~oes Lineares do Segundo Grau - N~ao Homoge^neas

Quando encontrarmos equac~oes do estilo:

y00 3y0 4y = 3e2t (1.3)

Teremos uma equac~ao linear n~ao homoge^nea, mas a soluc~ao desse tipo queequac~ao e simples.E bom lembrar que a soluc~ao de uma equac~ao linear n~ao homoge^nea e formada


por: soluc~ao homoge^nea da equac~ao e soluc~ao particular da equac~ao. A soluc~aohomoge^nea foi discutida na secc~ao anterior, qualquer duvida vide secc~ao ante-rior.Para encontrar a soluc~ao particular, lembre-se da tabela abaixo:

Figura 1.1: A soluc~ao particular de ay00 + by0 + cy = g(t)

A primeira coluna equivale ao valor g(t) e a segunda coluna equivale aovalor que sera colocado para Y (t). Dada a equac~ao ay00 + by0 + cy = g(t)deve-se procurar uma func~ao para y de tal forma que y = g(t). Esse metodocara mais claro com o exemplo. Veja:

Quest~ao 1.5: Encontre a soluc~ao particular de: y00 3y0 4y = 3e2tProcuramos uma func~ao Y tal que Y 00(t)3Y 0(t)4Y (t) e iqual a 3e2t. Como aderivada de uma func~ao exponencial e um multiplo dela mesma, a maneira maisplausvel de se obter o resultado desejado e supondo que Y(t) e algum mutiplode e2t, isto e:Y (t) = Ae2t

onde o coeciente A ainda precisa ser determinado. Para encontrar A, va-mos calcular:

Y 0(t) =dY (t)

dt

Y 0(t) =d(Ae2t)

dtY 0(t) = 2Ae2t

e

Y 00(t) =dY 0(t)dt

Y 00(t) =d(2Ae2t)

dtY 00(t) = 4Ae2t

Substituindo na equac~ao y00 3y0 4y = 3e2t teremos:


(4A 6A 4A)e2t = 3e2t6A = 3e2t

A = 12

Portanto a soluc~ao particular da equac~ao e:

Y (t) = 12 3e2t

Portanto, para encontrar a soluc~ao particular faca o uso da tabela e resolvavarios exercicos.OBS: Para encontrar a soluc~ao total de uma equac~ao linear do segundo graun~ao homoge^nea lembre-se de encontrar a soluc~ao homoge^nea e a soluc~ao n~aohomoge^nea e somente a partir dai encontrar os valores de cada coeciente aequac~ao. Use para encontrar os coecientes da equac~ao as condic~oes iniciais.

Exerccios Propostos1.1:

Encontre as soluc~oes:

1. 9y00 + 6y0 + y = 0Resp: y = c1e

t3 + c2te

t3

2. 4y00 4y0 3y = 0Resp: y = c1e

t2 + c2e

3t2

3. y00 2y0 + 10y = 0Resp: y = c1e

t cos 3t+ c2et sin 3t

4. y00 6y0 + 9y = 0 e y(0) = 0, y0(0) = 2Resp: y = 2te3t

5. 9y00 + 6y0 + 82y = 0 e y(0) = 1, y0(0) = 2Resp: y = et3 cos 3t+ 59e

t3 sin 3t

6. y00 + 4y0 + 4y = 0 e y(1) = 2, y0(1) = 1Resp: y = 7e2(t+1) + 5te2(t+1)

7. y00 2y0 3y = 3e2tResp: y = c1e

3t + c2et e2t

8. y00 + 2y0 + 5y = 3 sin 2tResp: y = c1e

t cos 2t+ c2et sin 2t+ 317 sin 2t 1217 cos 2t9. y00 + 9y0 = t2e3t + 6

Resp: y = c1 cos 3t+ c2 sin 3t+1162 (9t

2 6t+ 1)e3t + 23

1.2. REVISITANDO MATRIZES 11

10. y00 2y0 + y = tet + 4 e y(0) = 1,y0(0) = 1Resp: y = 4tet 3et + 16 t3et + 4

11. y00 + 4y0 = 3 sin 2t e y(0) = 2,y0(0) = 1Resp: y = 2 cos 2t 18 sin 2t 34 t cos 2t

Relacionamento equac~oes homoge^neas e equac~oes n~ao-homoge^neas

Como solucionar as equac~oes lineares, agora todos ja sabem. Mas comoisto esta relacionado com sistemas de controle?!Quando um sistema e representado matematicamente e esta na forma de umaequac~ao linear homoge^nea, ent~ao esse sistema esta sem controle, pois n~ao possuiU(s).Quando um sistema e representado matematicamente e esta na forma de umaequac~ao linear n~ao homoge^nea, ent~ao esse sistema esta controlado, pois possuiU(s).

1.2 Revisitando Matrizes

Para encontrar algumas soluc~oes para sistemas de controle, torna-se ne-cessario saber algumas propriedades de matrizes. Ent~ao, m~aos a obra!

1.2.1 Multiplicac~ao de Matriz por um Escalar

Seja a matriz (aij)mxn e k um numero real diferente de zero.A multiplicac~aode k pela matriz A e denida como a matriz B (do tipo m x n), B = k:aij .O signicado e: B e obtida de A, multiplicando-se todos os seus elementos pork.Veja o exemplo abaixo:

X =

a bc d

Temos: 2:X

2

a bc d

=

2a 2b2c 2d


Encontre a matriz resultante:


1. A * 2, dado que:

A =

0@ 3 10 36 10

1A

Resp: 0@ 6 20 612 20

1A

1.2.2 Multiplicac~ao de Matrizes

Dada as matrizes A = (aij)mxn e B = (bjk)nxp,chama-se produto de A porB, e se indica por A:B, a matriz C = (cik)mxp, onde um elemento qualquer cike obtido da seguinte maneira: multiplicando a linha de A pela coluna de B. Issocara mais claro com o exemplo. Observe:

Dadas as matrizes

2 3 11 0 2

e

0@ 1 20 54 1

1A Determinar AB e BA.Como A e do tipo 2 x 3 e B e do tipo 3 x 2, segue que C = A:B existe ee do tipo 2 x 2. Ent~ao:Primeiro elemento de C (c11) = Primeiro linha de A multiplicada pela primeiracoluna de B, ou seja:(2 1) + (3 0) + (1 4) = 6.Segundo elemento de C (c12) = Primeiro linha de A multiplicada pela segundacoluna de B, ou seja:(2 (2)) + (3 5) + (1 1) = 12Terceiro elemento de C (c21) = Segunda linha de A multiplicada pela primeiracoluna de B, ou seja:((1) 1) + (0 0) + (2 4) = 7Quarto elemento de C (c22) = Segunda linha de A multiplicada pela segundacoluna de B, ou seja:((1) (2)) + (0 5) + (2 1) = 4Ent~ao, a matriz resultante sera:

C =

6 127 4

Agora calcule BA!

Descubra que:D = B:A


D =

0@ 4 3 35 0 107 12 6

1AOBS: Vale lembrar que para que exista a multiplicac~ao de matrizes o numero

de colunas da primeira devera ser igual ao numero de linhas da segunda. Ex:A3x2 e B2x4, a multiplicac~ao de matrizes A.B existe, pois A tem numero decolunas igual a dois e B tem numero de linhas igual a dois.


Encontre as matrizes resultantes:

1. Dado que:

A =

2 31 5

e B =

0 11 2

, determine AB e BA.

Resp: A:B =

3 85 9

e B:A =

1 54 7

1.2.3 Matriz Transposta

Para encontrar a matriz transposta de uma matriz, basta trocar linhas ecolunas, ou seja, o que e linha sera coluna e o que e coluna sera linha. Veja oexemplo:

Dada a matriz B, encontre a sua transposta:

B =

1 54 7

Encontrando a transposta:(Trocar linhas e colunas)

BT =

1 45 7


Encontre a matriz transposta:

1. B =

0@ 2105

1AResp: BT =

2 10 5


2. C =

0@ 3 10 21 4

1AResp: CT =

3 0 11 2 4

1.2.4 Matriz Adjunta

Para encontrar a matriz adjunta de uma matriz 3 x 3, sera mostrado oalgoritmo abaixo, mas o mesmo serve para as demais matrizes.Para a Matriz:

A =

24 a b cd e fg h i

35Teremos a seguinte matriz adjunta:

adj(A) =

266666666664

(+)

e fh i () b ch i

(+) b ce f

() d fg i

(+) a cg i () a cd f

(+)

d eg h () a bg h

(+) a bd e

377777777775Observe que a diagonal principal tem TODOS os seus elementos POSITI-

VOS e os outros s~ao variac~oes dela (um positivo e outro negativo...). Observetambem que para os elementos da diagonal principal e como se deletassemos alinha e a coluna a que ela pertence e com os elementos restantes fosse realizadoo determinante. Ja para os elementos que n~ao s~ao da diagonal principal e umpouco mais complicado. Observe a gura abaixo:

Analise que se eu desejar encontrar o determinante que cara no lugar deD, ent~ao deverei deletar a linha e coluna de B e com o restante dos elementosda matriz fazer o determinante. Ja para encontrar o determinante que cara nolugar de B, deverei deletar a linha a coluna de D e com os elementos restantesda matriz fazer o determinante. Para encontrar o determinante que cara nolugar de C, deverei deletar a linha e coluna de G e com o restante dos elementosda matriz fazer o determinante. Para encontrar o determinante que cara nolugar de G, deverei a linha e coluna de C e com o restante dos elementos damatriz fazer o determinante. Para encontrar o determinante que cara no lugarde H, deverei a linha e coluna de F e com o restante dos elementos da matrizfazer o determinante.Para encontrar o determinante que cara no lugar de F,


Figura 1.2: Matriz Adjunta

deverei a linha e coluna de H e com o restante dos elementos da matriz fazer odeterminante.Agora e a sua vez!


Encontre a matriz adjunta de:

1. A =

0@ 3 0 60 10 56 1 2

1A

Resp: adj(A) =

0@ 3 0 63 10 16 5 2

1A

1.2.5 Matriz Inversa

Para encontrar a matriz inversa e simples, basta utilizar a matriz adjuntada seguinte forma:Dada a matriz A, teremos a inversa dada por:

A1 =1

det(A):adj(A)

Veja o exemplo:Calculando a matriz inversa de A, dado que:

A =

0@ 1 2 40 2 13 1 2

1A Calculando o determinante de A, encontraremos:


det(A) =

0@ 1 2 40 2 13 1 2

1A 1 20 23 1

det(A) = 15

Encontrando a matriz adjunta de A, encontraremos:

adj(A) =

0@ 3 0 63 10 16 5 2

1ACalculando a inversa teremos:A1 = 1det(A) :adj(A)

A1 = 115 :

0@ 3 0 63 10 16 5 2

1AA1 =

0@ 315 015 615315 1015 115615

515

215

1AA1 =

0@ 15 0 2515

25

115

25

13

215

1AAgora e a sua vez!


Encontre a matriz inversa:

1. A =

2 04 3

Resp: A1 =

12 023

13

2. A =

0@ 1 0 00 2 01 0 3

1A

Resp: A1 =

0@ 1 0 00 12 013 0

13

1A

CAPITULO 2

PRIMEIRA UNIDADE

Neste captulo ser~ao mostrados algumas explicac~oes e resoluc~oes de exercciosesseciais ao entendimento de servo mecanismo.Boa Leitura!

2.1 Introduc~ao a Sistemas de Controle

Para o entendimento dos sistemas de controle s~ao necessarios conhecimen-tos basicos de alguns conceitos. O conhecimento fundamental reside em poderidenticar o tipo de malha em que o sistema esta inserido. Veja os dois tipos desistemas:

Sistema em Malha Fechada: e o sistema onde o sinal de sada fazrealimentac~ao do sistema. Como na gura abaixo:

Figura 2.1: Exemplo de Malha Fechada

Sistemas em Malha Aberta ou Sistemas em Malha direta: s~aosistemas onde n~ao ha a realimentac~ao do sistema com a sada e por isso s~ao

17

18 CAPITULO 2. PRIMEIRA UNIDADE

mais suscetveis a erros. Veja na gura abaixo:

Figura 2.2: Exemplo de Malha Aberta

2.2 Diagrama de Blocos

Trabalhar com diagrama de blocos e extremamente importante, porquea estabilidade de um sistema podera ser analisada a partir da sua func~ao detransfere^ncia e essa e obtida a partir de uma "reduc~ao"de blocos. Existemformas de se obter um diagrama de blocos e de se reduzir esse diagrama, algumasformas s~ao mostradas abaixo.

2.2.1 Obtendo Diagrama de Blocos para um Sistema Eletrico

Para criar partir de um sistema eletrico um diagrama de blocos deve-selembrar de: Nos circuitos eletricos geralmente os componentes usados s~ao: resis-tores, capacitores e indutores e para se obter o diagrama de blocos s~ao usadas asequac~oes desses componentes em Laplace (domnio complexo-complexo). Asequac~oes s~ao dadas por:

2.2.2 Diagramas por Red

2.2.3 Diagramas por Mason

2.2.4 Diagramas por Metodo Direto

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