Download - Estados -Controle e Servo Mecanismo
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Sistemas de Controle II
Adriano A. G. Siqueira
Aula 6 - Espaco de Estados
Sistemas de Controle II p. 1/27
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Espao de Estados
Forma de representao de sistemas
Modelos mais complexos (MIMO - MultipleInput Multiple Output)
Vetores e matrizes
Conecta variveis internas (espaos) comvariveis externas (entradas e sadas)
Sistemas de Controle II p. 2/27
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Espao de Estados
Representar equaes diferenciais como umconjunto de EDOs de primeira ordem
Formato
x =Ax +Bu
y =Cx + Du
x: estado u: entrada y: sada
Sistemas de Controle II p. 3/27
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Espao de Estados
Considere o seguinte sistema mecnico:
Mx +Bx + Kx = u
Sistemas de Controle II p. 4/27
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Espao de Estados
Sistema Mx + Bx +Kx =uy =x
Define-se as variveis do estadox1 =x
x2 =x Tem-se
x1 =x = x2
x2 =x = B
Mx2
K
Mx1 +
1
Mu
Sistemas de Controle II p. 5/27
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Espao de Estados
x1 =x2
x2 =B
Mx2
K
Mx1 +
1
Mu
Na forma matricial[x1
x2
]=
[0 1
KM
BM
][x1
x2
]+
[01
M
]u
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Espao de Estados
Sada (posio):y =x = x1
Na forma matricial
y =[
1 0] [ x1
x2
]
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Espao de Estados
Representao no espao de estados
x =Ax +Bu
y =Cx + Du
A =
[0 1
KM
BM
], B =
[01
M
]
C =[
1 0], D = 0, x =
[x1
x2
]Sistemas de Controle II p. 8/27
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Espao de Estados
Sada (posio e velocidade):
y =
[y1
y2
]=
[x1
x2
]
Na forma matricial: y = Cx +Du
C =
[1 0
0 1
], D =
[0
0
],
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Espao de Estados
Exemplo: Drive de disco rgido
I11 + b(1 2) + k(1 2) = T
I22 + b(2 1) + k(2 1) = 0
Encontrar a representao no espao de estadossendo a sada 2
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Espao de Estados
A =
0 1 0 0
kI1
bI1
kI1
bI1
0 0 0 1kI2
bI2
kI2
bI2
, B =
01
I1
0
0
C =[
0 0 1 0], D = 0, x =
1
1
2
2
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Espao de Estados
Exemplo: Drive de disco rgido
I11 + b(1 2) + k(1 2) = T1
I22 + b(2 1) + k(2 1) = T2
Encontrar a representao no espao de estadossendo as sadas 1 e 2
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Espao de Estados
u =
[T1
T2
], B =
0 01
I10
0 0
0 1I2
y =
[1
2
], C =
[1 0 0 0
0 0 1 0
], D =
[0 0
0 0
]
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Funo de Transferncia para Espao deEstados
G(s) =b(s)
a(s)=
b1sn1 + b2s
n2 + + bnsn + a1sn1 + a2sn2 + + an
Forma cannica controlvel
Ac =
a1 a2 an
1 0 0...
.
.
.
0 1 0
, Bc =
1
0...
0
Cc =[b1 b2 bn
], Dc = 0
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Funo de Transferncia para Espao deEstados
Exemplo
G(s) =s + 2
s2 + 7s + 12=
2
s + 4+
1
s + 3
Sistemas de Controle II p. 15/27
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Funo de Transferncia para Espao deEstados
Exemplo G(s) = s+2s2+7s+12
x =Acx +Bcu
y =Ccx +Dcu
Ac =
[7 12
1 0
], Bc =
[1
0
]
Cc =[
1 2], Dc = 0
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Funo de Transferncia para Espao deEstados
Forma cannica modal: G(s) = 2s+4
+ 1s+3
z =Amz + Bmu
y =Cmz + Dmu
Am =
[4 0
0 3
], Bm =
[1
1
]
Cm =[
2 1], Dm = 0
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Transformao de Estados
Seja o sistemax =Fx +Gu
y =Hx + Ju
Matriz no singular T Transformao linear
x = T z
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Transformao de Estados
Equao dinmica
x = T z = FT z + Gu
z = T1FT z + T1Gu
z = Az + Bu
Equao da sada
y = HT z + Ju = Cz +Du
Sistemas de Controle II p. 19/27
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Transformao de Estados
Forma geral para forma cannica controlvel
AT1 = T1F a1 a2 a31 0 0
0 1 0
t1t2t3
=
t1Ft2Ft3F
t2 = t3F
t1 = t2F = t3F2
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Transformao de Estados
Forma geral para forma cannica controlvel
T1G = B t1Gt2Gt3G
=
10
0
t3G = 0
t2G = t3FG = 0 t3[G FG F2G] = [0 0 1]
t1G = t3F2G = 1
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Transformao de Estados
Forma geral para forma cannica controlvel
t3 = [0 0 1]C1
C = [G FG F 2G]
Matriz de Controlabilidade Forma geral
C = [G FG F n1G]
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Transformao de Estados
Caso geral
tn = [0 0 1]C1
Matriz de Transformao
T1 =
tnF
n1
tnFn2
.
.
.
tn
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Funo de Transferncia para Espao deEstados
G(s) =b(s)
a(s)=
b1sn1 + b2s
n2 + + bnsn + a1sn1 + a2sn2 + + an
Forma cannica observvel
Ao =
a1 1 0
a2 0 0...
.
.
.
an 0 0
, Bo =
b1
b2...
bn
Co =[
1 0 0], Do = 0
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Espao de Estados para Funo deTransfernica
G(s) = C(sI A)1B +D
Exemplo
A =
[2 3
1 0
], B =
[1
0
]
C =[
1 0], D = 0
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Espao de Estados para Funo deTransfernica
G(s) = C(sI A)1B +D
Exemplo
A =
[2 3
1 0
], B =
[1 0
0 2
]
C =
[1 0
0 3
], D =
[0 0
0 0
]
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Estabilidade no Espao de Estados
Equao caracterstica
det(sI A) = 0
Autovalores de A
det(I A) = 0
Plos de G(s) autovalores de A Estabilidade: autovalores de A com parte real
negativaSistemas de Controle II p. 27/27
Espao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosEspao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosTransformao de EstadosFuno de Transferncia para Espao de EstadosEspao de Estados para Funo de TransfernicaEspao de Estados para Funo de TransfernicaEstabilidade no Espao de Estados