estabilidade de sistemas de controle digital. o conceito de estabilidade de sistemas já foi...
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Estabilidade de Sistemas de Controle Digital
Estabilidade de Sistemas de Controle Digital
O conceito de estabilidade de sistemas já foi introduzido no curso de controle linear, portanto, agora iremos directamente às ferramentas matemáticas úteis para a determinação da estabilidade de Sistemas de Controle Digital.
Definição: Um sistema possui a propriedade de estabilidade externa se toda sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada.
Esta é a estabilidade BIBO (“Bounded Input – Bounded Output”)
Critério BIBO
Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com resposta impulsiva g(k) é BIBO – estável se e somente se:
Exemplo
Determine se o sistema é ou não estável:
Para determinar g(k), utilizaremos a divisão longa:
Logo, a resposta impulsiva g(k) é dada por:
Tem-se: Portanto, o sistema é instável.
Relações entre o Plano – S e o Plano – Z
Na primeira classe de sistemas discretos foi demonstrado que a transformada Z de um sinal amostrado é a transformada de Laplace de uma seqüência discreta, com a substituição da variável
STeZIsto implica que todos os pontos no plano – S tem seu ponto correspondente no plano – Z.
Um ponto genérico no plano – S é dado
Através do mapeamento no plano – Z teremos o seguinte ponto:
Logo,
NO plano SNO plano Z
0 Si jS
eixo imaginário
TjZ 1Z
o360 0 o
0 SiNO plano S
j S
parte esquerda do eixo imaginário
NO plano Z
dentro do circulo de radio unidade
0 SiNO plano S
j S
parte direita do eixo imaginário
NO plano Z
fora do circulo de radio unidade
Resumindo
Um sistema é estável se asraízes da equação característicaestão na metade esquerda do plano S
Um sistema é estável se as raízes da equação característica estão dentro do círculo de rádio unidade no plano Z
Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com funçãode transferência G(z) é BIBO – estável se e somente se os pólosde G(z) têm modulo menor do que 1.
Teorema:
Determine se o sistema abaixo é estável. Exemplo
Os pólos de G(z) são as raízes do denominador, ou seja:
Logo
Portanto, as raízes têm módulo menor que 1, logo o sistema é BIBO – estável.
(as raízes estão dentro do circulo unitário)
Critério de Jury
A aplicação do teorema anterior em sistemas que possuem ordem maior que 2 torna-se difícil, uma vez que será necessário utilizar métodos computacionais para se determinar todas as raízes.
O critério de Jury estuda a estabilidade de sistemas discretos sem a necessidade de determinar os pólos.
1º Passo: Para uma função de transferência
o polinómio característico é D(z). Genericamente teremos:
Construa a seguinte tabela
A linha 1 é formada pelos coeficientes de D(z).
As linhas pares são formadas pela inversão dos coeficientes da linha anterior
As linhas impares são determinadas fazendo:
2º Passo: Aplique o critério de Jury:
O sistema é estável se e somente se
Se a tabela termina ou se ocorre divisão por zero, em
o sistema é instável
Determine se a função de transferência abaixo representa um sistema estável ou instável.
Exemplo
