ia360e - to´picos em controle isala225/ia360/2s09/pdf/lmi_h2.pdf · 2009. 8. 25. · aula 3 ia360e...
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Aula 3
IA360E - Topicos em Controle ITema: caracterizacoes de estabilidade de sistemas
lineares por meio de desigualdades matriciais lineares
Pedro L. D. Peres & Ricardo C. L. F. Oliveira
Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas
2o Semestre 2009
P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA360E - Topicos em Controle I - Aula 3 1/14
Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Topicos
1 Norma H2 (contınuo)
2 Norma H2 (discreto)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Computo de norma H2 para sistemas contınuos
Considere o sistema linear invariante no tempo
x(t) = Ax(t)+Bw(t) (1)
y(t) = Cx(t) (2)
com w(t) ∈ Rm representanto uma entrada exogena e y(t) ∈ R
p a saıda medida.
Para que a norma H2 seja finita, nao existe o termo de transmissao direta dew(t) para a saıda y(t)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Teorema de Parseval
A matriz de transferencia de w para y e dada por
H(s) = C(sI−A)−1B
e a norma H2 e definida como
‖H(s)‖22 =
1
2π
∫ +∞
−∞Tr
(H(jω)∗H(jω)
)dω =
1
2π
∫ +∞
−∞∑i
σi
(H(jω)
)dω
Teorema de Parseval
‖H(s)‖22 =
1
2π
∫ +∞
−∞Tr
(H(jω)∗H(jω)
)dω =
∫ +∞
−∞Tr
(h(t)∗h(t)
)dt
em sistemas SISO causais a norma H2 ao quadrado corresponde a integral doquadrado da resposta impulsiva
‖H(s)‖2 =
√∫ +∞
0|h(t)|2dt
a norma H2 de um sistema conhecido pode ser computada pela funcaoh2norm no Matlab
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Norma H2: Espaco de Estados
Considere o sistema (1)-(2). Como H(s) e estavel, entao
L−1
(H(s)
)= h(t) =
{C exp(At)B, t ≥ 00, t < 0
A norma H2 de H(s) e dada por
‖H(s)‖22 =
∫ +∞
0Tr
(h(t)∗h(t)
)dt =
∫ +∞
0Tr
(h(t)h(t)∗
)dt =
=∫ +∞
0Tr
(B∗ exp(A∗t)C ∗C exp(At)B
)dt =
∫ +∞
0Tr
(C exp(At)BB∗ exp(A∗t)C ∗
)dt
Os gramianos de controlabilidade de (A,B) e de observabilidade de (A,C) saorespectivamente dados por
Lc =∫ +∞
0exp(At)BB∗ exp(A∗t)dt ; Lo =
∫ +∞
0exp(A∗t)C ∗C exp(At)dt
ALc +LcA∗ +BB∗ = 0 ; A′Lo +LoA+C ∗C = 0
e portanto tem-se ‖H(s)‖22 = Tr(B∗LoB) = Tr(CLcC
∗)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Norma H2: Gramianos
a norma H2 pode ser computada por meio de um procedimento convexo deotimizacao
minP = P ′
> 0Tr(B ′PB) = Tr(BB ′P)
sujeito a
A′P +PA+C ′C ≤ 0
ou, de maneira equivalente,
minW = W ′
> 0Tr(CWC ′) = Tr(C ′CW )
sujeito a
AW +WA′ +BB ′ ≤ 0
Na solucao otima ‖H(s)‖22 = Tr(B ′PB) = Tr(CWC ′)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Lema de Finsler: condicoes estendidas
Usando o Lema de Finsler, condicoes equivalentes para o computo de normaH2 podem ser obtidas
∃X ∈ Rp×p ,W ∈ R
n×n,W = W ′ > 0 tais que
X ≥ CWC ′
se e somente se existirem X ∈ Rp×p ,W ∈ R
n×n,W = W ′ > 0, H ∈ Rp×n e
J ∈ Rn×n tais que
[CH ′ +HC ′−X CJ −H
J ′C ′−H ′ W −J −J ′
]
≤ 0 (3)
pois
[I
C ′
]′ [CH ′ +HC ′−X CJ −H
J ′C ′−H ′ W −J −J ′
][I
C ′
]
=
= −X +CWC ′
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Lema de Finsler: condicoes estendidas
∃W ∈ Rn×n,W = W ′ > 0 tal que
AW +WA′ +BB ′ ≤ 0 ⇐⇒
[AW +WA′ B
B ′ −I
]
≤ 0
se e somente se existirem W ∈ Rn×n,W = W ′ > 0, F ∈ R
n×n e G ∈ Rn×n tais que
AF ′ +FA′ W +AG −F B
W +G ′A′−F ′ −G −G ′ 0
B ′ 0 −I
≤ 0 (4)
pois
U
AF ′ +FA′ W +AG −F B
W +G ′A′−F ′ −G −G ′ 0
B ′ 0 −I
U ′ =
=
[AW +WA′ B
B ′ −I
]
com U =
[I A 0
0 0 I
]
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Computo de norma H2 para sistemas discretos no tempo
Considere o sistema linear incerto invariante no tempo
x(k +1) = Ax(k)+Bw(k) (5)
y(k) = Cx(k) (6)
com w(k) ∈ Rm representanto uma entrada exogena e y(k) ∈ R
p a saıda medida.
No caso discreto, admite-se que a matriz de transmissao direta D possa serdiferente de zero. Nesse caso, a norma H2 do sistema e acrescida do valorTr(D ′D) = Tr(DD ′).
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Norma H2
A matriz de transferencia de w para y do sistema discreto (5)-(6) e dada por
H(z) = C(zI−A)−1B
e a norma H2 e definida como
‖H(z)‖22 =
1
2π
∫ +π
−πTr[
(H(exp(jω))∗H(exp(jω))
)dω =
=1
2π
∫ +π
−π∑i
σi
(H(exp(jω))
)dω
Caracterizacao no espaco de estados
Resposta ao impulso:
w(k) = δ (k) =
{1 , k = 00 , k > 0
=⇒ yδ (k) =
{0 , k = 0
CAk−1B , k > 0
‖H(z)‖22 = Tr
( +∞
∑k=1
yδ (k)∗yδ (k))
= Tr
( +∞
∑k=1
yδ (k)yδ (k)∗)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Caracterizacao no espaco de estados da norma H2
‖H(z)‖22 = Tr
( +∞
∑k=1
B∗Ak−1∗C ∗CAk−1B)
= Tr
( +∞
∑k=1
CAk−1BB∗Ak−1∗C ∗)
= Tr
(
B∗+∞
∑k=0
Ak ∗C ∗CAk
︸ ︷︷ ︸
Lo
B)
= Tr
(
C+∞
∑k=0
AkBB∗Ak ∗
︸ ︷︷ ︸
Lc
C ∗)
Lo e o gramiano de observabilidade e Lc e o gramiano de controlabilidade dosistema discreto (5)-(6), solucoes respectivas das equacoes
A′LoA−Lo +C ∗C = 0
ALcA∗−Lc +BB∗ = 0
e, portanto, ‖H(z)‖22 = Tr(B∗LoB) = Tr(CLcC
∗)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Norma H2: LMIs
a norma H2 pode ser computada por meio de um procedimento convexo deotimizacao.
minP = P ′
> 0Tr(B ′PB) = Tr(BB ′P)
sujeito a
A′PA−P +C ′C ≤ 0
ou, de maneira equivalente,
minW = W ′
> 0Tr(CWC ′) = Tr(C ′CW )
sujeito a
AWA′−W +BB ′ ≤ 0
Na solucao otima ‖H(z)‖22 = Tr(B ′PB) = Tr(CWC ′)
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
Lema de Finsler: condicoes estendidas
Usando o Lema de Finsler, condicoes equivalentes para o computo de normaH2 podem ser obtidas
∃X ∈ Rp×p ,W ∈ R
n×n,W = W ′ > 0 tais que
X ≥ CWC ′
se e somente se existirem X ∈ Rp×p ,W ∈ R
n×n,W = W ′ > 0, H ∈ Rp×n e
J ∈ Rn×n tais que
[CH ′ +HC ′−X CJ −H
J ′C ′−H ′ W −J −J ′
]
≤ 0 (7)
pois
[I
C ′
]′ [CH ′ +HC ′−X CJ −H
J ′C ′−H ′ W −J −J ′
][I
C ′
]
=
= −X +CWC ′
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Norma H2 (contınuo) Norma H2 (discreto)
∃W ∈ Rn×n,W = W ′ > 0 tal que AWA′−W +BB ′ ≤ 0 ou, equivalentemente,
W AW B
WA′ W 0
B ′ 0 I
≥ 0 (8)
se e somente se existirem W = W ′ > 0, F ∈ Rn×n e G ∈ R
n×n tais que
W −AF ′−FA′ F −AG B
F ′−G ′A′ −W +G +G ′ 0
B ′ 0 I
≥ 0 (9)
U
W −AF ′−FA′ F −AG B
F ′−G ′A′ −W +G +G ′ 0
B ′ 0 I
U ′ =
=
[W −AWA′ B
B ′ I
]
com U =
[I A 0
0 0 I
]
. Note que com F = 0 e G = G ′ = W recai-se na LMI (8).
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